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Symmetrien und Bewegungen Diana Klemm, Franziska Knoll, Elisabeth Köllner, Stefanie Liesk

TU-Dresden 2006-11-02 Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Geometrie Hauptseminar, Prof. Dr. Weiß WS 06/ 07

Symmetrie und Bewegungen Diana Klemm/ Franziska Knoll/ Elisabeth Köllner/ Stefanie Liesk Lehramt an Gymnasien für Mathematik/ Kunsterziehung Fachsemester 7


Aufgabe 1: Versuche das vollständige Gesicht des Clowns zu zeichnen. Wie kannst du mit einem Spiegel testen, ob Dein Bild korrekt ist? Kannst du den Spiegel auch so aufstellen, dass du zwei Gesichter siehst?

Aufgabe 2:

a)Falte ein Stück Papier und zeichne auf einer Hälfte eine Figur. Durchstich dann an markanten Punkten das Blatt mit einer Nadel.

Vervollständige die Figur nach dem Auseinanderfalten, indem du Punkte verbindest. Was erhältst du? b) Verbinde gegenüberliegende Punkte, die durch denselben Nadelstich entstanden sind. Wie liegen die Verbindungsstrecken zur Faltgeraden? c) Wähle einen beliebigen Punkt der Faltgeraden aus. Verbinde diesen Punkt mit zwei einander

entsprechenden Punkten deiner Figur. Vergleiche die Längen der beiden Verbindungsstrecken miteinander.

Aufgabe 3: Nun hast du schon viele neue Sachen gelernt. Versuche jetzt den folgenden Lückentext auszufüllen! Eine ebene Figur, die man so falten kann, dass die eine Hälfte der Figur genau auf die andere passt, heißt _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. Die Faltgerade bezeichnet man als _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ oder auch als Spiegelachse. Verbindungsstrecken einander entsprechender Punkte von achsensymmetrischen Figuren

stehen auf der Symmetrieachse _ _ _ _ _ _ _ _ _ und

werden von der Symmetrieachse _ _ _ _ _ _ _ _ . Einander entsprechende Punkte sind von jedem Punkt der Symmetrieachse _ _ _ _ _ _ _ _ _ entfernt.


Aufgabe 1: Die „Unendliche Geschichte“ von Michael Ende beginnt mit der Aufschrift auf der Glasscheibe in einer Ladentür – vom Inneren des Ladens her gesehen. Kannst du sie lesen? Aufgabe 2: Wenn du Einsatzfahrzeuge der Feuerwehr oder des Rettungsdienstes genau betrachtest, dann fällt dir an den Aufschriften eine Besonderheit auf. Erkläre sie!

Bei einer Geradenspiegelung haben ein Punkt A und sein Bildpunkt A’ den gleichen Abstand zur Spiegelachse. Dabei steht die Strecke AA ' senkrecht auf der Spiegelachse s. Beispiel: Aufgabe 3: Übertrage die Figuren in dein

Heft spiegele sie an der Spiegelachse s.


Anfertigen einer Drehschablone

1. Schneide dir aus der Pappe eine Schablone in Form eines Dreiecks.

2. Befestige die Schablone mithilfe des Nagels auf dem karierten Blatt und zeichne die Umrisse ab.

3. Drehe nun die Schablone um den Einstechpunkt des Nagels herum und zeichne erneut den Umriss der Schablone ab.

a) Bezeichne die Stelle, wo der Nagel ins Papier eingestochen wurde als Punkt Z.

b) Verbinde nun jeweils Original- und Bildpunkt der Dreiecke mit Z. Messe den Winkel, der nun entsteht. Was stellst du fest, wenn du die einzelnen Drehwinkel miteinander vergleichst?

Aufgabe 1: Versuche selbstständig eine Drehung ohne Schablone durchzuführen. Übertrage die folgende Figur in dein Heft und führe eine Drehung um 90° (180°, 270°) um das Drehzentrum Z durch.

