Seminar SE 2 st.Uni Klagenfurt: 814.515 und TU Wien: 187.234

Mathematische Modellbildung und Simulation

Ökonometrische, systemdynamische, Input-Output

Modelle sowie agent-based systems

Peter Fleissner

websites

Allgemeines

• http://www.iff.ac.at/socec/lehre/lehre_aktuell.php

Laufende Ereignisse, Skripten, Termine

• http://cartoon.iguw.tuwien.ac.at/zope/lvas/MathMod

Termine immer montags, 9:15-13:00

• 1. Block: Montag, 23. Okt 2006 TU• 2. Block: Montag, 06. Nov 2006 IFF Seminarraum 4c• 3. Block: Montag, 13. Nov 2006 IFF Seminarraum 6• 4. Block: Montag, 20. Nov 2006 IFF Seminarraum 4c• 5. Block: Montag, 27. Nov 2006 IFF Seminarraum 6• 6. Block: Montag, 11. Dez 2006 IFF Seminarraum 4c• 7. Block: Montag, 18. Dez 2006 IFF Seminarraum 6• 8. Block: Montag, 15. Jänner 2007: Prüfung A• 9. Block: Montag, 22. Jänner 2007: Prüfung B

• Die Termine finden im Seminarraum 187-2 bzw. im Computerlabor des IGW oder am IFF, Schottenfeldgasse 29, Stiege 1/I-506, A-1070 Wien, statt.

Was wir heute machen werden:

• Fortsetzung der Mehrebenenökonomie und der Input-Output-Analyse: – Ein konkretes Transformationsproblem– Effekte des technischen Fortschritts

• Einführung in agent based modelling– the blind and the lame– Predator-prey-model (LSD)– The Product Life Cycle Model (Anylogic)

Anwendung von Input-Output-Modellen

Effekte technischer

Veränderungen

Effekte technischer Veränderungen

Input-Output-Grundformel: x = (E-A)-1yLösung in erster Näherung

x = (E-A)-1(Ax + y)

• Veränderungen der A-Matrix ...… A und/oder• veränderungen der Nachfrage … y ->• Veränderungen im Output ……… x ->• Veränderungen der Beschäftigtenzahlen ->• Veränderungen der Lohnsumme ->• Veränderungen der Nachfrage …………. y(t+1)

Wie komme ich dazu?

….ein wenig Mathematik

x0 = (E-A0)-1y0x1 = (E-A1)-1y1

y1 = y0 + y; A1 = A0 + A; x1 = x0 + x

Substitution ergibt

x1 = (E-A1)-1y1 = [E - (A0+A)]-1(y0 + y) =….

[E - (A0+A)]-1 = (Von Neumann Reihe) =

E+(A0+A)+(A0+A)2+(A0+A)3+…Substitution: B anstelle von A

E+(A+B)+(A+B)2+(A+B)3+…=

• E +• A + BE • A2 + BA + ABE + B2

• A3 + BA2 + ABA + A2BE + AB2 + B2A+ BAB+ B3

• A4 + BA3 + ABA2 + A2BA + A3BE + ….• A5 + BA4 + ABA3 + A2BA2 + A3BA + A4BE +• +….

=(E-A)-1+B(E-A)-1+AB(E-A)-1+A2B(E-A)-1 + …

Terme von B höher als erster Ordung werden vernachlässigt

(E-A)-1+B(E-A)-1+AB(E-A)-1+A2B(E-A)-1+…=

= (E + B + AB + A2B + A3B +…) (E-A)-1 =

= [E + (E + A + A2 + A3 +…….)B] (E-A)-1 =

= [E + (E-A)-1 B] (E-A)-1

Rücksubstitution: A anstelle von B ergibt

[E-(A+A)]-1= (E-A1)-1 ~ [E + (E-A)-1A](E-A)-1

Zu zeigen war, dass aus x1 = (E-A1)-1y1

in erster Näherungx = (E-A)-1(Ax + y) folgt.

x1 = x0 + x = [E-(A0 + A)]-1(y0 + y) == [E + (E-A0)-1A] (E-A0)-1(y0 + y) == x0 + (E-A0)-1A x0 + (E-A0)-1y + (E-A0)-1A (E-A0)-1y

=>x = (E-A0)-1 (A x0 + y)

q.e.d.

Effekte technischer Veränderungen

Input-Output-Grundformel: x = (E-A)-1yLösung in erster Näherung

x = (E-A)-1(Ax + y)

• Veränderungen der A-Matrix ...… A und/oder• veränderungen der Nachfrage … y ->• Veränderungen im Output ……… x ->• Veränderungen der Beschäftigtenzahlen ->• Veränderungen der Lohnsumme ->• Veränderungen der Nachfrage …………. y(t+1)

Beispiele auf der Mikroebene

• Selbstorganisierende Systeme(Beispiel: „the blind and the lame“)

http://members.chello.at/gre/springer/

• Agentenbasierte Simulationen(Einführende Literatur:

http://www.econ.iastate.edu/tesfatsi/abmread.htm)

Simulationsmethoden

„The blind and the lame“

Zwei interagierende Welten …

• Welt A: die physische Welt

(klassische Mechanik)

• Welt B: die Welt der Symbole

(Alphabet ohne Bedeutung)

