SMS Mathematik

Mathematik

Schnell-Merk-System

5. bis 10. Klasse

Duden

Dudenverlag Mannheim . Leipzig . Wien . Zürich

DUDEN PAETEC SchulbuchverlagBerlin . Frankfurt a. M.

2

Inhaltsverzeichnis

3

1. Grundbegriffe und Symbole 4Mathematische Zeichen und Symbole 4 · Mengen 6 ·Zahlenmengen 7TOPTHEMA Zahlensysteme und Zahlzeichen 8

2. Zahlen und Rechnen 8Natürliche Zahlen 10 · Bruchzahlen 16 · Prozentrechnung 18 · Zinsrechnung 19TOPTHEMA Dreisatzrechnung 20Ganze Zahlen 22 · Rationale Zahlen 23 · Reelle Zahlen 24 · Potenzen 25 · Wurzeln 26 · Logarithmen 27

3. Gleichungen und Ungleichungen 28Terme und Variablen 28 · Begriffe der Gleichungs-lehre 31 · Äquivalentes Umformen 33 · Lineare Gleichungen 35TOPTHEMA Lösen von Sachaufgaben 36Lineare Ungleichungen 38TOPTHEMA Lösen linearer Gleichungssysteme 40Lineare Gleichungssysteme 42 · QuadratischeGleichungen 43 · Bruchgleichungen und Bruchun-gleichungen 45 · Algebraische Gleichungen höherenGrades 46 · Wurzel-, Exponential- und Logarithmen-gleichungen 47 · Trigonometrische Gleichungen 49

4. Funktionen 50Grundbegriffe und Eigenschaften 50TOPTHEMA Proportionalität 52Lineare Funktionen 54 · Quadratische Funktionen 56 ·Potenzfunktionen 58 · Wurzelfunktionen 60 · Loga-rithmusfunktionen 61TOPTHEMA Exponentialfunktionen und Wachstum 62Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) 64

5. Geometrie 68Grundbegriffe 68 · Konstruktionen 73 · Kongruenzund Bewegung 76 · Dreiecke 78TOPTHEMA Satzgruppe des Pythagoras 82Vierecke 84 · Vielecke 86 · Kreis 88 · Zentrische Streckung und Ähnlichkeit 89 · Körper 91 · Trigono-metrie 96

6. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik 98Kombinatorik 98 · Wahrscheinlichkeitsrechnung 100Beschreibende Statistik 106

Stichwortfinder 110

1

4

1 Grundbegriffe und Symbole

Verknüpfungen

Zeichen/Operatoren

gleich ungleich rund, angenähert entspricht kleiner als

größer als kleiner oder gleich größer oder gleich⇒ wenn …, dann …⇔ genau dann, wenn

+ plus

– minus

· mal, multipliziert mit

a : b; a–b a geteilt durch b

ab a hoch b (Potenz)

√⎯ Quadratwurzel ausn√⎯ n-te Wurzel aus

|x| Betrag von x

% Prozent

‰ Promille

a | b a ist Teiler von b

a |⁄ b a ist nicht Teiler von b

n! n Fakultät

(nk) n über k (Binomial-

koeffizient)

(x;y) geordnetes Paar x, y

proportional

→ Zuordnung

f(x) f von x (Wert derFunktion f an derStelle x)

π Kreiszahl Pi(π = 3,14159…)

e eulersche Zahl (e = 2,71828…)

∞ unendlich

Mengen

Logarithmenlogax Logarithmus x zur

Basis aln x Logarithmus x zur

Basis e

lg x Logarithmus x zurBasis 10

lb x Logarithmus x zurBasis 2

Winkelfunktionensin Sinustan Tangens

cos Kosinuscot Kotangens

Intervalle

Geometrie

5

Mathematische Zeichen und Symbole

A ∩ B Schnittmenge von A und B

Menge der natür-lichen Zahlen

Menge der ganzenZahlen

Menge der rationalenZahlen

Menge der reellenZahlen

L Lösungsmenge

A, B, M1 Mengena; b Menge mit den Ele-

menten a und bx|x = … Menge aller x, für

die gilt: x = … oder ∅ leere Menge ∈ Element von∉ nicht Element von⊆ Teilmenge von⊂ echte Teilmenge vonA ∪ B Vereinigungsmenge

von A und B

rechter Winkel∆ ABC Dreieck A, B, CAB¯¯ ¯ Strecke ABa; G; AB Vektoren

proportional, ähnlich kongruent, deckungsgleich⊥ senkrecht auf|| parallel zu Winkel

·

]a; b[ offenes Intervall[a; b[ halboffenes Intervall

[a; b] abgeschlossenes Inter-vall von a bis b

1

7

1 Grundbegriffe und Symbole

6

Eine Menge ist dieZusammenfassung vonverschiedenen Objektenzu einer Einheit. Die Objekte sind Elementeder Menge.

Mengengleichheit

Zwei Mengen A und B sindgleich, wenn sie dieselbenElemente besitzen.

A ist eine Teilmenge von B,wenn jedes Element von Aauch Element von B ist.Gibt es ein Element in B,das nicht zu A gehört, ist Aechte Teilmenge von B.Die Menge aller Elemente,die in A oder in B oder inbeiden Mengen enthaltensind, bildet die Vereini-gungsmenge A ∪ B.Die Menge aller Elemente,die zu A und zu B gleich-zeitig gehören, bildet dieSchnittmenge A ∩ B (auchDurchschnittsmenge).

Mengen

17

A

A = B

A B

A ⊂ B

A ⊆ B

B

42

3

6 85

A = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 83 ∈ A 3 ist Element von A9 ∉ A 9 ist nicht Element von A

A

A ∪ B

A

ZahlenmengenZahlen-menge

natürlicheZahlen(S. 10)

ganze Zahlen(S. 22)

gebroche-ne Zahlen(S. 16)

rationale Zahlen(S. 23)

reelle Zahlen(S. 24)

Beschreibung

= 0; 1; 2; 3; …* = \ 0 = 1; 2; 3; …(natürliche Zahlen ohne dieNull)

= …; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; …

+ = p–q mit p, q ∈ und q 0

= p–q mit p, q ∈ und q 0

= ∪ irrationale Zah-len (unendlichenichtperiodischeDezimalbrüche)

uneingeschränktausführbareRechen-operationen

Addition,Multiplikation

Addition,Multiplikation,Subtraktion

Addition,Multiplikation,Division (nicht 0)

Addition,Multiplikation,Subtraktion,Division (nicht 0)

Addition,Multiplikation,Subtraktion,Division (nicht 0),Wurzelziehen

Beziehungen zwischen den Zahlenmengen

+

+

A ∩ B

A

B

B

Zahlensysteme und ZahlzeichenTOPTHEMA

Ziffern

Dualsystem

24 23 22 21 20 Dual

Wert 16 8 4 2 1

12 I I O O IIOO

26 I I O I O IIOIO

29 I I I O I IIIOI

Bei der Darstellung der natürlichen Zahlen bilden die Zahl 10und deren Potenzen die Grundlage. Man spricht deshalb vomdekadischen Positionssystem oder vom Dezimalsystem.

Anstelle der 10 kann man auch jede andere Zahl als Basiseines solchen Positionssystems wählen.Wählt man 2 als Basis, erhält man das Dualsystem mit denbeiden Ziffern O und I (O steht für 0, I steht für 1).

Hexadezimalsystem

163 162 161 160 Hex

Wert 4096 256 16 1

25 1 9 19h696 2 B 8 2B8h

6991 1 B 4 F 1B4Fh

Mit 16 als Basis erhält man das Hexadezimalsystem.Die Grundziffern hierbei sind: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,D, E, F. Der Zusatz h kennzeichnet die hexadezimaleSchreibweise.

Römische Zahlzeichen

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

CXI = 111 XL = 40 XCV = 95 CMLII = 952 VIII = 8

Eine andere Art der Darstellung natürlicher Zahlen als Positionssysteme sind römische Zahlzeichen. Folgenkleinere Ziffern auf größere, werden sie addiert. Steht einekleinere vor einer größeren Ziffer, wird sie subtrahiert.

Zum Darstellen natürlicher Zahlen verwendet man Ziffern.Die Zahl Zwölf wurde in den verschiedenen Jahrhunderten und inverschiedenen Ländern unterschiedlich dargestellt: vor 5000 Jahren in Ägypten ∩II vor 3500 Jahren in China –II vor 2000 Jahren im Römischen Reich XII mit arabischen Ziffern 12 im Dualsystem IIOO

8 9

1

Dezimalsystem

StellenwertschreibweiseHeute werden meist die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und9 (auch Grundziffern genannt) verwendet.Dabei kommt auch der Stelle, an der eine Ziffer steht, einegroße Bedeutung zu.

HT ZT T H Z E845 762 8 4 5 7 6 2

Hunderttausender Tausender ZehnerZehntausender Hunderter Einer

2

10

2Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen* = \ 0: Menge dernatürlichen Zahlen ohne die Zahl 0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8 ist der Nachfolger von 7.1 ist der Vorgänger von 2.

Vorgänger Zahl Nachfolger3256 3257 3258

Längenangabe: 7 mMaßeinheit: mMaßzahl: 7

Länge1 km = 1000 m1 m = 10 dm1 dm = 10 cm1 cm = 10 mmMasse1 t = 10 dt = 1000 kg1 dt = 100 kg1 kg = 0,001 t1 kg = 0,01 dt

1 m = 0,001 km1 dm = 0,1 m1 cm = 0,01 m1 mm = 0,1 cm

1 kg = 1000 g1 g = 1000 mg1 g = 0,001 kg1 mg = 0,001 g

Runden

Dies ist das Ersetzen einesZahlenwertes durch einenNäherungswert. Ist dierechts neben der Run-dungsstelle stehendeZiffer eine 0, 1, 2, 3, 4, wirdabgerundet. Bei denZiffern 5, 6, 7, 8, 9 wirdaufgerundet.

Rechnen mit natürlichenZahlen

Addieren ist z. B. das Zu-sammenfassen, Dazuge-ben, Hinzufügen, Vermeh-ren und Verlängern.Summanden können ver-tauscht werden (Kommu-tativgesetz). Klammernkönnen umgesetzt wer-den (Assoziativgesetz).

Subtrahieren ist z. B. dasWegnehmen, Vermindern,Abziehen oder Verringern.Die Subtraktion ist dieUmkehrung der Addition.a + b = c ist gleichwertigmit b = c – a.

1. Summand

7 + 2 = 9 (7 plus 2 gleich 9)

2. Summand

7 + 2 heißt Summe.

a + b = b + a8 + 7 = 15 7 + 8 = 15

a + (b + c) = (a + b) + c6 + (4 + 9) = (6 + 4) + 9

6 + 13 = 10 + 9 = 19

Minuend

8 – 3 = 5 (8 minus 3 gleich 5)

Subtrahend

8 – 3 heißt Differenz.3 + 5 = 8 5 = 8 – 3

Rundungsstelle

3 647 auf Zehner runden3 647 3 650 3 647 auf Hunderter runden3 647 3 600 3 647 auf Tausender runden3 647 4 000

Die Zahlen 0; 1; 2; 3; … usw.bilden die Menge dernatürlichen Zahlen.

Auf jede natürliche Zahlfolgt ihr Nachfolger.Zu jeder natürlichen Zahl(außer der ersten) gibt eseine vorangehende Zahl,ihren Vorgänger.

Messen mit natürlichenZahlen

Dabei wird bestimmt, wieoft die Maßeinheit in derGröße enthalten ist.

11

2

13

2 Zahlen und Rechnen

12

Rechnen mit natürlichenZahlen

Multiplikation ist diemehrfache Addition gleicher Summanden. Die Multiplikation vonnatürlichen Zahlen istimmer ausführbar undeindeutig. Ein Produkt ist 0, wenn(mindestens) ein Faktor 0 ist. Ein Produkt natürlicherZahlen, in dem kein Faktor0 ist, ist nie kleiner als eineinzelner Faktor.

Faktoren könnenvertauscht werden (Kommutativgesetz).Faktoren darf manbeliebig zusammenfassen(Assoziativgesetz).

Eine Summe oderDifferenz wird mit einemFaktor multipliziert, indemman jede Zahl mit diesemFaktor multipliziert unddie entstehenden Produkteaddiert oder subtrahiert(Distributivgesetz).

12 + 12 + 12 = 3 · 12 = 36

1. Faktor

4 · 8 = 32 (4 mal 8 gleich 32)

2. Faktor

4 · 8 heißt Produkt.

a · 0 = 0 · a = 0

a · b = c 1 · 9 = 9c a 9 1c b 9 9

a · b = b · a5 · 7 = 35 7 · 5 = 35

a · (b · c) = (a · b) · c3 · (4 · 2) = 3 · 8 = 24(3 · 4) · 2 = 12 · 2 = 24

a · (b ± c)= a · b ± a · c5 · (8 – 4) = 5 · 8 – 5 · 4= 40 – 20 = 20

Die Umkehrung der Multi-plikation ist die Division.a · q = c ist gleichwertigmit q = c : a (a ≠ 0). ImBereich der natürlichenZahlen ist die Division nurdann uneingeschränktausführbar, wenn derDividend ein Vielfaches(S. 15) des Divisors ist. Die Division durch 0 istnicht definiert (n. d.). a : 1 = a und a : a = 1,weil a · 1 = a Eine Summe oderDifferenz kann gliedweisedividiert werden(Distributivgesetz).

Quadrieren ist dieMultiplikation einer Zahlmit sich selbst.a2 = a · a = c

Potenzieren ist die n-fache Multiplikationeiner Zahl mit sich selbst.

an = a · a · a · … · a = c= n-mal Faktor a a0 = 1 a1 = a

Dividend

32 :8 = 4 (32 durch 8 gleich 4)

Divisor

32 : 8 heißt Quotient.

55 : 1 = 5555 : 55 = 1, weil 55 · 1 = 55

(a ± b) : c = a : c ± b : c321 : 3 = (300 + 21) : 3

= 300 : 3 + 21 : 3= 100 + 7 = 107

Exponent

QuadratBasis

Exponent

43 = 64 (4 hoch 3 gleich 64)

PotenzBasis

25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

90 = 1 260 = 171 = 7 3271 = 327

72 = 49 (7 zum Quadrat gleich 49)

2

15


14

Rechenregeln

Was in Klammern steht,wird zuerst berechnet. Punktrechnung geht vorStrichrechnung.

(8 – 4) · 3 + 2 =

4 · 3 + 2 =

12 + 2 = 14

Teilbarkeitsregeln

Teiler Regel (n ∈∈ ) Beispieln Null ist durch jede Zahl n teilbar, aber 0 : 12 = 0

nicht durch sich selbst. 0 : 0 = nicht definiert

n Jede Zahl n ist durch sich selbst teilbar. 13 : 13 = 1

1 Jede Zahl n ist durch 1 teilbar. 17 : 1 = 17

2 Eine Zahl n ist durch 2 teilbar, wenn 208 : 2 = 104die letzte Ziffer 0; 2; 4; 6 oder 8 ist. 35 : 2 =

nicht teilbar

3; 9 Eine Zahl n ist durch 3 bzw. 9 teilbar, 96 : 3 = 32wenn ihre Quersumme (Summe der Quersumme:einzelnen Ziffern) durch 3 bzw. 9 + 6 = 159 teilbar ist. 15 : 3 = 5

4 Eine Zahl n ist durch 4 teilbar, wenn 716 : 4 = 179die letzten beiden Ziffern eine durch 16 : 4 = 44 teilbare Zahl bilden.

5 Eine Zahl n ist durch 5 teilbar, wenn 845 : 5 = 169die letzte Ziffer 0 oder 5 ist. 1020 : 5 = 204

6 Eine Zahl n ist durch 6 teilbar, wenn 558 : 6 = 93sie sowohl durch 2 als auch durch 558 : 2 = 2793 teilbar ist. 558 : 3 = 186

8 Eine Zahl n ist durch 8 teilbar, wenn 1136 : 8 = 142die letzten drei Ziffern eine durch 136 : 8 = 178 teilbare Zahl bilden.

Teiler und Vielfachesa ist Teiler von b (a | b),wenn es ein n (n ∈ *)gibt, sodass a · n = b.

gT (a, b) ist gemeinsamerTeiler von a und b, wenngT (a, b) sowohl a alsauch b teilt.