Aufgabe 2: Fülle den folgenden Lückentext aus! Eine Figur, die man durch einen Teil einer ganzen Drehung wieder in sich überführen kann, heißt _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . Für eine vorgeschriebene Drehung benötigen drei Angaben:

Der _ _ _ _ _ _ _ _ _ Z gibt den Punkt an, um den gedreht wird. Den Drehwinkel α, der angibt, um wie viel _ _ _ _ gedreht wird. Die Drehrichtung; normalerweise wird nach _ _ _ _ _ (gegen den Uhrzeigersinn) gedreht.

Aufgabe 3: Nach wie vielen Teilen einer vollen Drehung sind diese Figuren wieder deckungsgleich?

Vierteldrehung __________________ ________________ __________________ ______________ der Flügel

Material: Pappe kariertes

Blatt Schere Nagel


Α Β Χ ∆ Ε Φ Γ Η Ι ϑ Κ Λ Μ Ν Ο Π Θ Ρ Σ Τ Υ ς Ω Ξ Ψ Ζ ⊗ √ ⇐ H I N O S X Z

ΥΗΥ ΜΑΜΑ ΟΗΟ ΕΗΕ ΣΟΣ ΗΟΗ ΝΟΝ ΗΙΗ

Die Punktspiegelung Als Einführung der Punktspiegelung eignet sie eine Bildkarte aus einem Kartenspiel, so wie sie jedes Kind kennen wird. An ihr lässt sich dieser Spezialfall der Drehung sehr gut veranschaulichen.

Zur Konstruktion: Bei einer Punktspiegelung an Z wird jedem Punkt P ein Bildpunkt P' zugeordnet. Dabei gilt: - Ein Punkt P und sein Bildpunkt P' liegen auf einer Geraden durch Z. - P und P' haben denselben Abstand zu Z.

In diesem Zusammenhang kann man den Schülern verschiedene Übungsaufgaben mit Alltagsbezug stellen. Aufgabe A: Welche der folgenden Buchstaben sind punktsymmetrisch? Zeichne das

Drehzentrum ein! Lösung:

Diese Aufgabe eignet sich sowohl für Einzel- als auch für Partnerarbeit. Aufgabe B: Welche der folgenden

Wörter sind punktsymmetrisch? Zeichne wieder die Drehzentren ein!

Lösusg: Um fächerübergreifend zu arbeiten, kann man nun Mandalas einführen, bei denen die vorher eingeführten Elemente Verschiebung, Drehung und Spiegelung zum Einsatz kommen. Hierbei eignet sich ein Zusammenspiel von Kunst- und Mathematikunterricht. So kann man jetzt die fertig vorgezeichneten Mandalas austeilen und folgende Aufgabe stellen: Aufgabe C: Färbe das Mandala mit deinen Buntstiften punktsymmetrisch ein!

OHO SOS HOH NON


Um den Schülern die Verbindung von Mathematik und Kunst näher zu bringen, ist es von Vorteil, einen kleinen Einführungstext auszuteilen. Dieser könnte wie folgt aussehen:

Geometrie – Symmetrie – Harmonie Liebe Schüler/innen und Schüler der Klasse 6,in den nächsten Wochen dreht sich alles um die Symmetrie – und was ist nicht alles symmetrisch: vom Tapetenmuster bis zum Tannenbaum, von der Schneeflocke bis zum Schmetterling und sogar der Mensch. Zu allen Zeiten, in allen Kulturen beschäftigten symmetrische Figuren und Darstellungen die Menschen, wurden diese doch als besonders harmonisch und perfekt empfunden. Da der Islam figürliche Darstellungen von Mensch und Tier

untersagt, entwarfen die Araber Muster, Mosaike, Parkettierungen, Ornamente, die wir heute noch in vielen Teilen der Welt, auch in Europa bewundern können. So beeindruckten die Fußböden und Säulen in der Alhambra (Granada, Spanien) aus dem 12./13. Jahrhundert den niederländischen Maler Escher aus unserem Jahrhundert so sehr, dass er fortan einen Großteil seiner Zeit mit

