Prozeßdatenverarbeitung Heinrich Krämer Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig...

Prozeßdatenverarbeitung

Heinrich Krämer

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH)Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften


1 Einführung

Entwicklung der Automatisierung (Beispiel: Rührkesselreaktor)

Rohstoff1

1940: Keine Automatisierung

Rohstoff2

Kühl-flüssigkeit

Kühlung

End-produkt

MM

M

MDurchfluß

M

Druck

M

Temperatur


1 Einführung


Rohstoff1

1940-1950: Vorstufe der Automatisierung

Rohstoff2

Kühl-flüssigkeit

Kühlung

End-produkt

Leitstand

M M M M M M


1 Einführung


Rohstoff1

1950-1960: Erste Stufe der Automatisierung

Rohstoff2

Meßwarte

Kühl-flüssigkeit

Kühlung

End-produkt

Stellglied

Meßwert-,Signal-

umformer

Meßfühler

Leitstand

M M M M M M


1 Einführung


Rohstoff1

1950-1960: Zweite Stufe der Automatisierung

Rohstoff2

Meßwarte

Kühl-flüssigkeit

Kühlung

End-produkt

ReglerIstwert

Sollwert


1 Einführung

ab1980: Integration

Kennzeichen• Dezentrale Verarbeitung• Einführung von Netzen

LAN, WAN • Verknüpfung von

– Produktion– Lagerhaltung– Entwicklung– Auftragsannahme


2 Technische Prozesse

Ein Prozeß ist nach DIN 66201 die Umformung und/oder der Transport von Materie, Energie und/oder Information. Ein Technischer Prozeß ist eine Prozeß, dessen Zustandsgrößen mit technischen Mitteln gemessen gesteuert und/oder geregelt werden können.


2.1 Klassifiktion technischer Prozesse

Klassifikation nach transportierten/umgeformte Medien•Materialprozesse

– FörderprozesseTransport von Produkten ohne ihre Form zu verändern (z.B. Paketverteilung, Pipeline)

– Verfahrenstechnische Prozesse und FertigungsprozesseUmformung von Rohstoffen zu einem Endproduk (z.B. Raffinerie, Automobilbau)

•Energieprozesse– Energieumwandlung („Energieerzeugung“, „-verbrauch“)

(z.B. Kraftwerke, Heizanlagen)– Energietransport, -verteilung

•Informationsprozesse– Informationstransport

(z.B. Telefon, Funk, Rundfunk, Fernsehen)– Informationsumformung

(z.B. Rechner)– Informationsspeicherung


2.1 Klassifiktion technischer Prozesse

Klassifikation nach Zeit- und/oder Ortsabhängigkeit der Prozeßgrößen• Kontinuierliche Prozesse

Die Prozeßgrößen (zeit- und/oder ortsabhängig) ändern kontinuierlich ihren Wert.Diese Prozesse werden auch als Fließprozesse bezeichnet.

• Diskrete Prozesse

Die Prozeßgrößen sind diskrete Werte. Der Prozeß besteht aus einer Folge von Einzelereignissen (Folgeprozeß)

• Stückprozesse

Es sind einezelne identifizierbare Stücke oder Objekte vorhanden. Diese änderen ihre Position und/oser ihren Zustand kontinuierlich oder diskret

• Chargenprozesse

Der Ablauf der Prozesses erfolgt in diskreten Zeitabständen. Hierbei können aber sich kontinuierliche ändernte Vorgänge auftreten. Pro Zeiteinheit wird eine bestimmte Menge eines oder mehrerer Rohstoffe verarbeitet.


2.2 Modellierung von Prozessen

Mathematische Prozeßmodelle• Kontinuierliche Prozesse

Die Modellierung erfolgt üblicherweise durch das Aufstellen von Differentialgleichungen

• Diskrete ProzesseDiese Prozesse können durch boolesche Gleichungen und/oder Ablaufpläne modelliert werden

• Simulation

Bei komplexeren Prozessen ist ein geschlossene analytische Beschreibung oft nicht möglich. Daher kann versucht werden, aus bekannten Verhalten von Einzelkomponenten das Gesamtsystem zu simulieren und so Schwachstellen aufzuspüren.

• Verbale BeschreibungIn schwierigen Fällen kann eventuell nur eine verbale Beschreibung aufgestellt werden.



Mathematische Modellierung von Prozessen

allgemein

T ist hierbei ein allgemeiner Operator

statisch

statisch linear

T ist hierbei eine Matrix

Prozeß...

x1

x2

xk

...

y1

y2

ym

x t T y t( ) ( )

x t T y t( ) ( )

x t T y t( ) ( )



Beispiel: Prozeß mit einer Eingangs- und einer Ausgangsgröße

linear statisch

x = c0 + c1 y

nicht-linear, statisch

x = c0 + c1 y + c2 y2 + c3 y3

linear, dynamisch

a0x(t) + a1 x´(t) + a2 x ´´(t) ... an x(n)(t) = b0 y(t) + b1 y´(t) + ... +bm y(m)(t)

nicht-linear, dynamisch

a0x(t) + a1 x´(t)2 + a2 x ´´(t) ... an x(n)(t) = b0 y(t) + b1 y´(t) sin(t) + ... +bm y(m)(t)

Prozeßy x



Beschreibung von Prozessen mit Hilfe von Testsignalen

Gewichtsfunktion

Sprungantwort

Frequenzgang

Prozeßy x

t

y(t)

t

g(t)

Prozeßy x

t

y (t)

t

h(t)

Prozeßy xA0sin()

F()

Dirac-Impuls


2.3 Prozeßidentifikation

Prozeßidentifikation• theoretische Analyse

Die Gleichungen und die Konstanten werden aufgrund von physikalischenb / chemischen Gegebenheiten bestimmt.

• experimentelle Analyse

Das Prozeßmodell wird allein durch Messungen des Zusammenhangs von Eingangs- zu Ausgangsgrößen bestimmt.

• Kombination beider Verfahren

Zunächst werden die (Differential-)Gleichungen durch theoretische Analyse aufgestellt. Diese Gleichungen werden als Struktur bezeichnet.

