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Spline-Raume - B-Spline-Basen
Rene Janssens
4. November 2009
Rene Janssens () Spline-Raume - B-Spline-Basen 4. November 2009 1 / 56
Ubersicht
1 Erster Abschnitt: Raume von SplinefunktionenGrundlegende EigenschaftenEine erste Basis
2 Zweiter Abschnitt: B-SplinesRekursionsformeln fur B-SplinesLinearkombinationen von B-SplinesReproduktion von Polynomen
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Einige Grundbegriffe
Splines sind stuckweise Polynome, die eine Kurve anhand gegebenerDaten approximieren oder interpolieren sollen und gewisseGlattheitsbedingungen erfullen.
Die Bruchstellen ξ = (ξ0, . . . , ξl) sind die Punkte, anhand derer derSpline bestimmt werden soll.
Der”Glattheitsvektor“ µ = (µ0, . . . , µl)
T regelt, wie”glatt“ ein
Stuck der Kurve in das nachste ubergehen muss, wobei ein hohererWert eine niedrigere Glattheit bedeutet mit 1 ≤ µj ≤ k − 1 ,j = 1, . . . , l und µ0 = µl = 0.
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Definition: Spline-Raum
(1.1) Definition: Spline-Raum
Der Raum der Splines der Ordnung k mit Bruchstellen ξ = (ξ0, . . . , ξl+1)und Glattheit µ ist folgendermaßen definiert:
Πk,µ,ξ := {f : [a, b]→ R |f |(ξj ,ξj+1) ∈ Πk−1, j = 0, . . . , l
, f ∈ C k−1−µj (ξj−1, ξj+1), j = 1, . . . , l}
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Definition: Abgebrochene Potenz
(1.2)Definition: Abgebrochene Potenz
Eine abgebrochene Potenz ist definiert durch
(·)m+ : R→ R ; xm
+ =
{xm, wenn x ≥ 0,0, sonst.
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Grundlegende Eigenschaften
(1.3)Bemerkung: Grundlegende Eigenschaften
(i) Πk,µ,ξ ist ein linearer Raum.
(ii) Πk−1 ⊆ Πk,µ,ξ
(iii) (x − ξj)m+ ∈ Πk,µ,ξ fur k − µj ≤ m ≤ k − 1
(iv) dim Πk,µ,ξ = k +∑l
j=1 µj
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Eine erste Basis
(1.4)Satz: Eine erste Basis
Die Monome und abgebrochenenen Potenzen bilden eine Basis desSplineraums Πk,µ,ξ mit Koeffizienten aj und cjm aus R.Jedes S ∈ Πk,µ,ξ besitzt die eindeutige Darstellung
S(x) =k−1∑j=0
ajxj +
l∑j=1
k−1∑m=k−µj
cjm(x − ξj)m+
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Veranschaulichung: B-Splines als Basis
Abbildung: S(x) = −1 + x +∑4
j=1(−1)j(x − j)+ und
S(x) = −1 + 2x +∑4
j=1(−1)j(x − j)+
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Veranschaulichung: B-Splines als Basis
Abbildung: S(x) = −1 + x − (x − 0.5)+ + (x − 0.501)+ undS(x) = −1 + x − 10(x − 0.5)+ + 10(x − 0.501)+
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Die dividierten Differenzen
(2.1)Bemerkung: Eigenschaften der div. Differenzen
Die dividierten Differenzen zu den Stutzstellen x0 ≤ · · · ≤ xn zu einerFunktion f ∈ Cn(R) besitzen folgende Eigenschaften:
(i) [x0, . . . , xn]P = 0 fur alle P ∈ Πn−1.
(ii) Sei π : {0, . . . , n} → {0, . . . , n} eine beliebige Permutation. Dann gilt[x0, . . . , xn]f = [xπ(0), . . . , xπ(n)]f fur alle f ∈ Cn(R).
(iii) Fur xi 6= xj gilt folgende Rekursionsformel
[x0, . . . , xn]f =[x0, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn]f − [x0, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn]f
xj − xi
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Die dividierten Differenzen
(2.1)Bemerkung: Eigenschaften der div. Differenzen (Forts.)
