Stephan Rosebrock

Geometrische Gruppentheo rie

Stephan Rosebrock

GeometrischeGruppentheorieEin Einsti eg mit dem Computer.Basiswissen für Studium und Mathematikunte rricht

2., aktualisierte Auflage

STUDIUM

11VIEWEG+TEUBNER

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Dr. Stephan RosebrockPädagogische Hochschule KerlsruheFakultät 111 Mathema tikBismarckstr. 1076133 Kartsruhe

E-Mail: rosebrock@PH-karlsruhe.de

1. Auflage 20042., aktualisierte Auflage 2010

Alle Rechte vorbehalten© Vieweg+Teubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010

Lektorat: Ulrike Scnmickler-Hirzebruch I Nastassja Vanselow

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Umschlaggestaltung: Künkettopka Medienentwicklung, HeidelbergUmschlagmotiv: Ehrhard BetuenosGedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.Printed in Germany

ISBN978-3-8348-1038-0

Gewidmet Fdix u1Jd Sa..'-ikill

Vorwort

Symmetrie ist überall. Blüten , Kris talle, viele Xatnrphänomene und Artefakte er­Sc!Wi IIPIl um; schön, gl'radf' in ihrer symmetrischen Erscheinung . Xlan mag sich andieser Schön heit er freuen lind PS hr- i 111'1' Bewunderung da für bewendenlassen. Hierwird ein systemat tsierender Zugang zur Symmetrie vorgeschlagen : Sie soll so weitlind so al lgemein wie möglich ma tln-mati sch verstehbar gemacht werden.Im vngcn'n Sinn geht (' S im vc rliogoudcu Buch UlIl G ruppentheorie . 1\1<111 kannGruPIll'1I als algebraische Objek te auffassen , die die Svmmctrie \'011 geomet rischenObjekten bes rhreiben . Das wird hauptsliehlieh der im Folgr-nden elugononuueueBhekwinknl sr-in und somit ist dit~{·s Duell auch du Bild , übel' Gl'o IllPtril' . Grup­pen bes chreiben Symmetriephänomene algebraisch - man rechnet mi t. Spi<'Kt'IUII­gen, Drehungen, usw. allgenrein mit Abbildungen von Räumen auf sieh .

In der Gruppentheorie la..,,;sC'1I sieh Definit ionen lind Sätze oft sehr knapp Ionnulle­rcu. Der AII111ilU der Gruppentheo rie ist klar uud logisch, und so wurde slc auchvor nicht allzu langer Zeit iu der Regt'] gelehrt: Viele Definit ionen IIlId Siitze mitBeispielen versehen. Dies er abs tra kte AIIIlJaIl der Cruppcnt hoorio ist aber \\u.l('rgoncrtsch fundiert noch ist es <11'1' st rukturell einfachste " J edes Lerne n von ncucmiuathr-matischcn Stof f, sei es lx-i Kindern oder bcl Erwachscuou . muss an Vorwissenauknüpfcu - lx-knnntlk-h lu-ikt LI'r1H'II, :'\('I1<'S in Bekanntes sinnvoll zu iutcgrk-n-nbxw. Wissensst rukturen dann neu zu organisieren , \'''('11Il die Lorngogcnst ändo ( 'S ( ' I' ­

fordern . Für die Gruppcutbccrio eignet sieh die Geometrie als Anschauungsfeld inhervor ragender \Vl'ise. Splegcluugcu uud manchmal auch Dn-huugon sludbokauur,sie sind bereits Stoff in der Grundschule und jedem Sr.ndicn-ndcn vrr trunt . VieleBücher nehmen dagegen ein Großteil ihres Beispiolmn rerials aus dem Bereich derMat rixgruppen . Mat rizen sind Thema in den erst en belden Semes tom eines Mathe­iuatikst ud iums, doch oft ist der Begriff der Matrix und der- linearen Abbildung beiAnfängern im Bereich Gruppentheo rie noch nicht so gefest igt , dass Matrixgruppenals Beispiele anschaulich werden können. xlatrixgruppcn finden sich daher im vor­liegenden Band erst im Anhang . Erst dort werden Kenn tnisse der linea ren Algebravorausgesetz t.Hinzu kommen zwei weitere Schwierigkeiten für den Gruppeut beoncanfänger: Imschulischen Xlathematikuu torricht werden die Schüler / Innen im Allgomoiueu 13J ahre lang aussrhlieklirh mit a!w!schell Operat ionen konfrontiert - das obwoh lman sogar in einer 5. Hauptschulklasse und in der Grun dschule meiner Erfahrung

