Systemtheorie 2Mehrdimensionale, adaptive und nichtlineare Systeme

vonProfessor Dr.-Ing. Dr. h.c.Rolf Unbehauen

7., überarbeitete und erweiterte Auflage

mit 318 Bildern und 65 Aufgaben mit Lösungen

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1998

INHALT

Vorwort xiii

Kapitel VII: Mehrdimensionale diskontinuierliche Signale und Systeme 1

1. Zweidimensionale Signale 1

1.1. Standardsignale 21.2. Weitere spezielle Signale 31.3. Darstellung allgemeiner Signale mittels Sprung- oder Impulsfunktion 5

2. Zweidimensionale Systeme 6

2.1. Systemeigenschaften 62.2. Systemcharakterisierung durch die Impulsantwort 72.3. Systembeschreibung mittels Differenzengleichung 10

3. Signal- und Systembeschreibung im Bildbereich 14

3.1. Die zweidimensionale Z-Transformation 153.2. Eigenschaften der zweidimensionalen Z-Transformation 173.3. Die zweidimensionale Fourier-Transformation 203.4. Lineare, verschiebungsinvariante Systeme im Frequenzbereich 223.5. Zweidimensionale Abtastung, Abtasttheorem 24

3.6. Die diskrete Fourier-Transformation 283.6.1. Definition und Eigenschaften 283.6.2. Praktische Durchführung 303.7. Das komplexe Cepstrum 323.7.1. Grundlegende Beziehungen 323.7.2. Numerische Berechnung 363.8. Stabilitätsanalyse 38

4. Strukturen zweidimensionaler Digitalfilter 42

4.1. Viertelebenen- und Halbebenenfilter 424.2. Nichtrekursive Filter 434.3. Rekursive Filter 474.3.1. Getrennte Realisierung von Zähler und Nenner 474.3.2. Gemeinsame Realisierung von Zähler und Nenner 514.4. Zustandsraum-Darstellung 524.5. Stufenform 55

5. Entwurfskonzepte 61

5.1. Entwurf von FIR-Filtern. 61

5.2. Entwurf von IIR-Filtern 665.3. Teilseparable Filter 73

Kapitel VIII: Nichtlineare Systeme 78

1. Beschreibung im Zustandsraum 79

1.1. Vorbemerkungen 791.2. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 801.3. Empfindlichkeit der Lösungen 821.4. Linearisierung 84

2. Stabilität autonomer Systeme 92

2.1. Hinreichende Stabilitätsbedingungen und Lyapunovsche Analyse 932.2. Suche nach Lyapunov-Funktionen. 942.3. Instabilitätskriterium und Lyapunovsche Linearisierung 972.4. Lyapunov-Analyse linearer, zeitinvarianter Systeme 1002.5. Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten 1032.6. Zentrumsmannigfaltigkeiten 1052.7. Bereich der Anziehung eines Punktattraktors 1102.7.1. Das Einzugsgebiet 1102.7.2. Schätzung von Einzugsgebieten 1112.7.3. Das Theorem von LaSalle 1152.7.4. Ergänzende Bemerkung 119

3. Grenzzyklen 119

3.1. Grundsätzliches 1193.2. Stabilität von Grenzzyklen 1283.3. Stabilität invarianter Mengen 1293.4. Poincare-Schnitte 1303.4.1. Anwendung auf Grenzzyklen 1303.4.2. Besonderes Verhalten von Trajektorien im dreidimensionalen Raum 134

4. Bifurkationen 139

4.1. Bifurkationen von Gleichgewichtszuständen 1394.2. Bifurkationspunkt mit nur einem Eigenwert auf der imaginären Achse 1414.3. Beispiele 1474.4. Weitere Bifurkationen 151

5. Nichtautonome Systeme 155

5.1. Grundlegende Stabilitätsbegriffe 1565.2. Hinreichendes Stabilitätskriterium 1575.3. Linearisierung 1605.4. Instabilitätskriterien 164

5.5. Existenz von Lyapunov-Funktionen 1665.6. Systemschwankungen 168

6. Passivität 172

6.1. Die Definition 172

6.2. Lineare Systeme 1746.3. Kaiman-Yakubovich-Lemma 177

7. Analyseverfahren 185

7.1. Stückweise lineare Darstellungen 1857.2. Die Methode der Beschreibungsfunktion 1897.2.1. Einfache nichtlineare Systeme 1897.2.2. Grenzzyklen in autonomen Rückkopplungssystemen 1947.2.3. Rechtfertigung der Methode der Beschreibungsfunktion 1987.2.4. Nichtautonome Systeme 2047.3. Störungsrechnung 2087.3.1. Die klassische Vorgehensweise 2087.3.2. Die Verwendung mehrfacher Zeitskalen 2137.3.3. Nichtlineare Effekte am Beispiel des harmonisch erregten Van der Polschen

