Schwingungen und Wellen

Vortrag in Didaktik der Physik I

von Markus Farbmacher

Was sind Schwingungen?

Was sind Schwingungen?

Schwingungen sind periodische Bewegungen von Körpern oder Massenpunkten um eine Ruhe- oder Gleichgewichtslage.

Standardbeispiel für Schwingung

Standardbeispiel für Schwingung

Federpendel

http://www.walter-fendt.de/ph11d/federpendel.htm

Wie können wir nun diese Schwingung mathematisch beschreiben?

Wie können wir nun diese Schwingung mathematisch beschreiben?

Wie können wir nun diese Schwingung mathematisch beschreiben?

y(t) = A ∙ sin(ωt+φ)

v(t) = ω ∙ A ∙ cos(ωt+φ)

a(t) = -ω2 ∙ A ∙ sin(ωt+φ)

Wie können wir nun diese Schwingung mathematisch beschreiben?

y(t) = A ∙ sin(ωt+φ)

v(t) = ω ∙ A ∙ cos(ωt+φ)

a(t) = -ω2 ∙ A ∙ sin(ωt+φ)

→ mit F = m ∙ a(t)

lineares Kraftgesetz

Wie können wir nun diese Schwingung mathematisch beschreiben?

y(t) = A ∙ sin(ωt+φ)

v(t) = ω ∙ A ∙ cos(ωt+φ)

a(t) = -ω2 ∙ A ∙ sin(ωt+φ)

→ mit F = m ∙ a(t)

lineares Kraftgesetz

→ F = -m ∙ ω2 ∙ y(t)

und mit Hook‘schem Gesetz

m ∙ ω2 = k → ω = √k/m

→ Frequenz unabhängig von Amplitude

Vergleich der harmonischen Schwingung mit Fadenpendel

Vergleich der harmonischen Schwingung mit Fadenpendel

Vergleich der harmonischen Schwingung mit Fadenpendel

FRÜCK = -m ∙ g ∙ sin(α)

Vergleich der harmonischen Schwingung mit Fadenpendel

FRÜCK = -m ∙ g ∙ sin(α)

→ linear für kleine α

α = y/l

Vergleich der harmonischen Schwingung mit Fadenpendel

FRÜCK = -m ∙ g ∙ sin(α)

→ linear für kleine α

α = y/l

→ F = m ∙ a(t) = -m ∙ ω2 ∙ y =

=-m ∙ g ∙ y/l

→ ω = √g/l

Unabhängig von Auslenkung

Ein gutes Beispiel für eine Schwingung aus dem Alltag

Ein gutes Beispiel für eine Schwingung

Kinderschaukel

Wie funktioniert die Schaukel?

Wie funktioniert die Schaukel?

Wie funktioniert die Schaukel

Der „Schaukler“ entnimmt dem System von A nach B weniger Energie, als er von C nach D hineinsteckt.

→ Es bleibt eine Nettoenergie übrig, die zu einer höheren Auslenkung führt.

Wie funktioniert die Schaukel?

http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/schaukel_v.html

http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/schaukel_v2.html

Erzwungene Schwingungen

Erzwungene Schwingungen

Jedes reale schwingende System ist gedämpft. Daher muss man, um es in „Schwingung“ zu halten, von außen Energie zuführen. Dies erfolgt durch einen Erreger.

Erzwungene Schwingungen

Jedes reale schwingende System ist gedämpft. Daher muss man, um es in „Schwingung“ zu halten, von außen Energie zuführen. Dies erfolgt durch einen Erreger.Energie muss, um das System in Schwingung zu halten, periodisch zugeführt werden. → Erregerfrequenz

Erzwungene Schwingungen

Beispiel Schaukel:

Erzwungene Schwingungen

Beispiel Schaukel:

Der Affe regt das Pendel mit einer bestimmten Frequenz an. Diese ist jedoch in diesem Fall zu hoch. Er schafft es nicht, dem Pendel Energie zuzuführen, weshalb es aufhört zu schwingen.

Erzwungene Schwingungen

Beispiel Schaukel:

Der Affe regt das Pendel mit einer bestimmten Frequenz an. Diese ist jedoch in diesem Fall zu hoch. Er schafft es nicht, dem Pendel Energie zuzuführen, weshalb es aufhört zu schwingen.

