Laplace-Transformation: Grundlagen â€” Fourierreihen und Fourierintegral â€” Anwendungen

Hubert Weber, Helmut Ulrich

Laplace-Transformation

Grundlagen – Fourierreihen und Fourierintegral – Anwendungen

Hubert Weber, Helmut Ulrich

Laplace-Transformation

Grundlagen – Fourierreihen und Fourierintegral – Anwendungen

8. Auflage

Mit 142 Abbildungen, 72 Beispielen und 64 Aufgaben mit Lösungen

1. Auflage 19762. Auflage 1978 3. Auflage 1981 4. Auflage 1984 5. Auflage 19876. Auflage 1990 7. Auflage 20038. Auflage März 2007

Alle Rechte vorbehalten© B.G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007

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Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.deDruck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, MörlenbachGedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.Printed in Germany

ISBN 978-3-8351-0140-1

Prof. Hubert Weber, Fachhochschule RegensburgProf. Dr. rer. nat. Helmut Ulrich, Fachhochschule Regensburg

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar.

Vorwort

Das vorliegende Buch ist eine leicht zugangliche Einfuhrung in die LaplaceTransformation mit zahlreichen Anwendungen.Die Laplace-Transformation ist eine Funktionaltransformation, das heiJ3t einerFunktion fit) des reellen Zeitbereiches wird eine Bildfunktion F(s) einerkomplexen Variablen s zugeordnet. Diese Transformation ermoglicht es, den oftschwierigen Differentiationen und Integrationen des Zeitbereiches einfacher zuhandhabende algebraische Operationen im Bildbereich zuzuordnen. So werdenbeispielsweise lineare Differentialgleichungen des Zeitbereiches zu linearenGleichungen des Bildbereiches.

Die Verwendung von Korrespondenzen und Transformationsregeln erOffneneinen einfachen Weg, eine Bildfunktion in Terme zu zerlegen und gliedweise aufdie zugehOrige Zeitfunktion zuriick zu transformieren.

Da die L-Transformation eine lineare Transformation ist, stellt sie geradezu einideales Werkzeug dar, urn lineare, zeitinvariante Systeme zu beschreiben und zuberechnen.

Durch diesen Vorteil erlangte die Laplace-Transformation ihre Bedeutung aufvielen Gebieten, wie beispielsweise der Elektrotechnik, der Signalverarbeitung,der Informationstechnik und der Regelungstechnik.

Dieses Buch will an die Prinzipien und Methoden der Laplace-Transformationheranfiihren. Es ist als Grundlage besonders geeignet fur Studierendeingenieurwissenschaftlich, technischer Studiengange im Hinblick aufAnwendungen von RCL- Filterschaltungen, oder die Behandlung von Signalenund Systemen.

Die Herleitungen sind ausfiihrlich erlautert und wo es moglich war, wurdengraphische Darstellungen zur Veranschaulichung mit eingesetzt. Die groJ3e Zahlvon Beispielen und Aufgaben sollen einen nachhaltigen Lemerfolg bei denStudierenden sichem.

Allen Lesem, die in der letzten Auflage auf Druckfehler hingewiesen haben, seiherzlich gedankt.

VI Vorwort

Als Koautor fUr dieses Buch ist Prof. Dr. Helmut Ulrich von der FachhochschuleRegensburg hinzugekommen. Er hat an mehreren Stellen Vorschlageeingebracht, aber besonders mit Abschnitt 5.5 Erweiterungen im Hinblick aufSignalverarbeitung und Regelungstechnik hinzugefiigt.Wir danken dem Teubner Verlag, insbesondere Herrn Dr. Feuchte, fUr diefreundliche Unterstiitzung und dass dieses Buch nun in der 8. Auflage erscheinenkann.

Regensburg, im Januar 2007 Helmut Ulrich

Hubert Weber

INHALT

1 FOURIERREffiEN1.1 EINFUHRUNG 11.2 REELLE FOURIERRElliE 2

1.2.1 Grundbegriffe 21.2.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten 31.2.3 Amplitudenspektrum 8

1.3 KOMPLEXE FOURIERRElliE 121.3.1 Grundlagen 121.3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten 13

2 FOURIERINTEGRAL2.1 UBERGANG VON DER FOURIERRElliE ZUM FOURIERINTEGRAL 172.2 EIGENSCHAFTEN DES FOURIERINTEGRALS 19

3 FOURIERTRANSFORMAnON3.1 DEFINITION DER FOURIERTRANSFORMATION 263.2 DISKRETE FOURIERTRANSFORMATION (DFT) UND SCHNELLE

FOURIERTRANSFORMATION (FFT) 29

4 LAPLACE-TRANSFORMATION4.1 DEFINITION DER LAPLACE-TRANSFORMATION 304.2 INVERSE LAPLACE-TRANSFORMATION 344.3 TRANSFORMATTONSREGELN 47

4.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen .484.3.2 Additionssatz 534.3.3 Verschiebungssatz 564.3.4 Dirac'sche Deltafunktion 644.3.5 Dampfungssatz 694.3.6 Partialbruchzerlegungen 724.3.7 Pol-Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalen

Bildfunktion 844.3.8 Faltungssatz 884.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung

der Bildfunktion 914.3.10 Integrationssatz fur die Originalfunktion 964.3.11 Differentiationssatz fur die Originalfunktion l 014.3.12 Differentiationssatz fur die verallgemeinerte Ableitung

einer Zeitfunktion 1044.3.13 Grenzwertsatze l084.3.14 Differentiationssatz fur die Bildfunktion 1114.3.15 Integrationssatz fur die Bildfunktion 114

VIII INHALT

5 ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION5.1 LbsEN VON LINEARENDlFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN

KOEFFIZIENTEN 1185.2 LbsEN VON SYSTEMEN GEWbHNLICHER LINEARER DlFFERENTIAL-

GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 1265.3 RCL-NETZWERKE 1355.4 UBERTRAGUNGSVERHALTEN VON NETZWERKEN 153

5.4.1 Grundbegriffe 1535.4.2 Impulsantwort und Sprungantwort 1545.4.3 Ubertragungsfunktion 1555.4.4 Pol-Nullstellenplan einer Ubertragungsfunktion 1675.4.5 Stabilitat von LTI-Systemen 1695.4.6 Ubertragungsfunktion und Frequenzgang 1705.4.7 Berechnung des stationaren Anteils des Ausgangssignals bei

nichtsinusfOrmigen periodischen Erregungen 1765.5 ZUSAMMENSCHALTUMG VON LTI-SYSTEMEN 185

5.5.1 Reihen-Schaltung 1855.5.2 Parallel-Schaltung 1885.5.3 Riickgekoppelte Systeme 1895.5.4 Elementare Ubertragungsglieder 191

5.6 ARBEITENMIT BLOCKDIAGRAMMEN 1945.6.1 Von der Netzwerkgleichung zum Blockdiagramm 1945.6.2 Vom Blockdiagramm zur Ubertragungsfunktion und

Netzwerkgleichung 1965.6.3 Stabilisierung durch Riickkopplung 2005.6.4 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildem 203

6 ANHANG6.1 LbSUNGEN DER UBUNGSAUFGABEN .

6.2 EIGENSCHAFTEN DER DELTAFUNKTION .

6.3 SATZE DER LAPLACE-TRANSFORMATION .

6.4 KORRESPONDENZEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION .

6.5 LITERATUR .

6.6 LISTE DER VERWENDETEN FORMELZEICHEN .

6.7 SACHWORTVERZEICHNIS .

1. Fourierreihen

1.1 Einfiihrung

In vielen Bereichen der Naturwissenschaften und der Technik etwa in der Physikoder in der E1ektrotechnik, haben harmonische Schwingungen, die durch eineSinusfunktion

f(t) = Asin(o.1t + qJ) (Ll)

beschrieben werden konnen, eine groBe Bedeutung. Hierbei ist A die Amplitude,OJ die Kreisfrequenz und qJ der Nullphasenwinke1 der harmonischen

Schwingung.

Bei der Uberlagerung derartiger harmonischer Schwingungen sind zwei Falle zuunterscheiden:

1. Uberlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz, soerhalt man wieder eine harmonische Schwingung dieser Frequenz.Von dieser Tatsache wird in der E1ektrotechnik standig Gebrauch gemacht.Durch Uberlagerung von sinusfOrmigen Wechse1spannungen der gleichenFrequenz, etwa der Netzfrequenz 50 Hz erhalt man wieder eine sinusfOrmige Wechse1spannung der Frequenz 50 Hz.

2. Uberlagert man harmonische Schwingungen verschiedener Frequenzen,so erha1t man einen zwar periodischen, im Allgemeinen jedoch keinensinusfdrmigen Vorgang.

Die Uberlagerung von harmonischen Schwingungen der gleichen Frequenz ergibtwieder eine harmonische Schwingung dieser Frequenz. Durch Uber1agerungharmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen kann man periodischeFunktionen erzeugen, die im Allgemeinen nicht sinusfdrmig sind.Es stellt sichjetzt die Frage, ob man auch umgekehrt "jede beliebige" periodischeFunktion als eine Summe von harmonischen Schwingungen darstellen kann.Diese Frage wurde von dem franzosischen Mathematiker Jean Baptiste JosephFourier (1768 - 1830) positiv beantwortet.

Die genauen Bedingungen hierfilr wurden von dem deutschen MathematikerPeter Gustav Dirichlet (1805 - 1858) angegeben.

2

1.2. Reelle Fourierreihen1.2.1. Grundbegriffe

Definition 1.1

1. Fourierreihen

Bine Funktion f(t) heiJ3t T-periodiseh (periodisch mit der Periode T), wenn

fur alle Zeitpunkte t des Definitionsbereichs gilt:

f(t+T)=f(t)

Definition 1.2

(1.2)

Bine T-periodische Funktion f(t) geniigt den Dirichletbedingungen, wenn

1. f(t) beschrankt ist,

2. f( t) im Intervall [0, T] hochstens endlich viele Unstetigkeitsstellen hat,

3. die Ableitung f'(t) im Intervall [0, T ]bis aufhOchstens endlich viele

Stellen stetig ist.

Eine T-periodische Funktion f(t), die den Dirichletbedingungen geniigt, kann

innerhalb einer Periodendauer T in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden,auf denen f( t) monoton und stetig verlauft. An Unstetigkeitsstellen treten nur

endliche SprunghOhen auf.Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftretendenperiodischen Zeitfunktionen im Allgemeinen erfiillt.

Satz 1.1Eine T-periodische Funktion, welche den Dirichletbedingungen geniigt, lasstsich als Fourierreihe

f(t)=ao + ~)akcos(ktq)t)+bksin(ktq)t)]k=l

darstellen, wobei 0)0 = 21t die Grundkreisfrequenz ist.T

(1.3)

Gl. (1.3) lasst sich folgendermaJ3en physikalisch interpretieren:Jeder periodische Vorgang kann in eine Summe von harmonischenSchwingungen zerlegt werden. Dabei konnen neben der Grundfrequenz nurganzzahlige Vielfache dieser Frequenz auftreten. Man spricht in diesemZusammenhang daher auch von Fourieranalyse, bzw. harmoniseher Analyse.

1.2. Reelle Fourierreihen

Satz 1.2:

Eine Fourierreihe konvergiert anjeder Stetigkeitsstelle ts der Zeitfunktionj(t)

gegen den Funktionswert J(ts) und an einer Unstetigkeitsstelle tu gegen das

arithmetische Mittel aus dem rechtsund linksseitigen Grenzwert

~[ lim J(tu +ilt) + lim J(tu -M)]2 tit~O tit~O

der Zeitfunktionj(t).

FUr die weiteren Uberlegungen ist es zweckmaBig, durch die Substitution

3

(1.4)

von einer T-periodischen Funktion j(t) zu einer 21t-periodischen Funktion j(x)tiberzugehen. Man hat dann den Vorteil, periodische Funktionen j(x) zubetrachten, die alle die gleiche Periode 21t haben.Die Fourierreihe nach Gl. (1.3) geht damit tiber in die Form

00

J(x) = ao + ~Iakcos(kx) + ~sin(kx)]k=!

1.2.2. Berechnung der Fourierkoeffizienten

1. FUr alle ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k gilt:2n 2n

jSin(kx)dx =° und jCOS(kX)dx =°o 0

2. FUr alle ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k und m gilt21t

f {Ofiirkt:.msin(kx)sin(mx)dx = 1t fUr k = m

o21t

f {o fUr k t:. mcos(kx)cos(mx)dx = 1t fUr k = m

o2n

jSin(kx)COS(mx)dx = °o

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

4 1. Fourierreihen

1. Berechnung des Fourierkoeffizienten ao (konstantes Glied der FR)Durch Integration der Fourierreihe nach Gl. (1.5) tiber eine volle Periode erhliltman

2j f(x)dx 2jaodx + flak 21 cos(kx)dx + bk 21Sin(kx)dx] = ao2Jr

o 0 k=1 0 0

da nach Gl. (1.6) alle Integrale der Surnme den Wert Null haben. Damit ergibtsich fur das konstante Glied der Fourierreihe

21t

ao = _1 ff(x)dx (LlO)21t

oGl. (Ll 0) erlaubt eine anschauliche Interpretation des Fourierkoeffizienten ao(konstantes Glied der Fourierreihe) als linearen Mittelwert der periodischenFunktion.

Bemerkung: In manchen Darstellungen der Fourierreihen wird das konstante

Glied aus formalen Grunden auch mit ao bezeichnet.2

o

Bild 1.1 Mittelwert vonj(x)

x

In vielen einfachen Fallen kann daskonstante Glied als Mittelwert derFunktion f(x) ohne Rechnung ange

geben werden, da der Mittelwert derperiodischen Funktion f (x) oft un

mittelbar erkennbar ist.

2. Berechnung der Fourierkoeffizienten ak (k ~ 1)

Ausgehend von Gl. (1.5)

f(x) = ao +~Jam cos(mx) + bm sin(mx)]m=!

(1.5)

wobei vorubergehend m als Surnmationsindex gewahlt wurde, erhlilt man durchMultiplikation mit cos(kx) und anschlieBender Integration tiber eine Periode

1.2. Reelle Fourierreihen 5

2K 2K 00 2K

f f(x)cos(kx)dx = aO f cos(kx)dx+ I am fcos(mx)COS(kx)dx+

o 0 m=l 000 2K

+ Ibm fSin(mx)COS(kX)dx = aknm=l 0

Denn nach den Gleichungen (1.6), (1.8) und (1.9) haben alle Integrale bis auf eineinziges den Werte Null. FUr m = k erhalt man

21t

fCOS(kX)COS(kX)dx = 1t

oDaraus folgt fur den Fourierkoeffizientenak :

2;r

ak = ; f f(x)cos(kx)dx (1.11)

o

3. Berechnung der FourierkoeffIzienten bk

Multipliziert man Gl. (1.5) mit sin(kx) und integriert anschlieBend tiber einevolle Periode, so erhalt man analog zur Berechnung der Fourierkoeffizienten ak

fur die Koeffizienten der Sinusglieder2;r

bk = ~ f f(x)sin(kx)dx (1.12)

o

4. Verschiebung des Integrationsintervalls

Alle bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten auftretenden Integranden I(x),namlichfix),j(x)cos(kx) und auchj(x)sin(kx) sind 21t-periodische Funktionen. Esgilt daher

2" a+2"

fI(x)dx = fI(x)dx (1.13)a a

Als Integrationsintervall kann also ein beliebiges Intervall der Lange 21t gewahltwerden. Insbesondere ist es fur manche Funktionen f(x) giinstig, anstelle des

Intervalls [0,21t] das Intervall [-1t, 1t] zu verwenden.

6 1. Fourierreihen

5. Berechnung der FourierkoeffIzienten gerader und ungerader Funktionen

Die Berechnung der Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion isteinfacher, wenn die periodische Funktionf(x)eine Symmetrie besitzt, also

entweder eine gerade oder eine ungerade Funktion ist.

a) fix) sei eine gerade periodische Funktion, d.h., es gilt.f{-x) = .f{x)

-1t 0 1t

x

Ist.f{x) eine gerade Funktion, so ist auch.f{x)cos(x) eine gerade Funktion..f{x)sin(x) dagegen ist eine ungeradeFunktion. Wahlt man als Integrationsintervall [-1t, 1t], so erhalt man:

Bild 1.2 Gerade Funktionj(x)1t

ao=~ ff(X)dx

o

211

ak = -; jf(x)COS(kx)dxo (1.14)

x

j(x)

Bild 1.3 Ungerade Funktionj(x)

bk=ODie Fourierreihe einer geraden Funktion ist eine reine "Kosinusreihe". Einegerade Funktion.f{x) wird allein durch Kosinusfunktionen, d.h. durch den geradenAnteil der Fourierreihe dargestellt.

b) Die Zeitfunktion .f{x) ist eine ungerade periodische Funktion:.f{-x) = - .f{x)

1st .f{x) eine ungerade Funktion, so istauch .f{x)cos(x) eine ungerade Funktion, wahrend .f{x)sin(x) als Produktvon zwei ungeraden Funktionen geradeist. Verwendet man das Integrationsintervall [-1t ,1t ] und berucksichtigt dieentsprechenden Symmetrien, so folgt

(1.15)1t

bk=~ ff(x)Sin(kx)dx

oDie Fourierreihe einer ungeraden Funktion enthalt nur die ebenfalls ungeradenSinusfunktionen. Durch Ausnlitzen von vorhandenen Symmetrien lasst sich derRechenaufwand zur Berechnung der Koeffizienten einer Fourierreihe alsowesentlich verringem.

1.2. Reelle Fourierreihen 7

Man wird daher eine vorgegebene periodische Zeitfunktion, deren Fourierreihebestimrnt werden solI, zuerst auf Symrnetrien untersuchen. Auch die Tatsache,dass bei geraden Funktionen die Fourierkoeffizienten Qk, bzw. die

Fourierkoeffizienten bk bei ungeraden Funktionen durch Integrale von 0 bis n,anstelle von Integralen von 0 bis 2n berechnet werden, bedeutet in vielen Falleneine Vereinfachung der Rechnung.

Ubersicht

periodische Zeitfunktionj{t) Fourierkoeffizienten

Beliebige 2n-periodische Funktion

-n 0 n

21t

Qo = _1 ff(X)dx2n

o21t

Qk =~ ff(x)cos(kx)dx

o21t

bk = ~ ff(x)Sin(kx)dx

o

I(x)

Gerade 2n-periodische Funktion

1t

Qk =~ ff(x)cos(kx)dx

obk = 0

x

1t-n 0

Ungerade 2n-periodische Funktion

I(x)

x1t

bk = ~ ff(x)Sin(kx)dx

o

8

1.2.3. Amplitudenspektrum

1. Fourierreihen

Sinus- und Kosinusglieder der gleichen Frequenz konnen zu einem resultierendenSinusglied zusammengefasst werden.

akcos(kx) + bksin(kx) = Aksin(kx + qJk)

= Ak[ sin(kx) cos(qJk) + cos(kx)sin(qJk) ]

Ein Koeffizientenvergleich liefert

Akcos(qJk) = bk und

Daraus folgt

und

A =~a2 +b2k k k (1.16)

(1.17)

o

Bild 1.4 Zeigerdiagramrn

Stellt man die in der Phase urn 90° gegeneinander verschobenen Sinus- undKosinusschwingungen in einem Zeigerdiagramm dar, so sind die obenhergeleiteten Gleichungen unmittelbar zuerkennen.

o 5

Bild 1.5 Amplitudenspektrum

k

Man erhlilt einen anschaulichen Uberblicktiber die harmonischen Schwingungsanteile, wenn man die Amplituden Ak alsOrdinaten tiber der Frequenz als Abszissein einem Amplitudenspektrum darstellt.Dabei ist Ak die resultierende Amplitudeeiner harmonischen Schwingung derk-fachen Grundfrequenz.


Beispiel 1.1. Es soli die Fourierreiheder 2n-periodischen Funktion

{A -n~x<O

f(x)= -AO~x<n

f(x +2n) = f(x)

bestimmt werden.

----,III

A

o

f(x)r--lI II I xI I12It II I

I I I-A ~ L

9

Bild 1.6 Periodische Funktion

Da die Funktion ungerade ist, sind der lineare Mittelwert ao = 0 und alleKoeffizienten der Kosinusglieder ak = o.Es mussen daher nur die Fourierkoeffizienten bk berechnet werden. FUr sie gilt

bk

= ~ 2f" f(x)sin(kx)dx = 2A "fSin(kx)dx = 2A [- COS(kx)]"

7I 7I 7I k 0o 0

14A k = 2n-1

= 7I

O

k nE N

k=2n

Die Fourierreihe lautet damit

f()4A [ . () sin(3x) sin(5x) sin(7x) sin(9x) ]x =- SlllX +---+---+---+---+...n 3 5 7 9

= 4A f sin(2m-l)x mE Nn m=! 2m-1

An den Unstetigkeitsstellen

x = 0, ± n, ± 2n, ± 3n,

liefert die Fourierreihe den Wertj{x) = O. Dies sind auch die Mittel derrechts- und linksseitigen Grenzwerte

4A1t

o 3 5 7

k

Bild 1.7 Amplitudenspektrum

10 1. Fourierreihen

Bi1d 1.7 zeigt das Amp1itudenspektrum. Man erkennt, dass neben derGrundfrequenz nur die ungeradzahligen Vie1fachen dieser Grundfrequenz mitabnehmenden Amplituden auftreten.

Bi1d 1.8 zeigt den Verlaufvon.f{x) und der Naherungsfunktion

fn(x) = 4A:t sin(2m-l)x1t m=! 2m-l

im Intervall von 0 bis 1t fur a) n = 2 und b) n = 15.1m Intervall von 1t bis 21t erMlt man einen Verlauf, der sich nur durch dasVorzeichen unterscheidet.

o 71:

xo

fI Sex)

x

71:

Bild 1.8 Naherungsfunktionenfnex)

An den Unstetigkeitsstellen sind auch bei grol3eren Werten von n die

Abweichungen der Naherungsfunktionen fn(x) (end1iche Fourierreihe) von derFunktion.f{x) nicht be1iebig klein. Man kann zeigen, dass fur n ~ 00 die Rohedes ersten seitlichen Maximums den Wert 1,18A hat (Gibb'sches Phanomen).

Beispiel 1.2. Gegeben ist die 21t-periodische Funktion .f{x), die im Intervall[-71:, 1t ] definiert ist durch

Bild 1.9 Periodische Funktionj(x)

{

2AA+-x

f(x) = 1t2A

A--x1t

f(x + 21t) = f(x)

-1t~x<O

O~x<1t


Da j(x) eine gerade Funktion ist, gilt fii.r alle k: bk = O. Man erkennt femer:

Q o = 0 (linearer Mittelwert).

FUr k ~ 1 gilt:

Qk =~ fl(X)COS(kx)dx = 2: Al-~X }OS(kx)dx

o 0

Durch eine partielle Integration erhiHt man

f (k )dxxsin(kx) xcos(kx) C

xcos x = + +k k 2

Daraus folgt fii.r die Fourierkoeffizienten Qk

Qk = 2A [sin(kx)]1t _ 4A [xsin(kx) + COS(kx)]1t1t k 0 1t

2 k k 2 0

11

{

8A4A -z-2

= --[l-cos(krt)]= 1t k1t

2k2

oDamit ergibt sich folgende Fourierreihe:

k =2m-l

k=2m

I( ) 8A [ () cos(3x) cos(5x) cos(7x) ]x = - cos x + + + + ...n2 9 25 49

Die Fourierreihe dieser periodischen Funktion I (x) ohne Unstetigkeitsstellenkonvergiert schneller als die Fourierreihe der Funktion von Beispiel 1.1, da

hier die Amplituden proportional zu ~ abnehmen.k

Bemerkung:Die Funktionen von Beispiel 1.1 und Beispiel 1.2 haben eine Gemeinsamkeit,sie sind so genannte altemierende Funktionen, fii.r welche I (x + 1t) = - I (x)gilt. FUr die Fourierkoeffizienten einer altemierenden periodischen FunktionHisst sich allgemein Qo = 0; Q2m = 0 und b2m = 0 nachweisen, d.h. bei derFourieranalyse einer altemierenden Funktion treten nur harrnonischeSchwingungen auf, deren Frequenzen ungeradzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.

12

1.3. Komplexe Fourierreihe

1.3.1. Grundlagen

1. Fourierreihen

(1.18)

(1.19)

Verwendet man die aus dem Rechnen mit komplexen Zahlen her bekannten

Euler'schen Gleichungen (j = H , imaginare Einheit)

e j kx = cos(kx) + jsin(kx)

e-jkx = cos(kx) - jsin(kx)

so erhalt man durch Addition, bzw. Subtraktion der beiden Gleichungen

cos(kx) = l.(e jkX + e- jkx )2 (1.20)

sin(kx)= ;j (ejkX

- e-jkX

) =_~(ejkx - e-jkx

) (1.21)

Die reelle Fourierreihe

f(x) = ao +L [akcos(kx) + bksin(kx) ]

k=lgeht unter Verwendung der Gleichungen (1.20) und (1.21) tiber in

f(x) =f[ a; (e jkX +e- jkX )_ j~k (e jkx _e- jkX )]

k=O

= f[ ak ~jbk e jkx + ak :jbk e- jkx ]

k=O

f(x) = L Ckejkx

k=-oo

(1.22)

Die Koeffizienten ck dieser komplexen Fourierreihe sind im Allgemeinenkomplexe Zahlen.Zwischen den komplexen Fourierkoeffizienten ck und den Koeffizienten ak undbk der reellen Fourierreihe bestehen fii.r k> 0 die Zusammenhange

_ ak - jbkck - => ak = 2Reck und bk =-2Im ck

2

1st die 21t -periodische Funktion.f{x) eine gerade Funktion, (bk = 0 fii.r aIle k), sosind die Fourierkoeffizienten ck reell.

1.3. Komplexe Fourierreihe 13

fUrm=k

1m Falle einer ungeraden 2n-periodischen Funktionj{x) (ak = 0 fur alle k), sinddie Fourierkoeffizienten ck rein imaginare Zahlen.

1.3.2. Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten Ck

Multipliziert man die komplexe Fourierreihe

m=---oo

mit dem Faktor e- jkx und integriert anschlieBend uber eine Periode, so erhaltman

21t = 21t

ff(x)e-jkxdx= L cm fej(m-k)xdx

o m=~ 0

Dabei gilt:

21t {[ e j (m-k)x ]21t

fej(m-k)xdx= j(m-k) 0 =0

o 2n

2n

Wir erhalten also jf(x)e-jkXdx = 2nck und daraus schlieBlich

o2"

ck =_1_ ff(x)e- jkx dx2,.

o

(1.23)

Ais Integrationsintervall kann auch das Intervall [- n , n ] gewahlt werden.FUr k = 0 ergibt sich:

1 2"

Co = - ff(x)dx = ao2,.

o

(1.24)

Das konstante Glied Co (Mittelwert der Zeitfunktion) stimmt natfulich mit dem

konstanten Glied ao der reellen Fourierreihe uberein.

