TI-Nachrichten · 2016. 10. 1. · 4 TI-Nachrichten 1. Vorbemerkungen Der Begriff Spline hat seinen...

*Der kürzeste Weg –ein geometrischesOptimierungsproblemKatrin Eilers

Problemstellung: Schwimmwettkampf mit „Köpfchen“

Beim Spieletag für Körper und Geist sollen die Parallelklassen beimWettschwimmen gegeneinander antreten. Während des Durchquerensdes Beckens muss ein zuvor an einer beliebigen Stelle entlang derAbsperrleine befestigter Ring abgeholt werden. Jede Klasse bestimmt diePosition für den Ring selbst. Gesucht wird also der Punkt, an dem derRing befestigt wird, so dass der Weg für die Schwimmer minimal wird.

Das Schwimmbad ist im Rahmen des Wettkampfes zweigeteilt. Klasse Astartet von Block 2 und muss das Ziel 1 oben rechts erreichen, Klasse Bstartet von Block 7 und muss das Ziel 2 unten rechts erreichen. DieAbsperrleine befindet sich zwischen Block 4 und 5 (vgl. Abbildung 1) unddient somit gleichzeitig als Spiegelachse.

InhaltsverzeichnisK. Eilers:*Der kürzeste Weg – ein geometrisches

Optimierungsproblem ................................... 1

J. Enders:*Spline-Interpolation mit dem

Voyage™ 200 und dem TI-84 Plus ................ 4

N. Frost:*Monte Carlo – Methode einmal anders ........ 5

G. Heitmeyer:*Anwendung des TI-84 Plus bei Problem-

stellungen aus der Wirtschaftslehre ............ 8

Dr. K. H. Keunecke:*Warum brennt eine Glühlampe häufig

beim Einschalten durch? ............................ 11

U. Köpf, D. Curticapean:*Aliasing beim Graphik-Taschenrechner ....... 13

H. Körner:*Bremsweg und BMI .................................... 17

Dr. Guido Pinkernell:*S ≠ σ – oder: Standardabweichung ist

nicht gleich Standardabweichung .............. 22

U. Oswald:*Der Kondensator im

Wechselstromkreis ..................................... 25

O. M. Keiser:*Rekursion – Iteration – Vollständige

Induktion mit CAS ...................................... 26

H. Pichler:*Lernpfad „Bestimmung von

Schwerpunktslagen“ .................................. 29

TI Technology - Beyond Numberseducation.ti.com

TI-NachrichtenAusgabe 1/06

GTR

Foto: Katrin Eilers

mit dieser Ausgabe der TI-Nachrichten erwarten Sie nicht nur wieder viele neue, interessante Beiträge, sondern zugleich einüberarbeitets Layout. Natürlich wurde das bewährte Konzept der TI-Nachrichten mit Beispielen aus der Unterrichtspraxisbeibehalten, lediglich die Aufmachung wurde noch leserfreundlicher und moderner für Sie gestaltet.Apropos Unterrichtspraxis: Haben Sie in diesem Zusammenhang schon einmal etwas vom CAliMERO-Projekt gehört? Falls ja,dann können Sie diese Zeilen möglicherweise überspringen und sich direkt den verschiedenen Artikeln dieser Ausgabe widmen.Falls nicht, dann lesen Sie bitte weiter.

CAliMERO steht für „Computer-Algebra im Mathematikunterricht, Entdecken, Rechnen, Organisieren“ und betitelt damit einProjekt aus Niedersachsen, in dem der Einsatz von CAS bereits im Sekundarbereich I seit Beginn des Schuljahres 2005/06 erprobtund evaluiert wird. In Niedersachsen sind graphische Taschenrechner (GTR oder CAS) ab der Klasse 7 bereits Pflicht. Bislang gabes zwar Materialien für einen Einsatz von graphischen Taschenrechnern im Sekundarbereich I mitunter auch für einzelneThemenkomplexe für den Einsatz von CAS. Es existierte aber bislang kein durchgängiges didaktisches und methodischesGesamtkonzept für den vollintegrierten Einsatz im Sekundarbereich I ab der Klasse 7. Das Projekt läuft über fünf Jahre und wirdan sechs Gymnasien mit insgesamt ca. 1.000 Schülerinnen und Schülern durchgeführt. Nicht zuletzt, um die Unterrichtsqualitätbeim Einsatz von CAS in der Sekundarstufe I zu stärken, hat das niedersächsische Kultusministerium diesen Versuch initiiert. Die wissenschaftliche Begleitung erfolgt durch Frau Prof. Dr. Regina Bruder von der Technischen Universität Darmstadt. Texas Instruments unterstützt diese ganz besondere Evaluation in Kooperation mit dem Lehrerfortbildungsprojekt T3. Mehr Informationen zu CAliMERO und zu weiteren Schulversuchen zum Einsatz von Technologie im Unterricht erhalten Sie imInternet unter www.t3deutschland.de.

Bitte beachten Sie auch den Artikel auf Seite 17 von Henning Körner, der im Rahmen von CAliMERO entstanden ist.

Ihr TI-Team

Wir trauern um Dr. Norbert EsperIm Dezember letzten Jahres verstarb, viel zu früh, unser langjähriges Redaktionsmitglied Dr. Norbert Esper. Er hat von Beginn an bei Gestaltung der TI-Nachrichten durch kritische Würdigung von eingereichten Artikeln aber auch durch eigene Beiträge mitgewirkt. Wir haben einen Freund undunermüdlichen Mitstreiter verloren. Unser Mitgefühl gehört seinen Angehörigen.

Liebe Lehrerinnen und Lehrer,

Der kürzeste Weg – ein geometrisches Optimierungsproblem Fortsetzung

Modellbildung und Mathematisierung:Sucht man den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten S undZ, der jedoch über einen dritten Punkt R führen muss, dessenLage beliebig auf einer Geraden b zu ändern ist, so führtkonstruktiv eine Achsenspiegelung zum Ergebnis.

Würden die beiden Punkte S und Z auf verschiedenen Seitender Geraden b liegen (in Abbildung 2 entsprechend S` und Z),so wäre der Schnittpunkt der Geraden SZ mit b der gesuchtePunkt R. Man erhält also den Punkt R, indem man S an bspiegelt, mit Z verbindet und den Schnittpunkt bestimmt. Esist der kürzeste Weg gefunden, da |SR| = |S`R|. Analog kannman Z spiegeln.

Abb. 1

Computer Algebra System TI-89, TI-89 Titanium, TI-92 Plus,Voyage™ 200

Zeichenerklärung: Graphische TaschenrechnerTI-82, TI-83, TI-83 Plus, TI-83 Plus Silver Edition,TI-84 Plus, TI-84 Plus Silver Edition

Messwerterfassungssystem CBL™, CBL 2™, CBR 2™

PC Software Derive™, TI InterActive!™, Cabri Geometry II™

CAS GTR

CBL CBRPC

2 TI-Nachrichten

Ein möglicher Unterrichtsverlauf:Der Stundenverlauf sollte problemorientiert gestaltet wer-den, so dass am Anfang das oben geschilderte Problem steht,visuell z.B. durch ein Plakat oder eine Skizze unterstützt. DasProblem soll zunächst in ein geeignetes mathematischesModell und schließlich in eine formale Beschreibungtransferiert werden. Im Rahmen des Problemlösens ist eszunächst wichtig, den Schüler und Schülerinnen Zeit zugeben, das Problem zu verstehen, ggf. Fragen zu klären underste Vermutungen aufzustellen. Insbesondere sollte dasProblem klar herausgestellt werden. Erste Vermutungenkönnen hierbei zur Motivation mit Punkten auf dem Plakatmarkiert werden.

Es wird vermutlich zu den ersten Ideen der Schüler undSchülerinnen gehören, den kürzesten Weg mithilfe desMessens zu bestimmen. Dieser handlungsorientierte Zugangkann auf verschiedenen Wegen erfolgen: händisch mitLinealen, Fäden und Maßbändern auf vorbereiteten Plakaten,aber auch mit dynamischer Geometrie-Software auf dem PC bzw. Voyage™ 200. Für den TI-84 Plus ist die Flash-Applikation GeoMaster™ verfügbar, die mithilfe desZugmodus ein experimentelles Ergebnis ermöglicht.

GeoMaster™ wird zunächst über O aufgerufen, ggf. wirdeine neue Datei geöffnet . Über die s-Taste(5) ist die Menü-Leiste aufrufbar: Über w1 für ,p 3 für , q 2 für , r 4 für

und s 5 für sind die einzelnen Menüsanwählbar (Abbildung 3).

Zur besseren Vergleichbarkeit werden die Koordinaten derStartblöcke und der Ziele festgelegt. Im Beispiel hier werdenfolgende Werte verwendet:

Block 2: (-40|15), Block 7: (-40|-15), Ziel 1: (40|25), Ziel 2: (40|-25), Absperrleine: y = 0.

Die Eingabe der Punkte erfolgt über 3 Õ.Mit den Cursortasten sind die jeweiligen Punkte anwählbar,die aktuellen x- und y-Koordinaten der Cursorposition werden

angezeigt, mit Õ wird der Punkt festgelegt. Dervoreingestellte Zeichenbereich mit -47 ≤ x ≤ 47 und -31 ≤ y≤ 31 liefert ganzzahlige Koordinaten für die Cursorposition.

Die Absperrleine wird über s, 3 [DRAW] 2:LINE Õ

angewählt und zwei Punkte im Koordinatensystem mit Õ

bestätigt, um die Lage der Leine festzusetzen. In derAbbildung wurden die Punkte P1(-47|0) und P2(47|0) gewählt.Der Ring (Punkt R) kann über den Befehl POINT ON OBJECTim Menü 3 DRAW]an die Absperrleine fixiert werden. DerPunkt lässt sich dann durch Anklicken mit Õ anwählenund auf der Linie bewegen. Die Verbindung der Punkte vonStart bzw. Ziel und dem Ring erfolgt über 3[DRAW]und3:SEGMEN und der Auswahl der gewünschten Punkte.

Die Länge der Strecken zwischen Block 2 und dem variablenPunkt R auf der Absperrleine, sowie zwischen R und demZiel 1 lassen sich mithilfe von GeoMaster™ messen undaddieren (Abbildung 4). Im Menü 2[MEAS] wählt man hierzu den Befehl 1:Distance/Length aus und wählt diegesuchten Strecken aus. Die angezeigten Werte lassen sichüber die Cursortasten an die gewünschte Positionverschieben. Ebenfalls über das Menü 2 [MEAS] lässt sichdie Summe der zwei Strecken berechnet. Man wählt4:Calculate aus, bestätigt den ersten Wert, gibt dann dasAdditionszeichen ein, bestätigt den zweiten Wert und lässtsich das Ergebnis durch ø anzeigen. Durch Variation desPunktes R entlang der Absperrleine lässt sich nun dieaktuelle gesamte Schwimmstrecke direkt ablesen.

Der optimale Punkt für den kürzesten Weg wird somit expe-rimentell durch Verschieben ermittelt (Abbildung 5). Erfolgtdie Darstellung sowohl für Klasse A als auch für Klasse B, soist eine Achsenspiegelung erkennbar und kann als möglicherWeg zur Problemlösung herausgestellt und anschließendmittels GeoMaster™ angewendet werden (Abbildung 6).

Autorin:Katrin EilersGymnasium Großburgwedel E-Mail: [email protected]

Der kürzeste Weg – ein geometrisches Optimierungsproblem Fortsetzung

TI-Nachrichten 3

Abb. 2

Abb. 3

Abb. 4 Abb. 5

(NEW FILE).Ü [FILE],

[DRAW],r [TRFM]

],[MISC] s

[MEAS],

[DRAW] 1 :POINT

[DRAW] 2 :LINE

POINT ON OBJECT[DRAW] a

[DRAW] a3 :SEGMENT

[MEAS] wg )1 :D istance/Length

[MEAS] w

4 :Ca lcu late

Abb. 6

4 TI-Nachrichten

1. VorbemerkungenDer Begriff Spline hat seinen Ursprung im

englischen Schiffbau, wo eine dünne Latte (Spline) verwendetwurde, um die optimale Form gekrümmter Bauteile anhandbestimmter Fixpunkte zu bestimmen. Dieses Verfahren wurdespäter auch im Straßenbau verwendet, wo ein elastischesLineal durch Haltenasen fixiert wurde. Dadurch wurde esgezwungen, die Linie geringster Krümmung (Biegelinie)einzunehmen und stellte so die Trassierung der Straße dar.Das Verfahren konnte dann auch auf Biegeflächen hinerweitert werden.

Es geht also darum, durch eine bestimmte Anzahl vonPunkten eine Kurve zu legen, die möglichst glatt durch siehindurchgeht. Stützpolynome lösen diese Aufgabe nurbedingt, da oft große Krümmungen entstehen bzw. die Kurvezu Oszillationen neigt.

Stattdessen bestimmt man eine aus mehreren Polynomenzusammen gesetzte Kurve, die Splinefunktion. Geht mandavon aus, dass die Krümmung insgesamt möglichst kleinsein soll, so kann man mit außerschulischen Mitteln zeigen,dass die Teilpolynome höchstens vom Grade 3 sein müssen.Damit reduziert sich die ursprüngliche Aufgabe darauf, zujedem Intervall, das durch 2 benachbarte Stützstellen gebildetwird, ein solches Polynom zu bestimmen. Treffen zweiPolynome an einer Stützstelle aufeinander, so muss diezusammengesetzte Funktion dort stetig, differenzierbar undvon gleicher Krümmung sein. An den Randpunkten ist derSpline keinen Kräften unterworfen; die über die Randpunktehinaus verlaufenden Teile des Splines sind geradlinig undhaben die Krümmung 0. Solche Splines bezeichnet man auchals natürliche Splines.

Jedes Teilpolynom hat die Form

p(x)=a+bx+cx2+dx3.

Bei n+1 Stützstellen x0, …, xn muss man also 4nKoeffizienten bestimmen. Die Bedingungen dafür lauten

– bei einer inneren Stützstelle: pk(xk)=yk

pk+1(xk)=yk

pk̀(xk)=pk̀+1(xk)p`̀k(xk)=p`̀k+1(xk)

– und für die Randpunkte: p1(x0)=y0

p`̀1(x0)=0pn(x n)=yn

p`̀n(xn)=0

Ergebnis ist ein LGS mit 4n Zeilen und 4n+1 Spalten, das sichmit dem Voyage™ 200 bzw. dem TI-84 Plus lösen lässt, wenn

es eine gewisse Größe nicht überschreitet. Mit diesenLösungen lassen sich die Teilpolynome im o-Editoraufstellen und dann als stückweise definierte Funktionen zurSpline-Funktion verbinden.

Das Aufstellen der Bedingungen, die Übertragung in eineschnell unübersichtliche Matrix und dann die Übernahme inden o-Editor sind zeitraubende, fehleranfällige Vorgänge.Rundungen können sich bei der Übernahme in den o-Editorverhängnisvoll auswirken!

Da die Struktur der Spline-Berechnung jedoch festgelegt ist,kann man sie durch ein Programm ausführen lassen, das alsEingabe lediglich die Punktkoordinaten benötigt. Darausberechnet es die Spline-Funktion und stellt sie zusammen mitden Stützpunkten grafisch dar. Damit ist man in der Lage,verschiedene Punktverteilungen schnell untersuchen undbewerten zu können. Da spezifische Elemente des CAS vomVoyage™ 200 nicht benötigt werden, lässt sich das Programmauch auf einem TI-84 Plus ausführen.