\"\ 11 Vorwort

unch so sinnvoll w ie l' l'fo lgn' ich c\ llfiill!!;t' von (Iruppcntluxn-ir- lx-trcihuu kann. .vn­fiinJ!;t' l'st llllit'r l' lllll'l l iSI abo in dor l~ pJ!;1' 1 lia s nicht-abr-lschr- Denkr-n illl lj.!,ru lill ihrerSchulkarriere fern uud füllt ihne-n cut sprt-chcnd sc hwer. Zudem arbeitet mall in ck-rSr-hule und utn .\n faHJ!; des Studiums in der Xlatln-matik mit konk n-n-n Objekten{Zahlen. Funk tione-n. .\ Iiltrizl,Il ....). l.crm-ndc lllüs;;ell lupi;;! etwas ausrcrlnn-n. ludt-r ( ; ru j>l lt'lll h l'lll'il' wird (lagt'W'11 axiomutisrh HlIW'J!;iln ,l?;('II: "Stell dir I'illl' .\ lplIj!;1'vor. die d as und das crfiillt". D ipsI's Vorgohon stell t lx-i der gt'gell \l'iinigl'1l Soziuli­S1lI iOll in lila 1hema I isrhes Denkr-u hohen- .\ llSPnirln- un dir- c\ h:-tmkt ion;;fiihip;kt-it .

:'\11n h at clip ( :I'OI1 lt't r ip in der (: 1'11j>IH '11t lw lll'il' ilIHT nicht nu r holu-u didakt isclu-n

\rprt : auc-h moderne Emwicklung on in tk-r Gru p]lc'lltl ll'oric ' ZPigl 'll in clipsI' Hirli t ung .Der Sat z von Sn m :-.\ [ilBol' , die hvprrbolisr-hr-n Grupp(,ll von GroIl1O\' , usw. deuro» Gnl ppl 'll iihor ih n ' O porat lour-u a uf gl'Olllt' ll'isd l('\1 Räu men: me-hr 1l0t'! 1 Di('( : 1'11jll ll'11 spIllS! wt-rdr-n (über ihn- Cayky ·( : raphl'n ) ZUl11 p;t'( lIIIPtl'isclwll Objek t .Das is t r-iru- Iundnnn-ntal andere Sicht von ( Iruppou . d ip sic-h sr-it. den lc-tz tvn 1:-,

.luhn-n langsam d llrchsdzt und ih n-rsl'it ;; nn Arbr-iu-n \"( IU '\[ ax Dehn und umlen-u\'0 111 An fa llg des zwa liz igs l cli .luhrhundons uukuüpft . C:rllnditll 'c'll sind lx-rt-it s im;;(lgt'llal 111tl' ll "E I'la l1gl'r Progrnunn" \"CHI l-e-lix Klein al lS dem .Inhr [872 /.11 fiIU!PlI"

in dem (' I' \'o r s( 'hl ii~ t , Gr llpj H' l1 zur h:la.ssifiknt ion von G('ollll' t r il'u Zll vcrwcu.k-n(sil'llI' Abschnir t S.l ). Dipst, "neue" Sicht von C: rHppC'lll l!t'Oril' ist in der Litera t urbisher fast 11111" in 11('llt'I'('1 1 Fllrsd lllllgsal 1fs iil zc'll Zll finden.

