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Protokoll Optik-Praktikum

WS 2001/2002

Universitat Potsdam

Matthias FußlingKonrad Kieling

Uta Naether

Fabian SchmidtHelge Todt

Arwed Weigel

23. Mai 2002

Zusammenfassung

Unter der Zielstellung, Methoden zur Bestimmung des Brechungsindex zu vergleichen, haben wiruns in einem einwochigen Praktikum mit Interferenzen (Michelson-Interferometer, Newtonsche Rin-ge), Refraktometrie (Abbe-Refraktometer, Brewsterwinkel, Dispersionskurve) und Bestimmung derLichtgeschwindigkeit auseinandergesetzt. Dabei lag das Augenmerk auf dem Vergleich der Methoden,also welche fur Stoffe welchen Aggregatzustandes die genauesten Messungen zulasst.

Dabei zeigte sich, daß fur Gase das Michelson-Interferometer und fur Flussigkeiten sowie min-destens einseitig plangeschliffene, transparente Festkorper die verhaltnismaßig einfache Methode desAbbe-Refraktometers die zuverlassigsten Werte liefern.

Inhaltsverzeichnis

1 Interferenz 31.1 Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 allgemeiner Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Festkorper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Newtonsche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.5 Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.6 Begrenzungen der Methode in Bezug auf die Brechzahlbestimmung . . . . . . . . . 9

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

2 Refraktometrie 112.1 Abbe-Refraktometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3 Festkorper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Brewsterwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5 Begrenzungen des Versuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Dispersionskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Lichtgeschwindigkeit 203.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Begrenzungen der Methode in Bezug auf die Brechzahlbestimmung . . . . . . . . . . . . . 22

4 Vergleich der Methoden 22

Abbildungsverzeichnis

1 Prinzipieller Strahlengang am Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Brechungsindex-Druck-Abhangigkeit fur Gase am Michelson-Interferometer . . . . . . . . 53 Versuchsanordnung Newtonsche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Newtonsche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Radienquadrate uber Beugungsordnung fur alle gemessenen Stoffe . . . . . . . . . . . . . 106 Radienquadrate uber Beugungsordnung bei Luft fur verschiedene Wellenlangen . . . . . . 107 Strahlengang am Abbe-Refraktometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Ergebnisse bei der Bestimmung des Reflektionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Symmetrischer Strahlengang im Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710 Aufbau eines Einkreisgoniometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811 Dispersionskurven von Glas, NaCl und Quarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912 Schematischer Aufbau zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Protokoll Optik-PraktikumWS 2001/02

1 INTERFERENZ

Spiegel 1

Spiegel 2Laser

Schirm

l1

l2

Strahlteiler

Abbildung 1: Prinzipieller Strahlengang am Michelson-Interferometer

1 Interferenz

Um Brechungsindizes uber Interferometrie zu messen, werden Interferenzmuster erzeugt, die in irgend-einer Weise mit den Brechungsindizes zusammenhangen. Diese Verfahren sind also indirekt, und dieeigentliche Große, die es zu variieren gilt, ist die optische Weglange. Dazu mussen je nach vorliegendemAggregatzustand und Form Methoden verwendet werden, um die optische Weglange auf eine Messgroßewie z.B. Winkel, Druck oder Dicke des Materials zuruckzufuhren, die direkt mit dem Brechungsindexzusammenhangt.

1.1 Michelson-Interferometer

1.1.1 allgemeiner Aufbau

Eine Lichtquelle mit moglichst monochromatischem Licht und langer Koharenzlange (in der heutigenZeit eignet sich also am besten ein LASER) sendet Licht durch eine konvexe Linse zu einem Strahlteiler,der den Winkel ϑ = 45◦ zum Lichtstrahl einnimmt (Abb. 1). Teilbundel 1 wird also an der Vorderseitedes Strahlteilers reflektiert, lauft zu Spiegel 1, wird dort wiederum reflektiert, durchlauft den Strahlteilerund landet auf einem Schirm oder Detektor. Die Weglange zwischen Strahlteiler und Spiegel 1 sei mit l1bezeichnet. Teilbundel 2 durchlauft den Strahlteiler, wird an Spiegel 2 reflektiert, wird wiederum an derRuckseite des Strahlteilers reflektiert und landet auf dem Schirm.Durch Variation der optischen Weglangen (Drehen oder Verschieben der Spiegel) bilden sich Inteferenz-muster heraus, die Aufschluß uber den Betrag der Anderung geben konnen.

1.1.2 Kalibrierung

Als Lichtquellen wurden He-Ne-LASER der Wellenlangen λr = 632, 8 nm (rot) sowie λg = 543, 5 nm(grun) verwendet. Das von uns verwendete Michelson-Interferometer, genannt ”Precision Interferome-ter“ der Firma pasco scientific, Modellnummer 05-9255A, ist leider nicht so prazise wie angegeben:

Protokoll Optik-PraktikumWS 2001/02

3

1.1 Michelson-Interferometer 1 INTERFERENZ

Eine Kalibrierung der Mikrometerschraube, mit welcher Spiegel 2 der Messanordung verschoben werdenkann, zeigte eine erhebliche Abweichung von den Angaben des Herstellers an. Mit den bei der Kalibrie-rung ermittelten Werten fur die Mikrometerschraube bestimmten wir die Wellenlangen der LASER zuλr = 634, 08 nm sowie λg = 542, 4 nm, das entspricht in beiden Fallen einer Abweichung von 0, 3%, alsodurchaus annehmbar. Fur diese Bestimmung ist folgende Uberlegung notwendig: Verschiebt man denSpiegel 2 um eine halbe Wellenlange, andert sich die optische Weglange wegen des Hin- und Zuruck-laufen des Strahles um eine Wellenlange, d. h. man wird auf dem Schirm das gleiche Interferenzmusterwie zu Beginn erhalten. Zahlt man also die Anzahl N der gleichen Interferenzmuster, ergibt sich fur dieWellenlange des verwendeten Lichtes:

λ =2dNN

(1)

1.1.3 Gase

Versuchsaufbau und mathematische Grundlagen Fur die Ermittelung des Brechungsindex vonGasen wird nun in l2 eine evakuierbare Kuvette der Lange s eingebracht, wobei s die fur den Versuchrelevante innere Lange der Kuvette bezeichnet. Hier ist man auf die Herstellerangaben angewiesen. DieKuvette wird am besten so ausgerichtet, dass s ‖ l2, also keine Umrechnungen fur den Winkel erforderlichsind. Der Ursprungsgedanke dieses Versuches ist es nun, dass der Brechungsindex von Gasen linear mitdem Gasdruck zusammenhangt, und dass fur p = 0 gilt np=0 = 1:

n(p) = np=0 +∆n∆p

p (2)

An die Kuvette sind sowohl eine Hand-Vakuumpumpe wie ein Digitalbarometer angeschlossen. Die ge-samte Anordnung lasst sich mittels Durchspulung mit einem beliebigen Gas fullen, wobei wir uns ausGrunden der Verfugbarkeit sowie gesundheitlichen Erwagungen auf Raumluft, Argon, Kohlendioxid undStickstoff (N2) beschrankten. Erniedrigt man nun den Druck in der Apparatur, andert sich die optischeWeglange in der Kuvette gemaß (1):

sN∆n =λ

2N (3)

Aus (3) erhalten wir durch Umstellen und Division durch ∆p sofort den Anstieg der Geraden aus (2):

∆n∆p

=N

∆pλ

2s

Eine Messung des Druckes in Abhangigkeit von der Anzahl der durchlaufenen identischen Interferenz-muster liefert uns dann mittels (2) die Brechungsindizes der untersuchten Gase.

Ergebnisse und Vergleich mit den Literaturwerten Mit der oben beschriebenen Methode erhiel-ten wir bei der Wellenlange λr = 632, 8 nm, einem Luftdruck von p = 1013 mbar und einer Temperaturvon ϑ ≈ 22 ◦C die Ergebnisse in Tabelle 1 (siehe auch Abb. 2).

