Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins 1...Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rwnd ums Geld: 4a...

(

1 Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins

1

2.1 a 5% = 0.05 d 10.5% 0.105

b 13% = 0.13 e 14.9% = 0.149

c 2.75% = 0.0275 f 0.25% = 0.0025

2.2 a Kontostand Zinssatz Zins- Bruttozins

Ko p operator Zs am 31.12. f

[CHF] [CHF]

' 25 100 3% 0.03 753

9400 4.5% 0.045 423

7920 2.5% 0.025 198

12 000 1.75% 0.0175 210

64 800 5.25% 0.0525 3402

b Formel mit Zinssatz p:

Formel mit Zinsoperator f: Z8 K0 · f

= K0 · __E_ - K0 · __E_ · 0.35 = K0 · __E_ · (1 - 0.35 ) 100 100 100

K0 · p · 0.65 100

Kontostand

2.3 a Rückzahlung:

Seiten 98, 99

g 65% = 0.65

h 3.75% = 0.0375

12.25% = 0.1225

Verrechnungs- Nettozins steuer

[CHF]

263.55

148.05

-

73.50

1190.70

= K0 · __E_ · 0.65 100

ZN

[CHF]

489.45

274.95

198

136.50

2211.30

Kontostand nach Zinsabschluss

KE [CHF]

25 589.45

9674.95

81 18

12 136.50

67 011.30

Bank X: 15 000 + 15 000 · (0.125 + 0.015) = CHF 17100 BankY: 15 000 + 15 000 · 0.12 + 200 = CHF 17 000

3

b K = CHF 10 000: Die beiden Banken sind gleich günstig. K < CHF 10 000: Die Bank X ist günstiger. K > CHF 10 000: Die BankY ist günstiger.

Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins 83

Seiten 100, 101

4.1 a Mögliche Antwort:

4.2

Die Grafik zeigt, wie der Bruttojahreszins mit zunehmendem Kapital bei drei verschiedenen Zinssätzen wächst.

b Z8 · 100 p = - -K-

Wahl geeigneter Punkte im Diagramm: Punkt 1 (4000/260 )

Punkt 2(4000/200 )

Punkt 3(5000/200 )

C, d p =

y

195. 100 2500

7.8%

8.5% 7.8%

P1 = 6.5%

P2 5% p3 = 4%

P1

200 -+---t-~-+-~-H----i--+-,--T--J;.<---,-t7'-'--'-'-l---i-~1"'-~+-~----,~~-+--~--r-.---+----t---+----+---H-

180 160 140 120 100 +---t-~--+'h"'-'--7'7--'-'-7/"T----"71'"'--"--"'--'-t~-h---c-t-------~+-~+---,--t-.,.,--+--~h--rl----'---+-----i---'-+

80 60 40 20

0 X

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500

a Zinsoperator: f = 93·75 = O 0125 7500 .

Zinssatz p: p = 93.75 . 100 = 1.25% 7500

b - Zs = K0 · f

f = Zs Ko

84

Kapital [CHF]

Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins

( 4.3 Kapital Bruttojahreszins Zinsoperator Zinssatz

Ko Zs f p [CHF] [CHF]

a 6540 261.60 0.04 4%

b 950 23.75 0.025 2.5%

c 4980 186.75 0.0375 3.75%

d 32 714 4089.25 0.125 12.5%

4.4 Der Jahreszins muss CHF 134 betragen.

( Zinsoperator f = 6~6~ = 0.0201 „.

Der Zinssatz müsste mehr als 2% betragen.

Hinweis: J

Bei einem Zinssatz von 2% müsste Anja noch ungefähr CHF 0.70 dazulegen.

