Solitonen in mehrkomponentigen Bose-Einstein...

Solitonen in mehrkomponentigen

Bose-Einstein Kondensaten

Simon Stellmer

Diplomarbeit

Universität HamburgDepartment Physik

Institut für Laser-Physik

September 2007

Referenten

Referent: Prof. Dr. Klaus SengstockQuantengase und Spektroskopie

Koreferent: Prof. Dr. Werner NeuhauserIonenfallen

Universität HamburgFakultät für Mathematik, Informatik und NaturwissenschaftenDepartment Physik - Institut für Laser-Physik

Erklärung zur Eigenständigkeit

Hiermit versichere ich, die vorliegende Diplomarbeit selbstständig verfasst und nur die angege-benen Quellen und Hilfsmittel benutzt zu haben.Mit einer Ausleihe meiner Arbeit bin ich einverstanden.

Hamburg, den 30.09.2007

Simon Stellmer

ZusammenfassungMit der Realisierung von Bose-Einstein Kondensaten in atomaren Gasen ist im Jahre 1995ein völlig neues und hochdynamisches Forschungsgebiet entstanden, in dem fundamentale ma-kroskopische Quantenphänomene erzeugt und untersucht werden können. Unter diesen ndendie Solitonen - nichtdispersive Wellenzüge - neben anderen nichtlinearen Anregungen wie etwaSchallwellen und Vortizes ein besonderes Interesse.

Solitonen werden formal als stationäre Lösungen bestimmter partieller Dierentialgleichun-gen beschrieben und treten in vielen nichtlinearen Systemen der Physik und anderer Natur-wissenschaften auf. In ultrakalten Quantengasen konnten sie bisher nur mit sehr begrenztenMethoden realisiert werden.

Für die kontrollierte Erzeugung von Solitonen ist es nötig, das Kondensat lokal, also imBereich der Ausheillänge, in Phase und Dichte manipulieren zu können. Dies wurde möglichdurch den Einsatz eines räumlichen Lichtmodulators (SLM), der im Rahmen der vorliegendenDiplomarbeit in das bestehende Experiment integriert und charakterisiert wurde. Zusätzlich zurBestimmung der Abbildungsqualität durch eine hochauösende Optik wurde ein detailliertesVerfahren zur Justage entworfen. Mit Hilfe des SLM können Solitonen fast beliebig präpariertwerden, um ihre reichhaltige Dynamik in verschiedenen Geometrien zu studieren. Durch dieVerfügbarkeit von Spinor-Kondensaten, die mit dem Spin einen weiteren Freiheitsgrad einführenund so die Verbindung zum Magnetismus herstellen, werden die experimentellen Möglichkeitenzudem enorm erhöht.

In einem elongierten 87Rb-Kondensat konnten erstmalig dunkle Solitonen mit Lebensdauernvon mehr als einer Sekunde präpariert werden. So wurde es möglich, ihre Oszillation eindeutigzu beobachten und ihr Wechselwirkungsverhalten in Kollisionen zu dokumentieren. Durch denSLM konnte die Anzahl, Position, Geschwindigkeit und Gröÿe der Solitonen über einen weitenParameterbereich frei eingestellt werden.

Ebenso konnten erstmals gefüllte Solitonen erzeugt werden. Diese bestehen aus einem dunklenSoliton, in das ein helles Soliton eines anderen Hyperfeinzustandes eingebettet ist. Gefüllte So-litonen wurden theoretisch als auÿerordentlich stabil und langlebig vorhergesagt und lassen sichsehr kontrolliert erzeugen. Neben ihrer Oszillation im harmonischen Potential einer optischenDipolfalle konnte auch die kurzreichweitige Wechselwirkung in Kollisionen mit theoretischenVorhersagen verglichen werden.

Für den lokalen Populationstransfer wurde mit einem Raman-Laser verwendet, der alsbichromatische Lichtquelle Rabi-Oszillationen zwischen zwei Hyperfeinzuständen in einem Λ-System treiben kann. Weiterhin wurde der Einsatz einer Phasenkontrastdetektion vorbereitet,die eine zerstörungsfreie und dadurch mehrfache Abbildung eines Solitons erlaubt.

Somit besteht auf Basis der Ergebnisse dieser Diplomarbeit erstmals die faszinierende Mög-lichkeit, solitonartige Strukturen in Bose-Einstein Kondensaten umfassend zu untersuchen unddamit einen wichtigen Beitrag zum Verständnis der Dynamik von Solitonen in der Physik ge-nerell zu liefern.

Das Experiment bietet die Möglichkeit, eine Vielzahl weiterer topologischer Strukturen undSpin-Texturen zu erzeugen, auch diese werden in der vorliegenden Arbeit diskutiert.

AbstractThe realization of Bose-Einstein condensates in dilute atomic gases in the year 1995 jump-started a completely new and highly dynamic eld of research, in which fundamental macros-copic quantum phenomena can be created and investigated. Among other excitations such assound waves and vortices, solitons - non-dispersive wavepackets - are of especially high interest.

Solitons are formally described as stationary solutions of certain partial dierential equationsand emerge in many nonlinear systems not only in physics, but in many other sciences. However,their preparation in ultracold quantum gases suered from very limited techniques.

The controlled generation of solitons requires a local manipulation of the condensate inphase and density, namely on the scale of the healing length. This was achieved by use of aspatial light modulator (SLM). The implementation and characterization of this device waspart of this diploma theses, featuring the determination of the quality of the high-resolutionimage and the development of a procedure for proper alignment.

With the SLM, solitons can be created almost arbitrarily in order to study their rich dy-namics in various geometries. Spinor condensates, which introduce the spin as yet anotherdegree of freedom, greatly increase the experimental options and construct a link to the eldof magnetism.

For the rst time, oscillations of dark solitons could be observed, along with their collisionaldynamics. Owing to the versatility of the SLM, the number, position, speed, and size of thesolitons can be altered over a wide range.

For the rst time, also, lled solitons were created in a 87Rb-condensate. These speciesconsist of a bright soliton, which is embedded in a dark soliton of a dierent hyperne state.Filled solitons are theoretically forseen as being extremely stable and long-living. Compared topure dark solitons, the parameters of their generation are more easily to control. Oscillationsin the harmonic potential of an optical dipol trap and evidence of short-range interactions incollisions as well as the exchange of energy and particle number were detected and comparedto theoretical predictions.

The local transfer of spin population was performed by a Raman-laser. This bichromaticlight source is capable of driving Rabi-oscillations in the Λ-system of two hyperne groundstatesand a virtual excited level. Furthermore, the emploiment of phase-contrast detection was madeready, allowing for nondestructive, thus multiple imaging of the solitons.

In conclusion, the results of this thesis oer the fascinating possibility to extensively investi-gate soliton-like structures in Bose-Einstein condensates. This will be an important contributionto the general understanding of solion dynamics in physics.

The experiment is also suited for the creation of many other topological excitations suchas skyrmions and monopoles as well as spin-textures. Their physics are also discussed in thecourse of this thesis.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 12 Solitonen 3

2.1 Allgemeine Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Dunkle Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Helle Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Gefüllte Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Wechselwirkung und Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Weitere topologische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Räumliche Lichtmodulation 173.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Polarisation und Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Charakterisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1 Auösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.2 Homogenität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.3 Toleranzen bei der Justage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Experiment 354.1 Atomphysikalische Rechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Rabi-Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.2 Phasenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Raman-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.1 Raman-Laser System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.2 Rabi-Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Phasenkontrastdetektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Experimentzyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Erste Ergebnisse 455.1 Dunkle Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1 Lebensdauer und Oszillation in der Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.2 Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.1.3 Stabilität nach groÿen Zeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Gefüllte Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3 Bewegung im Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

i

ii

5.4 Dreikörperprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 Ausblick 57A Daten und Termschema zu Rubidium-87 61B Wechselwirkung von Licht und Materie 63C Phasenpräparation 65D Funktionsweise des LC-Displays 67

Kapitel 1

Einleitung

Ein Soliton ist ein nichtdispersiver Wellenzug, der seine Stabilität durch Wechselwirkung miteinem nichtlinearen Medium gewinnt. Solitonen treten in fast allen Bereichen der Physik und invielen anderen Naturwissenschaften auf. In Form optischer Solitonen haben sie in der modernenTelekommunikation groÿe Bedeutung erlangt, während sie als ungewöhnliche Wasserwellen einbreites öentliches Interesse nden.

Erstmalig beschrieben wurde ein Soliton durch den schottischen Schisbauingenieur J.Scott-Russel, der eine Welle im achen, engen Union Canal beobachtete [1]:

I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrowchannel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped - not so the massof water in the channel which it had put in motion; it accumulated round theprow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind,rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation,a rounded, smooth and welldened heap of water, which continued its course alongthe channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed iton horseback, and overtook it still rolling on a rate of some eight or nine miles perhour, preserving its original gure some thirty foot long and a foot and a half inheight. Its height gradually diminished, and after a chase of one or two miles, I lostit in the windings of the channel. Such, in the month of August 1834, was my rstchance interview with that singular and beautiful phenomenon which I have calledthe Wave of Translation.

Theoretisch exakt beschreiben wurden eindimensionale Solitonen im Jahre 1971 [2]. Mit derersten Realisierung von Bose-Einstein Kondensation im Jahre 1995 wurde die Möglichkeit ihrerErzeugung und Beobachtung in Quantensystemen geschaen, drei Jahre später gelang die ersteErzeugung dunkler Solitonen. Es entstand ein überaus groÿes und ständig wachsendes Interessean Solitonen. Weit mehr als tausend theoretischen Publikationen steht heute eine Zahl vonnur sieben Experimenten gegenüber, in denen Solitonen in Bose-Einstein Kondensaten erzeugtwurden. In allen Experimenten mit dunklen [3, 4, 5] und hellen Solitonen [6, 7, 8, 9] war dieErzeugung jedoch nur wenig reproduzierbar und die erzielten Lebensdauern nur kurz. Vier dieserviel beachteten Experimente liegen mittlerweile mehr als sechs Jahre zurück. Die vorliegendeArbeit möchte an diese Erfolge anknüpfen mit dem Ziel, die seither entstandene Theorie abinitio zu verizieren.

Solitonen entstehen dort, wo die Dispersion durch eine Nichtlinearität kompensiert wird. InBose-Kondensaten kann dieses Gleichgewicht auf verschiedenen Weisen erreicht werden.

1

2 KAPITEL 1. EINLEITUNG

In einkomponentigen Kondensaten repulsiver Wechselwirkung treten dunkle Solitonen auf,die als formstabile Dichteminima entlang eines quasi-eindimensionalen Wellenleiters propagie-ren. Die Nichtlinearität entsteht durch einen Phasenspung der makroskopischen Wellenfunktion,der durch ein optisches Potential aufgeprägt werden kann [3, 4]. Diese Solitonen sind instabilgegenüber transversalen Anregungen und Phasenuktuationen und dadurch sehr kurzlebig, zu-dem war ihr Kontrast in bisherigen Experimenten meist gering (Abschnitt 2.2).

In Gasen anziehender Wechselwirkung sind helle Solitonen möglich, die langlebiger sind.Sie wurden bisher nur als Überreste des Kollaps eines BEC mit attraktiver Wechselwirkungbeobachtet [6, 7], sodass ihre Erzeugung kaum zu kontrollieren ist (Abschnitt 2.3).

Ein gefülltes Soliton ist eine Kombination beider Spezies und erscheint in mehrkomponenti-gen Kondensaten: Wird innerhalb eines dunklen Solitons eine Anzahl von Atomen eines anderenHyperfeinzustandes platziert, so bilden diese ein helles Soliton aus [10]. Durch die lokale Än-derung der Wellenfunktion entsteht eine Balance von Wechselwirkungsenergie und kinetischerEnergie, welche das Soliton stabilisiert. Da nur ein kleiner Teil der Wechselwirkung spinabhän-gig ist, sollten gefüllte Solitonen gröÿer und langlebiger als dunkle Solitonen sein und zudemstabiler gegenüber transversalen Anregungen. Darüber hinaus lassen sich die beiden Kompo-nenten separat detektieren. Aufgrund der unterschiedlichen Spinzustände werden sie auch alsmagnetische Solitonen bezeichnet (Abschnitt 2.4).

Die kurzreichweitige Wechselwirkung zwischen Solitonen ist für diverse Regimes, Geometrienund Randbedingungen numerisch simuliert worden [11]. Bisherige experimentellen Beobachtun-gen sind stark limitiert und können allenfalls Indizien für ein repulsives Verhalten liefern. Mitden gefüllten Solitonen sollte eine eindeutige und sogar quantitative Bestimmung der Kollisi-onsmechanismen möglich sein (Abschnitt 2.5).

In einer Art von Quantenlabor können Solitonen genutzt werden, um das Grenzgebiet zwi-schen klassischer Physik und Quantenmechanik zu erforschen. Während ihnen in Kollisionenein klarer Teilchencharakter zugeschrieben werden kann, sollte ihre Dynamik bei Propagationdurch ein inhomogenes Potential Quanteneigenschaften zeigen, etwa bei der Reexion an einerPotentialstufe oder beim Transport durch ein Unordnungs-Potential.

Die Voraussetzung für eine kontrollierte Präparation ist ein lokaler Zugang zur Spinor-Wellenfunktion. Während die Phase durch ein optisches Dipolpotential verschoben wird, könnenAtome mit Hilfe eines Raman-Lasers zwischen zwei Hyperfeinzuständen transferiert werden. DieMaÿschneiderung der Lichtprole gelingt mit einem räumlichen Lichtmodulator, dessen Pixelals eine Anordnung sehr vieler, unabhängig voneinander einstellbarer Wellenplättchen fungieren(Kapitel 3). So können fast beliebige Phasen- und Dichtemuster generiert werden, die auch eineVielzahl anderer topologischer Anregungen möglich machen.

Die technischen Details des Experiments nden sich in Kapitel 4. Zunächst werden eini-ge Überlegungen zur Berechnung der relevanten atomphysikalischen Gröÿen wie Übergangs-und Streuraten sowie Phasenentwicklungen in 2-Photonen-Prozessen präsentiert. Auf die Be-schreibung des Raman-Laser Systems folgt die Vermessung von Rabi-Oszillation. DetaillierteUntersuchungen zur Phasenkontrastdetektion bilden den Abschluss dieser Vorbereitungen.

Die ersten Ergebnisse werden in Kapitel 5 vorgestellt und diskutiert, insbesondere sind diesdie Oszillation, die Wechselwirkung und das Langzeitverhalten dunkler Solitonen. Weiterhinwird die Erzeugung gefüllter Solitonen sowie eine erste Messung ihrer Wechselwirkung prä-sentiert. Ausführlich wird auf die kritischen Parameter eines Solitonexperimentes eingegangen,zusammen mit einer Reihe von Vorschlägen für Optimierungen sowie Ideen für folgende Mes-sungen. Auch werden mögliche Analogien zur Teilchenphysik angesprochen. Die grundlegendeTheorie des Populationstransfers und der Phasenentwicklung ist in den Anhängen zusammen-gefasst.

Kapitel 2

Solitonen

Die Zahl aller Experimente, in denen Solitonen in ultrakalten Quantengasen experimentellbeschrieben wurden, entspricht in etwa der Zahl der theoretischen Veröentlichungen, diemonatlich zu diesem Thema erscheinen. An diesem Verhältnis wird das Ausmaÿ des Interessesan Solitonen von Seiten der Theorie ebenso deutlich wie die experimentellen Schwierigkeiten,selbige zu erzeugen.

Dieses Kapitel enthält die relevante Theorie zum Verständnis der Solitonen. Gleichzeitigerfüllt es die Aufgabe, sämtliche anderen Teile dieser Arbeit zu motivieren, insbsondere die ehertechnischen Abschnitte der Kapitel 3 und 4. Abschnitt 2.1 beginnt mit einer mathematischenDarstellung. Die beiden folgenden Abschnitte stellen die bisherigen Experimente vor und bettensie in einen theoretischen Kontext. Der Schwerpunkt liegt in Abschnitt 2.4 auf der Präsentationeines neuen Ansatzes zur Erzeugung gefüllter heller Solitonen. Diese sollen deutlich stabilerund kontrollierbarer sein als einfache helle Solitonen, mögliche Wechselwirkungen werden inAbschnitt 2.5 dargestellt. Der letzte Abschnitt diskutiert weitere topologische Strukturen, dieden Solitonen verwandt sind.

2.1 Allgemeine TheorieEin Wellenpaket in einem linearen Medium erfährt auf Grund der unterschiedlichen Gruppen-geschwindigkeiten seiner Fourierkomponenten immer eine Verbreiterung. Durch eine frequenz-abhängige, eektiv attraktiv wirkende Nichtlinearität kann dieses Auseinanderlaufen balanciertwerden, sodass sich stabile Strukturen bilden können.

Mathematisch betrachtet sind Solitonen spezielle Lösungen nichtlinearer partieller Dieren-tialgleichungen. Neben der häug betrachteten Korteweg-de Vries-Gleichung u+6uu′+u′′′ = 0und der Sinus-Gordon-Gleichung u− u′′ + sinu = 0 hat die nichtlineare Schrödinger-Gleichung

iu + u′′ ± 2 |u|2u = 0 (2.1)

solitäre Lösungen [12], die äquivalent zu jenen der zeitabhängigen Korteweg-de Vries-Gleichungsind [13].

V. Zakharov und A. Shabat konnten zeigen, dass Gl. (2.1) durch die Methode der Rück-führung auf ein inverses Streuproblem exakt gelöst werden kann [2]. Die Lösungen

u(x, t) =√

2χηexp−4i(ξ2 − η2)t− 2iξx + iϕ

cosh(2η(x− x0) + 8ηξt)(2.2)

3

4 KAPITEL 2. SOLITONEN

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abbildung 2.1: Die drei möglichen Formen eines Solitons: links als Stufe, mitte als dunklesund rechts als helles Soliton.

sind stabil und beschreiben die Propagation von und Wechselwirkung zwischen Solitonen. Diesekönnen sich bei ihrer Ausbreitung weder aufteilen noch auösen, sie behalten ihre Form undAmplitude selbst in Kollisionen bei, in denen jedoch eine Diskontinuität in der Phase auftritt.

In einer zweiten Veröentlichung [14] vertiefen die Autoren ihre Studien zur Wechselwirkungin Bose-Gasen positiver Streulänge. Sie beschreiben Solitonen als sich abstoÿende, eindimen-sionale Teilchen und berechnen ihre Phasenverschiebung in Kollisionen sowie bei Stöÿen miteiner Wand. Seit den bahnbrechenden Doppelspaltexperimenten lag der Fokus der Betrach-tung des Welle-Teilchen-Dualismus meist darauf, Teilchen einen Wellencharakter zuzuordnen.Hier können nun Wellenphänomene mit Begrien der klassischen Mechanik beschrieben werden:Solitonen folgen der Impuls-, Energie- und Massenerhaltung.

Sie treten auf als Stufen (kinks) im Betragsquadrat der Wellenfunktion, als Minima (dunkleoder graue Solitonen; dips) und als Maxima (helle Solitonen; peaks) (Abb. 2.1).

Die ersten umfassenden Untersuchungen stammen aus dem Gebiet der Optik, wo die Di-spersion durch den Kerr-Eekt, also durch die Abhängigkeit des Brechungsindex n von derelektrischen Feldstärke ~E, kompensiert wird. Arbeiten auf dem Gebiet der Bose-kondensiertenGase orientieren sich stark an diesen Erkenntnissen, eine gute Übersicht der Analoga bietet [15].

Solitonen eignen sich für die Beschreibung einer Vielzahl von Problemen, die störungstheore-tisch nicht behandelt werden können [12]. Oberächenwellen in achem Wasser, anharmonischeSchwingungen in nichtlinearen Gittern, Anregungen in Plasmen und linearen Molekülen werdenalle durch die Korteweg-de-Vries-Gleichung behandelt. Die Schrödinger-Gleichung mit ihren Lö-sungen gestattet beispielsweise auch die Beschreibung der Spiralarme in Galaxien. Die QCDdeutet Baryonen als Solitonen eines bestimmten nichtlinearen Lagrange-Operators mit chiralerSymmetrie [16]. Zur Prognose der Dynamik von Sanddünen werden diese als solitäre Wellenmodelliert [17]. In der molekularen Biologie werden die groÿen Replikationsmoleküle, die sichentlang der RNA-Stränge bewegen, als Solitonen angesehen. Solitäre Wasserwellen (bores), diein bestimmten Flussgeometrien rund um den Globus auftreten, erreichen Höhen von etwa einemMeter, Geschwindigkeiten bis zu 10 m/s und sind über Zeiten von bis zu einer Stunde stabil[18, 19]. Während diese bei Surfern beliebt sind, gehen jährlich mehr als ein Dutzend groÿerSchie auf dem oenen Meer durch sogenannte Monsterwellen (freak waves) verloren [20].

Obwohl Bose-Kondensate als verdünnte und schwach wechselwirkende Gase beschrieben wer-den, ist ihre Dynamik mean eld-dominiert. So können Solitonen entstehen, die naturgemäÿsehr viel kleiner als einige der oben genannten sind und zudem starken Dämpfungen unterliegen.Sie lassen sich dennoch beobachten, beschreiben und vor allem in ihrer Eigenschaft als Quan-tensystem ganz grundlegend kontrollieren. Untersuchungen an dunklen und hellen Solitonenwerden in den beiden folgenden Abschnitten zusammengefasst.

2.2. DUNKLE SOLITONEN 5

2.2 Dunkle SolitonenDunkle Solitonen in einem BEC wurden erstmalig im Jahre 1999 an einem 87Rb-BEC in einerelongierten Magnetfalle erzeugt. Um einen aufgeprägten Phasensprung herum bildet sich einDichteminimum, hier wird die abstoÿende Wechselwirkung der Atome und ihre Dispersion durchdie Phasengrenze lokal unterdrückt. Die Experimente sind in [3] und sehr ausführlich in derDissertation von S. Burger [21] beschrieben.

Für ein BEC nimmt Gl. (2.1) die vertraute Gestalt der Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE)an:

ih∂

∂tΨ =

(− h2∆

2m+ Vext + g|Ψ|2

)Ψ (2.3)

mit g = 4πh2a/m, a die s-Wellenstreulänge und m die Atommasse. Für repulsive Wechselwir-kungen und in einer 1D-Geometrie sind dunkle Solitonen Lösungen von der Form

Ψ(z, t) =√

n0

(iu

cs+

√1− u2

c2s

tanh

[z − q(t)

l0

√1− u2

c2s

])(2.4)

mitder Schallgeschwindigkeit c2

s =n0g

m

und der Ausheillänge l0 =√

18πan0

.

Es ist n0 = |Ψ0|2 die Dichte des Kondensats, m die Masse der Atome, q die Position des Solitonsund u seine Geschwindigkeit. Einige ganz wesentliche Eigenschaften von Solitonen lassen sichhier ablesen.

Die Geschwindigkeit des dunklen Solitons u entspricht gerade der Schallgeschwindigkeitcs (Bogoliubov-Geschwindigkeit) am Ort der geringsten Dichte nmin seines Zentrums: u =√

nming/m, wobei nmin = n0−n mit der dip-Tiefe n. Ein perfekt schwarzes Soliton würde alsoim Minimum des externen Potentiales ruhen. Dunklen Solitonen kann eine negative Masse zu-geordnet werden, ihre Bewegung entspricht einem entgegengesetzten superuiden Wahrschein-lichkeitsstrom durch sie hindurch. Sie laufen entgegen dem aufgeprägten Phasengradienten.

Bemerkenswert ist auÿerdem, dass Solitonen durch dissipative Eekte beschleunigt wer-den, vor allem durch Wechselwirkung mit der thermischen Wolke [22]. Wird das Soliton durchdämpfende Prozesse acher, so ist seine Dichte beim Erreichen der Schallgeschwindigkeit desKondensates zu n0 geworden: es ist verschwunden.

