Strukturgleichungsmodell

Einleitung:Was sind Strukturgleichungsmodelle?

• mit ihnen werden anhand empirischer Daten a priori formulierte Kausalhypothesen über Merkmalszusammenhänge überprüft

SGM kombinieren Ideen von:• Regressionsanalyse• konfirmatorischer Faktorenanalyse• Pfadanalyse

SGM ermöglichen zusätzliche Berücksichtigung latenter Variablen und nehmen explizit Messfehler als Bestandteil des Kausalmodells auf

• zu Regressionsanalyse: Analyse der Beziehung zwischen 1 oder mehrerer Prädiktorvariablen und 1 Kriteriumsvariablen

• zu Konfirmatorischer FA: Überprüfung der festgelegten Beziehung durch Zuordnung von latenten Variablen und manifesten Variablen und Anzahl der Faktoren (Sind Indikatorvariablen für Erfassung des Faktors geeignet?)

• zu Pfadanalyse: Überprüfung kausaler Beziehungen zwischen direkt beobachtbaren Variablen

Latente Variablen

• beobachtbare Variablen: - Anteil, der durch Konstrukt determiniert ist - Anteil, der durch Messfehler kommt

• neben direkt beobachtbaren Variablen gibt es auch latente Variablen, sind nur über indirekte Indikatoren zu erfassen (z.B. FB-Items für politische Orientierung)

Konfirmatorische multiple hierarchische Faktorenanalyse Regression

Vollständiges SGM-Modell

Messmodell lat. Strukturmodell Messmodell lat.exogene Variable endogene Variable

(ksi ξ) (eta η)

Zusammenfassung

SGM bestehen immer aus 3 Teilmodellen:

• Messmodell der latenten exogenen Variablen:enthält die Indikatorvariablen der latenten exogenen Variablen;bildet die Zusammenhänge zwischen Indikatorvariablen und latenten exogenen Variablen ab

• Messmodell der latenten endogenen Variablen:enthält die Indikatorvariablen der latenten endogenen Variablen;bildet die Zusammenhänge zwischen Indikatorvariablen und latenten endogenen Variablen ab

Zusammenfassung

• Strukturmodell: bildet die theoretisch vermuteten Zusammenhänge zwischen

den latenten Variablen (Konstrukten) ab;grundsätzliche Annahme dabei: endogene Variablen werden durch exogene verursacht

Latente Variablen - Strukturmodell

• Verknüpfung der latenten endogenen und exogenen Merkmale:

kausale Beeinflussung

ξ = latente exogene Variable (ksi)η = latente endogene Variable (eta)γ = Stärke der Beeinflussung (gamma)ζ = Residualvariable für latente endogene Variable (zeta)

• Direkter Effekt: repräsentiert direkten Einfluss, den eine Variable auf eine andere hat, ohne dass dieser durch weitere Variablen vermittelt/beeinflusst wird;

• Indirekter Effekt: kennzeichnet Effekt, den eine UV vermittelt über eine oder mehrere weitere Variablen auf eine AV hat; vermittelnde Variablen werden auch Mediatorvariablen genannt;

gibt’s keine Mediatorvariablen im Modell, gibt’s auch keine indirekten Effekte

• Mediatorvariablen:vermitteln den Einfluss, den eine Variable auf eine andere Variable hat;da sie in Kausalkette steht, ist sie AV und UV zugleich

• Totaler Effekt: Gesamteffekt, den eine UV auf eine AV hat; man erhält ihn durch Addition der direkten und indirekten Effekte

Zusammenfassung - Beispiel

• Residuen entsprechen der nicht erklärten Varianz: je kleiner, desto besser wird empirische Datenlage durch modelltheoretische Matrix beschrieben

die einzelnen Ablaufschritte im SGM

1. Hypothesenbildung2. Pfaddiagramm und Modellspezifikation

– feste und freie Parameter3. Identifikation der Modellstruktur4. Parameterschätzung

– iterative Schätzverfahren5. Beurteilung der Schätzergebnisse

– χ² -Test, Fit-Indizes und Interpretation6. Modifikation der Modellstruktur

– Vereinfachung, Erweiterung und Kausalität

1. Hypothesenbildung

• am Anfang muss die Theorie stehen• Informationen, die in den Hypothesen enthalten sind:

– Richtung (und Stärke) der Beziehungen– Anzahl möglicher latenter Variablen und Indikatoren

2. Pfaddiagramm und Modellspezifikation

• Pfaddiagramm wird nach vorgegebenen Konventionen gezeichnet

• Modellspezifikation: – Parameter, die von Interesse sind, werden eingeteilt in:

• freie (= aus den Daten zu schätzende) und • feste (= vorher auf bestimmten Wert festgesetzte)

– Nullwert– restringierte

– Aufstellen der Matritzengleichungen

3. Identifikation der Modellstruktur

= die Frage beantworten, ob aus den vorliegenden empirischen Daten ausreichend Informationen entnommen werden können, um die aufgestellten Gleichungen eindeutig zu lösen

• Grundvoraussetzung: s – t ≥ 0 – s – t ≙ Anzahl df– s = Anzahl der Korrelationen zwischen den Variablen – t = Zahl der zu schätzenden Parameter

4. Parameterschätzung

• Ziel: Minimierung der Differenz zwischen der modell-theoretischen Varianz-Kovarianz-Matrix (∑) und der empirischen Varianz-Kovarianz-Matrix der Stichprobe (S)