! ) il'SI' El1 twk kli l11/!,C'11 im Ik-rc'u-h der Tln-oric und /!, l"I l1 l dsii tzlidll~ mathr-marikdi­dHkt bd lt' :\ Jet hod enrefk-x iOllt'11 huhen 1Ilich Z11 dem vorliPgt'Udt'll Band 11 l1J!;t'l"l'gt "EI';;t (' II;; so l l tc~ ciur- leicht vers tändliche Eiuführuug für ulk-. die Oruppcm hcoric k-r­lH'11 wollen . 1'1J(.St chcn. Er t-ut hiilt dt's hulh dir- wesent lir-lu-n C:rundlagen. dir' rnun

zu r11 Basisw i;;S('tl G ru P]1I'll( ln-oril ~ red mc'11 kann. 0huc \-icl uu-hr \-oruHSZllSI' t zcu als( li l ~ ckunentun- Grouu-trit- (1(,1' Sr-kundarstufeI und ( lruud kr-nntni-e«: HIwI' Funkuo­lH'l1 [iujr-kti v. surjr-kt iv. hijckt iv ). [)ah c ~ i liq~t der Srhworpuukt <l llf d c'l' Ik u l 11 11P;

t'illl' r (;nl p\ll' a ls .\ lt'llgl ' \ Oll .\ bbild llllg,l'II. dil' a llf t'iIll' lIl Hilllln oIll'!'iI'l'l'll. Olll ll' j l>"dod 1 ()Pli a llp;('l llt'illeI1 Fa ll ('ill('!" a lls tmk t gq~('!l (' I I ( '1 1 ( ; l"ll j ) I)( ~ a l11'.l:r Ac"ht ZII las."';(~ ll "

ZUIll /.wl'ilt 'lI so ll das Bllt'!l in d it, 11llldt'rlWll lJIatl! l'llml isdwll Etll ll" k k hlll J!;l'lI dt ,l'( ; n lj>[l('llt lwnr i(' l'il lfii ll l'(,ll" A IWl l b i('1' \\"in lllliigl ic "l lSI dC~ llll'l1 tar \"III'p,I'/-ial1/!,c'll. Es ist

fl'('il k h lIichl Zll \'c'l'llll'id l'lI. da.ss dl' l' Tl'xl il1 d l'll ltim t'n 'n Ka p ill 'lll sdl\\"i l'riW' 1' Zl1Il'SI'1l iSI als ill l \'ordl'l"c:II T('il. T1"Ol z tll ~1 11 Silld C ' ill i /!, ( ~ Zl'll tra !e lIla tll1:lllilti sd H' Ill lm!l l:sowpit elPlllellt arbit'rhar. dass .sie si ch nah l los a ll d it, I'rst l'll I~ a p it pi a llsch lit,i,l'll la~:-;('11 . Dri tt eilS lel'm IIl,UI ill di l'''; C' lIl Burh C'illigC's ii!ll' l" G ('(llHC' t l'k . DiC' St rukt ur d (']'l'u kli di sl'!lt'llllnd hyperbolisch en E llt'Il{' e!Jens o \\"il' die tipI' 2~Sphiin' \\'inl d nreh ih r!'!solllpl l'i(' ll lI11 tt'l';;IWhl " Es el'gih t sich pill li d (' J"('s \ '('rs l iilllllli;; (k r SY lll l l l( , t l"i('e i p;I 'Il~

sdlaftl' ll Ilt'kall llter Biillllll' , wie Zllll i JJl' is jlil'1 c\el" n 'l;ll liin ' ll J'ol,n'dl'r. Schlit'blieh\\"t'I'Ck li \'kk BPi:-;p i(,[ p lllit d em !i-('i ('rh iili lid ll'll GrnpP('Tl lh pol'k progra lll lll G .\ I '