Was könnte der Affe besser machen?

Erzwungene Schwingungen

Beispiel Schaukel:

Er könnte das System mit einer anderen Frequenz antreiben.

Erzwungene Schwingungen

Beispiel Schaukel:

Er könnte das System mit einer anderen Frequenz antreiben.

Resonanz

Resonanz

Resonanz ist ein Phänomen das auftritt, wenn ein schwingendes System mit seiner Eigenfrequenz angeregt wird.

Resonanz

Resonanz ist ein Phänomen das auftritt, wenn ein schwingendes System mit seiner Eigenfrequenz angeregt wird.

Was ist die Eigenfrequenz?

Resonanz

Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, mit der das System schwingen würde, wenn weder dämpfende noch antreibende Kräfte wirksam sind.

Resonanz

Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, mit der das System schwingen würde, wenn weder dämpfende noch antreibende Kräfte wirksam sind.

Beispiel Federpendel: ω0 = √k/m

Resonanz

Wie reagiert ein Federpendel auf Anregung von außen?

http://www.walter-fendt.de/ph11d/resonanz.htm

Resonanz

Was haben wir gesehen?

Resonanz

Was haben wir gesehen?1) Ist die Frequenz des Erregers sehr klein, wird also die Aufhängung

sehr langsam hin und her bewegt, so schwingt das Federpendel ziemlich genau gleichphasig mit, und zwar in etwa mit der gleichen Amplitude.

Resonanz

Was haben wir gesehen?1) Ist die Frequenz des Erregers sehr klein, wird also die Aufhängung

sehr langsam hin und her bewegt, so schwingt das Federpendel ziemlich genau gleichphasig mit, und zwar in etwa mit der gleichen Amplitude.

2) Ist die Erregerfrequenz sehr hoch, so schwingt der Resonator nur noch mit sehr geringer Amplitude mit, und zwar beinahe gegenphasig.

Resonanz

Was haben wir gesehen?1) Ist die Frequenz des Erregers sehr klein, wird also die Aufhängung

sehr langsam hin und her bewegt, so schwingt das Federpendel ziemlich genau gleichphasig mit, und zwar in etwa mit der gleichen Amplitude.

2) Ist die Erregerfrequenz sehr hoch, so schwingt der Resonator nur noch mit sehr geringer Amplitude mit, und zwar beinahe gegenphasig.

3) Stimmt die Erregerfrequenz mit der Frequenz der Eigenschwingung überein, so schaukelt sich die Schwingung des Federpendels immer mehr auf (Resonanz); dabei sind die Schwingungen des Pendels gegenüber denen des Erregers etwa um eine viertel Schwingungsdauer verzögert.

Wellen

Wellen

Eine Welle ist die Bewegung eines Schwingungzustandes von einem Ort zu einen anderen.

Wellen

Eine Welle ist die Bewegung eines Schwingungzustandes von einem Ort zu einen anderen.

Beispiel: Seilwelle

http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/puls_reflexion+daempfung.html

Wellen

Welche Arten von Wellen gibt es?

Wellen

Welche Arten von Wellen gibt es?

Auslenkung senkrecht zur Bewegungsrichtung → Transversalwelle

Wellen

Welche Arten von Wellen gibt es?Auslenkung senkrecht zur Bewegungsrichtung → Transversalwelle

Auslenkung längsBewegungsrichtung → Longitudinalwelle

Wellen

Welche Arten von Wellen gibt es?Auslenkung senkrecht zur Bewegungsrichtung → Transversalwelle

Auslenkung längsBewegungsrichtung → Longitudinalwelle

Beispiele????

Wellen

Zurück zur Seilwelle:

Wellen

Zurück zur Seilwelle:

Was passiert, wenn die Seilwelle auf ein Hindernis stößt? (räumliche Begrenzung)

http://physik.uibk.ac.at/physik1e/physlets/puls_reflexion+daempfung.html

Wellen

Mit welcher Geschwindigkeit breitet sich der Wellenberg auf dem Seil nach rechts aus?