4.5 Nettozins: ZN = K0 · f · 0.65 Kontostand: KE = Ko + ZN = K0 + K0 · f · 0.65

Zinsoperator:

4.6 Nettojahreszins:

f = KE - Ko K0 · 0.65

CHF 780

Berechnung mit Zinsoperator f: f = Ko z~.65 = 15 0;J~0 0.65 = 0.08

Berechnung mit Zinssatz p:

Der Zinssatz beträgt 8% .

p ZN. 100 K0 · 0.65


780. 100 = 8 15 000. 65

85

Seiten 101, 102

Seiten 102, 103

4.7 Kapital zu Zins- Zins- Brutto- Verrechnungs- Netto- Kontostand am

Jahresbeginn satz operator jahreszins steuer jahreszins Jahresende Ko p f Zs ZN KE

[CHF] [CHF] [CHF) [CHF] [CHF]

a 7800 7.5% 0.075 585 204.75 380.25 8180.25

b 9600 2.5% 0.025 240 84 156 9756

c 8000 5.5% 0.055 440 154 286 8286

d 125 400 4% 0.04 5016 1755.60 3260.40 128 660.40

e 3400 14% 0.14 476 166.60 309.40 3709.40

f 8900 6% 0.06 534 186.90 347.10 9247.10

4.8 a Mögliche Antwort: Das Diagramm zeigt, wie der Bruttojahreszins mit zunehmendem Zinssatz bei drei verschiedenen Kapitalien wächst.

b Ko = Z8 · 100 p

Wahl geeigneter Punkte im Diagramm: Punkt 1 (5/240) Punkt 2(5/320) Punkt 3(5/360)

C, d

Li:' 520 ::c 2 480

(/)

- ~ 440 N (/)

~ 400 .r: -~ 360 0 ~ 2 320

[]J 280

240

200

160

120

80

40

0

y

K1 = CHF 4800 K2 CHF 6400 K3 = CHF 7200

0 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

Zinssatz [%]

Bruttojahreszins Z8 = 169 : 0.65 = CHF 260

Ko = Z8 · 100 = 260. 100 = 13 OOO p 2

Das Kapital beträgt CHF 13 000.

86 Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins

(

(

4.9 a

b

4.10

Ko = Zs f

Bruttojahreszins Zs

[CHF]

896.40

1237.80

41.40

199.90

Zinssatz p

3%

2.5%

5.75%

0.5%

K ZN 358.80 18 400 0 = 0.65 . f = 0.65 . 0.03 =

Das Guthaben beträgt Ende Jahr CHF 18 758.80.

4.11 K0 = o.:;. f = o.655.95.025 = 36 861.538„.

Zinsoperator f

0.03

0.025

0.0575

0.005

Das Kapital muss anfangs Jahr mindestens CHF 36 861.55 betragen.

4.12 a KE KE 6560 Ko = T+f = 1.025 = 1.025 = 54oo

Das Kapital betrug zu Jahresbeginn CHF 6400.

b KE = K0 +ZN = K0 + K0 · f · 0.65 = K0 (1 + f · 0 .65)

4.13 a

KE Ko = 1 + f . 0.65

KE Ko = -1 -+-,-f -. o-. 6-5

Ko = 20 520 = 20 000 1.026

Das Kapital betrug zu Jahresbeginn CHF 20 000.

4.14 Kapital, Zinssatz, Jahreszins


Seiten 103, 104, 105

Kapital Ko

[CHF]

29 880

49 512

720

39 980

87

Seiten 105, 106

5

6.1 a 27 Tage: CHF 10.80 d 243 Tage: CHF 97.20 g 189Tage: CHF 75.60

b 198Tage: CHF 79.20 e 351 Tage: CHF 140.40 h 252 Tage: CHF 100.80

c 36 Tage: CHF 14.40 f 99 Tage: CHF 39.60 81 Tage: CHF 32.40

6.2 a (8 · 30-18)-0 = 222Tage

b (10-30-4)-(5 - 30-9) = 296-141 = 155 Tage

c (12 - 30-21)-(10 - 30-15) = 339-285 = 54Tage

d (4 - 30-26)-(1 - 30-27) = 94-3 = 91Tage

e (11 ·30-11)-(2-30-9) = 319-51 = 268 Tage

f (6-30-30)-(3 - 30-13) = 150-77 = 73Tage

g (9 - 30-8)-(6 - 30-30) = 262-150 = 112Tage

6.3 Kapital Zinssatz Laufzeit Laufzeit Marchzins

K p t MZ [CHF]