2. Erläuterungen zu den Programmena. Voyage™ 200Das Programm heißt . Nach dem Start gibt mandie Anzahl der Punkte ein (maximal 5) und anschließend ihreKoordinaten, die in den Listen xp und yp gespeichertwerden; im Beispiel wurde A(2|2), B(4|1) und C(6|4)verwendet (vgl. Abb. 1 und Abb. 2). Bei mehr Punkten mussdas Programm erweitert werden bzw. mehrere Splinesmüssen aneinander gehängt werden.

Das Programm stellt dann aus den Bedingungen die Matrix auf. Sie wird anschließend in die Diagonalform

umgewandelt zur Lösungsmatrix . Dann werden dieTeilpolynome auf bis erzeugt. Zum Schlusswird das Grafikfenster eingestellt, und die Punkte undTeilpolynome werden geplottet (Abb. 2).

*Spline-Interpolation mit dem VoyageTM 200 unddem TI-84 PlusJürgen Enders

Abb. 1

CASGTR

„spline2()“.

„spl“ a „spl2“.

y11(x) y14(x)

TI-Nachrichten 5

Mit den 5 Punkten A(2|2), B(4|1), C(6|4), D(9|5) und E(10|3)benötigt der Voyage™ 200 für die Berechnung 30 Sekundenund für das Zeichnen 5 Minuten (Abb. 3).

b. TI-84 Plus / Silver EditionDas Programm für den TI-84 Plus heißt SPLINE2 und ist fastmit dem für den Voyage™ 200 identisch, abgesehen von einpaar Änderungen wegen der anderen Syntax. Die Matrizenheißen und , xp wird zu , yp zu und die Teil-polynome sind in gespeichert.

Zu Anfang wird man wieder aufgefordert, die Anzahl derPunkte einzugeben, anschließend ihre Koordinaten (Abb. 4).Das Ergebnis der Berechnung zeigt Abb. 5.

Mit denselben 5 Punkten wie oben benötigt der TI-84 PlusSilver Edition für die Berechnung lediglich 3 Sekunden undfür das Zeichnen nur 25 Sekunden (Abb. 6) – hier kann manalso im Minutenabstand neue Berechnungen durchführen!

Bei 5 Punkten könnte man auch ein Polynom vom Grade 4verwenden, das sich mit dem Regressionsmodul schnellerstellen lässt. Abb. 7 zeigt den Unterschied in denMethoden, denn das Polynom (geht über die Randpunktehinaus) schwingt im Vergleich zum Spline viel stärker durchund weist somit eine deutlich höhere Krümmung auf.

3. DownloadDie Programme können zusammen mit diesem Artikel ausdem Internet heruntergeladen werden: Folgen Sie dem LinkMaterialien auf der TI-Webseite.

Autor:Jürgen EndersE-Mail: [email protected]

Abb. 2

Abb. 3

Abb. 4 Abb. 5

Abb. 6 Abb. 7

[A]i d

[B],y1y1, …, y4

L1,espeichert.

L2

1. VorbemerkungenVorgestellt wird eine Unterrichtssequenz zur Herleitung

der Kreiskonstanten π (Zeitrahmen: ca. 6 Unterrichtsstunden).Angestrebt wird eine Vernetzung verschiedener Themen-gebiete der Mathematik: In der Jahrgangstufe 10 werden mitder Simulation von Zufallsexperimenten Grundideen derbeschreibenden und beurteilenden Statistik aufgegriffen.

Im weiteren Unterrichtszusammenhang werden verschiede-ne mathematische Methoden zur Herleitung der Einheits-kreisfläche betrachtet. Die Schülerinnen und Schüler sollendabei frühzeitig auf Grundaspekte der Differential- undIntergralrechnung mit Folgen, Grenzwerten und Riemann-summen vorbereitet werden.

1. Stunde: DatenaufnahmeExperimentelle Gruppenarbeit (4-5 Personen)Die Schülerinnen und Schüler meiner 10 Klasse wurden mitdem nachfolgenden Arbeitsauftrag auf den Schulhof unsererSchule und das umliegende Gelände entlassen. Dazu wurdenvon mir verschiedene „Messwerkzeuge“ verteilt: Bindfäden,Maßbänder, Zollstöcke, Fühlerblattlehren

AufgabeSuche auf dem Schulhof 10 verschiedene „kreisrunde”Körper, Pflanzen, Bauwerke, Materialien ... und notiere nachVermessen der Gegenstände möglichst viele Daten in einerTabelle (z.B. Querschnitt, Durchmesser, Radius, Umfang,Länge, Breite, Material, Gewicht, Fläche, ...).

*Monte Carlo – Methode einmal andersNorbert Frost

GTR

Spline-Interpolation mit dem VoyageTM 200 und dem TI-84 Plus Fortsetzung

6 TI-Nachrichten

Sind Messungen nicht möglich, können nach vorherigerDiskussion in der Gruppe auch Schätzwerte notiert werden.

Die Schülerinnen und Schüler hatten u.a. folgende Gegens-tände vermessen: Ein Eisenbahnsignal (in Originalgröße, mitgemessenem Kreisring), halbkugelförmige Betonpfosten(Parkplatzbegrenzung), Bäume, eine Schranke, kreisförmigeSitzflächen, sehr kleine Gegenstände (Zaunstäbe, Gitter,Metall- und Holzmaterialien). Ausgewählte Daten wurden ander Tafel zusammengestellt.

Die Hausaufgabe bestand darin, alle Daten zur weiterenNutzung im TI-84 Plus in Listen zu speichern und nachZusammenhängen zu suchen, um im Besonderen fehlendeWerte durch Schätzwerte zu ergänzen. Es wurden dazu Listenfür Radius, Durchmesser, Umfang, Gewicht, Fläche,Volumen, Materialbeschaffenheit erstellt.

2. Stunde: Grundidee des ZufallsversuchsIn der Hausaufgabenbesprechung nannten die Schülerinnenund Schüler Zusammenhänge der Daten und gabenSchätzwerte (sogar für das Volumen und das Gewicht desBetonpfostens) an.Ich zeichnete ein Quadrat (a = 2 LE) und einen einge-schlossenen Berührkreis (r = 1 LE) an die Tafel und fragtenach Möglichkeiten zur Bestimmung der Größe des Kreises.Die Schülerinnen und Schüler hatten mehrere Ideen, u. a.wurde das „Zerteilen“ des Kreises genannt, um diesen dannnun im Quadrat neu zu platzieren und die überschüssigeQuadratfläche zu berechnen. Der (obere) Schätzwert A < 4 FEwurde genannt; eine untere Schranke konnte nicht begründetangegeben werden. In jedem Fall wollten die Schülerinnenund Schüler den prozentualen Anteil der Kreisfläche an derQuadratfläche bestimmen.

Jetzt wurde ein von mir vorgegebener Versuch durchgeführt,Hintergründe wurden vom Lehrer zunächst nicht erläutert.Eine Schülerin bekam 10 Stück (angefeuchtete) Kreide in dieHand und sollte aus ca. 3 Metern Abstand an die Tafel werfenund dabei möglichst den Kreis treffen. Das Ergebnis wurde ander Tafel in einer Tabelle festgehalten; gezählt wurden nurTreffer innerhalb des Quadrats und innerhalb des Kreises, alleanderen blieben unberücksichtigt. In der folgenden Dis-kussion wurde schnell klar, dass man nun die Treffer und dieNieten auszählen könnte. Da zu wenige Daten zur Verfügungstanden wurde der Versuch mehrfach wiederholt.

Die Verhältnisse von Treffern im Kreis zu den Treffern imQuadrat wurden aufgestellt und als mögliche prozentualeNäherungswerte für die Kreisfläche benutzt.

Als Hausaufgabe wurde die Simulation des Zufallsexperi-mentes mithilfe von Reißzwecken aufgetragen: Suche auf dem Fußboden (z.B. Fliesen in der Küche) eineQuadratfläche von 1 m2 Größe und markiere den entspre-chenden Kreis innerhalb des Quadrates geeignet. Lasse auseiner Höhe von z.B. 1 m eine größere Menge von Reiß-zwecken auf die Fläche fallen und zähle diese dann ent-sprechend dem Versuch „Werfen von Kreide an die Tafel” aus. Bestimme das Verhältnis der im Kreis liegenden zur Ge-samtanzahl der im Quadrat liegenden Reißzwecken und zieheRückschlüsse auf die Größe der Kreisfläche.

3./4. Stunde: Simulation mit dem TI-84 PlusBeim Besprechen der Hausaufgabe stellte sich heraus, dasseinige Schülerinnen und Schüler die Simulation mit anderenGegenständen und interessantem Versuchsaufbaudurchgeführt hatten. Schätzwerte wurden gemäß Aufgaben-stellung berechnet. Chris hatte mit Schrauben-Muttern aufeine Magnetwand geworfen; Laura hatte einen runden Tep-pich (r=0,5m) auf einen quadratischen gelegt und den Ver-such mit Reißzwecken durchgeführt. Andere Schüler hattenLinsen, Erbsen und andere Gegenstände für die Simulationbenutzt. Die Näherungswerte, die von den Schülerinnen undSchülern für die Kreisfläche bestimmt wurden, lagen bei 65 - 80% der Quadratfläche. Jedoch waren den meistenSchülerinnen und Schülern die Ergebnisse zu ungenau, derStichprobenumfang wurde als zu gering erachtet.

Das sehr zeitaufwändige Testverfahren sollte nun mit Hilfedes TI-84 verbessert werden. Die folgende Aufgabe diente zurEinführung einer rechnergestützten Simulation:Nutze den Zufallsgenerator des GTR und simuliere meh-rere Wurf-Versuche. Erläutere jeweils die Befehle, dieSyntax der Befehle sowie die Ergebnisse.

a) Menue ç <PRB> (Probability) Befehle 1 und 5

b) Zeichne mithilfe von 2 Listen ein Quadrat als Datenplot, beidem die Eckpunkte des Quadrates miteinander verbundenwerden: Menue yo [STAT PLOT].

Abb. 1 Abb. 2

Abb. 3 Abb. 4

Abb. 5 Abb. 6

<PRB> (

[STAT PLOT]

Monte Carlo – Methode einmal anders Fortsetzung

TI-Nachrichten 7

c) Zeichne zwei Halbkreise mit dem Radius r = 1 (Einheits-kreis) als Graphen von Funktionen (Eingabe im o-Editor).Löse dazu den Term x0 + y2 = 12 nach y auf. Erläutere dieZusammenhänge zwischen der geometrischen Konstruk-tion des Kreises, der Anwendung des Satzes von Pytha-goras und den Funktionsgleichungen. (Wiederholung ausKlasse 9)

d) Simuliere jetzt den Reißzweckenwurf im Quadrat bzw.Kreis mit zwei Listen und zeichne dazu den Datenplot. Hinweis: Der BefehrandInt(-100,100,100) liefert 100 ganzzahlige Zufallszahlen zwischen -100 und 100;nach Division durch 100 werden diese in das gewünschteIntervall [-1;1] projiziert. Führt man den Befehl zweimal ausund speichert die Daten in zwei Listen, so kann der„Kreidewurf“ im Koordinatensystem simuliert werden.

Die Aufgabenteile b) und c) wurden als Hausaufgabe gege-ben. Die Simulation wurde in der 4.Stunde gemeinsam mitden Schülerinnen und Schülern durchgeführt. Anschließendsetzte eine Diskussion über den Sinn der Durchführung unddas graphische Ergebnis ein. Vielen Schülern war die Stich-probe noch zu klein; es wurde aber auch eingesehen, dass dieAuswertung der Simulation von Hand bei längerer oderwiederholter Simulation sehr zeitaufwändig wird.

In der 5. Stunde sollte eine schnellere, wiederholte Ver-suchsdurchführung erprobt und eine verbesserte Daten-auswertung mit dem GTR einwickelt werden; vorbereitendwurde folgende Hausaufgabe gestellt: Lasse den Zufallsgenerator nun als interaktive Formel ablaufen. Wähle zuerst den Stichprobenumfang N und speichere dann die Daten in den Listen L1 und L2. Nun lässtsich die Stichprobengröße beliebig ändern; bei jeder Öffnungdes Statistik-Editors oder beim Aufruf der Grafik wird jedesMal eine neue Simulation durchgeführt und dargestellt.

5./6. Stunde: Auswertung der DatenAufgabe:Lege Bedingungen so fest, dass die Treffer innerhalb undaußerhalb des Kreises eindeutig zuzuordnen sind. Hinweis:Untersuche den Abstand der Treffer vom Kreismittelpunkt!

1. Möglichkeit: Sortiere die neu entstandene Liste ‚Abstand’absteigend und zähle die Anzahl der Treffer außerhalb desKreises aus: yÖ [LIST], <OPS> 2:SortD(Achtung: Der Befehl wird im Homebildschirm ausgeführt undüberschreibt die vorhandene Liste, daher ist es ratsam, dieUrliste zuerst zu kopieren und dann zu sortieren.

Die Länge der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck wurdeberechnet und der Zusammenhang zu den Trefferlistenhergestellt. Die neu definierte Liste ‚Abstand’ wurde sosortiert (Liste ‚Diagonale’), dass alle Längen größer als 1sofort erkennbar und abzählbar waren. Mit z.B. n=20 kannals Näherungswert für die Kreisfläche A0415/20·4 =3,0 FEgewonnen werden.

2. Möglichkeit: Stelle die Liste ‚Abstand’ so als Histogrammdar, dass die Treffer innerhalb und außerhalb des Kreisessofort in den zugehörigen Intervallen erkennbar sind.Hinweis: Die Liste ‚Diagonale’ wird als Histogramm geplot-tet, dabei sollte die folgende WINDOW-Einstellung verwen-det werden. Der Stichprobenumfang n ist jeweils zu berück-sichtigen.

Abb. 9 Abb. 10

Abb. 11 Abb. 12

Abb. 13 Abb. 14 (n=20)

Abb. 15 (n=50) Abb. 16 (n=100)Abb. 7 Abb. 8

randInt(-100 ,100 ,100)

[LIST], <OPS> 2:SortD(

Abb. 17 Abb. 18

Abb. 19 Abb. 20 (n=20)


8 TI-Nachrichten

Es ergeben sich entsprechend der Abbildungen folgendeNäherungswerte:

n=20: A0418/20·4=3,6n=100: A0475/100·4=3,0n=500: A04391/500·443,13

Ausblick: Das beschriebene Verfahren lässt sich auf beliebigeGraphen übertragen. Es wäre auch auf diesem Wege einEinstieg in die Integralrechnung denkbar, um Flächen unterKurven anzunähern.

Autor:Norbert FrostRatsgymnasium StadthagenE-Mail: [email protected]

Abb. 21 (n=100) Abb. 22 (n=200)

Die beiden hier vorgestellten Aufgaben sind insbeson-dere gedacht für Lehrer am Fachgymnasium Wirtschaft,

allerdings sind es auch sinnvolle Anwendungsaufgaben ananderen Gymnasien. Die Problemstellungen wurden ausgear-beitet für Fortbildungsveranstaltungen an Fachgymnasien.Klassische Methoden wie Gleichungslehre, Funktionsbe-stimmungen, Schnittpunkt-Untersuchungen, Ableitungenusw. können mit dem GTR durchgeführt werden.

Aufgabe 1Eine Firma will x Einheiten eines Produktes in einer Zeiteinheitherstellen. Bei einer Produktion von x Einheiten einer Wareentstehen die Kosten y in Geldeinheiten, die in nachfolgenderTabelle zusammengefasst sind:

Der Preis pro Einheit soll zunächst p=1100 betragen. Preisund Kosten sind in Geldeinheiten (GE) zu verstehen.

a) Ermittle eine geeignete Kostenfunktion 3. Grades, die dievorgegebenen Tabellenwerte annähert.

b) Stelle die Zusammenhänge graphisch dar und deute siefür die Firma in Abhängigkeit der Produkteinheiten x.

c) Bei Absatzschwierigkeiten soll der Preis pro Einheitgesenkt werden. Ermittle dazu denjenigen Mindestpreis,so dass für das Unternehmen keine Verluste entstehen.

