1 WELLEN 2

1.1 Warum befaßt man sich mit Wellen? 2

1.2 Darstellung von Wellen 3

1.3 Räumliches und zeitliches Verhalten von Wellen: 4

1.4 Die Beschreibung der Wellenausbreitung. 5

1.5 Wellentypen 7

1.6 Klassifizierung (ebener) Wellen 8

1.7 Wichtige Form der periodischen Wellen: 12

1.8 Überlagerung von Wellen (Interferenz) 14

1.9 Überlagerung von harmonischen Wellen mit (leicht) verschiedenen Frequenzen 21

1.10 Dispersion von Wellen(paketen) 25

1.11 Beispiele physikalischer Wellen 27

1.12 Nun Anleihe an die Wärmelehre (vgl. später): 33

1.13 Energietransport in einer Welle 39

1.14 Wellen bei bewegten Quellen (Doppler-Effekt) 43

1.15 Wellenfronten 47

1.16 Interferenz und Beugung 50

2 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 64

2.1 Wellengleichung 64

2.2 Energietransport durch elektromagnetische Wellen 67

2.3 Elektromagnetische Wellen in Materie 742.3.1 Nichtleitendes Medium 742.3.2 Leitendes Medium 80

2.4 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen 81

2

1 Wellen

Definition einer Welle:

� Wellen ü

1.1 Warum

1) Wellen h

• Nac

- S

- R

- L

- K

• Verw

- M

- S

- P

• Opti

2) Speziell

WellenlehreBausteine d

Wichtige Sc

-

-

Eine Welle ist die Ausbreitung einer Anregung (Störung) im Raum.

kein Materialtransport, aber Energietransport

bertragen Energie von einem Ort zum anderen.

befaßt man sich mit Wellen?

aben viele technische Anwendungen z.B.

hrichtenübertragung durch

challwellen

adiowellen

ichtwellen

abel

endung der transportierten Energie (z.B. Aufheizung)

ikrowelle

onneneinstrahlung (auf der Erde)

lasmaheizung

k beruht ausschließlich auf Wellenphänomenen

für Physiker

ist besonders wichtig, da die gesamte Theorie des "Mikrokosmos“ d.h. derer Materie (Atome, Moleküle, Festkörper, ...) auf Wellenphänomenen beruht.

hlagworte in diesem Zusammenhang sind z. B. :

Welle – Teilchen – Dualismus

Quantenmechanik

3

Beispiele für Wellen:

• Seilwelle Auslenkung: ∆�x

Bild

• Torsionswelle (Wellenmaschine) Auslenkung: ∆ϕ

• „Stoßwelle“ (Magnetrollen) Auslenkung: ∆�z

• Oberflächenwelle auf Flüssigkeit Auslenkung: ∆�x

Bild

• Schallwelle lokale Druckänderung Auslenkung: ∆p

• Licht elektrisches Feld �

E Auslenkung: ∆�

E

magnetisches Feld �

B Auslenkung: ∆�

B

Prinzipielle Ursache der Wellenausbreitung:

1.2 Darstellung von Wellen

• wesentliche Parameter:

Zeit [t]

Kopplung zwischen örtlich getrennten physikalischen Systemen oder Teilchen.

allgemeine Bezeichnung für die Auslenkung: s, s�

4

Ort [ �r ]

• Beschreibung der Anregung:

skalar ( )t,rss�

= (z.B. Schall)

vektoriell ( )t,rss���

= (z.B. Seilwelle, Licht)

Wichtig:

s�

oder s beschreibt die Auslenkung aus einem Gleichgewichtszustand („Ruhelage“, ähnlichwie bei der Schwingung).

Im Gegensatz dazu: Schwingung ( )tss = oder ( )tss��

=

Beachte: Die lokale Darstellung einer Welle für einen festen Ort ist � �

r r= 0 .

Welle � Schwingung

( ) ( ) )t(sr,tst,rss 0 =→=��

Bild Lokale Betrachtung einer Wasserwelle.

Erinnerung:

Die Harmonische Schwingung ist eine periodische Bewegung mit der Kreisfrequenz ω, der

Eigenfrequenz ν ωπ

=2

und der Periodendauer T =1ν

.

s(t + T) = s(t)

1.3 Räumliches und zeitliches Verhalten von Wellen:

Wasserwelle

5

Bild Welle als Verschiebung eines Signals

• zum bestimmten Zeitpunkt t = 0 sei w durch Funktion f(z) beschrieben [ ]zezf −⋅=

( ) )z(f0t,zs ==

• nach der Zeit t soll die Funktion (ohne Formänderung) um z v t0 = ⋅ nach rechts ge-wandert sein.

� ( ) )tvz(ft,zs ⋅−= , falls die Geschwindigkeit v konstant ist.

[f(z – z0) ; z0 := Funktion von t]

� rechts laufende Welle ( ) )tvz(ft,zs ⋅−=

links laufende Welle ( ) )tvz(ft,zs ⋅+= Γ

im 3-Dimensionalen ( )w r t f z v t� � �

, ( )= ± ⋅

Analog kann auch das zeitliche Verhalten f(t) von s an festem Ort z = 0 vorgegeben wer-den.

( ) )t(ft,0zs == (Häufigster Fall der Wellenanregung)

� am Ort z wird die Funktion f an t zv0 = „retardiert1“

� ( ) ��

���

� −=−=vztf)tt(ft,zs 0

1.4 Die Beschreibung der Wellenausbreitung.

Differenziere s(z,t) (beschrieben durch ΓΓΓΓ) zweimal nach z bzw. t.

(Sei u z v t= − ⋅ .)

1 retardieren := verzögern (veraltet)

gültig für die Fortbewegung mit gleichmäßiger Geschwindigkeit (v t = const.)

6

dudf

tu

dudf

zs =

∂∂⋅=

∂∂ ( )

dudfv

tu

dudf

ts ⋅−=

∂∂⋅=

∂∂

²duf²d

tu

²duf²d

²zs² =

∂∂⋅=

∂∂ ( ) ( )

²duf²d²vv

²duf²dv

²ts² =−⋅⋅−=

∂∂

�

Dies ist die sogenannte "Wellengleichung“, gilt unabhängig von der Form von f.

Erweiterung auf drei Dimensionen

²ts²

²v1

²zs²

²ys²

²xs²s

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂=∆

Wellengleichung für den 3-dim. Fall. ∆ bezeichnet man als den Laplace – Operator.

Bemerkung:

• Alle Lösungen der Wellengleichung stellen Wellen dar, welche sich mit konstanterGeschwindigkeit v im Raum ausbreiten (nicht nur periodisch in Raum und Zeit, son-dern auch einzelne Störungen!).

• Durch „Randbedingungen“ (Vorgabe von ( )t,rs�

an bestimmten Orten und Zeiten)werden spezielle Lösungen selektiert.

• Physik des Systems � Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v von Sys-temparametern.

Definition:

- Phase einer Welle = bestimmter Wert der Auslenkung.

²ts²

²v1

²s²

∂∂=

∂∂

z Wellengleichung [WGL]

7

- Phasenfläche einer Welle = Fläche (im 3-Dimensionalen), auf der die Phase kon-stant ist. ( ) const. =t,rs

�

1.5 Wellentypen

1) Ebene Welle

Definition: Auslenkung s�

ist in Ebene ⊥ Fortpflanzungsrichtung konstant.

⇔ Phasenflächen sind Ebenen im Raum

Bild

( ) ( ))t,z(s)t,r(s

→→

=

keine Abhängigkeit von (x,y)

0y

sx

s )i()i( =∂∂

=∂∂

Ausbreitungsrichtung = z- Richtung

2) Kugelwelle

Definition: Ausbreitung einer Störung von einem festen Punkt ��

r = 0 aus gleichmäßig inalle Raumrichtungen.

8

Bild Wellenflächen einer Kugelwelle.

3) analog: Kreiswelle

(z.B. Oberflächenwelle in Flüssigkeiten)

Bemerkung:

• Nur eine ebene Welle besitzt eine eindeutige Ausbreitungsrichtung.

• 1) bis 3) sind Spezialfälle! Im allgemeinen hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeitvon der Raumrichtung ab.

1.6 Klassifizierung (ebener) Wellen

1) Transversale Wellen

Definition: ( ) 0t,rsdiv =��

Auslenkung s�

steht ⊥ auf der Ausbreitungsrichtung.

Beispiel:

Fortpflanzungsrichtung sei z- Achse

( ) ( ) ( ) ( )[ ]t,zs,t,zs,t,zst,rs zyx=��

( )�

�

0zs

ys

xssdiv z

0

y

0

x =∂∂+

∂∂

+∂∂=

==

�

; 0xsx =∂∂ und 0

ysy =∂∂

, da s�

nur von z abhängt.

� 0zsz =∂∂

� keine Ortsabhängigkeit des Vektors s�

.

⇔ sz = 0 (äquivalent)

⇔ Auslenkung s�

⊥ Ausbreitungsrichtung

Für kleine Bereiche kann die Kugelwelle alsebene Welle angenähert werden.

),(),()()(

trstrs→→

=�

; r r=�

(( )→

s hängt ausschließlich vom Abstandzum Ursprung ab.)

9

Beispiel: Seilwelle

Bild

Aus diesem Verhalten ergeben sich Polarisationseigenschaften.

10

2) longitudinale Welle

Definition: 0srot�

�

=

Auslenkung s�

|| Fortpflanzungsrichtung [FPR]

Beispiel:

( )�

���

0ys

xs

,xs

zs,

zs

yssrot

0

x

0

y

0

zxy

0

z =��

��

�

��

��

�

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂

−∂∂=

====

�

11

� 00,zs,

zs xy

�

=���

���

∂∂

∂∂

−

� 0zsy =∂∂

, 0zsx =∂∂

sx, sy unabhängig von �r (keine Welle)

sx = 0, sy = 0 (äquivalent)

( ) ( )t,zs00

t,rs

z���

�

�

���

�

�

=��

Die longitudinale Welle ist (per Definition) eine skalare Welle.

� keine Polarisationserscheinungen

Falls )t,r(s)(�

→

periodisch in �r für feste Zeit t.

Bild „periodische Welle“

� Periodizitätsintervall = „Wellenlänge“ λ

s(z,t) = s(z + λ,t)

Bild

12

Gleichbedeutend: Periodizität bezüglich t an einem festen Ort.

� „Periodendauer“ T

1.7 Wichtige Form der periodischen Wellen:

Harmonische Welle (analog zur harmonischen Schwingung).

genauer:

• an festem Ort �r0 ändert sich die Auslenkung ( )→

s periodisch (schwingt harmonisch) z.B.