dem Puzzeln von Tierformen verbrachte, um Bilder zu entwerfen, die ausgefüllt sind mit lauter gleichen Figuren. Der Mathematiker spricht von kongruenten Figuren. Unsere Reise durch die Zeit und die Kulturen, um Symmetrie zu entdecken, führt uns zu den Mandalas. Dies sind Kreisfiguren, die vor allem in den indischen Religionen als Meditationshilfe dienen, die also helfen sollen, zu sich selbst zu finden, sich zu

entspannen. Um den Aspekt der Meditation, des Nachdenkens zu verstärken, möchte ich mit euch vereinbaren, dass wir bei der Arbeit an den Mandalas nicht sprechen, auch nicht mit unserem Lieblingsnachbarn im Flüsterton. Stattdessen soll uns im Hintergrund leise, entspannende Musik begleiten. Ihr werdet fragen, was soll denn das im Matheunterricht?

Nun, zunächst einmal geht es ja um Symmetrie. Wir werden sie suchen (und hoffentlich auch finden), untersuchen und natürlich mit Hilfe des Geodreiecks, Zirkels und Lineals selbst Muster, Bilder und Mandalas durch Verschieben, Spiegeln, Drehen erzeugen. Darüber hinaus wollen wir uns aber auch vertraut machen mit fremden Denkweisen und Traditionen. Auch im Kunstunterricht sollen unsere Bilder und Figuren thematisiert, Raum für eigene Entwürfe gegeben werden, vielleicht eine "Tapete" als Wandschmuck für die Klasse als Gemeinschaftswerk angefertigt werden. Viel Spaß! Man kann nun mit verschiedenen Bilder auf die unterschiedlichen Arten der Mandalas eingehen, deren (meditative) Funktion erläutern.


Nutzen: - Dekorationselemente -> Machtsymbole

-> Tierverehrung -> religiöse Texte - Darstellung geschichtlicher Ereignisse - Hervorhebung der Bedeutung von Einzelelemente durch Muster und Ornamente z.B.: bandartige Zierstreifen (Fries), Mosaike, etc.) Im Anschluss erhalten die Schüler Arbeitsaufträge für die Konstruktion von einem Mandala mit Zirkel, Lineal und Geodreieck. Aufgabe D: Rekonstruieren eines vollständig vorgegebenen Mandalas. Zeichne das Mandala auf ein weißes DIN A4-Blatt. Benutze dazu die angegebenen Maße aus dem Kreisausschnitt.

Auf der Folie hast du ein faszinierendes, indianisches Mandala, dessen Mittelpunkt, dessen Zentrum "lebt". Für die Indianer ist klar, dass es ohne Nacht keinen Tag, ohne Aus- kein Einatmen gäbe, ohne Schatten kein Licht, ohne Schwarz kein Weiß, ohne Sterben kein Leben. Aufgabe E: Unten abgebildet ist nun ein vereinfachtes, ähnliches Mandala. Zeichne es

mit R = 9 cm auf ein weißes Blatt.

Zudem kann man an verschiedenen Mandalas die einzelnen Symmetrieeigenschaften untersuchen.


Aufgabe F: Untersuchen auf Symmetrie Untersuche nun beide Mandalas auf Symmetrie.

Zeichne Symmetrieachsen ein, begründe gegebenenfalls, warum das nicht möglich ist. Betrachte beim linken Mandala den inneren und äußeren Bereich gesondert. Trage dein Ergebnis in die Tabelle ein.

Indianisches Mandala Fenster-Rose der Kathedrale von Lausanne Weitere Übungsbeispiele: Der komplexeste Schritt ist die selbstständige Rekonstruktion eines Ausschnittes.

Anzahl der Achsen Drehsymmetrie-Winkel

linkes Mandala Inneres

linkes Mandala Äußeres

rechtes Mandala


Aufgabe G: Rekonstruktion eines Mandalas aus einem Teilstück.