Die Ausheillänge l0 gibt eine Abschätzung der Skala, auf der Fluktuationen der Dichteoder Phase des Kondensates ausgeglichen werden. Aus Gl. (2.4) ergeben sich zwei Beiträge zurEnergie, die kinetische Energie Ekin = h2/2l20m und die Wechselwirkungsenergie EWW = g|Ψ|2.Die Minimierung der Summe dieser Terme führt auf obigen Wert für die Ausheillänge l0. Sieist dichteabhängig und liegt typischerweise bei etwa 2 µm.

Der aufgeprägte Phasengradient muss im Bereich oder unterhalb von l0 liegen, damit dunkleSolitonen entstehen können und stabil bleiben: er bildet das Gegengewicht zur repulsiven meaneld-Wechselwirkung der Atome. In [21] wird ausgeführt, wie die Breite des Phasengradientennicht nur die Dynamik der Entstehung, sondern auch die Anfangsgeschwindigkeit und damitdie Lebensdauer des Solitons beeinusst. Je steiler und näher an π der Phasensprung δ, destokleiner, tiefer, langsamer und dadurch langlebiger ist das Soliton:

u

cs= cos

δ

2=√

1− n

n0. (2.5)


Seine volle Halbwertsbreite b ändert sich dann wie b = 2l0/√

1− u2/c2s. Deshalb ist es so

wichtig, groÿe Phasengradienten erzeugen zu können (vgl. Kapitel 3.3.1).Aus der Schallgeschwindigkeit und der Ausheillänge bestimmt sich eine kritische Zeit τc =

l0/cs, in der Manipulationen des Kondensates ausgeglichen werden können. Sie liegt im Be-reich von einigen 100 µs. Da Lichtpulse zur Erzeugung von Solitonen unterhalb dieser Zeitliegen müssen, bildet sie zusammen mit der verfügbaren Laserleistung eine obere Grenze für dieVerstimmung.

Fast zeitgleich zu der oben genannten Gruppe wurden auch in der Gruppe vonW. PhillipsSolitonen in einem BEC von 23Na erzeugt und beobachtet, allerdings in einer fast sphärischenFalle [4]. Weiterhin wurde ein Bragg-Interferometer aufgebaut, um die aufgeprägte Phase messenzu können.

Ein Jahr später präsentierte E. Cornell mit seiner Gruppe eine Reihe neuer experimen-teller Techniken [5]. Mit einem leicht verstimmten Mikrowellenfeld wurden Übergänge zwischenzwei Hyperfeinzuständen getrieben, jedoch nur dort, wo ein weit verstimmter Laser ein ge-nügend groÿen AC Stark-shift erzeugte. Durch eine schnelle Bewegung des Lasers wurde eineKonguration erreicht, bei der in der zentralen Ebene des sphärischen Kondensates die eine,in der oberen und unteren Halbkugel die andere Komponente vorlag. Mit dem Phasensprungin der Hauptebene bildete sich ein dunkles Soliton der äuÿeren Komponente, das aufgefülltwar mit Atomen der inneren Komponente, dem hellen Soliton. Dieses existierte bis zu 800 msund wurde erstmalig als gefülltes Soliton bezeichnet. Im weiteren Verlauf wurde dann die in-nere Komponente entfernt und beobachtet, wie das dunkle Soliton in bis zu drei konzentrischeVortexringe1 zerel.

Oszillationen und KollisionenDie bemerkenswerte Dynamik eines dunklen Solitons am Rand des Kondensates und in derNähe anderer Solitonen kann nicht durch ein klassisches Analogon beschrieben werden, auchunterscheidet sich sein Verhalten von der später diskutierten Wechselwirkung heller Solitonen.

Formal gesehen treten diese Lösungen in nichtlinearen Gleichungen auf, deren Eigenschaftes ist, dass einzelne Lösungen nicht ohne weiteres superponierbar sind. Insofern ist die Wechsel-wirkung von Solitonen nichttrivial und insofern besonders, als dass Solitonen nach Kollisionenwieder asymptotisch gegen ihren Ausgangszustand streben. Durch die Betrachtung eines su-peruiden Stroms, in dessen Folge sich das lokale Dichteminimum verlagern kann, wird dieBewegung des Solitons anschaulich.

Mit der Aufprägung der Phasendierenz wird ein superuider Strom in Gang gesetzt, derdurch die unterschiedlichen chemischen Potentiale beider Teilbereiche erhalten bleibt und dieSchallgeschwindigkeit des Kondensates trägt. Der Querschnittsäche dieser Strömung wirddurch das Soliton begrenzt, in der Tat ist sie für ein perfekt schwarzes Soliton Null, sodasskeine zeitliche Entwicklung vorliegt und das Soliton ortsfest bleibt. Je acher es wird, destogröÿer der superuide Strom, und desto schneller läuft es. Bewegt es sich nun mit konstanterTiefe auf den Rand der Falle zu, wo das Kondensat immer acher wir, so wird es irgendwannaufsetzen und den superuiden Strom unterbrechen.

Die Oszillationsfrequenz eines klassischen mechanischen Körpers oder auch eines hellen So-litons in einem harmonischen Potential beträgt ω = ωa, ωa die axiale Fallenfrequenz. Fürdunkle Solitonen gilt jedoch q = −V ′(z)/2 und somit ω = ωa/

√2 [23, 24]. Während weitere

Abweichungen aufgrund der nicht perfekten Eindimensionalität hier nicht betrachtet werden,1Vortexringe sind Vortizes, deren Kerne geschlossene Schleifen sind; diese poloidal quantisierten Strömungs-

muster ähneln einem Rauchring.


führt die Abweichung vom harmonischen Potential zu einer deutlichen Verlängerung der Os-zillationsdauer: das Gauÿ'sche Prol wird an den Rändern acher [25]. Da die Abweichungvom harmonischen Potential mit gröÿerer Amplitude zunimmt, wird die Oszillationsfrequenzabhängig von der Modulationsdichte des Solitons.

Dieses stabile Soliton entspricht einem Josephson-Kontakt. Durch die unterschiedlichen che-mischen Potentiale entwickeln sich die Phasen in beiden Teilkondensaten weiter und kehren dieanfängliche Dierenz um, sodass ein Strom in die umgekehrte Richtung einsetzt. Die Reexionam Rande des Kondensates ist also mit einer Phasenumkehr verbunden. Durch ein zusätzliches,lokales Potential könnte die Bewegung des Solitons aktiv beeinusst werden.

Auch die Kollision zweier Solitonen lässt sich im Bild des superuiden Stroms beschreiben.Hier sind mehrere Fälle zu unterscheiden: laufen zwei Solitonen mit dip-Tiefen n1 und n2,n1 + n2 < n0 aufeinander zu, so können sich die Phasendierenzen und somit die superuidenStröme aufheben. Im symmetrischen Fall annihilieren die Solitonen, anderenfalls bleibt derÜberhang bestehen. Für den Fall n1 + n2 > n0 entstehen durch die Überlagerung der tanh2-Prole zwei Punkte, an denen der superuide Strom unterbrochen ist. Wie bei der Reexion amRand entwickelt sich die Phase des eingeschlossenen Volumens derart, dass ein entgegengesetzterStrom einsetzt und die Solitonen wieder auseinanderschiebt, ehe sie vollständig überlappt haben.

In einer anderen Konstellation liegen zwei gleichgerichtete Phasensprünge vor, sodass dieSolitonen in die gleiche Richtung propagieren, das vordere jedoch eingeholt wird. Für den Falln1 + n2 < n0 können sich die Soliton vereinigen, und die Phasensprünge addieren sich. Bein1 + n2 > n0 würden wieder zwei Punkte verschwindender Dichte erwartet werden, sodass sichdie Propagationsrichtung beider Solitonen umkehrt. Es ist jedoch auch vorstellbar, dass sichdie Phasen durch Tunnel- oder andere Prozesse addieren und ein Soliton entsteht, das durchdie 2π-Modularität der Wellenfunktion kleiner sein kann als die ursprünglichen. Abschlieÿendsei noch angemerkt, dass die Fallunterscheidung in einem anharmonischen Potential durch dasn0(r) kurioserweise ortsabhängig ist.

StabilitätNur in einem echt eindimensionalen System bei T = 0 sind dunkle Solitonen stabil. Für alle an-deren Randbedingungen treten dynamische und thermodynamische Instabilitäten auf. DunkleSolitonen sind topologisch instabil gegenüber Beschleunigungen: in innitesimal kleinen Schrit-ten lassen sie sich in den Grundzustand überführen.

Dunkle Solitonen sind instabil gegenüber transversalen Anregungen, sie können also nurin quasi-eindimensionalen Wellenleitern existieren, deren radiale Fallenfrequenz gröÿer ist alsdie interatomare mean eld-Wechselwirkung. Hier wurde eine Vielzahl von mehr oder weni-ger strikten Kriterien entwickelt. In [24, 22] wird ein Parameter ξc = n0g/hωr eingeführt, derdas chemische Potential mit dem radialen Einschluÿ vergleicht und eine geschwindigkeitsab-hängige Grenze angibt, unterhalb derer stabile Solitonen zu erwarten sind. Daher waren dieSolitonen von [4, 5] auch nur sehr kurzlebig. Die Wechselwirkung im Kondensat führt zu einerinhomogenen Dichteverteilung, die einer ortabhängigen Schallgeschwindigkeit entspricht. Da-durch krümmt sich die Wellenfront bei axialer Propagation, sodass an den Rändern Vorticesentstehen können. Andere Verformungen werden als snake-instabilities bezeichnet. Weiterhinsei angemerkt, dass sich ein geringfügig geneigtes Soliton nicht von einem sog. svortex unter-scheiden lässt. Dies ist ein Vortex in einer sehr gestreckten Geometrie, der ebenfalls mit ωa/

√2

oszilliert, aber eine Ladung trägt und daher nicht zerfällt.Auch in einem eindimensionalen Einschluss ist die Lebensdauer durch die Wechselwirkung

mit dem Hintergrundgas thermischer Atome limitiert [26, 22, 27]. Insbesondere wird in [27]erklärt, warum in vorherigen Experimenten [3] keine Oszillationen beobachtet wurden.

In einem weiteren Ansatz wird die Stabilität eines Solitons durch eine ständige Emission


und Reabsorption von Schallwellen beschrieben. Durch ein axial inhomogenes Potential wird dieReabsorption gestört, was zu einer Dämpfung führt. Bei dieser Idee ist weiterhin interessant,ob ein Soliton die Schallwellen eines anderen Solitons absorbieren kann oder diese stört. Indiesem Falle wäre eine langreichweitige Wechselwirkung gefunden, bei der die Lebensdauereines Solitons durch die Anwesenheit eines anderen beeinusst würde [25].

Bei bisherigen Experimenten haben also entweder die Geometrie oder die Temperatur überzwei unterschiedliche Mechanismen zu derart starken Dämpfungen geführt, dass keine Oszilla-tionen beobachtet werden konnten.

2.3 Helle Solitonenmagnetfeldabhängige WechselwirkungDie s-Wellenstreulänge a beschreibt die Wechselwirkung zwischen bosonischen Teilchen beisehr tiefen Temperaturen, sie ist negativ für anziehende und positiv für abstoÿende Kräfte.Groÿe Bose-Kondensate sind nur für a > 0 stabil. Für a < 0 wächst die Dichte derart starkan, dass Verlustmechanismen aus 3-Körper-Prozessen die gesamte Wellenfunktion kollabierenlassen. Diese sogenannte bosenova [28] ist sicherlich eines der eindrucksvollsten Phänomene inultrakalten Gasen. Überrest eines solchen Kollaps ist eine kaum zu kontrollierende Anzahl vonSolitonen mit Teilchenzahlen, die unterhalb der kritischen Grenze von Nc =

√h/|a|2mωr liegen.

In einem BEC hängt a unter anderem vomMagnetfeld ab: Beim Durchfahren einer Feshbach-Resonanz bei a = 0 kehrt sich das Vorzeichen der Wechselwirkung um. Für 87Rb liegt dies-Wellenstreulänge bei a = 5, 29 · 10−9 m ≈ 100 a0.

Helle Solitonen sind stark lokalisierte und formstabile Dichtemaxima. Sie können in folgen-den Szenarien erzeugt werden:

• durch Kollaps eines BEC bei a < 0, entweder durch Überschreiten der kritischen Dichteoder Nutzung einer Feshbach-Resonanz

• durch Einschluss in ein dunkles Soliton für a > 0 (Abschnitt 2.5)• in periodischen Potentialen (Abschnitt 2.6).Mit der erstgenannten Methode konnten in drei sehr erfolgreichen Experimenten helle Soli-

tonen erzeugt und nachgewiesen werden.In der Gruppe von C. Salomon wurden im Jahre 2002 solitäre Materiewellen eines 7Li-

Gases erzeugt [7]. Nach Passage der Feshbach-Resonanz bei 725 G waren die Kräfte der Atomeim Zustand |F = 1,mF = 1〉 attraktiv. Die Propagation des Solitons mit etwa 6000 Atomenkonnte über eine Zeit von 10 ms in einer quasi-eindimensionalen Dipolfalle beobachtet wer-den2. Die berechnete axiale Ausdehnung des Solitons von lz = 1, 7 µm lag deutlich unter derAuösungsbgrenzung von 9 µm. Deshalb wurde die Propagation in einem expulsiven Potentialdurchgeführt und verglichen mit einer ultrakalten atomaren Wolke, die die kritische Mindest-dichte von N |a| nicht erreichte. Diese dehnte sich auf ein Vielfaches der Auösungsgrenze aus:ein Hinweis für die gelungene Erzeugung eines hellen Solitons.

Zur gleichen Zeit wurden in der Gruppe von R. Hulet ganze Züge (trains) von Materie-paketen erzeugt, ebenfalls mit 7Li und Manipulation von a. Es entstanden typischerweise vierSolitonen, von denen jedes die maximal mögliche Anzahl von etwa 6000 Atomen enthielt. Über

2Ein schönes Video bendet sich im Internet [29].

2.4. GEFÜLLTE SOLITONEN 9

eine Zeit von 1,8 s konnte die Oszillation im axialen Potential der stark elongierten Dipolfallebeobachtet werden. Aus der Entwicklung ihres Abstandes im Verlauf einer Oszillationsperiodefolgerten die Autoren von [6] eine Abstoÿung zwischen benachbarten Solitonen mit Phasendif-ferenzen von π. Viele theoretische Arbeiten stützen diese Beobachtung [30, 31], weisen jedochauch darauf hin, dass echte Solitonen nur für verschwindenden axialen Einschluss existieren[32].

Im Jahre 2006 wurden in der Gruppe von C. Wieman helle Solitonen in einem kollabieren-den 85Rb-Kondensat erzeugt [8]. Die Anzahl der Solitonen in der 3D-Magnetfalle konnte durchdie Veränderung der anfänglichen Kondensatgröÿe zwischen einem und sechs variiert werden,und auch hier zeigte sich eine abstoÿende Wechselwirkung zwischen benachbarten Solitonen.

Die grundlegende experimentelle Schwierigkeit der hellen Solitonen ist jedoch, dass auchdiese zerfallen und nur unter sehr extremen Bedingungen erzeugt werden können. Die Anfangs-bedingungen sind nicht reproduzierbar, wodurch eine systematische Analyse etwa der Dynamikund Wechselwirkung durch kontrollierte Variation der Startparameter kaum möglich erscheint.

2.4 Gefüllte SolitonenIn mehrkomponentigen Kondensaten können gefüllte Solitonen existieren: Innerhalb eines dunk-len Solitons der einen Komponente bendet sich eine Ansammlung von Atomen der anderenKomponente. Durch die Abstoÿung der beiden Komponenten bilden die inneren Atome einSoliton aus: So sind helle Solitonen selbst bei repulsiver Wechselwirkung möglich. Diese wurdenals Zwischenstufe eines Experimentes schon beiläug realisiert, jedoch noch nicht untersucht[5]. Diese Spinor-Solitonen sind als sehr viel stabiler, langlebiger und gröÿer als skalare dunkleoder helle Solitonen vorhergesagt. Durch ihre Erzeugung und Untersuchung kann die Dynamikund Wechselwirkungen von Solitonen präzise analysiert werden.

Die theoretische Bearbeitung der dark-bright solitons von Th. Busch und J. Anglin ndetsich in [10], einige Ergänzungen und weitere Betrachtungen in [33]. Diese Ausarbeitungen sindGrundlage der experimentellen Herangehensweise, die in der vorliegenden Arbeit beschriebenwird. Im Folgenden werden einige Aspekte dargestellt, die für das Verständnis der gefülltenSolitonen von Bedeutung sind.

Lösungen der GPEDie Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) des gekoppelten Systems der beiden Vektorkomponenten|D〉 und |B〉 stellt sich in dimensionsloser Form dar als

i∂

∂tΨD = −1

2∇2ΨD +

(VD + |ΨD|2 + gD|ΨB |2 − µ

)ΨD (2.6)

i∂

∂tΨB = −1

2∇2ΨB +

(VB + |ΨB |2 + gB |ΨD|2 − µ−∆

)ΨB . (2.7)

Die Vi sind die externen Potentiale, µ das chemische Potential der dunklen Komponente und ∆die Dierenz der chemischen Potentiale. Für verschwindene Vi und auf eins normierte gi sindLösungen gegeben durch

ΨD = i√

µ sinα +√

µ cos α tanhκ(x− q(t)) (2.8)

ΨB =

√NBκ

2eiφeiΩBteixκ tan αsechκ(x− q(t)). (2.9)


-6 -4 -2 0 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

5 10 15 20 25NB

2

4

6

8

10

12

14

1Κ

Abbildung 2.2: Links: Dichte der hellen und dunklen Komponente für α = 0, 125π, κ = 1 undNB = 0, 72µ; Abszisse in Einheiten von κ−1. Rechts: die Breite des Solitons κ−1 in Einheitender Ausheillänge µ−1/2 in Abhängigkeit von der Teilchenzahl NB ; Abszisse in Einheiten vonµ1/2.

Hier ist NB =∫

dx|ΨB |2 die Anzahl der Atome, q(t) die Position und κ tanα die Geschwindig-keit der hellen Komponente. Die Länge des Solitons ist κ−1, κ ≡

√µ cos2 α + (NB/4)2−NB/4

(Abb. 2.4).Durch das mean eld der dunklen Komponente erfährt die helle Komponente eine Bindungs-

energie von κ2/2. Die defokussierende Wechselwirkung zwischen den Komponenten ist stärkerals innerhalb: Die im kopropagierenden dunklen Soliton gefangene helle Komponente bildetein vollwertiges helles Soliton, und da nur ein kleiner Teil der interatomaren Wechselwirkungspinabhängig ist, kann die gefüllte Kombination breiter sein als die jeweiligen skalaren Solito-nen. Die in Gl. (2.9) auftretenden Phasen sind nur bei Wechselwirkungen mehrerer Solitonenrelevant (Abschnitt 2.5).

StabilitätIm Gegensatz zu dunklen Solitonen, die durch thermische Stöÿe gedämpft werden, sollten diegefüllten Spezies langlebiger sein. Dunkle Solitonen sind anfällig gegenüber Anregungen, derenWellenlänge gröÿer ist als ihre eigene Ausdehnung. Deshalb sind sie nur stabil bei einem radialenEinschluss, der kleiner ist als ihre Ausheillänge. Für das gefüllte Soliton gilt dies nicht fürl0, sondern für das bedeutend gröÿere κ−1. Für NB >>

√µ können sie also nicht nur sehr

viel gröÿer sein, sondern auch in nicht explizit quasi-eindimensionaler Geometrien propagieren.Weiterhin ist die helle Komponente durch die umliegenden Atome vor Stöÿen mit thermischenAtomen geschützt. Und da es durch die positive Streulänge keinen Kollaps geben kann, ist dieGröÿe des hellen Solitons zunächst nicht begrenzt.

OszillationenIn einer Falle mit axialer Fallenfrequenz ωa oszillieren skalare dunkle Solitonen mit der Frequenzωa/

√2 [33], helle mit ωa. Gefüllte Solitonen sollten sich wie die dunklen verhalten [34], jedoch

mit grundlegenden Modikationen. Es wird eine Abhängigkeit der Oszillationsperiode von der


Teilchenzahl der hellen Komponente vorhergesagt [34]

ωosc =ωa√

2

(1− NB

4√

µ + (NB/4)2

)1/2

, (2.10)

die im Experiment durch Variation von NB veriziert werden kann. Weiterhin hängt die Fre-quenz ωosc vom Verhältnis der beiden Potentiale γ = VB/VD ab, insbesondere gibt es fürVB > VD ein kritisches NB(γ), jenseits dessen die Oszillation zusammenbricht und das Solitondie Falle verlässt [10]. Für zwei Hyperfeinzustände in einer weit verstimmten Dipolfalle ohneweiteres Potential ist dies jedoch nicht zu erwarten.

Freie EnergieDie Freie Energie G ist abhängig von der Geschwindigkeit und berechnet sich nach [35] zu

G =43κ3 +

12NBκ2(1 + tan2 α) + NB∆. (2.11)

Auch gefüllte Solitonen werden also durch Energieverlust beschleunigt, was naiv nicht unbedingtzu erwarten wäre.

Variation von a

Gleichsam interessant ist die Möglichkeit, über die Stärke des selektiven radialen Einschlussesder beiden Komponenten ein gi als freien Parameter zu erhalten. Da dieses Maÿ an Nichtli-nearität proportional zur Streulänge a ist, kann auf diese Weise die Wechselwirkung innerhalbeiner Komponente auch ohne ein äuÿeres Magnetfeld modiziert werden [10].

ErzeugungEs bestehen zwei Vorschläge zur kontrollierten Erzeugung gefüllter Solitonen. In [36] diskutierendie Autoren einen sehr robusten, adiabatischen Transfer der primär präparierten Atome in diedunkle Komponente mittels eines kohärenten Raman-Prozesses. Für g 6= 0 ist die Resonanzfre-quenz nicht fest, sondern abhängig etwa von der Dichte und der eingestrahlten Intensität. Daherwird die Verstimmung δ über einen groÿen Bereich durchgefahren, sodass der Transfer nur nochvon δmin und δmax bestimmt wird. Der sweep wird gestoppt, kurz bevor alle Atome transfe-riert sind: so bleibt im Zentrum ein kleiner Anteil der ursprünglichen Population erhalten. Inzweidimensionalen Kondensaten können mit diesem Verfahren Vortizes erzeugt werden.

Das zweite, sehr elegante Verfahren wurde von J. Kronjäger [37] vorgeschlagen und be-ruht ebenfalls auf lokalen Populationstransfers zwischen Hyperfeinzuständen mit Hilfe einesRaman-Lasers. Auf das elongierte Kondensat wird ein Intensitätsprol resonanten Raman-Lichtes adressiert. Das Prol besteht aus einer schwarzen und einer weiÿen Halbebene miteiner sehr schmalen, grauen Stufe dazwischen. Im Bereich der vollen Intensität vollführt derBloch-Vektor eine volle Umdrehung, sodass die ursprüngliche Komponente erhalten bleibt (vgl.Anhang B). Die Atome im Übergangsbereich erfahren nur die halbe Intensität, äquivalent zueinem π-Puls, der sie in den angeregten Zustand befördert. Zusätzlich entsteht zwischen denäuÿeren Komponenten der nötige Phasensprung von π, der allerdings auch separat von einemweit verstimmten Laserfeld aufgeprägt werden kann. Diese Idee wurde im Rahmen dieser Arbeitverfolgt, die technischen Details der Umsetzung nden sich in den Kapiteln 3 und 4.

Unabhängig von der Erzeugung kann das helle Soliton zustandsselektiv und in Phasenkon-trast sogar nicht-destruktiv detektiert werden, sodass sehr viel präzisere Bilder im Vergleich


zu einem dunklen Soliton erwartet werden können. Auch hat man mit den gefüllten Solitoneneinen Machanismus gefunden, ultrakalte Atome zu halten, zu schützen und zu transportieren:innerhalb eines dunklen Solitons eines anderen Zustandes.

2.5 Wechselwirkung und KollisionenBesondere Beachtung ndet die Wechselwirkung zwischen zwei Solitonen, vor allem die kurz-reichweitige Variante in Form von Kollisionen. Dunkle Solitonen sollten eine Abstoÿung zeigen,deren Amplitude endlich (kein Tonks-Girardeau-Verhalten) und geschwindigkeitsabhängig ist.Dieses Verhalten wurde für den optischen Bereich beschrieben [38] und für Bose-Kondensateübernommen. Bisherige Experimente deuten auf ein repulsives Verhalten hin [3, 4], sind jedochdurch die kurzen Lebensdauern stark limitiert.