Zur Bestimmung desgrößten gemeinsamenTeilers, ggT, multipliziertman die höchsten Poten-zen aller Primfaktoren,die sowohl in der Zerle-gung von a als auch vonb vorkommen.

ggT(28, 42) = 2 · 7 = 14, da28 = 2 · 2 · 7; 42 = 2 · 3 · 7

b heißt Vielfaches von a,wenn a ein Teiler von bist.

gV (a, b) ist gemeinsamesVielfaches von a und b,wenn sowohl a als auch bTeiler von gV (a, b) ist.

Zur Bestimmung deskleinsten gemeinsamenVielfachen, kgV, multi-pliziert man die höchs-ten Potenzen aller Prim-faktoren beiderZerlegungen.

kgV(12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60,da 12 = 22 · 3; 15 = 3 · 5

Primzahlen sind nur durch1 und sich selbst teilbar.1 ist keine Primzahl.

Die Zerlegung einer Zahlals Produkt aus Primzah-len heißt Primfaktor-zerlegung.

Zahlen, die nur die 1 alsgemeinsamen Teilerhaben, sind teilerfremd.

2 3 5 7 11 13 17 19 2329 31 37 41 43 47 53 5961 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127⎫⎬⎭

⎫⎬⎭

60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5140 = 2 · 2 · 5 · 7 = 22 · 5 · 7

9 und 10 sind teilerfremdT9 = 1; 3; 9T10 = 1; 2; 5;10

2

17


16

echte Brüche:

unechte Brüche:

gleichnamige Brüche:

BruchzahlenEin Bruch a–b wird durch denZähler a und den Nennerb gebildet (a, b ∈ ; b ≠ 0).Brüche mit dem Zähler 1 heißen Stammbrüche.

Jeder Bruchzahl ist genauein Punkt auf demZahlenstrahl zugeordnet.

Bei einem echten Bruch istder Zähler kleiner als derNenner, bei einem unech-ten Bruch größer odergleich.

Brüche mit gleichemNenner heißen gleich-namig, ansonsten un-gleichnamig.

Echte Brüche geben denAnteil an einem Ganzenan. Der Nenner gibt dieZahl der Teile an, derZähler gibt an, wie vieledieser Teile den Wert desBruchs ausmachen.

b–a ist der Kehrwert (dasReziproke) von a–b .

1 2 5 17–, –, –, –2 3 4 10

1 1 1 1 1 –, –, –, –– , –2 3 5 10 12

Bruchstrich

Zähler––––––Nenner

1–5

3–5

12 –5

6––10

11––5

210

210

1 8 25–, –– , –5 23 27

8 25 78–, –– , –7 22 78

1 4 18–, –, –5 5 5

1–2

1–4 3–

4

a b– · – = 1b a

7 9 63 – · – = –– = 19 7 63

a a · c– = ––– (c 0)b b · c

a b a + b– + – = –––– (a, b, c ∈ ; c 0)c c c

a a : c– = ––– b b : c

2 2 · 3 6– = ––– = –– 5 5 · 3 15

12 12 : 6 2–– = –––– = –18 18 : 6 3

12 24 3 60 –– = –– = –– = –––– 20 40 5 100

13 12 13 + 12 25 –– + –– = –––––––––– = –– 27 27 27 27

a b a – b– – – = –––– c c c

13 12 13 – 12 1 –– – –– = –––––––––– = –– 27 27 27 27

Vergleich:12 17 36 34 –– und –– –– ––22 33 66 66

Zum Erweitern werdenZähler und Nenner mit der-selben Zahl multipliziert.Beim Kürzen werdenZähler und Nenner durchdieselbe Zahl dividiert.

Der Wert eines Bruchesändert sich durch Erwei-tern und Kürzen nicht.Zwei Brüche lassen sichstets gleichnamig machenund so vergleichen.Derjenige Bruch ist größer,der auf dem Zahlenstrahlweiter rechts liegt.

Rechnen mit Bruchzahlen

Gleichnamige Brüchewerden addiert bzw.subtrahiert, indem mandie Zähler addiert bzw.subtrahiert und den Nen-ner beibehält. Ungleich-namige Brüche müssenerst gleichnamig gemachtwerden.

Beim Multiplizierenwerden jeweils die Zählerund Nenner miteinandermultipliziert.

c 0 und c | a und c | b

2 11 5 12 0 –– –– –– ––5 10 3 5

(a, b, c ∈ ; c 0; a b)

a c a · c– · – = –––– (a, b, c, d ∈ )b d b · d

3 6 3 · 6 18 9–– · –– = –––– = –– = –– 4 7 4 · 7 28 14

4 12 4 · 12⁄ 28 –– · –– = –––––– = ––

6 23 16⁄ · 23 23

2

19


18

Rechnen mit Bruchzahlen

Beim Dividieren wird mitdem Kehrwert diesesBruches multipliziert.

Brüche, mit einer Potenzvon 10 im Nenner heißenDezimalbrüche. Alle Brü-che a–b lassen sich durch Di-vision von a durch b in De-zimalbrüche umwandeln.

ProzentrechnungEin Prozent ist ein Hun-dertstel einer Bezugs-größe G, dem Grundwert.Die Angabe p% heißt Pro-zentsatz, die Zahl p heißtProzentzahl (Prozent-punkt). Der Wert W, derdem Prozentsatz entspricht,heißt Prozentwert.

Grundgleichung derProzentrechnung:

W p Wp% = –– oder –––– = ––G 100 G

Prozentwert:p · GW = p% · G oder W= ––––100

a c a · d– : – = –––– (a, b, c, d ∈ )b d b · c

3 6 3 · 7 21 7–– : –– = ––––––– = –– = ––4 7 4 · 6 24 8

a 1 1–– (a, n ∈ ) –– = –– = 0,110n 10 101

1 1 32––– = –– = 0,01 –––– = 0,032100 102 1000

25–– = 25 : 8 = 3,1258

2– = 2 : 3 = 0,666666 3

1 G1% von G = G · –– = ––100 100

25 % von 600 W sind

25––– · 600 W = 150 W100

Prozentsatz

Grundwert

Prozentwert

Von 30 Schülern treiben 18 in der Freizeit Sport.

18 6p% = –– = –– = 0,630 10

Das sind 60 % der Schüler.

56 % der 75 Vereinsmit-glieder sind anwesend.

56 · 75 56 · 3W = ––––– = –––– = 42100 4

0,90 W · 100 G = –––––––– = 0,90 W · 4 = 3,60 W25

Das sind 42 Mitglieder.

Grundwert:W W · 100G = ––– oder G = –––––––p % p

Vermindert sich derGrundwert um einenProzentsatz, so ist das einprozentualer Abschlag.Vermehrt sich der Grund-wert um einen Prozent-satz, so ist das einprozentualer Zuschlag.Ursprünglicher Grundwert:

G–G = ––––––––100 % – p % G+G = ––––––––100 % + p %

Zinsrechnung

Die Grundbegriffe und dieGrundgleichung der Zins-rechnung entsprechen de-nen der Prozentrechnung.

Bei der Zinsrechnungspielt die Zeit eine Rolle.Allgemein bezieht sich derZinssatz auf ein Jahr.Ein Zinsjahr entspricht360 Tagen.

Von vier Kindern zahlt jedes0,90 W und damit 25 % fürdas Popcorn im Kino.

Das Popcorn kostet 3,60 W.

prozentualer Abschlag:G– = G · (100 % – p%) bzw.

pG– = G · (1 – –– )

100

prozentualer Zuschlag:G+ = G · (100 % + p%) bzw.

pG+ = G · (1 + –– )

100

Nettopreis: 3,75 W

Mehrwertsteuer: 16 %16G+ = 3,75 W · (1+ –––)100

G+ = 3,75 W · 1,16 = 4,35 W

Bruttopreis: 4,35W

Grundwert G = Kapital KProzentsatz p%= Zinssatz p%Prozentwert W = Zinsen Zp W p Z––– = – = ––– = –100 G 100 K

Monatszinsen:p mZm = ––– · K · ––100 12

Tageszinsen:p tZt = ––– · K · –––100 360

DreisatzrechnungTOPTHEMA

2

20 21

Aufgaben-Check Beispielrechnung für den direkten DreisatzDirekt proportionale ZuordnungDirekt proportionale Zuordnung

Indirekt proportionale Zuordnung

Was ist gesucht?

Was ist gegeben?

Welche Größensind einander zu-geordnet (S. 52)?

Ist es eine direktproportionaleZuordnung?

Ist es eine indirektproportionale(eine umgekehrtproportionale)Zuordnung?

2

1

3

der 1. Größe die 2. Größedem Doppeltendie Hälftedem 5-fachen der 5. Teil

„Je mehr desto weniger“

Ein Maler benötigt einen Tag fürden Anstrich der Wand, zwei Maler benötigen nur 0,5 Tage.Fährt der Zug mit 120 km/h,benötigt er 30 min, bei 180 km/hnur 20 min für dieselbe Strecke.

der 1. Größe die 2. Größedem Doppelten das Doppeltedem 5-fachen das 5-fache

„Je mehr desto mehr“

Ein Brötchen kostet 20 ct,sieben Brötchen kosten 1,40 W.Der Zug benötigt für 80 km 1 hFahrzeit, für 120 km 1,5 h.Ein Werkstück wiegt 875 g,drei Werkstücke 2625 g.

Muss-Regeln

1. Größe 2. Größe

15 kg kosten x W

5 kg kosten 45 W

451 kg kostet –– W = 9 W5

15 kg kosten 15 · 9 W = 135W

Allgemein

a x

A B

B––A

a · B––– = xA

Wir wollen wissen:

Wir wissen:

Wir dividieren:

Wir berechnen x:

1

2

3

Beispielrechnung für den indirekten Dreisatz

Allgemein

a x

A B

A · B

A · B––– = xa

Wir wollen wissen:

Wir wissen:

Wir multiplizieren:

Wir berechnen x:

1

2

3

5 kg einer Ware kosten 453.Wie viel kosten 15 kg dieser Ware?

Bei einer Geschwindigkeit von 45 km––h benötigt man 2 Stun-den. Wie lange braucht man, wenn man mit 30 km––h fährt?

1. Größe 2. Größekm x h30 ––h

km45 –– 2 h h

km1 –– 45 · 2 h = 90 h h

km 90 h = 3 h30 –– ––h 30

Die Größenpaare haben den gleichen Quotienten (↑ S. 35).x BEs gilt: –– = ––a A

Die Größenpaare bilden das gleiche Produkt (↑ S. 35).Es gilt: a · x = A · B

2

23


22

Setzt man die Folge dernatürlichen Zahlen aufdem Zahlenstrahl nachlinks fort, dann erhält mandie negativen Zahlen. Ausdem Zahlenstrahl wird eineZahlengerade. Die Null istweder positiv noch negativ.

Im Bereich der ganzenZahlen ist die Subtraktionuneingeschränktausführbar.

Zahlen, die auf der Zahlen-geraden den gleichen Ab-stand von 0 haben, heißenzueinander entgegenge-setzte Zahlen.Der Abstand einer ganzenZahl g vom Nullpunkt istihr absoluter Betrag | g |(oder Betrag von g).

Bei der Multiplikation undDivision ganzer Zahlen giltfür die Vorzeichen:+ ⋅ + = + + : + = +– ⋅ – = + – : – = +– ⋅ + = – – : + = –+ ⋅ – = – + : – = –

Ganze Zahlen

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

negative Zahlen

ganze Zahlen

natürliche Zahlen

5 – 12 = – 723 – 45 = – 22

Zahl entgegengesetzte Zahl4 –4

–35 35

| g | = g, wenn g positiv oder0 ist

| g | = – g, wenn g negativ ist|x | = 4 ⇒ x1 = – 4; x2 = 4

5 · 9 = 45–5 · –9 = 45–5 · 9 = –45

5 · –9 = –45

10 : 2 = 5–10 : –2 = 5–10 : 2 = –5

10 : –2 = –5

–5–3 –1

–2–4 … 0 3

124

…

Aus den Bruchzahlen, denzu ihnen entgegengesetz-ten Zahlen und der Nullergibt sich die Menge derrationalen Zahlen .

Im Bereich der rationalenZahlen sind alle vier Grund-rechenoperationen (außerDivision durch 0) uneinge-schränkt ausführbar.

Rechnen mit rationalen Zahlen

Addition zweier Zahlenmit gleichen Vorzeichen: Beträge bilden und dieseaddieren, Summe erhält das Vor-zeichen der Summanden.Addition zweier Zahlenmit unterschiedlichenVorzeichen: Beträge bilden, kleineren Betrag vomgrößeren subtrahieren, Summe erhält das Vor-zeichen der Zahl mit demgrößeren Betrag.

2 5– – – + keine7 7

Lösung2 5 3– – – – –7 7 7

(–9) : 2 keineLösung

(–9) : 2 –4,5

+

–2 –1 0 1 2 3–3–2,3– 2,3––1,5 1,51– –

21–2

2 2 4– + – = –7 7 7

–3,2 + (–5,9) = –9,1

– 4,9 + 2,3 = –2,64,9 + (–2,3) = 2,6

1 7 6– + (– –)= – –8 8 8

1 7 6– – + – = –8 8 8

Rationale Zahlen

2

25


24

Rechnen mit rationalen Zahlen

Multiplikation: Betrag vom Produktbilden, Vorzeichen: Das Produktist positiv bei gerader An-zahl der negativen Fakto-ren; null, wenn mindes-tens ein Faktor Null ist;negativ bei ungeraderAnzahl negativer Faktoren.Division: Betrag von a durch b bilden, Vorzeichen: Der Quotientist positiv bei gleichenVorzeichen; negativ beiverschiedenen Vorzeichen.

3,5 · (–2,3) · 5,6 · (–2,1)= 94,668

3,5 · (–2,3) · 5,6 · 0 = 0

–3,5 · (–2,3) · 5,6 · (–2,1) = –94,668

Potenzen

Die Potenz a2 (a ∈ ) heißtQuadratzahl. Die Potenz a3

(a ∈ ) heißt Kubikzahl.

Es gelten folgende Fest-legungen:

1 a1 = a a0 = 1 a–1 = –a

1 a–n = –– (a ∈ ; a ≠ 0)an

0n = 0(00 ist nicht definiert). Der Wert einer Potenzmit negativer Basis istpositiv, wenn der Betragdes Exponenten eine gera-de Zahl ist. Er ist negativ,wenn der Betrag des Expo-nenten eine ungeradeZahl ist.

Potenzgesetze

an · am = an + m

an : am = an – m

an · bn = (a · b)n

a2 = a · a 122 = 12 · 12 = 144a3 = a · a · a 43 = 4 · 4 · 4 = 64

161 = 6 140 = 1 16–1 = ––16

1 113–2 = ––– = –––132 169

04 = 0

1(–2)–4 = ––16

(–2)3 = –8

Reelle ZahlenZahlen, die nicht in derForm a–b (a, b ∈ ; b ≠ 0) dargestellt werden kön-nen, heißen irrationaleZahlen. Als Dezimalbruchsind sie unendlich undnicht periodisch.Zur Menge der reellen Zah-len gehören die rationalenund irrationalen Zahlen.

π = 3,141592…e = 2,718281…√⎯3 = 1,73205…

rational: √⎯121 = 11irrational: √⎯5 = 2,236067…

23 · 25 = 23+5 = 28 = 2560,53 · 0,52 = 0,55 = 0,03125

27 : 24 = 27 – 4 = 23 = 8(–2)3: (–2)4 = (–2)3 – 4 = (–2)–1

1= – –2

33 · 43 = (3 · 4)3 = 123 = 1728

1,44 : 1,2 = 1,2(–1,44) : (–1,2) = 1,2

(–2,8) : 0,7 = –42,8 : (–0,7) = –4

2

27


26

Potenzgesetze

an : bn = (a : b)n

an a–– = (–)nbn b

(an)m = an · m

a n b –n(–) = (–)b a

Aufgepasst: Potenzierengeht vor Punktrechnung.

–4(–4)3 : 23 = (––)3 = (–2)3 = 82

82 8–– = (–)2 = 22 = 442 4

(22)3 = 22 · 3 = 26 = 64

3 32 4–2 4(–)2 = –– = –– = (–)–2

4 42 3–2 3

WurzelnDas Radizieren (Wurzel-ziehen) ist eine Umkeh-rung des Potenzierens.an = c ist gleichbedeutendmit a = n√⎯c.

