Literatur 509

Die eben zitierten Beispiele besitzen sämtlich eine nicht-Riemannsche Metrik. Dies folgt aus dem bekannten Satz von BELTRAMI, den man so formulieren kann:

Eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, die sich geo­dätisch auf ein Gebiet des reellen n-dimensionalen projektiven Raumes abbilden läßt, ist ein Raum konstanter Riemannscher Krümmung.

Hieraus erhält man leicht das folgende Ergebnis: Ein vollständiger n-dimensionaler Riemannscher Raum, der sich geodätisch auf ein Gebiet des reellen n-dimensionalen projektiven Raumes abbilden läßt, ist iso­metrisch dem n-dimensionalen euklidischen, hyperbolischen oder sphärischen Raum. Vermutlich kann man die Differenzierbarkeits­voraussetzungen noch wesentlich abschwächen, indem man die Alexan­drowsche Krümmungstheorie heranzieht.

Außer dem elliptischen Raum ist kein Beispiel eines Raumes vom elliptischen Typ mit Riemannscher Metrik bekannt. Eine bisher un­bewiesene Vermutung besagt, daß die elliptischen Räume die einzigen Räume vom elliptischen Typ mit Riemannscher Metrik sind. Diese Ver­mutung ist äquivalent mit der folgenden: Die sphärischen Räume sind die einzigen Sphäroide mit Riemannscher Metrik. Beide Vermutungen gehen auf W. BLASCHKE [lJ zurück.

In diesem Zusammenhang ist eine Kennzeichnung der höher­dimensionalen elliptischen und sphärischen Räume von H. BUSEMANN [lOJ interessant: R sei ein Raum vom elliptischen Typ bzw. ein Sphäroid der Dimension ~ 3 und vom Durchmesser b. Jeder Kreis schneide jede Peri­sphäre vom Radius r< b bzw. r< 1/2 b in höchstens zwei Punkten. Dann ist R isometrisch einem elliptischen bzw. sphärischen Raum. Der Fall der Dimension 2 bleibt offen. Ein entsprechender Satz für Geraden­räume gilt nicht.

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Namen- und Sachverzeichnis

Abbildung, beiderseits längentreue 123 ~, beschränkte 65 ~, dehnungsbeschränkte 82 ~, gleichmäßig stetige 62 ~, längentreue 122 ~ , lokal isometrische 204 ~, stetige 58 ~ , topologische 11 Abbildungen, gleichgradig stetige 78 ~, gleichmäßig beschränkte 81 ~, ~ dehnungsbeschränkte 82 ~, homotope 186 ~ , isotope 189 ~, lokal gleichmäßig beschränkte 81 ~,~ ~ dehnungsbeschränkte 82 ~, punktweise beschränkte 81 Ableitung einer Menge 30 Abstand 1 ~, innerer 118 Abweichung zweier Mengen 19 Achse einer Isometrie 447 ALExANDRow, A. D. 140, 148, 162, 280,

288, 297, 311, 353f., 359 Anfangspunkt 97 äquivalente Punkte 223 ~ überlagerungsräume 213 ARoNszAJN, N. 148, 155,302 AscoLI, Satz von 81 Asymptote 460, 466 ~ vom Typus u 467 Ausgangsrichtung 296 Äußeres einer Kurve 421 ~ ~ Menge 16

Bahn eines Punktes 223 baryzentrische Koordinaten 236 ~ Unterteilung 246 Basis 36 Begrenzung einer Menge 16 Begrenzungspunkt 16 Berührung zweier Kurven 296 Berührungspunkt 17 BIEBERBACH, L. 379, 382, 394, 396 BING, R. H. 150

BIRKHOFF, G. D. 227, 279 BLANC, E. 155, 158 BLASCHKE, VV. 493, 509 Blätterzahl einer überlagerung 210 BLUMENTHAL, L. M. 3, 150 Bogen 94 Bogenelement des Finslerschen Raumes

129 BORSUK, K. 249 BURCKHARDT, J. J. 379, 382 BUSEMANN, H. 41, 53, 56, 74, 134, 140,

146,169,172,177,193,233,297,308, 311, 359, 363, 414, 420f., 446, 455, 461, 49~ 493, 49~ 501, 504, 508t

Cantorscher Durchschnittssatz 26, 37 CARATHEODORY, C. 140 CARTAN, E. 308, 343 CLIFFORD, VV. K. 359 Co-Strahl 455 COHN-VOSSEN, S. 487