Durch die Möglichkeit des Kollapses ist die Dynamik für helle skalare Solitonen sehr vielreichhaltiger und zudem dimensionsabhängig [39]. In nur einer Dimension und bei einer Pha-sendierenz ∆φ = π ist die Wechselwirkung im Bereich von wenigen Ausheillängen repulsiv;die Solitonen prallen einfach aneinander ab, wie es auch beobachtet wurde [6, 8]. Für ∆φ = 0sind die Kräfte attraktiv, es kommt zu einem Überlapp, wobei der Kollaps durch den radia-len Einschluss aber verhindert wird. Da die Oszillationen bis zu einigen Sekunden stabil seinkönnen, lassen sie sich zu einer sehr genauen Messung der axialen Fallenfrequenz nutzen. NeueSimulationen zeigen eine Übereinstimmung mit der Wechselwirkung klassischer Teilchen, diefür zwei Teilchen vollständig integrierbar und regulär ist, für drei jedoch chaotisch [11].

In drei Dimensionen sind Stöÿe mit ∆φ = π nach wie vor repulsiv und dadurch elastisch,während der Kollaps bei attraktivem ∆φ = 0 zu inelastischen Stöÿen führen kann. Bei hohenAnfangsgeschwindigkeiten durchdringen sich selbst groÿe Materiewellen, ohne das es zur Ka-tastrophe kommt: diese ndet auf einer Zeitskala von 5 ms statt, die Atome müssen also nurschnell genug sein3.

Für kleine Geschwindigkeiten wird der radiale Einschluss relevant. Bei kleinen Fallenfre-quenzen kommt es unterhalb einer Grenzgeschwindigkeit vin(ωr) zum vollständigen Kollaps,oberhalb kann ein Teil der Atome die Szene mit vout < vin verlassen. Bei stärkerem Einschlusswird die freiwerdende Energie genutzt, um die beiden Solionen mit vout > vin herauszuschleu-dern. Neben dieser Abhängigkeit von relativer Phase ∆φ, Geschwindigkeit vin und Einschlussωr spielt auch die Teilchenzahl NB eine Rolle, für die es in 3D-Geometrien eine untere Grenzegibt.

Gefüllte Solitonen ziehen sich für ∆φB = π an und stoÿen sich für ∆φB = 0 ab, diametral zuder skalaren hellen Version. Da sich dunkle Solitonen nur ab einer hohen Anfangsgeschwindigkeitpenetrieren können, wird dies auch für die gefüllten erwartet. Sind die Anfangsgeschwindigkeitenunterschiedlich, so kommt es in der harmonischen Falle zu einem Energieübertrag. Sind auch dieGröÿen der hellen Komponenten unterschiedlich, können sogar auch Atome transferiert werden.Dies folgt bislang nur aus Simulationen [10] und soll eingehend untersucht werden.

Um die Gesetzmäÿigkeiten für Kollisionen in diesem sehr umfangreichen Parameterraumuntersuchen zu können, ist neben der Wahl der beiden Fallenfrequenzen die Kontrolle der Teil-chenzahlen und Geschwindigkeiten der Solitonen eminent wichtig. Wie diese durch die viel-fältigen Möglichkeiten räumlicher Lichtmodulatoren erreicht werden kann, wird in Kapitel 3dargestellt.

Die Wechselwirkung von mehr als zwei Solitonen zeigt eine chaotische Dynamik [11] undwird in Kapitel 5 weiter verfolgt.

3Dies erinnert an sehr riskante Versuche innerhalb des Manhattan-Projektes im Januar 1945, bei denen zweiMengen Uran, die zusammengenommen die kritische Masse überschritten, sehr schnell aneinander vorbei geführtwurden [40].

2.6. WEITERE TOPOLOGISCHE STRUKTUREN 13

2.6 Weitere topologische StrukturenSeit den grundlegenden Arbeiten von T. Skyrme, der 1961 eine Beschreibung punktförmi-ger topologischer Anregungen entwickelte [16], und N. Zabusky, der 1968 die nichtlineareSchrödinger-Gleichung neben die Korteweg-de-Vries-Gleichung stellte [13], wurden viele Be-schreibungen verschiedener topologischer Strukturen in Bose-Kondensaten entwickelt. Mit derVerfügbarkeit von mehrkomponentigen (Spinor-) Kondensaten, in denen der Spin als weitererFreiheitsgrad auftritt, bestehen neue Möglichkeiten, diese Strukturen auch experimentell zurealisieren.

In diesem Abschnitt werden aus dem Bereich der einkomponentigen Gase die Vortizes unddie Bandlückensolitonen dargestellt, beides Phänomene, die den skalaren Solitonen verwandtsind und für deren Erzeugung das vorhandene Experiment hervorragend geeignet ist. Weiterhinwerden Skyrmionen und Monopole beschrieben, die in ferromagnetischen Spinor-Kondensatenauftreten können. Den Abschluss bildet die nächste Stufe an Experimenten, in denen Solitonennicht als Forschungsgegenstand, sondern als Sonden eingesetzt werden.

BandlückensolitonenDas Zerieÿen von Wellenpaketen kann auch auf eine andere Weise kompensiert werden, nämlichindem nicht die Wechselwirkung, sondern die Dispersion modiziert wird. Wie aus der Festkör-perphysik bekannt ist, wird die Dispersionsrelation durch ein periodisches Potential grundlegendneugestaltet. Insbesondere fällt die Gruppengeschwindigkeit am Rand einer Brillouin-Zone ab,hier führt eine Energieerhöhung zur Absenkung der Geschwindigkeit eines Teilchens, so alswürde ihm eine ortsabhängige, negative Masse zugeordnet. In diesem Bild führt die repulsiveinteratomare Wechselwirkung zu einer entgegengesetzten Beschleunigung, also einer Kompri-mierung der Atomwolke, die der normalen Dispersion entgegenwirkt.

Das periodische Potential kann durch ein eindimensionales optisches Gitter gebildet wer-den. Auf diese Weise wurden in der Gruppe von M. Oberthaler helle Solitonen von etwa350 repulsiven Rubidium-Atome erzeugt [41, 9, 42]. Da ihre Energie gerade dem Abstand zwi-schen dem ersten und zweiten Band entspricht, werden sie auch Bandlückensolitonen (bandgap solitons) genannt. Auch das bestehende Experiment bietet die Möglichkeit, optische Gitterin unterschiedlichen Geometrien einzustrahlen, sodass auch Solitonen dieses Types realisiertwerden könnten.

VortizesDie Superuidität eines Kondensates ermöglicht die Existenz stabiler Vortizes. Dies sind ther-modynamische Grundzustände mit einem quantisierten Drehimpuls: ein Teil der Atome rotiertum einen Kern. Vortizes wurden bereits mit zwei verschiedenen Verfahren generiert.

Die Gruppe von J. Dalibard nutze einen rotverstimmten Laserstrahl, um ein BEC richtig-gehend umzurühren [43]. Sie beobachteten die Ausbildung mehrerer gleichmäÿig angeordneterVortizes, deren Anzahl mit der Rotationsfrequenz zunahm. Die Kerne hatten eine verschwindeneDichte und einen Radius im Bereich der Ausheillänge.

In der Gruppe von E. Cornell wurden Vortizes in zweikomponentigen Kondensaten er-zeugt [44], indem Atome innerhalb eines ringförmigen Volumens in einen anderen Zustandtransferiert wurden. Diesen wurde dann ein spiralförmiger Phasenverlauf aufgeprägt, sodassunter einem Winkel ein Phasensprung von 2π auftrat. Hier verhalten sich die Atome wie einSoliton auf einer Kreisbahn und sind dabei nicht mehr an die Ausheillänge gebunden. DiesesVerfahren wurde zuvor in [45] und [46] vorgeschlagen und diskutiert. Mit einem räumlichenLichtmodulator besteht die Möglichkeit, in einem pfannkuchenförmigen Kondensat Vortizes


mit Drehimpulsen 1, 2, 3 . . . n h zu erzeugen. Es können auch mehrere konzentrisch ineinanderoder nebeneinander liegende oder verbundene Vortizes erzeugt werden, die in unterschiedlichenRichtungen rotieren und in Zeitabständen von einigen ms angehalten oder beschleunigt werden.

Auÿerdem wird vorgeschlagen, Vortizes mit Hilfe zweier Raman-Laser zu erzeugen, die aufeiner asymmetrischen Laguerre-Gauÿ'schen Mode laufen [47].

SkyrmionenIn einem Spinor-BEC besteht die Möglichkeit, quasi-punktförmige topologische Anregungen,sog. Skyrmionen, zu erzeugen [48]. Innerhalb des superuiden Kondensats werden Atome ei-nes sehr kleinen Volumens in einen anderen Hyperfeinzustand transferiert. Sie sind dann durcheine Potentialbarriere, die durch den Gradienten der Spinausrichtung entsteht, von den ande-ren Atomen getrennt. Diese Schale kontrahiert und erhöht dadurch die Potentialbarriere, bisdas Skyrmion stabil ist. Dabei ist das Inverse der Tunnelrate gröÿer als die Lebensdauer desKondensats.

Auch die Josephson-artige Wechselwirkung zweier Skyrmionen, sogar eine ganze Anordnungim Sinne eines Abrikosov-Gitters, können untersucht werden. Die Autoren der genannten Pu-blikation schlagen auch ein Verfahren zur Erzeugung dieser spin textures vor, das auf demEinsatz zweier Raman-Laser sowie dem räumlichen Versatz zweier Magnetfallen für die beidenSpinzustände beruht.

MonopoleMonopole sind topologische Defekte in einem Vektorfeld, die charakterisiert sind durch einenEinheitsvektor, der von einem Punkt aus radial in alle Richtungen zeigt. In einem ferromagneti-schen, zweikomponentigen BEC sind solche Strukturen möglich [49]. Experimentell könnten siedurch die Zusammensetzung eines Vortex der einen und eines Solitons der anderen Komponenteerzeugt werden, was innerhalb eines dreidimensionalen Kondensats sicherlich nicht einfach ist.Auch von einem Monopol wird erwartet, dass er nach Auslenkung innerhalb der Falle präzidiert.

In Analogie zu gravitativen Schwarzen Löchern werden hydrodynamische Singularitätendiskutiert, die einen geschlossenen Ereignishorizont für Schallwellen besitzen und wesentlichleichter zu erzeugen und zu kontrollieren wären [50]. Diese sollten an ihren Rändern Paarevon Quasiteilchen erzeugen, ein Mechanismus, der auch für die Abstrahlung echter SchwarzerLöcher vorgeschlagen wird.

Solitonen als SondenSolitonen jedweder Art werden durch makroskopische Wellenfunktionen beschrieben, deren Pa-rameter vollständig bekannt, ja sogar teilweise kontrollierbar sind. Das macht sie zu perfektenSonden innerhalb ihrer Reichweite und selbstverständlich der Heisenberg'schen Limitierung. Indiesem Zusammenhang sind vor allem Domänengrenzen und Oberächen interessant.

Die Geschwindigkeit einer Testmasse sollte beim Durchlaufen einer Domänengrenze, etwa ei-nem Phasenübergang, eine Diskontinuität aufweisen [51]. In der Newton'schen Theorie sind nurstetige (jedoch nicht notwendig stetig dierenzierbare) Potentiale beschrieben, es handelt sichhier also um Abweichungen von der Newton'schen Mechanik auf kleinen Skalen. Weiterhin kannMaterie in der Nähe einer statischen Domänengrenze gefangen werden, derartige Wechselwir-kung sind gravitativer Art und können nur durch die allgemeine Relativitätstheorie beschriebenwerden.

Solche Domänengrenzen traten bei der Abkühlung des frühen Universums ebenso auf wie anden Rändern Schwarzer Löcher und werden auch für Elementarteilchen diskutiert [52]. Im nicht-relativistischen Grenzfall verschwinden die oben genannten Eekte. Dennoch gibt es ehrgeizige

2.6. WEITERE TOPOLOGISCHE STRUKTUREN 15

Versuche, durch die Reexion heller Solitonen an einer Wand neue Grenzen für kurzreichweiti-ge Korrekturen der Gravitation aufgrund exotischer Kräfte jenseits des Standardmodells [53]setzen zu können.

Obwohl Quantengase bereits erfolgreich als hochinteressante Modellsysteme etwa der Fest-körperphysik genutzt wurden, sollte darauf hingewiesen werden, dass die Analogie von Quan-tensystemen zu anderen fundamentalen Systemen der Physik auch deutliche Grenzen hat.

Kapitel 3

Räumliche Lichtmodulation

Am BEC-Experiment im Institut für Laserphysik der Universität Hamburg, an dem diese Di-plomarbeit durchgeführt wurde, bestehen bereits eine Vielzahl von Möglichkeiten, die ultrakal-ten Atome als Gesamtheit zu manipulieren: Magnetfeldstärken und -gradienten, Mikrowellen-und Radiofrequenzeinstrahlung, Dipolpotentiale und optische Gitter in unterschiedlichen Geo-metrien. Mit der Idee der Untersuchung von Solitonen entstand jedoch der Bedarf nach einerMöglichkeit, neben diesen globalen Einüssen auch lokal Lichtfelder aufprägen zu können, derenAusdehnung im Bereich der Ausheillänge l0 liegt.

Dies wurde realisiert durch den Einsatz von räumlichen Lichtmodulatoren (spatial lightmodulators, SLM), mit denen fast beliebige Lichtprole erzeugt werden können. Der Aufbauund die Untersuchung dieses Systems sind wesentliche Bestandteile der vorliegenden Arbeit.Dieses Kapitel beschreibt zunächst die Funktionsweise des SLM und seinen Einsatz am Experi-ment. Danach werden Messungen zur Charakterisierung vorgestellt, den Abschluss bilden einigeVorschläge zur Anwendung des SLM in anderen Bereichen der Quantenoptik.

3.1 FunktionsweiseDie grundlegende Idee eines SLM ist es, einem kollimierten Laserstrahl eine räumliche Modula-tion der Polarisation aufzuprägen. Diese kann dann in eine Intensitätsmodulation umgewandeltwerden. Dazu werden kleine, hochauösende Displays verwendet, die in der Beamer-Technologieweit verbreitet sind. Das einzelne Pixel besteht aus einer Lage von Flüssigkristallen zwischenzwei Schichten eines Halbleitermaterials (liquid crystal on silicon, LCoS). Die Kristalle könnendie Polarisation des Lichtes drehen, die gesamte Schicht wirkt dabei wie eine λ/4-Platte. Durchdie zweite Passage des Lichtes nach Reektion an der Rückseite wirkt das Pixel als λ/2-Platte.Mit einem polarisierenden Strahlteilerwürfel kann die Modulation der Polarisation in eine In-tensitätsmodulation umgesetzt werden. Das gesamte Display wirkt also als eine Anordnung vonMillionen äuÿerst kleiner und einzeln drehbarer Phasenplatten.

Diese Displays können entweder transparent oder reektiv sein. Die Entscheidung el auf diereektiven, da sie einen deutlich besseren Kontrast und eine gröÿere eektive Fläche aufweisen.Die technische Funktionsweise eines Flüssigkristall-Pixels ist in Anhang D erklärt.

Am Experiment kommt das Modell LC-R 1080 der Firma HOLOEYE Photonics, Berlin, zumEinsatz. Es ist mit zwei Displays von je 1920 × 1200 Pixeln (WUXGA-Format) ausgestattet(Abb. 3.1).

Mit einer Kantenlänge der Pixel von 8,1 µm sind die Displays 15,4 × 6,7 mm groÿ. Siewerden durch ein leistungsstarkes Flachbandkabel mit einer Steuereinheit verbunden (Abb.

17

18 KAPITEL 3. RÄUMLICHE LICHTMODULATION

Abbildung 3.1: Das reektive Display bestehtaus 2,3 Millionen Pixeln von 8,1 µm Kanten-länge.

Abbildung 3.2: Die beiden Displays sind überein Flachbandkabel mit der Steuereinheit ver-bunden.

3.2), die den Treiber beinhaltet.Der SLM wird als zweiter Monitor über einen DVI/HDMI-Ausgang an einen herkömmlichen

PC angeschlossen, der Treiber über eine serielle RS-232 Schnittstelle. Dieser beinhaltet nebender EEPROM (Electrically Erasable Programmable Read-Only Memory), welche die EDID (Ex-tended Display Identication Data) enthält, auch Informationen zur Umsetzung von Grauwertenin eine Ausrichtung der Flüssigkristalle (look-up table, LUT) sowie zur Orientierung und Po-sition des adressierten Bildes auf dem Display. Alle diese Einstellungen lassen sich über eineCOM (Component Object Model)-Anweisung verändern.

Beide Displays erhalten das gleiche Signal von der Ansteuerung. Durch die Adressierungfarbiger Bilder wird es aber möglich, sie unabhängig voneinander zu betreiben. Die Displaysarbeiten mit einer RGB-Basis; das eine setzt nur Grüntöne, das andere nur Rottöne um. Gelbwird also auf beiden Displays angezeigt, Blau jedoch auf keinem. Durch eine geeignete Wahlder Farben und Sättigungen ist es möglich, zwei unterschiedliche Lichtprole zu erzeugen.

Damit es nicht zu einer eektiven Verschiebung der Flüssigkristalle kommt, werden dieDisplays mit einer Wechselspannung betrieben. Die Taktrate beträgt 60 Hz und kann nichtverändert werden. Mit dieser Geschwindigkeit können Sequenzen abgespielt werden.

Der Wert der angelegten Spannung folgt einer 8-bit-Ansteuerung, die Wellenplatte istalso in 256 unterschiedliche Positionen drehbar. Im Ruhezustand (ausgeschaltetes oder schwarzadressiertes Display) wird die Polarisation des Lichtes nicht gedreht (normally black). Es istentscheidend, mit welcher Polarisation das Licht auf das Display fällt: es muss in der Richtungparallel zur lange Achse des Displays linear polarisert sein.

Wie Abb. C.1 zeigt, ist die Umsetzung von Graustufen in Drehwinkel jedoch keineswegslinear. Hier wird das Ansprechen der Flüssigkristalle auf die angelegte Spannung sichtbar. Füreine gewünschte Intensität muss daher der zu adressierende Sättigungswert aus der LUT be-stimmt werden. Auch bleibt die Ezienz sogar deutlich hinter dem Füllfaktor von 80 bis 90 %zurück. Der Kurvenverlauf ist unabhängig von der Eingangsintensität I0.

Leider sollte auch angemerkt werden, dass der Einsatz des SLM nicht immer störungsfreiist und man beim laufenden Experiment auf die Möglichkeit einer ständigen Kontrolle nichtverzichten möchte.

3.2. POLARISATION UND INTENSITÄT 19

Abbildung 3.3: Base für ein Display. Abbildung 3.4: Base für zwei Displays.

3.2 Polarisation und IntensitätDurch die Verwendung von Verzögerungsplatten und polarisierten Strahlteilern (PST) ist esmöglich, die Intensität eines kollimierten, nicht notwendig kohärenten Lichtstrahles zu regeln.Hierzu sollen an dieser Stelle einige Überlegungen aufgeführt werden.

Die Polarisation einer elektromagnetischen Welle kann immer als eine Ellipse aufgefasst wer-den, mit beliebiger Ausrichtung in der Ebene der Wellenfronten und einem Verhältnis der Halb-achsen zwischen 0 und ∞ (linear polarisiertes), z.B. 1 (zirkular polarisiertes Licht). Die beidenHauptachsen dieser Ellipse lassen sich in das Orthogonalsystem eines dichroitischen Kristallstransformieren. Ein solcher doppelbrechender Kristall besitzt zwei Achsen mit unterschiedli-chen Brechungsindizes, sodass die Komponenten einer durchlaufenden Welle unterschiedlicheVerzögerungen erfahren. Wird die Dicke d des Kristalls so gewählt, dass

∆ϕ =2π

λd(nslow − nfast), ∆ϕ =

π

2(3.1)

gilt mit den Brechungsindizes n der beiden Kristallachsen, so wird eine einfallende, im Win-kel von 45 zu den Kristallachsen linear polarisierte Welle zirkular polarisiert. Unter anderenWinkeln tritt sie elliptisch heraus, bei einem Winkel parallel zu einer Kristallachse wird siezwar nachwievor phasenverschoben, bleibt aber linear. Drehung des Kristalls um 90 verändertdie zirkulare Polarisation zwischen links und rechts. Umgekehrt tritt eine zirkulare polarisierteintreende Welle linear polarisiert heraus. Wie aus Gl. (3.1) klar wird, werden solche Kristalleλ/4 - Platten (true zero-order) genannt.

Werden zwei solcher Platten mit gleicher Ausrichtung hintereinander gestellt, so bilden dieseeine λ/2 - Platte, die linear polarisiertes Licht um bis zu ∆ϕ = π drehen kann.

Polarisierte Strahlteiler sind Glaswürfel, die diagonal aufgeschnitten, an der Trennäche miteinem Dünnschichtpolarisator versehen und wieder zusammengekittet wurden. Diese Zwischen-lage besteht aus einer Vielzahl dünner dielektrischer Schichten, deren Reexionsvermögen fürdie eine Polarisationskomponente groÿ, für die andere klein ist. Sie ist innerhalb des Würfels soorientiert, dass horizontal polarisiertes Licht transmittiert, vertikal polarisiertes jedoch um 90abgelenkt wird. Durch den Aufbau eines PST hinter einer λ/2 - Platte kann das Licht also aufdie beiden Kanäle verteilt werden.

Der grundlegende optischen Aufbau für die Verwendung eines SLM besteht lediglich auseinem PST, der die Polarisationsmodulation in eine Amplitudenmodulation umwandelt. Um auf


Abbildung 3.5: In 30-facher Vergröÿerung wer-den die einzelnen Pixel sichtbar, hier wurdeein 1:1 Schachbrettmuster adressiert.

Abbildung 3.6: Quadrate von 50 × 50 Pixelnin 15-facher Vergröÿerung.

diese Weise einen Lichtstrahl vollständig in den einen oder anderen Zweig führen können, müssendie Drehung der Polarisation und die Ablenkung in den PST perfekt sein. Dies ist einerseitsdurch die technische Unvollkommenheit, andererseits durch die limitierte Justagegenauigkeitnicht möglich. Der Hersteller der Displays, Brillian Corporation, USA, gibt einen Kontrast von2000 : 1 bei 633 nm [54] an. Die PST haben laut Hersteller (Linos Photonics, Göttingen) einLöschungsverhältnis von mindestens 10.000 : 1 [55], diese Fehler sind also zu vernachlässigen.

Um derart gute Ergebnisse zu erzielen, muss das Licht jedoch senkrecht auf die Oberächentreen. In einem einfachen Testaufbau wurde die Lichtintensität im falschen Kanal in Abhän-gigkeit des Winkels, unter dem der einfallende, bestmöglich linear polarisierte Laserstrahl aufden PST trit, gemessen. Das maximal zu realisierende Löschungsverhältnis lag bei 1.760 : 1.Entscheidend ist jedoch der Winkelbereich, in dem dieses Verhältnis erreicht wird. Dieser istfür unterschiedliche Fabrikate, sogar für einzelne Exemplare individuell und zudem abhängigvon der Lage (horizontal oder vertikal) der Polarisation.

Beim Aufbau des Experiments muss also der optimalen Ausrichung der optischen ElementeSorge getragen werden. Hierzu wurde eine Vielzahl von Haltern entworfen, Kernstücke sind dieBasen für ein (Abb. 3.3) und für zwei (Abb. 3.4) Displays.

Auf ihnen sind die nötigen Spiegel, PST und Strahlteiler so angebracht, dass ihre Oberächenentweder parallel sind oder aufeinander justiert werden können. Insbesondere der zweifach-Halter lässt sich sehr variabel einsetzen: für horizontal oder vertikal polarisiertes einfallendesLicht, die Verwendung eines gemeinsamen oder zweier getrennter Eingänge (sogar orthogonalerPolarisationen) und für die Nutzung zweier Ausgänge.