Stoff ngemessen nLiteratur1 bei ϑ in ◦C und λ in nm ∆n/10−5

Raumluft 1, 000212 1, 00029 0 589, 3 7,8CO2 1, 000327 1, 00045 0 589, 3 12,3Ar 1, 000203 1, 000283 0 589, 3 8,0N2 1, 000219 1, 00030 0 589, 3 8,1

Tabelle 1: Brechungsindizes der Gase

1 [Sto00]


1 INTERFERENZ 1.1 Michelson-Interferometer

1.00005

1.0001

1.00015

1.0002

1.00025

1.0003

1.00035

1.0004

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Bre

chun

gsin

dex

�

n

Druck p / hPa

CO2N2

LuftAr

Abbildung 2: Abhangigkeit des Brechungsindex vom Druck fur CO2, N2, Luft und Ar (eingezeichnetePfeile fur Normdruck p0 = 1013 hPa

Fehlerquellen Wie man sieht, weicht unser Messergebnis vom Literaturwert recht konstant (mitAusnahme des CO2) ab. Es muss sich also um einen systematischen Messfehler handeln. Erklarungen:

• In der Literatur wurde Licht der Natrium-D-Linie (589,3 nm) verwendet, wahrend wir mit demlangwelligeren Licht des He-Ne-Lasers arbeiteten.

• Es wurde bei hoherer Temperatur gearbeitet.

• Schließlich spielt herein, dass keine Herstellerangaben zu der inneren Lange der Kuvette vorlagen,und daher erster Naherung die außere Lange genugen musste. Der sytematische Fehler hierbeimusste also wohl oder ubel in Kauf genommen werden.

• Die Prozedur des Fullens der Kuvette bedingte ein nicht 100% reines Gas.

• Die Apparatur war nicht besonders dicht, das heißt, ab einem bestimmten Druck stromte ver-unreinigende Außenluft hinein und verfalschte das Ergebnis. Dies fuhrte dazu, dass die einzelnenVersuchsreihen moglichst schnell durchgefuhrt wurden, verbunden mit einer erhohten Ableseunge-nauigkeit am Digitalbarometer.

Positiv lasst sich vermerken, dass die Verhaltnisse (abgesehen von Kohlendioxid) der Brechungsindi-zes der Gase untereinander stimmen. D. h. das Wissen um den systematischen Fehler ermoglicht eineuberaus genaue Bestimmung des Brechungsindex der zu untersuchenden sGase auf eine Großenordnungvon 10−5. Damit stellt das Michelson-Interferometer im Rahmen unserer Versuchsreihe das mit Abstandbeste Mittel dar, um Gase die sich naturgemaß in ihren optischen Eigenschaften bei Druckverhaltnissenzwischen 0 atm und 1, 5 atm nicht wesentlich voneinander unterscheiden, zu charakterisieren. Hervorzu-heben ist, dass sich hier mit einem Experiment mit relativ einfachen Mitteln sehr hohe Genauigkeitenerreichen lassen.


5

1.1 Michelson-Interferometer 1 INTERFERENZ

1.1.4 Festkorper

Versuchsaufbau und mathematische Grundlagen Anzumerken ist erst einmal, dass sich uberdie Anderung der optischen Weglange und der damit zusammenhangenden Anderung des Interferenzmu-sters beliebige (durchsichtige) Stoffe mit Hilfe des Michelson-Interferometers untersuchen lassen. Da wirallerdings leider keine Kuvette hatten, die sich mit Flussigkeit fullen ließ, entfiel die Moglichkeit, diesenAggregatszustand zu untersuchen.Sicher kann man nun nicht die Dichte des Festkorpers verandern. Die Idee besteht stattdessen darin,einen planparallel geschliffenen Korper in l2 einzubringen und dann die Anzahl der identischen Interfe-renzmuster in Abhangigkeit vom Winkel der Flachen zum Lichtstrahl aufzunehmen: Die Anderung desWinkels bewirkt eine Anderung der Lange der zu durchlaufenden Platte und damit eine Anderung deroptischen Weglange. Der Brechungsindex berechnet sich dann nach:

n(N,ϕ) =(2s−Nλ)(1− cosϕ)2s(1− cosϕ)−Nλ

deren Herleitung hier zuviel Raum beanspruchen wurde.Fur die konkrete Durchfuhrung war der Erfindungsgeist gefragt: Wir benutzten die Kuvettenhalterungaus dem vorhergehenden Versuch, auf die wir die Platten (drei Sorten Plexiglas sowie einen gewohnlichenObjekttrager aus Fensterglas) mittels Klebestreifen aufklebten, immer im Vertrauen darauf, dass wir soeine einigermaßen parallele Ausrichtung zur Drehachse erreichten. Des weiteren bastelten wir uns ausPappe einen Zeiger, der von der Kuvettenhalterung zur bereits angebrachten Skala reichte, an welchemwir auch die Winkelanderung vornahmen. Der Zeiger traf den korrekten Winkel mit einer Genauigkeitvon ±0, 2◦. Hinzuaddieren muss man noch die Ableseungenauigkeit von ±0, 5◦.

Ergebnisse und Vergleich mit den Literaturwerten Wir fuhrten das Experiment sowohl mitλr als auch (teilweise) mit λg durch, bei einer Temperatur von ϑ ≈ 22 ◦C und einem Luftdruck vonp ≈ 1005 mbar. Die untersuchten Materialien hatten folgende Dicken: Plexiglas 1: 3, 9 mm, Plexiglas 2:5, 3 mm, Plexiglas 3: 4, 9 mm, Objekttrager: 0, 9 mm. Die Ergebnisse sind in Tabelle 2 dargestellt.


1 INTERFERENZ 1.1 Michelson-Interferometer

Stoff ϕ in ◦ N n Fehler n

Plexiglas 1, λr 5 15,5 1,4916 0,2410 63 1,4993 0,14 1,494815 142,5 1,4934 0,10

Plexiglas 2, λr 5 23 1,5624 0,2810 90 1,5389 0,15 1,544815 203 1,5332 0,11

Plexiglas 2, λg 5 26 1,5372 0,2810 102 1,5170 0,14

1,5271

Plexiglas 3, λr 5 20 1,5118 0,2510 80 1,5074 0,14

1,5096

Objekttrager, λr 5 3,7 1,5174 0,3710 15 1,5236 0,1920 61 1,5185 0,13

1,5175

25 96 1,5103 0,11

Objekttrager, λg 5 4,8 1,6128 0,4410 18,4 1,5678 0,2015 41 1,5512 0,16 1,561320 73 1,5412 0,1325 115 1,5337 0,12

Tabelle 2: Brechungsindizes der Festkorper

Zuerst einmal fallt auf, dass bei gleichen Ausgangsbedingungen aber verschiedenen Winkeln fur einenStoff teilweise erheblich voneinander abweichende Brechungsindizes ermittelt wurden. Diese mussten jaeigentlich innerhalb einer Messreihe gleich sein. Des weiteren sticht der große Fehler ins Auge, der, syste-matisch bedingt, selbst im hier besten Fall von 0,1 keine zufriedenstellende Charakterisierung des vor-liegenden Stoffes ermoglicht. Ein Vergleich mit Literaturwerten liefert fur Plexiglas Werte von n = 1, 49[Sto00] bis n = 1, 52 [Gre91] fur Licht der Natrium-D-Linie sowie einer Temperatur von ϑ = 20 ◦C.Fur Fensterglas erhalten wir n ≈ 1, 51 [Sto00]. Wir folgern: Da sowohl Plexiglas als auch FensterglasWerkstoffe mit nicht genau definiertem Brechungsindex sind (dies liegt in erster Linie an ihrer Hetero-genitat), ist es notwendig, andere Kriterien hinzuzuziehen, um den Stoff eindeutig zu charakterisieren.Die erreichbare Genauigkeit bei der Bestimmung des Brechungsindex von Festkorpern mittels Michelson-Interferometer ist fur wissenschaftliche Zwecke nicht zufriedenstellend. Wir haben alle Brechungsindizesder Festkorper mit einer Genauigkeit von ±0, 1 im Vergleich mit Literaturwerten bestimmt. Aus un-seren Messreihen lasst sich aber beispielsweise nicht erkennen, ob es sich bei den drei Plexiglasern umdie gleiche oder verschiedene Sorten handelt. Es konnte sich auch genauso gut um Kronglas oder NaClhandeln, jedenfalls was die Genauigkeit des ermittelten Wertes des Brechungsindex anbelangt. Vier dersechs Messreihen haben einigermaßen zufriedenstellende Ergebnisse geliefert, wobei bei den ubrigen zweiMessreihen einmal Licht der Wellenlange λ = 632, 8 nm umd einmal der Wellenlange λ = 543, 5 nmverwendet wurde, was einen systematischen Fehler aufgrund des verwendeten LASERs erst einmal inden Hintergrund drangt.