14 1. Fourierreihen

Beispiel 1.3. Es soIl die Fourierreihe der 21t - periodischen Funktion

f(x + 1t) = f(x)

berechnet werden"-1t 0

f(x)

1t x

f(x)= {~fUr -1t:5:x<O

fUr O:5:x<1t

Bild 1.10 Periodische Funktionj{x) vonBeispiel 1.3

1tWir erhalten als linearen Mittelwert der Funktionfix): Co = ao = -"

4Fur k ~ 1 erhlilt man durch eine partielle Integration

21t 21t

1 f -"lex 1 [ x -"lex 1 -"lex]ck =- xe J dx=- --e J +-e J21t 21t jk k2

o 0

a) FUr gerade Zahlen k = 2n (n E N) ist

ck =i => ak =0 und2k

ejk1t = 1 und damit

1bk =-2Imck =-

k

und

b) FUr ungerade Zahlen k = 2n - 1 ist e jk1t =-1

j 1 2ck =----- => ak = ---

1tk2 2k 1tk2

und damit

1bk =

k

Reelle Fourierreihe:

f(x)=~+ ~[(_I)k+1 sin(kx) _~ COS(2k-l)X]4 LJ k 1t (2k _1)2

k=1

Komplexe Fourierreihe:

f(x)= 1& + ~ [iej2kX +[_I_+i]ej(2k-1)X]4 LJ 41& 41&k2 4k

k=-ook#O

1.3. Komplexe Fourierreihe 15

k

5o-55oa) b)

Bild 1.11 Amplitudenspektrum a) fUr die reelle FR b) fUr die komplexe FR

Zwischen den Amplituden der reellen und der komplexen Fourierreihe bestehendie Zusammenhange:

(1.25)

Ubungsaufgaben zurn Abschnitt 1 (Losungen im Anhang)

Aufgabe 1.1.

4 4

Man berechne die Fourierkoeffizienten der in Bild 1.12dargestellten 21t-periodischenFunktionj(x).

1t

f(x)1

1t

1t

r----lI II I x

21t

Aufgabe 1.2.Man berechne die Fourierreiheder 21t-periodischen Funktionj(x), die im Intervall [0, 21t)durch

xf(x) =

21t

Bild 1.12 Periodische Funktionj{x)

-21t °definiert ist. Bild 1.13 "Sagezahnkurve"

16 1. Fourierreihen

Aufgabe 1.3.Es solI die Fourierreihe der 21t-periodischen Funktionj(x) bestimmt werden, dieim Intervall [-1t, 1t ] durch

1t 0 1t 21t

{

Acos(x)I(x) =

o

I(x +21t) = I(x)

sonst

2 2


Aufgabe 1.4.Gegeben ist die 21t-periodische Funktion

f(x)

1

x

o


bestimmt ist.

2O:os;x<~-x

1t 2

f(x) =1t-:OS;x<1t2

0 1t:OS; X < 21t

I(x + 21t) = I(x)

Bestimmen Sie die Fourierkoeffi

zienten aO, aI, a2, bi und b2.

Aufgabe 1.5.


o

f{x)

21t 41t

Gegeben ist die 21t-periodischeFunktion

I(x) = e-x o:os; x :os; 21Z"

I(x + 21Z") = I(x)

Berechnen Sie den komplexenFourierkoeffizienten ck und die reellenFourierkoeffizienten ao, al und bI·

2 Fourierintegral

2.1. Ubergang von der Fourierreihe zurn Fourierintegral

1m Abschnitt 1 haben wir gesehen, dass eine T - periodische Zeitfunktion fP(t),die den Dirichlet'schen Bedingungen geniigt, als Fourierreihe

f p (t) = Go +~IGkcos(k % t) +bksin(k % t)]k=!

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

darstellbar ist. Es ist dies die Zerlegung eines periodischen Vorgangs in eineSumme von harmonischen Schwingungen, anschau1ich charakterisiert durch eindiskontinuierliches Amp1itudenspektrurn. Es ste1lt sich nun die Frage, ob aucheine nichtperiodische Funktion in harmonische Schwingungen zerlegt werdenkann.Wir betrachten dazu eine Zeitfunktion f( t), die nur innerhalb eines Zeitintervalls

der Lange T von Null verschiedene Werte annehmen kann. Es sei

{

definiert flir - T :s; t :s; Tf(t) = 2 2

o sonst

Durch periodisches Fortsetzen vonf(t)entsteht eine periodische FunktionfP(t),

flir we1che die komplexe Fourierreihe

fp(t) = 2>k ejkwol

k=-oo

mit der Grundkreisfrequenz % = 2n und den komplexen FourierkoeffizientenT

I2

Ck =~ fi; (t)e-jklibtdtT p

_I2

existiert. Wegen fp(t) = f(t) im Intervall [- ~ ,~] kann in Gl. (2.4) die

periodische Zeitfunktionfp(t) durchf(t) ersetzt werden. Die in Abschnitt 1.2.1

eingefiihrte Variable x wurde hierbei wieder durch Olot, die Periodendauer 21t

entsprechend durch T ersetzt.

18 2 Fourierintegral

(2.6)

1m Grenzfall T -7 00 wird aus der periodischen Funktion fp (t) eine

nichtperiodische Funktionf{t). Verwendet man Gl. (2.4) und ! = (00 , so erMltT 21t

die komplexe Fourierreihe fur die periodische Funktion fp(t) folgende Form:

I, (I) ~ 2~ k~DI(tv"'" d}-b e"'" (2.5)

Die den einzelnen Gliedem der Fourierreihe entsprechenden harmonischenSchwingungen haben einen Kreisfrequenzabstand

2nL1w=tvo =r'

der mit wachsender Periodendauer Timmer kleiner wird. 1m Grenzfall T -7 00

wird aus Wo ein Differential dwaus den diskreten Kreisfrequenzen kwo wird

eine kontinuierliche Kreisfrequenz (iJ, die Summation geht in eine Integration

iiber. Mit T -7 00, Wo -7 d (iJ, k Wo -7 (iJ, I -7f und fp(t) -7 fit) wird

aus Gl. (2.5):

l(t)~ 2~ _lD/ct)e-j@'d}@' dwDefinition 2.1

Die Funktion der Kreisfrequenz (iJ

~

F(w) = ff(t)e-jW1dt

heiBt Spektralfunktion.

Satz 2.1:

1st die Zeitfunktion f (t) absolut integrierbar, d.h. es gilt

flf(t)ldt <00,

so existiert die zugehOrige Spektralfunktion F(w)

(2.7)

(2.8)

2.2 Eigenschaften des Fourierintegra1s 19

Die Aussage des Satzes 2.1 ist eine hinreichende, keine notwendige BedingungfUr die Existenz der Spektralfunktion.

Das uneigentliche Integral von Gl. (2.7) konvergiert wegen 1e-jliJf 1=1 sogar

absolut, wenn die Zeitfunktion.f(t) absolut integrierbar ist. Mit Gl. (2.6) und Satz2.1 erhalt man

Satz 2.2:

Fur eine absolut integrierbare Zeitfunktion f( t) existiert die folgende Dar

stellung als Fourierintegral00

f(t) = _1 jF(OJ)ejliJfdw21t

(komplexes Fourierintegral)

(2.9)

Wir haben gesehen, dass sich auch eine nichtperiodische Funktion .f(t) inharmonische Schwingungen auflosen lasst. 1m Gegensatz zu einer periodischenFunktion, bei der nur ganzzahlige Vielfache einer Grundkreisfrequenz0J0 auftreten konnen, existiert hier ein kontinuierliches Schwingungsspektrum,

dessen spektrale Verteilung durch die Spektralfunktion F( OJ ) beschrieben wird.Anstelle einer Fourierreihe erhalt man das Fourierintegral.Die Zeitfunktion .f(t) ergibt sich dabei als Integral uber das kontinuierlicheSchwingungsspektrum. Dieses Zerlegen eines zeitlichen Vorgangs inharmonische Schwingungen, das Arbeiten im Frequenzbereich, ist fur vieleAnwendungen, gerade auch in der Elektrotechnik, uberaus wichtig.

2.2 Eigenschaften des Fourierintegrals

Es sollen im Folgenden einige Eigenschaften des Fourierintegrals gezeigtwerden. Dabei werden deutliche Analogien zur Fourierreihe sichtbar.Da die Spektralfunktion F( OJ ) im allgemeinen eine komplexwertige Funktion ist,sie wird auch als komplexe Amplitudendichte bezeichnet, kann sie in einenRealteil Re F( OJ ) und in einen Imaginarteil 1m F( OJ ) zerlegt und in Komponentenform angegeben werden.

F(w) = Re F(w) + j 1m F(w)

angegeben werden.

(2.10)

20

Satz 2.3:

2 Fourierintegral

1st f (t) eine reellwertige Funktion, so ist der Realteil der zugehOrigen

Spektralfunktion F( OJ) eine gerade, der Imaginarteil eine ungerade Funktionder Kreisfrequenz OJ

Beweis:

Wegen e-jllJ1 = cos(wt) - jsin(wt) folgt mit Gl. (2.7)

= =

F(w)= f f(t)cos(wt)dt- j ff(t)sin(wt)dt

und daraus, daj(t) reellwertig ist:

=

Re F(w) = f f(t)cos(wt)dt~ =

1m F(w) = - f f(t)sin(wt)dt

(2.11 )

(2.12)

Ersetzt man in den Gleichungen (2.11) bzw. (2.12) die Variable OJ durch -OJ,

so erkennt man unmittelbar, dassRe F(-) = Re F( OJ) und 1m F(- OJ) = - 1m F( OJ )

gilt, da cos( OJ t) eine gerade und sine OJ t) eine ungerade Funktion von OJ ist.

Mit F(w)=ReF(w)+jlmF(w) und ejllJ1=cos(wt)+jsin(wt) gehtdas

komplexe Fourierintegral nach Gl. (2.9) tiber in

f(t) = 2~ {1 [ReF("') 00'("") - 1mFC"') ,;n("")]d",+

+j1[ReF(",),in("") +1m FC",),n,("")] d"'+}

Da j(t) als reellwertig vorausgesetzt wird, hat das zweite Integral den Wert Null.Man erkennt dies auch daran, dass der Integrand des zweiten Integrals eineungerade Funktion ist.Bemcksichtigt man noch, dass beim ersten Integral tiber eine gerade Funktionintegriert wird, so erhalt man die folgende reelle Form des Fourierintegrals:

2.2 Eigenschaften des Fourierintegrals 21

f(t) =.; j[ReF(W)COS(wt) - ImF(w)sin(wt)]dw (2.13)

oDas reelle Fourierintegral hat eine einfachere Form, wenn die Zeitfunktionj(t)eine Symmetrie besitzt.

1st f( t) eine gerade Funktion, so ist nach Gl. (2.12) der Imaginarteil der

Spektralfunktion Null und Gl. (2.13) geht tiber in

f(t) =; fReF(W)COs(wt)dW

oGl.(2.1l) vereinfacht sich zu

(2.14)

(2.15)Re F(w) = 2 jf(t)cos(wt) dt

o

1st die Zeitfunktion j(t) eine ungerade Funktion, so ist der Realteil derSpektralfunktion Null. Das reelle Fourierintegrallautet dann

f(t) = -; flmF(W)Sin(wt)dW

o

1m F(w) = - 2 ff(t)Sin(wt)dt

o

(2.16)

(2.17)

Man erkennt eine deutliche Analogie zur Fourierreihe einer periodischenZeitfunktion. Die Fourierreihe einer geraden periodischen Funktion enthalt nurKosinusglieder, die einer ungeraden Funktion nur Sinusglieder. Entsprechend istdas Fourierintegral einer geraden nichtperiodischen Zeitfunktion ein Integral tiberein kontinuierliches Spektrum von Kosinusschwingungen, das einer ungeradennichtperiodischen Zeitfunktion ein Integral tiber ein kontinuierliches Spektrumvon Sinusschwingungen.

Ohne Beweis sei abschlieBend erwahnt, dass an Unstetigkeitsstellen vonf(t) das

Fourierintegral, wie die Fourierreihe, zum arithmetischen Mittel aus dem rechtsund linksseitigen Grenzwert der Zeitfunktion f (t) fiihrt.

22

Ubersicht

Komplexes Fourierintegral

2 Fourierintegral

Spektralfunktion Fourierintegral

00 =

F(m) = f!(t)e-jliJfdt 1 J .Jet) = - F(m)eJOJ/dm2n

-=-00

Reelles Fourierintegral

a) Zeitfunktion ohne Symmetrien


F(m) = Re F(m) + jIm F(m)00

I RReF(m)COS(mt) ]Re F(m) = f!(t)cOS(mt)dt !(t) =- dm

n 0 - 1m F(m)sin(mt)-00

00

1m F(m) = - f!(t)Sin(mt)dt

-00

b) Gerade Zeitfunktion j{-t) = j{t):


00

!(t) =; IRe F(m)cos(mt)dmF(m) =2 f!(t)cOS(mt)dt

0 0

c) Ungerade Zeitfunktionj{-t) = - j{-t)


00

!(t) =-; JIm F(m)sin(mt) dmF(m) =-2j f!(t)Sin(mt)dt

0 0


Beispiel 2.1.

Man berechne die SpektralfunktionF( OJ) der Zeitfunktion

J(t) = {e-at fur t ~ 0 (a> 0, reell)

o fur t<O

1

23

oBild 2.2 Zeitfunktion fit)

FUr die Spektralfunktion F( OJ ) erhalt man mit Gl. (2.7)

00 00 [ (+. ) ]00f . f . e- a jliJ t I

F(OJ) = J(t)e-jliJtdt= e-(a+jliJ)t dt = . =--.--(a+jOJ) a+jOJ

-00 -00 0

Es ist der Grenzwert lim Ie-(a+j~)t] = 0 ,da a > 0 und reell vorausgesetztt~~ -(a+jOJ)

war und IejllJt 1= 1 ist. Fur die Zerlegung der Spektralfunktion F( OJ) in Real

und Imaginarteil folgt:

F( ) - 1 - a - jOJ R F() a und I F() -OJOJ - a + jOJ - a 2 + b2 => e OJ = a 2 + OJ2 m OJ = a2 + OJ2

Bild 2.3 Real- und Imaginarteil derSpektralfunktion F( OJ )

Man erkennt, dass der Realteil der Spektralfunktion eine gerade, der Imaginarteileine ungerade Funktion der Kreisfrequenz OJ ist.

24

Beispiel 2.2.

A

- wo 0

F(w)

OJ

2 Fourierintegral

Gegeben sei die Spektralfunktion

F((fJ)={A fur -(fJO:<=;t:<=;(fJOo sonst

Man berechne die zugehOrige Zeitfunktion f(t).

Bild 2.4 Spektralfunktion F( OJ )

Die Spektralfunktion F( OJ ) ist reellwertig. Die zugehOrige Zeitfunktion ist dahereine gerade Funktion der Variablen t und es folgt mit Gl. (2.14):

f( ) - A mIo ( )d _ A [sin(OJt)] % _ A sin(OJot)t - - cos OJt w - - --- - - _....:....-"-'-1t 1t t 0 1t t

o

FUr t = 0 ist die Zeitfunktion j{t)nicht definiert.Es existiert aber der Grenzwert

limf(t) = AOJo

t~O 1t

Bild 2.5 Zeitfunktion.f{t)

Ubungsaufgaben zurn Abschnitt 2 (Losungen im Anhang)

Aufgabe 2.1. Man berechne die Spektralfunktion F( OJ ) zur Zeitfunktion

f(t)1 T

-1 fur --:<=;t<Ot 2

f(t) 1 furT

O:<=;t:<=;-0 2

0 sonst-1



Aufgabe 2.2.

25

Man bestimme die SpektralfunktionF( OJ) zur Zeitfunktion

f(t)=e- a1tl (aER, a>O)

f(t)

o

Bild 2.7 Zeitfunktion.f{t) vonBeispiel 2.4

Aufgabe 2.3. Man berechne fur die Zeitfunktion

2Ufur

TU+-t --:S:t<O

T 2

f(t) =2U

furT

U--t O:S:t:S:-T 2

0 sonst

die Spektralfunktion F( OJ ) und ihrereelle Fourierintegraldarstellung.

T

2

o T2

Bild 2.8 Zeitfunktion von Beispiel 2.5

Aufgabe 2.4.

Gegeben ist die SpektralfunktionImF(w)

-1:S: w:S: 1sonst

Berechnen Sie die zugehorige -1Zeitfunktionj(t).

Bi1d 2.9 Spektralfunktion F( OJ )

3. Fouriertransformation

3.1. Definition der Fouriertransformation

Durch Gl. (2.7) wird einer bestimmten Klasse von Zeitfunktionen, flir we1che dasuneigentliche Integral konvergiert, eine Spektralfunktion F(m) zugeordnet. Eine

derartige Zuordnung heiBt auch Transformation. Es wird dadurch eineZeitfunktionj(t) in eine Bildfunktion F(m) transformiert.

Definition 3.1:

a) Die durch die Gleichung

(2.7)

bestimmte Transformation, heiBt Fouriertransformation.

b) Die Menge der Originalfunktionenj(t), fUr welche die zugehOrige

Spektralfunktion F(m) existiert, heiBt Originalraum.

c) Die Menge der Bildfunktionen F(m) heiBt Bildraum der

Fouriertransformation.

Die Originalfunktion Jet) geht durch die Fouriertransformation in die Bildfunk

tion F(m) tiber.

Originalfunktion j( t) Fouriertransformation:>

Bildfunktion F(m)

Da F(m) durch Fouriertransformation aus der Zeitfunktion j( t) erhalten wird,

heiBt F(m) auch Fouriertransformierte der Funktion j( t). Dieser Zusammen

hang wird symbolisch ausgedriickt durch

F(m) = Y { Jet) } (3.1)

ausgedriickt. Mit Gl. (2.9) kann bei bekannter Fouriertransformierter F(m) die

Zeitfunktion j( t) bestimmt werden.

3.1. Definition der Fouriertransforrnation

Definition 3.2:

Die durch die Gleichung=If·f(t)=- F(w)eJwtdw

21t

definierte Transformation, heiBt inverse Fouriertransformation.

(2.9)

27

Originalfunktion f(t) Inverse

FouriertransformationBildfunktion F(OJ)

Die Zeitfunktion f( t) erhalt man durch inverse Fouriertransformation aus F(OJ) ,

symbolisch ausgedriickt durch

(3.2)

Das folgende Beispiel solI zeigen, dass schon flir eine einfache Zeitfunktion dieFouriertransformation nicht ohne weiteres durchgeflihrt werden kann.

BeispieI3.1. Man bestimme die Fouriertransformierte der "Sprungfunktion"

c(t)1

c(t) = g:: ::~o

Bild 3.1 Sprungfunktion

Mit Gl. (2.7) erhalt man

=

F(OJ)=Y{ e(t)} = fe-jOJldt=

o[

-jWI] [I] Ie I· -jwI-- = 1m - -e +--jOJ 0 1---7= jOJ jOJ

Da e- jwt =cos(OJt) + jsin(OJt) fur t~oo nicht definiert ist, kann man auf

diese Weise die Fouriertransformierte der Sprungfunktion nicht erhalten.

28 3. Fouriertransformation

Die Sprungfunktion kann auch als Grenzwert der Funktion

f(t) = {e-atfur t > 0 (a >0)

o fur t<O

fur a ~ 0 aufgefasst werden. Als Fouriertransformierte von f(t) ergibt sich

nach Beispiel 2.1

1 a-jwF(w) = -.- = ----:-""""---::-

a +JW a2 +b2

A1s nachstes muss der Grenzwert lim F(w) betrachtet werden.a~O

Der Grenzwert lim 2 a 2 = 1t8(w) ist eine Realisierung der Deltafunktiona~O a +w

mit dem Normierungsfaktor 1t. Bei dem Grenziibergang wird eine Folge vonFunktionen durch1aufen, die gegen die Deltafunktion konvergiert (sieheAbschnitt 4.3.4).Der zweite Grenzwert ist

Mit beiden Grenzwerten ergibt sich fur die Fouriertransformierte der Sprungfunktion

{

1t8(W) furw=O

g-{£(t)} = -;--1furw;t:O

JW

1m Satz 2.1 haben wir die absolute Integrierbarkeit einer Zeitfunktion j(t) alshinreichende Bedingung fur die Existenz der Fouriertransformierten kennengelemt. Beispiel 3.1 zeigt, dass dies keine notwendige Bedingung ist. DieSprungfunktion ist nicht absolut integrierbar, ihre Fouriertransformierte existiert,allerdings nicht im Rahmen der "iiblichen" Funktionen. Durch die LaplaceTransformation werden derartige Probleme iiberwunden.

3.2 Diskrete Fouriertransformation (DFT) und schnelle

3.2 Diskrete Fouriertransformation (DFT) und schnelle

Fouriertransformation (FFT)

29

In den vorhergehenden Abschnitten haben wir die Fourierreihen periodischerZeitfunktionen und die Fouriertransfonnation von kontinuierlichen nichtperiodischen Zeitfunktionen betrachtet.

Die Berechnung einer Fourierreihe kann man als eine Operation auffassen, dieeiner periodischen Zeitfunktion eine Folge von komplexen Fourierkoeffizientenck zuordnet.

Die Fouriertransfonnation ordnet einer kontinuierlichen nichtperiodischenFunktion f( t) eine Fouriertransfonnierte F( cv) zu.

In beiden Hillen miissen Integrale bestimmt werden. Dies ist jedoch nur dannmoglich, wenn die betrachtete Zeitfunktion in einer analytischen Fonn gegebenist, die hinreichend einfach ist, sodass die auftretenden Integrale auch berechnetwerden konnen. In der Praxis ist dies nicht immer der Fall. Urn nun in so1chenFallen einen Computer, also eine digitale Rechenanlage, als Hilfsmittel einsetzenzu konnen, muss die kontinuierliche Funktion digitalisiert werden. Die Funktionwird dazu abgetastet und durch eine Folge von Funktionswerten beschrieben.Wir kommen dadurch von der schon besprochenen kontinuierlichen Fouriertransfonnation (FT) zur diskreten Fouriertransfonnation (DFT).Integrationen gehen dabei in Summationen iiber, die von digitalen Rechenanlagen ausgefiihrt werden konnen.

Die schnelle Fouriertransfonnation (Fast Fourier Transfonn oder FFT) ist nur einAlgorithmus, der konsequent alle Symmetrien der diskreten Fouriertransfonnation ausniitzt. Die diskrete Fouriertransfonnation und ihre inverse Transfonnation werden dadurch besonders schnell durchfiihrbar.

Durch diese schnelle Fouriertransfonnation und den Einsatz schneller Rechnersind Signalbearbeitungen in Echtzeit moglich.

Der Fouriertransfonnation werden damit viele interessante Anwendungsgebieteerschlossen.

(4.1)

4 Laplace - Transformation

4.1 Definition der Laplace-Transformation

Da in der Elektrotecbnik immer nur Zeitfunktionen von einem Zeitpunkt t = 0(z. B. dem Schaltzeitpunkt) an interessieren, auch wenn Anfangsbedingungen(z. B. Spannungen an Kondensatoren) aus der Vergangenheit des Systems vorhanden sind, wollen wir im Rahmen der Laplace-Transformation nur kausaleZeitfunktionen betrachten.

Definition 4.1:

Eine Funktion J( t) heiBt kausale Zeitfunktion, wenn fUr aile t < 0 gilt:

J(t)=o

Betrachten wir nur kausale Zeitfunktionen, so konnen wir die folgendeDefinition der einseitigen Laplace-Transformation geben, bei der die Integrationuber den Zeitbereich mit der unteren Grenze bei t = 0 beginnt.

Definition 4.2:

Unter der Laplace-Transformierten der kausalen Zeitfunktion J(t) versteht

man die durch die Funktionaltransformation

F(s) = jJ(t)e-S1dt

odefmierte Funktion F(s). Hierbei ist s = a + j (jj eine komplexe Variable.

1m Unterschied zu der im Abscbnitt 3 behandelten Fouriertransformation ist derdort rein imaginare Exponent - j {jj t des Exponentialfaktors durch einenkomplexen Exponenten -st = - (a + jw)t ersetzt worden.

Wir werden sehen, dass gerade dadurch die Konvergenz des durch die Gl. (4.1)definierten Laplace-Integrals fUr aile in der Praxis vorkommenden Zeitfunktionenerreicht werden kann. Fur aile in der Praxis auftretenden Zeitfunktionen existiertdadurch eine Laplace-Transformierte.

4.1 Definition der Lap1ace-Transformation

Das Laplace-Integral

jf(t)e-S1dt = jf(t)e-O"le- jI1J1 dt

o 0

konvergiert nach Satz 2.1, wenn die Funktion

get) = f(t)e- at

31

absolut integrierbar ist. F(s) ist dann die Fouriertransformierte der Zeitfunktion

g(t). Die Funktion get) = f(t) e-(yt ist absolut integrierbar, wenn f(t) nicht

starker ansteigt als eine Exponentialfunktion. Mit einem geeignet gewahltem (J'

kann erreicht werden, dass der Faktor e-(J"t selbst bei einer exponentiellansteigenden Funktion f(t) iiberwiegt, sodass

lim f(t)e- Ul =0l-too

ist. Wir k6nnen daher feststeIlen:

Das Laplace-Integral konvergiert, es existiert also eine Laplace-TransformierteF(s) , wenn die Originalfunktion f( t) nicht starker ansteigt, als eine Exponen

tialfunktion.Diese Bedingung kann bei einem geeignet gewahlten (J' > j3 flir aIle in den

Anwendungen vorkommenden Zeitfunktionen erflillt werden.

Die Konvergenzabszisse j3 ist durch die Art der betrachten Zeitfunktion f( t)

bestimmt.

Insbesondere bei den Anwendungen der Laplace-Transformation ist auch dieDimension der Laplace-Transformierten

F(s) = ff(t)e-S1dt

ovon Interesse. Die Variable s = (J' + j OJ hat die Dimension einer Kreisfrequenz,

also die Dimension sec -1 . Der Faktor e-sf des Integranden von Gl. (4.1) istdimensionslos.Durch die Integration iiber den Zeitbereich, die ja eine Aufsummierung infinite-

simal kleiner Elemente f(t) e-sldt bedeutet, kommt zur Dimension der

Zeitfunktion f( t) noch die Dimension des Differentials dt hinzu.

32 4 Laplace - Transformation

Die Laplace-Transformierte U(s) einer Spannung u(t), narnlich

U(s) = fu(t)e-Sfdt

ohat dernnach die Dimension Vsec, die Laplace-Transformierte l(s) eines Stromesi(t) analog die Dimension Asec.

In diesem Zusammenhang sei auf eine manchmal verwendete etwas modifizierteLaplace-Transformation, die Carson-Transformation hingewiesen, bei der dieBildfunktion durch

F(s)=s ff(t)e-Sfdt

o

definiert ist. Wegen des zusatzliches Faktors s der Dimension sec-1 hat bei derCarson-Transformation die Bildfunktion F(s) stets die gleiche Dimension wie dieOriginalfunktion f (t) .

Geschichtliche Anmerkung

Der bekannte franzosische Mathematiker Pierre Simon Marquis de Laplace(1749 - 1827) verwendete die Transformation im Rahmen von Studien zurWahrscheinlichkeitsrechnung. Er ist nicht Begriinder der "modemen" LaplaceTransformation.Diese ist eine Weiterentwicklung einer Operatoremechnung des EnglandersOliver Heaviside (1850 - 1925). Die Heaviside'sche Operatoremechnung wurdezum Losen von Differentialgleichungen verwendet. Es entstanden bei derAnwendung oft Schwierigkeiten, da sie mathematisch nicht ausreichendbegriindet war.Bei der Weiterentwicklung der Heaviside'schen Operatoremechnung zur heutigenLaplace-Transformation haben sich von den deutschen Wissenschaftlembesonders Karl Willy Wagner (1883 - 1953) und Gustav Doetsch (1892 - 1977)groBe Verdienste erworben.

4.1 Definition der Laplace-Transformation 33

Beispiel 4.1. Es soil die Laplace-Transformierte F(s) der Zeitfunktion j( t) = t

berechnet werden.

