Rumpfskript zur Vorlesung Mathematik-Brückenkurs 1/102 ... · Grundlagen der Geometrie (Lehrsätze...

Rumpfskript zur Vorlesung Mathematik-Brückenkurs 1/102

C. Neumann V10

Mathematik Brückenkurs im Fachbereich Informatik & Elektrotechnik

Rumpfskript V10


C. Neumann V10

Inhaltsverzeichnis 1 Mengen ................................................................................................... 4

2 Zahlensysteme ...................................................................................... 12

3 Rechenoperationen .............................................................................. 34

4 Gleichungen .......................................................................................... 51

5 Logik & Beweisverfahren ...................................................................... 74

6 Lösungen zu den Übungsaufgaben ........................................................ 94


C. Neumann V10

Ziel:

Mathematische Vorbereitung auf das Hochschulstudium im Fachbereich Informatik & Elektrotechnik an der Fachhochschule Kiel.

Hinweis:

Grundlagen der Geometrie (Lehrsätze der elementaren Geometrie und grundlegende geometrische Körper) werden in diesem Brückenkurs nicht behandelt und werden vorausgesetzt.

Zielgruppe:

Erstsemester im Fachbereich Informatik & Elektrotechnik

Literatur:

• Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1, Vieweg Verlag • Papula, Mathematische Formelsammlung, Vieweg Verlag • Schäfer, Mathematik-Vorbereitung auf das Hochschulstudium, Harri Deutsch Verlag • jedes einschlägige Lehrbuch der Ingenieurmathematik Equation Section 1


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1 Mengen 1.1 Grundbegriffe und Definitionen

Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung einzelner wohl unterschiedener Objekte (Elemente) zu einer Grundgesamtheit.

Beispiel:

• Menge der natürlichen Zahlen, • Menge der Einwohner in Deutschland, • Menge der Studenten in diesem Semester u.ä.

Schreibweise:

Falls x ein Objekt der Menge M ist:

x M∈ ( x ist Element von M )

Falls x kein Objekt der Menge M ist:

x M∉ ( x ist nicht Element von M )


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Analytische Darstellungsformen:

• Beschreibend: { }|Eigenschaften vonM x x= , z.B. { }|0 2M x x x= < < ∧ ∈

• Aufzählend: { }1,2,3, 4M = (endliche Menge)

{ }1, 4,9,16,25,....M = (unendliche Menge)

• Leere Menge: { }M = auch: { }M = ∅

Graphische Darstellung: Mengendiagramm (Venn-Diagramm):

M


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1.2 Mengenrelationen 1.2.1 Teilmengen

Definition: 1M ist eine Teilmenge von M , wenn jedes Element von 1M auch Element von M ist.

Schreibweise: 1M M⊂ Sprechweise: „ 1M ist in M enthalten“ oder „ 1M ist Teilmenge von M “

M

1M

Beispiel:

{ } { }

{ } { }

1 1

1 1

2,3,7, 4,5 7, 4,5

2,3,7, 4,5 7, 4,5,1 , da 1

M M M M

M M M M M

= = ⇒ ⊂

= = ⇒ ⊄ ∉


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1.2.2 Gleichheit zweier Mengen

Definition: Zwei Mengen 1M und 2M heißen genau dann gleich,

wenn beide Mengen die gleichen Elemente besitzen.

1 2 1 2 2 1M M M M M M= ⇔ ⊂ ∧ ⊂

Symbole:

⇔ dann und nur dann, wenn …

⊂ Teilmenge von (aus)

∈ Element von (aus)

( )∧ ∩ (logisches) und

( )∨ ∪ (logisches) oder


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1.2.3 Mengenoperationen

1.2.3.1 Vereinigung zweier Mengen (Vereinigungsmenge)

Definition: Zur Vereinigung M zweier Mengen 1M und 2M gehören genau die Elemente,

die mindestens in einer der beiden Mengen 1M oder 2M liegen.

Schreibweise: { }1 2 1 2bzw. |M M M M x x M x M= ∪ = ∈ ∨ ∈

Sprechweise: „ 1M vereinigt mit 2M “

2M1M

1 2M M M= ∪

Anmerkung:

1 2M M M= ∪ wird auch Disjunktion (Verbindung) genannt.


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1.2.3.2 Durchschnitt zweier Mengen (Schnittmenge)

Definition: Zum Durchschnitt M zweier Mengen 1M und 2M gehören genau die Elemente, die sowohl in

1M als auch in 2M liegen.

Schreibweise: { }1 2 1 2bzw. |M M M M x x M x M= ∩ = ∈ ∧ ∈

Sprechweise: „ 1M geschnitten mit 2M “

2M1M

1 2M M M= ∩

Anmerkung:

1 2M M M= ∩ wird auch Konjunktion (Verknüpfung) genannt.


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1.2.3.3 Differenz zweier Mengen (Differenzmenge, Restmenge)

Definition: Zur Differenzmenge M zweier Mengen 1M und 2M gehören genau diejenigen Elemente von

1M , die nicht gleichzeitig auch in 2M enthalten sind.

Schreibweise: { }1 2 1 2\ bzw. |M M M M x x M x M= = ∈ ∧ ∉

Sprechweise: „ 1M ohne 2M “

2M1M

1 2\M M M=


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Übungsaufgaben

1) Berechnen Sie die Mengen 1 \M A B= und ( )2 \M A A B= ∩ mit

{ }1,2,3, 4A = und { }2, 4,6,8,10B = .

2) Formulieren Sie eine Schreibweise für die Menge M deren Elemente x entweder in der Menge 1M

oder in der Menge 2M , aber nicht in der Schnittmenge von 1M und 2M liegen (" Exklusiv - Oder ").

3) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Betrachten des Mengendiagramms:

a) ( \ )A A B∪ b) ( \ )A A B∩ c) \( )A A B∪

d) ( \ )B A B∪ e) \( \ )A B A f) \( \ )A A B

Formelabschnitt 2


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2 Zahlensysteme 2.1 Reelle Zahlen 2.1.1 Natürliche Zahlen

Menge der natürlichen Zahlen:

{ }*

{0,1,2,3, 4,5,....}\ 0 {1,2,3, 4,5,....}

=

= =

Hinweis:

*bzw.

sind abzählbar unendlich

Rechenregeln (Axiome)

• Die Addition zweier natürlicher Zahlen unda b∈ ∈ ist unbeschränkt ausführbar.

c a b= + existiert stets mit c∈

Es gelten das: Kommutativgesetz: a b b a+ = +

Assoziativgesetz: ( ) ( )a b c a b c+ + = + +

Monotoniegesetz: mit , ,a b a c b c a b c< ⇒ + < + ∈


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• Die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen unda b∈ ∈ ist unbeschränkt ausführbar.

c a b= ⋅ existiert stets mit c∈

Es gelten das: Kommutativgesetz: a b b a⋅ = ⋅

Assoziativgesetz: ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Monotoniegesetz: *a b a c b c c< ⇒ ⋅ < ⋅ ∈

Distributivgesetz: ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅

Zusammenhang Addition – Multiplikation: b mal

n

n mal

a b a a a a a

a a a a a−

−

⋅ = + + + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Anmerkung:

Binomische Formeln: ( )2 2 2

2 2

2

( ) ( )

a b a ab b

a b a b a b

± = ± +

+ ⋅ − = −

(allg. binomische Formel siehe später)


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• Die Subtraktion (=Umkehrung der Addition) ist im Bereich der natürlichen Zahlen nur beschränkt ausführbar: -c a b= ist nur definiert für b a≤ .

• Die Division (=Umkehrung der Multiplikation) ist im Bereich der natürlichen Zahlen nur sehr beschränkt

ausführbar: acb

= ist nur definiert, wenn b Teiler von a ist.

Beispiel: 24 46

c = =

(ACHTUNG: Die Division durch 0 ist prinzipiell ausgeschlossen!)

Anmerkung:

Wegen der Beschränktheit der Subtraktion in ( c a b= − nur erlaubt für b a≤ ) wurde das Zahlensystem erweitert.


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2.1.2 Ganze Zahlen

Erweiterung der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen.

Menge der ganzen Zahlen: {....., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}= − − −

Vorzeichenregeln: ( ) 0 ( )

( ) ( )a a a b a b

a a a b a b+ − = − − = +

− − = ⋅ − = − ⋅

Definition: Absoluter Betrag falls 0falls 0

a aa

a a ≥

= − <

Hinweis: a ist stets positiv.

Beispiele:

5 5= weil 5 0a = > 7 ( 7) 7− = − − = weil 7 0a = − <


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Folgerungen:

"Dreiecksungleichung"

a b a b

a b a b

⋅ = ⋅

+ ≤ +

Rechenregeln:

• Die Addition, Multiplikation und Subtraktion sind im Ganzzahlbereich eindeutig definiert.

Es gelten das Kommutativgesetz

Assoziativgesetz

Distributivgesetz

bzgl. der o.g. Rechenoperationen

Anmerkung

Die Division ist in nur eingeschränkt möglich, daher Erweiterung des Zahlenbereichs


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2.1.3 Rationale Zahlen

Erweiterung des Zahlenbereiches um Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen *( ; )a a bb

∈ ∈

darstellen lassen.

Die Menge der rationalen Zahlen *| mit und ax x a bb

= = ∈ ∈

Rechenregeln:

Multiplikation a c a cb d b d

⋅⋅ =

⋅

Division :a c a db d b c

⋅=

⋅

Addition und Subtraktion a c a d b cb d b d

⋅ ± ⋅± =

⋅

Kürzen und Erweitern: a d ab d b⋅

=⋅

bzw. a a cb b c

⋅=

⋅


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Satz: Bei der Division zweier ganzer Zahlen ergibt sich in der Regel eine unendlich periodische Dezimalzahl.

Beispiel: 4 1,333.... 1, 33= =

Hinweis:

Die rationalen Zahlen sind bezüglich der Grundrechenarten (mit Ausnahme der Division durch 0 ) abgeschlos-

sen; es gelten die vorgenannten Gesetze. Bei gewissen Rechenoperationen (z.B. Wurzelziehen, Logarithmieren etc.) ist der Zahlenbereich erweiterungsbedürftig.


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2.1.4 Irrationale Zahlen

Erweiterung der rationalen Zahlen um die Menge der irrationalen Zahlen zum reellen Zahlenbereich .

Beispiel:

Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck

c

b

a⋅

c

1⋅

1

Pythagoras: 2 2 2c a b= +

2 2 21 1 2

2

c

c

= + =

⇒ =


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Unterscheidung 2 Arten irrationaler Zahlen:

• Algebraisch irrationale Zahlen: Treten auf bei der Lösung algebraischer Gleichungen mit rationalen Koeffizienten 1

1 1 0..... 0n nn na x a x a x a−

−+ + + + = .

Bsp.: 2 2 0 2 1, 4142x x− = ⇒ = ≈

• Transzendent irrationale Zahlen; z.B. , , ln(2) etc.eπ


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2.1.5 Übersicht und Zahlengerade

Übersicht über die bisherigen Zahlenarten:

Natürliche Zahlen

Ganze Zahlen

Gebrochene Zahlen

Algebraisch irrationale Zahlen

Tranzendente Zahlen

Rationale Zahlen

Irrationale Zahlen

Reelle Zahlen

{ }0; 1; 2; 3;=

{ }0; 1; 2; 3;= ± ± ±

1 1 10,2 ; 0,33 ; 0,142875 3 7= = =

2 1,4142 ; 3 1,73205= =

; ; sin(10 )e π °


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Zahlengerade: Darstellung der reellen Zahlen auf der „Zahlengeraden“

0 21 32−3− 1−

π2

( )0 1 0= ≠a a

Sonderfälle:

0 0 0 0 000 0 0

n

aa

⋅ = ⇒ =

⋅ = ⇒ = Division durch 0 ist verboten!