11 11lgpst'IzL G ruPP('11 sind für \"it' ll' .-\ llfiingt'l' l't \\"11S so .-\ bs t l'a ktes. d a ss ihn!'ll j t'l!P1\Ollk r('1 isi1'1" 1\ llg lI'e it(' 1'hc1 f(,ll killlll " G ,\ P ('bl' IlSO \\"ü : die gl'OIBC' t r isdll' \ 'I' ra u;;cha u­lit' !lllllg Jt>is tPIl d a,," Es i"t m it (kr fort sch n 'il pllll (' ll Compl ltl'rt l'('lll lik für mat lwmil­l i;;f:h 11l1c' l"t 's s il'l'lc' si dl(' l"l k h Sillll \·oll. ckTl l:lllgallAmi t d l l(' lIl AIgl'hl'ilprogra uJlIl m

IX

k-rtu:n - das ,\!psdlidl l ln-im L('S( '11 (k s T('Xll'S gl'w issl' l"l tla bt'lI nebouln-i.

Das Buch II"t'IH!t'1 s ich an Di plom - und Lehramt sst udu-n-ndr- dt'l" Mathemut ik lind

Xa turwis-r-nsrhaftcn. di ( ~ ZUtJl orst on Xlal mit ( Iru ppcnthcxn-ir - in Ik rü h n lllK kom­1111'11 . Ebenso is t I'S al x-r für Studicrt-nde und \Y issPllsl'h aft k r gl'dil cht. dil ' sich lJl

l!il' lIIlICI(,t'lIl' 11 gPlUIU'Il"isd ll:ll ' \ SI)I'k l (' 11('1' G ruppouthooric hinr-iuloson wollen .

IIlI I'I'SII'II Kupit r-l wird dh- ( ; ('Oll ll' t l'k hr-haudolt . soweit si!> für di p wdl ITl' lI Kupir c-lIlOI\\"('ll d ig is t. Es geh l lllll lsonn-rrieu und ihn- Xotution. Pcnnututiom-n sowie di e

lliuteroinnndr-raux fiihruug " Oll Isomonicn. Im xwoircn IIJld dri tt e-n Kapit el werdend il' ( ; rut id lagPIl der C;n 11)pi-nt IH-r lr il' SI 1 gelltl ]('1risd I wip IIIiigl ir-l I gl' lq!,t . I IISI)I'SlJIlI\l'­1'( ' diPSl'l' Teil isl dabr-i so .!!psc!Jl"ie!ll' ll, d ilss man sich anr-h iru Sdhsl Sll Hliu ltl, ohneIH'p;lpitP lll l(' Vorlesung. den Stoff ilw'iglll' 11 kann.IIl I vir-non Kapit ol wr-nh-n ln-i der Einfii !Jnlllg rh-r svmuu-trisrhr'u und alt er nie­rt-nden C rUPIl(' erstmals Pvrtnututlonvn nbstrakt. oluu- Hp/.up; xur (; pollll't r il' , IH"

trar-l nr-t . Hier wird Iunualisic-rt, was in l\:a p it p1 2 undä -chon gl'olllt' trisdl g(,llladil

wurde: (;nl [II)PII opr-ru-rr-n auf \ [pnW'I I. lm Absr-hnit t ,I,;, wird <111 einem Ill'is p il'l

de-r Satz von S\'a rc- \ li lll(ll' crbiun-rt . Einr- [lriizisl' FIJrlIl111 i/']"ll llg Il ic'SPs SiltzC'S fiu­

de t s ich in Kapitel 8, Hier. wie- an vielt-u andr-rt-u Stelh-n. wird r-in 1l lE' lhotl isd ll's

]\OI\Zl'P I dl 'S Buchs deutlich: Dic' lc1 l'C'II, dir- hint er den lu-tn-Hcudr-n Sadj\"('rha h l'ust r'hen , werden nuhund um B!'isp it'll' ll \'(11' d l'r p l"ii/i sl ~ ll matlu-nunisrhen Formulir­rung du rgos tcllt . In Kapin-l ::. w ird die Da rstcl lnng t-incr C rupjx- durch E rZPlIl!,l'll dl '

und Helationon helumdelt. In cng ':m ZUSil111 11 IPuha ng damit stehen di p \"(111 \ Iax

Dr-hn uru . \ llfa llll; I!C'S zwanzigstr-n Jahrhundert s fonnulicru-n Ell1sd lPillllllgs li'i1 Il;I'Il ,