Simulationsmethoden

…und zwei interagierende Akteure

Akteur 1: Der Blinde• kann

– springen– hören– die Töne, die er hört, interpretieren– und danach handeln (springen)

Akteur 2: Der Lahme• kann

– Die Länge des Hindernisses sehen– Töne verschiedener Höhe erzeugen (mit Trompete)– die Länge des Hindernisses mit der Tonhöhe verknüpfen– Und die Töne mit Bedeutung versehen

http://members.chello.at/gre/springer/

Simulationsmethoden

Agentenbasierte Simulationen

• Auf der Mikroebene spielen sich die Interaktionen der Individuen ab

• Auf der Meso/Makroebene kann neues Verhalten abgelesen werden,

• das nicht aus der bloßen Aggregation der Daten für die einzelnen Akteure gewonnen werden kann

Simulationsmethoden

Vier Arten von Verständnis durch ABS• Empirisch

– Warum haben sich bestimmte Makrophänomene entwickelt (auch wenn keine top-down-Kontrolle existiert)?

• Normativ– Welches Design ist für bestimmte Institutionen optimal?

• Heuristisch– Können Einsichten über die grundlegenden

Kausalmechanismen des Systems gewonnen werden?

• Methodisch– Wie können Theorien mit ABS getestet, erweitert und

verbessert werden (was bisher aus methodischen Beschränkungen nicht möglich war)?

Simulationsmethoden

Agentenbasierte SimulationenAgentenbasierte Simulationen

• Das GNU Softwarepaket von Marco Valente:http://www.business.aau.dk/~mv/Lsd/lsd.html

GNU is not UNIX !

Laboratory of Simulation Development -> LSD

• Anwendungsbeispiel: Schafe und Wölfe(50 Schafe, 20 Wölfe)

Simulationsmethoden

Phasendiagramm Phasendiagramm

Simulationsmethodentestlsd1

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Agentenbasierte SimulationenAgentenbasierte Simulationen

Beispiel:• Räuber-Beute Modell (x…Schafe, y…Wölfe)

(Beschrieben auf der Makroebene mit der Lotka-Volterra-Differentialgleichung):

dx/dt = alfa*x + beta*y + gamma*x.ydy/dt = delta*x + epsilon*y + eta*x.y

-> Ökonometrische Schätzung der Parameter aus den Daten der ABS (beta = delta = 0)

Simulationsmethoden

RegressionsergebnisseRegressionsergebnisse

Simulation des korrespondierenden aggregierten Modells mit LSD mit den oben angeführten geschätzten Parametern

Simulationsmethoden

dy/dt (wolves) Term

Coefficient SE p

95% CI of Coefficient

y  -0,0397 0,0013 <0.0001 -0,0423 to -0,0370

xy  0,0002 0,0000 <0.0001 0,0002 to 0,0002

dx/dt (sheep) Term

Coefficient SE p

95% CI of Coefficient

x  0,0129 0,0011 <0.0001 0,0107 to 0,0151

xy  -0,0002 0,0000 <0.0001 -0,0002 to -0,0001

0

100

200

300

400

500

600

700

1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851 901 951

sheep R (0 1000)

w olves R (0 1000)

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

900,00

1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851 901 951

x

y

AgentenbasierteSimulation

Systemdynamik Simulation

SD-Modelle und ABSSD-Modelle und ABS

• Die Leistungsfähigkeit der Computertechnologie erlaubt es, Probleme, die bisher auf der Aggregatebene analysiert wurden, auf der Ebene der Individuen zu formulieren

• SD-Modelle und ABS können als Endpunkte eines ganzen Spektrums von Modellierungsmöglichkeiten angesehen werden

• Man hat im Prinzip die Wahl zwischen aggregierten und agent based Modellen und deren Kombinationen

• Was sind die Entscheidungskriterien?

Simulationsmethoden im Vergleich

• SD-Modelle und ökonometrische Modelle bestehen aus (nicht)linearen Differenzen- bzw. Differentialgleichungen, die numerisch gelöst werden.

• Relativ wenige Parameter beschreiben die Gleichungen• Positive und negative Rückkopplungsschleifen

bestimmen das Verhalten des Gesamtsystems• Die individuellen Akteure werden in eine (kleine) Zahl

von Clustern (compartments) integriert.• Innerhalb der compartments herrscht Homogenität, • Blindheit des Modells gegenüber dem einzelnen Akteur • Übergänge zwischen den compartments beruhen auf

Erwartungs- oder Durchschnitts (ev. durch stochastische Variablen gestört)

• Einfacher Vergleich mit Realität

Simulationsmethoden im Vergleich

• Beispiele für SD Modelle– Ansteckungsprozesse werden durch eine Diffusionsgleichung

beschrieben; – Räuber-Beute Modelle durch die nichtlineare Lotka-Volterra

Differentialgleichung– Mathematisches Modell einer Volkswirtschaft (siehe oben)

• ABS erlauben es, emergente Phänomene in vielen Anwendungsgebieten zu studieren

• ABS können sehr gut Heterogenität der Akteure und deren individuelle Interaktion abbilden

• Grosse Zahl von Parametern nötig• Hoher Rechenaufwand für die Simulation und

erschwerte Sensitivitätsanalyse• Erschwerter Vergleich mit der Realität

Simulationsmethoden im Vergleich

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!