Wurzelgesetze

Man kann Wurzeln inPotenzen überführen.

mn√⎯am = a–n

(a ≥ 0; m, n ∈ ; m ≥ 1; n ≥ 2)

n√⎯a · n√⎯b = n√⎯a · b

Wurzelexponent

a = n√⎯c

Wurzelwert Radikand

a gleich n-te Wurzel aus c(a ∈ ; a 0; n ∈ ; n 2;c 0)

(n√⎯a )m = n√⎯am

n√⎯a = m · n√⎯a = m√⎯a

Es gilt: n√⎯1 = 1 n√⎯0 = 0n√⎯an = a (a > 0)

√⎯12 · √⎯3 = √⎯36 = 6

(3√⎯8)2 =

3√⎯82 =3√⎯64 = 4

3√⎯81 :3√⎯3 =

381__3 =

3√⎯27 = 3

3√⎯64 =2 · 3√⎯64 =

6√⎯64 = 2

25 = 32 ⇒ log2 32 = 5102 = 100 ⇒ log10 100 = 2

n gleich Logarithmus von czur Basis a

LogarithmenDas Logarithmieren istdie zweite Umkehrungdes Potenzierens.an = c ist gleichbedeutendmitn = loga c (a ∈ ; a > 0;n ∈ ; n ≠ 0; n ≠ 1, c ≥ 0).

Logarithmengesetze

loga (n · m) = loga n + loga m

nloga (––) = loga n – loga mm

loga (nm) = m · loga n

1logas√⎯n = –– · loga n s

log2 (4 · 8) = log2 4 + log2 8= 2 + 3 = 5

27log3 (––) = log3 27 – log3 9 9

= 3 – 2 = 1

log5 (254) = 4 · log5 25 = 4 · 2 = 8

1log24√⎯8 = –– · log2 8

41 3= –– · 3 = ––4 4

m√⎯ n√⎯ 2√⎯

23√⎯52 = 5–3

n√⎯a : n√⎯b = n⎯a_b

3

28 29

3 Gleichungen und Ungleichungen

Eine Variable ist ein Zei-chen für ein Objekt auseiner Menge gleichartigerObjekte. Diese Menge istder Variablengrundbereich(oder Grundbereich) G.

Ein Term ist eine sinnvollemathematische Zeichen-reihe ohne Relations-zeichen.

Terme mit gleichem Wertheißen gleichwertig(äquivalent) in ihremGrundbereich.

Termumformung

Gleiche Variablen mitunterschiedlichen Koeffi-zienten werden in algeb-raischen Summen zu-sammengefasst, indemdie Koeffizienten addiert(subtrahiert) werden.

Terme und VariablenVariablen werden oft durchBuchstaben dargestellt:x, y, a, b, g, A, M

n ∈ n ist eine beliebigenatürliche Zahl

Relationszeichen:, , =, , ,

1Terme: 3 + –; n + 2b; sin x4

kein Term: 7 9; 3x = 15

gleichwertig:126 : 3 und 6 · 7 a2 – b2 und (a + b)(a – b)

Koeffizient

x + x + x + x = 4 · x = 4x ab + ab + ab = 3 · ab = 3ab2x + 4y + 6x – y = 8x + 3y5a2 + b + 4a2 = 9a2 + b

Auflösen von Klammernin algebraischen Summen: bei „+“ vor der Klammer:Klammer weglassen;

bei „–“ vor der Klammer:Klammer und Minusweglassen und bei allenGliedern die Vorzeichenumkehren.

Ein zweigliedriger Termheißt Binom, ein drei-gliedriger Trinom, einmehrgliedriger Polynom.

Ausmultiplizieren einesPolynoms: Jedes Glied desPolynoms in der Klammerwird mit der Variablen(oder Zahl) multipliziert.

Beim Ausklammern wirdjedes Glied des Polynomsdurch die ausgeklammer-te Variable (Zahl) dividiert.

Zwei Polynome werdenmultipliziert, indem manjedes Glied des einenPolynoms mit jedem desanderen multipliziert.

T1 + T2

(3a + 5y) + (4a – y) = 3a + 5y + 4a – y = 7a + 4y

T1 – T2

(3a + 5y) – (4a – y) = 3a + 5y – 4a + y = –a + 6y= 6y – a

Binom:1 1x + y; 3a2 – 4b; – z + – u4 2

Trinom:a2 + b2 + c; 3x – 4y + z

a(x – y + z) = ax – ay + az

2(b2 + 4c – 3x) = 2b2 + 8c – 6x

6x + 8y – 4z = 2 · 3x + 2 · 4y – 2 · 2z = 2(3x + 4y – 2z)

(3a + 4b)(2a – 3b + c) = 6a2 – 9ab + 3ac

+ 8ab – 12b2 + 4bc = 6a2 – ab + 3ac – 12b2 + 4bc

3

31


30

Termumformung

Bei der Division vonPolynomen kann man oftnach dem Ausklammernkürzen.

Binomische Formeln

Einige Binome tretenhäufig auf und nehmen soeine Sonderstellung ein.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

15xy – 3y 3y(5x –1) 5x – 1–––––– = ––––––– = ––––6yz 3y(2z) 2z

(y, z 0)

Höhere Potenzen von Binomen(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

a2

←⎯⎯⎯⎯→

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯→←⎯→

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

←→

←⎯

⎯⎯

⎯→

←→a · b

a · b

a

a

bb

←⎯

⎯⎯

⎯⎯

⎯→

a

←⎯⎯⎯⎯⎯→

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯→

a + b

a + bb a

a b

←⎯

⎯⎯

⎯⎯

→

←⎯

⎯→

a +

b

a –

b

b

abb2

(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2

(5n + 6m)(5n – 6m)= 25n2 – 36m2

(3z – 4u)2

= 9z2 – 24zu + 16u2

Begriffe der GleichungslehreEine Gleichung ist ein ma-thematischer Ausdruck fürzwei Terme, die durch „=“verbunden sind.Bei einer Ungleichungsind zwei Terme durcheines der Zeichen „≠“,„<“,„>“,„≤“,„≥“ verbunden.

Gleichungen und Unglei-chungen ohne Variablensind wahre oder falscheAussagen.Gleichungen und Unglei-chungen mit mindestenseiner Variablen werden zuAussagen, wenn für alleVariablen Werte aus demjeweiligen Grundbereicheingesetzt werden.

4a + 8 = 343x – 4y = 5z + 80,8a – 6 = 2a – 12

43 41 + 8 4n + 3n 5n2a – 3b 36 + 7a3x2 + 7 3x3

wahre Aussage:3 · 25 = 75; 8 · 6 45falsche Aussage:4 · 12 = 412; 3 · 33 98

4x – 6 = 2für x = 2: wahre Aussagefür x = 7: falsche Aussage

1

1

Pascalsches Dreieck

Jede Zeile beginnt undendet mit 1. In die Lückenwird immer die Summeder beiden darüberstehen-den Zahlen geschrieben.Die Summe einer Zahlen-reihe ergibt 2n.

n0 11 1 12 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

23 = 8

32

3

33


Lösen von Gleichungen und Ungleichungen

Jede Zahl oder Größe ausdem Grundbereich, die dieGleichung/Ungleichungerfüllt, heißt Lösung. AlleLösungen zusammen bil-den die Lösungsmenge L.Aufgepasst: Die Lösungs-menge ist abhängig vomGrundbereich.

Nach Ermittlung einerLösung kann man durchEinsetzen in die Aus-gangsgleichung eineProbe durchführen.

Inhaltliche Lösungs-strategien: einfache Überlegungenohne Anwendung formalerRegeln Einsetzen verschiedenerZahlen und systematischesProbieren Rückwärtsschließendurch schrittweise An-wendung der Umkehr-operationen Veranschaulichen durchSkizzen und Symbole etc.

kein Element: L = = ∅genau ein Element

L endlich viele Elementeunendlich viele Elemente

3x + 8 17G = ; L = 3; 2; 1; 0G = ; L = 3; 2; 1; 0; –1; ...G = ; L = x ∈ ; x 3

12x + 14 = 15x + 5L = 312 · 3 + 14 = 36 + 14 = 5015 · 3 + 5 = 45 + 5 = 50Vergleich: 50 = 50

x Aussage1 – 2 = 8 falsch10 70 = 62 falsch6 38 = 38 wahr

8x – 10 = 6x + 2 (x ∈ )

Äquivalenz

Gleichungen bzw. Unglei-chungen mit demselbenGrundbereich und gleicherLösungsmenge heißenzueinander äquivalent.Äquivalente Umformun-gen führen zu äquivalen-ten Gleichungen.

Umformungsregeln

Umformungen auf beidenSeiten einer Gleichung: Seiten vertauschen Addition bzw. Subtrak-tion der gleichen Zahl(Term) Division mit der gleichenZahl (ungleich 0) Multiplikation mit dergleichen (von 0 verschie-denen) Zahl (Term)

Umformungen auf beidenSeiten einer Ungleichung: Seiten vertauschen (mitUmkehrung des Relations-zeichens)

Äquivalentes Umformen

5x – 3 = x + 7 (G = )x + 0,5 = 3 (G = )

Für beide Gleichungen gilt:L = 2,5

22 = x x = 224x + 3 = 27 | – 34x = 24

4x = 24 | : 4x = 6

c– = 4,5 | · 55

c = 22,5

17 xx 17

3

35


34

Umformungsregeln

Addition bzw. Subtrak-tion der gleichen Zahl(Term) Multiplikation mit dergleichen positiven (von 0verschiedenen) Zahl (Term) Division mit der glei-chen positiven (von 0 ver-schiedenen) Zahl (Term) Multiplikation bzw. Divi-sion mit der gleichen ne-gativen Zahl (Term) (mitUmkehrung des Relations-zeichens)

Aufgepasst: Quadrieren,Potenzieren und Radizie-ren sind keine äquivalen-ten Umformungen.

Umformungen nur aufeiner Seite einer Gleichungbzw. Ungleichung: Auflösen von Klammern Ordnen Zusammenfassen

Kürzen von Brüchen Erweitern von Brüchen Ausklammern

3(x – 5) + 4(3 – x) = –73x – 15 + 12 – 4x = –73x – 4x – 15 + 12 = –7–x – 3 = –7

x = 4

x2 + 8x + 16 = 3x + 12(x + 4)2 = 3(x + 4)

2x – 8 16x | –2x–8 14x

a– –4,2 | · 33

a –12,6

7x 35 | : 7x 5

c–– –9 | · (– 5)–5

c 45

(1) 14x –(–3 + 3x)= 2(9 + 4x) – 3

14x + 3 – 3x = 18 + 8x – 311x + 3 = 8x + 15 | –8x; –33x = 12 | : 3x = 4

Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Das sind Gleichungen inder Form ax + b = 0 (a ≠ 0).Lösungsmöglichkeitensind: Anwenden der Umfor-mungsregeln (kalkül-mäßiges Lösen) (1).

Durchführen von Fall-unterscheidungen (2).

Grafisches Lösen, indemeine lineare Gleichung ax + b = 0 in eine Funktiony = ax + b (↑ S. 54) umge-wandelt wird (3).

Eine Gleichung in der Forma–b = c–d (a, b, c, d ≠ 0) heißtVerhältnisgleichung oderProportion (↑ S. 21).In jeder Verhältnisglei-chung a : b = c : d ist dasProdukt der Innengliedergleich dem Produkt derAußenglieder.

Lineare Gleichungen

(2) |2x + 3| = 41. Fall: 2. Fall:2x + 3 = 4 2x + 3 = –4

x = 0,5 x = –3,5

y

b

b– –ax

y = ax + b(a > 0)

(3)

Außenglied Innenglied

a : b = c : d

Innenglied Außenglied

a c– = –b d

c · ba = –––d

a · d = b · c

Lösen von SachaufgabenTOPTHEMA

3

36 37

Tom macht Urlaub auf dem Bauernhof. Dort gibt es viermalso viele Enten wie Pferde, aber nur halb so viele Schafe wiePferde. Insgesamt sind es 66 Tiere.Wie viele Tiere jeder Art leben auf dem Bauernhof?

Aufgabe

Umschreibungen für addieren: zusammenfassen, dazu-geben, hinzufügen, vermehren, verlängern, einnehmen Umschreibungen für subtrahieren: wegnehmen,vermindern, abziehen, verringern, verkleinern, ausgeben,weniger als Umschreibungen für multiplizieren: x-fache, x-mal so viel,Doppeltes, Dreifaches, Vielfaches, malnehmen Umschreibungen für dividieren: x-te Teil, teilen, geteiltdurch, halbieren, vierteln

Tipps zum richtigen Lesen von Textaufgaben

Was ist gegeben?Was ist gesucht?In welcher Beziehung stehendie Größen zueinander?

Aufgabenanalyse

e + p + s = 48 + 12 + 6 = 66t = 6666 = 66

Probe

Auf dem Bauernhof leben48 Enten, 12 Pferde und 6 Schafe.

Lösung

t = e + p + s = 66Einsetzen:

1t = 4p + p + – p = 66215– p = 662

p = 12

Ansatz

p = 12e = 4p = 4 · 12 = 48

1s = – p = 0,5 · 12 = 62

Ausrechnen

BeispieleDas 7fache einer natürlichen Zahl vermehrt um 11 ergibt 46

7 · n + 11 = 467n + 11 = 467n = 35 ⇒ n = 5

Das 3fache einer Zahl vermindert um 8 soll kleiner sein als 7

3 · x – 8 73x – 8 7

Probieren: 3 · 8 – 8 7 16 7 falsche Aussage3 · 4 – 8 7 4 7 wahre Aussage

Berechnen: 3 · x – 8 7 3x 15 x 5Alle Zahlen, die kleiner sind als 5, erfüllen die Ungleichung.

Maria ist doppelt so alt wie Jenny. M = 2 · JChris ist 4 cm kleiner als Paul. C = P – 4Der Umfang eines Rechtecks ist 18 cm. 18 = 2a + 2bDer Flächeninhalt des Quadrats ist 16 cm. 16 = a · a = a2

Eric bekommt den 3. Teil gegenüber Jan. E = J : 3

e: Zahl der Entenp: Zahl der Pferdes: Zahl der Schafet: Summe aller Tiere Gegeben: t = e + p + s = 66

e = 4p1s = – p2

Gesucht: e; p; s

3

39


38

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Das sind Gleichungen inder Form ax + by + c = 0(a, b ≠ 0).

Die Lösungsmengensolcher Gleichungenbestehen aus Mengen von Zahlenpaaren.Die grafische Veranschau-lichung findet man, wennman die Gleichung alslineare Funktion auffasst.

Lineare Ungleichungen mit einer Variablen

Das sind Ungleichungender Form ax + b < 0 (a ≠ 0).In Abhängigkeit vomGrundbereich G ist dieLösungsmenge unter-schiedlich. Die Lösungs-mengen lassen sich aufder Zahlengeradenveranschaulichen.

Lineare Ungleichungen

5x + 10y = 30(x, y ∈ ; x, y 0)

1y = – – x + 32

L = (0; 3), (2; 2), (4; 1), (6; 0)

x 0 2 4 6 y 3 2 1 0

y

234

1O 4 5 6 7321 8 x

2

O–2

–2 2 x

y = 2x – 3

y > 2x – 3y13x – 7 8x + 85x 15 5x – 15 0x 3G = ; L = 2; 1; 0

0 1 2 3 4

G = ; L = 2; 1; 0; –1; –2; ...

–2 –1 0 1 2 3 4

G = ; L = x ∈ ; x 3

–2 –1 0 1 2 3 4

Lineare Ungleichungenmit zwei Variablen

Das sind Ungleichungender Form ax + by + c < 0(a, b ≠ 0).Die Lösungsmengensolcher Ungleichungenbestehen aus Mengen von Zahlenpaaren.

Lassen sich die Paare nichtdurch eine Aufzählungangeben, kann eine Un-gleichung grafisch gelöstwerden. Dazu wird die Unglei-chung nach einer oder bei-den Variablen aufgelöst. Die Zahlen für eine derVariablen werden durchEinsetzen von Zahlen für die andere Variableermittelt. Die Darstellung derFunktion im Koordinaten-system ergibt eineGerade. Alle oberhalb oderunterhalb der Geradenliegenden Punkte habenKoordinaten, die als Paaredie Ungleichung erfüllen.