(iv) Fur jedes f ∈ Cn(R) gilt
[x0, . . . , xn]f =
∫Σn
f (n)(λ0x0 + · · ·+ λnxn)dλ1 . . . dλn
wobei Σn := {(λ0, . . . , λn)T :∑n
j=0 λj = 1 , λj ≥ 0 furj = 0, . . . , n} der n-dimensionale Standardsimplex ist.
(v) [x0, . . . , x0︸ ︷︷ ︸n+1
]f = f (n)(x0)n!
(vi) [x0, . . . , xn]f = f (n)(x)n! fur ein x ∈ [x0, . . . , xn] (konvexe Hulle der xi )
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Die dividierten Differenzen
(2.1)Bemerkung: Eigenschaften der div. Differenzen (Forts.)
(vii) [x0, . . . , xn](fg) =∑n
j=0([x0, . . . , xj ]f )[xj , . . . , xn]g (Leibniz-Regel)
(viii) Fur x0 < · · · < xn gilt
[x0, . . . , xn]f =n∑
j=0
f (xj)∏ni=0i 6=j
xi − xj
(ix) Es existieren stets Konstanten αj = αj(x0, . . . , xn) mitdj = max{r ; xj = xj+r}, so dass gilt
[x0, . . . , xn]f =n∑
j=0
αj f(dj )(xj)
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Die dividierten Differenzen
Beweis zu (2.1)
(iv) Beweis per vollstandiger Induktion:(IA): n=1:
[x0, x1]f =f (x1)− f (x0)
x1 − x0
=1
x1 − x0
∫ x1
x0
f ′(ξ)dξ
=
∫ 1
0f ′(x0 + t1(x1 − x0))dt1
(IV) Sei n ∈ N beliebig aber fest und es gelte die Beh. fur dieses.
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Die dividierten Differenzen
Beweis zu (2.1) (Fortsetzung)
(IS) n→ n + 1
[x0, . . . , xn+1]f =[x1, . . . , xn+1]f − [x0, . . . , xn]f
xn+1 − x0
=[xn+1, x1, . . . , xn]f − [x0, . . . , xn]f
xn+1 − x0
=1
xn+1 − x0·
·∫ t1
0. . .
∫ tn−1
0(f (n)(t0xn+1 + t1x1 + · · ·+ tnxn)−
−f (n)(t0x0 + · · ·+ tnxn))dt1 . . . dtn
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Die dividierten Differenzen
Beweis zu (2.1) (Fortsetzung)
=1
xn+1 − x0·
·∫ t1
0. . .
∫ tn−1
0
∫ t0xn+1+···+tnxn
t0x0+···+tnxn
(f (n+1))(ξ)dξdt1 . . . dtn
=
∫Σn+1
(f (n+1)(t0x0 + · · ·+ tn+1xn+1)dt1 . . . dtn+1
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Die dividierten Differenzen
Beweis zu (2.1) (Fortsetzung)
(vii) Beweis per vollstandiger Induktion:(IA): n=1:
[x0, x1](fg) =(fg)(x1)− (fg)(x0)
x1 − x0
=f (x1)g(x1)− f (x0)g(x1) + f (x0)g(x1)− f (x0)g(x0)
x1 − x0
= [x0]f [x0, x1]g + [x0, x1]f [x1]g
(IV) Sei n ∈ N beliebig aber fest und es gelte die Beh. fur dieses.