( ) tcosst,rs 00 ω⋅=�

• bei fester Zeit t0 ändert sich die Auslenkung räumlich entlang der Ausbreitungsrichtungperiodisch z.B. Ausbreitung in z – Richtung

( ) ( )zkcosst,zs 00 ⋅⋅=

Bild

Daher:

k⋅λ = 2π „Wellenzahl, räumliches Pendant zur Kreisfrequenz ω π=

2T

.

Achtung: Dimension von k = cm-1

allgemein in beliebige Ausbreitungsrichtung

Definition:

f ist eine sin- oder cos- Funktion

k =2πλ

13

„Wellenvektor“ �

k mit �

k k= =2πλ

; �k kk

=�

= Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung

Bild

�k r k rk

⋅ =⋅�

� �

( )k z k k rk

k r⋅ → ⋅⋅�

���

�

��� = ⋅

�

�

�

�

� cos(k⋅z) � ( )cos�

�

k r⋅

� ( ) ( )rkcosst,rs 00

��

�

⋅⋅=

� Auslenkung )t,r(s�

an beliebigem Ort �r zu beliebiger Zeit t:

)tvr(f)]tvr(kcos[s)t,r(s 0 ⋅−=⋅−⋅⋅=����

��

�

v := Ausbreitungsgeschwindigkeit

� �

)trkcos(s)]tvkrkcos[s)t,r(s 0,vkvk

0 ⋅ω−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=⋅=⋅

���

��

�

��

�

v||k da

Gleichzeitig: vk

=ω “Phasengeschwindigkeit”

Bild

Allgemeiner: lasse “Startphase” ϕ zu

)trkcos(s)t,r(s 0 ϕ−⋅ω−⋅⋅=�

��

14

In Analogie zur harmonischen Schwingung ist auch eine andere Beschreibung möglich:

s(t) = a⋅sin (ωt) + b⋅cos(ωt) = s0⋅cos(ωt - ϕ)

= C⋅ei ωt + C*⋅e -i ωt

= Re {s0⋅e i (ωt - ϕ)} [e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ „Eulerformel“]

mit ²b²as0 += ; tg ba

ϕ = ; ( )bia21C ⋅−⋅= ; ( )bia

21C ⋅+⋅=∗

Dieselbe Beschreibung verwenden wir jetzt für die Welle

�( ) ( ) ( ){ }trkii

0trkitrki eesRee*CeC)t,r(s ω−ϕ−ω−−ω− ⋅⋅=⋅+⋅=

��

��

��

�

Mathematische Beschreibung einer ebenen harmonischen Welle, charakterisiert durchdenWellenvektor

�

k und die Kreisfrequenz ω.

Bild

1.8 Überlagerung von Wellen (Interferenz)

Wichtiges Prinzip der Wellenlehre: (Superposition)

(Lineare) wellen können sich ungestört überlagern durch reine Addition der Auslenkung amgleichen Ort zur gleichen Zeit.

(Bem.: Dies ist nicht notwendigerweise immer der Fall ! Bsp. Anschlag der Oszillatoren in der Wellenmaschine, gesamtenichtlineare Optik. Wir gehen hier jedoch von der Gültigkeit dieses Prinzips aus, nichtlineare Effekte seien vernachlässigt)

Erlaubt, komplizierte Wellenformen in einfache Elementarbestandteile zu zerlegen.

� Fourier - Zerlegung (genau wie bei Schwingungen)

Mathematisch: Satz von Fourier

für nicht lin. Systeme

15

• periodische Funktion f(t) = f(t + T) kann durch folgende Reihenentwicklung dargestelltwerden:

f(t) = ½ a0 + a1⋅cos ωt + b1⋅sin ωt + a2⋅cos 2ωt + b2⋅sin 2ωt + a3⋅cos 3ωt + b3⋅sin 3ωt...

( ) ( ){ }= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

∞

�12 0

1a a n t b n tn n

ncos sinω ω

{ }= ⋅ + ⋅ + ⋅∗ −

=−∞

∞

�12 0a C e C en

in tn

in t

n

ω ω C a ibn n n= −

= ⋅=−∞

∞

�12 C en

i t

n

ω

wobei ω π=

2T

; an, bn := Fourier – Koeffizienten

berechenbar durch

( )a T f t n t dtn

T

= ⋅ ⋅ ⋅�2

0

( ) cos ω (n ≥ 0) und ( )b T f t n t dtn

T

= ⋅ ⋅ ⋅�2

0

( ) sin ω

Bild

• nicht periodische Funktion f(t)

[Einzelimpuls auf einem Seil oder einer Wellenmaschine] kann formal beschrieben wer-den als:

16

Bild

T � ∞

� ω π=

2T

� 0

� ∆ω = (n + 1)⋅ω - nω = ω � dω

� Fourier – Reihe (Summe) � Integral (Fourier – Integral)

f t C enin t

n

( ) = ⋅=−∞

∞

�ω

� f t C e di t( ) ( )= ⋅ ⋅−∞

∞

�1

2πω ωω

mit C f t e dti t( ) ( )ω ω= ⋅−∞

∞

�

Fourier – Transformierte von f(t)

Fazit: Man kann jede beliebige Welle (oder Schwingung f(t) durch Überlagerung har-monischer (Schwingungen) darstellen.

Beispiel einer speziellen Überlagerung:

Stehende Wellen durch Überlagerung zweier harmonischer Wellenzüge gleicher Amp-litude und Wellenlänge, welche sich in entgegengesetzten Richtungen ausbreiten.

Definition:

)tcos()r(s)t,r(s 0 α−ω⋅=��

Auslenkung an allen Orten �r schwingen mit gleicher Frequenz und Phase, aber mitortsabhängiger Amplitude w r0( )

� .

Beispiele:

1) Überlagerung entgegengesetzt laufender harmonischer ebener Wellen mit gleichemω, λ, s0.

s1(z,t) = s0 ⋅ sin(ωt – kz)

s2(z,t) = s0 ⋅ sin(ωt + kz)

s(z,t) = s1(z,t) + s2(z,t)

= s0 ⋅ {sin(ωt – kz) + sin(ωt – kz)}

= s0 ⋅ {sin ωt cos kz – cos ωt sin kz + sin ωt cos kz + cos ωt sin kz}

17

= 2s0 cos kz � stehende Welle

Bild

charakteristisch für stehende Wellen:

• existieren Orte, an denen sich die Welle zu allen Zeiten auslöschen („Knoten“)

� kein Energietransport!

• Innerhalb einer Halbwelle schwingen alle Punkte mit gleicher Phase

• zwischen benachbarten Halbwellen besteht ein Phasenunterschied der Größe π

2) Eigenschwingungen (von Systemen endlicher Länge)

Beobachtung:

Bei endlicher Ausdehnung des Systems entlang der Ausbreitungsrichtung k�

wer-den Wellen i.a. an den Systemenden reflektiert. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:

- offenes Ende

am offenen Ende kann Auslenkung s beliebige Werte annehmen

� Phasengleichheit d. einlaufenden und reflektierten Welle

18

Bild

- festes Ende

(am festen Ende ist stets Auslenkung s = 0)

� Phasensprung um π bei der Reflexion

Bild

Anschaulich:

Im allgemeinen werden sich bei mehrfacher Reflexion einer Welle mit beliebigem λ diePhasen entlang z statistisch entlang verteilen.

� + s ist genauso wahrscheinlich wie – s � Auslöschung

Ausnahme:

Bei Reflexion an beiden Enden entsteht dieselbe Welle wieder.

19

Bild

Es entsteht eine stehende Welle, falls die Länge L zur Wellenlänge λ “paßt”.

Die mit diesen Wellen verbundenen Schwingungen nennt man “Eigenschwingungen” desSystems (“Eigen – Moden”)

Zur Realisierung solcher Eigenschwingungen gibt es im Prinzip mehrere Möglichkeiten:

a) beide Enden fest

Bild

Bild

λ1 = 2L;

νλ1

1 2= =

v vL

“Grundschwingung”

2 �� π

λ2 = L;

ν2 =vL

“1. Oberschwingung”

( )���

1

t2coszsins)t,z(s 11

0

ω

πν⋅���

���

⋅λ

⋅=

20

allgemein:

λnLn

=2

� kL

nnn

= = ⋅2πλ

π (n-1)-te Oberschwingung

nL2vv

nn ⋅=

λ=ν v := Ausbreitungsgeschwindigkeit

b) ein festes und ein loses Ende

Bild

Bild

allgemein:

λnL

n=

+4

2 1� ( )νn n

vL= + ⋅2 1

2

“

λ1 = 4L;

ν1 4=

vL

“Grundschwingung”

(n-1)-te Oberschwingung

λ2 = 4/3 L;

ν ν2 134

3= =vL

1. Oberschwingung”

21

c) 2 offene (lose) Enden

Bild

Bild

allgemein:

λnLn

=2

� ν νn n vL

n= ⋅ = ⋅2 1

Fazit:

Randbedingungen bestimmen die Eigenschwingungen (je nach System entweder Knotenoder bauch am Ende).

1.9 Überlagerung von harmonischen Wellen mit (leicht) verschiedenen Fre-quenzen

Sei s1 = s0 ⋅cos [(ω + ∆ω)⋅t – (k + ∆k)⋅z]

s2 = s0 ⋅sin [(ω - ∆ω)⋅t – (k - ∆k)⋅z]

Dann ist

α = ωt – kz und ∆α = ∆ωt – ∆kz

s(z,t) = s1(z,t) + s2(z,t)

= s0⋅cos(α + ∆α) + s0⋅cos(α - ∆α)

= 2s0⋅cos ∆α ⋅cos α

λ1 = 2L;

ν1 2=

vL

“Grundschwingung”

λ2 = 2/2 L;

ν ν2 12= =vL

“1. Oberschwingung”

22

� s(z,t) = 2s0⋅cos(∆ωt - ∆kz)⋅cos(ωt – kz)

mit cos(∆ωt - ∆kz) := Modulation und cos(ωt – kz) := Wellenzüge

Bild

Existieren 2 Ausbreitungsgeschwindigkeiten.

Wellenzüge:

ωt – kz = const. (z.B. π/2)

� v zt kPh = =

ω “Phasengeschwindigkeit”

Wellengruppen:

∆ωt – ∆kz = const.

