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Statistische Berechnungen in der

Prozesskontrolle

Inhalt : Inhalt : ..................................................................................................................................................................... 1 Vorwort und Einführung ......................................................................................................................................... 2 Ppk – Kennwert....................................................................................................................................................... 3

Bedeutung : ......................................................................................................................................................... 3 Berechnung : ....................................................................................................................................................... 3

Vorgaben :....................................................................................................................................................... 3 Berechnungen : ............................................................................................................................................... 3

Cpk – Kennwert über Streuung berechnet .............................................................................................................. 4 Bedeutung : ......................................................................................................................................................... 4 Berechnung : ....................................................................................................................................................... 4


Cpk – Kennwert über Spannweite berechnet .......................................................................................................... 6 Bedeutung : ......................................................................................................................................................... 6 Berechnung : ....................................................................................................................................................... 6


Eingriffsgrenzen über Streuung berechnet .............................................................................................................. 8 Bedeutung : ......................................................................................................................................................... 8 Berechnung : ....................................................................................................................................................... 8


Eingriffsgrenzen über Spannweite berechnet........................................................................................................ 10 Bedeutung : ....................................................................................................................................................... 10 Berechnung : ..................................................................................................................................................... 10

Vorgaben :..................................................................................................................................................... 10 Berechnungen : ............................................................................................................................................. 10

Tabelle mit Kompensationswerten........................................................................................................................ 12


Vorwort und Einführung In der heutigen Zeit werden die Qualitätsansprüche an Produkte und Dienstleistungen immer wichtiger. Doch was ist eigentlich Qualität, und wie kann man sie messen ? Bei kontinuierlichen, also messbaren Merkmalen wie die Länge eines Bauteiles oder dem Durchmesser eines Loches kann man diese Frage leicht beantworten. Man nehme das Teil, messe das Merkmal und vergleiche, ob der gemessene Wert innerhalb der Toleranz liegt. Nur hat diese Methode einen entscheidenden Nachteil. Man hat zwar eine genaue Aussage, jedoch nur für dieses eine Teil. Wenn nun jedoch in der Serienfertigung mehrere tausend Teile gefertigt werden hat man entweder eine ganze Menge zu tun oder man setzt statistische Methoden ein, um über wenige Messungen eine Aussage für alle Teile treffen zu können. Hier setzten die Fähigkeits-Kennwerte wie Ppk und Cpk an Außerdem ist es wichtig, den Herstellungsprozess beobachten zu können. Angenommen der Bohrer verschleißt, und die Löcher werden immer kleiner. Gemessen wird aber nur noch jedes tausendste Teil. Wann sollte dieser Bohrer nun gewechselt werden? Für diese Aussage muss man den Prozess kennen und Erfahrungen mit ihm gesammelt haben. Das Sprichwort ‚Aus Fehlern wird man klug’ stimmt. Aber warum denn erst Fehler machen ? Wenn man den Prozess beobachtet erkennt man ja, dass der Durchmesser demnächst zu klein wird, und kann den Bohrer vorher wechseln. Die Anforderung an die Prozesslenkung ist in erster Linie den Prozess zu verstehen und zu verdeutlichen um daraus Aussagen und Entscheidungen ableiten zu können. Außerdem werden immer häufiger vom Kunde bereits vor und während der Serienfertigung gewisse Mindestgrößen der Fähigkeits-Kennwerte für kritische Maße verlangt um sicherzustellen, dass diese Maße bei allen Bauteilen innerhalb der Toleranz liegen. Komplette Abhandlungen zu den Themen statistische Prozesslenkung und SPC finden Sie in verschiedenen Büchern und den entsprechenden Bänden der Qualitätsnormen wie ISO9000, VDA und QS9000. Ich möchte an dieser Stelle lediglich die Berechnungsverfahren der Kennwerte darlegen, damit auch Firmen ohne SPC-Software die Möglichkeit erhalten die geforderten Kennwerte zu ermitteln.


Ppk – Kennwert

Bedeutung : Der Ppk-Wert wird als vorläufige Prozessfähigkeit bezeichnet. Daraus wird schon klar, wann er Anwendung findet. Normalerweise wird der Ppk-Wert genutzt, um vor Serienstart mit einer geringen Anzahl Teilen eine Aussage für den späteren Serienprozess zu erhalten. Es werden keine Stichproben, sondern die Gesamtzahl der gemessenen Werte betrachtet.