1111 durnullolgt-mk-n sec-hstvn Kupit el werden Produku- von <:l" llp pl'll tln-nuuisivrt ,l ) riisl ~ llt Hlio l j(' ll 1'011 direkt en. Freien und sr-midirt-ku-n Produku.n von <: n IJl Jl I'Il \\"1'1"­

dl'll ent wickr-lt . Das Kapit el eudvt mi t r-incr C1H'rskht HIWI" di p Tmnslatiunsunt er­

gI"1 I P ]JI~ ll diskontinuk-rlitl n-r Gl'\ IPPI' 1l der I-:Iwll('.

Kapitel 7 lu-handelt cndlicl«- Cruppcu. [)il ' kl.u-sisr-hcn S,\'lo\\'si ilZI' werden. d e I"

1(11'" d l's l ~tldl l 'S folW'ud, HIWI" O pl'l"a t ioll l'll VOll Gl'lIP IWl1 hewivscn. 111 .\bsd lll it t,

7.1'1 werden dir- l'q!,\lliil"l'll Z<'l'k g11 11g('11 d<'l" 2-Sphii l"(, SYSI<'lllillbch unalv-k-rt .1\ilpi t t,I <'l 11'idlllt 't. sich der h,,",Jl'l'b olischPli (; t 'omr-t ric 1111 d d t'11 Grup pl' l1. d il' a ltI' (!pI'hYP('l"lJ oli sd lPli 1-:111 '111' opt'l'i(' rCll. l\llilPP w ird dPl' axiollililisd l(' . \llsa!Z d er (;1'0 ­

llle t r i!' IlI'!m Iuld t IIIll dau n I'i11 ig!' i111 tl iI i\'(' gl'ol!ll'1r isd lI' \ 'o !"s t l' llu \lgl ' ll \"( l!l h,v]l!' I"­

I)o!isd l(' l' ( ~I 'l J1I l(' t ril ' !)pi 111 '11 1.('s\'1'lillllCll ZII ('I'ZP II,!!;I'Il. ,\ lls('h lidM'11l1 IITn IPu ZI'r le­

gUIl).!,t ' ll d pl' h,,",Jl'l'h olisdH'll ElWIll' 11I' t rad II( ' I lin d P rii."plIta t iOllt' ll ihrt' r S,\"l llllll' t r ip­g l"ll !IPl' ll iIlllI,l'gl'! ICI1.

III Kapil PI !J \H'rde ll di l' allS dl' lll \'(n' igell I\ a pi l l' l g('\\'Ollll('lll' ll \ 'or st el hmgl' ll lIud

Erkt'1lI1t ll isSl' a ll f d l'll ('Hyk~' . ( ; 1' ;]ph <'i ll(,]" C nlppl ' iUlgt'\\'l' lllkt und Hnsll,l'lmn l. I li pl"

wi rd di t, Id('(' dp l" ljll a si - Isllll lt'l r it, lIla l dpr h.\" Jl l ' l"h()li~d l (' ll G ruppt'll l'r1iilllt 'r! undf'ir ]('l' dl' l" \\"C'Sl'll t Hd IPli S iit zp alls dPI' TI ll'ol'i(' dl' r Itypl'l' bolisd WIl G 1'1IPIWH bp\\ 'it'S('Il,

Iliill lli( 'h ll ie Exis t l' IIZ l'ill l'l' lilU'iI1"P!1 iso peri ll ll' tl"is('heil lTllg le it'hu llg fiir h \'pI,r!)(lli.

sdH' ( ;rnp]ll ' ll. Am Em!c dl 'S BIl('hes kii lllWll Ili{'h t llll'lt r a lll' ll ilfs lll it\ l'1 IW\\'il's I'u

