Streuungsmaße - fernuni-hagen.de · PDF fileDer Aufruf im R-Kalkulator...

Streuungsmaße

Worum geht es in diesem Modul?Allgemeines zu StreuungsmaßzahlenSpannweite und Interquartilsabstand

Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung und der Varianz aus einer UrlisteStandardabweichung

Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung und der Varianz aus HäufigkeitstabellenZusammenhang Varianz - mittlere quadratische Abweichung

Worum geht es in diesem Modul?

Aufbauend auf den im letzten Lernmodul vermittelten Lagemaßzahlen wird in diesemLernmodul die Idee der Streuungsmaßzahlen allgemein erklärt. Anschließend werdendie Spannweite, der Quartilsabstand, die mittlere quadratische Abweichung, die Varianzsowie die Standardabweichung betrachtet und an praktischen Anwendungsbeispielenverdeutlicht.

Allgemeines zu Streuungsmaßzahlen

Im haben wir verschiedene Maßzahlen kennen gelernt, die das Zentrum, oder auch dasso genannte Niveau eines Datensatzes beschreiben. Das Niveau eines Datensatzes kannanhand eines Stabdiagramms verdeutlicht werden: Im Stabdiagramm entspricht dasNiveau eines Datensatzes seiner Lage auf der x-Achse. Das Niveau ist umso höher, jeweiter rechts der Datensatz auf der x-Achse liegt.

Die Lageeigenschaften von DatensätzenQuelle: Statistik interaktiv!

Maßzahlen der Lage dürfen nicht isoliert, d.h. nur für sich betrachtet werden; eineausreichende Beschreibung eines vorliegenden Datensatzes nur aufgrund seiner Lage istnicht möglich. Es muss ebenfalls beachtet werden, wie dicht die einzelnen Datenbeieinander liegen. Dieses wird in dem nachfolgenden kurzen Beispiel verdeutlicht:

Wir betrachten zwei Städte, in denen jeweils morgens, mittags und abends dieLufttemperatur gemessen wurde. In der Stadt A wurden die Werte "8, 17, 11" GradCelsius und in der Stadt B "3, 24, 9" Grad Celsius erhoben. Bei beiden Städten ist diedurchschnittliche Temperatur an einem Tag folglich 12 Grad Celsius.

Auch wenn die mittlere Lufttemperatur gleich ist, scheint das Klima in den beidenStädten unterschiedlich zu sein. Die Werte in der Stadt B liegen weiter auseinander, d.h.sie streuen stärker. Im Stabdiagramm würde die Eigenschaft "Streuung" durch dieAbstände zwischen den einzelnen Stäben verdeutlicht; im Stabdiagramm der Stadt Bwürden demnach die Stäbe weiter auseinander liegen als im Stabdiagramm der Stadt A.

Wir benötigen demnach Streuungsmaßzahlen, die derartige Unterschiede zwischenmehreren Datensätzen aufzeigen, d.h. Unterschiede bezüglich der Streuungherausstellen.

Spannweite und Interquartilsabstand

Zwei Streuungsmaßzahlen können direkt aus der 5-Zahlen-Zusammenfassungbeziehungsweise dem Box-and-Whisker-Plot bestimmt werden. Mit Erstellung desBox-and-Whisker-Plots wird das Ziel verfolgt, die aus einem vorliegenden Datensatz

(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Streuungsmaße

ermittelten Werte Median, Extremwerte und die speziellen Quantile sinnvoll zusammenzu führen, um so eine Interpretation ihres Informationsgehalts zu erleichtern. So könnenanhand eines Box-and-Whisker-Plots Aussagen bezüglich der Lage eines Datensatzesund seiner Eigenschaften bezüglich Symmetrie getroffen werden.

(s. )

Betrachten wir den vergleichenden Box-and-Whisker-Plot der Merkmale "Körpergröße:männlich" und "Körpergröße: weiblich".

Vergleichende Box-and-Whisker-Plots des Merkmals "Körpergröße"Quelle: Eigene Befragung

Die grafischen Darstellung zeigt deutliche Unterschiede bezüglich der Lage undStreuung der beiden Datensätze. Diese Unterschiede wollen wir präziser fassen.

Betrachten wir das Maximum und das Minimum eines Datensatzes. Diese beiden Wertegrenzen den Bereich aller Beobachtungen ein. Um mehrere Datensätze miteinandervergleichen zu können, wird ein Wert benötigt, der genau diesen Bereich misst. DieSpannweite bestimmt die Differenz zwischen dem größten und kleinsten beobachtetenWert des Datensatzes.