Lösungshinweise:Zunächst werden grundlegende Begriffe zum Thema „Kosten,Umsatz und Gewinn“ aufgeführt:

Produktionsmenge: Je Zeiteinheit produzierte Einheiten x.Kosten: Man unterscheidet fixe Kosten wie z.B. Grund-stückskosten, Mieten, Zinsbelastungen, Wartungskosten für

Maschinen (usw.) und variable Kosten, die von der Pro-duktionsmenge abhängen, z.B. Rohstoffe, Lohnkosten,Steuern (usw.); Gesamtkostenfunktion: x→ Kosten(x)Umsatz: Gesamteinnahmen, Umsatzfunktion: x→ Umsatz(x)Gewinn: Gewinn(x) = Umsatz(x) - Kosten(x)

Bei der Ermittlung der Kostenfunktion sind 2 Methodendenkbar.

Methode A: Man wählt 4 geeignete Wertepaare aus undbestimmt die Funktionsgleichung durch Interpolation. ZurInterpolation werden nachfolgend die x-Werte 5, 10, 50, 60herangezogen, es handelt sich um die beiden Anfangs- unddie beiden Endwerte aus der Tabelle. Die Brauchbarkeit derLösung (Graph der Kostenfunktion monoton steigend) kannvon der Wahl der Stützstellen abhängen! Ansatz:

k(x) = ax3 + bx2 + cx + dk(5) = 34000

⇔125a + 25b + 5c + d = 34000k(10) = 36500

⇔1000a + 100b + 10c + d = 36500k(50) = 46000

⇔125000a + 2500b + 50c + d = 46000k(60) = 58000

⇔126000a + 3600b + 60c + d = 58000

125 25 5 1 340001000 100 10 1 36500

125000 2500 50 1 46000216000 3600 60 1 58000

Die zugehörige Matrix A wird in den Rechner eingegeben.Das Gleichungssystem wird mit dem Befehl gelöst und das Ergebnis als Matrix B gespeichert; als Lösungs-verfahren wird der GAUSS-JORDAN-Algorithmus ange-wendet.

*Anwendung des TI-84 Plus bei Problemstellungen aus der WirtschaftslehreGünter Heitmeyer

x 5 10 20 30 40 50 60

y 34000 36500 38000 40000 42800 46000 58000

⇒ =A

$$$$

''''

GTR

grref(


Die letzte Spalte der Lösungsmatrix B enthält die gesuchtenKoeffizienten a, b, c und d. Um die Ergebnisse nichtabschreiben zu müssen, können sie als Parameter A, B, C undD mittels ø-Taste gespeichert werden (Abb. 2/3):

Methode B: Man wählt als Lösungsmethode die kubischeRegression. Dabei werden alle Tabellenpaare benutzt.Zunächst sind die Daten als Listen einzugeben: Menü Ö

(vgl. Abb. 6).

Mit Ö~ wird das Regressionsmoduldes TI 84 Plus aufgerufen. Mit der Angabe von Y2 ê~

wird die ermittelten Funktion direktim#-Editor abgespeichert und mit Graphikfenster gezeichnet.

Vergleich der beiden Methoden: Bei der Interpolation(Methode A) werden die ausgewählten Wertepaare exakterreicht, die Annäherung an die anderen Wertepaare kann gutoder schlecht sein und ist nicht zu beeinflussen. Bei derRegression (Methode B) werden alle Werte nach der Methodeder kleinsten Fehlerquadrate berücksichtigt. Eine exakteÜbereinstimmung ist an keiner Stelle zu erwarten.[zu b)] Um Gewinne zu erzielen, muss der Umsatz größer seinals die Kosten, d.h. der Bereich zwischen den beidenSchnittpunkten der Umsatz- und Kostenfunktion ist gesucht.Dabei ist die Umsatzfunktion gegeben durch

Umsatz(x) = 1100 · x.

Nachfolgend wird mit der durch Regression ermitteltenKostenfunktion weitergearbeitet. Die Gewinnzone wird mitProduktionsmengen 37,346... < x < 70,973... erreicht:

Im Unterricht könnten an dieser Stelle noch weiterecharakteristische Funktionen betrachtet werden: Durch

ist die Stückkostenfunktion gegeben. Die Ableitung derKostenfunktion wird als Grenzkostenfunktion bezeichnet.

Die Ableitung der Kostenfunktion wird durchnumerisch bestimmt (vgl. Abb.14 / 15). Aus der Betrachtungder Graphen kann noch eine Vermutung entstehen:

Der Graph der Grenzkostenfunktion geht durch die Punktemit waagerechter Tangente der zugehörigen Stückkosten-funktion. Beweis:

Die Grenzkostenfunktion stimmt also im Falle waagerechterTangenten beim Graphen von st mit der Stückkostenfunktionüberein. Im oben gewählten Beispiel ist es der Tiefpunkt derStückkostenfunktion.

TI-Nachrichten 9

Abb. 2 Abb. 3

Abb. 4 Abb. 5

Abb. 6 Abb. 7

Abb. 8 Abb. 9

Abb. 10 Abb. 11

Abb. 1

1:Edit...

[CALC] 6:CubicReg

[Y-g

VARS] 1:Function…) w

Abb. 12 Abb. 13

( )( )=st x

Kosten xx

( ) `=gr x Kosten (( )x

Abb. 14 Abb. 15

nDriv()

( )`(̀ ) ( )

st xx Kosten x Kosten x

x= ⇔ ⋅ − =0 0

2

x K⇔ ⋅ oosten x Kosten x(̀ ) ( )− = 0

Kosten xKosten x

(̀ )( )⇔ =

xx

Anwendung des TI-84 Plus bei Problemstellungen aus der Wirtschaftslehre Fortsetzung

10 TI-Nachrichten

[zu c)] Mit dem Befehl aus dem y

è wird näherungsweise eine Tangente vom Nullpunkt anden Graphen der Regressionsfunktion gelegt, d.h. näherungs-weise wird diejenige Umsatzfunktion bestimmt, mit derweder Gewinn noch Verlust verbunden ist. Die Steigungdieser Geraden liefert den Mindestpreis näherungsweise.

Der hier ermittelte Mindestpreis liegt bei etwa 940Geldeinheiten. Daraus kann man folgende Begründung fürden Minimalpreis erkennen: Die Steigung der Umsatzfunktionist durch

gegeben, entspricht also der Stückkostenfunktion. Für denMindestpreis muss diese Steigung am kleinsten sein, gesuchtist also das Minimum der Stückkostenfunktion:

Auf der Grundlage von Methode B ergibt sich nach Abb. 19als graphisch-numerisches Ergebnis 935,62 GE.

Abb. 21 zeigt das Ergebnis nach Methode A, der Unterschiedim Vergleich zu Methode B liegt bei etwa 2%! (vgl. Abb.21)

Aufgabe 2Ein Unternehmen will die Mengeneinheit einer Ware gemäßder Funktionsvorschrift

anbieten. Dabei sei x die zu produzierende Menge. DieMenge x gilt es abhängig von der Nachfrage festzulegen.Eine Marktuntersuchung der Nachfrage ergab folgendesErgebnis:

Stelle die Marktsituation graphisch dar und bestimme denMarktpreis. Untersuche die Änderung des Marktpreises,wenn der Staat 15% Steuern pro Mengeneinheit erhebt!Vergleiche mit einer Subvention von 15%!

Lösungshinweise:Grundlegende Begriffe zum Thema „Angebot, Nachfrage,Marktpreis“:Angebot: Preis in Geldeinheiten einer Ware pro Mengen-einheit, wenn x Mengeneinheiten produziert werden.Nachfrage: Preis in Geldeinheiten einer Ware pro Mengen-einheit, den die Abnehmer für x Mengeneinheiten auf demMarkt zu zahlen bereit sind.Marktpreis: Gleichgewichtspreis pro Mengeneinheit ausAngebot und Nachfrage

Die Funktion der Nachfrage soll aus den Daten entwickeltwerden. Dazu werden die Wertepaare in zwei Listengespeichert:

Die Nachfragefunktion wird durch eine Parabel angenähert:

Abb. 16 Abb. 17

Abb. 18 Abb. 19

Abb. 20 Abb. 21

2 8 10 12

99 83,8 75 64,3

NachfrageMenge in MEPreis pro MEin GE

16 18 19 20

35,9 19,2 9,7 0

NachfrageMenge in MEPreis pro MEin GE

Abb. 22 Abb. 23

Abb. 24 Abb. 25

Abb. 26 Abb. 27

Line() [DRAW]-Menü

m m xkosten x

x= =( )

( )

f x xA = +( ) 8 10


TI-Nachrichten 11

Aus Abbildung 29 ist abzulesen: Marktpreis 41,32 GE/ME; Produktionsmenge: 15,33 ME,Erlös: E 41,32 · 15,33 633,44 (in GE).

Bei 15% Steuern ergibt sich eine neue Angebotsfunktion:

fA2 = 1.15* fA

Erlös: E2 46,67 · 14,61 681,85 E2 (in GE)Steuer: St (fA2 (14,61) - fA (14,61)) · 14,61 88,93 (in GE)

Durch die Steuer verringert sich die Nachfrage und damitauch der Erlös ohne Steuern: 592,92 GE.

Bei Subventionen ergibt sich das umgekehrte Bild, dieNachfrage erhöht sich: fA3 = 0.85* fA

Der Erlös mit Subvention beträgt 674,26 GE, vgl. Abb. 35.

Autor:Günter HeitmeyerParkstraße 6D-31655 StadthagenE-Mail: [email protected]

Abb. 30 Abb. 31

Abb. 32 Abb. 33

Abb. 34 Abb. 35

Abb. 28 Abb. 29

*Warum brennt eine Glühlampe häufig beimEinschalten durch?Dr. Karl Heinz Keunecke

VorüberlegungenBekanntlich ist der Metallfaden der Glühlampe ein

Kaltleiter, so dass der Strom beim Einschalten wesentlichgrößer ist als im Dauerbetrieb. Das bedeutet, dass sich dieGlühwendel beim Einschalten schnell erhitzt und zu glühenbeginnt. In dem heißen Zustand ist ihr Widerstand erheblichgrößer und der Strom sinkt auf den stationären Wert ab, derauf der Lampe steht. Wenn allerdings durch längeren Einsatzdie Glühwendel – z.B. durch Verdampfen – an einer Stelleetwas dünner geworden ist, so erhitzt sich diese Stelle beimEinschalten schneller als der restliche Teil des Drahtes. DieErwärmung ist dort auch stärker als sonst im Normalbetrieb,weil der Strom weit über dem Nennwert liegt. Somit ist dieWahrscheinlichkeit, dass die Wendel an der dünnsten Stelleschmilzt, recht hoch. Es kann sogar beim Durchbrennen einLichtbogen auftreten. In dem Fall springt dann sogar derSicherungsautomat an, weil der Strom zu groß wird.

Schülerinnen und Schüler müssen das Ohmsche Gesetzbereits behandelt haben, wenn sie die beschriebene Aufgabebearbeiten sollen. Sie werden bei ihren Versuchen erkennen,

dass bei der Glühwendel der Quotient aus Spannung undStrom keineswegs konstant ist, sondern von der angelegtenSpannung abhängt. Es muss also eine neue Beschreibung derBeziehung zwischen Stromstärke und Spannung gefundenwerden.

Das beschriebene Durchbrennen einer Lampe bei normalerBetriebsspannung kann im Unterricht nicht simuliert werden,wohl aber das „normale“ Einschaltverhalten. Daraus kanndann eine Antwort auf die gestellte Frage hergeleitet werden.

Die Messungen werden mit dem Datenerfassungsgerät fürHandheldcomputer CBL 2™ durchgeführt, die Aufzeichnungund die Auswertung erfolgt mit dem TaschencomputerVoyage™ 200.

Durchführung der MessungenEs wird in den Stromkreis mit der Glühbirne (4V/0,3A) eineStromsonde eingefügt und gleichzeitig die Spannunggemessen. Beide Sonden werden an das CBL 2™ ange-schlossen, wie in Abb. 1 zu sehen ist. Die Spannung wird aufnur ca. 1V eingestellt, um den Messbereich der Stromsonde

CASCBL


12 TI-Nachrichten

von 600 mV nicht zu überschreiten. Über den Taschen-computer Voyage™ 200 wird mit der Mess- und Auswerte-software das Messintervall auf 0,005 s und die Anzahl der Messungen auf 200 eingestellt. Die Messzeitbeträgt somit 1 s.

Es wird anschließend die Messung gestartet und kurz danachmit dem Schalter der Strom eingeschaltet.

Auswertung und Interpretationder MessdatenDer zeitliche Verlauf der Stromstärke ist in der Abb.2 grafischdargestellt. Hier ist allerdings der Zeitbereich auf deninteressanten Bereich von 0 s bis 0,3 s beschränkt worden.Zu Beginn springt die Stromstärke auf einen Wert von etwa0,5 A, um dann nach 0,3 s auf einen Wert von 0,16 sabzufallen. Daraus können Schülerinnen und Schülererkennen, dass die Einschaltzeit die gefährlichste Zeit für dieLampe ist, weil der Strom (in diesem Fall) 3,2 mal so hochist wie nachher, wenn die Lampe brennt. DieserEinschaltvorgang ist nach etwa 0,3 s beendet, dann brenntdie Lampe unverändert gleich hell.

Der Grund für dieses Verhalten liegt auf der Hand. DieGlühwendel hat im kalten Zustand einen wesentlich kleinerenelektrischen Widerstand als im heißen.

Es liegt auf der Hand, diesen Zusammenhang zwischenStrom und Spannung genauer zu untersuchen. Dazu ist es –im Gegensatz zu der bisherigen Untersuchung – erforderlich,

die Spannung zu variieren. Wenn dann nach kurzer Zeit derStrom konstant ist, so ist eine Einzelmessung vorzunehmen.Für diese Messart wird im Setup-Menue statt Time graph derModus Selected events eingegestellt. Die Spannung wird inSchritten von 0 V auf 5 V geregelt. Bei dieser Einstellungwerden in der Anzeige die aktuellen Werte von U und I aufdem Display angezeigt, so dass man das gewünschteWertepaar mit der Enter-Taste speichern kann. Das Ergebnisder Messung ist in Abb. 3 dargestellt (CH3 vs CH2).

Die Stromstärke steigt bis 0,2 V sehr stark an. Dann setzt einerstes Glimmen ein und die Stromänderung wird deutlichgeringer.

Es ist Schülerinnen und Schülern bekannt, dass beiohmschen Widerständen das Strom-Spannungsdiagrammeine Gerade ist, deren Steigung die Leitfähigkeit desWiderstandes angibt. In Abb. 3 ändert sich die Steigungständig. Deshalb hat die Leitfähigkeit für jede Spannung Ueinen anderen Wert. Sie kann aber mit Hilfe der Messungendurch die Intervallsteigungen angenähert werden. DieseBerechnung ist in der Tabelle in Abb. 4 erfolgt.

data-mate()

Abb. 1: Messung des Einschaltstromes durch eine Glühbirne.

Abb. 2: Einschaltstrom einer Glühlampe

Abb. 3: Stromstärke in Abhängigkeit von der angelegten Spannung.