� vkgr =

∆∆ω

Im Grenzfall sehr kleiner Unterschiede ∆ω, ∆k � 0

Fazit:

Es existieren zwei i. a. verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten

vPh beschreibt das Voranschreiten einer festen Phase einer einzelnen harmonischenWelle

kvPh

ω=

vgr beschreibt das Voranschreiten der Einhüllenden einer Wellengruppe aus mehrereneng benachbarter harmonischer Wellen

dkdvgrω=

Zusammenhang von vPh mit der Frequenz ν und der Wellenlänge λ:

23

ν⋅π=π=ω 2T2

λπ= 2k

TvPh

λ=ν⋅λ=

Warum beschäftigt man sich mit harmonischen Wellen?

Antwort:

Nach Fourier – Theorem läßt sich jede Welle als Superposition harmonischer Wellen dar-stellen!

1-Dimensional:

• harmonische Welle

sk(z,t) = s0(k)⋅ei(kz - ωt)

• Superposition

( )�� =⋅= ω−

kk

tkzi

k0 )t,z(se)k(s)t,z(s (s periodisch)

• Integraldarstellung

( )dke)k(C21)t,z(s t)k(kzi ω−

∞

∞−

⋅⋅π

= �

Dabei:

C(k) dk ist k- abhängige Amplitude, beschreibt den Beitrag der k- Welle zum Gesamtsignal.

Beispiel:

(zeitliche Schnappschüsse der Welle bei t = 0)

24

Bild

25

Wichtige Beziehung: ∆∆

kz

=1

Fazit:

• einzelne harmonische Wellen mit genau bestimmtem ω, �

k ist Sonderfall (� Ausbrei-tung mit vPh)

• alle anderen Wellenformen stellen Wellengruppen bzw. Wellenpakete dar (� Ausbrei-tung mit �vgr )

Verallgemeinerung auf 3-Dimensionen:

• ( ) ( )trki0k eks)t,r(s ω−⋅=

��

�

�� ebene harmonische Welle

• �=k

k )t,r(s)t,r(s�

�

��

Superposition (genügt, falls )t,r(s�

periodisch)

• ( )� � �∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ω−⋅= k³de)k(S)t,r(s trki�

���

Integraldarstellung

1.10 Dispersion von Wellen(paketen)

Bisher stets angenommen:

Ausbreitungsgeschwindigkeit vPh einer ebenen harmonischen Welle, unabhängig von Fre-quenz ω bzw. Wellenlänge λ.

� .constk=ω ⇔

kdkd ω=ω

� vgr = vPh

Alle Störungen (Wellengruppen) breiten sich mit der selben Geschwindigkeit aus.

Aber:

Beobachtung in vielen Systemen:

vPh = vPh(ω) bzw. vPh(k) bzw. vPh(λ)

Grund z.B., dass das System aus einzelnen Segmenten besteht mit der Ausdehnung a unddass λ in die Größenordnung von a kommt.

Bild

26

wegen k

vPhω= , Effekt formal beschreibbar durch ω(k) – Zusammenhang

Bild „Dispersionsrelation“

Folgerung für Wellenausbreitung:

Verschiedene Teilwellen der Fourierzerlegung laufen mit unterschiedlicher Phasenge-schwindigkeit

� Pulsform f(z) = s(z,t1) ändert sich bei der Ausbreitung

Bild

Bezeichnung: „Dispersion“ des Wellenpaketes

Definition:

Welle ohne Dispersion: vgr = vPh

normale Dispersion: vgr < vPh

anomale Dispersion: vgr > vPh

"Dispersionsrelation"

27

Wichtig:

♦ Dispersion ist eine Eigenschaft des Mediums, in welchem sich Wellen ausbreiten.

♦ nur dispersionsfreie Wellen erhalten die Form eines Wellenpaketes bei der Ausbreitung.

Verallgemeinerung auf 3-Dimensionen:

)k(�

ω=ω Dispersionsrelation

Definition:

Isotropes Medium, falls ( )ω ω ω= =( )� �

k k unabhängig von der Ausbreitungsrichtung �

k

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in 3-Dimensionen:

��

v kPh|| undk

vPh �

� ω= � k²k

vPh

�

�

�

⋅ω=

x

*gr k

v∂∂ω= ,

y

*gr k

v∂∂ω= ... � ω∇= kgrv

��

Beachte:

• �

�

v kPh|| , aber i.a. unterschiedliche Richtungen von �vgr und �vPh , �

k

• Energie eines Wellenpaketes breitet sich in Richtung �vgr aus!

1.11 Beispiele physikalischer Wellen

1. Seilwelle

Bild Auslenkung einer in z – Richtung vorgespannten Saite.

Gehe aus von konstanter Kraft F entlang der Saite (Spannung der Saite)

� Auslenkung von x an der Stelle z eine rücktreibende Kraft

28

( ) ( )zdzzx sinFsinFdF ϑ⋅−ϑ⋅= +

( ) ( ) ( )zz sinFdzsinFz

sinF ϑ⋅−ϑ⋅∂∂+ϑ⋅=

( )dzsinFz

ϑ⋅∂∂=

Für kleine Auslenkungen x ist ϑ � 1

�

zxtansin∂∂=ϑ≈ϑ≈ϑ und ds ≈ dz

� dz²zx²FdFx ∂

∂⋅=

Weiter:

Masse des Längenelementes ds:

dsd4

dm 2ss ⋅⋅π⋅ρ= ρs := Dichte der Saite

ds := Durchmesser der Saite

dzddsd4

dm sss

:

2ss

s

⋅µ≈⋅µ=⋅⋅π⋅ρ=

µ=�����

� Newton - Gleichung

xdF²tx²dm =

∂∂⋅

dz²zx²F

²tx²dzs ⋅

∂∂⋅=

∂∂⋅⋅µ

²zx²F

²tx²

s ∂∂⋅

µ=

∂∂

Wellengleichung

F vs

Phµ= 2

�s

PhFvµ

= Phasengeschwindigkeit einer Seil-

welle

Folgerungen:

• Phasengeschwindigkeit beeinflußbar durch

- Spannung der Saite

29

- Dichte bzw. Durchmesser der Saite

• Bei vorgegebener Saitenlänge L sind Eigenschwingungen festgelegt durch

nL2

n =λ �

L2

Fnv s

n

Phn

µ⋅

=λ

=ν

� Schwingungsfrequenz (= Tonhöhe eines Saiteninstruments) variierbar durch

- Saitenspannung ( )Fn ≈ν

„Stimmen des Instruments“

- Material und Dicke der Saite ��

�

�

��

�

�

µ≈ν

sn

1

- Saitenlänge ��

���

� ≈νL1

n

Frage:

Welche der Eigenschwingungen wird angeregt?

Antwort:

Abhängig von Randbedingungen

30

Bild

2. Elastische Wellen in Festkörpern

a) Longitudinalwellen

Betrachte (langen) Stab mit dem Querschnitt A

Bild

31

Schichten, die ⊥ zur z- Achse stehen, werden in z- Richtung um Auslenkung s aus-gelenkt (aus Ruhelage)

( ) dzzs)z(sdzzs ⋅∂∂+=+

Dadurch Änderung der Länge dz um dzzs)dz( ⋅

∂∂=∂

⇔ relative Längenänderung

( )z s

∂∂=∂=ε

dzdz

Dies erzeugt mechanische Zugspannung

σ = E⋅ε (Hooke’sches Gesetz)

E := Elastizitätsmodul

� Spannung an der Stelle z:

z

E)z( ��

���

�

∂∂⋅=σ

z s

Spannung an der Stelle z + dz:

�����

σ+ ∂

∂⋅+σ=��

���

��

���

∂∂+�

��

∂∂⋅=�

��

∂∂⋅=+σ

dzdzz

dzs²E)z(dzs²EE)dzz(z² z² z

s z s

� gesamte rücktreibende Kraft:

dzs²EAdAdFz² ∂

∂⋅⋅=σ⋅=

Newton – Gleichung:

dFs²dm =∂∂⋅

t²

dzs²EAs²dzAz² t² ∂

∂⋅⋅=∂∂⋅⋅⋅ρ

z² t² ∂∂⋅

ρ=

∂∂ s²Es² Wellengleichung

Phasengeschwindigkeit ρ

= EvPh entspricht der Schallgeschwindigkeit im Festkör-

per.

b) Transversalwellen

32

Herleitung analog zur Longitudinalwelle, jetzt jedoch Auslenkung s ⊥ z- Richtung

Bild

zs z

s

∂∂=∂

∂

=−+≈αdz

dz

dz)z(s)dzz(s

� Schubspannung

τ = G⋅α Hooke’sches Gesetz

G := Schub-, Scher-, Torsionsmodul

Weitere Behandlung wie für Longitudinalwellen �

ρ= GvPh

Phasengeschwindigkeit einer Transversalwelle im Festkörper

Beispiel:

Bild

33

3. Schallwellen in Gasen

Entscheidender Unterschied zum Festkörper:

Keine Scherkraft in Gasen ⇔ G = 0

Daher ausschließlich Longitudinalwellen möglich!

Betrachte wieder das Element dϑ und ∂(dϑ)

Bild

Volumenänderung durch Auslenkung s(z) und s(z + dz)

( ) dVdzAdVz s

z s

∂∂=

∂∂⋅=∂

Diese Volumenänderung bewirkt Druckänderung um dp.

1.12 Nun Anleihe an die Wärmelehre (vgl. später):

Verknüpfung von Druck, Temperatur und Volumen (Zustandsgrößen) eines Gasesdurch „Zustandsgleichung“.

Hier anzuwenden: „ Adiabatische Zustandsänderung“, bei welcher kein Wärmeaus-tausch zwischen Gasvolumen (dV) und Umgebung erfolgt.

p⋅Vκ = const. „Adiabatengleichung“

κ := Adiabaten – Koeffizient = Cp/Cv, abhängig von molekularenEigenschaften des Gases

35=κ für atomare Gase

57=κ für Luft (2-atomige Moleküle)

damit wird

34

( ) ( ) ( )V1p

VVp

V.const

dVdp

V.constp 11 ⋅⋅κ−=⋅⋅κ−=⋅κ−=== −κ

κ

−κκ

�

VdVpdp ⋅⋅κ−=

Hier: Änderung d. Volumens dV und ∂(dV)

�( )

z s

∂∂⋅⋅κ−=∂⋅⋅κ−= p

dVdVpdp

Diese Druckänderung (z- abhängig!) führt zu Druckkräften

( ) ( )zdpAzdF ⋅−=

( ) ( ) ( )���

���

∂∂+⋅−=+⋅−=+ dz

zdp)z(dpAdzzdpAdzzdF

und damit zur rücktreibenden Gesamtkraft

( ) ( ) ( ) dzs²pAzdFdzzdFdFz²∂

∂⋅⋅κ−⋅−=−+=

Nun wieder Newton – Gleichung

�� ��� ��

�����

dF

dzs²pAs²

dmdzA

z² t² ∂∂⋅⋅κ⋅=

∂∂⋅⋅⋅ρ

�

z² t² ∂∂⋅

ρ⋅κ=

∂∂ s²ps² Wellengleichung

Schallgeschwindigkeit in Gasen = Phasengeschwindigkeit

ρ⋅κ== pvc Ph (Laplace – Beziehung)

Diskussion:

• Schallgeschwindigkeit scheint mit abnehmendem Gasdruck zu sinken!