Die Bestimmung der Konstanten, d. h. der Parameter, erfolgt durch Messung


Prozeßidentifikation

Die Laplace-Transformation

Die Bildfunktion F(s) einer Zeitfunktion f(t) ist gegeben durch

Die Rücktransformation ist gegeben durch

Es gibt also immer ein Paar: Zeit- und Bildfunktion

Hierbei sind die hier interessierenden Funktionen tabelliert, so daß auf eine Berechnung verzichtet werden kann

L f t F s f t e dtst( ) ( ): ( )

0

L

1 1

2F s f t F s e ds

ic i

c ist( ) ( ) ( )


Die Laplace-Tranasformation

Rechenregeln

Linearität

Faltungssatz

Integrationssatz

Differentiationssatz


2.3 Prozeßidentifikation

Das Wendetangentenverfahren

Mathematisches Modell des Prozesses (mit Parametern)

Bildfunktion (Sprungantwort) Zeitfunktion(Sprungantwort)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t / [ 10 s ]

1

2

3

4

0

G s ek

T sX s G s

U

sPT s

AP

V( ) ( ) ( )

1

0x t U k e für t T sonstTA Vt T

V( ) ;( )

0 1 0

1

lim ( ) ( )

( )t

x t x U k

kx

U

0

0x( k = 3/4 = 0,75

WP

Tv

( )

( ) : ( )

( ) ( ) ( )

( )x t

U k

Te

x TU k

TWT x

U k

Tt T

xU k

TT T T T T

A

t T

VA A

v

Ax v A x v

TA V

0

0 0

0

1

Tx

TA

U0


3 Prozeßregegelung und -steuerung

Definitionen

Strecke: Die Strecke ist derjenige Teil eines Systems, in dem technische oder

physikalische Größen gemäß einer Zielfunktion beeinflußt werden sollen.

Steuerung: Die Steuerung ist ein Vorgang in einem abgegrenzten Systém, bei

dem ein oder mehrere Größen als Eingangs- andere Größen als

Ausgangsgrößen aufgrund der dem System eigenen Gesetzmäßigkeiten

beeinflußt werden.

Regelung: Regeln oder die Regelung ist ein technischer Vorgang in einem

abgegrenzten System, bei dem bei dem eine oder mehrere technische oder

physikalische Größe(n), die Regelgröße(n) oder Istwert(e), fortlaufend erfaßt

und durch Vergleich ihres Signals mit einer anderen von außen vorgegebenen

Größe(n), der Führungsgröße(n) oder Sollwert(e) im Sinne einer Angleichung

beeinflußt wird.


3 Prozeßregegelung und -steuerung

Abgegrenztes System

Steuerung

Regelung

Eingangsgrößen y(beeinflußbar)Augangsgrößen xweitere Größen (z)(Störungen)

S ystem

U m gebung

y x

yw xS t r e c k eS t e u e r u n g

yw xS treckeR egler

-

+ ++z


3.1 Regelung

3.1.1 Führungs(übertragungs)- und Störungs(übertragungs)funktion

Strukturbild einer Regelung

w(t) Führunggröße/Sollwert GR(s) Übertragungfunktion des Reglers

xw(t) Regeldifferenz GP(s) Übertragungsfunktion des Prozesses

y(t) Stellwertz(t) Stöung(sgröße)x(t) Ausgangsgröße/Istwert

Es gilt

X(s) = Z(s) + (W(s) - X(s)) GR(s) GP(s)

y(t)

w (t) x(t)P rozeßR egler

-

+ ++

z(t)x (t)

w

G (s)R

G (s)P


3.1.1 Führungs- und Störungsfunktion

Ausgehend von

X(s) = Z(s) + (W(s) - X(s)) GR(s) GP(s)

erhält man

Führungs(übertragungs)funktion (Z(s) = 0)

Störungs(übertragungs)funktion (W(s) = 0)

Zur Untersuchung der Regelungsverhaltens kann also die Ausregelung einer Änderung des Sollwertes und einer Störung untersucht werden. Weiter wirdi. a. das Verhalten unterschiedlich sein.

X sZ(s G s G s W s

G s G sP R

P R( )

) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

X sG s G s

G s G sW sP R

P R( )

( ) ( )

( ) ( )( )

1

X sG s G s

Z(sP R

( )( ) ( )

)

1

1


3.1.2 Klassiche Reglertypen

Der P-Regler (Proportionalregler)Beim P-Regler erhält man die Stellwerte y(t) durch Multiplikation der Regeldifferenz xw(t) mit einem konstanten Faktor kP

Der PI-Regler (Proportional-Integralregler)Beim PI-Regler wird der Stellwert y(t) aus der Summe des P-Anteils und der Integration der Regeldifferenz xw(t) multipliziert mit einem Faktor kI berechnet.

Der PID-Regler (Proportional-Integral-Differentialregler)Beim PID-Regler berechnet sich der Stelltwert y(t) aus der Summe des P-Anteils, I-Anteils und des ersten zeitlichen Ableitung der Regeldifferenz xw(t) multipliziert mit einem Faktor kD.

Zeit- und Übertragungsfunktionen

R e g le r t y p Z e i t f u n k t i o n Ü b e r t r a g u n g s f u n k t i o nP - R e g le r y t k x tP w( ) ( ) Y s k X sP w( ) ( ) P I - R e g le r

y t k x t k x dP w I w

t( ) ( ) ( )

0

Y s k ks

X sP I w( ) ( )

1

P I D - R e g le ry t k x t k x

d x t

d tP w I w

tw( ) ( ) ( ) d

( )

0

Y s k ks

k s X sP I D w( ) ( )

1


3.1.2 Klassiche Reglertypen

Reglerstrukturen

Zeitalgorithmus Geschwindigkeitsalgorithmus1

kPkI‘

kD‘

1

y(t)xw(t)

kPkI‘

kD‘

y‘(t)xw(t)

ddt

22

Stelleinrichtung

Ein Problem stellt die Bestimmung der Regelparameter kP, kI und kD dar


3.1.3 Bestimmung der Regelparameter

Regelparameter nach Ziegler/Nichols

Methode I : Bestimmung der Totzeit TV und der Anstiegszeit TA

P a r a m e t e r

R e g l e r t y p

k P k I k D

P 1

k

T

TA

V

P I 0 9,

k

T

TA

V

k

TP

V3 3 3, P I D 1 2,

k

T

TA

V

k

TP

V2 0 5, T kV P


3.1.3 Bestimmung der Regelparameter (Beispiel)

TV 19,35 s

TA 209,35 s

k = 1


Bestimmung der Regelparameter (Beispiel)

