Systemtheorie I-III und Einführung in die Systemtheorie · 2019. 3. 21. · 2 Zeitkontinuierliche...

Theoretische Nachrichtentechnik

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Nachrichtentechnik

Professur für Theoretische Nachrichtentechnik

SYSTEMTHEORIE UNDEINFÜHRUNG IN DIE SYSTEMTHEORIEProf. Dr.-Ing. habil. Helmut SchreiberProf. Dr.-Ing. habil. Renate MerkerProf. Dr.-Ing. habil. Rüdiger HoffmannProf. Dr.-Ing. Eduard Jorswieck

Oktober 2018

INHALTSVERZEICHNIS

1 Mathematische Grundlagen 4

2 Zeitkontinuierliche Signale und Systeme 9

3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme 13

4 Zeitdiskrete Signale und Systeme 23

5 Lineare zeitdiskrete Systeme 25

6 Statische digitale Systeme (Kombinatorische Automaten) 33

7 Dynamische digitale Systeme (Sequentielle Automaten) 35

8 Stochastische Signale 38

9 Statische Systeme mit Stochastischen Signalen 44

10 Dynamische Systeme mit Stochastischen Signalen 47

F Formelsammlung 52

1

LITERATURVERZEICHNIS

[1] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Digitale Systeme. 5. Auflage. Dresden : TUD-press Verlag der Wissenschaften GmbH, 2006 (TUDpress Lehrbuch). – ISBN 10:3938863846, ISBN 13: 978–3938863848

[2] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Digitale Systeme. 4. Auflage. Berlin Heidelberg :Springer-Verlag, 1993 (Springer-Lehrbuch)

[3] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Digitale Systeme. 3. Auflage. Berlin : Verlag Technik,1989

[4] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Analoge Systeme. 4. Auflage. Dresden : TUD-press Verlag der Wissenschaften GmbH, 2006 (TUDpress Lehrbuch). – ISBN 10:3938863676, ISBN 13: 978–3938863671

[5] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Analoge Systeme. 3. Auflage. Berlin Heidelberg :Springer-Verlag, 1993 (Springer-Lehrbuch)

[6] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Analoge Systeme. 2. Auflage. Berlin : VerlagTechnik, 1988

[7] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Stochastische Systeme. 4. Auflage. Berlin :Springer-Verlag, 2005 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 10: 354029225X, ISBN 13: 978–3540292258

[8] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Stochastische Systeme. 3. Auflage. Berlin Heidel-berg : Springer-Verlag, 1992 (Springer-Lehrbuch)

[9] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Stochastische Systeme. 2. Auflage. Berlin : VerlagTechnik, 1986

[10] WUNSCH, G.: Handbuch der Systemtheorie. Berlin : Akademie-Verlag, 1986

2

ÜBUNGSAUFGABEN

1 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

1.1.

a) Man bestimme das kartesische Produkt M1 ×M2 für

α) M1 = {a, b, c}, M2 = {1, 2}

β) M1 = {x | 1 ≤ x < 5} ⊂ R, M2 = {y | −2 ≤ y < 3} ⊂ Rund veranschauliche das Ergebnis grafisch!

b) Man bestimme die Potenzmenge P(M) für M = {1, 2, 3}!

c) Man bestimme die Mengenpotenz M3 für M = {0, 1}!

d) Man gebe die Menge NM = {f | f : M → N} für M = {a, b, c} und N = {0, 1} anund veranschauliche diese durch Graphen! Wieviel Abbildungen einer m-elementigenMenge M in eine n-elementige Menge N gibt es allgemein?

1.2. Man zeige durch Konstruktion einer bijektiven Abbildung, dass folgende Mengengleichmächtig sind:

a) Menge N (natürliche Zahlen) mit Menge N2 (natürliche Zahlenpaare),

b) Menge der reellen Zahlen x aus dem Intervall Ix = [a, b] mit der Menge aller reellenZahlen y aus dem Intervall

Iy = [α, β] (a 6= α, b 6= β; a, b,α, β endlich),

c) Menge R der reellen Zahlen mit der Menge aller reellen Zahlen aus dem offenenIntervall I = (0, 1) ⊂ R.

1.3. Gegeben sind die unendlichen Mengen

M = {0, 1, 2, 3, 4, . . . };

N = {1, 2, 4, 8, 16, . . . }.

a) Sind die Mengen M und N gleichmächtig? (Begründung!)

b) Man untersuche, ob die Strukturen (M, +) und (N, · ) isomorph sind!

1.4. Die Elemente einer Menge N = {◦,B,C, •} seien Zweipole, und zwar

Unterbrechung,

ideale Diode (Durchlassrichtung→),ideale Diode (Durchlassrichtung←),widerstandslose Verbindung.

Auf N werden zwei Operationen P (Parallelschaltung) und R (Reihenschaltung) einge-führt.

4 1 Mathematische Grundlagen

a) Man stelle die Operationstabellen für P und R auf!

b) Man zeige, dass (N, P, R) mit (P({a, b}),∪,∩) isomorph ist!

c) Es sei �i ein beliebiges Element aus N. Man bestimme mit Hilfe der bewiesenenIsomorphie das Klemmenverhalten des Zweipols AB (Siehe Bild 1.4)!

Bild 1.4

1.5. Mit Hilfe der Regeln der Schaltalgebra vereinfache man die folgenden Terme (da-bei seien x1, x2, x3, x4 ∈ B = {0, 1}):a) x1(x1 ∨ x2) d) x1x2 ∨ x1x2 ∨ x1b) (x1 ∨ x2x3)x1 e) x1(x1 ∨ x2) ∨ x2(x2 ∨ x3) ∨ x2c) (x1 ∨ x2)(x1 ∨ x2)x1 f) (x3 ∨ x2)x2 ∨ x2x1x4 ∨ x4

1.6. Für die in Bild 1.6 dargestellte Gatterschaltung bestimme man y = f (x1, x2, x3)!Man vereinfache den erhaltenen Ausdruck und zeichne die vereinfachte Gatterschal-tung auf!

&

&

>1

>1x1

x2

x3

y

Bild 1.6

1.7. Durch die nachfolgend genannten Booleschen Terme(1) x1x2x3 ∨ x1x2 ∨ x1x2(2) x1x2x3 ∨ x1x2x3 ∨ x1x2x3 ∨ x1x2x3(3) x1(4) x2(5) (x1 ∨ x2 ∨ x3)(x1 ∨ x2 ∨ x3)(x1 ∨ x2 ∨ x3)(x1 ∨ x2 ∨ x3)(6) x1x2

sind sechs Schaltfunktionenfi : B3 → B, fi(x1, x2, x3) = yi (i = 1, 2, . . . , 6)gegeben.

a) Stellen Sie die Schaltfunktionen durch Wertetabellen dar!

5

b) Welche Schaltfunktionen sind äquivalent?

c) Zeichnen Sie die f2 und f4 zugeordneten Gatterschaltungen!

1.8. Gegeben ist die Schaltfunktion f : B3 → B, f (x1, x2, x3) = x1x2 ∨ x3. Es sind äqui-valente Gatterschaltungen zur Realisierung dieser Schaltfunktion anzugeben, welchea) beliebige Gatter c) nur NAND-Gatterb) nur Negations- und Und-Gatter d) nur NOR-Gatter

enthalten!

1.9. Durch die Gatterschaltung in Bild 1.9 wird eine Schaltfunktionf : B5 → B, f (x1, . . . , x5) = y realisiert. Stellen Sie f

a) durch einen Booleschen Term,

b) durch eine zweckmäßig gewählte Wertetabelle dar!

>1

>1

>1

&

x1

x2

x3

x4

x5

y

Bild 1.9

1.10. Geben Sie zur Realisierung der Schaltfunktionenf6 : B2 → B, y = f6(x1, x2) = x1∨̇x2 = x1x2 ∨ x1x2 (Antivalenz)undf9 : B2 → B, y = f9(x1, x2) = x1 ⇔ x2 = x1 x2 ∨ x1x2 (Äquivalenz)möglichst einfache Gatterschaltungen an, welche

a) nur aus NAND-Gattern

b) nur aus NOR-Gattern

aufgebaut sind! (Hinweis: Man beachte, dass f6(x1, x2) = f9(x1, x2) gilt!)

1.11. Geben Sie die kanonische disjunktive Normalform (KDNF) und die kanonischekonjunktive Normalform (KKNF) einer Schaltfunktion f : B3 → B, f (x1, x2, x3) = y an, diegenau dann den Wert 1 annimmt, wenn

a) mindestens zwei

b) genau zwei

Variablen den Wert 1 haben!


1.12. Zu den folgenden durch Boolesche Terme gegebenen Schaltfunktionen f : B3 →Bα) f (x1, x2, x3) = x1x2 ∨ x1x3 ∨ x1β) f (x1, x2, x3) = (x1 ∨ x2)x1 ∨ x1x2 x2

bestimme man

a) die kanonische disjunktive Normalform (KDNF),

b) die kanonische konjunktive Normalform (KKNF)!

1.13. Mit Hilfe einer Karnaugh-Tafel vereinfache man die folgenden durch BoolescheTerme gegebenen Schaltfunktionen f :

a) f (x1, x2, x3) = x1x3 ∨ x2(x1 ∨ x3)

b) f (x1, x2, x3) = x1 ∨ x1(x2 ∨ x2x3)

c) f (x1, x2, x3, x4) = (x1x2 ∨ x3x4)(x1x2 ∨ x3 ∨ x4)

d) f (x1, x2, x3, x4) = x1 x2 ∨ x4 ∨ x1x3 ∨ x2x3

1.14. Bestimmen Sie für die komplexen Zahlen z1 = z − 1 und z2 = r e jϕ + 1 jeweils

a) Betrag,

b) Phase,

c) Realteil und

d) Imaginärteil!

1.15.

a) Bestätigen Sie für die (überall reguläre) Funktion

w = f (z) = z2 + 2z + 3 = u + jv

und ihre erste Ableitung f ′(z) die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differenzial-gleichungen.

b) Zeigen Sie, dass der Realteil von w eine harmonische Funktion ist:

∂2u∂x2

+∂2u∂y2

= 0.

c) Bestätigen Sie für obiges Beispiel die Regel:

f ′(z) =∂

∂xf (z) =

∂

∂x(u + jv) =

∂w∂x

.

7

1.16. Im Komplexen definiert man:

sin z =e jz − e−jz

2j, cos z =

e jz + e−jz

2mit e z = e x (cos y + j sin y)

a) Zeigen Sie, dassddz

sin z = cos z undddz

cos z = − sin z gilt.

b) Zerlegen Sie sin z in Real- und Imaginärteil.

1.17. Gegeben ist die komplexe Funktion w = f (z) =z − 1z + 1

mit dem Definitionsbereich

Re(z) ≥ 0 (rechte Halbebene und imaginäre Achse).a) Skizzieren Sie den Definitionsbereich in der z-Ebene.

b) Auf welche Punkte der w -Ebene erfolgt die Abbildung der Punkte z = 0, z = 1,z →∞ und z = ±j?

c) Berechnen und skizzieren Sie den Wertebereich dieser Abbildung in der w -Ebene.Betrachten Sie dabei zunächst den Fall z = jy .

1.18. Berechnen Sie(

cot z =cos zsin z

)∮

cot zz(z − 1)

dz =∮

f (z) dz

a) auf dem Weg W1,

b) auf dem Weg W2 und

c) auf dem Weg W3.

−2 −1

jy

x1 2 3 4 50

W2W1W3

Bild 1.18

1.19. Wiederholung (inverse) Matrix, Eigenwerte

a) Füllen Sie die Matrix so auf, dass sie singulär ist

1 . . . . . .. . . 2 . . .. . . . . . 3

.b) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A =

(4 −912 −17

).

c) Berechnen Sie 1det(sE−A) und geben Sie die Polstellen sP an.

d) Geben Sie die Inverse der Matrix(

a bc d

)an.

e) Berechnen Sie (sE − A)−1.

f) Wie haben Sie in Mathematik 2 das Differentialgleichungssystem ẋ = Ax gelöst?


2 ZEITKONTINUIERLICHE SIGNALE UND SYSTEME

2.1. Gegeben ist das in Bild 2.1 dargestellte Sprungsignal 1. Man berechne

a) x = 1 ∗1b) y = 1 ∗1 ∗1

und gebe x(t) bzw. y(t) an! 0

1

t

1( )t

Bild 2.1

2.2.

Man stelle das im Bild 2.2 dargestellteSignal x durch eine Summe zeitverscho-bener Sprungsignale dar und gebe x(t)an! 0 t

x t( )

t

t-

-a

a

Bild 2.2

2.3.

Man stelle das im Bild 2.3 dargestell-te Signal x durch eine Summe zeitver-schobener Rampensignale dar und ge-be x(t) an! Für das Rampensignal rgilt r(t) = t 1(t) (1: Sprungsignal wie inBild 2.1).

x t( )

a

-a

0 t 2t 3t 4t t

Bild 2.3

2.4. Für das zeitkontinuierliche Signal x:

x(t) = A e−at2

(A ∈ R, a > 0)

veranschauliche man rechnerisch und grafisch die Vertauschbarkeit der Signaloperatio-nen Differentiation und Translation:

Sτ (D(x)) = D (Sτ (x)) !

2.5. Gegeben ist das in Bild 2.5 dargestellte Ausgangssignal eines elektrischen Ge-schwindigkeitsmessers (Tachogenerator) beim Bewegungsvorgang eines Fahrzeuges.

9

Berechnen und skizzieren Sie die Zeitverläufe der Beschleunigung a(t) und des zurück-gelegten Weges x(t)!

