Taylorreihen und Fourierreihen

Im Vergleich

(Referent: Andreas Luft)

Übersicht

• Wiederholung der Taylorreihe

• Beispiel

• Fourierreihe vorstellen

• Beispiel

• Vergleich

Taylor• Brook, Taylor 18 August 1685 Middlesex

- 29. Dezember 1731 London• Britischer Mathematiker• Entwickelte 1708 eine Lösung zum Problem der

Oszillation• 1715 „Direct and Indirect Methods of

Incrementation“ bildete eine Einführung in die Berechnung der Finiten Differenzen.

• Dadurch konnte die vibrierende Saite auf Basis der Mechanik berechnet werden

• 1772 entdeckte Lagrange, dass in der Taylorformel die Basis zur Differenzialrechnung steckt

- Taylorreihe und Taylorpolynom - In der Analysis verwendet man Taylorreihen, um Funktionen

in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen

- Taylor-Formel, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch die sogenannten Taylor-Polynome anzunähern.

- Taylorreihe = unendliche Summen- Nachteil = können nicht in endlicher Zeit errechnet werden,

deshalb- T-Polynom = endliche Summen (Näherung)

Taylorreihe

Zur Wiederholung

Taylorreihe – Instrument um Potenzreihen zu finden aus bel.

Funktionen durch simples einsetzen

– näherungsweise Berechnung von Funktionswerten – Allg. Formel:

– Unsere Formel: f(x)= f(0)+ f′ (o)∙x + f″ (o) ∙x² + ... 2!

_ Wozu noch? ->Integration von Funktionen, indem Potenzreihenentw. und anschließend gliedweise Integriert

( )0

( ) 00

( )( )

!

nn

f x n

f xT x x

n

Taylorreihe

• Aufgabe:• Die Funktion soll in Umgebung

der Stelle x0=0 durch eine Parabel ersetzt werden.

1( )

1 sin( )f x

x

Taylorreihe

•Bild 1

Fourier- Jean Baptiste Joseph de Fourier frz. Mathematiker zur Zeit

Napoleons

- Geb. 21. März 1768 bei Auxerre - Gest. 16. Mai 1830 in Paris- Sohn eines Schneiders - Wurde in einer Kriegsschule erzogen und mit 18 Jahren zum

Professor ernannt- Ging Ende 18. Jhd. mit Napoleon nach Ägypten und übernahm das

Sekretariat des Institut d'Egypte- Kehrte nach Frankreich zurück wurde zum Baron ernannt und

sorgte für die Trockenlegung der Sümpfe von Lyon

- Seit 1815 in Paris Sekretär auf Lebenszeit der Akademie der

Wissenschaften

Fourier

• Beschäftigte sich auch mit der Wärmeausbreitung in Festkörpern

Fourierreihe

• Um eine periodische Funktion als Summe von Sinus und Cosinusfunktionen zu schreiben

Fourierreihe

• Funktion muss nur stückweise stetig sein• Erleichterung wenn bekannt ist ob eine Funktion

achsensymetrisch (nur cos) oder Punktsymetrisch (nur sin) ist

• Hauptsächliche Anwendung in der Elektrotechnik Kippschwingung (Kippspannung), Sinusimpuls (Sinushalbwellen eines Einweggleichrichters)

• Anwendung: CD – Player (A/D), überall wo Musikinstrumente elektronisch nachgebildet werden sollen – also zur digitalen Klangerzeugung

Fourierreihe

• dabei ist

= der Gleichanteil,

die Koeffizienten

Fourierreihe

• Einige Beispiele

Vergleich

• Taylor versagt wenn die Funktion nicht stetig ist

• Fourierreihen können nur symmetrische Funktionen berechnen

• Taylor - kann die Funktion bis ins unendliche darstellen

• Taylor – Funktion muss differenzierbar sein

Quellen

• Wikipedia• Mathematik A.Fetzer H.Fränkel• Mathematik für Ingeneure und …..

Lothar Papula• Mathematik für Ingeneure Reißinger