Seminar: Qualität und Zuverlässigkeit Ermittlung von MTTF/MTBF ·...

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle 1

Ermittlung von MTTF/MTBFRobert Brendle

Hardware-Software-Co-Design

Universität Erlangen-Nü[email protected]

Seminar: Qualität und Zuverlässigkeit

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle 2

Übersicht

Einleitung

Mathematische Grundlagen

Das Romberg Verfahren zur Berechnung der MTTF

Demonstration anhand eines Beispiels

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle

Einleitung

MTTF = “mean time to failure”

Durchschnittliche Zeit bis zum ersten Ausfall eines Systems

MTBF = “mean time between failures

Die Zeit die ein System zwischen zwei Ausfällen läuft (exklusive Reparaturdauer)

3


Einleitung

Durch künstliche Alterungstests

Berechnung der MTTF aus gegebenen Ausfallraten der im System verbauten Komponenten

4

Wie kann die MTTF bestimmt werden?



Einleitung




5


Die Dichtefunktion Die Dichtefunktion beschreibt die Verteilung von

Wahrscheinlichkeiten zu einer stetigen Zufallsvariablen.

Die Fläche unter der Dichtefunktion besitzt immer den Inhalt 1

6

Beispiel:Die Dichtefunktion der Log-Normalverteilung für ver-schiedene Streuungswerte

f(x) = 1!2!"x

e(ln x)2

2!2

!

f(x)

!!"! f(x)dx = 1


Die Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion gibt an mit welcher

Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen bestimmten Wert ≤ annimmt.

und

beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalles bis zum Zeitpunkt t

7

F (x)X

Beispiel:Verteilungsfunktion der Log-Normalverteilung

F (t)

x


Berechnung der MTTF

Einleitung




8


Berechnung der MTTF Wie wird die MTTF bestimmt? Wahrscheinlichkeit für keinen Ausfall bis zum Zeitpunkt t:

Die MTTF berechnet sich also aus der gesamten Fläche unter

9

R(t) = 1! F (t)

R(t)

MTTFR(t)

R(t)

MTTF


Numerische Integration

Oft existiert keine geschlossene Formel für

Ein äusserst effizientes Verfahren zur numerischen Integration stammt von dem deutschen Mathematiker Werner Romberg. Es verbindet die Trapezregel mit der Richardson Extrapolation und kommt so nach relativ wenigen Rechenschritten zu einem sehr genauen Ergebnis.

10

!!0 R(t)dt


Die Richardson Extrapolation

Die Richardson Extrapolation ist ein Verfahren um aus 2 verschiedenen Näherungen eine noch bessere Näherung für das Ergebnis zu erhalten (sofern sich diese Näherungen nach einem Verfahren p-ter Ordnung berechnen lassen.

11

UR =Uu!Ug( hu

hg)p

1!( huhg

)p= Ug + Uu!Ug

1!( huhg

)p


Die Trapezregel Eine Funktion f wird durch n lineare Teilfunktionen ersetzt.

Für beliebig viele Intervalle gilt also:

12

!"#$%&'#"()$(*$*!*"*+'%,-*.*!*/0*%1*2)3.#$*4567*8)$$*2)$*543.*4$*#4$#2*9":(")22*%1"*;<<":=42)64:$*>:$*?*246*@#"*:'#$*#",A.$6#$*B:"2#C*D&"*E+$0*D&"*)CC#*56#64(#$*B1$864:$#$*'#($&(#$-*F4#5#"*;C(:"46.215*6)1(6*)'#"*$1"*5#."*'#53."A$86*%1"*G#"#3.$1$(*>:$*?H*I"56#$5*8:$>#"(4#"6*#"*4-)-*5#."*C)$(5)2*+C)$(#*J#3.#$%#46#$0*1$@*D&."6*@)@1"3.*

)13.*%1*#DD#864>#$*B#.C#"$*'#4*#4$#"*;''"13.'#@4$(1$(*>:$*%-G-*#E+$KL0*M*E+$0#N*$-***!"#$%&'()%(*(+**O)$*%#"C#(6*)13.*.4#"*@)5*P$6#">)CC*P*4$*$*(C#43.*C)$(#*Q#4C4$6#">)CC#*1$@*'#"#3.$#6*@)$$*@4#*R122#*@#"*Q")<#%DCA3.#$*Q+$0H**+;<<":=42)64:$*@1"3.*Q")<#%#S*I"5#6%#$*>:$*D*@1"3.*+,-(&%(*Q#4CD1$864:$#$0**

