,r, ,i. - freshman institute | Local website · egun F rgib' t. t- J [, tm fr= ='- I 1 m rg It F a...

1i8

Die Gleichung lälfalsch: Die Sunrne

als die Länge der

Lösuruern DER AuFcABENZU DEN AUTEEBEN

UND HINl{EI]§E,i:i

Aufgabe I"

''L' '

i

i:i't)

* lB'l = ;ä + B'f ist im allgeraein.n'],p.1'1,,der Längen zweier Dreieckse.iten isi größarrdritten Seite. -

,,.,

Die Gleichung f if *

-l-tt = 1ä + üf ist dann und nur ,.r,

"."

richtig, wenn ä und t gleiche Richtung ,na gi"i.h. ;;i;-tierung haben J'---i'r

Die Gteichung fäf - lBl.= lr_ ül isr ebenfalts dann und.;ur dann richtig, wenn ä und t.gleiche Richtung ,r, ,i.""

hlenn die Vektonen ä, ü, ä einen ,,geschlossenen, Strrec,kenzug,bilden (siehe Skizze), gilt: ä * ü - ä =;-

-"' -,"

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fä+81 =8,

AC=.+ ,»3*b, Dt=ä-t,

ffi=ä-ü-

t^+.+rL=D-c

.lsc, GE=-ä +.D

äufgaäe 5

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I

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A*e=ä+6+ä,

o

FQi = + Fzl

:.]r i i,,l

i i'r''l',],,i ,

lFr

Frl +lF2l -z lFr I tF2lcost

= 8,17 N

E= 8'2 cm * F2l =lFr 8,re,,lil .';'l

: I ':l'i '

Die Figur, die dureh d{e'Väkto'

ren äo und Bo aufgespannt wird,

ist ein Rhombus. Die Oiagonal,e

im Rhombus ist d'ie I'linkelhal'

b i erende.

läot +lfio!=Ziäo'*fät I ,Gt+?' 1'1cosa1ä,S; dieserl{ert

ist nicht irmer gleich 2. Anschaulich: Die Länge der '''

Diagonalen im Rhornbus ist nicht gleich der §umme der|iSei ten'längen.

läo * 60l = 1ä01 + lBol ist dann und nur dann richtiE,

wenn ä und B gleiche Richtung und gleiche grientierüng

haben. (o ä, B = 0!)

, lii,

:. Ji

a)

b)

,.' iilj

I i.lrn,

,i., rlt .:ill .;,llil': ,

120

Behauptung: P*Q = sh

ß.ql

sh=-Rt=-(* et* oal'22

,b - ,h=l1Eb+Bb+0+Sh|

nun ist Ab + gt + eb + Dtr ,,i,ü

also P8 = Sh

ot=*rt-*rb :

P3=-sP=-flo?*fatt

Qh - p3 = | f*, + ib + Dä + Ab; = ['

Beweis' pä+ ob - * ft

q.e.d.

Vektor)

Ebenso gilt

ä=3Säo=1

äo=-BoAä-2=6läol = lBol

läol - lBol=

also Qh = P§

1)

i

3)

4)

5)

6)

D

kann richtig sein

ist falsch (l ist kein

kann richtig sein

ist falsch (siehe 2)

ist immer rfchtig

lio - Bo; kann richtig sein

r : {' l''

Aufgabe 10

i:::! '., ri

ijj

r'l .1

,,1

,:.,1,r:tlr.:l \

.:ll'

l,,iit,,,:',llri]l I

.ir:

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.:':ll

uB=+i

,u=;rea =*r-i,

autfry' u

ii I .,i.. .

c

'r i,t ,

&=mft=r(+ä-if, =nä+B

r>+bLrä*9rB=nä34

1r=n lJL4

f,r=1 I'=5 n=5' r

B=rrä+nrä

fi] =.,[i) .,,

fi)1=11+Znt2=7nL-nL

R teilt ft von D aus im Verhältnis 4 :, 5'''i';i

In} -St'=#*|n*o

s1 .A?-äro-fn

=fa*ää,.$r-ää-äB

'i*ä-*t :::