Das Display kann mit einer Intensität von 1 bis 2 W/cm2 belastet werden. Im unten be-schriebenen Aufbau entspricht dies einer Intensität von maximal 800 mW/mm2 am Ort desKondensats.

3.3 CharakterisierungAn Experiment soll der SLM eingesetzt werden, um Lichtprole mit möglichst scharfen Struk-turen (Kanten, Streifen, Flächen) am Ort der Atome zu erzeugen, insbesondere im Hinblick auf

3.3. CHARAKTERISIERUNG 21

-4 -2 2 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abbildung 3.7: Ein Gauÿ-Prol, die sinc-Funktion (kleine Nebenmaxima) und dieBessel-Funktion 1. Ordnung (gröÿere Neben-maxima) im Vergleich.

-4 -2 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Abbildung 3.8: Bei der Fresnel'sche Beugungan der Kante zeigen sich ausgeprägte Intensi-tätsminima in der ausgeleuchteten Halbebeneund ein exponentieller Abfall.

die Forschung mit dunklen und gefüllten Solitonen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit ist derSLM zusammen mit verschiedenen Optiken hinsichtlich zahlreicher Aspekte getestet worden.

Die Abb. 3.5 und 3.6 zeigen das Display in Vergröÿerung. In diesem Abschnitt sollen jedochnur Messungen in Verkleinerung betrachtet werden, deren Aussagen unmittelbare Relevanzfür die Erzeugung eben jener topologischer Strukturen haben. Es werden zunächst die Abbil-dungsschärfe von Kanten und die Breite von Streifen betrachtet, danach die Homogenität einerFläche. Den Abschluss bilden Überlegungen zu Toleranzen bei der Justage am Experiment.

3.3.1 Auösung

TheorieEin Abbildungssystem ist stets limitiert durch seine numerische Apertur (NA), NA = A/f ,A zum Beispiel der Durchmesser der Linse, f die Brennweite. Korrekt beschrieben wird diePropagation des Lichtes durch Wellenfronten sphärischer Elementarwellen im gesamten Raum.Wird das Lichtbündel bei einer Abbildung in seine Fourier-Komponenten zerlegt, so fehlen beimDurchgang durch eine Apertur die äuÿersten ~k-Vektoren: es entsteht Beugung.

In der Nähe der optischen Achse wird das Beugungsbild eines Punktes durch das sog. Airy-Scheibchen mit einem radialen Intensitätsverlauf

I(r) = I0

(2J1β

β

)2

, β = NA2π

λr (3.2)

beschrieben, mit der Bessel-Funktion 1. Ordnung J1(u) = 12πi

2π∫0

ei(v+u cos v)dv. Innerhalb desnullten Maximums liegen 84 % der Intensität (Abb. 3.7).

Für einen Spalt ergibt sich ein transversaler Intensitätsverlauf

I(x) = I0

(sinβ

β

)2

, β = NAπ

λx, (3.3)

wobei das erste Nebenmaximum 4,7 % des Hauptmaximums erreicht. Diese Gleichungen be-schreiben die Fraunhofer-Beugung im Grenzfall R >> A2/λ mit A der Gröÿe der Önung und


R ihrem Abstand zur Detektionsebene. Bei einer Kante ist dieser Grenzfall oensichtlich nichterfüllt. Die Fresnel-Beugung an einer Kante kann durch eine Cornu-Spirale beschrieben werdenund wird in [56] aus den Fresnel'schen Integralen abgeleitet. Abb. 3.8 zeigt den Intensitätsver-lauf, die exakte Berechnung ndet sich in den Standardwerken zur Optik, etwa [57].

Das Auösungsvermögen einer Optik bezeichnet den Winkel, unter dem zwei Punkte geradenoch getrennt voneinander abgebildet werden können. Nach dem Rayleigh-Kriterium für kohä-rentes Licht ist dies dann der Fall, wenn das erste Beugungsminimum der einen Punktquellemit dem zentralen Maximum der anderen zusammenfällt. Demnach ergibt sich die theoretischeAuösungsmöglichkeit des Objektivs mit Brennweite f = 104, 5 mm und Linsendurchmesserd = 43 mm zu δ = 1, 22 fλ/d = 2, 3 µm.

MessungenDie Abbildungseigenschaften von SLM und Objektiv werden anhand zweier wichtiger Struktu-ren untersucht: dem Prol einer Kante und der Breite eines Streifens. Hierzu wird ein externerAufbau verwendet, in dem der Chip einer CCD-Kamera in die Ebene gebracht wird, in der sichspäter das BEC bendet. Die Bestimmung einer Auösung im Bereich von etwa 2 µm ist miteiner Kamera, deren Pixel 6,45 µm groÿ sind, nicht ganz trivial1.

Zur Abbildung des SLM am Experiment wurde eine 10-fach Verkleinerung gewählt. Diesereduziert die maximal mögliche Auösung nicht, jedoch können sehr schmale Streifen erzeugtwerden. Die Intensität wird um einen Faktor 100 erhöht, und Inhomogenitäten (etwa durchdie Stege zwischen den Displaypixeln oder Staub auf Linsen und Spiegeln) werden durch dieBeugung zumindest verringert. Das Objektiv ist eine Spezialanfertigung der Firma B. HalleNach., Berlin, und erreicht bei einer NA von 0,3 eine theoretische Auösung von 2,3 µm.Dieses wurde mit einem Auösungsdia getestet, analog zu den Untersuchungen in [58]. Eswurde eine CCD-Kamera des Modells Hamamatsu C8484 05 verwendet, die über 1340 × 1024Pixel mit Kantenlänge p=6,45 µm verfügt, mit einem Mikrolinsen-System versehen ist und soeinen Füllfaktor von 70 bis 80 % erreicht.

Es wurden zwei Verfahren entwickelt, mit denen die Pixellimitierung deutlich reduziert wer-den konnte. Eines beruht auf einer stetigen Verschiebung des Bildes, das andere auf einerVerdrehung der Achsen von SLM und CCD-Chip der Kamera gegeneinander.

Die Oberäche eines Pixels besteht aus einer aktive Fläche und den rundumliegenden Stegen.Zunächst wird die Breite b dieser Stege berechnet. Bei einem Füllfaktor F von 70 bis 80 % istb =

√Fp = 0, 86(20) µm und die Kantenlänge a der aktiven Fläche a = p − b = 5, 59(20)

µm. Dieser Wert konnte experimentell bestätigt werden, indem die fehlende Intensität ermitteltwurde, wenn ein sehr schmales Lichtprol auf die Stege und nicht auf die aktiven Flächenfällt. Im Folgenden wird angenommen, die aktive Pixeläche sei quadratisch, was sie durch dasMikrolinsensystem sicherlich nicht ist.

Bild einer KanteAuf dem SLM wird ein Bild mit einer vertikalen Kante (Halbebene) adressiert. Dieses kannüber die Treiber-Ansteuerung pixelweise verschoben werden2. Durch die Beugung ist die Kanteauf der Kamera nicht scharf: sie hat ein gewisses Prol, das eine oder mehrere Pixelspaltenüberstreicht. Es wird nun eine einzige, vertikale Pixelspalte betrachtet, über welche die Kantedurch Verschieben des SLM-Bildes in diskreten Schritten horizontal bewegt wird. Aufgezeichnet

1Idealerweise würde man eine Photoplatte verwenden wollen. Hier schrumpfen die Pixel auf Atomgröÿe unddie Limitierung wird durch die Auösung des Mikroskops, mit dem die Photoplatte ausgewertet wird, bestimmt.

2Alternativ könnte auch die Kamera verschoben werden, dies erfordert jedoch Genauigkeiten im Bereich von100 nm.


Abbildung 3.9: Oben Vier Lichtprole werden auf die Kamera abgebildet. Von Links Einδ-peak, eine Kante, eine linear ansteigende Kante und ein Spalt. Unten Die zugehörigen In-tensitätsverläufe, aufgetragen über die Verschiebung s. Es ist x die Breite der Struktur und adie aktive Pixelkantenlänge.

wird die über diese Spalte summierte Intensität (counts) in Abhängigkeit von der Position derKante auf dem SLM. Aus ihrem Verlauf kann das Prol der Kante bestimmt werden.

Hierzu hilft es, sich erst einmal klar zu machen, welchen zeitlichen Intensitätsverlauf eingroÿächiger Photodetektor erfährt, über den eine bestimmte Struktur hinwegläuft. In Abb.3.9 sind einige einfache Prole dargestellt.

Folgende Überlegungen sind richtig, wenn die Struktur kleiner ist als der Photodetektor:• Der Intensitätsverlauf ist das Integral der Struktur A(r) über die Verschiebung s,

ISpalte(s) =∫

A(r)ds. (3.4)

• Die Ableitung dieses Verlaufs zeigt das Prol der Struktur, und zwar doppelt: einmal beimEinlaufen in den Photodetektor, einmal beim Herauslaufen. Die beiden Prole liegen beiden folgenden Messungen etwa γ = V · aCCD/aSLM ≈ 8 Verschiebungen S auseinander.

• Der Verschiebungsweg s, über den die Intensität ansteigt, entspricht der Prolbreite plusder Ausdehnung des Photodetektors.

Nun wird die Strukur A(r) nicht kontinuierlich, sondern in diskreten Schritten von einerPixelkantenlänge verschoben. Das Integral in Gl. (3.4) wird so zu einer Summe über Verschie-bungen S. Das Inkrement auf dem Photodetektor ist dann s′ = aSLM/V = 0, 81µm. DieseBeschreibung muss modiziert werden für den Fall, dass die Struktur gröÿer ist als der Photo-detektor.

In Abb. 3.10 (links) ist der Intensitätsverlauf einer Pixelspalte gezeigt (oben), der Poly-nomt bis zum Grad N = 100 (mitte) und die entsprechende Ableitung (unten).


5 10 15 20 25 30 35S

500

1000

1500

2000

2500

3000

counts

5 10 15 20 25 30 35S

500

1000

1500

2000

2500

3000

counts

5 10 15 20 25 30 35 S

-400

-300

-200

-100

100∆

5 10 15 20 25 30S

500

1000

1500

2000

2500

3000

counts

5 10 15 20 25 30 S

500

1000

1500

2000

2500

3000

counts

10 15 20 25 30S

-600

-400

-200

200

400

600

∆

Abbildung 3.10: Von Oben: Die gemittelte Intensität einer Pixelspalte zu jeder VerschiebungS, die Fitfunktion, und ihre Ableitung. Diese entspricht dem Intensitätsprol der Struktur, undzwar zweifach im Abstand von 8S. Links: Daten für eine Kante. Rechts: Daten für eine aufdem SLM 16,2 µm breite Linie.


Die Intensität steigt für die linke Flanke innerhalb von 3,2 und für die rechte Flanke innerhalbvon 3,8 Verschiebungen der Kante auf dem SLM von 10 auf 90 % des Maximalwertes an,entsprechend einer Breite k von k = 3, 2·8, 1/10 µm = 2, 6 µm, bzw. k = 3, 1 µm. Das Minimumist etwa m = 3, 0 µm breit, konsistent mit k = a − m = 2, 6 µm. Die Kantenform lieÿe sichzum Beispiel durch eine Fehlerfunktion beschreiben, die charakteristischen Oszillationen derFresnel'schen Beugung lassen sich nicht auösen. Der gröÿte Gradient beträgt etwa ∂I/∂s =0, 36Imax/µm.

Bild einer Linie 1Für die Beschreibung des Intensitätsprols eines schmalen Streifens wird genau wie bei derKante verfahren. Die Abb. 3.10 zeigt die Daten, t-Funktion und Ableitung für eine zwei Pixelbreite Linie auf dem SLM, die ohne Beugung 1,62 µm breit wäre. Der Mittelwert der Breitebeide Linienprole liegt bei l0,05 = 4, 7 µm zwischen Amplituden I = 0, 05Imax sowie l1/e = 3, 4µm zwischen Amplituden I = Imax/e.

Diese Werte erscheinen sehr plausibel. Vermindert man die Breiten l um die endliche Breitedes adressierten Streifens, so erhält man sehr genau die theoretische Auösungsbegrenzung,wie sie für einen unendlich schmalen Spalt gelten würde. Sämtliche Fehlerquellen führen zueiner Verbreiterung des Prols, mit Ausnahme des angesetzten Wertes für die Vergröÿerung V ,der eingehend überprüft wurde. Eine minimale Neigung der Pixelraster von SLM und Kame-ra gegeneinander führt zu einer signikanten scheinbaren Verbreiterung des Prols. Dies kannreduziert werden, indem nicht eine ganze Pixelspalte, sondern nur ein Teilabschnitt ausgewer-tet wird. Je weniger Pixel einbezogen werden, desto gröÿer wird aber das Rauschen. Für dieMessreihen wurden Reihenabschnitte von 20 Pixeln ausgewertet.

Bild einer Linie 2Durch das soeben beschriebene Verfahren konnte die Pixellimitierung drastisch reduziert wer-den, nämlich von pCCD = 6, 45 µm auf pSLM/V = 0, 81 µm. Mit dem folgenden Verfahrenkann die eektive Pixelgröÿe noch weiter verringert werden. Hierzu werden die Pixelreihen desSLM um einen Winkel ϕ von wenigen Grad um die optische Achse gegenüber denen der Kameragedreht. Eine einzelne, auf dem SLM hell adressierte Spalte beleuchtet jetzt nebeneinanderlie-gende Spalten auf der Kamera in einer Weise, die es erlaubt, das Linienprol zu ermitteln. Abb.3.11 zeigt dies beispielhaft.

Der Intensitätsverlauf entlang einer Kamerapixelspalte ist eine Projektion des Linienprols,gestreckt um einen Faktor 1/sinϕ. Wird das gesamte SLM auf die Kamera abgebildet, so dehntsich das Bild über 240 Kamerapixel aus. Bei einer Verdrehung um nur ein Pixel sinkt dieeektive Pixelgröÿe auf peff = a · 1/240 = 23 nm.

Leider scheiterte dieses Verfahren an der sehr geringen Tiefenschärfe. In [58] wurde die Ver-schlechterung der Auösung mit wachsender Entfernung vom Fokus zu ∂δ/∂f = 0, 04 bestimmt.Dies bedeutet, dass in einem Abstand von 55 µm von der Fokusebene die erreichbare Auö-sung schon doppelt so groÿ ist wie die innerhalb der Fokusebene. Bei einem 8,6 mm groÿenDisplay entspricht dies einer Verkippung von nur 0,36. Das für diese Messreihen verwendeteKameradisplay war weit mehr geneigt, sodass dieser Weg nicht begehbar war3.

3Für die Bestimmung der Auösung eines in Verkleinerung abgebildeten, gerasterten Bildes, sei ein weiteresVerfahren vorgeschlagen. Die Auswahl der verfügbaren Pixelgröÿen von Displays ist auf wenige Standard-Wertebeschränkt. Werden nun für das Bild und die Kamera unterschiedliche Pixelkantenlängen gewählt, deren Die-renz (oder die eines Vielfachen), klein ist, so resultiert jede pixelweise Verschiebung des Bildes auf dem Monitorin einer Verschiebung auf der Kamera, die jedoch nicht ganz einer Pixelbreite entspricht. Dieser Versatz ist dieeektive Pixelgröÿe. Für einen 13 µm-Monitor, der in 2-fach Verkleinerung auf eine 6,8 µm-Kamera abgebildetwird, ist peff = 0, 6 µm.


Abbildung 3.11: Oben Schema eines CCD-Displays, auf dem eine Linie im Winkel ϕ auf diePixelzeilen abgebildet wird. Zur Vereinfachung ist eine endlich breite Linie mit unendlich steilenKanten dargestellt, für andere Kantenverläufe vgl. Abb. 3.9. Unten Intensitätsverläufe dermittleren (durchgezogene Linie) und äuÿeren Pixelzeilen (unterbrochen). Linienbreite x undStegbreite b zwischen den Pixeln werden um 1/ sinϕ gestreckt.

20 40 60 80 100S

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

counts

20 40 60 80 100S

500

1000

1500

2000

2500

3000

counts

20 40 60 80 100

-150

-100

-50

50

100

150

20 40 60 80 100S

500

1000

1500

2000

2500

3000

counts

20 40 60 80 100S

500

1000

1500

2000

2500

3000

counts

20 40 60 80

-100

-50

50

100

150

200

Abbildung 3.12: Von links: Der Intensitätsverlauf entlang einer ausgewählten Pixelreihe, dieFitfunktion, und ihre Ableitung für eine auf dem SLM 16,2 µm breite (oben) und eine 34,4 µmbreite (unten) Linie.


Die Abb. 3.12 zeigt die Daten und Kurven für einen auf dem SLM zwei (oben) und einen vier(unten) Pixel breiten Streifen. Die unterschiedliche Steigung der Flanken in der Fitfunktionsind sehr gut als Zeichen variierender Abbildungsschärfe zu erkennen.

ZusammenfassungDurch die Verschiebung des auf dem SLM adressierten Bildes in diskreten Schritten konnte diePixellimitierung reduziert werden auf eine eektive Pixelgröÿe von 0,81 µm. Ein weiteres Ver-fahren wurde vorgeschlagen, das jedoch an der empndlichen Tiefenschärfe scheiterte. FolgendeWerte sind als Obergrenzen zu verstehen, da Fehljustagen und glättende Fitfunktionen nur zuihrer Erhöhung führen können.

• Die Intensität an einer Kante steigt über 2,8(2) µm von 10 auf 90 % des Maximalwertesan.

• Eine 1,62 µm schmale Linie erfährt durch die Beugung eine Verbreiterung auf etwa 4,7(3)µm und einem Abstand von 3,4(2) µm zwischen Punkten mit Intensitäten I = Imax/e.Eine noch schmalere Linie auf dem SLM wird diese Gröÿen weiter mindern.

• Diese Werte lassen sich sehr gut mit der theoretischen Auösung von 2,3 µm vereinbaren.Für eine Abbildung kann der SLM also als eine herkömmliche Maske betrachtet werden.

3.3.2 Homogenität

Viele Anwendungen des SLM im Bereich der Atomoptik erfordern eine konstante Intensität übereinen Bereich von vielen 100 µm. Einige Ursachen von Inhomogenitäten sollen hier diskutiertwerden.

Der verwendete Laser läuft auf der fundamentalen TEM00-Mode und hat daher ein Gauÿ-förmiges Strahlprol. Der Radius r des Kreises am Ort der Atome, auf dem die Intensität aufcI0 abgesunken ist, berechnet sich bei einer Kollimation von 1/e2-Radius ω0, Verkleinerung Vund groÿer Rayleigh-range zu

r =ω0

V

√− ln c

2. (3.5)

Beispielsweise variiert bei einem Strahldurchmesser von 1 cm die Intensität auf einer Länge von230 µm entlang eines 1D-Kondensates um höchstens 5 % 4.

Weiterhin zeigt sich auf kleinen Skalen das für kohärentes Licht typische Interferenzmu-ster, das zwar nicht zu beseitigen ist, durch die Beugung jedoch unterdrückt wird. WeitereModulationen, etwa Interferenzen und Fehler durch Linsen und Spiegel, lassen sich nur schwerabschätzen. Weder Variationen von groÿer Amplitude unterhalb der Ausheillänge des Konden-sates noch langreichweitige Gradienten können für die Experimente toleriert werden. In einemVersuch, Intensitätsschwankungen auf einer Skala von einigen 10 µm zu erfassen, wurde dieStandardabweichung der counts auf einer homogen ausgeleuchteten Fläche bei verschiedenenVergröÿerungen gemessen. Nach Abzug des Kamerarauschens ergibt sich eine Abhängigkeit,nach der das Rauschen auf den Pixeln exponentiell mit der Vergröÿerung ansteigt (Abb. 3.13).Durch die Verkleinerung werden also zumindest die grossächigen Fluktuationen verringert.

4Ist man durch geringe Laserleistung zu einer kleinen Kollimation gezwungen, so kann das Gauÿ-Prol biszu einem gewissen Grade eingeebnet werden, indem auf dem SLM Grauwerte in Form eines negativen Gauÿum das Maximum herum adressiert werden.


-0.5 0 0.5 1 log V

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25SD

Abbildung 3.13: Standardabweichung derPixel-counts bei unterschiedlichen Vergröÿe-rungen.

0 2 4 6 8 f@mmD12345678

b@µmD

Abbildung 3.14: Das Objekt kann ohne Auö-sungseinbuÿen um einige mm verschoben wer-den.

Eine Messung leicht auÿerhalb des Fokus ergab keine Verbesserung der Homogenität. Einigeengagierte Ideen zu diesem Thema nden sich in [59].

Weiterhin können zeitliche Intensitätsschwankungen durch die annähernd instantane Um-polung des elektrischen Feldes mit 60 Hz auftreten. Dies können kleine Intensitätsminima zumZeitpunkt des Vorzeichenwechsels der Spannung sein. Ebenso kann ein Flackern auftreten,wenn die Beträge der Spannungen nicht exakt gleich sind5. Diese Modulation von 60 Hz wurdebestimmt und liegt unterhalb von 3 %.

3.3.3 Toleranzen bei der Justage

Bei der Justage sind zwei Entfernungen einzustellen, von denen die erreichte Auösung empnd-lich abhängt: zwischen Display und Objektiv sowie zwischen Objektiv und BEC. Der Einusskleiner Abweichungen von der Ideallage ist extern durch axiales Verschieben von Display bzw.Kamera ermittelt worden.

Bei einer Verkleinerung sollte der erste Fokus sehr unsensibel sein. In der Tat kann dasDisplay um 2,5(5) mm verschoben werden, ohne dass sich das Auösungsvermögen ändert(Abb. 3.14). Die Tiefenschärfe sollte um einen Faktor V 2 sensibler sein und konnte mit demoben beschriebenen Verfahren nicht ermittelt werden. In [58] wurde sie durch Verschiebung derAuösungsplatte detailliert gemessen.

3.3.4 Zusammenfassung

Die ganz wesentliche Frage, ob ein SLM zur Manipulation von Quantengasen geeignet ist, lässtsich nach Abschluss der in dieser Arbeit durchgeführten Untersuchungen und Überlegungenbejahen. Dabei hat sich die naive Vermutung, dass das Display sich nicht anders verhält alseine beliebige Blende, bestätigt6. Die theoretische Auösungsmöglichkeit des Objektives liegtbei 2,3 µm, die ermittelten Kantenprole bei 2,8 µm (0, 1 . . . 0, 9 I0) und die Linienbreiten bei 3,4µm (Abfall auf 1/e). Diese stimmen sehr gut mit der Theorie überein und liegen im Bereich derAusheillänge l des Kondensates: die erzielte Auösung sollte daher für ein Solitonen-Experiment

5Dies nennt sich DC-balancing und ist technologisch anspruchsvoll zu realisieren.6Wie bei einem Gitter erwartet, erkennt man unter den recht groÿen Winkeln 5 und 11 Beugungsmaxima,

die jedoch um etwa 4 Gröÿenordnungen unterdrückt sind.

3.4. EXPERIMENTELLER AUFBAU 29

CC

D

Abbildung 3.15: Legende der verwendeten Symbole: Von links Ein Spiegel; ein Strahlteiler-würfel; ein polarisierter Strahlteilerwürfel (PST); ein SLM-Display; ein Faserauskoppler mitKollimation, beam walk und λ/2-Platte; eine Photodiode; ein Faraday-Isolator; ein Objektiv;eine CCD-Kamera.

Abbildung 3.16: Experimenteller Aufbau zur Justage des SLM.

ausreichend sein. Die Toleranz für die Justage ist erstaunlich groÿ, sie beträgt für die Position desDisplays einige mm. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, wie das Abbildungssystem aufgebautwerden kann.

3.4 Experimenteller AufbauFür die Erzeugung variabler Lichtfelder am Ort der kalten Atome muss das Display des SLMauf diese abgebildet werden. Als Zugang dient das Objektiv, mit dem die Atomwolke durcheinen Detektionsstrahl auf die Detektionskamera abgebildet wird, vor diesem steht ein groÿerStrahlteilerwürfel. Dieser nimmt zwar die Hälfte des Detektionslichtes von der Kamera, bietetaber unter anderem die Möglichkeit, das vom Display reektierte Licht (im folgenden SLM-


Abbildung 3.17: Dieser Aufbau verwendet zwei PST, sodass durch Drehung der Polarisationdes Detektionsstrahles sehr elegant zwischen den beiden Zweigen gewechselt werden kann.