Abb. 4: Berechnung der Widerstände pro Intervall (1)

Abb. 5: Berechnung der Widerstände pro Intervall (2)

Warum brennt eine Glühlampe häufig beim Einschalten durch? Fortsetzung

TI-Nachrichten 13

Da im Allgemeinen der elektrische Widerstand für dieLernenden anschaulicher ist als die Leitfähigkeit wird inSpalte c8 der Widerstand und nicht die Leitfähigkeitberechnet. Die Messwerte für den Strom sind in der Spalte c2(nicht sichtbar) gespeichert. In c4 werden diese Werte eineZeile nach unten verschoben mit shift(c2) (Deshalb gibt eskeinen Wert in Zeile 1). Dann werden mit c4-c2 dieStromänderungen in den Intervallen in c5 berechnet. Ebensosind die Spannungsänderungen in den Intervallen in c7bestimmt worden. Mit c7/c5 wird in c8 der Widerstand fürdas jeweilige Intervall berechnet. Aus den Abbildungen 4 und5 wird abgelesen, dass der Widerstand von 1,4 " bis auf fast19 " ansteigt. In Abb. 6 ist schließlich der Widerstand derLampe als Funktion der angelegten Spannung dargestellt.Anhand der Abhängigkeit des Widerstandes einesMetalldrahtes von der Spannung und damit von derTemperatur wird deutlich, dass das verwendete Metall einsogenannter Kaltleiter ist.

ZusammenfassungBereits mit Abb. 1 wird qualitativ nachgewiesen, dass eineGlühbirne beim Einschalten besonders gefährdet ist. Damitkönnte die Untersuchung bereits beendet werden.

Die nachfolgenden qualitativen Untersuchungen führenzusätzlich zu einer allgemeineren Definition des elektrischenWiderstandes. Außerdem haben sich Schülerinnen undSchüler erarbeitet, wie Kennlinien von elektrischenBauelementen aufgenommen werden können. Über dieUrsachen für das Durchbrennen der Glühwendel einer Lampegeben die Versuche keinen Aufschluss. Hierfür müssenandere Quellen herangezogen werden.

Autor:Dr. Karl-Heinz Keunecke E-Mail: [email protected]

Abb. 6: Widerstand der Glühlampe in Abhängigkeit von der Spannung.

*Aliasing beim Graphik-TaschenrechnerUlrich Köpf, Dan Curticapean

Aliasing entsteht bei der Digitalisierunganaloger Signale, wenn die Abtastrate nicht

mindestens doppelt so groß ist wie die höchste Frequenzim Spektrum des Signals. Aliasing täuscht dann dieExistenz niederfrequenter Anteile vor. Wenn diese nichtals Artefakte erkannt werden, verursachen sie in derdigitalen Messtechnik fatale Messfehler.

Der Beitrag zeigt, dass auch bei Graphik-Taschenrechnernmit störendem Aliasing zu rechnen ist. Andererseitskönnen Schüler und Studenten mit solchen RechnernUrsachen und Auswirkungen von Aliasing „experi-mentell“ erforschen und so zum Beispiel mit demgrundlegenden Nyquist-Theorem vertraut werden. DieAuswirkungen des Aliasing-Effekts werden am Beispieldes Texas Instruments Rechners TI-89 Titanium behandelt.

Darstellung periodischer FunktionenEs ist schon toll, wie leicht man Funktionen mit einem TI-89 Titanium graphisch darstellen kann und sich so lästigeKurvendiskussionen erspart. Um etwa die Periodenlänge peiner Sinusfunktion zu ermitteln, muss man nichts von

trigonometrischen Funktionen verstehen und es genügenoberflächliche Kenntnisse ihrer Eigenschaften: man gibteinfach die Funktionsgleichung ein, betätigt dann die

-Taste und spielt solange an den Einheiten derKoordinatenachsen herum, bis eine ganze Zahl von Periodenden Bildschirm füllt, oder man ermittelt die Nulldurchgängemit dem Cursor.

gibt[WINDOW]-T

Abb. 1a

CASCBL

Warum brennt eine Glühlampe häufig beim Einschalten durch? Fortsetzung

14 TI-Nachrichten

Aber wie Abbildung 1 für drei ganz einfache Funktionen zeigt,ist selbst hier Vorsicht geboten! Dass der Graph die Funktion

y1(x) = sin(2@ x) (1)

mit p = 1 darstellt1 ist klar, aber wo sind die beiden anderenFunktionsgraphen? Multiplikation von y2(x) mit 0,7 undAddition einer Konstanten c mit |c| < 1 zu y3(x) bringenKlarheit: die Graphen y1(x) und y2(x) sind vollkommendeckungsgleich und der Graph von y3(x) fällt mit der x-Achse zusammen.

Ursache ist die Rasterung des Bildschirms des TI-89Rechners, der laut Handbuch aus 159 x 77 Bildpunkten(Pixeln) besteht 2 und folglich Funktionswerte einer stetigen,analogen Funktion nur für 159 diskrete Punkte der x-Achsedarstellen kann. Die (N + 1) Pixel sind in x-Richtung von Nullbis N = 158 nummeriert und folgen im Abstand Qx = (xmax– xmin)/N aufeinander; für die Mitten der Bildpunkte gilt x0= xmin, x158 = xmax und allgemein xn = xmin + n·Qx. ImFenster von Abbildung 1 mit xmin = 0, xmax = 1 und xn =

n/N = n/158 ist auf dem 63x39 mm2 großen Bildschirmxn/mm = n*55/158 = 0.35*n = xn.3. Folglich verschwindet

y3(x) = sin(316 @·xn) = sin(316@ (n/158)) = sin(2@ n) = 0

an allen Abtastpunkten. Dies gilt auch für die Funktionen y(x)= sin(m·N·2@·x) mit m = 0, ±1, ±2, ±3,... . Es sind fastunendlich viele Funktionen, da beim TI-89 Rundungsfehlererst dann sichtbar werden, wenn sich |m| der Billion nähert.

Etwas komplizierter ist die Sache für y2(x) = sin(999*xn).Zufällig ist jedoch mit ausreichender Genauigkeit 999 2@159( 999,026), sodass an allen Abtastpunkten n = 0,...,158

y2(xn) = sin((N+1) 2@ n/N)= sin(2@n +2@n/N) = sin(2@n/158) = y1

ist, und die beiden Graphen tatsächlich zusammenfallen!Auch hier ändern sich die gerasterten Graphen nicht, wennman Funktionen y(xn) = sin ((mN+1)2@ n/N) mit m = 0, ±1,±2, ±3,... betrachtet; y5 in Abbildung 2 ist ein Beispiel. Inallen Fällen liegen zwischen aufeinanderfolgenden Raster-punkten m ganze Perioden.

Interessant sind auch die Funktionen

y(xn) = sin((mN+k)2@ n/N)

mit nicht zu großem |k|, etwa 0 < |k| < 8. Wegen

sin((mN+k)2@ n/N) = sin(k2@ n/N) = sgn(k) sin(|k|2@ n/N)

ist bei ihnen die Periodenlänge gegenüber y2(xn) um denFaktor |k| verkürzt und |k| schöne Sinusperioden füllen denBildschirm, wenn wieder xmin = 0 und xmax = 1 gewähltwurde. Da der Sinus eine ungerade Funktion ist, ändert einnegatives k zusätzlich das Vorzeichen, wie das Beispiel von y6in Abbildung 2 zeigt.

Zusammenfassend kann man feststellen, dass eineSinusfunktion

y(x) = sin(2@fx + a) = sin(2@ (mN+k) x + a)bei der WINDOW- Einstellung xmin = 0 und xmax = 1,die einer Abtast-Frequenz N entspricht, mit tiefererFrequenz f* und größerer Periodenlänge p*

f* = |k/(mN+k)| . f = |k|p* = |(mN+k)/k| . p = 1/|k| (2)

verfälscht auf dem Bildschirm erscheint.

Mit dem TI-89 lassen sich nicht nur die vorprogrammiertentrigonometrischen Funktionen, sondern auch anderetechnisch wichtige periodische Funktionen darstellen. AlsBeispiel seien

y7(x) = x – floor(x), (3a)y8(x) = (-1)floor(2x)(2x – floor(2x)) und (3b)y9(x) = ceiling(x) – floor(x+ 0.25) (3c)

genannt. Es handelt sich dabei um eine „gewöhnliche“ undum eine „alternierende“ Sägezahnfunktion, sowie eine

Abb. 1c

Abb. 1b

Abb. 2: Funktionsgraphen der drei Sinusfunktionen y4(x) = sin(2@x), y5(x) = 0.7*sin((-2*158 + 1)2@x) und y6(x) = 0.4*sin((3·158–2)2@x) in dem durch 0 < x <1 und -1.1 < y < 1.1 definierten Fenster

Aliasing beim Graphik-Taschenrechner Fortsetzung

TI-Nachrichten 15

Rechteckfunktion mit dem Tastverhältnis 3:1. Sie haben allep = 1 und (3b) ist in Abbildung 3 dargestellt. Man erkennt,dass Gleichung (2) allgemein für periodische Funktionen gilt.Und selbstverständlich bekommt man diese Graphennäherungsweise auch durch Eingabe der ersten Glieder ihrerFourier-Reihen.

Experimente zum Nyquist-TheoremUm kontinuierliche, analoge Signale (Funktionen) auf einemComputer-Bildschirm darzustellen, oder allgemein, um siedigital zu verarbeiten, müssen sie in einem vorgegebenenFenster digitalisiert oder abgetastet werden. Im Folgendensollen periodische Funktionen betrachtet werden, wobeiimmer eine ganze Zahl von Perioden das Fenster mit xmin =0 und xmax = 1 füllt.

Bei hohen Abtastraten folgen die abgetasteten Funktions-werte so dicht aufeinander, dass der Betrachter keinenUnterschied zum kontinuierlichen Signal sieht, zumal wennTeile von Geraden oder Splines die Punkte verbinden. Ganzanders sieht es aus, wenn auf eine Periode nur wenigeMesspunkte entfallen, oder wenn das Signal zusätzlich hoheFrequenzanteile enthält. Das Nyquist-Theorem gibt dann eineuntere Grenze für die Abtastrate an, bei der wenigstens diegemessenen Frequenzen richtig sind und die Signalform nocheine gewisse Ähnlichkeit mit der ursprünglichen Signalformzeigt. Es fordert, dass die Abtastrate (Abtastfrequenz)mindestens doppelt so groß sein muss wie der höchste imSignal enthaltene Frequenzanteil, der noch nachgewiesenwerden soll.

Leider sagt das Nyquist –Theorem nichts über den Grad derÄhnlichkeit zwischen der ursprünglich vorliegenden zumessenden Signalform und der auf dem Bildschirmerscheinenden Punktfolge. Beim „Experimentieren“ mit demTI-89-Rechner bekommt der Student jedoch ein Gefühl für dieAuswirkungen des Abtastens und er kann auch ohnebesondere Mathematikkenntnisse verfolgen, wie es beimVerletzen der Nyquist-Bedingung zum Aliasing kommt.

Da beim Abtasten eine Folge von Funktionswerten auf denBildschirm gebracht wird, empfiehlt es sich, den TI-89 nichtwie bisher in der Betriebsart , sondern mit zu betreiben. An die Stelle der Funktion vonGleichung (1) tritt dann die Zahlenfolge

u1 = sin(2@ n/N),

bei der für N = 158 und nmin = 0 ≤ n ≤ nmax=158 wiedereine Periode den Bildschirm füllt. In dieser Betriebsart kannman die Abtastrate so verändern, dass jede Periode an

2q Punkten abgetastet wird, sodass sich auf einem PCeinfache Fast-Fourier-Transformationen durchführen lassen,die das Spektrum der abgetasteten Signale liefern. Da derPunkt mit nmax schon zur nächsten Periode gehört, musssomit N = nmax – nmin = 2q sein.

Es soll nun untersucht werden, wie die Kurvenform vonSinusfunktionen

(4)

mit der Frequenz f beim Digitalisieren verfälscht wird undwie es dabei zum Aliasing kommt. Dabei wird man bei vorgegebener Zahl von Abtastpunkten (etwa N = nmax =27 = 128) und gleichbleibender Fenstergröße mit f =1beginnen und eine Sinusperiode auf dem Bildschirmdarstellen; dann wird schrittweise die Frequenz erhöht (f = 2,3,...), sodass f Sinusperioden den Bildschirm füllen undauf jede Periode nur noch N/f Abtastpunkte entfallen. DieMesspunkte können beim TI-89 dabei einzeln durch dickeQuadrate oder kleine Pixelpunkte dar-gestellt werden, die in der Einstellung durch dünneund bei durch fette Geraden verbunden werden.

Was passiert nun bei zunehmender Frequenz? Zu Beginn beif = 1 und auch noch bei f = 2 folgen die dicken, quadrati-schen Abtastpunkte dicht aufeinander und bilden einedurchgehende fette Sinuskurve. Für 3 ≤ f ≤ 5 sind dieRasterpunkte deutlich getrennt und berühren sich nur in derUmgebung der Scheitel (Abb. 4a).

Trotzdem kann der Betrachter die einzelnen Sinusperiodennoch deutlich auseinander halten und zählen. Beizunehmender Frequenz wird das aber immer schwieriger undin Abbildung 4b wird kaum jemand die tatsächlich imBildschirmfenster enthaltenen 19 Perioden abzählen können,eher vielleicht mehrere Gruppen von Rasterpunkten„erkennen“, die auf einer Sinuskurve zu liegen scheinen,deren Periodenlänge etwa dem anderthalbfachen der

Abb. 3

[MODE] 1:FUNCTION, 4:SEQUENCE

uf

Nn= ⋅ ⋅

$

'sin

2π

(3:Square) (2:Dot) p ((1:Line)

(4:Thick)

Abb. 4a (f=4)

Abb. 4b (f=19)


16 TI-Nachrichten

Bildschirmbreite entspricht. In solchen Fällen ist es sinnvoll,mit zusätzlich die Verbindungslinien darzustellen (Abb. 4c), oder auf die Rasterpunkte vollends ganz zuverzichten. Bei noch höheren Frequenzen, zum Beispiel bei f= 54 hilft das aber auch nicht weiter: mit einer Sinuskurve hatdie digitalisierte Funktion keinerlei Ähnlichkeit. Hier helfenaber die Taste oder eine andere Wahl desBildschirmfensters.

Indem man weniger Abtastpunkte auf die volleBildschirmbreite verteilt (in Abbildung 4d etwa mit 0 ≤ n ≤ 16die ersten 17) und durch Geradenstücke verbindet, bekommtman zwar keinen schönen Sinus aber immerhin die richtigeAnzahl Maxima und die richtige Frequenz. Unerwartetesgeschieht für 60 f < 64, wenn sich die Frequenz N/2 nähert(Abb. 4e mit f = 62). Auch hier hilft Zoomen weiter, aber es istnicht verwunderlich, dass keine Aussagen über dieKurvenform möglich sind, wenn für eine Periode nur zweiAbtastungen zur Verfügung stehen. Dass schließlich für f =N/2 = 64 bei einer Sinusfunktion alle Abtastwert auf der x-Achse liegen, ist nach den Erfahrungen von Abschnitt 1 nichtverwunderlich und leicht zu erklären.

Nun ist noch der Fall f > 64 zu untersuchen, in dem dieNyquist-Bedingung verletzt ist. Dass die N Rasterpunkte diemindestens erforderlichen f Maxima und die f Minima einerperiodischen Funktion der Frequenz f nicht wiedergebenkönnen, versteht sich von selbst. Interessant ist aber, dassman beispielsweise in Abbildung 4f für f = 109 bis auf dasVorzeichen exakt dieselbe digitalisierte Kurve bekommt wieoben für f = 19, also eine Funktion mit der wesentlich tieferenFrequenz f* = 19. Entsprechend erhält man für f = 127 wiederf* = 1 und bis auf das Vorzeichen den Graphen von Abb. 1).