0 t1 t2 t3

v0

v t( )

t

Bild 2.5

2.6. Gegeben ist das im Bild 2.6 dargestellte zeitkontinuierliche Signal x mit den Si-gnalwerten x(t) = cos

(π4 t/ ms

). Dieses Signal wird mit der Abtastfrequenz fA = 1∆t =

1 kHz äquidistant abgetastet, wobei für die Signalwerte x(k) = x(t)|t=k∆t und k ∈ Zgilt.

1 2

−1

0 6 7 8

3 4 5

1

9 10 k

x(k)x(t)

∆t t/ ms

Bild 2.6

a) Bestimmen Sie ein Kosinus-Signal y so, dass für alle Signalwerte y(t)|t=k∆t = x(k)und die Frequenz fy > fx gilt, wobei fx die Frequenz des Signals x bezeichnet.

b) Zeichnen Sie die zeitkontinuierlichen Signale x und y und veranschaulichen Siedamit die Nichteindeutigkeit der Rekonstruktion eines zeitkontinuierlichen Signalsaus den Signalwerten x(k).

c) Bestimmen Sie anhand des Abtasttheorems die obere Grenzfrequenz fg und ver-gleichen Sie diese mit den Frequenzen fx und fy .

2.7. Mit dem im Bild 2.7 dargestellten System zur Wandlung zeitkontinuierlicher inzeitdiskrete Signale werden folgende Signalpaare generiert:

x(t) = cos(10π tms

)→ x(k) = cos

(π4 k)

x(t) =sin(10π tms

)10π tms

→ x(k) =sin(

7π4 k)

7π4 k

x(t) x(k)

∆t

K / D

Bild 2.7

a) Spezifizieren Sie Baugruppen des abgebildeten Systems.

10 2 Zeitkontinuierliche Signale und Systeme

b) Geben Sie ein Abtastintervall ∆t an, das beiden Signalpaaren genügt.

c) Stellen Sie fest, ob das angegebene Abtastintervall das einzige ist. Falls nicht, ge-ben Sie weitere Abtastintervalle an.

d) Sichert das angegebene System die Einhaltung des Abtasttheorems und wie kanndiese Sicherstellung technisch realisiert werden?

2.8. Bei der äquidistanten Abtastung des zeitkontinuierlichen Signals x mit den Signal-werten x(t) = cos

(π4 t/ ms

)erhält man für die Abtastfrequenz fA = 1∆t =

14 kHz eine

Folge von Abtastwerten x(k).

a) Bestimmen Sie diese Abtastwerte x(k) = x(t)|t=k∆t und stellen Sie x(t) und x(k)in ein gemeinsames Diagramm grafisch dar!

b) Bestimmen Sie für das Signal x̃(t) = 2 cos(π4 t/ ms + ϕ

)einen Phasenwinkel ϕ mit

0 ≤ ϕ < 2π so, dass x̃(t)|t=k∆t = x(k) gilt! Ist das Ergebnis eindeutig?

c) Interpretieren Sie die Schlussfolgerung aus b) im Hinblick auf das Abtasttheorem!

d) Die Änderung der Abtastfrequanz auf fA2 =12 kHz führt zu einer neuen Folge von

Abtastwerten x2(k). Skizzieren Sie daraufhin x(t) und x2(k) erneut, geben Sie eineFormel zur Rekonstruktion der Signalwerte x(t) aus x2(k) mit Hilfe der Abtastreihean und berechnen Sie speziell x(5 ms) näherungsweise für −2 ≤ k ≤ 6.

2.9. In der Schaltung Bild 2.9 sind die Widerstände durch die folgenden Strom-Spannungs-Kennlinien charakterisiert:R4: i4 = α4u43 + β4u4 (α4 > 0, β4 > 0),R5: i5 = β5u5 (β5 > 0),R6: i6 = α6u63 (α6 > 0).

a) Berechnen Sie i1(t) = f (u1(t), u2(t), u3(t))!

b) Geben Sie ein aus Elementarsystemen (Verstärkern, Addier-, Multiplizier- und Po-tenziergliedern) aufgebautes statisches System an, das die in a) errechnete Funkti-on f realisiert!

i t1( )

R4

R6

R5u t1( )

u t2 ( )

u t3( )

Bild 2.9

11

2.10. Für das im Bild 2.10 dargestellte nichtlineare statische System bestimme many1(t), y2(t) und y3(t) falls

x1(t) = 2 + 0,01 sinω1tx2(t) = 1 + 0,01 cosω2t

gilt. Man löse die Aufgabe näherungsweise mit den Methoden zur Berechnung desKleinsignalverhaltens!

3

4

+

+

(...)3

(...)2

x t1( )

x t2 ( )

y t1( )

y t2 ( )

y t3( )

Bild 2.10

2.11. Für das in Bild 2.11 dargestellte dynamische zeitkontinuierliche System sind dieZustandsgleichungen aufzustellen!

4

(...)2

+

+

x t1( )

x t2 ( )

y t1( )

y t2 ( )

y t3( )

y t4 ( )

z

z

z

Bild 2.11

2.12. Gegeben ist das in Bild 2.12 dargestellte elektrische Netzwerk mit den folgendenSchaltelementen (α > 0, β > 0, γ > 0, δ > 0):L2 (lineare Induktivität) mit iL2 = αΦ2,C2 (nichtlineare Kapazität) mit uC2 = βQ2

3,C3 (lineare Kapazität) mit uC3 = γQ3,R3 (nichtlinearer Widerstand) mit iR3 = δuR3

5.

Man setze Φ2(t) = z1(t), Q2(t) = z2(t), Q3(t) = z3(t), u1(t) = x1(t), u2(t) = x2(t) sowiei1(t) = y(t) und stelle die Zustandsgleichungen auf!

12 2 Zeitkontinuierliche Signale und Systeme

i t1( )

u t1( )

u t2 ( )

C2

L2i t2 ( )

i t3( )

R3

C3

Bild 2.12

3 LINEARE ZEITKONTINUIERLICHE SYSTEME

3.1. Gegeben ist das in Bild 3.1 dargestellte periodische Signal x.

0 T4

T−T 2Tt

ax(t)

Bild 3.1

a) Man stelle x(t) als komplexe Fourier-Reihe dar!

b) Man stelle die Reihenkoeffizienten Xk für k = 0,±1,±2,±3,±4 in der komplexenEbene grafisch dar!

c) Man stelle das Amplitudenspektrum |Xk | über k grafisch dar!

3.2. Für das in Bild 3.2 dargestellte zeitkontinuierliche (nichtperiodische) Signal x be-stimme man

a) das komplexe Fourier-Spektrum X :

X (ω) =

∞∫−∞

x(t) e−jωt dt,

b) das Amplitudenspektrum |X (ω)| und

c) das Phasenspektrum arg X (ω)!

0 t

a

t

x t( )

Bild 3.2

d) Man stelle |X (ω)| und arg X (ω) qualitativ grafisch dar!

13

3.3. Berechnen Sie mittels Integration die Laplace-Transformierten folgender Signalex:

a) x(t) = a 1(t − τ) (τ > 0),

b) x(t) = t 1(t),

c) x(t) = eαt cos βt 1(t)!

3.4. Die Laplace-Transformierte eines Signals x sei durch X (s) gegeben. Man zeigedie Gültigkeit folgender Regeln der Laplace-Transformation:

a) x(at) � 1a X(

sa

)(a > 0, Ähnlichkeitssatz),

b) x(t − τ) � e−sτ X (s) (τ > 0, Verschiebungssatz)!

c) Aus einer Korrespondenzentabelle der Laplace-Transformation liest man ab:

cos2 t 1(t) �s2 + 2

s(s2 + 4).

Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten von

α) cos2 ω0t 1(t) (ω0 > 0), β) cos2 ω0(t − τ) 1(t − τ) (τ > 0) !

3.5. Mit Hilfe der Korrespondenzen 1(t) � 1s und t 1(t) �1s2 bestimme man die

Laplace-Transformierten für folgende Signale x (Bild 3.5a, b, c):

a

0 t t t2t

2t

2t

x t( ) x t( )

tt

a

-a

0

a

2a

3a

4a

3t 4t t0

x t( )

Bild 3.5a Bild 3.5b Bild 3.5c

3.6. Mit Hilfe der Residuenmethode berechne man x(t) für

a) X (s) = s2

(s + 1)3b) X (s) = s

s2 − 16!

3.7. Gegeben ist

X (s) =s − 4

s3 + s2 − 6sMan bestimme x(t)

14 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme

a) durch Partialbruchzerlegung,

b) mit Hilfe der Residuenmethode!

3.8. Man bestimme x(t) durch inverse Laplace-Transformation für

a) X (s) =aτs2

(1− e−sτ

)− a

se−2sτ (τ > 0),

b) X (s) =s e−sτ

s2 + 4(τ > 0),

c) X (s) =3s2 + 16s + 6

(s + 3)(s2 + s − 6).

Stellen Sie x(t) für die Fälle a) und b) grafisch dar!

3.9. Man berechne die Lösung x(t) der Differenzialgleichung

ẋ(t) + 3x(t) = e 2t − 2

für t > 0 mit der Anfangsbedingung x(+0) = 0 mit Hilfe der Laplace-Transformation!

3.10.

a) Für die in Bild 3.10 dargestellte lineare RLC-Schaltung mit der Eingabe x(t) = u(t)und der Ausgabe y(t) = uL(t) sind die Zustandsgleichungen mit

z1(t) = iL(t)z2(t) = uC(t) u t( )

RC

L

u tC( )

i tL( )

u tL( )

Bild 3.10aufzustellen!

b) Geben Sie die Systemmatrizen A, B, C und D an!

c) Wie lautet die das System beschreibende Differenzialgleichung?

3.11. Für einen Gleichstrommotor mit Last (Eingabe: x(t) = u(t), Ausgabe: y(t) = α(t)(Drehwinkel)) sind die folgenden Differenzialgleichungen gegeben:

Li̇(t) + Ri(t) + K α̇(t) = u(t)Θα̈(t) + %α̇(t)− Ki(t) = 0.

Hierbei bezeichnenL Ankerinduktivität, Θ Trägheitsmoment,R Ankerwiderstand, % Reibungskoeffizient,i Ankerstrom, K Motorkonstante.

15

a) Man führe den Zustand

z(t) =

z1(t)z2(t)z3(t)

=α(t)α̇(t)

i(t)

ein und stelle das Zustandsgleichungssystem in Matrizenform auf!

b) Man gebe eine Schaltung zur Realisierung der Zustandsgleichungen an!

3.12. Ein lineares zeitkontinuierliches System werde durch die Differenzialgleichung

ÿ(t) + 5ẏ(t) + 4y(t) = x(t)

beschrieben.

a) Stellen Sie die Zustandsgleichungen auf!Variante 1: Wählen Sie den in der Vorlesung gegebenen Ansatz (kanonische Reali-sierung)!Variante 2: Führen Sie z1(t) = y(t) und z2(t) = ẏ(t) ein!

b) Geben Sie eine Schaltung des Systems an!

c) Wie lautet die Fundamentalmatrix im Bildbereich und im Zeitbereich?

d) Wie lautet die Übertragungsfunktion?

e) Wie lautet die Gewichtsfunktion (Impulsantwort)?

f) Wie lautet y(t) für z1(0) = z2(0) = 0, falls x(t) = e−t 1(t) gilt?

3.13. Ein lineares System im Nullzustand (Bild 3.13) reagiert auf die Eingabe x(t) =A 1(t) mit der Ausgabe

y(t) = A e−tτ 1(t) (τ > 0).

z( )0 0=x t( ) y t( )

Bild 3.13Bestimmen Sie für dieses System

a) die Übertragungsfunktion und deren Pol-Nullstellen-Plan,

b) die Reaktion ỹ(t) auf die Eingabe x̃(t) = at 1(t)!


3.14. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktionen für folgende Systeme im Nullzu-stand, dargestellt in den Bildern 3.14a-c (Eingabe u1, Ausgabe u2):

u1

u1

u1

R1

R1

C

R2

R2

u2

u2

u2

R

R

C

C

C1

C2

Bild 3.14a Bild 3.14b Bild 3.14c

3.15. Berechnen Sie die Ausgangsspannung u2(t) in Aufgabe 3.14 b) für

u1(t) = U0 e−at 1(t) (a > 0)

a) allgemein,

b) mit den Zahlenwerten U0 = 10 V, C = 1µF, R = 1 MΩ, a = 1 s−1! Stellen Siefür diese Zahlenwerte den Amplitudenfrequenzgang und den Phasenfrequenzgangnäherungsweise durch ein Bode-Diagramm dar!

3.16.

a) Berechnen Sie die Spannung u2(t) in der Schaltung Bild 3.16a, wenn die Span-nung u1(t) den in Bild 3.16b dargestellten Zeitverlauf hat und sich das System imNullzustand befindet!

b) Skizzieren Sie den in a) berechneten Zeitverlauf von u2(t) qualitativ!

c) Welche Spannung u2(t) erhält man, wenn

u1(t) = U1 sinω1t 1(t) =

{U1 sinω1t (t ≥ 0),0 (t < 0)

gilt?

R

Lu t1( )

u t1( )

u t2 ( )

U0

0 t0 t

Bild 3.16a Bild 3.16b

17

3.17. Gegeben ist das in Bild 3.17 dargestellte RC-Netzwerk im Nullzustand.

a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G:

G(s) =I(s)U(s)

!u t( )

C

i t( )

R

R

C

Bild 3.17

b) Bestimmen Sie den Strom i(t) für u(t) = U0 1(t) (Einschalten einer GleichspannungU0 zur Zeit t = 0)!