Fiir die kausale Zeitfunktion jet) = t gilt jet) ={~ : ~ ~ ~

Durch partielle Integration mit

u = t ~ u' = I und v' = e-st =>e-st

v = -- erhalt man-s

00 [ -Sf] 00 00 [-Sf -Sf] 00-sf tel -sf teeF(s) = Fe dt = ~ 0 +-:;fe dt = --s--7 0

Dabei wird vorausgesetzt, dass der Grenzwert

lim e-Sf = lim e-CYfe-jOJf = 0f --? 00 f --? 00

existiert. Dies ist fur Re s = a> 0 der Fall. Bei dieser Zeitfunktion j( t) ist

dernnach die Konvergenzabszisse p = O.

Die Laplace-Transformierte F(s) existiert in einem Gebiet der komplexens-Ebene, das durch Re s > 0 bestimrnt ist. Es handelt sich hierbei urn eineHalbebene, die sogenannte Konvergenzhalbebene der Bildfunktion.In Bild 4.1 sind die kausale Zeitfunktion j( t) = t und die Konvergenzhalbebene

ihrer Laplace-Transformierten F(s) dargestellt. Die komplexwertige FunktionF(s) hat an der Stelle s = 0 einen Pol zweiter Ordnung und ist fur aile s =t- 0

definiert. Sie ist aber nur in der Konvergenzhalbebene a > 0 LaplaceTransformierte der kausalen Zeitfunktion jet) = t.

o

m.~~ Konvergenzhalbebene ~

t ~

Bild 4.1 Zeitfunktionj(t) = t und Konvergenzhalbebene der Bildfunktion F(s)von Beispiel 4.1

34

4.2 Inverse Laplace-Transformation

Satz 4.1:


Die inverse Laplace-Transformation, die eine Bildfunktion F(s) in die zugehOrige Originalfunktionf(t) abbildet, ist durch die komplexe Umkehrformel

O"o+joo

f(t) =_1_. fF(s)eS1ds (4.2)21tJ .

0'0 - J=

gegeben

Beweis: Nach der Definition der Laplace-Transformation gemiiB Gl. (4.1) gilt= =

F(s) = ff(t)e-S1dt= ff(t)e-crle-jOOldt

o 0

Ein Vergleich mit der Definition der Spektralfunktion durch Gl. (2.7) zeigt,dass die Laplace-Transformierte F(s) der Zeitfunktionf(t) Spektralfunktion

(Fouriertransformierte) einer anderen Zeitfunktion get) = f(t) e-U! ist.

Mit dem Fourierintegral (Gl. (2.9)) erhiilt man

1 f .f(t)e- crl = - F(s)eJllJtdOJ21t

Multipliziert man diese Gleichung mit dem Faktor eU ! , so ergibt sich

f(t) = _1 fF(S) e U ! elm! dOJ= _1_ fF(S) est dOJ2n 2n

Da bei dieser Integration nur aJ variabel, a=ao > fJ konstant ist, also einen in

der Konvergenzhalbebene liegenden festen Wert annimmt, folgt mit ds= jdOJ

schlieBlich Gl. (4.2). Zu einer vorgegebenen Originalfunktion f( t) liefert die

durch Gl. (4.1) definierte Laplace-Transformation, die Konvergenz des LaplaceIntegrals vorausgesetzt, eindeutig eine Bildfunktion F(s). Es ist aber auch vonInteresse, ob die durch Gl. (4.2) beschriebene inverse Laplace-Transformationebenfalls eindeutig ist.


Nun haben aber etwa die im Bild 4.2 dargestellten Zeitfunktionen

{t furt:;t:2sec

J;(t)=t und 12(t)=3 fur t = 2sec

diegleicheBildfunktion F(s) = ffi(t)e-Sfdt= fh(t)e-Sfdt = s2

o 0

35

2

o

t

3

a 2

t

Bild 4.2 Zeitfunktionen fi (t) und h (t) , die sich fUr die Zeit t = 2 sec in ihren

Funktionswerten unterscheiden

Die Zeitfunktionen II (t) und h (t) besitzen die gleiche Bildfunktion F(s). Sie

unterscheiden sich nur durch eine Nullfunktion. Eine Nullfunktion N(t) ist eineFunktion, fur die

t

fN(r)dr=o furalleZeitpunkte t>O

aist. Unterscheiden sich Zeitfunktionen nur um Nullfunktionen, so werden ihnendurch die Laplace-Transformation gleiche Bildfunktionen zugeordnet. Die durchdie komplexe Umkehrformel beschriebene inverse Laplace-Transformationliefert daher eine Zeitfunktion, die sich hOchstens um eine Nullfunktion von derOriginalfunktion unterscheiden kann.

Wir erhalten somit den folgenden Eindeutigkeitssatz:

Satz 4.2:

Stimmen die Bildfunktionen zweier Originalfunktionen in einer HalbebeneRe s > f3 iiberein, so unterscheiden sich die Originalfunktionen hOchstens um

eine Nullfunktion.

Beschranken wir uns auf stetige Originalfunktionen, so erhalt derEindeutigkeitssatz die folgende Form:

36

Satz 4.3:


Stimmen die Bildfunktionen zweier stetiger Originalfunktionen in einerHalbebene Re s > fJ uberein, so sind die Originalfunktionen identisch.

lTo+joo

lTo-joo

Zur Berechnung der Originalfunktionj(t) aus einer gegebenen Bildfunktion

F(s) mit der komplexen UmkehrformelClo+j=

jet) =~ fF(s)eS1ds2It] .

Clo-J=

ist als Integrationsweg W in derkomplexen s-Ebene eine in derKonvergenzhalbebene liegendeParallele zur imaginaren Achse zuwahlen.

Bild 4.3 lntegrationsweg W

Zur inversen Laplace-Transformation mit Hilfe der komplexen Umkehrformel istdie Kenntnis einiger Satze der Analysis komplexwertiger Funktionennotwendig. Diese Satze der Funktionentheorie sollen im Folgenden ohne Beweisangegeben werden.

Definition 4.3:

a) Eine Vorschrift, die jedem Element z = x + jy eines Gebietes der z-Ebeneeine komplexe Zahl w = u + jv zuordnet, heiBt Funktion w = f{z) derkomplexen Variablen z.

b) Eine Funktion w = f{z) heiBt in einem Punkt Zo regular oder holomorph,wenn sie in jedem Punkt zeiner Umgebung von Zo differenzierbar ist, d.h.,die Ableitung

j'(z) = lim j(z + !:1z) - j(z) existiert..1.Z---70 !:1z

c) Eine Funktion w = f{z) heiBt in einem Gebiet G der komplexen z-Ebeneholomorph oder regular, wenn sie an jeder Stelle des Gebietes Gdifferenzierbar ist.

d) StelIen, an denen eine Funktion w = f{z) nicht regular ist, heiBensingulare Stellen.

4.2 Inverse Laplace-Transformation 37

Zur inversen Laplace-Transformation mit dem komplexen Umkehrintegral sindinsbesondere einige Integralsatze der komplexen Analysis wichtig. Diewichtigsten Integralsatze sollen im Folgenden ohne Beweis angefuhrt werden.

Satz 4.4:

1st die Funktion w = j{z) in einem einfach zusammenhangenden Gebiet, das istein Gebiet, das durch eine einfache Kurve abgeschlossen werden kann,holomorph, so gilt der folgende Integralsatz von Cauchy:

ff(z)dz = 0 (4.3)

wwenn W ein beliebiger, in G liegender, einfach geschlossener Weg ist. DieserSatz ist aquivalent mit der Aussage, dass das bestimmte Integral

Z2

ff(z)dz

Zj

einen vom Integrationsweg von zl nach z2 unabhangigen Wert hat.

Der Integralsatz von Cauchy wird auch als Hauptsatz der Funktionentheorie(Theorie der komplexwertigen Funktionen) bezeichnet. Wesentlich ist dieBeschrankung auf ein einfach zusammenhangendes Gebiet, in dem die Funktionj{z) holomorph ist.Umfasst der geschlossene Weg W singulare Stellen von j{z), so hat dasUmlaufsintegral im Allgemeinen einen von Null verschiedenen Wert (Satz 4.7).

Satz 4.5:

Unter den gleichen Voraussetzungen wie beim Integralsatz von Cauchy(Satz 4.4) gelten die folgenden Integralformeln von Cauchy

f(zo)=~ f f(z) dz21tJ z-zo

W

n = 1,2,3""

(4.4)

(4.5)

Der Punkt zo liegt im Inneren des im positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn)durchlaufenen geschlossenen Weges W.

38

Bild 4.4 Integrationsweg W

x


Die Integralformeln von Cauchymachen die bemerkenswerte Aussage,dass die Funktionswerte und die Werteder Ableitungen einer reguHirenFunktion im Inneren einer geschlossenen Kurve W durch die Werte derFunktion auf dieser Kurve bestimmtsind.

1st die komplexwertige Funktion j{z) in einem Gebiet G der komplexen Ebeneregular, d.h. tiberall differenzierbar, so folgt aus Gl. (4.5), dass sie dort beliebigoft differenzierbar ist.Ahnlich, wie in der reellen Analysis, kann auch eine Funktion j{z) einer

komplexen Variablen z an einer Stelle z = zo in eine Potenzreihe entwickeltwerden.

Dabei gilt der folgende Satz:

Satz 4.6:

a) Die durch die Laurent-Reihe

~

fez) = L>n(z-zo)nn=-oo

mit den komplexen Koeffizienten

c = _1_ f f (z) dzn· n+l

2n J W (z - zO)

dargestellte Funktionj{z) konvergiert, wenn tiberhaupt, stets in einemKreisringgebiet und stellt dort eine regulare Funktion dar.

(4.6)

(4.7)

b) Jede in einem Kreisringgebiet regulare Funktionj{z) kann in eine LaurentReihe entwickelt werden


Bei der Reihenentwicklung emer Funktion f{z) konnen die folgenden FaIleunterschieden werden:

1. Die Reihe beginnt mit einem Glied, das einen positiven Index hat, d.h., esgilt

f( z) = crn (z - zO)rn +crn+l (z- zo)rn+l + crn+2 (z - Zo )rn+2 + ...

Die Funktion f{z) hat dann an der Stelle z = zo eine m-fache Nullstelle.

f{z) ist an der Stelle zo regular.

2. Die Reihe beginnt mit einem Glied, das einen negativen Index hat.

f(z) = en + ... + c-l +co +Cl(Z-ZO)+C2(Z-zO)2 + ...(z-zO)n (z-zo)

Die an der Stelle z = zo vorliegende Singularitat heiBt Pol n-ter Ordnung.

Die Funktion (z - zo)n f{z) ist fUr z = zo regular.

3. Besitzt die Reihe kein erstes Glied, so hat die durch die Laurent-Reihe

dargestellte Funktion f{z) an der Stelle zo einen Pol "unendlich hoherOrdnung".

Die Stelle z = zo ist eine wesentlich singuHire Stelle.So ist z.B. die Funktion

1- 1 1 1 1e z =1+-+--+--+ .. ·+--+· ..

z 2!z2 3!z3 k!zk

an der Stelle z = 0 wesentlich singular.

Wir betrachten nun Funktionen f{z), die bis auf endlich viele isolierte Poleregular sind.

An der Stelle z = zo sei ein Pol n-ter Ordnung und wir wollen das Urnlaufintegral (Integrallangs eines einfach geschlossenen Weges)

ff(z)dzw

berechnen, wobei der Integrationsweg W ein im positiven Sinn durchlaufener,

geschlossener Weg urn die Polstelle zo ist.Die Funktion f{z) sei bis auf diese Polstelle im Inneren und auf dem Weg Wregular. Furf{z) gibt es dann die Laurent - Reihe:

c-n c-l 2f(z) = + ... + +CO+Cl(z-zO)+C2(z-zO) + ...(z-zo)n (z-zo)


Mit dieser Reihendarstellung folgt fUr das gesuchte Integral

Jf(z)dz=c_ n J 1 n dz+",+c_l Jz~z dz+co Jdz+cl J(z-zo)dz+···W W (z - zo) wow w

(4.8)(4.4) und (4.5) die iiberall regulare FunktionSetzt man in die Gleichungen

.f(z) = 1 ein, so erhalt man

J 1 dz = {21tj

w (z-zo)n 0

Gl. (4.8) geht damit iiber in

fUr n = 1

fUr n *- 1(4.9)

Jf(z)dz = 21tj c-l bzw.w

_1_. Jf(z)dz = c-l21tJ

W

(4.10)

(4.11 )

Nach Satz 4.3 haben die Integrale

Jdz, J(z-zo)dz, J(z-zo)2dz, ...

w w w

aIle den Wert Null. Von Gl. (4.8) ist also nur Gl. (4.10) "iibrig geblieben". Mannennt daher den Koeffizienten c-l das "Residuum" der Funktion .f(z) an der

Stelle z = zo

Definition 4.4:

Unter dem Residuum der Funktionj(z) an der Stelle z = zo versteht man

Res {fez) }=_1_. Jf(z)dz = ClZ=Zo 21tJ

w

Der Integrationsweg Wist dabei ein geschlossener, im positiven Sinn

durchlaufener Weg urn die Polstelle bei z = zo

1st zo eine Stelle, an der die Funktion.f(z) regular ist, so folgt aus dem Integralsatzvon Cauchy, dass das Residuum der Funktion .f(z) in einem solchenHolomorphiepunkt den Wert Null hat.Wir k6nnen nun den fUr die Integration im Komplexen so wichtigenResiduensatz angeben.


Satz 4.7:

41

Umfasst der im positiven Umlaufssinn geschlossene Integrationsweg W dieisolierten Pole z 1, z 2, ... , Z n , so gilt der folgende Residuensatz

1 n-. Jj(z)dz = L R~s {j(z)}2KJ

Wk=! z-~

(4.12)

Zur Berechnung der Residuen einer Funktion kann man nach Gl. (4.11) das

Residuum der Funktion j(z) an der Stelle zo durch den Koeffizienten elder

Laurent-Reihenentwicklung an der Stelle zo angeben. Dazu muss aber dieReihenentwicklung zuerst durchgefiihrt werden. Einfacher wird daher in vielenFallen der folgende Weg sein, die Residuen einer Funktion zu bestimmen.

Satz 4.8:

a) Es sei die Stelle z = zo eine einfache Polstelle der Funktionj(z). Dann gilt

flir das Residuum der Funktion an dieser einfachen Polstelle zo

z~e:o {j(z)}= [(z-zo)f(z)]z =zo (4.13)

b) An der Stelle z = zo sei ein n-facher Pol der Funktionj(z). Dann gilt

Res {j(z) }=_1_[ dn

-1

{(z-zo)n j(Z)}~ (4.14)z = Zo (n -I)! dz n- 1

z = Zo

Beweis1. An der Stelle z - Zo sei ein einfacher Pol der Funktion. FUr die Laurent-Reihe

gilt dann

c~ 2j(z)=--+cO +q(z-zO)+c2(z-zO) +...z-zO

Die Funktion

(z-zO)j(z)=Cl + co(z-zo)+q(z-zO)2 +C2(Z-zO)3 + ...ist an der Stelle zo regular. Setzt man flir z den Wertzo ein, so erhalt man die zu

beweisende Aussage. Da der Ausdruck (z-zO)j(z)fiir z-zOunbestimmt

von der Form OXoo ist, bedeutet dies genauer ausgedriicktlim (z - zO)j(z) = clz~zo


2. An der Stelle z = zo sei ein n-facher Pol. Die fUr Zo reguHire Funktion

(z - z0) n f (z) hat die Reihendarstellung

Durch (n - l)-maliges Differenzieren erhlilt man

dn

-1

{(z _ Zo t f(z)}= (n -1)!C_l +n!co (z - zo)+ Gliedermit hOherendz n- 1

Potenzen von z - Zo

Setzt man in die letzte Gleichung fur z den Wert zo ein, so erhlilt man diezu beweisende Aussage.

I [dn

-

I{ }]Res {f(z) }= c_I =-- ---I (z-zo)n fez)

Z=Zo (n-I)! dz n

z =Zo

Beispiel 4.2.I

Man bestimme fur die Funktion fez) = diez(z-I)2

Residuen an den Polstellen.Die Stelle z = 0 ist eine einfache Polstelle der Funktion und man erhalt mit Gl.(4.13)

Res {f(Z)}=[zf(Z)]z=o=[ I 2] =1z=o (z-I) z=o

Die gegebene Funktion j{z) hat an der Stelle z = I einen Pol 2. Ordnung. Gl.(4.14) liefert

Res {fez) }=~[.!!..-{~}] =_[_1] =-1z=l 1! dz z z=l z2 z=l

Wir wollen nun den Residuensatz verwenden, urn die inverse LaplaceTransformation mit Hilfe der komplexen Urnkehrformel nach Gl. (4.2)vorzunehmen.Es solI hier nur an einigen Beispielen gezeigt werden, wie auf diese Weise auseiner gegebenen Bildfunktion F(s) die Originalfunktion f(t) berechnet werden

kann. Das praxisgerechtere Verfahren besteht in der Verwendung vonTransformationsregeln und Korrespondenzen, die im nlichsten Abschnittbesprochen werden.


Satz 4.9: Residuensatz

43

Die Bildfunktion F(s) einer Originalfunktion f( t) habe die endlich vielen

isolierten Pole s1> s2' ... ,sn und es sei femer lim IF(s) 1=0. Dann gilt:S-7 OO

f(t)=I ~es {F(s)est }k=1 s - Sk

Beweis:

Zum Beweis wahlen Wlr alslntegrationsweg den in derkomplexen s - Ebene liegenden

Weg W = WI + W2 der allePolstellen der Funktion F(s) unddamit auch alle Pole von F(s)eSt

umfasst, da der Faktor est selbstim Endlichen keine Pole besitzt.

(4.15)

Bild 4.5 Integrationsweg

Mit dem Residuensatz erhalt man

fYo+ jOJo

_1_. f F(s)estds = _1_. f F(s)estds + _1_. fF(s)estds =2nJ 2nJ. 2nJ

W ~~~ ~

n

= L ~es { F(s)est

}k=\ S-Sk

(4.16)

1m Grenzfall % ~ 00 und damit auch R ~ 00 gilt

lim fF(S) est ds = O.R~~

W2

Es gilt lim I F(s) I=0, da der Betrag des Faktors est = efYtejtiJt auf dem Wegs~~

W2 wegen 6 ~ 60 beschrankt bleibt.

1m Grenzfall % ~ 00 geht Gl. (4.16) in die komplexe Umkehrformel

(Gl. (4.2)) tiber und wir erhalten damit die Aussage von Satz 4.9.


Beispiel 4.3. Gegeben ist die BildfunktionI

F(s)=-.s-a

Es soll die

zugehOrige Originalfunktion jet) bestimmt werden.

Die Bildfunktion F(s) hat an der Stelle s = a einen einfachen Pol.

Die Voraussetzung von Gl. (4.16), niimlich lim IF(s) 1=0 ist hier erfiillt unds~oo

wir erhalten daher mit Gl. (4.15)

j(t) = ~:~ {F(s)est

} = {(s-a)F(s)esl=a = {estL=a = eat

Wir haben damit ein Paar von Funktionen gefunden, die sich bezuglich derLaplace-Transformation entsprechen.

Der Zeitfunktion j(l) = eat entspricht die Laplace-Transformierte

1F(s)=-.

s-a

1Beispiel 4.4. Gegeben ist die Lap1ace-Transformierte F(s) = - .

s2

Es soll die zugehOrige Origina1funktion jet) bestimmt werden.

Die Bildfunktion hat an der Stelle s = 0 einen zweifachen Pol. Da dieVoraussetzung lim IF(s) 1=0 erfiillt ist, erhiilt man mit Gl. (4.14)

s~oo

j(t) = Res {F(s)est } = ~[s2F(s)est] = ~[est] = [test] =ts = 0 ds s=O ds s=O s=O

Beispiel 4.5. Man berechne die Originalfunktion jet) zur Bildfunktion

1F(s)=--.

s2 +1

1 1Die Bildfunktion (Laplace-Transformierte) F(s) =--=-----

s2 +1 (s- j)(s+ j)

hat an den Stellen sl = j und s2 = - j einen einfachen Pol.Die Voraussetzungen fUr die Anwendbarkeit von Gl. (4.15) sind gegeben. MitG1. (4.13) erhalten wir


{est} {est} [est] [est]f(I)= Res . . + Res . . = --. + -.

s=j (s-J)(s+J) s=-j (s-J)(s+J) s+J s=j s-J s=-j

1 jt 1 - jt 1 [ j t -j t] . ( )= - e - - e = - e - e = sm 12j 2j 2j

F(s) = _1_ ¢::> f(t) = sin(WI)s2 +1

Die Funktionen F(s)=+ und f(t)=sin(wI) bilden ein Paar von einanderS +1

beziiglich der Laplace-Transformation"entsprechenden" Funktionen.

Ubungsaufgaben zurn Abschnitt 4.2 (Losungen im Anhang)

Aufgabe 4.1:

a) Es solI das Umlaufsintegral

f Z~2 dzw

berechnet werden, wobei als Integrationsweg W ein Kreis vom Radius r urndie Polstelle z = 2 zu wahlen ist.Hinweis: Auf dem Kreis gilt

z - 2 = re ja

o

y

x

b) Berechnen Sie das Residuum der Funktion1

f(z)=-z-2

an der Polstelle z = 2.

Bild 4.6 Integrationsweg

Aufgabe 4.2: Man berechne die Residuen der FunktionI

f(z)= (z+1)(z-1)3

an ihren Polstellen.


Aufgabe 4.3: Man berechne zu den folgenden Bildfunktionen die zugehOrigenOriginalfunktionen f (t)

1a) F(s)=----

(s -1)(s - 2)

1c) F(s) =--

s2 -1

1e) F (s) = ----=--_____=_

s2(s + 1)2

b) F(s)= 2s+1(s +1)3

s3d) F(s)= 4

(s +3)

f) F(s) = s+S(s + 1)(s2 + 1)

Aufgabe 4.4: Gegeben ist die Bildfunktion F(s) = _1_, wobei der Exponent nsn

eine natiirliche Zahl ist. Es solI die zugehorige Originalfunktion f( t) bestimmt

werden.

Aufgabe 4.5: Zur Bildfunktion F(s) = 2 1 2(s + 1)

entsprechende Zeitfunktion f(t) berechnet werden.

solI die

Aufgabe 4.6: Gegeben ist die Bildfunktion F(s) = +-.s -16

Man berechne mit der komplexen Urnkehrformel ihre Originalfunktion f(t).

4.3. Transformationsregeln


Die DurchfUhrung der Laplace-Transformation mit der Definitionsgleichung

47

(4.1)F(s) = fl (t)e-Sfdt

ound insbesondere auch die der inversen Laplace-Transformation mit derkomplexen Urnkehrformel

0"0 +j~

l(t) =_1_. jF(s)eS1ds (4.2)21tJ .

O"o-J~

ist fUr die Anwendungen der Laplace-Transformation in der Technik imAllgemeinen zu kompliziert.1m Abschn. 4.2 haben wir die Berechnung des komplexen Urnkehrintegrals mitMethoden der komplexen Analysis kennen gelemt. Die Verwendung dieser"Residuenmethode" soll daher hier nicht zum Prinzip der inversen LaplaceTransformation gemacht werden.

Urn sowohl die Laplace-Transformation, als auch die inverse LaplaceTransformation einfacher durchfiihren zu konnen, werden wirTransformationsregeln herleiten.

Eine ahnliche Situation besteht auch in der Analysis. Dort werden die Ableitungeiner Funktion als Grenzwert eines Differenzenquotienten, das bestimmteIntegral als Grenzwert einer Summe definiert, fUr praktische Rechnungen abermacht man von den wesentlich einfacheren Differentiations- bzw.Integrationsregeln Gebrauch. Ahnlich wollen wir auch hier vorgehen.Auf die Verwendung von umfangreichen Korrespondenztabellen soll zunachstverzichtet werden. Wir werden erkennen, dass neben den Transformationsregelnnur wenige Grundkorrespondenzen fUr sehr viele Anwendungen genligen.Wir werden im Folgenden u.a. die Schreibweisen verwenden.

F(s) = 2'{ l(t)}

j{t) = 2'-1 {F(s) }

F(s) ist die Laplace-Transformierte derFunktion l(t),

1(t ) entsteht durch inverse Laplace-Trans

formation aus F(s),


Da die Funktionen j(l) und ihre Laplace-Transformierte F(s) sich bezuglich der

Laplace-Transformation "entsprechen", wird der zwischen ihnen vorhandeneZusammenhang nach DIN 5487 symbolisch durch ein "Korrespondenzzeichen"ausgedriickt.Als Korrespondenzzeichen verwendet man • - 0 bzw. 0 - •. Der ausgefiillte(schwarze) kleine Kreis steht dabei immer auf der Seite der Bildfunktion F(s).

F(s) • - 0 jet) bedeutet, F(s) ist die Laplace-Transformierte vonjet) bzw. jet) ist die Originalfunktion zu F(s).

Jede Korrespondenz kann von rechts nach links, aber auch von links nach rechtsgelesen werden. So bedeutet die Korrespondenz

It o -.

s2

Der Zeitfunktion jet) = t entspricht die Bildfunktion F(s) =~ und ders

Bildfunktion F(S)=~ entsprichtimZeitbereichdieFunktion j(t)=t.s

4.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

a) Laplace-Transformierte der Sprungfunktion

£(t)

11-------Die Sprungfunktion (Einheitssprung)e(t) ist definiert durch

o

Bild 4.7 Sprungfunktion e( t)

e(t) = {~furt<O

fur t>O

Fur die Zeit t = 0 ist durch diese Definition keine Aussage tiber dieSprungfunktion gemacht.Die Sprungfunktion tritt insbesondere bei den Anwendungen der LaplaceTransformation in der Elektrotechnik hiiufig auf. Sie beschreibt etwa einenidealisierten Einschaltvorgang einer Gleichspannung von 1 V zum Schaltzeitpunkt t= O.

4.3. Transformationsregeln 49

s

Zur Bestimmung der Laplace-Transforrnierten F(s) der Sprungfunktion beniitzenwir die Definitionsgleichung der Laplace-Transformation und erhalten

2' {e(t)} = fe-stdt =

oZur Konvergenz des Integrals wird vorausgesetzt, dass fur den Grenzwert gilt:

lim e-st = lim e-at e- jillt = 0t --7 00 t --7 00

Dies ist der Fall, wenn Re s = (J > 0gewahlt wird.FUr die Funktion jet) = e(t) konver

giert das Laplace-Integral in der durchRe s > 0 bestimmten Halbebene.Das dadurch definierte Gebiet derkomplexen s-Ebene, heiBt Konvergenzhalbebene.

Bild 4.8 Konvergenzhalbebene1

Die Funktion F(s) =- ist als komplexwertige Funktion zwar fur alle s :t= 0s

definiert, ist aber nur in der Konvergenzhalbebene Re s > 0 LaplaceTransformierte der Zeitfunktion j (t) = e(t). Wir erhalten damit die folgende

Korrespondenz:

e(t) 0-.s

(4.17)

b) Laplace Transformierte der Exponentialfunktion

Es solI die Laplace-Transforrnierte der Exponentialfunktion j( t) = eat bestimmt

werden, wobei a eine beliebige komplexe Zahl sein kann.Zur Berechnung der Laplace-Transforrnierten verwenden wir die Definitionsgleichung und erhalten

= = [ -(s-a)t] =2' {eat} = feat e-stdt = fe-(s-a)tdt = _e _

-(s-a) s-a000


Zur Konvergenz des Laplace-Integrals muss vorausgesetzt werden, dass derGrenzwert

jw

o

~%: halbebene /':

:% ~

.......~Bild 4.9 Konvergenzhalbebene

lim e-(s-a)t =0t~oo

ist. Diese Bedingung ist furRe (s - a) = (J - Re a > 0

erfullt.

Zur Zeitfunktion l(t) = eat existiert

in der durch (J > Re a definierten

Konvergenzhalbebene eine LaplaceTransformierte.