0,2

0 0;0 0

=

=

n

Folgende Ausdrücke sind nicht definiert:

2 0 00 ; 0 ; 2−


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Übungsaufgaben

Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:

4) ( ) ( ) ( )7 3 7 5 4 6 2 7a a b a b a b − − + + − − − + =

5) ( ) ( )a b c a b c+ − ⋅ − − =

6) ( )249 42 9a a+ + =

7) ( ) ( )4 2 2144 81 : 27 36a b b a− + =

8) ( ) ( ) ( )3 5 2a b c a b c b c a⋅ + + − ⋅ + − − ⋅ − − =

9) 5 5 1 14 7118 6 3 27 81

+ − + + =

10) 21 1

a aa a

+ − =− +

11) 2

11

1 1a

a a

−=

−


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12) 1

111

1

aab

ab

+− =

−−

13) 11

111

aba

− =− ⋅

+

14) 2 2b aa b−

=− −

15) 3 1 34 1 4

aa−

− =−

16) 2

1 4 2 8 3 71 1 1 1a a a a

a a a a+ − − +

− − + =− − + −

17) 2 21 1:yxx yy x

− − =


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2.2 Komplexe Zahlen

Die reellen Zahlen sind in Bezug auf Grundrechenarten abgeschlossen.

Aber: Es gibt Rechenoperationen, die im Bereich der reellen Zahlen nicht möglich sind.

Beispiel: Finde eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich 9− ist, also 2 9x = − → nicht möglich.

Einführung einer neuen Art von Zahlen: Imaginäre Zahlen

2.2.1 Einführung der imaginären Einheit j

Definition: Die imaginäre Einheit j ist eine Zahl, deren Quadrat gleich 1− ist.

2 1 1j j= − → = −

Anmerkung:

In Mathematik/Physik wird die imaginäre Einheit üblicherweise mit i bezeichnet, also 1i = − In der Elektrotechnik: 1j = −


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Einführung neuer Begriffe:

• Multipliziert man die imaginäre Einheit j mit einer reellen Zahl b , so entsteht die imaginäre Zahl j b⋅ ,

also z.B. 23 , 2 , 5 , etc.3

j j j j−

• Durch Zusammensetzung einer reellen Zahl mit einer imaginären Zahl entsteht eine komplexe Zahl

( , )z a j b a b= + ⋅ ∈

• Man bezeichnet o a als den Realteil von z: Re(z)a = und

o b als den Imaginärteil von z: Im( )b z=

• Zu z a j b= + ⋅ gehört die konjugiert komplexe Zahl *z a j b= − ⋅


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2.2.2 Rechenregeln

• Gleichheit: Zwei komplexe Zahlen a j b+ und c j d+ sind gleich, wenn a c= und b d= ist

(Realteile gleich und Imaginärteile gleich)

• Addition und Subtraktion:

Komplexe Zahlen werden addiert (subtrahiert), indem ihre Realteile sowie ihre Imaginärteile addiert

(subtrahiert) werden.

Beispiel:

(2.1)


C. Neumann V10

• Multiplikation: Wird durchgeführt nach den Rechenregeln für reelle Zahlen unter Beachtung 2 1j = −

(2.2)


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• Division: Vorgehensweise: Nenner durch Multiplikation mit seiner konjugiert komplexen Zahl reell machen

(2.3)


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Spezielle Werte:

0

1

2

3 2

4

4

4 1 4

1;;1;

;1;1;

;

n

n n

jj jjj jj jjjj jj j+

=

=

= −

= = −

=

=

= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12

22

24 2 2 22

1 ;

1 1 1;1

1 1 1 1 2 2 4

jj jj j

jj

j j j j j j

−

−

= = = −

= = = −−

+ = + + = + + = = −

Hinweis: Vergleiche Kapitel „Komplexe Zahlen“ der Vorlesung Mathematik 1.


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2.2.3 Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene (C.F. Gauß 1777-1855; „princeps mathematicorum“)

Darstellung reeller Zahlen auf Zahlengerade

0 21 32−3− 1−

π2

Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

Re( )z

Im( )z

z x j y= +

x

y

ϕ

Kartesische (algebraische) Darstellung einer komplexen Zahl

{ }{ }

;Re ;

Im ;

z x j yx z

y z

= +

=

=


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Trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl:

Verwendung von Polarkoordinaten: cos ; sinx r y rϕ ϕ= ⋅ = ⋅

cos sin(cos sin )

z x jyr j rr j

ϕ ϕϕ ϕ

= += ⋅ + ⋅ ⋅= + ⋅

Bezeichnungen:

2 2r z x y= = + := Betrag der komplexen Zahl (Satz des Pythagoras)

arctan yx

ϕ =

:= Argument, Winkel oder Phase von z


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Übungsaufgaben

18) Berechnen Sie 4

1 12 2

j +

.

19) Berechnen Sie 3 52 3

jj

−+

sowie 3(2 3 )j+ .

20) Man bringe die komplexe Zahl (cos sin )z r jϕ ϕ= + auf die Form z a j b= + ⋅ mit 6r = und 60ϕ = ° .

21) Man bringe 3 3z j= − auf die goniometrische Form (cos sin )z r jϕ ϕ= + . Wie lauten r und ϕ ?

Formelabschnitt 3


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3 Rechenoperationen 3.1 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

n

n mal

a a a a a−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

( a = Basis; n = Exponent, Hochzahl)

Ausgangspunkt: na b= ( b = Numerus)

Fallunterscheidung:

• Potenzieren: ,a n gegeben; b gesucht: na b=

• Radizieren: ,b n gegeben; a gesucht: 1 nna b b= =

• Logarithmieren: ,a b gegeben; n gesucht: logan b=


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3.1.1 Potenzen

Rechenregeln: ( )*, ; ,m n a b∈ ∈

Multiplikation

( )?

m n m n

n n n

n m

a a aa b a ba b

+⋅ =

⋅ = ⋅

⋅ =

Division

1

( 0)

1

mm n

n n m

nn

n

mm

a aa aa a b

bb

aa

−−

−

= =

= ≠

=

Potenz

( )( ) ( )2 2

nm m n

nn n n nn

a a

a a aa

⋅

⋅= = ≠

=

Hinweis:

Für 0, 0a b> > gelten die Potenzregeln auch für beliebige reelle Exponenten


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3.1.2 Wurzeln

Rechenregeln: ( )*, ; 0, 0m n a b∈ ≥ ≥

( )

1 1

0

;

n n n

nn

n

mn m n

nn m m nm m n

n n n

a b a b

a a bb b

a a

a a a a

a b a b

⋅⋅

⋅ = ⋅

=

=

+ ≠

>

=

= =

+


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3.1.3 Logarithmen

Ausgangspunkt: na b= ( b = Numerus, a = Basis, n = Exponent)

Logarithmus:

„Mit welcher Zahl muss a potenziert werden, um b zu erhalten?“

Ursprünglich erklärt für n∈ ; Verallgemeinerung: n x→ ∈ log (mit 0; 1)xaa b x b a a= → = > ≠

Definition: Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a ist der Exponent x , mit dem a potenziert werden muss, um den Numerus b zu erhalten.