Berechnung der Regelparameter• P-Regler

• PI-Regler

• PID-Regler

ks

sp 121

209 3519 35

12 98291,

[ ], [ ]

, [ ],

[ ] k

sI

12 98292 19 35

1,, [ ] [ ]

0,33551

[s]

k sD 0 5 19 35 12 98291 1

, , , [ ][ ] [ ]

125,6096[s]

ks

sp 1

1209 3519 35

1[ ]

, [ ], [ ] [ ]

10,8191

ks

sp 0 91

209 3519 35

1,[ ]

, [ ], [ ] [ ]

9,7372 ksI

9 73723 33 19 35

1,, , [ ] [ ]

0,15111

[s]


Sprungantwort eines P-Reglers (Beispiel)

Ausgangsgröße x(t)

Regeldifferenz xw(t)

Stellwert y(t)

Regelabweichung

kP = 10,8191


Sprungantwort eines PI-Reglers (Beispiel)

kP = 9,7372kI‘ = 0,0155

Ausgangsgröße x(t)

Regeldifferenz xw(t)

Stellwert y(t)


Sprungantwort eines PID-Reglers (Beispiel)

kP = 12,9829kI‘ = 0,0258kD‘ = 9,675Ausgangsgröße x(t)

Regeldifferenz xw(t) Stellwert y(t)


Sprungantworten eines PID-Reglers (Beispiel)

kD‘ = 22,14kI‘ = 0,0047

kD‘ = 11,58


Sprungantworten eines PID-Reglers (Beispiel)

kI‘ = 0,01KD‘ = 54

kI‘ = 0,1

• kD = 0,01

kI‘ = 0,02


3.1.3 Bestimmung der Regelparameter

Regelparameter nach Ziegler/Nichols

Methode II : Der Regler wird als P-Regler konfiguriert. Der Parameter kP wird solange erhöht bis sich eine Schwingung mit konstanter Amplitude einstellt. Dieser Wert wird als kP,krit bezeichnet. Die Schwingungsperiode wird mit Tkrit bezeichnet.

Problem: Oftmals ist es nicht möglich den Prozeß zum Schwingen zu bringen

P a r a m e t e r

R e g l e r t y p

k P k I k D

P 0 5, ,k P k r i t

P I 0 4 5, ,k P k r i t k

TP

k r i t0 8 5, P I D 0 6, ,k P k r i t k

TP

k r i t0 5, 0 1 2, T kk r i t P


3.1.4 Stabilitätskriterien


3.1.5 Digitale Regler (Abtastregler)

Aufbau eines Abtastreglers

A

D

A

D

x(t)

t2 3 54

T

t0 1 2 3 54

y(t)

Regel-algorithmus

Rechner

x(n)

y(n)Prozeß

w(t) / w(n)

0 1

Abtastung

Arbeitsweise• Das analoge Eingangssignal x(t) wird zu den Zeitpunkten t = nT mit der konstanten

Abtastperiode T (Abtastfrequenz fT = 1/T) abgetastet.• Die zeitdiskreten Werte x(n) werden im A/D-Wandler in Digitalwerte umgewandelt• Der Regelalgorithmus berechnet daraus eine Folge von Stellwerten y(n)• Diese wird im D/A-Wandler wieder in eine analoge Zeitfunktion y(t) umgewandelt



Umwandlung eines analogen Reglers

Der analoge Regler (PID) sei gegeben durch

im Zeitbereich im Bilbereich

Approximation der Funktionen durch

Digitale Gleichungen

mit

y t k x t k xdx t

dtP w I w

tw( ) ( ) ( )d

( )

0

G sk s k s k

sPIDD P I( )

2

szT

1 1dx t

dt

x x

Tx T xw w w

w wi

nt( ) (n) (n )( )d (n)

1

00

y a x a x a x yw w w(n) (n ) (n ) (n) (n ) 2 1 02 1 1 G za z a z a

zPID( )

2

21

10

11a

k

T

a kk

T

a k k Tk

T

D

PD

P ID

2

1

0

2



Approximation der analogen Funktion durch Trapezregel (Bilineare Transformation)

Zeitbereich Bildbereich

sT

z

z

2 1

1

1

1

a k

a k T

a k

Pk

Tk T

I Tk T k

T P

D I

D

I D

02

2

14k

2 22

G za z a z a

zPID( )

2

21

10

21y a x a x a x yw w w(n) (n) (n ) (n ) (n ) 0 1 21 2 2

Formale Berechnung der Parameter

x (t)w

t

D ifferenzenTrapez

Wegen der Verzerrung erfolgt die tatsächliche Berechnung der Parameter durch Plazierung der Pole im Einheitskreis bzw. durch Entzerrung (Prewarping) der kritischen Frequenzen durch

k analoge Frequenzk digitale Frequenz

T k k2 2

tan



Entwurf auf endliche Einstellzeit (Deadbeat controller)

Prinzip für einen Prozeß 1.Ordnungy(t)

t

x(t)

tT

w0

x (t)0

x (t)1

x(t)

y0

y1

Ziel ist die Einstellung des Sollwerte nach einer Abtastperiode. Bei einem System n-ter Ordnung kann der Sollwert nach n Schritten eingestellt werden.

Arbeitsweise

• Zum Zeitpunkt t = 0 wir der Prozeß so angesteuert (y0), daß er nach dem Zeitpunkt t = T den Sollwert erreicht.

• Dies würde zum Uberschwingen x0(t) führen.

• Durch Zurücknahme des Stellwertes auf y1 wird wird dieses Überschwingen kompensiert



• Wahl der Abtastperiode


PID-Regler

Approximation durch Differenzen Approximation durch Bilineare Transformation

Entwurf auf endliche Einstellzeit (Deadbeat response)

Alle Regler wurden für den Anwendungsfall optimiert


3.1.6 Adaptive Regler

Ein Regler ist nur bei geringen Änderungen der Prozeßparameter und fester Struktur funktionsfähig. Allerdings gibt es Prozesse deren Parameter größeren Schwankungen unterliegen

Beispiele:•Sauerstoffkonzentration Triebwerksregelungen bei Flugzeugen•Raketenflugbahn (Veränderung des Schwerpunktes durch Verbrennung des Treibstoffs)


3.1.7 Fuzzy-Regelung

Bisherige Vorgehensweise:• Erstellung eines mathematischen Prozeßmodells in Form von

Differentialgleichungen.• Vereinfachung der Differentialgleichungen durch Linearisierung und Approximation• Synthese eines geeigneten Reglers

Problem: Bei komplexeren Systemen muß das Prozeßmodell stark vereinfacht werden. Manchmal kann mit den konventionellen Methoden kein Regler realisiert werden, der einen gegebenen Prozeß regelt.