Fehlerquellen Neben moglichen Fehlern im parallelen Anbau der Platten an das Interferometer liefertedie Winkelmessung bedingt durch den Aufbau keine besonders genauen Werte Schließlich ist noch zubeachten, dass das Interferenzmuster mit zunehmendem Winkel sehr schnell wechselt, so dass man hierauch eine ”Zahlungenauigkeit“ von ±2 auf N = 100 annehmen kann.


7

1.2 Newtonsche Ringe 1 INTERFERENZ

1.2 Newtonsche Ringe

1.2.1 Aufgaben

Bei diesem Versuch wird der Brechungsindex von Luft und drei verschiedenen Flussigkeiten durch Mes-sung des Durchmessers von Newtonschen Ringen bestimmt.

1.2.2 Aufbau

Auf einer optischen Bank wurde eine Xenon-Lampe installiert, deren Lichtstrahl mit Hilfe eines Linsen-systems (zwei Plan-Konvex-Linsen und ein Astro-Objektiv) parallelisiert wurde. Dieses Licht fiel durcheine Blende und gegebenenfalls einen Filter auf einen Strahlteiler, der weitere Strahlverlauf ist in Abb. 3gezeigt. Die Ringe (Abb. 4) wurden dann mit Hilfe eines Mikroskops und einer CCD-Kamera beobachtet.

1.2.3 Grundlagen

Durch Interferenz an einer dunnen Schicht zwischen einer schwach gewolbten Linse und einer Planglas-platte entstehen die Newtonschen Ringe. R. Hook(1665) und I. Newton(1676) verwendeten erstmals dieseAnordnung.

� � � � � � � ��

MikroskopCCD−Kameraparallel

Licht

� � � � � � � ��

r

1 2

einfallendes

d +

d

d 0 0

Abbildung 3: Versuchsanordnung New-tonsche Ringe

Wir beobachteten das von der Glasplatte reflektierte Licht, da-durch mit minimaler Helligkeit im Zentrum (Abb. 4). Es istaber ebenso moglich, das durchgehende Licht zu betrachten,dann ist die Helligkeit im Zentrum maximal.Im reflektierenden Fall interferieren die an der Unterseite derLinse und an der Oberseite der Glasplatte refektierten Strah-len 1 und 2 (siehe Abb. 3). Die durch Brechung und Reflexionan der oberen Linsenflache entstehenden Richtungsanderungenwurden wegen des fast senkrechten Einfalls vernachlassigt. DieLuftschicht zwischen Linse und Glasplatte hat im Abstand rvom Beruhrungspunkt die Dicke d0 + d. Mit d0 wird beruck-sichtigt, dass keine ideale Beruhrung vorliegt, sondern der Ab-stand z.B. durch Staub vergroßert oder durch Deformation derLinse verkleinert werden kann.Abgesehen von der vernachlassigbaren Brechung der Strahlenan der Linse betragt der Gangunterschied der beiden interferie-renden Wellenzuge 2n(d0 + d). Die Reflexion des zweiten Wel-lenzuges erfolgt am optisch dichteren Medium, also muß nochein Gangunterschied von λ

2 addiert werden. Daraus ergibt sichein Gesamtgangunterschied von ∆x = 2n(d0 + d) + λ

2 und einePhasenverschiebung:

δ = 2π∆xλ

=4πnλ

(d0 + d) + π

Fur δ = 2πk, k = {1, 2, ..} ist die Interferenz konstruktiv, fur δ = π(2k − 1) destruktiv.Nach Pythagoras ist (mit Linsenradius R) R2 = (R− d)2 + r2, also r2 = 2Rd− d2. Da d << R ist, folgtfur die dunklen Ringe mit k = {1, 2, ...}

r2k =

(k − 1)n

Rλ− 2d0R

und fur die hellen Ringe

r2k =

k − 12

nRλ− 2d0R


1 INTERFERENZ 1.2 Newtonsche Ringe

1.2.4 Ergebnisse

Medium λ in nm Messwert n Tabellenwert Abweichung n/nLuft Abweichung d0 in nmin % in %

Luft 546 0,9691 1,0002775 3,12 1,0003 — -291578 0,9636 1,0002726 3,66 1,0003 — -313

Wasser 546 1,2768 1,334467 4,32 1,3119 1,69 -217578 1,2752 1,333415 4,36 1,3237 0,73 -227

Ethanol 546 1,306 1,3635 4,10 1,348 1,14 -207578 1,308 1,3622 3,98 1,3578 0,32 -222

Zucker- 546 1,3476 1,4062 4,15 1,391 1,07 -189losung 578 1,3272 1,4063 5,40 1,3777 2,01 -201

Tabelle 3: Ergebnisse

Abbildung 4: Newtonsche Ringe, obere Halfte beigrunem Licht, untere bei orangenem Licht. Im Zen-trum erkennt man die minimale Helligkeit durch de-struktive Interferenz.

Der Krummungsradius der Linse wurde mit einemSpharometer bestimmt (R=163 mm), durch dieVerwendung von Filtern ließ sich die Wellenlangedes einfallenden Lichts bestimmen.Alle verwendeten Vergleichswerte wurden [KWK96]entnommen, bis auf den Brechungsindex derZuckerlosung, der mit dem Abbe-Refraktometerbestimmt wurde (dieser Wert bezieht sich also je-weils auf die Natrium-D-Line).

1.2.5 Fehlerquellen

Bei den gemessenen Brechungsindizes ergab sicheine systematische Abweichung nach unten, waseiner Messung von zu großen Durchmessern ent-spricht. Eine mogliche Ursache ist eine fehlerhafteMessung des Maßstabs mit dem Objektmikrome-ter. Auch Linsenfehler und Ungenauigkeiten derFilter sind nicht auszuschließen. Um eine konstan-te systematische Abweichung zu korrigieren, ha-ben wir in der funften Spalte der Tabelle 3 dieWerte so normiert, dass die Messwerte fur Luft mit den Literaturwerten ubereinstimmen. Die Fehlerdazu sind in der sechsten Spalte angegeben. Wie man sieht, sind die Fehler deutlich reduziert, es bleibtaber immer noch eine gewisse systematische Abweichung.

1.2.6 Begrenzungen der Methode in Bezug auf die Brechzahlbestimmung

Der Versuchsaufbau ist recht zeitaufwendig durch die genaue Justierung, die durchgefuhrt werden muss,und außerdem sehr erschutterungsempfindlich. Die Messergebnisse sind bis auf Abweichungen von 5%genau, durch Normierung kann die Genauigkeit auch noch etwas verbessert werden. Mit der Ausmessungder Newtonschen Ringe kann nur der Brechungsindex von Gasen (bevorzugt Luft, alle anderen Gaseverkomplizieren den Versuchsaufbau enorm) und Flussigkeiten bestimmt werden, solange er sich nicht

2mit Abberefraktometer gemessener Vergleichswert3mit Abberefraktometer gemessener Vergleichswert


9

1.2 Newtonsche Ringe 1 INTERFERENZ

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

r2 / m

m�

2

Ordnung der Interferenzringe (k)

Messdaten LuftRegressionsgerade Luft

Messdaten WasserRegressionsgerade Wasser

Messdaten EthanolRegressionsgerade Ethanol

Messdaten ZuckerlösungRegressionsgerade Zuckerlösung

Abbildung 5: Radienquadrate uber Beugungsordnung aller gemessenen Stoffe bei 546 nm

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20 25

r2 / m

m�

2

Ordnung der Interferenzringe (k)

Messdaten grünes Licht (λ=546nm)Regressionsgerade grünes Licht

Messdaten oranges Licht (λ=577nm)Regressionsgerade oranges Licht

Abbildung 6: Radienquadrate uber Beugungsordnung bei Luft bei grunem (546 nm) bzw. orangenem(578 nm) Licht


2 REFRAKTOMETRIE

zu stark dem der verwendeten Linse annahert. Dann namlich werden die Kontraste immer schwacher,bis die Interferenzerscheinung ganz verschwindet. Die von uns verwendete Xenonlampe verbesserte dieAusmessung sehr, die anfangs benutzte Halogenlampe hatte nicht so viele Messdaten liefern konnen. ImAllgemeinen ist dieser Versuch nicht als die genaueste und schnellste Moglichkeit zu sehen, Brechungs-indizes auszumessen, aber er bietet eine gute Moglichkeit, Interferenzerscheinungen zu vermitteln undsichtbar zu machen.