Definition: SpannweiteFormal wird die Spannweite üblicherweise mit bezeichnet und wie folgt bestimmt:

Übertragen auf die obige grafische Darstellung ergeben sich die folgendenSpannweiten: Der kleinste männliche Studierende misst 163 cm, der größte männlicheStudierende 204 cm. Für die Spannweite ergibt sich demnach . Bei den Körpergrößender weiblichen Studierenden ergibt sich als Spannweite , da die

kleinste Studierende 158 cm, die größte 182 cm misst. Das Intervall, in welchem sichdie Werte verteilen, ist bei den Frauen mit 24 Einheiten deutlich kürzer als bei denMänner; anscheinend streuen die Werte der Männer stärker.

Allerdings verzerrt bereits ein extremer Wert das Ergebnis. Aus diesem Grund ist essinnvoll, zusätzlich die Breite der "Box", in der sich die zentralen 50% der Datenbefinden, zu betrachten. Dieser Wert, der sich aus der Differenz zwischen den beidenQuartilen bestimmt, wird Quartilsabstand genannt. Durch einen Vergleich der beidenMaßzahlen können zusätzlich Aussagen bezüglich Ausreißer getroffen werden. Fallendiese weit auseinander, d.h. die Spannweite ist deutlich größer als der Quartilsabstand,kann auf Ausreißer im Datensatz geschlossen werden.

Definition: QuartilsabstandDer Quartilsabstand ergibt sich folgendermaßen:

Der Quartilsabstand bei der Körpergröße der Männer ist gleich 9, da und , bei derKörpergröße der Frauen gleich 6, da und . Ein Vergleich der jeweilszusammengehörigen Maßzahlen in unserem Beispiel scheint auf keine nennenswerteDifferenz hinzudeuten.

Die praktische Umsetzung der hier vorgestellten statistischen Methoden imStatistiklabor wird im nachfolgenden Exkurs behandelt.

Die Spannweite eines Datensatzes wird im Labor von der gleichnamigen Funktiongeliefert.


Der Aufruf im R-Kalkulator lautet: Spannweite(x)

Demonstrationsseite: Spannweite im Statistiklabor ( a72.spf )

Hinweise:

- Sie ist nur auf Daten in der Form einer Urliste oder Rangwertreihe ansetzbar.- NA`s sind in Urlisten zugelassen, sie werden bei der jeweiligen Verarbeitung nichtberücksichtigt. Die Daten werden nachstehend als auf der Variablen x abgelegtangenommen.- Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus.Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen überihr Arbeiten.

Steckbrief/Kurzbeschreibung

Ein Steckbrief der Funktion Spannweite ist über den nachstehenden Link erreichbar.

Steckbrief der Funktion Spannweite() ( : a83.pdf )

Aufruf mit Hilfe von R-Standardfunktionen

Das Konzept "Spannweite" lässt sich im R-Kalkulator direkt mit Hilfe der Funktionendes base package von R umsetzen:

- Die Daten seien auf der Variablen x abgelegt.- Im betrachteten Fall müssen sie in Form einer Urliste vorliegen.- Die Anweisung xr <- sort(x) legt den geordneten Datensatz (die Rangwertreihe) von xauf der Variablen xr ab.- Die Spannweite ergibt sich dann aus xr[length(xr)] - xr[1], da xr[length(xr)] dasmaximale und xr[1] das minimale Element liefert.- Die Funktion length ermittelt die Anzahl der Elemente eines Vektors.- Mittels der Funktionen min, max können wir die gesuchte Spannweite auch direktohne vorheriges Sortieren ermitteln. Die Anweisung lautet max(x) - min(x).

Weitere Quellen

Im Anhang sind die für das Labor benötigte Bibliothek "danalyse.R" und eineBeschreibung der Bibliothek abgelegt.

Um die in diesem Lernmodul besprochenen Funktionen im Statistiklabor ausprobierenzu können, muss die Bibliothek "Danalyse.R" geladen werden. Sollte sie bei IhrerVersion des Statistiklabors nicht mit installiert worden sein, können sie diese hier laden:

Bibliothek "danalyse.R" ( aa9.r )

Informationen zum Aufbau und der Verwendung der Funktionen:

Beschreibung der Bibliothek "danalyse.R" ( : aae.pdf )

Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung und der Varianz aus einer

Urliste

Die erste Kategorie von Streuungsmaßzahlen haben wir bereits kennen gelernt: In dieserwird die Differenz zwischen den Abweichungen selbst betrachtet. Zu dieser Kategoriegehört die Spannweite und der Quartilsabstand (s. Abschnitt Spannweite ).