Aber: Ein Mensch kann nach "Daumenregeln" und mit Erfahrung den Prozeß regeln.

Automatisierung durch Fuzzy-Regler



Einführung von Unschärfe

Umgangssprachlich ist ein Begriff nicht exakt definiert. Es besteht eine gewisser Bereich von Werten die eine Größe annehmen kann.

Bsp.: Bei welcher Temperatur ist es kalt.

Eine Fuzzy-Menge ist eine Menge von Zweitupeln.

Jedem Wert x aus einem Grundbereich B wird hierbei ein Zugehörigkeitsgradzwischen 0 und 1 zugeordnet

Der Zugehörigkeitsgrad ist durch die Zugehörigkeitsfunktion µ: B [0,1] gegeben

Bsp.

Ganze Zahlen nahe bei 5

Xnahebei5 = { (3, 0.2), (4, 0.6), (5, 1), (6, 0.6), (7, 0.2) }

Hierbei werden nur Werte mit einem Zugehörigkeitsgrad µ(x) > 0 aufgenommen. Diese Menge wird auch als Träger bezeichnet.



Bei einem kontinuierlichen Grundbereich B wird die Zugehörigkeit durch eine geeignete Zugehörigkeitsfunktion B [0,1] beschrieben.

Beispiele für Zugehörigkeitsfunktionen.

Die Variable x B wird als Basisvariable bezeichnet. Aus rechentechnischen Gründen werden meist Zugehörigkeitsfunktionen der Form b) (abschnittsweise linear) benutzt. Es können folgenden Typen Unterschieden werden:

a) b)

1 1 1 1

Z-Typ -Typ -Typ S-Typ



Das Konzept der linguistischen Variablen:

Die linguistische Variable besteht aus einer endlichen Mengen von k Werten, den Termen Ti i = 1 ..k der linguistischen Variablen. Die Terme sind hierbei Fuzzy-Mengen über dem gleichen Grundbereich B. Der scharfe Wert x aus dem Grundbereich B wird als Basisvariable bezeichnet.

Die Träger der einzelnen Terme müssen hierbei den gesamten Grundbereich beinhalten. Weiter muß immer gelten

Die Festlegung der Terme und ihrer Zugehörigkeitsfunktion µ(x) ist anwendungsabhängig und hat großen Einfluß auf die Brauchbarkeit des Reglers.

Die Zugehörigkeitsfunktion der Basisvariablen zu jedem Term ergibt einen unscharfen Wert für jeden Term.

Die Bestimmung des unscharfen Wertes für jeden Term bezüglich der Basisvariablen wird als Fuzzifizierung bezeichnet.

Ti

k

ix( )

1

1



Beispiel für eine Fuzzifizierung

Linguistische Variable: Drehzahl = { sehr niedrig, niedrig, normal, hoch, sehr hoch }

Zugehörigkeitsfunktionen (Basisvariable in 1000 Upm)

Fuzzifizierung für = 4200 Upm liefert

normal(4200) = 0,25

niedrig(4200) = 0,75

normalniedrig



Logische Operationen

Bei Logischen Operationen wird die Zugehörigkeitsfunktion neu bestimmt.

meist werden die logischen Operationen folgendermaßen definiert

Die klassische Aussagenlogik kann als Spezialfall der Fuzzy-Logik interpretiert werden.

Beispiel: PA(x) = -1 x 1, PB(x) = 0 x 3

C A B x x x

C A B x x x alternativ wird auch x x x verwen

C A x x

C A B

C A B C A B

C A

( ) max( ( ), ( ))

( ) min( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) det

( ) ( )1

1

-1 0 1 2 3

1

-1 0 1 2 3

A B 1

-1 0 1 2 3

PA PB PA PB



Die Regelbasis

Die Regelbasis besteht aus einer Menge von WENN-DANN-Regeln (Daumen-Regeln) der Form

IF (v1 = term1,k) (v2 = term2,j) …. THEN av1 := aterm1,m…

Hierbei sind die vi die linguistischen Eingabevariablen und die Terme termi,k ein dazugehöriger Term. Die avn sind die linguistischen Ausgabevariablen mit den Termen atermn,m. Durch die Regeln müssen alle möglichen Eingangskombinationen erfaßt sein. Bei zwei Eingabevariablen lassen sich die Regeln als Tabelle darstellen

v

vterm term term

term res res res

term res res res

term res res res

n

n

n

k k k k n

2

1 21 2 2 2

11 11 21 11 2 2 11 2

12 12 21 12 2 2 12 2

1 1 21 1 2 2 1 2

, , ,

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , , ,



Regelauswertung

Durch die Regeln werden den Termen der Ausgangsvariablen Zugehörigkeitswerte zugewiesen. Die Auswertung erfolgt in zwei Schritten:

• Aggregation

Zunächst werden die logischen Ausdrücke in den Regeln bewertet. Die Terme der Ausgangsvariablen erhalten zunächst in jeder Regel den Zugehörikeitswert des Ausdrucks.

• Komposition

Bei der Aggregation können einzelnen Termen der Ausgangsvariablen widersprüchliche Werte zugewiesen werden. In diesem Schritt wird durch eine ODER-Verknüpfung (Maximum-Bildung) für jeden Term der Ausgangvariablen ein einheitlicher Wert gebildet.



Tabelle: RegelbasisNegNull Pos

VK I3 I2 I2K I2 I2 INN I2 IN I1G IN I1 I1VG I1 I1 I0

Drehzahl

Drehzahldifferenz

Stromstärke



Aus der(den) linguistischen Ausgangsvariablen muß anschließed ein scharfer Stellwert berechnet werden. Dieser Vorgang wird als Defuzzifizierung bezeichnet.

Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die sich im Rechenaufwand und im Resultat unterscheiden. Methoden (Auswahl)

– Plausibelstes Resultat (Es wird nur ein Term zur Bestimmung herangezogen)• Mean of Maximum MoM

Der scharfe Stellwert berechnet sich als Mittelwert des Terms der Ausgangs-variable mit dem größten Zugehörigkeitswert

– Bester Kompromiß (Es werden alle Terme betrachtet)• Mittelwert (Center of Maximum CoM)

Der scharfe Stellwert berechnet sich als gewichtete Summe über die Mittelwerte aller Terme.