Ohne exakte mathematische Ableitung „beweist“ man so mitdem TI-89, dass digitalisierte Sinusfunktionen im Frequenz-bereich N/2 < f < N auf dem Bildschirm immer mit derfalschen Frequenz

f* = N – f (5)

so dargestellt werden, als wäre ihr Funktionsgraph an derGeraden xn = N gespiegelt worden. Entsprechend Gleichung(2) gilt auch hier f* = mN – f und f* = mN + f, wenn mandas k von Abschnitt 1 durch f ersetzt. Wie sich dies auf diedurch Fourier-Transformationen gewonnenen Spektrenauswirkt, zeigt Abbildung 5 am Beispiel der beidengespiegelten Frequenzen f1 = 19 und f2 = 27- f1 = 109.

Außerdem lässt sich Gl.(5) auch als

f* - N/2 = N/2 - f (6)

schreiben, mit noch einem Paar von „Spiegelfrequenzen“.Und wegen (6) sieht dann die Einhüllende von Abbildung 4efür die Frequenz f = 66 genau gleich aus.

Abb. 4c (f=19)

Abb. 4d (f=54)

Abb. 4e (f=62)

Abb. 4f (f=109)

1:Line

F2:Zoom

Abb. 5: Mit der schnellen Fouriertransformation (MathCad FFT)berechnete Amplitudenspektren. Die beiden Sinusfunktionen mit den Frequenzen 19 und 109 liefern identische Spektren!


TI-Nachrichten 17

Dass dies allgemein für periodische Funktionen gilt, kannman mit dem TI-89 leicht an den Funktionen (3a-c)„experimentell“ überprüfen. Es sei noch vermerkt, dass sich die hier beschriebenen„Experimente“ mit jedem PC durchführen lassen. BeimModellbildungssystem MOEBIUS4 bringt zum Beispiel dieeinfache Programmzeile

x=x+dx; y1=sin(8*arctan(1)*x);y2=sin(8*arctan(1)*129*x)

mit den Startwerten x=0 und dx=0,0078125(=1/128) nach128 Wiederholungen zwei deckungsgleiche Sinusfunktionenmit p = 1 auf den Bildschirm.

Eine Bemerkung zum Einstein Jahr 2005Im Einstein-Jahr 2005 bekam man bisweilen ein EinsteinPorträt zu sehen, das so grob gerastert war, dass man dengroßen Physiker nur erkennt, wenn man das Bild aus einerEntfernung von einigen Metern betrachtet. Ähnliches kannman beobachten, wenn man versucht, einen grob gerastertenFunktionsgraphen zu erkennen, beispielsweise den vonAbbildung 6a.

Auf den ersten Blick wird man kaum ausmachen, worum essich dabei handelt. Erst aus größerem Abstand und vielleichtmit Hilfe eines – leicht defokusierten (?) – Opernglases, wirdman den Graphen „sehen“. Einfacher ist es, das Bild um diex-Achse zu drehen und aus normaler Sehweite streifend zubetrachten. Dadurch wird das Bild in y-Richtung gestauchtund das Muster sichtbar. Das kann man freilich einfacherhaben, indem man im Fenster ymax vergrößert und dadurchdas Muster in y-Richtung verkleinert auf dem Bildschirmdarstellt (Abb. 6b).

Vielleicht lässt sich mit solchen Mustern sogar unsereFähigkeiten der Mustererkennung untersuchen und unserTaschenrechner in der Biologie oder der Physiologieverwenden.

Autoren:Prof. Dr. Ulrich Köpf, Dr. Dan CurticapeanHochschule für Technik, Wirtschaft und Medien, Offenburg.E-Mail: [email protected]

1 Funktionen y1(x), y1,..., Begrenzungen des Bildschirms xmin, xmax

und alle anderen Größen werden im Folgenden wie beim TI-

Rechner im Gegensatz zur DIN-Vorschrift nicht kursiv geschrieben.

2 Man kann leicht aus den auf dem Bildschirm erscheinenden

Cursorkoordinaten (xc; yc) entnehmen, dass der Cursor mit jedem

„Klicken“ horizontal 1/158 (vertikal 1/76) der Fensterbreite(höhe)

zurücklegt, und dass bei horizontal (vertikal) geteiltem Bildschirm

für den Funktionsgraphen 155 x 35 (77 x 73) Pixel zur Verfügung

stehen. Der Bildschirm ist beim TI-84 Plus 96 Pixel breit, beim TI-89

Titanium 160 Pixel breit und beim VoyageTM 200 sind es 240 Pixel

3 In den Naturwissenschaften und in der Technik arbeitet man

hauptsächlich mit physikalischen Größen, in der Mathematik mit

Zahlen. Auch wenn der TI-89 mit physikalischen Größen rechnen

kann, wird man beim praktischen Rechnen den mathematischen

Variablen x, y, ... Zahlenwerte physikalischer Größen zuordnen und

zum Beispiel den Zahlenwert des Abstands des Punktes i = 10 der

x-Achse vom Koordinatenursprung x10 = 3.5 mm anstatt {x10} =

3,5 ohne Klammern als x10 = 3.5 schreiben

4 MOEBIUS (© Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2001) steht für

„Modelle einfach bilden und simulieren“.

Abb. 6a

Abb. 6b

*Bremsweg und BMI Henning Körner

VorbemerkungEin CAS kann Terme algebraisch umformen,

Gleichungen analytisch lösen und Integrale bestimmen. Diesist weithin bekannt und zeigt die Bedeutung als Hilfsmittel fürRechnungen aller Art. Jenseits dieser Fähigkeiten kann einsolches System aber auch Begriffsbildungen erleichtern,präzisieren und erweitern.

Es wird eine Unterrichtssequenz für Klasse 7 (G8) vorgestellt,in der der Übergang von der Zahl zur Variablen zusammen mit

einer Sensibilisierung und ersten Ausschärfung funktionalenDenkens im Mittelpunkt stehen. Die Einheit ist im Rahmendes Schulversuchs CALiMERO in Niedersachsen imUnterricht behandelt worden. Zwei Aspekte stehen imMittelpunkt:

(1) Faustregeln im Alltag und Formeln in den Wissenschaftenbeschreiben Abhängigkeitsbeziehungen zwischenverschiedenen Größen, sind also Funktionen mehrererVeränderlicher. Während in geometrischen Zusammen-

CAS


18 TI-Nachrichten

hängen meist mehrere Variable auftauchen, derfunktionale Aspekt aber häufig nicht explizit thematisiertwird, steht dieser dagegen in der Funktionenlehre undAnalysis im Mittelpunkt, dafür taucht hier fast immer nureine Variable auf. Wenn man statt F= π · r2 aber konse-quent F(r)=π · r2 schreibt, ist automatisch eine Verzahnungvon Algebra/Analysis und Geometrie hergestellt.

(2) Der Übergang von alltagssprachlichen Formulierungenund inhaltlich geprägten Lösungen zu symbolischenÜbersetzungen und Verallgemeinerungen stellt meist einsehr großes Problem dar. Ziel im Unterricht muss es dannsein, den Übergang von der Zahl und dem Beispiel zumAllgemeinen und zur Formel sanfter zu gestalten, umadäquate Grundvorstellungen und Verständnis zuschaffen.

Der Voyage™ 200 ermöglicht es nun, Wortvariable zuerstellen, mit denen dann in bekannter Weise gerechnetwerden kann. Die Darstellung als mehrwertige Funktionermöglicht durch jeweiligen Aufruf die Bestimmung speziellerWerte; hält man alle bis auf eine Variable konstant, könnendie jeweiligen Graphiken und Tabellen erzeugt werden.

Die Sequenz ist als Selbstlerneinheit konzipiert. Die Aufgabensind zunächst so formuliert, dass sie in Einzelarbeit bearbeitetwerden können. Wegen der begrifflichen Komplexität werdenallerdings Eingriffe der Lehrkraft sinnvoll bzw. auchnotwendig sein, vor allem in der Anfangsphase beimÜbergang von der umgangssprachlichen Formulierung zurformalen.

Im Folgenden sind die einzelnen Arbeitsblätter dargestellt.Einige Bemerkungen dazu:

Bemerkungen zu den Arbeitsblättern:(1) Bremsweg und Geschwindigkeit (I): FaustformelIn Teil a) werden Abkürzungen gewählt, so dass einerseits derinhaltliche Bezug erhalten bleibt, anderseits aber derTippaufwand erträglich bleibt. Mit brems(v) soll noch einmaldie Versprachlichung geübt werden, hier von der Formel zumText. Teil c) rückt das eigentlich Neue in den Mittelpunkt.Eventuell muss hier dann der Hinweis erfolgen, dass beimVoyage™ 200 „Argument“ das ist, was sonst „Ausgangs-größe“ ist.

(2) Bremsweg und Geschwindigkeit (II): Tabelle undGraphikHier geht es zunächst um das Handling des Voyage™ 200:Tabellen und Grafiken in neuem Kontext, vom Term zuTabelle/Graph. Teil b) rückt ein Skalierungsproblem in denMittelpunkt (beide Grafiken passen!) und ist auch gleichzeitigRoutinisierung im Handling, weil die Schülerinnen undSchüler wohl viel grafisch probieren werden. Teil c) soll dieheuristische Kraft der tabellarischen und grafischenUmsetzung von Formeln verdeutlichen, ohne Termum-formung lassen sich durch Intervallschachtelung in Tabelleund/oder Grafik hinreichend gute Lösungen finden. Diezweite Frage ermöglicht dann die Hinzunahme des Reaktions-

weges und damit das modulare Arbeiten mit Funktionen ineiner Formulierung, die noch relativ nah an der Alltags-sprache ist. (anhalt(gesch)=reakt(gesch)+brems(gesch)).Damit werden dann auch Aspekte von Modellbildungberücksichtigt.

(3) Der body-mass-Index: BMIHier geht es um die Erarbeitung einer mehrstelligenZuordnung. a) Die Schülerinnen und Schüler berechnen zunächst

konkrete Zahlenwerte und erfahren, wie die Formel‚arbeitet’.

b) „gew“ wird hier vorgegeben, weil dies in den Teilen c) undd) so benutzt wird. Spannender (und damit natürlich

anspruchsvoller) ist es, wenn man dies offen lässt. Manerhält dann wahrscheinlich unterschiedliche Versionenauf Schülerseite, die dann Anlass zur inhaltlichen Klärungsind. („Es ist nicht egal, in welcher Reihenfolge man...“).Später kann man dann ja mal fragen, ob es eventuellmanchmal doch egal ist, ob […].

c),d) Die Reduktion auf eine einstellige Zuordnung wird aufverschiedene Weise durchgeführt. In Teil c) soll‚nachgebaut’ und interpretiert werden („Welchen BMIhaben 70 kg schwere Menschen?), in Teil d) wirdeigentätig konstruiert. Hier gibt es natürlich verschiedeneWege zur Lösung; manche Schüler werden vielleicht ‚nur’mit der Formel und konkreten Werten experimentieren,besser ist natürlich so etwas wie bmi(x,1.78). EinVergleich verschiedener Schülerlösungen ist dann sicherproduktiv.

e) In diesem Aufgabenteil soll neben inhaltlichemVerständnis auch wieder TC-Handling geübt werden.

f) Dieser Aufgabenteil geht natürlich nur, wennEntsprechendes vorher behandelt ist. Wenn nicht solltedies aber später in Rückbezug thematisiert werden.

Für weitere Informationen zum BMI: http://www.biologie.de/biowiki/Body_Mass_Index/ http://www.aerzteblatt.de/v4/news/news.asp?id=19873

Autoren willkommen! Kritik erwünscht!

Ihr Beitrag zu den TI-Nachrichten ist herzlich willkommen, besonders natürlich Beispiele aus dem Unterricht. Ihre Kritik hilft uns,

Ihren Wünschen besser gerecht zu werden. Ihr Lob spornt uns an.

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Bremsweg und BMI Fortsetzung

TI-Nachrichten 19

a) Wie lang ist der Bremsweg bei 46km/h? Wie lang bei 130km/h?

Jetzt können wir die Berechnungen auch dem Voyage™ 200übergeben. Um uns Schreibarbeit zu ersparen, kürzen wir etwas ab: É: „speichere unter …“

Wenn der Voyage™ 200 auf „AUTO“ (ì3) eingestellt ist, erhältst du das Ergebnis als gekürzten Bruch. Wenn du mit ¥ ë die Eingabe abschließt, dann erhältst du eine Dezimalzahl.

1. Bremsweg und Geschwindigkeit (I): Faustformel

Wir wissen:• Der Bremsweg ist abhängig von der Geschwindigkeit.• Zu jeder Geschwindigkeit gehört ein Bremsweg.• Jeder Geschwindigkeit wird ein Bremsweg zugeordnet.

Es gibt eine Faustregel, mit der man den Bremsweg berechnen kann, wenn man die Geschwindigkeit kennt:

Faustregel: Den Bremsweg eines Autos auf trockener Straße errechnet man, indem man die Geschwindigkeit mit sich selbstmultipliziert und das Ergebnis durch 100 dividiert.

Die Faustregel liefert eine Zuordnungsvorschrift, die angibt, wie du mit der Ausgangsgröße Geschwindigkeit den Bremswegberechnen kannst.

Rechenvorschrift:

Um deutlich zu machen, dass der Bremsweg von der Geschwindigkeit abhängt, schreibt man dies so auf:

Beispiel: Bremsweg(40)=16

b) •Berechne mit dem Voyage™ 200 einige Bremswege deiner Wahl.•Gib „brems(v)“ ein und erkläre das Ergebnis.

c) Unten siehst du zwei Eingaben mit jeweils einer Fehlermeldung. Erkläre die Fehler.

Bremsweg GeschwindigkeitGeschwindigk

( ) = eeit Geschwindigkeit⋅100

Abb. 1

Abb. 2

Abb. 4Abb. 3

BremswegGeschwindigkeit Geschwindigkeit= ⋅

1000

20 TI-Nachrichten

2. Bremsweg und Geschwindigkeit (II): Tabelle und Graphik

Weil wir eine Formel zur Berechnung des Bremsweges kennen, können wir zu jeder Geschwindigkeit die Länge desBremsweges ermitteln. Dann können wir auch eine Tabelle erstellen und damit eine Grafik.

• Wie kann man mit dem Voyage™ 200 eine Tabelle und eine Grafik erstellen, wenn eine Formel bekannt ist?

In „Y=“ können Formeln eingegeben werden. Allerdings muss die Größe, die vorgegeben wird, „x“ heißen. Man kann auch die Formel direkt eingeben, dann heißt „brems“ eben „y2“. Natürlich musst du aber auch wieder „x“ für die Ausgangs-größe wählen.

Hinweis: Die Datenplots (oberhalb von y1) sollten jetzt ausgestellt sein. Dies regelst du mit F4.

Statt brems(60) kann dann auch y1(60)aufgerufen werden oder hier auch y2(60).

Und nun zur Tabelle:

¥ bzw. ¥

Wähle als Schrittweite zunächst 10.

Und nun zur Grafik:

¥ $ bzw. ¥

Hinweis: Die Tabelle hilft bei der Wahl eines geeigneten Fensters.