3.18. Gegeben ist die in Bild 3.18 dargestellte Schaltung im Nullzustand mit

u1(t) =

{Û1 sinω0t (t ≥ 0),0 (t < 0). R1

u t2 ( )

L

R2

u t1( )

Bild 3.18

a) Bestimmen Sie u2(t) für t ≥ 0 und geben Sie den stationären und den flüchtigenVorgang an!

b) Skizzieren Sie den Pol-Nullstellen-Plan der Übertragungsfunktion dieses Systems!

c) Berechnen Sie den Amplituden- und den Phasenfrequenzgang dieses Systems!Stellen Sie Amplituden- und Phasenfrequenzgang qualitativ grafisch dar!

3.19. Für die in Bild 3.19 dargestellte Schaltung im Nullzustand bestimme man

a) die Übertragungsfunktion,

b) die Ausgangsspannung u2(t) für u1(t) = U0 1(t),

c) den Amplitudenfrequenzgang A(ω),

d) den Phasenfrequenzgang ϕ(ω).

Zu b) bis d) sind Skizzen anzugeben!


C C

R

R

u t1( ) u t2 ( )

Bild 3.19

3.20. Von einem linearen System im Nullzustand wurde die Sprungantwort

y(t) =(

e−t

2τ − e−tτ

)1(t) (τ > 0)

(Reaktion des Systems auf x(t) = 1(t)) bestimmt. Berechnen Sie für dieses System:

a) die Übertragungsfunktion,

b) den Pol-Nullstellen-Plan der Übertragungsfunktion,

c) die Gewichtsfunktion (Impulsantwort) mit Skizze,

d) den Amplitudenfrequenzgang mit Skizze aus dem Pol-Nullstellen-Plan!

3.21. Gegeben sind die Polynome

a) fa(s) = s3 + 2s2 + s + 3

b) fb(s) = s4 + 3s3 + 5s2 + 4s + 2.

Man untersuche mit Hilfe des Routh- oder Hurwitz-Kriteriums, ob diese Polynome nurNullstellen mit negativem Realteil haben! Überprüfen Sie das Ergebnis mit Hilfe desOrtskurvenkriteriums!

3.22. Ein Regelungssystem für die Spannungsregelung bei einem Drehstromgenera-tor habe die Übertragungsfunktion G:

G(s) =1

TRT1T2s3 + TR(T1 + T2)s2 + TR(1 + V )s + V.

Wie groß ist V > 0 zu wählen, damit das System stabil bleibt? (TR > 0, T1 > 0, T2 > 0)Welches Ergebnis erhält man für das Zahlenbeispiel T1 = 0,5 s, T2 = 3 s, TR = 0,15 s?

3.23. Zerlegen Sie die Übertragungsfunktion G:

G(s) =(s + 1)(s − 2)(s − 3)(s2 + 2s + 2)(s + 5)

= GA(s)GM(s)

so in zwei Faktoren, dass GA die Übertragungsfunktion eines Allpasses und GM dieÜbertragungsfunktion eines Mindestphasensystems ist!

19

3.24. Ein Gleichstromgenerator mit konstanter Erregung wird durch das Differenzial-gleichungssystem

Li̇(t) + Ri(t) = Kω(t)Θω̇(t) + Ki(t) = m(t)

beschrieben. Hierbei bezeichnen L die Ankerinduktivität, R den Gesamtwiderstand imAnkerstromkreis, i den Ankerstrom, ω die Winkelgeschwindigkeit des Ankers, m dasAntriebsmoment, Θ das Trägheitsmoment und K die Generatorkonstante. Außerdemgilt der Zusammenhang(

R2L

)2>

K 2

ΘL.

a) Man stelle die Zustandsgleichungen in Matrizenform auf!Hinweis: i(t) und ω(t) bezeichnen den Zustand, das Antriebsmoment m(t) dieEingabe und der vom Generator erzeugte Strom i(t) die Ausgabe.

b) Berechnen Sie die Fundamentalmatrix im Bildbereich und die Übertragungsfunkti-on!

c) Was erhält man für den Strom I(s) im Bildbereich, wenn von der Zeit t = 0 an einkonstantes Antriebsmoment wirkt, d.h. m(t) = M0 1(t), unter Berücksichtigungdes Anfangszustandes i(0) = I0, ω(0) = ω0?

d) Welcher Strom i(t) ergibt sich unter diesen Bedingungen?

e) Für i(0) = 0 und ω(0) = 0 skizziere man qualitativ den Anlaufvorgang i(t) für t ≥ 0!

f) Ist das System stabil?

3.25. Für die in Bild 3.10 (Aufgabe 3.10) dargestellte RLC-Reihenschaltung mit der Ein-gabe u(t) und der Ausgabe uL(t) erhält man die Zustandsgleichungen

i̇L(t) = −RL iL(t) −1LuC(t) +

1Lu(t)

u̇C(t) = 1C iL(t)

uL(t) = −RiL(t) − uC(t) + u(t)

(Lösung von Aufgabe 3.10a).Man setze R = 1 Ω, L = 0,5 H und C = 0,2 F und löse folgende Aufgaben mit normier-ten (dimensionslosen) physikalischen Größen und Zahlenwerten:

a) Geben Sie die Matrizen A, B, C und D an!

b) Man berechne die Fundamentalmatrix Φ(s) im Bildbereich und die Übertragungs-funktion und gebe die Eingabe-Ausgabe-Gleichung im Bildbereich an!


c) Man berechne die Fundamentalmatrix ϕ(t) und gebe die Lösung der Zustandsglei-chungen (Zustand und Ausgabe) im Zeitbereich an! Benutzen Sie dazu die Korre-spondenzen

1s2 + 2s + 10

�

13

e−t sin 3t 1(t);

ss2 + 2s + 10

� e−t(

cos 3t − 13

sin 3t)

1(t).

d) Für u(t) = 0, iL(0) = 0 und uC(0) = 1 V skizziere man qualitativ den freien Vorgang(Zustandstrajektorie und Ausgabe)!

3.26. Bestimmen Sie mit Hilfe der Korrespondenzentafel und den Rechenregeln dieFourier-Transformierten folgender Signale:

a) x(t) = e−(t/ τ)2

(Gauß-Signal),

b) x(t) = si(ω0t),

c) x(t) =

{e at t < 00 t > 0

(a > 0)

α) unter Verwendung des Ähnlichkeitssatzes,

β) unter Verwendung der Linearität und bekannter Korrespondenzen,

d) x(t) = 1

α) unter Verwendung des Ähnlichkeitssatzes und bekannter Korrespondenzen,

β) unter Verwendung des Vertauschungssatzes,

e) x(t) = cos(ω0t) unter Verwendung des Ergebnisses aus d) und des Frequenzver-schiebungssatzes.

3.27. Für das in Bild 3.27 dargestellte zeitkontinuierliche Signal x bestimme man

a) das komplexe Fourier-Spektrum X :

X (ω) =

∞∫−∞

x(t) e−jωt dt,

b) das Amplitudenspektrum |X (ω)| und

c) das Phasenspektrum arg X (ω)!

t

a

x(t)

−τ / 2 τ / 2Bild 3.27

d) Man vergleiche die Ergebnisse mit denen aus Aufgabe 3.2!

21

3.28. Bestimmen Sie mit Hilfe der Korrespondenzentafel und den Rechenregeln dieinverse Fourier-Transformierten folgender Signale:

a) X (ω) = e−|ω|,

b) X (ω) = e−ω2,

c) X (ω) =1

ω2 + 1,

d) X (ω) =1

(ω2 + 1)2,

e) X (ω) =2

ω4 + 6ω2 + 8unter Verwendung der Partialbruchzerlegung.

3.29.

Mit Hilfe der Korrespondenzen 1(t) � 1sund t 1(t) � 1s2 bestimme man dieLaplace-Transformierte für das in Bild 3.29dargestellte Signal x.Setzen Sie s = jω und vergleichen Sie diesmit dem Ergebnis von Aufgabe 3.2 a).

0 t

a

t

x t( )

Bild 3.29

3.30. Gegeben ist die Schaltung in Bild 3.30.

R

u1(t) C u2(t)

u1(t)U0

0 tBild 3.30

Die Eingangsspannung u1(t) liegt über einer Reihenschaltung aus Widerstand und (un-geladenem) Kondensator (RC-Glied) an. Die Kondensatorspannung ist das Ausgangs-signal. Die konstante Eingangsspannung u1 wird zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet(Sprungsignal).

a) Zeichnen Sie qualitativ das zugehörige Ausgangssignal (die Sprungantwort des RC-Gliedes) - ohne zu rechnen (Annahme: ungeladener Kondensator zum Zeitpunktt = 0).

b) Geben Sie die Übertragungsfunktion des Systems an!

c) G(s) =K

1 + Tsist die Übertragungsfunktion eines in der Automatisierungs- und

Regelungs-technik so genannten PT1-Gliedes. Geben Sie die Sprungantwort (Ant-wort des PT1-Gliedes auf das Sprungsignal 1(t)) an.


d) Zeichnen Sie die Sprungantwort aus c) qualitativ und vergleichen Sie mit a).

e) Interpretieren Sie den Spruch eines Automatisierungstechnikers „Die Welt ist vol-ler PT1-Glieder“.

4 ZEITDISKRETE SIGNALE UND SYSTEME

4.1. Gegeben ist das zeitdiskrete Signal x:

x(k) =

k k ∈ {1, 2, 3}6− k k ∈ {4, 5, 6}0 sonst.

Skizzieren Sie x(k) und geben Sie für folgende Signale y einen analytischen Ausdruckund eine Skizze an:

a) y = S4(x) : y(k) = x(k − 4) (Translation)

b) y = ∆x : y(k) = x(k + 1)− x(k) (Vorwärtsdifferenz)

c) y = ∇x : y(k) = x(k)− x(k − 1) (Rückwärtsdifferenz)

4.2.

a) Gegeben sind die im Bild 4.2 dargestellten zeitdiskreten Signale x1 und x2:

4 4

2 2

0 00

-2 -2

1

12

23 3 4k k

x k1( ) x k2( )

Bild 4.2

Geben Sie das Signal y = x1 ∗ x2 an!

b) Für das zeitdiskrete Signal x mit

x(k) =

{1 k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}0 sonst

bestimme man y = x ∗ x! Man stelle x(k) und y(k) grafisch dar!

23

c) Man falte ein beliebiges zeitdiskretes Signal x mit dem Impulssignal δ und disku-tiere das Ergebnis!

Es gilt: δ(k) =

{1 k = 00 sonst.

4.3. Gegeben seien zwei zeitdiskrete Signale x1 und x2 mit x1(k) = x2(k) = 0 fürk < 0. Man zeige die Gültigkeit der Regel ∇(x1 ∗ x2) = (∇x1) ∗ x2! (Das Symbol ∇bezeichnet die Rückwärtsdifferenz).

4.4. Man zeichne ein aus Elementarsystemen aufgebautes statisches System auf, dasdie Alphabetabbildung

Φ : R2 → R, y(k) = Φ(x1(k), x2(k)) =2∑

i=1

2∑j=1

aijx1i(k)x2j(k) (aij ∈ R)

realisiert!

4.5. Gegeben ist die lineare Differenzengleichung

y(k + 2) +32

y(k + 1) +12

y(k) = 0.

a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Ansatzes y(k) = λk die allgemeine Lösungy(k) = C1λ1k + C2λ2k!

b) Bestimmen Sie die Konstanten C1 und C2 für die Anfangsbedingungeny(0) = 9 und y(1) = 6!

4.6. Ein Guthaben (Startkapital K ) wird mit einem Zinssatz von q ·100% im Jahr ange-legt. Am Ende eines jeden Jahres werden die Zinsen gutgeschrieben und ein konstan-ter Betrag x entnommen.

a) Man stelle eine Differenzengleichung für die Entwicklung des Guthabens auf unddiskutiere deren Lösung!

b) Wieviel kann jährlich entnommen werden, wenn das Guthaben am Ende des N-tenJahres aufgebraucht sein soll?

Zahlenbeispiel: K = 10000 C= ; q = 0,06; N = 10 Jahre.

Hinweis: Man setze z(0) = K (Guthaben am Anfang des 1. Jahres)z(1) (Guthaben am Ende des 1. Jahres)...

z(k) (Guthaben am Ende des k-ten Jahres).

4.7. Die Zustandsgleichungen eines nichtlinearen dynamischen zeitdiskreten Systemssind wie folgt gegeben:

z(k + 1) = x(k)− µz2(k)y(k) = z(k).

24 4 Zeitdiskrete Signale und Systeme

Bestimmen Sie für x(k) = 1 (k ∈ {0, 1, 2, . . . }) und z(0) = 0,2 die Ausgabe y(k) fürk ∈ {0, 1, 2, . . . , 20}, wenna) µ = 0,5 b) µ = 0,9 c) µ = 2gilt! Diskutieren Sie das Ergebnis!

4.8. Ein invertierendes Switched-Capacitor-Filter (SC-Filter) 1. Ordnung (Bild 4.8) mitdem Eingangssignal x(k) = ue(k) und dem Ausgangssignal y(k) = ua(k) wird (nähe-rungsweise) durch folgende Differenzengleichung beschrieben:

ua(k + 1) = ua(k)−CSC

ue(k). +-

ua(k)

SfSCS

C

ue(k)

Bild 4.8Dies gilt insbesondere, solange der beteiligte Operationsverstärker (OPV) nicht in dieSättigung (|ua| < Us) gerät. Zur Zeit k = 0 werde ein Gleichspannungssignal ue(k) =U1, k ≥ 0, 0 < U1 � Us angelegt. Es sei ua(0) = 0.

a) Ermitteln Sie das Ausgangssignal ua(k), k ≥ 0 unter der theoretischen Annahme,dass obige lineare Gleichung unbeschränkt gelte (d.h. ohne Berücksichtigung derSättigung)!

b) Geben Sie für das reale Verhalten (mit Berücksichtigung der Sättigung) die maximalmögliche Dauer eines Gleichspannungspulses (Zahl von Taktzyklen) an, ohne dassder OPV in die Sättigung gerät!