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Die dividierten Differenzen
Beweis zu (2.1) (Fortsetzung)
(IS) n→ n + 1
[x0, . . . , xn+1](fg) =[x1, . . . , xn+1](fg)− [x0, . . . , xn](fg)
xn+1 − x0
=
∑n+1j=1 [x1, . . . , xj ]f [xj , . . . , xn+1]g
xn+1 − x0−
−∑n
j=0[x0, . . . , xj ]f [xj , . . . , xn]g
xn+1 − x0
=n∑
j=0
([x1, . . . , xj+1]f − [x0, . . . , xj ]f )
xn+1 − x0·
·[xj+1, . . . , xn+1]g +
+[x0, . . . , xj ]f ([xj+1, . . . , xn+1]g − [xj , . . . , xn]g)
xn+1 − x0
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Die dividierten Differenzen
Beweis zu (2.1) (Fortsetzung)
=n∑
j=0
(xj+1 − x0)[x0, . . . , xj+1]f [xj+1, . . . , xn+1]g
xn+1 − x0+
+[x0, . . . , xj ]f (xn+1 − xj)[xj , . . . , xn+1]g
xn+1 − x0
=n+1∑j=0
[x0, . . . , xj ]f [xj , . . . , xn+1]g ,
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Definition: B-Splines
(2.2) Definition B-Splines
Teilfolgen der Folge (an)n∈N sind Sei xi , . . . , xi+k mit xi < xi+k eineAnordnung von Knoten, dann definiere
Ni ,k(t) := (xi+k − xi )[xi , . . . , xi+k ](· − t)k−1+
als den B-Spline k-ter Ordnung bezuglich xi , . . . , xi+k .
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Veranschaulichung: B-Splines
Abbildung: B-Splines der Ordnung 1-3
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Eigenschaften der B-Splines
(2.3) Bemerkung: B-Spline Eigenschaften
Die B-Splines besitzen folgende Eigenschaften:
(i) supp Ni ,k ⊆ [xi , xi+k ], d.h. Ni ,k(t) = 0 fur t /∈ [xi , xi+k ].
(ii) Ni ,k ist ein stuckweises Polynome vom Grad hochstens k − 1.Genauer: ist xi−1 < xi = · · · = xi+d < xi+d+1, so gilt
Ni ,k ∈ C k−2−d(xi−1, xi+d+1) .
Speziell ist Ni ,k ∈ C k−2(xi−1, xi+1), falls xi−1 < xi < xi+1.
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Alternative Charakterisierung der B-Splines
(2.4) Gleichung
Es gilt
1
(k − 1)!
∫ ∞−∞
Ni,k(ξ)f (ξ)dξ = (xi+k − xi )
∫Σn
f (λ0xi + · · ·+ λkxi+k)dλ1 . . . dλk
fur alle f ∈ C k(R).
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Alternative Charakterisierung der B-Splines
Herleitung zu 2.4
f (x) =k−1∑j=0
(x − xi )j
j!f (j)(xi ) +
1
(k − 1)!
∫ ∞xi
(x − ξ)k−1+ f (k)(ξ)dξ
[xi , . . . , xi+k ]f (x) =1
(k − 1)!
∫ ∞xi
[xi , . . . , xi+k ](· − ξ)k−1+ f (k)(ξ)dξ
=1
(k − 1)!(xi+k − xi )
∫ ∞xi
Ni ,k(ξ)f (k)(ξ)dξ
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Alternative Charakterisierung der B-Splines
Herleitung zu 2.4 (Fortsetzung)
⇒ (xi+k − xi )[xi , . . . , xi+k ]f (x) =1
(k − 1)!
∫ ∞−∞
Ni ,k(ξ)f (k)(ξ)dξ
1
(k − 1)!
∫ ∞−∞
Ni ,k(ξ)f (k)(ξ)dξ = (xi+k − xi ) ·
·∫
Σn
f (k)(λ0xi + · · ·+
+λkxi+k)dλ1 . . . dλk
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Nicht-Negativitat der B-Splines
(2.5) Bemerkung: Nicht-Negativitat der B-Splines
Die B-Splines sind nicht-negativ, d.h. Ni ,k(x) ≥ 0 fur alle x ∈ R.
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Rekursionsformel zur Ableitung eines B-Splines
(2.6) Gleichung: Rekursionsformel zur Ableitung eines B-Splines
Fur die erste Ableitung des B-Splines k-ter Ordnung zu den Knotenxi , . . . , xi+k gilt
Ni ,k(x) = (k − 1)
(Ni ,k−1(x)
xi+k−1 − xi−
Ni+1,k−1(x)
xi+k − xi+1
).