Aber: Gasdruck ρ ∝ p (intuitiv klar)

Quantitative Diskussion wieder durch Anleihe an Thermodynamik (kinetische Gas-theorie):

ρ =⋅

⋅p

k TM für ideales Gas

35

M := Masse eines Gasmoleküls (-atoms)

T := absolute Temperatur

k := Boltzmann – Konstante (1,38⋅10-23 J/K)

Damit wird

MTkc ⋅⋅κ= nur abhängig von T und M!

• Schallausbreitung ist offenbar an Gasteilchen als schwingendes Medium gebunden

� keine Schallausbreitung in Vakuum!

Akustik

Beispiel: Tonerzeugung (in der Musik)

Saiteninstrument = stehende Seilwelle

Bild

Blasinstrumente = stehende Schallwelle in einer Gassäule

musikalisch

- Ton: reine harmonische Schwingung

- Klang: periodische, aber nicht harmonische Schwingung, zerlegbar inGrund- und Oberschwingungen

- Geräusch: unperiodische Schwingung

Beispiel eines Tonerzeugers � Orgelpfeife

- Tonhöhe (Frequenz des Grundtons) wird eingestellt über Resonatorlänge („Stimmung“)

36

( )L4c1n2n ⋅+=ν

- aber: Stimmung abhängig von der Gaszusammensetzung und -temperatur

Wichtig in der Musik:

� Tonintervalle = Frequenzverhältnisse zweier Töne ν2/ν1

Aus dem subjektiven Hörempfinden selektieren wir als „wohlklingend“ solche rationalenIntervalle

νν

2

1

2

1=

nn

mit möglichst kleinen nat. Zahlen n2 und n1

Beispiel:

ν2/ν1 Bezeichnung

2 Oktave

3/2 Quinte

4/3 Quart

5/4 Terz (gr.)

6/5 Terz (kl.)

9/8 Sekunde

� Tonleitern = Tonfolge beginnend mit beliebigem Grundton ν0 und endet bei 2ν0

Beispiel: „Dur – Tonleiter“

ν2/ν1 Bezeichnung Beispiel ν [Hz]1 do c 264

9/8 re d 2975/4 mi e 3304/3 fa f 3523/2 so g 3965/3 la a 440 „Kammerton“15/8 ti h 495

2 do c 528

37

4. Longitudinalwellen auf Federkette

Bild

Wichtig:

diskretes Medium, d.h. z = n⋅a

� s(z,t) = s(n⋅a,t) = sn(t)

Kraft auf Masse n bei z = n⋅a:

Fn = -D(sn – sn-1) + D(sn+1 – sn)

Newton – Gleichung:

t²∂∂⋅= n

ns²mF

� { })t(s)t(s2)t(smDs)t(s²

1nn1nnn

−+ +−⋅==∂

∂��

t²

Bewegungsgleichung, Wellengleichung

Betrachte als Lösungsansatz die harmonischen Wellen:

( ) ( )knati0

kzti0n eses)t(s −ω−ω ⋅=⋅=

einsetzen liefert:

{ } )t(se2emD)t(s² n

ikaikan ⋅+−⋅=⋅ω− +−

Dies muß gelten für alle Zeiten t � Vorfaktoren von sn(t) müssen gleich sein, mit

)kacos(2

ee ikaika

=+ −

(Euler – Gleichung)

38

ergeben sich

{ })kacos(22mD² ⋅−⋅=ω

Weiter:

( )α−⋅=��

���

� α cos121

2²sin (siehe Formelsammlung)

� ��

���

�⋅⋅=ω2

ka²sinmD4²

( ) ��

���

�⋅⋅=ω

ω

2kasin

mD2k

max

���

Dispersionsrelation!

Bild

Resultierende Wellengeschwindigkeit:

2ak2aksin

2a

k2aksin

k)k(v maxmaxPh ⋅

⋅

⋅ω⋅=

⋅

⋅ω=ω=

Gruppengeschwindigkeit:

��

���

� ⋅⋅⋅ω=ω=2

akcos2a

dkdv maxgr

Beachte:

vgr � 0 für k � kmax = π/a

� kein Energietransport für k = kmax, da z.B. an jedem Ort z = n⋅a ein Nulldurchgang

k aa

max ⋅ = � =2 2

π π kmax

39

Grenzübergang zum kontinuierlichen Medium durch a � 0 (λ >> a).

Damit wird:

k a⋅<<

21 für alle k

� sin ~k a k a⋅�

��

�

�� −

⋅2 2

� k

Phvgrv2a~)k( max ⋅

=

⋅ω−ω�����

linear

• Dispersion rührt ausschließlich von der Diskretisierung des Mediums her!

� Auch elastische Longitudinalwelle im Festkörper wird Dispersion zeigen, wenn λ indie Größenordnung des Atomabstandes kommt.

("Phononen" im Festkörper)

• Minimale Wellenlänge ist λmin = 2⋅a

(Schwingungsknoten an jeder Position z = n⋅a)

Grund:

Medium kann zwischen einer Welle mit k = k0

(0 ≤ k0 ≤ π/a) und Welle mit k = π/a + k0 nicht unterscheiden.

1.13 Energietransport in einer Welle

Beispiel 1: „elastische Longitudinalwelle“

grPh vEv =ρ

= (keine Dispersion)

s(z,t) = Auslenkung eines Massenelementes aus der Ruhelage

t)t,z(s)t,z(s)t,z(v

∂∂== � = Momentane Geschwindigkeit d. Massenelements

� kinetische Energie des Massenelements

2

kin t)t,z(sdm

21²sdm

21dE �

�

���

�

∂∂⋅⋅=⋅⋅=

�

� kinetische Energiedichte = kinetische Energie pro Volumeneinheit

40

²s21

dV

)t,z(tsdV

21

)t,z(dV

dE

2

kin �⋅ρ⋅=��

���

�

∂∂⋅⋅ρ⋅

= dm = ρ⋅dV

Weiter:

Elastische (potentielle) Energie durch Dehnung bzw. Stauchung

Betrachte wieder Längenänderung eines inf. Elements dz um ε⋅dz � zs∂∂=ε

Spannung

AFEE =

∂∂⋅=ε⋅=σ

z s

Potentielle Energie durch Arbeit, um von dz aus dz(1 + ε) zu stauchen / dehnen.

�ε

ε⋅⋅σ⋅==0

pot 'dAdzdWdE

�ε

ε⋅⋅ε⋅=0

'dA'Edz

²21EAdz ε⋅⋅⋅⋅=

dzAE21 2

��

���

�

∂∂⋅⋅⋅=

z s

� Elastische (pot.) Energiedichte

2pot E

21

dzAdW

dVdE

��

���

�

∂∂⋅⋅=

⋅=

z s

Betrachte ebene harmonische Wellen z.B.

s(z,t)=s0⋅cos(k⋅z - ω⋅t)

als Lösung der Wellengleichung.

)tkzsin(s)t,z(s 0 ω−⋅⋅ω=�

( )tkzsinsk)t,z( 0 ω−⋅⋅−=∂∂

ts

� über eine Schwingungsperiode ��

���

�

ωπ= 2T gemittelte Energiedichte

41

� ��

���

�=��

�

�T

0

kinkin dt)t,z(dV

dET1

dVdE

( )� ω−⋅⋅ωρ⋅=T

0 x

20 dttkz²sins²

21

T1

����� ω−= dxdt

���

��� ⋅ω⋅⋅ρ⋅= 2

02 s

21

21

20s²

41 ⋅ω⋅ρ⋅=

( ) 20

20

T

0

20

pot s²kE41s²kE

21dttkzsins²k

T1E

21

dVdE

⋅⋅⋅=���

��� ⋅⋅⋅=ω−⋅⋅⋅⋅=��

�

�

�� 2

1

Mit ρ

==ω Ev²k² 2

Ph ergibt sich

���

����

�=⋅⋅⋅=⋅ω⋅

ω⋅⋅=�

�

���

�

dVE

s²kE41s²

²²kE

41

dVdE pot2

020

kin

(mittlere kinetische und potentielle Energiedichte ist gleich und unabhängig von z)

Gesamte Energiedichte einer harmonischen Welle:

20

20

potkinE s²

21s²kE

21

dVE

dVdE

⋅ω⋅ρ⋅=⋅⋅⋅=���

����

�+�

�

���

�=ρ

Definition:

„Intensität“ oder „Energieflußdichte“ einer harmonischen Welle = Energie, die pro Zeitein-heit durch eine zur Ausbreitungsrichtung ⊥ Flächeneinheit transportiert wird.

Bild

42

Da Energie einer ebenen harmonischen Welle mit der Phasengeschwindigkeit vPh transpor-tiert wird gilt:

ρ⋅= PhvI

dtA

dtvA PhE

⋅⋅⋅⋅ρ=

20Ph s²v

21 ⋅ω⋅ρ⋅⋅=

20Ph s²kEv

21I ⋅⋅⋅⋅=

Beachte:

• ρE und I sind proportional zum Quadrat der Amplitude und Frequenz bzw. Wellen-zahl

• Bei Superposition zweier harmonischer Wellen dürfen ρE und I nicht addiert werden!(Nur die Auslenkung s!)