2 Refraktometrie

2.1 Abbe-Refraktometer

2.1.1 Grundlagen

P1

2P

dunkelhell

Fer

nroh

r

Objektiv

Abbildung 7: Strah-lengang am Abbe-Refraktometer (Bre-chungserscheinungenwurden vernachlassigt)

Das auf dem Prinzip der Totalreflexion beruhende Abberefraktometer stellt einegenial einfache wie effiziente Methode zur Bestimmung der Brechungsindizesin erster Linie von Flussigkeiten, aber auch bestimmter Festkorper dar. Dasursprunglich von dem deutschen Physiker Ernst Abbe (1840–1905) entwickelteGerat hat folgenden Aufbau:Herzstuck des Abberefraktometers sind zwei rechtwinklige Prismen (Abb. 7: P1

und P1) hoher Brechzahl (in unserem Refraktometer betrug diese n = 1, 75, dielangsseitig aufeinandergelegt werden. Die Auflageflache des unteren Prismas istdabei rauh, die des oberen plan geschliffen, und zwischen diese beiden Prismenist die zu untersuchende Flussigkeit einzubringen (mechanische Vorrichtungengestatten das Auseinanderklappen sowie Drehen). Durch die Flache zwischenden kurzen Katheten der Seitendreiecke des unteren Prismas wird nun Lichteingestrahlt. Ein Teil des einfallenden Lichtes wird, da es sich bei dem Prismaum das optisch dichtere Medium handelt, total reflektiert (αg = arcsin nFl

nP).

Ein weiterer Teil wird in die Flussigkeit hineingebrochen, von dort gelangt esin das obere Prisma und verlasst es seinerseits durch die kleine Kathetenflache.Dieses dort austretende Licht wird nun durch ein Fernrohr beobachtet. DasFernrohr ist dabei drehbar gelagert und mit einer Winkelskala bzw. einer Skalafur den Brechungsindex (geeicht auf eine bestimmte Wellenlinie) oder auch einerKonzentrationsskala verbunden. Auf das Okular ist ein Messkreuz aufgebracht,dessen Schnittpunkt man mit der Hell-Dunkel-Grenze der Totalreflexion zurUbereinstimmung fuhren muss. Um Dispersionserscheinungen zu eliminieren,ist in den Strahlengang noch ein entsprechender Kompensator eingebaut.Unser Refraktometer war auf die Natrium-D-Linie geeicht, was den Vergleichmit Literaturwerten naturlich erleichtert. Desweiteren war ein Thermome-ter sowie eine Temperierungsvorrichtung (Warmetausch uber durchstromendeFlussigkeit) angebracht, mittels derer sich nach Wunsch auch die Temperatur-abhangigkeit des Brechungsindex ablesen laßt. Schließlich handelte es sich umein binokulares Modell, durch dessen rechtes Rohr man die Grenzlinie und par-allel dazu durch das linke direkt den Brechungsindex und die Konzentration(Doppelskala) ablesen konnte.

2.1.2 Flussigkeiten

Eichung Der Hersteller des Gerates bezeichnete die Genauigkeit mit ±2 der4. Dezimale. Dies ist naturlich eine sehr hohe Genauigkeit (um physikalischexakt zu sein sogar hoher, als man in herkommlichen Experimenten annehmen


11

2.1 Abbe-Refraktometer 2 REFRAKTOMETRIE

darf, da die Skalierung nur bis zur dritten Dezimale ging!), und um diese aufrechterhalten zu konnen,darf die Mechanik nicht beschadigt sein. Um die Herstellerangaben zu uberprufen, verwendeten wirreines H2O, dessen Brechungsindex wir bei ϑ = 22 ◦C bestimmten. Wir ermittelten nH2O = 1, 3328.In den Gerateangaben des Herstellers war zur Kalibrierung genau dieser Wert angegeben. Man siehtalso bereits jetzt, dass das Abberefraktometer ein uberaus exaktes Messinstrument fur Materialien mitBrechungsindex 1, 3 ≤ nD ≤ 1, 7 darstellt. Wir verzichten daher auf Fehlerangaben und fuhren nur denLiteratur-Referenzwert an.

Messergebnissse und Vergleich mit den Literaturwerten

Stoff ngemessen ϑ in ◦C nLit4/cgem ϑ in ◦C

C2H5OH (vergallt) 1, 3641 23, 8 — —C2H5OH (rein) 1, 3610 23, 8 1, 3617 20C3H8O3 (Glycerin) 1, 4547 23, 8 1, 4746 20Immersionsol (Zedernholzol) 1, 5023 24, 4 1, 5150 20Zuckerlosung I 1, 4056 24, 5 cI = 42, 95% —Zuckerlosung II 1, 4681 22 cI = 71, 21% —

Tabelle 4: Brechungsindizes Flussigkeiten beim Abberefraktometer

2.1.3 Festkorper

Durchfuhrung und Messergebnisse Fur die Messung des Brechungsindex von Festkorpern mittelsAbbe-Refraktometer ist ein etwas abgewandeltes Verfahren zu verwenden. Erst einmal ist es notwendig,dass der zu untersuchende, durchsichtige Korper mindestens eine plangeschliffene Flache hat, um Total-reflexion erzeugen zu konnen. Hat er sogar zwei plangeschliffene Flachen, die in einem Winkel ϕ ≤ 90◦

aufeinanderstehen, gibt es zwei Methoden, den Brechungsindex zu bestimmen: Einerseits mit streifendzur Grenzflache einfallendem und andererseits mit total reflektiertem Licht. Hierzu wird die Apparaturaufgeklappt und der Korper mit der plangeschliffenen Flache auf die plane Flache des Prismas des Re-fraktometers gelegt. Da sich dazwischen immer etwas Luft befindet, ist es notwendig, eine Flussigkeitmit hoherem Brechungsindex als dem des zu untersuchenden Korpers zwischen den beiden Flachen ein-zubringen (Immersionsol). Fur Festkorper mit hoheren Brechungsindizes ist es naturlich einigermaßenschwer, eine Flussigkeit mit noch hoherem Brechungsindex zu finden. Die (uns (noch) nicht zur Verfugungstehende) Flussigkeit α-Bromnaphtalin hat den sehr hohen Brechungsindex n = 1, 658, aber selbst da-mit konnte man beispielsweise kein schweres Flintglas identifizieren (n = 1, 8052). Uns stand nur dasbereits oben angegebene Zedernholzol zur Verfugung, so dass keine Hoffnung bestand, die Glasprismender anderen Experimente oder unseren Objekttrager untersuchen zu konnen.Bei diesem Experiment (wir arbeiteten ausschließlich mit total reflektiertem Licht) bekommt man nunzwei Grenzlinien zu sehen. Die eine ist die des Grenzwinkels der Totalreflektion am Immersionsol, unddie andere die entsprechende fur den Festkorper. Wenn man zuerst den Brechungsindex des Immersi-onsols bestimmt, ist es ein Leichtes, diese zu unterscheiden. Wir untersuchten die drei Plexiglaser ausdem Versuch mit dem Michelson-Interferometer sowie das Quarzprisma aus dem Prismenversuch. DieErgebnisse:

Ergebnisse Da es sich bei dem Plexiglas um einen recht heterogenen Stoff handelt, konnen wir hierdurchaus annehmen, dass die Grundmischung die gleiche war. Auch fur das Quarzprisma erhalten wir

4[Nie93], [dLB98]5[Sto00]6[dLB98]


2 REFRAKTOMETRIE 2.2 Brewsterwinkel

Stoff ngemessen ϑ in ◦C nLit ϑ in ◦C

Plexiglas 1 1, 4919 22, 9Plexiglas 2 1, 4918 22 ≈ 1, 495 20Plexiglas 3 1, 4913 22, 7Quarzglas 1, 4585 23 1, 45846 20

Tabelle 5: Brechungsindizes Festkorper beim Abberefraktometer

einen uberaus genauen Wert, wenn man die Temperaturabhangigkeit des Brechungsindex mitberucksich-tigt.Wir halten fest: Fur den Messbereich 1, 3 ≤ nD ≤ 1, 7 stellt das Abberefraktometer die am einfachsten zuhandhabende Messmethode dar und ist daruberhinaus bei geringem Aufwand uberaus exakt. Es konnenBrechungsindizes sowohl von Festkorpern (Vorhandensein eines optisch sehr dichten Immersionsols vor-ausgesetzt) und Flussigkeiten mit hoher Genauigkeit bestimmt werden. Der einzige Nachteil, der sichgegenuber anderen Refraktometern (die im Allgemeinen aber nicht so genau arbeiten) ergibt, ist dieausschließliche Normierung auf eine Wellenlange.

