Abschlussprf ung zumRealschulabschluss und diesem gleichwert ige Abschlsse Mat hemat ik Hinweise und Beispiele zu den zent ralenschrif t lichen Prf ungsauf gaben St and: 13.11.2010 Freie und Hansestadt Hamburg Behrde fr Schule und Berufsbildung Impressum 6. Auflage, 2010. Herausgeber: Freie und Hansestadt Hamburg Behrde fr Schule und Berufsbildung Landesinstitut fr Lehrerbildung und Schulentwicklung Moorkamp 3, 20357 Hamburg Referatsleitung Mathematik, Naturwissenschaften, Informatik, Technik: Werner Renz Fachreferent Mathematik: Winfried Euba Gesamtredaktion H/R: SusiAgethen,ClaudiaAmann,ChristophBorr,RonaldBuchholz,AndreasBusse,FriedhelmDieck-mann, Jens Drolf, Winfried Euba, Monika Fnschau, Anneli Grndel, Willi Heinsohn, Dr. Klaus Henning, GerdJacobsen,AstridJestremski,AndreasKalbitz,DorisKnabbe,ChristaKobe,LindaKoch,Helmut Komm,MichaelLammersdorf,KerstinLenz,Dr.WolfgangLding,EckhardLohmann,JuliaMarasas, Gabriele Mller-Sonder, Helga Nagel, Maike Nebl, Elke Notz, Ilse Oetken, Renate Otter, Karsten Patzer, Christel Piwitt, Martin Richter, Sabine Riekhof, Martina Rhl, Thorsten Scheffner, Jrg Schwan, Gabriele Siebert,StephanieSpendel,LarsSpiegel,HelmutSpringstein,UlrichTimm,ThomasvonFintel,Gisela Weltersbach, Thorsten Wichmann, Karen Wissen, Karin Witt, Brbel Zweiling. Alle Rechte vorbehalten. Internet: www.mint-hamburg.de/MA/ Hamburg 2010 3Inhaltsverzeichnis Vorwort ......................................................................................................................4 1Liste der Arbeitsauftrge .....................................................................................5 2Aufgaben .............................................................................................................7 2.1Aufgaben, die ohne Taschenrechner bearbeitet werden .............................. 9 2.1.1Beispiel fr eine Prfungsaufgabe zum Prfungsteil 1 ....................... 9 2.1.2Beispiele fr Teilaufgaben zum Prfungsteil 1 ................................. 12 2.2Aufgaben, die mit Taschenrechner bearbeitet werden ................................ 18 Idee der Zahl ...............................................................................................18 Idee des Messens .......................................................................................26 Idee Raum und Form ..................................................................................33 Idee des funktionalen Zusammenhangs ..................................................... 46 Idee der Wahrscheinlichkeit ........................................................................ 58 3Erwartungshorizonte und Bewertung ................................................................ 74 4Vorwort Sehr geehrte Kolleginnen und Kollegen, mit den zum August 2003 in Kraft getretenen Verordnungen -Ausbildungs- und Prfungsordnung fr die Klassen 1 bis 10 der allgemein bildenden Schulen (APO-AS), -Ausbildungs- und Prfungsordnung fr die integrierte Gesamtschule (APO-iGS), -Ausbildungs- und Prfungsordnung fr die kooperative Gesamtschule (APO-kGS) und -Prfungsordnung zum Erwerb von Abschlssen der allgemein bildenden Schulen durch Externe (ExPO) werdenzentraleElementeinderschriftlichenAbschlussprfungeingefhrt.Grundlagederschriftlichen Abschlussprfungen sind die Rahmenplne fr die Sekundarstufe I in der jeweils letzten Fassung.In den Regelungen fr die zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben zum Realschulabschluss, die jeweils vor Beginn des Abschlussjahrgangs von der Behrde fr Schule und Berufsbildung verffentlicht werden, werdendieSchwerpunktthemenundKompetenzen,diezurberprfunganstehensowiediemglichen Aufgabenformate fr den aktuellen Jahrgang verbindlich festgelegt.IndervorliegendenHandreichung,diedieentsprechendeVerwaltungsvorschriftausfhrt,werdenBei-spiele fr Prfungsaufgaben vorgestellt, wie sie fr die schriftlichen Abschlussarbeiten im Jahr 2006 und in den nachfolgenden Jahren formuliert werden. Die hier vorgelegten Aufgabenbeispiele korrespondieren mit den in den Bildungsstandards Mathematik fr den Mittleren Abschluss der KMK geforderten Kompe-tenzen,AnforderungenundAufgabenformaten;zumTeilsindauchAufgabenbeispieleausdiesenBil-dungsstandards bernommen worden. DieAufgabenstellungenbercksichtigendiein den RahmenplnenMathematikfrdieSchulformender SekundarstufeIsowiedieindenBildungsstandardsderKMKfrdenMittlerenAbschlussformulierten Leitideen und Anforderungen. Dem Geist der Rahmenplne folgend orientieren sie sich an den zentralen Ideen(Leitideen),diedieInhalteverschiedenermathematischerSachgebietevereinigenunddasmathe-matische Curriculum spiralfrmig durchziehen. ImAnschlussandieAufgabenstellungenwerdenjeweilsdieerwarteteSchlerleistungbeschriebenund Vorschlge fr eine Punkteverteilung in den drei Anforderungsbereichen gegeben. Neu ist, dass die Auf-gaben verbindlich definierte Arbeitsauftrge enthalten und in einemBewertungsschlssel die Vorausset-zungen fr eine gute und fr eine ausreichende Gesamtleistung beschrieben werden. Diese Definitio-nen dienen dem Ziel, mehr Verbindlichkeit und Vergleichbarkeit zu schaffen. In der Hoffnung, dass die vorliegende Handreichung hilfreich fr Ihre Unterrichtsarbeit und der Einfh-rungzentralerElementeindieschriftlicheAbschlussprfungdienlichist,wnscheichIhnenundIhren Schlerinnen und Schlern eine erfolgreiche Vorbereitung auf den Realschulabschluss. Den Koordinatoren und Mitgliedern der Arbeitsgruppe, die diese Handreichung erstellt haben, mchte ich sehr herzlich fr die intensive und zeitaufwndige Arbeit danken. Werner Renz Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 51Liste der Arbeitsauftrge Mehr noch als bei dezentralen Aufgaben, die immer im Kontext gemeinsamer Erfahrungen der Lehrenden und Lernenden mit vorherigen Klassenarbeiten stehen, mssen zentrale Prfungsaufgaben fr die Schle-rinnenundSchlereindeutighinsichtlichdesArbeitsauftragesunddererwartetenLeistungformuliert sein. Die in den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben verwendeten Operatoren (Arbeitsauftrge) wer-deninderfolgendenTabelledefiniertundinhaltlichgefllt.EntsprechendeFormulierungenindenvo-rausgehenden Klassenarbeiten sind ein wichtiger Teil der Vorbereitung auf den Realschulabschluss. Neben Definitionen und Beispielen enthlt die Tabelle auch Zuordnungen zu den Anforderungsbereichen I,IIundIII,wobeidiekonkreteZuordnungauchvomKontextderAufgabenstellungabhngenkannund eine scharfe Trennung der Anforderungsbereiche nicht immer mglich ist. Anforderungsbereich I: Reproduzieren DiesesNiveauumfasstdieWiedergabeunddirekteAnwendungvongrundlegendenBegriffen,Stzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhnge herstellen DiesesNiveauumfasstdasBearbeitenbekannterSachverhalte,indemKenntnisse,FertigkeitenundF-higkeiten verknpft werden, die in derAuseinandersetzungmit Mathematikauf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u.a. mit dem Ziel, zu eigenen Problem-formulierungen, Lsungen, Begrndungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Arbeitsauftrge und Anforderungs-bereiche DefinitionenBeispiele Angeben,nennenI-II Formulierung eines Sachverhaltes, Aufzh-len von Fakten etc. ohne Begrndung und ohne Lsungsweg. Gib an, wofr die Variable m in der Gera-dengleichung y = mx + b steht. Nenne ein Beispiel, in dem lineare Funkti-onen in der Realitt auftreten. Auseinandersetzen II-III Kreativer Prozess, mindestens auf dem Anforderungsniveau II. Setze dich mit den uerungen der Sch-lerinnen und Schler auseinander. (z.B.: Aufgabe 11, Bildungsstandards) Auswhlen I-II Ohne Begrndung aus mehreren Angebo-ten eines auswhlen Whle ohne Hilfe des Taschenrechners diejenige Zahl aus, die dem Wert von 199am nchsten kommt. Begrnden II-III Fr einen angegebenen Sachverhalt einen Begrndungszusammenhang herstellen. Begrnde, warum der abgebildete Graph die Situation nicht richtig beschreibt. Begrnde, warum eine quadratische Glei-chung hchstens zwei Lsungen hat. BerechnenI-II Ergebnis von einem Ansatz ausgehend durch nachvollziehbare Rechenoperationen gewinnen. Die Wahl der Mittel kann eingeschrnkt sein. Berechne ohne Benutzung des Taschen-rechners den Wert des Ausdrucks 23 + 32. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 6Arbeitsauftrge und Anforderungs-bereiche DefinitionenBeispiele BeschreibenII-IIIDarstellung eines Sachverhalts oder Ver-fahrens in Textform unter Verwendung der Fachsprache. Es sollten hierbei vollstndige Stze gebildet werden; hier sind auch Ein-schrnkungen mglich (Beschreiben Sie in Stichworten). Beschreibe, wie sich A ndert, wenn x grer wird. Beschreibe, wie man den Flcheninhalt dieser Figur bestimmen kann. Besttigen I-II Eine Aussage oder einen Sachverhalt durch Anwendung einfacher Mittel (rechnerisch wie argumentativ) sichern. Besttige, dass in diesem Fall die Wahr-scheinlichkeit unter 10 % liegt. Bestimmen, ermitteln II-III Darstellung des Lsungsweges und Formu-lierung des Ergebnisses. Die Wahl der Mittel kann frei, unter Umstnden auch eingeschrnkt sein. Bestimme die Lsung der Gleichung 12 x x - . Bestimme die Lsung der Gleichung3x 5 = 5x + 3 durch quivalenzumfor-mungen. Bestimme grafisch den Schnittpunkt. BeurteilenIII Zu einem Sachverhalt ein selbststndiges Urteil unter Verwendung von Fachwissen und Fachmethoden formulieren. Beurteile, welche der beiden vorgeschla-genen Funktionen das ursprngliche Prob-lem besser darstellt. Beurteile die Diskussion von Yildiz und Sven. Entscheiden II-III Bei Alternativen sich begrndet und ein-deutig auf eine Mglichkeit festlegen. Entscheide, mit welchen der vorgeschla-genen Formeln man das Volumen des abgebildeten Krpers berechnen kann. Entscheide, welcher Graph zu welcher Funktionsgleichung gehrt. Ergnzen,vervollstndigen I Tabellen, Ausdrcke oder Aussagen nach bereits vorliegenden Kriterien, Formeln oder Mustern fllen. Ergnze die fehlenden Werte. Vervollstndige die Tabelle. ErstellenI-II Einen Sachverhalt in bersichtlicher, meist fachlich blicher oder vorgegebener Form darstellen. Erstelle eine Wertetabelle fr die Funktion.Erstelle eine Planfigur. InterpretierenII-III Die Ergebnisse einer mathematischen berlegung rckbersetzen auf das ur-sprngliche Problem. Interpretiere: Was bedeutet deine Lsung fr die ursprngliche Frage? Interpretiere die Bedeutung derVariablen d vor dem Hintergrund des Problems. Konstruieren II-III Anfertigung einer genauen Zeichnung, wobei die einzelnen Handlungsschritte einem mathematischen Konzept folgen, was in der Zeichnung erkennbar ist. Hilfsmittel werden benannt, mssen aber gegebenenfalls nicht alle verwendet wer-den. Konstruiere mit Hilfe von Zirkel und Line-al die Mittelsenkrechte der StreckeAB. Konstruiere mit Hilfe des Geodreiecks ein Dreieck ABC mit o = 25, c = 4 cm, hc = 1,5 cm. Skizzieren I-II Grafische Darstellung der wesentlichen Eigenschaften eines Objektes, auch Frei-handskizze mglich. Skizziere den Verlauf des Graphen. Skizziere die Figur, die im Text beschrie-ben wird. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 7Arbeitsauftrge und Anforderungs-bereiche DefinitionenBeispiele VergleichenII-III Nach vorgegeben oder selbst gewhlten Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, hn-lichkeiten und Unterschiede ermitteln und darstellen. Vergleiche Umfang und Flcheninhalt der drei Figuren. Zeichnen I-II Sorgfltige Anfertigung einer grafischen Darstellung. Zeichne den Graphen der Funktion. Zeigen,nachweisen III Eine Aussage, einen Sachverhalt nach gltigen Schlussregeln, Berechnungen, Herleitungen oder logischen Begrndungen besttigen. Zeige, dass das betrachtete Viereck ein Drachenviereck ist. Zuordnen I Ohne tiefer gehende Erluterung eine Ver-bindung zwischen zwei Listen herstellen Ordne die Fllgraphen den Gefen zu. 2Aufgaben DiefolgendenAufgabenbeispielefrzentraleschriftlichePrfungenzumRealschulabschlussimFach MathematikwerdenentsprechenddenRegelungenfrdiezentralenschriftlichenPrfungsaufgabenin zwei Aufgabenformaten vorgestellt: Aufgaben, die ohne den Einsatz des Taschenrechners bearbeitet wer-den sollen, und Aufgaben, zu deren Lsung der Einsatz des Taschenrechners vorgesehen ist. DieschriftlichePrfungdauert135Minuten(3Unterrichtsstunden),essindinsgesamt100 Punktezu erreichen.Der Aufgabenteil I (ohne Taschenrechner) ist in 45 Minuten, einem Drittel der zur Verfgung stehenden Arbeitszeit, zu bearbeiten. Dementsprechend wird ihm etwa ein Drittel der Gesamtpunktzahl zugeordnet (34 von 100 Punkten). FrdenzweitenAufgabenteilII,deraus3PrfungsaufgabenbestehtundbeidemderEinsatzdesTa-schenrechners vorgesehen ist, stehen danach zwei von drei Unterrichtsstunden, also insgesamt 90 Minu-ten(30MinutenproAufgabenteil)zurVerfgung.DementsprechendwerdenihmetwazweiDrittelder Gesamtpunktzahl zugeordnet (3-mal jeweils 22 Punkte = 66 Punkte). Die 3 Aufgaben im zweiten Aufga-benteil knnen gegebenenfalls auch in Teilaufgaben, die unabhngig voneinander sind, vorgelegt werden. DieAufgabenbeispieleenthaltennebenderAufgabenstellungdenErwartungshorizont(dieerwartete Schlerleistung) und Vorschlge fr eine mgliche Bewertung. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 8Bewertung: Bei der Festlegung der Prfungsnote gilt die folgende Tabelle. Bewertungseinheiten Bewertung RealschuleGesamtschule 901B 2 851B 2 802+B 3+ 752B 3 702B 3 653+B 4+ 603B 4 553B 4 504+A 2+ 454A 2 404A 2 335+A 3 265A 4 195A 5 < 196A 6 Bewertungskriterien fr die Noten gut und ausreichend: Die Note 2 (gut) wird erteilt, wenn annhernd vier Fnftel (mindestens 75 %) der erwarteten Gesamt-leistung erbracht worden sind. Dabei muss die Prfungsleistung in ihrer Gliederung, in der Gedankenfh-rung,inderAnwendungfachmethodischerVerfahrensowieinderfachsprachlichenArtikulationden Anforderungenvollentsprechen.EinmitgutbeurteiltesPrfungsergebnissetztvoraus,dassneben Leistungen in den Anforderungsbereichen I und II auch Leistungen im Anforderungsbereich III erbracht werden.Die Note 4 (ausreichend) wird erteilt, wenn annhernd die Hlfte (mindestens 45 %) der erwarteten Gesamtleistung erbracht worden ist. Dazu muss mindestens eine Teilaufgabe, die Anforderungen im Be-reich II aufweist, vollstndig und weitgehend richtig bearbeitet werden. Bei erheblichen Mngeln in der sprachlichen Richtigkeit ist die Bewertung der schriftlichen Prfungsleis-tungjenachSchwereundHufigkeitderVersteumbiszueinerNoteherabzusetzen.Dazugehren auchMngelinderGliederung,FehlerinderFachsprache,UngenauigkeiteninZeichnungensowiefal-sche Bezge zwischen Zeichnungen und Text. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 92.1Aufgaben, die ohne Einsatz des Taschenrechners bearbeitet werden 2.1.1 Beispiel fr eine Prfungsaufgabe 1.Multiple-choice-AufgabenLsung S. 74 Gib die richtigen Lsungen (A, B, C oder D) in der letzten Spalte an. AufgabeABCDLsung a) 3416 6448 483 812 b) 300 08 0, 242402,40,24 c)2,5 h = min125 min250 min150 min84 min d) 14m = cm 25 cm0,75 cm0,25 cm75 cm e)24 km = m2400 m24 000 m240 m0,24 m f) 34 = 25 %0,75 %75 %0,25 g) 11 18 22 3527936 h)Um welchen Faktor ndert sich das Volumen eines Zy-linders, wenn der Radius ver-doppelt wird? 2468 i)Addiert man zu einer Zahl 325, so erhlt man 712. Wie heit die Zahl? 411010374133910 j)3 : 3 =....93 31 91 k)2 (x 6) = 2x 12x 8x 122x 6 l)Welche Gleichung gehrt zu folgendem Zahlenrtsel? Addiert man zum 4-fachen einer Zahl das 6-fache einer zweiten, so erhlt man 6. 4x + 6y = 64+x+6+y = 6 66 4 y x6 - y x m) Von 4 Gefen wird der Rauminhalt bestimmt. In wel-ches Gef passt am meisten hinein? 40 l400 cm4 m0,4 dm n)EinFahrzeuglegtinfnfMi-nuteneinenWegvon6km zurck.Wiehochistseine (Durchschnitts-) Geschwin-digkeit? 30kmh48kmh60kmh72kmh Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 10 AufgabeABCDLsung o)Ein Geschftsmann konnte seinen Gewinn im letzten Jahr um 8 % steigern. Der Mehr-gewinn betrug 4000 . Wie hoch war seinGewinn im Jahr zuvor? 50 000 320 5 000 32 000 2.DeowirkungLsung S. 75 Die Werbung fr ein neues Deodorant verspricht: Anhaltend frischer Duft den ganzen Tag. Entscheide, welche dieser grafischen Darstellungen dem Werbeslogan entspricht. Begrnde deine Entscheidung. a) b) c) (K: Wirkstoffkonzentration, t: Wirkungsdauer) Schreibe deine Entscheidung (a), b) oder c) auf:Begrndung:_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 3.Flchenanzahl und Flchenarten Gib an, wie viele Flchen von welcher Art das Werkstck in der Abbildung enthlt. ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 114.Flcheninhalt bestimmen Bestimme den Flcheninhalt der fett umrandeten Figur. Platz fr deinen Lsungsweg (du darfst auch die Abbildung beschriften): __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 5.Planetenentfernungen PlanetVenusMarsMerkurJupiter Entfernung der Planeten-bahn von der Erdbahn(in Mio. km) 38,3245,580588 Zehnerpotenzschreibweise 1 Ziffer vor dem Komma Gib die Entfernungen in Kilometern in Zehnerpotenzschreibweise mit einer Ziffer vor dem Komma (wis-senschaftliche Notation) an. 6.Quadratische Ergnzung a)Gib die quadratische Ergnzung und den Klammerausdruck an: x2 5x + __________= ( ______________________ )2 b)Der Graph der Funktion mit dem in a) ergnzten Term ist eine Parabel. Gib die Koordinaten des Scheitelpunkts an: S (_______ | ________) Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 12 2.1.2Beispiele fr Teilaufgaben zum Prfungsteil I 1.BuchstabenrtselLsung S. 76 THIS +IS HARD In dieser Summe stellt jeder Buchstabe eine der Ziffern 0, 1, , 9 dar, gleiche Buchstaben stellen die gleiche Ziffer dar. a)Begrnde, dass der Buchstabe I eine der Ziffern 5, 6, 7, 8, 9 darstellen muss. b)Welche Ziffer(n) kann H darstellen? Begrnde deine Antwort. c)Welche Ziffer(n) kann T darstellen? Begrnde deine Antwort. d)Gib zwei mgliche Lsungen fr die Summe an. 2.TeilbarkeitsbehauptungenLsung S. 76 7, 8, 9 und 110, 111, 112 sind Beispiele fr Folgen mit drei aufeinander folgenden Zahlen. Entscheide, ob die Behauptungen a), b), c) fr alle denkbaren solcher Folgen jeweils wahr oder falsch sind: a)In jeder solchen Folge gibt es eine Zahl, die durch 3 teilbar ist. b)Das Produkt aller Zahlen einer solchen Folge ist durch 6 teilbar. c)Das Produkt aller Zahlen einer solchen Folge ist durch 4 teilbar. 3.DruckereiLsung S. 76 Ein Druckereiladen druckt unter anderem auch Postkarten und berechnet die Kosten fr das Drucken von Postkarten mit der folgenden Formel: 6000 20- nK . Dabei ist n die Anzahl der zu druckenden Postkarten, K die Kosten pro Postkarte in Cent. a)Die Firma erhlt einen Druckauftrag fr (genau) 5000 Postkarten. Berechne den Preis einer Post-karte nach der angegebenen Formel. b)Beschreibe, wie sich die Druckkosten fr eine Karte ndern, wenn die Druckauflage steigt, also mehr Karten gedruckt werden. c)Entscheide, ob eine Postkarte 6 Cent kosten kann, wenn obige Formel als Berechnungsgrundlage verwendet wird. Begrnde deine Antwort. d)Interpretiere, welche Bedeutung in der angegebenen Formel die 6 (Cent) haben knnte. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 134.Preisvergleich beim RollerkaufLsung S. 77 a)Petra will einen Motorroller kaufen. Bei zwei Hndlern hat sie sich Preisangebote eingeholt. Sie mchte den Roller bar bezahlen. Berechne, welcher Hndler billiger ist. Kawasuki Peter Rolli XZR 2 250 bei Barzahlung3 % Rabatt Rollercenter Paul Rolli XZR 2 199 b)Sie hat vor 2 Jahren einen Betrag von 2000 zu einem Zinssatz von 5 % bei der Bank angelegt. Berechne, ob das Geld fr den Motorroller reicht. 5.Fehler mit BinomenLsung S. 77 Michael berechnet mit der ersten binomischen Formel:24 = (20+4) = 400 + 160 + 16 = 576 und schreibt seine Ergebnisse in eine Tabelle. Leider ist er in der Anwendung der binomischen Formeln nicht sehr sicher. 24334251692 57690916042601 a)Entscheide, ob die Ergebnisse richtig sind und gib im Falle eines Fehlers die korrekten Lsungen an. b)Beschreibe, welchen Fehler Michael vermutlich gemacht hat. c)Michael berechnet jetzt auch noch 692. Dabei wendet er eine andere binomische Formel an, weil ihm dadurch das Kopfrechnen leichter fllt. Gib diese binomische Formel an, und berechne mit ihrer Hilfe das Ergebnis von 692. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 14 6.ProzentaufgabenLsung S. 78 Gib die richtige Lsung in der rechten Spalte an. Falls du Lsungsskizzen bentigst schreibe sie neben die jeweilige Aufgabe. AufgabeLsung a)Welcher Anteil der gesamten Flche ist grau? b) = 72 Wie viel % der Kreisflche sind schwarz? c)Der Preis einer Hose, die 60 kostet, wird um 20 % gesenkt. Welchen Preis hat die Hose nun? d)Bei der Brgermeisterwahl gab es folgendes Ergebnis: Kandidat AKandidat BKandidat C 798 Stimmen395 Stimmen1193 Stimmen Wie viel Prozent der Wahlteilnehmer whlten Kandidat C? e)Mehr als sieben Millionen Menschen verunglcken jedes Jahr bei Unfllen. Unfallrisiko Nr.1:Freizeit und Haushalt58 % Beruf 29 % Verkehr 13 % Welches Diagramm stellt diesen Sachverhalt dar? (1)(2)(3) Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 157.FahrradtourLsung S. 78 Das Diagramm beschreibt den Ver-lauf einer Fahrradtour. a)Gib an, welche Streckenlnge bis zur Pause zurckgelegt wurde. b)Gib an, wie lange die Pausedauerte. 051015202530350 0,5 1 1,5 2 2,5Zeit in hWeg in km 8.BenzinverbrauchLsung S. 78 Der Graph zeigt die Tankfllung eines (wenig Benzin verbrauchen-den) Pkws whrend einer Auto-bahnfahrt an. a)Gib an, welche Strecke seit Antritt der Fahrt bis zum ersten Tankstopp zurckgelegt wurde. b)Gib an, wie viele Liter Benzin beim ersten Tanken gekauft wurden. c)Gib den Benzinverbrauch pro 100 km an, zunchst vor dem ersten Tank-auffllen und dann zwischen dem ersten und zweiten Tank-auffllen. d)Berechne den Benzinverbrauch pro 100 km fr die Gesamtstrecke. 