Signal Verarbeitung(1)

5/19/2018 Signal Verarbeitung(1)

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Universitat des Saarlandes

Lehrstuhl fur Sprachsignalverarbeitung

Grundlagen der SignalverarbeitungProf. Dr. Dietrich Klakow

Erstellung und Bearbeitung

Denis GrelichSebastian HafnerMarco Schott

28. Oktober 2011


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Inhaltsverzeichnis

1 Signale im zeitinvarianten Systemen 31.1 Einfache Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Einfache Funktionen auf Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Eigenschaften der Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Siebeigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Linearkombinationen von Delta-Funktionen . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Skalierung der Zeitachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.4 Ableitung der Heavisideschen Sprungfunktion . . . . . . . . . . . 81.3.5 Ableitung des Diracimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Lineare Zeitinvariante-Systeme (LTI-Systeme). . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Allgemeinster Zusammenhang des Eingangs- und Ausgangssignals fur ein

LTI-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Eigenschaften der Faltung (Faltungsalgebra). . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Maple: Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Die Fouriertransformation 232.1 Eigenschaften von LTI-Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Eigenvektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Die Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Die inverse Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Theoreme zur Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.1 Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2 Ahnlichkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.3 Verschiebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.4 Ableitungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.5 Dualitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.6 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.7 Faltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.8 Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Parsevaltheorem der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6 Berechnung einfacher Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Maple: Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Diskrete Signale und Systeme 493.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Klassifizierung von Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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3.3 Abtastung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.1 Idealer Abtaster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.2 Realer Abtaster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.3 Scha-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Abtasttheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.1 Nyquistrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.2 Unterabtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.3 Ubertastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Signalrekonstruktion im Frequenzbereich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6 Abtastung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Maple: Diskrete Signale und Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Numerische Berechnung der Fouriertransformation 634.1 Diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Parsevaltheorem der Diskreten Fouriertransformation. . . . . . . . . . . . 654.3 Fast Fourier Transform (FFT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Schmetterlingsgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.1 Signalflussgraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.2 Veranschaulichung der FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 Faltung abgetasteter Signale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5.1 Herleitung der Diskreten Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.2 Elementare zeitdiskrete Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6 Diskrete LTI-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Maple: Numerische Berechung der Fourier-Transformation . . . . . . . 79

5 Korrelation von Signalen 875.1 Energie, Leistung, Korrelation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Korrelation und Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3 Wiener-Khinchin-Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4 Wiener-Lee-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Maple: Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6 Statistische Signalbeschreibung 996.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 Zufallssignale und ihre Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3 Stationare Zufallsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4 Eigenschaften der Autokorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.4.1 Maximum der AKF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4.2 Beschranktheit der AKF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.3 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.4 Unkorreliertheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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6.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7 z-Transformation 1097.1 Einf uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2 Herleitung der z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3 Tabelle von haufig auftretende Paare der z-Transformation . . . . . . . . 1127.4 Konvergenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.5 Eigenschaften der z-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.5.1 Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.5.2 Verschiebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.5.3 Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.5.4 Zeitumkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.5.5 Faltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.6 Inverse z-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.6.1 Uber den Integralsatz von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.6.2

Uber Potenzreihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.7 Parsevaltheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8 Laplacetransformation 1218.1 Probleme der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.2 Definition von kausalen Signalen und der Laplacetransformation . . . . . 122

8.2.1 Kausale Signale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.2.2 Definition der Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.3 Inverse Laplacetransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.4 Eigenschaften der Laplacetransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.4.1 Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.4.2 Verschiebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.4.3 Dampfungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.4.4 Faltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.4.5 Ableitungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.5 Losung von Differentialgleichungen mit Laplacetransformation. . . . . . . 1 278.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9 Losungen 135Losungen zu Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Losungen zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Losungen zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Losungen zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Losungen zu Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Losungen zu Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Losungen zu Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Losungen zu Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

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Tabellenverzeichnis

1 Elementare Signale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Syntaxelemente von Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Elementare zeitdiskrete Signale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Abbildungsverzeichnis

1 Skalierter Rechteckimpuls zur Herleitung der-Funktion . . . . . . . . . . 42 Ubertragung eines Signals durch das Telefonnetz . . . . . . . . . . . . . . 93 Das RC-Glied und sein Amplitudenverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 System

Auto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Antwort eines nicht spezifizierten LTI-Systems auf einen Rechteckimpuls . 116 Linearzerlegung eines Signals in Rechteckimpulse . . . . . . . . . . . . . . 117 Maple-Hilfe: Suche nach dem Begriff

Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . 17

8 Hilfefenster nach dem Anklicken des Befehls assume im Eingabefensterund Drucken von F2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9 Plot der sin-Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910 Plot der rect-Funktion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011 RC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512 Aufbau einfacher Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713 Losungsschema zur Berechnung von Schaltungen. . . . . . . . . . . . . . . 3814 Schaubild des RC-Gliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4015 Klassifizierung von Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4916 Abtastung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

17 Ideale Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5118 Reale Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5119 Abtastung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5220 Abtastung im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5321 Graphik zur Unterabtastung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5422 Graphik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5423 Rekonstruktion einer abgetasteten Sinusfunktion. . . . . . . . . . . . . . . 5824 Anwendung der Fouriertransformation in einem Filter. . . . . . . . . . . . 6325 Abgetastete Sinuswelle, zerlegt in geraden und ungeraden Anteil. . . . . . 6926 Grundelemente von Signalflussgraphen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7027 Schmetterlingsgraph der FFT fur acht Abtastwerte. . . . . . . . . . . . . 71

28 Zusammenhang zwischen der kontinuierlichen und diskreten Signalverar-beitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7529 Beispiel fur ein deterministisches und ein nichtdeterministisches Signal. . . 9930 Mehrere gleichzeitige Messungen eines Zufallssignals. . . . . . . . . . . . . 1 0 231 Periodische Funktion in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . 11032 Umwandlung in eine konforme Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11133 Konvergenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

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34 Konvergenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11435 Der Konvergenzbereich schliet keine Pole ein . . . . . . . . . . . . . . . . 11536 Losen von Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplacetransformation . . 12837 RC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

38 Fallunterscheidung bei der Faltung von (t) mit (t). . . . . . . . . . . . 13639 Dreiecksimpuls gefaltet mit der Sprungfunktion. . . . . . . . . . . . . . . 13740 Fallunterscheidung bei der Faltung von rect((t 3)/5) mit rect(t/5 + 2). . 13941 Vergleich der Komplexitaten 3Nlog2(3N) und N

2. . . . . . . . . . . . . . 14742 Fallunterscheidung in der AKF von rect(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . 15143 Verlauf von (t + ) fur positives und negatives. . . . . . . . . . . . . . 15544 8.3A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

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1 Signale im zeitinvarianten Systemen

Die physikalische (z. B. in Form von elektrischen Spannungen, Feldstarken, Lichtim-pulsen oder Schallwellen) und mathematische Darstellung einer Nachricht bezeichnet

man als Signal. Wir definieren Signale als Funktionen oder Wertefolgen, die Informatio-nen reprasentieren; in vielen Fallen sind diese Funktionen zeitabhangig, oftmals bestehtaber auch eine Abhangigkeit vom Ort (dies ist beispielsweise fur die Bildpunkte in einerBilddatei der Fall).

1.1 Einfache (elementare) Signale

Besonders einfache Signale, die leicht mathematisch beschrieben werden konnen, beze-ichnet man als Elementarsignale. Oftmals kann man sie auch technisch recht einfachund in guter Qualitat erzeugen. Viele komplexe Signale lassen sich auf Elementarsignale

zuruckfuhren.

Sinus s(t) = sin(2t)

Sprungfunktion,Heaviside-Funktion1

(t) =

0 t < 0

1 t 0

Rechteck-Impuls rect(t) = 0 |t| > 1/21 |t| 1/2Diracsto,Deltafunktion2

(t) =

t= 00 sonst

Tabelle 1: Elementare Signale.

Den unendlich hohen, unendlich schmalen Diracsto konnen wir aus einem skaliertenRechteckimpuls der Formsa(t) =

1arect(t/a) herleiten (Abb.1). Die Flache dieses Signals

1Oft abgekurzt als -Funktion, in der Literatur manchmal auch als -Funktion bezeichnet.2Auch Stofunktion, Einheitsimpuls, Diracimpuls oder -funktion, -Funktion oder Delta-Distribution

genannt.


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ist

1

arect(t/a) dt

t=t/a=

rect(t) dt= 1.

Damit kann man den Diracsto als Grenzwert definieren:

(t) = lima0

1

arect(t/a)

Insbesondere erkennt man aus dieser Betrachtung auch, dass der Flacheninhalt unterdem Graphen der Delta-Funktion genau 1 ist.

Abbildung 1: Skalierter Rechteckimpuls mit der Hohe 1/a und der Breite a.

1.2 Einfache Funktionen auf Signalen

Aus den elementaren Signalen lassen sich zeitlich gestreckte (skalierte) und verschobene

Signale durch einfache Substitutionen erzeugen:

Verschiebung

Die Substitution t t t0 verschiebt das Signal umt0 nach rechts, z. B.

s(t) = (t 17) (Sprung bei t = 17).

Skalierung

Die Substitutiont tTresultiert in einer zeitlichen Dehnung des Signals um den FaktorT. Dabei wird fur|T| >1 das Signal breiter, fur|T|


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1.3 Eigenschaften der Delta-Funktion

Der Diracsto hat eine besondere Bedeutung fur die Beschreibung vieler Sachverhaltein der Signalverarbeitung. Er ist ein Modell fur einen lauten Knall, hellen Lichtblitz,

kurzen Spannungssto oder einahnlich starkes, aber kurzes Signal.Aufgrund seiner Wichtigkeit in Theorie und Anwendung der Signalverarbeitung sollendeshalb im Folgenden die Eigenschaften der Delta-Funktion beschrieben werden. Siewerden in den spateren Kapiteln immer wieder Verwendung finden.

1.3.1 Siebeigenschaft

Die Tatsache, dass die Delta-Funktion nur an der Stelle, an der ihr Argument ver-schwindet, ungleich null ist, kann man sich zunutze machen, um aus einem Signal denFunktionswert zu einem bestimmten Zeitpunkt

herauszusieben.

