Satz von Pythagoras
InhaltGeschichte von Pythagoras
Entdeckung des Satzes von Pythagoras
Plimpton 322
Lehrsatz
Beweise
Kathetensatz und Höhensatz
Pythagoreische Tripel
Kosinussatz
Anwendungen des Satzes
Geschichte von Pythagoras
Pythagoras lebte von ca. 580 – 500 v. Chr.
Er war der erste der großen Philosophen und auch Lehrer desantiken Griechenland
Er beeinflusste Sokrates, Platon und Aristoteles
wurde geboren auf der griechischen Insel Samos
unternahm viele Reisen als Jugendlicher
eine Zeitlang soll auch THALES VON MILET sein Lehrergewesen sein
Geschichte von Pythagorasneues Zuhause fand er in der griechischen Kolonie Kroton inSüditalien
er gründete den Geheimbund der Pythagoreer
Ziel war Aufbau der Welt zu ergründen und die Geheimnisseder Natur zu entschleiern
„Alles ist Zahl“ war ihr Grundsatz
suchte nach Zahlen die gleich der Summe ihrer echten Teilersind
Seitenlängen die in einem einfachen Verhältnis stehenergeben harmonische Töne
Geheimes Zeichen vom Bund der Pythagoreer
„Pentagramm“
Pentagramm brachte die Philosophie der Pythagoreer insWanken
Geheimniskrämerei der Pythagoreer und ihre ungewöhnlicheLebensweise erregten den Unmut der Bevölkerung
Aussagen von Pythagoras:„Die Zahl ist das Wesen aller Dinge.“
„Geometrie ist ewiges Wissen.“
Entdeckung des Satzes von PythagorasPythagoras hat den Lehrsatz nur wieder entdeckt
Ägyptern und Chinesen waren diese Zusammenhänge schon bekannt
In Ägypten beispielsweise wurde ein Seil durch Knoten in 12 gleich große Teile geteilt
Plimpton 322geheimnisvolle babylonische Tontafel mit Zahlen in Keilschrift
1800 v.Chr verfasst und listet pythagoreische Tripel auf
nach dem New Yorker Verleger George Plimpton benannt
Tafel entstammt der altbabylonischen Zivilisation in Mesopotamien
Babylonier ritzten ihre Texte mit Hilfe eines Griffels oder Keils in feuchten Ton
Plimpton 322Zahlensystem wurde die 1 mit einem einzigen Strich geschrieben und die Zahlen 2 bis 9 bildeten Kombinationen aus mehreren Einzelstrichen
Zahlen 1 – 9
Zahlen 10 , 20, 30, 40 , 50 Zahl 11
Satzgruppe von Pythagoras
Entdeckung wird meist Pythagoras zugeschrieben was nicht richtig ist
1. Lehrsatz von Pythagoras: a²+b²=c²
2. Kathetensatz: a2= c * p , b2 = c * q
3. Höhensatz: h2 = p * q
1. Lehrsatz von Pythagoras a²+b²=c²
1. Lehrsatz von Pythagoras - Definitionen
In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Fläche derKathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypothenusenquadrates.
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt, 1. Kathete zum Quadrat plus 2. Kathetezum Quadrat gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
Ist das Quadrat aus der Summe der Katheten in einem Dreieck gleich demQuadrat der Fläche über der Hypothenuse, so handelt es sich um einrechtwinkliges Dreieck.
1. Lehrsatz von Pythagoras - Beweise
Ob der Beweis wirklich von Pythagoras erbracht worden ist, kann nicht nachgewiesen werden
Beweise für den Lehrsatz wurden erst von Pythagoras Schülern gefunden
Mittlerweile weit über 300 unterschiedliche Beweise
1. Lehrsatz von Pythagoras - Beweise
Elisha Scott Loomis: amerikanischer Lehrer & Mathematiker
Buch „Pythagorean Proposition“ mit 370 Beweisen
1.Auflage 1928
2.Auflage 1940
1. Lehrsatz von Pythagoras – Beweis 1
1. Lehrsatz von Pythagoras – Beweis 2
2. Kathetensatz a2= cp , b2 = cq
Das Quadrat der Kathete ist gleich dem Produkt aus Hypotenuse und anliegenden Hypotenusenabschnitt
3.Höhensatz h2 = pq
Aus dem Satz des Pythagoras folgt der Höhensatz:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächeninhaltsgleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten
Pythagoreisches Zahlentripel
Ein Tripel (a, b, c) von natürlichen Zahlen heißt Pythagoreisches Zahlentripel, wenn a2 + b2 = c2 gilt.
Mit einem Pythagoreischen Zahlentripel kann man rechtwinkelige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen konstruieren.
kleinste und bekannteste Zahlentripel ist (3, 4, 5)
Tripel 3, 4, 5 und 5, 12, 13 waren bereits den alten Ägyptern bekannt
Pythagoreisches Zahlentripel
griechische Philosoph und Mathematiker PLATON gab zum Auffinden pythagoreischer Zahlentripel diese Beziehungen an:n2 – 1
2n
1 + n2
n = 4 erhält man das Zahlentripel 15, 8, 17
Pythagoreisches Zahlentripel
Seien m und n natürliche Zahlen (m>n)a = m2 - n2
b = 2mn
c = m2 + n2
primitives pythagoreisches Tripel ist ein pythagoreisches Tripel bei dem die drei Zahlen teilerfremd sind ggT(a, b, c) = 1Primitive pythagoreische Tripel enthalten immer zwei ungerade Zahlen und
eine gerade.
Beispiel: m=2,n=1 a=3, b=4 , c=5
Kosinussatz
Kosinussatz drückt eine Beziehung zwischen den drei Seiten und einem Winkel im Dreieck aus
In jedem Dreieck ist das Quadrat über einer Seite gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.a² = b² + c² – 2bc cos(α)
b² = a² + c² – 2ac cos(β)
c² = a² + b² – 2ab cos(γ)
Kosinussatz - Beweis
Kosinussatz - Beweis
Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall desKosinussatzes, denn für γ = 90° und somit cos 90° = 0ergibt sich: a²+b²=c²
Anwendungen des Satzes
a2 = h2 + (c/2 )2
Anwendungen des Satzes
a2 = h2 + (a/2)2
Anwendungen des Satzes
h² = b² - x²h² = a² - y²
Anwendungen des Satzes
b2 = h2 + x2
e2 = h2 + (a+x)2
Das ParallelogrammGegeben: a, b, h
Gesucht: Diagonale e
Anwendungen des Satzes
b2 = h2 + x2
e2 = h2 + (c+x)2
Anwendungen des Satzes
Das Deltoid Das Quader Die Pyramide
Aufgaben zur Anwendung in der SchuleBerechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen
Wie lang muss die Feuerwehrleiter sein, falls es im obersten Stockwerk des
Hochhauses brennen sollte?
Aufgaben zur Anwendung in der SchuleBerechne für jedes abgebildete Gebäude die Länge eines Dachsparren. Jeder
Dachsparren soll dabei 40 cm überstehen.
Wie hoch darf der Schrank höchstens sein, damit man ihn wie angegeben
aufstellen kann?
Danke für Eure Aufmerksamkeit!
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