-2=-9m1+3n1

Das System ist erfülltr1durchrt=ä nt=ä

r=*ä.+äDie Aufgabe ergänzt das Zahlenbeispiel.

zi++ü=r+ä, -t?äy- 6ä,gä- zi= sär*14äy'17äz

l llr.1.rl,i'ii.. J:F,,ä

ll'i,.;r 1l

ii:I

rr'

t'

i

, , , - -.rf,:ri..'i I iir

,i i ri

!!, ,

,i!

1. i,'

;'iL,i

t2?

a) P-f,2=r2-F1

[iJ fj] til

=[iJ

tri

(i) lili, * |ti, -

lil

tl *

1.+v t't

n, und n, müssen berechnet werden. Dazu setzt man-)-t4

F, + n. rr+ft-Zf,

-* Fr;Fszi,'1- "1 T= "Z* net-

L

Daraus erhält man die drei Gleichungen

x, + n- x2+x3-2x1

- -, h xr+xr-Zx,^1 -"1 T=^Z*1;-

l2+t3-2Y,_v.+n-bvrlz

tft;2Y,=!2*fr)' u

'2Zo*Z^-22

Z,*fr. t " !=r 4h zr+zt-22,r 1 Z '2"'?T

bekonrmt man n, = 3 nZ= tdaß sich prS, und prS, in S,

0s' = ir+m, T§, = F1**1(ßr-Op1) = ir*r, ir*Fr-'it

,J'z

Aus dfesen Gleichungen

Es wird nun angenommen,

schneiden. Dann gilt

sj

.,r3

P2 ry'3=r3-r2 =(i) tfl

=|il

?'f3=F3-Fl

1;-t'2 'l'2+ i2)

Allgemeine lösung (kann überschragen werden - die rech-nerische Lösung befindet sich am Ende)PrS, und prS, sollen sich in S schneiIen.

++-)-.+of = Fr + nr[§, = Fr+nr(rsr-Uü)=i, + n,

rr+rt-Zf,rrz

o3 = Fz * ne$s = ir+nrlotr-op2)=i2 * n, it*ir'liz

lzz

Aufgabe 14

0S, = Fg*ra p3§1 = ?r*rrtdr-drl = ?r+m,

bekonnt man

ir+ir-z7,t^ T ttt^rrz

Dies ist wieder ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen.

Hieraus erhä'lt man ml = t , r, = 3. Das heißt nun nl = m1

und info'lgedessen § = S'] Die drei Seitenhalbierenden eines

Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt teiltdie Seitenhalbierenden im Verhä'ltnis 2 : 1.

Wenn dieser Sachverha'lt - als aus der E'lementargeometrie

bekannt - vorausgesetzt wird, kann der Beweis wegge'lassen

werden. Für den Schwerpunkt gilt dann die Formel:

l?3

+ .+ -->rL+r2-z?3

Durch Gleichsetzen+ J Sr^+i^-2f.

p,*lllr z J L'lrz

ß=Fr

S hat die Koordinaten S 1ltOtll.

Es ist lFl = lF, + F, | = [fr44-* N = 13 N

+->aundc sind kollinear

ä, B, ä,-ä sind komplanar.

B, z', o{

Jl0S =3

3

. + 1.+a) ^

= i.,

.Aufgabe 15

Aufgabe 16

Auf,gabe 17a)

b)

b) A]Ie vier Vektoren

fdenn x = -8 und z = 6 sind, gilt ä = -182

lz 1 1

Aus l-t 3 yls-z-g

= Q folgt J = 10

:l .,i

;mö

+a+

h

=m

3

äN

l-

ta

ch

3

a

st

IIll

icl

,.