Rechenregeln: ( )*0, 0, 0, ,a u v k n> > > ∈ ∈

( )log log ( ) log ( )

log log ( ) log ( )

a a a

a a a

u v u v

u u vv

⋅ = +

= −

( )

( )

log log ( )

1log log ( )

log log log

ka a

na a

u k u

u un

a b a b

⋅

+ ≠

= ⋅

=

+


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Abkürzende Schreibweisen:

Basis 10 : ( ) ( )10log : lgu u= „briggscher-„ oder „dekadischer Logarithmus“

Basis e : ( ) ( )log : lne u u= „logarithmus naturalis“ oder „natürlicher Logarithmus“

Basis 2 : ( ) ( ) ( )2log : lb auch : ldu u u= „binärer Logarithmus“

Besondere Ausdrücke und Zusammenhänge:

( )( )

0

1

log 1 0 1

log 1

b

a

b

a a a

= =

= =

( )

1log 0 0

log

b

x x xa

ba x a a

∞

→ −∞ →

= =


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Umrechnung von der Basis a in die Basis b

log 1log log constlog log

ab a

a a

rr K r K

b b

= = ⋅ = =

Spezialfälle:

lgBasiswechsel 10 : ln 2,3026 lglg

re r re

→ = = ⋅

lnBasiswechsel 10 : lg 0, 4343 lnln10

re r r→ = = ⋅


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Übungsaufgaben

Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:

22) 23 5

1 3x xy y

−

− −

⋅ =

23) 2

2 31 2 3 2 3

n n na a

a a a− −

− −− + =

24) 4 3 62 10 6 129 4x x y y⋅ + =

25) 2

21 baa

⋅ + =

26) 3 a bb a⋅ =

27) 32 2

1 1a ba b

⋅ ⋅ − =

28) x y x ya a+ −⋅ =


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29) 7 5 6 8

4 5 5 4

x y y x

x y x yb bb b

+ +

− −− =

30) 3 21 26 5

3 3 ⋅ − + ⋅ − =

31) cx a

ax

nn

+ =

32) ( ) ( )3 544n x n x+ ⋅ + =

33) 6 7 4 516 4a b a b⋅ ÷ ⋅ =

34) 3 4x x x− =

35) a) 2 3 33 22 3 5x y x yx a x an n a a− +− +⋅ + ⋅ =

b) 2 12 2

43 2

2 25

a x axx a

− −−

⋅ ⋅ =


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36) a) ( )

5

6lg au b

x y=

⋅ b) c)

37) ( )

3 2

23

2log a b a b

c a c

+ ⋅ ⋅=

⋅ +

38) 2

3lg acbd

=

39) 33 21 1lg 2 lg lg lg

2 3a c b a + − + =

40) ( ) ( )2 21 1lg lg2 2

a ab b a b− + + + =

41) ( ) ( )lg lg 2 lga ab a bb

+ − − =

42) 5log 2x = −

43) 1lg10

=

logau u v

a

3 + logcc c

b

7 4−


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44) Finden Sie die Basis b , für die gilt:

45) Zeigen Sie:

46) Mit welchem Faktor muss man einen natürlichen Logarithmus multiplizieren, um den entsprechenden

dekadischen Logarithmus zu erhalten?

47) Die Gleichung lgC D EA B F⋅ +⋅ = ist nach B bzw. nach D aufzulösen.

48) Fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen:

a)

b) ( ) ( )lg lg 3 lgx x y x yy

+ ⋅ − −

log logb 16 366=

a ba b4 4log =

2 12

lg lgx y−


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3.2 Binomischer Lehrsatz

Der Ausdruck a b± heißt „Binom“ und ist Summe oder Differenz 2er „Monome“.

Bildet man Potenzen des Binoms, so ergibt sich durch Ausmultiplizieren:

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

( ) 1( ) 1 1( ) 1 2 1( ) 1 3 3 1

a ba b a ba b a a b ba b a a b a b b

+ =

+ = ⋅ + ⋅

+ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

+ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅


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Gesetzmäßigkeit über das Pascalsche Dreieck (Blaise Pascal 1623 – 1662):

( )0a b+ 1

( )1a b+ 1 1

( )2a b+ 1 2 1

( )3a b+ 1 3 3 1

( )4a b+ 1 4 6 4 1

( )5a b+ 1 5 10 10 5 1

( )5 5 4 1 3 2 2 3 1 4 51 5 10 10 5 1a b a a b a b a b a b b⇒ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

Man erkennt: Die erste und letzte Zahl einer Zeile ist immer 1

Die anderen Zahlen ergeben sich als Summe der jeweils links und rechts darüber stehenden Zahlen der Zeile zuvor.


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Andere Berechnung der Koeffizienten:

(3.1)


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Einführung von Kurzschreibweisen (Euler 1707-1783):

(3.2)

mit0

( ) ,n

n n k k

k

na b a b n k

k−

=

+ = ⋅ ∈ ∈

∑

mit0

( ) ( 1) ,n

n k n k k

k

na b a b n k

k−

=

− = − ⋅ ∈ ∈

∑

Binomialkoeffizienten mit 10

n n nk n = = =


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Anmerkungen:

Weitere Kurzschreibweise: 1 2 3 4 : !n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (Lies: „ n -Fakultät“)

Aus der Definition folgt sofort: !