Dazu betrachten wir das Integral

f(t) (t) dt,

und f(t) sei stetig an der Stelle t = 0. Zur Berechnung dieses Integrals nutzen wir dieDefinition des Delta-Impulses aus der skalierten Rechteckfunktion. Damit gilt

(t) = limt0

1

trect(t/t)

und somit

f(t) (t) dt= limt0

1

t

f(t) rect(t/t) dt

= limt0

1

t

t/2t/2

f(t) dt

= limt0

1

tF(t)

t2t2

= limt0

F( t2 ) F(t2 )t

=F(0)=f(0).

Wir haben hier die Definition der Ableitung aus dem Differenzenquotienten angewendet;F(t) bezeichnet dabei die Stammfunktion von f(t). Es gilt also:

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Theorem 1.1 Siebeigenschaft

f(t) (t) dt= f(0)

Beispiel 1 Es seif(t) = 1. Mit der Siebeigenschaft der Delta-Funktion gilt:

1 (t) dt=

(t) dt= 1

Beispiel 2 Es seif(t) =et + 7 cos(t + )

t2 + 1 . Mit der Siebeigenschaft gilt:

f(t)(t) dt=e0 + 7 cos(0 + )

0 + 1 =

1 + 7 cos()

1 = 6

Diese Eigenschaft kann man fur beliebige Stellen t0 verallgemeinern:

Theorem 1.2 Verallgemeinerte Siebeigenschaft

f(t)(t t0) dt= f(t0)

1.3.2 Linearkombinationen von-Funktionen

Einen konstanten Faktor a vor dem Diracimpuls a(t) bezeichnet man als Gewicht des

Diracimpulses. Nach denublichen Rechenregeln fur die Integration gilt

f(t) a(t) dt= a

f(t)(t) dt= af(0).

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In gleicher Weise gilt fur eine Linearkombination von Delta-Funktionen

f(t) (a(t) + b(t)) dt= a

f(t)(t) dt + b

f(t)(t) dt

= (a + b)

f(t)(t) dt

oder kurzer:

Theorem 1.3 Linearkombination von Diracimpulsen

a(t) + b(t) = (a + b)(t)

1.3.3 Skalierung der Zeitachse

Man betrachte wieder das Integral

(at)f(t) dt.

Die Substitution =at ergibt fur positive a

()f

ad

a =

1

af(0),

fur negative a erhalt man, da auch die Grenzen substituiert werden mussen,

()f

a

da

= 1a

()f

a

d= 1

af(0).

Fur positive und negative a allgemein hat man also

(at)f(t) dt= 1

|a|

()f

a

d =

1

|a|f(0),

und so auch:

Theorem 1.4Gedehnter Diracimpuls

(at) = 1

|a|(t)

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1.3.4 Ableitung der-Funktion

Obwohl die Heavisidesche Sprungfunktion an der Sprungstelle nicht differenzierbar ist,kann man dennoch die Delta-Funktion sinnvoll als ihre Ableitung definieren. Man betra-

chte:

() d =

(t )() d = (t)

Ableiten beider Seiten der Gleichung liefert dann:

Theorem 1.5 Ableitung der Heaviside-Funktion

(t) = d

dt(t)

1.3.5 Ableitung der-Funktion

Zur Bestimmung der Ableitung der Delta-Funktion betrachtet man wieder ein Integral:

d

dt(t)

f(t) dt= (t)f(t)

(t)f(t) dt

Setze f(t) =t und leite auf beiden Seiten der Gleichung ab:

Theorem 1.6 Ableitung des Diracimpulses

t(t) = (t)

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1.4 Systeme

In der realen Welt sind Signale nicht unveranderlich. Oft erfahren sie gewollte oderungewollte Veranderungen wenn sieuber ein physikalisches Mediumubertragen werden.

So kann die Ubermittlung eines Audio-Signalsuber eine elektrische Leitung (z. B. beimTelefon) den Ton verzerren, verrauschen oder dampfen (Abb. 2) und der Gesang eines

Chors erhalt in der Kirche ein Echo; selbst das Innenohr des Menschen ubertragt nichtalle Frequenzen gleich gut und fuhrt so zu einer Veranderung des Signals.

Abbildung 2: Ubertragung eines Signals durch das Telefonnetz.

Erwunschte Veranderungen fuhrt beispielsweise ein HiFi-Verstarker durch, indem er dieAmplitude des Eingangssignals erhoht. Das Abschneiden hoher Frequenzen aus einemSignal (z. B. fur eine Bass-Endstufe) erfolgt mit einem RC-Glied (Abb.3). Auch das Er-hohen der Scharfe in einem Urlaubsfoto mit einem Bildbearbeitungsprogramm ist nichtsanderes als eine Veranderung an einem Signal.In der Signalverarbeitung bezeichnet man in diesen Fallen die Telefonleitung, das In-

nenohr, den HiFi-Verstarker u. s. w. als Systeme.

Abbildung 3: Das RC-Glied und sein Amplitudenverlauf.

Mathematisch beschrieben wird ein System durch eine Abbildung (Transformation) einesEingangssignals s(t) auf ein Ausgangssignal g(t):

g(t) = Tr{s(t)}

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14/163

Abbildung 4: Eingangssignale in das System

Auto und die entsprechendeSystemantwort.

1.5 Lineare Zeitinvariante Systemeengl. Linear Time-Invariant Systems = LTI

Viele technische Systeme sind in guter Naherung linear und/oder zeitinvariant. Ein Sys-tem bezeichnet man als linear, falls gilt:

Tr

i

aisi(t)

=i

aiTr{si(t)} gi(t)

=i

aigi(t)

Es reagiert also auf ein doppelt so starkes Signal mit einer ebenfalls doppelt so starkenAntwort. Ein zeitinvariantes System liefert zu einem Eingangssignal zu jeder beliebigenZeit das gleiche Ausgangssignal, es ist also zeitunabhangig. Es gilt:

Tr {s(t t0)} =g(t t0)

Erfullt ein System beide Bedingungen, so spricht man von einem linear-zeitinvariantenSystem (LZI- oder LTI-System). Eine Besonderheit der Klasse der LTI-Systeme ist dieTatsache, dass sich ihre theoretische Behandlung gegenuber dem allgemeinen Fall starkvereinfacht.

1.6 Allgemeinster Zusammenhang des Eingangs- und Ausgangssignals furein LTI-System

Ausgehend vom Rechteckimpuls als Eingangssignal lasst sich ein allgemeiner Zusammen-hang zwischen dem Eingangssignal s(t) eines LTI-Systems und seinem Ausgangssignalg(t) herstellen. Man betrachte dazu die Antwort eines LTI-Systems auf einen Rechteckim-puls der Dauer t und der Hohe 1/t:

r(t) = 1

trect (t/t)

Tr {r(t)} =h(t)

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15/163

Abbildung 5: Antwort eines LTI-Systems auf einen Rechteckimpuls der Breite t undHohe 1/t.

Abbildung 6: Linearzerlegung eines Signals in Rechteckimpulse.

Davon ausgehend betrachtet man die Zerlegung eines beliebigen Eingangssignals s(t) ineine Linearkombination von Rechteckimpulsen:

s(t)

i=rect

t it

t

s(it)

Schickt man dieses approximierte Signal nun durch ein LTI-System, so erhalt manentsprechend der Linearitat und Zeitinvarianz des Systems:

g(t) = Tr

i=

rect

t it

t

s(it)

=

i= s(it)Tr

1trect tit

t r(tit)

t=

i=

s(it)h(t it)t

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16/163

Um das Signal immer genauer zu approximieren, muss sich timmer mehr null nahern.Im Grenzwert t 0 geht man nun zum Integral

g(t) =

h(t

)s() d

uber.

Beispiel Es seis(t) =(t). Dann gilt:

g(t) =

h(t )() d=h(t)

Durch dieses Beispiel macht man folgende interessante Beobachtung:

Definition 1.7 Impulsantwort

Die Impulsantworth(t) eines LTI-Systems beschreibt nach

g(t) =

h(t )() d

das System vollstandig.3

1.7 Faltung

Die Faltung ist die Verallgemeinerung der oben hergeleiteten Integrale.

Definition 1.8 Faltung

Das Integral

a(t )b() d

heit Faltung (engl. convolution) und wird mit dem Faltungsprodukt

a(t) b(t)

abgekurzt (

a(t) gefaltet mit b(t)).

3Antwort eines Systems auf den Diracsto

16


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Die Faltung ist eine fur alle LTI-Systeme gultige Transformationsgleichung, da ein be-liebiges Eingangssignal gefaltet mit der Impulsantwort des Systems immer das entsprechendeAusgangssignal des Systems liefert. Nach Def.1.7kann man fur solche Systeme also auch

g(t) =h(t)

s(t)

schreiben, wobei s(t) und g(t) das Ein- bzw. Ausgangssignal bezeichnen und h(t) dieImpulsantwort des Systems bezeichnet.

Beispiel Es seia(t) = rect(t) sowie b(t) =(t t0) + (t t1).Die Faltung von a(t) und b(t) ergibt:

a(t) b(t) =

rect(t ) [( t0) + ( t1)] d

= rect(t

t0) + rect(t

t1)

1.8 Eigenschaften der Faltung (Faltungsalgebra)

Fur die Faltung gelten grundsatzlich die gleichen Rechenregeln wie fur die Multiplikation.

Einselement: Diracsto a(t) (t) =a(t)Kommutativitat a(t)

b(t) =b(t)

a(t)

Assoziativ-Gesetz [a(t) b(t)] c(t) =a(t) [b(t) c(t)]Distributiv-Gesetz a(t) [b(t) + c(t)] =a(t) b(t) + a(t) c(t)

Exemplarisch wird die Kommutativitat bewiesen, indem in

a(t) b(t) =

a(t )b() d

die Substitution = t

durchgefuhrt wird:

a()b(t )[d] =

b(t )a() d

=b(t) a(t)

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1.9 Aufgaben

1.1 Sind die folgenden Abbildungen LTI-Systeme?

a) f(t) d

dt f(t)

b) f(t) f2(t)

c) f(t) f(t), mit = 1

Hinweis: Begrunden Sie Ihre Antwort, indem Sie die Eigenschaften eines LTI-Systemsnachweisen oder gegebenenfalls einen Funktion f(t) als Gegenbeispiel anfuhren.

1.2 Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion des RC-Glieds (vgl. Abb. 3 auf S. 9).