?3

-Zt

rg it

= (n

tsi1211l

r0/

r-1

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egun

F

rgib't.t- J

[,tmfr=

='- I

1

m

rg

It

Fa

1r

F

Di

Da

glich, wenn giitn b)N

lil+nlj)und n=2

und FU = 2 Btl

.,[j,l -

82,45o

,l lil= 420

4(s,

1,24

Zerl

raus e

är.rf,ge&e,1I€

Aufgabe 19

Man

Dann

Al so

erhä

ist

F

lbl = e

g'l=r(l

läl =g

,, =* [iJ

cos a(ä, rl = ij- 4+56-16 = *f * 4 e ü= 570

läl lBl 81

är B * ä t = o

b) ä.8'=0->

= Q q,e.d.Aufgahe,20|;l t?

üa,

lt

COS 4

+.|a.ex

0 *y = - §[] lfl =5+ 2v+4=

)

Aufgabe 21

2 *? .? Gl.

'tr! ' tE

/rllol =Q, Bäl0/ vtl

4

=- * ti-,89.1

Bl

,il

är)

e)

)

)

x

:

v

=Q

-|A'x

cos a(ä,

cos a(ü, B'r ä, är) = 9oo=Q

c)

a)

b)

c)

a)

a)

b)

'LC? ,

und

ä ist senkrecht

s*A'lso ä ö =

b.c=

bt sich

gilt lbl cos

ebenso

b)90

2?5

io

81

++ta x b = l-

Iä undlt

-zu ä und

(i)(i)

{il ti)!='4Y=-6

senkrecht zu B.

=-§+y+52=0

= 12+2y-?z=0

undz=2

?*O+?>a.D

a1ä, By = lBl =-' lät lBl++a.b

a(ä, B')Bo = l;i. a

.++a.ba(ä, B)Bo =

-- B

Ib I'

:.::,:;Aufgaba 22

..:Aufgaba 23

I

Autgatu 24

Äuf,gaü.e 35

'.,, )

't,.i

''l'l''.1,.,..:. ,::t :::, .

Es ergi

e(ä),,B.=

B'. = lÜl cos

ta

,.1

t,l'(i)+(i)

+ ,-l>,äb = lal

fil =

ß) =tb

?7t43-2

fi)ist

/-ro 1

lzsl .

I ,u/_+*

also a x D

ll riitl

= Q und (äil '(j) =Q

ii.ir . lii.ti.rlfiJ'(l)

FEcAAB'=itfir.trfrl FE=ä {6 rE

Aufgaba 26

Aufgabe 27

AufEabe 28

Aufgabe 29

Aufgabe iO

I(,i.'[il.F|il .lil Ld.[ifl =[;üJ

1+ä+sB1 * 1zä-+Ü1

lr'r.rä.(jI *r'r=rßr)r

ilr)

+.)*ay*a*=d,

är)=-är"(ä**är)=ä,

I' 'il r-'r=

ii ;ll =

tlll = -ä* + ä,

F=--x

(ä* *

xex

.>*ty

xtr'z

{{il /, 1 üil /l ;l i/

126

{ä, * ä,)"

(ä* * är) "

c) f E**i)

l (4ä*-eä.)

b) (oä* -zär)

c) (nä* -zär)

ä * t ist senkrecht zu ä,istäxtsenkrechtzuB,

q. e.d.

*äi

= - , ä, Vektor in y-Richtung

= 2 ä, + 4 ä, vektor in x-z-Ebene

= - O ä, Vektor in y-Richtung

deswegen tst ä1ä, B) = 0 ebensoatso ü1ä * t) = o

a)

b)

" (ä**i,)

,,;l:1"

, .;l;:,i

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r:.rjjti

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l-2 2 4la)

I I I ,il = o

, .'. I' i.: : li.

ä uttden ein Linkssystem,1t:,,,:.,:.

,i. -1..