2.2 Brewsterwinkel

2.2.1 Grundlagen

Die Eigenschaften der Polarisation, der Brechung und der Reflexion des Lichtes konnen zur Messung desBrechungsindex ausgenutzt werden. Die Grundlagen bilden die Fresnelschen Formeln, die eine vollstandi-ge Theorie dieser Eigenschaften des Lichtes in isotropen Medien enthalten. Fresnel leitete die Formeln1821 aus seiner elastischen Lichttheorie her, ohne Kenntnis und Benutzung der elektromagnetischen Na-tur des Lichtes. Die Fresnelschen Formeln fanden spater ihre Begrundung in der elektromagnetischenTheorie nach Maxwell. Mit diesem Versuch wird die Intensitat des Lichtes, das an einer Grenzflachezweier durchsichtiger Medien reflektiert wird, untersucht. In Abhangigkeit vom Einfallswinkel und vonder Polarisationsrichtung wird nun der Intensitatsverlauf als Reflektionskoeffizient R (Verhaltnis derIntensitat der reflektierten und der eingestrahlten Welle) fur parallel polarisiertes Licht (R‖) und senk-recht polarisiertes Licht (R⊥) aufgenommen. Die beiden Fresnel-Formeln, die die Reflektion beschreiben,lauten:

R‖ =(n cosα− cosβn cosα+ cosβ

)2

R⊥ =(

cosα− n cosβcosα+ n cosβ

)2

Man erhalt zwei Kurven (Abb. 8), die drei Moglichkeiten der Berechnung des Brechungsindex des un-tersuchten Stoffes zulassen. Die Kurve fur R‖ nimmt mit zunehmendem Einfallswinkel zunachst ab undverschwindet fur einen bestimmten Winkel, den Brewster-Winkel. Fallt Licht auf die Grenzflache zweierdurchsichtiger Medien, so dass reflektierter und gebrochener Strahl aufeinander senkrecht stehen, enthaltdie reflektierte Welle keinen parallel zur Einfallsebene polarisierten Anteil. Dies ist das Brewstersche Ge-setz, ein Spezialfall der Fresnel-Formeln. Der Brewstersche Winkel ist abhangig vom Brechungsindex unddamit die erste Moglichkeit der Berechnung:

n = tanαB (4)

Fur diesen Brewster-Winkel hat der senkrechte Anteil jedoch noch einen nicht verschwindenden Reflekti-onskoeffizienten und ermoglicht so eine weitere Berechnung des Brechungsindex. Aus den Fresnel-Formeln


13

2.2 Brewsterwinkel 2 REFRAKTOMETRIE

0

01

1

0 30 60 90 0 30 60 90

Ref

lekt

ions

koef

fizie

nt

�

R||,

R⊥

Einfallswinkel α in °

Laser

Gla

s

Glühlampe

Ple

xigl

as

R||(α)R⊥(α)

Messwerte R||Messwerte R⊥

Abbildung 8: Messwerte und R‖(α)- bzw. R⊥(α)-Kurven fur Glas (obere Zeile) und Plexiglas (untereZeile), ermittelt mit Gluhlampe (linke Spalte) und Laser (rechte Spalte). Fur die Kurven wurden dieermittelten Brechungsindizes aus Methode 2 (5) genutzt (siehe Tabelle 6 ).

erhalt man:

n =

√1 +

√R‖

1−√R⊥

(5)

Die Kurve fur R⊥ ist fur alle 0◦ < α < 90◦ monoton steigend und R⊥ > R‖ außer an den Randwerten.Fur α = 0◦ sind R⊥ und R‖ gleich und aus den Fresnel-Formeln erhalt man:

n =1 +√R

1−√R

(6)

2.2.2 Durchfuhrung

Von einer Gluhlampe ausgesandtes Licht wird parallelisiert und durch einen Polarisationsfilter polari-siert. Es fallt in ein geschlossenes Gehause, dass das storende Streulicht der Umgebung abhalten soll.In dem Gehause ist eine Grenzflache drehbar gelagert. Durch eine Photodiode wird der Intensitatsver-lauf der reflektierten Strahlung in Abhangigkeit des Einfallswinkels aufgenommen. Zur Verbesserungdes Versuches wurde die Gluhlampe in einer weiteren Messreihe durch einen um seine optische Achsedrehbar gelagerten roten Laser ersetzt. Definiertere Polarisation und hohere Intensitat sollten bessereMessergebnisse ermoglichen.

2.2.3 Ergebnisse

Die Brechungsindizes fur alle drei Methoden sind in Tabelle 6 zusammengefasst.


2 REFRAKTOMETRIE 2.3 Dispersionskurve

Stoff Methode 1 (4) Methode 2 (5) Methode 3 (6) Durch- Messunge- LiteraturwertG L G L schnitt nauigkeit

Glas 1, 60 1, 50 1, 49 1, 49 1, 50 1, 52 0, 16 1, 517

Plexiglas 1, 60 1, 44 1, 47 1, 50 1, 46 1, 49 0, 16 1, 498- 1, 529

Tabelle 6: Ergebnisse (G: Gluhlampe, L: Laser)

Als Tendenz ist ein hoherer Brechungsindex von Glas zu Plexiglas zu erkennen. Die Methode (4) liefertdabei die ungenauesten Ergebnisse. Im Sinne einer Messgenauigkeit auf die zweite Kommastelle ließ sichkein zufriedenstellendes Ergebnis erzielen.

2.2.4 Fehlerquellen

Die Skaleneinteilung der Drehvorrichtung fur die Grenzflache von 1◦-Schritten und der daraus resultie-renden Unsicherheit im Drehen der Grenzflache hatte den großten Einfluss auf die Messergebnisse. Eineweitere Fehlerrechnung (in den Messapparaten, z.B. Photodiode) war durch diesen großen Fehler nichtsinnvoll. Besonderen Einfluss hatte dieser Fehler auf die Methode nach (4). Weiterhin ließen sich beliebigkleine Einfallswinkel ließen sich nicht messen, da dann die Photodiode den Strahleneingang blockierte.Die Approximation fur die Methode nach (6) wurde daher unsicherer. Generell ließ sich auch das storendeStreulicht der Umgebung nicht vollkommen ausloschen. Desweiteren konnte die Polarisation durch denPolarisationsfilter nicht zu 100 % gelingen. Selbst die Nutzung des Lasers als Lichtquelle vollstandigerPolarisation erhohte die Messgenauigkeit nicht und brachte zudem weitere Probleme. Das Laserlicht warperiodisch schwankend in seiner Intensitat und erzwang so eine weitere Aufnahme der Intensitat deseinfallenden Laserlichtes zur Normierung.

2.2.5 Begrenzungen des Versuches

Nur Materialien mit eindeutiger und genugend glatter Grenzflache lassen sich durch diese Methode hin-sichtlich des Brechungsindex untersuchen. Das fuhrt unter anderem zu Problemen bei dunnen Glasplatt-chen, da die zweite Grenzflache abgedunkelt (absorbierend) gemacht werden muss. Bei nicht genugenderAbsorptionsfahigkeit der zweiten Grenzschicht (auch diese ist wellenlangenabhangig) erhalt man sonsteine zweite Intensitatskurve mit unterschiedlichem Verlauf, die sich bei der Messaufnahme mit der erstenKurve uberlagern kann, da die transmittierte Lichtwelle an der hinteren Grenzschicht vom optisch dich-teren zum dunneren Medium gebrochen wird. Ware die Apparatur nicht nur horizontal, sondern auchvertikal drehbar gelagert, so ware die Messung an Grenzflachen von Flussigkeiten ebenfalls moglich. DieMessung von Brechungsindizes von Gasen ist wegen fehlender Grenzflache (Diffusion, etc.) nicht moglich.