Hinweis:DieUbertragungsfunktion ist definiert als der Quotient von Ausgangsspannungund EingangsspannungH=Uaus/Uein in Abhangigkeit von der Frequenz des Signals.

1.3 Der Dreiecksimpuls sei definiert als

(t) =

t + 1 fur1 t


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b) Wie lautet seine Impulsantwort?

1.5 Berechnen Sie die Faltung

rect()cos((t )) d.

Hinweis: Berechnen Sie zuvor folgendes Integral:

rect(t) cos(t) dt

1.6 Berechnen Sie die Faltung von rect((t 3)/5) mit rect(t/5 + 2).

1.7 Die Impulsantwort eines Systems sei

h(t) = 1

T(t)e

tT.

Berechnen Sie die Impulsantwort eines Systems, dass aus zwei identischen hintereinan-dergeschalteten Systemen dieses Typs besteht.

1.8 Zeigen Sie, dasss(t) h(t) =s(t) h(t).

Hinweis: s(t) und h (t) bezeichnen die Ableitungen von s(t) bzw. h(t).

1.9 Beweisen Sie das Distributivgesetz der Faltung bezuglich der Addition.

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Maple: Einfuhrung

Maple ist ein Computer-Algebra-System (CAS). Ein CAS kann nicht nur wie ein Taschen-rechner mit Zahlen rechnen, sondern beherrscht auch die symbolische Mathematik, d. h.

das Rechnen mit Variablen, Matrizen und Vektoren oder auch das Auswerten von kom-plizierten Ableitungen und Integralen.

Die Arbeit mit Maple

Grundsatzlich ist es nicht moglich, ein so komplexes System wie Maple in einer kurzenEinfuhrung komplett zu erklaren. Deshalb ist es absolut unvermeidlich, sich auch mitanderen Quellen zum Thema zu beschaftigen. Neben der Webseite des Herstellers oderGoogle ist insbesondere die eingebaute Hilfefunktion von Maple hilfreich.4

Es gibt mehrere Methoden, die Maple-Hilfe aufzurufen. Zum einen geht es uber das

Menu (Help Maple Help) oder die Tastenkombination STRG-F1. Es erscheint eineSuchmaske, in der man den gesuchten Begriff eingeben kann (Abb. 7). Nutzlich ist auchdie Moglichkeit, einen Befehl im Eingabefenster anzuklicken und F2 zu drucken. Diesruft direkt die passende Seite in der Hilfe-Datei auf (Abb. 8). Besonders anschaulichsind die in der Hilfe enthaltenen Beispiele. Uber

EditCopy Examples im Menu des

Hilfefensters lassen sich alle Beispiele aus der Hilfe leicht ins Eingabefenster kopieren.Wei man genau, wonach man sucht, kann man auerdem ein Kommando der Form

> ?simplify

eingeben, um die Hilfe zu einem Befehl, in diesem Beispiel simplify, zu erhalten.

Maple organisiert Benutzereingaben und Programmausgaben in Worksheets. Dabei un-

terscheidet es zwischen Worksheet-Mode, in dem ganz klassisch Ein- und Ausgabeneingelesen und ausgegeben werden und dem

Document-Mode, der dazu gedacht ist,

druckreife Dokumente zu erstellen. Wir werden uns im folgenden auf denWorksheet-

Mode beschranken. Worksheets werden im

Maple Worksheet-Format mit der Dateien-dung .mw oder dem Format

Maple Worksheet Classic mit der Endung .mws auf der

Festplatte gespeichert. Mochte man ein Worksheet an andere weitergeben, so empfiehltsich das .mws-Format, das auch mitalteren Programmversionen kompatibel ist.

Befehle werden in sog. Execution Groupszusammengefasst. Das sind eine oder mehrereZeilen, gekennzeichnet durch ein >-Symbol am Zeilenanfang und eingeschlossen in einereckigen Klammer am linken Rand, die gemeinsam ausgefuhrt werden, wenn man Enterdruckt.Uber die Menuleiste lassen sich Execution Groups einfugen und loschen, schneller gehtdiesuber F3und F4.

4http://www.maplesoft.com/applications

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Abbildung 7: Maple-Hilfe: Suche nach dem Begriff

Fourier.

Abbildung 8: Hilfefenster nach dem Anklicken des Befehlsassumeim Eingabefenster undDrucken von F2.

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Symbol Beschreibung Beispiel

; Befehlsende. Folgen mehrere Befehle in einer Execu-tion Group aufeinander, so mussen die einzelnen Be-

fehle mit dem Strichpunkt abgetrennt werden.

a; a

: Wie;, unterdruckt aber die Ausgabe des Befehls. Nut-zlich fur Zwischenrechnungen, wenn die Ausgabe sehrlang ist.

:= Weist einer Variable einen Wert zu. Nicht zu verwech-seln mit dem einfachen =, das benutzt wird, um Gle-ichungen zu definieren.

a := 4:

a;

+ - * / Grundrechenarten. a/(2*c+d);

c + d^ sqrt Potenzieren und Wurzelziehen. 2^3;

sqrt(2);

2^(1/2);

evalf Auswertung als Fliekommazahl. evalf(sqrt(2));

....I Pi Imaginare Einheit j und die Kreiszahl . Zu beachten

ist die Gro- und Kleinschreibung. Die Eulersche Zahlbekommt man mit exp(1).

1 + 2*I; + I(2*I)^2; evalf(Pi);

....reset Loscht alle Definitionen und setzt alle im Dokument

gemachen Einstellungen auf den Ausgangswert zuruc.... Griechische Buchstaben konnen uber die Seitenleiste

ausgewahlt oder

ausgeschrieben werden.alpha Theta

-> Definiert eine Funktion von einer oder mehrerenVeranderlichen. Eine Definitionuberf(x) := x^2istebenfalls moglich.

f := x -> x^2:

f :=x xr := (x, y)

-> x^2 + y^2:

f := (x, y) x + yf(x) := x^2;

f :=x xdiff Ableitung. diff(x^2, x); x

int Bestimmtes oder unbestimmtes Integral. Beim unbes-

timmten Integral wird die Integrationskonstante ver-nachlassigt.

int(2*x, x); x

int(t, t=1..2);

solve Losen einer Gleichung oder eines Gleichungssystems. solve(x^2 - 1, x) ,

Tabelle 2: Syntaxelemente von Maple.

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Grundlegende Syntax

Mathematische Ausdrucke und Funktionen werdenuber eine eigene Programmierspracheeingegeben. Die Namen von selbst definierten Funktionen und Variablen durfen dabei

aus aneinanderhangenden Buchstaben und Zahlen bestehen, beliebig groe Ganzzahlenwerden wie gewohnt interpretiert. Fur Zahlen mit Nachkommastellen muss man allerd-ings darauf achten, einen Punkt statt einem Komma zu verwenden. Leerzeichen werdenim Groen und Ganzen ignoriert.

Tab.2 listet einige weitere Syntaxelemente und wichtige Befehle von Maple auf.

Neben den in den Maple-Bibliotheken vordefinierten Funktionen lassen sich naturlichauch eigene Funktionen angeben.

Elementarfunktionen

Einige wichtige Elementarfunktionen sind in Maple bereits vordefiniert, so z. B. die Sinus-und Kosinusfunktion. Die Sinusfunktion soll mit der plot-Funktion dargestellt werden(Abb.9):

> plot(sin(t), t);

Auch die Heavisidesche Sprungfunktion ist bereits definiert. Die Rechteckfunktion (Abb.10)

t

K 1 0 K 5

0

5 1 0

K 1 . 0

K 0 . 5

0 . 5

1 . 0

Abbildung 9: Plot der sin-Funktion.

dagegen mussen wir selbst definieren. Das kann man z. B. mit der piecewise-Funktion.

Ihr werden jeweils paarweise eine Bedingung und der zugehorige Wertubergeben. Gibtman als letzten Parameter noch einen weiteren Wert an, so nimmt die neu definierteFunktion an allen Stellen, die nicht durch Bedingungen abgedeckt sind, diesen Wert an.

> rect := t -> piecewise(t < -1/2, 0, 1/2 < t, 0, 1):

> # Alternative Definition:

> # rect := t -> Heaviside(t + 1/2) - Heaviside(t - 1/2)

> plot(rect(t), t=-1..1);

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t

K2 . 0

K1 . 5

K1 . 0

K0 . 5 0 0 . 5 1 . 0 1 . 5 2 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

2 . 0

Abbildung 10: Plot der rect-Funktion.

Den Diracimpuls grafisch ausgeben zu lassen, ist wenig sinnvoll, da er unendlich schmalund unendlich hoch ist.

Faltung

Mit diesen Werkzeugen konnen wir nun auch ein Faltungsintegral berechnen. Es sei

> s := t -> rect(1/2*t - 1/2):

ein Signal und

> h := t -> Heaviside(t)*exp(-t):

sei die Impulsantwort eines Systems. Die Faltung des Signals mit der Impulsantwort istdann

> g := t -> int(h(t - tau)*s(tau), tau = -infinity..infinity);

> g(t);> plot(g(t), t = -1..5);

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g:= t

h(t )s() d

0 t


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placeholder


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2 Die Fouriertransformation

Das nachfolgende Kapitel befasst sich, wie auch das erste Kapitel, mit dem Problemder Ubertragung von Signalenuber LTI-Systeme. Es wird jedoch mathematisch anders

gelost. Im ersten Kapitel haben wir dasubertragene Signal dadurch erhalten, indem wirein Faltungsprodukt berechnet haben. Im Verlauf des Kapitels wird sich herausstellen,dass die Signalubertragung auch durch ein simples algebraisches Produkt dargestellt wer-den kann. Voraussetzung hierfur ist, dass das Signal zuvor mit der Fouriertransformationanalysiert worden ist. Zu beachten ist, dass keine Methode der anderen zu bevorzugenist beide Herangehensweisen sind gleichwertig.

2.1 Eigenschaften von LTI-Systemen

Dieser Abschnitt dient dazu, den Begriff Eigenvektoren und Eigenfunktionen von LTI-

Systemen herzuleiten und zu charakterisieren. Die Begriffe Eigenfunktion und Eigen-wert stammen aus der Linearen Algebra.

