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Symmetrie in Molekülen: Punktgruppen nach Schönfliess

Symmetrie und Symmetrieoperationen

Begriff der Symmetrie und der Symmetrieoperation

Der Begriff „Symmetrie" kann verschieden definiert werden. Eine Definition, die speziell für die Bestimmung der Symmetrieeigenschaften von Molekülen gut brauchbar ist, lautet:

Ein Körper (ein Molekül) ist dann symmetrisch, wenn man seine Teile (Atome, Atomgruppen) durch geometrische Operationen bezüglich einer Ebene, einer Geraden oder eines Punktes ineinander überführen kann, ohne das Aussehen des Körpers (Moleküls) zu ändern. Solche geometrischen Operationen werden Symmetrieoperationen genannt.

oder:

Wenn die Atomanordnungen in einem Molekül vor und nach einer geometrischen Operation ununterscheidbar sind, so stellt diese geometrische Operation eine Symmetrieoperation dar.


Symmetrie und Symmetrieoperationen

Symmetrieoperation, Symmetrieelement und Symmetriegruppe

Zu jeder Symmetrieoperation gibt es mindestens ein zugehöriges Symmetrielement, nämlich den Punkt, die Achse oder die Ebene, an der die betreffende Symmetrieoperation ausgeführt wird. Man bestimmt die Zugehörigkeit eines Körpers zu einer Symmetriegruppe, indem man alle seine Symmetrieelemente bestimmt.


Symmetrieoperationen und Symmetrieelemente

Drehungen Cn

Existenz einer Drehachse

Ein Molekül weist dann eine Drehachse auf, wenn die einmalige oder mehrmalige Drehung des Moleküls um diese Achse mit einem Winkel von 360°/n zu einer äquivalenten räumlichen Anordnung der Atome führt; n bezeichnet dabei die Zähligkeit der Achse. Eine n-zählige Drehachse wird gekennzeichnet durch das Symbol Cn.

NH3 (C3) H2O (C2)



Drehungen Cn



Besitzt ein Molekül mehrere verschiedene Drehachsen Cn, dann bezeichnet man die Achse mit der höchsten Zähligkeit n als die Hauptdrehachse oder prinzipielle Drehachse.



Spiegelebenen Eine durch ein Molekül gehende Ebene ist dann eine Symmetrieebene, wenn man durch Spiegelung aller Atome des Moleküls an dieser Ebene eine äquivalente Anordnung erhält. Eine Symmetrieebene wird durch das Symbol gekennzeichnet.

Eine Spiegelebene in H2O Eine Spiegelebene in Fe(CO)5


Symmetrieelemente

Unterscheidung von Spiegelebenen hinsichtlich ihrer Lage zur Hauptdrehachse

• Spiegelung an Ebene senkrecht zur Hauptdrehachse: horizontale Spiegelebene h

h als braun gezeichnete Ebene


Symmetrieelemente

• Spiegelung an Ebene parallel zur Hauptdrehachse (d. h. Spiegelebene enthält die Hauptdrehachse): vertikale Spiegelebene v


Symmetrieelemente

• Sonderform: Spiegelung an Ebene parallel zur n-zähligen Hauptdrehachse in einem Molekül, welches zusätzlich n zweizählige Drehachsen senkrecht zur Hauptdrehachse enthält. Derartige Spiegelebenen halbieren den Winkel zwischen zwei benachbarten zweizähligen Drehachsen. Sie werden als diagonale oder diedrische Spiegelebenen d bezeichnet.


Symmetrieelemente

Drehspiegelung Sn

Die Drehspiegelung ist eine Kombination aus zwei elementaren Symmetrieoperationen:Die Symmetrieoperation der Drehspiegelung besteht aus einer Drehung um 360°/n an einer Achse mit anschließender Spiegelung an einer zur Achse senkrechten Ebene (oder umgekehrt, Reihenfolge ist vertauschbar). Die n-zählige Drehspiegelachse wird mit dem Symbol Sn gekennzeichnet.

Spiegelung Drehung

trans-Dichlorethen


Symmetrieelemente

Beispiel für ein Molekül mit einer vierzähligen Drehspiegelachse S4


Symmetrieelemente

Inversion iDie Inversion (lat. inversio = Umkehrung) wird durch Punktspiegelung am Symmetriezentrum erzeugt. Erhält man durch Spiegelung aller Atome des Moleküls am Zentrum des Moleküls eine Verbindung mit ununterscheidbarer Konfiguration, nennt man dieses Zentrum Inversionszentrum oder Symmetriezentrum. Inversionssymetrie lässt sich überprüfen, indem man von jedem Atom des Moleküls aus eine Gerade durch das Zentrum des Moleküls zieht. Trifft jede dieser Geraden im gleichen Abstand hinter diesem Punkt auf ein äquivalentes Atom, so stellt dieser Punkt ein Symmetriezentrum dar. Ein Symmetriezentrum wird durch das Symbol i gekennzeichnet.


Symmetrieelemente

Benzol

Inversionszentrum i


Symmetrieelemente

Eine zusätzliche triviale Symmetrieoperation, über die alle Moleküle verfügen, ist die Identität E, d. h. eine Rotation des Moleküls um 360°.Die Verfügbarkeit des Operators E ist im Rahmen der gruppentheoretischen Beschreibung von Molekülen jedoch unabdingbar.


Bestimmung der Punktgruppen nach Schönfliess

Zur Bezeichnung der Symmetrie eines Moleküls greift man auf die Nomenklatur und Symbolik von Schoenfliess zurück. Dabei muss man alle Symmetrieelemente des Moleküls bestimmen. Zur Auffindung der korrekten Symmetriebezeichnung geht man nach dem umseitig abgebildeten Schema vor.


Symmetrieelemente


Symmetrieelemente

Lineare Moleküle


Beispiele

<> <> <>

Cs

Ci


Beispiele für Punktgruppen Cn

<>

C2C3


Beispiele für Punktgruppen Cnv


Beispiele für Punktgruppen Cnh


Beispiele für Punktgruppen Dn


Beispiele für Punktgruppen Dnh


Beispiele für Punktgruppen Dnd


Übungsbeispiele

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