2x + y 3 (x, y ∈ )2x + y – 3 0

L = (0; 0), (0; 1), (0; 2),(0; 3), (1; 0), (1; 1)

4x – 2y 6 (x, y ∈ )

y 2x –3

Die Gerade gehört nicht zurLösung der Ungleichung.

für x = 2:y 2 · 2 –3y 1

1y = – – x +32

Lösen linearer GleichungssystemeTOPTHEMA

Normalform

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) löstman eine der beiden Gleichungen nach einer der beidenVariablen auf und setzt den so erhaltenen Term für dieseVariable in die andere Gleichung ein. Das Einsetzungsverfah-ren ist dann vorteilhaft, wenn (wenigstens) eine der beidenGleichungen nach einer der beiden Variablen aufgelöst ist.

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Spezialfall des Ein-setzungsverfahrens. Man löst beide Gleichungen nachderselben Variablen auf und setzt die beiden erhaltenenTerme gleich. Das Gleichsetzungsverfahren ist immer dannsinnvoll, wenn beide Gleichungen nach einer Variablenaufgelöst vorliegen.

Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren formt man eine oder beideGleichungen so um, dass bei der Addition der beidenGleichungen eine der beiden Variablen wegfällt. DasAdditionsverfahren ist immer dann zweckmäßig, wenn die Koeffizienten einer Variablen in beiden Gleichungen zu einander entgegengesetzte Zahlen sind.

I a1x + b1y = c1

II a2x + b2y = c2

a1, b1, c1, a2, b2, c2 konstant ∈

Lösungsverfahren

Ziel: Eliminieren einer der beiden Variablen. Damit wird ausdem System „zwei Gleichungen mit zwei Variablen“ einSystem mit „einer Gleichung und einer Variablen“.

I y = –x + 2II 4x + 3y = 2––––––––––––I in II einsetzen: 4x + 3y = 2 y = –x + 2

4x + 3 (–x + 2) = 2

4x – 3x + 6 = 2 y = –(–4) + 2x = –4 y = 6L = (–4 ; 6)

einsetzen

I 3x = 10 – 5yII 3x = –2y +13––––––––––––––I und II gleichsetzen: y = –1 in I einsetzen:10 – 5y = –2y + 13 | +2y 3x = 10 – 5 · (–1)10 – 3y = 13 | –10 3x = 15 | :3

–3y = 3 | :(–3) x = 5y = –1 L = (5 ; –1)

I 8x + 5y = 51II 3x – 5y = 26––––––––––––––––

I + II: 11x = 77 | :11x = 7

In I einsetzen:8 · 7 + 5y = 51

y = –1L = (7; –1)

3

40 41

3

43


42

Das ist ein System auszwei linearen Gleichungenmit zwei Variablen (↑ S. 40).

Lösen von linearenGleichungssystemen

Lösungen dieses Systemssind Zahlenpaare, die jededieser Gleichungenerfüllen. Die Gesamtheitaller Lösungen bildet dieLösungsmenge.

Lösbarkeitsbedingungenfür ein Gleichungssystem: genau eine Lösung, wenna1 b1–– ≠ ––a2 b2

unendlich viele Lösungen,wenna1 b1 c1–– = –– = ––a2 b2 c2

keine Lösung, wenna1 b1 c1–– = –– ≠ ––a2 b2 c2

I a1x + b1y = c1

II a2x + b2y = c2

(a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈ )

I y = –x + 2II 4x + 3y = 2x = –4; y = 6

L = (–4; 6)

I 2x + 4y = 20II 3x – 4y = 50L = (14; –2)

2 4 Es gilt: – –– 3 – 4

I 2x + 4y = 20II 3x + 6y = 30

1L = (x; y): y = – – x +52

2 4 20Es gilt: – = – = ––3 6 30

I 2x + 4y = 20II 3x + 6y = 40L =

2 4 20Es gilt: – = – ––3 6 40

Quadratische Gleichungen

Die Gleichung ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)heißt allgemeine Form derquadratischen Gleichung.Nach der Division durch a(a ≠ 0) folgt:

b cx2 + – x + – = 0a a

Koeffizienten vereinfachen:b–a = p und c–a = q.Die Gleichung x2 + px + q = 0heißt Normalform derquadratischen Gleichung.

Lösungsformel

Die Lösungsformel für dieNormalform lautet:

Spezielle quadratische Gleichungen

Die Gleichung x2 = 0 hatdie Doppellösungx1=x2=0. Gleichung x2 + px = 0hat die Lösungsmenge L = 0; – p.

p p 2 x1, 2 = – – ± – – q2 2

x2 – 6x + 5 = 0 p = – 6; q = 5x1,2 = 3 ± 9 – 5x1,2 = 3 ± 2x1 = 1; x2 = 5 L = 1; 5

5x2 + 20x – 15 = 0x2 + 4x – 3 = 0

x2 + 4x – 3 = 0 p = 4; q = –33x2 – 24x + 15 = 0p = – ––24

3 = –8q = –15

3 = 5

x2 = 0 L = 0

x2 – 8x = 0 x(x – 8) = 0x = 0 oder x – 8 = 0x1 = 0 und x2 = 8 L = 0; 8

b cx2 + – x + – = 0a a

quadratisches Glied

absolutes Gliedlineares Glied

Lineare Gleichungssysteme

Spezielle quadratische Gleichungen

Die Gleichung x2 + q = 0hat die Lösungsmenge L = – q ; q.

Diskriminante

Sie gibt Aufschluss überdie Lösungen einerquadratischen Gleichung.Diskriminante der allgemeinen Form:D = b2 – 4ac

Normalform:p2 p 2

D = –– – q =– – q4 2

Es sind drei Lösungsfällezu unterscheiden (x ∈ ):(1) D > 0 ⇒ L = x1; x2

(2) D = 0 ⇒ L = x1 = x2

(3) D < 0 ⇒ L =

Satz von Vieta

x1 + x2 = –p und x1 · x2 = qAnwendungen: u. a. Probebei bekannten Lösungen.

x2 – 25 = 0(x + 5)(x – 5) = 0x1 = –5 x2 = 5L = –5; 5

Die Lösung einer quadrati-schen Gleichung hängt vomRadikanden in der Lösungs-formel, (p–2)

2 – q, ab.

2x2 – 4x + 6 = 0 D = 42 – 4 · 2 · 6 = 16 – 24

= – 8

x2 – 2x + 3 = 0D = (–1)2 – 3 = – 2

(1) x2 + 8x + 15 = 0 D = 1; x1 = –3; x2 = –5L = –3; –5

(2) x2 + 2x + 1 = 0 D = 0; x1,2 = –1L = –1(3) x2 + 2x + 2 = 0D = keine reelle ZahlL = ; keine reelle Lösung

x2 – 12x + 32 = 0x1 = 4 x2 = 8x1 · x2 = q

q 32x2 = –– = –– = 8x1 4

Bruchterm: Term, dessenNenner eine Variableenthält.

Bruchgleichungen bzw.Bruchungleichungen ent-halten mindestens einenBruchterm.

In Bruchterme dürfen nursolche Zahlen oderGrößen für die Variableneingesetzt werden, für dieder Wert des Terms imNenner ungleich 0 ist.Diese Einsetzungen sinddie Definitionsmenge Ddes Bruchterms.

Lösen von Bruchgleichungen

Schrittweises lösen: beide Seiten der Glei-chung mit dem Haupt-nenner multiplizieren,

auf beiden Seiten dieBrüche kürzen,

Bruchgleichungen und Bruchungleichungen

18 x +3–––– 9; ––– 02 – x x – 2

15 –2a––––; –––––2 – x 6 (b + 3)

36 a + 5–––– = 6; –––– = 44 + x 2a

3–––– (x ∈ )6 – x

Für x = 6 wird der Nennergleich Null, also gilt:D = \6

3

45


44

5 3–– – –– = 1,75 (x ∈ ; x 0)2x 4x

5 3–– – –– = 1,75 | · 4x2x 4x

5 · 4x 3 · 4x–––– – –––– = 1,75 · 4x 2x 4x

5 · 2 – 3 = 7x

2

1 1

1

3

47


46

Lösen von Bruchgleichungen

neue Gleichung mit denbekannten Umformungs-schritten lösen, prüfen, ob die Lösungder neuen Gleichung auchzur Definitionsmenge derBruchgleichung gehört.

Algebraische Gleichungen höheren GradesEine Gleichung der Formanxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0

= 0 mit an ≠ 0 heißt algeb-raische Gleichung n-tenGrades.Der Grad der Gleichung istgleich dem größten Expo-nenten der Variablen.

Kubische Gleichungen

Eine Gleichung der Form Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0(A ≠ 0) heißt kubischeGleichung oder Gleichungdritten Grades.Nach Division durch A hatsie die Formx3 + ax2 + bx + c = 0.

7 = 7x | : 71 = xL = 1Der Wert für x gehört zurDefinitionsmenge.

a0 = konstantes Glieda1x = lineares Glieda2x

2 = quadratisches Glieda3x3 = kubisches Glied

6x4 – 3x3 + x2 – 2 = 0Gleichung vierten Grades

x3

–– + 2x2 – 6x + 10 = 03

4x3 – 24x2 + 12x – 32 = 0 | : 4x3 – 6x2 + 3x – 8 = 0

Polynomdivision

Ein quadratisches Polynomder Form x2 + px + q kannbei Kenntnis der reellenNullstellen x1 und x2 in der Form eines Produkts geschrieben werden.

Ein Polynom n-ten Gradesmit an = 1, das die Null-stelle x1 besitzt, lässt sichohne Rest durch (x – x1)teilen. Der Quotient istvom Grad n – 1.

Wurzel-, Exponential- und LogarithmengleichungenEine Gleichung mit Variab-le im Radikanten heißtWurzelgleichung.

Eine Gleichung mit Variab-le im Exponenten heißtExponentialgleichung.

Eine Gleichung heißtLogarithmengleichung,wenn die Variable imArgument der Logarith-musfunktion auftritt.

x2 + px + q = (x – x1)(x – x2)

(x2 + px + q):(x – x1) = x – x2

(x2 + px + q):(x – x2) = x – x1

√⎯x + 8 = 1

√⎯⎯

3√⎯x + 2 = 2

x + √⎯x + 1= 5

2x = 16

1,1 = 31,8x = 2

1– · x22

2lg x = 163log5 (–) = 5x

(xn + an–1xn–1 + …

+ a1x + a0):(x – x1) =bn–1x

n–1 + bn–2xn–2 + …

+ b1x + b0

3

49


48

Lösen von Wurzel-gleichungen

Rechnerisch lassen sichWurzeln durch Quadrieren/Potenzieren beseitigen.

Bei der grafischen Lösungwerden beide Seiten derWurzelgleichung als Funk-tionsgleichungen y1 und y2

geschrieben. Die Abzissedes Schnittpunktes derentsprechenden Funk-tionsgraphen liefert dannnäherungsweise eine Lö-sung der Wurzelgleichung.

Lösen von Exponential-gleichungen

Rechnerisch lassen sichExponentialgleichungenunter Anwendung derPotenzgesetze oder durchLogarithmieren lösen.

Beim Exponentenvergleichwerden Exponentialglei-chungen auf einen Ver-gleich von Potenzen mitgleicher Basis zurückge-führt.

3√⎯x + 1 = 4 | hoch 3x + 1 = 64 | –1x1 = 63

3√⎯x – 1 + x – 2 = 0 | –x; +23√⎯x – 1 = –x +2

Lösung x 1,4

Allgemeine Schrittfolgebeim Logarithmieren:

ax = blg ax = lg b

x · lg a = lg blg bx = –––lg a

Das grafische Lösen bietetsich dann an, wenn dieVariable nicht nur imExponenten vorkommt,also keine reine Exponen-tialgleichung vorliegt.

Das sind Gleichungen, indenen die Variable im Ar-gument von Winkelfunk-tionen (↑ S. 64) vorkommt.

Bei der Lösung trigonomet-rischer Gleichungen wirdder Winkel x im Grad- oderBogenmaß bestimmt, derdie Gleichung erfüllt.

2x = 18

lg 2x = lg 18

x·lg 2 = lg 18lg 18x = ––––lg 2

x 4,17

2x + x2 – 2 = 0 | –x2; +22x = –x2 + 2

y1 = 2x y2 = –x2 + 2x1 –1,25 x2 0,6

sin y = 0,75tan x = 1,24cos z = 0,5

Vergleich:(1) 64x = 46 (2) 5x =

3√⎯52

(43)x = 46 5x = 52–3

43x = 46 ⇒ x = 2–3⇒ 3x = 6

x = 2

Trigonometrische Gleichungen

y

4

50

4 Funktionen

Eine Funktion f ist eine ein-deutige Zuordnung (Abbil-dung), die jedem Element xaus einer Menge D, Defini-tionsbereich, eindeutig einElement y aus einer MengeW, Wertebereich, zuordnet.Die Elemente x, y sind eineMenge geordneter Paare,x nennt man Argument,das zugeordnete Element yaus W heißt Funktionswertvon x und wird mit f(x)bezeichnet.

Funktionen werden durcheine Zuordnungsvorschriftund die Angabe des Defini-tions- bzw. Wertebereichsbeschrieben. Schreibweisen: f: x → y; x ∈ D; y ∈ W f: x → f(x); x ∈ D; y ∈ W y = f(x) (Funktions-gleichung) (x; y) : x ∈ D und y ∈ W

Grundbegriffe und Eigenschafteny = f(x) = x2

x ∈ D (Definitionsbereich)

y ∈ W (Wertebereich)

Ergebnis einer Klassenarbeit:

Zensur 1 2 3 4 5 6

Anzahl 3 7 12 4 3 1

Es gilt: D = 1; 2; 3; 4; 5; 6W = 1; 3; 4; 7; 12

Jeder reellen Zahl wird ihrQuadrat zugeordnet.Es gilt: D = ; W = [0, + [

f: x → x2, also y = x2

Dies ist eine eindeutige Zu-ordnung , also eine Funktion.

gesprochen: Menge der ge-ordneten Paare x, y mit xaus D und y aus W

Jeder positiven Zahl wird ihrdoppelter Wert zugeordnet.

f(x) = 2xD = [0, + [W = [0, + [

x 0 1 2 3 4 …

f(x) 0 2 4 6 8 …

O–1–1

1

1

II. Quadrant I. QuadrantP (2; 3)

IV. QuadrantIII. Quadrant

Ordinate

Abszisse

x

x

Darstellungen von Funktionen

Darstellung mithilfe einerWortvorschrift.

Darstellung mithilfe einerFunktionsgleichung.

Darstellung mithilfe einerWertetabelle.

Grafische Darstellung:Funktionsgraphen werdenmeist im kartesischenKoordinatensystem dar-gestellt.Ein Punkt ist darin durchseine Koordinaten (Ab-stände zu den Achsen)eindeutig festgelegt.Die Abstände heißenAbszisse (x-Wert) undOrdinate (y-Wert). DieAchsen bezeichnet manals x-Achse (Abszissen-achse, Rechtsachse) bzw.y-Achse (Ordinatenachse,Hochachse). Die Achsenschneiden einander imKoordinatenursprung O,mit den Koordinaten (0; 0).

51

f(x) = 2x

ProportionalitätTOPTHEMA

52

Zuordnung

Werden zwei Größenbereiche in Beziehung gesetzt, so ent-stehen Zuordnungen (S. 20).

Name Frank Maria Sophie Olaf Peter Paul

Größe 1,70 m 1,64 m 1,68 m 1,70 m 1,68 m 1,72 m

Proportionale Zuordnungen

Eine Zuordnung heißt direkte Proportionalität, wenn zweiveränderliche Größen x und y immer den gleichen Quotien-ten k haben, also gilt:y– = k, d. h. y = k · x. Man schreibt dann:x y ~ x (gesprochen: y ist proportional zu x)Ein Wasserhahn tropft. Mit zunehmender Zeit steigt derWasserverlust.

Zeit x in h 1 2 3 4 5 6

Wasser y in ml 250 500 750 1000 1250 1500

0 2 4 6 Zeit in h

2000

1000

0

Wasserverlust in ml

Indirekt proportionale Zuordnungen

Eine Zuordnung heißt indirekte Proportionalität (umge-kehrte Proportionalität), wenn zwei veränderliche Größenx und y immer das gleiche Produkt k haben, also gilt:

1y · x = k, d. h. y = k · –. Man schreibt dann:x 1y ~ – (gesprochen: y ist indirekt proportional zu x)x

Je mehr Lottospieler in einer Tippgemeinschaft zusammenspielen, desto kleiner ist der Gewinn für jeden.