2.1.1 Eigenvektoren

Unter einem Eigenvektor einer Abbildung versteht man einen Vektor, der nicht der Null-vektor ist und dessen Richtung sich durch die Abbildung nichtandert. Jedoch vollziehter eine Streckung um einen Faktor, der als Eigenwert bezeichnet wird.

Es sei A Rnn eine Matrix und der xE Rn ein Vektor. Gilt

AxE=

xE,

so heit xEEigenvektor zu der Matrix A. Die Variable ist in dieser Darstellung derEigenwert. Zu berucksichtigen ist, dass es maximal n linear unabhangige Eigenvektorengibt.

2.1.2 Eigenfunktionen

In Kap.1.5wurde gezeigt, dass ein LTI-System, dessen Impulsantwort h(t) ist, auf dasEingangssignal s(t) mit h(t) s(t) = g(t) antwortet. Nun gibt es Funktionen sE(t), diebei der Ubertragung uber beliebige LTI-Systeme folgendes Verhalten aufweisen:

h(t) sE(t) =H sE(t).

Solche Funktionen werden in ihrer Form nicht geandert, sondern nur mit einem kom-plexwertigen AmplitudenfaktorHmultipliziert. Der Grundtyp solcher Funktionen wirdEigenfunktion genannt und lautet

sE(t) = ejt = cos(t) +j sin(t).

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Fur beliebige Frequenzenferhalt man durch das Einsetzen der speziellen Eigenfunktion

h(t) sE(t) =h(t) ejt =

ej(t) h() d.

Durch Extraktion der Exponentialfunktion gelangt man zu

ej(t) h() d= ejt

ej h() d

H()

= ejt H().

H() bezeichnet man als Ubertragungsfunktion.

Definition 2.1 Ubertragungsfunktion

H() =

h() ej d

2.2 Die Fouriertransformation

Nachdem wir im ersten Kapitel die Eigenschaften von LTI-Systemen kennen gelernthaben, wenden wir uns nun der Fouriertransformation zu. Hergeleitet wurde sie ausder Fourierreihe, die der franzosische Mathematiker und Physiker Jean Baptiste JosephFourier entwickelte. Die Fourierreihe zerlegt eine reellwertige periodische Funktion ineine Linearkombination von Sinus- und Kosinusschwingungen. Zu beachten ist, dass sieauf periodische Systeme beschrankt ist und somit aperiodische Signale nicht auswertenkann.5 Deswegen benutzt man die Fouriertransformation, um solche Signale auszuw-erten. Diese Transformation wandelt ein Signal aus dem Zeitbereich in ein Signal imFrequenzbereich um. Durch sie erhalt man das Frequenzspektrum eines zeitbezogenenSignals. Dabei bezeichnet man die Summe der Frequenzen, die in einem Signal enthaltensind, als das Frequenzspektrum.

Hierzu sehen wir uns die Def. 2.1 an:

H() =

h()

ej d

Sie zeigt zum einen die Ubertragungsfunktion und zum anderen den zeitlichen Verlaufder Impulsantwort h() eines Systems. Solch eine Beziehung wird als Transformationoder als Fouriertransformation bezeichnet.5Allgemein versteht man unter einem aperiodischen Signal eine Funktion, deren Periode gegen unendlich

lauft.

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Definition 2.2 Fouriertransformation

F {s(t)} =S() =

s(t) ejt dt

Abkurzende Notation:Impulsantwort h(t) (Zeitbereich)

Ubertragungsfunktion H() (Frequenzbereich)

Beispiel 1 Es sei eine RC-Schaltung gegeben. Zu berechnen ist die Fouriertransformiertedes Ausgangssignals.

Abbildung 11: RC-Glied.

Durch eine Anregung mit einem Dirac-Impuls (t) erhalten wir die Impulsantwort derSchaltung:

h(t) =

1

RC (t) e t

RC

Die Ubertragungsfunktion H() erhalten wir durch die Fouriertransformation

H() =

h(t) ejt dt.

Dah(t) kausal ist, konnen wir die untere Grenze des Integrals zu Null setzen und erhaltenden Ausdruck

H() =

1

RC

0

et

( 1RC

+j)

dt.

Integrieren

H() = 1

RC

11

RC+ j

et( 1RC+j)

0

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und Auswerten in den Grenzen liefert

H() =1

RC1

RC+ j=

1

1 + j RC.

Setzen wir fur = 0 ein, so erhalten wir fur die Ubertragungsfunktion den Wert 1.Wenn wir allerdings die Annahme treffen, dass > 1RC ist, so bekommen wir fur dieUbertragungsfunktion den Wert H() = 1jRC (Tiefpass).

Beispiel 2 Zu berechnen sei die Fouriertransformierte des Rechteck-Impulses

s(t) = rect(t) =

0 |t| > 1/2,1 |t| 1/2.

Durch die Verwendung der Fouriertransformation

F {s(t)} =

s(t) ejt dt=

rect(t) ejt dt

=

12

12

ejt dt= 1

j ejt

12

12

und die Auswertung der Grenzen erhalten wir

F {s(t)} =

j

ejt

12

12=

j

e12

j e12j

.

Mit der Schreibweise ejz = cos(z) + j sin(z) gelangen wir zu

F {s(t)} = j

cos

1

2

j sin

1

2

cos

1

2

j sin

1

2

und erhalten schlielich das gesuchte Ergebnis

F {s(t)} = 2 sin1

2 .

Dieses Beispiel fuhrt uns zu der Definition der si-Funktion. Man findet diese Funktionauch unter dem Begriff

Kardinalsinus wieder.

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Definition 2.3 si-Funktion

si(x) =sin(x)

x

Beispiel 3 Zu berechnen ist die Fouriertransformierte eines verschobenen Deltastoes

s(t) =(t t0).

Das gegebene Signal setzt man in die Fouriertransformation ein und erhalt den Ausdruck

F {s(t)} =

s(t) ejt dt=

(t t0) ejt

f(t)

dt.

Mit der Siebeigenschaft

f(t) (t) dt= f(0)

und der Beziehung des verschobenen Deltastoes

(t t0) = t0 = t0 sonst

ergibt sich

F {s(t)

}= ejt0 .

2.3 Die inverse Fouriertransformation

Sehen wir uns nochmal die Formel

H() =

h() ej d

an. Unter bestimmten Umstanden ist es moglich, die Zeitfunktion h() aus ihrer Fouri-ertransformierten zuruckzuerhalten. Genau dies bewerkstelligt die inverse Fouriertrans-formation. Sie wandelt ein Signal aus dem Frequenzbereich in ein Signal im Zeitbereichum.

31


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Definition 2.4 Inverse Fouriertransformation

F {S()}1 =s(t) = 12

S() ejt d

Wir beweisen nun, dass die in Def.2.4definierte Funktion tatsachlich die inverse Funktionzur Fouriertransformation ist.

Beweis

Den Beweis beginnt man mit der allgemeinen Darstellung der inversen Fouriertransfor-mation

s(t) = 1

2

S() ejt d.

In die inverse Fouriertransformation setzt man nun die Definition der Fouriertrans-formierten ein:

S() =

s(t) ejt dt

Dadurch ergibt sich die Beziehung

1

2

S() ejt d= 12

s(t) ejt dt ejt d .

Nun kann man durch geschicktes Zusammenfassen die Darstellung weiter vereinfachen:

1

2

s(t) ejt ejt dtd= 1

2

s(t) ej(tt) dtd

Nach dem Satz von Fubini kann man die Integrationsreihenfolge vertauschen und erhalt

1

2

s(t) ej(tt) d dt .

Um die Gleichung noch etwas zu vereinfachen zieht man eine andere mathematischeBeschreibung des -Impulses,

(t) = 1

2

ejt d

(t t) = 12

ej(tt) d,

32


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hinzu. Da s(t) konstant bezuglich der Integration nach ist, kann man die Funktionaus dem zweiten Integral herausziehen. Somit erhalt man schlielich den Ausdruck

1

2

s(t)

ej(tt) d dt

=

s(t)

(t

t) dt= s(t).

2.4 Theoreme zur Fouriertransformation

Nicht immer sind die Fouriertransformationen so einfach zu berechnen wie in den vor-angegangenen Beispielen. Man bedient sich verschiedener Theoreme, um den mathema-tischen Aufwand so gering wie moglich zu halten.

2.4.1 Linearitat

Man nennt eine Transformation linear, wenn folgende Eigenschaft erfullt ist:

Tr{a s1(t) + b s2(t)} =a Tr{s1(t)}+ b Tr{s2(t)}

Dabei sind s1(t) und s2(t) zwei unterschiedliche Signale, a und b Konstanten. Da dieIntegration linear ist, gilt diese Eigenschaft auch fur die Fouriertransformation.

Beispiel Wie hilfreich die Linearitat bei der Auswertung der Fouriertransformation

sein kann, wird in folgendem Beispiel deutlich. Gegeben seien die zwei Signale

s1(t) =(t t0)

unds2(t) =(t + t0).

Hierbei fallt auf, dass es sich um zwei verschobene-Funktionen handelt. Gesucht ist dieFouriertransformierte

sges= s1(t) + s2(t).

Dafur benutzt man die Linearitatseigenschaft:

F {sges} = F {(t t0) + (t + t0)} = F {(t t0)}+ F {(t + t0)}

Durch Benutzung der Siebeigenschaft

f(t) (t) dt= f(0)

33


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kann man die einzelnen Fouriertransformierten

F {sges} = ejt0 + ejt0

angeben. Durch die Eulersche Identitat erhalten wir nun

F {sges} = cos(t0) + j sin(t0) + cos(t0) + j sin(t0).

Schlielich gelangt man zu dem gesuchten Ergebnis

F {sges} = 2 cos(t0).

2.4.2 Ahnlichkeitssatz

Wird bei einer Zeitfunktion die Zeitachse mit einer reellen Konstante b skaliert, dannresultiert daraus folgendes Transformationspaar:

s(bt)

1

|b| S

b

Der Ahnlichkeitssatz besagt unter anderem, dass breite Signale schmale Spektren undschmale Signale breite Spektren besitzen.

Beweis

Zum Beweis des Ahnlichkeitssatzes machen wir die Annahme, dass b >0 ist. Somit gilt

F {s(bt)} =

s(bt) ejt dt.

Mit Hilfe der Substitution t = bt ergibt sich

F {s(bt)} =

s(t) ej t

b dt

b

=1

b

s(t) ej t

b dt

=1

b S

b

.