Strahl) mit dem Detektionsstrahl zu überlagern. Ein Klappspiegel an dieser Stelle wäre nichtpräzise genug.

Für die Justage der Abbildung des Displays auf die Atome wurden zwei Schemata entwickeltund extern getestet, von denen im folgenden eines ausführlich vorgestellt wird (Abb. 3.16). DasVerfahren gliedert sich in zwei Teile: die Zentrierung des Strahlprols des Lasers auf die Atomesowie die Fokussierung des Displays. Es wird zunächst von nur einem Display ausgegangen.

Die Base mit Spiegel, Display und den zwei Würfeln (Abb. 3.3) wird so eingestellt, dassdas vom Display gedrehte Licht c senkrecht zu b, das nicht gedrehte genau in b herausläuft.Der Strahlteilerwürfel wird mittig und so in den Detektionsstrahl gestellt, dass er parallel zu bverläuft7.

Eine Blende wird zentral in den auf einige cm Durchmesser kollimierten SLM-Strahl gestellt.Mit resonantem Licht können die Atome eines BEC weggeschossen werden. Ist dies der Fall,so wird die Blende soweit zugezogen, bis die Atome nicht mehr getroen werden. Durch eineÄnderung der Strahllage von a, die den Winkel jedoch unverändert lässt (beam walk), könnendie Atome wieder getroen werden. Durch Iteration wird die Blendenönung minimiert. Dannwird im geraden Ausgang c ein Objektiv positioniert, welches das Display auf die Justagekameraabbildet; hierzu werden scharfe Kanten auf dem SLM adressiert. Mit einem grau eingestelltenDisplay sollten jetzt der SLM-Strahl und das Bild der Atome auf der Justagekamera genauüberlagert sein. So wird auch festgestellt, welcher Bereich des Displays genutzt wird.

Um das Display nun scharf auf die Atome abzubilden, muss es in den ersten Fokus desObjektives gebracht werden. Die Idee hierzu ist folgende: Das Display wird genau dann scharfauf die Atome abgebildet, wenn es gleichzeitig mit den Atomen scharf auf der Justagekamerazu sehen ist. Dies folgt aus der Eindeutigkeit und Umkehrbarkeit von Abbildungen. Es wirddazu der Abstand 1 verändert und Abstand 2 (oder praktischerweise die Position des Justa-geobjektives) derart nachgefahren, dass das Display auf der Kamera scharf bleibt. Nun ist die

7Der Detektionsstrahl verläuft nicht genau entlang der Lochreihen des optischen Tisches. Bei dem zweifach-Halter kann dies durch den Auskoppelspiegel sehr angenehm kompensiert werden.

3.5. ANWENDUNGEN 31

Abbildung des Kondensates entweder besser oder schlechter; nach wenigen Iterationen solltedas Ziel erreicht sein.

Da die Schärfe der Abbildung eines BEC oft nicht ausreichend genau bestimmt werdenkann, bietet es sich an, den Einuÿ des Lichtes auf die Atome auszuwerten. Es sollte möglichsein, dunkle Solitonen zu erzeugen, deren Geschwindigkeit ein Maÿ für die Genauigkeit derAbbildung ist (vgl. Abschnitt 2.2).

Ein zweites Display kann nun ein gleicher Weise hinzugefügt werden. Beim Einsatz amExperiment kann das Justageobjektiv dann so gewählt werden, dass die relevanten Displaypi-xel einzeln sichtbar sind. Diese Vergröÿerung erfordert eine kleine optische Weglänge vor demObjektiv, aus diesem Grunde ist der Aufbau sehr kompakt.

Das zweite, in Abb. 3.17 dargestellte Schema kommt ohne die Justagekamera aus, weist abereinige Nachteile auf und kommt deshalb nicht zum Einsatz. Anstatt von zwei müssen hier fünfAbstände dynamisch variiert werden, was ein sehr ausgeklügeltes System von Verschiebetischenerfordern würde.

3.5 AnwendungenDie Anwendungsmöglichkeiten eines SLM sind sehr vielfältig. Allein schon die Möglichkeit,einem Kondensat in ein oder zwei Dimensionen räumlich und zeitlich fast beliebige Phasen-landschaften aufprägen zu können, ist einzigartig. Gleiches gilt für blau- und rotverstimmteDipolpotentiale zur Erzeugung von Fallen und Leitern für Atomen; eine Übersicht bietet [60].

Auÿerdem kann er genutzt werden, um das Termschema der Atome lokal zu verändern:So kann etwa ein Dipolpotential erzeugt werden, das durch den AC-Stark shift die Hyper-feinzustände so weit auseinanderdrückt, dass eine global eingestrahlte Mikrowelle nur mit denbeleuchteten Atomen resonant ist und hier Populationstransfers vornimmt. Selbiges kann aucherreicht werden durch die Verwendung eines Raman-Lasers, wie es an unserem Experimentgeschehen soll. So erhalten wir einen fast schon als chirurgisch zu bezeichnenden Zugang zurgesamten Wellenfunktion des Kondensates (tailoring of the wave function). Im Folgenden sollauf ausgewählte Anwendungen en detail eingegangen werden. Einige sind in anderen Gruppenrealisiert worden, andere sind eigene Vorschläge.

PhasenhologrammeWährend der SLM in dieser Arbeit eektiv als variable Maske verwendet wurde, kann er auchals diraktives optisches Element (DOE) eingesetzt werden. Auf dem Display wird dann einholographisches Muster adressiert, an dem der Laserstrahl gebeugt wird und im Fernfeld ein Bilderzeugt. So können Punkte oder Linien hoher Intensität generiert werden, etwa für Dipolfallenoder zur Lithographie. Da die Pixelgröÿe jedoch nicht ganz im Bereich der Wellenlänge liegt,sind nur bedingt scharfe Strukturen zu erwarten. Es sind reine Phasenmodulatoren verfügbar,die die Phase des Lichtes um bis zu 5π schieben und so Phasenhologramme entstehen lassen.

Auftrennen eines BECIn der Gruppe von C. Foot wurde ein SLM genutzt, um ein BEC in zwei, bzw. drei Teileaufzuspalten und diese räumlich voneinander zu trennen [61]. Man entschied sich für einenferro-elektrischen Flüssigkristall-SLM, der zwar auf binäre Werte in der Verzögerung des Lich-tes beschränkt ist, sich aber mit einer Taktrate von 1 kHz betreiben lässt. Das Display wurdeals variables Phasengitter genutzt, mit dem beliebige Beugungsmuster und somit variable opti-sche Potentiale erzeugt werden konnten. Mit der Generierung hunderter Phasenlter wurde einVerfahren entwickelt, die Geschwindigkeit des rotverstimmtem Lichtes am Ort des BEC so


schnell und stetig zu gestalten, dass die Atome dem Potential mit vertretbarem Heizen folgenkönnen. Ein Kondensat von 2 · 105 Atomen konnte in zwei Hälften mit einem Abstand von 55µm zerlegt werden.

optische PinzetteMit Hilfe der Dipolkraft können Objekte durch Licht gefangen, festgehalten und bewegt werden.Wird ein SLM genutzt, um Hologramme zu erzeugen, so kann zum Beispiel eine Anordnungvon regelmäÿigen Fallen aufgebaut werden. Auÿerdem können diese Fallen dynamisch gestaltetwerden, um Objekte zu transportieren. Dieses Verfahren wird schon für Teilchen bis zu einerGröÿe von einigen 10 µm genutzt [62] und als sogenannte optische Pinzette in der Mikrobiologieals Standard eingesetzt.

VortizesDie in Abschnitt 2.6 beschriebenen Vortizes sind den Solitonen ähnliche, elementare Anregungenmit einem Drehimpuls. Der Vortex wird auch hier an einem aufgeprägten Phasensprung erzeugt,der durch einen spiralförmig ansteigenden Intensitätsverlauf entsteht. Mit einem SLM ist esdann sehr leicht, auch komplizierte und zeitlich veränderliche Anordnungen mehrerer Vortizeszu generieren.

Josephson-KontaktIn der Festkörperphysik wird das Tunneln von Cooper-Paar Elektronen durch die isolieren-de Grenzschicht zwischen zwei Supraleitern unter dem Einuss elektrischer und magnetischerFelder untersucht. Dem resultierenden Stromuss entspricht die Kohärenz zweier räumlich ge-trennter Ensembles ultrakalter Atome. Mit dem SLM kann ein solches Modellsystem in Formvon rotverstimmten Dipolfallen, deren Abstand und Tiefe sich verändern lassen, aufgebautwerden. Alternativ kann ein light sheet blauverstimmten Lichtes gewählt werden. So kann et-wa studiert werden, bis zu welcher Potentialtiefe Tunneln möglich ist, ob die Kohärenz nacheiner Absenkung des Potentials erhalten bleibt und welchen Einuss die Teilchenzahl hierbeihat. Weiterhin können die Oszillationen des AC-Josephson-Eektes sowie das Eintreten vonSelbstlokalisierung beobachtet werden.

In der Gruppe vonM. Oberthaler wurden bereits erfolgreiche Experimente zu diesen bo-sonischen Josephson-Kontakten durchgeführt [63]. Zur Erzeugung eines Doppelmuldenpotenti-als wurde ausgenutzt, dass zwei weit verstimmte und unter einem kleinen Winkel eingestrahlteLaser in ihrem Kreuzungspunkt ein optisches Gitter ausbilden. Weitere Experimente könnenzum Verständnis dunkler Solitonen als mobiler Josephson-Kontake beitragen.

UnordnungIm Bereich der experimentellen Erforschung von disorder-Phänomenen in ultrakalten Gasenwerden im wesentlichen zwei Ansätze verfolgt, um zufällige Potentialverläufe und -ächen zurealisieren. In 2D-Geometrien wird das kollimierte Licht durch eine z.B. mit Ruÿ verunreinigteGlasplatte geführt, für drei Dimensionen werden zwei oder mehr Laserfelder inkommensurablerFrequenzen genutzt. Mit einem SLM könnten nicht nur wirklich zufällige Lichtprole mit einerAuösung von ≈ 2 µm adressiert werden, sondern sie könnten auch auf einer Skala von msdynamisch gestaltet sein.

Bespielsweise könnte der Transport verschiedenster Objekte durch diese disorder-Umgebunghindurch studiert werden.

3.5. ANWENDUNGEN 33

QuantenregisterFür die Realisierung eines Quantencomputers, der mit neutralen Atomen arbeitet, ist ein Re-gister nötig, in dem einzelne Atome gespeichert und transportiert werden können. Mit Hilfeeines SLM konnte eine Anordnung von Dipolfallen gebaut, diese Mikrofallen mit einzelnen Ato-men beladen und dann bewegt werden [64]. Somit ist die Grundlage für ein geeignetes Registergeschaen. Mit einem zweiten SLM könnten die Atome selektiv präpariert werden.

Kapitel 4

Experiment

Die Entstehung der vorliegenden Arbeit ging einher mit dem Bestreben, gefüllte Solitonen zuerzeugen, zu untersuchen und zu verstehen. Hierzu war das Spinor-BEC Experiment am Institutfür Laserphysik der Universität Hamburg hervorragend geeignet. Sein Aufbau ist schon in einerWeise beschrieben worden, wie es diese Arbeit nicht vermag; aus diesem Grunde sei auf dieWerke der Herren Erhard, Schmaljohann, Kronjäger und Becker verwiesen.

Grundlagen zur Bose-Kondensation nden sich in [65], viel Details der experimentellen Rea-lisierung sind in [66] wunderbar zusammengetragen. Für die Beschreibung der Techniken desFangens und Kühlens von thermischen Atomen mit Hilfe von Lasern sei [67] empfohlen. Alldiese Themen sollen nicht Gegenstand der vorliegenden Arbeit sein.

Angesprochen werden jedoch die Ergänzungen zum bestehenden Experiment. Es sind diesder räumliche Lichtmodulator (Kapitel 3), der Raman-Laser (4.2.1) und die Phasenkontrast-detektion (4.3). Den Anfang dieses Kapitels bilden einige Überlegungen und Rechnungen zu2-Photonen-Prozessen, abschliessend folgt eine Beschreibung des experimentellen Vorgehens.

4.1 Atomphysikalische Rechnungen

4.1.1 Rabi-Frequenzen

Zur Bestimmung der Rabi-Frequenz Ω (Anhang B)

Ω =√

I

2IsatΓ, Isat =

cε0Γ2h2

4 |e · d|2(4.1)

muss die Stärke des optischen Überganges berechnet werden. Die Clebsch-Gordan-Koezientenliegen tabelliert vor und sind Abb. 4.3 zu entnehmen. Die Gröÿe des Dipolmatrixelementes fürden D2-Übergang beträgt M = 〈j = 1/2‖er‖j′ = 3/2〉 = 3, 584 · 10−29 Cm, so können dieSättigungsintensitäten der einzelnen Übergänge ermittelt werden.

Die Intensität des Laserfeldes I = 2P/πω20 im Zentrum des Gauÿ'schen Strahls enthält die

Leistung P und den Durchmesser ω0 des Strahls bei einem radialen Abfall der Intensität aufI/e2.

Für einen Raman-Übergang (Abb. 4.3) beträgt die Raman-Rabirate nach adiabatischerEliminierung der nicht beteiligten Niveaus ΩR = Ω1Ω2/2∆. Für den Grundzustand 52S1/2 in87Rb liegen bei zirkular polarisiertem Licht zwei Λ-Systeme vor, wobei der Zweig |F = 1,mF =0〉 ↔ |F ′ = 2,mF = ±1〉 ↔ |F = 2,mF = 0〉 durch die CG-Koezienten 3-mal stärkerist als der Zweig via |F ′ = 1,mF = ±1〉. Beide Prozesse sind vollständig kohärent, sodass ein

35

36 KAPITEL 4. EXPERIMENT

deutlich komplexeres System vorliegt, in dem die kombinierte Raman-Rabirate eine Schwebungder einzelnen ΩR ist.

4.1.2 Phasenentwicklung

Die Phasenentwicklung in einem 2-Niveau-System durch AC Stark-shifts ist in Anhang C be-schrieben. In einem System mit zusätzlichen Kopplungen müssen jedoch weitere Terme berück-sichtigt werden.

Die volle Rabi-Oszillation der Zustände enthält einen Phasenschub von π, sowie Beiträgealler nicht an diesem Λ-System beteiligten Übergänge. Insbesondere ist dies die starke cyclingtransition |F = 2,mF = 0〉 ↔ |F ′ = 3,mF = ±1〉. Für die Erzeugung gefüllter Solitonenmit dem in Abb. 4.4 dargestellten Verfahren bedeutet dies, dass die Phasenentwicklung durcheine Variation der beiden Laserintensitäten eingestellt werden kann, solange das Produkt I1 I2

konstant bleibt. Dies ist auch möglich durch eine kleine Verstimmung von der Resonanz. DieGrundlagen zur Berechnung dieser zusätzlichen Terme nden sich in [68] und [69].

4.2 Raman-LaserFür die Erzeugung der hellen Komponente innerhalb des gefüllten Solitons ist ein Populati-onstransfer zwischen den beiden Hyperfeinzuständen |F = 1〉 und |F = 2〉 des 52S1/2-Niveausnotwendig. Ein globaler Transfer des gesamten Kondensates kann sehr ezient durch Mikro-welleneinstrahlung realisiert werden, während der gewünschte Transfer lediglich innerhalb eineskleinen Gebietes natürlich einer lokalen Manipulation bedarf. Hierfür ist ein Raman-Laser Sy-stem aufgebaut worden [70, 59], mit dem lokale Zustandsänderungen durch Lichtfelder erzeugtwerden können.

Die beiden Hyperfeinniveaus des Grundzustandes bilden zusammen mit einem virtuellenangeregten Niveau ein Λ-System (Abb. 4.3). Mit Hilfe des Raman-Lasers können durch virtuel-le 2-Photonen-Prozesse Rabi-Oszillationen zwischen den Hyperfeinzuständen getrieben werden.Hierzu muss die Dierenzfrequenz der beiden Laser bis auf wenige Hz genau mit ihrem Ener-gieabstand übereinstimmen, was hohe Anforderungen an die elektronische Regelung stellt. Dasangeregte Niveau bleibt bei einer ausreichend groÿen Verstimmung weitgehend unbesetzt, diesesollte sich über einen groÿen Bereich einstellen lassen.

Der Aufbau des Lasersystems ist im nächsten Abschnitt dargestellt, gefolgt von experimen-tellen Daten zur Rabi-Oszillation.

4.2.1 Raman-Laser System

Der Raman-Laser als bichromatische Lichtquelle besteht aus zwei Diodenlasern in Littrow-Anordnung, deren Dierenzfrequenz über eine optische Nachlaufsynchronisation (optical phase-locked loop, OPLL) stabilisiert wird (Abb. 4.1).

Der Raman-Master ist auf eine temperaturstabilisierte cavity gelockt, diese wiederum aufdie |F = 2〉 → |F ′ = 2/F ′ = 3〉 - crossover-Resonanz eines Kühllasers. Für die erste Einstellungdes Raman-Slave ist eine dopplerfreie Spektroskopie vorhanden. Master und Slave werden auf ei-ner schnellen Photodiode (Hamamatsu G4176) überlagert, das elektronische Schwebungssignal(beat) wird gemischt mit einer Referenzfrequenz, die dem Mikrowellenübergang von 6,834...GHz sehr genau entspricht. Die Dierenzfrequenz wird tiefpassgeltert und bekommt eine Trä-gerfrequenz von 20 MHz aufmoduliert. Vom phase-frequency discriminator (PFD) werden zweiRegelsignale ausgegeben. Die niederfrequente Komponente ersetzt das Spektrosopie-Signal ander lock box, während der hochfrequente Anteil direkt auf den Laserdioden-Strom wirkt.

4.2. RAMAN-LASER 37

Abbildung 4.1: Der Raman-Laser: schematischer Aufbau des optischen Teils.

Jeder Zweig kann separat mit einem akusto-optischen Modulator (AOM) in Doppelpasskon-guration geschaltet werden, zusätzlich sind shutter aufgebaut. Vor der Einkopplung in einesingle-mode Faser werden beide Zweige überlagert, hier haben sie die gleiche Polarisation. Derzweite Ausgang wird für eine weitere dopplerfreie Spektroskopie insbesondere des Masters oderals Zugang für ein wavemeter genutzt. Auÿerdem hat es sich als hilfreich erwiesen, über einzweites beat-Signal hinter den AOM's zu verfügen, um auf einem Spektrumanalysator die Lageder Dierenzfrequenz überprüfen zu können. An allen relevanten Positionen (vor der Überla-gerung, hinter den AOM's und hinter der Faser) sind Photodioden aufgebaut, um die absoluteLeistung messen zu können. Hinter der Faser stehen etwa 2 mW aus jedem Zweig zur Verfügung.

Um sich die Option zu erhalten, Populationstransfer und Phasenaufprägung voneinandertrennen zu können, besteht die Möglichkeit, einen Teil des Slave-Lichtes abzuzweigen und übereine zweite Faser auf ein eigenes SLM-Display zu richten.

Das Qualitätsmerkmal eines Raman-Lasers ist, neben der Stabilität der locks, die spektraleBreite des Trägers sowie die darin enthaltene relative Leistung. Diese Informationen liefertsowohl das hochaufgelöste Spektrum als auch die Stärke des Regelsignals des PFD. In [59] wirdder mittlere Phasenfehler mit φ = 25= 0, 44 rad angegeben, entsprechend einer Leistung imTräger von η = e−〈φ

2〉 = 82%. Der beat reicht 80 dB über den Untergrund und ist selbst aufhalber Höhe nur 6 Hz breit.


0 0.5 1 1.5 2 2.50

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000Raman−Puls (Reihe 1, 20070803P0001 − ...P0081 ohne P0028 & P0052)

t [ms]

Teilc

henz

ahl [

a.u.

]

Funk

tion:

f(t)

= A

e− t /

τ ( si

n(φ 0 +

ω t

(1 +

η t)

) )2

Para

met

er: A

=11.

45 *

103 , τ

=2.0

5 m

s, φ

0=−0.

88 *

10−2

* π,

ω=4

.40

ms−1

, η=−

4.17

* 10

−2 m

s−1

DatenFit

Abbildung 4.2: Rabi-Oszillationen: Besetzung des Zustandes |F = 2〉.

4.2.2 Rabi-Oszillationen

Für die Erzeugung der gefüllten Solitonen sollen Rabi-Oszillationen zwischen den |F = 1〉 und|F = 2〉 Niveaus des Grundzustandes durch einen Raman-Prozess getrieben werden. Dazu wer-den die beiden Grundzustände über ein virtuelles Niveau gekoppelt. Die Raman-Laser sindgegenüber den angeregten 52P3/2-Niveaus um einige GHz verstimmt, sodass dieses tatsächlichkaum besetzt wird. Die Grundlagen zur Wechselwirkung von Licht und Materie sind in An-hang B zusammengefasst, die detaillierten Rechnungen sind im vorangehenden Abschnitt 4.1skizziert.

Die Zahl der möglichen Übergänge, die für die Rabi-Oszillation genutzt werden können, wirdeinerseits durch verschwindende Dipolmatrixelemente vieler Übergänge, andererseits durch dievorliegende Polarisationsgeometrie stark eingeschränkt. Für π-polarisiertes Licht existiert keinoberes Niveau F ′, an das beide untere Niveaus |F = 1〉 und |F = 2〉 koppeln. Nun kann linearpolarisiertes Licht als Superposition zirkularen Lichtes betrachtet werden, π = 1√

2(σ− + σ+).

In diesem Fall interferieren die beiden symmetrischen Zweige mit ∆mF = ±1 gerade destruktiv.Für einen Raman-Puls, der parallel zur Quantisierungsachse propagiert und hinsichtlich dieserlinear polarisiert ist, wird also kein Populationstransfer erwartet. Genau dies bestätigt sichexperimentell.

Mit zirkular polarisiertem Licht lassen sich jedoch Rabi-Oszillationen treiben. Abb. 4.3 zeigtdie verwendeten Übergänge, (Abb. 4.2) die Besetzung des Zustandes |F = 2〉 als Funktion derEinstrahlzeit.

Die beiden Raman-Zweige waren um 2π × 16, 0 GHz gegenüber der atomaren Resonanzverstimmt, trugen eine Leistung von 2,3 und 2,1 mW und waren auf einen 1/e2-Durchmesservon 2,8 mm kollimiert. Das Licht wurde hier parallel zur Quantisierungsachse und senkrechtzur Detektionsachse eingestrahlt, während die Atome in einer gekreuzten Dipolfalle gehaltenund anschlieÿend nach nach Önung der Falle und kurzer Expansionszeit (time of ight, TOF)detektiert wurden.

4.2. RAMAN-LASER 39

An die Messdaten kann eine Funktion der FormN(t) = Ae−t/τ (sin(φ0 + ωt(1 + ηt)))2 (4.2)

angelegt werden mit der anfänglichen Teilchenzahl A = 11.450, der Verlustrate durch Heiz-prozesse τ = 2, 05 ms, der Oszillationsperiode ω = 2π × 700 Hz sowie einem verschwindenenAnfangswinkel φ0 und einer Dämpfung der Frequenz η.

Zur Erklärung der Dämpfung wurde die Heizrate für beide Zustände gemeinsam, in derDetektion also mit Rückpumplaser, zu τ = 1, 69 ms bestimmt. Bei einem um nur wenige GHzverstimmten Raman-Übergang treten also noch signikante Streuprozesse auf. Zudem wurdedurch Detektion der |F = 1〉-Komponente nachgeprüft, dass für einen π/2-Puls weniger als 2% der Atome in diesem Zustand bleiben.