• Flächenschwerpunktsmethode (Center of Area CoA)Der scharfe Stellwert ist der Schwerpunkt der durch die Zugehörigkeitswerte erhaltene Fläche, projeziert auf den Grundbereich.



Darstellung der verschiedenen Methoden

3 4 5 6 7 8

1

CoM

MoMCoA

A B

A

B

0 75

0 5

,

,

A B

MoM

5 5 6 375

5 5

. .

.

CoM

0 75 5 5 0 5 6 3750 75 0 5

5 85. . . .

. ..



Regelauswertung durch ein Neuronales-Netz (NN) (Neuro-Fuzzy)

Biologisches Neuron Technisches Neuron

Arbeitsweise (technisches Neuron)Jeder Knoten liefert ein Ausgangssignal aj zwischen 0 und 1 Die Knoten i,j sind über Kanten e = (i,j) verbundenJede Kante trägt ein Gewicht wij (dieses kann auch negativ sein)Zunächst wird in der Eingangsstufe die gewichte Summe über alle Eingangssignale gebildet.Auf das Ergebnis wird eine Sigmoidfunktion angewendet, die das Ergebnis in den Ausagngswertebereich transformiert

Knoten i

Axon

Knoten jw

i j

Dentriten

aj

ai



Beispiel: UND-Verknüpfung

(Werte aj 0,9 gelten als wahr Werte aj 0.1 gelten als falsch )

Wir setzen die Gewichte wij auf 3,15

Üblicherweise wird zur Summe noch ein Bias addiert. Bias = -4,565

Als Sigmoidfunktion wird der Tangenshyperbolicus verwendet

ae e

e exj

x x

x x

0 5 0 5 0 5 0 5, , . tanh( ) .

A B -4,565(Bias) Sigmoidfkt. Ergebnis0,1 (falsch) 0,1 (falsch) 0,63 -3,935 0,00031888 falsch0,1 (falsch) 1,0 (wahr) 3,465 -1,1 0,09975049 falsch1,0 (wahr) 0,1 (falsch) 3,465 -1,1 0,09975049 falsch0,9 (wahr) 0,9 (wahr) 5,67 1,105 0,90114393 wahr

0

0,5

1

-6 0 6



Bei der Neuro-Fuzzy-Regelung werden meist

Neuronale-Netze mit Schichtstruktur (Layered nets) verwendet

Aufbau

Dieses Netz besteht aus:• einer Eingabeschicht (Input layer),• einer Ausgabeschicht (Output layer) und • einer variablen Anzahl von verborgen Schichten (Hidden layers)

AusgabeschichtEingabeschicht

Verborgene SchichtenKonzeptuell sind alle Neuronen einer Schicht vollständig mit denen der Nachfolgenden verbunden. Falls Kanten nicht benötigt werden, so sind die Gewichte auf 0 zu setzen.



Überwachtes Lernen bei einem Geschichteten Netz

Es gibt eine Menge von Lernmustern (Beispiele, Trainingssets) für die sowohl die Eingabe als auch das gewünschte Ergebnis bekannt sind.

Die Kantengewichte können durch Zufallswerte oder als vorgegebene Werte (vorstrukturiertes Netz) belegt sein.

Durch einen Iterationsprozeß wird versucht durch Veränderung der Gewichte den Gesamtfehler zwischen den erwartetem Ergebnissen und den tatsächlichen zu minimieren.

Das Netz gilt als eingelernt, wenn die Fehlerfunktion ein Minimum annimmt.

Im Betrieb bleiben dann die gelernten Gewichte erhalten und es wird erwartet, daß das Netz auf eine beliebige Eingabe mit sinnvollen Ausgaben reagiert.

Problem:

Es lassen praktische keine Aussagen treffen, wie das eingelernte Netz auf eine unbekannte Eingabe reagiert.


3.2 Steuerung

Steuerung verknüpft binäre Binäre Prozeßsignale und beeinflußt den Prozeß durch das Senden von binären Signalen.

Werden hierbei auch Zeitkriterien berücksichtigt spricht man von einer Ablaufsteuerung.

Bsp. für binäre Signale– Sinale von Schaltern und Stellgliedern– Grenzwertmelder– Zeitgeber– Weichenstellungen– Lichtschranken

Die Realisierung der Steuerung erfolgt durch – Verbindungsprogrammierte Steuerung (VPS)– Speicherprogrammierte Steuerung (SPS)


3.2 Steuerung

Speicherprogrammierte Steuerungen (SPS)

Komponenten einer SPS– Automatisierungsgerät– Programmiergerät– Programmiersprache

Aufbau

ProgrammDaten

Anwenderspeicher

Prozessor

Bef

ehls

regi

ster

Adr

eßzä

hler

Steuerwerk

SystemprogrammSystemdaten

Per

iphe

riebu

s

Digital

Analog

Ausgabe

Eingabe

Ein-/Ausgabe

Ausgabe

Eingabe


3.2 Steuerung

Programmierung einer SPS Arbeitsweise

– Funktionsplan

– Kontaktplan

– Anweisungsliste

&=

E 5.7

E 5.6A 5.6

U E 5.7U E 5.6= A 5.6

E 5.7 E 5.6 A 5.6

Eingabe undFilterung

Verarbeitung derDaten nachAnwender-programm

Ausgabe undFilterung

ZyklischeVerarbeitung


3.3 Führung von Prozessen

Führung: bezeichnet die Aufgabe den Prozeß anhand von überordneten Sollwerten

3.3.1 Führung nach Festprogramm

Der Ablauf des Prozesses ist durch ein festes Programm gegeben. Hierbei werden an den Prozeß die in einem Speicher abgelegte feste Sollwerte bzw. festgelegte Aktionen in Abhängigkeit von logischen oder zeitlichen Bedingungen ausgegeben.



• 3.3.3 Führung nach Prozeßgleichungen



3.3.3 Führung nach Prozeßgleichungen mit Hilfe von mathematischen Modellen


3.4 Optimierung von Prozessen

Bei der Optimierung werden vom Rechner die für eine gegebene Zielfunktion optimalen Sollwerte errechnet.