2.3 Dispersionskurve

2.3.1 Grundlagen

Dispersion lasst sich mit Hilfe des elektromagnetischen Wellenmodells des Lichts verstehen. Fallt Lichtauf einen prismenformigen durchsichtigen Korper, so geht ein Teil des Lichtes durch das Prisma. Dabeiwird es wellenlangenabhangig von der ursprunglichen Ausbreitungsrichtung verschieden stark abgelenkt.Die Beziehung zwischen Einfalls- und Ausfallswinkel (α und β) an der Grenzflache zwischen den Medien

7[Sto00]8[Sto00]9[Gre91]


15

2.3 Dispersionskurve 2 REFRAKTOMETRIE

1 und 2 wird durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben:

sinαsinβ

=c1c2

=n2

n1(7)

Dabei ist n abhangig von der Wellenlange. Infolgedessen wird das Licht in ein Spektrum aufgefachert.Ursache fur die Dispersion ist die Wechselwirkung der einzelnen Atome des Mediums mit der elektroma-gnetischen Welle der Kreisfrequenz ω. Sie fuhrt zu einer gedampften Schwingung der Elektronen, wobeiResonanz bei der Eigenfrequenz ω0 stattfindet. Im Fall der Dispersion regt die einfallende Welle dieAtome an, welche nun eine Sekundarwelle mit zunehmender Phasenverschiebung und somit verkurzterWellenlange abstrahlen. Da die Resonanzamplitude proportional 1

ω20−ω2 ist, ergibt sich die Frequenz- und

wegen

c =λω

2π

Wellenlangenabhangigkeit der Brechzahl. Das elektrische Feld des Lichtes lenkt die Elektronen (An-zahl N im Volumen V ) des Mediums aus ihrer Gleichgewichtslage aus und erzeugt in jedem Atom einDipolmoment

~℘Atom = α~E

mit Polarisierbarkeit α. Die Polarisation des ganzen Mediums ist dann

~P =dNdV

~℘ = ε0dNdV

α~E = ε0(εr − 1) ~E (8)

Die Materialkonstante εr bezeichnet man u. a. als Dielektrizitatszahl. Naherungsweise gilt

n =√εrµr ≈

√εr

im Falle nicht allzu hoher Frequenzen fur Medien, deren Permeabilitat µr ≈ 1 ist, also fur alle nicht-ferromagnetischen Stoffe, z. B. Glaser.Dann erhalt man aus (8)

n2 − 1 =dNdV

α .

Um α abzuschatzen, verwendet man das Modell der erzwungenen Schwingung der Elektronen: Das Elek-tron (Ladung e) verhalte sich wie ein Federschwinger der Masse m und Federkonstante k. Seine Eigenfre-quenz sei ω0 =

√k/m und fur seine Auslenkung x sowie das daraus resultierende Dipolmoment ℘ = ex

gelte bei periodischer Anregung E(t) = Eeıωt die Schwingungsgleichung (erzwungene Schwingung ohneDampfung):

m∂2x

∂t2+ kx = −eEeıωt .

Mit der Losung fur x = eEm(ω2

0−ω2)gilt dann wegen ℘ = ex = αE

α =ex

E=

e2

m(ω20 − ω2)

.

Summiert man uber die Z Elektronen des Atoms auf (verschiedene ω0) und berucksichtigt dabei auchderen verschiedenen Oszillatorstarken fj , so dass

Z∑j=1

fj = 1 ,



β1

α1 α2

δmin

β2

ε

Abbildung 9: Symmetrischer Strahlengang im Prisma bei Minimalablenkung der Strahlen (Winkel δ0).Dabei sind α1 = α2 = α und β1 = β2 = β.

ergibt sich

n2 − 1 =dNdV

α =dNdV

(e2

m

) Z∑j=1

fjω2j,0 − ω2

.

Bei relativ dichten durchsichtigen Medien muss allerdings die gegenseitige Beeinflussung der atomaren Di-polfelder infolge der Oberflachenladungen berucksichtigt werden. D. h., betrachtet man eine Kugelschaleum das Atom, so erzeugt die ebenfalls durch ~Eaußen polarisierte Umgebung im Inneren ein zusatzlicheselektrisches Feld – das Lorentz-Feld – vom Betrag P/3ε0. Folglich ist (8) auf

~P = ε0dNdV

α

(~E +

~P

3ε0

)=

dNdV

ε0~Eα

1− dNdV

α3

(9)

zu erweitern – bei gleichbleibendem α.Daher erhalt man durch Koeffizientenvergleich aus (8) und (9)

~P = ε0(εr − 1) ~E =dNdV

ε0~Eα

1− dNdV

α3

und umgestellt

dNdV

α =3(εr − 1)εr + 2

=3(n2 − 1)n2 + 2

=dNdV

(e2

m

) Z∑j=1

fjω2j,0 − ω2

.

Somit ergibt sich3(n2 − 1)n2 + 2

∼ 1ω2

0 − ω2(10)

Die Brechzahl uber die Wellenlange aufgetragen ergibt die Dispersionskurve. Dabei findet man im Bereichdes sichtbaren Lichtes fur die meisten Glaser eine Zunahme der Brechzahl mit abnehmender Wellenlange.

2.3.2 Durchfuhrung

Im Falle des Prismas ergibt sich fur die Ein- und Ausfallswinkel (Abb. 9: α1, α2) auf den gegenuberlie-genden brechenden Seiten mit Hilfe des Snelliusschen Brechungsgesetzes (7)

sinα1 = n sinβ1 und sinα2 = n sinβ2 (11)


17

2.3 Dispersionskurve 2 REFRAKTOMETRIE

δmin

Einkreisgoniometermit Teilkreis

Zwischenbildebene(mit Fadenkreuz)

Lichtquelle

Fernrohr

teleskopisches System

Auge

Prisma

Abbildung 10: Aufbau eines Einkreisgoniometers (beim symmetrischen Strahlenverlauf durchs Prisma)

wobei β1, β2 die zugehorigen Innenwinkel bezeichnet. Mit ε als brechenden Winkel folgt wegen ε = β1+β2:

sinα2 = n sin(ε− β1)= n sin ε · cosβ1 − n cos ε · sinβ1

=√n2 − sin2 α1 sin ε− cos ε · sinα1

Die totale Ablenkung δ = α1 − β1 + α2 − β2 = α1 + α2 − ε zwischen ein- und ausfallendem Strahl istdann

δ = α1 + arcsin(√

n2 − sin2 α1 sin ε− cos ε · sinα1

)− ε

Im Falle eines symmetrischen Strahlendurchganges (α1 = α2 = α) ist δ minimal und es gilt

ε+ δmin

2= α und β =

ε

2Damit kann man in (11) einsetzen und erhalt die Beziehung

sin(ε+ δmin

2

)= n sin

ε

2.

Nach n umgestellt erhalt man eine Formel, mit der man n aus dem Brechungs- und dem Ablenkungswinkelbestimmen kann:

n =sin(ε+δmin

2

)sin ε

2

. (12)



1.58

1.585

1.59

1.595

1.6

1.605

1.61

1.615

400 450 500 550 600 650 700

Glas

1.54

1.545

1.55

1.555

1.56

1.565

1.57

400 450 500 550 600 650

NaCl

1.454

1.456

1.458

1.46

1.462

1.464

1.466

1.468

1.47

400 450 500 550 600 650

Quarz

Abbildung 11: Die Dispersionskurven der dreiuntersuchten Prismen mit Messwerten. In denDiagrammen ist der Brechungsindex n uberder Wellenlange λ (in nm) aufgetragen.