Oszillators 2187.3.4. Hystereseerscheinungen 227

8. Nichtlineare diskontinuierliche Systeme 230

8.1. Zustandsraumbeschreibungen 2308.2. Abtastsysteme 233

9. Eingang-Ausgang-Beschreibung nichtlinearer Systeme mittels Volterra-Reihen 237

9.1. Quadratische Systeme 2389.2. Kubische Systeme 244

Kapitel IX: Rückgekoppelte dynamische Systeme 247

1. Aufgabenstellung und Vorbemerkungen 248

2. Stabilisierung mittels Jacobi-Linearisierung 252

3. Eingangs-Zustands-Linearisierung 253

3.1. Mathematische Hilfsmittel 2533.2. Exakte Linearisierung 2603.3. Beispiele 266

4. Eingangs-Ausgangs-Linearisierung 273

4.1. Die Grundidee 2734.2. Transformation auf Normalform 2754.3. Die Nulldynamik 2794.4. Rückkopplungen 2824.5. Erweiterung auf Systeme mit mehreren Eingängen und Ausgängen 290

5. Homotopieverfahren 301

5.1. Vorbemerkungen 3015.2. Die Grundidee der Homotopieverfahren 301

5.3. Der offene Regelkreis 3025.4. Der geschlossene Regelkreis 3105.5. Stabilität des geschlossenen Regelkreises 3135.6. Synthese der Rückkopplung 3165.7. Approximative Synthese der Rückkopplung 318

6. Das erweiterte Kaiman-Filter 325

6.1. Das kontinuierliche erweiterte Kaiman-Filter 3266.1.1. Schätzung von Zuständen stochastisch erregter nichtlinearer Systeme 3266.1.2. Schätzung von Zuständen deterministisch erregter nichtlinearer Systeme 3316.2. Das diskontinuierliche erweiterte Kaiman-Filter 337

Kapitel X: Adaptive Systeme 348

1. Adaptive Filter 348

1.1. Einleitung 3481.2. Das Kriterium des kleinsten mittleren Fehlerquadrats 3511.2.1. Die Normalgleichung 3511.2.2. Eigenschaften der Lösung 3531.3. Die Methode des steilsten Abstiegs 3551.3.1. Die Iteration und ihre Konvergenz 3551.3.2. Zeitkonstanten der Adaption 3571.4. Der Algorithmus des kleinsten mittleren Quadrats (LMS) 3581.4.1. Das Verfahren 3581.4.2. Der Restfehler 3601.4.3. Varianten des LMS-Algorithmus 3611.5. Rekursionsalgorithmus der kleinsten Quadrate 3621.6. Prädiktion durch Kreuzglied-Filter 3661.6.1. Der Durbin-Algorithmus 3661.6.2. Realisierung durch Kreuzglieder 3691.6.3. Optimierung der Reflexionskoeffizienten 3721.6.4. Beispiel: Identifikation eines Systems 3741.7. Der LS-Algorithmus für Kreuzglied-Filter 3761.7.1. Lineare Vektorräume für adaptive Filter 377

1.7.2. Der Algorithmus 3791.8. Adaptive rekursive Filter 387

2. Adaptive rückgekoppelte Systeme 391

2.1. Adaption von Systemen mit meßbarem Zustand 3922.1.1. Lineare Systeme 3932.1.2. Nichtlineare Systeme 3992.2. Adaption von linearen Systemen bei alleiniger Messung des Ausgangssignals.. 4032.2.1. Vorbetrachtung 4032.2.2. Der Fall einer SP-Modellstrecke 4062.2.3. Regelstrecken mit relativem Grad größer als Eins 4132.3. Adaptive Beobachter 4212.3.1. Vorbereitung 4212.3.2. Das Beobachterkonzept 4262.4. Systeme mit Selbsteinstellung der Regler 4322.4.1. Vorbereitungen 4332.4.2. Schätzverfahren 4362.4.3. Abschließende Bemerkungen 4422.5. Kombinierte Adaption 443

Kapitel XI: Chaos 447

1. Der Satz von Liouville 448

2. Messung von Chaos 450

2.1. Korrelationsanalyse 4502.2. Lyapunov-Exponenten 4522.3. Entropie-Dimension 4572.4. Fraktale Dimension 4592.5. Korrelationsdimension 462

3. Hamiltonsche Systeme 463

3.1. Einiges aus der Mechanik 4643.1.1. Die Hamiltonschen Gleichungen 4643.1.2. Kanonische Transformationen 4673.2. Stabilität von Torus-Trajektorien 4713.2.1. Die KAM-Theorie 4713.2.2. Das Poincar6-Birkhoff-Theorem 4743.3. Periodisch zeitvariant gestörte Hamilton-Systeme 4763.3.1. Die Systembeschreibung 4773.3.2. Der Melnikov-Abstand 4803.3.3. Folgerungen 4823.4. Duffing-Systeme 483