Mit … [Spur] kannst du mit B bzw. A auf dem Graphen entlang laufen und die zugehörigen Punkte ablesen.

a) • Warum sollte xmin hier immer 0 sein?• Erstelle eine Tabelle, die die Bremswege für Geschwindigkeiten zwischen 40km/h und 70km/h im Abstand von 1km/h

angibt. Erzeuge dazu eine passende Grafik.

b) Können die beiden Grafiken zu der Bremswegformel gehören?

c) Bei einem Unfall misst die Polizei eine 73m lange Bremsspur. Wie schnell war das Auto? Beschreibe dein Vorgehen fürdie Lösung. Was ist beim Versuch, die Geschwindigkeit zu ermitteln, noch nicht berücksichtigt worden?

Abb. 2Abb. 1

Abb. 6Abb. 5

Abb. 3 Abb. 4

Abb. 8Abb. 7

#"

& #'

#(

TI-Nachrichten 21

3. Der body-mass-Index (BMI)

Zur Bestimmung des Normalgewichts wird in der Medizin der body-mass-Index (BMI) benutzt. Er wird mit folgenderVorschrift berechnet:

a) Fülle die Tabelle aus (du kannst zum Berechnen der Werte den V200 benutzen):

b) • Ergänze die Zuordnungsvorschrift (es gibt hier zwei Ausgangsgrößen!):

• Gib diese Formel in den V200 ein (denke an É), überprüfe deine Werte aus a)). Probiere mit weiteren Beispielen. Mache vorher immer eine Vermutung darüber, ob Normalgewicht vorliegt oder nicht.

c) • Was kannst du mit der hier eingegebenen Formel berechnen? • Erstelle eine Tabelle und eine Grafik, die den Bereich des Normalgewichts angibt.• Gib eine andere Eingabe an, die aber dieselben Werte berechnet.

d) • Wie schwer dürfen 1,78m große Menschen sein, damit sie Normalgewicht haben?

e) Zu welchen Formeln gehören die Tabellen und die Grafiken?

f) Lena behauptet, dass die Zuordnung aus c) eineAntiproportionalität ist und die aus d) eineProportionalität. Was meinst du dazu?

Abb. 1

Abb. 3Abb. 2

Abb. 5Abb. 4

Der BMI ist Gewicht in kg dividiert durch dasQuadrat der Körpergröße in Meter. Ein Wert

zwischen 20 und 25 bedeutet Normalgewicht.

Gewicht in kg Körpergröße in m BMI58 1,6298 1,8576 1,7539 1,46

BMI (gew , ) =

22 TI-Nachrichten

Ausblick:Im weiteren Verlauf sollten dann einerseits alte Bekannte(Flächen- und Volumenformeln für Rechtecke bzw. Quader) inneuem Gewand betrachtet und mit dem Voyage™ 200numerisch ausgewertet werden, anderseits wird das hier eingeführte Grundprinzip zur Erzeugung von Formeln mit explizit angegebenen Argumenten dann als Einstieg in die Erzeugung von Makros (‚Bausteinen’) zu neu erar-beiteten Formeln dienen und als ein roter Faden den weiteren Unterricht durchziehen. Die Tragfähigkeit vonAlgebraisierungen erleben Schüler dann unmittelbar; sieselber sind es, die diese Erleichterungen erzeugen, keineblack-box.

Beispiele:

1: Gerade durch zwei Punkte P(a/b) und Q(c/d):

2. Längenbestimmung mit Satz des Pythagoras:

Warum braucht man nur eine Formel für die Katheten? Warum ist hypo(a,b)=hypo(b,a), aber nichtkath(a,c)=kath(c,a)?Die Beantwortung solcher Fragen erzeugt und sichert wiederVerständnis jenseits der Kalküle.

Autor:Henning KörnerStudienseminar Oldenburg für das Lehramt an GymnasienE-Mail: [email protected]

Abb. 1

Abb. 2

Abb. 3

*S ≠ σ – oder: Standardabweichung ist nichtgleich StandardabweichungDr. Guido Pinkernell

Einige Notizen zum Gebrauch der TI-83 Plus/TI-84 Plus und TI-89 Titanium bei der Bestimmung

von Verteilungskennwerten.

Zwei Werte für die StandardabweichungGTR sowie CAS erlauben, auf Knopfdruck die wesentlichenKennwerte einer Verteilung festzustellen. Am Beispiel derfolgenden Liste, die die Körpergrößen von zehn zufälligausgewählten Sechsjährigen im cm darstellen soll

L1 = { 123,8; 115,2; 120,9; 112,4; 115,8; 115,4;118,9; 111,9; 108,5; 121,6 },

sieht das so aus:

CASCBL

Abb. 1 Abb. 2

Abb. 3 Abb. 4

Bremsweg und BMI Fortsetzung

TI-Nachrichten 23

Der TI-83 Plus/ TI-84 Plus bietet mit S ≈4,828 und σ ≈4,58zwei Standardabweichungswerte an, von denen der zweiteWert aufgrund seiner Bezeichnung und durch Nachrechnenals die geläufige Standardabweichung

(1)

identifiziert werden kann. Welche Bedeutung hat dagegender Wert S? Er muss eine wichtigere Rolle als σ spielen, dennder TI-89 gibt im Gegensatz zum TI-83 unter den Verteilungs-kennwerten nur noch S aus. σ fehlt hier ganz:

Wozu zwei Standardabweichungen?Der Schlüssel zur Lösung des Problems liegt darin, dass diebeiden beschriebenen Prozeduren die Kennwerte vonHäufigkeits- und nicht Wahrscheinlichkeitsverteilungenermitteln. Genauer sind es Stichproben, deren Verteilungs-kennwerte berechnet werden. Stichproben werden erhoben,um Aussagen über die Grundgesamtheit machen zu können.Im Beispiel könnte die Stichprobe deshalb erhoben wordensein, um eine Verteilung der Körpergrößen bei sechsjährigenJungen zu erstellen. Da man annehmen kann, dass diebetrachtete Größe normalverteilt ist, reicht es, den Mittelwertund die Streuung zu beziffern. (Dabei ist der Stichproben-umfang von 10 Jungen ziemlich klein. Mit wachsendemStichprobenumfang darf man Kennwerte erwarten, die die„wirkliche“ Grundgesamtheit immer besser beschreiben. Wirkommen darauf zurück.)

Der Mittelwert der Stichprobe wird genau so berechnet wieder Mittelwert der Grundgesamtheit, wenn man letzterenangesichts der Millionen Sechsjährigen tatsächlichvollständig erfassen könnte. Nämlich als

(2)

Was die Standardabweichung betrifft, so bietet der TI-83 wiegesagt zwei Werte an, während der TI-89 sich gar nur nochauf den S-Wert beschränkt, was die Vermutung nahe legt,dass σ als Maß der Streuung einer Stichprobe womöglichungeeignet ist. Und tatsächlich ergibt ein Blick in einStatistiklehrbuch (Lienert 1994), dass der S-Wert die ersteWahl dafür ist, auf Grundlage von Stichproben die Standard-

abweichung der Grundgesamtheit zu bestimmen. Er heißt„empirische Standardabweichung“ und wird berechnet wird als

(3)

Die empirische Standardabweichung S ist also wegen desTeilers n-1 grundsätzlich etwas größer als Û. Während mitder Formel (3) das Streuungsmaß der Stichprobe berechnetwird, liegt der Streuung der Grundgesamtheit die Formel (1)zugrunde. Dass man nun bei Stichproben die empirischeStandardabweichung der σ-Standardabweichung vorziehtliegt daran, dass hier in der Regel die „wirkliche“ Streuungunterschätzt wird. Im Beispiel der Körpergrößen kann manalso sagen, dass der der tatsächliche Mittelwert mit 116,44wohl ganz gut beschrieben wird, während die tatsächlicheStreuung besser mit S ≈ 4,828 anzugeben ist als mit σ ≈ 4,58. Man ist also meistens näher an der „wirklichen“Standardabweichung, wenn man in der Stichprobe dieSumme der Abweichungsquadrate durch n-1 teilt. Beiumfangreicheren Stichproben, also bei wachsendem n,nähern sich die empirische Standardabweichung und die σ-Standardabweichung einander an. Und das macht Sinn,denn je umfangreicher die Stichprobe ist, desto ähnlicherwird diese der Grundgesamtheit.

Woher kommt der Teiler n-1?Warum S besser geeignet ist als σ wird in der Fachliteraturmithilfe des Begriffs „Erwartungstreue“ erklärt und kann mitschätztheoretischen Mitteln bewiesen werden (Büchter undHenn 2005, S. 315). Ein anderer Erklärungsansatz nimmtBezug auf die Freiheitsgrade einer Gleichung (Lienert 1994, S.42). Soll nämlich eine Stichprobe die „wirklichen“ Kennwerteder Grundgesamtheit liefern – was man als Idealfall ja von ihrerwartet – dann ist in der Gleichung des Mittelwertes (2) derParameter A als Mittelwert der Grundgesamtheit schonfestgelegt. Die Stichprobenwerte xi können bis auf den letzten„zufällig“ gezogen werden. Der letzte Wert xn dagegen musseinen bestimmten Wert annehmen, damit die Gleichung beider idealen Stichprobe auch erfüllt ist. Es sind also n-1Stichprobenwerte, die frei gewählt werden können. n-1 heißtdemnach auch die Anzahl der Freiheitsgrade dieserStichprobe. Da nun nur n-1 der Stichprobenwerte in deridealen Stichprobe wirklich frei sind, tut man bei derBerechnung der Standardabweichung so, als wenn derStichprobenumfang nur n-1 beträgt. Deshalb wird dieSumme der Abweichungsquadrate durch n-1 geteilt. Der n-teStichprobenwert fällt dabei nicht unter Tisch, sondern wird inder Formel (3) weiter berücksichtigt. Ihre Abweichung vomMittelwert wird, so kann man das sich erklären, auf dieübrigen n-1 Abweichungen „verteilt“, da die übrigen n-1Stichprobenwerte diese letzte Abweichung ja „verursacht“haben.

Die Erklärung ist in dieser Kürze zugegebenermaßenunbefriedigend. Der Autor hat sich stattdessen einmal denSpaß gemacht, mittels des Rechners das Messen derKörpergröße von zehn zufällig ausgewählten Sechsjährigenzu simulieren. Zu jeder Stichprobe werden Mittelwert und

Abb. 5 Abb. 6

Abb. 7

σµ

=−( )

=∑

x

ni

i

n2

1

µ=

−( )−=

∑Sx

ni

i

n2

1 1

µ ==∑

x

ni

i

n

1

S ≠ σ – oder: Standardabweichung ist nicht gleich Standardabweichung Fortsetzung

24 TI-Nachrichten

σ sowie S berechnet und mit den entsprechendenKennwerten der normalverteilten Grundgesamtheit gegen-über gestellt. Diese sind bekannt und lauten für sechsjährigeJungen A=116,5 (cm) und σ =5,3 (Elemente d. Mathematik:LK Stochastik 2003 S. 229).

Eine statistische ÜberprüfungDer Befehl randNorm(116.5,5.3) erzeugt eine normalver-teilte Zufallszahl mit den genannten Kennwerten. Der Befehlround(randNorm(116.5,5.3),1) rundet diese Zahl auf eineDezimalstelle. Und

erzeugt eine Liste von zehn solchen Zufallszahlen.Das sind also die Körpergrößen der zehn aus der nor-malverteilten Grundgesamteit zufällig ausgewählten Jungen.Diese Liste wird zur Bestimmung der Kennwerte mittels STOals „liste“ abgespeichert. Die Befehlen(li ste)und stdDev(list e) geben den Mittelwert und die empi-rische Standardabweichung (also S) aus. Auf dem TI-89 mussder σ-Wert nachprogrammiert werden, und zwar wie folgt:

Die Screenshots zeigen für die erste Stichprobe einenMittelwert von 111,23, was dem tatsächlichen Mittelwert von116,5 relative nahe kommt. Die empirische Standardab-weichung liegt mit etwa 4,132 der tatsächlichen Standardab-weichung von 5,3 näher als σ =3,92.

Eine Übersicht über die Kennwerte weiterer simulierterzufälliger Stichproben zeigt keine Präferenz für die empirischeStandardabweichung:

Bei insgesamt 50 Stichproben sind es sogar nur 22 Fälle, indenen die empirische Standardabweichung als Näherungs-wert der tatsächlichen Standardabweichung besser geeignetwar als der σ-Wert. Das ist weniger als die Hälfte. Bestätigthat sich damit die Präferenz für den S-Wert bei Stichproben-erhebungen nicht. Würde dieses Thema im Unterrichtbesprochen werden, dann könnte man eine größere Anzahlan Simulationen in der Lerngruppe durchführen und zumGegenstand eines Hypothesentests machen.

Konsequenzen für denMathematikunterrichtKaum ein Schulbuch, das ich überprüfen konnte, weist daraufhin, dass bei der Beschreibung von Grundgesamtheiten durchStichproben die empirische Standardabweichung zuverwenden ist. In einem Buch ist die empirische Standardab-weichung sogar sinngemäß als „σ-Standardabweichung fürStichproben“ falsch definiert. Was ist also im Unterricht zutun, wenn einerseits die empirische Standardabweichungnicht vorkommt, andererseits Rechner wie der TI-89 einanderes Streuungsmaß gar nicht erst anbietet? MeineVorschläge:

• Bei Problemstellungen, in denen mittels der Kennwertevon Stichproben auf die Grundgesamtheit geschlossenwerden soll, sind ggf. beide Standardabweichungenzulässig. Lienert (1994, S. 42) schreibt, dass beide Wertein der wissenschaftlichen Literatur diskutiert werden.

• Bei der Bestimmung der Kennwerte von diskretenWahrscheinlichkeitsverteilungen dagegen ist dieVerwendung der empirischen Standardabweichung Sunzulässig. Die Formel (3) würde im Vergleich zurkorrekten Formel (1) zu niedrig sein. Wo er wie beim TI-89nicht angeboten wird, ist es u. U. sinnvoll, σ wie oben fürden TI-89 beschrieben nachzuprogrammieren.

Literatur:Andreas Büchter und Hans-Wolfgang Henn (2005):

Elementare Stochastik. Berlin, Heidelberg, New York: Springer

Beat Eicke (2003): Statistik. Glarus: Pythagoras LehrmittelH. Griesel, H. Postel, F. Suhr (Hrsg.) (2003): Elemente der

Mathematik. Leistungskurs Stochastik. Hannover: SchroedelGustav Lienert, Alexander von Eye (1994): Erziehungswissen-

schaftliche Statistik. Weinheim und Basel: Beltz

Autor:Dr. Guido PinkernellGymnasium Johanneum Lingenhttp://qnetz.johanneum-lingen.deE-Mail: [email protected]

Abb. 8 Abb. 9

Abb. 10

EmpirischeStandard- Standard-

abweichung abweichung S besser alsMittelwert S σ σ

116,21 5,381 5,105 X114,83 6,018 5,709117,69 7,314 6,938117,14 3,635 3,449 X120,03 5,473 5,192115,69 5,335 5,061 X

genanntround(randNorm(116.5,5.3),1)

round(randNorm(116.5,5.3),1)eine Dezimalstelle. seq(round(randNorm(116.5,5.3),1),i,1,10)

seq(round(randNorm(116.5,5.3),1),i,1,10)

mean(liste)Mittelw und die empirische stdDev(liste)

sqrt(sum((mean(t)-t)^2,1,dim(t))/dim(t))#sqrt(sum((mean(t)-t)^2,1,dim(t))/dim(t))"(t).