• Einheiten:

[ρE] = J/m³

[I] = J/m² s = W/m²

Beispiel 2: Schallwelle

Wieder:

s(z,t) = s0⋅cos(kz - ωt)

( )tkz2sin²s21²s

21

dVdE 2

0kin ω−⋅ω⋅⋅ρ⋅=⋅ρ⋅= �

� ���

����

�=⋅ω⋅ρ=�

�

���

�

dVE

s²41

dVdE pot2

0kin

� 20E s²

21 ⋅ω⋅ρ⋅=ρ

� 20Ph s²

21v ⋅ω⋅ρ⋅⋅=I

Beachte:

I = I(ω), d.h. für kleine Frequenzen muß die Amplitude s0 größer werden (für gleiche In-tensität)

43

menschliches Ohr:

Imin = 10-12 W/m² (Hörschwelle bei ν = 1 kHz)

Imax = 10 W/m² (Schmerzgrenze)

Wichtig:

Lautstärkeempfindung wächst proportional zum Logarithmus der Schallintensität

� „Lautstärke“

)()(log10Lmin

νν⋅⋅=II

Einheit:

[L] := „Phon“ bzw. „Dezibel“ (dB)

Beispiel:

Verdopplung der Schallintensität = Erhöhung um 3 dB

Beispiele für Phonzahlen einiger Schallerzeuger

leises flüstern 10 dB

deutliche Sprache 50 dB

Preßlufthammer (in 1m Abstand) 130 dB

Konzert der Popgruppe Motörhead 136 dB

1.14 Wellen bei bewegten Quellen (Doppler-Effekt)

Bisher wurde stets angenommen, daß Erzeugung einer Welle durch zeitliche Änderung derAusdehnung )t,r(s

�

am festen Ort 0r�

.erfolgt

Beispiel:

Martinshorn in Bewegung (bewegte Schallquelle)

Wichtig für die Diskussion: „Beobachtung“ einer Welle.

44

Meist:

„Beobachter sitzt am festen Ort � ′r und beobachtet die Schwingung )t,r(s ′�

Unterscheide 2 Fälle:

1) Quelle in Ruhe, Beobachter bewegt sich mit v relativ zur Quelle.

Quelle sende Welle aus mit Frequenz ν0

• ruhender Beobachter sieht während Periodendauer T00

1=ν

genau einen Wellenzug

• bewegter Beobachter sieht λ⋅ν

=∆ 0Tn zusätzliche Wellenzüge während T0

Bild

� wahrgenommene Schwingungsfrequenz

ν ν νλ

νλ

= + = +⋅⋅

= +00

00

0 00

0

∆nT

v TT

v

mit λ0⋅ν0 = vPh (z.B. Schallgeschwindigkeit)

ν ν ν ν= + ⋅ = ±�

��

�

��0 0 0 1

vv

vvPh Ph

„+“ : Beobachter bewegt sich auf die Quelle zu

„-„ : Beobachter bewegt sich von der Quelle weg

45

2) Beobachter in Ruhe, Quelle bewegt sich mit v relativ zum Beobachter

Bild

Beobachter registriert Welle mit

�

λ νλ

= ⋅ −�

��

�

��

v vv

Ph

Ph0

0

1

zugehörige Frequenz

ν λ=vPh

� ν ν=±

�

�

����

�

�

����

01

1v

vPh

„+“ : Quelle bewegt sich auf den Beobachter zu

„-„ : Quelle bewegt sich vom Beobachter weg

Beobachte:

• Fälle 1) und 2) sind für Schallwellen nicht äquivalent!

(Grund: Schallwellen sind an schwingungsfähiges Medium gebunden, ansonsten z.B. fLichtwellen / vgl. später)

• Falls beide (Quellen und Beobachter) bewegt mit vQ bzw. vB

46

Bild

ν ν= ⋅−

−0

1

1

vvvv

B

Ph

Q

Ph

(= ν0 für vQ = vB!)

Wichtig:

ν/ν0 kann nicht einfach durch Relativgeschwindigkeit (vQ - vB) ausgedrückt werden!

• Bei beliebiger Richtung der Geschwindigkeiten

Bild

Betrachte die Projektion der Geschwindigkeit auf die Verbindungsachse QB (Näherungfür kleine v, d.h. v⋅T0 << r)

47

ν ν

β

β νββ= ⋅

−⋅

−⋅ = ⋅

+ ⋅− ⋅0 0

1

1

vv

vv

v vv v

B

Ph

Q

Ph

Ph B

Ph Q

cos

coscoscos

1.15 Wellenfronten

Betrachte punktförmige Schallquelle, die sich mit der Geschwindigkeit v in z- Richtung be-wegt und dabei Kugelwellen der Frequenz ν0 aussendet.

Bild

Wellenlänge, die der Beobachter B wahrnimmt:

λν

α= ⋅ − ⋅�

��

�

��

c vc0

1 cos c = vPh

(Näherung für kleine v, d.h. v⋅sin α << c)

Frage: Was geschieht für v � c?

Für α = 0: λ νv cc v

c→ = ⋅ −�

��

�

�� →

01 0 !

48

Bild

Alle während der bisherigen Bewegung ausgesendeten Schallwellen überlagern sich inPhase am jeweiligen Ort der Schallerzeugers

� „Kopfwelle“ = nicht harmonische Stoßfront mit großer Druckamplitude

Effekt:

Die Kopfwelle hemmt die Bewegung des Schallerzeugers („Schallmauer“)

49

Für v > c:

Bild

sin = nn v T

n

n v0

0

0

0

γ λ λ

λ

⋅⋅ ⋅

=⋅

⋅ ⋅=

c

cv

Die Stoßfront bildet einen Kegel mit dem Öffnungswinkel γ.

„Mach’scher Kegel“ (v/c := Machzahl)

(verantwortlich für die Druckwelle beim Überfliegen eines Flugzeuges mit Überschallge-schwindigkeit).

Bild

50

1.16 Interferenz und Beugung

Erinnerung:

Überlagerung (Superposition) von Wellen durch Addition der Auslenkungen ( )s r t1�

, , ( )s r t2�

,

( ) ( ) ( )s r t s r t s r t� � �

, , ,= +1 2

Früher betrachtet:

s1, s2 harmonische Wellen mit (leicht) unterschiedlichen Frequenzen

Jetzt:

Betrachte die Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Frequenz, aber unterschiedlicherPhase

( )�

���

�

�

���

�

�

ω−ϕ

⋅= t

1

kzcosst,zs )1(01 ( )

����

�

�

����

�

�

ω−ϕ

ϕ∆+⋅= t

2

kzcosst,zs )2(02

�����

s = s1 + s2

( ) ( )tcosstcoss 2)2(

01)1(

0 ω−ϕ⋅+ω−ϕ⋅=

( ) ( ) tsinsinssinstcoscosscoss 2)2(

01)1(

02)2(

01)1(

0 ω⋅ϕ⋅+ϕ⋅+ω⋅ϕ⋅+ϕ⋅=

( ) [ ])z(tcoszs0 ϕ−ω⋅=

mit

�

21

21

)2(0

)1(0

)2(0

)1(00 cosss2sss

22

��

�

�

��

�

�

ϕ−ϕϕ∆⋅⋅⋅++=

2)2(

01)1(

0

2)2(

01)1(

0

cosscosssinssinstan

ϕ⋅+ϕ⋅ϕ⋅+ϕ⋅ϕ

=

51

Besonders interessant:

• Phasendifferenz ∆ϕ = m⋅2π

[ ]s s s s s s s0 01

02

01

02

12

01

022 2

2= + + ⋅ ⋅ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

„konstruktive Interferenz“, Teilwellen verstärken sich

• Phasendifferenz ∆ϕ = (2m + 1)⋅π

[ ]s s s s s s s0 01

02

01

02

12

01

022 2

2= + − ⋅ ⋅ = −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

„destruktive Interferenz“, Teilwellen schwächen sich ab

(vollständige Auslöschung bei s s01

02( ) ( )= )

Wichtige Voraussetzung für zeitlich stationäre Interferenzerscheinungen

Phasendifferenz ∆ϕ(z) muß zeitlich konstant sein

⇔ „räumliche Kohärenz“ der beiden Teilwellen

Wie erzeugt man so etwas?

Beispiel 1:

Erzeugung zweier ebener Wellen durch harmonische Schwingungen an zwei verschiede-nen Orten z1, z2

Bild

52

( )( ) ( ) ( )t,zs bzw. t,zs für WGLd. ungenRandbeding

t cosst,zzst cosst,zzs

21'022

'011

���

ω⋅==ω⋅==

( )��

�

�

��

�

�ω−−⋅⋅=

ϕ

tzzkcoss)t,z(s1

1'01

�����

; ( )��

�

�

��

�

�ω−−⋅⋅=

ϕ

tzzkcoss)t,z(s2

2'02

�����

; kvPh

=ω

� ( )[ ] ( )ϕ+−ω⋅−⋅⋅=+= kztcoss

zzkcoss2ss)t,z(s

0

12'021

��� ���� ��

tan sincos cos

sin cos

cos costan = sin

2

1 2ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 22

2 2

22 2

2++

=⋅ + ⋅ −

⋅ + ⋅ − = +

dies ist wieder eine ebene Welle mit Amplitude

( )[ ]1221'

00 zzkcoss2s −⋅⋅=

welche stark von der Phasendifferenz ( )∆ϕ = ⋅ −k z z2 1 abhängt :

( )∆∆ϕ πϕ π= ⋅ == + ⋅ =

���

��

m sm2 2

2 1 00 0

0

s s

für alle z'

Beispiel 2:

Erzeugung zweier Kugelwellen an verschiedenen Orten � �

r1, r2

( )2121 zzk +=ϕ

53

Bild Geometrische Konstruktion einer Interferenzfigur

Folgerung:

Es existieren Punkte im Raum, in denen sich die Teilwellen stets konstruktiv bzw. destruktivüberlagern.

Auslenkung in einem beliebigen Punkt P:

54

Bild

( ) ( )s r t sr

t krp10

11

�

,~

cos= ⋅ −ω ; ( ) ( )s r tsr t krp2

0

22

�

,~

cos= ⋅ −ω

( ) ( ){ } ( )���

��� ++ω⋅�

�

�

�−⋅⋅

⋅++⋅= 12

s

21

1221

22

21

0p rrk21tcosrrkcos

rr2

r1

r1s~t,rs

0

������� �������� ��

�

� Amplitude s0 abhängig vom „Gangunterschied“

∆ = k ⋅(r2 – r1)

und Ort auf der Hyperbel (r1 – r2) = const. = ∆/k

Bild

55

Wichtig:

Bei destruktiver Interferenz ∆ = (2m + 1)⋅π

s sr r0 02 1

1 1= ⋅ −~

� niemals vollständige Auslöschung, da für r1 = r2 stets Verstärkung

Ermittlung des Gangunterschieds aus der Geometrie ( r2 – r1) Unterscheide 2 Grenzfälle:

a) r1, r2 >> d

� �r1 ungefähr parallel zu �r2

� r2 – r1 ≈ d⋅sin α

„Fernfeld – Interferenz“

b) r1, r2 nicht >> d

� r2 – r1 komplizierte Funktion von �

rp

„Nahfeld – Interferenz“

Interferenzprinzip ist entscheidend zur Beschreibung der räumlichen Ausbreitung von Wel-len.