Zahl der Spieler 1 2 4 5 6

Gewinn in S 24 000 12 000 6 000 4 800 4 000

0 2 4 6 8 Anzahl

25 000

20 000

15 000

5 000

0

Gewinn in 3

••

•••

•

•

•• • •

4

53

direkte ProportionalitätJe mehr – desto mehr.Vier Schüler wollen von der Schule ins Kino fahren:

Nehmen sie den Bus, zahlt jeder Schüler 2 S. Insgesamt kostet die Fahrt 8 S.

Je mehr mitfahren, desto höher wird der Gesamtpreis.

indirekte ProportionalitätJe mehr – desto weniger.

Nehmen sie das Taxi, zahlensie zusammen 10 S. Der Einzelpreis beträgt 2,50 S.

Je mehr mitfahren, destogeringer der Einzelfahrpreis.

4

55

4 Funktionen

54

Dies sind Funktionen miteiner Gleichung der Formy = m · x + n (m; n ∈ ).m und n sind Parameter.

Funktionen der Form y = n,d. h. y = mx + n mit m = 0,heißen konstante Funk-tionen. Der Graph ist eineParallele zur x-Achse imAbstand n.

Für y = m · x (m ≠ 0) gilt: Der Graph ist eineGerade durch den Koordi-natenursprung (1). m gibt den Anstieg, dieSteigung der Funktion an.

Für y = mx + n (m, n ≠ 0)gilt: Der Graph ist eineGerade (2). n (absolutes Glied) gibtden Schnittpunkt mit dery-Achse an. Bei gleichem Anstieg mund unterschiedlichen nsind die Graphen zuein-ander parallele Geraden(2), (3).

1y = –x + 12

Wertetabelle:x –2 0 2 4y 0 1 2 3

y = n

y

x

Zeichnen der Graphen

y = m · x (m ≠ 0): Der erste Punkt ist derKoordinatenursprung. Für den zweiten Punktwird die Funktionsglei-chung für einen Wert be-rechnet oder der Anstiegm genutzt.Das eingezeichnete recht-winklige Dreieck nenntman Anstiegs- oder Stei-gungsdreieck.

y = mx + n (m; n ≠ 0): Unter Verwendung desSteigungsdreiecks und desSchnittpunkts mit der y-Achse P(0; n) kann derGraph gezeichnet werden.Nullstelle der Funktion:y = 0 einsetzen. Anderer Weg: Erstelleneiner Wertetabelle undZeichnen des Graphenmittels zweier Werte.

Die Funktionsgleichunglässt sich aus zwei bekann-ten Punkten durch Lösungeines Gleichungssystems(↑ S. 40) bestimmen.

3 3y = –x P1(0; 0) m = –4 4

Wenn x um 4 wächst,wächst y um 3.

P2(4; 3)

3y = – –x – 1 P(0; –1)2

3 3y = – –x – 1 – –x – 1 = 0 2 2

2x = – –3

(1) y = 0,5 · x(2) y = 0,5 · x + 2(3) y = 0,5 · x – 2

(2)

(1)

(3)

Lineare Funktionen

Geg.: P1(2; 5); P2(–2; –1)Funktion y = mx + nI 5 = m · 2 + nII –1 = m (–2) + n

3Gleichung y = –x + 22

4

57

4 Funktionen

56

Dies sind Funktionen miteiner Gleichung der Formy = ax2 + bx + c (a ≠ 0).ax2 heißt quadratischesGlied, bx heißt linearesGlied, c heißt konstantesGlied (Absolutglied).Der Graph ist eine Parabel.

Zeichnen der Graphen

Stauchung und Streckung:Der Parameter a > 0 be-wirkt eine Stauchung oderStreckung der Parabel.0 < a < 1 Parabel gestauchta > 1 Parabel gestrecktIst a < 0, wird der Graph ander x-Achse gespiegelt.

Der Graph der Funktion y = x2 + c entsteht durchVerschiebung der Normal-parabel entlang der y-Achse. Die Gestalt derNormalparabel ändertsich nicht.c > 0 Verschiebung auf

y-Achse nach obenc < 0 Verschiebung auf

y-Achse nach unten

Die Normalparabel ist einSonderfall (a =1, b = 0, c = 0).

Bei einer Verschiebungder Normalparabel y = x2

auf der x-Achse um denWert d hat der Scheitel-punkt S die KoordinatenS(– d; 0) und die Parabeldie Gleichung y = (x + d)2.d < 0 Verschiebung auf

x-Achse nach rechtsd > 0 Verschiebung auf

x-Achse nach links

Nullstellen der Funktion y = x2 + px + qp pSie werden berechnet mit der Formel x1;2 = – – ± (–)2 – q2 2

Für die Koordinaten des Scheitelpunkts gilt:p p pS(xS; yS) = S(– –; –(–)2 + q). Der Term (–)2 – q wird als 2 2 2

pDiskriminante D bezeichnet, also S(– –; –D).2

√⎯

Diskrimi-nante D

AnzahlNullstellen

Graph

Beispiele

D > 0 D = 0 D < 0

2 1 (doppelte) keine

D = 4 D = 0 D = –2

y = x2 – 2x – 3 y = x2 – 2x + 1 y = x2 – 2x + 3

x1 x2 x

y

0 x1 + x2 x

y

0 x

y

0

Quadratische Funktionen

4

59

4 Funktionen

58

Allgemeine FormFür die allgemeine Form der quadratischen Funktion y = ax2 + bx + c gilt:

Funktions-gleichung

Definitions-bereich

Werte-bereich

Scheitel-punkt derParabel

Nullstellen

y = ax2 + bx + c y = 2x2 + 8x 4

4ac – b2–––––– ≤ y < ∞4afür a > 0;

4ac – b2–∞ < y ≤ ––––––4afür a < 0;

12 y

b 4ac – b2S(–––; ––––––)2a 4a S(2; 12)

1x1,2 = –– (–b ± b2 – 4ac)2a x1 0,45; x2 4,45

–∞ < x < ∞ x

√⎯⎯

PotenzfunktionenDies sind Funktionen mitGleichungen der Form y = xn (x ∈ , n ∈ ).

Ist der Exponent n in y = xn

eine gerade Zahl (n = 2k;k ∈ ), so liegen geradeFunktionen vor.Die y-Achse ist die Sym-metrieachse für dieseGraphen.

Die Graphen der Funktio-nen sind Parabeln n-tenGrades.

Ist der Exponent n in y = xn

eine ungerade Zahl (n = 2k + 1; k ∈ ), so liegenungerade Funktionen vor.Die Funktionsgraphensind punktsymmetrisch(zentralsymmetrisch) zumKoordinatenursprung O.

n = 2m; m ∈ * (1) D = , W = [0, + ∞[Nullstelle: x0 = 0;gemeinsame Punkte allerGraphen: (–1; 1), (0; 0), (1; 1)

n = 2m + 1, m ∈ * (2) D = , W =

Nullstelle: x0 = 0;gemeinsame Punkte allerGraphen: (–1; –1), (0; 0), (1; 1)

n = –2m, m ∈ * (3) D = \0, W = ]0, + ∞[Nullstelle: keine;gemeinsame Punkte allerGraphen: (–1; 1), (1; 1)

n = –(2m – 1), m ∈ * (4) D = \0, W = \0Nullstelle: keine;gemeinsame Punkte allerGraphen: (–1; –1), (1; 1)

y y = x4

y = x2

k > 0

x1O

1

–1

y

(1)

(2)

(3)

(4)

y = x5

y = x3

x

1

O 1–1

–1

4

61

4 Funktionen

60

Dies sind Funktionen mitGleichungen der Form f(x) = n√⎯xm

(x ≥ 0; m, n ∈ ; m ≥ 1; n ≥ 2).

Die Funktion f(x) = √⎯x

Sie ist die Umkehrfunk-tion zu g(x) = x2, jedochnur für den Bereich nicht-negativer x-Werte, da g(x) = x2 nicht eineindeu-tig ist.Gemeinsame Punkte der beiden Funktionensind (0; 0) und (1; 1). Da g(x) = x2 für x ≥ 0 monotonsteigend ist, ist es auchf(x) = √⎯x = 2√⎯x.

f(x) = √⎯x ist nicht äquiva-lent zu [f(x)]2 = x.Nach dem Wurzelziehenfolgt: f(x)= √⎯x mit derFallunterscheidung(1) f(x) ≥ 0 ⇒ f1(x) = √⎯x(2) f(x) < 0 ⇒ f2(x) = – √⎯x

Wurzelfunktionen

y

y

1

1

1

1

O

O

x

x

g(x)

my = x ––n

f(x)

y

1

1O x

f1(x)

f1(x)

Die Funktionen f(x) n√⎯x

f(x) = xn (n ∈ ; n ≥ 2) undf –1(x) = n√⎯x sind zueinanderinverse Funktionen, abernur für x ≥ 0.Definitionsbereich:0 ≤ x < ∞Wertebereich: 0 ≤ y < ∞Nullstelle: x = 0gemeinsame Punkte allerGraphen: (0; 0), (1; 1)Monotonie: monotonsteigend

y

1

1O x

f(x) = 3√⎯x

f(x) = 5√⎯x

f(x) = 4√⎯x

LogarithmusfunktionenDies sind Funktionen mitGleichungen der Form f(x) = logax (a, x ∈ ; a, x > 0; a ≠ 1).

y = logax ist Umkehr-funktion von g(x) = ax.D = ]0, + ∞ [ W =

Nullstelle: x0 = 1;gemeinsamer Punkt allerFunktionsgraphen: (1; 0)Spezialfälle (↑ S. 64):

y = log10x = lg xy = logex = ln xy = log2x = lb x

y

x1

1

1

1

0

0

g(x) = log2x

g(x) = log3x

g(x) = log1–3x

g(x) = log0,5x

f(x) = log10x

f(x) = log2x

x

y

Exponentialfunktionen und WachstumTOPTHEMA

4

62 63

Lineares Wachstum

Ein Wachstum heißt lineares Wachstum, wenn die Ände-rungsrate m konstant ist. Mit dem Anfangsbestand c = B(0)gilt für den Bestand B(t) nach t (t ∈ ) Zeitintervallen:B(t) = m · t + c

Tim und seine Freunde ma-chen eine Fahrradtour. Sieschaffen 15 km Weg in jederStunde. Nach den 3 StundenFahrt haben sie eine Streckevon 3 · 15 km + 0 km = 45 kmbewältigt.

60

30

Weg in km

1 2 3 Zeit in h

Exponentialfunktionen

y = ax (a ∈ , a > 0, a ≠ 1)D = W = ]0, + ∞ [Nullstellen: keine;gemeinsamer Punkt aller Funktionsgraphen: (0; 1)Spezialfall: y = ex

e = 2,718282 (eulersche Zahl)

In Abhängigkeit von aspricht man von einer exponentiellen Zunahme a > 1 exponentiellen Abnahme 0 < a < 1 O 1

yy = ax

(a > 1)y = ax

(0 < a < 1)

ax

Exponentielles Wachstum

Ein Wachstum heißt exponentielles Wachstum, wenn fürjeden Zeitschritt Bestandneu = a · Bestandalt gilt. Für alle Zeitintervalle ist der Wachstumsfaktor a gleich. Für denBestand B(t) gilt nach t (t ∈ ) Zeitintervallen: B(t) = B(0) · at

Wenn man sein Geldbei einer Bank anlegtund die Zinsen nichtabhebt, sondern aufdem Konto belässt,so steigt der Konto-stand exponentiell.Aus 1000 3 Start-kapital werden nach100 Jahren und 5 %Zinsen sagenhafte125 239,30 3.

Exponentielles Wachstum

3 140 000,00

3 120 000,00

3 100 000,00

3 80 000,00

3 60 000,00

3 40 000,00

3 20 000,00

3 0,001 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100

Kapi

tal

Zeit

in Millionen10 000

9 000

8 000

7 000

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000500

1700 1800 1900 2000 2100 Jahr

WeltEntwicklungs-länder

Mitte des 17. Jahrhundertsetwa 500 Mio

1960: 3 Milliarden

1987: 5 Milliarden

2010: 7 Milliarden

Die Weltbevölke-rung ist nahezu ex-ponentiell gewach-sen. Gab es Mittedes 17. Jahrhunderts etwa 500 Millionen Menschen, waren es1960 3 Milliarden.1987 waren es 5 Milliarden, 2010werden 7 Milliardenerwartet.

Wachstumsfaktor a: 1 + 5––100 = 1,05Nach 100 Jahren gilt: 1000 3 · 1,05100 = 125 239,30 3

4

65

4 Funktionen

64

Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen)Winkelfunktionen am rechtwinkligen DreieckBezeichnung Längen-

verhältnis

Sinus

Kosinus

Tangens

Kotangens

GegenkatheteHypotenuse

AnkatheteHypotenuse

GegenkatheteAnkathete

AnkatheteGegenkathete

asin α = –c

bcos α = –c

atan α = –b

bcot α = –a

Ankathetevon α

Gegenkathetevon α

Hypotenuse c

Ca

b

A Bα β

Winkelfunktionen am Kreis

Die Sinusfunktion ist dieMenge aller geordneten

uPaare (x; –).rFunktionsgleichung:f(x) = sin x

Die Kosinusfunktion ist dieMenge aller geordneten

vPaare (x; –).rFunktionsgleichung:f(x) = cos x

Die Tangensfunktion ist dieMenge aller geordneten

uPaare (x; –).vFunktionsgleichung:f(x) = tan x

Die Kotangensfunktion istdie Menge aller geordne-

vten Paare (x; –).uFunktionsgleichung:f(x) = cot x

Wählt man als Radius 1(Einheitskreis), entspre-chen die Maßzahlen derAbszisse bzw. Ordinate denFunktionswerten der Sinus-bzw. Kosinusfunktion.

rx u

rxv

uxv

uxv

Die Funktionen f(x) = lg x und f(x) = ln xf(x) = lg x f(x) = ln x

Basis

Symbol

Bezeichnung

Beziehung

10 e = 2,718282…

lg

10lg x = eln x = x

ln

dekadischer Loga-rithmus, briggsscherLogarithmus

natürlicher Loga-rithmus, neperscherLogarithmus (nach John Napier)

4

67

4 Funktionen

66

Bogenmaß

Dies ist das Verhältnis ausdem zu einem Winkel αgehörenden Kreisbogen bund dem Radius. Es wirdmit Arkus (arc) bezeichnet.

b π r α πarc α = – = ––––– = ––– · αr 180˚· r 180˚

Graphen und Eigenschaften

Sinusfunktionf(x) = sin xDefinitionsbereich:–∞ < x < ∞Wertebereich: –1 ≤ y ≤ 1kleinste Periodenlänge: 2πNullstellen: 0 + kπ (k ∈ )

y

0

1

1–1

0r = 1

π–3π–6

π–2

–π–2x

π–3π–6

π–23π––––––––––––––2

π 2π

y = sin x

Die Graphen der Winkel-funktionen lassen sichunmittelbar aus der Dar-stellung am Einheitskreis (↑ S. 65) entwickeln.

Tangensfunktionf(x) = tan xDefinitionsbereich:–∞ < x < ∞x ≠ (2k + 1)π–2 (k ∈ )Wertebereich: –∞ < y < ∞kleinste Periodenlänge: πNullstellen: 0 + kπ (k ∈ )

Kotangensfunktionf(x) = cot xDefinitionsbereich:–∞ < x < ∞ x ≠ kπ (k ∈ )Wertebereich: –∞ < y < ∞kleinste Periodenlänge: π

πNullstellen: – + kπ (k ∈ )2

y

1

1–1

–1 0 π–2–π–2x3π––––––––––––––2 2ππ

y

1

1–1

–1 0 π–2–π–2x

3π––––––––––––––2 2ππ

Kosinusfunktionf(x) = cos xDefinitionsbereich:–∞ < x < ∞Wertebereich: –1 ≤ y ≤ 1kleinste Periodenlänge: 2πNullstellen: π–2 + kπ (k ∈ )

y1

1–10 π–2–π–2

x3π––––––––––––––22ππ

Gradmaß 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ 120˚ 135˚ 150˚ 180˚Bogenmaß 0 π–6

π–4π–3

π–22π––3

3π––45π––6 π

y = sin x

y = cos x

y = tan x

y = cot x

0 1–21–2 √⎯2 1–2 √⎯3 1 1–2 √⎯3 1–2 √⎯2 1–2 0

1 1–2 √⎯3 1–2 √⎯2 1–2 0 – 1–2 – 1–2 √⎯2 – 1–2 √⎯3 –1

0 1–3 √⎯3 1 √⎯3 – √⎯3 –1 – 1–3 √⎯3 0

√√⎯3 1 1–3 √⎯3 0 – 1–3 √⎯3 –1 – √⎯3nichtdefi-niert

nichtdefi-niert

nichtdefi-niert

Die wichtigsten Werte trigonometrischer Funktionen

5

68

5 Geometrie

Ein Punkt hat keine Aus-dehnung. Seine Lage imKoordinatensystem wirddurch seine Koordinateneindeutig angegeben.