Berechnung :

Vorgaben : x1, ..., xn : Gemessene Einzelwerte n : Anzahl der Einzelwerte SOLL : Soll-Maß OSG : Obere Spezifikationsgrenze (=SOLL + obere Toleranz) im englischen USL (upper specification limit) USG : Untere Spezifikationsgrenze (=SOLL + untere Toleranz) im englischen LSL (lower specification limit)

Berechnungen :

x : Mittelwert der Messwerte

n

xx ��

oder anderst geschrieben:

n

xxxx n��

�

...21

0� : Streuung der Messwerte

� �

)1(*²* 2

0�

�

�

� �nn

xxn�

oder anderst geschrieben

)1(*)²...()...(* 21

222

21

0�

��

�

nnxxxxxxn nn

�

Pp : Dient der Beurteilung ohne Berücksichtigung der Mittellage und ist gleichzeitig der bei dieser Streuung größtmögliche Ppk-Wert

0*6 �

USGOSGPp �

�

Ppk : Dient der Beurteilung mit Berücksichtigung der Mittellage

Mimimum von 0*3 �

xOSGPpk �

� oder 0*3 �

USGxPpk �

�

Bei einseitig begrenzten Merkmalen wird die nicht vorhandene Grenze ignoriert.


Cpk – Kennwert über Streuung berechnet

Bedeutung : Der Cpk-Wert wird als Prozessfähigkeit bezeichnet. Normalerweise wird der Cpk-Wert genutzt, um während der Serienfertigung mit Messung von Stichproben eine Aussage über alle Teile zu erhalten.

Berechnung :

Vorgaben : x1, ..., xn : Gemessene Einzelwerte der Stichprobe n : Anzahl der Einzelwerte je Stichprobe m : Anzahl der Stichproben SOLL : Soll-Maß OSG : Obere Spezifikationsgrenze (=SOLL + obere Toleranz) im englischen USL (upper specification limit) USG : Untere Spezifikationsgrenze (=SOLL + untere Toleranz) im englischen LSL (lower specification limit)

Berechnungen :


n

xx ��


n

xxxx n��

�

...21

x : Mittelwert der Mittelwerte aus den Stichproben

m

xx ��


n

xxxx n��

�

...21

n� : Streuung der Messwerte

� �

)1(*²* 2

�

�

�

� �nn

xxnn�


)1(*)²...()...(* 21

222

21

�

��

�

nnxxxxxxn nn

n�

� : Mittelwert der Streuungen aus den Stichproben

mn�

�

�

�


mn��

�

��

�

...21


�̂ : Streuung mit Kompensierung ( c4 siehe Tabelle )

4

ˆc�

� �

Cp : Dient der Beurteilung ohne Berücksichtigung der Mittellage und ist gleichzeitig der bei dieser Streuung größtmögliche Cpk-Wert

�̂*6USGOSGCp �

�

Cpk : Dient der Beurteilung mit Berücksichtigung der Mittellage

Mimimum von �̂*3

xOSGCpk �

� oder �̂*3

USGxCpk �

�



Cpk – Kennwert über Spannweite berechnet

Bedeutung : Der Cpk-Wert wird als Prozessfähigkeit bezeichnet. Normalerweise wird der Cpk-Wert genutzt, um während der Serienfertigung mit Messung von Stichproben eine Aussage über alle Teile zu erhalten. Bei der Range-Berechnung wird nicht mit der Streuung, sondern mit dem Abstand der min.- und max.-Werte der Stichprobe gerechnet

Berechnung :

Vorgaben : x1, ..., xn : Gemessene Einzelwerte der Stichprobe n : Anzahl der Einzelwerte je Stichprobe m : Anzahl der Stichproben SOLL : Soll-Maß OSG : Obere Spezifikationsgrenze (=SOLL + obere Toleranz) im englischen USL (upper specification limit) USG : Untere Spezifikationsgrenze (=SOLL + untere Toleranz) im englischen LSL (lower specification limit)