5 LINEARE ZEITDISKRETE SYSTEME

5.1. Mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe

1 + q + q2 + q3 + · · · = 11− q

(|q| < 1)

bestimme man die Z-Transformierten folgender zeitdiskreter Signale x:

a) x(k) =

{2k k = 0, 1, 2, . . .0 sonst

b) x(k) =

{e ak k = 0, 1, 2, . . .0 sonst

c) x(k) =

{3 k = 0, 2, 4, . . .0 sonst

d) x(k) =

{2

k3 k = 0, 3, 6, . . .

0 sonst

e) x(k) =

0 k < 0 ∨ k = 0, 3, 6, . . .1 k = 1, 4, 7, . . .2 k = 2, 5, 8, . . .

f) unter den Voraussetzungen, dass x aus einem auf m Takte zeitbegrenzten Signalx0 periodisch fortgesetzt wird und ∀k

5.2. Man bestimme mit Hilfe der Korrespondenz aus der Aufgabe 5.1 für das Signal xmit x(k) = e ak die Z-Transformierten folgender Signale x:

a) x(k) = sin Ωk 1(k)

b) x(k) = cosh Ωk 1(k)

c) x(k) = cos(Ωk − ϕ) 1(k)!

5.3. Berechnen Sie durch inverse Z-Transformation x(k) für

X (z) =2z

2z2 − 3z + 1a) mittels Polynomdivision (für k = 0, 1, 2, 3, 4),

b) mit Hilfe der Rekursionsformel (für k = 0, 1, 2, 3, 4),

c) mit Hilfe der Residuenmethode (für beliebige k = 0, 1, 2, . . . )!

5.4. Die Z-Transformierte eines zeitdiskreten Signals x sei durch

X (z) =z2 + 4z + 5z2 + 2z + 1

gegeben. Geben Sie allgemein x(k) für beliebige k = 0, 1, 2, . . . und speziell die Si-gnalwerte x(0) und x(50) an!

5.5. Mit Hilfe der Z-Transformation löse man die Differenzengleichung

6y(k + 2) + 5y(k + 1) + y(k) = cos kπ

mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y(1) = 0!

5.6.

a) Die Z-Transformierte eines diskreten Signals x sei durch X (z) gegeben. Zeigen Sie,dass der Dämpfungssatz gilt:

akx(k) � X(z

a

)!

b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Korrespondenzen aus den Aufgaben 5.1 und 5.2 dieZ-Transformierten der durch

α) x(k) = ak e ak 1(k)

β) x(k) =(5k2 − 3

)ak 1(k) ∗)

γ) x(k) =12

ak(

cos Ωk +√

3 sin Ωk)

1(k)

gegebenen zeitdiskreten Signale x!

∗) Nutzen Sie die Korrespondenzentafel zur Z-Transformation von x1 mit x1(k) = k2 1(k)!

26 5 Lineare zeitdiskrete Systeme

5.7. Bestimmen Sie mit Hilfe der Residuenmethode die Signalwerte x(k) (k = 0, 1, 2, . . .)für

X (z) =z2 − z

z2 − 2z + 5und kontrollieren Sie die Lösung, indem Sie x(0), x(1), x(2), x(3) und x(4) durch Poly-nomdivision berechnen!

5.8. Mit Hilfe der Regel

kx(k) � −z ddz

X (z)

und der Korrespondenz

1(k) �z

z − 11(k) =

{1 k = 0, 1, 2, . . .0 sonst

bestimme man die Z-Transformierten für folgende Signale x:

a) x(k) = k 1(k) b) x(k) = k2 1(k) c) x(k) = k3 1(k)!

5.9. Am Ausgang eines linearen zeitdiskreten Systems (Bild 5.9) erhält man

y(k) =

2 für k = 01 für k = 10 sonst,

z( )0 0=x k( ) y k( )

Bild 5.9wenn das System im Nullzustand am Eingang durch x(k) = 1(k) (Sprungsignal) erregtwird. Wie lautet die Gewichtsfolge dieses Systems?

5.10. Gegeben ist die in Bild 5.10 dargestellte Schaltung eines zeitdiskreten linearenSystems.

x k( ) S1 S2 + y k( )

z1 0( ) z2 0( )

0,25

Bild 5.10

a) Stellen Sie die Zustandsgleichungen auf!

b) Geben Sie die Systemmatrizen A, B, C und D an!

c) Bestimmen Sie die Gewichtsfolge g(k)!

d) Bestimmen Sie die Ausgabe y(k) für k ≥ 0, wenn z1(0) = z2(0) = 0 und

27

x(k) =

{1 für k = 0, 1, 2, 3, 40 sonst

gilt!

5.11. Für das in Bild 5.11 dargestellte lineare zeitdiskrete System im Nullzustand (z1(0) =0 und z2(0) = 0) bestimme man

a) die Zustandsgleichungen,

b) die Systemmatrizen A, B, C, D,

c) die Fundamentalmatrix im Bild- und Zeitbereich,

d) die Übertragungsfunktion,

e) die Gewichtsfolge,

f) die Ausgabe y(k) für x(k) = 1(k) =

{1 für k = 0, 1, 2, . . .0 sonst.

x k( ) S2 y k( )3 + 4 +

5+2 S1

0,5

0,2

Bild 5.11

5.12. Ein zeitdiskretes Glättungsfilter soll im Zeitpunkt k am Ausgang den Mittelwertaus dem aktuellen und den beiden vorhergegangenen Eingangssignalwerten bilden.

a) Wie lautet die Differenzengleichung?

b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion!

c) Geben Sie eine Schaltung des Filters an!


d) Lesen Sie aus der Schaltung die Zustandsgleichungen des Filters ab und geben Siedie Systemmatrizen A, B, C und D an!

e) Berechnen Sie aus den Systemmatrizen die Übertragungsfunktion und vergleichenSie das Ergebnis mit der Lösung von b)!

f) Bestimmen Sie die Impulsantwort des Systems und zeigen Sie, dass es sich umein Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) handelt!

5.13. Für das in Bild 5.13 dargestellte lineare zeitdiskrete System im Nullzustand (d.h.es gilt z1(0) = 0, z2(0) = 0) bestimme man

a) die Zustandsgleichungen,

b) die Übertragungsfunktion,

c) die Differenzengleichung!

S2 S1+ + +

-1

x k( )

y k( )

-2,5

-0,5

Bild 5.13

5.14. Ein lineares zeitdiskretes System im Nullzustand soll auf die Eingabe x:

x(k) = 3(1 + (−1)k

)1(k)

mit der Ausgabe y :

y(k) = 8((−1)k − (0,5)k+2

)1(k)

reagieren.

a) Wie lautet die Übertragungsfunktion?

b) Wie lautet die Differenzengleichung?

c) Geben Sie eine Realisierung des Systems an!

29

d) Lesen Sie aus der Realisierung die Zustandsgleichungen ab und zeigen Sie, dassdas System wirklich die in a) erhaltene Übertragungsfunktion hat!

5.15. Gegeben ist die in Bild 5.15 dargestellte Schaltung eines zeitdiskreten linearenSystems im Nullzustand (z1(0) = 0, z2(0) = 0). (Vgl. Aufgabe 5.10).

x k( ) S1 S2 + y k( )

z1 0( ) z2 0( )

0,25

Bild 5.15

a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion aus der Differenzengleichung!

b) Berechnen und skizzieren Sie die Ortskurve des Frequenzganges G(e jΩ)!

c) Bestimmen Sie den Amplitudenfrequenzgang! (Skizze!)

d) Bestimmen Sie den Phasenfrequenzgang! (Skizze!)

e) Geben Sie das Ausgabesignal an, das man nach hinreichend langer Zeit (k → ∞)am Ausgang erhält, falls am Eingang

x(k) = 5 cos(π

6k − π

4

)(k = 0, 1, 2, . . . )

eingegeben wird! (Gesucht ist also das stationäre Ausgabesignal!)

5.16. Gegeben sind die folgenden Übertragungsfunktionen G linearer zeitdiskreterSysteme:

a) G(z) =z2 + 1

z2 + z + 0,5

b) G(z) =z2 + 1

z2 − z + 0,5

c) G(z) =z2 + z + 0,25

z2

d) G(z) =z2 + 1

z2


Zeichnen Sie die Pol-Nullstellen-Pläne von G(z) und stellen Sie durch Berechnung derAmplitudenfrequenzgänge A(Ω) =

∣∣G (e jΩ)∣∣ fest, welche Filtercharakteristiken die Sys-teme haben (Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre)!

5.17. Gesucht ist die Schaltung eines Bandpasses, der ein zeitdiskretes sinusförmigesEingabesignal mit einer Frequenz f = 8 kHz ungedämpft hindurchlässt und bei denFrequenzen 0 kHz und 16 kHz ideal sperrt. Die Abtastfrequenz beträgt fA = 32 kHz.

a) Zeigen Sie, dass ein System mit der Übertragungsfunktion G:

G(z) =z2 − 1

8z2 + 10

hinsichtlich seines Amplitudenfrequenzganges diese Forderungen erfüllt!

b) Weshalb ist das System trotzdem ungeeignet?

c) Wie könnte man das System „brauchbar“ machen, ohne den Amplitudenfrequenz-gang zu verändern?

d) Geben Sie eine geeignete Schaltung an!

5.18. Gegeben ist das in Bild 5.18 dargestellte lineare zeitdiskrete System im Nullzu-stand (Digitalfilter)

a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion!

b) Berechnen Sie A(Ω) und ϕ(Ω) (Skizze für V = 1 und V = 2)!

c) Wie groß muss die Verstärkung V gewählt werden, damit das Filter ein zeitdiskre-tes sinusförmiges Signal mit der Frequenz f = 50 Hz ideal sperrt (Netzfilter)? DieAbtastfrequenz sei fA = 400 Hz.

d) Wie groß ist die Dämpfung des Filters gemäß c) für ein zeitdiskretes Signal mitf = 60 Hz (USA-Netz)?

x k( )

y k( )

S1 S2

-V +

Bild 5.18

31

5.19. Gegeben ist die Übertragungsfunktion G:

G(z) =z2 − 1

2z2

eines zeitdiskreten linearen Systems. Man berechne und skizziere das Dämpfungs-und Phasenmaß! Handelt es sich um ein linearphasiges System?

5.20. Es ist ein Generator für die Erzeugung eines sinusförmigen zeitdiskreten Signalsy :

y(k) =√

2 sin(π4 k)

(k = 0, 1, 2, . . . )zu entwerfen. Das System soll im Nullzustand bei Eingabe von x(k) = 1(k) (Sprung-signal) am Eingang mit dem oben angegebenen Signal y am Ausgang reagieren.

a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion dieses Systems!

b) Geben Sie eine Schaltung für dieses System an!

c) Wie lauten die Zustandsgleichungen?

d) Geben Sie die Matrizen A, B, C und D aus den Zustandsgleichungen an!

e) Könnten beim Aufbau dieses Systems Stabilitätsprobleme auftreten? (Begründung)

5.21. Gegeben sei das Eingangssignal x(k) = 1 für eine 4-Punkte-DFT.

a) Welche Koeffizienten X (n) haben die größten Werte?

b) Was ändert sich in a) für das Eingangssignal x(k) = (−1)k?

5.22. Angenommen, Ihnen liegt ein 1025-Punkte-Signal vor. Sie sollen mittels zero-filling für dieses Signal eine FFT (Basis 2-Verfahren) berechnen.

a) Wie lang ist die kürzeste FFT zur Behandlung der 1025 Punkte?

b) Wieviel komplexe Operationen (Multiplikationen und Additionen) sind für die FFTnach a) erforderlich?

c) Wieviel komplexe Operationen wären für eine „konventionelle“ 1025-Punkte-DFTerforderlich?

5.23. Es soll eine 16-Punkte-FFT (Basis 2-Verfahren) realisiert werden.

a) Ermitteln Sie die dabei in den grundlegenden 2-Punkte-DFT-Operationen (Butterfly)zu verarbeitenden Wertepaare (Indexkombinationen)!

b) Stellen Sie die Indexfolge aus a) in Binärdarstellung der „natürlichen“ Indexfolgegegenüber!


5.24. Die Fourier-Transformierte X eines zeitdiskreten Signals x lautet X = (1, 2, 0, 2, 0, 1).

a) Bestimmen Sie die Signalwerte x(k) mittels inverser DFT x(k) = IDFTN(X (n)) mitN = 6!

b) Wie müsste die Fourier-Transformierte X geändert werden, um reellwertige Signal-werte zu erhalten?

c) Bestimmen Sie die Signalwerte für X = (1, 2, 0, 1, 0, 2)!