B, ä utlden ein Rechtssystem

ä=38-zä

.," l, ;,1']'

ä, B, ä sind nicht kosplanar

++är Dt

a,

?3113-251=-19

-1 4 -?l

L 4 3l-? 1 5l=18-?171

a)

b)

t:.,:i

i. i irl

rr:.1:!, i'i,

2t2l3 3-31=-424-1 ?l

b)

c) B und ä sind kollinear - ä = ' zÜ; i,Ü,4 sind komplanar

i;r' :; ii; '.,,':li ; i, jill

r i ":

V=37VE

V=80VE

'L. l tll r

Äufgaäd 133

i :. '.1i, ,,

'i: ,r:r . ,l' 1 ,.. 'ij| '

r.lrl',',t

l

I I .r, i.: ,''i .::lr''i :l |rliili.,

Irlfgaäe 35 r

lg s 3llq -z -11 = - 37

lo L zl

l+ z oll-s 3 -21 = 8ol-r 5 2l

a)

b)

I.i

I

1r ,,ii.1. ,li

, .i ,i,,.

t-zl /q \ä.8= I sl lq [ =-B+?o-3br=9 b==4

[-gi [0,/ L L

ä tst senkrecht zu Ü und ä , B' ist senkrecht zu ä und zu*S--iz--q ä;l - i,, r

ä * ü= l-: ; el

= [tl'l

1ä ' ü1.(ä * ü) = (ä * ü)2 = t824 v = 1824 vE

i )1 t: rl, ,'!,,'

I 2-3 4la) (*z* ff3) ' trF- =

l-5 Z _il = Q

:,. :, ,r:

,t

I r -o -slry-= l_i

-E:li =o

sind kollinear. Pl,PZ,P, liegen auf einer

*\b) (PrPzx P1P3) .

Pf, una Ff,Geraden.

,b);

c)

91

92

t?8

a).) lql /-rl^=

t-3/ -'{,3/

P, I iegt auf dieser Geraden . (t = _ Z)

t*, (7,5/-1lo)i sr, (2,s/a/q, sy, (o/-zotg)

ist parallel zu gn

und g, failen zusamnen

' ;!i1: '

, rrl' iii

,=LiJ +, fil

$t =;il.,f iJ

.+ t = 2 und yn,,, ,, ..,,,,'

-_3r24=6

' : l "t,,ir:: tii I rl iil'l.

1.,.,

äufgale 3?..1

, -',i " i.e i:l i :i,. ,.,:i]

.lir .:, '

., : ,,,:. :

llt.;:i:.,r,t,i,1,..:itl

eld.eeäe ,a'::ri:.'i

t,l

_i ;,: i::i . I i,r, -" ;ri t;:i. ::, iiir:,ib)

a)

b)

a_

l-,)[-, /

l,linkel

0+f=l S*y= (3/3/O)

= ä; cos r1i,ür) = *; a i ä, =

zwischen i Uzw. g und x-y-Ebene:

rll:.:'ili i, , jii -:, il'i

': i,,.:i1 i ,rl

,r ,, ii, ::

.t,I li i:il

; ]."; i:'

f''r ! l

i lij, .'r ,,i I

143,30

53,30

,,ir ririr il:i,:..:

lii l; i;l ii' ,rtl,. :

il: ,;',

,i'i,l:

,t i ,,.

. ir::

+

ltl

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I:,1

':,.,

, i ll:t

s Dr,4

/-sl/ toll-r0/

lti

.(.1) .^fr1

- i ersibt sich p (-4

H n'r'o: F= {:il

i"i I ri'i"'.,,1.]ia

/3/-7)

+t2

i r,:'

ti

30

-wÄa

,p = 74150

1,.:,, il l 1r*

'l'l,li:

'lr;i r,

:,lr,ll'i

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tt,rrl:

i. 'iril,t',1

ll;iti,:i::i:,

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:,1i,':i

,lr:t,:

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'lriill',,iiiili

lrrl:ll

.ilfi

ll,ri

,,ri:llitliritl

r:lll.i',il

,lijrl

lllt

a) Für a'l'le Punkte der Geraden gilt z = 0, deshalb f iegt

g in der x-y-Ebene.

b) Y=-2x+7

,'!