Berechnungen :


n

xx ��


n

xxxx n��

�

...21


m

xx ��


n

xxxx n��

�

...21

nR : Range in Stichprobe minmax xxRn ��


R : Mittelwert der Rangewerte aus den Stichproben

mR

R n��


m

RRRR n��

�

...21

�̂ : Range mit Kompensierung ( d2 siehe Tabelle )

2

ˆdR

��

Cp : Dient der Beurteilung ohne Berücksichtigung der Mittellage

und ist gleichzeitig der bei dieser Streuung größtmögliche Cpk-Wert

�̂*6USGOSGCp �

�

Cpk : Dient der Beurteilung mit Berücksichtigung der Mittellage

Mimimum von �̂*3

xOSGCpk �

� oder �̂*3

USGxCpk �

�



Eingriffsgrenzen über Streuung berechnet Berechnung für Xquer-S Karte

Bedeutung : Eingriffsgrenzen dienen der Untersuchung, ob sich am Prozess etwas geändert hat. Wenn z.B. bisher alle Mittelwerte mit einer gewissen Streuung um eine Linie lagen, nun aber beginnen größer zu werden, ist dies ein Hinweis, dass sich etwas geändert hat. Dann sollte die Ursache für diese Veränderung untersucht, und wenn möglich abgestellt werden. So können Überschreitungen der oberen Eingriffsgrenze der Sreuung bzw. der Spannweite R folgende Ursachen haben:

- Größere Streuung - Werkzeugverschleiß - Gelockerte Befestigungen und / oder ungenauere Positionierung des Teiles

Überschreitungen der Eingriffsgrenzen für die Mittelwerte können folgende Ursachen haben: - Werkzeugverschleiß bzw. Werkzeug neu geschärft - Positionierung des Teiles verrutscht - Andere Messmethode / Messungen durch andere Person

Da bei dieser Untersuchung nur die Gleichmäßigkeit des Prozesses betrachtet wird werden die eigentlichen Toleranzen (OSG und USG) nicht berücksichtigt. Eingriffsgrenzen dienen als Richtwert wann der Fertigungsprozess überprüft werden soll. Es sollte in jedem Fall klarheit erlangt werden, welche Ursachen für die Verletzung der Grenzen verantwortlich sind. Um diese gegebenenfalls abstellen zu können. Außerdem sollte nach der Verletzung der Eingriffsgrenzen der Cpk-Wert für die letzten Stichproben neu errechnet werden, um sicherzustellen, dass dieser Wert nicht unterschritten wird. Es gibt Eingriffsgrenzen sowohl für den Mittelwert X als auch für die Spannreite R der Stichprobe.

Berechnung :


Berechnungen :


n

xx ��


n

xxxx n��

�

...21


m

xx ��


n

xxxx n��

�

...21


n� : Streuung der Messwerte

� �

)1(*²* 2

�

�

�

� �nn

xxnn�


)1(*)²...()...(* 21

222

21

�

��

�

nnxxxxxxn nn

n�

� : Mittelwert der Streuungen aus den Stichproben

mn�

�

�

�


mn��

�

��

�

...21

XOEG : Obere Eingriffsgrenze für Mittelwert der Messwerte ( A3 siehe Tabelle )

im englischen auch XUCL

�*3AxOEGX ��

XUEG : Untere Eingriffsgrenze für Mittelwert der Messwerte ( A3 siehe Tabelle )

im englischen auch XLCL

�*3AxUEGX ��

�OEG : Obere Eingriffsgrenze für Streuung � ( B4 siehe Tabelle )

im englischen auch �

UCL

��

*4BOEG �

�UEG : Untere Eingriffsgrenze für Streuung � ( B3 siehe Tabelle )

im englischen auch �

LCL

��

*3BUEG �


Eingriffsgrenzen über Spannweite berechnet Berechnung für Xquer-R Karte

Bedeutung : Eingriffsgrenzen dienen der Untersuchung, ob sich am Prozess etwas geändert hat. Wenn z.B. bisher alle Mittelwerte mit einer gewissen Streuung um eine Linie lagen, nun aber beginnen größer zu werden, ist dies ein Hinweis, dass sich etwas geändert hat. Dann sollte die Ursache für diese Veränderung untersucht, und wenn möglich abgestellt werden. So können Überschreitungen der oberen Eingriffsgrenze der Sreuung bzw. der Spannweite R folgende Ursachen haben:

