Related-Rates-Problems – Aufgaben mit verketteten Änderungsraten – Ein integrierendes Konzept...

Related-Rates-Problems– Aufgaben mit verketteten Änderungsraten –

Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht

MNU- Tagung am 09.10.2007 an der Universität in Dortmund Klaus Gerber, Leichlingen

Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen


1. Geometrisch orientierte Strategien

2. Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI

3. Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen

4. Experimentelle Untersuchungen


In ein trichterförmiges Gefäß läuft

Wasser ein. Es hat die Form eines

auf der Spitze stehenden Kegels mit

dem Radius r = 5 cm und der Höhe

h = 10 cm. Die Zuflussgeschwindig-

keit beträgt 9 cm3/min.

Mit welcher Geschwindigkeit steigt

der Wasserpegel, wenn die

Füllhöhe gerade 6 cm beträgt?

Pólyas Kegel


Pólyas Kegel

1. Zeichnung:

2. Gegebene Änderungsrate:

Gesuchte Änderungsrate:

3. Kettenregel:

4. Es gilt:

Mit der Ähnlichkeitsbeziehung erhält man:

Ableiten ergibt:

mincm3

9dtdV

dtdy

yx)y,x(V 231

h

r

y

x 3

2

2

31)( y

h

ryV

2412

2

2

yyh

r

dy

dV

241

min

3

9

ydt

dy cm

dydVdtdV

mincm

mincm 32,0

1dtdy

5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel:

Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:

Gesucht!

Lösung:

dtdy

dydV

dtdV


1. Fertige eine Zeichnung mit den relevanten geometrischen Größen an.

2. Notiere die gegebenen und die gesuchten Änderungsraten.

3. Formuliere die Kettenregel, die die Änderungsraten verknüpft.

4. Finde die unbekannte Änderungsrate in der Kettenregel mit geometrischen Hilfsmitteln (Ähnlichkeit, Pythagoras, Koordinatengeometrie).

5. Setze die gefundene Änderungsrate in die Kettenregel ein, und berechne die gesuchten Größen.

Die Lösungsschritte lassen sich zusammenfassen:


Verwandte Aufgaben:


Ein Glas entsteht durch die Rotation

des Graphen zu f(x) = 0,5 x

im Intervall [0; 10].

Nun wird das Glas mit der Spitze

nach unten aufrecht gestellt und mit

Wein gefüllt. Die Zufluss-

geschwindigkeit beträgt 9 cm3/min.

Berechne die momentane

Pegelgeschwindigkeit, wenn die

Füllhöhe 6 cm beträgt?

Pólyas Kegel mit dem HDI

4. Berandungsfunktion f mit . f und f2 sind stetig. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die

Integralfunktion mit dem Term differenzierbar und es gilt:


Pólyas Kegel mit dem HDI

1. Zeichnung:

2. Gegebene Änderungsrate:

Gesuchte Änderungsrate:

3. Kettenregel:

mincm3

9dtdV

dt

dx

241

mincm

dxdVdtdV

x

9

dt

dx3

mincm

mincm 32,0

1

dt

dx

5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel:

Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:

Gesucht!

Lösung:

xxf 21

x

0

2 dttfxV

2412'

)(xxfxV

dx

xdV

dt

dx

dx

dV

dt

dV

Allgemein gilt:

2.fktBerandungs

.chwZuflussges.eschwlgPege


Verwandte Aufgaben:

Vasen, Silos, Sektschalen, Weinkelche ......


In das trichterförmiges Gefäß läuft

Wasser ein. (Radius r = 5cm und

der Höhe h = 10cm.)

Wasser läuft nun mit der

veränderlichen Zuflussgeschwindig-

keit dV/dt = t zu.

Berechne die momentane

Pegelgeschwindigkeit 3s nach dem

Start des Zuflusses in das leere

Glas?

Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss


Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss

Einsetzen in die umgeformte Kettenregel:

Separation der Variablen:

Integration:

Wenn für t=0 die Füllhöhe 0cm beträgt, ist die Integrationskonstante c=0 und wir können die Lösungsfunktion der Differentialgleichung durch Auflösen nach y bestimmen:

Ihre Ableitungsfunktion beschreibt die Pegelgeschwindigkeit:

3s nach dem Start des Zuflusses beträgt die gesuchte Pegelgeschwindigkeit :

t

yy4

'2

ct

ycdtt

dtyy

23

312 24

'

32

332 66

tt

ty

241

dydVdtdV

y

tdtdy

3323

32 66

' 31

ttty

dt

dy

cm cm2 33 s s

2y ' 3s 0,57


1. Aufzeichnung des Füllvorgangs mit einer Videokamera und Auswertung mit einer Videoanalyse-Software (z.B.: VIANA)

Befüllung einer Glaskaraffe

y = -1,0155E-05x4 + 2,8438E-04x3 - 1,1964E-02x2 + 4,7493E-01x - 3,9873E+00

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 5 10 15 20 25 30

Füllhöhe y in cm

Pe

ge

lge

sc

hw

ind

igk

eit

dy

/dt

in c

m/s

2. Entwicklung eines mathematischen Modells mit einer ganzrationalen Berandungsfunktion und Lösung als Related-Rates-Problem.

3. Vergleich der Modelle.


Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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