Betrachte hierzu zunächst ebene Welle, erzeugt durch Erregung s(z = 0,t) = s0⋅cos(ωt)

Bild

Diese Welle ist nicht unterscheidbar von einer zweiten Welle, welche z.B. bei z = λ/2 durchSchwingung s0⋅cos(ωt + π) erzeugt wird.

� Beschreibung der Wellenausbreitung formal dadurch, daß in jedem Zeitpunkt t an jedemOrt z einer Phasenfläche eine neue Welle erzeugt wird.

Verallgemeinerung dieses Prinzips auf 3-Dimensionen:

56

Von jedem Punkt einer Phasenfläche einer Welle werden zur gleichen Zeit Kugelwellen(Elementarwellen) gleicher Phase ausgesendet, deren Überlagerung dann die eigentlicheWelle ergibt. (Christian Huygens, 1680).

Folgerung:Konstruktion einer neuen Phasenfläche F t tϕ0 0( )+ ∆ als Einhüllende (Tangentialfläche) an

Phasenflächen )tt(F 0''0

∆+ϕ

der Elementarwellen, welche zum Zeitpunkt t0 von jedem Punktder Phasenfläche F tϕ0 0( ) ausgesandt werden.

Bild

Wichtig:

• Alle Elementarwellen [EW], welche zur selben Zeit von Punkten einer Phasenflächeausgesandt werden, überlagern sich kohärent.

• Nach dem Huygens – Prinzip ist die Interferenz durch Herausfiltern zweier Elementar-wellen äquivalent zur Erzeugung zweier Kugelwellen (im Gebiet z > 0)

57

Bild

� Beschreibung von der Wellenausbreitung bei Behinderung durch Grenzflächen

Wichtige Konsequenzen des Huygens – Prinzip:

1) Reflexion von Wellen

Betrachte eine ebene Welle, welche unter dem Winkel α auf eine Wand trifft.

Bild

58

• Zum Zeitpunkt t0 erreicht Punkt A der Phasenfläche die Wand und sendet von dorteine Elementarwelle aus

• Zum Zeitpunkt t0 + ∆t erreicht B die Wand ∆t = s/vPh

• Phasenfläche der Elementarwelle aus A für t0 + ∆t:

Kugel vom Radius vPh⋅∆t.

• Geometrisch ergibt sich eine neue Phasenfläche mit β = α, welche von der Wandwegläuft.

„Reflektierte Welle“ mit β=α „Reflexionsgesetz“

(Ausfallswinkel = Einfallswinkel)

2) Brechung von Wellen

Betrachte eine ebene Welle, welche auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit un-terschiedlicher Phasengeschwindigkeit trifft.

Bild

59

atvsin

)1(Ph ∆⋅=α

atvsin

)2(Ph ∆⋅=β

� )2(Ph

)1(Ph

vv

sinsin =

βα

„Brechungsgesetz“

3) Beugung von Wellen

Betrachte eine ebene Welle, welche auf ein Hindernis (irgend eine gerade Begren-zungsfläche) trifft.

gebeugte Welle existiert im Bereich hinter der Wand

Bild

Zur Beschreibung der in P registrierten Auslenkung

60

Bild

Betrachte N Quellen, welche gleichphasige Elementarwellen aussenden

Auslenkung durch Quelle Q1

( )( )

s r t se

rn p

i kr t

n

n�

, ~= ⋅−

0

ω~s0 := Amplitude

� Gesamtauslenkung

( ) ( )( )

��=

ω−

=

⋅==N

1n n

tkri

0n

N

1nnp r

es~t,rst,rsn

��

Im Grenzfall beliebig vieler Quellen mit beliebig kleinem Abstand d � dx.

� ( )( )

s r t se

r x y dx dyp

i kr x y t�

, ( , )

( , )

= ⋅≈ −

−∞

∞

−∞

∞

�� 0

ω

"Fresnel – Kirchhoff’sches Beugungsintegral"

s0

≈:= Amplitudendichte, Amplitude der Elementarwelle, welche von der Quelle dxdy bei

(x,y) erzeugt wird : dxdyss~d 00

≈=

r(x,y) aus der Geometrie

r x y x x y y z( , ) ( )² ( )²= − + − +0 0 02

61

Bild

Zur Beobachtung einfacher Beugungserscheinungen betrachte wieder Kette von N dis-kreten Quellen und Fernfeld - Näherung (r >> N⋅d)

Bild

Dann sind alle rn ≈ r und αn ≈ α

� ( ) ( ) ( )��=

ω−⋅ω−⋅

=

⋅−⋅=αN

1n

trki0trkiN

1n n

0 nn ers~~e

rs~r,s

Gangunterschied benachbarter Quellen ist

∆ = k ⋅ d ⋅ sin α

� ( )( )

( )tkri

A

N

1n

n2

1Ni0 eers~r,s ω−

α

=

∆⋅��

���

� −+

⋅⋅=α ��� ��� ��

Mit e e ee

in

n

Ni

iN

i−

=

−−

−� = ⋅−−

∆ ∆∆

∆1

11

( geometrische Reihe: q q qq

n

n

N n

=� = ⋅

−−1

11

)

62

Amplitude in P (unter dem Winkel α) :

( ) ( )( )2

20

2i

2i

2Ni

2Ni

0i

iN2

1Ni0

sinNsin

rs~

ee

eers~

1e1ee

rs~A

∆

∆

∆∆−

∆∆−

∆−

∆−∆− ⋅⋅=

−

−⋅=−−⋅⋅=α

Einsetzen für ∆ liefert

( )( )

��

���

� α⋅λ⋅π

��

���

� α⋅λ⋅π⋅

⋅=α⋅⋅α⋅⋅⋅

⋅=α sindsin

sindNsin

rs~

sindksin sindkNsin

rs~)(A 0

21

21

0

Diskussion:

• A(α) besitzt Nullstellen dort, wo Zähler = 0 (und Nenner ≠ 0)

⇔ π⋅=α⋅λ⋅π⋅ m sindN (m ≥ 1)

• A(α) besitzt Hauptmaxima dort, wo Nenner = 0

⇔ π⋅=α⋅λ⋅π m sind

Da sin α ≤ 1 � Unterscheide 2 Fälle:

d < λλλλ: dλ

α⋅ <sin 1 für alle α

� kein Hauptmaximum außer für m = 0 � α = 0

Bild

d > λλλλ: dλ

α⋅ >sin 1

63

� Int (d/λ) Hauptmaxima

Bild

Beispiel:

d = 3λ � 3 Hauptmaxima außer α = 0

Läßt man bei konstanter Gesamtausdehnung N⋅d = D die zahl der Quellen � ∞ gehen(d.h. d � 0), so ergibt sich

α⋅λ⋅π

��

���

� α⋅λ⋅π

⋅⋅≈��

���

� α⋅λ⋅

⋅π

��

���

� α⋅λ⋅π

⋅=α

<<

sinD

sinDsin

rs~N

sinN

Dsin

sinDsin

rs~)(A 0

1

0

�� ��� ��

Damit ist die unter dem Winkel α gemessene Intensität:

22 xx²sin

sinND

sinD²sin)²(A)( =

��

���

� α⋅λ⋅

⋅π

��

���

� α⋅λ⋅π

∝α∝αI

"Beugung an einem Spalt der BreiteD"

64

Bild

Auch hier ist der Verlauf I(α) wieder stark abhängig von D/λ.

Bild

Beachte: α kann nicht größer als π/2 werden.

2 Elektromagnetische Wellen

2.1 Wellengleichung

Der Name sagt bereits, daß hier elektrische und magnetische Felder beteiligt sind.

Aus Vorlesung „Grundlagen der Physik II“ ist bekannt, daß zeitlich veränderliche �

E - und �

B -Felder sich gegenseitig beeinflussen.

Beschreibung durch Maxwell – Gleichungen

t B -=E=E rot∂∂×∇�

���

65

t E +j=B=B rot 000 ∂

∂⋅µε⋅µ×∇�

����

„Grundgleichungen der Elektrodynamik“

0

=E=E divερ⋅∇

���

0BBdiv =⋅∇=���

Betrachte zunächst den materiefreien Raum (Vakuum)

Hier:

nsportLadungstra = Strom u. gebunden Materie an Ladung da 0=j eStromdicht0= hteLadungsdic

���ρ

��

Dadurch:

t B -=E∂∂×∇�

��

(1)

t E =B 00 ∂

∂⋅µε×∇�

��

(2)

Bilde Rotation von (1)

( ) ( )Bt

t B -=E

��

�

����

×∇∂∂−=�

�

�

�

��

�

�

∂∂×∇×∇×∇

Einsetzen von (2) liefert

( ) ��

�

�

��

�

�

∂∂µε

∂∂−=×∇×∇

t E

t E 00

�

���

Benutze Vektoridentität: ( ) ( ) ( )� � � � � � � � �

∇ × ∇ × = ∇ ⋅ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ∇ ⋅V V V

Einschub:

( ) ���

����

�

∂∂+

∂∂

+∂∂=

z V

y V

x VgradV div grad zyx

�

66

( ) V:VVV

z V

z V

z V

y V

y V

y V

x V

x V

x V

z ,

y,

x V grad div

z

y

x

zyx

zyx

zyx

��

∆=���

�

�

���

�

�

∆∆∆

=

�������

�

�

�

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⋅���

�

�

∂∂

∂∂

∂∂=

Im Vakuum ist ρ = 0 � 0Ediv =�

� ( )� � � �

∇ × ∇ × = −E E∆

� t² E²=E 00 ∂

∂⋅µε∆�

�

Wellengleichung für Vektor ( )��

E r t,

� Existieren Wellen mit Auslenkung ( ) ( )� �

�

�

s r t E r t, ,= welche sich im Vakuum mit der Ge-schwindigkeit

000

1cµ⋅ε

=

ausbreiten.

Wichtig: c0 unabhängig von ω, k ⇔ keine Dispersion !

Analoge Gleichung für �

B−Feld

t² B²=B 00 ∂

∂⋅µε∆�

�

�

E und �

B sind über Maxwell – Gleichung miteinander verknüpft.