Die zweite Kategorie von Streuungsmaßzahlen betrachtet die Abweichungen derBeobachtungswerte zu einer Lagemaßzahl.

Es sollen Aussagen bezüglich der Streuung getroffen werden. Betrachten wir dasarithmetische Mittel des Merkmals "Einkommen" mit dem Wert 900 Euro, socharakterisiert dieser den dazugehörigen Datensatz. Dieser Wert ergibt sich aber sowohlaus dem Datensatz 10, 500 und 2190 als auch aus dem Datensatz 800, 900 und 1000.Diese Datensätze unterscheiden sich recht grundlegend, doch dieser Unterschied wirdaus dem arithmetischen Mittel allein nicht ersichtlich.

Aus diesem Grund werden wir Streuungsmaße aus den individuellen Abweichungen derbeobachteten Merkmalsausprägungen vom Lagemaß "Arithmetisches Mittel"berechnen.

Da die Summe der Abweichungen aufgrund der Schwerpunkteigenschaft desarithmetischen Mittels immer Null ist, könnte das Vorzeichen der Abweichung durchden Übergang zu den Quadraten eliminiert werden.

(s. )

Die Alternative führt zur mittleren absoluten Abweichung.

Von der quadrierten Abweichung wird das arithmetische Mittel genommen und alsmittlere quadratische Abweichung bezeichnet.

: Flashanimation ' Animation Maßzahlen und extreme Werte ' siehe

Online-Version

Übertragen auf das Zahlenbeispiel ergibt sich für den ersten Datensatz eine mittlerequadratische Abweichung von 872066,67; für den zweiten Datensatz ergibt sich diemittlere quadratische Abweichung 6666,67. Die unterschiedliche Streuung wirdherausgestellt. Die Schwierigkeiten bei der Interpretation dieser Streuungsmaßzahlenwerden in der Theoriekomponente Standardabweichung ausführlich beschrieben.

Definition: Mittlere quadratische AbweichungDie formale Darstellungsweise der mittleren quadratischen Abweichung ergibt sich wiefolgt:

Der nachfolgende Exkurs zeigt die Berechnung der mittleren quadratischenAbweichung im Statistiklabor.

Zur Berechnung der Varianz, einer weiteren Streuungsmaßzahl, verlaufen dieÜberlegungen analog zu den bisher erläuterten. Der einzige Unterschied besteht darin,dass als Divisor nicht sondern -1, die Anzahl der

Freiheitsgrade, gewählt wird.

Die Begründung hierfür kann erst im in ihrer ganzen Tragweite gegeben und verstandenwerden. Hier nehmen wir es so, wie es ist.


Definition: VarianzDie Varianz wird demzufolge über die folgende Formel berechnet:

Zur praktischen Umsetzung der hier vorgestellten statistischen Methoden imStatistiklabor sei auf den folgenden Exkurs verwiesen.

Die Funktion MQA

Die Funktion MQA setzt das Konzept der mittleren quadratischen Abweichung imLabor um.

Aufruf im R-Kalkulator des Labors: MQA(x)

Demonstrationsseite: MQA-Funktion im Statistiklabor ( b17.spf )

Hinweise

- Die Daten seien auf der Variablen x abgelegt.- Sie können in Form einer Urliste, Rangwertreihe, diskreten oder kontinuierlichenHäufigkeitstabelle vorliegen.- NA`s sind in Urlisten zugelassen, sie werden bei der jeweiligen Verarbeitung nichtberücksichtigt.- Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus.Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen überihr Arbeiten.


Ein Steckbrief der Funktion MQA: MQA-Funktion im Statistiklabor ( : b29.pdf )

Weitere Quellen


Die Funktion Varianz setzt das Konzept der Varianz im Labor um.

Aufruf im R-Kalkulator des Labors: Varianz(x)

Demonstrationslaborseite: Funktion Varianz() im Labor ( b3c.spf )

Hinweise

- Die Daten seien auf der Variablen x abgelegt. Sie können in Form einer Urliste ,Rangwertreihe , diskreten oder kontinuierlichen Häufigkeitstabelle vorliegen.- NA`s sind in Urlisten zugelassen, sie werden bei der jeweiligen Verarbeitung nichtberücksichtigt.- Als Funktion aus der Bibliothek danalyse.r arbeitet sie defaultmäßig im Silent-Modus.Durch Setzen des Parameters SIL=F im Aufruf, gibt die Funktion Informationen überihr Arbeiten.