Es gilt daher die Korrespondenz

I_-----.!~e=at=o=_=·=s=_a=='--- ---.L (4_.l---.J8l

I

c) Laplace-Transformierte der Potenzfunktion

Ais Laplace-Transformierte der Potenzfunktion j{t) = tn, wobei der Exponent n

zuniichst eine natiirliche Zahl sein soIl, erhiilt man mit der Definitionsgleichungder Laplace-Transformation durch eine partielle Integration mit

e-stu=t n => u'=nt n- 1 und v'=e-st => v=-

-sund damit

e-stdt = ~ ft n- 1 e-stdt

o

Zur Konvergenz des Integrals muss lim t ne-st = 0 angenommen werden.t ---t 00

Da die Exponentialfunktion gegeniiber der Potenzfunktion tiberwiegt, ist dies furRe s = (J > 0 der Fall. Dadurch ist die Konvergenzhalbebene ((J > 0)

bestimmt, in welcher die Bildfunktion F(s) der Zeitfunktion I( t) = t n existiert.

Unter dieser Voraussetzung erhalten wir durch wiederholte partielle Integration


ftn e-Sldt

o

n f n-I -sId- t e ts o

n n-1 ~f n-2 -sId--- t e t=s s o

... =!!.- n-1 n-2 ... ~.!.~fe-sl dts s s s s o

A1s Ergebnis erhalten wir die Korrespondenz

n!

n = 1, 2, 3, (4.19)

Wir wollen nun auch die Lap1ace-Transforrnierte der allgemeinerenPotenzfunktion

1(t) = t r

bestimmen, wobei r eine beliebige reelle Zahl ist, die der Bedingung r > -1genugt. Diese Einschrankung auf reelle Zahlen r > -1 ist notwendig, weilanderenfalls das Laplace-Integral an der unteren Integrationsgrenze t = 0 nichtkonvergiert.

Zur Berechnung der Laplace-Transforrnierten von 1(t) = t r fiihren wir U = st

als neue Integrationsvariable ein. Damit erhalten wir

F( ) - oof r -sid _ oofu r-u 1 d _ -(r+1) oof r -Ud

S - t e t- -e - u-s u e ur S

o 0 s 0

Dnter Verwendung der Gammafunktion, die durch das Integral

(4.20)

r(z)= ftZ-1e-tdt (4.21)

odefiniert ist, fo1gt aus Gl. (4.20)

5Z { t r} = S -(r+l) r(r +1) und wir erhalten die Korrespondenz

r r(r+ 1)t 0-.sr+1

(4.22)

Die Zah1enwerte der Gammafunktion findet man in mathematischen Tabellenwerken und auf manchen Taschenrechnem.


Ausgehend von der Defmitionsgleichung der Gammafunktion erhiHt man durchpartielle Integration mit

u = t z - 1 => u' = (z _l)t z - 2 und v' = e-t => v = _e-t

r(z) = JtZ-le-tdt=[-tZ-le-t]; + (Z-I)JtZ-2 e-fdt = (Z-I)JtZ-2 e-fdt

o 0 0Wir erhalten somit fur die Gammafunktion die Rekursionsformel

r(z) = (z -l)r(z -1) (4.23)

d.h. eine Formel, die es gestattet, bei einem bekannten Funktionswert, denFunktionswert fur ein urn 1 vergroBertes Argument zu berechnen.

So erhiilt man aus r(1) = fe-Sf dt = 1 mit der Rekursionsformel

or(2)=lr(1)=I=I! r(3)=2r(2)=2=2! r(4)=3r(3)=6=3!

und schlieBlich durch fortgesetztes Anwenden der Rekursionsformel furnatiirliche Zahlen n

r(n+l)=n! (4.24)

1st die reelle Zahl r in der Korrespondenz (4.22) im Sonderfall eine natiirlicheZahl n, so geht mit Gl. (4.24) die Korrespondenz (4.22) in die Korrespondenz(4.19) uber. Fur die Anwendungen in der Elektrotechnik werden manchmal dieLaplace-Transformierten der Zeitfunktionen

f(t)=Jt bzw. f(t)= ~ benotigt. Mit

r(21) -- e1t und rf

2

3) -- J;.21t

,,1t ~ l erhiilt man die Korrespondenzen

und

~o-.~ (4.25)

(4.26)


4.3.2 Additionssatz

Satz 4.10: Additionssatz

Gelten fur i = 1,2,3, ... ,n die Korrespondenzen

fi(t) 0-. Fi(s) = fJi(t)e-Sfdt, sofolgt

o

53

n

Iai Ji(t)

i=l

n

0-. Iai Fi(s)

i=l

(4.27)

Beweis: Es gilt mit der Definition der Laplace-Transformationn OOn n n

I ai .fi(t) 0 -. fI ai .fi( t) e-sf dt = I ai f.fi( t)e-sf dt = I ai Fj(s) ,

i=l 0 i=l i=l 0 i=l

da das Integral einer Summe von Funktion gleich ist der Summe der Integraleund die konstanten Faktoren ai jeweils vor die Integrale gesetzt werden k6nnen.

Durch die Laplace-Transformation wird eine Linearkombination vonOriginalfunktionen .fi(t) in die analoge Linearkombination von Bildfunktionen

Fj(s) abgebildet.

Eine Transformation mit dieser Eigenschaft heiBt lineare Transformation.

Insbesondere folgt aus der Linearitat der Laplace-Transformation, dass dema-fachen einer Originalfunktion f( t) auch das a-fache ihrer Bildfunktion F(s)

entspricht. Dies hat zur Folge, dass eine Korrespondenz, die ja keineswegs eineGleichung darstellt, wie eine Gleichung, mit einem konstanten Faktormultipliziert werden darf. So kann z.B. die Korrespondenz

nl t n It n 0-. _.- in - 0-. --sn+l n! sn+l

umgeformt werden. Ersetzt man noch n durch n - I, so erhalt man die fur dieinverse Laplace-Transformation oft zweckmaBigere Aussageform

.-0Sn (n-I)!

(4.28)


Aus den Euler'schen Gleichungenund

Beispiel 4.6. Zur Originalfunktion I( t) = 2t3 - 5t2 + 3 solI die Bildfunktion

F(s) bestimmt werden.

Mit dem Additionssatz erhiilt man

3! 2! I 12-IOs+3s2F(s)=2--5-+3- = ---,------

s4 s3 s s4

Die additive Konstante 3 der Originalfunktion kann als 3 e(t) interpretiert

werden, da ja nur Zeitpunkte betrachtet werden, die gral3er als Null sind und furdiese Zeitpunkte hat die Sprungfunktion den Wert I.

Beispiel 4.7. Man bestimme die Laplace-Transformierten der Zeitfunktionen

fi(t)=sin(wt) und h(t)=cos(wt).

e j liJ t = cos(wt) + jsinewt)e- j liJ t = cos(wt) - jsin(wt)

folgt durch Addition, bzw. Subtraktion der beiden Gleichungen

sin(wt) = ij(e jllJt - e-jllJt ) und cos(wt) =+(e jllJ t + e-jllJt )

Die gesuchten Bildfunktionen erhalten wir dann mit dem Additionssatz

Fl (s) =~[_1 1_]= ----=-_w_____=_2j s- jw s+ jw s2 +w2

und

F2(S)=![_I_+_I-]= s2 s- jw s+ jw s2 +liJ2

Damit ergeben sich die Korrespondenzen

sin (wt)w0-.

s2 + w2

cos (wt)s0-.

s2 + w2

(4.29)

(4.30)


Beispiel 4.8. Man bestimme die Originalfunktion j{t) zu den folgendenBildfunktionen

a) F(s)= 3s+8s2 +16

und b)2

F(s)=5s +3s+8s3

a) Mit der Zerlegung der Bildfunktion F(s) = 3s + 8 in die Teilbriiches2 +16

F(s)= 3s+8 =3 s +2 4s2 +16 s2 +42 s2 +42

erhalt man unter Verwendung der Korrespondenzen (4.29) und (4.30)

f( t) = 3cos(4t) + 2sin(4t)

2b) Durch Zerlegen der Bildfunktion F(s) = 5s + 3s + 8 in die Teilbriiche

s3

1 1 1F(s)=5- + 32 + 8-

s S s3

und gliedweises Transformieren in den Zeitbereich erhalt man die Originalfunktion

f(t)=5+3t+ 4t2 .

Entsprechend der Korrespondenz .!... - 0 £( t) gilt ~. - 0 5£( t) .S s

Da die Sprungfunktion fUr die hier nur betrachteten Zeitwerte t > 0, denWert 1 annimmt, kann anstelle von 5£(t) auch einfach 5 geschrieben werden.

Ubungsaufgaben zurn Abschnitt 4.3.2 (Losungen im Anhang)

Aufgabe 4.7. Man berechne die Laplace-Transformierten F(s) zu den folgendenZeitfunktionen

a) f(t)=t 4 -3t2 +5

c) f(t) = 2sin(t)-3cos(t)

e) f(t) = sinh(at)

b) f(t) = 3e-2t +5e-3t

t

d) f(t)=2t 2 -e-"2

f) f( t) = cosh(at)


Aufgabe 4.8. Zu den folgenden Bildfunktionen F(s) sollen die zugehOrendenOriginalfunktionen f(t) bestimmt werden.

s4 - 3s3 + 5s - 7 b)6 8

a) F(s) = F(s)=---s5 s+5 s-2

c)1 3

d) F(s) = 5s+3F(s) = --+-2s -5 s2 s2 +1

e) F(s) =2s +15

4s2 +9

4.3.3 Verschiebungssatz

Der Verschiebungssatz macht eine Aussage tiber die Laplace-Transformierteeiner zeitlich verschobenen Originalfunktion.

gegentiber der zum Zeitpunkt t = 0einsetzenden Zeitfunktion f( t) urn

das Zeitintervall to verschoben.

a

Bild 4.10 Zeitfunktionenj(t) undf"'(t)

So ist die Funktion

{

f(t - to)f*(t) =

ot > to

t < to

Wesentlich ist, dass die hier betrachtete Zeitfunktion f* (t) durch eine reine

Verschiebung der zum Zeitpunkt t = 0 einsetzenden Funktion f(t) entstanden

ist, die ja als eine kausale Zeitfunktion fur Zeitpunkte t < 0 den Wert Null hat.

Diese erst ab dem Zeitpunkt t = to vorhandene Funktion f* (t) kann auch durch

f*<t) = f(t - to) £(t - to) ausgedriickt werden, da der Faktor £(t - to) fur

Zeitpunkte t < to den Wert 0 und fur Zeitpunkte t > to den Wert 1 hat.


Satz 4.11: Verschiebungssatz

57

(4.31)

Hat die zum Zeitpunkt t = 0 einsetzende Zeitfunktion f( t) die Laplace

Transformierte F(s), so ist die Laplace-Transformierte der zeitlich urn

t = to verschobenen Zeitfunktion f* (t) gegeben durch F * (s) = F(s)e-sto ,

d.h. es gilt:

f(t) 0-. F(s) => f(t-to)£(t-to) 0-. F(s)e-S'O

Beweis:

Mit der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation erhalt man

2'{ f*(t)} = ff(t-to)e-sl dt = ff(t-to)e-{(t-/o)+to}sdt

10 10

Durch Einfuhren einer neuen Integrationsvariablen r = t - to geht die untere

Integrationsgrenze t1 = to tiber in r1 = 0 , wahrend die obere Integrationsgrenze

t2 = 00 unverandert in '!"z = 00 tibergefiihrt wird. Damit wird

~

2' {J*(t)} = e-S1o ff(r)e- ST dr = e-S10 2' {J(t)}

o

Eine Verschiebung einer Zeitfunktion f(t) mit der Laplace-Transformierten

F(s) urn ein Zeitintervall to hat im Bildbereich der Laplace-Transformation eine

Multiplikation der Bildfunktion F(s) mit dem Faktor e-slo zur Folge.

Bildfunktionen mit einem derartigen Faktor e-slo ergeben im OriginalbereichZeitfunktionen, die erst zum Zeitpunkt t = to einsetzen und fur Zeitpunktet < to den Wert Null haben.

Da in der Elektrotechnik haufig Strome oder Spannungen betrachtet werden, dieerst von einem Zeitpunkt t = to ab wirksam werden, wird dieser Satz in denAnwendungen der Laplace-Transformation oft beniitzt.


Satz 4.12: Laplacetransformierte einer periodischen Zeitfunktion

Eine Zeitfunktion f( t) entstehe durch periodisches Fortsetzen der Funktion

{definiert fUr O:s; t :s; T

fo(t)= .....o fUr aIle ubngen Zeltpunkte

Dann gilt

fo(t) 0-. FO(s) => f(t)o-. F(s) = _---'Fo"-'(s--'-)_1 - e-ST (4.32)

fo(t)

o T ~/)tOT 2T 3T t

Bild 4.11 Zeitfunktionfo(t) und periodische Funktionj(t)Beweis:Fur die periodische Zeitfunktion f( t) gilt

f(t)= fo(t)+ fo(t-T)c(t-T)+ fo(t-2T)c(t-2T)+···

Bei bekannter Korrespondenz fo(t) 0-. FO(s) erhalt man mit dem

Verschiebungssatz

F(s) = Fo(s)ll+e-sT +e-2sT +... J=Fo(s)b+e-ST + (e-sT)2 + ... J

Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist eine unendliche geometrische Reihe

mit dem Faktor q = e-sT . Die unendliche Reihe konvergiert wegen

Iql=le-STI =e-o-tle-iliJtl < 1

fUr cr > 0, eine Bedingung, die in der Konvergenzhalbebene der Sprungfunktion( (J' > 0), erfiiIlt ist.Mit der Summenformel der konvergenten unendlichen geometrischen Reihe

23 1S=l+q+q +q + ... =--

l-q

ergibt sich schlieBlich fUr die Laplace-Transformierte der periodischenZeitfunktion.f{t)

F(s) = Fo(s)l_e-sT


Beispiel 4.9. Gegeben ist die zum Zeitpunkt t = to einsetzende Sprungfunktion

59

e(t-to)={~ fUr t < tofUr t> to

J(t)

Es solI die zugehorige BildfunktionF(s) bestimmt werden.

o

Bild 4.12 Funktionsverlauf

j(t)=e(t-tO)

Aus e(t) 0 - • .!. folgt mit dem Verschiebungssatz fur die gesuchte Bildfunktions

-s/oF(s) = 2'{e(t-to)} = _e_

s

Beispiel 4.10. Es solI die Laplace-Transformierte eines zum Zeitpunkt t = 0einsetzenden Rechteckimpulses der Impulsdauer T und der ImpulshOhe Abestimmt werden.

A

J(t)

t

jet)Ae(t)

Af-----------

oa)

ob) -Ae(t - T)

Bild 4.13 Recbteckimpuls (a) und Zerlegung des Impulses in zwei Teilfunktionen (b)

Entsprechend der Zerlegung des Rechteckimpulses in zwei Teilfunktionen nachBild 4.13 erhl:ilt man fUr die Originalfunktion die Darstellung

J(t) = A [e(t) - e(t - T)]

und durch Anwenden des Verschiebungssatzes die gesuchte Bildfunktion

F(s) = A(l_e-sr )s

In diesem einfachen Beispiel kann die Bildfunktion F(s) auch durch das LaplaceIntegral


" ["F(s)~ JAe-stdt~A e~:t] ~: [1-e-"1o 0

berechnet werden. In weniger einfachen Hillen ist es vorteilhaft, mit Hilfe desVerschiebungssatzes Integrationen zu vermeiden.

Beispiel 4.11. Man bestimme die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

fiir 0::;; t ::;; to

j(t)

..J +------,.

o

Bild 4.14 Zeitfunktionj{t)

j(t)={ AAe-2(t - to) fiir t> to

Die Zeitfunktion jet) kann in einem

zum Zeitpunkt t = 0 einsetzenden

Rechteckimpuls der Impulsdauer to

und einer zur Zeit t = to beginnendenExponentialfunktion zerlegt werden(Bild 4.14).

Entsprechend dieser Zerlegung ergibt sich fiir die Zeitfunktion fit) dieDarstellung

j(t) = A [e(t) - e(t - to)]+ A e-2(t-to)e(t - to)

und mit dem Verschiebungssatz die zugehOrige Laplace-Transformierte

A [ -st ] A -stF(s)=- l-e 0 +--e 0

s s+2

Beispiel 4.12. Es soli die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

{

At fiirO::;;t::;;1"jet) = r

o fUr t>1"

bestimmt werden.Entsprechend der Zerlegung der Funktion j( t) in drei Teilfunktionen nach Bild

4.15 gilt


A

o

J(t)

A

t

o

-A

Bild 4.15 ZeitfunktionJCt) und ihre Zerlegung in Teilfunktionen

DUTCh Laplace-Transformation unter Verwendung des Verschiebungssatzeserhalt man

F( ) - A [1 -ST] A -STS --- -e --eTS2 s

e-2sBeispiel 4.13: Gegeben ist die Bildfunktion F(s) = --. Gesucht ist die

s+3zugehorige Originalfunktion J(t).

Aus der Korrespondenz _1_. - 0 e- 3t folgt mit dem Verschiebungssatzs+3

{

-3(t-2) fur t? 2 3( 2)J(t) = e bzw. J(t) = e- t- e(t - 2)

o fur t<2

Beispiel 4.14.

Man bestimme die Laplace-Transformierte F(s) der im Bild 4.16 a dargestelltenperiodischen Zeitfunktion J(t) .

f(t) fo(t)

A r-1 r- A

I I I tI I I

0 IT 2T0 I IT

I I I-A -A ~

Bild 4.16 a Periodische Zeitfunktion JCt) Bild 4.16 b Zeitfunktion faCt)


Die Zeitfunktion fo (t) kann mit Hilfe von £ - Funktionen wie folgt dargestellt

werdenfo (t) = A£(t) - 2A£(t - T / 2) +£(t - T)

fo (t) 0 -. FO (s) = : [1- 2e-sT / 2 +e-sT ] = : [1- e-sT / 2YMit Satz 4.12 folgt fUr die Laplace-Transformierte der T-periodischenZeitfunktion

(1- e-sT / 2 ) (1+e-sT / 2 )

A l_e-sT / 2F (s) = - -------:::-c-::

S l+e-sT / 2


Aufgabe 4.9. Man bestimme die Bildfunktionen F(s) zu den folgendenOriginalfunktionen

f(t)={(t~I)2 fUr t;:::1 f(t)~{ ; fUr 0:-::::t:-::::3a) b)

fUr t<1 fUr t>3

{ sin( t) fUr t:-:::: Jr

f(t)~{ ~O:-::::t<1

c) f(t)=fUr t > Jr

d) l<t:-::::20 t > 2

f(t)~{ ~-2O:-::::t<1

e) 1< t:-:::: 2t>2

Aufgabe 4.10.

Man berechne die Laplace-Transformierte F(s) eines Rechteckimpulses derImpulshohe A, der zur Zeit t1 beginnt und zum Zeitpunkt t2 endet


Aufgabe 4.11. Man bestimme die Laplace-Transformierte F(s) der Zeitfunktion

t

A{

.it fUrt~2j(t)= 2

A e-(t-2) fUr t > 2

Der Verlauf dieser Zeitfunktionj(t) ist ino 2

Bild 4.17 dargestellt..Bild 4.17 Zeitfunktionj(t)

( -sT)Aufgabe 4.12. Zur Bildfunktion F(s) = 0) 1- e mit der Kreisfrequenz

s2 + 0)2

21l0) = T soIl die Origina1funktion j( t) bestimmt werden.

Aufgabe 4.13. Es sollen die Originalfunktionenj(t) zu den folgenden

Bildfunktionen bestimmt werden.

a)e-2s

b)e-5s

F(s) =- F(s) =-S2 S4

1tS2 1 -2sse -e

c) F(s)=-- d) F(s) =S3s2 +25

F(s) =(-!___l_)(1_e-S ) f)6e-s

F(s)-e)s s+2

- (s + 2)4

g) F(s)=!(l-e-S )- e-s

h) F(s) = ~(l_e-S)+(_l_ _ ! )e-2Ss s+2 S2 s + 2 s

64

4.3.4 Dirac'sche Deltafunktion


Bevor wir uns weiter mit Regeln der Laplace-Transformation beschaftigen, ist eszweckmaJ3ig, eine spezielle Zeitfunktion, die Deltafunktion, zu betrachten, dieinsbesondere auch in den Anwendungen der Laplace-Transformation in derElektrotechnik eine wichtige Rolle spie1t.Die Deltafunktion wurde 1947 von dem Englander Paul D ira c durch dieEigenschaften

c5( t) = 0 :fUr alle t:#: 0(4.32)

fc5(t)dt = 1 (4.33)

eingeflihrt. Da diese Gleichungen die De1tafunktion nicht eindeutig definieren,verwendet man heute fo1gende Festlegung:

Definition 4.5

Die durch die Eigenschaft~

fc5( t)f( t)dt = f(O) (4.34)

definierte Funktion ~t), heiJ3t Deltafunktion, wobei j{t) eine beliebige, an derStelle t = 0 stetige Funktion ist.

Aus der Definitionsg1eichung (4.34) folgen die urspriinglich von Diracgeforderten Eigenschaften der De1tafunktion. So erhalt man etwa Gl. (4.33) ausGl. (4.34) durch Einsetzen der Zeitfunktionj{t) = 1.Anschau1ich gesehen, ergibt sich :fUr die De1tafunktion an der Stelle t = 0 einunendlich groJ3er Funktionswert. Man findet daher auch die Angabe

c5 t = {O flir t:#:O() oo:fUr t = 0

Eine Funktion mit den Eigenschaften der Deltafunktion ist im Rahmen derklassischen Analysis nicht vorstellbar. Die Deltafunktion wurde daher vielfachals "Pseudofunktion" bezeichnet und fand erst in einer neuen mathematischenDisziplin a1s "Distribution" oder "verallgemeinerte Funktion" eine Erklarung.Man kann eine Distribution oder verallgemeinerte Funktion als Grenzwert einerFo1ge von gewohnlichen Funktionen definieren.


Satz 4.13:

Es sei {gn(t)} eine Folge von gewohnlichen Funktionen mit der Eigenschaft

65

lim fgn (t)f( t)dt = f(O)n~oo

dann giltlim gn(t)=c>(t)n~oo

(4.35)

(4.36)

Alle Funktionsfolgen von Bild 4.18 sind Folgen von kausalen Zeitfunktionen, die01. (4.35) erfiillen. In der Mathematik werden im allgemeinen Funktionsfolgengewiihlt, die symmetrisch zu t = 0 verlaufen. Wir wollen uns jedoch hier imRahmen der Laplace-Transformation auf Folgen kausaler Zeitfunktionenbeziehen.

n

on

n

on

2n

n

o

ne

on

Bi1d 4.18 Funktionsfo1gen gn(t)

Jede diese Folge von Funktionen ist auch normiert, d.h. es gilt


Die Funktionenfolgen gn(t) sind physikalisch als Folgen von Impulsen derImpulsflache I interpretierbar, die mit wachsenden n kiirzer und haher werden.Die Deltafunktion beschreibt daher einen idealisierten Impuls der ImpulsflacheI, dessen Impulsdauer gegen Null geht. Sie heiJ3t deshalb auch Impulsfunktion(Deltaimpuls) und wird graphisch durch einen Pfeil der Lange I ( Bild 4.19 )dargestellt.

1

o

8(t)

t

1

o

8(t - to)

to

t

Bild 4.19 Deltafunktion und zeitlich verschobene Deltafunktion

Fur die zeitlich verschobene Deltafunktion 8( t - to) , d.h. fur einen Deltaimpuls

zurn Zeitpunkt t = to gilt analog zu 01. (4.34)

f 8(t-tO) f(t)dt = f(to)

(Ausblendeigenschaft der Deltafunktion)

(4.37)

Da die Funktion 8(t - to) nur zum Zeitpunkt t = to von Null verschieden ist, gilt

fur das Produkt einer Zeitfunktion f( t) mit der Deltafunktion 8(t - to)

und insbesondere auch

f(t) 8(t) = f(O) 8(t)

(4.38)

(4.39)

Ais eine besonders einfache Folge von kausalen Zeitfunktionen, die gegen dieDeltafunktion konvergieren, wollen wir eine Folge von Reckteckimpulsenbetrachten, deren Impulsflache stets 1 ist und deren Impulsdauer r gegen Nullkonvergiert.Wir erhalten damit fur die Deltafunktion eine mogliche Darstellung derfolgenden Form


5(t) = lim £( t) - £(t - r),,~o r

Mit dem Verschiebungssatz erhalten Wirfur die Laplace-Transformierte F(s) derDeltafunktion

1r

o

f(t)

Bild 4.20 Rechteckimpuls

t

67

F (s) = lim ..!.[..!. __e-_S_,,] =..!. lim _l_-_e_-_s

"_,,~o r s s s ,,~o r

oDa der letzte Ausdruck fur 't ~ 0 unbestimmt von der Form - wird, konnenonach der Regel von L'Hospital Zahler und Nenner nach der Variablen r desGrenziibergangs differenziert und dann der Grenziibergang durchgefiihrt werden.Man erhalt

1 . se-SfF(s)=- hm --=1

s ,,~o 1Es ergibt sich damit die wichtige Korrespondenz

5(t) 0-. (4.40)

Der Originalfunktion j{t) = 5(t) entspricht im Bildbereich die Funktion

F(s) = 1. Die in ihrer Definition etwas problematische Deltafunktion hat einebesonders einfache Laplace-Transformierte.Fiir die Funktionj{t) = 5(t - to) , einem Deltaimpuls zum Zeitpunkt t = to, erhalt

man mit dem Verschiebungssatz die Korrespondenz

5(t-tO) 0-. e-sto (4.41 )

Wir wollen nun einen Zusammenhang zwischen der Ableitung derSprungfunktion und der Deltafunktion herleiten.

Die Funktion j{t) von Bild 4.21 steigt im Zeitintervall von 0 bis r linear vom

Funktionswert 0 auf den Wert 1 an und behalt diesen Wert fUr t > r bei. rhreAbleitung hat dementsprechend fur 0 < t < r den Wert 1/r fur aIle anderenZeitpunkte den Wert Null.


1m Grenzfall T ~ 0 geht die Funktionj(t) in die Sprungfunktion E(t) und ihreAbleitung in die Deltafunktion uber.

tf... t)

I 1

tlim

0 T 'l"~O 0

df(t) ~t)

dt

T 1t

lim0 T 'l"~O 0

Bild 4.21 Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktion

Fur die Ableitung der Sprungfunktion gilt

de( t) _ {O fUr t:t 0dt nicht definiert fUr t = 0

Es kann daher die Deltafunktion nicht als die "ubliche" Ableitung derSprungfunktion e(t) aufgefasst werden.

Man bezeichnet daher die Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung derSprungfunktion und schreibt dafUr

D e(t) = b( t), (4.42)

wobei D (Derivation) als Symbol flir die verallgemeinerte Ableitung gewahltwurde.Die verallgemeinerte Ableitung stimmt an allen Stellen, an denen dieZeitfunktion j(t) stetig ist mit der von der Analysis her bekannten "ublichen"Ableitung uberein. Am Unstetigkeitsstellen, an denen diese Ableitung nichtdefiniert ist, spielt die Deltafunktion eine wesentliche Rolle (s. Abschn. 4.3.12).