Der Beweis erfolgt analog fur b


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2.4.3 Verschiebungssatz

Die zeitliche Verschiebung eines Signals bewirkt eine Multiplikation im Frequenzbereich.

s(t t0) S() ejt0

Bei der zeitlichen Verschiebung einer Funktion verandert sich unter keinen Umstandender Betrag des zugehorigen Spektrums, lediglich die Phase erfahrt eine Veranderung.

Beweis

Gegeben sei ein verschobenes Signals(tt0). Mithilfe der Substitutiont= tt0erhaltenwir

F {s(t t0)} =

s(t t0) ejt dt=

s(t) ej(t+t0) dt.

Nach dem Ausklammern

F {s(t t0)} =

s(t) ejt0 ejt dt

zieht man ejt0 aus dem Integral heraus und erhalt

F {s(t t0)} = ejt0

s(t) ejt dt = S() ejt0 .

2.4.4 Ableitungssatz

Eine weitere wichtige Eigenschaft der Fouriertransformation ist der Ableitungssatz. Erbesagt, dass die Differentation im Zeitbereich in eine Skalierung j im Frequenzbereichbewirkt:

d

dts(t)

j S()

35


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Beweis

Nun wollen wir den Ableitungssatz beweisen. Wir suchen die Fouriertransformierte einesabgeleiteten Signals:

Fddt

s(t)=

ddt

s(t) ejt dt

Durch partielle Integration

ba

f(t) g(t) dt= [f(t) g(t)]ba b

a

f(t) g(t) dt

bekommt man

F

d

dts(t)

= lim

a[s(t) ejt]aa

= 0

s(t) d

dtejt dt.

Nach dem Ableiten der e-Funktion

F

d

dts(t)

=

s(t) j ejt dterhalten wir

F

d

dts(t)

= j S().

Beispiel 1 Man berechne die Fouriertransformierte eines abgeleiteten Dirac-Stoesddt(t).

F

d

dt(t)

= j F {(t)}

= 1

= j

Beispiel 2 Zu berechnen sei die Fouriertransformierte eines zweifach abgeleiteten Rechteck-Impulses

s(t) = d2

dt2rect(t).

Durch die Verwendung des Ableitungssatzes gelangt man zu

F

d2

dt2rect(t)

= (j)2 2

sin

1

2

= 2 sin

1

2

.

36


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2.4.5 Dualitat

Unter Dualitat versteht man folgenden Zusammenhang:

s(t)

S() und

S(t) 2 s()Stellen zwei Funktionen s(t) und S() ein Transformationspaar dar, so bilden S(t) und2 s() ebenfalls ein Transformationspaar. Dies nennt man duale Korrespondenz.

Beweis

Die nachfolgenden Rechenschritte sollen verdeutlichen, wie wir zu der Erkenntnis gelan-gen, dass s(t)

S() und S(t)

2 s() gilt. Die Fouriertransformation ist

als

S() =

s(t)

ejt dt

definiert. Unsere inverse Fouriertransformation

s(t) = 1

2

S() ejt d

unterscheidet sich nur geringfugig von der regularen Fouriertransformation. Wird nunt t substituiert, bekommt man

s(t) = 12

S() ejt d.

Vertauscht man nun die Variablen t und , so gelangt man zu

2 s() =

S(t) ejtdt.

Beispiel

S(t) =

s(t) ejt dt s(t) =

S() ejt d

Fur das erste Integral substituiert man t und fur das zweite Integral t:

S(t) =

s() e+jt d s() =

S(t) ejt dt

37


38/163

2.4.6 Symmetrie

Fur reelle Signale s(t) gilt:S() =S()

Dies bedeutet, dass der Realteil der Fouriertransformierten eines reellen Signals immergerade ist, und der Imaginarteil immer ungerade. Diese Eigenschaft bezeichnet man alsHermitesche Symmetrie.6 Ist zusatzlich s(t) gerade, so verschwindet der Imaginarteilder Fouriertransformierten S(). Ists(t) ungerade, so verschwindet der Realteil.

Beweis

Sei s(t) reell. Es gilt:

S() =

s(t) ejt

dt

=

s(t) cos(t) dt +j

s(t) sin(t) dt

=

s(t) cos(t) dtj

s(t) sin(t) dt

=

s(t) cos(t) dt +j

s(t) sin(t) dt

Mit

S() =

s(t) cos(t) dt +j

s(t) sin(t) dt

folgt die Hermitesche Symmetrie.Sei nun s(t) zusatzlich gerade. Es gilt:

S() =

s(t)

cos(t) dt +j

s(t)

sin(

t) dt

=0, da s gerade

6Nach Charles Hermite, 1822-1901, franzosischer Mathematiker.

38


39/163

sowie fur ungeradess(t):

S() =

s(t) cos(t) dt

=0, da s ungerade

+j

s(t) sin(t) dt

2.4.7 Faltungssatz

Nun betrachten wir den Faltungssatz:

s1(t) s2(t) S1() S2()Nach s1(t)

s2(t) = g(t) und S1()

S2() = G() wird das Faltungsprodukt beider

Zeitfunktionen in das Produkt der beiden zugeordneten Fouriertransformierten trans-formiert. Die Darstellung erhalten wir aus der Dualitat der Fouriertransformation. DieFaltungsalgebra wird in eine Multiplikationsalgebra transformiert. Dies fuhrt zu einerdeutlichen Vereinfachung bei der Behandlung von LTI-Systemen.

Beweis

Nun beweisen wir den Faltungssatz. Dazu erinnert man sich an die Definition der Faltung

a(t

)

b() d

und bekommt dadurch

F {s1(t) s2(t)} =

s1(t ) s2() d ejt dt

=

s1(t ) s2() ejt ddt.

Nun substituieren wirt = t . Damit erhalten wir

=

s1(t) s2() ej(t+) ddt.

Mit ej(t+) = ej(t) ej() konnen nun die beiden Integrale auseinandergezogenwerden

39


40/163

=

s1(t)ej(t

) dt

s2()ej() d.

Somit ergibt sich die BehauptungF {s1(t) s2(t)} = F {s1(t)}F {s2(t)} .

2.4.8 Multiplikationssatz

Der Muliplikationssatz lasst sich mit Hilfe des Faltungssatzes herleiten. Durch die Hinzu-nahme der Dualitat erhalten wir folgende Eigenschaft:

s1(t) s2(t) 12

S1() S2()

Der Faltungssatz und der Muliplikationssatz stellen zwei grundlegende Beziehungen derSystemtheorie dar. Eine Faltung im Zeitbereich entspricht einer Multiplikation im Fre-quenzbereich und eine Multiplikation im Zeitbereich entspricht einer Faltung im Fre-quenzbereich. Beide Theoreme ermoglichen es, die recht komplizierte Faltungsvarianteim einen Bereich durch eine einfache Multiplikation in den anderen Bereich zu ubergeben.

2.5 Parsevaltheorem der Fouriertransformation

Das Parsevaltheorem spiegelt die Gleichheit zwischen der Energie zweier Signale imZeitbereich und der Energie zweier Signale im Frequenzbereich wider.

s1(t) s2(t) dt= 1

2

S1() S2 () d

Sind die beiden Signale s1(t) und s2(t) gleich, so gilt:

|s(t)|2 dt= 12

|S()|2 d

Dabei wird|S()|2 als Energiespektrum bezeichnet.

Definition 2.5 Signalenergie

E=

|s(t)|2 dt= 12

|S()|2 d

Die Signalenergie kann im Zeit- oder Frequenzbereich berechnet werden. In Kap. 5.1wird der Energiebegriff noch einmal genauer definiert.

40


41/163

Beweis

Nun beweisen wir das Parsevaltheorem. Den Beweis beginnt man mit dem Symme-trieansatz

s2(t) S2 ()und man erhalt fur die Signalenergie

s1(t) s2(t) ejt dt.

Durch den Gebrauch des Multiplikationssatzes erhalt man

s1(t) s2(t) ejt dt=

1

2 S1() S2 ()

= 1

2

S2 (( )) S1() d.

Setzt man nun = 0, so verandert sich die Gleichung zu

s1(t) s2(t) dt= 1

2

S1() S2 () d.

2.6 Berechnung einfacher Schaltungen

Abbildung 12: Aufbau von einfachen Schaltungen.

Nun wollen wir uns die Berechnung von Schaltungen ansehen. Eine Schaltung beste-ht aus einer Eingangsspannung, einem Netzwerk von Bauelementen und der daraus

41


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resultierenden Ausgangsspannung. Unser Netzwerk kann aus den unterschiedlichstenBauelementen bestehen, wie zum Beispiel Dioden, Widerstanden, Transistoren etc. Hi-er mochten wir unser Netzwerk auf die drei wichtigsten Bauelemente reduzieren. Dassind der Widerstand, die Spule und der Kondensator. Nachdem man einen Uberblick

uber die Schaltung hat, muss man sich daruber Gedanken machen, wie man die Schal-tung mathematisch beschreiben kann. Oft wird die Eingangs- oder Ausgangsspannunggesucht. Die gebrauchlichen Gleichungen die man fur solch eine Beschreibung der Netzw-erke benotigt, sollten bereits aus den Vorlesungen zu den Grundlagen der Elektrotechnikbekannt sein. Der erste Schritt beginnt damit, das System mithilfe von Differentialgle-ichungen zu beschreiben, welche im Zeitbereich liegen. Oft sind der Maschensatz und dasKnotengesetz hilfreiche Methoden um den mathematischen Aufwand und die Beschrei-bung soubersichtlich wie moglich zu gestalten. Durch die Fouriertransformation wandeltman die Differentialgleichungen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich um und erhaltsomit ein lineares Gleichungssystem, dass wir dann nach der gesuchten Gr oe umstellenkonnen. Anschlieend wandelt man das System durch die inverse Fouriertransformation

vom Frequenzbereich in den Zeitbereich um und erhalt den gesuchten Wert.

Abbildung 13: Losungsrezept zur Berechnung von Schaltungen.

42


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Beispiel 1 Wir sehen uns ein RC-Glied etwas genauer an. Bei dieser Schaltung giltzum Zeitpunkt t = 0, dass der Kondensator ungeladen ist: Q(0) = 0.