Hinweis:Schreiben Sie ein eignes Programm (z. B. Python) oder rechnen Sie schriftlich undnutzen Sie:

e jπ3 = +

12

+ j

√3

2e j

2π3 = −1

2+ j

√3

2

e j4π3 = −1

2− j√

32

e j5π3 = +

12− j√

32

6 STATISCHEDIGITALESYSTEME (KOMBINATORISCHEAU-TOMATEN)

6.1. Es ist ein kombinatorischer Automat zu entwerfen, mit dessen Hilfe zwei zwei-stellige Dualzahlen

a = (a1, a2) und b = (b1, b2) (a1, a2, b1, b2 ∈ {0, 1})

miteinander verglichen werden können. Am Ausgang des Automaten soll y = 1 auf-treten, falls die Dualzahlen gleich sind, andernfalls soll y = 0 sein. Man gebe eineGatterschaltung unter Verwendung beliebiger Gatter mit zwei Eingängen an!

6.2. Die Beleuchtung eines Raumes mit Hilfe von drei Lampen L1, L2 und L3 soll durchein statisches digitales System (einen kombinatorischen Automaten) mit zwei Ein-gangsgrößen x1 und x2 gesteuert werden (siehe Bild 6.2).

Es gilt für die Ausgänge y1, y2, y3:yi = 1 Lampe Li leuchtet,yi = 0 Lampe Li leuchtet nicht(i ∈ {1, 2, 3}).

Fx1

x2

y1

y3

L1

L2

L3

y2

Bild 6.2Folgende Bedingungen sind zu realisieren:

1. L1 soll leuchten, falls x1 = 1 und x2 = 0 ist;

2. L2 soll leuchten, falls x1 = 1 oder x2 = 0 ist, jedoch nur dann, wenn L1 nichtleuchtet;

3. L3 soll leuchten, wenn weder L1 noch L2 leuchten.

33

a) Geben Sie das Eingabe- und Ausgabealphabet an!

b) Geben Sie eine Gatterschaltung zur Realisierung der Alphabetabbildung Φ an!

6.3. Gesucht ist eine Gatterschaltung mit 4 Eingängen und einem Ausgang (Bild 6.3)mit folgender Eigenschaft: Ist die Eingangsbelegung (i1, i2, i3, i4) die Binärdarstellungeiner Primzahl i, so soll am Ausgang y = 1 gelten, andernfalls y = 0. (Die Zahl 1 sollhier mit zu den Primzahlen gezählt werden).

a) Stellen Sie die Schaltfunktionf : B4 → B, y = f (x1, x2, x3, x4)durch eine Wertetabelle dar!

b) Vereinfachen Sie die Schaltfunktion f mitHilfe einer Karnaugh-Tafel!

c) Zeichnen Sie die zugehörige Gatter-schaltung!

x

x

x

x

1

2

3

4

yf

Bild 6.3

6.4. Ein kombinatorischer Automat (siehe Bild 6.4) soll folgende Bedingungen realisie-ren:

y(k) =

x2(k), falls x1(k) = x3(k)

1, falls x1(k) ∨ x2(k) ∨ x3(k) = 00, falls x1(k)x2(k) x3(k) = 1

x3(k), falls x1(k) = x2(k)

F

x k1( )

x k2( )

x k3( )

y k( )

Bild 6.4

a) Geben Sie y(k) = Φ(x1(k), x2(k), x3(k)) an!

b) Zeichnen Sie eine Gatterschaltung zur Realisierung von Φ!

c) Welches Ausgabewort y erhält man bei Eingabe von x1 = (1, 0, 0, 1), x2 = (0, 1, 0, 0)und x3 = (0, 0, 1, 0)?

6.5. Die Wirkungsweise des im Bild 6.5 dargestellten Multiplexers ist folgende: Jenach Belegung der Adresseingänge (a0 und a1) sollen die Informationseingänge xi (miti = 0, 1, 2, 3) zum Ausgang y durchgeschaltet werden, und zwar so, dass gilt:

y(k) =

x0(k), falls a0(k) = 0 und a1(k) = 0x1(k), falls a0(k) = 0 und a1(k) = 1x2(k), falls a0(k) = 1 und a1(k) = 0x3(k), falls a0(k) = 1 und a1(k) = 1.

Multi-plexer

a k0 ( )

x k0 ( )

x k1( )

a k1( )

x k2 ( )

x k3( )

y k( )

Bild 6.5Geben Sie eine Gatterschaltung des Multiplexers an!

34 6 Statische digitale Systeme (Kombinatorische Automaten)

7 DYNAMISCHE DIGITALE SYSTEME (SEQUENTIELLE AU-TOMATEN)

7.1. Ein JK-Flipflop (siehe Bild 7.1) ist durch zwei Zustände (Z = {0, 1}) gekennzeich-net, und es gilt:

z(k + 1) =

z(k), falls xJ(k) = 0 und xK (k) = 0,

0, falls xJ(k) = 0 und xK (k) = 1,1, falls xJ(k) = 1 und xK (k) = 0,

z(k), falls xJ(k) = 1 und xK (k) = 1.

JK-Flipflopx kJ ( )

x kK ( )

y k1( )

y k2 ( )

Bild 7.1

Am Ausgang gilt y1(k) = z(k) und y2(k) = z(k).

a) Stellen Sie die Zustandsgleichungen auf!

b) Geben Sie eine Gatterschaltung an!

c) Stellen Sie die Automatentabellen auf!

d) Zeichnen Sie den Automatengraphen!

7.2. Zur Addition von zwei Dualzahlen x1 und x2 beliebiger (endlicher) Länge ist einserielles Addierglied zu entwerfen. Der Automat soll zwei Eingänge zur Eingabe derbeiden zu addierenden Dualzahlen und einen Ausgang zur Ausgabe der Summe yhaben.Hinweis: Der Zustand des Automaten im Takt k + 1 ergibt sich aus dem Übertrag derAddition im Takt k.

a) Geben Sie eine Wertetabelle der Überführungs- und der Ergebnisfunktion an!

b) Zeichnen Sie den Automatengraphen!

c) Wie lauten die Zustandsgleichungen?

d) Skizzieren Sie die zugehörige Gatterschaltung!

35

7.3. Man gebe die Automatentabellen und die Zustandsgleichungen des Automatenan, der durch den im Bild 7.3 dargestellten Automatengraphen beschrieben wird!

02/01/00/0

3/2

2/2

3/2

1 2

1 0/1

Bild 7.3

7.4. Es ist ein sequentieller Automat anzugeben, welcher bei Eingabe von x = (0, 0, . . . , 0)am Ausgang die 0–1–Folge y = (0, 1, 0, 1, . . . , 0, 1) liefert. Geben Sie eine Gatterschal-tung mit den zugehörigen Zustandsgleichungen und dem erforderlichen Anfangszu-stand an!

7.5.

a) Bestimmen Sie in der Schaltung vonBild 7.5 das Ausgabewort y bei Einga-be von x = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0), wennsich das System im Anfangszustandz(0) = 0 befindet!

b) Lässt sich die Schaltung durch Ein-sparung von Gattern vereinfachen?Gegebenenfalls zeichne man die ver-einfachte Schaltung!

c) Es ist eine möglichst einfache äqui-valente Schaltung anzugeben, die au-ßer dem Speicher nur NOR-Gatterenthält!

&

x k( )

>1

S

y k( )

Bild 7.5

7.6. Von einem binären Mealy-Automaten sind die folgenden Zustandsgleichungen be-kannt:

z1(k + 1) = z1(k)z2(k) ∨ x(k)z2(k + 1) = z1(k)

y(k) = z1(k) ∨ z2(k)x(k)

Man gebe die zugehörigen Automatentabellen, den Automatengraphen und eine rea-lisierende Schaltung an!

36 7 Dynamische digitale Systeme (Sequentielle Automaten)

7.7.

a) Für die im Bild 7.7 dargestellte Schaltung gebe man die Zustandsgleichungen an!

b) Geben Sie das Ausgabewort y für alle möglichen Anfangszustände bei Eingabevon

x =(

x1x2

)=

((1, 0, 1)(0, 0, 1)

)an!

x k1( )

x k2( )

y k( )

&

&

S1

>1S2

Bild 7.7

7.8. Das Verhalten einer Mausefalle ist durch ein Automatenmodell zu beschreiben!Man verwende folgende Alphabete:

X ={

0 Maus geht nicht in die Falle,1 Maus geht in die Falle;

Y ={

0 Maus bleibt frei,1 Maus ist gefangen;

Z ={

0 Feder der Falle ist nicht gespannt,1 Feder der Falle ist gespannt.

a) Geben Sie den Automatengraphen und die Automatentabellen an!

b) Geben Sie die Zustandsgleichungen an!

c) Man zeichne die zugehörige Gatterschaltung („elektronisches Modell“ der Mause-falle)!

37

8 STOCHASTISCHE SIGNALE

8.1. Die Beleuchtung eines Raumes erfolgt durch zwei in Reihe geschaltete Glühlam-pen L1 und L2, die unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeaiten p1 bzw.p2 ausfallen (Durchbrennen des Glühfadens). Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt dieRaumbeleuchtung aus?

8.2. In einem Stromkreis (siehe Bild 8.2) befindensich vier Widerstände, die mit den Wahrscheinlich-keiten p1, p2, p3 und p4 unabhängig voneinanderdurchbrennen (d. h., Ri → ∞, i ∈ {1, 2, 3, 4}). Be-rechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass derGesamtstrom I unterbrochen wird!

R3

R2R1

R4

I

Bild 8.2

8.3. Zwei Schützen schießen auf eine Scheibe. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgtfür den ersten Schützen 0,8 und für den zweiten Schützen 0,9. Mit welcher Wahr-scheinlichkeit wird die Scheibe getroffen?

8.4. Über einen gestörten Kanal werden kodierte Steuerkommandos vom Typ 111 und000 übertragen, wobei der erste Typ mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 und der zweite Typmit der Wahrscheinlichkeit 0,3 gesendet wird. Jedes Zeichen (0 oder 1) wird mit derWahrscheinlichkeit 0,8 richtig übertragen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Signal 101 empfangen wird?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

α) 111, β) 000

gesendet wurde, falls 101 empfangen wird?

8.5. Gegeben ist eine Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion FX :

FX (ξ) =

0 ξ ≤ −1,1− ξ2 −1 < ξ ≤ 0,1 ξ > 0.

a) Man berechne und skizziere die Dichtefunktion fX !

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen Wert kleiner als −12 an?

c) Man berechne P{−13 ≤ X < 2

}mit Hilfe

α) der Verteilungsfunktion, β) der Dichtefunktion!

38 8 Stochastische Signale

8.6. Man berechne den Erwartungswert E(X ), den quadratischen Mittelwert E(X 2)und die Varianz Var(X )

a) für eine diskrete Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion FX gemäß Bild 8.6a,

b) für eine stetige Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion FX :

FX (ξ) =

0 ξ ≤ 0,ξ2 0 < ξ ≤ 1,1 ξ > 1

gemäß Bild 8.6b!

1

-1 0 1 2 3 4ξ ξ

0,40,3

1

FX (ξ) FX (ξ)

10

0,9

Bild 8.6a Bild 8.6b

8.7. Bei einem elektronischen System sei die Lebensdauer (gerechnet vom Zeitpunktder Inbetriebnahme bis zum Ausfallzeitpunkt) eine Zufallsgröße X mit der Dichte fX :

fX (x) =

{a e−ax x ≥ 0 (a > 0)0 x < 0.

Die mittlere Lebensdauer betrage 10 Jahre. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit da-für, dass

a) das System mindestens 3 Jahre zuverlässig arbeitet,

b) das System mindestens weitere 2 Jahre zuverlässig arbeitet, wenn bekannt ist,dass es bereits 3 Jahre zuverlässig gearbeitet hat!

8.8. Die Lebensdauer eines bestimmten Bauelementes kann durch eine ZufallsgrößeX mit der Dichtefunktion fX :

fX (x) =

{λ2x e−λx x > 00 x ≤ 0

(λ = 0,25/ Jahr)

näherungsweise beschrieben werden.

39

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Bauelement innerhalb von 6Jahren nicht ausfällt?

b) Ein Gerät enthalte 4 Bauelemente dieser Art, deren Ausfall unabhängig voneinan-der erfolgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät innerhalb von6 Jahren nicht ausfällt?

8.9. Eine Lieferung von elektronischen Bauelementen enthalte 5% Ausschuss (defek-te Bauelemente). Wieviel Bauelemente muss eine Stichprobe mindestens enthalten(d. h., wieviel Bauelemente müssen mindestens geprüft werden), damit in ihr mit einerWahrscheinlichkeit nicht kleiner als 0,9 wenigstens ein defektes Bauelement enthaltenist?

8.10. Ein zufälliger Vektor X = (X1, X2) ist in einem Rechteck B1 (Bild 8.10) gleichver-teilt, d. h. für die Dichte gilt

fX (x1, x2) =

{1ab (x1, x2) ∈ B10 (x1, x2) /∈ B1

(a > b > 0).

B2

B1

x1

b

0 b a

x2

Bild 8.10

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen Wert aus dem Viertelkreisgebiet B2an?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X1 einen Wert größer als b annimmt(X2 beliebig)?

8.11. Der zufällige Vektor X = (X1, X2) habe die Verteilungsfunktion FX .

Man berechne (ausgedrückt durchdie Werte von FX )

a) P{X ∈ B1},

b) P{X ∈ B1 |X ∈ B2}!

(Vgl. Bild 8.11).

b2

0 a1 a2x1

B2B1

b1

x2

Bild 8.11

8.12. Bei einer telegrafischen Nachrichtenübertragung wird 1% aller Buchstaben feh-lerhaft empfangen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Text von200 Buchstaben


a) keinb) höchstens ein

Fehler enthalten ist?