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Rekursionsformel zur Ableitung eines B-Splines
Beweis zu (2.6)
Ni ,k(x) = −(k − 1)(xi+k − xi )[xi , . . . , xi+k ](· − x)k−2+
= −(k − 1)(xi+k − xi )
([xi+1,...,xi+k ](·−x)k−2
+ −[xi ,...,xi+k−1](·−x)k−2+
xi+k−xi
)= (k − 1)
(Ni,k−1(x)xi+k−1−xi
− Ni+1,k−1(x)xi+k−xi+1
)
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Rekursionsformel zur Auswertug eines B-Splines
(2.7) Gleichung: Rekursionsformel zur Auswertung eines B-Splines
Fur den B-Spline k-ter Ordnung zu den Knoten xi , . . . , xi+k gilt
Ni ,k(x) =x − xi
xi+k−1 − xiNi ,k−1(x) +
xi+k − x
xi+k − xi+1Ni+1,k−1(x).
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Rekursionsformel zur Auswertung eines B-Splines
Beweis zu (2.7)
Ni ,k(x) = (xi+k − xi )[xi , . . . , xi+k ](· − x)k−1+
= (xi+k − xi )[xi , . . . , xi+k ]((· − x)k−2+ (· − x))
= (xi+k − xi )((xi − x)[xi , . . . , xi+k ](· − x)k−2+ +
+[xi , xi+1](· − x)[xi+1, . . . , xi+k ](· − x)k−2+ )
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Rekursionsformel zur Auswertung eines B-Splines
Beweis zu (2.7) (Fortsetzung)
Ni ,k(x) = (xi+k − xi )
((xi − x)
[xi , . . . , xi+k−1](· − x)k−2+
xi − xi+k−
−[xi+1, . . . , xi+k ](· − x)k−2
+
xi − xi+k+
1
xi+k − xi+1Ni+1,k−1(x)
)=
x − xi
xi+k−1 − xiNi ,k−1(x) +
xi − x + xi+k − xi
xi+k − xi+1Ni+1,k−1(x)
⇒ Ni ,k(x) =x − xi
xi+k−1 − xiNi ,k−1(x) +
xi+k − x
xi+k − xi+1Ni+1,k−1(x)
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Rekursionsformeln fur B-Splines
(2.8) Beispiel
Sei xi = 0, xi+1 = 0, xi+2 = 2. Bestimme Ni ,2(1) und Ni ,2(1) zu diesenKnoten.
Ni ,2(1) =1− 0
0− 0Ni ,1(1) +
2− 1
2− 0Ni+1,1(1) =
1
2χ[0,2)(1) =
1
2
Ni ,2(1) = (2− 1)Ni+1,k−1(1)
2− 0=
1
2
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Definition: Sk(T )
(2.9) Definition: Sk(T )
SeiT := {xi}n+k
i=1 , xi < xi+k fur i = 1, . . . , n
x1 = · · · = xk = a < xk+1 ≤ · · · ≤ xn < b = xn+1 = · · · = xn+k .
Wir definieren den Raum Sk(T ) als das lineare Erzeugnis der B-Splinesk-ter Ordnung auf T:
Sk(T ) := span {Ni ,k : i = 1, . . . , n}
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Gleichungen
(2.10) Gleichung
Es gilt fur S ∈ Sk(T )
S(x) =n∑
i=1
ciNi ,k(x)
und insbesondere wegen der Lokalitat der B-Splines
S(x) =
j∑i=j−k+1
ciNi ,k(x) , x ∈ [xj , xj+1).