Auf diesem Blatt beschäftigen wir uns mit einem islamischen Mandala. Im Islam wird die Geometrie durch die völlige Vermeidung von figürlichen Elementen zum zentralen Mittel der Gottessuche. Den Derwischen, die man als die Mystiker des Islam bezeichnen könnte, gilt der Kreisumfang als das Gesetz (des Erdkreises), der Radius als der Weg und das Zentrum, der Punkt als die Wahrheit.

Ihr seht unten ein kleines Stück eines Mandalas. Damit ihr es ganz sehen könnt, bearbeitet es wie folgt: a) Führe eine Linksdrehung um 90° mit M als Drehpunkt durch. b) Spiegele die Figur an der Achse, die durch M halbiert wird.

Im Kunstunterricht wird das Projekt vollendet:

Die Schüler erhalten quadratische weiße Papiere mit vorgegebenem Aussenkreis, konstruieren ihre eigenen Mandalas und kolorieren diese im Anschluss. Am Ende können sie im Klassenraum ausgestellt werden. Das Ornament in der islamischen Kunst – interessant wegen Bildverbot im Islam, Arabeske/Friese – Erklärung, hierarchische Bedeutung und Hervorhebung bei Ornamenten http://www.zentralasien.net/ornament/index.html Mandala-Projekt www.galega.org/emdg/web/mandalas.doc


Stationsarbeit zum Thema Verschiebung

• Planung für 45 Minuten

• Klasse in 3 gleich große Gruppen Teilen und

durchnummerieren

• Klassenraum so aufteilen (Tischgruppen), dass 3 Stationen

entsehen

• Arbeitszeit pro Station ca. 12 Minuten

Themen der Stationen:

Verschiebung in der Kunst – Verbreitung und Entstehung

Verschiebung in der Mathematik – Konstruktion und Übung

Verschiebung im Alltag – Alles rund um Parkettierungen


Die Geometrie spielt nicht nur in der Mathematik eine große Rolle, nein auch in unsere Alltag finden wir sie sehr häufig. Ein Beispiel hierfür ist die Kunst.

Schon in der Griechischen Antike wurden Tempel mit Friesen geschmückt.

1. Lies Dir folgenden Text durch und schau Dir die Bilder dazu an!

„Ein Fries ist in der Baukunst ein waagerechter, gemalter, geschnitzter oder gemeißelter Streifen mit seriellen Ornamenten oder figürlichen Darstellungen als Gliederung und Schmuck einer Wand [...], welcher Flächen teilt oder voneinander abgrenzt.“1 [1] An antiken Tempeln findet man oft den Triglyphen-Metopen-Fries(1), bei dem sich Dreischlitzplatten (Triglyphen) und leere Zwischenfelder (Metopen) abwechseln und aneinandergereiht ein langes Band bilden. Andere Motive sind zum Beispiel Pflanzen, wie Akanthusblätter (2) (Akanthusfries) oder Palmetten (3) (Palmettenfries).

(1) (2) (3)

Im Mittelalter entstanden einfacherer Friesformen, auf denen man bekannte geometrische Figuren findet. Beispiele hierfür sind der Würfelfries, der Rautenfries und auch der Schachbrettfries. Der Zickzack- und den Kugelfries sind Erscheinungsformen der normannischen Kunst. Die Gotik verwendete Blattmotive und Spitzbögen in ihren Friesen, Rundbögen fand man eher in der romanischen, Kreuzbogenfriese (4) in der islamischen Kunst.

(4) 1 [1] Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Würfelfries

Station 1

Hier spielt das Fries mit seinen ornamentalen Motiven eine wichtige Rolle, denn im Islam herrscht ein Bildverbot, was jegliche Personendarstellungen untersagt. Somit schmücken islamische Moscheen nur pflanzliche Muster und geometrische Friese.