Einfache Lösungen der Wellen – Gleichung:

( ) ( )

( ) ( )

��

�

��

�

��

��

E r t E eB r t B e

i t kr

i t kr,,

= ⋅

= ⋅

���

��

−

−0

0

ω

ω ebene harmonische Wellen

für diese Wellen (und nur für diese !) gilt: ω=∂∂ it

und � �

∇ = − ik

�

( ) ( )∂

∂ω

E,B

t

� �

� �

= i E B, und ( ) ( )� � � � � �

∇ × = − ×E B ik E B, ,

aus (1) wird

( )( ) ( )rkti0

rkti0 eBieEki

��

�� ���

−ω⋅−ω⋅ ⋅⋅ω⋅−=⋅×⋅−

� 00 BEk���

⋅ω=×

Analog:

67

aus (2) wird

0000 EBk���

⋅ω⋅µε=×

Folgerungen:

• � �

B E0 0 ⊥ � B E��

⊥

• � �

B k0 ⊥ � k B��

⊥ ⇔�

B ist Transversalwelle

• � �

E k0 ⊥ � k E��

⊥ ⇔ E�

ist Transversalwelle

� Ebene elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen mit EB ��

⊥

Bild

• E�

und B�

schwingen in Phase

• 0000 EBk���

⋅ω⋅µε=⋅

�

�

00

0

0c

1000 E

c1E

ck

B20

⋅=⋅ω⋅µε=

� magnetischer Anteil hat meist nur geringe Auswirkungen (Auge)

• Elektromagnetische Wellen zeigen Polarisationserscheinungen

- lineare Polarisation

- elliptische Polarisation

- zirkulare Polarisation

2.2 Energietransport durch elektromagnetische Wellen

Benutze Energiedichte des �

E - bzw. �

B - Feldes (siehe „Grundlagen der Physik II)

²E21

dVdE

0E ⋅ε⋅=�

68

²B121

dVdE

0

B ⋅µ⋅=

�

� ( )t,r²E²E21²E

21=

B

²Ec11

21²E

21

dVdE

00

000

2

200

0ges �

�����

⋅ε=⋅µµε⋅+⋅ε⋅��

�

����

�⋅⋅

µ⋅+⋅ε⋅=

Mittelung über eine Schwingungsperiode liefert:

200E E

21 ⋅ε⋅=ρ (mittlere) Energiedichte des elektromagnetischen Feldes

Intensität einer ebene elektromagnetischen Welle (im Vakuum)

00

200

0E

1E21

c

µε⋅⋅ε⋅=

⋅ρ=I�

20

0

0 E21 ⋅

µε⋅=I

Definition: „Vektor der Energiestromdichte“

( )BEcHES 200 Vakuum)mi(

�����

×⋅⋅ε=×= „Poynting – Vektor“

Richtung von �

S = Richtung der Energietransports

Betrag von �

S

( )

( )

)t(S eEc

eBEc

BEcS

trki22000

trki200

200

200

=⋅⋅⋅ε=

⋅⋅⋅⋅ε=

⋅⋅⋅ε=

ω−⋅

ω−⋅

��

��

An einem bestimmten Ort �r oszilliert S mit 2ω.

Im zeitlichen Mittel ist S = I

Einschub:

Erzeugung elektromagnetischer Wellen prinzipiell durch beschleunigte Ladungen

(Strom = q⋅v, d q vIdt

= ⋅ � )

Beispiel: Hertz’scher Dipol

69

Bild

Induktion eines Wechselstromes in einem geraden Leiter

⇔ Elektronen schwingen gegen (feststehende) positive Ionen

� Abstand der Ladungsschwerpunkte x(t) = x0⋅cos(ωt)

� zeitlich veränderliches Dipolmoment )t(xq)t(p ⋅−=�

� Elektromagnetisches Feld des oszillierenden Dipols

( ) ( ) ( ) ( ) ( )³rc4

rrp³r4

pr̂r̂p3t,rEt,rEt,rE 2000

sekundärprimär ⋅⋅ε⋅π××+

⋅ε⋅π−⋅⋅⋅=+=

���������������

( )³r4

pr̂r̂p3E0

primär ⋅ε⋅π−⋅⋅⋅=����

�

:= zeitabhängiges Feld eines stationären Dipols

( )�� � �

Ep r r

rsekundär =× ×

⋅ ⋅

��

³4 0π ε:= elektromagnetisches Feld, erzeugt durch zeitliche Änderung von

�p

Wichtig:

70

• Erprimär ∝1³; E

rsekundär ∝1

� für große r � �

E Esekundär→

• � �

p p trc= −

�

��

�

��

0„Retardierung“ wegen Laufzeit der Feldänderungen

� in großer Entfernung r:

( )E r tp t

rc

c r, , ~

�� sinϑ

ϑ

π ε−

−�

��

�

�� ⋅

⋅ ⋅ ⋅0

0 024

Bild

Einsetzen von �

p trc q x e

i tr

c−�

��

�

�� = − ⋅ ⋅

⋅ −�

��

�

��

00

0ω

( )E r, tq x

c re

i tr

cϑω ϑ

π ε

ω, ~ ² sin

−⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ −�

��

�

��

0

0 024

0

Abgestrahlte Energieflußdichte

( )I r, c E q xc r

ϑ ε ω ϑπ ε

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅0 0 0

22

02 4 2

20 0

3 212 32

sin

71

Bild Elektrisches Feldlinienbild des Hertz’schen Dipols zu Zeitpunkten t = t0 + n⋅T/4. Die Verteilung ist rotationssymmetrischum die Dipolachse.

72

Bild Die räumliche Verteilung der elektrischen Feldlinien. Die Wellenlänge λ der abgestrahlten elektromagnetischen Welleentspricht dem doppelten räumlichen Abstand zwischen zwei Nullstellen des elektrischen Feldes.

Bild Räumliche Verteilung der Leistungsabstrahlung eines schwingenden Dipols. Die Länge der Strecke r(ϑ) ist proportionalzur Energiestromdichte S.

73

Klassifizierung elektromagnetischer Wellen nach Frequenzen bzw. Wellenlänge.

Bild Übersicht des gesamten bisher bekannten elektromagnetischen Spektrums.

Wichtig für die Optik:

• Licht ist eine elektromagnetische Welle

• Im Vakuum ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen(und damit des Lichtes) unabhängig von der Frequenz.

� c0 = (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit

74

2.3 Elektromagnetische Wellen in Materie

In Materie gelten modifizierte Maxwell – Gleichungen

tBE∂∂−=×∇�

��

��

�

�

��

�

�

∂∂+µ⋅µ=×∇

tDjB 0

�

���

mit ED 0

��

⋅ε⋅ε= „Dielektrische Verschiebungsdichte“

ρ=×∇ D��

0B =⋅∇��

ε := Dielektrizitätskonstante; µ := relative Permeabilität

Unterscheide 2 Fälle:

• Nichtleitendes Medium

• Leitendes Medium

2.3.1 Nichtleitendes Medium

Im Isolator ist die Stromdichte �

j = 0. Ebenso ist für elektrisch neutrales Medium: ρ = 0

Analog zur Herleitung der Wellengleichung im Vakuum:

²t E²E 00 ∂

∂⋅µ⋅µ⋅ε⋅ε=∆�

�

Dies ist wieder eine Wellengleichung, aber mit geänderter Ausbreitungsgeschwindigkeit:

0000

c11c ⋅µ⋅ε

=µ⋅µ⋅ε⋅ε

=

Definition:

µ⋅ε==ccn 0 „Brechungsindex“ des Mediums

Für nicht ferromagnetische Materialien ist |µ - 1| << 1, daher (in der Optik) µ ≈ 1

� ε≈n

75

Frage:

Warum ist im Medium die Ausbreitungsgeschwindigkeit anders?

Grund:

Atome im Medium bilden Dipole, welche durch die eingestrahlte Welle zu erzwungenenSchwingungen angeregt werden.

Bild

Auslenkung des Elektrons um �x in Richtung des äußeren �

E - Feldes liefert:

• Dipolmoment

• Rücktreibendes E – Feld

Eine einfache Beschreibung dieses Phänomens benutzt das Modell des harmonischen Os-zillators:

Rückstellkraft FR = -D⋅x

� Bewegungsgleichung des Elektrons

( )kzti0 eEexDxbxm −ω⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ ���

( )kzti0

20 eE

mexxx −ω⋅⋅−=⋅ω+⋅γ+ ���

Aus der Diskussion der erzwungenen Schwingung (siehe Grundlagen der Physik I) wissenwir die stationäre ("eingeschwungene") Lösung dieser Bewegungsgleichung :

( )ϕ+ω⋅= ti0 ex)t(x harmonische Schwingung mit der

76

Amplitude ( ) ( )x

em

E

i0

0

02 2

ωω ω γω

=⋅

− +

Phasenverschiebung tanϕ γωω ω

= −−0

2 2

Bild Amplitude und Phase der erzwungenen Schwingung .

Damit ergibt sich ein zeitabhängiges Dipolmoment

( )ϕ+ω⋅⋅−=⋅−= ti0 exe)t(xe)t(p

welches in großem Abstand r >> x0 wieder ein elektromagnetisches Feld erzeugt

���

����

� π−ω

⋅⋅⋅ε⋅π

ω⋅⋅−= 0cti

200

0D e

rc4²xeE

nur 1r

d.h << 0

−

=

≈

�

�

������

�

�

������

Term

Θ π

ϕ ω ω2

0, .

Weiter:

Überlagerung der an verschiedenen Stellen des Mediums erzeugten Dipolfeldes.

77

• Zahl der Dipole im Volumenelement dV = 2π r‘ dr‘ dz:

N⋅dV N := Dipoldichte

• '²r²zr +=

� ( )�∞

=0

Ds 'drz,'rE)z(dE

���

�

�

���

�

�

��

�

��

��

⋅ω

−π⋅ε⋅π⋅ω⋅⋅

⋅π⋅ε⋅π⋅ω⋅⋅

⋅⋅π⋅⋅⋅ε⋅π⋅ω⋅⋅

π⋅⋅⋅ε⋅π⋅ω⋅⋅

∞ω−ω

∞

=

ω−ω

∞

=

ω−ω

∞ω−

ω

�

�

�

z

cri

0200

ti20

zr

cri

200

ti20

zr

cri

200

ti20

0

cri

200

ti20

0

0

0

0

eNic 2 dz

c4exe-=

dr eN2c4exe-=

dr'r

r'r2r

eNdzc4exe-=

'dr'r2r

eNdzc4exe-=

Der Term r � ∞ trägt nichts bei, da dort N � 0 (endliche Ausdehnung der einfallendenWelle)

�

���

����

�−ω

⋅ε

⋅⋅⋅ω−= 0czti

00

0s edz

c2Nxei)z(dE

Einsetzen von x0 liefert

( )[ ]���

����

�−ω

⋅⋅��

���

�

γω+ω−ωε⋅ω−= 0c

zti

022000

s eEim2

²eNcdzi)z(dE (*)

78

Die Gesamtfeldstärke an Ort z ergibt sich durch Überlagerung der einfallenden Wellemit der der Sekundärwelle

E(z,t) = Ee(z,t) + dEs(z,t)

Makroskopisch:

Phasenverschiebung nach Durchlaufen der Mediumschicht der Dicke dz:

( )000 c

dz1ncdz

ncdzd −⋅ω=ω−ω=ϕ

�ϕ−�

��

����

�−ω

���

�

�ϕ−��

�

����

�−ω

⋅⋅=⋅= idczti

0

dczti

0 eeEeE)t,z(E 00 (**)

da dϕ << 1 � e idid− − −ϕ ϕ~1

� ( )���� ����� ��

�����

)t,z(dE

eEcdz 1n i

)t,z(EeE)t,z(E

s

czti

00

e

czti

000���

����

�−ω�

��

����

�−ω

⋅⋅−ω−⋅=

Durch Vergleich mit � ergibt sich

( )[ ]γω+ω−ωε⋅+=

im2²eN1n 22

00

Brechungsindex in der Näherung des klassischen harmonischen Oszillators.