S ≠ σ – oder: Standardabweichung ist nicht gleich Standardabweichung Fortsetzung

TI-Nachrichten 25

*Der Kondensator im WechselstromkreisUrs Oswald

Ein Artikel dieses Titels erschien in den TI-Nachrichten2/1997. Es wurde ein CBL™ benützt, um den Verlauf

von Strom und Spannung zu messen. Für den physikalischweniger Bewanderten ergibt sich die Schwierigkeit, nicht nur den zu messenden Vorgang, sondern auch dieFunktionsweise der Messinstrumente zu verstehen. DerenPhysik ist jeweils um einiges komplizierter als die desuntersuchten Vorgangs. Anderseits beruhen die Vorgänge ineinem Wechselstromkreis mit ohmschem Widerstand undKondensator auf wenigen einfachen Gesetzen, die wohl allenSchülern bekannt sind. Mit einem CAS-Rechner können die Konsequenzen sichtbar gemacht werden, ohne dass die Benützer über besondere mathematische Fähigkeitenverfügen müssen.

Für die an Widerstand, Kondensator und Generator auf-tretenden Spannungen gilt:

(1)

(2)

Damit folgt wegen

(3)

(4)

Graphische DarstellungDie Konsequenzen lassen sich nun ohne Weiteres auf demBildschirm studieren: Dazu sind die folgenden Schritte nötig:

1. New Probe2. right(deSolve(r*q’+q/c-u*sin(w*t)=0 and q(0)=0,t,q))3. ans(1)→q(t)4. q(t)/c5. ans(1)→uc(t)6. d(q(t),t)7. ans(1)→i(t)

Im Funktionseditor wird eingegeben :

y1 = u*sin(w*t)|t = xy2 = uc(t)|t = xy3 = i(t)|t = x.

Man richtet ein Fenster für 0 ≤ x ≤ 6, -350 ≤ y ≤ 350 ein undspeichert: 311→u, @→w, Y2-1→c, 1→r. Für û, X, C, R wurdendie Variablen u, w, c, r verwendet. (Diese Werte mögenphysikalisch sinnvoll sein oder nicht, jedenfalls ergeben sieein deutliches Bild der Verläufe.) Mit GRAPH erhält manGeneratorspannung (punktiert), Kondensatorspannung (dick)und Stromstärke (normal):

Die Details gehen aus der folgenden Abbildung hervor:

Die Anfangsbedingung q(0)=0 führt zu einem nichtperiodi-schen Startbestandteil der Schwingungen. Dieser wird un-sichtbar, wenn man das Zeitintervall 0 ≤ x ≤ 6 in 6 ≤ x ≤ 12abändert:

Bei den gewählten Werten gilt: T=2, und aus der Graphiklässt sich sofort bestätigen, dass die Kondensatorspannungder Stromstärke um T/4 hintennachhinkt. Die Phasendifferenzzwischen Generatorspannung und Kondensatorspannunglässt sich ausmessen; sie ergibt sich zu

(5) *t = 0.2914382.

Exakte BerechnungDie Ausdrücke, die sich bei der Berechnung in den Schritten1 bis 7 ergeben haben, sind kompliziert und lassen sich mitdem CAS nicht ohne weiteres in eine gut lesbare Formbringen. Dies wird besser, wenn man die Rechenschritte 1 bis7 nochmals durchspielt, aber dabei 2 in die Schritte

2’. right(deSolve(r*q’+q/c-u*sin(w*t)=0,t,q))2“. ans(1)|@1=0

CAS

u t u t u t mitR C G( ) + ( ) − ( ) = 0 ,

u t R i t uR ( ) = ⋅ ( ) , CC GtC

q t u t u t( ) = ( ) ( ) =1, sin .

. ω

i t q t( ) = ( )q lgdie Differenzia leichung

R q tC

q t⋅ ( ) + ( ) −q 1 ..u t⋅ =sin .ω 0

Abb. 1

Abb. 2

Abb. 3

26 TI-Nachrichten

zerlegt. Die Anfangsbedingung q(0)=0 wird fallengelassen,und mit Schritt 2“ wird der nichtperiodische Anteil eliminiert.Es ergibt sich:

Da es mir nicht gelang, den Voyage™ 200 zur Superpositionder sin- und cos-Terme zu bewegen, musste ich Zuflucht zukonservativen Methoden nehmen. Zunächst ergibt sich ausden CAS-Resultaten:

ein Winkel ϕ bestimmt, und mit diesem ergeben dieAdditionstheoreme von Sinus und Cosinus

(6)

(7)

Daraus ist sofort das Nachhinken der Kondensatorspannungum T/4 hinter der Stromstärke ersichtlich, ebenso derKondensator-Widerstand RC = 1/XC. Schreibt man weiter

Xt - ϕ = X(t - Δt), mit Δt = ϕ/X, so lässt sich auch (5) bestätigen.Denn gemäß Definition von ϕ gilt:ϕ = arctan XRC = arctan @ (Y 2-1) = 0.91558... undΔt = ϕ/X =0.29143818...

PostskriptDer Voyage™ 200 kann die erforderliche Superposition einerSinus- und einer Cosinusfunktion in konkreten Fällendurchführen, nicht aber mit Variablen (Betriebssystem 2.07),wie das folgende Beispiel zeigt:

Autor:Urs Oswald, Dr.sc.math.ETHE-Mail: [email protected]

Abb. 4

Abb. 5

i tu CW W

tW

t( ) = +$

ˆsin cos

ω ω ω1 1 ',

( ) = −$

'

ˆsin cos ,u t

uW W

tRCW

tC1 ω ω ω

mit .W R C Durch die Bedingungen= +1 2 2 2ω

RCcos = 1ϕWW

RCW

ist im Grund ervall eindeut, sin intϕ ω= iig

i tu C

R Ct( ) =

+−( )ˆ

cos ,ω

ωω ϕ

1 2 2 2

u tu

RC ( ) =

+

ˆ

ω1 2 22 2Ctsin .ω ϕ−( )

*Rekursion – Iteration –Vollständige Induktion mit CASOtto M. Keiser

Im Mathematikunterricht des Gymnasiums kommtman im Zusammenhang mit Folgen und Reihen in der

Regel auf Rekursion, Iteration und vollständige Induktion zusprechen. Wenn man diese Begriffe und Verfahrenzusammen mit einem CAS unterrichten kann, erzielt mannach meiner Erfahrung ein vertieftes Verständnis für dieseKonzepte. Dies soll anhand der nachfolgenden Beispieleillustriert werden.

1. AufgabeIn der Ebene sind n Kreise gezeichnet. In wie viele Gebietewird sie im Maximum zerlegt?

CAS

Abb. 1 a-d

n=1 n=2

n=3 n=4

gn=2 gn=4

gn=8 gn=14

Der Kondensator im Wechselstromkreis Fortsetzung

TI-Nachrichten 27

Lösung durch eine rekursiv definierte FolgeEs ist wohl naheliegend, eine Folge von Bildern mit n = 1, 2,... Kreisen zu zeichnen und die Anzahl gn der Gebiete zuzählen.Nicht alle Schüler schaffen auf Anhieb g4 = 14, aber praktischalle sind sicher, dass g4 < 16, womit die zunächst nahe-liegende Vermutung gn = 2n vom Tisch ist. Nach meinenErfahrungen wird aufgrund des Zahlenmaterials selten dieGesetzmäßigkeit der Folge erkannt. Neue Idee:

Der n-te gezeichnete Kreis (in obenstehender Figur fett) wirdvon den n–1 vorher gezeichneten Kreisen in 2(n-1) Punktengeschnitten (im Maximum!) und damit in 2(n-1) Teilbögenzerlegt. Jeder dieser Teilbögen zerlegt ein bereits vorhandenes Gebietin zwei Teile, so dass zu den bisherigen gn-1 Gebieten 2(n-1)neue dazu kommen.

Damit haben wir eine Rekursionsformel für die Folge gngefunden:

g1 = 2gn = gn-1 + 2·(n – 1) für n > 1

Berechnung von gn durch einen rekursiven ProzessDie obige Rekursionsformel kann in einem CAS praktisch einszu eins programmiert werden. Beim TI-89/voyage lautet derBefehl beispielsweise:

Define g(n) = when(n > 1, g(n-1) + 2*(n-1), 2)

Der Computer bestätigt die Eingabe in übersichtlicher Form:

Die Funktion g(n) gibt die oben gezeichneten Fälle korrektwieder:

g(1) = 2 g(2) = 4 g(3) = 8

Wie entwickelt sich die Folge?g10) = 92g(20) = 382 g(50) = ERROR Memory

Eine böse Überraschung! Kann man sie verstehen? MeinesErachtens kommt es nicht darauf an, dass man genau (mitStacks etc) erklärt, was im Computer passiert. Die wesentli-che Ursache der Fehlermeldung erkennt man, wenn man sichüberlegt, was beispielsweise bei der Berechnung von g6

durch das obige Programm abläuft, wenn der Programm-interpreter jeweils versucht, zuerst die innerste Klammerauszuwerten.6-1) = (g(4)+2*(5-1))+10

= ((g(3)+2*(4-1))+8)+10= (((g(2)+2*(3-1))+6)+8)+10= (((g(1)+2*(2-1))+4)+6)+8)+10= (((2+2))+4)+6)+8)+10= (((4+4)+6)+8)+10= ((8+6)+8)+10= (14+8)+10= 22+10= 32

Die Darstellung macht eindrücklich sichtbar, wie der Verarbei-tungsprozess auf eine immer länger werdende Kette von nichtausrechenbaren Klammern führt, wozu Speicherplatz – undauch Zeit – benötigt wird. Wenn der dafür vorgesehene Um-fang überschritten wird, meldet sich der Computer eben mitder Fehlermeldung „Error Memory“. Es ist m. E. wichtig, zubetonen, dass dieses Ereignis grundsätzlich auf jedem – nochso großen – Computer durch ein genügend kompliziertesRekursionsprogramm erzeugt werden kann.

Berechnung von gn durch einen interaktiven ProzessDie Idee ist klar: g1 ist gegeben; mit der Rekursionsformelkönnen der Reine nach g2, g3, ... berechnet werden.

g1 = 2g2 = g1 + 2?(2 - 1) = 4g3 = g2 + ...

Genau so rechnet der TI-89/Voyage™ 200, wenn man dieFolge gn im #-Menü (unter 3 improgrammiert:

Im -Menü erhalten wir so problemlos:

1(100) = 9902Aufgrund des obigen Rechenschemas ist unmittelbar klar,dass der Rechenprozess im Computer keinen zusätzlichenSpeicherplatz beansprucht und dass deshalb Folgengliedermit beliebig großer Nummer berechnet werden können.

Vergleich Rekursion/IterationDie rekursiv definierte Folge gn wurde oben auf zwei ver-schiedene Arten berechnet, die zwar für ein gegebenes npraktisch gleich viele Operationen erfordern, aber im erstenFall zu einem erheblichen zusätzlichen Speicherbedarf füh-ren. Man bezeichnet – Details zu den Definitionen müssenhier leider entfallen – die erste Berechnungsart als einen re-kursiven und die zweite als einen iterativen Prozess.Es ist richtig, dass man die problematischen rekursiven Pro-zesse bei rekursiv definierten Folgen umgehen kann. AmSchluss dieses Beitrages werden wir jedoch ein rekursiv defi-niertes Graphikprogramm kennen lernen, für welches eineiterative Umsetzung schwierig ist.

Vermutung für eine explizite Formel für gn

Auch wenn die Folge gn iterativ berechnet wird, benötigt der Computer dafür eine beachtliche Zeit. Deshalb entstehtder Wunsch nach einer sog. expliziten Formel f mit der Eigenschaft n → gn = f(n), welche also ermöglicht, gn fürbeliebig großes n „instantan“ zu berechnen.

Abb. 2

+,.12, /"2- ) 30,2"2 * 7530,2"2 75

8-/"267- 4 8$"267-5

/"7- ) 8

/"9- ) ' /":- ) 7:

/"8- ) :

/"7+, ( '8

/"8+, ( 9&8

/"#+, ( #&&%& $'()*"

g nn

n g n else( )

,

,

2 1

2 1 1

=⋅ −( ) + −( )

1

1

1

1

/"%, ( /"#,48$"%67,

( "/":,48$"#67,,47+

( ""/"9,48$":67,,4&,47+

( """/"8,48$"967,,4%,4&,47+

( """/"7,48$"867,,4:,4%,4&,47+

( """848,,4:,4%,4&,47+

( """:4:,4%,4&,47+

( ""&4%,4&,47+

( "7:4&,47+

( 8847+

( 98

g1 = 2

g2 = g1 + 2•(2 - 1) = 4

g3 = g2 + 2•(3 - 1) = 8

6;";++, $ ##+<

7< % 7<"4 : <- 8 =>"4 : <-

73< % =

)6152;;;;;;;;;;;;;;/(.0(+&()6152;;;;;;;;;;;;;;/(.0(+&(

Rekursion – Iteration – Vollständige Induktion mit CAS Fortsetzung

28 TI-Nachrichten

Es gibt natürlich kein Verfahren, welches in jedem Fall eineexplizite Formal liefert. Im Fall der Fibonacci-Folge dauerte esbekanntlich mehrere hundert Jahre, bis Binet in der Mitte des19. Jahrhunderts eine explizite Formel für die ursprünglichrekursiv definierte Folge fand. Es gibt verschiedene Strategien, mit denen man versuchekann, die Formel f zu erraten. Oft gewinnt man f, wenn dieGlieder gn faktorisiert werden. In unserem Fall erkennt man f,indem man die durch die Rekursionsformel induzierte„Geschichte“ der Glieder gn ausschreibt:

g1 = 2g2 = 2 + 2·1 g3 = 2 + 2·1 + 2·2 g4 = 2 + 2·1 + 2·2 + 2·3

Die Struktur dieser vier Terme führt auf die Vermutung:gn = 2 + 2·(1 + 2 + ... + (n – 1))

Mit Hilfe der Theorie über arithmetische Reihen sollten dieSchüler hinschreiben können:

f(n) = 2 + 2 ·n · (n – 1) /2 = n · (n – 1) + 2.Sollte hier eine Wissenslücke bestehen, so hilft das CAS. DieEingabe quittiert der TI-89 Titanium/Voyage™ 200 mit

Die folgende Abbildung veranschaulicht am Beispiel n=7,dass die Maximalzahl bei regelmäßiger Anordnung von kongruenten Kreisen tatsächlich erreicht wird:

Auf das äußerste, unendliche Gebiet folgen n-1 Ringe, die jeaus n „Vierecken“ bestehen und ihrerseits das innerste Gebieteinschließen. (Lässt sich daraus ein Beweis machen?)

Vollständige Induktion (evtl. mit CAS)Nach der obigen Herleitung sind die Schüler schlecht moti-viert, die Vermutung für f auch noch zu beweisen, weil sie„sicher“ sind, dass sie stimmt. Wenn die Vermutung jedochaus dem „Bauch heraus“ entstanden ist, ist ein Beweis mitvollständiger Induktion wohl unerlässlich.Zu beweisen ist: gn = f(n) für n ∈ NVerankerung: Die Behauptung stimmt für n =1, denn g1 = 2und f(1) = 2. Schritt von n auf n+1:• Es gelte für ein beliebiges n: gn = f(n)• Zu zeigen ist, dass daraus folgt:

gn+1 = f(n+1) = (n + 1) ·n+2

• Beweis: gn+1 = gn + 2·n (Definition von gn) = f(n) + 2·n (Induktionsvoraussetzung)= n·(n – 1) + 2 + 2·n= n·(n – 1) + 2·n + 2= n·(n – 1 + 2) + 2= n·(n + 1) + 2= f(n + 1)

Der letzte Teil des Beweises ist für viele Schüler eine (zugroße) Herausforderung, obwohl sie wahrscheinlich die Be-weisidee verstanden haben. Man kann sich deshalb fragen,ob es nicht zweckmäßig ist, den Beweis für gn+1 = f(n+1) andas CAS zu delegieren.