Jetzt hast du viel über Friese in der Baukunst erfahren! Doch wie entstehen sie überhaupt? Friese bestehen aus einem kleinsten Element, welches das ganze Bandornament erzeugen kann, und zwar indem man es verschiebt. Im folgenden Bild siehst du das kleinste Element blau gefärbt. Das Bandornament entsteht, in dem man das blaue Element um 8 Kästchen nach rechts verschiebt.

2. Entwerfe in das karierte Feld ein eigenes einfaches Ornament und kennzeichne das kleinste Element mit einer anderen Farbe!

3. Kennzeichne in folgenden Ornamenten das kleinste Element farbig!


4. In folgenden Abbildungen wurde mit der Verschiebung gearbeitet. Finde heraus wo! Achtung: Nicht alle Abbildungen enthalten Verschiebungen!

(1) (2)

Notre-Dame Paris (3) Palazzo Rucellai (4)

Beschreibe kurz, wo man in den Bildern Verschiebungen findet, oder eben nicht !

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................


5. Fülle nun folgenden Lückentext aus! Ein .................... ist ein Bandornament aus wiederkehrenden figürlichen,

pflanzlichen oder geometrischen Darstellungen. Schon in der .................................

Antike wurden pflanzliche Friese zum Schmücken von ............................... genutzt.

Im .................................................. entstanden einfache Formen, wie z.B. .....................

................................. oder ......... ................................ . Spitzbogenfriese fand man vor

allem in der .................... . In der ...................................... .................. werden oft

Kreuzbogen verwendet aber auch andere .................................. Motive spielen hier

eine große Rolle wegen des herrschenden .................................. , das

Personendarstellungen untersagt.


Um folgendes Muster an die Wand zu zeichnen, muss der Maler eine Schablone benutzen. Dabei verschiebt er diese in Pfeilrichtung und färbt die freie Fläche grün.

Dabei entsteht ein Bandornament. In der Geometrie wird dieser Vorgang als Verschiebung bezeichnet.

Merke:

„Bei der Verschiebung wird jeder Punkt einer Figur gleich weit und in die gleiche Richtung verschoben. Die Verschiebung wird durch einen Verschiebungspfeil festgelegt. Der Pfeil gibt Weite und Richtung der Verschiebung an.“ [Schlüssel zur Mathematik 5, S. 210]

Durch Verschiebung entsteht aus einer Originalfigur die Bildfigur. Aber wie? Schau dir folgende Bilder an!

Verschiebung durch Abzählen von Kästchen orange: Originalfigur rot: Bildfigur Verschiebungsvorschrift: 6 nach rechts 2 nach oben Verschiebung durch Konstruktion von Parallelen zum Verschiebungspfeil orange: Originalfigur rot: Bildfigur

F` E` C` F E D` C D A` B` A B P` P

C` P` C A` B` A B P

Station 2


Merke

So erhältst du für einen Punkt A den Bildpunkt A`: Zeichne die Parallele zu `PP durch A. A` liegt so auf ihr, dass `AA ebenso lang wie `PP ist; `AA ist mit `PP gleich gerichtet.

AUFGABEN: Führe bei folgenden Figuren eine Verschiebung durch. Beachte die Verschiebungsvorschrift. 1. Trage in die Abbildung den Verschiebungspfeil und die Bildfigur (frabig) ein!

Verschiebungsvorschrift: 3 nach rechts 1 nach oben

2. Konstruiere die Bildfigur mit Lineal, Geodreieck und Zirkel. Zeichne die Parallelen zu `PP durch die Punkte A, B, C und trage dann die Länge des Verschiebungspfeils mit dem Zirkel ab. Beschrifte die Bildfigur und kennzeichne sie farbig! P` P C A B

H G D C F E A B


3. Zeichne für folgende Bandornamente die Verschiebungspfeile ein!

4. Finde die Verschiebungsvorschrift und zeichne den Verschiebungspfeil ein!

5. Welches der 3 Dreiecke ist durch Verschiebung des Dreiecks ABC entstanden! Begründe deine Antwort. C A B

.......................................................................................................................................................