Zuerst stellt man sich mit der Maschenregel eine Gleichung auf, die das System voll-standig beschreibt:

Ur(t) =R I(t) + U0(t)

MitU0(t) =Q(t)

C ,

Ur(t) =R I(t) + Q(t)C

,

und I(t) = Q(t) erhalt man die Differentialgleichung

Ur(t) =R Q(t) + 1C Q(t).

Mittels Fouriertransformation wandelt man das Signal vom Zeitbereich in den Fre-quenzbereich um und erhalt

Urj ()= R jQ() + Q()

C .

Als nachstes wird die Ladung Q() ausgeklammert

Ur

j

()

= Q()

R j+ 1

C

und isoliert

Q() =Ur

j

()

R j+ 1C

1.

Schlielich wandelt man das System wieder vom Frequenzbereich in den Zeitbereich um,

Q(t) = F

Ur

j

()

1

U(t)

F

R j+ 1C

11

(t)R exp( tRC)

,


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und erhalt fur die Ladung Q(t)

Q(t) =

U(t ) ()

R e RCd.

Nun muss man eine Fallunterscheidung machen und t


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Beispiel 2 Nun sehen wir uns einen Schwingkreis an, der aus einer Spule, einem Kon-densator und einem Widerstand besteht. Er hat folgenden Aufbau:

Mithilfe des Maschensatzes(t) =UL+ h(t)

und der Beziehung fur dieuber der Spule abfallenden Spannung

UL(t) =L I(t)erhalt man den Zusammenhang

(t) =L I(t) + h(t).

Jedoch genugt diese Gleichung nicht um das System vollstandig zu beschreiben. Deswe-gen stellt man mit der Knotenregel eine weitere Beziehung auf. An dem Knotenpunkt andem die Strome von Kondensator, Widerstand und Spule einflieen ist der Gesamtstromgleich null:

I(t) =IR(t) + IC(t)

DaIC(t) =Ch(t)

und

IR(t) =h(t)

R

gilt, erhalten wir die Differentialgleichung

I(t) =h(t)

R + Ch(t)

Mit Maple konnen wir die Auswertung etwas beschleunigen und erhalten:

I() = H()

R + cjH().


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2.7 Aufgaben

2.1 Berechnen Sie die Fouriertransformierte des folgenden Signals:

s(t) = sgn(t)

2.2 Berechnen Sie die Fouriertransformierte des folgenden Signals

w(t) =

1 cos(0t) wenn 2 < t < 2 ,0 sonst.

2.3 Wir bezeichnen mit F() die Fouriertransformierte einer Funktion f(t). BeweisenSie die folgende Gleichung:

F{f(at)} = 1

|a|Fa2.4 Beweisen Sie die folgende Eigenschaft der Fouriertransformation

F{f(t) cos(0t)} =12

(F(+ 0) + F( 0))

2.5 Berechnen Sie die Fouriertransformation des Dreiecksimpulses

f(t) =

t + 1, fur 1 t


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Maple: Fouriertransformation

si-Funktion

Im Beispiel2des Abschnitts2.2haben wir die si-Funktion aus der Fouriertransformationeines Rechteckimpulses hergeleitet. Die Rechteckfunktion wird uber die Summe zweierHeaviside-Funktionen definiert:

> rect := t -> Heaviside(t+1/2) - Heaviside(t-1/2):

Die Fouriertransformation wird nach Def. 2.2durchgefuhrt:

> i1 := int(rect(t)*exp(-I*omega*t), t=-infinity..infinity)

i1 := I e1

2I

+

I e1

2I

Das Ergebnis erinnert stark an die Beschreibung einer trigonometrischen Funktion uberdie Euler-Identitat. Wir weisen Maple deshalb an, den Ausdruck mit Hilfe der convert-Funktion in trigonometrische Grundfunktionen umzuwandeln und mit dem simplify-Befehl zu vereinfachen:

> simplify(convert(i1, trig))

2 sin

1

2

Wir erhalten die si-Funktion. Da sie in Maple nicht vordefiniert ist, holen wir dies selbstnach. Zur Veranschaulichung lassen wir den Verlauf der Funktion plotten.

> si := x -> sin(x)/x

> plot(si(x), x=-15..15)

si:= x sin(x)x

x

K 1 5 K 1 0 K 5

0

5 1 0 1 5

K0 . 2

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

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Beispiele fur Fouriertransformationen

Das in Maple vordefinierte Paket inttrans enthalt eine Reihe von bekannten Integral-transformationen, darunter auch die Fouriertransformation. Mit with binden wir es einund erhalten als Ausgabe die in dem Paket enthaltenen Definitionen.

> with(inttrans)

[addtable, f ourier, f ouriercos, f ouriersin, hankel, hilbert, invfourier,

invhilbert, invlaplace, invmellin, laplace, mellin, savetable]

Zunachst mochten wir die Fouriertransformierte der sin-Funktion bestimmen. Der Befehl

> fourier(sin(omega0*t), t, omega)

1

2I f ourier(eI 0 t, t,) +

1

2I f ourier(eI 0 t, t,)

fuhrt allerdings nicht zum gewunschten Ergebnis, da die Variable nicht definiertwurde. Maple nimmt deshalb eine komplexe Zahl an und kann keine allgemeine Losungdes Transformationsintegrals angeben.Der Befehl

> assume(omega0 > 0)

legt fest, dass es sich bei um eine positive reelle Zahl handelt. Die Schlangenlinie(

Tilde), die von nun an neben der Variablen erscheint, deutet an, dass Einschrankungenbezuglich des Wertebereichs der Variablen getroffen worden sind. Damit lasst sich dasFourierintegral in analytisch geschlossener Form darstellen:

> fourier(sin(omega0*t), t, omega)

I (Dirac( + 0) Dirac( 0))Auch andere Fouriertransformationen sind mit Maple leicht zu berechnen:

> fourier(Heaviside(t), t, omega)

Dirac() I

Einige Funktionen werden durch die Fouriertransformation auf sich selbst abgebildet,darunter auch die Gau-Funktion:

> fourier(1/(2*Pi)^(1/4) * exp(-(1/2)*t^2), t, omega)

21/4 1/4 e122

48


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Satze zur Fouriertransformation

Alle in Kap. 2.4 hergeleiteten Theoreme zur Fouriertransformation lassen sich auch inMaple zeigen. Dazu gehoren z. B. die Linearitat, der Verschiebungssatz und der Ableitungssatz:

a) Linearitat (Kap.2.4.1)

> fourier(a*f(t) + b*g(t), t, omega)

bfourier(g(t), t,) + afourier(f(t), t,)

b) Verschiebungssatz (Kap.2.4.3)

> assume(t0 > 0)

> fourier(f(t - t0), t, omega)

eIt0fourier(f(t), t,)

c) Ableitungssatz (Kap.2.4.4)

> fourier(diff(f(t), t), t, omega)

I fourier(f(t), t,)

Als Beispiel dient die Fouriertransformation der Ableitung des Diracimpulses:

> fourier(diff(Dirac(t), t), t, omega)

I

Ubertragungsfunktion und Impulsantwort des RC-Glieds

Analog zum Beispiel1auf Seite39soll die Impulsantwort eines RC-Glieds berechnet wer-den. Zunachst laden wir die Bibliothek der Integraltransformationen in unser Dokument

und deklarieren dann R und Cals positiv und reellwertig.

> with(inttrans):

> assume(R > 0)

> assume(C > 0)

Ebenso wie im Beispiel gehen wir von einer Differentialgleichung aus, allerdings wirdhier unsere Schaltung mit einem Diracimpuls statt mit einer Sprungfunktion angeregt:

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> g1 := R*(diff(Q(t), t)) + Q(t)/C = Dirac(t)

g1 :=R

d

dtQ(t)

+

Q(t)

C= Dirac(t)

Die Gleichung wird in den Frequenzbereich transformiert,

> g2 := fourier(g1, t, omega)

g2 :=(IR C+ 1) fourier(Q(t), t,)

C= 1

und sie wird nach der Fouriertransformierten der Ladung aufgelost:

> Qof := solve(g2, fourier(Q(t), t, omega))

Qof := C

IR C+ 1

Die Ubertragungsfunktion, d. h. die Ausgangsspannung der Schaltung in Abhangigkeitvon der Eingangsfrequenz, erhalten wir nach u() =q()/C zu:

> H := Qof/C

H := 1

IR C+ 1

Die Impulsantwort ist die Rucktransformierte der Ubertragungsfunktion.

> h := invfourier(H, omega, t)

h:=e tRC Heaviside(t)

RC

Im Plot erkennt man deutlich, wie die Spannung am Ausgang nach der Anregung mitdem Impuls exponentiell abfallt, statt sofort auf null zuruckzugehen:

> plot(subs(R=1, C=1, h), t=-2..5, axes=boxed)

50


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t

K 1 0 1 2 3 4 5

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

Schwingkreis

Es soll nun der Schwingkreis aus Beispiel2(Seite41) berechnet werden. Wir deklarierendie Konstanten und beginnen wieder bei den von uns ermittelten DGL:

> with(inttrans):

> assume(R > 0); assume(C > 0); assume(L > 0);

> deq1 := L*(diff(i(t), t)) + h(t) - Dirac(t)

> deq2 := h(t)/R + C*diff(h(t), t) - i(t)

deq1 :=L

d

dti(t)

+ h(t) = Dirac(t)

deq2 :=h(t)

R+ C

d

dth(t)

= i(t)

Wir gehen mit diesen Gleichungen in den Frequenzbereichuber:

> eq1 := fourier(deq1, t, omega)

> eq2 := fourier(deq2, t, omega)

eq1 :=f ourier(h(t), t,) + I L fourier(i(t), t,) = 1

eq2 :=(IC R+ 1) fourier(h(t), t,)

R=f ourier(i(t), t,)

Aus der ersten Gleichung bestimmen wir i1() = F {i(t)},> i1 := solve(eq1 = 0, fourier(i(t), t, omega)

51


52/163

i1 :=I (fourier(h(t), t,) 1)

L

und setzen es in die Gleichung eq2 ein:

> eq2a := subs(fourier(i(t), t, omega) = i1, eq2)

eq2a:= (IC R + 1) fourier(h(t), t,)

R I (fourier(h(t), t,) 1)

L

Daraus erhalten wir dann die Ubertragungsfunktion durch auflosen:

> H := solve(eq2a = 0, fourier(h(t), t, omega))

H := IR

IL 2 CR+ L IR

Der Amplitudengang |H()| =

(Re{H()})2 + (Im{H()})2 zeigt, wie beim Schwingkreiserwartet, einen Peak an der Resonanzfrequenz.