8.13. Ein zufälliger Vektor X = (X1, X2) sei in einem Rechteck B gleichverteilt, d. h.,dass fX (x1, x2) konstant für (x1, x2) ∈ B ist. (Siehe Bild 8.13.)

a) Geben Sie die Dichte fX an!

b) Berechnen und skizzieren Sie die Randdich-ten fX1 und fX2!

c) Berechnen Sie P{X1 ≥ 1}!

d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit da-für, dass X2 einen Wert annimmt, der grö-ßer als der Wert von X1 ist!

B

x1320 1

1

x2

Bild 8.13

8.14. Ein zufälliger Vektor X = (X1, X2) ist in einem Rechteck B verteilt mit der DichtefX :

fX (x1, x2) =

{x1π

(x1, x2) ∈ B,0 (x1, x2) /∈ B.

a) Man berechne fX1(x1 | x2) und fX2(x2 | x1) und untersuche,ob X1 und X2 aus X unabhängig sind!

b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X1 einenWert kleiner als 0,5 annimmt!

π

B

1

x2

0

−π

x1

Bild 8.14

8.15. Ein zufälliger Vektor X = (X1, X2, X3) ist im Innern der Kugel x12 + x22 + x32 ≤ R2gleichverteilt, d. h., X hat im Innern der Kugel eine konstante Dichte. Wie lautet dieDichtefunktion?

8.16. Gegeben seien drei unabhängige Zufallsgrößen X1, X2 und X3 mit E(Xi) = 0 undVar(Xi) = σi 2 (i ∈ {1, 2, 3}).

a) Bestimmen Sie Var(Y ) für Y = a1X1 + a2X2 + a3X3 (ai ∈ R)!

b) Geben Sie speziell Var(X1 + X2) und Var(X1 − X2) an!

8.17. Gegeben ist der zufällige Prozess X = (Xt)t∈T mit Xt = X (t) = X1 sin(ω0t − X2),worin X1 und X2 im Intervall (0, 2π] gleichverteilte Zufallsgrößen bezeichnen. GebenSie einige Realisierungen von X an und veranschaulichen Sie diese grafisch!

41

8.18. Über einem Ohmschen Widerstand R liegt eine Rauschspannung, die durcheinen stationären zufälligen Prozess X mit der Dichtefunktion fX :

fX (x, t) =12a

exp(−|x|

a

)(a > 0)

beschrieben werden kann. Man berechne (für eine feste Zeit t)

a) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Spannung einen festen Wert a0 > 0 über-schreitet;

b) den Erwartungswert der Spannung;

c) den Erwartungswert der Leistung an R!

d) Was erhält man mit den Zahlenwerten a = 1 V, a0 = 2 V und R = 3 ˙?

Hinweis zu b):∫

x e cx dx =e cx

c2(cx − 1) + C

Hinweis zu c):∫

x2 e cx dx =e cx

c3(x2c2 − 2cx + 2) + C

8.19. In der Schaltung Bild 8.19, die durch eine Rauschspannungsquelleund eine Rauschstromquelle erregt wird, ist derStrom in R2 durch den zufälligen Prozess

I2 =U − IR1R1 + R2

darstellbar. U und I seien stationäre (und statio-när verbundene) Prozesse mit den Korrelations-funktionen sU, sI und sUI.

I

R1

R2

I2

U

Bild 8.19

a) Bestimmen Sie sI2(τ), ausgedrückt durch sU(τ), sI(τ) und sUI(τ)!

b) Wie groß ist der Mittelwert der Leistung an R2?

8.20. Gegeben ist der zufällige Prozess Y :

Y (t) = X1 cosω0t + X2 sinω0t (ω0 ∈ R, Konstante),

worin X1 und X2 unabhängige Zufallsgrößen mit

E(X1) = E(X2) = 0 und E(X12) = E(X2

2) = σ2

bezeichnen.

a) Man berechne den Erwartungswert E(Y (t)) = mY (t)!

b) Man berechne die Korrelationsfunktion E(Y (t1)Y (t2)) = sY (t1, t2)!

c) Ist der Prozess Y im weiteren Sinne stationär?


8.21. Es ist zu zeigen, dass für die Korrelationsfunktion sX eines stationären ProzessesX = (Xt)t∈T gilt

| sX (τ) | ≤ sX (0) (τ = t2 − t1; t1, t2 ∈ T ).

Hinweis:Man berechne den (nicht negativen) Ausdruck E

((X (t)± X (t + τ))2

)≥ 0!

8.22. Über einem Ohmschen Widerstand R liegt eine Spannung, die durch einen sta-tionären zufälligen Prozess U mit verschwindendem Mittelwert und dem Leistungs-dichtespektrum SU:

SU(ω) =

{S0 −ω0 ≤ ω ≤ +ω00 ω < −ω0, ω > +ω0

(S0 > 0, Konstante)

beschrieben werden kann.

a) Geben Sie das Leistungsdichtespektrum und die Korrelationsfunktion des StromesI durch den Widerstand R an!

b) Wie groß ist die von R aufgenommene mittlere Leistung?

8.23. Ein Ohmscher Widerstand R wird von einem Strom durchflossen, der durcheinen stationären Gauß-Prozess X mit

mX (t) = 0 und sX (τ) = A2 e−α|τ | (A,α ∈ R, α > 0)


a) Man bestimme das Leistungsdichtespektrum SX (ω)!

b) Wie groß ist die mittlere Leistung an R?

c) Wie lautet die Dichte fX (x, t)?

d) Wie lautet die Dichte fX (x1, t1; x2, t2)? (τ = t2 − t1)

8.24. Gegeben ist ein stationärer Gauß-Prozess X mit verschwindendem Mittelwertund der Korrelationsfunktion sX :

sX (τ) = A2 e−α|τ |(

cos βτ − αβ

sin β|τ |)

(A > 0, α > 0, β > 0).

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X (t) einen Wert annimmt, der größerals b ist?Zahlenbeispiel: A = 1 V, α = 104 s−1, β = 105 s−1, b = 0,5 V.Hinweis: Gaußsches Fehlerintegral

Φ(u) =1√2π

u∫0

exp(−v

2

2

)dv ;

Φ(u) = −Φ(−u); Φ(∞) = 0,5; Φ(0,5) ≈ 0,1915

43

9 STATISCHE SYSTEMEMIT STOCHASTISCHENSIGNALEN

9.1. Gegeben ist ein nichtlineares statisches System (Bild 9.1a) mit exponentiellerKennlinie ϕ : R→ R, y = ϕ(x) = e 3x .

X ϕ Y

210

1

x

fX (x)

Bild 9.1a Bild 9.1b

Die Eingabewerte dieses Systems können durch eine Zufallsgröße X mit Dreieck-Ver-teilung (Dichtefunktion siehe Bild 9.1b) beschrieben werden. Welche Dichtefunktionhat die Zufallsgröße Y am Ausgang dieses Systems? Stellen Sie fY (y) grafisch dar!

9.2. Gegeben ist das in Bild 9.2 dargestellte statische System. Die Eingabewerte sinddurch einen zufälligen Vektor X = (X1, X2) mit der Dichtefunktion fX gegeben.Man berechne die Dichtefunktion fY des zufälli-gen Vektors Y = (Y1, Y2) am Ausgang des Sys-tems

a) allgemein für beliebige fX ,

b) speziell für

fX (x1, x2) =1

2πσ2exp

(−x1

2 + x22

2σ2

)(σ > 0)!

+X2

X1

a Y2

Y1

Bild 9.2

9.3. Die von einem Computer über die RANDOM-Funktion ausgegebenen Pseudozu-fallszahlen können näherungsweise durch eine Zufallsgröße X mit Gleichverteilung imIntervall (0, 1) beschrieben werden.Welche Rechenoperation muss man auf diese Zahlen anwenden, um Zufallszahlen Ymit Cauchy-Verteilung mit der Dichte fY :

fY (y) =1π

1y2 + 1

zu erhalten (Bild 9.3)?

X y = ϕ(x) =? Y1

10

fX (x)

x0

y

fY (y)

Bild 9.3

44 9 Statische Systeme mit Stochastischen Signalen

9.4. Gegeben ist das im Bild 9.4 dargestellte statische System. X1 und X2 seien un-abhängige Zufallsgrößen, für die E(X1) = E(X2) = 0 sowie Var(X1) = Var(X2) = σ2

gilt.

a) Berechnen Sie E(Y1) und E(Y2)!

b) Berechnen Sie Var(Y1) und Var(Y2)!

c) Berechnen Sie Cov(Y1, Y2)!

d) Welchen Wert hat der Korrelationsko-effizient %(Y1, Y2)?

e) Bestimmen Sie fY (y1, y2) für

fX (x1, x2) =1

2πσ2exp

(−x1

2 + x22

2σ2

)!

+

+

β

α Y1

Y2

X1

X2 −β

Bild 9.4

9.5. Am Eingang eines Gleichrichters mit der in Bild 9.5 gegebenen Kennlinie ϕ:

y = ϕ(x) =

{e ax − 1 x ≥ 0,0 x < 0

liegt der nichtstationäre Prozess X mitder Dichte fX , wobei für beliebige t ∈ TfX (x, t) = 0 gilt, falls x < 0 ist.

ϕ

0

YX

yϕ

x

Bild 9.5

a) Man berechne fY (y, t) allgemein!

b) Was erhält man speziell für

fX (x, t) =

α

1 + β2t2exp

(−αx

1 + β2t2

)x ≥ 0,

0 x < 0?

Für die Konstanten gilt a > 0, α > 0, β > 0.

9.6. In der Schaltung Bild 9.6 sind die Korrelationsfunktion sX und die DichtefunktionfX des stationären Prozesses X wie folgt gegeben:

sX (τ) = 2A2 e−α|τ | cos βτ

fX (x, t) =1

2Aexp

(−|x|

A

)(A > 0, α > 0, β > 0).

(X ⇔ U1, Y ⇔ U2)

YR1

R2X

Bild 9.6

45

a) Man berechne die Korrelationsfunktion des Prozesses Y !

b) Wie lautet die eindimensionale Dichte des Prozesses Y ?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Y zur Zeit t einen Wert größer alsa annimmt? (a > 0)

d) Welche Lösung erhält man in c) mit A = 1 V, a = 2 V, R1 = 1 ˙, R2 = 2 ˙?

9.7. Die Schaltung (Bild 9.7) enthält zwei Addierglieder und zwei ideale Verstärker mitden Verstärkungsfaktoren v1 bzw. v2. Die Prozesse X (Eingabeprozess), U und V („Stör-prozesse“) seien stationär und unabhängig mit den Mittelwerten mX = mU = mV = 0.

++

U V

v1 v2 YX

Bild 9.7

Der Prozess X hat das Leistungsdichtespektrum

SX (ω) =A2

ω2 + a2(A > 0, a > 0)

und die Prozesse U und V stellen ein „weißes Rauschen“ mit

SU(ω) = SV (ω) = S0 (S0 > 0)

dar.

a) Man bestimme die Kreuzkorrelationsfunktion der Prozesse X und Y !

b) Welches Leistungsdichtespektrum hat der Prozess Y ?

9.8. Über einer Diode mit der Strom-Spannungs-Kennlinie

i = ϕ(u) = I0

(exp

(uU0

)− 1)

(I0 > 0, U0 > 0)

liegt eine Spannung, die durch einen stationären zufälligen Prozess U mit der DichtefU:

fU(u, t) =

1

U00 ≤ u ≤ U0

0 u < 0, u > U0


a) Man berechne die Dichte fI des Stromes I und stelle fI(i, t) grafisch dar!

b) Mit Hilfe der Formel

E(ϕ(X )) =

∞∫−∞

ϕ(x)fX (x) dx

berechne man den Erwartungswert des Stromes I!

46 9 Statische Systeme mit Stochastischen Signalen

10 DYNAMISCHESYSTEMEMIT STOCHASTISCHENSIGNALEN

10.1. Man zeige: Ein stationärer Prozess X mit der Korrelationsfunktion sX ist genaudann stetig im quadratischen Mittel (i. q. M.), wenn sX (τ) in τ = 0 stetig ist.Hinweis: Man untersuche den Ausdruck

||X (t + τ)− X (t)||2 = E((X (t + τ)− X (t))2

)für τ → 0!

10.2. Gegeben ist ein i. q. M. differenzierbarer zufälliger Prozess X mit dem MittelwertmX und der Korrelationsfunktion sX . Man zeige, dass

a) mẊ (t) =ddt

mX (t),

b) sẊX (t1, t2) =∂

∂t1sX (t1, t2) und

c) sXẊ (t1, t2) =∂

∂t2sX (t1, t2) gilt!

d) Wie lauten diese Gleichungen, wenn X stationär ist?

10.3. An einer idealen Kapazität C liegt eine Span-nung, die durch einen stationären Gauß-Prozess U mitmU(t) = 0 und

sU(τ) = A2 exp(−aτ 2

)(A ∈ R, a > 0)

beschrieben werden kann (Bild 10.3).

τ0

sU(τ)

Bild 10.3

Man berechne für den Strom I durch C

a) den Mittelwert mI (mI(t) =?),

b) die Kreuzkorrelationsfunktionen sIU und sUI (sIU(τ) =?, sUI(τ) =?) (Skizze!),

c) die Korrelationsfunktion sI (sI(τ) =?) (Skizze!) und

d) die Dichtefunktion fI (fI(i, t) =?)!

10.4. In der dargestellten Schaltung im Nullzu-stand (Bild 10.4) kann die angelegte Spannungdurch einen stationären Prozess U mit der Korre-lationsfunktion sU:

sU(τ) = 2U02 e−a|τ | (a > 0)

beschrieben werden. Man berechne die

U C R

L

Bild 10.4

Leistungsdichtespektren für die angelegte Spannung U und den Strom I durch R!