\\"t'l'd t'll: d as wü n k d l'l l Ha h llH'lI d t's I' ro j ('k t s spn'lIgt' ll. Es \\'I'nkll alu'l" dip je\\'ei ls

k itl 'lllkli Icl('('l l Ill\l ! \ kt IIIHII'1 1 (!('Iltlidl J!Pllla dlt,

x Vorwort

Im AIlSd dllsS an d i ( ~ muic-t r-n Absch lJitt!' finden sieh Üll1llLgsau fp,a IJ(~ Il . Dort wirddazu a llgt' rt 'g t , di t, gewoutu-nvn Erkr-uutnis-e durr-h nktivr-, Urusetaeu Z1I vortiefen.Liislll lgsh il1\\Tb l', munclunu l aurh du- ga n/cll LijslIll)!,I'Il , sind im .\ Bhang aufgeführt .Xatii t-lic-h \"t'I'IIl'r1H'1 1 sirh dh- Leserinnen 111[( 1 Lt~ ( ' r die Challn ' auf Selbstevaluat i­on . wt-nu sie lriutr:n nuehsr-huucn. olun: di e- '-\ \lfgalH'll !ll llllt-hst l' ijl,Clls t iil ld i,!!; auzu­gehen! I I I I l ntr-met steht unter lo'vv . r osebrock . ph-kar l s r uhe .de / grpt h Xlutenulau s dem hier db-kutit-rton Zusumuu-nhaug Z1I1' " ('rfügung. E:- findet sie h do rt dL'1'C .-\l l_Qllt'llt·(J( lt,. tlu-nunixr-h l·jlJS(·llliigigl' ' \\ lfsiilzt ' und \H'it('n~ C ll1 l1 l l{~lllalerial .

Fa lls ich Fehk-r finden sollu-. \\"(Tlk ich dir- \ 'c r lWSSt'n lllg,I'1l do rt lx-srhrciben. \ \"('1111

Si l' Fe-hler. Dl'fil.ill ' oder \ '(' rht'ssl 'rullgS \' o r~ ('hl iigp anmerken können. bitt I ' ich uru

Xar-hriclit unter r-osebr ocköph - k ar-Lar uhe .de

. \ hsch l i (' r' l~ lld ie-t ('S m ir ciu lh-dürfnis. nn-hn-rcn l.c-uu-n meinen Da nk unszuspre­eben. ,\ b t' I"Slt'S is t hir-r sir-her Frau Dr. Cvmhia Hog-A ugeloni 1.11 Jl('1ll11'11. Ohneih re I lilfc \\'iiI"l' I ~S mir nicht m iiglkh gl'WI'SI'1 1. d as llllll \'orlkgl'w !e Hur-h ZIl \"('1'­

wirklichen. Sir- ha t mich von Anfung bei meinem Vorhulu-n beglr-itet . Frau Dr.Hog-Angclou i hat für .it'd t's de-r Kapit el m it m ir d il' Thematik. ihre Kouzc'ptualisic­rung lIIHI :\ [1'111()llis i('l' lltlp; disk ut iort und im .\ nschluss so 111,1111"1 1(,11 Fr,III('I' g l'fIIIIlil' II,

Ihr dan kt: ich !ll'so ndt'rs nnrhdrflrklich . Frau Auuu Sc hill ha t d il' 1' ["st(' 11 thr-i Ka­piu-l /-!;t'!('SPll und sir-h dnhr-i in ein ihr frt' llldp s (;pbi(' l f'i llgearlw ilf 'l . Si(' hat m ichau f viok- SlcllC'1l b iIlgl'\l" il'SI'11. c\k duuk ihrer Hilfo ll'shi\r ('l" gl' lll ildll \\"(']"( 11'11 konn­11'11. Ich danke nubt-rdr-m l . Ir ikr- Krt-ll für d it, EI"SIl' llll llg dt 'I" .\bhild llll gl'll i,:I11 l1d

S.IO. Hanno He-lm für .\hh ild u lig H.!) und Sn•..,kia Hosr-hroc-k für llie :\ l it hilf(' IJ('i de-r:\Ht'h ll('H rlll'il llll g der .\ lll lilt lllllgpII. I' J"( >f. DI'. \\'o lfgm l/-!; :\1t'll. lf'r . S tepl lHllit, (; ina itli

und lI o1gn Bla....111l1 für iuhult lidlt' .\mq ;\l llgell 1111c1 Prof. Dr. Comelia Hosd ll"lwk

fiir sp ra d Ilid ll' Korrekt 11["('11.