Darstellung eines Dreiecks 309 ~ ~ Dreiseits 310 ~, euklidische 290 DAY, M. M. 302 Deckkomplex 248 Decktransformation 220 Decktransformationsgruppe 221 Deformation, isotope 189 ~ von Abbildungen 186 ~ von Mengen 188 Differenzierbarkeitsstruktur der Klasse r

128 Dimension eines Komplexes 238 diskrete Gruppe 224 Distanz des Typus u 468 Dreieck 290 Dreiecksungleichung 1 Dreiseit 310 Durchgangspunkt 160 ~, allseitiger 160 Durchmesser einer Menge 19

33*

516 i'famen- und Sachverzeichnis

Ende eines geodätischen Strahls 165 -, geöffnetes 484 -, zugespitztes 484 endlicher Teil einer Fläche 487 Endpunkt 88, 97 entgegengesetzt orientierte Kurven 96 Erweiterung 1 -, stetig konvexe 151 Erzeugende eines Zylinders 480, 481 Exzeß, absoluter 328 -, oberer 328 -, relativer 328 -, starker unterer 337 -, unterer 328

F-äquivalent 83 FEODOROFF, E. 379 FET, J. A. 279 FINSLER, P. 308 Fluchtpunkt 160 - eines geodätischen Strahls 165 Folge, beschränkte 25 -, Cauchysche 24 -, konvergente 22 F-orientierungsgleich 96 FRECHET, M. 1, 25, 31, 35, 83 FRICKE, R. 413 FROBENIUS, G. 383 Frobeniussche Kongruenzen 374 Fundamentalbereich 228 Fundamentalgruppe 195 Fundamentalquader 11 Funktion, konvexe 428 -, eigentlich konvexe 428 Fußpunkt 182

Gebiet 48 der F-Krümmung ~ K (~ K) 440 der Krümmung ~ K (~ K) 310, 311 der Riemannschen Krümmung ~ K(~ K) 316 negativer Krümmung 427

-, normales 422 Gegenpunkte 490 Geodätische 168 -, geschlossene 168 geodätische Schleife 276 Gerade 168, 421 Geradenraum 418 Geschlecht einer Fläche 406 gewöhnlicher Punkt eines Strahls 415

G-Fläche 421 GIESEKING, H. 413 Gleitspiegelung 471 GOURSAT, E. 403 Graph 72 Grenzdrehung 471 -, hyperbolische 408 Grenzradius 475 Grenzsphäre 458 Grenzzyklus 412 Grundkomplex 248 Grundsimplex 238

HADAMARD, J. 186, 203, 413, 447, 455, 467,487

HAMEL, G. 508 HANTZSCHE, W. 379 Häufungspunkt 30 HAUSDORFF, F. 1, 27, 29, 50, 53, 57, 90 HILBERT, D. 141 homöomorph 11 Homotopie, freie 196

längs (!, g) 467 - von Abbildungen 186 - von Kurven 194, 196 HOPF, E. 490 HOPF, H. 172, 359, 363, 401 ff., 412 Hülle, abgeschlossene 17 -, vollkonvexe 151 -, vollständige 29

Identitätsaxiom 1 Indikatrix 130 Innere Geometrie 123 Inneres einer Kurve 421 - - Menge 15 Invarianz der Dimension 286 Involution 398 Isometrie 2 -, axiale 447 Isometriegruppe 2 Isometriegruppen, kongruente 364 isometrische Einbettung 2 Isomorphismus von Komplexen 242

JAMES, R. C. 302 JORDAN, P. 302

KAKUTANI, S. 302 Kategorie einer Menge 263

Namen- und Sachverzeichnis 517

Kelch 487 Kette 44 KILLING, W. 359, 363 KLEIN, F. 359, 363, 404, 413 KNASTER, Satz von 281 KOCH, H. v. 117 KOEBE, P. 359, 404, 409 Kompakturn 31 Komplex 238 -, homogen m-dimensionaler 238 -, lokal euklidischer 238 -, topologischer 239 Komponente 47 Komponentenzerlegung 47 Konvergenz 60 -, abgeschlossene 50 -, gleichmäßige 65 - , lokal gleichmäßige 68 -, stetige 64 konvex, einfach 152 -, fast 155 -, metrisch 147 -, stark 154, 183 -, stetig 148 Kreis 168 KURATOWSKI, C. 68, 281 Kurve, F-Kurve 88 -, geodätische 164 -, identische 194 -, nichtausgeartete T - 93 -, normale T- 105 -, orientierte F- 96 -, - T- 95 -, polygonale 144 -, rektifizierbare 102, 112 -, singuläre T - 96 -, T-Kurve 88 Kurvenstück 98 Kürzeste 140 -, ausgeartete 142 -, geschlossene relative 203 -, relative 201 Kürzestenkegel 348