Anhand der obigen Parameter kann mit den in Abschnitt 4.1 angeführten Gleichungen dietheoretisch erwartete Rabi-Frequenz zu ΩR = 2π × 5, 7 kHz berechnet werden. Dieser deutlichhöhere Wert kann darin begründet liegen, dass die Atome nicht im Maximum des Gauÿ'schenStrahls lagen und somit nicht in der vollen Intensität. Auch kann es sein, dass die Resonanzfre-quenz nicht genau getroen wurde. Analog zu [70] wurde die erwartete spontane Streurate nachGl. (B.5) zu R = 2π×2, 94 1/s bestimmt, diese stimmt wiederum recht gut mit dem experimen-tellen Wert überein und zeigt, dass die Atome nur leicht auÿerhalb der maximalen Intensitätlagen. Mithin ist die kleine Raman-Rabirate ΩR dadurch zu erklären, dass der Raman-Lasermit nur einem geringen Teil seiner Leistung im Bereich der 2-Photonen-Resonanz lief, also zubreitbandig war. Dies wurde im Anschluss an diese Messungen optimiert.

Die Resonanz der Dierenzfrequenz der beiden Raman-Laser lag nicht bei der natürlichenatomaren Übergangsfrequenz von ∆hfs = 6, 8... GHz, sondern 6 kHz darunter. Dies erklärtsich durch den dierentiellen light shift, den die beiden Komponenten durch das jeweils andereLaserfeld leicht unterschiedlich erfahren. Dieser Eekt wurde schon in [70] beobachtet undbeschreiben.

Das Experiment ist derart konzipiert, dass die Quantisierungsachse senkrecht zur Detek-tionsachse verläuft, um so die mF -Komponenten durch Stern-Gerlach Separation trennen zukönnen. Andereseits kann das Raman-Licht mit der gewünschten Abbildungsqualität nur ent-gegen der Detektionsrichtung eingestrahlt werden. Wie in Anhang B gezeigt wird, sind Rabi-Oszillationen in dieser Konguration weder mit π- noch mit σ-polarisiertem Licht möglich. Des-halb wird die Quantisierungsachse für die Zeit des Raman-Pulses in die Detektionsrichtung ge-dreht, wobei die Zeit von 5 ms, über die der Strom in einem zusätzlichen Helmholtz-Spulenpaarhochgerampt wird, lang ist gegenüber der Larmor-Frequenz der Atome.

Lokaler PopulationstransferFür die Erzeugung der hellen Komponente des gefüllten Solitonens werden Atome innerhalbeines kleinen Bereiches von |F = 1,mF = 0〉 nach |F = 2,mF = 0〉 transferiert. Dies gelingtmit Hilfe des SLM, auf dem nur eine schmale, weiÿe Linie adressiert wird. Die Aufprägung desnötigen Phasensprunges an dieser Position erfolgt dann separat mit einem monochromatischen,weit verstimmten Laser über einen weiteren SLM.

In einem eleganteren Verfahren werden Phasenaufprägung und Populationstransfer mitein-ander verbunden. Es wird ein Intensitätsprol eingestrahlt, das eine Hälfte des elongiertenKondensates nicht beeinusst, die andere jedoch mit einem 2π-Puls versieht, durch den dieAtome eine volle Rabi-Oszillation |F = 1〉 → |F = 2〉 → |F = 1〉 durchlaufen (Abb. 4.4).Hierdurch wird dem beleuchteten Teil ein Phasenschub von π angefügt, der an der Grenzächeein dunkles Soliton entstehen lässt.

Durch die Beugungsbegrenzung der Abbildung ist die Kante zwischen den Hemisphärenjedoch nicht scharf, sondern zeigt einen grauen Übergangsbereich, in dem die Intensität nur


Abbildung 4.3: Oben: Raman-Schema, un-ten: die verwendeten Übergänge.

Abbildung 4.4: Lokaler Populationstransfer:Von oben Intensitätsverlauf, Populations-und Phasenverteilung.

für eine halbe Rabi-Oszillation ausreicht, sodass die Atome in |F = 2〉 landen und die helleKomponente des gefüllten Solitons ausbilden. Der Übergangsbereich kann durch eine schmaleStufe auf halber Höhe der Kante ausgedehnt werden. Je breiter diese Stufe, desto gröÿer ist diehelle Komponente, desto geringer wird jedoch der Phasengradient und mithin die Stabilität desdunklen Solitons.

In der Phasenentwicklung treten zusätzlich zum Phasensprung um π durch die vollständigeRabi-Oszillation weitere Terme auf, die durch die Kopplung der beiden Lichtfelder an weitereZustände, die nicht am Raman-Prozess beteiligt sind, entstehen. Eine mögliche Lösung bestehtdarin, nach dem Raman-Puls einen der Raman-Laser solange weiterlaufen zu lassen, bis diePhasendierenz durch das Dipolpotential an der beleuchteten Hälfte auf π oder ein Vielfachesdavon korrigiert ist.

4.3 PhasenkontrastdetektionTheorieAlle Informationen über das BEC und mögliche Strukturen darin werden durch seine Abbildungmittels eines Detektionslasers auf eine CCD-Kamera gewonnen. Dies kann innerhalb der Fallegeschehen, wo die Atomwolke jedoch häug optisch dicht ist, oder nach einer kurzen Expansi-onszeit (time of ight, TOF). Es gibt drei Varianten der Detektion, die auf unterschiedlichenEigenschaften der Wechselwirkung der Atome mit dem Detektionslicht beruhen. Die Absorpti-on resonanten Lichtes durch die Atome ist für geringe Dichten und Intensitäten weit unterhalbder Sättigungsintensität annähernd linear. So entsteht ein Schattenbild der Atomwolke, dashinsichtlich der Atomzahl ausgewertet werden kann. Die Emission von Photonen wird bei derDunkelfelddetektion ausgenutzt, während die zerstörungsfreie Phasenkontrastdetektion von der

4.3. PHASENKONTRASTDETEKTION 41

Abbildung 4.5: Schema der Phasenkontrastdetektion. Nur das vom Gegenstand gestreute Lichterfährt im Zwischenfokus eine Verzögerung von π/2.

Eigenschaft der Atome, die Phase des gestreuten Detektionslichtes zu verändern, Gebrauchmacht.

Das Detektionslicht E0 wird von den Atomen abgeschwächt, gestreut und in der Phaseverschoben [66]:

E = tE0eiφ (4.3)

mit t = exp(− nσ0

21

1 + δ2

)und φ = − nσ0

2δ

1 + δ2.

Hier ist n =∫

n dz die integrierte axiale optische Dichte, δ = 2(ω − ω0)/Γ die Verstimmungin Einheiten der Linienbreite Γ und σ0 = 3λ2/2π der Wirkungsquerschnitt. Um von einemPhotosensor aufgenommen werden zu können, muss die Phaseninformation in eine Intensitäts-information umgeschrieben werden.

In der Fourierebene der Abbildungsoptik bildet das ungestreute Licht einen Fokus, währenddas gesteute Licht groÿächig kollimiert ist (Abb. 4.5).

An diese Stelle wird ein Plättchen mit einem kleinen Punkt darauf gebracht, der etwasgröÿer ist als der Fokus. Verzögert der Punkt die Phase des Lichtes um γ und transmittierteinen Anteil τ2, so ist für die Detektion in Absorption (τ = 1, γ = 0), im Dunkelfeld (τ = 0)und im Phasenkontrast (τ ≈ 1, γ = ±π/2). Die Intensität an einem Punkt in der Bildebene istdann

〈I〉 = I0[1 + t2 + τ2 + 2tτ cos(φ− γ)− 2t cos φ− 2τ cos γ] (4.4)und in der Näherung kleiner optischer Dichten

〈I〉 = I0τ2 − I0σ0τ

[δ

1− δ2sin γ +

11− δ2

cos γ

]n. (4.5)


Abbildung 4.6: Justagehilfe durch eine aufgeklebte Spitze: links unvollständiges Dunkelfeldbildund rechts das Schema.

Bei gegebener Verstimmung δ wird das Signal maximiert für τ = 1 und tan γ = −δ und istmaximal bei δ = γ = 0, der resonanten Absorptionsmethode. Bei einer Verstimmung von δ = 1ist das Phasenkontrastsignal jedoch nur um die Hälfte schwächer. Für kleine Phasendierenzenφ ist das Dunkelfeldsignal 〈Idf 〉 = I0[1+t2−2t cos φ] quadratisch in φ, das Phasenkontrastsignaljedoch linear: 〈Ipc〉 = I0[t2 +2− 2

√2t cos(φ+ π

4 )]. Im Idealfall kann für φ = π/2 und t = 1 einevollständig konstrukive Überlagerung mit 〈Ipc〉 = 5I0 erreicht werden, dies ist jedoch für eineatomare Wolke nicht realistisch.

Wichtig für die Detektion von Quantengasen ist neben dem Kontrast das Verhältnis zwischendem Signal und der Zerstörung, die durch die resonante Anregung am Kondensat verrichtetwird (signal-to-heating). In Absorption werden in der Regel alle Atome weggeheizt, währendbeim Phasenkontrast der Schaden durch eine groÿe Verstimmung so klein gehalten werden kann,dass mehrere Bilder desselben Kondensates gemacht werden können. Dadurch sind echte in situ-Zeitreihen möglich, wie sie etwa für die Beschreibung der Dynamik von Solitonen wünschenswertsind.

Für diese Anwendung wurde eine Kamera (iKon M der Firma ANDOR, Belfast) getestet,deren Ansteuerung es erlaubt, einen Teilausschnitt des Displays in schneller Folge zu belich-ten und die Photoelektronen auf dem maskierten Teil des Displays zwischenzuspeichern (fastkinetics mode). So wird die Wartezeit zwischen zwei Aufnahmen nicht durch die Auslesezeit,die meist im Bereich einiger MHz pro Pixel liegt, sondern durch die Verschiebegeschwindigkeitbestimmt. Da diese zwischen einer und wenigen µs pro Zeile liegen, sind Repetitionsraten vonunter 100 µs möglich, ohne das gröÿere elektronische Rauschen durch eine schnellere Ausleseakzeptieren zu müssen. Dabei führte die lange Speicherung der Photoelektronen in den Pixelnzu keiner Minderung der Bildqualität. Weiterhin ist die elektronische Verarbeitung durch die in-tensive Kühlung des Chips extrem rauscharm, sodass zusammen mit der hohen Quantenezienznur eine geringe Detektionsintensität nötig ist.

JustageWie aus [58] hervorgeht, muss der Phasenpunkt (γ = π/2) sehr genau positioniert sein. Schonbei einem Abstand zum Fokusmittelpunkt von 20 µm in radialer oder 100 µm in axialer Rich-tung besteht keine Honung mehr, ein fast transparentes Objekt zu detektieren. Da sich derPhasenpunkt von Hand nur auf etwa 5 mm radial und 10 mm axial genau einstellen lässt,ergibt sich ein Raster von mehreren tausend Punkten, die durchprobiert werden müssten, um

4.4. EXPERIMENTZYKLUS 43

Abbildung 4.7: Ein Phasenobjekt von 100 µm Durchmesser mit τ = 0, 93, γ = π/2 in ver-schiedenen Detektionsarten. Von links: in Absorption, in Phasenkontrast mit einem 100 µmgroÿen Phasenpunkt, Dunkelfeld mit einem 300 µm dünnen Draht, Dunkelfeld mit einem 100µm dünnen Draht.

den Fokus zu nden. Diese Erfahrung hat sich in der Vergangenheit bestätigt. Deshalb wurdeein Verfahren entwickelt und extern getestet, das es erlaubt, den Phasenpunkt iterativ in etwa20 bis 30 Schritten zu nden.

Die Phasenkontrastplatte ist in einem Linsenhalter festgeschraubt, der später auf einen xyz-Verschiebetisch montiert wird. Ein dünnes Metallblech, in das eine markante Spitze geschnittenwurde, wird unter einem Mikroskop 100-facher Vergröÿerung auf den Linsenhalter gelegt (Abb.4.6).

Die Spitze endet genau über dem Rand des 50 µm groÿen Phasenpunktes, in dieser Positionwird das Blech auf dem Halter festgeklebt. Die Dierenz der Positionen, in denen die Spitzeund der Phasenpunkt scharf zu sehen sind, liefert den axialen Abstand.

Die Phasenkontrastplatte wird in den Zwischenfokus der Abbildungsoptik gestellt. Liegtdieser innerhalb der Spitze, so trit kaum Licht auf die Kamera. Bendet er sich am Randder Spitze, so erscheint das transparente Objekt hell auf grauem Grund: ein nicht optimalesDunkelfeldbild. So kann die Spitze schrittweise aus dem Zwischenfokus herausgezogen werden.Den Bezeichnungen in der Abbildung folgend ist das Spitzenende erreicht, wenn das Bild beimVerschieben der Spitze in die +x und ±y-Richtungen hell wird. Die axiale Position ist dort, woder radiale Verschiebeweg zwischen Dunkelfeld und hell ausgeleuchteten Bild minimal ist. Dannwird das Blech entfernt und die Phasenplatte um den radialen und axialen Versatz korrigiert.

Abb. 4.7 zeigt einen zweiten Phasenpunkt, der mit diesem Verfahren abgebildet wurde.Die optimale Position der Phasenkontrastplatte lag nur minimal vom Endpunkt der Iterationentfernt.

Auÿerdem wurde ein Phasenpunkt mit τ = 0, 93 im Dunkelfeld abgebildet. Hierzu wurdenverschieden dünne Drähte zum Abschatten des Zwischenfokus ausprobiert. Die radiale Lagedes Drahtes lässt sich einfach einstellen, die axiale Position ist dort gefunden, wo der Kontrastam gröÿten ist. Werden analog zum obigen Verfahren zwei Drähte in x- und y- Richtung sogespannt, dass sie sich über einem lichtundurchlässigen Punkt kreuzen, so kann eine echteDunkelfeldabbildung schnell justiert werden. Abb. 4.7 zeigt den Phasenpunkt, aufgenommenmit Hilfe eines 100 und eines 300 µm starken Drahtes.

4.4 ExperimentzyklusDie Details der Erzeugung, Manipulation und Detektion von Bose-Kondensaten am bestehendenExperiment sind in diversen Diplomarbeiten und Dissertationen ausführlich dargelegt. In die-sem kurzen Abschnitt soll nur der schematische Ablauf eines typischen Solitonen-Experimentes


skizziert werden.Eine 3D-MOT wird über eine Zeit von 10 s durch eine 2D-MOT mit 87Rb-Atomen im Zu-

stand |F = 2〉 beladen. In einer Melassenphase werden sie abgekühlt, darauf nach |F = 1〉transferiert und in eine Magnetfalle umgeladen. Hier wird die Phasenraumdichte durch evapo-rative Kühlung über 20 s um etwa 4 Gröÿenordnungen erhöht. Das Umladen in die elongierteDipolfalle erfolgt sehr langsam und daher adiabatisch. Durch einen Landau-Zener-sweep kanndie Einstellung des Spins im angelegten oset-Feld von mF = −1 zu mF = 0 gedreht werden. Esliegt dann ein Kondensat in der Gröÿenordnung von 100.000 Atomen und mit einer Temperaturvon 50 nK vor.

dunkle Solitonen Zur Erzeugung dunkler Solitonen wird ein um 2π× 8 GHz gegenüber deratomaren Resonanz verstimmtes Dipolpotential mit einer Intensität von 150 mW/cm2 für 80 µseingestrahlt. Nach einer variablen Evolutionsdauer von 0 . . . 5000 ms wird die Falle geönet unddie Atomwolke nach kurzer Expansionszeit detektiert, um so die otische Dichte zu verringern.Es werden insgesamt drei Detektionsbilder gemacht, die miteinander verrechnet werden, wo-durch das Signal-zu-Rausch Verhältnis signikant erhöht wird: das echte Absorptionsbild mitresonantem Licht, ein Referenzbild ohne Atome und eines ohne Atome und ohne Detektionslicht.

gefüllte Solitonen Für die Erzeugung gefüllter Solitonen muss zunächst die Quantisierungs-ache in Detektionsrichtung gedreht werden. Hierzu wird über 5 ms ein Haltefeld aufgebaut,das orthogonal zum bestehenden Feld liegt. Ein Raman-Puls von 2π × 16 GHz Verstimmungwird für 400 µs eingestrahlt. Das Detektionsbild besteht aus zwei Belichtungen: während derExpansion wird zunächst die |F = 2〉 - Komponente detektiert und danach komplett entfernt,dann die |F = 1〉 nach |F = 2〉 gepumpt und nach weiteren 6 ms detektiert. So können diebeiden Komponenten räumlich getrennt abgebildet werden.

Kapitel 5

Erste Ergebnisse

Als Höhepunkt der vorliegenden Arbeit werden in diesem Kapitel erste Messungen zur Oszil-lation und Kollision dunkler Solitonen (Abschnitt 5.1) und zur Propagation gefüllter Solitonen(5.2) präsentiert. Beide Phänomene konnten bisher noch nicht oder noch nicht in dieser Klar-heit beobachtet werden. Diese Messungen wurden erst in den letzten Wochen vor Fertigstellungdieser Arbeit durchgeführt, sodass sowohl die Berechnungen von Teilchenzahlen, Dichten, Tem-peraturen etc. für die gefüllten Solitonen als auch eine eingehende Betrachtung der Kollisionennoch ausstehen. Auch ist die Möglichkeit, die Gröÿe der hellen Komponente variieren zu kön-nen, noch nicht ausgenutzt worden. Kollisionen mit unterschiedlichen Startparametern stehenals folgende Messungen an.

In den folgenden Abschnitten werden zwei weitere Messungen vorgeschlagen. Zum einen istdies der Einuss eines zusätzlichen Potentials auf die Propagation eines Solitons (Abschnitt5.3), zum anderen die Kollision von drei Solitonen (5.4).

5.1 Dunkle SolitonenDas Kondensat wird von einer elongierten Dipolfalle gehalten. Für eine Dauer von 80 µs wirdein um 2π×8 GHz blauverstimmter Laserpuls auf eine Hälfte des Kondensates appliziert. Durchden aufgeprägten Phasensprung bildet sich ein dunkles Soliton aus. Abb. 5.1 zeigt ein dunklesSoliton, dass über 5 ms in der Dipolfalle entstand und nach einer Expansionszeit von 11.5 msdetektiert wurde, Abb. 5.2 das entsprechende axiale Dichteprol.

Die Wirkung des Lichtes auf die linke Kondensathälfte ist deutlich zu sehen: durch eineendliche Besetzung des oberen Niveaus treten spontane Streuprozesse auf, deren Rate mit derVerstimmung abnimmt. Während das Soliton nach rechts propagiert, bewegt sich eine Dichte-welle nach links, die hier sehr ausgeprägt neben dem Soliton zu sehen ist.

5.1.1 Lebensdauer und Oszillation in der Falle

In Abb. 5.3 ist die Bewegung des Solitons in einer Zeitreihe dargestellt. Die Lebensdauer derSolitonen liegt bei etwa 250 ms und übertrit damit alle bisherigen Experimente um ein Vielfa-ches. Durch den superuiden Strom in Richtung des Phasengradienten bewegt sich das Solitonin die entgegengesetzte Richtung, bis der Strom nach etwa 50 ms am Rande des Kondensatesdurch die dort geringere Dichte unterbrochen wird. Hier ruht es für eine Weile, bis sich derPhasengradient umgekehrt hat (vgl. Abschnitt 2.2), und es sich wieder in Bewegung setzt. Die-se Reexion konnte im Rahmen dieser Arbeit zum ersten Mal zweifelsfrei beobachtet werden.

45

46 KAPITEL 5. ERSTE ERGEBNISSE

Abbildung 5.1: Absorptionsbild eines dunklenSolitons.

Abbildung 5.2: Das entsprechende Dichtepro-l.

Abb. 5.4 zeigt die Dynamik sowohl des Solitons als auch des gesamten Kondensates. Vor derAuswertung wurden die Bilder anhand der Schwerpunkte der Kondensate übereinandergelegt.

Die Geschwindigkeit liegt bei etwa 0,42 µm/ms und damit um einen Faktor 5 unterhalbderer von zuvor beobachteten Solitonen, dies ist ein Indiz für eine sehr geringe Dichte. EineBeschleunigung durch Energieverlust infolge thermischer Stöÿe kann nicht beobachtet werden,dies ist ein Hinweis auf ein sehr ausgeprägtes Dichteminimums.

Die Bestimmung der Teilchenzahl aus einem Absorptionsbild ist nur bedingt möglich, dadas Kondensat auch nach langer Fallzeit noch optisch dicht ist. Durch die dichteabhängigeSpindynamik könnte ein Zugang zur Teilchenzahl gefunden werden. Die Teilchenzahl konnte zuetwa N = 45.000 bestimmt werden. Mit den Ausdehnungen Rr = 3, 5 µm und Ra = 33 µmergibt sich eine Dichte von n = 3, 3·1013 cm−3. Aus Gl. (2.4) lässt sich die Schallgeschwindigkeitzu cs = 1, 08 mm/s abschätzen. Nach Gl. (2.5) hätte das Soliton also eine Tiefe von n = 0, 85n0.Dieser Wert erscheint recht groÿ, da die Solitonen fast bis zum Rand des Kondensates laufen.

Aus der Reexion resultiert eine Oszillation mit einer Frequenz von etwa ωosc = 2π ×3, 6 Hz. Die axiale Fallenfrequenz konnte zu ωa ≈ 2π × 6, 8 Hz abgeschätzt werden, somitentspricht ωosc ≈ 0, 53ωa nicht dem theoretischen Wert von ωosc = ωa/

√2. Hier führt vor allem

die Anharmonizität des Potentials zu einer vergröÿerung der Oszillationsperiode. Die radialeFallenfrequenz beträgt etwa ωr ≈ 2π × 130 Hz, entsprechend einem Aspektverhältnis von etwa20:1. Das chemische Potential µ,

µ =hωho

2

(15 N a

aho

)2/5

, (5.1)

kann mit ωho = (ω2rωa)1/3 und aho =

√h/mωho zu einem Temperaturäquivalent von T = 20

nK abgeschätzt werden. Somit ist die Energie der Atome mit 2π× 420 Hz noch im Bereich derradialen Fallenfrequenz, und das Kondensat kann nach den Kriterien von [24] als eindimensionalbetrachtet werden.

Ebenfalls sehr deutlich zu erkennen ist die Dichtewelle, die den Entstehungort in entgegenge-setzter Richtung zum Soliton verlässt, durch dissipative Eekte schnell thermalisiert und nachetwa 120 ms verschwunden ist.

Mit Gl. (2.4) kann aus der Dichte n0 die Ausheillänge zu l0 = 7 µm bestimmt werden, beiderart kleinen Dichten ist eine Phasenaufprägung mit der in Kapitel 3 beschriebenen Beugungs-verbreiterung der Optik von unter 3 µm also möglich.

Im Zusammenhang mit Solitonen wird auch die Entstehung anderer Anregung diskutiert,unter anderem sogenannter breathing modes [71]. Weiterhin sind wie in Abb. 5.4 ersichtlichsehr ausgeprägte Quadrupoloszillationen vom ωquad = 2π × 10, 7 Hz ≈ 1, 57 ωa des gesamten


Abbildung 5.3: Oszillation eines dunklen Solitons

Abbildung 5.4: Positionen des Solitons (rote Punkte), der Dichtewelle (oene Kreise) und derEnden des Kondensates (durchgezogene Linien).


Abbildung 5.5: Kollision zweier dunkler Solitonen

Kondensates [72] zu erkennen (schwarze durchgezogene Linien). Sie liegen somit genau bei demaus der Literatur zu erwartenen Wert von ωquad = 1, 58 ωa [66].

5.1.2 Kollisionen

Die Kollisionen dunkler Solitonen wurden in zwei verschiedenen Szenarien untersucht: Im sym-metrischen Fall zweier aufeinander zu laufender Solitonen, im asymmetrischen Fall, bei demeines das andere überholt. An dieser Stelle soll nur der zweite Fall präsentiert werden.

