Schätzen mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten

Reimar HofmannHochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft

Objektive WahrscheinlichkeitenVoraussetzung:

Beliebig oft wiederholbares Experiment, bei dem ein Ereignis A eintreten kann oder nicht.

Wahrscheinlichkeit P(A): Anteil der Versuche, bei denen A im Mittel eintritt. (bei sehr vielen Wiederholungen des Experimentes)

Beispiel: Roulette-Spiel, Ereignis „es kommt rot“

P(rot) = 18 / 37

Objektiver Erwartungswert

Voraussetzung: Beliebig oft wiederholbares Experiment, bei dem zufallsabhängig eine Zahl X ermittelt wird.

Erwartungswert E(X): Wert, um den sich der arithmetische Mittelwert von X bei sehr vielen Wiederholungen einpendelt.

Beispiel: Roulette-Spiel, 1€ auf Rot setzenX = Höhe des Gewinns

E(X) = 18/37 (-1 €) + 18/37 1 € + 1/37 (-0,5 €) -

1,4 Ct schwarz rot grün

Was ist bei einmaligen Ereignissen?

Sie sind Kandidat bei „Wer wird Millionär“ ,haben schon 32.000 €,haben bei der 64.000 €-Frage eine Vermutung.

Was ist die „Wahrscheinlichkeit“ p, dass Sie richtig liegen?

Was soll hier „Wahrscheinlichkeit“ heißen, wozu? Um die richtige Entscheidung zu treffen:

Aufhören: E(Gewinn) = 32.000 €Weiterspielen: E(Gewinn) = 64.000 € p + 16.000 € (1 – p) =

= (64.000 € - 16.000 €) p + 16.000 € = 48.000 € p + 16.000 €

Weiterspielen ist besser als Aufhören falls p > 1/3

Subjektive Wahrscheinlichkeiten

Bei nicht wiederholbaren Vorgängen ist der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff nicht anwendbar.

Subjektive Wahrscheinlichkeit: Drückt die persönliche Einschätzung eines Ereignisses aus, z.B. zu welchen Quoten würde man dafür/dagegen wetten.

Verschiedene Menschen können dasselbe Ereignis unterschiedlich einschätzen.

Beispiel: Ich: P(morgen Regen) = 30%Sie: P(morgen Regen) = 20%

Was, wenn es morgen nicht regnet? Selbst im Nachhinein ist keiner von beiden widerlegt.

Subjektive Wahrscheinlichkeiten verifizieren

1. Das Experiment kann nicht wiederholt werden, aber das Schätzen von verschiedenen Experimenten schon:Wenn Person A viele unterschiedliche Experimente schätzt, dann sollten von den mit 20% geschätzten Ereignissen auch ca. 20% eintreten.

2. Verschiedene Schätzungen einer Person sollten zueinander konsistent sein, z.B: P(Regen am Wochenende) P(Regen am Sa) + P(Regen am So)

Subjektive Bewertungen

Von 2 Mrd. Flugpassagieren im Jahr sterben im Mittel 500 durch Unfälle

pro Flug Unfallwahrscheinlichkeit = 0,25 mor ( 500 / 2 Mrd.) ( 1 mor : Risiko Eins zu einer Million, zu sterben )

Wie viel „lohnt“ sich zu investieren, um das Risiko zu reduzieren?

„Lohnen“ sich pro Flugticket zusätzliche 10 €, wenn das Risiko damit halbiert werden kann?

Darf man Geld gegen Unfalltote abwägen???

„Sicherheit hat oberste Priorität“ Verkehrsminister Ramsauer zum Flugverbot, 18.04.2010

Menschen wägen ständig zwischen Äpfeln und Birnen ab

Regenschirm mitnehmen? Schleppen nass werdenSicherheitszubehör fürs Auto: Geld TodTauchen: Spass TodKino: Spass GeldRauchen: Genuss Gesundheit

Wir bewerten ständig nicht vergleichbare Dinge gegeneinander, indem wir Entscheidungen treffen.

Einige Risikowahrscheinlichkeiten quantifiziert:

Aktivität Todesfall-RisikoFlug 0,25 mor (Unfall)Eine Zigarette rauchen 0,7 mor (Krankheit)0,5 l Rotwein trinken 1 mor (Leber)1 Mal Flaschentauchen 5 mor (Unfall)Natürlicher Tod pro Tag 34 mor

Lebenserwartung: 80 Jahre = 29200 Tage Todesrisiko pro Tag = 1/29200 34 mor

Entscheiden Menschen in konsistenter Weise?

10 € mehr für ein Flugticket, wenn sich das Risiko dadurch halbiert? Ja?

Für 50 € auf das Rauchen einer Zigarette verzichten? Ja?

Subjektive Bewertungen ableitbar:Genuss einer Zigarette < 50 € (da verzichtbereit)Genuss einer Zigarette > 0,7 mor (da Raucher) 0,7 mor < 50 € „ganzer“ Todesfall < 71 Mio € ( 50 € / 0,7mor )

(1/4 – 1/8) mor > 10 € (kauft sicheren Flug) ganzer Todesfall > 80 Mio. €

Inkonsistent.

2 Mrd € pro Tag; „lohnte“ das Flugverbot?

Annahme: 30 € = 1 mor [Selbstbewertung] 2 Mrd € = 67 Tote [pro Tag!!!]

Objektiven Schätzung aus frühere Aschebegegnungen: Ca. 20 Fälle, alle ohne Absturz Also Absturzrisiko < 1/20 zu grob geschätzt

Subjektiver Schätzversuch: 100 Passagiere pro Flugzeug, 67 Tote pro Tag entspricht einem Absturz je 1,5 Tage Glauben Sie, dass so viel passiert wäre? Wie weit weg vom Vulkan? Wie empfindlich sind Flugzeuge bei anderen Störungen? Analogieschlüsse …

^^

Bei großer Unsicherheit: Testen?Beispiel: Aschewolke

Ein Absturz ist ähnlich „teuer“ wie 1,5 Tage Flugverbot. Risiko durch Ausprobieren ermitteln: Störung länger als 2 Tage?Flugbetrieb nach und nach wieder aufnehmen.Falls Absturz innerhalb von zwei Tagen:

Wieder sperren, da Risiko > Schaden

Entscheidung den Passagieren selbst überlassen:Die risikofreudigen testen freiwillig die Wahrscheinlichkeit aus. Die vorsichtigeren fliegen erst, wenn das Risiko durch genügend „Vorexperimente“ abschätzbar ist.

No Risk

No Fun

Das Risiko ist sehr überschaubar…

Viel Spass bei der Langen Nacht