Hierbei könnnen zwei Arten unterschieden werden– Optimierung bei der Planung

Falls der Prozeß – Optimierung während

Optimierungziele

Minimierung der Rohstoffkosten

Minimierung der Betriebskosten

Minimierung der Fertigungszeit

Maximierung der Kapazitätsauslastung

Maximierung der Produktqualität

Zur Optimierung muß ein geeignetes Verfahren ausgewählt werden


3.4 Optimierung von Prozessen

Klassifikation von OptimierungsaufgabenOptimierungsproblemKonfiguration x = (x1, x2, …, xn)Kostenfunktion C(x) = Min/Max(Durch Vorzeichenwechsel wird aus einem Minimierungs- ein Maximierungsproblem) evtl Nebenbedingungen der Forma11 x1 + a12 x2 +… +a1n xn b1

a21 x1 + a22 x2 +… +a2n xn b2 oder A x b...

Elemente xi

Kostenfkt. C Kombinatorische Optimierung

kontinuierlich diskret

Lineare Programmierung

linear

Nicht lineare Optimierung

nicht linear


3.4.1 Verfahren zur Optimierung

Bsp.: Lineare Optimierung (LP)

Zielfunktion

Nebenbedingungen

0 1 2 3 45 6

7 80

1

2

3

45

67

8

0

2

4

6

8

10

12

x

y

C

C x y 12

N x

N y

N x y

N x y

N y

1

2

312

412

5

2

1

8

5

6

:

:

:

:

:

N1

N2

N3N4

N5



Nicht lineare Optimierung

C(x) ist die Kostenfunktion

C(x(i))

Gradientenverfahren

x(i+1) = x(i)+ C(x(i)) (Maximierung)

x(i+1) = x(i)- C(x(i)) (Minimierung)C muß differenzierbar sein

Startpunkt 1: x(0)

Startpunkt 2: x(0)



Allgemeine Optimierungsmethoden

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

12

34

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

Relaxationsverfahren

Rasterverfahren

Simplex-Verfahren



Kombinatorische Optimierung

Viele der Verfahren der kombinatorischen Optimierung gehören zu der Klasse der NP-harten Probleme. Daher kann meist nur ein annähernd optimales Ergebnis erzielt werden.

Einige allgemeine Verfahren

Branch and Bound

Es wird ein Suchbaum aufgebaut. Eine Kante steht für eine Entscheidung. (Branch) Für jeden Knoten (Abfolge von Entscheidungen) kann eine untere Schranke für das best-mögliche Resultat berechnet werden. Ein Blatt (keine Entscheidung mehr offen) stellt eine Lösung dar. Knoten deren deren Schranke schlechter als die beste bisher bekannte Lösung brauchen nicht weiter betrachtet werden.



Dynamische Programmierung (nicht NP-hart)



Branch and Bound



Evolutionäre Algorithmen

4,61120,08998,20873,18774,53122,62758,65216,08766,8958

4,61120,08998,20873,18774,53122,62758,65216,08766,8958

4,61120,08998,20873,18774,53122,62758,65216,08766,8958

4,61120,08998,20873,18774,53122,62758,65216,08766,8958

4,61120,08998,20873,18774,53122,62758,65216,08766,8958

0,76990,58039,58345,97776,57511,03434,60393,48360,4583

4,61120,08998,20873,18774,53122,62758,65216,08766,8958

4,61120,08999,58345,97774,53122,62758,65213,48360,4583

4,61120,16799,58345,97774,53122,03248,65213,48360,4583

4,61120,16799,58345,97774,53122,03248,65213,48360,4583

4,61120,16799,58345,97774,53122,03248,65213,48360,4583

4,61120,16799,58345,97774,53122,03248,65213,48360,4583

4,61120,16799,58345,97774,53122,03248,65213,48360,4583

4,61120,16799,58345,97774,53122,03248,65213,48360,4583

Selektion


4 Hardware der Prozeßdatenverarbeitung

Prinzipieller Aufbau einer Prozeßdatenverarbeitungsanlage• Indirekte Prozeßkopplung (Off-line-Betrieb)

Stellen und Messenerfolgt manuellevtl. werden die Betriebsdatenin einen Rechner eingegeben

• Direkte Prozeßkopplung

–On-line-open-loop-Betrieb

Eingangsseitig Ausgangsseitig

ProzeßStellen M essen

Dateneingabe

Prozeß

Prozeßrechner

Stellen M essen Prozeß

Prozeßrechner

Stellen M essen


4 Hardware der Prozeßdatenverarbeitung

• On-line-closed-loop-Betrieb

Der Prozeßrechner übernimmtalle Funktionen

• Detailierterer Aufbau

Prozeß

Prozeßrechner

Stellen M essen

A AD D

Prozeß

Prozeßrechner• Regelung/Steuerung• Führung• Optimierung

Stellglied

Signalumformer

Sensor(en)

Meßumformer

AnalogdigitalwandlungDigitalanalogwandlung

Entkopplung


4.1 Sensoren/Aktoren

4.1.1 Sensoren

Sensoren wandeln phsikalische Größen wie Druck, Temperatur, Kraft etc. in eine elektrische Größe z. B. Spannung, Widerstand, Kapazität um. Eine wesentliche Eigenschaft ist der funktionale Zusammenhang zwischen der physkalischen und der daraus abgeleiteten elektrischen Größe. Angestrebt wird meist eine direkte Proportionalität. Diese ist (wenn überhaupt) oft nur für einen eingeschränkten Bereich, dem Meßbereich, gegeben.

Beispiel für einfache Sensoren

Widerstandsthermometer (Temperatur)

Metallwiderstände (PTC) Meßbereich -200°..850°C Meßfehler +/-0,5%

Halbleiterwiderstände (NTC) Meßbereich -100°..+400°C Meßfehler +/-1-5%

Dehnmeßstreifen (Kraft)


4.1.1 Sensoren

Brückenschaltung

Eine Schaltung zur Umwandlung von Widerstandsänderungen von Sensoren in eine Spannung ist die Wheatstone Brücke.

• Nullverfahren

• Ausschlagverfahren

R1

R4R3

R2

U0UV


4.1 Sensoren/Aktoren

4.1.2 Aktoren• Gleichstrommotoren• Wechselstrommotoren• Linearmotor• Schrittmotoren• Hydraulik/Pneumatik


4.2 Datenübertragung/Entkopplung

• Digitale Signale– Übertragung durch Leitungen– Lichtwellenleiter

• Analoge Signale– Fliegende Kapazität– Spannungs-Frequenz-Wandlung


4.2 Datenwandler

4.2.1 Analogdigitalwandler (A/D-Wandler)

Grundsätzliche Überlegungen

Die analoge Eingangsspannung Ue wird durch ein Codewort fester Länge n repräsentiert. Daher ist die kleinste und größte zulässige Eingangsspannung durch die Bauart des Wandlers festgelegt.