47

10.5. An den Klemmen eines RLC-Zweipols (Bild 10.5) liegt eine Rauschspannung, diedurch einen stationären Prozess U mit kon-stantem Leistungsdichtespektrum SU(ω) =S0 beschrieben wird.

a) Welches Leistungsdichtespektrum hatder Gesamtstrom I?

b) Welche Korrelationsfunktion hat derStrom IR?

L

IR

I R

C

U

Bild 10.5

10.6. Für ein lineares dynamisches System mit der Impulsantwort (Gewichtsfunktion)g, das durch einen stationären zufälligen Prozess X mit gegebener KorrelationsfunktionsX erregt wird (siehe Bild 10.6), bestimme man allgemein die KreuzkorrelationsfunktionsXY , ausgedrückt durch sX und g in Integralform!Welches Ergebnis erhält man speziell für sX (τ) = S0 δ(τ)?

Hinweis: Für stationäre Prozesse gilt für beliebige Zeitpunkte t

Y (t) =

∞∫0

g(λ)X (t − λ) dλ.g YX

Bild 10.6

10.7. In der dargestellten Schaltung (Bild 10.7) wird die Eingangsspannung X (⇔ U1)durch einen stationären Gauß-Prozess mit dem Leistungsdichtespektrum SX (ω) = K(„Weißes Rauschen“) und mX (t) = 0 beschrieben.

a) Wie lautet das LeistungsdichtespektrumSY (ω) der Ausgangsspannung Y (⇔ U2)?

b) Welche Korrelationsfunktion sY hat derProzess Y ?

c) Geben Sie fY (y, t) und fY (y1, t1; y2, t2) an!

C R U2

(X ⇔ U1, Y ⇔ U2)

U1R

Bild 10.7

10.8. In der gegebenen Schaltung im Nullzustand (Bild 10.8) bezeichnet X einen sta-tionären zufälligen Prozess mit dem konstanten Leistungsdichtespektrum SX (ω) = S0.Man berechne das Leistungsdichtespektrum des Prozesses Y am Ausgang des Sys-tems! ∫ ∫

YX 4 + +

−323

Bild 10.8

48 10 Dynamische Systeme mit Stochastischen Signalen

10.9. Für die in Bild 10.9 dargestellte Schaltung mit den rauschenden WiderständenR1, R2 und R3 berechne man das Leistungsdichtespektrum der Rauschspannung U anden Klemmen AB und gebe die Rauschersatzschaltung an!

L R3

R2 R1

A B

Bild 10.9

10.10. Zur quantitativen Beschreibung eines i. q. M. ergodischen Prozesses U verwen-det man häufig den Begriff der „effektiven Rauschspannung“

Ueff =√

u2(t) =√

E (U2(t)).

Man berechne die effektive Rauschspannung

a) für den Fall, dass die Korrelationsfunktion sU gegeben ist:

sU(τ) = A2 e−α|τ | cos βτ (A > 0, α > 0, β > 0);

Zahlenbeispiel: A = 1 V, α = 10−3 s−1, β = 10−4 s−1;

b) für einen Ohmschen Widerstand R im Niederfrequenzgebiet, d. h. für das Leis-tungsdichtespektrum SU gilt

SU(ω) =

{2kTR |ω| < ω0,0 |ω| > ω0.

Zahlenbeispiel: R = 1 M˙, f0 =ω02π = 20 kHz, T = 300 K, k = 1,38 ·10

−23 Ws/ K

10.11. Gegeben ist die in Bild 10.11 dargestellte Blockschaltung zur Effektivwertmes-sung schwacher Signale. In dieser Schaltung bezeichnen X das Eingabesignal, dessenEffektivwert gemessen werden soll, und U bzw. V die Rauschsignale der beiden Ver-stärker mit den Verstärkungsfaktoren v1 bzw. v2. Die genannten Signale X , U und Vkönnen als unabhängige stationäre und ergodische zufällige Prozesse mit verschwin-dendem Mittelwert betrachtet werden. Man zeige, dass das Ausgangssignal der Schal-tung proportional zu

Xeff =√

x2(t) =√

E (X 2(t))

ist und nicht von den Rauschspannungen der Verstärker abhängig ist!

X

v1

v2

× E(. . . )

+

+

U

V

Y√

(. . . )

Bild 10.11

49

11.1. Gegeben ist ein Digitalfilter(Bandpass 2. Grades, Bild 11.1) mitder Übertragungsfunktion G:

G(z) =z2 − 1

2,1 z2 + 1,9

BandpassyS(k)xS(k)

XN(k) YN(k)

Bild 11.1

Am Eingang des Digitalfilters liegt die Summe x des zeitdiskreten Signals xS:

xS(k) = X̂ sin Ωk (X̂ = 1, Ω =12π)

und eines (durch die vorausgehende Analog-Digital-Umwandlung hervorgerufenen) zeit-diskreten Rauschsignals, das näherungsweise durch einen stationären zeitdiskretenstochastischen Prozess XN mit unkorrelierten Signalwerten beschrieben werden kann(„Weißes Rauschen“). Es wird angenommen, dass XN(k) im Intervall

(−12∆, +

12∆]

gleich verteilt sei (Zahlenbeispiel: ∆ = 2−10).

a) Man berechne und skizziere den Amplitudenfrequenzgang des Digitalfilters!

b) Man bestimme den Signal-Rausch-Abstand a am Eingang und am Ausgang desFilters!Hinweis:

a = 20 lgXS,effXN,eff

= 10 lgxS2(k)

xN2(k)

50 10 Dynamische Systeme mit Stochastischen Signalen

FORMELSAMMLUNG

F FORMELSAMMLUNG

Formelsammlung Analoge Signale und Systeme (1)

Fourier-Transformation:

X (ω) =

∞∫−∞

x(t) e− jωt dt

x(t) =1

2π

∞∫−∞

X (ω) e jωt dω

Rechenregeln der Fourier-Transformation:

Nr. x(t) X (ω) Bemerkungen

1 αx1(t) + βx2(t) αX1(ω) + βX2(ω) Linearität

2 x(t − τ) e− jωτX (ω) Verschiebungssatz(Zeitverschiebung)

3 x(t) e jω0t X (ω − ω0) Verschiebungssatz(Frequenzverschiebung)

4 x(at)1|a|

X(ω

a

)Ähnlichkeitssatz (a 6= 0)

5 ẋ(t) jωX (ω) Differentiationsregel

6

t∫−∞

x(τ) dτ1jω

X (ω) Integrationsregel *)

7

∞∫−∞

x1(τ)x2(t − τ) dτ X1(ω)X2(ω) Faltungssatz(Faltung im Zeitbereich)

8 x1(t)x2(t)1

2π

∞∫−∞

X1(u)X2(ω − u) du Faltungssatz(Faltung im Frequenzber.)

9 Gilt die Korrespondenz x(t) � X (ω),so gilt auch die Korrespondenz X (t) � 2πx(−ω).

Vertauschungssatz

*) Man überprüfe, ob die Fourier-Transformierte des Integrals auf der linken Seite wirklich exi-siert!

52 F Formelsammlung

Korrespondenzen der Fourier-Transformation:

Nr. x(t) X (ω)

1 δ(t) 1

2 1(t) πδ(ω) +1jω

3 Rect(

t2τ

)=

{1 −τ ≤ t ≤ τ0 t < −τ ∨ t > τ

2τsin(ωτ)ωτ

= 2τ si(ωτ)

4ω0π

si(ω0t) =ω0π· sin(ω0t)

ω0tRect

(ω

2ω0

)=

{1 −ω0 ≤ ω ≤ ω00 ω < −ω0 ∨ ω > ω0

(ω0 6= 0)

5

{e−at t > 00 t < 0

1jω + a

(a > 0)

6 e−a|t|2a

ω2 + a2(a > 0)

71

t2 + a2π

ae−a|ω| (a > 0)

8 e−at2

√π

ae−

ω2

4a (a > 0)

9 (1 + a|t|) e−a|t| 4a3

(ω2 + a2)2(a > 0)

10(

1 + a|t|+ 13

(at)2)

e−a|t|16a5

3(ω2 + a2)3(a > 0)

11 e−a|t| cos(βt)2a(ω2 + a2 + β2)

(ω2 − a2 − β2)2 + 4a2ω2(a > 0)

12 e−a|t|(

cos(βt) +aβ

sin(β|t|))

4a(a2 + β2)((ω − β)2 + a2)((ω + β)2 + a2)

(a > 0)

13

a(

1− |t|τ

)−τ < t < τ

0 sonst

4aω2τ

sin2(ωτ

2

)= aτ si2

(ωτ2

)(τ 6= 0)

14 cos(ω0t) π (δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0))

15 sin(ω0t) jπ (δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0))

53


Laplace-Transformation:

X (s) =

∞∫0

x(t) e−st dt

x(t) =1

2π j

δ+ j∞∫δ− j∞

X (s) e st ds

Rechenregeln der Laplace-Transformation:

Nr. x(t) X (s) Bemerkungen

1 αx1(t) + βx2(t) αX1(s) + βX2(s) Linearität

2 x(t − τ) (τ > 0) e−sτX (s) Verschiebungssatz

3 x(at)1a

X(s

a

)Ähnlichkeitssatz (a > 0)

4 ẋ(t) sX (s)− x(+0) Differentiationsregel

5

t∫0

x(τ) dτ1s

X (s) Integrationsregel

6 e−atx(t) X (s + a) Dämpfungssatz

7

t∫0

x1(τ)x2(t − τ) dτ X1(s)X2(s) Faltungssatz

8 x(t) =∑

i

Ress=si

[X (s) e st

]Residuenformel,

wobei

Ress=si

[X (s) e st

]=

1(m− 1)!

lims→si

dm−1

dsm−1[X (s) e st(s − si)m

]mit si : m-facher Pol von X (s)

und X (s) rational mit X (∞)→ 0.

54 F Formelsammlung

Korrespondenzen der Laplace-Transformation:

Nr. x(t) X (s)

1 δ(t) 1

2 1(t)1s

3 t 1(t)1s2

4 e at 1(t)1

s − a

5 t e at 1(t)1

(s − a)2

6t n−1

(n− 1)!e at 1(t)

1(s − a)n

(n = 1, 2, 3, . . . )

7 cos at 1(t)s

s2 + a2

8 sin at 1(t)a

s2 + a2

9 cosh at 1(t)s

s2 − a2

10 sinh at 1(t)a

s2 − a2

11 e at cos βt 1(t)s − a

(s − a)2 + β2

12 e at sin βt 1(t)β

(s − a)2 + β2

13 e at(

cos βt +aβ

sin βt)

1(t)s

(s − a)2 + β2

14 cos2 at 1(t)s2 + 2a2

s (s2 + 4a2)

15 sin2 at 1(t)2a2

s (s2 + 4a2)

16 cos(at + b) 1(t)s cos b − a sin b

s2 + a2

17 sin(at + b) 1(t)s sin b + a cos b

s2 + a2

181√πt

1(t)1√s

19 2

√tπ

1(t)1

s√

s

55


Z-Transformation:X (z) =

∞∑k=0

x(k)z−k

x(k) =1

2π j

∮c

X (z)zk−1 dz (k = 0, 1, 2, . . . )

Rechenregeln der Z-Transformation:

Nr. x(k) X (z) Bemerkungen

1 αx1(k) + βx2(k) αX1(z) + βX2(z) Linearität

2 x(k −m) z−mX (z) Verschiebungssatz (→)

3 x(k + m) zm(

X (z)−m−1∑i=0

x(i)z−i)

Verschiebungssatz (←)

4 x(k + 1)− x(k) (z − 1)X (z)− zx(0) Vorwärtsdifferenz

5 x(k)− x(k − 1)(1− z−1

)X (z) Rückwärtsdifferenz

6k∑

i=0

x1(i)x2(k − i) X1(z)X2(z) Faltungssatz

7 akx(k) X(z

a

)Dämpfungssatz

8k∑

i=0

x(i)z

z − 1X (z) Summation

9 kx(k) −z ddz

X (z) Differentiation im Bildbereich

101k

x(k)

∞∫z

X (w)dww

Integration im Bildbereich

11 x(k) =∑

i

Resz=zi

[X (z)zk−1

]Residuenformel,

wobei

Resz=zi

[X (z)zk−1

]=

1(m− 1)!

limz→zi

dm−1

dzm−1[X (z)zk−1(z − zi)m

]mit zi : m-facher Pol von X (z)zk−1.

56 F Formelsammlung

Korrespondenzen der Z-Transformation:

Nr. x(k) X (z)

1 δ(k) 1

2 1(k)z

z − 1

3 k 1(k)z

(z − 1)2

4 k2 1(k)z(z + 1)(z − 1)3

5 ak 1(k)z

z − a

6 kak 1(k)az

(z − a)2

7 k2ak 1(k)az(z + a)(z − a)3

8ak

k!1(k) e

az

9(

km

)ak 1(k)

amz(z − a)m+1

10 e ak 1(k)z

z − e a

11 k e ak 1(k)e az

(z − e a)2

12 ak sin Ωk 1(k)az sin Ω

z2 − 2az cos Ω + a2

13 ak cos Ωk 1(k)z(z − a cos Ω)

z2 − 2az cos Ω + a2

14 ak sinh βk 1(k)az sinh β

z2 − 2az cosh β + a2

15 ak cosh βk 1(k)z(z − a cosh β)

z2 − 2az cosh β + a2

16 (−1)k 1(k) zz + 1

57


Übersicht der Hin- und Rücktransformationsgleichungen der Spektralanalyse

zeitkontinuierliches zeitdiskretesSignal SignalFOURIER-Reihe DFT (FFT)

perio

disc

hes

bzw

.pe

riod.

fort

ges.