Wellen

Mit welcher Geschwindigkeit breitet sich der Wellenberg auf dem Seil nach rechts aus?

Im Bezugssystem des ruhenden Wellenberges, bewegt sich das Seil mit der Geschw. v. Das Seilsegment bewegt sich also auf einer Kreisbahn mit Radius r

Wellen

Auf das Seilsegment wirken die elastischen Kräfte F des Seils. Da sich das Seilsegment auf einer Kreisbahn bewegt, müssen die elastischen Kräfte die Zentripetalbeschleunigung bewirken.

Wellen

Auf das Seilsegment wirken die elastischen Kräfte F des Seils. Da sich das Seilsegment auf einer Kreisbahn bewegt, müssen die elastischen Kräfte die Zentripetalbeschleunigung bewirken.

2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙(Ф/2) = F ∙ Ф

Wellen

Auf das Seilsegment wirken die elastischen Kräfte F des Seils. Da sich das Seilsegment auf einer Kreisbahn bewegt, müssen die elastischen Kräfte die Zentripetalbeschleunigung bewirken.

Für kleinen Winkel Ф

2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙ (Ф/2) = F ∙ Ф

Wellen

Auf das Seilsegment wirken die elastischen Kräfte F des Seils. Da sich das Seilsegment auf einer Kreisbahn bewegt, müssen die elastischen Kräfte die Zentripetalbeschleunigung bewirken.

2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙ (Ф/2) = F ∙ Ф

Für kleinen Winkel Ф

Masse das Seilsegments berechnet sich aus der Seildichte σ und der Länge r ∙ Ф zu m = σ ∙ r ∙ Ф

Wellen

Auf das Seilsegment wirken die elastischen Kräfte F des Seils. Da sich das Seilsegment auf einer Kreisbahn bewegt, müssen die elastischen Kräfte die Zentripetalbeschleunigung bewirken.

2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙ (Ф/2) = F ∙ Ф

Für kleinen Winkel Ф

Masse das Seilsegments berechnet sich aus der Seildichte σ und der Länge r ∙ Ф zu m = σ ∙ r ∙ Ф

Mit Newton II folgt F ∙ Ф = σ ∙ r ∙ Ф ∙(v2)/r

Wellen

Auf das Seilsegment wirken die elastischen Kräfte F des Seils. Da sich das Seilsegment auf einer Kreisbahn bewegt, müssen die elastischen Kräfte die Zentripetalbeschleunigung bewirken.

2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙(Ф/2) = F ∙ Ф

Für kleinen Winkel Ф

Masse das Seilsegments berechnet sich aus der Seildichte σ und der Länge r ∙ Ф zu m = σ ∙ r ∙ Ф

Mit Newton II folgt F ∙ Ф = σ ∙ r ∙ Ф ∙ v2/r

Löst man diese Gleichung nach v auf folgt: v = √ F/σ

Wellen

Auf das Seilsegment wirken die elastischen Kräfte F des Seils. Da sich das Seilsegment auf einer Kreisbahn bewegt, müssen die elastischen Kräfte die Zentripetalbeschleunigung bewirken.

2 ∙ F ∙ sin(Ф/2) = 2 ∙ F ∙(Ф/2) = F ∙ Ф

Für kleinen Winkel Ф

Masse das Seilsegments berechnet sich aus der Seildichte σ und der Länge r ∙ Ф zu m = σ ∙ r ∙ Ф

Mit Newton II folgt F ∙ Ф = σ ∙ r ∙ Ф ∙ v2/r

Löst man diese Gleichung nach v auf folgt: v = √ F/σ

Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt nur von der Beschaffenheit des Seils ab.

Wellen

Was ist wenn sich zwei oder mehrere Wellen in demselben Raumgebiet ausbreiten?

Wellen

Was ist wenn sich zwei oder mehrere Wellen in demselben Raumgebiet ausbreiten?

Wellen

Was ist wenn sich zwei oder mehrere Wellen in demselben Raumgebiet ausbreiten?

Diese Eigenschaft von Wellen – beim Zusammentreffen addieren sich die Auslenkungen, aber es kommt zu keiner gegenseitigen Störung- wir Superposition genannt.