Die minimale Auflösung bei N-Bits beträgt

Abtastung Umsetzung in ein Codewort

UU U

LSB N

max min

2

t

Ue

Abtastzeitpunkt

Integration(Mittelwertbildung)

Code

Ue

Skalenfehler

Nichtlinearität

Offset-Fehler

N

N+1 Quantisierungs-fehler


4.2.1 Analog/Digitalwandler

Nachlaufverfahren Spannungs-Frequenz-Umsetzung

-+ Zählerdown / up

Takt

Ue

AD

Ur e f

z = (z ,..,z )( n - 1 ) 0

n/[Takte]0 10 20 30

Ue

CodeFunktionsweise• Komparator: Überwiegt die

Spannung am invertieren Eingang (-) die Spannung am nicht invertierenen Eingang (+), so wird eine log. Null erzeugt.

• A/D-Wandler: Dieser wandelt einen digital Code in eine Analogspannung.

VCO ZählerSensor

Digtalwert



Integrationsverfahren (Dual-Sloop)

-+

-+ Steuerlog ik

M eßdauerzähler

Ergebniszähler

en

en

Takt

UI

Ue

S3

S1

S2

C

R

= Ur e f

Funktionsweise:Ruhezustand: S1, S2 offen, S3 geschlossen (Kondensator entladen)Meßbeginn: S2, S3 offen, S1 geschlossen. Der Kondensator wird während der Meßdauer auf die Meßspannung aufgeladen.Meßauswertung: S1, S3 offen S2 geschlossen. Der Kondensator wird mit der (negativen) Referenzspannung entladen. Gleichzeitig wird der Ergeniszähler gestartet. Erreicht die Spannung Null, so entspricht der Wert des Ergebniszählers der Eingangsspannnung.

UI

t

Ue1

Ue2



Wägeverfahren (Sukzessive Approximation)

Prinzipieller Aufbau des Wandlers

u(t) +

-Steuerung

SARA

D

z = (z(n-1),..,z0)

SOC

EOC

UrefuZ

Funktionsweise

Alle Bits im SAR sind initial auf Null

Ausgehend vom höchsten Bit (z(n-1)) wird zunächst jedes einzelne Bit probeweise auf Eins gesetzt. Ergibt sich eine zu große Referenzspannung UZ, so wird das Bit wieder zurückgesetzt, ansonsten bleibt es erhalten



Beispiel

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

1 2 3 4 5 6 7 8

ue

U UZ Bits

2,50000000 2,50000000 0,00000000 01,25000000 1,25000000 1,25000000 10,62500000 1,87500000 1,87500000 10,31250000 2,18750000 2,18750000 10,15625000 2,34375000 2,18750000 00,07812500 2,26562500 2,26562500 10,03906250 2,30468750 2,26562500 00,01953125 2,28515625 2,28515625 1

Eingangsspannung ue = 2,3 VReferenzspannung Uref = 5 V

uZ vor dem Vergleich uZ nach dem Vergleich



Parallelumsetzer (Direkte Umsetzung)

+-+-+-+-+- +-+-

ue

Uref

12R R R RR R R 1

2R

1 aus n Prioritätsencoder

3-Bit



Delta-Sigma-Wandler

Die Frequenz des Taktes 1 muß für n Bits das n-fache der eigentlichen Abtastrate betragen.

-

+

R

R

R R

Subtrahierer

+

- -

+

Komparator

1 Bit-DAC

-

+R

Integrator

+

- C

UR E F

Takt1

Um e s s



Übersicht DAC (Digital-Analog-Convertor)

24

20

16

12

8

4

100

102

104

106

108

f/[Hz]

Auflösung/[Bit]

Sigm a-DeltaZählverfahren

W ägeverfahrenHalf-F lash

Parallel-um setzung

Sensorik, Meßtechnik

Audio (H iF i)

Sprache(Telekom )

Video, Oszilloskope



Das Abtasttheorem(Shannon-Theorem)

Eine beliebige periodische Funktion läßt sich als unendliche Reihe von Sinusschwingungen darstellen.

(Fourierreihe)

Die Frequenzen der einzelnen Schwingungen sind Vielfache der Grundfrequenz.

Ein analoges Signal läßt sich aus einer Folge von Abtastwerten rekonstruieren, falls die Abtastfrequenz fT doppelt so hoch

ist wie die höchste im analogen Signal vorhandene Frequenz.

f tk

k tk

( ) sin( ( ) )

1

2 12 2 1

0

3

Approximation einer Rechteckschwingung

Bem: Die Fourierreihe einer Rechteck-schwingung ist unendlich.


4.2 Datenwandler

4.2.2 Digitalanalogwandler (D/A-Wandler)

-+ U

a

Ur e f

R R R

2R

2R

2R 2R2RR

N

z1

3z0

2z0

1z1

0

2R 2R

R

U

U/2Widerstand

R

Widerstand2R

Das Leiternetzwerkprinzip


4.3 Prozeßrechner

Integrative Verfahren

Pulsweitenmodulation (PWM)

Eine Folge von digitalne Werten wird in eine Impulsfolge umgewandelt. Die Impulsbreite entspricht dem digitalen Wert.Bsp:x(n)= { 6, 12 }

Die Realisierung erfolgt durch ladbare Zähler

Ein-Bit-Wandler

0 2 4 6 8 10 12 14 16/0 2 4 6 8 10 12 14 16/0

Die Taktfrequenz fOS muß bei einem exakten Ergebnis für N Bits das 2N-fache derAbtastrate betragen(Oversampling)

Int > 0

-2N

0

Analogwertz

Takt fOS


4.3.1 Anforderungen an Prozeßrechner

Echtzeitfähikeit

Hohe Zuverlässigkeit


4.3.2 Unterbrechungsbehandlung


4.4 Zuverlässigkeit und Sicherheit

• Definitionen• Sicherheit

• Zuverlässigkeit



Die Ausfallrate (t) von beschreibt die Anzahl der Ausfälle pro Zeiteinheit. In technischen Systemen hat sie folgenden Form

Die Verfügbarkeit Q(t) ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine technische Komponente oder ein System während der Betriebszeit T bis zum Zeitpunkt t nicht ausgefallen ist

Q(t) = p(T > t)

Die Verfügbarkeit ist exponetialverteilt mit dem Parameter R(t) = e-t

Die Ausfallwahrscheinlichkeit P(t) ist gegegeben als P(t) = 1 - R(t)

(t)

t

Frühausfälle Verschleiß

Zufallsausfälle



Die mittlere Betriebszeit

Es soll nun der Erwartungswert für die Betriebszeit ohne Störung ermittelt werden. Formal:

Nach dem Gesetz der großen Zahl kann der Erwartungswert geschätzt werden zu

Die mittlere Reparaturzeit

Für eine Komponente kann eine Größe MTTR (mean time to repair) geschätzt werden.