vom bis [Tage] [CHF]

a 1650 2% 9. Jan . 25. April 106 -9.72

b 16 920 5% 19. März 7. Aug. 138 324.30

c 540 2.75% 7. Mai 1. Okt. 144 5.94

1

d 25 200 4.5% 27. Juni 16. Nov. 139 437.85

e 7500 3% 12. Okt. 6. Dez. 54 33.75

f 32 400 12.5% 8. Feb. 17. Juli 159 1788.75

6.4 Anzahl Tage: (5·30-3)-(4 - 30-27) = 147-93 = 54Tage

Überziehungszins: 900 · 0.095 : 360 · 54 = 12.825

Der Überziehungszins beträgt CHF 12.85 oder CHF 12.80, je nach Rundungsregel der Bank.


(

L

6.5 a Der Saldo am 6. Januar betrug CHF 2900.

6.6

6.7

b

a

b

Tag Monat

7 Jan.

13 Feb.

30 März

18 April

1 Juni

25 Juli

31 Aug . .

MZ = L..L..l 360

K = MZ · 360 f · L

f = MZ · 360 K-L

L = MZ · 360 K · f

a _ L = MZ · 360 K · f

Text

Bankornat

Auszah lung

Einzahlung

Bankornat

neuer Zinssatz

Einzahlung

Auszahlung

139 . 360 6255. 0.025

Nach 320 Tagen

Zinsatz

2%

2%

2%

2 %

2.5 %

2.5 %

2.5 %

= 320

- 320 Tage = 10 Monate 20 Tage

Es handelt sich um den 20. Oktober.

b 1. Januar bis 12. Juli : · 191 Tage

Gutschrift Lastschrift Saldo [CHF] [CHF] [CHF]

300.00 2600.00 I

2100.00 500.00

250.00 750.00

450.00 300.00

300.00

800.00 1100.00

500.00 600.00

Marchzins für CHF 6255: MZ = 6255 . 0.025. 191 = 82.965625 "" 82.95 360

12. Juli bis 31. Dezember: 168 Tage

Marchzins für CHF 6116: MZ = 6116. ~~~5. 168 = 71.353 ... "" 71.35

Kontostand am Jahresende: 6116 + 82.95 + 71.35 = 6270.30

Der Kontostand beträgt CHF 6270.30.


1

} }

1 } } 1

Seiten 107, 108

Laufzeit Marchzins [Tage] [CHF]

36 5.20

47 -1.31

18 0.75

43 -0.72

54 -1.13

35 -2.67

6.8 Billettkosten: CHF 15 · 19 CHF 285

Kapital K: CHF 279 Marchzins MZ: CHF 6 Laufzeit L: 1. Januar bis 17. Juli: 196 Tage

Zinsoperator: f MZ · 360 6 · 360 = K · L = 279 · 196 = 0.0394 ...

Der Zinssatz sollte mindestens 4% betragen.

6.9 a 5 Monate: CHF 74.75 c 9 Monate: CHF 134.55

b 1 Monat: CHF 14.95

6.10 a MZ = L..LJo 12

b

6.11

K MZ · 12 =---f · L

f MZ · 12 = ---K· L

L MZ · 12 =~~=

K · f

@ CHF 3600 4.5%

5 Monate

Marchzins: CHF 75.40

Marchzins: CHF 72

6 12 Mz = 4800 · 0.0275 · L • 1 12

4800 · 0.0275 · L 12

4200 · 0.03 · L 12

d 10 Monate: CHF 149.50

CD CHF 2640 3.5%

9 Monate

@ CHF 3480 4%

6.5 Monate

Mz 4200 · 0.03 · L 2 = 12

= 5

6 · L = 60 L = 10

Seiten 108, 109

e 4 Monate: CHF 59.80

f 11 Monate: CHF 164.45



@ CHF 4320 2.5%

8 Monate

Nach 10 Monaten beträgt der Unterschied der beiden Marchzinsen CHF 5.