4.3.5 Dampfungssatz

Satz 4.14: Diimpfungssatz

69

Entspricht einer ZeitfunktionfCt) die Laplace-Transformierte F(s), so entspricht

der gedampften Zeitfunktion f( t) e-at die Laplace-Transformierte F(s + a).

f(t) 0-. F(s) ~ f(t)e- at 0-. F(s+a) (4.43)

Beweis:Zum Beweis greifen wir auf die Definitionsgleichung der Laplace - Transformation zuriick und erhalten

f(t)e- at 0-. ff(t)e-ate-stdt= ff(t)e-<s+a)t dt

o 0

Das letzte Integral unterscheidet sich von der Laplace-Transformierten derFunktion f( t) , namlich

F(s)= ff(t)e-stdt

onur dadurch, dass die komplexe Variable s durch s + a ersetzt ist.

Die Laplace-Transformierte der ZeitfunktionfCt)e-at unterscheidet sich von derLaplace-Transformierten der Funktion f (t) nur dadurch, dass s durch

s + a ersetzt ist.

Wir hatten gesehen, dass eine Verschiebung urn to irn Zeitbereich einen Faktor

e-sto im Bildbereich zur Folge hat (Verschiebungssatz).

Umgekehrt bedingt ein Faktor e-a t bei der Zeitfunktion eine Verschiebung irnBildbereich. Der Dampfungssatz wird daher auch als 2. Verschiebungssatz(Verschiebung im Bildbereich) bezeichnet.

Der hier gewahlte Name "Dampfungssatz" ist inhaltlich nur dann gerechtfertigt,

wenn Re a > 0 ist, d.h. wenn der Faktor e-a t wirklich zeitlich abklingt. Bei denAnwendungen in der Elektrotechnik ist dies i. aUg. der Fall.

Der Satz gilt aber auch fUr zeitlich ansteigende Faktoren e-at bei Re a < O.


Beispiel 4.15. Es soli die Laplace-Transforrnierte der Zeitfunktion

I( t) = e-3tsin(2t)

bestimmt werden.

Aus der Korrespondenz sin(2t) 0 -. +- folgt mit dem Dampfungssatz,s +4

indem man wegen des zusatzlichen Faktors e-3t die Variable s durch s + 3ersetzt

e-3tsin(2t) 0-. 2(s+3)2+ 4

2

s2 +6s +13

Beispiel 4.16. Gesucht ist die zu der verzogert einsetzenden Originalfunktion

I( t) = 5(t - 1") e-2(t-r)e(t - 1")

gehOrende Bildfunktion F(s).

f(t)

o ,

Gehen wir aus von der Korrespondenz5

5t O-.-

s2

Um die Laplace-Transformierte F(s)

der gedampften Zeitfunktion 5te-2t zu

erhalten, miissen wir mit demDampfungssatz die Variable s durchs + 2 ersetzen

Bild 4.22 Zeitfunktion

Wir finden damit die nachfolgende Korrespondenz

5te-2t 0-. 5(s + 2)2

Die gegebene, verzogert einsetzende Zeitfunktion

I( t) = 5(t - 1") e-2(t-r)e(t - 1")

entsteht aus der Zeitfunktion 5te-2t durch eine Verschiebung um das Zeit

intervall 1". Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich schlieBlich die gesuchteBildfunktion

F(s) = 5 e-sr(s + 2)2


Beispiel 4.17. Gegeben ist die Bildfunktion F(s) = 2 s+5 Es soll dies +2s+1O

zugehorige Originalfunktion j (t) ermittelt werden.

Die Bildfunktion F(s) kann umgeforrnt werden in

F(s) = s+5 s+l +~ 3(s+1)2 +9 (s+1)2 +32 3 (s+1)2 +32

Mit den bekannten Korrespondenzen

sin(wt) 0 -. OJ und cos(a t) 0 _. ss2 + w2 s2 + w2

folgt unter Beachtung des Dampfungssatzes

j( t) = [ cos(3 t) +~ sin(3 t)] e-t

Beispiel 4.18. Man bestimme die Originalfunktion zur Bildfunktion1

F(s) = 2 .(s +a)

1Wir betrachten zunachst nur die Bildfunktion F(s) =2' Aus der bekannten

s1

Korrespondenz - 0 -. t folgt unter Verwendung des Dampfungssatzes furs2

die gesuchte Zeitfunktion j( t) = t e-at.


Aufgabe 4.14. Man bestimme die Bildfunktionen F(s) zu den folgendenZeitfunktionen

a) jet) = t 2 e-51 b) jet) = t4 e31

c) jet) = e-otcos(wt) d) jet) = e-2tcosh(t)

e) jet) = (1+te- I )2 f){ e-2(1-I),in(1 - J) furt~l

jet) =0 furt<l


Aufgabe 4.15. Man ermittle die Originalfunktionenj(t) zu den BildfunktionenI 1 s+ I

a) F(s) = b) F(s) = c) F(s) = --=---s2 +2s+l s2 +4s+8 s2 +2s-3

I -2s -3sd) F(s) = 3 e) F(s) = e f) F(s) =--=-e__

(s + a) (s + 1)3 s2 + 2s + 5

I -3s r=g) F(s) = -e h) F() vJ!

(s + 2)2 s = 1.(s + 3)2

4.3.6. Partialbruchzerlegungen

Bei den Anwendungen der Laplace-Transformation sind die dabei auftretendenBildfunktionen im Allgemeinen echt gebrochen rationale Funktionen

Z( ) n n-lF(s)=_s_= ans +an_ls +···+als+aO

N(s) bmsm+bm_lSm-l+ ... +q s+bo

der Variablen s. Zahler Z(s) und Nenner N(s) sind ganze rationale Funktionen(Polynome) vom Grad n bzw. m, wobei bei einer echt gebrochen rationalenFunktion der Grad des Zahlers kleiner ist als der Grad des Nenners. DieKoeffizienten ai und bk sind reelle Zahlen.Die inverse Laplace-Transformation, d.h. die Bestimmung der zugehOrigenOriginalfunktion j(t) kann mit der im Abschnitt 4.2 behandelten Residuenmethode durchgefiihrt werden. Dazu miissen die Pole der Bildfunktion F(s)bekannt sein. Die Bestimmung der Pole [= Nullstellen des Nenners N(s)] fiihrtzu der Aufgabe, die algebraische Gleichung m-ten Grades

N(s)=bmsm +bm_1Sm- l +···+qs+bO =0

zu losen. Zur Berechnung der Losungen dieser algebraischen Gleichung m-tenGrades werden fUr m > 2 meist Naherungsverfahren verwendet, derenDurchfiihrung mit den heutigen elektronischen Rechenhilfsmitteln imAllgemeinen unproblematisch ist.Sind die Nullstellen si des Nenners bekannt, so kann der Nenner in ein Produktvon Linearfaktoren zerlegt werden und man erhlilt fUr die Bildfunktion

F(s) = Z(s)bm (s - sl)(s - sz)··· (s - sm)


Eine auJ3erordentlich wichtige Methode der inversen Laplace-Transformationbesteht darin, die Bildfunktion F(s) in moglichst einfache Partialbriiche(Teilbriiche) zu zerlegen und diese unter Verwendung des Additionssatzesgliedweise in den Originalbereich zu transformieren.Ie nach der Art der auftretenden Pole der Bildfunktion F(s) ergeben sich fur diePartialbruchzerlegung die folgenden Fane.

a) Bildfunktion mit nur einfachen reellen Polen

Satz 4.15:

Hat die echt gebrochen rationale Bildfunktion F(s) nur einfache reelle Poles = sk (k = I, 2, ... , m), so gilt folgende Partialbruchzerlegung

Al Az Ak AmF(s)=--+--+ ... + --+ ... +-- (4.44)

S-SI S-Sz S-Sk S-Sm

Beweis:Ais Nenner der Teilbriiche kommen alle Faktoren des Nenners von F(s) in Frage.Da F(s) eine echt gebrochen rationale Funktion ist, miissen auch dieTeilfunktionen, in die F(s) zerlegt wird, echt gebrochen rational sein. Darausfolgt, dass die Zahler der Teilbriiche konstante Zahlen sind.

Satz 4.16:

1st die Bildfunktion F(s) eine echt gebrochen rationale Funktion mit nureinfachen reellen Polen S = sk, so gilt fur die zugehorige Originalfunktion

m

1(/)= L Ak eSkf

k=l

(4.45)

wobei die Koeffizienten Ak die Zahler der Partialbruchentwicklung von F(s) sind.Diese Aussage wird auch Heaviside'scher Entwicklungssatz genannt.

Beweis:Ausgehend von der Partialbruchzerlegung der Bildfunktion F(s) nach Gl. (4.43)erhalt man mit der Korrespondenz

Ak S f-- .-0 Ak e ks-sk

unter Verwendung des Additionssatzes die Aussage des zu beweisenden Satzes.


Nachdem sowohl die allgemeine Form der Partialbruchzerlegung derBildfunktion F(s) , als auch die allgemeine Form der Originalfunktionj(t)

feststehen, miissen noch die Zahler Ak der Teilbriiche berechnet werden. Dashierfur zweckmaBige Verfahren besteht darin, die Bildfunktion mit demHauptnenner der Teilbriiche, d.h. mit dem Produkt der Teilnenner

N(s) = (s - sl)(s - s2)'" (s - sm)

zu multiplizieren. In die dadurch erhaltene Gleichung, die fur alle Werte von S

giiltig ist, werden fur die komplexe Variable S nacheinander m "giinstige" Werteeingesetzt. Gi.instige s-Werte sind in diesem Falle die Poistellen sk. Auf dieseWeise entstehen m Gleichungen fur je einen unbekannten Zahler Ak'In vielen Fallen ist jedoch eine Formel zur Bestimmung der Ak zweckmaBig.Multipliziert man den Ansatz zur Partialbruchzerlegung

Aj Az Ak AmF(s)=--+--+ ... + --+ ... +--S-Sj S-Sz S-Sk s-sm

mit dem Faktor (s - sk), so folgt

( )F( )- Aj(s-sk) AZ(s-sk) A Am(s-sk)s-sk S - + + ... + k+ ... +----"'-'---"'-'-

S-Sj s-sz s-sm

Da die Poistellen nach Voraussetzung alle verschieden sind, kiirzt sich der Faktor(s - sk) nur bei dem Teilbruch mit dem Zahler Ak' Setzt man in die neuentstandene Gleichung fur S den Wert sk ein, so folgt

(4.46)

Die Bildfunktion F(s), die in Teilbriiche zerlegt werden solI, wird mit (s - sk)multipliziert. Der dadurch entstehende Ausdruck wird durch Einsetzen derPoistelle sk fur die Variable s unbestimmt von der Form "Null· Unendlich". Daaber der Nenner von F(s) den Linearfaktor (s - sk) enthalt, entsteht durchKiirzen dieses Faktors ein Ausdruck, in den fur S der Wert sk eingesetzt werdenkann.

Mit F(s) = Z(s) kann Gl. (4.46) umgeformt werden inN(s)

Wir betrachten nun den in Gl. (4.47) auftretenden Ausdruck


lim (N(S) J. Kfuzt man diesen Ausdruck nun nicht mit S - sk, wass~sk s-sk

moglich ist, da der Linearfaktor S - sk im Nenner N(s) enthalten ist, so ist er

unbestimmt von der Form .2. .Aufunbestimmte Ausdriicke dieser Form kann dieoRegel von L'Hospital

[dN(S)]

lim (N(S) J= lim -------;;;- [dN(S)]s ~ Sk S - sk s ~ Sk 1 ds S = Sk

angewendet werden. Damit geht Gl. (4.47) tiber in

Z(S) = Z(sk)

(dN(S») [dN(S)]

ds ds s=sk

(4.48)

In manchen FiHlen ist Gl. (4.48) zur Berechnung der Zahler Ak der Tei1bruchebesser geeignet a1s Gl. (4.46).

Beispiel 4.19. Zur Bildfunktion F(s) = __1_s(s -1)

soIl durch Partialbruchzerlegung von F(s) die zugehOrige Zeitfunktion f( t)

bestimmt werden.

Die Bi1dfunktion F(s) hat die einfachen reellen Pole s, = 0 und S2 = 1.Ffu F(s) ergibt sich damit die Partialbruchzerlegung

F(s) = 1 = ~ + A2

s(s-l) s s-l

Multiplizieren dieses Ansatzes zur Partia1bruchzerlegung mit dem Hauptnennerder Bi1dfunktion N(s) = s(s - 1) ergibt

1= Al (s -1) + A2s

s = 0: 1= Al (-1) => Al =-1

s = 1: 1= A2

Gl. (4.46) ergibt analog:


Al =[~] =-1 und A 2 =[!] =1s 1 s=o s s=1

Die Partialbruchzerlegung der Bildfunktion lautet damit

1 1F(s)=--+-.

s s-I

Durch gliedweises Ubersetzen in den Zeitbereich erhalt man die zugehorigeOriginalfunktion

f(t)=-I+e t

ZBeispiel 4.20: Gegeben ist die Laplace-Transformierte F(s) = 2s + 3s -I

s3 -s

Man bestimme die Originalfunktion f(t).

Die Bildfunktion F(s) hat die einfachen reellen Pole s, = 0, Sz = I unds3 = - 1. Damit ergibt sich der folgende Ansatz zur Partialbruchzerlegung

F(s)=~ + A2 + A3

s s-I s+l

Mit der Ableitung des Nenners dN(s) = 3sZ -I erhalt man mit Gl. (4.48)ds

Al =[2S2

+3S-I] =1, A 2 =[2S2

+3S-I] =2,3s2 -I 3s2 -1

s =0 s =1

A3

= [2S2

+3S-I] =-13s 2 -I

s=-I

Der Bildfunktion F(s) = ! + _2_ - _1_ entspricht damit die Zeitfunktions s-I s+1

f(t) =1+2et _e-t

Selbstverstandlich konnen die Zahler Ak auch durch Multiplizieren des Ansatzeszur Partialbruchzerlegung mit dem Nenner N(s) = s(s - I)(s + 1) undanschlieBendem Einsetzen giinstiger s-Werte (Sl = 0, Sz = 1 und s3 = -I)berechnet werden.


b) Bildfunktion mit mehrfachen reellen Polen

Es sollen nun Bildfunktionen F(s) betrachtet werden, die neben einfachen reellenPolen auch mehrfache reelle Pole haben.

Satz 4.17:

1st F(s) eine echt gebrochen rationale Bildfunktion, die bei s = So eine k-fachePolstelle besitzt, so gilt fur sie die folgende Partialbruchzerlegung

(4.49)

wobei pes) die Summe der Partialbriiche ist, die durch die restlichen Polstellenbedingt ist. Die Zahler Bk sind reelle Zahlen.

Beweis: Die Bi1dfunktion F(s) 1asst sich in die Antei1e

F(s) = ZO(s) k + ZI (s) = FO(s) + FI (s)(s-sO) NI(s)

zerlegen. Da F(s) a1s echt gebrochen rational vorausgesetzt ist, hat der Zahler

Zo(s) hOchstens den Grad k - 1. Eine Reihenentwicklung des Zah1ers Zo(s) nachPotenzen von (s - so) ergibt

Fo(s) = B1(s - sOl-l + B2(s - sO)k-2 ; ... + Bk- 1(s - so) + Bk

(s -so)

Dividiert man jedes Glied des Zah1ers von Fo(s) durch den Neuner (s - so)k , soerhalt man die Aussage des Satzes 4.16.

Satz 4.18:

a) Eine k-fache reelle Po1stelle bei s = so bedingt im Zeitbereich den Antei1

k n-lI" (t) = esot~ B _t__ (4.50)

JO LJ n (n-1)!n=l

b) FUr die Koeffizienten Bn gilt mit n = k - r

(4.51 )

78

Beweis:


I tn- la) Mit -. - 0 --- und dem Dampfungssatz erhiilt man

sn (n-I)!

n-lBn .-0 B _t__ eSot

(s-SO)n n (n-I)!

b) Multipliziert man Gl. (4.49) mit (s - sO)k , so folgt hieraus

(s - sO)k F(s) = Bk + Bk-l (s - sO) + ... + Bl (s - sO)k-l + (s - sO)k P(s)

s=so ergibt Bk=b-so)kF(S)L=so

Damit ist die Richtigkeit von Gl. (4.51) fur r = 0 gezeigt. Differenziert man den

Ausdruck fur (s - so)k F(s) r-mal und setzt anschlieBend fur s den Wert So ein,

soerhiiltman Gl.(4.51).

Die Verwendung von Gl. (4.51) zur Berechnung der Zahler Bo ist wegen desdamit verbundenen Rechenaufwandes nicht immer vorteilhaft. Man wird insolchen Fallen den Ansatz zur Partialbruchzerlegung mit dem Hauptnennermultiplizieren und in die so erhaltene Gleichung fur s gUnstige Werte einsetzen.Giinstige Werte sind immer die reellen Poistellen von F(s) weiI man dadurchjeweils eine Gleichung fur nur einen der unbekannten Zahler erhalt. Sind nurreelle Pole vorhanden, was bis jetzt angenommen wird, so ist die Anzahl derTeilbriiche durch den Grad m des Nenners von F(s) bestimmt. Sind mehrfachereelle Pole vorhanden, so ist die Anzahl dieser besonders gUnstigen s-Wertekleiner als die Anzahl der zu bestimmenden Zahler. Man wird dann noch andere,moglichst einfache s-Werte hinzunehmen mussen.

2Beispiel 4.21. Zur Bildfunktion F(s) = 3s - 7s + 6 soll die zugehOrige

(s _1)3Originalfunktionj{t) bestimmt werden.

Die Bildfunktion hat eine dreifache PolstellePartialbruchzeriegung ergibt sich damit der Ansatz

2F(s) = 3s -7s+6

(s _1)3

bei s I. FUr die

Die Gl. (4.51), die hier besonders einfach anzuwenden ist, da nur ein dreifacherPol bei s = I vorhanden ist, liefert


B3 = [3s2 -7s+6 L=I =2, B2 =[6s-7]s=I =-1, BI =3

Mit der dadurch eindeutig bestimmten Partialbruchzerlegung der Bildfunktion

79

2F(s) = 3

(s -1)

1 3---;:-+--(s _1)2 (s -1)

Al B2 BI- + ---=---,- + --s+l (s+2)2 s+2

erhalt man die Zeitfunktion 1(I) = 12 et - let + 3et = (/ 2 - I + 3) et

s2 -s-3Beispiel 4.22: Zu F(s) = solll(/) bestimmtwerden.

(s +1)(s + 2)2

Die Bildfunktion hat eine zweifache Polstelle bei s = - 2 und eine einfachePolstelle bei s = - 1. FUr die Partialbruchzerlegung ergibt sich damit der Ansatz

2F(s)= s -s-3

(s + 1)(s + 2)2

Die noch unbekannten Zahler k6nnen durch die uns bekannten Formelnberechnet werden. Wir wollen jedoch hier das schon erwahnte Verfahren, dasohne die Verwendung von Formeln auskommt, beniitzen und multiplizieren denAnsatz zur Partialbruchzerlegung mit dem Nenner N(s)und erhalten somit

s2 - s - 3 = Al (s + 2)2 + B2 (s + 1) + BI (s + 2)(s + 1)

Durch Einsetzen der Polstellen folgt

s=-1: -1 = Al => Al = -1

s=-2: 3=-B2 => B2 =-3

Dadurch sind zwei der drei unbekannten Zahler einfach berechnet worden. ZurBestimmung des dritten Zahlers kann nun irgendein noch nicht verwendetereinfacher s-Wert, z.B. s = 0, eingesetzt werden.

s = 0: -3 = - 4 -3 + 2B2 ~ BI = 2Damit ist die Partialbruchzerlegung der Bi1dfunktion bestimmt und es folgt

1 3 2F(s) =---- +-- und

s + 1 (s + 2)2 s + 2

1(/) =_e-t _3/e-2t +2e-2t .


c) Bildfunktionen mit einfachen komplexen Polen

Wir wollen uns hier auf einfache komplexe Pole beschranken, weil mehrfachekomplexe Pole zu Teilbriichen fiihren, deren Transformation in den Zeitbereichmit den Transformationsregeln, Satzen und Korrespondenzen, die wir bisherkennen gelemt haben, nicht moglich ist.Die Transformation der von mehrfachen komplexen Polen bedingten Teilbriichein den Zeitbereich ist mit der im Abschn. 4.2 behandelten Residuenmethode odermit dem Faltungssatz, den wir spater besprechen werden, moglich.Die Koeffizienten der echt gebrochen rationalen Bildfunktion F(s) wurden alsreell vorausgesetzt. Komplexe Pole treten daher stets paarweise, als konjugiertkomplexe Poistellen auf.

Satz 4.19:

a) Hat die echt gebrochen rationale Bildfunktion F(s) die einfachen komplexen

Pole So = a + j b und s~ = a - j b, so gilt die Partialbruchzerlegung

C1s+C2F(s)= 2 2 2 +P(s) = Fo(s) +P(s)s -2as+a +b

wobei pes) die Summe der Partialbriiche ist, die durch die restlichenPoistellen bestimmt sind.

b) Einem Paar von einfachen, konjugiert komplexen Polen entspricht 1mZeitbereich der Anteil

Beweis:

a) Fur F(s) gilt F(s) = Z(s) R(s) ist der Restfaktor des(s - so)(s - so)R(s)

Nenners N(s), den man nach Abspalten der Linearfaktoren s - So und s - s~

erhalt. Da einfache komplexe Pole formal genauso behandelt werden konnenwie einfache reelle Pole, erhalt man die Zerlegung

Al AF(s) = + 2 + pes)

s-(a+jb) s-(a-jb)

Die Berechnung der Zahler Al und Az kann wie bei einfachen reellen Polen


erfolgen. Es zeigt sich, dass A lund A2 konjugiert komplexe Zahlen sind.Fasst man die beiden Teilbriiche zusammen, urn im Bereich der reellenZahlen zu bleiben, so ergibt sich die Aussage des zu beweisenden Satzes.

b) Fill den durch das Paar konjugiert komplexer Pole bedingten Teilbruch gilt

F(s)= CIS+C2 CI(s-a) + C2 +aq(s-a)2+ b2 (s-a)2+ b2 (s-a)2+ b2

Mit den Korrespondenzen fUr die Sinus- bzw. Kosinusfunktion und demDampfungssatz folgt die zu beweisende Aussage.

Da die in Anwendungsaufgaben auftretenden komplexen Pole im Allgemeinennegative Realteile haben, bedingt ein Paar von einfachen, konjugiert komplexenPolen im Zeitbereich dann eine gedampfte Schwingung.

sl = -1 und ein Paar von

und s3 =-3-2j. Die

2Beispiel 4.23. Zur Bildfunktion F(s) = 4s \25S + 45

(s+l)(s +6s+13)

zugehOrige Zeitfunktion f (t) bestimmt werden.

Die Bildfunktion hat einen einfachen reellen Pol bei

konjugiert komplexen Polen bei s2 = -3 + 2j

Partialbruchzerlegung hat daher die Form

F( ) - Al CIs + C2s - --+--;:---"------=--

s + 1 s2 + 6s + 13

soIl die

Multipliziert man den Ansatz zur Partialbruchzerlegung mit

N(s) = (s + 1)(s2 + 6s + 13), so folgt

s = - 1: 24 = 8A 1 =>s = 0: 45 = 39 + C2 =>s = 1: 74 = 60 + 2(Cl + 6) =>

lim sF(s) ergibt die einfache GleichungS---7 OO

Gleichung verwendet werden konnte.

Al = 3

C2 = 6

C1 = 1

4 = Al + q , die anstelle der letzten


Aus der Partialbruchzerlegung der Bildfunktion

F(s) =_3_ + s+6 _3_+ s+3 + 3 2s + 1 s2 + 6s + 13 s +1 (s + 3)2 + 22 2 (s + 3)2 + 22

folgt die Zeitfunktion

j(t) = 3e-/ + e-3/ [COS(2t) + %Sin(2 t)] .

Beispiel 4.24. Man berechne die Originalfunktionj(t) zur Bildfunktion2

F(s) = s +2s+3 .(s2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5)

Die Bildfunktion F(s) besitzt zwei Paare von konjugiert komplexen Polen. DerAnsatz zur Partialbruchzerlegung lautet

2F(s) = s +2s+3 As+B + Cs+D

(s2 +2s+2)(s2 +2s+5) s2 +2s+2 s2 +2s+5 .

Multiplizieren dieses Ansatzes zur Partialbruchzerlegung der LaplaceTransformierten F(s) mit dem Hauptnenner N(s) = (s2 + 2s + 2)(s2 + 2s +5)ergibt die Identitat

s2 + 2s + 3 = (As+B)(s2 + 2s + 5) + (Cs+D)(s2 + 2s + 2).

Da reelle Pole, deren Einsetzen jeweils eine Gleichung fur nur eine Unbekannteergibt, hier nicht vorhanden sind, erhalt man durch Einsetzen von 4 moglichsteinfachen s-Werten ein Gleichungssystem von 4 Gleichungen fur die 4Unbekannten mit den Losungen

A=O B=! C=O und D=!:..., 3' 3

Eine Moglichkeit, das lineare Gleichungssystem fur 4 Unbekannte zu vermeiden, urn stattdessen 2 Gleichungssysteme fur je 2 Unbekannte zu erhalten,besteht darin, komplexe Pole einzusetzen.

Der Faktor (s2 + 2s + 2) des Nenners hat die Nullstellen sl = -1 + j und

s2 = -1- j. Mit sl = -1 + j wird s2 + 2s = -2 und man erhalt

1= 3[A(-1 + j) + B] bzw. 1 = -3A + 3B +3jA

Gleichsetzen der Real- und Imaginarteile der beiden Seiten der Gleichung liefertA = 0 und B = 1/3.


Mit s = -1 + 2j, einer komp1exen Nullstelle des zweiten quadratischen Faktorsdes Nenners, folgt analog

2C=O und D=-.

3FUr die Bildfunktion gilt daher die Partia1bruchzerlegung

F(s) = 1 + 1 1 .3 (s+l) 2+ 1 3 (s+l) 2+ 22

Darnit fo1gt fiir die Zeitfunktion

J(t) =.!.e-( [sin( t) + sin(2 t)].3


Aufgabe 4.16. Man bestimme die OriginalfunktionenJ(t) zu den folgenden

Bildfunktionens+4

a) F(s) =s2 +5s+6

S3c) F(s) = 4

(s+3)

1e) F(s) = 2 2

s (s +1)

s+5g) F(s) = ---;:---

(s + 1)(s2 + 1)

i) F(s) = 2 3(s+ 2)

1) F(s)= __l + 3s+1 e-s

s2 s2(s +1)

1b) F(s) = -----

(s-2)(s+2)(s+3)

lOS3+20S2+S+5d) F(s) = -------,------,,----

(s +1)2 (s2 + s - 2)

10f) F(s) = -------=,-------;::---

(s+1)2(s2 +8s+17)

h) F(s) = 7s2

-s+12s3+s2 +3s+3

k) F(s) = s+2s+l

2m) F(s) = 3s +8s+6

(s + 1)3


4.3.7 Pol-Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalenBildfunktion

Sind SNi (i = 1, 2, 3,... , n) die Nullstellen und SPk (k = 1,2, 3'00" m) die

Polstellen einer echt gebrochen rationalen Bildfunktionn

LQi Si._ (s-sN )(s-sN )"'(s-sN )

F(s)= I-I =c 1 2 n

rn (S-Sp,)(S-Sp, )'''(S-S~ )Lbk Sk 12m

k=1

mit reellen Koeffizienten, so sind durch die Lage der Null- und Polstellen sowohldie Bildfunktion F(s), als auch die Originalfunktion f( t) bis auf einen

konstanten Faktor C bestimmt.Man erhalt nun einen Uberblick iiber das Zeitverhalten der Originalfunktionf(t), wenn man die Nullstellen (0) und die Polstellen (*) der Bildfunktion F(s)

in die komplexe s-Ebene eintragt. Fiir die Anwendungen der LaplaceTransformation ist es iiberaus wichtig, dass aus der Lage der Polstellen Aussageniiber das Verhalten der Zeitfunktionf(t) gemacht werden konnen. Da die

Koeffizienten Qi und bk als reell vorausgesetzt wurden, sind die Null- undPolstellen entweder reell oder paarweise konjugiert komplex. Es gilt daher derfolgende Satz:

Satz 4.20:

Der Pol-Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion mit reellenKoeffizienten ist symmetrisch zur reellen Achse.