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Die anderen beiden Stationen beschäftigen sich mit der Verschiebung in der Mathematik und in der Kunst. Aber Verschiebungen werden auch im Alltag gebraucht. Seht Euch zum Beispiel den Fußboden Eures Badezimmers an. Entdeckt ihr dort eine Verschiebung?

Im Badezimmer wird die Fläche mit regelmäßigen Vierecken (Rechteck, Quadrat) lückenlos und ohne Überdeckung ausgelegt, weil die 4 Innenwinkel zusammen stets 360° betragen. Auch mit Dreiecken kann man so eine Fläche auslegen. Hierbei bilden die Innenwinkel stets einen Winkel von 180°.

Merke:

Das lückenlose Auslegen der Ebene mit (geometrischen) Figuren nennt man Parkettierung. Dabei dürfen keine Überschneidungen entstehen. Die Parkettierung ist theoretisch unendlich fortsetzbar.

Welche Formen der Parkettierung gibt es?

(1) Das oben beschriebene Auslegen einer Fläche mit der gleichen Art regelmäßiger Vielecke nennt man die euklidische Parkettierung. Diese geht auf Euklid (griechischer Mathematiker 300 v. Chr.) zurück.

(2) Bei der archimedischen Parkettierung (Archimedes 287 v. Chr. - 212 v. Chr.) werden verschiedene regelmäßige Vielecke verwendet, diese müssen die gleichen Seitenlängen haben.

Station 3


(3) Die künstlerischen Parkettierungen von M. C. Escher (niederländischer Künstler 1898 – 1972) waren inspiriert von spanischen Ornamenten und Parkettierungen. Er entwickelte zahlreiche Motive sowohl mit deckungsgleichen als auch mit verschiedenen Figuren.

Jetzt bist Du dran! 1. Entwerfe eine Schablone für eine Parkettierung mit Hilfe der „Knabber-

Technik“! Knabber-Technik:

2. Fertige aus stärkerem Papier (10X10cm) eine Schablone an und stelle 6

„Puzzleteile“, je 3 mit der gleichen Farbe, her. 3. Lege ein A4-Blatt mit diesen Teilen aus. Achte dabei darauf, dass sich die

Farben abwechseln. Klebe die Einzelteile auf!


KNOBELECKE

Ein Spiel mit geheimer Parkettierung2

Anja und Bernd markieren abwechselnd jeweils ein Kästchen auf einem karierten Papier. Anja benutzt zur Markierung X und Bernd O. Anja beginnt und sie gewinnt, wenn sie alle 4 Kästchen um einen Gitterpunkt herum markiert hat. Bernd versucht das zu verhindern. Kann Bernd so geschickt spielen, dass Anja niemals zu ihrem Gewinn kommt?

X O O X X X X O O

Anja hat gewonnen. Das Spiel geht weiter.

Bernd kann Anja in der Tat am Gewinnen hindern. Eine Ziegelsteinparkettierung hilft ihm. Bernd denkt sich die Rechenkästchen zu Paaren von Seite-an-Seite-Quadraten zusammengefasst, so wie in einer Ziegelsteinmauer. Anja darf das aber nicht wissen. Dann geht Bernd so vor: Wenn Anja ein Kästchen besetzt, dann besetzt Bernd als nächstes das andere Kästchen des gedachten Ziegelsteins. Da nun jeder Gitterpunkt der Karos zu den zwei Kästchen eines Ziegelsteins gehört, kann also Anja nicht gewinnen.

Versuche, Parkettierungen mit Ziegelsteinen zu finden, mit denen Bernd den Gewinn von Anja verhindern kann, wenn Anja die angegebenen Kästchen als Ziel hat.

2 Spiel stammt aus: Lambach Schweizer. Mathematik für Gymnasien 6. Niedersachsen. 2006. S. 91

O O X O O X X X X X O

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