( 6.13 MZ = 352001·20.03. 9 792

792. 12 L = 43 200 . 0.0275 = 8

Es dauert 8 Monate.

6.14 Kapital K1 nach 3 Monaten:

K K, . f . L = 2880 2880 . 0.04 . 3 = 2908.80 1 + 12 + 12

Kapital K2 nach 7 Monaten:

12 · K2 + K2 · 0.315 = 2908.80 12

12.315 · K2 = 34 905.60

K2 = 2834.397. ..

Das Kapital K2 muss CHF 2834.40 betragen.

6.15 Marchzins

Seiten 109, 110

7.1 Marchzins MZ von CHF 3050 bei einem Zinssatz von 14.5% mit einer Laufzeit von 5 Monaten:

Mz = 3050. 0.145. 5 = 184 270 12 . . ..

Frau T. muss noch CHF 3234.25 oder CHF 3234.30 bezahlen, je nach Rundungsregel der Bank.

7.2 a Kapital K: CHF 20 Laufzeit L: 1 Monat Marchzins MZ: CH F 5

Zinsoperator f: f = ~ = 3 20. 1

Der Zinssatz beträgt 300%.

b Marchzins MZ: MZ = 20 · ~d 5 · 1 = 0.25

Bei einem Zinssatz von 15% dürfte Timo CHF 0.25 Zins verlangen.

Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rwnd ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins 91

Seiten 110, 111

8.1 a Einzahlung Marchzins-

[CHF)

Jan. Feb. März April Mai Juni Juli Aug . Sept. Okt. Nov. Dez.

600

0 t 1 1 t 1 1 t 1 t 1 1 450

0 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 1° 300

0 t t t t t t t t t t t t 1° 150

b Mögliche Formel:

MZtotal MZ1 + MZ 2 + MZ 3 + . . . + MZ 12

150 . f . 12 150 . f . 11 150 . f . 10 150 . f . 1 12 + 12 + 12 + ... + 12

150 . f ( 2 0 ) = _1_2 _ . 1 + 11 + 1 + . .. + 1

150. f 12' 13 _1_2 _ __ 2_

MZtotal = 975 · f

Sparplan

8.2 Preis bei Barzahlung: CHF 540

Preis bei Ratenzahlung: CHF 558

MZtotal = CH F 18

186 ' f ' 12 1 86 . f ' 6 MZtotal = 12 + 12

f = 1~6 = 0.0645 „'

186' f' 18 12

Der Zinssatz beträgt ungefähr 6 .5%.

8.3 a Rate: R

= 18

Mz R · f · 3 R · f · 6 R · f · 9 R · f · 12 = R · f · 30 total = _1_2 _ + _1_2 _ + - 1-2- + 12 12

Die Raten betragen je CHF 300.

b Der Barpreis beträgt CHF 1140.

60, R 24 24 f 0.08

summe [CHF)

42

-39.38

36.75

-34.13

300


( 9.1 Formel: K7 = K0 (1 + 160 )7 = K0 · (1 + fl7 = 3400 · 1.0457 = 4626.930 ...

Das Kapital ist auf ungefähr CHF 4627 angewachsen .