Wünschenswert wäre, dass die Eingabe g(n+1) = f(n+1) | g(n)= f(n)“ mit „true“ quittiert würde. Möglicherweise ist dieseErwartung grundsätzlich unerfüllbar. Aber der Sprung von derzweiten zur letzten Zeile im obigen Beweis klappt:

2. Ein rekursives GraphikprogrammDie nachstehende Aufgabe wurde vom Verfasser als Matur-aufgabe im Schwerpunktfach Angewandte Mathematik ge-stellt [2]. Das gestellte Problem könnte man gewiss auch miteinem iterativen Programm lösen; aber wahrscheinlich nichtin der vorgesehenen Zeit von weniger als einer Stunde. Diesist jedoch mit einem rekursiven Programm ohne weiteresmöglich. Vielleicht ist das ein Hinweis, dass Lösungen mitrekursiven Programmen manchmal auch die „bequemen“Lösungen sind, dies – wie gesagt – auf Kosten von eventuellexorbitantem Speicherbedarf.

)"39 39 <9 4 : <-

= ⋅ −−

∑in nn

1

1 12

( ).

Abb. 3

,"-& ' )- * ,"- ' (& $#%+

Abb. 4

1. Generation

2. Generation

3. Generation

Endpunkte mit Knospen


TI-Nachrichten 29

Maturaufgabe:Die Endtriebe des amerikanischen Purpurglöckchens sindgemäß obiger Skizze aufgebaut [3]: Die Astlänge der 2. Generation ist das k-fache der entsprechenden Astlänge inder 1. Generation, wobei 0<k<1.Die Astlänge der 3. Generati-on ist wiederum das k-fache der entsprechenden Astlängeder 2. Generation, usf.Die Seitentriebe wachsen stets im Winkel von 45° zum Haupt-trieb, und zwar in dessen Mitte.

a) Schreibe auf Deinem TI-89 Titanium/ Voyage™ 200 einrekursives Programm Trieb (l, k, n), welches einenSeitentrieb mit n Generationen zeichnet, wobei der 1. senkrechte Trieb die Länge 1 hat.

b) Ergänze das Programm so, dass im Endpunkt jedes Triebesnoch eine Knospe gemäß obiger Skizze gezeichnet wird.Zeichne dazu um die Endpunkte einen Kreis PxlCrcl mitdem Radius

Lösung:Im nachstehenden Programm wird die Turtle-Graphik einge-setzt. Die Programme forward(l), turn(α), etc. sind auf denComputern der Schüler bereits vorhanden. Den TI-Code fürdie Turtle-Graphik findet man beispielsweise in [4].

TI-Code des Programms:

Die zweimal eingefügte Zeile ist die Zusatzzeile für die Teilaufgabe b).

2. Blumenkohl zum SchlussWenn wie gesagt, für die vorangehende Grafik auch ein itera-tives Programm denkbar ist, dürfte es schwerfallen, für einenfraktalen „Blumenkohl“ (nachstehend sind die Zweige bis zurdritten Generation gezeichnet), ein solches zu schreiben.Hingegen ist es fast trivial, die völlig durchsichtige Konstrukti-on mit einem rekursiven Programm zu erzeugen: An denEnden der Schenkel eines rechten Winkels werden jeweils um45° gedrehte verkleinerte rechte Winkel angehängt, in derzweiten Generation zwei, in der dritten Generation vier, usw.Die Figur könnte der Ausgangspunkt eines ganzen Projektessein. Mögliche Fragen sind:

• Wie lang sind insgesamt alle Zweige in der n-tenGeneration?• Welchen Grenzwert hat diese Länge?• Bei welchem Verkleinerungsfaktor berühren sich der linke

und der rechte Teil des Blumenkohls in keiner Generation?• Welchen „Radius“ hat der Blumenkohl?Zur Beantwortung dieser Fragen stößt man auf Probleme, wiesie am Anfang dieses Beitrags gestellt und gelöst wurden.

Literatur:H. Abelson, G.J. Sussman: Stucture and Interpretation of

Computer Programs, 1985, The MIT Presswww.T3Schweiz.ch/Materialien/MaturaufgabenUwe Beck: Computer-Graphik, 1988, Birkhäuser VerlagA. Alder u.a.: Rekursives Programmieren, Ein Leitprogramm

in Informatik (für den TI-92 bearbeitet von Otto M. Keiser),herunterladbar auf www.educETH.ch/Informatik/Leitpro-gramme

Autor:Otto M. KeiserHochstrasse 44, CH-8044 ZürichE-Mail: [email protected]

,B:)>1:g g

7<?"BB-87<?"DD-8G

Abb. 5

?>730":898<-,>5;+4 <(& .63<4=>A/>2":-,B:)>1: 7<?"BB-87<?"DD-8G?@>< "G'&-4=>A/>2":FH-?@><"EGI$-4=>A/>2":FH%CH-,B:)>1: 7<?"BB-87<?"DD-8G?@><"G'&-4=>A/>2":F#%CH-?@><"GI$-?>730":%9898<EG-*<2+4*<2,>5;

Ausgehend von der mathematik-lastigen Schwer-punkt(SP)-Definition des Bildes SPKTLOGO1 (Abb. 2)

sollen verschiedene Berechnungsmöglichkeiten mit einemGTR an einigen typischen Beispielen demonstriert werden.

1. Punkte-SchwerpunktBeispiel 1 – Arithmetisches Mittel:Ein Feuerwerkskörper sei durch die Explosion in 99 gleich-massige Stücke zerborsten, wie es das folgende Programmsimuliert. Gesucht sei deren gemeinsame SP-Lage – unddamit auch die Position des Feuerwerkskörpers, wenn ernicht krepiert wäre!

Weil das Programm die Lagekoordinaten vorsorglich in denListen LX und LY abgelegt hat, brauchen wir nur mehr deren Arithmetisches Mittel zu bilden, um die Lage des SP zueruieren (Abb. 1a, b mit dem Random-Startwert 1).

*Lernpfad „Bestimmung von Schwerpunktslagen“Heinz Pichler

GTR PROGRAM:EXPLOSIV:ZStandard:ZDecimal:RectGC:CoordOn:GridOff:AxesOff:ClrList #X,#Y:For(I,1,99) :Xmin+(Xmax-Xmin)*rand"#X(I) :Ymin+(Ymax-Ymin)*rand"#Y(I) :Pt-On(#X(I),#Y(I)):End


30 TI-Nachrichten

Beispiel 2 – Auszählmethode:Das Programm AREASPKT1 tastet alle Pixel des Bildschirmsab und nimmt den Standort der dunklen Pixel in diearithmetische Mittelung auf. Derart eignet sich das Programmnicht nur für die SP-Ortung punktförmiger Strukturen(Abb.1a), sondern näherungsweise auch für linienartige (Abb. 2; unbearbeitet) oder für ebenflächige Figuren, wieetwa das Bild STMK1 (Abb. 3; ausgewertet).

2. Linien-SchwerpunktFür linienhaft verteilte Massen scheidet eine Einzelerfassungaller (infinitesimal kleinen) Massenteile aus Gründen ihrer Viel-zahl aus. Daher gehen wir hier blockweise vor: Als Block bietetsich im einfachsten Fall eine Strecke an; deren SP liegt ausSymmetriegründen in der Streckenmitte und hat eine derStreckenlänge adäquate Gewichtigkeit. So reduziert sich dieSP-Bildung eines ganzen Streckenzuges auf die gewichtete Zu-sammensetzung seiner endlich vielen Streckenschwerpunkte.

Beispiel 3 – Statistische Analyse:Der 4,5 m hohe, 2,7 m breite, aus gleich dicken Balkenbestehende Buchstabe „L“ eines Firmennamens war mit seinenEnden an einer Wand befestigt und hat sich aus der unterenVerankerung gelöst, sodass er nur mehr am oberen Hakenbaumelt. Um welchen Winkel hat er sich verdreht? Mit derAufhängung als Ursprung nahmen die SP des senkrechten unddes waagrechten Balkens die Positionswerte der LX- und LY-Liste ein (Abb. 4a). Sie liefern per Gewichtetem Mittel die Lagedes gemeinsamen SP. Zufolge der im <Degree>-MODEausgeführten Anweisung von Abb. 4b hat sich der Buchstabealso um etwa 9,30 mit dem Uhrzeiger gedreht.

Damit ist auch die Vorgangsweise zur SP-Bestimmung beivielgliedrigen Polygonen skizziert. Das Programmpaket

POLYGON1 verbessert dabei den Abwicklungskomfort, indemes eine graphische Eingabe der Polygonpunkte vorsieht.

3. Flächen-SchwerpunktBeispiel 4 – Schwerlinienschnitt:Für ein beliebiges Dreieck sei der Schwerpunkt seiner Flächeauszumachen!Im WINDOW Xmin = 0, Xmax = 9.4, Ymin = -0.6 und Ymax = 5.6 eröffnen wir das Dreieck der Abb. 5d, indem wirnach Wahl des <Func><Connected>-MODE die Seiten-Gleichungen formulieren (Abb.5a) und ihre Steigungenfestlegen (Abb. 5b).

Dieses Dreieck zerschneiden wir in lauter grundseiten-parallele Streifen (Pi,Qi) und tragen zu diesen die Schwer-punkte ein, indem wir nach Abb. 5c die Variable Y initialisie-ren und darauf die Mehrfachanweisung dieser Abbildung mitENTER CLEAR oftmals ausführen. Im Resultat (Abb. 5d) er-kennen wir, dass alle Streifen-SP auf einer Geraden, derSchwerlinie sc liegen.

Der Gesamt-SP als Linearkombination aller Streifen-SP liegtzwingend auf dieser Linie, doch an welcher Stelle? Wir stellenderen Gleichung mit der Steigung W auf und fügen demDreieck noch die Schwerlinie sb mit der Steigung V hinzu(Abb. 5e, f).

Mittels CALC<intersect>, gefolgt von der Auswahl der Linien„4“ und „5“ finden wir den Schwerlinienschnitt (Abb. 5g).Kehrt man unmittelbar darauf in den Home-Screen zurück,zeigen die Anweisungen der Abb. 5h unter Gebrauch desStrahlensatzes, dass bei beiden Schwerlinien der AbschnittEckpunkt-Schwerpunkt 2/3 der ganzen Schwerlinieausmacht.

Abb. 1a Abb. 1b

Abb. 4a Abb. 4b

Abb. 2 Abb. 3

Abb. 5a Abb. 5b

Abb. 5c Abb. 5d

Abb. 5e Abb. 5f

Lernpfad „Bestimmung von Schwerpunktslagen“ Fortsetzung

TI-Nachrichten 31

Zur bequemen Schwerpunktsermittlung eines Vielecks dientdas Programmpaket VIELECK1. Nach zyklischer Eingabe derEckpunkte ermittelt es neben anderen Daten des Vielecksauch die Lage des Linien- und des Flächen-SP.

Beispiel 5 – Numerisches Integral:Der Oberflächen-SP einer Halbkugelsphäre mit Radius 1 liegtauf der Symmetrieachse der Figur. Unterteilen wir dieHalbkugelhaut durch Breitenkreise in ringförmige Streifenund lassen den Zentriwinkel vom Sphären-Rand zumSphären-Scheitel streichen, so beträgt die Streifenlage jeweilssin(Θ) und die gewichtende Streifenfläche 2πcos(Θ)*dΘ. Dasnumerische Integral *2πcos(θ), θ, 0/, π/2) / (2π)im <Radian>-MODE erbringt für die SP-Lage den halbenRadius.

Beispiel 6 – Umkehrproblem mit Solver:Ein aus hohler Halbkugel und Kegelmantel zusammen-gesetzter Körper (Abb. 6a) soll stabil auf dem Kugelscheitelstehen. Wie hoch darf der Kegel höchstens sein?

In Anwendung des Resultats aus Abb. 5h liegt der SP desKegelmantels, der eine Aneinanderreihung kongruenterDreiecke darstellt, auf H/3; die Gewichtung obliegt derMantelfläche, beträgt bei R=1 also 2π√(1+H2)/2 . Der SP derHalbkugelsphäre hat den Wert -1/2 und die Bewertung 2π.Damit der Gesamt-SP in den Kugelmittelpunkt gelangt, mussder Ausdruck in Abb. 6b, Zeile 1-3 Null werden. Stabilität istdemnach unter der folgenden Bedingung gegeben:

4. Volumen-SchwerpunktBeispiel 7 – Sequentielle Summierung:Wo liegt der Schwerpunkt einer Vollpyramide, derenGrundfläche und deren Spitzen-Schwerlinie jeweils auf 1normiert sind?Mit Unterteilung der Pyramide in grundflächenparalleleScheiben wird zufolge des Strahlensatzes zwingend, dass derPyramiden-SP auf der Verbindung zwischen Grundflächen-SPund Pyramidenspitze liegt. Das zugehörige Gewichtete Mittelergibt sich nach Abb. 7a, b mit 75% der Schwerlinienlänge.

5. Der Schwerpunkt-TurmDurch Stapeln gleicher Münzen soll ein möglichstüberstehender Turm gebaut werden!

Ausführungsfremd, aber logisch zielführend müssen wir denTurm von der obersten Münze her errichten und ihm Münzeum Münze unterschieben, wobei jede mit ihrem Rand unterden SP des bestehenden Turmteiles zu bringen ist. MitHinzutritt der n-ten Münze verlagert sich daher der SP desbisherigen Münzstapels von xn-1 auf den neuen Wert:

Diese Rekursiv-Formel überantworten wir für R=1 im <Seq>-MODE dem Formeleditor (Abb. 8a), stellen das WINDOW auf die Werte nMin = 0, nMax = 47, PlotStart = 1 undPlotStep = 1 sowie Xmin = 0, Xmax = 47, Ymin = 0 undYmax=6.2 ein, wählen als Darstellungs-FORMAT <Time> undexekutieren die im Home-Screen zu formulierende An-weisung der Abb. 8b, Z. 1/2. Die (geringfügig vignettierte)Graphik (Abb. 8c) muss ins Hochformat gedreht werden, umden aus 48 Münzen bestehenden Turm zu erhalten.

Gegenüber der untersten Münze bordet er bereits um das inAbb. 8b, Z.4 ausgewiesene Vielfache des Münzdurchmessersüber! Dass er im Prinzip beliebige Weiten erzielen kann, wirdmit dem Rechner über die letzte Anweisung der Abb. 8bdemonstriert: Mit jeder Vervierfachung der Turmhöhe wirdmindestens 1 weiterer Münzradius überspannt!

Der Autor:Mag. Heinz Pichler, A-SpittalE-Mail: [email protected]

1 Die Bilder und Programme dieses Artikels liegen zum Download inder Materialdatenbank der TI-Homepage bereit! Dort finden Sieunter demselben Titel weitere Beispiele zu diesem Thema mit teilsdetaillierteren Erklärungen!

Abb. 5g Abb. 5h

fnInt(sin(")*2Äcos(

Abb. 6a Abb. 6b

Abb. 7a Abb. 7b

H R< − ⋅37 12

.

= −xx

nn 11 1

1 0

1 10

⋅ −( ) + +( ) ⋅= + =−

−n x R

nx

Rn

xnn ,

Abb. 8a

Abb. 8c

Abb. 8b

Lernpfad „Bestimmung von Schwerpunktslagen“ Fortsetzung

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TI-Nachrichten · 2016. 10. 1. · 4 TI-Nachrichten 1. Vorbemerkungen Der Begriff Spline hat seinen...

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