~-Deformation 270 ~'-abgeschlossen 272 ~'-Deformation 271 LANDSBERG, G, 308, 313 Länge einer Kurve 102, 106, 112 - eines geodätischen Strahls 165 längenäquivalente Räume 123 Längenkonvergenz 114

Lebesguescher Pfiastersatz 284 Leitkurve 348 Limes 22 -, abgeschlossener 50 -, oberer (unterer) abgeschlossener 50 LINDENBAUM, A. 1 LIPPMANN, H. 297, 307f. LÖBELL, F. 404 LORCH, E. R. 302 Lot 182 - vom Typus u 468 LUSTERNIK,L. 263, 266, 279

Mannigfaltigkeit, geschlossene 239 - ,m-dimensionale triangulierbare 239 -, n-dimensionale topologische 128 -, offene 239 MAYER, W. 134, 140, 146 MAzuR, S. 302 Menge, abgeschlossene 18 -, beschränkte 19 -, dichte 19 -, diskrete 31 -, Fa-Menge 21 -, G~-Menge 21 -, in sich kompakte 31 -, insichdichte 31 -, isolierte 31 -, kompakte 31 -, offene 11 -, perfekte 31 -, totalbeschränkte 33 MENGER, K. 2f., 109, 147f., ISO, 152,

161f., 169, 173ff" 297, 418 Metrik 1 -, Busemannsche 53 -, fast konvexe 155 -, Hausdorffsche 56 -, induzierte 1 -, innere 118 -, Minkowskische 13 metrisches Produkt 10 Minimalmenge 272 Mittelpunkt 147 MORSE, M. 39, 279 MYERS, S. B. 150

NAGUMO, M. 302 Nebenwinkel, Satz vom 317 NEUMANN, J. v. 302 N IELSEN, J. 490

518 Namen- und Sachverzeichnis

Norm 8 Normalbereich 234 Normalform einer Fläche 405 Normalkoordinaten 303 normierter Vektorraum 8 NOWACKI, W. 379, 396

OHIRA, K. 302 orientierbare Fläche 406 Orientierung einer Kurve 96 orientierungsgleiche Parameterdarstel-

lungen 95

parallele Geraden 463 Parameterdarstellung 83 -, ausgeartete 89 - modp 94 -, normale 105 -, reduzierte 113 -, reguläre 131 -, stückweise reguläre 131 PASCH, Axiom von 423,507 PEDERSEN, F. P. 313, 440 Perisphäre 157 POINCARE, H. 279 Polyeder, rn-dimensionale euklidisches

238 -, rn-dimensionales topologisches 238 Polygon 143 Projektion 10 Punkt eines metrischen Raumes 1 -, absoluter konjugierter 172 -, äußerer 16 -, einfacher 87 -, innerer 15 -, isolierter 30 -, konjugierter 415 -, mehrfacher 87 Punktgitter, rn-dimensionales 367

Quotientenraum 223

RADO, T. 87 Randkomplex 241 Randmenge 16 Raum, Banachscher 25 -, bogenverknüpfter 116

der ex-Richtungen 442 der F-Krümmung ~ K (~K) 440 der Krümmung ~ K (~K) 310 der Riemannschen Krümmung ~K (~K) 316