Jede Linie ist eine unend-liche Punktmenge. GeradeLinien ohne Anfangs- undEndpunkt heißen Geraden.

Zwei Punkte legen eineGerade eindeutig fest.

Parallele Geraden habenkeinen Punkt gemeinsamoder sie sind identisch.Senkrechte Geradenschneiden sich untereinem rechten Winkel.

Wenn zwei Geraden ein-ander schneiden, habensie genau einen Punktgemeinsam.

Grundbegriffe

69

y

A

x

A

Bg

h

g

g

Sh

g

g hh

4

2

2 40

Eine Gerade wird durcheinen Punkt in zwei Halb-geraden (Strahlen) zerlegt.

Alle Strahlen der Ebenemit gemeinsamem An-fangspunkt bilden einStrahlenbüschel.

Eine Strecke wird durchihre zwei Randpunktefestgelegt. Sie ist diekürzeste Verbindungzwischen zwei Punkten.

Die Strecke PL (L ∈ g), dieauf der Senkrechten zu gdurch P liegt, heißt das Lot (↑ S. 75) von P auf g.

Eine Ebene ist eine nachallen Richtungen unbe-grenzte unendliche Punkt-menge, die festgelegtwird durch: drei Punkte, die nicht aufeiner Geraden liegen (1), eine Gerade und einenPunkt, der nicht auf derGeraden liegt (2), zwei verschiedene, sichschneidende oder parallele Geraden (3).

P

LLotfußpunkt

g

D

AB

P

CD

EF

A(1)

(2)

(3)

C

D

B

A (4; 2)

5

71

5 Geometrie

70

Längen

Können zwei Strecken miteiner Bewegung (↑ S. 76 f.)aufeinander abgebildetwerden, so sind siedeckungsgleich und haben die gleiche Länge.

Als Abstand eines PunktesP von einer Geraden gwird die Länge des Lotsvon P auf g bezeichnet(↑ S. 69).

Die Länge der Strecke AB(= AB— ) ist der Abstand derParallelen g und h (g⎥⎥ h,k ⊥ h, k ⊥ g).

Flächen

Eine geschlossene Linie inder Ebene erzeugt eineebene Figur. Ihre Flächeumfasst alle Punkte imInnern und auf dem Rand.Zwei Figuren haben dengleichen Flächeninhalt,wenn sie so in Teilflächenzerlegt werden können,dass jede der Teilflächen injeder Figur enthalten ist.

Winkel

Zwei Strahlen mit einemgemeinsamen Anfangs-punkt S bilden einen Winkel. Der gemeinsameAnfangspunkt ist derScheitelpunkt des Win-kels. Die zwei Strahlen sinddie Schenkel des Winkels.

Einen Winkel der Größe 1 Grad (1˚) erhält man,indem man einen Kreisdurch Radien in 360deckungsgleiche Teile(Kreisausschnitte) zerlegt.

Das Bogenmaß b ist dieLänge des zugehörigenKreisbogens auf demEinheitskreis (↑ S. 65).

Wird ein Strahl um seinenAnfangspunkt S gedreht,so entsteht ein orientier-ter Winkel. Der DrehpunktS heißt Scheitelpunkt desWinkels. Erfolgt die Dre-hung entgegen dem Uhr-zeigersinn, so ist der Win-kel positiv orientiert.

A

B

C

EF

D

L

P

g

B

Ak

g

h

S

B

q

pα

A

ScheitelpunktSchenkel

Winkel α= (p, q)= BSA

b

αb = ––– · π180˚

r = 1

u

α = 40˚

5

73

5 Geometrie

72

Winkelarten

spitzer Winkel α:α < 90˚

rechter Winkel β:β = 90˚

stumpfer Winkel γ:90˚ < γ < 180˚

gestreckter Winkel δ:δ = 180˚

überstumpfer Winkel µ:180˚ < µ < 360˚

Vollwinkel ε:ε = 360˚

Nullwinkel α:Die Strahlen p und q sindidentisch. α = 0˚

Winkel an Geraden

Schneiden zwei Geradeneinander, so heißen diegegenüberliegenden WinkelScheitelwinkel. Sie sindgleich groß.Die nebeneinander liegen-den Winkel heißen Neben-winkel. Ihre Summebeträgt 180°.

α

βγ

δ

S

µS

ε

S

S A B p = q

In der Abbildung gilt:α + β = β + γ = γ + δ = δ + α= 180˚

Winkel an geschnittenen Parallelen

Stufenwinkel an geschnit-tenen Parallelen sindgleich groß.

Wechselwinkel angeschnittenen Parallelensind gleich groß.

Entgegengesetzt liegendeWinkel an geschnittenenParallelen ergänzen einan-der zu 180˚.

KonstruktionenAbtragen einer Strecke

(1) Kreisbogen um P mitr = AB— zeichnen ⇒ PunkteQ und R auf gDie Strecken PQ und PRauf g haben die gleicheLänge wie AB.

α = α', β = β', γ = γ', δ = δ'

α = γ', β = δ', γ = α', δ = β'

α + δ' = β + γ' = γ + β'= δ + α' = 180°

A B

g

g

P

P

R

Q

(1)

(1)

5

75

5 Geometrie

74

Antragen eines Winkels an einen Strahl

(1) Kreisbogen um S zeich-nen ⇒ Punkte P und Q(2) Kreisbogen um A mitRadius r = SP— zeichnen ⇒Punkt B auf dem Strahl s(3) Kreisbogen um B mitr = PQ— zeichnen ⇒ PunkteC und D(4) Strahlen ADı—— und ACı——zeichnen. Es gilt: BAD = CAB = QSP.

Strecke halbieren – die Mittelsenkrechte

(1) Kreisbogen um A und Bzeichnen; Radius beliebig,gleich groß und r > 1–2 AB——⇒ Punkte C und D(2) Die Gerade CD schnei-det die Strecke AB in M.Sie ist die Mittelsenkrech-te der Strecke AB.

Winkelhalbierende

(1) Kreisbogen um denScheitelpunkt A zeichnen⇒ Punkt B auf h undPunkt C auf k

(2) Zwei Kreisbögen um Bund C zeichnen, r > 1–2 BC—⇒ Punkte D und E alsSchnittpunkte der beidenKreisbögenADı—— ist die Winkelhalbie-rende von (h, k).

Senkrechte zu einer Geraden

(1) Kreisbogen um A zeich-nen ⇒ B und C auf h(2) Kreisbogen um B und Czeichnen; Radius beliebig,aber gleich groß, r > AB—⇒ Punkte D und EDie Gerade durch A, D, E istdie Senkrechte zu h in A.

Lot von einem Punkt auf eine Gerade

(1) Kreisbogen um A zeich-nen ⇒ B und C auf h(2) Kreisbogen um B und Czeichnen; r > 1–2 BC— abergleich groß ⇒ Punkt D(3) Gerade durch A und D zeichnen ⇒ Punkt L auf hAL ist das Lot von A auf dieGerade h.

C

B

Ak

h(1)

CD

B

EA

k

h(2)

C

D

A

E

B

C

B

Ah

h

(1)

(2)

C

B

A

h(1)

CLotfußpunkt

B

D

A

L h

(2)

(3)

5

77

5 Geometrie

76

Kongruenz und Bewegung

Zwei Figuren sind zuein-ander kongruent, wenn es eine Bewegung gibt,welche die eine Figur aufdie andere abbildet.

Verschiebung

Eine Verschiebung AB⎯→

isteine eineindeutige Abbil-dung der Ebene auf sichselbst. Für das Bild P' von Pgilt:PP' || AB und AP || BP'.

Drehung

Eine Drehung um einenPunkt Z mit dem Dreh-winkel α ist eine einein-deutige Abbildung derEbene auf sich selbst. Fürdas Bild P' von P gilt: P' liegt auf dem Kreis um Z durch P, (PZP') = α.

R'

P'

B'

A'

C'

Q'R

P Q A

A

Bα

C

Z

B

Spiegelung

Eine Punktspiegelung amPunkt Z ist eine einein-deutige Abbildung derEbene auf sich selbst. Fürdas Bild P' von P gilt: P' liegt auf dem Kreis um Z durch P, P' liegt auf der Geradendurch P und Z.

Eine Geradenspiegelungan g ist eine eineindeutigeAbbildung der Ebene aufsich selbst. Für das Bild P'von P gilt: P' liegt auf der Senkrech-ten zu g durch P, g halbiert PP'.

Symmetrie

Eine Figur heißt symme-trisch, wenn sie bei einerBewegung auf sich selbstabgebildet werden kann.Wird die Figur bei einerGeradenspiegelung an derSymmetrieachse (Spiegel-achse) auf sich selbstabgebildet, ist sie achsen-bzw. axialsymmetrisch.

B

Cg

B'

C'

A'

A

A

D C

B

A

C

B

gleichschenkligesTrapez

gleichseitigesDreieck

5

79

5 Geometrie

78

Symmetrie

Wird die Figur bei derSpiegelung an einemPunkt Z, dem Symmetrie-zentrum, auf sich selbstabgebildet, ist sie punkt-bzw. zentralsymmetrisch.

Wird die Figur bei Drehungum einen Punkt D mit Dreh-winkel α auf sich selbstabgebildet, ist sie dreh-bzw. radialsymmetrisch.

DreieckeAbgeschlossene Strecken-züge aus drei Streckenwerden Dreiecke genannt.Die drei Strecken sind dieSeiten des Dreiecks.Je zwei Seiten haben einenEckpunkt gemeinsam.

Parallelogramm

Quadratα = 90°

regelmäßigesSechseckα = 60°

Umfang: u = a + b + c1Flächeninhalt: A = – gh2

A

AA

A Bg = c

C

ab

α β

γ

hc

B

DE

CDFB

CD

D

B

CZ

D

stumpfwinkligesDreieck

rechtwinkligesDreieck

spitzwinkligesDreieck

Ein Innenwinkel ist ein stumpfer.

Ein Innenwinkel ist ein rechter.

Alle Innenwinkelsind spitze.

γ > 90º γ = 90º α < 90º, β < 90º,γ < 90º

Einteilung der Dreiecke nach Winkelgröße

A

βγ Bα

C

Aβ

C

αγ

Bβ

αB

Cγ

A

Sätze am Dreieck

Innenwinkelsatz:Die Summe der Innen-winkel eines Dreiecks ABCbeträgt 180˚.

Außenwinkelsatz:Jeder Außenwinkel einesDreiecks ist so groß wiedie Summe der beidennicht anliegenden Innen-winkel.

Aufgepasst: In jedemDreieck sind zwei Seitenzusammen immer längerals die dritte Seite (Drei-ecksungleichungen).

A

A

A

B

B

C

C

ba

c

B

C gα' β'γ

γ

α

αα1

β

β

a + b ca + c bb + c a

g

h

sich schneidende Geraden

unregelmäßiges Dreieck

gleichschenkligesDreieck

gleichseitigesDreieck

a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c a = b a = b = c

Einteilung der Dreiecke nach Seitenlängen

AB B BA

C

ab

ccA

Cab

C

ab

c

α + β + γ = 180˚

α1 = β + γ

5

81

5 Geometrie

80

Besondere Linien und Punkte im Dreieck

Die Mittelsenkrechtender drei Dreiecksseitenschneiden einander stetsim Umkreismittelpunkt Mdes Dreiecks.

Die drei Winkelhalbie-renden der Innenwinkeleines Dreiecks schneideneinander stets im Mittel-punkt W des Inkreises.

Die Seitenhalbierendenverbinden den Mittelpunkteiner Seite mit dem gegen-überliegenden Eckpunkt.Die Seitenhalbierendenaller Dreiecksseitenschneiden einander imSchwerpunkt S des Dreiecks.

In jedem Dreieck schnei-den die Höhen einander in einem Höhenschnitt-punkt H.

SSS: Dreiecke sind zu-einander kongruent,wenn sie in allen drei Seiten überein-stimmen.

SWS: Dreiecke sind zu-einander kongruent,wenn sie in zwei Seitenund dem eingeschlos-senen Winkel über-einstimmen.

WSW: Dreiecke sindzueinander kongruent,wenn sie in zwei Winkeln und der ein-geschlossenen Seiteübereinstimmen.

SSW: Dreiecke sindzueinander kongruent,wenn sie in zweiSeiten und dem dergrößeren Seite gegen-überliegenden Winkelübereinstimmen.

Kongruenzsätze für Dreiecke

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt A ist dashalbe Produkt aus einerSeite und der dazugehöri-gen Höhe.

1 1A = – a · ha = – b · hb2 2

1 1= – c · hc = – g · hg2 2

AS–––

= 2 –––SMa

–––, BS–––

= 2 –––SMb

–––,

CS–––

= 2 –––SMc

–––

Satzgruppe des PythagorasTOPTHEMA

5

82 83

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Qua-drats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen-inhalte der Quadrate über den Katheten: c2 = a2 + b2

b aa

a

a

b

b

b

c

cb

a

c

•

•

Umkehrung

Gilt zwischen den Seiten a, b und c eines Dreiecks die Bezie-hung a2 + b2 = c2, dann ist das Dreieck rechtwinklig und hatdie Hypotenuse c.

Satz des Euklid (Kathetensatz)

Im rechtwinkligen Dreieck istdas Quadrat über einer Katheteflächeninhaltsgleich mit demRechteck aus der Hypotenuseund dem zur Kathete gehören-den Hypotenusenabschnitt:a2 = c · p bzw. b2 = c · q

Umkehrung des Satzes des Euklid

Gelten für ein Dreieck mit denSeiten a, b und c, dessen Seite cdurch die Höhe hc in die Ab-schnitte p und q geteilt wird,die Beziehungen a2 = c · p undb2 = c · q, dann ist das Dreieckrechtwinklig.

Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck istdas Quadrat über der Höhe aufder Hypotenuse flächenin-haltsgleich mit dem Rechteckaus den Hypotenusenab-schnitten: h2 = p · q

Anwendung: Länge der Raumdiagonale im Quader

Die Länge der Raumdiagona-le ergibt sich aus den Seiten-längen durch zweimaligeAnwendung des Satzes desPythagoras:

AC——2 = a2 + b2

AG——2 = AC——2 + c2 = a2 + b2 + c2

AG—— = a2 + b2 + c2

G

H

D A

B

F

EC

c

•

•

b

a

Anwendung: Länge der Diagonale im Rechteck

Die Länge der Diagonale er-gibt sich aus den Seitenlän-gen durch Anwendung desSatzes des Pythagoras:

AC——2 = a2 + b2

AC—— = a2 + b2

D

A Ba√

c2 = (a + b)2 – 4 (1–2 a · b) = a2 + b2

Katheten

Hypotenuse

C

b

c

d

c c

b a

pqA AB

BHH

C C

A

A

B

C

b a

c

hc

pq

ab

c

h

h

q

q

p B

C

√

5

5 Geometrie

84

Eine ebene, von vierStrecken eingeschlosseneFigur heißt Viereck.

Der Umfang u ist die Summe der Seitenlängen:u = a + b + c + d

Die Summe der Innen-winkel beträgt 360˚.α + β + γ + δ = 360˚

Arten von Vierecken

Ein Viereck mit vierrechten Winkeln heißtRechteck.Die Diagonalen e und fhalbieren einander.Gegenüberliegende Seitensind parallel und gleichlang.Flächeninhalt: A = a · b

Ein Viereck heißt Quadrat,wenn alle Seiten gleichlang und alle Innenwinkel90˚ sind.

1Flächeninhalt: A = a2 = –e22

Vierecke

D

a

c

A

d eα β

γδ

f b

C

B

α = β = γ = δ = 90˚a = c; b = d; e = f = √a2 + b2

a = b = c = d; e = f;e ⊥ f; a ⊥ b; c ⊥ d; b ⊥ c; a ⊥ d

Ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten heißt Raute(Rhombus).