• mittels iterativer Schätzverfahren:– Maximum-Likelihood-Methode (ML)– Methode der kleinsten Quadrate

• Methode der ungewichteten kleinsten Quadrate (ULS)• Methode der verallgemeinerten kleinsten Quadrate (GLS)• Methode der skalenunabhängigen kleinsten Quadrate

(SLS)– Methode des asymptotisch verteilungsfreien Schätzers (ADF)

5. Beurteilung der Schätzergebnisse

• Gesamtstruktur/Anpassungsgüte des Modells = Fit des Modells– Absolute Anpassungsmaße

• vergleicht die empirische mit der modelltheoretischen Kovarianzmatrix am Ende des iterativen Prozesses im Hinblick auf Übereinstimmung

• Goodness of Fit (GFI)– Wertebereich [0; 1], (1 perfekter Fit)≙

• Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA)– RMSEA ≤ 0.05 : guter Modellfit („close fit“)– RMSEA ≤ 0.08 : akzeptabler Modellfit (“reasonable fit”)– RMSEA ≤ 0.1 : inakzeptabler Modellfit

– Inkrementelle Anpassungsmaße:• vergleichen das zu testende Modell mit einem akzeptierten

Nullmodell/Vergleichsmodell – oft independence model• Comparative Fit Index (CFI)

– Wertebereich [0; 1], (1 perfekter Fit)≙

5. Beurteilung der Schätzergebnisse

• Gesamtstruktur/Anpassungsgüte des Modells Fit des Modells– Parsimosy Anpassungsmaße:

• χ² -Test– χ² wird an Freiheitsgrade relativiert– gibt an, welches Modell unter einem Set konkurrierender Modelle bei

gleichzeitiger Berücksichtigung der Modellkomplexität am besten angepasst ist

– Faustregel für einen guten Modellfit : ≤ 2,5 – Interpretation: schwierig, denn

» in hohem Maße stichprobenabhängig» auch andere Modelle können gleichzeitig und genauso gut

passen

df

²

5. Beurteilung der Schätzergebnisse

• Interpretations-/Ergebnishilfe:– Idealfall:

• χ² -Test insignifikant• Test auf Modellpassung (Fit-Index) gut

– die Fit-Indizes können keinerlei Auskunft über die Güte von Teilstrukturen des Modells geben sondern nur über das Modell in seiner Gesamtheit

• aber: auch die Güte von Teilstrukturen lässt sich mittels verschiedener Kriterien erheben so wird die Modifizierung des Modells ermöglicht

6. Modifizierung des Modells

• Anwendungsbereich: wenn Modell unzureichenden Fit oder schlechten Fit einzelner Teilstrukturen hat

• grundsätzlich auf 2 Arten möglich:– Vereinfachung der Modellstruktur– Erweiterung des geprüften Modells

6. Modifizierung des Modells - 2 -

Grundsätzliches zu Ergebnissen, die über die Modifizierung von SGM gewonnen wurden:

• warum bestimmte Veränderungen an einem SGM vorgenommen wurden, sollte theoretisch (und nicht rein statistisch/mathematisch) begründet werden

• sind als explorativ und nicht mehr als konfirmatorisch anzusehen

• „wenn man nur lange genug anpasst und modifiziert, passt das Modell irgendwann ganz bestimmt!“

• modifizierte Modelle können nicht die Allgemeingültigkeit einer Theorie stützen

• erfordern Kreuzvalidierung

Anhang – Zeichenerklärung

Abkür-zung

Sprechweise Bedeutung Variablenart

Indikator-/Messvariablen

latente Variablen

→ Kausalbeziehung zwischen (immer genau 2) Variablen; UV → AV

↔ nicht kausal interpretierbare Beziehung zwischen Variablen (nur zulässig zwischen den latenten exogenen Variablen oder zwischen den Messfehlervariablen)

η eta Latente endogene Variable, die im Modell erklärt wird, sie kann sowohl Ursache als auch Wirkung sein(~AV).

Latente Variable

Abkür- zung

Sprechweise

Bedeutung Variablenart

ξ ksi Latente exogene Variable, die im Modell nicht erklärt wird (~UV).

Latente Variable

y ypsilon Indikatorvariable für eine latente endogene Variable (~AV).

Manifeste Variable

x Indikatorvariable für eine latente exogene Variable (~UV).

Manifeste Variable

ε epsilon Residualvariable für eine Indikatorvariable y.

Residualvariable

δ delta Residualvariable für eine Indikatorvariable x.

Residualvariable

ζ zeta Residualvariable für eine latente endogene Variable.

Residualvariable

λ lambda Pfadkoeffizient zwischen einer latenten und einer Indikatorvariable.

Pfadkoeffizient

Abkür-zung

Sprechweise Bedeutung Variablenart

γ gamma Pfadkoeffizient zwischen latenten exogenen und endogenen Variablen

Pfadkoeffizient

β beta Pfadkoeffizient zwischen latenten endogenen Variablen

Pfadkoeffizient

ΛxΛyΒ Γ Φ Ψ Θε

Θδ

Lambda-xLambda-yBetaGammaPhiPsiTheta-epsilonTheta-delta

die acht Parametermatritzen eines vollständigen Strukturgleichungsmodells(sämtlich gekennzeichnet mit griechischen Großbuchstaben)