Steckbrief der Funktion Varianz() ( : b4b.pdf )

Aufruf mit Hilfe von R-Standardfunktionen

Im R-Kalkulator steht auch die Funktion "var()" zur Verfügung. Sie ist nur auf Daten


anwendbar, die als Urliste oder Rangwertreihe vorliegen. Der Aufruf ist "var(x)"

Weitere Quellen


Standardabweichung

Ausgangspunkt für die Ermittlung der Varianz und der mittleren quadratischenAbweichung war die Vorstellung, ein Streuungsmaß auf die Abweichung derBeobachtungen vom Lagemaß zu konstruieren. Zur Berechnung der Varianz werden dieindividuellen Abweichungen quadriert, ehe sie aufsummiert werden. Damit wurdediesen Streuungsmaßen die unmittelbare Interpretation genommen.

Betrachten wir eine Befragung, bei der das Merkmal "Einkommen" erhoben wurde. Beieiner Analyse der erhobenen Daten wird die Varianz bestimmt; aufgrund derQuadrierung ändert sich damit allerdings auch die Maßeinheit - die Varianz besitzt dieMaßeinheit "", die Beobachtungswerte die Maßeinheit "Euro". Was bedeutet nun eineVarianz von 130000 bei einem arithmetischen Mittel von 900 Euro?

Wir benötigen eine Umformung des Streuungsmaßes, um wieder eine sinnvolleInterpretation zu ermöglichen.

Wenn das Problem durch die Quadrierung entstanden ist, so besteht die Lösung darin,die Quadratwurzel aus der Varianz zu betrachten. Die neue Größe wirdStandardabweichung genannt und formal folgendermaßen dargestellt:

Definition: Standardabweichung

Für unser obiges Beispiel ergibt sich demnach , d.h. die Beobachtungen streuen

durchschnittlich um 360.56 Euro um das arithmetische Mittel von 900 Euro.

Zur praktischen Umsetzung der hier vorgestellten statistischen Methoden imStatistiklabor sei auf den folgende Exkurs verwiesen.

Das Konzept der Standardabweichung wird in zwei Schritten im Labor umgesetzt.

Nach dem die Varianz mit Hilfe der Funktion "Varianz()" berechnet wurde, ergibt sichdie Standardabweichung durch Ziehen der Wurzel daraus. Dies leistet die R-Funktionsqrt.

Aufruf im R-Kalkulator des Labors: sqrt(Varianz(x))

(s. dazu auch Exkurs zur Varianz )

Beispiel: Mathematikprüfung - Berechnung von Streuungsmaßen

Problemstellung

Wie die meisten Studierenden zu Beginn ihres Studiums an der Fakultät fürWirtschaftswissenschaften der Universität Bielefeld feststellen, ist ihr Studium starkmathematisch ausgerichtet. Es geht das Gerücht um, dass es schwer ist, dieMathematik-Klausuren zu bestehen.

Um zu erfahren, ob tatsächlich so viele Studierende an der Mathematik-Klausur


scheitern, erfragen sie bei 20 älteren Kommilitonen deren Punktzahl bei ihrerMathematikprüfung:

30 35 37 40 40 62 65 67 74 89

57 58 60 60 62 49 51 54 54 55

Maximal waren 100 Punkte zu erreichen.

Lösungsweg

Berechnen wir das arithmetische Mittel, so erhalten wir:

Doch es sind zur Beschreibung eines Datensatzes nicht nur Maßzahlen der Lage vonInteresse, diese wären für sich genommen auch nicht aussagekräftig genug. Aus diesemGrund werden nun in einem nächsten Schritt die Varianz und die Standardabweichungbestimmt:

Antwort

Das arithmetischeMittel ist gleich 54,95. Dieses charakterisiert dieDurchschnittspunktezahl, d.h. wenn die Summe der erreichten Punkte gleichmäßig aufalle Prüflinge verteilt worden wäre.

Die Streuungsmaße wurden aus den individuellen Abweichungen der beobachtetenMerkmalsausprägungen von dem Lagemaß "arithmetisches Mittel" berechnet. DieVarianz ist gleich 198,68. Doch bei diesem Streuungsmaß ist die Interpretation sehrschwierig, da die Dimension des hier ermittelten Wertes aufgrund der Quadrierungnicht mit der Dimension des Datensatzes übereinstimmt. Aus diesem Grund wird dieStandardabweichung berechnet. Diese hat den Wert 14,095 und kann folgendermaßeninterpretiert werden: Im Mittel weichen die beobachteten Werte von ihrem Mittelwertum ca. 14 Punkte ab.

