Satz von Pythagoras

InhaltGeschichte von Pythagoras

Entdeckung des Satzes von Pythagoras

Plimpton 322

Lehrsatz

Beweise

Kathetensatz und Höhensatz

Pythagoreische Tripel

Kosinussatz

Anwendungen des Satzes

Geschichte von Pythagoras

Pythagoras lebte von ca. 580 – 500 v. Chr.

Er war der erste der großen Philosophen und auch Lehrer desantiken Griechenland

Er beeinflusste Sokrates, Platon und Aristoteles

wurde geboren auf der griechischen Insel Samos

unternahm viele Reisen als Jugendlicher

eine Zeitlang soll auch THALES VON MILET sein Lehrergewesen sein

Geschichte von Pythagorasneues Zuhause fand er in der griechischen Kolonie Kroton inSüditalien

er gründete den Geheimbund der Pythagoreer

Ziel war Aufbau der Welt zu ergründen und die Geheimnisseder Natur zu entschleiern

„Alles ist Zahl“ war ihr Grundsatz

suchte nach Zahlen die gleich der Summe ihrer echten Teilersind

Seitenlängen die in einem einfachen Verhältnis stehenergeben harmonische Töne

Geheimes Zeichen vom Bund der Pythagoreer

„Pentagramm“

Pentagramm brachte die Philosophie der Pythagoreer insWanken

Geheimniskrämerei der Pythagoreer und ihre ungewöhnlicheLebensweise erregten den Unmut der Bevölkerung

Aussagen von Pythagoras:„Die Zahl ist das Wesen aller Dinge.“

„Geometrie ist ewiges Wissen.“

Entdeckung des Satzes von PythagorasPythagoras hat den Lehrsatz nur wieder entdeckt

Ägyptern und Chinesen waren diese Zusammenhänge schon bekannt

In Ägypten beispielsweise wurde ein Seil durch Knoten in 12 gleich große Teile geteilt

Plimpton 322geheimnisvolle babylonische Tontafel mit Zahlen in Keilschrift

1800 v.Chr verfasst und listet pythagoreische Tripel auf

nach dem New Yorker Verleger George Plimpton benannt

Tafel entstammt der altbabylonischen Zivilisation in Mesopotamien

Babylonier ritzten ihre Texte mit Hilfe eines Griffels oder Keils in feuchten Ton

Plimpton 322Zahlensystem wurde die 1 mit einem einzigen Strich geschrieben und die Zahlen 2 bis 9 bildeten Kombinationen aus mehreren Einzelstrichen

Zahlen 1 – 9

Zahlen 10 , 20, 30, 40 , 50 Zahl 11

Satzgruppe von Pythagoras

Entdeckung wird meist Pythagoras zugeschrieben was nicht richtig ist

1. Lehrsatz von Pythagoras: a²+b²=c²

2. Kathetensatz: a2= c * p , b2 = c * q

3. Höhensatz: h2 = p * q

1. Lehrsatz von Pythagoras a²+b²=c²

1. Lehrsatz von Pythagoras - Definitionen

In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Fläche derKathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypothenusenquadrates.

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt, 1. Kathete zum Quadrat plus 2. Kathetezum Quadrat gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Ist das Quadrat aus der Summe der Katheten in einem Dreieck gleich demQuadrat der Fläche über der Hypothenuse, so handelt es sich um einrechtwinkliges Dreieck.

1. Lehrsatz von Pythagoras - Beweise

Ob der Beweis wirklich von Pythagoras erbracht worden ist, kann nicht nachgewiesen werden

Beweise für den Lehrsatz wurden erst von Pythagoras Schülern gefunden

Mittlerweile weit über 300 unterschiedliche Beweise

1. Lehrsatz von Pythagoras - Beweise

Elisha Scott Loomis: amerikanischer Lehrer & Mathematiker

Buch „Pythagorean Proposition“ mit 370 Beweisen

1.Auflage 1928

2.Auflage 1940

1. Lehrsatz von Pythagoras – Beweis 1

1. Lehrsatz von Pythagoras – Beweis 2

2. Kathetensatz a2= cp , b2 = cq

Das Quadrat der Kathete ist gleich dem Produkt aus Hypotenuse und anliegenden Hypotenusenabschnitt

3.Höhensatz h2 = pq

Aus dem Satz des Pythagoras folgt der Höhensatz:

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächeninhaltsgleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten

Pythagoreisches Zahlentripel

Ein Tripel (a, b, c) von natürlichen Zahlen heißt Pythagoreisches Zahlentripel, wenn a2 + b2 = c2 gilt.

Mit einem Pythagoreischen Zahlentripel kann man rechtwinkelige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen konstruieren.

kleinste und bekannteste Zahlentripel ist (3, 4, 5)

Tripel 3, 4, 5 und 5, 12, 13 waren bereits den alten Ägyptern bekannt

Pythagoreisches Zahlentripel

griechische Philosoph und Mathematiker PLATON gab zum Auffinden pythagoreischer Zahlentripel diese Beziehungen an:n2 – 1

2n

1 + n2

n = 4 erhält man das Zahlentripel 15, 8, 17

Pythagoreisches Zahlentripel

Seien m und n natürliche Zahlen (m>n)a = m2 - n2

b = 2mn

c = m2 + n2

primitives pythagoreisches Tripel ist ein pythagoreisches Tripel bei dem die drei Zahlen teilerfremd sind ggT(a, b, c) = 1Primitive pythagoreische Tripel enthalten immer zwei ungerade Zahlen und

eine gerade.

Beispiel: m=2,n=1 a=3, b=4 , c=5

Kosinussatz

Kosinussatz drückt eine Beziehung zwischen den drei Seiten und einem Winkel im Dreieck aus

In jedem Dreieck ist das Quadrat über einer Seite gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.a² = b² + c² – 2bc cos(α)

b² = a² + c² – 2ac cos(β)

c² = a² + b² – 2ab cos(γ)

Kosinussatz - Beweis

Kosinussatz - Beweis

Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall desKosinussatzes, denn für γ = 90° und somit cos 90° = 0ergibt sich: a²+b²=c²

Anwendungen des Satzes

a2 = h2 + (c/2 )2

Anwendungen des Satzes

a2 = h2 + (a/2)2

Anwendungen des Satzes

h² = b² - x²h² = a² - y²

Anwendungen des Satzes

b2 = h2 + x2

e2 = h2 + (a+x)2

Das ParallelogrammGegeben: a, b, h

Gesucht: Diagonale e

Anwendungen des Satzes

b2 = h2 + x2

e2 = h2 + (c+x)2

Anwendungen des Satzes

Das Deltoid Das Quader Die Pyramide

Aufgaben zur Anwendung in der SchuleBerechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen

Wie lang muss die Feuerwehrleiter sein, falls es im obersten Stockwerk des

Hochhauses brennen sollte?

Aufgaben zur Anwendung in der SchuleBerechne für jedes abgebildete Gebäude die Länge eines Dachsparren. Jeder

Dachsparren soll dabei 40 cm überstehen.

Wie hoch darf der Schrank höchstens sein, damit man ihn wie angegeben

aufstellen kann?

Danke für Eure Aufmerksamkeit!