Da durch die Pole die Partialbriiche bestimmt werden und durch die Art desPartialbruches der zugehOrige Anteil in der Zeitfunktion bestimmt ist, lasstinsbesondere die Art und Lage der Pole einfache Schliisse auf die Art derOriginalfunktion f( t) zu.

Einer einfachen Polstelle S = - /i auf der negativen reellen Achse entspricht in

der Partialbruchzerlegung ein Term~ und im Zeitbereich ein Anteils+/i

f( t) = A e-0 t , der umso schneller abklingt, je weiter links die Polstelle liegt (s.

Bild 4.23 a, b).


jw I{t)

--*-0 0 0

a) b)

jw f{t)

k-fach cr--*

-0 0 0c) d)

Jro f{t)

* roo(J

-0 0 0e)

* -roo f)

jw

roo *(J

* I )0 01 O2g)

-roo *

f{t)f{t)

(Bild 4.23 d)

k B n-le-ot,", n t

LJ (n-l)!n=l

f(t)

(s + <5)2 +w~

f(t) = A e-t sin(% t + rp)

(Bild 4.23 f)

Liegt bei s = - t5 eine k-fachePoistelle, so entspricht ihr imZeitbereich ein Anteil

und im Zeitbereich eine gedampfteSchwingung

Einem Paar von konjugiert komplexen Polen mit negativem Realteilentspricht im Bildbereich einTeilbruch

Liegen die Poistellen in der rechtenHalbebene, so entsprechen diesenim Zeitbereich ansteigende Anteile,wie etwa in Bild 4.23 h und 4.23 i

-Ojtf(t) = Ae oder

-02 tf(t) = Ae sin(wo t + rp)

oh)

Bild 4.23 Pol-Nullstellenplane undzugehOrige Zeitfunktionen

86

a)

r" A--*~

o I b) 0

f(t)


Einer im Ursprung liegenden emfachen Poistelle (Bild 4.24 a) entspricht im Bildbereich der Teil-

Abruch und im Zeitbereich die

sKonstante

jet) = Ac(t)

t iw(j)o * A

+

Bild 4.24 Pol-Nullstellenplan undzugehorige Zeitfunktionen

c)

e)

-(j) *o I

fiw*I*I*I

0*!I*I

)

d)

A

f)

o

o

f(t)

f(t)

~, ,, ,, ,, ,, ,, I '

-' '----'

Ein Paar von Poistellen auf derimagmaren Achse nach Bild4.24 c bedingt den Teilbruch

C\s+C2

s2 + lU5d.h. im Zeitbereich eine stationareharmonische Schwingung

j( t) = A sin(mot + tp)

(Bild 4.24 d)

Liegen im Sonderfall auf der imagmaren Achse unendlich vielePoistellen in gleichen Abstanden lUO

(Bild 4.24 e), so ist die zugehOrigeBildfunktion F(s) keine rationaleFunktion.

Da jedem Poistellenpaar s = ±jklUo eine stationare harmonische Schwingung

der Kreisfrequenz klUO entspricht, gehOrt zu dieser Bildfunktion im Zeitbereich

eine unendliche Summe von harmonischen Schwingungen, die im Falle derKonvergenz, als Fourierreihe einer stationaren periodischen Zeitfunktion aufgefasst werden kann. In Bild 4.24 fist eine dieser moglichen Zeitfunktionendargestellt.Wir haben einen einfachen Zusammenhang zwischen der Lage der Poistelleneinerseits und der Art der zugehOrigen Zeitfunktionen andererseits kennengelemt.


ein zeitlieh abklingender (fltiehtiger) Anteil,

ein zeitlich konstanter (stationarer) Anteil,

ein zeitlieh ansteigender Anteil in der zugehOrigenZeitfunktion j( t)

Der folgende Satz fasst vereinfacht die Ergebnisse unserer Uberlegungenzusammen.

Satz 4.21:

1st si eine Poistelle emer echt gebrochen rationalen Bildfunktion F(s) , soentsprieht

Resi < 0

Resi = 0

Resi > 0

Aus der Lage und Art der Poistellen ist der Ansatz zur Partialbruehzerlegung unddamit die Zeitfunktion im Wesentliehen, d.h. bis auf konstante Faktorenbestimmt.

Aus der Art und der Lage der Poistellen auf die Zeitfunktion zu sehlieBen ist furviele Uberlegungen gerade in der Elektroteehnik wichtig. So kann etwa aus derArt der Poistellen einer Ubertragungsfunktion auf das Zeitverhalten deszugehOrigen Ubertragungsgliedes geschlossen werden. Diese Zusammenhangewerden aber nur dann erkennbar, wenn die inverse Laplace-Transformation eehtgebroehenen rationaler Bildfunktionen tiber die Partialbruchzerlegungdurehgefuhrt wird. Arbeitet man nur mit Korrespondenztabellen, so bleiben dieseEinsichten versehlossen. Damit moehte ieh aber nieht grundsatzlieh gegen denGebraueh von Korrespondenztabellen ausspreehen.

Beispiel 4.25.Eine echt gebrochen rationale Bildfunktion hat die folgendenPole:

S\ = - 3, S2 = - 2 + 3j und S3 = - 2 - 3j.Was lasst sich tiber die zugehOrige Zeitfunktion j( t) aussagen?

Alle Pole haben einen negativen Realteil. Die Zeitfunktion j{t) ist daherabklingend. Die einfache reelle Poistelle bei S\ = - 3 bedingt im Zeitbereich eineabklingende Exponentialfunktion, das Paar von konjugiert komplexen Polen mitnegativen Realteil eine gedampfte Schwingung mit der Kreisfrequenz OJ = 3 . Die

Zeitfunktion hat daher die Form

jet) = Ae-3t + e-2t[Bsin(3t) + Ceos(3t)]

88

4.3.8 Faltungssatz


(4.53)

(4.52)

Der Faltungssatz erschlieJ3t einen Weg, die inverse Laplace-Transformationdurchzufiihren, wenn die Bildfunktion F(s) in zwei Faktoren zerlegt werdenkann, deren Originalfunktionen bekannt sind.

Satz 4.22: Faltungssatz

Dem Produkt Fl (s)F2(s) zweier Bildfunktionen entspricht im Zeitbereich die

Faltungfl (t) *h(t) der zugehorigen Originalfunktionen

R(s) .-0 fl(t) }=> Fl(s)F2(s) .-0 11(1)* 12 (t),

F2(s) .-oh(t)

wobei die Faltung zweier kausaler Zeitfunktionen durch das Integral

t

11(1)* h(t)= fflCf)h(t-r)dr

odefiniert ist.

Beweis:Wir gehen von der Integraldefinition der Laplace-Transformation aus underhalten unter der Voraussetzung, dass die auftretenden Integrale absolutkonvergieren

fi(t) , !2(t) 0 -0 Affi«l!2(t-<ld<] e-<tdt-

= f ffi(r)h(t-r)e(t-r)e-stdrdt

00Durch die Multiplikation mit dem Faktor

{I fUrr<t

e(t - r) = 0 fUr r> t

ist erreicht worden, dass auch fUr die Variable T des inneren Integrals dieIntegrationsgrenzen 0 und 00 gesetzt werden konnen, da fUr ZeitpunkteT > t der Ausdruck

fi (r)h (t - r)e(t - r) = 0 ist.


Vertauscht man die Reihenfolge der Integrationen, was erlaubt ist, da wir dieabsolute Konvergenz der Integrale vorausgesetzt haben, so ergibt sich

fJ (I)'h(I) 0-0 Ifl (r)[Ih (l-r)£(I-r).-" dl] dr

Durch Anwenden des Verschiebungssatzes und der Definition der LaplaceTransformation erkennt man

fh(/-r)£(/-r)e-st dl=F2(s)e-ST,

oda die Funktion 12 (I - r) £(1 - r) gegeniiber 12(/) um "Z" verschoben ist. Hiermit

folgt weiter

h(t)* 12(/) 0-. f/l (r)F2 (s)e-ST dr = F2(S) fh(r)e-ST dr

o 0Da das letzte Integral nach der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation

Fl (s), die Bildfunktion von/l (I) ist, folgt hieraus schlieJ3lich der Faltungssatz.Dass die Integrationsvariable "Z", statt I heiJ3t, ist fur das bestimmte Integral ohneBedeutung.

Satz 4.23:

Die Faltung ist kommutativ und assoziativ, d.h. es gilt

fi(/) *12(/)=12(/)* fi(/) und

fi (I) * [h (I) *f3 (1)]= fJi (I) *12 (I)] *f3 (I)

Auf den relativ einfachen Beweis von Satz 4.22 sei hier verzichtet.Fiir Anwendungen des Faltungssatzes ist es von Bedeutung, dass die Reihenfolgeder Faltungen verandert werden kann.Der Faltungssatz liefert auch in Fallen, in denen das Faltungsintegral nicht inanalytischer Form gelOst werden kann, eine Aussage iiber die Zeitfunktion.f{I),wenn fur eine Folge von Zeitpunkten Ii das Faltungsintegral mit numerischen

Naherungsverfahren bestimmt wird.


(4.54)

asBeispiel 4.26. Zur Bildfunktion F(s) = 2 2 2 soll die Originalfunktion

(s + a )j(t) berechnet werden.

Die Bildfunktion F(s) hat an den Stellen s = ± ja zweifache komplexe Pole.Wir zerlegen die gegebene Bildfunktion

s aF(s)= 2 2 2 2 Fi(s)F2 (s)

(s + a ) (s + a )in Produkt von zwei Bildfunktionen. Mit den Korrespondenzen

Fl(s) .-0 fl(t) = cos(at) und F2(s) .-0 h(t) = sin(at)

liefert der Faltungssatz die Zeitfunktiont

f(t) = Ji(t)* h(t)= fcoS(a1')Sin(at-a1')d1'

oZur Berechnung des Faltungsintegrals verwandeln wir das Produkt der beidentrigonometrischen Funktionen mit

sin(a)cos(,B)=1:.-[sin(a+ ,B)+sin(a-,8)]2

in eine Summe von Sinusfunktionen und finden sot

f(t)= !l(t)*h(t)=~ f[sin(at)Sin(at-2a1')]dr=

ot t

= ~ sin(at) fd1'+~ f Sin(at-2a1')d1' =

o 0

= 1:.- t sin(at) + 1 Icos(at _ 2a1')] t = 1:.- t sin(at)2 ~ 0 2

Wir haben damit die folgende Korrespondenz gewonnen.

as 1 . ( )-----:=-------=____=_ • - 0 - t sm at(s2 + a2 )2 2

Die Bildfunktion F(s) besitzt zweifache komplexe Pole bei s = ±ja.Mit den besprochenen Methoden der Partialbruchzerlegung kann die Zeitfunktionj(t) nicht bestimmt werden. Der Faltungssatzjedoch errnoglicht es, eineentsprechende Korrespondenz herzuleiten. In der praktischen Anwendung wirdman aber in solchen Fallen aufKorrespondenztabellen zurUckgreifen.


Ubungsaufgaben zum Abschnitt 4.3.8 (Losungen im Anhang)

91

Aufgabe 4.17. Man berechne mit dem Faltungssatz die OriginalfunktionfCt) zu

s2F(s) = 2 2 .

(s + I)

Aufgabe 4.18. Zur Bildfunktion

a) durch Partialbruchzeriegung,

IF(s) = soli fCt)

(s-s1)(s-s2)

b) mit dem Faltungssatz und

c) mit der Residuenmethode bestimmt werden.s

Aufgabe 4.19. Man berechnefCt) zur Bildfunktion F(s) = 2 3'(s + I)

Hinweis: Man verwende die als Ergebnis von Beispiel 4.26 bekannteKorrespondenz (4.54) fur a = 1.

4.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklungder Bildfunktion

1m Abschnitt 4.3.6 haben wir echt gebrochen rationale Bildfunktionen inPartialbrliche zeriegt. Die vorgegebene Bildfunktion F(s) wurde dabei als eineendliche Summe von Teilfunktionen

m

F(s) = LFi(s)

i=1dargeste11t und gliedweise in den Zeitbereich transformiert. Man erMlt so diezugehorige Zeitfunktion

m

J(t) = LJi(t),

i=1wobei die Zeitfunktionen fi(t) die Originalfunktionen zu den BildfunktionenFi(s) sind, d.h. es gelten die Korrespondenzen

Fi(s) • - 0 fi(t) .


Es liegt nun nahe, dieses Verfahren auch auf Falle zu iibertragen, in denen eineinverse Laplace-Transformation durch bekannte Korrespondenzen oder durchPartialbruchentwicklungen uns zunachst nicht moglich ist. Wir haben bisherbeispielsweise kein Verfahren kennen gelemt, zu einer transzendentenBildfunktion F(s) die zugehOrige Zeitfunktionj{t) zu bestimmen.Man entwickelt die Bildfunktion F(s) in eine unendliche Reihe

F(s) = LFi(s)

i=lvon Teilfunktionen Fi(s) und betrachtet die Originalfunktionj{t) als unendlicheSumme der zugehOrigen Originalfunktionenfi(t).Dieses gliedweise Ubersetzen einer unendlichen Summe von BildfunktionenFi(s) in den Zeitbereich ist aber nur unter gewissen Voraussetzungen moglich.Ohne Beweis sei daher der folgende Satz angegeben.

Satz 4.24:

a) 1st die Bildfunktion F(s) = LFi(s) .-0 L.fi(t) als unendliche Surnme

i=l i=l

von Laplace-Transformierten Fi(S) der Zeitfunktionen Ji(t) darstellbar, so

konvergiert die Surnme der Zeitfunktionen Ji(f) gegen eine Funktion

I(t) = L.fi(t) , die Originalfunktion von F(s) ist, wenn

i=l1. die Laplace-Integrale der FunktionenJi(t) absolut konvergieren, wenn

also fur alle i

] Ii (t)e-sf Idt < M gilt und

o2. auch die Summe diese Integrale konvergiert.

b) 1st im Sonderfall die Bildfunktion eine Reihe der Form F(s) = L ans-n ,

n=l00 n-l

so gilt fur die zugehOrige Zeitfunktion I(t) = "" an _t__L..J (n -I)!n=l


Beispiel 4.27. Zur Bildfunktion F(s) = 2 1 2 mit zweifachen komplexen(s + 1)

Polen an den Stellen s = ± j soll eine Reihendarstellung der zugehorigenOriginalfunktion I (t) bestimmt werden.

Durch Dividieren erhiilt man

1 1 2 3 4 5F(s) = = ---+---+--+ ...

s4 +2s2 +1 s4 s6 s8 slO s12

Dbertragt man diese Reihe Glied flir Glied in den Zeitbereich, so ist mit

t3 2t5 3t7 4t9 5t11I(t)=---+---+--+···

3! 5! 7! 9! Ii!

eine Reihenentwicklung flir die gesuchte Originalfunktion gefunden.In diesem Fall lasst sich die Originalfunktion auch in einer analytischen Formangeben. Mit dem Faltungssatz erhiilt man

I( t) =![ sin(t) - tcos(t)]2

Beispiel 4.28. Gegeben ist die Zeitfunktion I( t) = sine t). Es soll die zuget

hOrige Laplace-Transformierte F(s) bestimmt werden.

Ausgehend von der Reihenentwicklung fUr die Sinusfunktion

. t3 t5 t7 Loo

k t2k+!sm(t)=t--+---+_ oo .= (-1)3! 5! 7! (2k+l)!

k=O

erhiilt man fUr die Zeitfunktion I( t) die Reihendarstellung

sin(t) t2 t4 t600 k t2k

l(t)=-t-=I- 3T +5T - 7T +-. oo = L(-I) (2k+l)!k=O

Gliedweises Transforrnieren in den Bildbereich liefert eine Reihendarstellung fUrdie gesuchte Laplace-Transformierte

1 2! 4! 6! 00 (_I)k[I]2k+1F(s)=;- 3!s3 + 5!s5 - 7!s7 +- ... = ~2k+l --;


Vergleicht man die Reihe der Bildfunktion F(s) mit der Reihenentwicklung derFunktion

3 5 7 00 karctan(z) = z--=----+-=------=----+-· .. = "" (-1) z2k+l

3 5 7 LJ 2k+lk=O

so erkennt man die Korrespondenz

Si~(t) 0-. arctan(~) (4.55)

Mit Hilfe der Definition der Laplace-Transformation erhlilt man aus dieserKorrespondenz die Gleichung

1S~(t) e-stdt=arctan(~) (4.56)

o

1t

2

f(l) = Si(t)

Bild 4.25 lntegralsinus

Eine bei vielen Problemen derNachrichtentechnik auftretendeFunktion ist der durch

t .

Si(t) = f 1:(Z) dz

odefinierte Integralsinus.1m Grenzfall s ---7 0 liefert Gl. (4.56)00

fSin(t). 1t--dt = S1(00) = arctan(oo) =-

t 2o

Damit ist auf dem Umweg tiber die Laplace-Transformation der Grenzwert

lim Si(t)=~t ~oo 2

gefunden worden. Der Verlauf der Zeitfunktion j{t) Si(t) ist in Bild 4.25dargestellt.

2Beispiel 4.29. Zur Bildfunktion F(s) = 3 s / S solI eme Reihen-

S +2s +3s+4entwicklung der Originalfunktion f (t) bestimmt werden.

DUTCh Po1ynomdivision erhiHt man


1 1 115F(s)=-----+-+-+···

s s2 s3 s4 s5

t2 t3 5t4

und damit die Zeitfunktion f(t) = 1-t--+-+-+ ...2! 3! 4!

95

Eine derartige Reihenentwicklung einer echt gebrochen rationalen Bildfunktionist dann angebracht, wenn eine Partialbruchentwicklung, etwa wegen derBerechnung der Polstellen zu kompliziert erscheint, oder wenn das Verhalten derZeitfunktion nUT fUr kleine Werte von t interessiert, sodass nUT wenige Gliederder Reihe benotigt werden.


Aufgabe 4.20. Man bestimme Reihenentwicklungen fUr die Originalfunktionenj{t) zu den folgenden Bildfunktionen

s2 b)1

a) F(s) F(s)=-----s3 +1s4 +1

_l

= ~co{~)s

c) F(s)e d) F(s)

s


4.3.10 Integrationssatz fUr die Originalfunktion

Der Integrationssatz fur die Originalfunktion beschreibt den Zusamrnenhangzwischen der Laplace-Transforrnierten einer Zeitfunktion I( t) und der Laplace-

Transforrnierten des Integrals tiber diese Zeitfunktion. Zusamrnen mit dem imnachsten Abschnitt behandelten Differentiationssatz fur die Originalfunktionspielt er eine wesentliche Rolle bei den Anwendungen der LaplaceTransformation.

Satz 4.25:

1st F(s) = .2' { I(t) } die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion I( t) , so ist

die Laplace-Transformierte des Integrals tiber die Zeitfunktion vom Zeitpunkt 01

bis zum Zeitpunkt t gegeben durch - F(s)s

t

I(t) 0-. F(s) => J/(T)dr 0-. ~F(S)o

(4.57)

Beweis: Zum Beweis des Integrationssatzes fur die Originalfunktion verwendenwir den Faltungssatz (Abschn. 4.3.8).

Wahlen wir Fl(s) = F(s) .-0 I(t)

1und F2(S) = - .-0

sso folgt mit dem Faltungssatz

t

F(s) ~ .-0 1(1)* 1= jl(T)dT

oDer Integrationssatz macht die wichtige Aussage, dass dem Integral tiber dieZeitfunktion im Bildbereich die Multiplikation der Bildfunktion mit dem Faktor1/s entspricht.

Bine Integration im Zeitbereich bedingt daher im Bildbereich nur eine einfacheMultiplikation mit dem Faktor 1/s. Dadurch ergeben sich fur die Losung vonProblemen im Bildbereich wesentliche Vereinfachungen gegentiber der Losungdes gleichen Problems im Zeitbereich. Statt einer Integration im Zeitbereicht,erfolgt im Bildbereich eine einfache Multiplikation.


Beispiel 4.30. Man bestimrne die Laplace-Transforrnierte der Zeitfunktiont t

j(t) = Jr5 e-51'dr = fJi (r)dr.

o 0

FUr die Zeitfunktion fi (t) = t5e-51 erhalten wir mit dem Dampfungssatz die

Bildfunktion Fl (s) = 5! 6' Mit dem Integrationssatz folgt(s+5)

t

jet) = fr5 e-51'dr e - o

o

F(s) = 120 .s (s+5)6

Beispiel 4.31.a) An ein RC-Glied wird zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung u(t) = Uoc(t)

angelegt. Man berechne den Strom i(t), wenn zum Zeitpunkt t = 0 derKondensator ungeladen ist.

R

zi..t) l~cli(t)

o......----I

u(t)

Uo1-------

t

o

Bild 4.26 RC-Glied und angelegte Spannung u(t)

Transformiert man die "Spannungsgleichung"t

uR(t) +uC(t) = R i (t) + ~ fi (r)dr = Uoc(t)

ounter Verwendung des Integrationssatzes in den Bildbereich, so erhalt man mitI(s), der Laplace-Transformierten des gesuchten Stromes i(t)

RI(s) +_I_ I (s) = Uo und daraus den BildstromCs s

I(s)=Uo 1 =UO Cs _Uo_l--:--s R+_1_ s RCs+l R s+_I_

w RC


Inverse Laplace-Transformation ergibt den gesuchten Stromt

'(t) - Uo RCI --eR

b) An das RC-Glied werde nun zum Zeitpunkt t = 0 ein sehr kurze Zeitwirkender Spannungsimpuls (Deltaimpuls) U (t) =A 8(t) (A = 1 Vs) der

ImpulsfHiche 1 Vs angelegt.

Analog zu a) erhalt man aus der Spannungsgleichungt

uR(t) +ucCt) = R i(t) + ~ fi(r)dr = A 8(t)

omit der Korrespondenz A 8(t) 0 -. A

1 1 AR1(s)+--1(s) = A ~ 1(s) = 1

Cs R +_Cs

A sR 1

s+-RC

Die Laplace-Transformierte 1(s) des Stromes ist hier keine echt gebrochenrationale Funktion. Durch Polynomdivision erhalt man:

1(s) = ~rl- -k j.s+

RC

Durch inverse Laplace-Transformation folgt daraus fur den gesuchten Strom

t. A A - RCl(t)=-8(t)--e

R R 2C

Der angelegte Spannungsimpuls hat zunachst einen Stromimpuls der Impuls1

flache - As zur Folge. Darauffolgt der Entladungsstrom des Kondensators.R

Beachtet man A = 1 Vs, so erkennt man, dass die Gleichung fur den Strom i(t)auch dimensionsmaBig richtig ist.


Beispiel 4.32. Man bestirnme die Bildfunktion F(s) des "Dreieckimpulses"nach Bild 4.27 a.

oa)

t2U

'f

2Ub) -7

df(t)dt

o

Bild 4.27 Zeitfunktionf(t) und ihre Ableitung f'(t)

Wir betrachten nun die Ableitung der gegebenen Zeitfunktion

f'(t) =

2U

'f

2U

'f

o

fur 0< t<'!...2

fur '!...< t<'f2

fur aIle iibrigen Zeitpunkte

Die Ableitung der gegebenen Zeitfunktion llisst sich einfach aus Sprungfunktionen zusarnmensetzen ( Bild 4.27 ). Man erhlilt

1'(t) = 2~[£(t)-2£(t-~)+£(t-'f)]

und unter Beachtung des Verschiebungssatzes die Laplace-Transformierte

[-S'f ] [S'f]2

2'{J'(t)} = 2~ ~ 1-2e Z +e-S'f = ~~ l-e-z

Mit dem Integrationssatz flir die Originalfunktion folgt

{

t } 2U [ _,IT]2F(s) = 2'{J(t)} = 2' !f'(Z)dz = S2'f l-e 2



Aufgabe 4.21. Aus der Korrespondenz _1_. - 0 e-at sollen durch zweis+a

maliges Anwenden des Integrationssatzes fur die Originalfunktion neueKorrespondenzen gewonnen werden.

Aufgabe 4.22. Bestimrnen Sie die Laplace-Transformierten F(s) fur diefolgenden Originalfunktionen

1 .

a) jet) = Si(t) = pm; -r) d-r (s. Beispiel 4.48)

a1

b) jet) = K-r2 +2-rJe-3r d-r

a

Aufgabe 4.23. Fur die Zeitfunktion nach Bild 4.28 berechne man unterVerwendung des Integrationssatzes fur die Originalfunktion die LaplaceTransformierte F(s).

jet)Ua

o

t jua 1 fur a ~ 1 ~ ra) f(/) = r

Va fur I>r

Bild 4.28 a Zeitfunktionj(t)

jet)Ua

o 31'

Vofur O~/~r-I

r

Vo fur r< t ~ 21'b) f(t) =

DO3Vo-- t fur 2r<t ~ 3r

l'

0 fur 1>3r

Bild 4.28 b Zeitfunktionj(t)


4.3.11 Differentiationssatz fUr die Originalfunktion

101

Der Differentiationssatz fiir die Originalfunktion beschreibt den Zusammenhangzwischen der Laplace - Transformierten F(s) einer Zeitfunktion j{t) und der

Laplace-Transformierten ihrer Ableitung l' (t) = df(t) .dt

Satz 4.26:

Es sei f( t) eine kausale Zeitfunktion mit dem rechtsseitigen Grenzwert

lim f(t)=f(+O) ,f-HO

deren Ableitung l' (t) fiir alle Zeitpunkte t> 0 existiert und fiir die das Laplace-

Integral fl' (t) e-sfdt konvergiert. Dann gilt

o

f(t) 0-. F(s) => f'(t) 0-. sF(s)- f(+O)

Beweis: Mit der Definition der Laplace-Transformation erh1ilt man

(4.58)

~

.2'{ f'(t)} = ff'(t)e-Sldt

a

~

lim ff'(t)e- SI dt10 ~ a

10

Eine partielle Integration mit

u=e-SI => u'= _se-st und v'=f'(t) => v=f(t) ergibt

.2'{J'(t)} = lim {[e-Slf(t)J~ + S~ff(t)e-Sldt}=-limf(to) + sF(s)10~O 10 10~O

10

Wir finden daher fiir die Laplace-Transformierte der Ableitung

.2'{f'(t)} = sF(s) -f(+O).

Dem Differenzieren der Zeitfunktion f( t) entspricht im Bildbereich, abgesehen

von der Subtraktion der Konstantenj{+O), im Wesentlichen eine Multiplikationder Bildfunktion F(s) mit der Bildvariablen s.


Zum Beweis des Differentiationssatzes wurde die Existenz der Ableitung fUr denZeitpunkt t = 0 nicht vorausgesetzt, da insbesondere bei den Anwendungen derLaplace-Transformation haufig Zeitfunktionen auftreten, deren Ableitungen fUr t= 0 nicht definiert sind. Die Ableitung l' (t) existiert in manchen Fallen schon

deswegen nicht, da die Zeitfunktion j (t) fUr t = 0 keinen definierten

Funktionswertj{O) besitzt. Es wird daher nur angenommen, dass der rechtsseitigeGrenzwertj{+O) vorhanden ist.Wenden wir Gl. (4.58) auf die Zeitfunktion j' (t) an, so folgt fUr die Laplace-

Transformierte der 2. Ableitung

2'{j"(t)} = sL{J'(t)}- 1'(+0) = s2F (s)-sj(+0)- 1'(+0)

Durch Fortsetzen dieses Verfahrens erhlilt man die allgemeine Form desDifferentiationssatzes fUr die Originalfunktion

Satz 4.27: Differentiationssatz fUr die Originalfunktion

Es sei j( t) eine kausale Zeitfunktion, deren k-te (k = I, 2, ... , n) Ableitungen

j<k) (t) fUr alle Zeitpunkte t> 0 existieren und deren Laplace-Integrale

jj<k)(t)e-SI dt

okonvergieren. Aus der Korrespondenz jet) 0 -. F(s) folgt dann

j(n\t) 0-. snF(s)_sn-lj(+0)_sn-21'(+0)_oo.