1Flächeninhalt: A = –ef2

Ein Viereck mit mindes-tens zwei parallelenSeiten heißt Trapez (1).Wenn (mindestens) zweibenachbarte Seiten zu-einander senkrecht sind,ist es ein rechtwinkligesTrapez (2).Wenn die anderen beidenSeiten gleich lang sind,heißt es gleichschenkliges Trapez (3).Flächeninhalt für Trapeze:

1A = – (a + c) · h = m · h2

Ein Viereck mit zweiPaaren paralleler Seitenheißt Parallelogramm.Die jeweils gegenüber-liegenden Seiten undInnenwinkel sind gleichlang bzw. groß.Flächeninhalt:A = a · ha = a · b · sin α

D C

B

bdm h

a

c

A

D C

Bα = δ = 90˚

α

δ

A

a = c; b = d; a || c; b || d;α = γ; β = δ; α + β = 180˚2(a2 + b2) = e2 + f 2

(1)

(2)

(3)

C

A

B

bef

a

c

d

D

a = b = c = d; a || c; b || de2 = 4a2 – f 2

85

5

87

5 Geometrie

86

Arten von Vierecken

Ein Viereck mit zweiPaaren gleich langer be-nachbarter Seiten heißtDrachenviereck.

1Flächeninhalt: A = – e · f2

Ein Viereck, bei dem dieSumme der gegenüber-liegenden Winkel stets180˚ beträgt, heißtSehnenviereck.Alle Eckpunkte liegen aufeinem Kreis.Flächeninhalt:A = (s – a) (s – b) (s – c) (s – d)

α + γ = β + δ = 180˚us = – ac + bd = ef2

Regelmäßige n-Ecke

Alle regelmäßigen n-Eckebesitzen gleich lange Sei-ten und gleich großeInnenwinkel. Für dieInnenwinkel gilt:

(n – 2) · 180˚ 360˚β = –––––––– = 180˚ – –––.n n

r1: Inkreisradiusr2: Umkreisradius

360˚α = ––– u = n · ann nA = – · a · r1 = – · r2

2 · sin α2 2

a = b; c = d; α = γ; e ⊥ f

43 60˚ 0 √⎯3 · r2 – √⎯3 · r22

3

4 90˚ 2 √⎯2 · r2 2 · r22

1 55 108˚ 5 – r2 √ – ·√2 10 – 2 · √⎯5 8 10 – 2·√⎯5 · r22

36 120˚ 9 r2 – √⎯3 · r22

2

Übersicht über regelmäßige n-EckeAnzahl Innen- Anzahl der Seitenlänge Flächen-der winkel Diagonalen inhaltEcken

(n–2) · 180˚ 1 α nn –––––––– – ·n· (n–3) 2r2 · sin – – · r22 ·sin αn 2 2 2Vielecke

Vielecke (Polygone) sindabgeschlossene ebeneStreckenzüge aus endlichvielen Strecken.

Für die Innenwinkelsum-me Sn eines beliebigen n-Ecks gilt:Sn = (n – 2) · 180˚.

√

5

89

5 Geometrie

88

Eine zentrische StreckungZ mit dem Punkt S alsStreckungszentrum unddem Faktor k (k > 0) alsStreckungsfaktor ist eineAbbildung der Ebene aufsich selbst. Für das Bild P'jedes Punktes P (P ≠ S) gilt: P liegt auf dem Strahl SPı— SP'—— = k ⋅ SP— S' (Bildpunkt von S) ist S

Wenn es eine Ähnlich-keitsabbildung ϕ gibt, diedie Figur F auf die Figur F'abbildet, sind beide Figu-ren zueinander ähnlich.

Bei zueinander ähnlichenFiguren sind entsprechen-de Winkel gleich groß(Winkeltreue).Bei zueinander ähnlichenDreiecken gilt:A' a'2 b'2 c'2–– = –– = –– = –– = k2A a2 b2 c2

Der Maßstab zeigt dasVerhältnis vom Originalzum Bild.

Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

Der Kreis (Kreislinie) istdie Menge der Punkte, die von einem festen Mittel-punkt M aus den gleichenAbstand r haben. r heißtRadius des Kreises.Q: innerer Punkt; QM—— < rP: Randpunkt; PM—— = rR: äußerer Punkt; RM—— > r

Zur Kreisfläche gehörenalle Randpunkte und alleinneren Punkte.Flächeninhalt:

1A = π · r2 = – π · d24

Der Umfang des Kreises ist die Länge der Kreislinie.u = 2 · π · r = π · d

Tangente und Berührungs-radius stehen senkrechtaufeinander.α: Sehnentangentenwinkelβ: Zentriwinkel γ, γ ': Peripheriewinkel überdem Bogen b

Am Kreisausschnitt Aα unddem Kreisbogen b gilt:b α 1– = – Aα = – b · ru 360° 4

Kreis

α = α'β = β'γ = γ'

Landkarte 1 : 200 000:1 cm auf der Karte ent-spricht 200000 cm = 2 kmin der Wirklichkeit.

d = 2 · r

b

M rAα

5

91

5 Geometrie

90

Strahlensätze

Werden Strahlenbüschel(s1; s2; s3) von Parallelen(g; h) geschnitten, entste-hen Strahlenabschnitteund Parallelenabschnitte.

1. StrahlensatzDie Längen der Abschnitteauf einem Strahl verhaltensich zueinander wie dieLängen der gleich liegen-den Abschnitte auf einemanderen Strahl.2. StrahlensatzDie Längen der zwischenzwei Strahlen liegendenParallelenabschnitte ver-halten sich zueinanderwie die Längen der vomScheitelpunkt aus ge-messenen zugehörigenStrahlenabschnitte.3. StrahlensatzDie Längen gleich liegen-der Parallelenabschnittezwischen zwei Strahlenverhalten sich zueinanderwie die Längen gleichliegender Parallelenab-schnitte zwischen zweianderen Strahlen.

Strahlenabschnitte: SA—, BE—

Parallelenabschnitte: BC——, DF——

SA—— : AD—— = SB— : BE——

SA—— : SD—— = AB—— : DE——

AB—— : DE—— = BC—— : EF—

Goldener Schnitt

Der goldene Schnitt isteine Form der geometri-schen Teilung einer Stre-cke. Es werden Strecken so geteilt, dass gilt:AB—— : AT—— = AT—— : BT—

Ähnlichkeit bei Dreiecken

Dreiecke sind zueinanderähnlich, wenn sie in zweiInnenwinkeln überein-stimmen.

KörperBegriffe

Oberflächeninhalt AO:Summe der Flächeninhaltealler Begrenzungsflächen.Volumen V: Größe desRauminhaltes innerhalbder Begrenzungsflächen.Es gibt Körper mit einerGrundfläche A.Die übrigen Flächenheißen Seitenflächen, siebilden zusammen dieMantelfläche AM.

5

93

5 Geometrie

92

Für eine gerade quadrati-sche Pyramide gilt:

1V = – a2h AM = 2ahs3

AO = a(a + 2hs)

Zylinder

Ein gerader Kreiszylinderwird begrenzt von: zwei kongruentenzueinander parallelenKreisflächen, einer gekrümmtenFläche, die abgewickeltein Rechteck ergibt.V = πr2h = π–4 d2h d = 2rAM = 2πrh = πdhAO = 2πr(r + h) = πd(d–2 + h)

Kegel

Ein gerader Kreiskegelwird begrenzt von: einer Kreisfläche, einer gekrümmten Flä-che, die abgewickelt einenKreisausschnitt ergibt.

V = 1–3 AGh s2 = h2 + r2

Quader und Prismen

Ein Quader (1) wird vondrei Paaren zueinanderkongruenter Rechtecke(die paarweise parallelliegen) begrenzt.V = a ⋅ b ⋅ c AM = 2(ac + bc)AO = 2(ab + ac + bc)Beim Würfel (2) (Hexaeder)sind die Flächen sechskongruente Quadrate.V = a3 AM = 4a2 AO = 6a2

Ein gerades n-seitigesPrisma (1) wird begrenztvon: zwei kongruentenzueinander parallelen n-Eckflächen, n Rechteckflächen.V = AG ⋅ h AO = 2 AG + AM

Dreiseitiges Prisma (2):V = a2––4 h√⎯3 AM = 3ahAO = a–2 (a√⎯3 + 6h)

Pyramide

Sie wird begrenzt von: einer n-Eckfläche, n Dreiecksflächen mitgemeinsamem Punkt S.V = 1–3 AGh AO = AG + AM

(1)

(2)

(1)

(2)

5

95

5 Geometrie

94

Kegel

AO = AG + AM

V = π–3 r2h = π––12 d2h d = 2rAM = πrs = π–2 dsAO = πr(r + s) = π–4 d(d + 2s)

Kugel

Die Kugel ist ein geometri-scher Körper, der von einergleichmäßig gekrümmtenFläche (Kugeloberfläche)begrenzt wird. Alle Punkteder Kugeloberflächehaben von einem festenPunkt im Raum (Kugel-mittelpunkt) den gleichenAbstand (Radius r).

4 1V = –πr3 = –πd3 d = 2r3 3

AO = 4πr2 = πd2

Beim ebenen Schnitt einerKugel entstehen zweiKugelabschnitte (Kugel-segmente). Der jeweilsabgetrennte Teil der Kugel-oberfläche heißt Kugelkap-pe (Kugelhaube, Kalotte).

πV = – h · (3r12 + h2)6

AO = π (2r12 + h2)

Projektionsarten

Ein Körper kann mithilfevon Projektionsstrahlen ineine Ebene (Bildebene)abgebildet werden. JedemPunkt des Körpers wirddabei genau ein Bildpunktin der Ebene zugeordnet.

Gehen alle Projektions-strahlen von einem Punktaus, so nennt man dieseAbbildung Zentral-projektion.

Verlaufen die Projektions-strahlen zueinander parallel, so heißt eine solche Abbildung Parallel-projektion.

Bei einer Parallelprojektionkönnen Strecken, Winkeloder Flächen des Originalsin wahrer Größe undGestalt oder auch verkürzt,verlängert oder verzerrtabgebildet werden. Dieauf den drei Dimensionenjedes Körpers verlaufendenLinien (Breite, Tiefe, Höhe)heißen entsprechend.

sh

r

Höhen(Höhenlinien)

Tiefe(Tiefenlinien)

Breiten (Breitenlinien)

5

97

5 Geometrie

96

Projektionsarten

Bei einer senkrechtenZweitafelprojektionerfolgt eine Abbildung(Zweitafelbild) gleichzei-tig in zwei Ebenen. DieGrundrissebene befindetsich unter dem Körper(Grundriss). Hinter demKörper befindet sich dieAufrissebene (Aufriss).Dem Grundriss entsprichtdie Ansicht von oben(Draufsicht) und dem Auf-riss die Ansicht von vorn(Vorderansicht).

TrigonometrieSinussatz

In jedem Dreieck verhal-ten sich die Längen zweierSeiten wie die Sinuswerteder gegenüberliegendenWinkel:a : b : c = sin α : sin β : sin γ

a b coder –––– = –––– = ––––sin α sin β sin γ

Ordnungs-linien

Aufriss

GrundrissP'

P''

Rissachse

Spitzwinkliges Dreieck:hc hcsin β = ––; sin α = ––a b

hc = a · sin β = b · sin α

Rechtwinkliges Dreieck:hc = b (sin α = sin 90° = 1)b = hc = a · sin β

StumpfwinkligesDreieck:δ = sin(180˚– α)sin α = hc : b sin β = hc : a

Kosinussatz

In jedem Dreieck gilt:a2 = b2 + c2 – 2bc · cos αb2 = a2 + c2 – 2ac · cos βc2 = a2 + b2 – 2ab · cos γ

Aufgepasst: Der Satz desPythagoras (↑ S. 82) ist einSpezialfall des Kosinussat-zes für γ = 90° (cos 90° = 0).

C

A B

a

α

hcb

c

C

A B

a

α = 90° β

β

b = hc

c

C

A B

a

αδ β

hcb

c

b

c

a

α β

γ

6

98

6 Wahrscheinlichkeits-rechnung und Stochastik

99

Jede mögliche Anordnungvon allen n Elementen ei-ner Menge heißt Permuta-tion Pn. Für n verschiedeneElemente gibt es n! Anord-nungsmöglichkeiten.Pn= n!

n! (sprich: „n Fakultät“) istdas Produkt aller natürli-chen Zahlen von 1 bis n.n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1,(n + 1)! = (n + 1) ⋅ n! (n ∈ )

Der Ausdruck (nk) (gespro-

chen: n über k) wird als Binomialkoeffizient be-zeichnet. (k, n ∈; k ≤ n)

n!(nk) = ––––––k!(n – k)!

Rechenregeln für Binomialkoeffizienten:(n

1) = ( nn–1) (n ∈ )

(nk) = ( n

n–k)(n

k) + ( nk+1) = (n+1

n+k)

Kombinatorik

Für drei Elemente gibt es 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 MöglichkeitenP3 = 3! = 6

1

2 3 1 3 1 2

3 2 3 1 2 1

2 3 Platz 1

Platz 2

Platz 3

3! = 2! ⋅ 3 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 64! = 24 5! = 120 6! = 7207! = 5040 8! = 40 320

0! = 1 1! = 1

n n( ) = ( ) = 10 n

5 5 5 5 · 4( ) = ( ) = ( ) = ––– = 103 5–3 2 1 · 25 5 6 6 · 5 · 4( ) + ( ) = ( ) = ––––– = 202 3 3 1 · 2 · 3

2 aus 3 Elementen ABC:2 3!V = –– = 63 1!

AB BA CA AC BC CB

2 aus 3 Elementen ABC:2––

V = 32 = 93

AA BA CA AB BB CBAC BC CC

2 aus 3 Elementen ABC:2 3C = ( ) = 33 2

AB BC AC

Kombination der ElementeABC zur zweiten Klasse:

2 3 + 2 –1 4––C = ( ) = ( ) = 6

3 2 2

AA BB CC AB BC ACAufgepasst: AB und BA stellendie gleiche Kombination dar.

Jede mögliche Anordnung von je k Elementen aus n Elementen, bei der die Reihenfolge berücksichtigtwird, heißt Variation Vk

n(Variation von n Elemen-ten zur k-ten Klasse). Für Variationen ohneWiederholung gilt:

n!Vkn = ––––– = (n

k) k!(n – k)!

Für die Anzahl der Varia-tionen mit Wiederholunggilt:

––Vk

n = nk

Jede mögliche Anordnungohne Berücksichtigung derReihenfolge aus jeweils kvon n Elementen einerMenge heißt Kombination. Für die Anzahl der Kom-binationen ohne Wieder-holung gilt:

n!Ckn = ––––––– = (n

k)(n – k)! ⋅ k! Für die Anzahl der Kom-binationen mit Wieder-holung gilt:

n + k – 1––Ck

n = ( )k

6

101

6 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik

100

Zufällige Ergebnisse

Ein Zufallsexperimentist die mehrfache Wieder-holung eines zufälligenVorgangs unter gleichenBedingungen. Die Mengealler möglichen Ergebnisseheißt Ergebnismenge Ω.

Jede Teilmenge der Ergeb-nismenge Ω nennt manEreignis E.

Ein sicheres Ereignis trittbei jeder Versuchsdurch-führung ein. Ein unmöglichesEreignis ∅ ist ein Ereignis,das bei keiner Versuchs-durchführung eintritt. Ein Elementarereignis aist ein Ereignis mit genaueinem Element. Ein Gegenereignis E—(Komplementärmengevon E) ist ein Ereignis, dasgenau dann eintritt,wenn E nicht eintritt.E ∪ E— = Ω

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Werfen eines Würfels:

Ergebnisse: 1; 2; 3; 4; 5; 6

Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6

Eine 6 gewürfelt. E1 = 6Eine ungerade Zahl gewürfelt. E2 = 1; 3; 5Keine 6 gewürfelt.

E3 = 1; 2; 3; 4; 5

Mit einem Würfel wird eineZahl von 1 bis 6 gewürfelt.

Mit einem Würfel wird eine15 gewürfelt.

Eine 3 wird gewürfelt.E4 = 3

E3 ist das Gegenereignis zu E1 (siehe oben).

Werfen einer Münze:

Die relativen Häufigkeitennähern sich jeweils 50 %.