( 1)! 1 2 3 4 ( 1) ( 1) !n

n n n n n+ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = + ⋅

Damit gilt für die Binomialkoeffizienten nk

falls *n∈ :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )*

1 2 ... 1 1 2 ... 11 2 3 ...

( 1) ... 3 2 1( 1

!

1 2 ..) ..

. 1!

! ;!

2 1

,

3

!

.

n n n n k n n n n knk k k

n n n n k n k n kn k n kk

n n n k n kk k n k

⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ − ⋅ − − ⋅

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −=

⇒ = ∈ ∈ ≥ −

⋅ ⋅ ⋅


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Spezialfälle:

(3.3)


C. Neumann V10

Übungsaufgaben

49) Berechnen Sie:

a) 134

b) 105

50) Entwickeln Sie 2 4(3 2 )p q− .

51) Wie lautet der konstante Term - also der

Term, der kein x enthält -

in 9

2 12xx

+

?

52) Wie lautet der 5. Term in 3 17(2 2 )x+ ?

53) 0

2n

n

k

nk=

=

∑ ist zu beweisen.

Anleitung: Man setze im binomischen

Lehrsatz 1a b= = .

54) Man zeige: 120 2 4

nn n n − + + + ⋅ ⋅ ⋅⋅ =

Anleitung: Man setze im binomischen

Lehrsatz 1a = und 1b = − und verwende

vorhergehende Aufgabe.

55) Welchen Koeffizienten hat der Term 3 2x yz im Ausdruck 6( 2 3 )x y z+ − ?

Formelabschnitt (nächster)


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4 Gleichungen Einteilung der Gleichungen z.B. nach

• Anzahl der auftretenden Variablen o Gleichung mit einer Variablen o Gleichung mit zwei Variablen, etc.

• Art der Verknüpfung der Variablen und Zahlen

• algebraischen Gleichungen:

•

rationale Rechenoperationen +, -, *, / und das Radizieren (=Wurzelziehen) existieren endlich oft, ohne dass die Variable im Exponenten erscheint,

11 1 0

Polynom

..... 0 ( ; alle ( 1,..., ) reell)n nn n ia x a x a x a n a i n−

−+ + + + = ∈ =

Falls 1n = : Gleichung 1. Grades Falls 2n = : Gleichung 2. Grades, etc.

transzendente Gleichungen, z.B.

sin cos 1;x x− =

3 7 22 5 ;x x+ +=

2 ln( 3) sin ;x x x+ = + etc.


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4.1 Gleichungen 1. Grades mit einer Variablen

Die Gleichung 0 ( 0)a x b a⋅ + = ≠ hat genau eine Lösung 1bx xa

= = −

4.2 Gleichungen 2. Grades mit einer Variablen

2 0 ( 0)a x b x c a⋅ + ⋅ + = ≠ stets überführbar in

2 0

p q

b cx xa a

+ ⋅ + =

(4.1)


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Vietascher Wurzelsatz (François Viète 1540-1603): 1 2 1 2 und + = − ⋅ =x x p x x q

Diskriminante: Ausdruck unter der Wurzel

21

2

2

4bzw. Diskriminante

2

D b a c

pD q

= − ⋅ ⋅

= −

Es ergeben sich 3 Typen von Lösungen:

• 0D > : 2 reelle Lösungen 1x und 2x mit 1 2x x≠

• 0D = : 1 reelle Lösung 1 2x x x= =

• 0D < : keine reellen Lösungen (komplexe Lösungen)


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Beispiele

(4.2)


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4.3 Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen

3n = analytische Lösungen (Cardanische Formel) vorhanden; aber umständlich in der Anwendung.

4n = analytische Lösungen vorhanden; sind aber für die Praxis kaum brauchbar.

4n > keine analytischen Lösungen möglich, nur numerisch lösbar.


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4.4 Zerlegung in Linearfaktoren

Algebraische Gleichung 2. Grades 2 0a x b x c⋅ + ⋅ + =

Zuweisung: Polynom 2( )f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +

Nullstellen des Polynoms: (4.3)


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Algebraische Gleichung 3. Grades 3 2 0a x b x c x d⋅ + ⋅ + ⋅ + =

(4.4)


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Für ein Polynom n-ten Grades 11 1 0( ) .....n n

n nf x a x a x a x a−−= + + + + gelten folgende Sätze:

Satz 1: Besitzt das Polynom ( )f x an der Stelle 1x x= eine Nullstelle, so gilt: 1( ) ( ) ( )f x x x g x= −

( )1x x− heißt Linearfaktor

( )g x = reduziertes Polynom

Satz 2: Ein Polynom n − ten Grades hat höchstens n reelle Nullstellen

Satz 3: Besitzt 11 1 0( ) .....n n

n nf x a x a x a x a−−= + + + + genau n reelle Nullstellen, so gilt:

1 2( ) ( )( ) ( )n nf x a x x x x x x= − − ⋅⋅ ⋅ ⋅ −

Satz 4: Fundamentalsatz der Algebra (C.F. Gauß, Dissertation 1799) Eine algebraische Gleichung n − ten Grades hat stets n Wurzeln (diese sind evtl. komplex und evtl. mehrfach)

Satz 5: Hat eine Gleichung . n − ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Lösung, so ist diese als Teiler in dem absoluten Glied enthalten (Vieta)


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(4.5)

Hinweis:

Bei einer doppelten ( n − fachen) Nullstelle tritt der zugehörige Linearterm doppelt ( n − fach) auf.


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Übungsaufgaben

Lösen Sie die Gleichungen nach x auf:

56) a) x xb ba b a b

− = +− +

b) 1 1a x xa ax a x+ +

+ = ⋅ ++

c) ( ) ( ) ( )22 2 2 1 2x x a a x x a ⋅ ⋅ + − = − ⋅ −

d) 4 3 3 3 81 4 4,253 6 4

x x x+ − +− = − + −

e) 2 1 6 2 1

9 2 2 3x x x

x+ − −

+ = ++

f) ( ) ( ) ( )2 2a b x x a x a b− − = − ⋅ − +

g) 3 1 12 12 63 x

− =+

h) 2

220 9 2 5 3 10 42 2 1 3 36 6

x x x x xx x xx+ + + − −

− = −− + +−

57) Lösen Sie die quadratischen Gleichungen

a) (3 7) ( 2) 0x x− ⋅ + =

b) 23 5 0x x+ =

c) 2 5 6 0x x+ + =

d) 23 5 4 0x x− + =


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58) ( ) ( ) ( )21 2 4 2x x x− ⋅ + = ⋅ + 59) Gegeben sei 2 2 ( 2) 9 0x k x k+ ⋅ + ⋅ + = .