> plot(subs(C=1, L=1, R=10, abs(H)), omega=0..4)

w

0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

52


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3 Diskrete Signale und Systeme

3.1 Einfuhrung

Signale und Signalformen sind wesentlich zum Verstandnis physikalischer Messsysteme.Ein Signal kann auf seinen Defintionsbereich auf der Zeitachse oder auf seinem Werte-bereich diskret7 oder kontinuierlich8 sein. Ein Signal ist kontinuierlich, wenn es beliebigeWerte annehmen kann, sonst wird es wertdiskret genannt. Ein Signal ist zeitkontinuier-lich, wenn die Kenntnis seines Wertes zu jedem beliebigen Zeitpunkt erforderlich ist,andernfalls wird es zeitdiskret genannt. Ein wertdiskretes Signal nennt man auch zwei-wertig oder auch binar.

3.2 Klassifizierung von Signalen

Abbildung 15: Klassifierzierung von Signalen

Die Umwandlung eines wertkontinuierlichen Signals in ein wertdiskretes Signal, nenntman Quantisierung. Im Gegensatz dazu nennt man die Umwandlung von einem zeitkon-tinuierlichen in ein zeitdiskretes Signal Abtastung. Das zeit- und wertdiskrete Signalkann durch die Codierung, zum Beispiel ein binares Signal, weiterverarbeitet werden.

7diskret =

abzahlbar8kontinuierlich =

nicht abzahlbar

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3.3 Abtastung im Zeitbereich

Unter Abtastung versteht man die Aufnahme von Messwerten zu diskreten Zeitpunkten.Somit wird ein zeitkontinuierliches Signal in ein diskretes Signal umgewandelt. Hierbei

ist vor allem die Abtastrate von hoher Bedeutung, da sie die Anzahl der Abtastungen proSekunde angibt. Der Grundsatz der Abtastung liegt darin, dass mehrere Werte (Signal)uber einen groen Zeitraum hinweg aufgezeichnet werden. Diese Werte wandelt man imFolgenden in digitale Messwerte um. Die Abtastung ist also eine wiederholte Messungdes Signals fur kurze Zeiten (Abb.16).

Abbildung 16: Abtastung im Zeitbereich

3.3.1 Idealer Abtaster

Der ideale Abtaster ist so definiert, dass das Signal nicht uber einen umfangreichenZeitraum um den Abtastzeitpunkt die Abtastwerte sammelt, sondern genau zu demZeitpunkt selbst. Mathematisch lasst sich der ideale Abtaster mit einer Summation vonDirac-Stoen beschreiben.

sa(t) =

n=(t nT) s(t)

3.3.2 Realer Abtaster

Der ideale Abtaster lasst sich naturlich nicht realisieren, da wir keine idealen Dirac-Stoeerzeugen konnen. Durch die Abtastung wird das Signal eher uber einen Zeitraum umden eigentlichen Abtastzeitpunkt erfasst. Zum anderen benotigen wir einen idealen Tief-pass, der fur die Ruckgewinnung des Signals erforderlich ist. Jedoch ist so ein Tiefpassnicht realisierbar. Naturlich gibt es fur beide Probleme einen Ansatz zur Behebung desProblems. Mit der Sample-and-Hold-Schaltung kann man die Dirac-Stoe durch einen

54


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Abbildung 17: Ideale Abtastung

Rechteckimpuls korrigieren. Die Schwierigkeit mit dem Tiefpass lasst sich mit der Er-hohung der Abtastfrequenz umgehen. Dadurch werden die Einzelspektren weiter au-

seinander gedehnt:

sa(t) =

n=rect

t nT

T0

.

Abbildung 18: Reale Abtastung

3.3.3 Scha-Funktion

Definition 3.1 Scha-Funktion

X(t) =

n=(t n)

Die Bezeichnung kommt von der Ahnlichkeit mit dem kyrillischen Buchstaben X (

Scha), dieFunktion wird aber auch oft Dirac-Kamm genannt.

55


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Bilden wir die Fourier-Transformierte von der X-Funktion, so erhalten wir das folgendesTransformationpaar

X(t) X

2

Mit dieser Formulierungen konnen wir den idealen Abtaster darstellen, als

sa(t) = 1

TX

t

T

s(t)

Durch die Verwendung des Ahnlichkeitssatzes erhalten wir

1

TX

t

T

X

T

2

Sa() = XT 2 S() =

T 2 n S

d Mithilfe der Substitution F = T 2 und weiteren Umforungen erhalten wir

SA() =

n=

(F n) S

2FT

dF

2

T

=

n=S

2n

T

2

T

Dabei fallt auf, dass SA() periodisch ist. Die Periodenlange der Funktion ist 2T. Ab-bildungen19 und 20 verdeutlichen dies.


Die Bedingung zur Rekonstruktion eines Signals ist

g < 2

T g T <

g.

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3.4 Abtasttheoreme

Die Signalrekonstruktion ist moglich wenn T < g gilt.

3.4.1 Nyquistrate

Unter der Nyquistfrequenz versteht man die Grenzfrequenz. Sie ist die hochste im an-fanglichen Signal auftauchende Frequenz. Unter der so genannten Nyquistrate, verstehtman die Frequenz 2f, die von der Abtastfrequenzuberschritten werden muss.

T g

= 1

2f

3.4.2 Unterabtastung

In der Signalverarbeitung redet man von Unterabtastung (Undersampling), wenn das

Signal mit einer Abtastrate, die niedriger als die Nyquist-Rate ist, diskret abgetastetwird. Die Unterabtastung zieht allerdings mehrere Probleme nach sich und erschwertdie erneute Rekonstruktion des Signals. Zum einen gehen durch die nicht vollstandigeReproduktion der Bestandteile des Signals Information verloren, zum anderen entstehenStorfrequenzen (Spiegelfrequenzen).

T >

g

3.4.3 Ubertastung

In der Signalverarbeitung redet man von Uberabtastung (Oversampling), wenn das Sig-nal mit einer gegenuber der Nquist-Rate erhohten Abtastrate analysiert wird. DieseAbtastrate ist dabei groer, als die Signalbandbreite. Diese Abtastung zeigt im Gegen-satz zur Unterabtastung einige applikative Anwendungen. Sie wird bei SC-Filtern, DA-und AD-Wandlern verwendet.

T <

g

57


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Abbildung 21: Unterabtastung

Abbildung 22: Uberabtastung

3.5 Signalrekonstruktion im Frequenzbereich

Fur die Ruckgewinnung des abgetasteten Signals benotigen wir die Ubertargungsfunk-tion

H(f) = 1

2rect

2g

und erhalten somit das Signal

S() =T

2SA() rect

2g

Dies gilt allerdings nur wenn die wichtige Bedingung T < g zutrifft.

s(t) =T

2

1

TX

t

T

s(t)

g

X(gt)

58


59/163

Dabei sei zu beachten, dass T = 2fg gilt.

s(t) =

n=

(t nT) s(t) si(g(t t)) dt

=

n=s(n T) si(g(t n T))

=

n=s(n T) si

T

(t T)

Ein bandbegrenztes Signal kann durch eine Linearkombination von si-Funktionen dargestelltwerden.

3.6 Abtastung im Frequenzbereich

In vergleichbarem Stil wie die Zeitfunktion s(t) lasst sich auch die FrequenzfunktionS() durch frequenzdiskrete Werte ausdrucken. Durch das Systemtheorems der Fourier-Transformation erhalt man einenahnlichen Ausdruck wie im vorigen Kapitel.

Sp(f) = S(f)1FX

f

F

Signal SignalZ eitbereich abgetastet periodisch

F requenzbereich periodisch abgetastet(Linienspektrum)

F {g(t)} = 12 T rect

T

2

T0 si

T0

2

2

T

k=

k 2

T

59


60/163

3.7 Aufgaben

3.1 Eine Menge von Funktionen sei durch

fn(t) =si((t n))n Z

gegeben. Zeigen Sie, dass

fn1(t) fn2(t)dt=

0, furn1=n21, furn1= n2

gilt. Verwenden Sie die Parseval-Identitat:

s(t) g(t)dt= 12

F{s(t)} F {g(t)}d

60


61/163

Maple: Diskrete Signale und Systeme

Fouriertransformation eines Deltaimpuls-Kamms

Die Darstellung von abgetasteten bzw. diskreten Signalen in Maple ist auf mehrere Artenmoglich. Eine Moglichkeit ist die Darstellung als kontinuierliche Funktion, wobei dieFunktion allerdings nur zu ganzzahligen Zeiten ungleich null ist. Ein Beispiel fur so eineFunktion ist der Dirac-Kamm. Wir konnen ihn mit Hilfe der sum-Funktion folgender-maen definieren:

> KammN := sum(Dirac(t - n), n=-N..N)

KammN :=N

n=NDirac (t n)

Davon berechnen wir nun die Fouriertransformation:

> with(inttrans):

> KammNf := fourier(KammN, t, omega)

KammNf :=eI

eI(N+1) + eIN1 + eI

Unter verwendung dersubs-Funktion von Maple substituieren wirN = 3in dieser Formelund plotten so die Transformierte eines Kamms mit 7 Impulsen:

> plot(subs(N = 3, abs(KammNf)), omega=-20..20)

w

K 2 0 K 1 0 0 1 0 2 0

1

2

3

4

5

6

7

Wir erhalten ein kontinuierliches transformiertes Signal. Deutlich zu erkennen ist der

Leakage-Effekt, aufgrund dessen die Transformierte der Dirac-Stoe einen si-artige

Form annimmt. Auf diesen Effekt wird im nachsten Kapitel naher eingegangen.