Es werden zwei Solitonen mit gleichgerichtetem Phasenversatz präpariert, die sich folglichin die gleiche Richtung bewegen. Das hintere Soliton entstand jedoch an einem etwas acherenPhasengradienten und ist dadurch schneller (vgl. Abschnitt 2.2). Die wurde realisiert durcheine einzelne, grau adressierte Pixelspalte auf dem SLM, wodurch der Intensitätsverlauf derKante um 0,8 µm verbreitert wurde. Wie in Abb. 5.5 zu sehen ist, propagieren beide Solitonenzunächst getrennt in eine Richtung. Das vordere Soliton erreicht den Rand, wird reektiert undstöÿt frontal auf das entgegenlaufende hintere Soliton. Es ndet keine Annihilation statt, wasfür Solitonen mit nun engegengesetzten Phasengradienten hätte erwartet werden können. Auchdas hintere Soliton wird am Rand reektiert und erreicht das vordere Soliton mit nunmehrgleichgerichtetem Phasengradienten. Die Phasendierenzen addieren sich und es bildet sich eineinziges, sehr stabiles Soliton aus, das auch nach mehr als 2 s stabil und ortfest im Zentrum derFalle bestehen bleibt. Dies legt den Schluss nahe, hier ein wirklich schwarzes Soliton mit einem


Abbildung 5.6: Über die Zeit von einigen Sekunden bildet sich ein stabiles und ortsfestes dunklesSoliton aus.

Phasensprung von π vorliegen zu haben.Wenn sich diese Interpretation der Bilder in weiteren Messungen bestätigen sollten, können

folgende Feststellungen getroen werden:• Solitonen mit entgegengesetztem Phasengradienten annihilieren nicht, sondern durchdrin-gen einander ungestört. Dies wird theoretisch auch erwartet.

• Solitonen mit gleichgerichtetem Phasengradienten verschmelzen zu einem einzigen Solitonmit einem Phasensprung nahe π.

5.1.3 Stabilität nach groÿen Zeiten

Aus der Vereinigung zweier Solitonen, deren Summe der Phasendierenzen mindestens π be-trägt, kann ein perfekt schwarzes Soliton entstehen, das im Minimum des harmonischen Poten-tials ruht. Oensichtlich wird ein Phasenüberschuss in Form eines achen und daher instabilenSolitons weggetragen. Derart stabile Solitonen mit Lebensdauern bis zu 5 s konnten auf dieseWeise erstmalig erzeugt und beobachtet werden (Abb. 5.6).

Durch die Beugungsbegrenzung der Phasenaufprägungsmethode können innitesimal kleineÜbergangsbereiche ebenso wenig realisiert werden wie ein Dipolpotential, das einen Phasen-


Abbildung 5.7: Oszillation des gefüllten Soliton, jeweils oben die |F = 1〉 - und unten die |F = 2〉- Komponente.

sprung von genau π erzeugt. Dies scheint durch die Überlagerung zweier Solitonen möglich zuwerden.

5.2 Gefüllte Solitonen

Entstehung und OszillationFür die Erzeugung gefüllter Solitonen (vgl. Abschnitt 2.4) wurde das in Abb. 4.4 dargestellteVerfahren der unvollständigen Rabi-Oszillation genutzt. Hierzu musste die Quantisierungsachseder Atome in die Detektionsrichtung gedreht werden, um Raman-Übergänge treiben zu können.Als Vorbereitung wurde ermittelt, für welche Intensitäten, Verstimmungen und Pulsdauern dieTransfers |F = 1,mF = 0〉 → |F = 2,mF = 0〉 sowie zurück nach → |F = 1,mF = 0〉maximal sind. Weiterhin wurde ein lokaler Transfer in einem beleuchteten Ausschnitt von etwa8 µm Breite durchgeführt.

Bei einer Intensität von 160 mW/cm2 je Strahl, einer Verstimmung von 16 GHz und einerPulsdauer von 400 µs konnte ein fast kompletter Transfer nach |F = 2,mF = 0〉 im Bereichder 11,3 µm breiten Stufe durchgeführt werden. Durch die vollständige Rabi-Oszillation inder beleuchteten Hälfte des Kondensates entsteht ein Phasensprung von π in der |F = 1〉-Komponente, der ein dunkles Soliton ausbildet.

In Abb. 5.7 ist eine Zeitreihe dargestellt.


Abbildung 5.8: Oszillation des hellen (rot) und des dunklen Solitons (blau) sowie der axialenAusdehnung des Kondensates (grau).

Im ersten Bild ist deutlich erkennbar, wie ein Teil der |F = 1〉 Population herausgeschnit-ten und nach |F = 2〉 transferiert wurde. Evidenz dafür, dass sich hier ein dunkles Solitonausgebildet hat, ist die Dichtewelle, die mit Schallgeschwindigkeit nach rechts läuft und sichdabei verbreitert (zweites Bild). Nach etwa 100 ms ist sie vollständig thermalisiert in andereAnregungen (drittes Bild), die nach längeren Zeiten nicht mehr auszumachen sind.

Das gefüllte Soliton bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von etwa 0,1 mm/s nach linksund erreicht nach etwa 350 ms den Rand des Kondensates. Hier wird es reektiert, durchläuftdas gesamte Kondensat und wird nach weiteren 550 ms am anderen Ende zurückgeworfen.Für den nächsten Durchlauf benötigt es nur noch etwa 400 ms, es wird also in der Tat durchdissipative Eekte zumindest leicht beschleunigt. In dieser Messreihe wurden Lebensdauern von1,3 s beobachtet. Dabei nimmt die Teilchenzahl der hellen Komponente zwar kontinuierlich ab,seine Breite verändert sich jedoch nicht. Dies ist bemerkenswert und ein notwendiges Kriteriumdafür, dass die |F = 2〉-Komponente wirklich ein helles Soliton ausbildet.

Die Oszillationsfrequenzen betragen ωb = 2π×1, 14 Hz für das helle und ωd = 2π×1, 25 Hzfür das dunkle Soliton (Abb. 5.8) und sind damit wesentlich geringer als die axiale Fallenfre-quenz, die zu ωa = 5 Hz abgeschätzt wurde. Aus der Geschwindigkeit der Dichtewelle von etwa0,7 mm/s, die der Schallgeschwindigkeit im Kondensat entspricht, lässt sich über Gl. (2.4) dieDichte abschätzen: n0 = 2, 0 · 1013 cm−3.

KollisionenAuch für die gefüllten Solitonen wurden Kollisionen präpariert und beobachtet. Zwei Solitonenwurden in einem Abstand von etwa 25 µm erzeugt und die Phasengradienten derart ausge-richtet, dass sie aufeinander zu laufen. Die Teilchenzahlen der hellen Komponente sind leichtunterscheidlich gewählt, das in Abb. 5.2 rechte helle Soliton enthält etwa 1,6 mal so viele Atomewie das linke und sollte daher langsamer laufen.


0 ms 15 ms 40 ms 60 ms 75 ms

90 ms 120 ms 140 ms 155 ms 175 ms

210 ms 250 ms 310 ms 370 ms 420 ms

Abbildung 5.9: Gefüllte Solitonen: Ausgewählte Bilder mit Evolutionszeiten in der Falle von biszu 420 ms. Jeweils oben |F = 2〉 und unten |F = 1〉.

5.3. BEWEGUNG IM POTENTIAL 53

Aus den Bildern verschiedener Evolutionszeiten lassen sich einige phänomenologische Aussa-gen treen: Die Solitonen laufen aufeinander zu und überlappen nach etwa 100 ms vollständig.In der Folge dierieren die Aufnahmen jedoch stark, so als seien verschiedene Endszenarien derKollision möglich.

Häug nden sich kurz nach der Kollision dunkle Solitonen an den Rändern des Kondensates,und zwar an Orten, die sie nur durch eine groÿe Beschleunigung oder einen Sprung erreichthaben konnten (Abb. 140 ms).

Andererseits zeigen einige Bilder gar kein dunkles Soliton, dafür aber eine ausgedehnte Wolkein |F = 2〉: die dunklen könnten annihiliert haben, sodass nun auch die helle Komponentedispergiert (155 ms, 309 ms) und sogar Interferenz zeigt (310 ms).

Andere Bilder zeigen ein über lange Zeiten ortsfestes, ausgeprägt helles Soliton ohne eindunkles (250 ms, 420 ms). Auch stimmen die Positionen der hellen und dunklen Solitonenmanchmal nicht überein (175 ms, 210 ms).

5.3 Bewegung im PotentialDurch den SLM besteht die Möglichkeit, zusätzliche Dipolpotentiale einzustrahlen und so dieDynamik der Solitonen zu beeinussen. Dieser Term Vext der GPE wurde bisher noch kaumbetrachtet.

So könnte zum Beispiel die Reexion der quantenmechanischen Welle an einer Wand odereiner Stufe beobachtet werden [73, 74] oder die Oszillation in einem Kastenpotential.

Ein weiteres Gebiet ist der Transport durch ein zufälliges, ungeordnetes Potential [75], wiees durch den SLM sehr gut erzeugt werden kann.

5.4 DreikörperprozesseAus dem Stoÿ zweier ununterscheidbarer Teilchen lassen sich keine Rückschlüsse auf ihre Wech-selwirkung ziehen, wenn ihre Reichweite im Bereich oder unterhalb der maximalen Auösungliegt. Dies könnte nur durch eine sehr lange Wechselwirkungszeit, also einen geringen Geschwin-digkeitsunterschied, kompensiert werden. Insbesondere sind die Ausgangsimpulse der Teilchenunabhängig vom Vorzeichen und von der Amplitude der Wechselwirkung. In diesem Abschnittsoll der Teilchencharakter solitärer Wellen noch stärker herausgearbeitet werden, die quanten-mechanische Phase wird dabei vollständig ignoriert. Während die Bewegung dreier Körper einzentrales Thema der Mechanik ist, wird hier die Kollision dreier Solitonen, vorerst ungeachtetihren Types, für den eindimensionalen Fall betrachtet werden.

Die endliche Ausdehnung der Solitonen macht eine es erst möglich sie auch experimentellin einem Ort überlagern zu können. Im Folgenden werden sie jedoch als Punktmassen mi mitGeschwindigkeiten vi betrachtet. Während für den Fall zweier Teilchen die Impulse der aus-laufenden Teilchen durch Energie- und Impulserhaltung eindeutig bestimmt sind, besteht fürdrei Teilchen ein Freiheitsgrad. Stellt man die unter Impulserhaltung möglichen Endimpulse pi,i = 1, 2, 3 als Punkte (p1, p2, p3) eines kartesichen Koordinatensystems dar1, so liegen diese in ei-ner Ebene. Die Position dieser Ebene ist durch den Schwerpunktimpuls P gegeben, der o.B.d.A.Null gesetzt wird; Verschiebungen der Ebene um P entlang einer Achse führen Inertialsystemeineinander über Abb. 5.10.

All dies gilt nicht nur für den hier angenommenen eindimensionalen Fall, für höhere NDimensionen und mehrere i Teilchen wird der iN -dimensionale Impulsraum allerdings schnell

1Die folgenden Überlegungen erfordern ein gewisses räumliches Vorstellungsvermögen. Man mache sich zu-nächst klar, wie eine Ebene im Raum orientiert ist, für die x1 + x2 + x3 = 0 gilt.


p2

X

p1

X

p3

X

Abbildung 5.10: Kartesisches Koordinatensystem der drei eindimensionalen Impulse. Ebene,Kreis und Einheitsgitter schneiden sich in den Punkten (0,-1,1), (0,1,-1), (-1,1,0), (1,-1,0), (1,0,-1) und (-1,0,1).

unanschaulich.Bei Energieerhaltung und Massen m1 = m2 = m3 = 1 liegen alle Punkte auf einem Kreis

mit dem Radius R =√∑3

i p2i /2, im Falle eines inelastischen Stoÿes auf der Kreisäche2. Für

ungleiche Massen ist der Kreis eine allgemeinere, jedoch geschlossene und konkave Kurve. DieDimensionalität der Kurve entspricht also genau der Zahl der Freiheitsgrade.

In dem vorhandenen Experiment ist es durch den SLM möglich, Startposition und Ge-schwindigkeit der Solitonen sehr genau einzustellen. Es wird eine Konguration gefunden, beider drei Solitonen aufeinander zu laufen und sich in einem Punkt treen. Ist dieser Vertexbekannt, so reicht ein einziges Bild nach der Kollision aus, um die Massen (aus den Breiten)und Geschwindigkeiten (aus den Entfernungen vom Vertex) zu bestimmen. Dieses Experimentwird mit identischen Anfangsbedingungen sehr häug durchgeführt, jede Kombination dreierImpulse bildet einen Punkt des Streudiagramms. Die Solitonen werden anhand ihrer Massenidentiziert. Durch Messungenauigkeiten werden die Punkte auch auÿerhalb der Ebene liegenund müssen für eine Auswertung in die Ebene projiziert werden. Zusätzlich führen Schwankun-gen in der Präparation zu einer Streuung innerhalb der Ebene.

Aus der Anordnung der Punkte lassen sich nun Aussagen über die Wechselwirkung machen:• Liegen die Punkte gehäuft um den Punkt, der den einlaufenden Impulsen ρi entspricht,so können sich die Solitonen ungestört durchdringen, wie für superponierbare Wellen er-wartet. Liegen sie dagegen bei −ρi, so verhalten sich die Solitonen wie undurchdringbare,massive Teilchen. Anders formuliert, wenn von rechts zwei Solitonen einlaufen und links

2Die Darstellung ähnelt dem Dalitz-Plot für relativistische Dreikörperzerfälle. Auch im nichtrelativistischenFall könnte eine zweidimensionale Darstellung gewählt werden, etwa (p1p2, p1p3) anstelle der invarianten Massen.Diese ist aber weit weniger intuitiv.

5.4. DREIKÖRPERPROZESSE 55

zwei Solitonen auslaufen, müssen sie einander transparent sein. Dies lässt sich durch Stoÿ-prozesse mit zwei identischen Teilchen nicht feststellen.

• Sind die Punkte gleichmäÿig auf der Kurve verteilt, so sind die auslaufenden Impulsestatistisch verteilt. Häufen sie sich in einigen Bereichen, so kann dies eine Abhängigkeit vonden Anfangsmassen und -impulsen sein. Hierzu müssen Streudiagramme unterschiedlicherAnfangsbedingungen erstellt werden.

• Liegt eine Häufung um einen bestimmten Punkt vor, so ist der Dreikörperstoÿ in zweiZweikörperstöÿe zerfallen, die wieder eindeutig sind, sodass die Mannigfaltigkeit der En-dimpulse nulldiensional ist.

• Bei inelastischen Stöÿen liegen die Punkte innerhalb der Kurve. Ein vom Sektor anhän-giger Radius ist Hinweis auf einen impulsabhängigen Verlustkanal in andere Anregungen.

Für die gefüllten Solitonen wird auf Grund von Simulationen [10] nicht nur ein Energie-austausch erwartet, sondern auch ein Teilchenaustausch. Hier löst sie die Analogie zum Stoÿmassiver Körper wieder auf, zumal die Masse das Unterscheidungsmerkmal in der oben be-schriebenen Darstellung war. Eine Variation der Anfangsparamter führt auf eine quantitativeBeschreibung des Teilchenaustauschs.

Nicht die Kollision, sondern die Oszillation dreier heller Solitonen in einer quasi-1D Falle wirdin [11] berechnet. Durch die zahlreichen Zweikörperstöÿe wird die Dynamik chaotisch, es sindreguläre Orbits ebenso möglich wie gebundene Zustände. Es zeigt sich, dass eine Simulation der1D GPE das Teilchenmodell selbst im Chaosregime exakt wiederspiegelt. Für den Fall geringenTeilchenaustausches und langer Lebensdauern sollte sich diese chaotische Dynamik auch imExperiment beobachten lassen.

Kapitel 6

Ausblick

Im Verlauf der vorliegenden Arbeit ist es gelungen, dunkle Solitonen in einem quasi-eindimen-sionalen BEC zu erzeugen. Durch die erreichte Lebensdauer von einigen Sekunden konntenerstmals die mehrfache Reektion am Rand des Kondensates, die Kollision zwischen Solitonenund die Ausbildung eines ortfesten, vollständig schwarzen Solitons im Grenzfall langer Zeitenaufgezeichnet werden.

Weiterhin konnten gefüllte Solitonen erzeugt und ihre Oszillation im Fallenpotential beob-achtet werden. Das Auftreten einer charakteristischen Dichtewelle in der |F = 1〉 - Populationund der Nichtverbreiterung der hellen |F = 2〉 - Komponente bestätigten die theoretisch vor-hergesagte Ausbildung eines hellen Solitons als Folge der spinabhängigen Wechselwirkung.

Die kontrollierte Erzeugung dieser Anregungen wurde möglich durch die Verwendung einesräumlichen Lichtmodulators (SLM), der somit erfolgreich im technischen Repertoire des Quan-tengasexperimentes etabliert werden konnte. Bestimmte niedrigdimensionale Intensitätsmusterkönnten in Zukunft durch die Adressierung von Phasenhologrammen generiert werden.

Durch nicht-destruktive Phasenkontrastdetektion direkt in der Falle kann die Dynamik einund desselben Solitons als Sequenz vieler Bilder erfasst werden. Weitere technische Optimie-rungen wären eine Erhöhung der Ausgangsleistung des Raman-Lasers durch den Einsatz echterSlave-Laser sowie eine Verstärkung des Detektionslasers.

Die Physik langlebiger Solitonen hat durch die in dieser Arbeit präsentierten Experimenteneue Impulse erhalten. So ist das genaue Zusammenspiel von quantenmechanischer Dichte undPhase in diesen makroskopischen Systemen noch nicht umfassend verstanden. Die Beschrei-bung eines ruhenden schwarzen Solitons als Josephson-Kontakt kann die Reektion am Randdes Kondensates erklären, jedoch stehen Aussagen zur Phasenentwicklung und Tunnelrate nochaus. Die Abstoÿung zweier Solitonen mit entgegengesetztem Phasengradienten und Modulati-onstiefen ni wird in diesem Bild nur für n1+n2 > n0 erwartet, eine Annihilation für n1+n2 < n0

konnte jedoch noch nicht beobachtet werden. Unverstanden bleibt auÿerdem, ob es eine Grenzen1 + n2 = nc gibt, oberhalb derer sich zwei Solitonen mit gleichgerichtetem Phasengradien-ten vereinigen können, während sie sich im anderen Fall abstoÿen. Der Einuss von Tiefe undPhasendierenz der Solitonen auf die Kollisionsdynamik kann mit Hilfe des SLM hervorragendstudiert werden.

Auch für die gefüllten Solitonen steht eine Beschreibung der Kollisionsmechanismen nochaus. Insbesondere wird hier die Dynamik durch die spinabhängige Wechselwirkung bereichert,sodass ein Energie- und Teilchenaustausch vorhergesagt wird. Durch eine Trennung von Pha-senaufprägung und Populationstransfer können die Dichteprole der dunklen und hellen Kom-

57

58 KAPITEL 6. AUSBLICK

ponente relativ zueinander variiert werden, wodurch evt. noch längere Lebensdauern erzieltwerden können.

Weiterhin kann der Einuss eines räumlich und zeitlich veränderlichen externen Potentialsauf die Solitonbewegung untersucht werden. Auch hier sollten fundamentale Quanteneigen-schaften hervor treten, etwa bei der Reektion an einer Stufe oder der Propagation durch einungeordnetes Potential.

Auf dem weiteren Weg zu komplexeren und höherdimensionalen Anregungen stellen Vortizesdie nächste Etappe dar. Durch den SLM sind auch hier beliebige Kombinationen von Gröÿe,Anzahl, Orientierung und Anordnung möglich. Auch die Realisierung exotischer punktförmigerTopologien wie Skyrmionen und Monopolen ist mit dem Konzept räumlich modulierter Raman-Übergänge denkbar.

Die Ergebnisse dieser Experimente dürfen mit Spannung erwartet werden.

60 KAPITEL 6. AUSBLICK

Anhang A

Daten und Termschema zu

Rubidium-87

Lichtgeschwindigkeit c 2.997 924 58 ·108 m/sPlanck'sches Wirkungsquantum h = h/2π 1.054 571 596 (82) ·10−34 JsBoltzmann-Konstante kB 1.380 650 3 (24) ·10−23 J/KElementarladung e 1.602 176 462 (63) ·10−19 CNukleonenzahl Z + N 87Atommasse m 1,443 160 60(11) ·10−25 kgFrequenz ω0 2π × 384, 2304844685(62) THzÜbergangsenergie hω0 1,589 049 439(58) eVWellenlänge λ 780,241 209 686 (13) nmLebensdauer τ 26,24(4) nsZerfallsrate Γ 2π × 6, 065 (9) MHzSättigungsintensität Isat 1,6 mW/cm2

s-Wellen Streulänge a0 5, 29 · 10−9 mHyperfeinaufspaltung ∆hfs 6,83468261090429(9) GHz

Tabelle A.1: Wichtige physikalische Gröÿen, Eigenschaften der optischen D2-Übergangslinie52S1/2 → 52P3/2 und der Grundzustände |F = 1〉 und |F = 2〉 in Rubidium-87 [76].

61

62 ANHANG A. DATEN UND TERMSCHEMA ZU RUBIDIUM-87

Abbildung A.1: Termschema der D2-Linie in Rubidium-87, entnommen aus [76]

Anhang B

Wechselwirkung von Licht und

Materie

Rabi-OszillationenDie kohärente Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit Materie kann die inter-nen Zustände von Atomen verändern. Während in diesem Abschnitt nur auf eine Darstellungder Rabi-Oszillation und die Berechnung der zugehörigen Frequenz eigegangen wird, ndet sichdie umfassende Ausarbeitung in den Standardwerken, etwa [77].

In einem atomaren 2-Niveau-System mit dem Hamiltonian

H =p2

2m+ Hint (B.1)

kann die Dipolwechselwirkung mit einem externen Feld als eine Störung der internen Zuständebetrachtet werden. Die kohärente Dynamik des Systems sowie ihre Dämpfung können in Ana-logie zu einem Spinsystem und einigen Umformungen in einer anschauliche Form dargestelltwerden. Die optische Bloch-Gleichung

~B(t) = ~ΩFeld × ~B(t) (B.2)

gibt die Zeitentwicklung des Systems an.In Abb. B.1 ist eine Bloch-Kugel dargestellt, deren Nord- und Südpol die beiden internen

Zustände darstellen. Der Bloch-Vektor ~B(t), der den Erwartungswert der Besetzung der beidenNiveaus anzeigt, rotiert um den Pseudo-Feldvektor ~ΩFeld = (−KE0, 0, ∆ω) mit der sogenann-ten Rabi-Frequenz, die dem Betrag von ~ΩFeld entspricht. Die Ausrichtung von ~ΩFeld hängt vonder Verstimmung ∆ω ab, sodass auÿerhalb der Resonanz kein perfekter Transfer zwischen denbeiden Niveaus möglich ist.

Die Rabi-Frequenz Ω =√

Ω21 + (∆ω)2 gibt die Stärke der Kopplung zwischen atomarem

Übergang und externem Feld an und berechnet sich aus der Intensität zu

Ω2 =6πc2Γhω3

I =Γ2

2I

Isat(B.3)

mit der konstanten Sättigungsintensität Isat = hΓω3/12πc2.

63

64 ANHANG B. WECHSELWIRKUNG VON LICHT UND MATERIE

i|e

i|g

Abbildung B.1: Die Blochkugel Abbildung B.2: Polarisationen

Raman-ÜbergängeZum Populationstransfer zwischen F -Zuständen kann ein 2-Photonen Raman-Übergang genutzt werden, durch den die beiden Zustände über ein angeregtes Niveau zu ei-nem sogenannten Λ-System gekoppelt werden. Um spontane Prozesse aus einer Besetzung desoberen Niveaus zu vermeiden, sind die Laser gegenüber der atomaren Resonanz verstimmt, esliegt daher nur ein virtuelles Niveau vor (Abb 4.3.). Die Rabi-Frequenz des 2-Photonen Über-gangs ergibt sich aus den einzelnen Rabi-Frequenzen und der Verstimmung ∆ω zum angeregtenNiveau zu [68]

ΩR =Ω1Ω2

2∆ω. (B.4)

Eventuell vorhandene weitere Niveaus werden nach adiabatischer Eliminierung nicht weiter be-trachtet. Die Streurate inkohärenter Prozesse skaliert mit der Besetzung des angeregten Niveausund seiner Zerfallsrate zu

R =Γ

(2 ∆ω)2

(Ω′21a1 + Ω′22a2

a1 + a2

)(B.5)

mit den Besetzungen a1 und a2 der Grundzustände und Rabi-Frequenzen Ω′1 und Ω′2, diemögliche Übergänge auch auÿerhalb des Λ-Systems berücksichtigen.