Für welches k fallen die Nullstellen dieser

quadratischen Gleichung zusammen?

60) Ermitteln Sie die Lösungen (Wurzeln) der kubischen Gleichung 3 23 3 7 0x x x− + + =


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4.5 Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen: Die Unbekannte x tritt in Wurzelausdrücken auf.

Lösungsverfahren:

1) Wurzelausdruck isolieren (evtl. mehrere Schritte nötig)

2) Quadrieren (bzw. potenzieren)

3) Nach der Unbekannten x auflösen

4) Probe ist Teil der Lösung!


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Beispiel:

(4.6)


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Übungsaufgaben

Lösen Sie die Gleichungen nach x auf

61) 3 2 4x− = −

62) 1 8 9x x− + + =

63) 16 3 7 5 2 7x+ − =

64) ( ) 153 2 43

x xx

+ + − =+

65) 2 3 5 3 0x x− + − =

66) 15 10 1x x+ − − =

67) 1 2 3 8 1 0x x x+ + + − + =

68) 3 28 2 3 3x− − =

69) ( ) ( ) 23 2n x x n x n+ ⋅ − = −

70) 7 3 2 4 16x+ + =

71) 2 19 5 0x + + =

72) 2 2 3 216 2x x− −=

73) 7 43 9x x− +=

74) 1 33 2

2 3

x+ −

=

75) 00 ?

g hpp p e hρ− ⋅ ⋅

= ⋅ → =

76)

1

1 1

2 2?

nnT p n

T p

−

= → =

77) 2 ln ln16x =

78) ( ) ( )lg 2 3 lg 1 1x x+ = − +

79) lg lg5 2 3x x= ⋅


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80) 2lg 3 lg 4x = ⋅

81) 1ln1

x ax

+=

−

82) ( ) ( )2lg 1 lg 3 lg 1x x− + = −

83) ( ) ( ) ( )lg 1 lg 1 2 lg 1 1 0ax ax ax+ + − − − − =

84) 1 1 1 lnln 2 2

xx+ =


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4.6 Betragsgleichungen

Die Unbekannte x tritt unter dem Absolutzeichen auf.

Lösung erfolgt über Fallunterscheidung

falls 0falls 0

a aa

a a ≥

= − <


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Beispiel: 21 5x x− = − +


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(4.7)


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Übungsaufgaben

Für welche x∈ gilt:

85) 2 2x x− =

86) 2 24x x− =

87) 1 1x x+ = −

88) ( )22 4 6x x x+ = − − −


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4.7 Ungleichungen Beispiel: 2 5 9x + > Gesucht: ?x =

Regeln:

• Addition oder Subtraktion eines beliebigen Terms auf beiden Seiten der Ungleichung ist erlaubt.

• Multiplikation oder Division der Ungleichung mit einer positiven Zahl 0c > ist erlaubt.

• Multiplikation oder Division einer Ungleichung mit einer negativen Zahl 0c < ändert das Relationszeichen:

aus wird

> < ≥ ≤ < > ≤ ≥

Hinweis:

Die Lösungen sind oft Intervalle.


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Beispiel: Für welche x gilt: 2 5 4x x+ ≤ + ?


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(4.8)


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Übungsaufgaben

Für welche x∈ gilt:

89) 2 2 0x x− − ≤ ?

90) ( )21x x− ≤

91) 2 1 0x x+ − ≥

92) 2 9 1x x− < −

93) 1 11

xx−

<+


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5 Logik & Beweisverfahren

5.1 Elementare Logik

Eine Aussage ist ein Satz, von dem eindeutig entschieden werden kann, ob er wahr oder falsch ist.

Ereignisse (Aussagen),

z.B.

A = der Luftdruck beträgt heute 1013 hPa

B = ich gehe heute ins Kino

C = es regnet nicht

Negation von Ereignissen:

z.B.

A = der Luftdruck beträgt heute nicht 1013 hPa

B = ich gehe heute nicht ins Kino

C = es regnet (es ist nicht richtig, dass es nicht regnet)

Anmerkung:

• Wahrheitswert: wahr: w oder 1 falsch: f oder 0 Formel-Kapitel (nächstes) Abschnitt 5

Anmerkung:

• andere Schreibweise für Negation: A¬


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Verknüpfung von Aussagen:

Summe von Ereignissen:

A B+ Ereignis A oder Ereignis B tritt ein

oder beide treten gemeinsam ein. Auch: Mindestens ein Ereignis tritt ein

Beispiel: A = Maren besteht die Mathe-Klausur

B = Sven besteht die Mathe-Klausur

A B+ = Maren besteht oder Sven besteht

die Mathe-Klausur oder beide bestehen die Mathe-Klausur

Produkt von Ereignissen:

AB Ereignis A und Ereignis B treten beide

gemeinsam ein.

Beispiel: A = die Daten sind richtig

B = die Gleichungen sind richtig

AB = die Daten und die Gleichungen sind richtig


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Gleichbedeutende Notationen der Ereignisalgebra

Boolesche Algebra Mengenlehre Logik Bedeutung

Summe von Ereignissen

(Disjunktion) A B+ A B∨ A B∪ „oder“

A oder B (oder beide)

Produkt von Ereignissen

(Konjunktion) A B⋅ A B∧ A B∩ „und“

A und B

gemeinsam

Anmerkung:

Neben der ODER-Verknüpfung gibt es auch die „ENTWEDER … ODER“-Verknüpfung: A XOR B oder auch A B⊕

Diese Aussage ist genau dann wahr, wenn entweder oder , aber nicht beide gemeinsam wahr sind.

A B


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Wahrheitstabellen

Verknüpfte Aussagen lassen sich am besten durch ihre Wahrheitstabelle beschreiben.