)failurebetweentimemean(tenAusfallzeiitenBetriebsze

MTBF

dtdt

)t(dRtm

0


4.3.1 Verfügbarkeit

Formeln zur Berechnung von Verfügbarkeit q, Q und Ausfallwahrscheinlichkeit p, P

• ZusammenhangP = 1 - Q , Q = 1 - P

• Serienschaltung von n Komponenten

• Parallelschaltung von n Komponenten

• m aus n System (n identische Komponenten, m intakt)

P pS kk

n

1

Q qS kk

n

1

P p pSk

m k n k nk n k

n

k

n

k

0

11 !

!( )!

S

q1 q2 qn

p1

pn

pn

S

p1

pn

pn

S

m:n


4.3.1 Konfigurationen von Rechnern


5 Software in der Prozeßdatenverarbeitung


5.1 Echtzeit-Betriebsysteme


5.2 Echtzeit-Sprachen


5.2.1 Semaphor-Konzept


5.2.2 Monitore


Petri-Netze

Petri-Netze dienen der Beschreibung von nebenläufigen Prozessen

Ein Petri-Netz PN ist ein Fünftupel N = (P, T, I, O, M0) mit

• P = { pi | i = 1...m} ist eine endliche Menge Plätzen

• T = { ti | i = 1...n } ist eine endliche Menge von Transistionen• Es muß gelten P T und P T = . P und T sind über gerichtete Kanten

verbunden und bilden eien gerichteteen bipartiten Graph.• I: P T N ist die Eingangsfunktion die • O: T P N ist die Ausgangsfunktion die

• M0: P N ist die initiale Markierung

Ein wichtiges Modellierungsmittele sind die Token. Diese befinden sich in den Plätzen.


Petri-Netze

Arbeitsweise

Zunächst werden alle Plätze mit der Anzahl von Token belegt, die in M0 vorgegeben ist. Eine Belegung der Plätze mit Token wird als Markierung bezeichnet.

Sind alle Eingangplätze einer Transition mit mindestens der in I angegebenen Anzahl von Token belegt so ist die Transistion bereit.


Petri-Netze

• Modelle

Eingangsplatz Transition AusgangsplatzEingangs-bedingung

Ereignis Ausgangs-bedingung

Eingabedaten Berechnungs-schritt

Ausgabedaten

Eingangssignal Signalprozessor AusgangssignalBenötigteRessource

Task Freigabe vonRessourcen

Bedingung Klausel SchlußfolgerungEingangspuffer Prozessor Ausgangspuffer


Sei PN ein Petri-Netz mit m Plätzen und n Transitionen

Die Matriz A (Inzidenzmatrix) ist eine n m Matrix A = [aik]

wobei aik gegeben ist durch:

mit

Eine Markierung oder Zustand ist ein m 1 Spaltenvektor

Mk = (M(p1), M(p2), ..., M(pm)T

mit M(pi) ist die Anzahl der Marken auf dem Platz pi

Die Feuerregel kann nun formiliert werden durch

Die Transistion ti ist bereit falls

Der n 1 Spaltenvektor ur wird als Steuervektor bezeichnet. Eine 1 an der i-ten Position mit sonst nur 0 bedeutet daß in einer Feuerfolge

a a ai k i k i k, , ,

a O t p und a I p ti k i k i k k i, ,( , ) ( , )

a M p für k mi k k, ( ) ... 1


Die Markierung Mr nach dem feueren einer Transition ti in Markierung Mr-1 läßt sich ausdrücken durch

Hierdurch erhält man eine notwendige Erreichbarkeitsbedingung durch

Eine Markierung Mr ist durch eine Feuerfolge U = {u1,u2,...,ur} erreichbar falls

M M A u mit ui

r rT

r r

1 0 1 0


5.4 Aufbau von Automatisierungssystemen

Fertigung Lager

Interner Transport

Externer Transport

AuftragsannahmeBestellung

Entwicklung Buchhaltung

Geschäftsführung


6 Bussysteme


6.1 Bushierarchie


6.2 Beispiele


6.2.2 IEC-625-Bus (IEEE 488)

Der IEC-Bus entstand als Norm aus dem von HP vorgestellten GPIB (General Purpose Interface Bus)

Eigenschaften• Byte-paralleler Bus für Laborautomatisierung• Zentrale Busvergabe• maximale Buslänge 20 m• Übertragungsraten 330 KB/s, 500KB/s bis 1MB/s


6.2.2 IEC-625-Bus (IEEE 488)

Aufbau eines IEC-Bussystems

16 Bus-Leitungen

ControllerBusvergabe

TalkerDaten senden

ListenerDaten empf.

ListenerDaten empf....

DIO 1-DIO 8

Steuerbus


6.2.3 VME-Bus


6.2.1 CAN-Bus


6.2.4 Profi-Bus

+

-

Ua

Ue

UN

Ie

IN

IR

R1

RN

+

-

Ua

Ue

UN

Ie

IN

IR

R1

+

-

Ua

Ue

UN

Ie

IN

IR

RN

C

C

UC

S pannungverstärker

Integrator

D iffe rentiato r

+

-

UaU

1U

2 UN U

P

UD

Ie

IN

IR

R1

RP

R2

RN

+

-

Ua

Uk

Uk - 1

U3

U2

U1

UN

Ik

Ik - 1

I3

I2

I1

IN

IR

Rk

RNR

k - 1

R3

R2

R1

S ubtrahierer

U m kehradd ierer

Prozeßdatenverarbeitung Heinrich Krämer Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig...

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