-, einfacher F- 87

Raum, einfacher T- 87 -,F-Raum 83 -, finit bogenverknüpfter 116 -, finit kompakter 39 -, G-Raum 177 -, Hausdorffscher 12 -, Hermitesch-elliptischer 506 -, Hilbertscher 9 -, kompakter 31

konstanter Riemannscher Krüm­mung 354

-, linearer metrischer 8 - lokal beschränkter Krümmung 311 -, - kompakter 41 -, metrischer 1 - mit innerer Metrik 121 -, n-dimensionaler elliptischer 399 -, n-dimensionaler Finslerscher 129 - , n-dimensionaler hyperbolischer 7 -, n-dimensionaler Minkowskischer 9 - , n-dimensionaler sphärischer 5 - negativer Krümmung 427 -, normaler 21 - ohne Umwege 116 -, quasikonvexer 158 -, Riemannscher 130 -, separabler 35 -, T-Raum 83 -, topologischer 11 -, vollständig ausgearteter F- 84 -, vollständiger 25 -, vollständig normaler 21 - vom elliptischen Typ 493 Raumform 359 -, elliptische 402 -, euklidische 364 -, hyperbolische 364 -, sphärische 364 Raumformenpro blem, Clifford-Klein-

sches 359 Raumgruppe 226 -, elliptische 403 -, euklidische 364 -, hyperbolische 364 -, kristallographische 367 -, sphärische 364 -, zerlegbare 382 Retrakt 254 -, absoluter 249 Retraktion 254 Richtung 296 -, ex-Richtung 442

Namen- und Sachverzeichnis

Richtung, normale 346 Richtungskegel 348 -, normaler 348 RINow, W. 172

Schale eines Punktes 173 Schiebung 471 - . hyperbolische 408 Schiebungsgröße 448 SCHNIRELMANN,L. 263, 266, 279 SCHÖNFLIESS, A. 379 Schwerpunkt eines Simplex 246 Sehne 347 SEIFERT, H. 401 Seiten einer Geraden 422 Senkrechte 472 Simplex 236 Sinusmetrik 442 SMIRNOW, J. 12 SPERNER, Satz von 283 Spernersches Lemma 280 Sphäroid 493 Spitze eines Kürzestenkegels 348 Strahl, asymptotischer 460 -, divergenter geodätischer 165 -, geodätischer 165 -, gerader 168 -. sich schließender geodätischer 166 Symmetrieaxiom 1

T-äquivalent 83 Tangentialraum 128 Teilkomplex 238 Teilkurve 98 Teilraum 1 THRELFALL, W. 401 TIETZE, Satz von 249 Ti~tzesches Trennungsaxiom 21 topologisch äquivalente Metriken 12 - - stetige Abbildungen 83 Torus, n-dimensionaler 370 Trägermenge 84 Translation 8

Überdeckung 37 -, abgeschlossene 37 -, offene 37 Überdeckungssatz, Borelscher 38 -, Lindelöfscher 37 überlagerung 206

überlagerungsabbildung 206 -, reguläre 221 Überlagerungsraum 206 -, regulärer 221 -, universeller 215 Umgebung 16 -, e-Umgebung 20 -. elementare 16 - • sphärische 11 Umgebungsretrakt 254 -, absoluter 249 U morientierung 96 UNDERHILL, A. L. 313 Unendlichkeitspostulat 359 Unterhalbstetigkeit 126 Unterteilung 245 URYSOHN, P. 12

VEBLEN, O. 129 verbindbare Punkte 47 Verbindbarkeitssatz im Großen 141 - - Kleinen 142 - von K. MENGER 148 verkettete Teilmengen 44 Verzweigungspunkt 162 Vielfachheit eines Punktes 87, 94 vollkonvex, metrisch 148 -, stetig 148 Vollsphäre 157

WALD, A. 147 WATANABE, S. 401, 403 Weg 193 -. identischer 195 -. inverser 195 WENDT, H. 379 wesentlicher Wert 272 WHITEHEAD, J. H. C. 129, 183 WILSON, W. A. 297 Winkel 297 - , IX-Winkel 441 -, äußerer 296

eines Kürzestenkegels 348 - - Richtungskegels 348 - im starken Sinne 320 -, oberer 291 -. starker unterer 337

ZASSENHAUS, H. 379 Zentralunterteilung 246

519

520 Namen- und Sachverzeichnis

Zerlegung, simpliziale 238 -, zulässige 269 ZORN, Satz von 166 zusammenhängend 43 -, einfach 198 -, im Großen n-dimensional 258 -, im Kleinen n-dimensional 258 -,lokal 48 -, - einfach 198

Zusammensetzung von Kurven 98 zusammenziehbar 188 -, in sich 188 -, lokal 188 Zwischenpunkt 146 Zwischenwertsatz 63 Zylinder 248 Zylinderkomplex 248 Zylinderkonstruktion 247