A B A B AB A B+ A B⊕

W W F F W W F

W F F W F W W

F W W F F W W

F F W W F F F

Anmerkung

• ,A B C+ + ist wahr, wenn mindestens eines der Ereignisse , , ,A B C wahr ist („oder“)

• ABC ist wahr, wenn alle Ereignisse , , ,A B C gemeinsam wahr sind („und“)


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Implikation und Äquivalenz:

Schlussfolgerungen können in der Mathematik durch die folgenden Verknüpfungen beschrieben werden.

WENN-DANN-Verknüpfung (Subjunktion) A B→ (gelesen “Wenn A , dann B “) und

GENAU-DANN-Verknüpfung (Bijunktion) A B↔ (gelesen ” A genau dann, wenn B “)

von zwei Aussagen A bzw. B sind durch ihre Wahrheitstabellen folgendermaßen definiert:

A B A B→ A B↔

W W W W

W F F F

F W W F

F F W W


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Definition:

Ist die Aussage A B→ wahr, so spricht man von einem logischen Schluss (Implikation) und schreibt A B⇒ .

Anmerkung:

• Für A B⇒ sagt man: ”Aus A folgt B “ oder ” A impliziert B “, oder ” Wenn A , dann B “ oder ” A ist hinreichend für B “ oder ” B ist notwendig für A “.

• „ A B⇒ “ bedeutet: Wenn A wahr ist, so ist auch B wahr. Wenn A falsch ist, so kann B wahr oder falsch sein.

• Für Aussageformen bedeutet A B⇒ , dass ( ) ( )A x B x⇒ für alle x wahr ist.

• A B⇒ bedeutet dasselbe wie B A⇒ (wichtig für Beweisverfahren, vgl. später)


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Beispiel:

(5.1)


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Definition:

Wenn die Aussage A B↔ wahr ist, dann spricht man von Äquivalenz und schreibt A B⇔ .

Anmerkung:

• Die Äquivalenz A B⇔ bedeutet, dass sowohl A B⇒ als auch B A⇒ gilt. • Man sagt: ” A genau dann, wenn B “ oder ” A dann und nur dann, wenn B “ oder

” A ist notwendig und hinreichend für B “. • Wenn A B⇔ gilt, bedeutet dies: Die Aussagen A und B haben denselben Wahrheitswert.

Beispiel: „ x ist eine gerade Zahl ⇔ x ist durch 2 teilbar“ ist eine wahre Aussage. („ x ist gerade genau dann, wenn x durch 2 teilbar“ oder „ x ist gerade dann und nur dann, wenn x durch 2 teilbar ist“)


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Übungsaufgaben

94) Es gilt: „Wenn ich schlafe, habe ich geschlossene Augen.“

Was trifft zu?

a) Wenn meine Augen offen sind, bin ich wach.

b) Wenn ich nicht schlafe, sind meine Augen offen.

c) Wenn ich geschlossene Augen habe, schlafe ich.

95) Graf Hubert wurde in seinem Arbeitszimmer ermordet. Der Arzt hat festgestellt, dass der Tod zwischen

09 Uhr 30 und 10 Uhr 30 eingetreten ist. Die Haushälterin von Graf Hubert ist um 10 Uhr vom Garten in

die Küche gegangen. Um an der Haushälterin vorbeizukommen, muss der Mörder vor 10 Uhr mit einem

Schlüssel durch die Eingangstür oder nach 10 Uhr durchs Fenster eingestiegen sein. Kommissar Berg-

hammer vermutet einen der drei Erben A, B oder C als Mörder. A hat als einziger einen Schlüssel, kann

aber wegen eines Gipsfußes nicht durchs Fenster gestiegen sein. A und B haben beide kein Alibi für die

Zeit nach 10 Uhr (wohl aber für die Zeit vor 10 Uhr) und C hat kein Alibi für die Zeit vor 10 Uhr (wohl

aber für nach 10 Uhr). Wer von den dreien kommt als Mörder in Frage?


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5.2 Beweistechniken

In Beweisen wird stets aus der Gültigkeit bestimmter Aussagen, der Voraussetzungen, auf die Gültigkeit anderer Aussagen geschlossen.

5.2.1 Direkter Beweis

Beim direkten Beweis wird aus einer Voraussetzung A die Behauptung B hergeleitet., es wird also die Gültigkeit A B⇒ gezeigt.

Vorgehensweise: Es gilt A , daraus B folgern.

Beispiel: Satz: Die Summe von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ist durch drei teilbar.

(5.2)

Aussage A : a, b, c sind drei aufeinander folgende natürliche Zahlen (d.h. 1, 2b a c a= + = + )

Aussage B : a b c+ + ist durch 3 teilbar (d.h. ( ) : 3a b c+ + ∈ )

Behauptung: A B⇒


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Übungsaufgaben

96) Gilt für beliebige ,x y∈ mit 0 x y< < und beliebiges b∈ mit 0b > immer yxb x b y

<+ +

?


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5.2.2 Indirekter Beweis durch Kontraposition

Der indirekte Beweis durch Verwendung der Kontraposition ist oft eine einfachere Möglichkeit als der direkte Beweis, um eine Implikation A B⇒ zu beweisen.

Die Kontraposition zur Implikation "Wenn A, dann B" ist die Aussage "Wenn nicht B, dann nicht A";

beide sind logisch äquivalent ( ) ( )A B B A⇒ ⇔ ⇒

Vorgehensweise: Es gilt B , daraus A folgern

Beispiel: Satz: Für m∈ gilt: Ist 2m gerade, folgt daraus, dass m gerade ist.

(5.3)

Aussage A : 2m gerade

Aussage B : m gerade

Behauptung: A B⇒

zeige: B A⇒


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5.2.3 Indirekter Beweis durch Widerspruch

Die Subjunktion A B→ ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist: A B A B→ ⇔ ∧

Vorgehensweise: Annahme: Es gilt A und B ; woraus ein Widerspruch folgt

Es wird gezeigt: Es gilt nicht A B∧ , was äquivalent ist zu: es gilt nicht A B→ ,

was gleichbedeutend ist zu: es gilt A B→

Beispiel: Satz: Für m∈ gilt: Ist 2m gerade, folgt daraus, dass m gerade ist.