Diskussion:

• n ist eine komplexe zahl !� n = n‘ +iκ

Ausrechnen liefert:

( ) 222220

220

0

2

m2Ne1'n

ωγ+ω−ω

ω−ω⋅ε

+=

( ) 2222200

2

m2Ne

ωγ+ω−ωγω⋅

ε=κ

• physikalische Bedeutung von n‘ und κ:

Hierzu Integration d. Gl. (**) von z = 0 bis z, d.h. die Welle läuft ab z = 0 durch das Me-dium.

79

����������

ausbreitet n'c mit sich die Welle,

zc

'nti

Amplitudeigeortsabhäng

zc

0

zc

zc

1'niczti

00

00000 eeEeeeE)t,z(E���

����

�⋅−ω⋅κ⋅ω−⋅κ⋅ω−⋅−ω�

��

����

�−ω

⋅⋅=⋅⋅⋅=

Dies ist eine gedämpfte Welle mit

- Ausbreitungsgeschwindigkeit c cn

= 0

'

� n‘ ist der Brechungsindex

Achtung: n‘ = n‘(ω) � c = c(ω)

n‘ beschreibt die Dispersion!

- Amplitudez

c0

0eE⋅κω−

⋅

� I I= ⋅ −0 e zα (Beer’sches Absorptionsgesetz)

� Energiedichte der Welle nimmt ab (Energie wird an das Medium abgegeben)

„Absorption der Welle“

κ⋅ω⋅=α0c

2 „Absorptions – Koeffizient“

Schematisch:

Bild Absorptionskoeffizient α(ω) = 2k0 ⋅ κ(ω) und Realteil des Brechungsindex in der Umgebung einer Absorptionslinie bei ω0.

Bemerkung:

• Elektronenbewegung muß eigentlich quantenmechanisch beschrieben werden.

80

Resultat: Es existieren mehrere Resonanzfrequenzen ω0, welche Übergängen zwi-schen bestimmten Energiezuständen des Elektrons entsprechen.

• Im klassischen harmonischen Oszillator: ω01610

1~−s

Frequenzen des sichtbaren Lichts:s110~ 14−

� n‘ nimmt zu mit zunehmendem ω (abnehmendem λ0)

(normale Dispersion)

• Ebene Welle:

( )� � �

k n k n i k= ⋅ = + ⋅0 0' κ kc0

0=ω

Aus Maxwell – Gleichungt B E∂∂−=×∇�

��

folgt (mit ki��

−=∇ und ω=∂∂ it )

� Phasenverschiebung zwischen �

E und �

B im absorbierenden Medium

2.3.2 Leitendes Medium

Hier existiert Leitfähigkeit σ

� Elektrisches Feld E�

erzeugt Stromdichte

Ej��

⋅σ=

Einsetzen in die Maxwell - Gleichungen liefert

( )tE

tE

c1E 02

2

20 ∂

∂σµµ+∂∂⋅=∆

��

�

(*)

Ansatz zur Lösung dieser modifizierten Wellengleichung :

( ) ( )kztiz2

0 eeEt,zE −ωα−⋅⋅=

��

Einsetzen in die Wellengleichung liefert

( ) ( ) EiEc1Eik

2 02

20

2���

σµµω+ω−=��

���

� −α−

� ( ) σµµω+ω−=−α+α02

0

22

2

ic

kik4

81

� 20

22

2

ck

4ω−=−α und ( ) σµµω=⋅α 0k

Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ! Auflösen liefert :

20

20

2422

c442 σµω+ω+ω−

=α

Im Grenzfall kleiner Frequenzen ω und hoher Leitfähigkeit σ kann man nähern

2000

00

c22εωσ=

εεωσµ≈α

Folgerung:

• Die Welle wird im Medium absorbiert !

• Eindringtiefe δ der Welle ist bestimmt durch ( ) e0II =δ

σωε=

α=δ

2c1 2

00 "Skintiefe" für das Eindringen einer elektromagnetischen Welle

in ein leitendes Medium2.4 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen

Betrachte den Durchtritt einer ebenen Welle

( ) ( ) ( )rktie0e

eeEt,rE�

��

� ⋅−ω⋅=

durch eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes n1 und n2

� Aufspaltung der Welle in reflektierte und gebrochene Welle

( ) ( ) ( )rktir0r

reEt,rE�

��

��

⋅−ω⋅=

82

( ) ( ) ( )rktig0g

geEt,rE�

�

��

� ⋅−ω⋅=

Bereits bekannt : α′=α (Reflexionsgesetz) und er kk��

=

1

2

nn

sinsin =

βα (Brechungsgesetz) und e

1

2g k

nnk

��

=

Frage:

Wie groß sind die Amplituden ( )r0E

�

bzw. ( )g0E

�

und damit die Intensitäten der reflektierten undgebrochenen Wellen ?

Zerlege hierzu die Amplitudenvektoren in Komponenten ⊥0E und �0E senkrecht und

parallel zur Einfallsebene ( = Ebene, welche durch gre kundk,k���

aufgespannt wird)

Erinnerung an Elektrodynamik :

• Tangentialkomponente von E�

ist an der Grenzfläche stetig

�( )( ) ( )( ) ( )( )zg

0zr

0ze

0 EEE =+ (***)

• Tangentialkomponenten von B�

verhalten sich wie 12

1 ≈µµ

wegen ( )Ek1B���

×ω

=

( )( ) ( )( ) ( )( )x

g0gx

r0rx

e0e EkEkEk

������

×=×+×

Ausmultiplizieren liefert : ( ) ( )�

( )y0zz0yx0 E0

kEkEk=

−=×��

� ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )zg0ygz

r0yrz

e0ye EkEkEk ⋅=⋅+⋅

Mit ( ) ( )yrye kk −= folgt :

für nicht ferromagnetischeMaterialien

83

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )zg0

ye

ygz

r0z

e0 E

kk

EE ⋅=− (****)

Aus (***) und (****) ergibt sich

( )( )( )( ) β+α

β−α=+−=

⊥

⊥

cosncosncosncosn

a1a1

EE

21

21e

0

r0 ( )

( ) ⊥=β+αβ−α= r

sinsin

( )( )( )( ) β+α

α=+

=⊥

⊥

cosncosncosn2

a12

EE

21

1e

0

g0 ⊥= t

Analoge Herleitung für die Parallelkomponenten liefert

( )( )( )( ) β+α

β−α=cosncosncosncosn

EE

12

12e

0

r0

�

� ( )( ) �

rtgtg =

β+αβ−α=

( )( )( )( ) β+α

α=⊥

⊥

cosncosncosn2

EE

12

1e

0

g0

�t=

a:cosncosn

coskcosk

1

2

e

g =αβ=

α⋅β⋅

84

"Fresnel - Gleichungen", ermöglichen die Bereichnung des Reflexions- bzw.Transmissionsvermögens einer Grenzfläche als Funktion des Einfallswinkels α und derBrechungsindizes n1, n2

Def. : Reflexionsvermögen( )

( )

( )

( ) 2e0

2r0

e

r

E

ER

�

�

==II

Transmissionsvermögen R1T −=

Zerlege wieder in Komponenten parallel bzw. senkr. zur Einfallsebene :

( )( )( )( )

2

21

212e

0

2r0

cosncosncosncosn

EE

R ���

����

�

β+αβ−α==

⊥

⊥⊥ und ⊥⊥ −= R1T

( )( )( )( )

2

12

122e

0

2r0

cosncosncosncosn

E

ER ��

�

����

�

β+αβ−α==

�

�

�und

��R1T −=

Die Winkel α und β sind dabei über das Brechungsgesetz verknüpft.

Diskussion :

• Für α = 0 ist auch β = 0

��

RnnnnR

2

21

21 =���

����

�

+−=⊥

• Mit βα=

sinsin

nn

2

1 und Additionstheoremen für die Winkelfunktionen ergibt sich :

( )( )

2

sinsinR �

�

���

�

β+αβ−α=⊥ und ( )

( )2

tgtgR �

�

���

�

β+αβ−α=

�

Da α, β ≤ π/2 und α ≠ β (für n2 ≠ n1) � α + β < π

Folgt 0R ≠⊥ (für n2 ≠ n1)

Aber : 0R =�

dann, wenn ( )2

tg π=β+α⇔∞→β+α

Der zugehörige Einfallswinkel, für welchen diese Bedingung erfüllt ist,heißt Brewster - Winkel αB

( )1

2B

B

B

B

BB

nntg

cossin

2sin

sinsin

sin =α=αα=

��

���

� α−πα=

βα

85

Der Brewster-Winkel wird ausgenutzt, um z. B. für linear polarisiertes Licht die Reflexionan Grenzflächen vollständig zu vermeiden.

• Betrachte die Reflexion im Fall n2 > n1 ("Reflexion an optisch dichterem Medium")

Dann ist α<α=β sinsinnnsin

2

1� β < α

und es gilt für die

Senkrechtkomponente (⊥ Einfallsebene) :

( ) 0sin >β−α , da α, β ≤ π/2

�( )( ) 0

sinsinr <

β+αβ−α−=⊥ �

( )( )⊥r0E

�

ändert das Vorzeichen bei Reflexion

Da 1ei −=π , bezeichnet man dies als einen "Phasensprung um π"

Parallelkomponente (|| Einfallsebene) :

( ) 0tg >β−α , aber ( ) 0tg <β+α für 2π>β+α

�( )( ) 0

tgtgr <

β+αβ−α=

�für α > αB

� Phasensprung um π für α > αBkein Phasensprung für α < α