10100 200 300 400 500 600 7002030405060Benzinmenge im Tank (in l)gefahrene Strecke(in km)Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 16 9.AutorennenLsung S. 79 Die Rennstrecke eines Grand-Prix-Rennens ist normalerweise nicht so ein-fach wie nebenstehende Skizze, doch die Skizze gibt das Prinzip wieder. Zeichne einen Graphen, der die Ge-schwindigkeit eines Rennwagens in der ersten Runde in Abhngigkeit von der Zeit zeigt und begrnde den Verlauf deines Graphen. 1234 Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 1710.Flche bestimmenLsung S. 79 a)Bestimme den Flcheninhalt der grau markier-ten Figur. b)Bestimme den Flcheninhalt der grau markier-ten Figur, wenn die Kantenlnge eines kleinen Quadrats jetzt nicht mehr 1 cm betrgt, son-dern variabel ist. 11.Graphen zu Gefen zuordnenLsung S. 80 Nachstehend folgen einige Graphen, die einen Zusammenhang zwischen dem Volumen und der H-he des Flssigkeitsstands in Gefen beschreiben.Nenne zu jedem Gef (a), (b), (c), (d) einen der Graphen (A) (F), der den Zusammenhangzwischen Hhe der Flssigkeit und Volumen am besten beschreibt. Begrnde deine Entscheidung jeweils kurz! Und das sind die Gefe, die bis zum Rand gefllt werden sollen: Ein MessbecherEine VaseEine FlascheEin Parfmflakon Gef(a) Messbecher(b) Vase(c) Flasche(d) Flakon Graph eintragen Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 18 2.2Aufgaben, die mit Hilfe des Taschenrechners bearbeitet werden Idee der Zahl 1.DIN-FormateLsung S. 81 IndieserAufgabegehtesumdievomDeutschen InstitutfrNormung(DIN)festgelegtenPapier-formate der Reihe A.WiedieFormatemiteinanderzusammenhngen, zeigtdienebenstehendeAbbildung.Dasgrte Rechteck stellt das Format A2 dar. a)Eine DIN-A3-Seite soll mit einem Fotokopierer auf DIN-A6-Format verkleinert werden. Gib an, welchem Flchenverhltnis das ent-spricht und begrnde deine Angabe. b)Eine Vorlage im Format DIN-A8 soll mit einem Fotokopierer auf den vierfachen Flcheninhalt vergrert werden. Gib an, welchem DIN-Format die Vergre-rung entspricht. c)Das grte Blatt der Reihe A hat das Format DIN-A0. Es soll auf DIN-A6-Gre gefaltet werden. Berechne, wie viele Lagen Papier am Ende bereinander liegen. d)Die Kantenlngen jedes DIN-A-Blattes verhalten sich zueinander wie2 : 1. Ein DIN-A0-Blatt hat eine Flche von 1 m2. Berechne die Seitenlngen eines DIN-A0- und eines DIN-A4-Blattes in mm. e)Ein DIN-A3-Blatt soll mit einem Fotokopierer auf DIN-A4-Format verkleinert werden. Berechne, auf wie viel Prozent die Anzeige des Fotokopierers eingestellt werden muss. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 19Idee der Zahl 2.LichtgeschwindigkeitLsung S. 82 In dieser Aufgabe geht es um die Lichtgeschwindigkeit: Sie betrgt 52, 9979 10 km s c (km pro Sekunde) a)Bestimme die Lnge der Strecke in km, die das Licht in einer Stun-de zurcklegt, im berschlag. Beschreibe, wie du gerundet hast und warum. b)Berechne die Lnge der Strecke in km, die das Licht in einerStunde zurcklegt, mit Taschenrechnergenauigkeit. c)Da diese Strecke unvorstellbar gro ist, kann ein Vergleich mit anderen sehr groen Strecken ntz-lich sein. Beschreibe den Wert aus Aufgabenteil a) oder b) mithilfe der Entfernung Sonne Erde, die etwa km810 5 , 1 betrgt. d)Berechne, um wie viel Prozent der berschlagswert von dem mit Taschenrechner berechneten Wert abweicht. e)Die Entfernung Sonne Erde betrgt ca.km810 5 , 1 .Beurteile die Aussage: Der Sonnenrand ist schon fast 10 Minuten ber dem Horizont, wenn wir die ersten Strahlen sehen. Hinweis: Der Einfluss durch Brechung der Lichtstrahlen in der Atmosphre bleibt hier unberck-sichtigt. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 20 Idee der Zahl 3.AutokaufLsung S. 82 BeimKaufeinesAutosstelltsichoftdieFrage,obmaneinFahrzeug mit einem Benzin- oder mit einem Dieselmotor kaufen soll.Schaut man sich die Kosten an, die in einem Jahr entstehen, so kann das eineHilfebeiderAuswahlzwischeneinemBenzin-oderDieselmotor sein. Eine Autozeitschrift gibt fr einen bestimmten Autotyp folgende Zahlen an: Auto mit BenzinmotorAuto mit Dieselmotor jhrliche Festkosten*)2 291,40 2 770,80 durchschnittlicher Kraft-stoffverbrauch auf 100 km 6,8 Liter5,3 Liter *) Festkosten sind z. B. Steuer, Versicherung, lwechsel, Reparaturen a)Im November 2004 kostete 1 Liter Benzin 1,19 und ein Liter Diesel 1,05 . Flle die nachfolgende Tabelle aus. jhrlich gefah-rene Strecke Benzinmotor:jhrliche Kraft-stoffkosten Benzinmotor:jhrliche Gesamt-kosten (Kraftstoff-kosten + Festkos-ten) Dieselmotor:jhrliche Kraft-stoffkosten Dieselmotor:jhrliche Gesamt-kosten (Kraftstoff-kosten + Festkos-ten) 10 000 km 20 000 km 30 000 km b)Gib an, bei welchen jhrlich gefahrenen Strecken aus der Tabelle in der Anlage die jhrlichen Ge-samtkosten fr ein Dieselfahrzeug gnstiger sind. c)Berechne, wie viel Geld beim Vergleich der Gesamtkosten bei einer jhrlichen Fahrleistung von 30 000 km mit einem Dieselauto pro Jahr gespart werden kann. d)Berechne, ab welcher jhrlichen Fahrleistung ein Dieselfahrzeug niedrigere Gesamtkosten hat als ein Benzinfahrzeug. e)Ein Neuwagen mit Benzinmotor kostet 17 275 , ein Neuwagen mit Dieselmotor ist teurer und kostet 18 350 .Herr Timm will sich einen neuen Dieselwagen kaufen. Pro Jahr fhrt er durchschnittlich 30 000 km. Be-rechne, nach wie vielen Jahren Herr Timm die Mehrkosten ungefhr ausgeglichen hat. f)Herr Timm hat vor genau drei Jahren 12 000 auf ein Sparbuch mit einem Zinssatz von 2,7 % einge-zahlt.Bestimme, wie viel Geld Herr Timm noch dazulegen muss, um sich jetzt seinen neuen Dieselwagen kaufen zu knnen. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2005, Haupttermin. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 21Idee der Zahl 4.PlanetenLsung S. 83 DiePlanetenErdeundMarsbewegensichaufelliptischen Bahnen(innahezudergleichenEbene)umdieSonne.Zur VereinfachunggehenwirimFolgendenvonKreisbahnen aus.Die Erde ist durchschnittlich 150 000 000 km von der Sonne entfernt.DerMarsistvonderSonnedurchschnittlichrund 230 000 000 km entfernt.EinenichtmastblicheSkizzefindestduaufdembeigefg-ten Arbeitsblatt. a)Zeichne in die Skizze auf dem Arbeitsblatt-die Stellung des Planeten Mars in der kleinsten Entfernung zur Erde mit einem dicken Punkt ein und bezeichne ihn mit M1

-die Stellung des Planeten Mars in der grten Entfernung zur Erde wieder mit einem dicken Punkt ein und bezeichne ihn mit M2.b)Berechne-die kleinste Entfernung zwischen Mars und Erde. -die grte Entfernung zwischen Mars und Erde. c)Zu einem bestimmten Zeitpunkt haben die Planeten Mars und Erde einen Abstand von 150 000 000 km.Berechne, wie lange zu diesem Zeitpunkt ein Funksignal von der Erde bis zum Mars unterwegs ist. Funksignale breiten sich mit der Lichtgeschwindigkeit von rund 300 000 Kilometer pro Sekunde aus.d)Die Abstandsverhltnisse der Planeten sollen auf einem Schulhof dargestellt werden. Dabei soll der Mittelpunkt des Sonnenmodells 20 m vom Mittelpunkt des Erdmodells entfernt sein. Berechne den Abstand des Mittelpunkts des Sonnenmodells bis zum Mittelpunkt des Marsmodells. e)Der Erddurchmesser betrgt etwa 12 760 km, der Sonnendurchmesser etwa 1 392 000 km. Fr das Modell der Erde wird eine Kugel mit einem Durchmesser von 2 cm gewhlt. Beurteile, ob ein aufgeblasener Luftballon mit einem grtmglichen Durchmesser von 1 m ausrei-chen wrde, um ein mastabsgerechtes Sonnenmodell zu erstellen.f)Wie oft wrde das Volumen der Erde in das Volumen der Sonne passen? Begrnde durch Rech-nung. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2005, Zweittermin. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 22 Arbeitsblatt zur Aufgabe Planeten, Aufgabenteil a) Name:___________________________________________________Klasse: ___________ Sonne Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 23Idee der Zahl und des Messens 5.Auf hoher SeeLsung S. 85 Der Kurs eines Schiffes wird als Winkel zwischenNordrichtung und (rechtsdrehend) der Fahrtrichtungangegeben. Kurs 0 bedeutet, das Schiff fhrt genau nach Norden. Kurs 90 bedeutet, das Schiff fhrt genau nach Osten. Im Beispiel (siehe Abbildung rechts) fhrt das SchiffKurs 67. a)In der Anlage 1 sind die Fahrtrichtungen von zwei Schiffen dargestellt. Miss jeweils die Winkel und gib den Kurs der Schiffe an. b)Zeichne die Fahrtrichtungen von zwei Schiffen mit folgenden Kursen: -Kurs 270 -Kurs 210 Gib den Winkel an, der dem Kurs Sdost entspricht. c)Die Strecke, die ein Schiff zurcklegt, wird in Seemeilen (sm) angegeben.1 sm = 1,852 km Ein Schiff legt in einer Stunde 15 sm zurck. Berechne, wie viele Seemeilen das Schiff in128Stunden zurcklegt. Gib dein Ergebnis auch in Kilometern an. d)Ein Kstenmotorschiff fhrt auf der Nordsee mit Kurs 106 und legt dabei 12 Seemeilen pro Stunde zurck. Die Navigationsanlage ist ausgefallen, so dass andere Mittel der Positionsbestimmung heran-gezogen werden mssen. Der Kapitn peilt um 21.30 Uhr in Position A den Leuchtturm L auf der Insel Helgoland unter einem Win-kel von 69 zur Nordrichtung an. Um 21.52 Uhr betrgt der Peilwinkel in Position B 25. Bestimme die Entfernung des Schiffes vom Leuchtturm zum Zeitpunkt der zweiten Messung. Hinweis: Bestimme zunchst die Winkel im Dreieck ABL. [Zur Kontrolle3,8 sm BL= .] e)Das Schiff fhrt mit gleich bleibender Geschwindigkeit in gleicher Richtung weiter. Bestimme, um welche Uhrzeit das Leuchtfeuer genau in Nordrichtung angepeilt wird. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2006, Zweittermin. Sden Norden Osten Westen67 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 24 Anlage zur Aufgabe Auf hoher See Zu II a: Kurs des Schiffes: ____________Kurs des Schiffes: ____________ Zu II b: Kurs Sdost entspricht einem Winkel von _______________. N N Fahrtrichtung Fahrtrichtung Zeichne die Fahrtrichtung eines Schiffes mit dem Kurs 270. Zeichne die Fahrtrichtung eines Schiffes mit dem Kurs 210. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 25Idee der Zahl und des Messens 6.ZimmersucheLsung S. 88 Jens sucht mit zwei Studienfreunden eine Wohnung. Im Inter-net wird eine Drei-Zimmer Wohnung in einem Neubau zur Vermietung angeboten. Sie ist 72 m gro. Der Mietpreis be-trgt 540 im Monat. Hinzu kommen monatliche Nebenkos-ten (z.B. fr Strom, Wasser und Mll) in Hhe von 108 . a)Berechne den Mietpreis pro Quadratmeter einschlielich der Nebenkosten. b)Die Freunde beschlieen, sich die monatliche Miete ein-schlielich der Nebenkosten zu teilen. Berechne, wie viel jeder zu zahlen htte. c)Bei der Besichtigung der Wohnung erfahren sie, dass noch weitere 108 pro Monat fr Heizung und Kabelfernsehen bezahlt werden mssen. Auerdem sind die drei Zimmer unterschiedlich gro, nm-lich ungefhr 18 m, 24 m und 15 m. Die restliche Wohnflche entfllt auf Kche, Bad und Flur, die gemeinsam genutzt werden sollen. Berechne nun die anteilige Monatsmiete unter Bercksichtigung der Zimmergre. d)Jens hat sich das abgebildete Zimmer ausgesucht. Bestimme, welches der drei Zimmer er gewhlt hat. Begrnde durch Rechnung. Entscheide durch Rechnung, ob der Winkel o ein rechter Winkel ist (Skizze ist nicht mastabs-gerecht!) e)JenshltvielvonLebensplanung.AngeregtdurcheinepltzlicheErbschaftinHhevon27 000 mchte er sich nach Abschluss seines Studiums in 6 Jahren eine vergleichbare Wohnung kaufen.Er rechnet dann mit einem Kaufpreis von 120 000 . Beim Kauf mchte er ein Drittel des Kaufpreises an eigenem Geld aufbringen, der Rest soll durch Bankdarlehen finanziert werden. Um den Eigenanteil von einem Drittel anzusparen, mchte er den Betrag von 27 000 fr 6 Jahre bei der Bank anlegen.Der Zinssatz, den Banken ihren Kunden gewhren, liegt derzeit zwischen 4 % und 5 % pro Jahr. Beur-teile danach die Erfolgsaussichten fr Jens Vorhaben. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2006, Haupttermin 3,20 m 3,20 m 4,60 m 3,30 m 2,20 m o 116,3 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 26 Idee des Messens 7.Toca-TolaLsung S. 90 EineGetrnkedosehateinenDurchmesservon6Zentimetern und ist 12 Zentimeter hoch. Erfahrungsgem sind Getrnkedo-sen zu 98,2 Prozent mit dem jeweiligen Getrnk gefllt. a)BerechnedasVolumenderDoseundzeige,dassdieDose mit etwa 333 cm des Getrnks gefllt ist. Gib das Ergebnis auch in Litern an. b)FrdieProduktionvonGetrnkedosenwirdWeiblech verwendet.Berechne,wievielcmWeiblechfrdiePro-duktion einer Dose bentigt werden (Verschnitt, Falze und dieblicheWlbungderBodenflchebleibenunberck-sichtigt). c)rgerlichistes,wenneinStrohhalmwegenzugeringer LngeindieDoserutschenkann.Berechne,wielangein Strohhalmmindestensseinmsste,damiternichtindie Dose rutschen kann. Begrnde deine Antwort.InwelcherLngewrdestduStrohhalmefrdieseDosen-gre herstellen, damit man das Getrnk bequem aus der Dose trinken kann? Begrnde deine Antwort. d)Eine Szene-Bar serviert Tola in Glsern, die die Form einer Halbkugel mit unten angesetztem Fu haben (siehe neben-stehendeAbbildung).DerInhalteinerDosewrdedieses Glasrandvollfllen.BerechnedenRadiusdeshalbkugel-frmigen Glases. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 27Idee des Messens 8.SpielplatzLsung S. 91 Ein Spielplatz hat auf Grund zweier Grben die Form eines Trapezes entsprechend der nicht ma-stblichen Skizze. Fr die Erstellung werden noch einige Angaben gebraucht: a)Um das Gelnde soll ein Zaun errichtet werden. Der Zaun kostet pro Meter 24,50 . An einer Stelle soll ein Tor mit einer Breite von 2,5 m eingebaut werden. Das Tor kostet 689 . Berechne die Gesamtkosten. b)Berechne die Flche des Spielplatzes. c)Auf dem Spielplatz soll eine Seilbahn auf einer ebenen Flche errichtet werden. Das gnstigste Ange-bot besteht aus einem Komplettpaket, das durch die unten stehende Zeichnung beschrieben wird. Der Neigungswinkel der geraden Verbindung der beiden Befestigungspunkte darf hchstens 1,5 betragen, damit der Seilbahnwagen nicht zu schnell wird. Es soll die Lnge des Drahtseiles bestimmt werden. Erfahrungsgem ist ein entsprechendes Drahtseil etwa 12 % lnger als die gerade Verbindungslinie der beiden Befestigungspunkte.Mache eine Skizze, in der die bentigten Strecken vorkommen, und bestimme die Lnge des entspre-chenden Seiles fr den Neigungswinkel 1,5.Hinweis: Wenn Du die Lnge der geraden Verbindungsstrecke nicht ausrechnen kannst, so kannst Du mit der (falschen) Lnge 21 m weiterrechnen. 31,2 m 10 m 18,6 m 8,2 m 6,5 m Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 28 Idee des Messens 9.Wassertank Lsung S. 92 In der nebenstehenden Abbildung ist ein Was-sertank dargestellt. (Abbildung nicht mastabsgerecht) 2,0 m4,5 m6,0 m a)Der zylinderfrmige Teil des Tanks soll von auen einen neuen Anstrich erhalten.Berechne, wie viel Liter Farbe man braucht, wenn 1 Liter fr 8 m2 ausreicht. b)Berechne durch berschlag das Gesamtvolumen des Tanks und kreuze an.Beschreibe, wie du vorgegangen bist. 5 m315 m3 35 m345 m3 c)Der spitze Teil des Tanks wird bis zu seiner halben Hhe mit Wasser gefllt. Berechne, wie viele Kubikmeter Wasser der Tank enthlt. d)Der leere Tank wird gleichmig mit Wasser gefllt. Gib an, welcher der folgenden Graphen zeigt, wie sich die Hhe des Wasserspiegels mit der Zeit n-dert. Begrnde deine Entscheidung. Begrnde fr einen anderen Graphen, warum er nicht die nderung beschreibt. Hhe DZeitHhe BZeitHhe CZeitHhe EZeitHhe AZeitHhe DZeitHhe BZeitHhe CZeitHhe EZeitHhe AZeit Quelle: Bearbeitete Version der Aufgabe aus den KMK-Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Abschluss, 2003. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 29Idee des Messens 10.DreieckLsung S. 92 Die Abbildung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck ABC. Die StreckeDEist parallel zur StreckeAB. ADCEBo54 o a)Gib an, welche Figuren du in der Skizze erkennst. b)Bestimme die Winkelgren von o, , und o. c)Miss in der Zeichnung die Hhe des Vierecks ABED und berechne damit seinen Flcheninhalt. d)Berechne die genaue Lnge der gemessenen Hhe. e)Bestimme den Umfang des Vierecks ABED.Wenn du die Hhe nicht berechnen konntest, kannst du den gemessenen Wert benutzen. f)Berechne den Flcheninhalt des Dreiecks DEC. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2005, Zweittermin 12 cm 8 cm Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 30 Idee des Messens 11.FlurkarteLsung S. 94 Du siehst eine nicht mastabsgerechte Skizze mit den Grundstcken I und II. a)Um die beiden Grundstcke soll ein Zaun mit jeweils einem 3 m breiten Tor errichtet werden. Zustz-lich sollen die beiden Grundstcke durch einen weiteren Zaun voneinander getrennt werden.Berechne die Gesamtlnge aller Zune. b)Die Zaunkosten fr die Auengrenzen betragen 14,25 pro Meter, fr die Grenze zwischen den bei-den Grundstcken 9,85 pro Meter. Ein Tor kostet 626,53 . Berechne die Gesamtkosten. c)Diesen Aufgabenteil sollst du nur in der Anlage bearbeiten. Zeichne die Hhe von C auf die SeiteAB ein. Der Fupunkt der Hhe mitAB soll F heien. Zeichne F ein. d)Die StreckeAFist 53,7 m lang. Zeige, dass die gezeichnete HheCFeine Lnge von ungefhr 67 m hat. e)Bestimme den Gesamtflcheninhalt der beiden Grundstcke und runde auf einen ganzzahligen Wert. f)Bestimme den Flcheninhalt des Grundstckes II und runde auf einen ganzzahligen Wert. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2005, Haupttermin 42 42 C B A 128 m 75 m 96 m I II 25 m 85,8 m Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 31 Anlage zur Aufgabe III Flurkarte, Aufgabenteil c) Name:___________________________________________________Klasse: ___________ 128 m 75 m 85,8 m 96 m I II 25 m C AB 42 42 Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 32 Idee des Messens 12.WindparkLsung S. 97 Fr einen neuen Windpark sollen Windrder aufgestellt werden. Ein Windrad besteht aus drei Rotorblttern. Ein Rotorblatt ist 16 m lang. a)Bestimme durch Abschtzung mithilfe der neben-stehenden Abbildung die ungefhre Hhe des Stahl-turmes (bis zur Achse des Windrades). b)Die sich drehenden Rotorbltter beschreiben eine Kreisflche. Bestimme den Durchmesser und die Gre der Kreisflche. c)Das Spielfeld einer Turnhalle ist etwa 364 m gro. Berechne, wievielmal grer diese Kreisflche ist. d)Bei einer Windgeschwindigkeit von mehr als 25 Me-tern in der Sekunde wird die Anlage aus Sicherheits-grnden gestoppt. Bei dieser Windgeschwindigkeit drehen sich die Rotorbltter in 3 Sekunden 2-mal um die Achse des Windrades. Zeige, dass sich die Spitzen der Rotorbltter dann mit einer Geschwindigkeit von mehr als 240 km/h bewegen. Zunchst sollen drei Windrder an den Standorten A, B und C aufgestellt werden (siehe nebenstehende Skizze). Folgende Daten sind bekannt: c = 285 m51 o 62 e)Aus Sicherheitsgrnden mssen die Standorte der Windrder mindestens 240 m voneinander entfernt sein. Entscheide, ob die Planung diese Bedingungbercksichtigt hat. (Skizze nicht mastblich) f)Der Standort D eines vierten Windrades soll spiegelbildlich zum Standort C bezglichAB liegen. Bestimme die Entfernung zwischen den Standorten C und D. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 33Idee Raum und Form 13.2-Euro-MnzeLsung S. 98 Die 2-Euro-Mnze hat folgende Mae: Durchmesser25,75 mm Durchmesser des goldfarbenen Mittelteils18,20 mm Dicke2,20 mm Gewicht8,50 g a)Berechne das ungefhre Gesamtvolumen der Mnze. (Ergebnis zur Kontrolle:1145, 69 V = mm) b)Berechne den prozentualen Anteil des Volumens des goldfarbenen Mittelteils am Gesamtvolumen. c)Der Rand der Mnze ist bekanntlich geriffelt, er hat genau 250 Einkerbungen.Bestimme den Abstand zwischen je zwei Kerben. d)Jetzt sei ein wrfelfrmiger Behlter mit der Kantenlnge 30 mm gegeben, der zum Teil mit Was-ser gefllt ist. Bestimme rechnerisch, wie stark der Wasserspiegel steigt, wenn man die2-Euro-Mnze in diesen Behlter legt. e)Berechne die durchschnittliche Dichte der Mnze. MasseHinweis: DichteVolumen Die Dichte der Legierung, die den goldfarbenen Mittelteil bildet, ist kleiner als die Dichte der sil-berfarbenen Legierung des Ringes. Es stellt sich nun die Frage, was schwerer ist: der goldfarbene Mittelteil oder der silberfarbene Ring. Gib an, was du erwartest und begrnde deine Erwartung. ?Abbildung nicht mastabsgetreu.Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 34 Idee Raum und Form 14.Mathematische berlegungen am GeodreieckLsung S. 99 Ein Geodreieck ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck (siehe Abbildung rechts).Die HypotenuseABsei 16 cm lang und die beiden Basis-winkel seien jeweils 45 gro. 4516 cm45A BCx x a)Nach Voraussetzung sind die beiden KathetenAC undBC gleich lang. Bestimme die Lnge der Katheten. b)Jetzt wird das Dreieck in folgender Weise verndert: Die StreckeAB wird durch den Punkt R halbiert. Dann werden zwei Winkel der Gre 45 mit Scheitel R wie in der Abbildung abgetragen. Die Schenkel schneiden die StreckenAC undBC in den Punkten Q bzw. P. Konstruiere diese Figur (siehe Abbildung). Die Winkel drfen mit dem Geodreieck gemessen werden. Die Hal-bierung der StreckeABsoll mit Zirkel und Lineal er-folgen. Gelingt dir das nicht, darfst du hilfsweise aus-messen. 45 451 245 45AAQQ PPRRBBCC c)Berechne die Gre der Winkel 1 und 2 (siehe Abbildung). d)Analog zu der Vernderung des Dreiecks ABC in Auf-gabenteil a) wird jetzt das Dreieck RBP verndert (siehe Abbildung). Bestimme den Flcheninhalt des Dreiecks ABC, den des Dreiecks RBP und den des Dreiecks SBT. AAQQ PPRR STBBCC e)Vom Mittelpunkt R der StreckeAB werden Verbin-dungsstrecken zu den SeitenAC undBC gezogen, so-dass das Dreieck RMN gleichseitig ist. Bestimme rech-nerisch die Lnge der StreckeRN . AAN MRBBC Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 35Idee Raum und Form 15.Vom Stern zur PyramideLsung S. 100 Der nebenstehende symmetrische Stern hat folgende Eigen-schaften: Alle Seiten sowie die StreckenACundCEhaben die gleiche Lnge a.ACsteht senkrecht zuCE . a)Wie viele Symmetrieachsen hat der Stern? b)Beschreibe eine Konstruktion des Sterns. c)Die Dreiecksflchen sollen so geklappt werden, dass eine Pyramide entsteht. Bestimme das Volumen der Pyramide fr a = 5 cm. d)Der Stern wird so verndert, dass die StreckenACundAB nicht mehr gleich lang sind. Die Symmet-rie des Sterns bleibt jedoch erhalten. Unter welchenBedingungen kann durch Klappen derDreiecks-flchen eine Pyramide entstehen? Quelle: Bearbeitete Version der Aufgabe aus den KMK-Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Abschluss, 2003. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 36 Idee Raum und Form 16.AchteckLsung S. 101 a)In dem nebenstehenden gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck hat a die Lnge5 cm. Bestimme die Lnge von h. b)Begrnde, dass die folgende Formel den Zusammenhang zwischen a und h be-schreibt: 2 a h c)Hier wird ein regelmiges Achteck ge-zeigt;ein Teil seiner Flche ist schraffiert. Begrnde mithilfe von b) oder durch ande-re berlegungen, dass der schraffierte An-teil den halben Flcheninhalt des gesamten Achtecks hat. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 37Idee Raum und Form 17.StadionLsung S. 103 EinStadion1,indemLeichtathletikundFuball stattfindenkann,hatvonobengesehendielinks abgebildete Form. (Die Zeichnung ist nicht ma-stabsgerecht,nachmessenanderZeichnung macht also keinen Sinn.) DieLaufbahnhatdabeiaminnerenRandeine Lngevon400m.DasFuballfeld(grauunter-legt) ist ungefhr 93 m lang und 68 m breit. a)Berechne die Flche des Fuballfeldes. b)BerechnedieGesamtlngederbeidenHalb-kreisbahnenaminnerenRand(zurKontrolle: 214 m). c)DieMaevonFuballfeldernsindnachden Regelnnichtgenaufestgelegt.FrdieBreite z.B.lassendieRegelnWertezwischen45m und 90 m zu. Begrnde mathematisch, warum bei einer Fuballfeldlnge von 93 m und einer Laufbahnlngevoninsgesamt400meine Fuballfeldbreite von 55 m nicht mglich ist. d)Speerwerfer werfen bis zu 98 m weit. Ihr Speer soll aber noch im Rasen landen. Der Speerwerfer-Abwurfpunktmussalso5mvonderRasenkanteentferntsein.DieAnlaufbahnderSpeerwerfer sollte nicht in die Laufbahn hineinragen. Bestimme: Wie lang (auf ganze Meter abgerundet) kann diese Anlaufbahn hchstens sein? e)Knnte ein Wurf von 105 m noch auf dem Fuballfeld landen? Begrnde die Antwort. f)Die Laufflche besteht aus 8 Bahnen von je 1,20 m Breite. Die Lnge der Bahn wird immer innen gemessen.DerLuferaufderInnenbahnstartetanderStart-Ziellinie.Bestimme,wievielKur-venvorsprunggegenberderStart-Ziellinieein400mLuferaufderAuenbahn(Bahn8)be-kommen muss, damit auch er genau 400 m bis zur Ziellinie luft. Um die Startlinie auf der Auenbahn zu markieren, wird der Winkel eingemessen (vgl. Skizze). Bestimme die Gre von . 1 Die genauen Leichtathletik- und Fuballbestimmungen werden aus Grnden der Vereinfachung hier nur ungefhr eingehalten. Start Bahn 8Start-Ziel68 m93 mAbwurfpunkt5 m AbstandAnlaufbahn Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 38 Idee Raum und Form 18.RettungsringLsung S. 103 UntereinemTorusverstehtmaninderMathematik einen kreisfrmigen Ring, dessen Querschnitt berall kreisfrmigistmitkonstantemRadius.Beispielefr torusfrmigeKrpersindSchwimmreifen,Fahrrad- oder Autoschluche (ohne Ventil). In einer Formelsammlung findet man fr den Torus folgende Angaben: Oberflchenformel: 24 O a r r Volumenformel:2 22 V a r r Die Gren a und r seien so wie in der nebenstehenden Skizze definiert. a)Berechne die Oberflche eines Torus fr a = 1 m und r =0,1 m Ein Rettungsring hat (angenhert) die Form eines Torus. Durch Nachmessen stellt man fest, dass der Auendurchmes-ser 1,20 m und der Innendurchmesser 80 cm betrgt. b)Begrnde, dass dann mit den obigen Bezeichnungen gilt: a = 0,5 m und r = 0,1 m c)Berechne das Volumen des Rettungsringes. d)Der Rettungsring besteht aus einem ausgeschumten Stoff(Dichte:0,2 g/cm3). Auf dem Ring liegt eine Person flach wie ein Brett. Welche Masse (in kg) darf die Person hchstens haben, damit der Ring nicht vollstndig in das Wasser (Dichte 1 g/cm3) eintaucht? Begrnde die Ant-wort. Hinweis: Der Auftrieb, den ein Krper im Wasser erfhrt, ist genauso gro wie die Gewichtskraft des von dem Krper verdrngten Wassers (archimedisches Prinzip). e)In Wirklichkeit liegt eine verunglckte Person nicht flach wie ein Brett auf dem Rettungsring. Setze dich damit auseinander, ob und gegebenenfalls in welcher Hinsicht sich die Antwort auf d) dadurch ndert. Alternative zu d) und e): d) Den Auendurchmesser D und den Innendurchmesser d eines Torus kann man leichter messen als die Gren a und r. Gib deshalb begrndet eine Formel an, mit der man das Volumen eines Torus direkt aus den Gren D und dberechnen kann. e) Ein anderer Rettungsring soll ein Volumen von 60 Litern haben. Damit eine normale Person noch durchpasst, wird fr den Innendurchmesser d der Wert 50 cm gewhlt. Begrnde, dass der Auen-durchmesser D dann kleiner als 90 cm sein muss. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 39Idee Raum und Form 19.EishockeypucksLsung S. 105 Eishockeypucks sind runde Scheiben mit einem Durchmesser von 7,62 cm und einer Hhe von 2,54 cm. a)Zeige, dass das Volumen eines Pucks ungefhr 116 cm betrgt. b)Zwlf Pucks sollen in einer Schachtel mit quadratischer Grund-flche verkauft werden. In der Schachtel liegen je vier Pucks in drei Schichten bereinander.Berechne die Breite und die Hhe dieser Schachtel.Zeige weiterhin, dass das Volumen der Schachteletwa 1 770 cm3 betrgt. c)Wenn die Pucks in der Schachtel liegen, bleibt ein Volumenanteil an Luft in der Schachtel.Gib diesen Anteil in Prozent an. d)Die Schachtel wird aus Pappe hergestellt. Die Pappe wiegt 220 g pro m2. Die Pucks bestehen aus Hartgummi. Hartgummi wiegt 1,45 g pro cm.Ermittle, wie viel eine solche Schachtel mit ihrem Inhalt wiegt. e)Der Sachverhalt aus Aufgabenteil c) soll nun (in der Ebene) verallgemeinert werden. Du siehst jeweils ein Quadrat, in das 1 Kreis, 4 und 9 kongruente Kreise einbeschrieben sind. Stelle dir vor, dass in dem Quadrat n2 kongruente Kreise entsprechend einbeschrieben sind. Zeige, dass der von den Kreisen nicht bedeckte Anteil der Quadrate immer der gleiche ist. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2005, Haupttermin. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 40 Idee Raum und Form 20.GlashausLsung S. 106 Ein Haus soll an der Frontseite mit Glasflchen verkleidet werden, die wie folgt unterteilt sind: a)Berechne die Hhe des Hauses. b)Gib die Anzahl aller quadratischen Glasscheiben an. Berechne ihren Gesamtflcheninhalt.c)In der nebenstehenden Abbildung siehst du einenAusschnitt aus dem oberen Teil des Hauses. Berechne den Flcheninhalt der fnfeckigenGlasscheibe. d)Im 1. Stockwerk des Hauses siehst du links und rechts zwei trapezfrmige Glasscheiben.Zeichne eine Skizze eines dieser Trapeze. Trage die Mae ein, die bekannt sind.Berechne den Flcheninhalt dieses Trapezes. e)Eine Seite des Daches soll mit Sonnenkollektoren bestckt werden. Dazu bentigt man den Flchenin-halt einer Dachflche. Die Lnge des Hauses betrgt 16 m. Das Dach steht an allen Seiten jeweils 1 m ber. Berechne den Flcheninhalt dieser Dachflche. f)Mindestens 30 % dieser Dachflche sollen mit Sonnenkollektoren bestckt werden. Ein Bauteil mit Kollektoren hat die Mae 1005 mm (Lnge) und 605 mm (Breite).Berechne, wie viele Bauteile mit Sonnenkollektoren gekauft werden mssen. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2006, Zweittermin. 29,75 14 m2,8 m2,8 m2 m 1,6 m 2,8 mErdgeschoss 1. Stockwerk 2,8 mRealschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 41Idee Raum und Form 21.BallschachtelLsung S. 108 Eine Sportartikelfirma verpackt jeweils drei Blle in eine Ballschach-tel. Die Ballschachtel hat die Form eines geraden Prismas mit einem regelmigen Sechseck als Grundflche (siehe Abbildung). In die Ballschachtel kommt unten eine Styropor-Schicht von 3 cm Dicke, dann kommen die drei Blle, die alle Seitenflchen berhren. ber den Bllen ist wieder eine Styropor-Schicht von 3 cm Dicke. Die Seitenlnge des Sechsecks betrgt 9 cm. a)Die Blle haben einen Radius von etwa 8 cm. Begrnde, dass die Ballschachtel 54 cm hoch sein muss. b)Berechne den Gesamtflcheninhalt aller sechs rechteckigen Seiten-flchen. c)Die folgende Abbildung zeigt die Ballschachtel von oben, also das regelmige Sechseck und den Querschnitt eines Balles. Zeige, dass die Blle tatschlich nur einen Radius von etwa 7,8 cm auf-weisen. r d)Weise nach, dass die Grundflche der Ballschachtel einen Flcheninhalt von etwa 210 cm hat. e)Bestimme den prozentualen Anteil, den die Blle vom Volumen der Ballschachtel einnehmen. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2005, Zweittermin. 9 cm Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 42 Idee Raum und Form, Idee des funktionalen Zusammenhangs 22.Das neue RosenbeetLsung S. 110 a)In einem botanischen Garten wird eine quadratische Rasenflche von 10 m Seitenlnge neu gestaltet. In das innere Rechteck sollen Rosen gepflanzt werden (siehe Abbildung rechts). Berechne den Flcheninhalt der aus vier Dreiecken bestehenden restli-chen Rasenflche und den Flcheninhalt des rechteckigen Rosenbeets. 3 m10 m3 m3 m10 m3 mRosenbeet b)Jetzt soll die Strecke, die in Aufgabenteil a) 3 m lang war, vernderlich werden. Sie wird nun x genannt. (Siehe Abbildung rechts.) Der Fl-cheninhalt A(x) des Rosenbeets lsst sich durch folgende Funktions-gleichung berechnen: A(x) = 2x + 20x. Entscheide, wie gro x mindestens und hchstens sein kann. Erstelle dann eine Wertetabelle fr die Funktion A(x). Bestimme dazu 5 Funktionswerte. Zeichne die Punkte in das unten stehende Koordina-tensystem ein und skizziere dann die Kurve, die durch diese Punkte verluft. xxxx10 m10mRosenbeet 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10510152025303540455055xy c)Bestimme x, sodass A(x) mglichst gro wird. xA(x) Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 43 d)Bestimme rechnerisch x, sodass A(x) = 18. Zeichne die zu den beiden Lsungen gehrenden Rechtecke in das rechts stehende Quadrat ein. e)Beurteile folgende Behauptung: Wenn x ein Viertel der Seitenlnge des Quadrats einnimmt,so nimmt A(x) ein Viertel des Flcheninhalts des Quadrats ein. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 44 Idee Raum und Form 23.Louvre-PyramideLsung S. 111 Du siehst hier die groe Ein-gangspyramide zum Louvre-Museum in Paris.Ein Buchverlag gibt einen Paris-Reisefhrer heraus.Er bentigt noch einige Anga-ben zur Louvre-Pyramide. a)Die Pyramide hat eine quadratische Grundflche. Die Grundkante dieser Pyramide misst 35,42 m. Berechne die Grundflche der Pyramide. b)Entlang der Grundkanten und ber dem Eingang der Pyra-mide sind insgesamt 70 Glasscheiben in Form gleichschenk-liger Dreiecke angebracht. Darber hat die Pyramide insgesamt 603 viereckige Glas-scheiben, die jeweils doppelt so gro sind wie die dreiecki-gen. Beschreibe die Form der viereckigen Glasscheiben. Bei der Einweihung der Pyramide konnte man einer Zeitungs-notiz entnehmen: Fr die vier Seitenflchen wurden ziemlich genau 2 000 m Glas verbaut, das sind fast 90 Tonnen Glas. c)Bestimme den Flcheninhalt eines dreieckigen und eines viereckigen Fensters. d)Das Spezialglas ist 20 mm stark. Ein Kubikmeter dieses Glases hat eine Masse von 2,2 t.Zeige durch Rechnung, dass die Pyramide tatschlich aus fast 90 Tonnen Glas besteht.Bestimme die Masse einer viereckigen Glasscheibe in kg. e)Bestimme mithilfe der Zeitungsnotiz und der Angabe, dass die Grundkante 35,42 m misst, dieHhe einer Dreiecks-Seitenflche der Louvre-Pyramide. Berechne danach die Hhe der Pyramide so-wie den Neigungswinkel ihrer Seitenflchen. f)Die Louvre-Pyramide hat die gleichen Proportio-nen wie die Groe Pyramide in Gizeh, dieCheopspyramide.Der Neigungswinkel der Seitenflchen ist bei beiden Pyramiden annhernd gleich. Die Seiten-lnge der quadratischen Grundflche der Cheops-pyramide betrgt 230,12 m. Bestimme, wie oft das Volumen der Louvre-Pyramide in das der Cheopspyramide passen wrde. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2006, Haupttermin. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 45Idee Raum und Form, Idee des funktionalen Zusammenhangs 24.Pachoms WegLsung S. 113 Der russische Dichter Tolstoi erzhlt die Geschichte des Bauern Pachom, der fr 1000 Rubel jenes Land erhalten sollte, das er an einem Tag umwandern konnte. Bei Sonnenaufgang brach er von einem Hgel aus auf, nach 18 km bog er im rechten Winkel nach links ab, nach 8 km wiede-rum im rechten Winkel nach links. Nachdem er 12 km in die neue Richtung gewandert war, packte ihn die Angst, nicht rechtzeitig zurckzukommen. Er lief nun geradewegs auf den Hgel zu, erreichte ihn mit letzter Kraft bei Sonnenuntergang und brach tot zusammen.Im Folgenden sollst du nun berlegen, ob sich Pachom dieses Schicksal htte ersparen knnen, wenn er sich vorher einige Gedanken ber seinen Weg gemacht htte. a)Zeichne dazu eine Skizze von Pachoms Wanderweg. b)Bestimme die Lnge von Pachoms Weg. c)Htte die Geschichte kein trauriges Ende gehabt, wie viel Land htte Pachom fr seine 1000 Rubel erhalten?d)War Pachoms Wanderweg optimal oder htte er bei gleicher Weglnge mehr Land umwandern kn-nen? Betrachte dazu Rechtecke, deren Umfang gleich der Lnge von Pachoms Wanderweg ist. Erstelle fr die FlcheninhaltsfunktionSeitenlnge a Flcheninhalt A fr Rechtecke, deren Umfang gleich der Lnge von Pachoms Wanderweg ist, eine Wertetabelle und zeichne den Graphen der Funktion. Gibt es ein Rechteck mit grtem Flcheninhalt? e)Htte Pachom ein gleich groes Land auf einem krzeren Weg umwandern knnen? Betrachte dazu geeignete Rechtecke, deren Flcheninhalt gleich dem von Pachoms Land ist. Erstelle fr die Umfangslngenfunktion Seitenlnge aUmfang u fr Rechtecke, deren Fl-cheninhalt gleich dem von Pachoms Land ist, eine Wertetabelle und zeichne den Graphen der Funk-tion. Gibt es ein Rechteck mit kleinstem Umfang? Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 46 Idee des funktionalen Zusammenhangs 25.FahrradLsung S. 115 Ein Vater will seiner Tochter einen Zuschuss fr ein neues Fahrrad geben. Er macht zwei Angebote: Angebot 1:Die Tochter erhlt 15 sofort in ihr Sparschwein und an jedem folgenden Tag bekommt sie jeweils 5 in das Sparschwein gesteckt. Der Vater zahlt 7 Tage lang. Angebot 2:Die Tochter erhlt 0,90 sofort in ihr Sparschwein. Am folgenden Tag zahlt ihr Vater den Betrag, der schon im Schwein ist, noch einmal dazu. Am nchsten Tag macht der Vater es genauso: Er steckt den Betrag, der jetzt im Sparschwein ist, noch einmal dazu usw. Jeden Tag ist also doppelt so viel im Sparschwein wie am vorangegangenen Tag. Auch hier zahlt der Vater 7 Tage lang. a)Erstelle fr jedes der beiden Angebote eine Wertetabelle und gib an, welches Angebot gnstiger fr die Tochter ist. Angebot 1:Tag Nr. 0123456 Geldmenge im Sparschwein in 15 Angebot 2:Tag Nr. 0123456 Geldmenge im Sparschwein in 0,90 b)Hier sind drei Koordinatensysteme mit jeweils zwei Graphen abgebildet. Whle aus, in welchem FalldieElementederFunktionenEinzahlungszeitpunktamTagxGeldmengeimSpar-schwein in auf den dargestellten Kurven liegen. AB C c)BegrndefrdiebeidennichtgewhltenFlleausAufgabenteilb),warumsiefalschseinms-sen. d)Gib eine Funktionsgleichung an, die zu Angebot 1 passt. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 47e)Whle fr jede der folgenden Aussagen aus, ob sie fr das jeweilige Angebot zutrifft oder nicht. Du musst also in jedes der sechs leeren Felder entweder eintragen "wahr" oder "falsch" Angebot 1Angebot 2 Der Betrag im Sparschwein nimmt tg-lich um den gleichen Prozentsatz zu. Der Betrag im Geldschwein nimmt tg-lich um den gleichen Eurobetrag zu. Der Betrag im Geldschwein wird mit der Zeit grer. f)Die Funktionsgleichung, die zu Angebot 2 passt, lautetf (x) = 0,9 2x. Gib eine Frage an, zu der die Lsung der Gleichung 0,9 2x= 30 198 988,8 im Zusammenhang mit Angebot 2 eine Antwort liefern wrde. Bestimme die Lsung dieser Gleichung. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 48 Idee des funktionalen Zusammenhangs 26.AutokaufLsung S. 116 Beim Kauf eines Autos stellt sich oft die Frage, ob man ein Fahrzeug mit einem Benzin- oder mit einem Dieselmotor kaufen soll. Schaut man sich die Kosten an, die in jedem Jahr wieder neu entstehen, kann das eineEntscheidungshilfebeiderAuswahlBenzin-oderDieselmotorsein.AutosmitBenzinmotorhaben geringerejhrlicheFestkostenalsAutosmitDieselmotor(zudenFestkostenzhltmanz.B.Steuerund Versicherung und auch lwechsel, Inspektionen, Reparaturen usw.). Dieselfahrzeuge hingegen sind beim Kraftstoffverbrauch gnstiger. EinbestimmterAutotypwirdineinerDiesel-undineinerBenzinversionangeboten.BeideVersionen sind im Anschaffungspreis gleich. Eine Autozeitschrift gibt folgende durchschnittliche jhrliche Festkosten an: jhrliche Festkosten (Benzinversion) jhrliche Festkosten (Dieselversion) 2291,40 2770,80 Auerdem ist bekannt, dass man pro gefahrenen Kilometer beim Benzinfahrzeug 0,12 und beim Diesel-fahrzeug 0,08 fr Kraftstoff veranschlagen muss. a)Um einen Kostenberblick fr ein Jahr zu bekommen, kann man die jhrlichen Gesamtkosten beste-hend aus Festkosten und Kraftstoffkosten bestimmen. Erstelle dazu folgende Tabelle: jhrlich gefahrene Strecke jhrliche Gesamtkosten(Benzinversion) jhrliche Gesamtkosten (Dieselversion) 5000 km 10000 km 15000 km b)Bestimme fr jede der beiden Versionen eine Funktionsgleichung zur Berechnung der jhrlichen Ge-samtkosten.DabeisollxfrdiejhrlichgefahreneStreckeinKilometer,f (x)frdiejhrlichenGe-samtkosten in beim Benzinfahrzeug und g(x) fr die jhrlichen Gesamtkosten in beim Dieselfahr-zeug stehen. c)ZeichnemithilfederErgebnisseausdenAufgabenteilena)oderb)diezugehrigenGraphenindas Koordinatensystem auf der nchsten Seite ein. d)Interpretiere deine Ergebnisse: In welchen Fllen ist es gnstiger, ein Dieselfahrzeug statt eines Ben-zinfahrzeugs zu kaufen? e)EinTeilderjhrlichenFestkostenistdieKraftfahrzeugsteuer.Beschreibeundinterpretiere,wiesich eineErhhungderKraftfahrzeugsteuerfrBenzinfahrzeugeaufdeineAntwortaufAufgabenteild) auswirken wrde. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 49Koordinatensystem zu Aufgabenteil c) 5000 10000 1500010002000300040005000jhrliche Gesamtkosten in jhrlich gefahrene Strecke in km Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 50 Idee des funktionalen Zusammenhangs 27.AlsterschifffahrtLsung S. 117 Auszug aus dem Fahrplan: Auszug aus der Fahrpreistabelle: ErwachseneKinder Fr jede Teilstrecke zwischen 2 Haltestellen 1,30 0,65 ab 5. Anleger 6,50 3,25 Hin- und Rckfahrt 8,50 4,25 a)Herr Schmidt will vom Jungfernstieg bis zum Winterhuder Fhrhaus fahren. Gib die Fahrzeit des Schiffes an. Gib den Fahrpreis an. b)Das Ehepaar Calisgven steht mit seinen beiden Kindern Fadime und Aytuk am Jungfernstieg. Sie wollen zum Uhlenhorster Fhrhaus fahren.-Berechne den Fahrpreis fr die Familie. -Gib die ungefhre Fahrzeit des Schiffes an. -Die gesamte Fahrstrecke des Schiffes vom Anleger Jungfernstieg bis zum Anleger Uhlenhors-ter Fhrhaus betrgt etwa 3,6 km.Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Schiffes. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 51c)Es soll eine neue Fahrtroute eingerichtet werden. Dabei muss das Alsterschiff unter einer Brcke hin-durchfahren. Der Brckenbogen hat die Form einer Parabel. Denk dir ein Koordinatensystem, bei dem die x-Achse auf der Wasserlinie verluft und diey-Achse durch den Scheitelpunkt der Parabel geht. Bestimme von den folgenden Gleichungen diejenige, die den Verlauf des Brckenbogensbeschreiben knnte. Begrnde. (1)21540y x - (2)21540y x - - (3)21540y x - -Begrnde, warum die beiden anderen Gleichungen nicht infrage kommen. d)Der Brckenbogen berspannt auf Hhe der Wasserlinie eine Entfernung von 12 m. Der hchste Punkt des Brckenbogens liegt 4,05 m ber der Wasserlinie. Bestimme die Gleichung, die den Ver-lauf des Brckenbogens beschreibt, und stelle die zugehrige Parabel im Koordinatensystem in der Anlage dar. Hinweis: Solltest zu keinem Ergebnis kommen, dann verwende die folgende Gleichung fr die Zeichnung:214, 55y x - - . e)Das Schiff Goldbek ist 4,96 m breit und ber der Wasserlinie 2,50 m hoch. berprfe durch Rechnung, ob das Schiff unter der Brcke hindurchfahren kann. Hinweis: Solltest du in Aufgabe d) keine Gleichung bestimmt haben, dann verwende wiederdie Gleichung 2154, 5 y x - - . Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2006, Zweittermin. Wasserlinie Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 52 Idee des funktionalen Zusammenhangs 28.BrckenLsung S. 119 In der obigen Abbildung siehst du eine Hngebrcke. Ihre Spannweite betrgt 40 m, die Hhe der oberen Befestigungspunkte ber der Fahrbahn betrgt 12,5 m. Die Fahrbahn ist an zwei Haupttrageseilen aufge-hngt. a)WennaufderBrckeStauherrscht,befindensichca.40FahrzeugeaufderBrcke.Berechne, wievielTonnensieinsgesamtwiegen,wennmanannimmt,dasseinFahrzeugdurchschnittlich 950 kg wiegt. b)Die Hauptseile im mittleren Abschnitt haben die Form einer Parabel. Diese ist in dem unten ste-henden Koordinatensystem noch einmal dargestellt. Zeichne die Lngenangaben in das obige Koordinatensystem ein und gib dann die Koordinaten der Punkte A und B an. c)Im Folgenden werden 4 Vorschlge fr eine Funktionsgleichung gemacht, die zu der abgebildeten Parabel gehrt. Whle den korrekten Vorschlag aus. (1)f (x) = x(2)f (x)= 40x + 12,5(3)f (x)= 0,03125x(4)f (x)= 12,5x + 40 d)In der Abbildung ganz oben auf dieser Seite kann man erkennen, dass die Fahrbahn in regelmi-gen Abstndenmit senkrechten Stahltrageseilen amHauptseil befestigt ist. Immittleren Bereich derBrckebefindensichaufjederFahrbahnseite6Trageseile.BestimmerechnerischdieGe-samtlngederStahltrageseile,diefrdenmittlerenBrckenabschnittfrbeideFahrbahnseiten bentigt werden. A BxyA B SpannweiteHheRealschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 53e)In der unten stehenden Abbildung ist eine Eisenbahnbrcke dargestellt, die ber eine Strae fhrt. Der Bogen der Brcke bildet eine Parabel mit der Gleichung f (x)= 0,16x. Begrnde mithilfe einer Rechnung, dass die maximale Hhe der Durchfahrt 4 m betrgt. Bestimme rechnerisch, wie breit ein 3,19 m hoher LKW sein darf, damit er gerade noch unter der Brcke hindurch fahren kann. Dabei darf er entsprechend den Verkehrsregeln nur auf der rechten Fahrbahnseite fahren. yxHhe10 mHH-AB 5463Umzge-nah und fernHinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 54 Idee des funktionalen Zusammenhangs, Idee des Messens, Raum und Form 29.Rechteck im TrapezLsung S. 120 Das nebenstehende Trapez ABCD ist in ein Koordinaten-system eingetragen mit A(00), B(80), C(83) und D(015). JederPunktderTrapezseiteCDistEckpunkteines Rechtecks, das dem Trapez einbeschrieben ist. Die Seiten dereinbeschriebenenRechteckesindparallelzudenKo-ordinatenachsen.DerPunktAistEckpunkteinesjeden einbeschriebenen Rechtecks. a)Berechnen Sie den Flcheninhalt des Trapezes ABCD. b)Der Punkt P(2y) liegt auf der SeiteCD und ist somit Eckpunkt eines einbeschriebenen Rechtecks. Trage das zugehrige Rechteck in die Figur ein und bestimme seinen Flcheninhalt. c)Bewegt sich der Punkt P(xy) auf der StreckeCD, so ndert sich der Flcheninhalt A des zugehrigen Rechtecks. Begrnde, dass sich der Flcheninhalt A mit der Gleichung A = x (1,5x + 15) berechnen lsst, wobei x die erste Koordinate des Punktes P ist. d)Bestimme das einbeschriebene Rechteck, das den grten Flcheninhalt hat. Begrnden deine Vorge-hensweise. Quelle: Bearbeitete Version der Aufgabe aus den KMK-Bildungsstandards Mathematik Mittlerer Abschluss, 2003. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 55Idee des funktionalen Zusammenhangs 30.LohnerhhungLsung S. 121 Die Grafik zeigt drei verschiedene Modelle (Modell A, Modell B, Modell C) fr Lohnerhhungen. a)Bestimme mittels einer Tabelle (200 , 400 , 600 , ..., 1600 ) die Lohnerhhungen der verschiede-nen Modelle in Abhngigkeit vom Lohn. b)Erstelle eine weitere Grafik fr die verschiedenen Modelle, die den Zusammenhang zwischen dem Lohn (in ) und der Lohnerhhung (in %) darstellt. c)Beide Grafiken stellen den gleichen Sachverhalt dar. Eine soll in einer Verffentlichung erscheinen (z. B. Zeitungsartikel). Welche wrdest du auswhlen, wenn du Modell A bevorzugst? Begrnde deine Wahl. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 56 Idee des funktionalen Zusammenhangs 31.Brohaus Berliner BogenLsung S. 122 In Hamburg steht in der Nhe der S-Bahn-Station Berliner Tor ein neues Brohaus. Es hat wegen seiner Form und Lage den Namen Berliner Bogen. Das Brohaus besteht hauptschlich aus Glas und Stahl. Daten des Brohauses: Lnge:140 m Breite:72 m a)Berechne die Grundflche des Gebudes. b)Die Gesamtflche aller Stockwerke des Hauses ist 43 000 m gro. Davon werden 75 % vermietet.Die Mietpreise liegen bei durchschnittlich 15,00 Euro pro Quadratmeter und Monat. Berechne die monatlichen Mieteinnahmen fr das Gebude. c)In dem Brohaus sind sechs groe Grnflchen mit Pflanzen angelegt. Die Gesamtflche betrgt3 300 m. Berechne, wie viel Prozent der Gesamtflche des Hauses das sind. d)Im Keller des Hauses befindet sich ein quaderfrmiges Wasserbecken. Es speichert Regenwasser, wenn es in Hamburg viel regnet. Das Becken ist 120 m lang, 39 m breit und kann bis zu 5,5 m hoch mit Wasser gefllt werden. Berechne, wie viel Liter Wasser das Becken aufnehmen kann. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 57 e)Die Vorderseite des Hauses hat die Form einer Parabel. Denk dir ein Koordinatensystem, bei dem die x-Achse in Hhe der Parkebene verluft und die y-Achse durch den Scheitelpunkt der Parabel geht. Bestimme von den folgenden Gleichungen diejenige, die den Verlauf des Parabelbogensbeschreiben knnte. Begrnde. (1)21304y x - (2)21304y x - - (3)21304y x - -Begrnde, warum die beiden anderen Gleichungen nicht infrage kommen. f)Das Gebude hat eine Hhe von 36 m. Bestimme nun die Gleichung, die den Gebudebogenbeschreibt, und stelle die zugehrige Parabel im Koordinatensystem in der Anlage dar. Hinweis: Keine der in Aufgabe e) gegebenen Parabelgleichungen ist die hier gesuchte Gleichung. g)Die Zwischendecke des 3. Stockwerks befindet sich in einer Hhe von 12,7 m.Bestimme die Breite der Zwischendecke. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2006, Haupttermin. 3. Stockwerk Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 58 Idee der Wahrscheinlichkeit 32.LotterieLsung S. 124 Eine Klasse mchte auf dem Schulfest eine Lotterie durch-fhren. Dafr verwendet sie Holzplttchen, auf denen je eine Ziffer 2, 4 oder 5 steht. 2 4 5 Diese Plttchen sollen aus einer Lostrommel nacheinander ohne Zurcklegen gezogen werden und in der gezogenen Reihenfolge hintereinander gelegt werden. Sie bilden dann eine dreistellige Zahl. a)Bestimme alle mglichen Zahlen, die gezogen werden knnen. b)Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafr, dass die grte dieser Zahlen gezogen wird. c)Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafr, dass -die gezogene Gewinnzahl durch 5 teilbar ist -die gezogene Gewinnzahl kleiner als 500 ist. Nach einigen Probeziehungen erscheint der Klasse die Ziehung zu einfach. Deshalb werden zwei weitere Plttchen mit den Ziffern 1 bzw. 3 hinzugefgt. d)Bestimme nun die Anzahl der mglichen fnfstelligen Zahlen, die gezogen werden knnten(zur Kontrolle: 120). Die Schlerinnen und Schler stellen nun 1 200 Lose her, auf denen je eine der 120 mglichen Zahlen als Losnummer gedruckt wird. Sie machen das so, dass insgesamt jede Losnummer genau 10-mal vorkommt. Die Klasse legt einen Gewinnplan fest (siehe Anlage). Im Laufe des Schulfestes sollen die Lose ver-kauft werden. Gegen Ende des Schulfestes findet die Ziehung statt, wobei mit den 5 Plttchen wie beschrieben eine Gewinnzahl gezogen wird. e)Bestimme die Wahrscheinlichkeit fr den Kufer eines einzigen Loses, dass -er einen Gutschein fr ein Buch gewinnt-er einen Gutschein fr eine Riesenwurst mit Beilage gewinnt (zur Kontrolle: 5 1120 24p = =). Die Schler planen, ein einzelnes Los fr 0,50 zu verkaufen.Material und Druckkosten betragen insgesamt 12 .Die Kugelschreiber sind als Werbegeschenk von einem Elternvertreter gestiftet worden. Ein Riesenwurst mit Beilage kalkulieren die Schler mit 2 und ein Buch mit 30 .f)Berechne, wie viel Geld die Schler bei ihrer Kalkulation brig behalten werden, wenn sie alle 1200 Lose verkaufen.Bei der staatlichen Lotterie mssen 50 % der Einnahmen als Gewinne ausgeschttet werden.Untersuche, ob das bei der hier betrachteten Lotterie der Fall ist. Aus Realschulabschlussprfung Hamburg 2006, Haupttermin. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 59 Gewinnplan fr das groe Zahlengewinnspiel ________________________________ Heute 17 Uhr Ziehung der Glckszahl Vergleicht die Glckszahl mit Eurer Losnummer! Die letzte Ziffer ist richtig: Gewinn: Ein Super-Kugelschreiber Die letzten beiden Ziffern sind richtig,aber nicht die ganze Zahl: Gewinn: Gutschein fr eine Riesenwurst mit Beilage Die Losnummer stimmt mit der Gewinnzahl berein: Gewinn: Gutschein fr ein wertvolles Buch Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 60 Idee der Wahrscheinlichkeit 33.Lotterie auf dem SchulfestLsung S. 126 Eine 10. Klasse mchte zur Gestaltung eines Schulfestes durch eine Lotterie beitragen. DieTeilnehmerderLotteriegebenihrenTippaufeinemLosscheinab.DieGewinnerwerdenmiteiner einmaligen Ziehung am Ende des Losverkaufs ermittelt. ZurVorbereitungderLotterienutzendieSchlerihreStochastik-Kenntnisseundplanenzunchstmit einer Urne, die eine rote, eine blaue und eine gelbe Kugel enthlt. Die drei Kugeln werden nacheinander ohneZurcklegengezogen.WermitseinemTippdierichtigeReihenfolgederKugelnbeiderZiehung angegeben hat, hat gewonnen. a)Gib alle mglichen Ergebnisse an. b)Bestimme die Wahrscheinlichkeit fr die Reihenfolge: rot blau gelb. c)Bestimme die Wahrscheinlichkeit fr: D: Die dritte Kugel ist rot. Z: Die zweite Kugel ist nicht blau. Der Klasse erscheinen nach diesen Betrachtungen 3 Kugeln als zu wenig. Es wird entschieden, zwei wei-tere Kugeln (wei, schwarz) in die Urne zu geben. d)Bestimme die Anzahl der mglichen Ergebnisse mit fnf Kugeln. e)BestimmeeinensinnvollenSchtzwertfrdieAnzahlderTippscheine,diedasErgebnisblau-grn-rot-schwarz-wei tragen, wenn man von insgesamt 500 Tippscheinen ausgeht. DieSchlerrechnenmit500Tippscheinenundgehendavonaus,dasssieallezumPreisvonje1,50 verkaufenknnen.Siehaben25 KostenfrdieVorbereitungderLotterieundkaufen5Gewinneim Wertvonje100 .AuerdemwollendieSchler30 %derVerkaufseinnahmenfrihreeigeneAb-schlussfeier behalten. f)Beurteile diese Planung. g)Die Planung birgt ein gewisses Risiko. Beschreibe das Risiko. h)Gib einen nderungsvorschlag fr die Planung an und begrnde ihn. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 61Idee der Wahrscheinlichkeit 34.FuballbundesligaLsung S. 128 In der Bundesliga spielen18 Vereine in einer Hinrunde und einer Rckrunde um dieDeutsche Meister-schaft. An jedem Spieltag finden 9 Spiele statt. In jeder Runde spielen die Vereine 17 Spiele. a)Erlutere, dass fr die Deutsche Meisterschaft 306 Spiele stattfinden.In einer Saison wurden folgende Ergebnisse bezglich der insgesamt in einem Spiel erzielten Tore k erreicht.Hinrunde: Anzahl der Tore k012345678 Anzahl der Spiele mit k Toren1025342335121022 Rckrunde: Anzahl der Tore k012345678 Anzahl der Spiele mit k Toren102332312618751 b)Stelle die Ergebnisse der beiden Runden in einem Sulendiagramm dar. Vervollstndige dazu das Diagramm. Tore einer Saison der Fuballbundesliga05101520253035400 1 2 3 4 5 6 7 8Anzahl der ToreAnzahl der SpieleHinrundeRckrunde Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 62 c)Berechne die relativen Hufigkeiten der Spiele mit 0, 1, 2, , 8 erzielten Toren fr die gesamte Sai-son als Bruch und Dezimalzahl mit 3 Stellen nach dem Komma und trage die Ergebnisse in die Tabel-le ein. Anzahl der Tore k012345678 Relative Hufigkeit als Bruch Relative Hufigkeit als Dezimalzahl d)Berechne die durchschnittliche Anzahl der Tore pro Spiel fr die gesamte Saison.e)Berechne, um wie viel Prozent dieser Wert bei den Spielen mit 8 Toren berschritten wurde. f)Vergleiche die Ergebnisse der beiden Runden mit Worten. g)Bestimme die Anzahl der Spiele und Spieltage einer Runde bei einer Liga mit- 20 Vereinen , - 19 Vereinen . Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 63Idee der Wahrscheinlichkeit 35.VerkehrszhlungLsung S. 129 AneinerHauptstraewirdwhrendmehrererganzerWerktageeineVerkehrszhlungdurchgefhrt,bei der ermittelt wird, wie viele Personenkraftwagen in der jeweiligen Stunde vorbeikommen. Dabei werden gleichzeitig die Pkws gezhlt, in denen der Fahrer nicht angeschnallt ist. Die Ergebnisse eines typischen Werktages dieser Zhlung sind in der folgenden Tabelle und im Diagramm zusammengefasst: Zeit-raum 0-11-22-33-44-55-66-77-88-99-1010-1111-12 PKWs2431681051224571452251244203613162514711859 nicht ange-schnallt 6752384162105187269256157122175 Zeit12-1313-1414-1515-1616-1717-1818-1919-2020-2121-2222-2323-24 PKWs2067189828563980482454683765260315201288956723 nicht ange-schnallt 203169284395388424382326214197172150 Verkehrszhlung01000200030004000500060000 Uhr - 1 Uhr1 Uhr - 2 Uhr2 Uhr - 3 Uhr3 Uhr - 4 Uhr4 Uhr - 5 Uhr5 Uhr - 6 Uhr6 Uhr - 7 Uhr7 Uhr - 8 Uhr8 Uhr - 9 Uhr9 Uhr - 10 Uhr10 Uhr - 11 Uhr11 Uhr - 12 Uhr12 Uhr - 13 Uhr13 Uhr - 14 Uhr14 Uhr - 15 Uhr15 Uhr - 16 Uhr16 Uhr - 17 Uhr17 Uhr - 18 Uhr18 Uhr - 19 Uhr19 Uhr - 20 Uhr20 Uhr - 21 Uhr21 Uhr - 22 Uhr22 Uhr - 23 Uhr23 Uhr - 24 UhrTageszeitAnzahlenReihe1 Reihe2PKWsnicht angeschnallt Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 64 Betrachte jede der folgenden Aussagen ber die Verkehrszhlung und entscheide, ob sie aufgrund der Daten richtig ist. Begrnde jeweils deine Entscheidung. a)Der Verkehr war am spten Nachmittag am strksten. b)Whrend der Nachtstunden von 22 Uhr bis 7 Uhr wurden nicht mehr Autos gezhlt als in einer belie-bigen Stunde am Nachmittag. c)Je strker der Verkehr, desto weniger Fahrer sind nicht angeschnallt. d)Im Durchschnitt fuhren etwa 1500 Pkws in jeder Stunde an den Verkehrszhlern vorbei. e)Zu Spitzenzeiten kommt mehr als ein Auto pro Sekunde vorbei. f)Tagsber (also zwischen 7 Uhr und 20 Uhr) bersteigt der Anteil der nicht angeschnallten Autofahrer nie 10 %. g)In den ersten Stunden nach Mitternacht ist der Anteil der nicht angeschnallten Autofahrer am grten. h)Nachts beobachtet man die meisten nicht angeschnallten Autofahrer pro Stunde. i)Nachts fahren die meisten Autofahrer nicht angeschnallt. j)Im Berufsverkehr ist der Anteil der angeschnallten Fahrer am grten. Bemerkung: Fr die schriftliche Abschlussprfung sind dies zu viele Fragen; dort wrden etwa sechs bis sieben dieser Fragen gestellt werden. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 65Idee der Wahrscheinlichkeit 36.BevlkerungsbaumLsung S.131Schau dir die beiden folgenden Grafiken an.Die senkrechte Zahlenleiste in der Mitte gibt das jeweilige Alter an, von 0 bis 100 Jahren. Die waagerechte Zahlenleiste gibt die Anzahl von Mnnern und Frauen in Deutschland [in 1000 Perso-nen] fr jeden Jahrgang an. Die gleichen Darstellungen findest du zum besseren Ablesen in vergrertem Format in der Anlage. [Quelle: " Statistisches Bundesamt Deutschland"] a)Gib ungefhr an, wie viele 20-jhrige Frauen 1950 in Deutschland lebten. b)Gib ungefhr an, wie viele 30-jhrige Menschen 2001 in Deutschland lebten. c)Bestimme, wie viele Twens (Menschen im Alter von 20 bis 29) 2001 ungefhr in Deutschland lebten. d)Untersuche und begrnde, ob die beiden Wahrscheinlichkeiten, dass in Deutschland bei einer Geburt ein Junge bzw. ein Mdchen zur Welt kommt, gleich gro sind. In der Grafik rechts siehst du die Entwicklung in Millionen der Anzahl aller Einwohner in Deutschland vom Jahr 1950 bis zum Jahr 2001. e)Berechne, um wie viel Prozent die Einwoh-nerzahl von 1950 bis 2001 zugenommen hat. f)Untersuche und begrnde, ob sich die fol-genden Aussagen mit Hilfe der drei Grafiken belegen oder widerlegen lassen: -Der prozentuale Anteil der 80-jhrigen an der Gesamtbevlkerung war 2001hher als 1950. -Von 1950 bis 2001 sind in Deutschland mehr Menschen geboren worden als ge-storben. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 66 Idee der Wahrscheinlichkeit 37.Mensch rgere dich nichtLsung S. 132 Beim Spiel Mensch rgere dich nicht braucht man eine Sechs, um eine Figur auf das Startfeld stellen zu knnen. Hat man keine Figur im Feld, so hat man drei Versuche, um eine Sechs zu wrfeln; glckt hier keine Sechs, muss man bis zur nchsten Runde warten. a)Gib die Wahrscheinlichkeit an, beim einmaligen Wrfeln eine Sechs zu wrfeln. Gib die Wahrscheinlichkeit dafr an, beim ersten Wurf keine Sechs zu wrfeln. Wie gro ist demzufolge die Wahrscheinlichkeit, seine Figur gleich beim ersten Wurf auf das Start-feld stellen zu knnen? b)Felix hat im ersten Wurf eine Zwei gewrfelt, im zweiten Wurf eine Fnf. Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit er im dritten Wurf eine Sechs wrfelt. c)Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafr, dass man nach dem zweiten Wurf seine Figur auf das Start-feld stellen kann. d)Wenn manGlck hat, kann man in der ersten Runde (also: whrend der ersten drei Wrfe) seine Figur auf das Startfeld stellen. Beschreibe die Situation durch ein Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit dafr. Interpretiere Glck haben mithilfe deines Ergebnisses. e)Felix hat es schon drei Runden lang nicht geschafft, eine Figur einzuwrfeln. Den Trnen nahe sagt er: Das ist so unfair! Das passiert nur in jedem tausendsten Fall, und ausgerechnet bei mir muss das passieren! Entscheide, ob Felix Recht hat. f)Ach was, hab dich doch nicht so! antwortet seine Schwester Miriam. Schau, wir sind vier Spie-ler, und da muss man schon davon ausgehen, dass einer von ihnen im ersten Durchgang nicht raus-kommt. Beurteile Miriams Aussage.

Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 67Idee der Wahrscheinlichkeit 38.QuaderLsung S. 134 Gerd, Frauke und Martha wollen auf ihrem Schulfest eine Wrfelbu-de aufmachen. Allerdings soll nicht mit einem normalen Wrfel, sondern mit ei-nem Quader (siehe Abbildung) geworfen werden. a)Bevor sie sich ein schnes Spiel berlegen knnen, mssen die drei erst einmal wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Zahlen geworfen werden. Deshalb haben sie das Quaderwerfen ausprobiert und jeder hat 400-mal geworfen. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusam-mengefasst. 123456 Gerd43341221194042 Frauke43361151253348 Martha46351171233247 Absolute Hufigkeit Relative Hufigkeit Relative Hufigkeit in Prozent Bestimme jeweils unter allen Wrfen die absoluten Hufigkeiten fr die einzelnen geworfenen Zah-len. Bestimme auch die relativen Hufigkeiten als Dezimalzahlen auf zwei Stellen nach dem Komma.Gib die relative Hufigkeit als Prozentzahl ohne Nachkommastelle gerundet an. b)Gerd ist noch nicht zufrieden. Er meint: Wenn wir eine Vorhersage fr unsere Losbude haben wol-len, so mssen wir doch beachten, dass aus Symmetriegrnden die Wahrscheinlichkeit fr das Wer-fen von gegenberliegenden Zahlen gleich gro sein muss. Begrnde, dass dann die folgenden Wahrscheinlichkeiten eine gute Vorhersagemglichkeit darstel-len: 123456 Wahrscheinlichkeit in Prozent1193030911 c)Martha meint, dass sie sich zu viel Arbeit mit dem Werfen gemacht haben. Es sei doch viel einfacher, die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Sie berlegt: Je grer die Flche, desto hufiger fallen die entsprechenden Zahlen. Man msste die Flcheninhalte der einzelnen Seiten bestimmen. Der jeweilige Anteil an der gesamten Oberflche msste dann der Wahrscheinlichkeit entsprechen, mit der die Zahl gewrfelt wird. Beurteile, ob Martha Recht hat oder nicht. 3 6 5 2 cm 2,3 cm 1,3 cm Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 68 d)Mit dem Erls aus dem Wrfelspiel mchten die drei einen Zuschuss fr die nchste Klassenreise erwirtschaften. Sie haben sich das folgende Spiel mit den Quadern berlegt: Jeder Spieler zahlt einen Einsatz von 1 . Dann wird einmal mit dem Quader gewrfelt. Wird eine 5 gewrfelt, so erhlt der Spieler 6 ausbezahlt. Wird eine 2 gewrfelt, so erhlt der Spieler 5 ausbezahlt. Wird eine 3 gewrfelt, so erhlt der Spieler 1 ausbezahlt. Ansonsten wird der Einsatz einbehalten. Knnen die drei damit rechnen, einen Gewinn zu machen? Begrnde. e)berlege dir bei einem Einsatz von 1 Euro eine Spielvorschrift, bei dem die drei Losbudenbetreiber mit einem Gewinn rechnen. Bestimme bei deiner Vorschrift den Gewinn, den man durchschnittlich erwarten kann. Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 69Idee der Wahrscheinlichkeit 39.MotorausfallLsung S. 135 Im Schmuggelverkehr zwischen den Bahamas und Florida setzen die Mafiosi starke Schnellboote ein, die jeweils zwei Auenbordmotoren haben. Diese Motoren arbeiten an den Booten unabhngig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit dafr, dass ein Motor bei einer Fahrt ausfllt, knnen die Mafiosi aufgrund ihrer langen Erfahrung mit2 % P annehmen.a)Gib eine grobe Abschtzung fr die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Schmuggelboot wegen des Aus-falls beider Auenbordmotoren bewegungsunfhig ist: hoch: 50 % mittel: 10 %klein: 2 %sehr klein: 0,04 % b)Berechne die Gegenwahrscheinlichkeit zu2 % P . c)Kreuze die Formulierungen an, die das Gegenereignis zu dem Ereignis Mindestens ein Motor fllt aus beschreiben (Mehrfachnennungen sind mglich):(1)Das Schnellboot ist trotzdem bewegungsunfhig. (2)Beide Motoren sind intakt. (3)Ein weiterer Auenbordmotor fllt aus. (4)Kein Motor fllt aus. (5)Beide Motoren fallen aus. d)Gonzalez will die Wahrscheinlichkeit errechnen, dass bei einer Fahrt genau ein Motor ausfllt. Er rechnet (" ") 0, 2 0,98 0,196 1, 96% p EinMotor fllt aus Sein Boss stellt fest, dass er bei dieser Berechnung mehrere Fehler gemacht hat. Gib die Fehler an und korrigiere sie. e)Berechne die Wahrscheinlichkeit dafr, dass ein Schmuggelschnellboot nicht infolge Motorenscha-dens bewegungsunfhig ist (und damit immer noch die Chance hat, in den Zielhafen zu kommen, wenn die Kstenwache nicht aufpasst). Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen PrfungsaufgabenRealschulabschluss Mathematik 70 Idee der Wahrscheinlichkeit 40.Spiel mit DominosteinenLsung S. 136 Anna und Leo haben im Urlaub lange und viel Domino gespielt. Nun mchten sie etwas Abwechslung haben und berlegen, wie sie mithilfe der Dominosteine ein neues Spiel erfinden knnen. Anna schlgt vor: Alle Steine liegen umgedreht auf dem Tisch. Ein Stein wird aufgedeckt. Wir denken uns eine Regel aus, sodass entweder du gewinnst oder ich. Der Gewinner erhlt 1 Spiel-Euro. Anschlie-end wird der Stein wieder umgedreht, wir mischen die Steine und ziehen abwechselnd von neuem. Ein Dominospiel besteht aus 55 unterschiedlichen Steinen (siehe Abbildung). Leo und Anna spielen entsprechend der folgenden Spielregel: Alle Steine, bis auf einen, liegen umgedreht auf dem Tisch. Sie ziehen abwechselnd einen Stein. a)Leo meint: Lass uns die Regel in Abhngigkeit von der Gesamtaugenzahl auf einem Stein aufstel-len. Dazu bentigen sie die folgende Tabelle. Vervollstndige sie. Augenwert0123456789101112 13 1415161718Anzahl der Steine mit diesem Augenwert 11225 Anschlieend berlegen sich Anna und Leo die Wahrscheinlichkeiten fr die einzelnen Ereignisse. Vervollstndige die Tabelle. Augenwert0123456789101112 13 1415161718Wahrscheinlichkeit fr diesen Augenwert Realschulabschluss Mathematik Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prfungsaufgaben 71b)Leo schlgt nun die folgende Spielregel vor: Hat der aufgedeckte Stein eine einstelli