9.2 Kapital: KL = 2 K0 = K0 (1 + f!L 2 = (1 + f )l

Laufzeit L in Jahren, bis sich das Kapital K0 verdoppelt hat bei einem Zinssatz von

-3% Zinsoperator: 1.03 Laufzeit L: 2 = 1.03L L = 23.4497 ... ""23 Jahre - 4% Zinsoperator: 1.04 Laufzeit L: 2 = 1.04L L = 17.6729 ... ""18 Jahre - 5% Zinsoperator: 1.05 Laufzeit L: 2 1.05L L = 14.2066 ... "" 14 Jahre - 8% Zinsoperator: 1.08 Laufzeit L: 2 = 1.08L L = 9.00646 ... ""9 Jahre - 10% Zinsoperator: 1.10 Laufzeit L: 2 = 1.10L L = 7.27254 .. . ""7 Jahre - 25% Zinsoperator: 1.25 Laufzeit L: 2 = 1.25L L = 3.10628 ... ""3 Jahre

Anmerkung: Die aufgeführten Dezimalzahlen für L wurden aus den Formeln von oben gewonnen:

L log 2 2 = (1 + f), also L = 10911 + f!

Die Schülerinnen und Schüler probieren jedoch zielgerichtet, indem sie den Zinsoperator systematisch mit natürlichen Zahlen potenzieren, bis sie ungefähr 2 erreichen.

9.3 - Berechnung ohne Berücksichtigung der Verrechnungssteuer: 1. Jahr: MZ, = 200 ;~ 035 · 78 = 45.50 Kapital am Ende des 1. Jahres:

2. Jahr:

CHF 2445.50

CHF 2445.50 werden das ganze Jahr verzinst: 2445.50 · 0.035 = 85.5925 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200.

Kapital am Ende des 2. Jahres: CHF 4976.5925 "" CHF 4976.60

3. Jahr: CHF 4976.60 werden das ganze Jahr verzinst: 4976.60 · 0.035 = 174.181 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatl ichen Einlagen von CHF 200. Kapital am Ende des 3. Jahres: CHF 7596.281 "" CHF 7596.30

4. Jahr: CHF 7596.30 werden das ganze Jahr verzinst: 7596.30 · 0.035 = 265.8705 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200. Kapital Ende des 4. Jahres: CHF 10 307.6705 "" CHF 10 307.70

Das Sparguthaben beläuft sich am Ende des 4. Jahres auf ungefähr CHF 10 307.70.


Seite 111

- Berechnung mit Berücksichtigung der Verrechnungssteuer: 1. Jahr: MZ, = 200 ;go35 . 78 = 45 .50

Kapital am Ende des 1. Jahres: CHF 2445.50

2. Jahr:

CHF 2445.50 werden das ganze Jahr verzinst: 2445.50 · 0.035 = 85.5925 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200.


3. Jahr:

CHF 4976.60 werden das ganze Jahr verzinst: 4976.10 . 0.035 = 174.181 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200. Bruttojahreszins: CHF 219.681 Nettojahreszins : CHF 142.79265 ""' CHF 142.80


4. Jahr:

CHF 7519.40 werden das ganze Jahr verzinst: 7519.40 · 0.035 = 263 .179 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200. Bruttojahreszins: CHF 308.679 Nettojahreszins: CHF 200.64135 ""' CHF 200.65

Kapital am Ende des 4. Jahres: CHF 10 120.05

Das Sparguthaben beläuft sich am Ende des 4. Jahres auf ungefähr CHF 10 120.05.

9.4 Zum Tüfteln : a

b

c

K2030 = 1 · (1 + 0.05) 2030 = 10 334205 941436 368000 000000 000000 000000 000000 Höhe des Guthabens im Jahr 2030: CHF 10 334 205 941 436 368 . 1027

K2030 = 1000 · (1 + 0.05) 2030

Das Guthaben wäre 1000-mal grösser.

1.052030 34 ~ = 1.74537332 .. . . 10 1.01

Das Guthaben wäre ungefähr 1.745. 1034-mal kleiner.

1.1 2030 41 d ----w3o = 1. 0300866511. . . . 10

1.05

Das Guthaben wäre ungefähr 1.030 · 1041 -mal grösser.

Seite 111


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