PolarisationJede Polarisation eines Lichtstrahles lässt sich in einer Basis σ+, σ−, π bezüglich einer Rich-tung, meist der Quantisierungsachse eines Atomes, schreiben. Mit Hilfe der Drehimpulsalgebrakann zwischen den Bezugsrichtungen gewechselt werden. Stehen diese orthogonal aufeinander,so vereinfachen sich die Relationen [70] zu

σ+,⊥ =12(σ− + σ+

)− 1√

2π0,⊥ (B.6)

π‖ =1√2

(σ− + σ+

) (B.7)mit den in Abb. B.2 angegebenen fundamentalen Komponeneten linear und zirkular polarisier-ten Lichtes parallel und senkrecht zu einer Quantisierungsachse.

Insbesondere wird ersichtlich, dass weder π0- noch σ±-Licht, das senkrecht auf die Quanti-sierungsachse eingestrahlt wird, eektive zirkulare Anteile entlang dieser Achse besitzt.

Anhang C

Phasenpräparation

Die makroskopische Wellenfunktion Ψ eines Kondensates enthält eine quantenmechanische Pha-se φ, die absepariert werden kann: Ψ = eiφΨ′. Für das Experiment bedeutet dies, dass die Phasesogar lokal verändert werden kann, ohne die Dichte oder die Besetzung der internen Zuständezu beeinussen.

Zum Aufprägen einer Phase φ(~r) wird ein Dipolpotential U(~r) appliziert, unter dem sichdie Phase wie

eiφ = eiUth (C.1)

entwickelt. Die Gröÿe des Dipolpotentials, das durch ein Strahlungsfeld an einem Atom erzeugtwird, ergibt sich im dressed atom-Modell [77] zu

U = −∑

i

hΩ2i

4

(1

ωi − ωl+

1ωi + ωl

). (C.2)

Es wird also über die Rabi-Frequenzen Ω2i aller erlaubten Übergänge summiert. Für kleine

Verstimmungen ∆ωi = ωi − ωl kann der zweite Summand vernachlässigt werden, sodass

Ui = − h

4Γ2

i

2I

Isat,i

1∆ωi

(C.3)

mit den Sättigungsintensitäten Isat,i und Linienbreiten Γi.Während das Dipolpotential linear mit der Verstimmung abnimmt, fällt sie Rate Ri für

inkohärente Prozesse darin quadratisch ab:

Ri =Γi

2

IIsat,i

1 + IIsat,i

+(

2 ∆ωi

Γi

)2 . (C.4)

Das Verhältnis von Heizrate zu Phasenentwicklung nimmt also mit 1/∆ω ab, weshalb groÿeVerstimmungen wünschenswert sind. Limitierungen erwachsen jedoch aus drei Gröÿen, derenVerhältnis optimiert werden kann:

• Die Pulsdauer t muss unterhalb der Korrelationszeit τc = l0/cs liegen, innerhalb dererPhasen- und Dichteunterschiede innerhalb des Kondensates ausgeglichen werden können.

• Die Kollimation sollte ein Gauÿ'sches Strahlprol liefern, das über die Gröÿe des Konden-sates hinweg annähernd ach ist. Durch eine Verkleinerung der Kollimation erhöht sich

65

66 ANHANG C. PHASENPRÄPARATION

die Flächenleistung quadratisch, mit I(r0) = I0/e2 ist

I(r) =P0

πr20

e−(

rr0

)2. (C.5)

• Je gröÿer die verfügbare Laserleistung P0 also ist, desto präziser kann die Präparationdurchgeführt werden.

Die Darstellung gilt in dieser Form nur für den Fall eines einzigen unteren Niveaus, dasüber ein monochromatisches optisches Potential an ein oder mehrere obere Niveaus koppelt.Die Aufprägung des Phasensprunges um π zur Erzeugung der dunklen Solitonen kann auf dieseArt beschrieben werden. Komplizierter wird die Berechnung der Phasenentwicklung, die einRaman-Puls erzeugt, der an mehrere untere und obere Niveaus koppelt.

Abbildung C.1: Zu Anhang D: Die Drehung der Polarisation verläuft nicht linear mit der an-gelegten Spannung. Die Ezienz des SLM beträgt etwa 70 %.

Anhang D

Funktionsweise des LC-Displays

Das Pixel einer Flüssigkristallanzeige besteht aus zwei Glasplatten, auf deren Innenseiten trans-parente Elektroden aufgebracht sind. Zwischen diesen benden sich die stäbchenförmigen Flüs-sigkristalle. Die beiden Glasplatten sind gebürstet, sodass sich die Kristalle in einer Vorzugs-richtung anlagern. Dabei kann ihre Orientierung gleich sein (vertically aligned) oder um 90gedreht, in diesem Fall bilden die Kristalle eine Spirale (twisted). Die Flüssigkristalle weiseneine elektrische Anisotropie auf. Durch Anlegen einer Spannung erfahren sie ein Moment inRichtung des Feldes, und zwar abhängig von der Stärke und Richtung des Feldes, nicht aberseiner Orientierung (nematisch). Bei reektiven Displays ist die Rückseite mit einem Spiegelversehen. Wird das Pixel wie etwa in einem Beamer als Schalter oder Abschwächer genutzt, sosind die Glasplatten zusätzlich mit Polarisationsltern belegt.

Weiterhin zeigen sie Flüssigkristalle eine optische Anisotopie, also unterschiedliche Bre-chungsindizes entlang der orthogonalen Achsen. Je nach ihrer Orientierung relativ zur linearenPolarisationsrichtung des einfallenden Lichtes erfährt dieses unterschiedliche Änderungen. Istdie Polarisation parallel zu einer der Kristallachsen, so erfährt es eine reine Phasenverzögerung.Es sind Displays verfügbar, mit denen die Phase um bis zu 5π moduliert werden kann. Bei einemWinkel von 45 liegt eine reine Drehung der Polarisation vor, entsprechend einer λ/2-Platte.Für alle Zwischenwerte liegt eine Überlagerung beide Eekte vor.

Im Ruhezustand liegen die Kristallachsen parallel zur Polarisation (normally black). DurchAnlegen einer Spannung werden sie jedoch gedreht, entsprechend der Drehung einer Verzöge-rungsplatte. Durch einen Polarisationslter oder PST kann die Polarisation in eine Amplitu-denmodulation umgesetzt werden. Damit es nicht zur Elektrolyse innerhalb der Zelle kommt,wird die Spannung mit 60 Hz und für die Kristalle nichtadiabatisch umgepolt.

In Abb. C.1 ist die Reekivität in Abhängigkeit vom adressierten Sättigungswert angegeben.

67

68 ANHANG D. FUNKTIONSWEISE DES LC-DISPLAYS

Literaturverzeichnis

[1] J. Scott-Russell. Report on Waves. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, page 319, 1849.[2] V.E. Zakharov and A.B. Shabat. Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-

dimensional self-modulation of waves in nonlinear media. Soviet Physics JETP, 34(1):62,1972.

[3] S. Burger, K. Bongs, S. Dettmer, W. Ertmer, K. Sengstock, A. Sanpera, G. V. Shlyapni-kov, and M. Lewenstein. Dark Solitons in Bose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett.,83(25):51985201, Dec 1999.

[4] J. Denschlag, J.E. Simsarian, D.L. Feder, C.W. Clark, L.A. Collins, J. Cubizolles, L. Deng,E.W. Hagley, K. Helmerson, W.P. Reinhard, S.L. Rolston, B.I. Schneider, and W.D. Phil-lips. Generating Solitons by Phase Engineering of a Bose-Einstein Condensate. Science,287:97, 2000.

[5] B. P. Anderson, P. C. Haljan, C. A. Regal, D. L. Feder, L. A. Collins, C. W. Clark, and E. A.Cornell. Watching Dark Solitons Decay into Vortex Rings in a Bose-Einstein Condensate.Phys. Rev. Lett., 86(14):29262929, Apr 2001.

[6] K.E. Strecker, G.B. Partridge, A.G. Truscott, and R.G. Hulet. Formation and propagationof matter-wave soliton trains. nature, 417:149, 2002.

[7] L. Khaykovich, F. Schreck, G. Ferrari, T. Bourdel, J. Cubizolles, L.D. Carr, Y. Castin, andC. Salomon. Formation of a Matter-Wave Bright Soliton. Science, 296:1290, 2002.

[8] S.L. Cornish, S.T. Thompson, and C.E. Wieman. Formation of Bright Matter-WaveSolitons during the Collapse of Attractive Bose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett,96:170401, 2006.

[9] B. Eiermann, Th. Anker, M. Albiez, M. Taglieber, P. Treutlein, K.-P. Marzlin, and M.K.Oberthaler. Bright Bose-Einstein Gap Solitons of Atoms with Repulsive Interaction. Phys.Rev. Lett., 92:230401, 2004.

[10] Th. Busch and J.R. Anglin. Dark-Bright Solitons in Inhomogeneous Bose-Einstein Con-densates. Phys. Rev. Lett, 87(1):010401, 2001.

[11] A.D. Martin, C.S. Adams, and S.A. Gardiner. Bright Matter-Wave Soliton Collisions in aHarmonic Trap: Regular and Chaotic Dynamics. Phys. Rev. Lett., 98:020402, 2007.

[12] I.N. Bronstein, K.A. Semendjajew, G. Musiol, and H. Mühlig. Taschenbuch der Mathema-tik. Verlag Harri Deutsch, 1993.

69

70 LITERATURVERZEICHNIS

[13] N.J. Zabusky. Soliton and Bound States of the Time-Independent Schrödinger Equation.Phys. Rev., 168(1):124, 1968.

[14] V.E. Zakharov and A.B. Shabat. Interaction between solitons in a stable medium. SovietPhysics JETP, 37(5):823, 1973.

[15] N.P. Proukakis, N.G. Parker, D.J. Frantzeskakis, and C.S. Adams. Analogies between darksolitons in atomic Bose-Einstein condensates and optical systems. J. Opt. B: QuantumSemiclass. Opt., 6:380, 2004.

[16] T. H. R. Skyrme. A Non-Linear Field Theory. Proc. Royal Soc. London. Ser. A, Math.Phys. Sc., 260(1300):127, 1961.

[17] H. Elbelrhiti, P. Claudin, and B. Andreotti. Field evidence for surface-wave-induced in-stability of sand dunes. nature, 437:720, 2005.

[18] C. Rührmair. Langwelle. DIE ZEIT, (17):41, 2007.[19] http : //www.severn− bore.co.uk/; http : //en.wikipedia.org/wiki/Tidal_bore.[20] R. Fischer and U. Willmann. Vierzig Meter Wasser. DIE ZEIT, (35):33, 2007.[21] Sven Burger. Erzeugung und Untersuchung dunkler Solitonen in Bose-Einstein Konden-

saten. PhD thesis, Universität Hannover, 2000.[22] P. O. Fedichev, A. E. Muryshev, and G. V. Shlyapnikov. Dissipative dynamics of a kink

state in a Bose-condensed gas. Phys. Rev. A, 60(4):32203224, Oct 1999.[23] Th. Busch and J.R. Anglin. Motion of Dark Solitons in Trapped Bose-Einstein Condensa-

tes. Phys. Rev. Lett., 84:2298, 2000.[24] A. Muryshev, G.V. Shlyapnikov, W. Ertmer, K. Sengstock, and M. Lewenstein. Dynamics

of Dark Solitons in Elongated Bose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett., page 110401,2002.

[25] Nicholas Parker. Numerical Studies of Vortices and Dark Solitons in Atomic Bose-EinsteinCondensates. PhD thesis, University of Durham, 2004.

[26] S. Burger, L.D. Carr, P. Öhberg, K. Sengstock, and A. Sanpera. Generation and interactionof solitons in Bose-Einstein condensates. Phys. Rev. A, 65:043611, 2002.

[27] B. Jackson, N.P. Proukakis, and C.F. Barenghi. Dark-soliton dynamics in Bose-Einsteincondensates at nite temperature. Phys. Rev. A, page 051601, 2007.

[28] E.A. Donley, N.R. Claussen, S.L. Cornish, J.L. Roberts, E.A. Cornell, and C.E. Wieman.Dynamics of collapsing and exploding Bose-Einstein condensates. nature, 412:295, 2001.

[29] http : //www.lkb.ens.fr/recherche/atfroids/anglais/activite_an.html.[30] L. Salasnich, A. Parola, and L. Reatto. Condensate bright solitons under transverse con-

nement. Phys. Rev. A, 66(4):043603, Oct 2002.[31] U. Al Khawaja, H. T. C. Stoof, R. G. Hulet, K. E. Strecker, and G. B. Partridge. Bright

Soliton Trains of Trapped Bose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett., 89(20):200404,Oct 2002.

LITERATURVERZEICHNIS 71

[32] L. Salasnich, A. Parola, and L. Reatto. Modulational Instability and Complex Dynamicsof Conned Matter-Wave Solitons. Phys. Rev. Lett., 91(8):080405, Aug 2003.

[33] Thomas Busch. Theoretical Studies of Degenerate Inhomogeneous Atomic Gases. PhDthesis, Universität Innsbruck, 2000.

[34] H.E. Nistazakis, D.J. Frantzeskakis, P.G. Kevrekidis, B.A. Malomed, and R. Carretero-Gonzalez. Bright-Dark Soliton Complexes in Spinor Bose-Einstein Condensates. ar-Xiv:0705.1324, 2007.

[35] S.V. Manakov. On the theory of two-dimensional stationary self-focusing of electromagneticwaves. Sov. Phys. JETP, 38:248, 1974.

[36] R. Dum, J. I. Cirac, M. Lewenstein, and P. Zoller. Creation of Dark solitons and Vorticesin Bose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett., 80(14):29722975, Apr 1998.

[37] Jochen Kronjäger. private Mitteilung.[38] A.P. Sheppard and Y.S. Kivshar. Polarized dark solitons in isotropic Kerr media. Phys.

Rev. E, 55(4):4773, 1997.[39] N.G. Parker, A.M. Martin, S.L. Cornish, and C.S. Adams. Collisions between solitary

waves of three-dimensional Bose-Einstein condensates. arXiv, pages condmat/0603059,2006.

[40] R.P. Feynman. Sie belieben wohl zu scherzen, Mr Feynman, chapter 3, page 199. PiperVerlag, München, 1987.

[41] B. Eiermann and M.K. Oberthaler. Solitonen im Bose-Einstein-Kondensat. Physik UnsererZeit, 4/2006:184, 2006.

[42] Th. Anker, M. Albiez, R. Gati, S. Hunsmann, B. Eiermann, A. Trombettoni, and M.K.Oberthaler. Nonlinear Self-Trapping of Matter Waves in Periodic Potentials. Phys. Rev.Lett., 94:020403, 2005.

[43] K. W. Madison, F. Chevy, W. Wohlleben, and J. Dalibard. Vortex Formation in a StirredBose-Einstein Condensate. Phys. Rev. Lett., 84(5):806809, Jan 2000.

[44] M. R. Matthews, B. P. Anderson, P. C. Haljan, D. S. Hall, C. E. Wieman, and E. A.Cornell. Vortices in a Bose-Einstein Condensate. Phys. Rev. Lett., 83(13):24982501, Sep1999.

[45] . Dobrek, M. Gajda, M. Lewenstein, K. Sengstock, G. Birkl, and W. Ertmer. Opticalgeneration of vortices in trapped bose-einstein condensates. Phys. Rev. A, 60(5):R3381R3384, Nov 1999.

[46] J.E. Williams and M.J. Holland. Preparing Topological states in a Bose-Einstein Conden-sate. nature, 402:568, 1999.

[47] Karl-Peter Marzlin, Weiping Zhang, and Ewan M. Wright. Vortex Coupler for AtomicBose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett., 79(24):47284731, Dec 1997.

[48] U. Al Khawaja and H. Stoof. Skyrmions in a ferromagnetic bose-einstein condensate.nature, 411:918, 2001.


[49] J.-P. Martikainen, A. Collin, and K.-A. Suominen. Creation of a Monopole in a SpinorCondensate. Phys. Rev. Lett., 88(9):090404, Feb 2002.

[50] L. J. Garay, J. R. Anglin, J. I. Cirac, and P. Zoller. Sonic Analog of Gravitational BlackHoles in Bose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett., 85(22):46434647, Nov 2000.

[51] E. Guendelman and I. Shilon. Gravitational Trapping near domain walls and stable soli-tons. Phys. Rev. D, 76:025021, 2007.

[52] A. Einstein. Spielen Gravitationsfelder im Aufbau der materiellen Elementarteilchen einewesentliche rolle? Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., (20):349, 1919.

[53] Durham University. Epsrc grant Nr. EP/f002068/1. abstract.[54] http : //www.holoeye.com/download_daten/Spatial_Light_Modulator_LC− R_1080.pdf.[55] http : //www.linos.com/pages/no_cache/home/shop− optik/planoptik.[56] H. Römer. Theoretische Optik. Verlag Chemie, Weinheim, 1994.[57] E. Hecht. Optik. Addison-Wesley, Bonn, 1994.[58] Lars Neumann. Hochauösende Detektion von Bose-Einstein kondensaten. Master's thesis,

Universität Hamburg, 2004.[59] Jochen Kronjäger. Coherent Dynamics of Spinor Bose-Einstein Condensates. PhD thesis,

Universität Hamburg, 2007.[60] D. McGloin, G. Spalding, H. Melville, W. Sibbett, and K. Dholakia. Applications of spatial

light modulators in atom optics. Optics Express, Vol. 11, Issue 2, pp. 158-166, 11(2):158,2002.

[61] V. Boyer, M. Godun, G. Smirne, D. Cassettari, C.M. Chandrashekar, A.B. Deb, Z.J. Laczik,and C.J. Foot. Dynamic Manipulation of Bose-Einstein Condensates With a Spatial LightModulator. Phys. Rev. A, 73:031402, 2006.

[62] D.G. Grier. A revolution in optical manipulation. nature, 424:810, 2003.[63] M. Albiez, R. Gati, J. Fölling, S. Hunsmann, M. Cristiani, and M.K. Oberthaler. Direct

observation of tunneling and nonlinear self-trapping in a single Bosonic Josephson Junction.95, 95:010402, 2005.

[64] S. Bergamini, B. Darquie, M. Jones, L. Jacubowiez, A. Browaeys, and P. Grangier. Holo-graphic generation of microtrap arrays for single atoms by use of a programmable phasemodulator. J. opt. Soc. Am. B, 21(11):1889, 2004.

[65] L. Pitaevskii and S. Stringari. Bose-Einstein Condensation. Oxford Science Publications,2003.

[66] W. Ketterle, D. Durfee, and D. Stamper-Kurn. Making, probing and understanding Bose-Einstein condensates. Proceedings of the International School of Physics - Enrico Fermi,page 67, 1999.

[67] H. Metcalf and P. van der Straten. Laser Cooling and Trapping. Springer, New York, 1999.[68] Christopher C. Gerry and J. H. Eberly. Dynamics of a Raman coupled model interacting

with two quantized cavity elds. Phys. Rev. A, 42(11):68056815, Dec 1990.

LITERATURVERZEICHNIS 73

[69] D.S. Weiss, B.C. Young, and S. Chu. Precision measurement of h/mCs based on photonrecoil using laser-cooled atoms and atomic interferometry. Appl. Phys. B, 59:217, 1994.

[70] Michael Erhard. Experimente mit mehrkomponentigen Bose-Einstein-Kondensaten. PhDthesis, Universität Hamburg, 2004.

[71] Andrea Trombettoni and Augusto Smerzi. Discrete Solitons and Breathers with DiluteBose-Einstein Condensates. Phys. Rev. Lett., 86(11):23532356, Mar 2001.

[72] D.M. Stamper-Kurn, H.-J. Miesner, S. Inouye, M.R. Andrews, and W. Ketterle. Colli-sionless and Hydrodynamic Excitations of a Bose-Einstein Condensate. Phys. Rev. Lett,81:500, 1998.

[73] G. Theocharis, P. Schmelcher, P.G. Kevrekidis, and D.J. Frantzeskakis. Dynamical trap-ping and transmission of matter-wave solitons in a collisional inhomogenious environment.Phys. Rev. A, 74:053614, 2006.

[74] J. Garnier and F.K. Abdullaev. Transmission of matter-wave solitons through nonlineartraps and barriers. Phys. Rev. A, 74:014604, 2006.

[75] P.W. Anderson. Absence of Diusion in Random Lattices. Phys. Rev. Lett, 109:1492,1958.

[76] D.A. Steck. Rubidium 87 D Line Data, 2003.[77] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, and G. Grynberg. Atom-Photon Interactions: Basic

Processes and Applications. Wiley & Sons, New York, 1992.

Danksagung

An dieser Stelle möchte ich mich ganz herzlich bei allen Personen bedanken, die mich in derZeit meiner Diplomarbeit unterstützt haben.

Zu allererst möchte ich Herrn Prof. Klaus Sengstock danken nicht nur für die Möglich-keit, diese Diplomarbeit in seiner Arbeitsgruppe anfertigen zu können, sondern auch für seineBegeisterung, sein Vertrauen und sein Interesse an meiner Arbeit.

Weiter danke ich Prof. Werner Neuhauser für die Übernahme des Zweitgutachtens.Ich möchte Herrn Prof. Kai Bongs danken für sein ständiges Interesse an den Fortschritten

am Experiment, die vielen Diskussionen und hilfreichen Ideen.Christoph Becker hat meine Arbeit in allen Teilen fürsorglich und kamaradschaftlich betreut

und durch seine ständige Hilfsbereitschaft das Arbeitsklima ganz wesentlich geprägt. Insbeson-dere war er stets bereit, Verantwortung für die gesamte Gruppe zu übernehmen, wofür ihmhohe Anerkennung gebührt.

Jochen Kronjäger ist es durch sein immenses Fachwissen und präzises physikalisches Ver-ständnis allzu oft gelungen, innerhalb kürzester Zeit Probleme zu lösen, bei denen andere nichtweiterwussten. Das Verfahren zur Erzeugung der gefüllten Solitonen beruht ebenso auf seinerIdee wie der von ihm aufgebaute Raman-Laser, wofür ich ihm ebenso zu Dank verpichtet binwie für die vielen kleinen und groÿen Erklärungen.

Parvis Soltan-Panahi danke ich für den regen Austausch und seine Hilfe bei vielen Fragen.Sören Dörscher und Christoph Becker danke ich für ihre Hilfe bei der Erstellung der Gra-

phiken und Rechnungen in dieser Arbeit.Das Experiment hätte nicht aufgebaut werden können ohne die hervorragende Arbeit der

Feinmechanikwerkstatt, deren Mitarbeiter auch jede noch so detailreiche Version eines Haltersgerne gefertigt haben.

Herrn Stephan Osten danke für die technische Unterstützung beim Betrieb des SLM undHerrn Dr. Thomas Busch für die Übersendung seiner Dissertation.

Vor allem danke ich der gesamten Gruppe, insbesondere Sören Götze, Philipp Ernst, StefanVorrath, Anika Vogel und Mirja Michels, für ihr Interesse an meiner Arbeit, ihre Hilfsbereit-schaft und dafür, dass sie dieses Jahr zu einer tollen Zeit gemacht haben. Euch allen wünscheich alles erdenklich Gute für die weitere Forschung und das Leben jenseits der Physik.

Sicherlich ist dies auch ein geeigneter Ort, all jenen lieben Menschen zu danken, die mir inden letzten Jahren und ganz besonders im vorvergangenen Sommer zur Seite standen: meinenEltern Urte und Hartmut, Franziska, Berit, Rita und André.

75

Solitonen in mehrkomponentigen Bose-Einstein...

Documents

Transcript of Solitonen in mehrkomponentigen Bose-Einstein...