61


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Signal-Rekonstruktion

Das Signal, das wir hier abtasten und wieder rekonstruieren wollen, soll eine einfacheSinus-Funktion sein. Die Abtastung und Rekonstruktion erfolgt in einem Zug:

> sr := sum(sin(n*dT)*si(Pi*(t-n*dT)/dT), n=-N..N)

sr:=N

n=Nsin(n dT)si

(t n dT)

dT

Die si-Funktion, die nach Kap.3.5zur Rekonstruktion eines abgetasteten Signals benotigtwird, ist in Maple nicht vordefiniert, weshalb wir dies hier nachholen:

> si := x -> sin(x)/x:

Die Nyquist-Rate der Sinusfunktion ist in etwa dT = 1,57. Tastet man mit einer niedrigeren

Abtastrate ab, so wird die Rekonstruktion des Signals unvollstandig. (Abb.23)

> plot(subs(N=20, dT=5, sr), s(t), t=-10..10);



t

K 1 0 K 5

0

5 1 0

K 1 . 0

K 0 . 5

0 . 5

1 . 0

(a) dT = 5

t

K 1 0 K 5

0

5 1 0

K 1 . 0

K 0 . 5

0 . 5

1 . 0

(b) dT = 3

t

K 1 0 K 5

0

5 1 0

K 1 . 0

K 0 . 5

0 . 5

1 . 0

(c) dT = 1

Abbildung 23: Rekonstruktion einer Sinusfunktion nach Abtastung mit verschiedenenAbtastraten.

Weitere Hilfsmittel fur die Arbeit mit diskreten Signalen

Eine weitere Moglichkeit, diskrete Signale in Maple darzustellen, bietet die Verwendungvon Wertetabellen oder -listen. Eine Liste in Maple ist eine geordnete Aneinanderrei-hung von Werten. Man definiert eine Liste, indem man die Werte der Liste in eckigenKlammern, durch Kommata getrennt, hinteinanderschreibt:

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> ls := [a, b, c, d, e]

ls:= [a,b,c,d,e]

Man greift auf ein Element der Liste mit dem Auswahloperator [...] zu:

> ls[2] + ls[5]

b + e

Anstatt jeden einzelnen Wert der Liste von Hand einzugeben, kann man die seq-Funktionvon Maple verwenden. Diese Funktion erzeugt, wenn sie in der Formseq(f(i), i=1..n)aufgerufen wird, eine Sequenz von Werten f(), f(), . . . , f (n).

> [seq(evalf(sin(n)), n=-3..3)]

[.141,.909,.841, 0., .841, .909, .141]

Uber das Schachteln von Listen ist es beispielsweise moglich, Koordinatenpunkte ef-fizient abzuspeichern. Im folgenden erzeugen wir eine Liste [a, a, a, . . . ] von Paarenan= [n, sin(n)]. Die listplot-Funktion aus dem Paket plots ist in der Lage, solcheListen grafisch darzustellen. Wir weisen das Programm mit style=linean, die Koordi-natenpunkte mit Linien zu verbinden.

> ls := [seq([n, evalf(sin(n))], n=-3..3)];

> with(plots):

> listplot(ls, style=line);

ls:= [[3,.141], [2,.909], [1,.841], [0, 0.000], [1, .841], [2, .909], [3, .141]]

K 3 K 2 K 1 1 2 3

K 0 . 8

K 0 . 6

K0 . 4

K 0 . 2

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

Mochte man auf ein Element einer solchen mehrdimensionalen Liste zugreifen, kann manentweder zwei Auswahloperatoren hintereinander einsetzen, oder aber man greift auf eineabkurzende Schreibweise zuruck:

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> ls[1][1]; ls[1,2];

3

0.141

Mochte man eine Funktion auf alle Eintrage einer Liste anwenden, so ist der map-Befehlhilfreich. Ihm wird als erstes Argument eine Funktionubergeben, die dann auf die Ein-trage der Liste im zweiten Argument angewendet wird:

> l1 := [1, 2, 3, 4, 5]:

> map(x -> 2*x, l1)

[2, 4, 6, 8, 10]

Die zip-Funktion verknupft zwei Listenuber eine Operation miteinander:

> l2 := [6, 7, 8, 9, 10]:> zip((x, y) -> x + y, l1, l2)

[7, 9, 11, 13, 15]

Mochte man eine Liste aus den Werten von zwei anderen Listen erstellen, d. h. eineListe an eine andere anhangen, kann man den leeren Auswahl-Operator verwenden, derdie Liste wieder in eine einfache Komma-getrennte Aneinanderreihung ihrer Elementeumwandelt:

> l3 := [l1[], l2[]]

l3 := [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

Oftmals ist es notwendig, komplexere Operationen an Listen durchzufuhren, die durchdie einfachen Hilfsfunktionen, die Maple bietet, nicht abgedeckt werden. In diesen Fallenkommt eine for-Schleife zum Einsatz. In ihr wird eine Variable in festen Schrittenhochgezahlt und der Korper der for-Konstruktion (der durch do und end do einge-grenzte Code) wird fur jeden Wert dieser Variable ein mal ausgefuhrt.

In diesem Beispiel soll die Variable ges

> ges := 0:die Summe der ungeraden Elemente von l3 enthalten:

>1 for i from 1 by 2 to 9

2 do

3 ges := ges + l3[i]

4 end do;

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ges := 1

ges := 4ges := 9

ges := 16

ges := 25

In einem weiteren Beispiel soll die Reihenfolge der Elemente vonl3 umgedreht werden:

>1 for i from 1 to 5

2 do

3 zw := l3[i]

4 l3[i] := l3[10 - (i-1)]

5 l3[10 - (i-1)] := zw6 end do:

Der Doppelpunkt hinter der end do-Anweisung verhindert die Ausgabe der zwischen-ergebnisse innerhalb des Schleifenkorpers. Das Ergebnis ist wie gewunscht:

> l3;

[10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

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placeholder


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4 Numerische Berechnung der Fouriertransformation

Seit dem Aufkommen von immer kleineren, schnelleren und kostengunstigeren digital-en Systemen ist es moglich geworden, in zahlreichen technischen Anwendungen auch

komplexere und rechenintensivere Verfahren zum Einsatz kommen zu lassen. Die Fouri-ertransformation gehort zu den wichtigsten dieser Verfahren, da viele Operationen anSignalen, insbesondere die Faltung, erst im Frequenzbereich effizient durchgefuhrt wer-den konnen.

Abbildung 24: Anwendung der Fouriertransformation in einem Filter.

Digitale Komponenten sind dabei allerdings nicht in der Lage, analytische Berechnun-gen an kontinuierlichen Signalen durchzufuhren. Zur Verarbeitung mussen diese deshalb

abgetastet werden. Die Berechnung selbst muss dann mit numerischen Methoden erfol-gen.

4.1 Diskrete Fouriertransformation

Fur die numerische Berechnung der Fouriertransformation existiert mit der FFT einesehr effiziente Berechnungsvorschrift.9 Die Grundlage dafur ist die diskrete Fouriertrans-formation (DFT), die sich, wie sich im Laufe des Kapitels zeigen wird, analog zur Fouri-ertransformation von kontinuierlichen Signalen verhalt.

Entsprechend dem vorangegangenen Kapitel werden zu bestimmten Abtastzeiten

tn= nT mit n = 0 . . . N 1

Abtastwertesn= s(nT)

9Fast Fourier Transform,

schnelle Fouriertransformation

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bestimmt. Daraus ergibt sich sofort eine maximale Grenzfrequenz

=

T.

Signalcharakteristika hoherer Frequenzen fallen zwischen die Abtastzeiten und konnennicht mehr erfasst werden.

Umgekehrt muss auch der Frequenzbereich diskretisiert werden:

n= 2fn= 2nf mitn =

N

2 + 1

. . .

N

2

Analog zum Zeitbereich ergibt sich eine obere Abtastrate

f= 1

NT.

Man erkennt, wie eine Erhohung der Anzahl der Abtastwerte zu einer feineren Frequen-zauflosung fuhrt.

In realen Anwendungen sind Signale nun immer beschrankt und selten in ihrer Ganzheiterfassbar. Deshalb definiert man die Kurzzeit-Fouriertransformation, die ein Signal nurdurch ein eingeschranktes Zeitfenster betrachtet. Da das Signal allerdings diskret ist,kann man vom Integral auf die Summenschreibweise zuruckkehren.

S(fn) =

T0

s(t) ejnt dt

N1

k=0 s(tk) e(2jn 1NT tk)

T

=N1k=0

sk ej2nkN T

In der Praxis bevorzugt man es, die Abtastweite Tnicht mit in die weitere Berechnungzuubernehmen. Man definiert also:

Definition 4.1 Diskrete Fouriertransformation (DFT)

Sn=N1

k=0 ske2jnkN

Sn wird auch im Diskreten als Spektrum bezeichnet.

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Anmerkungen

Man sieht leicht ein (z. B. durch Einsetzen), dass das Spektrum der diskreten Fourier-transformation periodisch ist, so dass gilt:

SN2 =SN2

Diese Eigenschaft der DFT wird uns spater noch zu Gute kommen. Auerdem ist dieDFT eine lineare Abbildung der Form CN CN. Das bedeutet, dass es moglich ist, eineMatrix

Mnk =

e2jN

nkzu definieren, so dass man die DFT unter Zuhilfenahme der Vektordarstellungen desSignals und seines Spektrums

s=

s0

s1...

sN1

, S=

S0

S1...

SN1

auch wie folgt beschreiben kann:

Definition 4.2 Diskrete Fouriertransformation (Vektorschreibweise)

S= Ms

Dies gibt uns bereits einen Hinweis auf eine naive Methode zur numerischen Berech-nung, bei der allerdings der Rechenaufwand fur das Matrixprodukt mit N N = N2Multiplikationen relativ hoch ist.

4.2 Parsevaltheorem der Diskreten Fouriertransformation

Auch im Diskreten gilt das Parsevaltheorem der Fouriertransformation, das wir bereitsin Kap.2.5eingefuhrt haben. Mit der Matrix-Schreibweise konnen wir es allerdings unterVerwendung von Begriffen aus der linearen Algebra anders ausdrucken. Damit besagtes, dass die Matrix

1N

M

eine unitare Matrix ist.

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Definition 4.3 Unitare Matrix

Eine komplexe Matrix U heit unitar, falls gilt

(U)TU= I.

Dabei bezeichnet I die Einheitsmatrix. Man schreibt

U:= (U)T.

Der Beweis des Parsevaltheorems wird durch einfaches Einsetzen in die Definition derunitaren Matrix gefuhrt. Man erhalt:

1N

M 1

NM

nm

= 1

N

(M)TM

nm

= 1N

N

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