- s j(n-2)(+0) - j(n-l)(+0)(4.60)

Die Lapalce-Transformierten der haufig gebrauchten Ableitungen erster bisdritter Ordnung sind im Folgenden explizit aufgefiihrt.

jet) 0-. F(s) =:> j'(t) 0-. sF(s) - j( +0)

jlr(t) 0-. S2 F (S) -sj(+O)- j'(+O)

j"'(t) 0-. s3F (s) -s2j(+0)-sj'(+0)- j"(+0)


sollen durch

oder

2 -at1 t e

Beispiel 4.33. Aus der Korrespondenz • - a ---

(s+a)3 2

Anwenden des Differentiationssatzes neue Korrespondenzen hergeleitet werden.t2e-at 1

Mit jet) = -- 0-. F(s) erhalt man wegenj{+O) = 0 mit2 (s+a)3

dem Differentiationssatz die Korrespondenz2

F( ) S j' ( ) - at + 2t -atS S = --- .-0 t = e(s+a)3 2

Da auchf(+O) = 0 ist, ergibt eine weitere Anwendung des Differentiationssatzesdie Korrespondenz

2 2 2s2F (s) = _s__ .-0 f'(t) = a t -4at+2e- at

(s+a)3 2

Nun ist j"(+O) = 1 und man erhalt analog

3 3 2s 1 f"() - a t +6at - 6a -at.-0 t = e

(s+a)3 2

S 3 3 2 6 6___ .-0 -a t + at- a e-at +J(t)(s+a)3 2

Da die Bildfunktion der letzten Korrespondenz keine echt gebrochen rationaleFunktion ist, der Grad des Zahlers stimmt mit dem Grad des Nenners uberein,tritt im Zeitbereich die Deltafunktion auf.

i(t)UoR

o

Beispiel 4.34. An den im Bild 4.29 dargestellten Stromkreis wird zur Zeit t = 0die Spannung u(t) = Uoc(t) angelegt. Es soll der Strom i(t) berechnet werden,

wenn flir den Strom die Anfangsbedingung i(+O) = 0 gilt.

R L

Bild 4.29 Stromkreis und Strom i(t)

104

Transformiert man die Spannungsgleichung

d ·(t)Ri(t)+L-

1-= UOe(t)

dt


I(s) - Uos(R+Ls)

in den Bildbereich, so erhalt man mitGleichung

RI(s)+LsI(s)=Uo =>s

Eine Partialbruchzerlegung liefert

i(t) 0-. I(s) und i(+O) = 0 die

Uo

und durch inverse

Laplace-Transformation erhlilt man den gesuchten Strom

[R]U --t

i(t) = ; l-e L

4.3.12 Differentiationssatz fUr die verallgemeinerte Ableitungeiner Zeitfunktion

Wir haben im Abschn. 4.3.4 die Dirac'sche Deltafunktion als verallgemeinerteAbleitung der Sprungfunktion betrachtet und den Zusammenhang in der Form

De(t) = oCt) (4.42)

ausgedriickt, wobei als Symbol fUr die verallgemeinerte Ableitung D (Derivation)gewahlt wurde.Diese zunachst doch recht formale mathematische Definition ist aber auchphysikalisch sinnvoll und daher fUr Anwendungen brauchbar. Legt man etwa anden Eingang eines Differenziergliedes eine sprungfOrmige Spannung, wobei derDbergang vom Spannungswert 0 zum Spannungswert I im allgemeineninnerhalb einer sehr kurzen Zeitspanne r erfolgt ( Bild 4.22 ), so tritt am Ausgangdieses Differenziergliedes ein sehr kurzer und hoher Spannungsimpuls auf, der inseiner idealisierten Form als ein Deltaimpuls angesehen werden kann.


Mit Hilfe der Deltafunktion als verallgemeinerte Ableitung der Sprungfunktionkann die verallgemeinerte Ableitung einer Zeitfunktion f(t) definiert werden,

die, im Gegensatz zu der von der Analysis her bekannten ublichen Ableitung,auch an Sprungstellen (Unstetigkeitsstellen) der Funktion f( t) existiert.

Die praktische Bedeutung dieser verallgemeinerten Ableitung gerade fur dieAnwendungen der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik werden wirspater im Abschn. 4.4.3 erkennen. An dieser Stelle sei nur daraufhingewiesen,dass bei der Berechnung von Einschaltvorgangen in Netzwerken haufig Stromeoder Spannungen auftreten, die zum Schaltzeitpunkt t = 0 sich unstetig verhalten.Ersetzt man in den dabei auftretenden Differentialgleichungen die ublichenAbleitungen durch die verallgemeinerten Ableitungen, so ist die Frage nach deneinzusetzenden Anfangswerten eindeutig zu beantworten.

Definition 4.6:

Sei f( t) eine Zeitfunktion, die mit Ausnahme der Stellen t = ti ( i = 1, 2, .. , n)

uberall stetig ist. Die Sprunghohen an diesen Unstetigkeitsstellen seienhi = lUi +0) - lUi - 0), die Differenzen aus den rechtsund linksseitigenGrenzwerten der Funktionf(t).

Unter der verallgemeinerten Ableitung der Funktion f( t) versteht man

n

Df(t) = f'(t) + 2>ib'(t-tJ

i=l

(4.61)

FUr eine uberall stetige Funktion f( t) stimmen verallgemeinerte Ableitung D.f{t)

und ubliche Ableitung f'(t) uberein.

FUr eine Funktion mit Unstetigkeitsstellen stimmen D f(t) undf'(t) an allen

Stetigkeitsstellen von f( t) uberein, an den Unstetigkeitsstellen, an denen die

gewohnliche Ableitung f'( t) nicht definiert ist, wird die verallgemeinerte

Ableitung D f(t) durch einen Deltaimpuls beschrieben, dessen Impulsflache der

jeweiligen Sprunghohe entspricht.

Beispiel 4.35. Man bestimme die verallgemeinerte Ableitung der in Bild 4.30dargestellten Folge von Rechteckimpulsen.

f(t) = 2e(t) - 2e(t -1) +e(t - 2) -e(t - 3) +3e(t - 4) - 3e(t - 5)

106

f(t)r-----1

Df(t)

2 I I 2I II I

r----1 I I tI I I I

0 1 2 3 4 5 0

-2


5 t

Bild 4.30 Folge von Rechteckimpulsen und verallgemeinerte Ableitung

F·· d· "bI" h Ab1·tun ·It f'(t) {niehtdefiniertfiir t=1,2,3,4,5ur Ie u Ie e el g gi = 0 sonst

FUr die Folge von Reehteekimpulsen

f(t) = 2e(t)- 2e(t -1) +e(t - 2)-e(t -3)+3e(t-4) -3e(t-5)

ergibt sieh als verallgemeinerte Ableitung

Df(t) = 20(t) - 20(t -1) + o(t - 2)- oCt -3) + 30(t -4) -30( t -5)

Die verallgemeinerte Ableitung einer Folge von Reehteekimpulsen ist eine Folgevon Deltaimpulsen.

Wie wollen uns nun dem fUr die Anwendungen in der Elektroteehnik wiehtigenSonderfall zuwenden und kausa1e Zeitfunktionen f(t) betraehten, die, wenn

iiberhaupt, sieh nur zum Zeitpunkt t = 0 unstetig verhaIten.

R

L

iC

Bild 4.31 Netzwerk

c

SehaItet man beispie1sweise andas Netzwerk von Bi1d 4.31zum Zeitpunkt t = 0 eineG1eiehspannung u(t) = UOe(t) ,

so andert sieh der Tei1strom

i[(t) stetig, der Tei1strom icCt)dagegen unstetig.


Satz 4.28:

107

FUr eine, wenn iiberhaupt, nur bei t = 0 unstetige Zeitfunktion f( t), mit der

Laplace-Transformierten F(s) gilt

Df(t) 0 -. sF(s)- f(-O) (4.62)

1st f (t) eine kausale Zeitfunktion, was wir bisher immer vorausgesetzt haben,

so sind fur k = 0, 1, 2, ... , n - 1 alle linkseitigen Anfangswerte jCk) (-0) = 0

und es gelten die Korrespondenzen

Df(t) 0-. sF(s)(4.63)

D(n) f(t) 0 -. snF(s)

Beweis: Fiir eine bei t = 0 unstetige Zeitfunktion.f{t) gilt

(4.64)

Df(t)= f'(t)+ho(t).

Mit den Korrespondenzen

f'(t) 0-. sF(s)- f(+O)

o(t) 0-. I

folgt mit h =.f{+0) - .f{-O)

Df(t) 0-. sF(s)- f(-O)o


FUr eine kausale Zeitfunktion (.f{t) = 0 fur alle Zeitpunkte t < 0) mit.f{-0) = 0folgt (4.63) und durch wiederholtes Anwenden von (4.63) schliel3lich (4.64).Der Differentiationssatz fur die verallgemeinerte Ableitung

Df(t) 0-. sF(s)- f(-O)

unterscheidet sich vom Differentiationssatz fur die iibliche Ableitung

f'(t) 0-. sF(s)- f(+O)

nur dadurch, dass statt des rechtsseitigen Grenzwertes .f{+0) der linksseitigeGrenzwert.f{-O) auftritt.Dies hat bei den Anwendungen wichtige Folgerungen, da iiber den linksseitigenGrenzwert allgemeinere Aussagen gemacht werden konnen.


Beispiel 4.36. Es sollen die Laplace-Transformierten der Ableitungen derDeltafunktion bestimmt werden.

FUr die Laplace-Transformierte der Deltafunktion selbst erhalt man mit (4.62)I

und der Korrespondenz f(t)=£(t) 0-. F(s)=- die uns schon bekanntes

Bildfunktion der Deltafunktion1

8(t)=D£(t) 0-. s--£(-O)=ls

FUr die veraBgemeinerten Ab1eitungen der Deltafunktion fo1gt mit (4.62)

D(n)8(t) 0-. sn (4.65)

Den Bi1dfunktionen F(s) = sn entsprechen im Zeitbereich die Ableitungen derDeltafunktion.

4.3.13 Grenzwertsatze

a) Anfangswertsatz

Mit dem Anfangswertsatz lasst sich aus einer Bi1dfunktion F(s) der"Anfangswert" j(+0) der zugehorigen Zeitfunktion ohne die Kenntnis von f(t)

bestimmen.

Satz 4.29: Anfangswertsatz

Es sei F(s) eine Bildfunktion mit der Zeitfunktion f(t), deren Ab1eitung f'( t)

fur aBe Zeitpunkte t > 0 existiert und eine Lap1ace-Transformierte besitzt. FUrden Anfangswertj(+O) der Zeitfunktionf(t) gilt dann

lim f(t)= lim sF(s)t --7 +0 S --7 00

(4.66)

Beweis: Da vorausgesetzt wurde, dass f'(t), die Ab1eitung der Zeitfunktion

f( t) fur aBe Zeitpunkte t> 0 existiert und eine Lap1ace-Transformierte besitzt,

konvergiert das Laplace-Integral der Ab1eitung und es gilt mit demDifferentiationssatz fur die Originalfunktion


1'(/) 0-. ff'(/)e-S'd,=SF(S)- f(+O)

o1m Grenzfall s ---7 00, wobei der Grenzlibergang so zu fiihren ist, dass auch

Re s ---7 00 strebt, gilt I' (I) e-sl ---7 0 fur alle Zeitpunkte I.

Damit erhiilt man

lim ff'(/)e-S'd,= lim sF(s)- f(+O)S --700 S--7OO

o

0= lim sF(s)- f(+O)S---7 00

Durch diesen Satz wird eine Aussage uber den Anfangswert derOriginalfunktionf(/)gemacht. Die Existenz des Grenzwertesj{+O) ist unter den

gemachten Voraussetzungen gesichert.

Da man bei den Anwendungen des Satzes diese Voraussetzungen nicht immerprufen will oder kann, sei darauf hingewiesen, dass aus der Existenz desGrenzwertes lim sF(s) nicht auf das Vorhandensein des Grenzwertes

S--7 OO

lim f( I) geschlossen werden darf.1 --7 +0

b) Endwertsatz

Satz 4.30:

Es sei f (I) eine Zeitfunktion, fur welche die Voraussetzungen des Differentia

tionssatzes gelten und deren Laplace -Transformierte F(s) mit Ausnahrne einereinfachen Polstelle bei s = 0, fur Re s :?: °keine weiteren Pole hat.

Dann gilt der folgende Endwertsatz

limf(/)= limsF(s)1--700 S--70

(4.67)


Beweis:Ausgehend vom Differentiationssatz fur die Originalfunktion

1'(t)o-. f1'(t)e-stdt=SF(S)- f(+O)

+0folgt im Grenzfall s ~ 0

j1'(t)dt= lim f(t)-f(+O)= lim sF(s)-f(+O)t ---7 00 S ---7 0

+0

2Beispiel 4.37. Gegeben ist die Bildfunktion F(s) = 2s - s +12

s3 +s2 +3s+3

Es sollen der Anfangswert j(+O) und der Endwert lim f(t) der zugehOrigent ---700

Zeitfunktion bestimmt werden.

Anfangswert:

Endwert:

Damit sind Anfangs- und

bestimmt.

limf(t)= lim s (2s2

-s+12) =21---70 S---7= s3 +S2 +3s+3

lim f( t) = lim s (2s2

- S +12) = 01---7= S---70 s3 +S2 +3s+3

Endwert ohne Kenntnis der Zeitfunktionf(t)

Beispiel 4.38. Es sollen Anfangs- und Endwert der Zeitfunktion f( t) bestimmt

werden, deren Laplace-Transformierte die Bildfunktion F(s) =~ ist.s2 +1

Anfangswert:

Endwert:

limf(t) = lim ~ = 11---70 S---7= S2 +1

lim f(t)= lim s =01---7= S---70 ~S2 +1



111

Aufgabe 4.24. Man berechne zu den folgenden Bildfunktionen die Anfangs- undEndwerte ihrer zugehorigen Zeitfunktionen.

a) F(s) = 1b) F(s) = 1

(1 +3s)3 (s -1 )(s + 2)2

c) F(s) =2s2+3s+2 d) F(s) = ~arctan (~J

s3 +2s2 +2s

e) F(s) = 1f)

1

sMF(s) = -!n(1 + s)

s

4.3.14 Differentiationssatz fUr die Bildfunktion

Satz 4.31:

1st F(s) die Laplace-Transformierte der kausalen Zeitfunktionf(t) , so gelten die

folgenden Korrespondenzen

dF(s)-- .-0 -tf(t)

ds

d(n)F(s)----'---'- .-0 (-l)ntnf(t)

ds n

(4.68)

(4.69)

Dieser Differentiationssatz fur die Bildfunktion macht eine Aussage tiber dieOriginalfunktionen der Ableitungen einer Bildfunktion. Dadurch werden weitereEinsichten in die Zusammenhange zwischen einer Bildfunktion F(s) und derzugehOrigen Zeitfunktion f (t) gegeben.

Beweis: Ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplace-Transformation

F(s) = jf(t)e-stdt

o


erhalt man durch Differenzieren der Bildfunktion nach der Variablen s

dF(s) _ d fj( ) -std---- t e tds ds

oDa die Variablen s und t voneinander unabhangig sind, konnen Differentiationund Integration vertauscht werden. Damit ergibt sich

dF(s) = oof~[r(t)e-st]dt=- OOjt j(t) e-stdtds ds

o 0

Das letzte Integral ist die Laplace-Transformierte der Zeitfunktiong( t) = - t j( t) Durch mehrfaches Anwenden der Korrespondenz (4.68) erhlilt

man die Korrespondenz (4.69).

Beispiel 4.39. Es solI die Laplace-Transformierte der ZeitfunktionJet) = t sin(wt) berechnet werden.

Aus der KorrespondenzOJ

sin(wt) 0 -. folgt mit dem Differentia-s2 + w2

Fur s = 2 ergibt sich schlieBlich

tionssatz fur die Bildfunktion

Beispiel 4.40. Man berechne das Integral Jtsin( t)e-2tdt .

oMit dem Ergebnis von Beispiel 4.39 erhlilt man fur OJ = 1 die Korrespondenz

tsin( t) 0 -. 2s = rtsin( t)e-stdt(s2 + 1)2 J'

o

jtsin(t)e-2tdt=~=O,16 .25

o


Wir erhalten

Beispiel 4.41. Aus der Korrespondenz F(s) = ~ • - 0 ~ sollen mit demvS "\jJrt

Differentiationssatz fUr die Bildfunktion neue Korrespondenzen hergeleitetwerden.

.1dF(s) 1 t t 2

--=--- .-0 ---=-ds 2sI; Ft Ii

1.und d

2F(s) =..!.i_1_ .-0 t 2

ds2 2 2 s2I; IiDurch Fortsetzen des Verfahrens ergibt sich die Korrespondenz

n-.l1 4n n!t 2

--.-0----sn I; (2n)! Ii

Beispiel 4.42. Man berechne die Originalfunktion f( t) zur Bildfunktion

F(S)=ln(l+ s~JDurch Differenzieren der Bildfunktion und Zerlegung in Partialbriiche folgt

dF(s)=_ 2 =_~+~

ds s(s2 +1) s s2 +1

Durch inverse Laplace-Transformation und Beachten des DifferentiationssatzesfUr die Bildfunktion erhalten wir

dF(s) .-0-2+2cos(t)=-tf(t)ds

und daraus

f(t)= 2-2cos(t) .t



Aufgabe 4.25. Man berechne die Bildfunktionen F(s) zu den folgendenZeitfunktionen

a) f(t)=tsinh(t)

c) f(t) = t\os(t)

e) f(t) =.!..[sin(t)-tcos(t)]2

b) f(t)=t 2sin(t)

d) f(t) = t[3sin(2t) +cos(2t)]

Aufgabe 4.26. Man bestimme die Zeitfunktionf(t) zur Bildfunktion

F(s)=-ln(l+s).

4.3.15 Integrationssatz fUr die Bildfunktion

Satz 4.32:

Es sei F(s) die Bildfunktion der Originalfunktion f( t). Dann gilt unter der

Voraussetzung, dass auch g(t) = f(t) eine Bildfunktion besitztt

jF(u)du .-0 f;t)

s

(4.70)

1st F(s) die Bildfunktion von fit), so erhalt man durch eine Integration vons bis 00 fiber die Bildfunktion die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

get) = f(t) .t

Beweis: Gehen WIr aus von der Definitionsgleichung der LaplaceTransformation

F(s) = jf(t)e-stdt

ound bilden das Integral


fF(U)dU = f ff(t)e -ut dtdu,

s sO

so konnen die Integrationen vertauscht werden, da die Variablen u und tunabhangig voneinander sind und man erhalt

fF(U)dU = }f(t)[}e-utdU]dt = }f(t) e~st dt

s 0 s 0

Das letzte Integral ist die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion g( t) = f( t) .t

Da vorausgesetzt wurde, dass g(t) eine Laplace-Transformierte besitzt, ist dieKonvergenz dieses Integrals gesichert.

Aus dem Integrationssatz fur die Bildfunktion

F(s) .-0 f(t) ~ fF(U)du = Sf;t) e-stdt

s 0

ergibt sich im Grenzfall s ~ 0

fF(S)dS = jf;t) dt

o 0

(4.71)

01. (4.71) kann, auch wenn es nicht unbedingt als eine Aufgabe der LaplaceTransformation angesehen wird, zur Berechnung bestimmter Integrale des Typs

Sf; t) dt verwendet werden.

o

Beispiel 4.43. Man bestimme die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion

f(t)=sin(t) .t

Aus sin(t) 0-. _1_s2 +1

folgtsin( t)--0-.

t

116

Das bedeutetsine t)

t0-.


[ arctan(u)] U---7= = .:: _ arctan(s) = arctan(!)u=s 2 s

fSint( t)dt.Beispiel 4.44. Man berechne das Integral

o1

Aus der Korrespondenz sine t) 0 -. -2-- erhalt man mit GI. (4.71)s +1

[arctan(s)I 1t

2

Damit ist der Zahlenwert des Integralsinus fur das Argument "unendlich",Si(oo), der in der Nachrichtentechnik gelegentlich gebraucht wird, berechnet. Einanderer Weg, SiC00) zu bestimmen, wurde im Abschnitt 4.3.9 gezeigt.

Beispiel 4.45. Gegeben ist die Korrespondenz

II_a)t _a2t----- .-0 e -es+al s+aZ

Mit dem Integrationssatz fur die Bildfunktion soll eme neue Korrespondenzgefunden werden.Man erhalt

oofF(U)dU = OOf[_1 __I_]dU = In [u+al]OOu+al u + aZ u+aZ

s s s

Da der Grenzwert lim u + al = 0 ist, findet man die Korrespondenzu -7 00 U+aZ

.-0



117

Aufgabe 4.27. Man berechne die Laplace-Transformierten F(s) zu denfolgenden Zeitfunktionen

a) f( I) = sinh( I)I

l-e-tb) f(l)=-

I

c) f(/) = cos(a]/) - cos(azt)I

Aufgabe 4.28. Man berechne die folgenden bestimmten Integrale

a) YOS(4/);COS(/) dl

o

5 Anwendungen der Laplace-Transformation

5.1. Losen von gewohnlichen Differentialgleichungenmit konstanten Koeffizienten

Definition 5.1:

Eine lineare gewohnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstantenKoeffizienten ist eine Differentialgleichung der Form

j(n) (t) + an-I! (n-l) (t) +... + aI!' (t) + aaj( t) = r( t) (5.1)

wobei ret) eine beliebige "StOrungsfunktion" ist. Die Differentialgleichung heiBthomogen, wenn ret) = 0 ist.

Bei einer gewohnlichen Differentialgleichung ist die gesuchte Funktion, hier dieZeitfunktionj(t), eine Funktion von nur einer Veranderlichen.

Die betrachtete Differentialgleichung heiBt linear, da die gesuchte Zeitfunktionj(t) und ihre Ableitungen nur linear auftreten.

Die Koeffizienten aI, a2' ... an-l sind zeitunabhangige konstante Faktoren.

Diese, mit Hilfe der Laplace-Transformation besonders einfach lOsbare Klassevon Differentialgleichungen, tritt bei vielen Problemstellungen der Elektrotechnik, etwa bei der Berechnung von Einschalt- und Ausgleichsvorgangen inNetzwerken, auf.Zum Losen der in Gl. (5.1) beschriebenen Differentialgleichung setzen wirvoraus, dass die gesuchte Zeitfunktion j (t) eine Laplace-Transformierte F(s)

besitzt, dass also die Korrespondenz

j(t)O-.F(s)

gilt. Mit dem Differentiationssatz fUr die Originalfunktion

j<n)(t) 0-. snF(s)_sn-lj(+0)_sn-21'(+0)- ... - j(n-l) (+0)

kann die gegebene Differentialgleichung n-ter Ordnung in den Bildraumtransformiert werden. Dazu ist es notwendig, dass die im Differentiationssatz fUrdie Originalfunktion auftretenden n Anfangswerte

j(+O)J'(+o),'" ,j(n-l) (+0)

bekannt sind.

5.1. Losen von gewohnlichen Differentia1g1eichungen 119

Gerade bei den in den Anwendungen vorkommenden Differentialgleichungenkann die Kenntnis dieser Anfangswerte im Allgemeinen vorausgesetzt werden.Sind einige dieser Anfangswerte jedoch nicht vorgegeben, so werden fUr siebeliebige Konstante eingesetzt. Die Losungsfunktion enthalt dann ebenfalls dieseKonstanten, die dann durch Einsetzen von anderen Nebenbedingungen bestimmtwerden miissen.Da im Differentiationssatz die Laplace-Transformierte F(s) der gesuchtenZeitfunktion linear vorkommt, erhalt man durch die Transformation der linearenDifferentialgleichung in den Bildraum eine lineare Gleichung fUr F(s), die relativeinfach nach F(s) aufge16st werden kann. Inverse Laplace-Transformation ergibtdann die Losungsfunktion jet) der Differentialgleichung, die den verwendeten

Anfangsbedingungen geniigt.

Das Losen einer linearen gewohnlichen Differentialgleichung mit konstantenKoeffizienten erfolgt nach folgendem Schema.

Differentialgleichung Gesuchte Zeitfunktion+ Anfangswerte jet)

t Laplace-TransformationInverse iLaplace-Transformation

Lineare Gleichung BildfunktionfUr F(s) ~ F(s)

Die Losung der Differentialgleichung wird besonders einfach, wenn alleAnfangsbedingungen verschwinden, d.h. fUr

j( +0) = j'(+O) = 1'(+0) = ... = jCn-l)(+O) = 0

In diesem Falle geht Gl. (5.1) durch Laplace-Transformation iiber in

sn F(s) +an- 1 sn-I F(s)+ ... +ao F(s) = 2'{ ret) }

und man erhalt als Laplace-Transformierte der gesuchten Zeitfunktion

F(s) = 2'--:{=--r_(t_)..::....} _

sn +a sn-l + ... +a1s+aon-l

2'{ ret) }

N(s)(5.2)

120 5 Anwendungen der Laplace-Transformation

1m Falle verschwindender Anfangsbedingungen hat eine homogene Differentia1g1eichung mit konstanten Koeffizienten wegen

r( t) = 0 ~ .2'{ r( t) } = 0 nur die trivia1e Losung f(t) = O.

Die Losung der inhomogenen Differentialg1eichung, bei der die StOrungsfunktion ret) nicht identisch null ist, erhli1t man durch Zerlegen von Gl. (5.2) inPartia1briiche und gliedweises Transformieren in den Zeitbereich.

1m Falle nicht verschwindend Anfangswerten geht Gl. (5.2) tiber in

F(s) =

n-I

.2'{ r(t) } +Lk; s;

;=1

N(s)

(5.3)

Der Zahler enthlilt, bedingt durch die nicht verschwindenden Anfangsbedingungen, zusatzlich ein Po1ynom der Bi1dvariab1en s, das ilirf(+O) t:- 0 yomGrade n - 1 ist.Raben die Lap1ace-Transformierte der StOrfunktion und der Nenner N(s) keinegemeinsamen Po1stellen, so hat die Bi1dfunktion F(s) im Falle nichtverschwindender Anfangswerte die gleichen Pole, wie im Falle verschwindenderAnfangswerte. Die Losungsfunktionen sind also bis auf andere konstanteFaktoren die gleichen.