3.4.1. Die Systembeschreibung 4833.4.2. Typische Verhaltensformen 4853.4.3. Chaotisches Aufbrechen einer Homoklinen 492

4. Dissipative Systeme 494

4.1. Das Lorenz-System 4944.1.1. Die Systembeschreibung im Zustandsraum 4944.1.2. Die Gleichgewichtspunkte 4964.1.3. Globales Verhalten 4984.1.4. Ergebnisse numerischer Experimente 499

4.2. Das Chua-Netzwerk 5044.2.1. Die Beschreibung des Netzwerks im Zustandsraum 5044.2.2. Computer-Simulation 5064.3. Das Rössler-System 5094.3.1. Die Systembeschreibung im Zustandsraum 5094.3.2. Computer-Simulation 511

5. Diskontinuierliche Systeme 512

5.1. Die logistische Abbildung 5125.1.1. Definition des Systems 5125.1.2. Die Fixpunkte 5145.1.3. Die Bifurkationskaskade 5155.1.4. Chaotisches Verhalten 5205.2. Die Henon-Abbildung 520

6. Vom Chaos zur Ordnung 523

6.1. Einführung 5236.2. Das gesteuerte Duffing-System 5266.2.1. Ein nichtlinearer Regler 5266.2.2. Ein linearer Regler 5286.2.3. Computersimulation 530

6.3. Zustandsgrößenrückkopplung des Lorenz- und des Chua-Systems 5306.3.1. Rückkopplung des Lorenz-Systems 5326.3.2. Rückkopplung des Chua-Systems 5336.4. Zustandsgrößenrückkopplung der Henon-Abbildung 537

Kapitel XII: Neuronale Systeme 538

1. Das Neuron als Grundbaustein 538

1.1. Ein statisches Neuronenmodell 5391.2. Das Adaline 5421.3. Das einschichtige Perzeptron 544

1.4. Ein dynamisches Modell eines Neurons: Das Hopfield-Neuron. 546

1.5. Ein modifiziertes Hopfield-Neuron 5481.6. Verallgemeinerte Modelle eines Neurons 5481.7. Diskontinuierliche Modelle für Neuronen 550

2. Neuronale Netzwerke 552

2.1. Das nichtrückgekoppelte mehrschichtige Perzeptron 5532.1.1. Die Netzwerkstruktur 553

2.1.2. Der Back-Propagation-Algorithmus 5552.1.3. Die Approximationsfähigkeit des mehrschichtigen Perzeptrons 5582.2. Das kontinuierliche Hopfield-Netzwerk 5582.2.1. Die Netzwerkarchitektur 5582.2.2. Zustandsdarstellung und Stabilitätsanalyse 5602.2.3. Der symmetrische Fall 5612.2.4. Der unsymmetrische Fall 5632.2.5. Modifikation des neuronalen Hopfield-Netzwerks 5672.2.6. Diskontinuierliche neuronale Hopfield-Netzwerke 572

3. Anwendungen neuronaler Netzwerke 574

3.1. Klassifikation von Mustern 5743.2. Signaldekomposition 5813.3. Systemmodellierung 5833.4. Prädiktion 5843.5. Identifikation nichtlinearer Systeme 5913.6. Regelungstechnische Anwendung 5923.6.1. Vorbemerkung 5923.6.2. Die Aufgabe 5933.6.3. Lösung der Aufgabe mit Hilfe eines neuronalen Netzwerks 5963.6.4. Numerische Simulation 599

Anhang A: Kurzer Einblick in die Distributionentheorie 603

1 Die Delta-Funktion 6032 Distributionentheorie 6043 Einige Anwendungen 6074 Verallgemeinerte Fourier-Transformation 609

Anhang B: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 610

1 Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit 6102 Zufallsvariable, Verteilungsfunktion, Dichtefunktion 6123 Erwartungswert, Varianz, Kovarianz 6154 Normalverteilung (Gaußsche Verteilung) 616

Anhang C: Einiges aus der linearen Algebra 617

1 Vorbemerkungen 6172 Die Jordansche Normalform 619

2.1. Eigenvektoren und verallgemeinerte Eigenvektoren 619

2.2. Transformation auf Normalform 625

2.3. Minimalpolynom 627

3 Matrix-Funktionen 6294 Definite und indefinite Matrizen und quadratische Formen 630

Anhang D: Einiges aus der Funktionentheorie 633

1 Funktionen, Wege und Gebiete. 6332 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 634

3 Das Integral 6344 Potenzreihenentwicklungen 6365 Rationale Funktionen 6376 Residuensatz 638

Aufgaben 640Kapitel VII 640Kapitel VIII 642Kapitel IX 645Kapitel X 646Kapitel XI 649Kapitel XII 651

Lösungen 653Kapitell 653Kapitelll 657Kapitel III 666Kapitel IV 679Kapitel V 682Kapitel VI 690Kapitel VII 700Kapitel VIII 706Kapitel lX 712Kapitel X 716Kapitel XI 721Kapitel XII 724

Literatur (Ergänzung zu Band 1) 728

Stichwortverzeichnis 734