äuf9aä6 g1I '.1

, ',1'itii

" rr l:;;rl

c) e = r-lt m=1=-lä,

,' ",

tl '

j, ll

;,),li i

i,,l

aufgabe,4S

.:i,,.i

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it:l!::,,,iiiti

,rilllr

lrrl:ll

,,;i',1

l,.l'

,,ri:llitliritl

r:lll.i',il

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l,lilllt'tl:!l

'lril:t.iirr

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,:i,,,tii

'liltt:

i;t:i:

::l.

.,i.,rrii

,,ili

ii:]i

,i.

'i]r.rii

.|

P3

P4 t,'..tl

.++,->-.)rr1+ma+n(rz-rlJ

LiJ .,fi) .,(l)

(9/-3/-l) tiegt nicht in der Ebene

(l/31-4) .liegt in der Ebene (m = -1, n'0)

111

i:'ti:i,1i,,

:li

'li:,'rrr

,l

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i', .!i. i

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,.I

i:

i-

i: .

:

':,i,l

'ri,It

:tilrt. ,

,,llnl 'ri(':1.,

:,,.1i, nr'

Fijr alle Punkte der x-y-Ebene ruB gelten Z ' 0. Es gibt

beliebig viele Gleichungen, die die x-y-tbefl§ ang*en: .

z.B. i=mä*+nä,lz\

oder i =l-+l + m

\o/Das gleiche gi'lt für die x-z-Ebene: ) c Q : ;'

z.B. i=mär+nä,t,

il ,,-t '1i:'oder

Auch

z.B.

oder

' r "il

;linirr

'l' j :ii

,11: ii.::.i:,,

äl

r=(i) ..fäJ .,(iJ

lrl lzl lt\u=lti/ .'[-3i -'[-3J

in diesem Fall giüt es beliebig viele Gleichungsl"li' :

0-1

130

Die Geraden sind nicht parailer. sie liegen dann und nurdann in einer Ebene, wenn sie sich schnefden:.

[,iJ .,IiJ =

[;;) ., ljl

Die beraden schneiden sich in S ( t/3/Z). (m = Z und n = _3

Ebenensreichuns: * /tl /nl*ri-llo=til -.\-it Io/

der Ebene (n = ?, n = l);

(-6/-2/-6)

Autgabe 45

Aufgäbe 46

Au"fgabe 47

Aufgabe 48

Aufgabe 49

Ebene durch prp, und pr:

F = Fr + m(ir-Fr) + n(ir-Fr) =

uie Gleichung wird nicht durcherfül1t. p4 liegt also nicht inEbene durch prpi und pO:

F = Fz + m(Fr-Fr) + n 1i;ir)

[iJ .,{:fl .,[iJ

die Koordinaten von pn

dieser Ebene.

= fi]

. ^fi). , (_,i)

-+f=

ßJ .. (jJ . ,

['i)Punkt p4 ß/tO/6) Iiegt f n

S4 liegt in der Ebene

Der

also

til.'(iJ .' [;J =

1.'§J . ,

[rl)-,

a)

b)

Die Gerade yerläuft paral.lel zur EbeneDie Gerade verläuft paral.lel zur Ebene

131

Autgabe'5a

eutg4be 51

0 *Po liegt also nicht in der Ebene.33

-?4-4

(i) "(I)Lotfußpunkt:

=-808li 3lz 4

l+ o

=fii) 1.,: iL = fiil

. , liil

L (-1l1/-10)

=-261g ur=*

I-rl I o\=l-11 +mltl+n\-r/ [,,/

Gegeben sind die x-z-Spurgerade und

-=(iJ .,(i) .,ßjs (t/4tto)

*=[;J .,f;J.,ß)

,={i) .^(-;J .'[ä)

(il.fälIt

. 2618 l/E

[ä,)

0-41-6

12 -18

-sslnl-sl

:r

l-s+l I s+\iL=

[ 18/ -,

[-il Lotfußpunkt: L = (-7t-8/-4)

d = ,4309 LE

ERrerR,

Lot:

Abstand

a)

b)

c)

El,

L2.