- Größere Streuung - Werkzeugverschleiß - Gelockerte Befestigungen und / oder ungenauere Positionierung des Teiles

Überschreitungen der Eingriffsgrenzen für die Mittelwerte können folgende Ursachen haben: - Werkzeugverschleiß bzw. Werkzeug neu geschärft - Positionierung des Teiles verrutscht - Andere Messmethode / Messungen durch andere Person

Da bei dieser Untersuchung nur die Gleichmäßigkeit des Prozesses betrachtet wird werden die eigentlichen Toleranzen (OSG und USG) nicht berücksichtigt. Eingriffsgrenzen dienen als Richtwert wann der Fertigungsprozess überprüft werden soll. Es sollte in jedem Fall klarheit erlangt werden, welche Ursachen für die Verletzung der Grenzen verantwortlich sind. Um diese gegebenenfalls abstellen zu können. Außerdem sollte nach der Verletzung der Eingriffsgrenzen der Cpk-Wert für die letzten Stichproben neu errechnet werden, um sicherzustellen, dass dieser Wert nicht unterschritten wird. Es gibt Eingriffsgrenzen sowohl für den Mittelwert X als auch für die Spannreite R der Stichprobe.

Berechnung :


Berechnungen :


n

xx ��


n

xxxx n��

�

...21


m

xx ��


n

xxxx n��

�

...21


nR : Range in Stichprobe minmax xxRn �� R : Mittelwert der Rangewerte aus den Stichproben

mR

R n��


m

RRRR n��

�

...21

XOEG : Obere Eingriffsgrenze für Mittelwert der Messwerte ( A2 siehe Tabelle )

im englischen auch XUCL

RAxOEGX *2��

XUEG : Obere Eingriffsgrenze für Mittelwert der Messwerte ( A2 siehe Tabelle )

im englischen auch XLCL

RAxUEGX *2��

ROEG : Obere Eingriffsgrenze für Spannweite R ( D4 siehe Tabelle )

im englischen auch RUCL

RDOEGR *4�

RUEG : Untere Eingriffsgrenze für Spannweite R ( D3 siehe Tabelle )

im englischen auch RUCL

RDUEGR *3�


Tabelle mit Kompensationswerten

c4 d2 A2 A3 B3 B4 D3 D4 0,7979 1,128 1,88 2,659 - 3,267 - 3,267 0,8862 1,693 1,023 1,954 - 2,568 - 2,574 0,9213 2,059 0,729 1,628 - 2,266 - 2,282

0,94 2,326 0,577 1,427 - 2,089 - 2,114 0,9515 2,534 0,483 1,287 0,03 1,97 - 2,004 0,9594 2,704 0,419 1,182 0,118 1,882 0,076 1,924 0,965 2,847 0,373 1,099 0,185 1,815 0,136 1,864 0,9693 2,97 0,337 1,032 0,239 1,761 0,184 1,816 0,9727 3,078 0,308 0,975 0,284 1,716 0,223 1,777 0,9754 3,173 0,285 0,927 0,321 1,679 0,256 1,276 0,9776 3,258 0,266 0,886 0,354 1,646 0,283 1,717 0,9794 3,336 0,249 0,85 0,382 1,618 0,307 1,693 0,981 3,407 0,235 0,817 0,406 1,594 0,328 1,672 0,9823 3,472 0,223 0,789 0,428 1,572 0,347 1,653 0,9835 3,532 0,212 0,763 0,448 1,552 0,363 1,637 0,9845 3,588 0,203 0,739 0,466 1,534 0,378 1,622 0,9854 3,64 0,194 0,718 0,482 1,518 0,391 1,608 0,9862 3,689 0,187 0,698 0,497 1,503 0,403 1,597 0,9869 3,735 0,18 0,68 0,51 1,49 0,415 1,585 0,9876 3,778 0,173 0,663 0,523 1,477 0,425 1,276 0,9882 3,819 0,167 0,647 0,534 1,466 0,434 1,566 0,9887 3,858 0,162 0,638 0,545 1,455 0,443 1,557 0,9892 3,859 0,157 0,619 0,555 1,445 0,451 1,548 0,9896 3,931 0,153 0,606 0,565 1,435 0,459 1,541

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