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Gleichungen
(2.11) Gleichung
Es gilt fur die l-te Ableitung von S
S (l)(x) = (k − 1) . . . (k − l)n∑
i=l+1
c(l)i Ni ,k−l(x)
mit
c(l)i =
{ci fur l = 0c
(l−1)i −c
(l−1)i
xi+k−l−xifur l > 0
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Gleichungen
Herleitung zu (2.11)
S (l)(x) = (k − 1) . . . (k − l + 1)n∑
i=l
c(l−1)i Ni ,k−l+1(x)
= (k − 1) . . . (k − l)n∑
i=l
c(l−1)i
(Ni ,k−l(x)
xi+k−l − xi−
Ni+1,k−l(x)
xi+k−l+1 − xi+1
)
= (k − 1) . . . (k − l)n∑
i=l+1
c(l−1)i − c
(l−1)i−1
xi+k−l − xiNi ,k−l(x)
= (k − 1) . . . (k − l)n∑
i=l+1
c(l)i Ni ,k−l(x)
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Gleichungen
(2.12) Gleichung
Es gilt fur l ≤ k − 1
S(x) =n∑
i=1+l
c[l ]i Ni ,k−l(x)
mit
c[l ]i =
ci fur l = 0
x−xixi+k−l−xi
c[l−1]i (x) +
xi+k−l−xxi+k−l−xi
c[l−1]i−1 (x) fur l > 0
0 fur xi+k−l = xi
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Gleichungen
Herleitung zu (2.12)
S(x) =n∑
i=l
c[l−1]i Ni ,k−l+1(x)
=n∑
i=l
c[l−1]i
(x − xi
xi+k−l − xiNi ,k−l(x) +
xi+k−l+1 − x
xi+k−l+1 − xi+1Ni+1,k−l(x)
)
=n∑
i=l+1
(x − xi
xi+k−l − xic
[l−1]i (x) +
xi+k−l − x
xi+k−l − xic
[l−1]i−1 (x)
)Ni ,k−l
=n∑
i=l+1
c[l ]i Ni ,k−l(x)
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Gleichungen
(2.13) Gleichung
Fur l = k − 1 in der letzten Rekursionsformel gilt wegen der Lokalitat derB-Splines
S(x) = c[k−1]i (x).
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Ein N-A-artiges Schema
(2.14) Ein N-A-artiges Schema
Zur Berechnung der c[k−1]i (x) bietet sich also an:
cj−k+1
↘cj−k+2 → c
[1]j−k+2(x)
↘ ↘cj−k+3 → c
[1]j−k+3(x) → c
[2]j−k+3(x)
......
.... . .
cj → c[1]j (x) → c
[2]j (x) . . . c
[k−1]j (x)
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Ein N-A-artiges Schema
(2.15) Beispiel
Sei k = 5 und T := {xi}13i=1 mit
x1 = · · · = x5 = 0 , x6 = 0, 2 , x7 = 0, 6 , x8 = 0, 9 , 1 = x9 = · · · = x13.Weiter seiS(x) = N4,5(x) + 4N5,5(x) + 3N6,5(x) + N7,5(x) + 8N8,5(x) + . . ..Bestimme S(0, 95).
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Ein N-A-artiges Schema
(2.15) Beispiel (Fortsetzung)
1↘
4 → 0,951 4 + 1−0,95
1 = 3, 85↘ ↘
3 → 3, 0625 → 3, 112↘ ↘ ↘
1 → 1, 25 → 1, 477 → 1, 681↘ ↘ ↘ ↘
8 → 4, 5 → 2, 875 → 2, 176 → 1, 929
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Marsden-Identitat
(2.16) Marsden-Identitat
Es gilt fur alle x ∈ [a, b) , σ ∈ R
(x − σ)k−1 =n∑
i=1
k−1∏j=1
(xi+j − σ)Ni ,k(x)
=n∑
i=1
ϕi ,k(σ)Ni ,k(x)
mit
ϕi ,k(x) :=k−1∏j=1
(xi+j − σ).
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Marsden-Identitat
Beweis zu (2.16)
per Induktion nach k : Fur k = 1 ist (x − σ)0 = 1 =∑n
i=1 1 · Ni ,1(x) wahrnach Definition. Annahme: Die Behauptung gilt bereits fur l ≤ k − 1 undwir zeigen, dass sie dann auch fur l = k gilt
n∑i=1
ϕi ,k(σ)Ni ,k(x) =n∑
i=2
(x − xi
xi+k−1 − xiϕi ,k(σ)+
+xi+k−1 − x
xi+k−1 − xiϕi−1,k(σ)
)Ni ,k−1(x)
=n∑
i=2
x − xi
xi+k−1 − xi
k−1∏j=1
(xi+j − σ)+
+xi+k−1 − x
xi+k−1 − xi
k−1∏j=1
(xi−1+j − σ)
Ni ,k−1(x)
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Marsden-Identitat
Beweis zu (2.16)
=n∑
i=2
k−2∏j=1
(xi+j − σ)
(x − xi
xi+k−1 − xi(xi+k−1 − σ)+
+xi+k−1 − x
xi+k−1 − xi(xi − σ)
)Ni ,k−1(x)
= (x − σ)n∑
i=2
ϕi ,k−1(σ)Ni ,k−1(x)
= (x − σ)(x − σ)k−2
= (x − σ)k−1
nach Induktionsannahme. Also ergibt sich die Behauptung.