Berechnung der mittleren quadratischen Abweichung und der Varianz aus

Häufigkeitstabellen

Da sich die beiden Streuungsmaße "Mittlere quadratische Abweichung" und "Varianz"nur im Divisor unterscheiden, betrachten wir im folgenden nur eine der beidenStreuungsmaße. Es gilt es die Berechnung der Summe der quadratischen Abweichungenaus einer Häufigkeitstabelle zu entwickeln.Berechnung der VarianzQuelle: Statistik interaktiv

Wurden keine Klassen gebildet, so gelangen wir mit dem gleichen Argument wie beider Berechnung des arithmetischen Mittels aus einer Häufigkeitstabelle zu derBeziehung

(s. )

Damit ergibt sich für die mittlere quadratische Abweichung die folgende Formel:

Bei einer Tabelle für klassierte Daten approximieren wir die gerundete Summewiederum mit Hilfe der Klassenmitte durch

(s. )


Die Formel, die zur Berechnung der mittleren quadratischen Abeichung zur Berechnungaus klassierten Häufigkeitstabellen herangezogen werden sollte, ist damit die Folgende:

Siehe hierzu auch folgende Exkurse:

- Exkurs zur Standardabweichung- Exkurs zur Varianz- Exkurs zur MQA

Unabhängig davon, wie nun die Varianz bestimmt wurde, wird hieraus durch dasZiehen der Wurzel die Standardabweichung bestimmt.

Zusammenhang Varianz - mittlere quadratische Abweichung

Allgemein gilt zwischen der Varianz und der mittleren quadratischen Abweichungder Zusammenhang:

Wir können demnach das jeweils andere Streuungsmaß direkt über diese Beziehungberechnen, sobald eines bekannt beziehungsweise bereits berechnet worden ist. Beigroßem Datenumfang ist der Unterschied zwischen den beiden

Streuungsmaßen unbedeutend.

: Flashanimation ' Animation Mittlere quadratische Abweichung ' siehe

Online-Version

Bei der Europameisterschaft 2000 im Fußball in Holland und Belgien fanden 25 Spielestatt. Im Folgenden finden Sie eine Urliste der Anzahl der Tore je Spiel:

2 5 1 1 5 3 3 3 2 0 2 3 1 6 3 1

7 0 3 1 3 3 2 5 2

Ein fußballbegeisterter Fan notierte auch gleich, wie lange er bei jedem von diesen 25Spielen warten musste, bis das erste Tor fiel (in Minuten):

40 65 11 43 34 41 3 1 43 9 21 4 12

41 9 46 14 30 41 7 31 43 25 20 16


Aus diesen beiden Datensätzen wurde bereits jeweils eine Häufigkeitstabelle erstelltund das arithmetische Mittel berechnet.

(s. )

a) Berechnen Sie aus der nicht-klassierten Häufigkeitstabelle des ersten Datensatzes"Anzahl der Tore" die Varianz und die Standardabweichung.

Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse und berücksichtigen Sie dabei auch das dazugehörigearithmetische Mittel.

b) Berechnen Sie aus der klassierten Häufigkeitstabelle des zweiten Datensatzes"Wartezeit" die Varianz und die Standardabweichung.

Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse und berücksichtigen Sie dabei auch das dazugehörigearithmetische Mittel.

c) Bestimmen Sie aus der Urliste "Wartezeit" die Varianz und die Standardabweichung.Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit denen aus Teilaufgabe b) und interpretieren Siediese.

Labordatei öffnen ( c5a.zmpf )

In der Zweigstelle einer Bank werden 250 Wertpapierdepots geführt. Der Wert dereinzelnen Depots zum 31.12.2002 wird in der folgenden klassierten Häufigkeitstabellezusammengefasst

(Das Merkmal X ist dabei der Wert der Depots in Tausend Euro):

1 010 70

2 1020 60

3 2030 50

4 3050 30

5

50

100

20

6 100200 20

Berechnen und interpretieren Sie die Varianz und die Standardabweichung im


Statistiklabor:.

Labordatei öffnen ( cf0.spf )

arithmetisches MittelErklärungDatenErklärungDatensatzErklärungHäufigkeitstabelleErklärungKlassenErklärungklassierte HäufigkeitstabelleErklärungLageErklärungLagemaßErklärungMaßzahlenErklärungMerkmalErklärungMerkmalsausprägungErklärungmittleren quadratischen AbweichungErklärungnicht-klassierte HäufigkeitstabelleErklärungStreuungErklärungStreuungsmaßErklärungUrlisteErklärungVarianzErklärung

(c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale SystemeKontakt: http://www.neuestatistik.de


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