Wahrscheinlichkeiten

Unter der absoluten Häu-figkeit Hn(E) versteht mandie Anzahl des Eintretensvon E bei n Versuchen.

Die relative Häufigkeithn(E) ist die absolute Häu-figkeit Hn geteilt durch die Gesamtanzahl der Versuche.

Hn(E)hn(E) = ––––n

Das empirische Gesetzder großen Zahlen:Je häufiger ein Versuchdurchgeführt wird, destomehr nähert sich hn(E)einem festen Wert an,der WahrscheinlichkeitP(E) genannt wird.

Die Wahrscheinlichkeits-verteilung ordnet jedemeinzelnen Ergebnis genaueine Zahl (Wahrscheinlich-keit) so zu, dass diese Zahlzwischen 0 und 1 liegt. DieSumme aller Wahrschein-lichkeiten ist 1.

Note 1 2 3 4 5 6

Anzahl 2 7 9 6 3 1

Versuche 10 400 6000

Kopf 7 181 2958

Zahl 3 219 3042

Kopf 70 % 45 % 49 %

Zahl 30 % 55 % 51 %

7 1h28(„2“) = –– = –28 4

3h28(„5“) = ––28

Bei genügend vielen Ver-suchen liegt die Wahrschein-lichkeit für das Würfeln einer 2 bei 1–6 = 0,16666 und beim Werfen einer Münze für „Kopf“ bei 1–2 = 0,5.

Schülerzahl n = 28

6

103


102

Wahrscheinlichkeiten

Laplace-Experiment: AlleErgebnisse eines Zufalls-experiments haben diegleiche Wahrscheinlichkeit(Gleichverteilung). Für einbeliebiges Ereignis E gilt:

Anzahl der für E g günstigen ErgebnisseP(E) = –– = ––––––––––––––––m Anzahl aller

möglichen Ergebnisse

Regeln für Wahrschein-lichkeiten sind:1. 0 ≤ P(E) ≤ 12. Summenregelx1, x2, ..., xk ⊆ ΩP(x1, x2, ..., xk) = P(x1) + P(x2) + ... + P(xk)3. Wahrscheinlichkeit dessicheren EreignissesP(Ω) = 14. Wahrscheinlichkeit desunmöglichen EreignissesP(∅) = 05. Wahrscheinlichkeit desGegenereignissesP(E—) = 1 – P(E)6. E1 ⊆ E2 P(E1) ≤ P(E2)7. Additionssatz für zweiEreignisseP(E1 ∪ E2)= P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)

Bei genügend vielen Ver-suchen liegt die Wahrschein-lichkeit für das Würfeln jeder einzelnen Zahl bei 1– = 0,16666— und beim 6

Werfen einer Münze für jedes der zwei Ereignisse„Kopf“ oder „Zahl“ bei 1– = 0,5.2

Werfen eines Würfels:1. 0 P(2) 1

2. 1; 2; 3 ⊆ ΩP(1; 2; 3) = P(1) + P(2) + P(3)= 1–6 + 1–6 + 1–6 = 3–6

3. P(1; 2; 3; 4; 5; 6) = 1

4. P( ) = 0

5. P(1; 2) = 1 – P(3; 4; 5; 6)

6. 1; 2 ⊆ 1; 2; 3 P(1; 2) = 2–6 P(1; 2; 3) = 3–6

7. P(1; 2; 3 ∪ 3; 4)= P(1; 2; 3) + P(3; 4)

– P(3) = 3–6 + 2–6 – 1–6 = 4–6= P(1; 2; 3; 4)

Der Additionssatz für einander ausschließendeEreignisse lautet:P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)(Wahrscheinlichkeit für„entweder E1 oder E2).

Vorgänge mit zufälligemErgebnis können ausmehreren Teilvorgängenbestehen, die sowohlgleichzeitig als auch nach-einander ablaufen können.Solche Vorgänge werdenmehrstufige Zufalls-experimente genannt.Ein Baumdiagramm isteine gute Möglichkeit zurBeschreibung mehrstufi-ger Zufallsexperimente.

Pfadregeln

1. Pfadregel (Produktregel):Die Wahrscheinlichkeiteines Ergebnisses in einemmehrstufigen Vorgang istgleich dem Produkt derWahrscheinlichkeitenlängs des Pfades im Baum-diagramm, der diesemErgebnis entspricht.

Wahrscheinlichkeit dafür,beim Würfeln eine 1 odereine 5 zu erreichen:

P(E1 ∪ E5) = P(E1) + P(E5) 1 1 1= – + – = –6 6 3

Ziehen von 2 Kugeln ohneZurücklegen aus einer Urnemit 3 unterschiedlichenKugeln.

erste Ziehung

zweite Ziehung

ErgebnisseE21;3 E42;3 E53;1

Geburt zweier Mädchen:

1. Kind 2. Kind

Wahrscheinlichkeit:0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 = 25 %

1–3 1–31–3

1–21–2

1–21–2

1–21–2

6

105


104

Die bedingte Wahrschein-lichkeit PB(A) ist dieWahrscheinlichkeit desEreignisses A unter derVoraussetzung, dass B miteiner bestimmten Wahr-scheinlichkeit bereitseingetreten ist.

P(A B)PB(A) = ––––––, falls P(B) > 0P(B)

Binomialverteilung

Ein Zufallsversuch, beidem genau zwei Ergeb-nisse („Erfolg“ und „Miss-erfolg“) möglich sind,heißt Bernoulli-Versuch.Wird ein Bernoulli-Versuch(mit der Erfolgswahr-scheinlichkeit p) n-maldurchgeführt, ist dieWahrscheinlichkeit für kErfolge (0 ≤ k ≤ n):P(k) = (n

k) · pk · (1 – p)n–k

Die Anzahl dieser Erfolgebei n-maliger Durchfüh-rung eines Bernoulli-Ver-suchs ist eine Zufallsgröße.Die Verteilung dieser Zu-fallsgröße heißt Binomial-verteilung.

Vierfacher Münzwurf:

Ereignisse Wahrschein-lichkeiten

1 14 × Zahl p1 = 1 · –– = –– 16 16

1 13 × Zahl p2 = 4 · –– = –– 16 4

1 32 × Zahl p3 = 6 · –– = –– 16 8

1 11 × Zahl p4 = 4 · –– = –– 16 4

1 1keine Zahl p5 = 1 · –– = –– 16 16

Pfadregeln

2. Pfadregel (Summenregel):Die Wahrscheinlichkeiteines Ereignisses in einemmehrstufigen Vorgang istgleich der Summe derWahrscheinlichkeiten der für dieses Ereignisgünstigen Pfade.

Abhängigkeit von Ereignissen

Zwei Ereignisse heißenvoneinander unabhängig,wenn das Eintreten deseinen Ereignisses keinenEinfluss auf die Wahr-scheinlichkeit des anderenEreignisses hat.Ansonsten heißen sievoneinander abhängig.

Mindestens oder genau zwei-mal „Zahl“ (Z) beim dreima-ligen Werfen einer Münze

P(E) = P(ZZK) + P(ZKZ)+ P(KZZ) = 1–8 + 1–8 + 1–8 = 3–8= 0,375 = 37,5 %

Voneinander unabhängigeEreignisse sind:das Werfen einer Münze,das Ziehen einer Kugel auseiner Urne mit Zurücklegen.

Voneinander abhängige Ereignisse sind:das Ziehen eines Loses ausder Lostrommel,das Ziehen einer Kugel aus einer Urne ohneZurücklegen.

6

107


106

Beschreibende Statistik

Untersuchungen beziehensich im Allgemeinen aufeine Grundgesamtheitmit einem bestimmtenMerkmal. Aus dieserwählt man für die Unter-suchung eine Stichprobeals Teilmenge aus, dierepräsentativ sein sollte.

Mittelwerte

Der Modalwert m ist deram häufigsten unter denBeobachtungsergebnisseneiner Stichprobe auftre-tende Wert.

Der Zentralwert (Median)x~ ist der in der Mitte ste-hende Wert der nach derGröße geordneten Wertex1, x2, ..., xn der Stichprobe.

Das arithmetische Mittelx– ist die Summe aller Wer-te einer Stichprobe divi-diert durch deren Anzahl:

x1 + x2 + … + xnx– = (n ∈ )n

Aus der Bevölkerung einesLandes im Alter von 18 bis25 Jahren werden 10 000Menschen ausgewählt.Beachtet werden Alter,Geschlecht, Wohnort.Grundgesamtheit: Bevöl-kerung von 18–25 JahrenMerkmale: Alter, Geschlecht,WohnortStichprobe: 10 000 Personen

Note 1 2 3 4 5 6

Anzahl 2 7 9 6 3 1

Modalwert: m = 3

Note 1 2 3 4 5 6

Anzahl 2 7 9 6 3 1

0; 2; 2; 5; 6; 6; 9; 11; 11; 12; 15Median: x~ = 62; 5; 6; 6; 9; 11; 11; 12Median: x~ = (6 + 9) : 2 = 7,5

gemessenes Körpergewicht:52 kg; 54 kg; 55 kg; 53 kg;52 kg; 59 kg; 57 kg; 54 kg;62 kg; 55 kg; 56 kg; 57 kg

666 kgx– = ––––– = 55,5 kg 12

Das gewogene arithmeti-sche Mittel x– der Beob-achtungsergebnisse einerHäufigkeitsverteilungwird berechnet als Sum-me der Produkte aus denWerten der Stichprobeund ihren zugehörigenrelativen Häufigkeiten:x– = h1 · x1 + h2 · x2 + ...+ hk · xk (n, k ∈ ; k ≤ n)

Streuungsmaße

Wichtig für statistischeErhebungen ist auch, wieweit die Werte streuen.

Die Spann- oder Streu-breite w einer Stichprobeist die Differenz aus demgrößten und dem kleinstenBeobachtungsergebnis:w = xmax – xmin

(2 · 1) + (7 · 2) + … + (1 · 6)x– = –––––––––––––––––– =28

2 + 14 + 27 + 24 + 15 + 6–––––––––––––––– =28

88 22–– = –– 3,1428 7

Bei gleichem Mittelwertsind die Messwerte dochvöllig anders verteilt(gestreut).

Gemessenes Körpergewicht:52 kg; 54 kg; 55 kg; 53 kg;62 kg; 57 kg; 54 kg; 53 kg

w = 62 kg – 52 kg = 10 kg

109


108

Streuungsmaße

Die mittlere (lineare)Abweichung d der Werteeiner Stichprobe (mit demUmfang n) vom Mittel-wert wird berechnet:

|x1 – x– | + |x2 – x– | + … + |xn – x– |d = n

(n ∈ )

Zur Vereinfachung quad-riert man die jeweiligen(vorzeichenbehafteten)Abstände und berechnetdie mittlere quadratischeAbweichung (Varianz) s2.

(x1 – x–)2 + … + (xn – x–)2

s2 = (n ∈ )n

Der Wert s wird Standard-abweichung genannt.s=

(x1 – x–)2 + (x2 – x–)2 + … + (xn – x–)2

n

(n ∈ )√

Ein weiteres Streuungsmaßist die Halbweite bzw.Vierteldifferenz. Dabei wirdnicht auf den Mittelwert x–,sondern auf den Zentral-wert x~ Bezug genommen.

Bei der Verkehrszählung inzwei Straßen sind dieMittelwerte gleich.

Straße A: Straße B:x– = 390––6 = 65 x– = 390––6 = 65d = 84––6 =14 d = 18––6 =3

Häufigkeit Abweichung von x–

A B A B40 62 25 365 62 0 378 68 13 392 71 27 667 65 2 048 62 17 3

390 390 84 18

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Das Wort Duden ist für den Verlag Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG als Marke geschützt.

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Redaktionelle Leitung Heike KrügerRedaktion Claudia Fahlbusch und Marion Krause,

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F E D C B A

ISBN-13: 978-3-411-70294-7ISBN-10: 3-411-70294-x

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Stichwortfinder

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AAbweichung 107 f.Addition 7, 11, 17, 23Additionssatz 103Additionsverfahren 40Ähnlichkeit 89 ff.Anordnung 98Anstiegsdreieck 55Äquivalenz, äquivalentes

Umformen 28, 33arithmetisches Mittel 106Assoziativgesetz 11 f., 24Ausklammern 29Aussage 31

BBasis 13, 25, 27, 64Binomialkoeffizient 98binomische Formeln 30Bogenmaß 66, 71Bruchgleichung 45 f.Bruchungeichung 45 f.Bruchzahl 7, 16 ff.

DDefinitionsbereich 50, 58Dezimalbrüche 18Dezimalsystem 9Diskriminante 44, 57Distributivgesetz 12 f.Division 7, 13, 18, 30Drehung 76Dreiecke 78 ff., 91, 96 f.Dreisatz 20 f.Dualsystem 8

EEinheitskreis 65Einsetzungsverfahren 40Ereignis 100Exponentialfunktion 62Exponentialgleichung 47 f.

FFakultät 98Fläche, Flächen-

inhalt 70, 78, 81, 84 ff.Funktionsgleichung 51, 58

Gganze Zahlen 7, 22geometrische Begriffe,

Zeichen 5, 68 ff.Gleichsetzungsverfahren 40Gleichung 31Gleichungssystem 40, 55goldener Schnitt 91Graph 38, 54 ff., 61, 66Grundgesamtheit 106

HHäufigkeit 101Hexadezimalsystem 9Höhensatz 83Hypotenuse 64, 82 f.

Iirrationale Zahlen 7, 24

KKathete, Kathetensatz 64, 82 f.Kehrwert 16Kombination 99Kommutativgesetz 11 f.Kongruenz 76 ff., 81Konstruktionen 73 ff.Koordinaten,

Koordinatensystem 38, 51Körper 91 ff.Kosinus, Kosinusfunktion,

Kosinussatz 64 ff., 97Kotangens,

Kotangensfunktion 64 ff.Kreis 88kubische Gleichung 46Kürzen 17, 30, 34

Llineare Funktion 54 f.lineare Gleichung 35 ff.lineares Gleichungs-

system 40 ff.lineare Ungleichung 38 f.Logarithmen 5, 27Logarithmengleichung 47 f.Logarithmusfunktion 61, 64Lösungsmenge 32, 38 f., 42

MMenge 5 ff.Mittelwert 106Multiplikation 7, 12, 17, 24, 29

Nnatürliche Zahlen 7, 10 ff.Nullstelle 55, 57 f.

PPascalsches Dreieck 31Permutation 98Pfadregel 103 f.Polynom 29Potenz, Potenzieren 13, 25 f.Potenzfunktion 58 f.Primzahl 15Probe 32Projektion 94 ff.Proportionalität 20 f., 52 f.Prozentrechnung 18 f.

Qquadratische Funktion 56 ff.quadratische Gleichung 43 ff.Quersumme 14

RRadikand, Radizieren 26, 44rationale Zahlen 7, 23 f.Rechenregeln,

Rechenschrittfolge 14reelle Zahlen 7, 24 f.Runden, Rundungsregeln 11

SSachaufgabe 36 f.Satz des Euklid 83Satz von Vieta 44Satzgruppe des

Pythagoras 82 f.Sinus, Sinusfunktion,

Sinussatz 64 ff., 96 f.Spiegelung 56, 76 f.Statistik 106 ff.Stauchung 56

Stichwortfinder

112

Stichprobe 106Strahl,

Strahlensätze 69, 74, 90Streckung 56, 89Streuungsmaß 107 f.Subtraktion 7, 11, 17Symmetrie 77 f.

TTangens,

Tangensfunktion 64 f., 67Teiler, Teilbarkeitsregeln 14 f.Term, Termumformung 28 f.trigonometrische

Funktion 5, 64 ff.trigonometrische

Gleichung 49

UUmfang 78, 84, 88Ungleichung 31

VVariable 28, 40 f.Variation 99Verhältnisgleichung 35Verschiebung 56, 76Vielecke 86 f.Vielfaches 15Vierecke 84 ff.Volumen 91 ff.Vorzeichen 22 ff., 29

WWachstum 62 f.Wahrscheinlichkeit 101 ff.Wertebereich 50, 58Winkel 71 ff., 79, 84, 96 f.Winkelfunktion 5, 64 ff.Wurzelfunktion 60 f.Wurzelgleichung 47 f.Wurzeln 7, 26 f.

ZZahlensysteme,

Zahlzeichen 8 f.Zinsrechnung 19Zufall 100, 103, 105Zuordnung 50, 52

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