Die Versuchsdurchfuhrung gestaltet sich vergleichswei-se einfach. Auf einem Drehtisch, der mit einem Ein-kreisgoniometer (Abb. 10) versehen ist, befindet sichder Probekorper. Dieser hat die Form eines Prismas.Das Licht einer bekannten Quelle – in diesem Fall ei-ner Quecksilber- und einer Cadmiumlampe – wird durcheinen Spalt moglichst parallel auf die brechende Seitedes Prismas gelenkt. Mithilfe des Goniometers und einesdaran befestigten Fernrohrs mit Fadenkreuz wird nun furjede einzelne Spektrallinie der minimale Ablenkungswin-kel bestimmt. Dieser ist dadurch gekennzeichnet, dass erbei weiterer Drehung des Prismas scheinbar einen Um-kehrpunkt bei der Bewegung der Linien darstellt. Wogenau dieser Umkehrpunkt liegt, ist leider nur subjektivfeststellbar.Zur Identifizierung der Spektrallinien verwendet man ei-ne Tabelle mit Intensitatsangaben, die moglichst auf dasAuge bezogen sein sollten. Schließlich bestimmt manmit derselben Apparatur noch die Große des brechendenWinkels, indem man den Winkelabstand der reflektier-ten Spaltbilder misst.

2.3.3 Auswertung

Aus dem minimalen Ablenkungswinkel δmin und demBrechungswinkel ε des Prismas ergibt sich die zugehorigeBrechzahl (12). Tragt man diese in Abhangigkeit von derWellenlange der betrachteten Spektrallinie auf, so erhaltman die Dispersionskurven in Abbildung 11.Man sieht, dass die Dispersionskurven charakteristischfur jedes Material sind. Insbesondere ergibt sich fur alledrei Kurven der Verlauf aus der Relation (10).Zum Vergleich ermittelt man per Interpolation dieBrechzahl bei der Wellenlange der Natrim-D-Linie. Dazuwird eine Polynom-Regression mittels Computer durch-gefuhrt. Der Fehler wird mit Hilfe der Graphen und derMesswerte nach oben abgeschatzt (Literaturwerte aus[dLB98] dahinter):

Glas n = 1, 5878± 0, 0014Quarz n = 1, 4574± 0, 0009 (1,4584)NaCl n = 1, 5428± 0, 0019 (1,5442)

Dieses Verfahren ermoglicht zwar die Bestimmung derBrechzahl fur viele verschiedene Wellenlangen im sichtbaren Bereich, ist aber nur mit durchsichti-gen Festkorper-Prismen durchfuhrbar. Daruber hinaus erfordert die Trennung der Spektrallinien einemoglichst hohe Brechzahl des verwendeten Prismen-Korpers.


19

3 LICHTGESCHWINDIGKEIT

x∆

Abbildung 12: Schematischer Aufbau zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit

3 Lichtgeschwindigkeit

3.1 Aufgaben

Der Versuch besteht aus zwei Teilen:

• Mit Hilfe einer schnellgetakteten Leuchtdiode wird die Lichtgeschwindigkeit durch Bestimmung derLichtlaufzeit auf einer Strecke von ca. 2× 1, 50 m Lange direkt bestimmt.

• Zur Bestimmung der Brechzahl werden Wasser, Ethanol und CO2 in einer Kuvette in den Lichtweggebracht und die Lichtgeschwindigkeit in diesen Medien bestimmt.

3.2 Grundlagen

Alle klassische Methoden zur direkten terrestrischen Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit beruhen aufeinem (moglicherweise viele Kilometer langen) Lichtweg ∆l, den das Licht zweimal durchlauft, indem esvon einem Umlenkspiegel wieder in Richtung Sender und Empfanger, die dicht beieinander liegen, zuruck-reflektiert wird (Abb. 12). Zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit c muss dann noch das zugehorige(sehr kleine) Zeitintervall ∆t bestimmt werden, dann gilt

c =2∆l∆t

.

Diese Zeitmessung wurde historisch zum Beispiel durch ein schnell rotierendes Zahnrad (Fizeau) bzw.durch einen schnell rotierenden Spiegel (Foucault) bewerkstelligt. Foucault wies mit dieser Methode auchzum ersten Mal nach, dass die Lichtgeschwindigkeit in brechenden Medien gewohnlich kleiner ist als imVakuum bzw. in Luft.


3 LICHTGESCHWINDIGKEIT 3.3 Durchfuhrung

Bei diesem Versuch wurde ∆t durch die Phasenverschiebung von Sinussignalen bestimmt. Dazu wurdedas vom Sender (Leuchtdiode) emittierte Licht mit einer Sinusschwingung von 50, 1 MHz moduliert, unddas vom Empfanger (Photodiode) empfangene Signal mit der ursprunglichen Modulationsspannung aneinem Oszilloskop uberlagert. Um ein gangiges Oszilloskop nutzen zu konnen, wurden die Frequenzenvon einem Frequenzteiler jeweils um einen Faktor 1000 reduziert. Fur die Versuchsdurchfuhrung undRechnung spielt diese Frequenzteilung jedoch keine Rolle.Bringt man den Umlenkspiegel nun in zwei verschiedene Stellungen mit Abstand ∆l, so dass die Pha-senverschiebung zwischen diesen Lichtwegen genau π betragt, dann ist ∆t = π/ω = 1/2f , also

c =2∆l∆t

= 4∆lf,

wobei f die Modulationsfrequenz ist.Um die Lichtgeschwindigkeit (und damit den Brechungsindex) in einem Medium zu bestimmen, wird die1 m lange Kuvette mit Glasfenstern mit der Substanz, die naturlich flussig oder gasformig sein muss,befullt und in den Lichtweg gebracht. Entfernt man die Kuvette wieder, dann kann man durch verschiebendes Umlenkspiegels (also durch verlangern des Lichtweges) um ein ∆l den gleichen Phasenzustand wiemit der Kuvette erreichen. Die Zeit ∆t, die das Licht braucht, um diese 2∆l in Luft zuruckzulegen, istgenau die Zeit, die es fur die Strecke im Medium langer braucht als durch die Luft:

∆t =2∆lc

=lMedium

cMedium− lMedium

c=lMedium

c(n− 1),

wobei lMedium der im Medium zuruckgelegte Weg und cMedium = c/n die Lichtgeschwindigkeit im Mediumsowie n der Brechungsindex des Mediums sind. Man erhalt also fur den Brechungsindex

n =2∆l

lMedium+ 1

3.3 Durchfuhrung

Zuerst wurde der Versuchsaufbau justiert, das heißt, die Linsen vor Sender und Empfanger sowie dieUmkehrspiegel wurden so eingestellt, dass die uber das Oszilloskop gemessene Intensitat am Empfangermoglichst groß wurde. Diese Justage wurde außerdem an jedem Messpunkt wiederholt, da sie aufgrundvon Ungenauigkeiten des Lichtwegs an jedem Punkt auf der optischen Bank verschieden ist. Eine hoheStrahlungsintensitat oder ein empfindlicher Empfanger sind notig, um den Fehler bei der Phasenbe-stimmung moglichst klein zu halten (s. Abschnitt 3.5 ‘Fehlerquellen’). Fur die Messungen wurde danndas Oszilloskop auf x-y-Betrieb eingestellt, wobei an einem Kanal das Sender-, auf dem anderen dasEmpfangersignal lag.

• Fur den ersten Teil des Versuchs wurde der Umkehrspiegel nahe an den Sender/Empfanger ge-bracht. Dann wurden mittels des Phasendrehknopfes am Betriebsgerat die beiden Signale auf einePhasenverschiebung von 0 oder π gebracht, das heißt, auf dem Oszilloskopschirm war eine Geradezu sehen. Nun wurde der Umlenkspiegel auf der optischen Bank vom Empfanger weg verschoben.Dabei anderte sich das Bild auf dem Schirm zu einer Ellipse, und bei weiterer Verschiebung wiederzu einer Geraden. Genau an diesem Punkt entspricht die Verschiebungsdistanz einer Phasenver-schiebung von π. Der Verschiebungsabstand wurde zu ∆l = 149, 7 cm bestimmt.

• Nun wurde der Spiegel so weit vom Empfanger weg verschoben, dass die Kuvette auf zwei Halte-rungen zwischen Spiegel und Empfanger passte. Zuerst wurde eine mit Wasser, Ethanol bzw. CO2

gefullte Kuvette aufgelegt und die Phase wieder auf 0 bzw. π gebracht. Dann wurde die Kuvette ge-gen eine mit Luft gefullte Kuvette ausgetauscht, und der Spiegel nach hinten verschoben, bis wiederdie ursprungliche Phase eingestellt war. Auf diese Weise wurde die Verfalschung durch die Kunst-stofffenster der Kuvetten ausgeschaltet. Es ergab sich bei Wasser und Ethanol ein Wegunterschiedvon ∆l = 17, 5 cm, bei CO2 konnte keine Verschiebung gegenuber Luft gemessen werden.