Fricdrichstul. 21. :\liirz 200 1

Vorwort zur 2. Aufla ge

Stephan Hos('!Jro ('k

Di p ZWf'il t' Au flagf' gib t. ruh CI'If 'gl'lI l11' it. 1l0dll lla ls pin igf's zu iilu-rnrlu-iton. Allvielen Stellen l\iht C'S kleinon- .\ lld t'r1l1lgc' lI. manches is t dl' ll ll if:h erwr-itort wordr-u.I1lI 1\ api t 1'] ilher Pli dlie-he C ru P1H'I I werde-n 1.1l111 Hr-i spi1,1j l 'I ;' t d ir-endlichen GI"Uppcn(s t'h r) klr-inr-r ( )n IIlll llg klassiliz ir-rt .

Sch lip!-'!it'h h.nren vir-h in d ip I. ..\ u llagp, I W O' sorgfiiltigf'll I.f'SPIIS, ein paar kleinen­

Fehler l'illgl'S('h lidll'll . d il' jP Izt. eliminie-rt worden k01l1l1 ('11. Ich dunko allen. di e mid iau f l-chh-r aufmerksam ßI'lilal·llt h a lwll.

Fri pd rit'hs t aL D. ~()\ 'Plll l)('r :ZOO!) Sl l'flhan l ~os('l ll"o c 'k

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

1 Einführung in die euklid ische Geomet rie1.1 Isome rrien .1.2 Figuren und Pormnt ationen1.3 St ruktur \'0 11 Isome tm-n ..1,4 Höherdimensionale Häuurc .

2 E in fü h rung in Grup pen2.1 Gruppendefinition und die Di.xk-rgruppcu2.2 Gruppenordnung und abclsche Gruppen2.:3 Zyklische Gruppon .2,4 Eigenschalton \'011 Gruppen .2.5 Die Ordnung clues Elements .

3 Untergruppen und Homonior phlsmon3.1 Untergruppen .:1.2 Xobonklasscn und der Sat z von Lag range3.3 Homomorphismen3.-1 Xonnalteilcr3.5 Translat.ioucn .

4 G r upp enoperac lo ne n4.1 Die symmet rische Gruppe .4.2 Operarionon VOll Gruppen auf xlcugen . .-1 .3 Die Bahnfonnel und die Klassengleichung4..t Caylcy-Gra phen . .. ..4.5 Ein!' Zcrlcguug der Eb"JI!'

5 C r upp en pr äseutat.lonen5.1 (I ruppenprtiseut.a t ionen .

5.2 Freie GruPPl'1I .5.3 T a-tze Transforma t ionen 1I11,l Eut srh r-idbarkcit

vii

11

·1710

131318222527

333341·15;)2

Zi6

616166727782

89899499

XII

ü Prud uk te VO ll Gr-uppenü. I Das dirokte Produ ktG.:! Das fre-ie ProduktÜ.:J Das semidireku- Produktfi.·1 I)isk(lJl t iUuir-rlirlic (; ru PIH'll unc1 'Imnslat imn -n

7 Endl iche Gruppent .I Ein Bcb pid .7.'2 Die Syl(J \\"siitzt'7.:l l-:illig(! Cruppon kleiner Ordnungi . 1 Die orthogollal!' Gruppe . .. ..i .5 B('gnl iin ' Zcrk gll llg(,ll de-r '2-Sphiir('

8 D ip hy perbo lische Ehe lw8. 1 Axiomat isdH' (;(,Ollll't ricH. :.! lsomctrh-n in d l'r hvpr-rbolischrn El)('llI'8.;J Z,'rkgllllgl'll deI" hvperbolisr-ln'n Ehern-

!) Hyperbolische Gru PI Jl!lI

Inhul t~verzeir-hnis

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