Sig

nal

X n =1T

∫T

x(t) e− jnω0t dt

x(t) =∞∑

n=−∞

X n e jnω0t

X (n) =1N

N−1∑k=0

x(k) e− j2πnkN

x(k) =N−1∑n=0

X (n) e j2πknN

FOURIER-Transformation DTFT / z-Transformation

nich

tper

iodi

sche

sS

igna

l

X (ω) =

∞∫−∞

x(t) e− jωt dt

x(t) =1

2π

∞∫−∞

X (ω) e jωt dω

X (e jω) =∞∑

k=−∞

x(k) e− jωk∆t

=⇒∞∑

k=−∞

x(k) z−k = X (z)

x(k) =∆t2π

π∆t∫

− π∆t

X (e jω) e jωk∆t dω

=1

2πj

∮X (z) zk−1 dz

Abtastung x(k) = x(t)|t=k ·∆t

Rekonstruktion (Samplingreihe) x(t) =∞∑

k=−∞

x(k) si( π

∆t(t − k∆t)

)Energie E des Energiesignals x zeitkontinuierlich zeitdiskret

∞∫−∞

x2(t) dt∞∑−∞

∆t x2(k)

58 F Formelsammlung

Darstellungen linearer zeitkontinuierlicher Systemeanhand eines einfachen Beispiels

Blockdiagramm

x(t) +t∫−∞

( · ) dτ y(t)

p

Zustandsgleichungenż(t) = p z(t) + x(t)y(t) = z(t)

Impulsantwortg(t) = L−1(G(s)) = e pt 1(t)

Differentialgleichungẏ(t)− p · y(t) = x(t)

ÜbertragungsfunktionG(s) = Y (s)X (s) =

1s−p

Darstellungen linearer zeitdiskreter Systemeanhand eines einfachen Beispiels

Blockdiagrammx(k) + y(k)

S

Zustandsgleichungenz(k + 1) = 1 z(k) + 1 x(k)

y(k) = 1 z(k) + 1 x(k)

Impulsantwortg(k) = Z−1(G(z)) = 1(k)

Differenzengleichungy(k)− y(k − 1) = x(k)

ÜbertragungsfunktionG(z) = Y (z)X (z) =

zz−1

59


Lineare zeitinvariante Systeme mit

diskreter Zeit kontinuierlicher Zeit

Zustandsgleichungen:

z(k + 1) = Az(k) + Bx(k) ż(t) = Az(t) + Bx(t)

y(k) = Cz(k) + Dx(k) y(t) = Cz(t) + Dx(t)

Fundamentalmatrix im Bildbereich:

Φ(z) = (zE − A)−1z Φ(s) = (sE − A)−1

Übertragungsmatrix bzw. Übertragungsfunktion:

G(z) = C(zE − A)−1B + D G(s) = C(sE − A)−1B + D

Lösung der 1. Zustandsgleichung im Bildbereich:

Z(z) = Φ(z)z(0) + Φ(z)z−1BX (z) Z(s) = Φ(s)z(0) + Φ(s)BX (s)

Input-Output-Gleichung im Bildbereich:

Y (z) = CΦ(z)z(0) + G(z)X (z) Y (s) = CΦ(s)z(0) + G(s)X (s)

Fundamentalmatrix (Fundamentallösung) im Zeitbereich:

ϕ(k) = Ak ϕ(t) = e At = E + A t1! + A2 t2

2! + . . .

Gewichtsmatrix bzw. Gewichtsfunktion (Impulsantwort):

g(k) =

{D k = 0Cϕ(k − 1)B k = 1, 2, . . .

g(t) = Cϕ(t)B + Dδ(t)

Lösung der 1. Zustandsgleichung im Zeitbereich:

z(k) = ϕ(k)z(0) +k−1∑i=0

ϕ(k − i − 1)Bx(i) z(t) = ϕ(t)z(0) +t∫

0

ϕ(t − τ)Bx(τ) dτ

Input-Output-Gleichung im Zeitbereich:

y(k) = Cϕ(k)z(0) +k∑

i=0

g(k − i)x(i) y(t) = Cϕ(t)z(0) +t∫

0

g(t − τ)x(τ) dτ

60 F Formelsammlung

Lineare zeitinvariante Systeme mit

diskreter Zeit kontinuierlicher Zeit

Amplitudenfrequenzgang:

A(Ω) =∣∣G (e jΩ)∣∣ = √G(z)G(z−1)∣∣∣

z=e jΩA(ω) = |G( jω)| =

√G(s)G(−s)

∣∣∣s= jω

Phasenfrequenzgang:

ϕ(Ω) = arg G(e jΩ)

ϕ(ω) = arg G( jω)

Dämpfungsmaß:

a(Ω) = − ln A(Ω) in Npa(Ω) = −20 lg A(Ω) in dB

a(ω) = − ln A(ω) in Npa(ω) = −20 lg A(ω) in dB

Phasenmaß:

b(Ω) = − arg G(e jΩ)

b(ω) = − arg G( jω)

Kanonische Realisierung:

G(z) =anz−n + . . .+ a2z−2 + a1z−1 + a0bnz−n + . . .+ b2z−2 + b1z−1 + 1

G(s) =ans−n + . . .+ a2s−2 + a1s−1 + a0bns−n + . . .+ b2s−2 + b1s−1 + 1

--

bn 1

an an-1 a1 a0

-bn -b1

+ + + +

x

y

= S = z

Differenzengleichung: Differenzialgleichung:

y(k + n) + b1y(k + n− 1) + . . .+ bny(k) y (n)(t) + b1y (n−1)(t) + . . .+ bny(t)

= a0x(k + n) + a1x(k + n− 1) = a0x(n)(t) + a1x(n−1)(t)+ . . .+ anx(k) + . . .+ anx(t)

(b0 = 1, ai ∈ R, bj ∈ R)

61

Formelsammlung Digitale Signale und Systeme (1)

Rechenregeln der Schaltalgebra:

1. x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z2. x ∨ y = y ∨ x x ∧ y = y ∧ x3. x ∨ (x ∧ y) = x x ∧ (x ∨ y) = x4. x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)5. x ∨ 0 = x x ∧ 1 = x6. x ∨ x = 1 x ∧ x = 07. 0 = 1 1 = 08. x ∨ y = x ∧ y x ∧ y = x ∨ y9. x ∨ x = x x ∧ x = x

10. x ∨ 1 = 1 x ∧ 0 = 011. x = x

Schaltsymbole der wichtigsten Gatterschaltungen:

Bezeichnung DIN 40700 (alt) DIN 40900 (neu)

Oder-Gatter³ 1

Und-Gatter&

Negations-Gatter1

NOR-Gatter³ 1

NAND-Gatter&

Antivalenz-Gatter º= 1*)

Äquivalenz-Gatter º*) =

*) nicht genormt

62 F Formelsammlung

Einstellige Schaltfunktionen:

x 0 1 Darstellung üblich Bezeichnungdurch Term ist auch

f0(x) 0 0 0 Nullfunktionf1(x) 0 1 x Identitätf2(x) 1 0 x ¬x Negationf3(x) 1 1 1 Einsfunktion

Zweistellige Schaltfunktionen:

x1 0 0 1 1 Darstellung üblich Bezeichnungx2 0 1 0 1 durch Term ist auch

f0(x1, x2) 0 0 0 0 0 Nullfunktion

f1(x1, x2) 0 0 0 1 x1 ∧ x2 x1x2, x1 · x2 Konjunktion,Und-Funktion, AND

f2(x1, x2) 0 0 1 0 x1 ∧ x2 Inhibition

f3(x1, x2) 0 0 1 1 x1 1. Projektion

f4(x1, x2) 0 1 0 0 x1 ∧ x2 Inhibition

f5(x1, x2) 0 1 0 1 x2 2. Projektion

f6(x1, x2) 0 1 1 0 x1∨̇x2 x1 6≡ x2, x1 ⊕ x2 Antivalenz,Exklusiv-Oder, XOR

f7(x1, x2) 0 1 1 1 x1 ∨ x2 x1 + x2 Disjunktion,Oder-Funktion, OR

f8(x1, x2) 1 0 0 0 x1 ↓ x2 Peirce-Funktion, NOR

f9(x1, x2) 1 0 0 1 x1 ⇔ x2 x1 ≡ x2, x1 ↔ x2 Äquivalenz

f10(x1, x2) 1 0 1 0 x2 Negation

f11(x1, x2) 1 0 1 1 x2 ⇒ x1 Implikation

f12(x1, x2) 1 1 0 0 x1 Negation

f13(x1, x2) 1 1 0 1 x1 ⇒ x2 Implikation

f14(x1, x2) 1 1 1 0 x1 ↑ x2 Sheffer-Funktion, NAND

f15(x1, x2) 1 1 1 1 1 Einsfunktion

63

Formelsammlung Digitale Signale und Systeme (2)

Darstellung von n-stelligen Schaltfunktionen

Kanonische disjunktive Normalform (KDNF)Entwicklungssatz I

f (x1, x2, . . . , xn) =1∨

i1=0

1∨

i2=0· · ·

1∨

in=0f (i1, i2, . . . , in)x1i1x2i2 . . . xnin

wobei

xν iν =

{xν iν = 0xν iν = 1

Minterm: mi = x1i1x2i2 . . . xnin

Darstellungssatz I: f (x1, x2, . . . , xn) = ∨i∈If

mi

If = {i | f (i1, i2, . . . , in) = 1, (i1, i2, . . . , in) = Bin(i)}

Kanonische konjunktive Normalform (KKNF)

Entwicklungssatz II

f (x1, x2, . . . , xn) =1∧

i1=0

1∧

i2=0· · ·

1∧

in=0

[f (i1, i2, . . . , in) ∨ x1i1 ∨ x2i2 ∨ · · · ∨ xnin

]wobei

xν iν =

{xν iν = 0xν iν = 1

Maxterm: Mi = x1i1 ∨ x2i2 ∨ · · · ∨ xnin

Darstellungssatz II: f (x1, x2, . . . , xn) = ∧i∈If

Mi

If = {i | f (i1, i2, . . . , in) = 0, (i1, i2, . . . , in) = Bin(i)}

64 F Formelsammlung

Kombinatorischer Automat:

x k1( )

x k2 ( )

x kl ( )

y k1( )

y k2 ( )

y km ( )

F y(k) = Φ(x(k))

Ausführliche Schreibweise:

y1(k) = f1(x1(k), x2(k), . . . , xl(k))...

...ym(k) = fm(x1(k), x2(k), . . . , xl(k))

Sequentieller Automat (Mealy-Automat):

x k1( )

x k2 ( )

x kl ( )

y k1( )

y k2 ( )

y km ( )

( ( ), ( ),... ( ))z k z k z kn1 2 ,

(n Speicher)

z(k + 1) = f (z(k), x(k))y(k) = g(z(k), x(k))

Ausführliche Schreibweise:

z1(k + 1) = f1(z1(k), . . . , zn(k), x1(k), . . . , xl(k))...

......

zn(k + 1) = fn(z1(k), . . . , zn(k), x1(k), . . . , xl(k))y1(k) = g1(z1(k), . . . , zn(k), x1(k), . . . , xl(k))

......

...ym(k) = gm(z1(k), . . . , zn(k), x1(k), . . . , xl(k))

Sonderfälle:

Moore-Automat: z(k + 1) = f (z(k), x(k))y(k) = g(z(k))

Medwedjew-Automat: z(k + 1) = f (z(k), x(k))y(k) = z(k)

Autonomer Automat: z(k + 1) = f (z(k))y(k) = g(z(k))

Halbautomat: z(k + 1) = f (z(k), x(k))

65

Formelsammlung Stochastische Signale und Systeme (1)

Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung

P(A) = 1− P(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)= P(A) + P(B), falls A ∩ B = ∅ (A, B unvereinbar)

P(A \ B) = P(A)− P(A ∩ B)= P(A)− P(B), falls B ⊂ A

P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)= P(A)P(B), falls A und B unabhängig

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

(P(B) 6= 0) Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(B) =n∑

i=1

P(B|Ai)P(Ai) Formel der totalen Wahrscheinlichkeit

P(Ai |B) =P(B|Ai)P(Ai)

P(B)Bayessche Formel

Eindimensionale Zufallsgrößen

FX (ξ) = P{X < ξ} =ξ∫

−∞

fX (x) dx

P{a ≤ X < b} =b∫

a

fX (x) dx = FX (b)− FX (a)

Spezielle Verteilungen

fX (x) =1√

2π σexp

(−(x −m)

2

2σ2

)(σ > 0) Normalverteilung (Gaußverteilung)

P{X = k} =(

nk

)pk(1− p)n−k (k = 0, 1, 2, . . . , n) Binomialvert. (Bernoulliv.)

P{X = k} = λk

k!e−λ (k = 0, 1, 2, . . .) Poissonverteilung

66 F Formelsammlung

Momente eindimensionaler Zufallsgrößen

X diskret X stetigGewöhnliche Momente:

Erwartungswert m = E(X )∑

i

xiP{X = xi}∞∫

−∞

xfX (x) dx

Moment n-ter Ordng. mn = E(X n)∑

i

xni P{X = xi}∞∫

−∞

xnfX (x) dx

Zentrale Momente:

Dispersion, Varianz

µ2 = E((X −m)2) = Var(X )∑

Systemtheorie I-III und Einführung in die Systemtheorie · 2019. 3. 21. · 2 Zeitkontinuierliche...

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