.*T*$

)' %*

*

Q+U0*T*U

.+*D+)0KD+)K.0*K*D+)K.0KD+'0*0*

Q+U0*T*U

.+*D+)0*K*D+'0*K*UD+)K.0*0*

*******

D&"*$*T*VH**G#)3.6#$*R4#7*@)55**.*T*V

)' %*,4"@H*

Q+V0*T*U

.+*D+)0*K*UD+)K.0*K*UD+)KU.0*K*D+'0*0*T**

U

.+*D+)0*K*D+'0*K*UD+)K.0*K*UD+)KU.0*0*

*

;C5:*D&"*'#C4#'4(#5*$H**.*T*$

)' %*

Q+$0*T*U

.+*D+)0*K*UD+)K.0*K*UD+)KU.0*K*W*K*UD+)K+$XL0.0*K*D+'0*0**

F#D4$4#"6*2)$*Q/*HT*D+)0*K*D+'0***1$@***QL*HT*D+)K.0*K*D+)KU.0*K*W*K*D+)K+$XL0.07*5:*(4C6H**

*

Q+$0*T*U

.+*D+)0*K*D+'0*K*U* *0**T*&

%

'

(L$

L4

4.0D+)U

.+*Q/*K*UQL*0*

*

*P$*#4$#2*9":(")22*2155*2)$*)C5:*Q/*$1"*#4$2)C*'#"#3.$#$*1$@*@)$$*M*'#4*(#(#'#$#2*$*M*%1#"56*.*1$@*$)3..#"*QL*'#"#3.$#$-*

,,,-2)6.#2)648-3.*+G-G#"3.6:C@0* U

h = b!an

T (2) = h2 (f(a) + 2f(a + h) + f(b))

T (n) =h

2!f(a) + f(b) + 2

n!1"

i=1

f(a + ih)#


Das Romberg Verfahren Zentraler Datentyp ist eine 2 dimensionale Matrix mit den

Näherungswerten des Integrals. Startwert an der Stelle 0,0 ist das Integral eine linearen

Funktion, die durch f(a) und f(b) geht. Trapezregel mit n=1 Die Schrittweite für die Trapezregel beträgt

und

13

Numerische Mathematik I 377

Die Rombergsche T-Tafel

T0,0

T1,0 T1,1

T2,0 T2,1 T2,2

T3,0 T3,1 T3,2 T3,3

......

......

. . .

wird in der Reihenfolge T0,0, T1,0, T1,1, T2,0, T2,1, T2,2, T3,0, . . . berechnet.

Praxis: Berechne nur wenige (etwa m) Spalten der T-Tafel und breche ab,

wenn |Tj,m!1 ! Tj+1,m!1| " ! erfullt ist.

8.3 Romberg-Extrapolation Technische Universitat Bergakademie Freiberg, WS 2001/2002


Romberg-Extrapolation: Wahle

h0 = b! a und hj =hj!1

2=

b! a

2j.

Bestimme Pk(0) mit dem Algorithmus von Neville-Aitken:

T0,0 =b! a

2[f(a) + f(b)] ,

Tj,0 =hj

2

!

"f(a) + 22j!1#

i=1

f(a + ihj) + f(b)

$

%

=12Tj!1,0 + hj

2j!1#

i=1

f(a + (2i! 1)hj) fur j = 1, 2, . . . ,

Tj,k =22kTj,k!1 ! Tj!1,k!1

22k ! 1=

4kTj,k!1 ! Tj!1,k!1

4k ! 1fur k " j, j # 1.





2=

b! a

2j.


T0,0 =b! a

2[f(a) + f(b)] ,

Tj,0 =hj

2

!

"f(a) + 22j!1#

i=1

f(a + ihj) + f(b)

$

%

=12Tj!1,0 + hj

2j!1#

i=1

f(a + (2i! 1)hj) fur j = 1, 2, . . . ,

Tj,k =22kTj,k!1 ! Tj!1,k!1

22k ! 1=

4kTj,k!1 ! Tj!1,k!1

4k ! 1fur k " j, j # 1.



Das Romberg Verfahren Nochmal alle Berechnungsvorschriften zusammengefasst:

Sobald eine bestimmte Genauigkeit erreicht ist, kann die Berechnung abgebrochen werden. Das Fehlerglied hat den Wert:

14




2=

b! a

2j.


T0,0 =b! a

2[f(a) + f(b)] ,

Tj,0 =hj

2

!

"f(a) + 22j!1#

i=1

f(a + ihj) + f(b)

$

%

=12Tj!1,0 + hj

2j!1#

i=1

f(a + (2i! 1)hj) fur j = 1, 2, . . . ,

Tj,k =22kTj,k!1 ! Tj!1,k!1

22k ! 1=

4kTj,k!1 ! Tj!1,k!1

4k ! 1fur k " j, j # 1.


E = |Tj!1,j!1 ! Tj,j!1|


Demonstration

15

Einleitung

Mathematische Grundlagen zur Berechnung der MTTF

Berechnung der MTTF mittels Integration


Seminar: Qualität und Zuverlässigkeit Ermittlung von MTTF/MTBF ·...

Documents

Transcript of Seminar: Qualität und Zuverlässigkeit Ermittlung von MTTF/MTBF ·...