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B-Splines und Polynome
(2.17) Korollar
Der Raum der Polynome vom Grad k − 1 auf [a, b] ist in dem von denB-Splines aufgespannten Raum enthalten
Πk−1[a, b] ⊆ Sk(T ).
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B-Splines und Polynome
Beweis zu (2.17)
Mit der Marsden-Identitat gilt
n∑i=1
ϕ(l)i ,k(0)Ni ,k(x) =
(ddσ
)l
(x−σ)k−1|σ=0 = (k−1) . . . (k−l)xk−l−1(−1)l
⇒ (k − 1) . . . (k − l)xk−l−1(−1)l =n∑
i=1
ϕ(l)i ,k(0)Ni ,k(x)
⇒n∑
i=1
(−1)k−m−1
(k − 1) . . . (m + 1)ϕ
(k−m−1)i ,k (0)Ni ,k(x) = xm
fur m = k − l − 1 mit l ≤ k − 1, also 0 ≤ m ≤ k − 1.
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Zerlegung der Eins
(2.18) Korollar: Zerlegung der Eins
Mit x ∈ R bilden die B-Splines eine Zerlegung der Eins
n∑i=1
Ni ,k(x) = 1 .
Beweis zu (2.18)
Mit
(−1)k−1
(k − 1)!ϕ
(k−1)i ,k (0) =
(−1)k−1
(k − 1)!((−1)k−1σk−1 + . . . )(k−1) = 1
eingesetzt in die Darstellung der Monome aus dem Beweis zu Korollar(2.17) fur m = 0 folgt die Behauptung.
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B-Splines und Polynome
(2.19) Satz
Die Ni ,k sind lokal linear unabhangig, d.h gilt
n∑i=1
ciNi ,k(x) = 0 fur x ∈ (c , d) ⊆ [a, b] ,
dann folgtci = 0 falls (c , d) ∩ (xi , xi+k) 6= ∅ .
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B-Splines und Polynome
Beweis zu (2.19)
(c , d) enthalte keine Knoten.
Polynome vom Grad kleiner k lassen sich durch B-Splines darstellenauf (c , d).
Es verschwinden alle B-Splines auf (c, d) bis auf k Stuck.
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B-Splines als Basis
(2.20) Satz
Betrachtea = ξ0 < · · · < ξl+1 = b
mit”Glattheitsvektor“ µ = (µ1, . . . , µl)
T , µj ≤ k − 1 und erweiterterKnotenfolge T gemaß
x1 = · · · = xk = ξ0 , xk+1 = · · · = xk+µ1 =
= ξ1 , . . . , xk+µ1+···+µl +1 = · · · = x2k+µ1+···+µl= ξl+1
Dann giltΠk,µ,ξ = Sk(T ) ,
d.h. die B-Splines der Ordnung k spannen den Raum der Splines Πk,µ,ξ auf.
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Grundlegende Eigenschaften (Wiederholung)
(1.3)Bemerkung: Grundlegende Eigenschaften
Fur den Raum der Splines der k-ten Ordnung gilt
(iv) dim Πk.µ,ξ = k +∑l
j=1 µj .
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B-Splines als Basis
Beweis zu (2.20)
Die B-Splines sind im Raum der Splines enthalten.
dim Sk(T ) =dim Πk,µ,ξ.
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Veranschaulichung: B-Splines als Basis
Abbildung: Veranderung der Kurven bei Veranderung der Koeffizienten in derB-Spline-Basis
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