Wellen

Stehende Wellen:

Wellen

Stehende Wellen:

Breiten sich Wellen in einem räumlich begrenzten Gebiet aus, werden sie an den Enden reflektiert.

Wellen

Stehende Wellen:

Breiten sich Wellen in einem räumlich begrenzten Gebiet aus, werden sie an den Enden reflektiert. Überlagern sich nun reflektierte und einfallende Welle können sich, bei bestimmten Frequenzen, stationäre Schwingungsmuster ausbilden. So genannte stehende Wellen.

Wellen

Stehende Wellen:

Breiten sich Wellen in einem räumlich begrenzten Gebiet aus, werden sie an den Enden reflektiert. Überlagern sich nun reflektierte und einfallende Welle können sich, bei bestimmten Frequenzen, stationäre Schwingungsmuster ausbilden. So genannte stehende Wellen.

http://www.walter-fendt.de/ph14d/stwellerefl.htm

Wellen

Als Beispiel für stehende Wellen:

Beidseitig eingespannte Klaviersaite

Wellen

Als Beispiel für stehende Wellen:

Beidseitig eingespannte Klaviersaite

Wellen

Als Beispiel für stehende Wellen:

Beidseitig eingespannte Klaviersaite

Man sieht, dass die sich die erste stehende Welle (Grundschwingung) bei einer Wellenlänge der doppelten Saitenlänge ausbildet.

Wellen

Als Beispiel für stehende Wellen:

Beidseitig eingespannte Klaviersaite

Man sieht, dass die sich die erste stehende Welle (Grundschwingung) bei einer Wellenlänge der doppelten Saitenlänge ausbildet.Die zweite stehende Welle entsteht wenn die Wellenlänge gerade der Saitenlänge entspricht usw.

Wellen

Als Beispiel für stehende Wellen:

Beidseitig eingespannte Klaviersaite

Man sieht, dass die sich die erste stehende Welle (Grundschwingung) bei einer Wellenlänge der doppelten Saitenlänge ausbildet. Die zweite stehende Welle entsteht wenn die Wellenlänge gerade der Saitenlänge entspricht usw.→ Bedingung für stehende Wellen bei einer beidseitig eingespannten Saite:

L= n ∙ λn/2…..n € N

Wellen

Als Beispiel für stehende Wellen:

Beidseitig eingespannte Klaviersaite

Man sieht, dass die sich die erste stehende Welle (Grundschwingung) bei einer Wellenlänge der doppelten Saitenlänge ausbildet.Die zweite stehende Welle entsteht wenn die Wellenlänge gerade der Saitenlänge entspricht usw.→ Bedingung für stehende Wellen bei einer beidseitig eingespannten Saite:

L=n ∙ λn/2…..n € N

→ aus λ ∙ f = v folgt

f = n ∙ v/2L

Wellen

Als Beispiel für stehende Wellen:

Beidseitig eingespannte Klaviersaite

Man sieht, dass die sich die erste stehende Welle (Grundschwingung) bei einer Wellenlänge der doppelten Saitenlänge ausbildet.Die zweite stehende Welle entsteht wenn die Wellenlänge gerade der Saitenlänge entspricht usw.→ Bedingung für stehende Wellen bei einer beidseitig eingespannten Saite:

L=n ∙ λn/2…..n € N

→ aus λ ∙ f = v folgt

f = n ∙ v/2L

und mit dem Ergebnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Seilwelle haben wir als Bedingung für stehende Wellen eine Grundfrequenz:∙

Wellen

Als Beispiel für stehende Wellen:

Beidseitig eingespannte Klaviersaite

Man sieht, dass die sich die erste stehende Welle (Grundschwingung) bei einer Wellenlänge der doppelten Saitenlänge ausbildet.Die zweite stehende Welle entsteht wenn die Wellenlänge gerade der Saitenlänge entspricht usw.→ Bedingung für stehende Wellen bei einer beidseitig eingespannten Saite:

L=n ∙ λn/2…..n € N

→ aus λ ∙ f = v folgt

f = n ∙ v/2L

und mit dem Ergebnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Seilwelle haben wir als Bedingung für stehende Wellen eine Grundfrequenz:

f = 1/2L ∙ √ F/σ