21

3.4 Ergebnisse 4 VERGLEICH DER METHODEN

3.4 Ergebnisse

• Nach der obigen Formel ergibt sich fur ein ∆l = 149, 7 cm mit der fest eingestellten Frequenz vonf = 50, 1 MHz eine Lichtgeschwindigkeit von c = 2, 99999 108 m/s, bei einem Literaturwert voncLit = 2, 99792 108 m/s ist das ein relativer Fehler von ∆c/c = 0, 07 %, eine erstaunlich gute, wohlzufallige Ubereinstimmung.

• Dass die obige Genauigkeit bei der Lichtgeschwindigkeit ein reproduzierbares Ergebnis, also nichtnur eine zufallig gute Ubereinstimmung ist, scheint durch die Ergebnisse bei der Brechzahlbestim-mung eher unwahrscheinlich. Denn obwohl die Brechzahlen von Ethanol (1,36) und Wasser (1,33)um mehr als 2 % auseinanderliegen, war eine Phasenverschiebung zwischen beiden nicht nach-weisbar. Es ergibt sich bei einer Verschiebung von ∆l = 17, 5 cm und einer Kuvettenlange (ohneFenster) von lMedium = 98, 4 cm bei beiden eine Brechzahl von n = 1, 356 (ein Fehler von 2 %bei Wasser und 0,3 % bei Ethanol). Ebenso war eine von 1 verschiedene Brechzahl bei CO2 nichtnachzuweisen, was verstandlich ist, da die Brechzahldifferenz von Luft und CO2 weniger als 0,0002betragt.

3.5 Fehlerquellen

Die Hauptfehlerquelle bei dieser Methode besteht bei der genauen Bestimmung der Phase. Aufgrundeines internen Ubersprechens ist dem Empfangersignal eine Storspannung US uberlagert. Dadurch wirddie Lissajous-Figur auf dem Oszilloskopschirm nie eine echte Gerade, und man muss die geraden-nachsteForm erraten. Der maximale relative Fehler der Spannung und damit auch der gemessenen Lichtge-schwindigkeit ist US

2 USignal. Die Ungenauigkeit in der Langenbestimmung betragt dann einige Millimeter

bis zu 1 cm.Dies erklart auch teilweise den großeren Fehler der Brechzahlen, da die Flussigkeiten Licht zusatzlichabsorbieren und streuen, so dass das obige Verhaltnis noch ungunstiger wird.Dieser Fehler wird durch eine sorgfaltige Justage, auch bei den einzelnen Messpunkten, minimiert, dahierdurch die Signalamplitude USignal maximiert wird. Andere Fehlerquellen wie Frequenz- und Langen-maßstabsungenauigkeit sind demgegenuber vernachlassigbar.Eine Verkleinerung der Ungenauigkeit bei dieser Messung ist wohl nur durch eine Erhohung der Lichtin-tensitat und damit der Signalspannung moglich, da eine Verlangerung des Lichtweges (z.B. auf 3 m) zwardie relative Ungenauigkeit in der Langenbestimmung reduziert, aber dadurch gleichzeitig die Lichtinten-sitat am Empfanger reduziert wird, so dass die Storspannung den Fehler wieder erhoht.

3.6 Begrenzungen der Methode in Bezug auf die Brechzahlbestimmung

Mit dieser Methode lassen sich naturlich nur Brechzahlen von Stoffen bestimmen, die in ausreichen-der Menge vorhanden sind, da man einen Lichtlaufweg im Medium von mindestens 1 m braucht. FurFlussigkeiten und Gase ist das erforderliche Volumen etwa 2 Liter. Man sieht außerdem, dass man mitUnsicherheiten im Prozentbereich rechnen muss.Diese Methode ist also fur praktische Zwecke kaum geeignet, erlaubt allerdings im Gegensatz zu allenanderen Verfahren den direkten Nachweis des Zusammenhangs zwischen Brechzahl und Lichtgeschwin-digkeit im Medium.

4 Vergleich der Methoden

Zum Vergleich muss erst einmal klargestellt werden, was denn genau mit der jeweiligen Methode gemes-sen wurde (Wellenlangenabhangigkeit und Aggregatzustande), da diese Bedingungen schon eine großeEinschrankung der Methode darstellen konnen:


4 VERGLEICH DER METHODEN

Methode nutzbarer Aggregatzustand benutzte Wellenlange bzw. Wellenlangeund Geometrie des Stoffes der Eichung des Gerates λ in nm

Michelson gasformigfest (planparallele Platten)

632, 8 und 543, 5

Newton flussig 546 und 578flussigAbbefest (einseitig plan geschliffen)

589, 3

kontinuierlich (Gluhlampe)Brewster fest (einseitig plan geschliffen)632, 8 (Laser)

Quecksilber- undDispersion fest (prismenformig geschliffen)Cadmiumubergange

Lichtgeschwindigkeit flussig rote Halbleiterdiode

Hier werden Vor- und Nachteile einiger Methoden klar: Experimente mit nicht genau bestimmten Wel-lenlangen oder weißem Licht konnen keine so genauen Brenungsindizes liefern. Die erreichten Genauig-keiten (fur bekannte Stoffe) lassen sich kurz zusammenfassen:

Michelson-Interferometer Die Relation der Gase (CO2, Ar und N2) untereinander kann aufgelostwerden (∆n/n < 1h). Die verwendeten Feststoffe lassen keine Bewertung der Methode zu.

Newtonsche Ringe Die Flussigkeiten Wasser und Ethanol konen mit Abweichungen unter 5% unter-schieden werden.

Abbe-Refraktometer Der Brechungsindex der Flussigkeiten (Ethanol und Immersionsol) konnte mitAbweichungen kleiner als 1% bestimmt werden und die Messung mit der Dispersionsmethode(Quarzglas) ließ sich bestatigen.

Brewsterwinkel In erster Naherung bestatigen alle Messungen die Literaturwerte bzw. Messungenmittels des Abbe-Refraktometers oder des Michelson-Interferometers. Eine genauere Beurteilungder Genauigkeit dieser Methode scheint nicht moglich, da die Referenzmessungen wie auch dieLiteraturwerte zu den verwendeten Materialien zu hohe Schwankungen aufzeigen.

Dispersionskurve Zwar gelangen unserer Meinung nach mit dieser Methode gute Messwerte, dochsteht uns kein Mittel zur Bewertung der Qualitat der Ergebnisse zur Verfugung. Es mangelt aneiner Methode zur sinnvollen Fehlerabschatzung der verwendeten polynomialen Naherungen.

Lichtgeschwindigkeit Hier konnte zwar naherungsweise eine Auflosung zwischen Gasen und Flussig-keiten, nicht jedoch innerhalb dieser beiden Gruppen erzielt werden.

Die genausten Ergebnisse lieferten also die Methoden, die keinen zu komplizierten Aufbau erfordertenund keine zu hohen Anforderungen an die Qualitat des verwendeten Lichtes stellten.


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LITERATUR

Literatur

[dLB98] d’Ans, Jean; Lax, Ellen und Blachnik, R. (Herausgeber): Taschenbuch fur Chemiker undPhysiker. Band 3: anorganische Verbindungen und Materialien, Minerale. Springer Verlag,Heidelberg, 1998.

[Gre91] Grehn, Joachim (Herausgeber): Metzler Physik. J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung,Stuttgart, 1991.

[KWK96] Kohlrausch, Friedrich; Wagner, Siegfried und Kose, Volkmar (Herausgeber): Prak-tische Physik zum Gebrauch fur Unterricht, Forschung und Technik. Band 2. Teubner Verlag,Stuttgart, 1996.

[MS94] Mende, Dietmar und Simon, Gunter: Physik: Gleichungen und Tabellen. FachbuchverlagLeipzig, 1994.

[Nie93] Niedrig, Heinz (Herausgeber): Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik. Band3 (Optik). Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1993.

[Sto00] Stocker, Horst (Herausgeber): Taschenbuch der Physik: Formeln. Tabellen, Ubersichten.Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main, 2000.


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