(5.4)

Aussage A : 2m gerade

Aussage B : m gerade

Behauptung: A B⇒

zeige: A B∧


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Übungsaufgaben

97) Zeigen Sie, dass 2 keine rationale Zahl ist.


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5.2.4 Vollständige Induktion

(lat. inducere = hinführen) Anwendbar auf Aussagen, die für alle n∈ bestehen oder

die für alle 0n n n∈ ≥mit wobei 0n die kleinste Zahl ist, für die die Aussage besteht

Vorgehensweise:

1) Induktionsanfang: Beweis für das kleinste n , für das die Aussage gelten soll, auf direktem Weg.

2) Induktionsbehauptung: Aussage gelte für ein festes, aber beliebiges n

3) Induktionsschluss: Zeigen, dass wenn die Aussage für n gilt, sie auch für 1n + gelten muss (Schluss von n auf 1n + )

Beispiel:

Eine Behauptung lautet: Für alle n∈ gilt 2

1

1 ( 1) (2 1)6

n

kk n n n

=

= ⋅ + ⋅ +∑


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(5.5)


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Übungsaufgaben

98) Beweisen Sie durch " Schluss von n auf 1n + " ( vollständige Induktion ), dass gilt:

a) ( )1

6 5 (3 2)n

kk n n

=

− = −∑ b) 2 11 2 2 2 2 1n n−+ + + + = −

c) 2 1 11 ( 1)1

nn xx x x x

x− −

+ + + + = ≠−

99) Beweisen Sie durch „Schluss von n auf 1n + " (vollständige Induktion), dass der Ausdruck 2 2n nx y−

durch ( )x y+ teilbar ist ( ); , .n x y∈ ∈


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6 Lösungen zu den Übungsaufgaben Mengen:

1) { } { }1 2 11,3 ; 1,3M M M= = =

2) ( ) ( ){ }1 2 1 2|M x x M x M x M M= ∈ ∨ ∈ ∧ ∉ ∩

3) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Betrachten des Mengendiagramms:

a) A

b) \A B

c){ }

d) A B∪

e) A f) A B∩

Vereinfachen von Ausdrücken

4) 3 4 3a b+ +

5) 2 2 22a ac b c− − +

6) ( )27 3a +

7) 24 3a b−

8) ( )4 b c− −


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Bruchrechnung:

9) 17681

10) 22

1a −

11) a

12) 2 1a b a

ab− −

13) 2

2a

a a b− −

14) a b−

15) ( )1

4 4 1a−

⋅ −

16) 2

22 18 4

1a a

a− + +

−

17) 1 yxy x

− − −

Komplexe Zahlen

18) 1−

19) 9 19 ; 46 913 13

j j−− − +

20) 3 3 3 j+ ⋅

21) 2 3; 30r ϕ= = − °


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Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

22) yx

23) 1na

24) x y+

25) 2 2a b+

26) 6 ba

27) ( )2 23 ab b a−

28) 2xa

29) 0

30) 2

31) cn

32) ( )2n x+

33) 4ab

34) 3 x− =

35) a) 5 242 15 x yx an a −− + b) 5a

36) a) ( )1 15 lg lg lg lg6 2

u b a x y + − +

b) ( )13 log log 12a au u v+ + −

c) ( )34 log 1 logc cc b+ − −

37) ( )

( )

1log 2 log 3 log 2 log2

1 log 2 log3

a b a b

c a c

+ + + +

− − +


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38) 1 lg 2 lg lg lg3

a c b d+ − −

39) 2

lg cb

40) ( )3 3lg a b+

41) 2

lg aa b

−

42) 125

x =

43) 12

−

44) 4b =

45) identische Ausdrücke

46) 1lgln10

k e= =

47) 1 lg lg lg

lg lg; 10F A E B

C D E C BFB DA

− − ⋅⋅ + ⋅

= =

48) a) 2

lg xy

b) ( )

2

3lg x

x y

−


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Binomischer Lehrsatz

49) Berechnen Sie:

a) 715 b) 252

50) 3

8 6 4 2 2281 216 216 96 16p p q p q p q q− + − +

51) 672

52) 17 122380 2 x⋅

53) Behauptung stimmt


55) 1080


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Gleichungen

Lösen Sie die Gleichung nach x auf

56)

a) 2 2a b−

b) 1−

c) 2ax =

d) 3

e) 40 ; 411− f) ;

2ba b−

g) 12

h) 17 ; 22−

−

Quadratische Gleichungen:

57) a) 7 ; 23−

b) 50,

3−

c) 3, 2− − d) 5 236j±

58) 3; 1; 2− −

59) 4;1

60) 0 1,21; 2 3x x j= − = ±


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Wurzel-, Exponential- u. logarithm. Gleichungen

61) 494

62) 17

63) 3

64) 6

65) 2

66) 1

67) 3

68) 2

69) 225n

70) 52

71) keine Lösung

72) 2

73) 15−

74) 2

75) 0 0lnp p

g pρ

76)

2

1

1 1

2 2

ln

ln ln

pp

T pT p

−

77) 4

78) 138

79) 22,75

80) 8±

81) 11

a

aee−+

82) 2


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83) 1110a

84) 2 1;e e−

Betragsgleichungen

85) 1; 2

86) 4, 42443; 5, 42443−

87) 0

88) 2; 1−

Ungleichungen

89) 1 2x− ≤ ≤

90) 3 5 3 52 2

x− +≤ ≤

91) 1 5 1 5|2 2

x x x − − − + ≤ ∨ ≥

92) 3,702 2,3722,702 3,372

xx

− < < −∧ < <

93) 1x > −

Beweistechniken

94) a) wahr, b) falsch, c) falsch

95) Behauptung gilt immer

96) Nur Erbe B kommt als Mörder in Frage

97) Beweis über Widerspruch möglich.


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Vollständige Induktion

98) Behauptungen stimmen


Rumpfskript zur Vorlesung Mathematik-Brückenkurs 1/102 ... · Grundlagen der Geometrie (Lehrsätze...

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