Die Schnittgerade r, =

gegebenen Geraden. Sie

94. (Sonderfa'11)

die y-z-Spurgerade AutgaE 52

Nrtgabe 53

lz\, [-lJ

ist paral'le] zu den

darübtirhinaus auf die Gerade

Aufgabe 54

132

E, Iiegt parallel zu Er; E3 fällt mit E, zusa._rq_mn,

F=(.il .,[iJ )ti

äufEaäe 56

Aatga*;e. §#,Srz = q*a$l und S*, = (4/-3/o) sind Spurpunkre derSchnittgeraden

+ t+l /+\P =

[.3/ - t

[:i I tst die schnittserade

\r:l,

u=fi] .,[iJ .,[-,iJItzlI-+l F = LLZl5/

a)

b)

Der Abstand vom

I ' ,l =r++

s Punktes von der

I tr'.

: :,1

nrrrrt F-r-jl

Gerade durch p,

ucräde durch p,

*tr-3)r rfl i=tZsenkrecht ,u nrrrr, ffl F = tZ

,i

und den Mittelpunkr von WZ, t_ft F = fe

E, und E, fallen zusamnsni E2 ist parallel dazu.

Nul'lpunkt beträgt

^- Iao I 5I5IXI =-I3:=JY'b

Ebene ist 39,5 LE

36,13

19

de:

=fu

il;tand

t2l.il

Itzl+i3

Itz

{-l

lYilJ

Abs

III

I,IrJDer

Aufgabe 6tzLE,. r';i .,

. . ,ixi*. l: r', jrri

'l:l :r i ; I iil :rl ,i

,{:i1t 1..:l

'r=(:)

(i),=-

+(.i)

a)

b)

c)

ist Stellungsvektor der Ebene

r=b

i

tnrn, = lzt:l , urrn, = $t?)o trrn, = (*I'§.$Ti.iiil :li rri;':i i1$.':i lili:i;i

lr

iili,'

lirllIriI:

il. i,ti I,

lit

lj.'

lr

rii; ,

ii

ii ,

ilirr,ii,,l|,, I

i,,tlltlll

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l,

illi,.'...l'l

lr,llr'

ii,

lit

lr.

riilli:1l

:l

rg,t,

,l r i :,,;l:

, ..1 '. i., ,',1,;,,i'; t..r,i ti.f.i.{,,.:ri.:i "t ' 'li

t,",i

92

92

91

91

falIen zusarunn

sind senkrecht zueinander

l' "' 'i

' ';l!

i ,,, illi :

a) Die Ebene

b) !9,47o

a) ?5,?o

ist parallel zur x-z-Ebene::i .l:rl. i .;,: ::

L iriiif ll;11 : rf,.ri, ':ii. :irr;, ,i. :i r' :

' 'ir:ij irr.li:r,j,t '"

1(91, 92) = L28,25o

14 /f3h_ =-l[;s3 13

und

und

7ß[ =

- LEi92s

hlinkel mit der x-Y-Ebene 21,80

llinkel mit der Y-z-Ebene 33,850

?L,60

a ) 26,40 b) 26,40

zur x-y-Ebene! )

1{ l[7[=91 Ll

, ,:,.:l

.,,, i"'r.'!r hl'ri,' l:.iiiJr.'

*ufryff..§.-§.i1l...

,, , , ,.1:i

c) soo 10ie Ebene ir§t plrall,qI,r,

b) 41,8?0

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