Beispiel 5.1. Man berechne die Losung der Differentia1g1eichung

f'(t) +2f(t) = sin(t),

die der Anfangsbedingung f(+O) = 0 geniigt.Durch Transformation der gegebenen Differentia1g1eichung III den Bildraumerhlilt man

1s F(s) +2F(s) =-2-

s +1und daraus durch Umformen und Partialbruchzerlegung

F(s) = 1 = ~+ A2s+A3

(s+2)(s2 +1) s +2 s2 +1

Multip1ikation mit N(s) = (s + 2)(s2 + 1) ergibt die G1eichung

1= Al (s2 + 1) + (A2s + A3)(s + 2)

Zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten A}. A2 und A3 setzen wirgUnstige s-Werte ein und erhalten fur

5.1. Lasen von gewahnlichen Differentialgleichungen

s=-2: 1 = 5A1 :::::> A1= 0,2

s= 0: 1 = 0,2 + 2A2 :::::> A3 = 0,4

s= 1: 1 = 1+0,4+ 3A2+ 1,2 :::::> A2 =-0,2

121

s = 2j:

s = 3j:

Damit ergibt sieh

F(s) = 0,2[_1 S_+_2_] .-0 Jet) =0,2 [e-2f -eos(t)+ 2sin(t)]s + 2 s2 + 1 s2 + 1

Beispiel 5.2. Man bereehne die Lasungsfunktionj(t) der Differentialgleiehung

j" (t) + 9j(t) = eos(2t)

fur die Nebenbedingungen j(+0) = °und f' (n;) = 1.

Da die Anfangsbedingung 1(+0) nieht gegeben ist, setzen wir 1(+0) = k undbestimmen, naehdem eine Lasung vorliegt, die k enthaIt, die Konstante k so, dassf'(n;) = 1 wird.

LapIaee-Transformation der DifferentialgIeiehung ergibt

2 s s ks F(s)-k+9F(s)=-- und F(s)= +--

s2 +4 (s2 +9)(s2 +4) s2 +9

Eine Partialbruehzerlegung braueht hier nur fur den ersten Term der reehten Seitedurehgefiihrt werden. Man erhalt

s A 1s+A2 A3s+A4-,-------+----"-,----------'---

(s2 +9)(s2 +4) s2 +9 s2 +4

und naeh der Muitiplikation dieser GIeiehung mit dem Nenner

s = (A1s + A2)(s2 + 4) + (A3s + A4 )(s2 + 9)

2j = (A32j + A4) 5 => A3 = 0,2 und A4 = °3j = (A1 3j +A2)(-5) => Al =-0,2 und A2=0

Dureh Einsetzen der imaginaren Po1stellen s = 2j bzw. s = 3j ergeben sieh zweieinfaehe Gleiehungen, aus denen dureh VergIeiehen von Real- undImaginarteilen der GIeiehungen jeweils zwei der unbekannten Koeffizientenbestimmt werden kannen.


Damit erhalt man

F(s)= 0,2ss2 +4

0,2s k- --+--s2 +9 s2 +9

und

f( t) = 0,2 cos(2 t) - 0,2 cos(3t) +!!:... sin(3 t)3

Zur Bestimmung der noch unbekannten Konstanten k bilden wir die Ableitung

f' (t) = - 0,4sin(2t) + 0,6sin(3t) + k cos(3 t)

und erhalten f' (rc) = -k = 1 => k =-1

Die partikuliire Losung der Differentialgleichung, die den gegebenenNebenbedingungen geniigt, lautet somit

f( t) = 0,2cos(2t) - 0,2cos(3t) - !sin(3t)3

Beispiel 5.3: Schwingung mit Bremsreibung

Eine Masse schwinge zwischen zwei Fedem entsprechend Bild 5.1.

m=MasseD = FederkonstanteFR = Reibungskraft

Bild 5.1 Schwingung mit Bremsreibung

Die Bewegung der Masse mist durch folgende Differentialgleichung bestimmt

d 2 x(t) d 2 x(t) D FRm--+Dx(t)+FR =0 bzw. --+-x(t) =--=r(t)

&2 &2 m m

d 2x(t) 2--+ 0) x(t) = r(t)dt 2

Mit der Anfangsauslenkung A o =0 und der Anfangsgeschwindigkeit dx(t) =°dt

erhalt man im Bildbereich der Laplace-Transformation die Gleichung

s2X(s) - sAo + 0)2X(s) = L{ r(t)}

Die periodische Funktion r(t) nach Bild 5.2 hat die Laplacetransformierte

5.1. Lasen von gewahnlichen Differentialgleichungen

1{t)

sTk

~ r---k 1-e 2L{ r(t)} = I I I t

s sT I I I--

l+e 2 0 IT 2T-k I

(s. Beispiel 4.14)Bild 5.2 Periodische Funktion ret)

Damit ergibt sich fUr die Laplace-Transformierte Xes)sT

123

Xes) = Ao s + k I(s2+ ol) s(i+ol)

Durch Polynomdivision erhalt man

1- e 2

sT

I+e 2

sT

I-a =1-2a+2a2 -2a3 +2a4 _+ ... und damit fUr a = e 2I+a

Xes) = 2Aos 2 + k [1_2e-S

; +2e-sT -2e- 3~T +_...•(s + liJ) s(s2 + liJ2)

Mit der Korrespondenz Nr. 26, Abschn. 6.3liJ2

---=--------,,--- • - 0 1 - cos (OX )s(s2 + liJ2)

Mit dem Verschiebungssatz erhalt man die Zeitfunktion

x(t) = Ao cos(wt) +~(1-cos(wt)) -2!....(I-COS w(t - T )Je(t - TJ +- ...oJ liJ2 2 2

x(t) =[Ao - ~ }OS(liJt)+~ -~ (I-COSw(t- ~)Je(t-~J+

+2!....(1- cos w(t - T) )e(t - T) -2!....(I- cos w(t - 3T )Je(t - 3TJ+ - ...liJ2 liJ2 2 2

o ~ t < T : x(t) = [Ao-~]cos(liJt)+~2 liJ2 liJ2


T [k ] 2k T k- ~ t < T : x(t) = An-- cos(wt)+-cos(t--)--2 oJ w2 2 w2

[ 3k] k= An-- cos(wt)--w2 w2

Durch Fortsetzen dieser Uberlegungen (immer mehr Epsilonfunktionen werdenvon Null verschieden) kann die Schwingung der Masse fur die weiterenZeitintervalle bestimmt werden.Den Verlauf der Bremsschwingung mit linear abfallender Amplitude zeigt dasfolgende Bild. Die Schwingungsamplitude wird nicht bis auf den Wert Nullabklingen. Die Schwingung wird beendet sein, wenn die Federkraft dieReibungskrafte nicht mehr iiberwinden kann.

Ao

o

-AO

Bild 5.3Schwingung mitlinear abfallenderAmplitude


Aufgabe 5.1 Man bestimme fur die folgenden Differentialgleichungen dieLosungsfunktionenj(t), die den angegebenen Anfangsbedingungen geniigen

a) f"(t)+3f'(t)+2f(t) = t b) f"(t)+2f'(t)+f(t) = 25sin(2t)

f(+O)=f'(+O)=O f(+O) =0; f'(+0)=5

c) f"(t)-9f(t) = 10e-2t _6e-3t d) f'''(t)+f(t)=O

f(+O) = 2; f(+O) = -1 f(+O) = 1; f(+O) = 3; 1'(+0) = 8

e) f"(t)+4f'(t)+4f(t) = t:(t)-t:(t-2)

f(+O) = 0; 1'(+0) = 0

5.1. Losen von gewohnlichen Differentialgleichungen

Aufgabe 5.2 Man bestimme die allgemeine Lasung der Differentialgleichung

!"(t)+2j'(t)+4!(t)=38e-5t .

125

FUr die allgemeine Lasung werden keine bestimmten Anfangsbedingungenvorgegeben, sie enthiilt daher in diesem Beispiel zwei unbestimmte Konstanten.

Aufgabe 5.3 An ein RC-Glied (s. Bild 5.4) wird zum Zeitpunkt t = 0 eineEingangsspannung ue(t) angelegt. FUr die Ausgangsspannung uaCt) gilt die

Differentialgleichung

du (t)RC-a-+u (t) = u (t)

dt a e

Der Kondensator sei vor dem Schaltenungeladen, d.h. es gilt die Anfangsbedingung u. (- 0) = O.Man bestimme die Ausgangsspannungen u.(t) bei den folgendenEingangsspannungen

a) ue(t) = Uo[£(t)-£(t-r)]

Uo 1--------,

t

o

Bild 5.4 a Eingansspannung

R

u,,(t)~ u,(t)

Bild 5.4 RC - Glied

b) ue(t) = kt

Bild 5.4 b Eingansspannung


5.2 Losen von Systemen gewohnlicher Differentialgleichungenmit konstanten Koeffizienten

Bei vielen Aufgabenstellungen sind mehrere Zeitfunktionen gesucht, die einemSystem von linearen gewohnlichen Differentialgleichungen mit konstantenKoeffizienten geniigen.Sind etwa k Maschenstrome il(t), i2(t), ... , il..t) zu berechnen, so ist ein Systemvon k Differentialgleichungen fur die k unbekannten Zeitfunktionen zu lOsen.

Ein klassisches Losungsverfahren besteht darin, ein Differentialgleichungssystemn-ter Ordnung, wobei die Ordnung des Systems durch die Summe der Ordnungender einzelnen Differentialgleichungen gegeben ist, durch einenEliminationsprozess in eine Differentialgleichung n-ter Ordnung fUr nur eine dergesuchten Zeitfunktionen umzuwandeln. Dieser Eliminationsprozess ist haufigkompliziert und manchmal gar nicht durchfilhrbar.

Wesentlich einfacher gestaltet sich das Losungsverfahren, wenn die LaplaceTransformation verwendet wird. Die gegebenen Differentialgleichungen werdenunmittelbar, unter Beachtung der Anfangsbedingungen, in den Bildraumtransforrniert. Das System von linearen Differentialgleichungen mit konstantenKoeffizienten des Zeitbereichs wird im Bildbereich zu einem linearenGleichungssystem fUr die Laplace-Transformierten der gesuchten Zeitfunktionen.

System von linearenDifferentialgleichungen

mit konstantenKoeffizienten

+ Anfangswerte

LaplaceTransformation

Lineares Gleichungssystemfur die Bildfunktionen dergesuchten Zeitfunktionen

Das lineare Gleichungssystem fUr die Bildfunktionen kann mit elementarenMethoden gelOst werden. Durch inverse Laplace-Transformation erhalt man danndie gesuchten Zeitfunktionen.

Beispiel 5.4 Gegeben sind bei dem Kopplungsgrad k zwei mit derGegeninduktivitat M = kL gekoppelte Stromkreise nach Bild 5.4. ZumZeitpunkt t = 0 wird eine Gleichspannung Uo angelegt, die Eingangsspannungwird also durch u(t) = Uo e(t) beschrieben.

5.Z Lasen von Systemen gewahnlicher Differentialgleichungen lZ7

Berechnet werden sollen die beiden Strome il (t) und i2(t) mit denAnfangsbedingungen il (-0) = iZ (-0) = 0 .

Aus den Maschengleichungen ergebensich zwei lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.

d· (t) d· (t)L_

1_1 -+M-1_Z-+Ri (t) = U, £(t)dt dt 1 0

L diZ (t) M dil (t) R· ( ) - 0--+ --+ IZ t-dt dt

R R

Dieses System 2. Ordnung solI nungelost werden. Bild 5.5 Gekoppelte Stromkreise

Ms

Mit den Anfangsbedingungen h(+0) =iZ (+0) =0 ergibt die Transformation der

beiden Differentialgleichungen des Zeitbereichs in den Bildraum dieGleichungen

U(1) (Ls+R)11(s)+Ms12(s) = _0

s(2) Ms 11(s) + (Ls+R) 12 (s) = 0

Dieses lineare Gleichungssystem flir die Laplace-Transformierten 11(s) und h(s)kann wahl am iibersichtlichsten mit dem Determinantenverfahren (Cramer'scheRegel) gelost werden.

!!JLso R+Ls

h(s)= I IR+Ls Ms

Ms R+Ls

!!JLR+Lss

R+Ls Uo(R+Ls)2 _M2s2 s

Ms 0

lZ(s)= IR+LS Ms IMs R +Ls

Mit der Gegeninduktivitat M = kL folgt weiter


1R js+---

L(1- k)

h(s)= Uo R+Ls UO(R+Ls)

s (R+Ls)2 _M2s

22 2 [ R][ R]

L (1- k )s s + L(1 + k) s + L(1- k)

=A+ B + C

s [s+L(1:k)] [s+L(1~k)]Eine Berechnung der Zahler A, B und C der Teilbruche ergibt

A = U0 B = _ U0 und C = _ U0R ' 2R 2R

Wir erhalten somit

It(S)=~2~~ - Rs+--

L(1 +k)

und durch eine analoge Rechnung

I (s)=~o I2 2R R

s+--L(1 +k)

I R js+---

L(1- k)

Inverse Laplace-Transformation ergibt im Zeitbereich schlieBlich die gesuchtenStrome

W)~ ~2-C- L(~~k) -c- L(:'k)]

;2(t)~~e- L(~~k) -e- L(~~k)]

Bild 5.5 zeigt den Verlauf der beiden Strome il (t) und i2(t) bei R =1000 s-1L

und Uo = 100 rnA fur die Kopplungsgrade k1 = 0,5 und k2 = 0,9.R

5.2 Losen von Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen 129

100rnA

oa)

i(t)

5ms

100rnA

ob)

i(t)

5ms

Bild 5.6 Strome il (t) und i2(t) von Beispiel 5.4 bei den Kopplungsgraden

kl =0,5 (a) und k2 =0,9 (b)

Beispiel 5.5. An den Eingang des Ubertragungsgliedes von Bild 5.7 wird zumZeitpunkt t = 0 die Spannung ue(t) = Uoc(t) angelegt.

L

0----'.----.----0

Es so11 der zeitliche Verlauf derSpannung udt) an derKapazitlit C berechnet werden.

Die Anfangsbedingungen sind:

i(-O) = 0 und uc(-O) = O.1

----7i(t)

u,Jt) R

Bild 5.7 Schaltung zum Beispiel 5.5

Aus UL(t) + uc(t) = ue(t) folgt mit uL (t) = L diet) die Differentialgleichungdt

d·(t)(1) L-I-+ucCt)=ue(t)

dt

und aus mit ic (t) = C dudt)dt

die zweite Differential-

gleichung

(2) C due( t) +~ue( t) = i( t)dt R


Die beiden Gleichungen (1) und (2) bilden ein Differentialgleichungssystem2. Ordnung fiir die Zeitfunktionen Udt) und i(t). Mit den angegebenenAnfangswerten ergibt die Transformation in den Bildraum die beiden linearenGleichungen fiir die Bildfunktionen I(s) und Uc(t)

(1) LsI(s) + UcCs)=Uos

(2) I(S)-(Cs+ ~)UcCS)= 0

Durch Auflosen dieses linearen Gleichungssystems nach der LaplaceTransformierten der gesuchten Kondensatorspannung findet man

Ls !!JLs Ua

0 UaUcCs) = sLs Ls(Cs+ ~)+l (2 1 1 )LCs s +-s+-

1 -(Cs+ ~)RC LC

Mit der Kennkreisfrequenz lOa = ~ 1 und der AbklingkonstanteLC

1 uai U lO6g =-- fol81 UcCs) = a a = a -----;:--"----_=______=_

2RC s(s2+ 2gs + 106 ) s (s+gi+ 106- g2

Zur Partialbruchzerlegung der Bildfunktion Uc (s) benotigt man die Pole von

Uc(s). Diese liegen bei sl = 0 und s2,3 = - g ±~g2 - %.

Je nach Art der Pole kann man die folgenden Falle unterscheiden. Es sei t'J=~We

der Dlimpfungsgrad.

1. Aperiodischer Grenzfall: t'J= 1, also g2 - lO6 = 0

Die Pole s2,3 = - g sind reell und gleich groB. Dies fiihrt zu folgender

Partialbruchzerlegung

5.2 Losen von Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen

A A AUcCs) = _1 + 2 +_3_s (s +J)2 s+ J

und im Zeitbereich zu

131

2. Periodischer Fall: 1J < 1 =>

Die Pole S2, 3 sind jetzt konjugiert komplex. Wir erhalten mit der Eigenkreisfrequenz

W= ~w5 -J2

die Partialbruchentwicklung

U w2 A A AUc(s)=~ 0 =_1 + 2s + 3

s (s + J)2 + w2 s (s + J)2 + w2

und nach Berechnung der Konstanten Al = U0, A2 = -U0und A3 = - 2UOJ folgt

im Zeitbereich die Kondensatorspannung

uC(t) = UO[I- e-bt {COS(wt) + ~ Sin(W!)}] .

3. Aperiodischer Fall: 1J> 1 => J2 - w5 > 0

Der aperiodische Fall kann analog zum periodischen Fall behandelt werden.

Mit J2 - w5 = a2 foIgt

U w2

A A AUc(s)= 0 0 =_1+ 2s + 3s (s + J)2 - a2 s (s + J)2 _ a 2

Die Berechnung der Koeffizienten ergibt wie im periodischen Fall

Wegen des Vorzeichenunterschiedes im Nenner des zweiten Terms erhiHt mannun statt der trigonometrischen Funktionen die entsprechenden Hyperbelfunktionen.


In allen Fallen ergibt sich nach Beendigung des Einscha1tvorganges (t ~ (0)udt ) = Uo.

Beisoiel 5.6. Man berechne die Zeitfunktionen x(t) und yet), des Differentia1gleichungssystem

2(I) d x(t)=y(t) (2) dy (t)_y(t)=4 dx(t)_4x(t)

~2 ~ ~

mit den Anfangsbedingungen x(+O) = 0, y(+O) = 1 und x'(+O) = 1.

Durch Laplace-Transformation erhalten wir im Bi1draum das lineareGleichungssystem

(1) s2Xes) yes)

(2) (-4s + 4)X(s) + (s-l)Y(s) =

Auflosen dieses Gleichungssystem mit der Cramer'schen Regel ergibt

-1

1 s -1 sX(s) =

s2 s3 _s2 -4s +4-1

-4s+4 s -1

2s

yes) =-4s+4 s2 +4s-4

s2 -1 s3 _s2 -4s +4

-4s+4 s-I

Zur Partialbruchzerlegung benotigen wir die Polstellen der Bildfunktionen. Sieergeben sich als die Losungen der algebraischen G1eichung 3. Grades

s3 - s2 - 4s + 4 = 0

5.2 Losen von Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen 133

Eine Mog1ichkeit, eine derartige Gleichung zu lOsen, besteht darin, eventuellvorhandene ganzzah1ige Losungen durch Probieren zu finden. Da das Produktder Losungen bis auf das Vorzeichen das konstante Glied ergibt(Koeffizientensatz von Vieta), kornmen hier zum Probieren die ganzen Zahlen± 1, ± 2 und ± 4 in Frage. Es ist s = 1 eine 1eicht erkennbare Losung. DurchDivision mit den Linearfaktor s - 1 ergibt sich die quadratische Gleichung

s2-4=0

mit den Losungen s2 = 2 und s3 = - 2. Hieraus resu1tieren die Partia1bruchzerlegungen

Al A A _1 1 _1X(s) = __ +_2_+_3 = _3_+_2_+_6

s-l s-2 s+2 s-l s-2 s+2

BI B2 B3 -t 2 -tY(s)=--+--+- = --+--+-s-l s-2 s+2 s-l s-2 s+2

Riicktransformation in den Zeitbereich ergibt die gesuchten Losungsfunktionen

1 t 1 2t 1 -2tx(t)=--e +-e --e3 2 6

und1 t 2t 2 -2ty(t) = --e + 2e --e3 3

Es 1asst sich 1eicht bestatigen,Differentia1g1eichungssystem und dieerfiillen.

dass diesevorgegebenen

Zeitfunktionen dasAnfangsbedingungen


Aufgabe 5.4. Man lOse das Differentia1g1eichungssystem 2. Ordnung

x(t) + 2y(t) =(2)

(1) dx(t) - 2x(t)dt

dy(t) +dt

4y(t) cos(t)

sin(t)

mit den Anfangswerten x(+O) = 0 und y(+O) = 1.


Aufgabe 5.5. Man berechne die Losungen x(t) und y(t) der Differentialgleichungen2

(1) d x(t) = yet) (2) dy(t) = 9 dx(t) ,&2 & &

die den Anfangsbedingungen x(+0) = I, y(+0) = 6 und x'(+0) = 0 geniigen.

Aufgabe 5.6. Man berechne die Losungen x(t) und yet) des folgenden Systems vonDifferentialgleichungen

(1) dx(t) = 2x(t) - 3yet)dt

(2) dy(t) = y(t) - 2x(t)dt

mit den Anfangsbedingungen x(+0) = 8 und y(+0) = 3.

Aufgabe 5.7.

Bild 5.8 Schaltung von Beispiel 5.7

An die Schaltung von Bild 5.8 wirdzur Zeit t = 0 eine Gleichspannung

u(t) = Uoc(t)

angelegt.Es gelte die Anfangsbedingung

ucC-O) = O.

Fur die Teilstrome it(t) und ic(t)

gelten die Gleichungen

(2)

(1) R[iL(t)+icCt)J+L diL(t) = Uoc(t)dt

t

L diL (t) - 1 f' ( )d-- - - Ie -r -rdt C

o1 1

Man berechne fur den periodischen Fall: --<-- den Teilstrom ic (t), wenn2RC JLC

folgende Anfangsbedingung gilt: iL(+O) = O.

Bemerkung: Durch Differenzieren konnte in Gleichung (2) das Integralweggebracht werden. Gleichung (2) wird dann eine Differentialgleichung 2.Ordnung. Dies ist aber nicht notwendig, da der Integrationssatz fUr dieOriginalfunktion verwendet werden kann. Gleichung (2) enthiilt die weitereAnfangsbedingung uc(+O) = O.

5.3 RCL - Netzwerke

5.3 RCL - Netzwerke

135

Die Frage nach den Stromen und Spannungen in den Zweigen eines RCLNetzwerks fuhrt im Zeitbereich im Allgemeinen auf ein System von linearengewohnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.1m Bildbereich wird daraus durch Laplace-Transformation ein linearesGleichungssystem fur die Laplace-Transformierten der gesuchten Strome undSpannungen.In diesem Abschnitt solI nun gezeigt werden, dass man das lineare Gleichungssystem des Bildbereichs direkt, d.h. ohne Kenntnis des Differentialgleichungssystems des Zeitbereichs, erhalten kann. Dadurch wird das Losungsverfahren noch einmal wesentlich vereinfacht.

Definition 5.2:

Ein Netzwerk heiJ3t fiir Zeitpunkte t < 0 unerregt, wenn fiir alle Zeitpunktet < 0, fur alle Teilspannungen uk (t) und fiir alle Teilstrome ik (t) gilt:

uk(t) =0 und ik(t) =0

a) RCL-Netzwerke, die fUr t < 0 unerregt sind

Wir wollen im Folgenden zunachst nur Netzwerke betrachten, die fur t < 0unerregt sind.Bei der Transformation eines Systems von linearen Differentialgleichungen desZeitbereichs in den Bildbereich tritt die wichtige Frage nach den Anfangsbedingungen auf.Da zugelassen werden solI, dass die zum Schaltzeitpunkt t = 0 einsetzendeErregung sich sprunghaft andert, werden dann Teilstrome und Teilspannungen anWirkwiderstanden sich ebenfalls sprunghaft andem konnen.Bei unstetigen Erregungen werden sich an Induktivitaten Spannungen, nicht aberStrome, an Kapazitaten Strome, nicht aber Spannungen, ebenfalls unstetigverhalten.Die in den Differentialgleichungen auftretenden ublichen Ableitungen sind fiirt = 0 nicht in allen Fallen definiert.Wir mussen daher die in den Differentialgleichungen auftretenden Ableitungendurch verallgemeinerte Ableitungen ausdrUcken.


Verlaufen fUr t = 0 Teilstrome oder Teilspannungen stetig, so stimmen ihreverallgemeinerten Ableitungen mit den iiblichen Ableitungen iiberein.Anstelle des Differentiationssatzes fUr die Originalfunktion, der die rechtsseitigenGrenzwerte als Anfangswerte enthlilt, miissen wir den Differentiationssatz fUr dieverallgemeinerte Ableitung einer Zeitfunktion verwenden, der die linksseitigenGrenzwerte als Anfangswerte enthlilt.

Gerade diese linksseitigen Grenzwerte aber sind es, die unter der Voraussetzung,dass das Netzwerk fUr t < 0 unerregt ist, alle Null sind.

Willden wir von den iiblichen Ableitungen ausgehen und bei Netzwerken, die fUrt < 0 unerregt sind, die rechtsseitigen Grenzwerte Null setzen, was hliufigvorgeschlagen wird, so kann dies zu widerspruchlichen Ergebnissen fUhren. Eskann dann vorkommen, dass das richtige Ergebnis einen rechtsseitigen Grenzwertbesitzt, der entgegen der Voraussetzung ungleich Null ist. DerartigeWiderspruche werden dann aber bewusst nicht zur Kenntnis genommen, da ja dasErgebnis richtig ist.

Satz 5.1:

Fill die Teilstrome ik(t) und die Teilspannungen uk(t) eines fUr t< 0

unerregten Netzwerks gelten die Korrespondenzen

ik(t) 0 -. Ik(s)

uk(t) 0 -. Uk(s)

D(n\(t) 0-. snlk(s)

D(n)Uk(t) 0-. snUk(s)(5.4)

~1

;)i(t)

u(t)

cBetrachten wir nun die Serienschaltungvon Wirkwiderstand R, Kapazitiit Cund Induktivitat L in Bild 5.9, so gilt,wenn das System fUr t < 0 unerregt ist,die Spannungsgleichung

Bild 5.9 Serienschaltungt

R i (t) + ~ fi (-r)d-r + L Di(t) = u( t)

oDorch Laplace-Transformation geht die Spannungsgleichung iiber in

5.3 RCL - Netzwerke

1 1R1(s) +--1(s) + Ls1(s) = U(s)

Cs

[R+ ~S +LS}(S)=U(S)

bzw.

137

(5.5)

Gl. (5.5) ist als "Ohm'sehes Gesetz im Bildbereieh"

Z(s)1(s) = U(s) (5.6)

interpretierbar, wenn wir den einzelnen Schaltelementen symboliseheWiderstiinde (Bildwiderstande) zuordnen.

Symbolisehe Widerstiinde:

Schaltglied Zeitwert der Bildspannung symbolischerSpannung Widerstand

R----c:=:J----- UR (t) = R i( t) UR(S) = RI(s) ZR(s)=R

t1 1

C1~ Uc (I) = ~ fi('r)d'l" Uc(s)=-1(s) Zc(s)=-Cs Cs

0

L- UL (t) = LDi(t) UL(S)= Ls1(s) ZL(S)=Ls-Stellen wir uns eine Serienschaltung von Wirkwiderstand R, Induktivitat L,Kapazitat C und Spannungsquelle u(t) als Zweig eines groBeren Netzwerks vor,so geht, wie in Bild 5.10 dargestellt ist, der Originalzweig durch LaplaceTransformation in einen entsprechenden Bildzweig iiber.Das gesamte Originalnetzwerk wird so in ein "Bildnetzwerk" mit denentsprechenden Bildstromen, Bildspannungen und Bildwiderstanden iibergefiihrt.


i(t) u(t) I(s) U(s)

Bild 5.10 Originalzweig (a) und Bildzweig (b) eines RCL-Netzwerks

Dabei gilt der folgende wichtige Satz:

Satz 5.2:

Fur die Bildstrome I k (s), Bildspannungen Uk (s) und die symbolischen

Widerstande Zk(s) eines fur t < 0 unerregten Netzwerks gelten formal die

gleichen Netzwerksatze wie flir die Originalstrome ik(t), Originalspannungen

uk (t) und die Originalwiderstande.

Wir konnen damit auf das Aufstellen der Differentialgleichungen desZeitbereichs und ihre Transformation in den Bildbereich verzichten und die imBildbereich geltenden Gleichungen mit den Netzwerksatzen (Ohm'sches Gesetz,Kirchhoffsche Regeln, Maschenregeln) direkt aus den Schaltungen herleiten.Man erhlilt damit unrnittelbar die Laplace-Transformierte I(s) eines gesuchtenStromes i(t) oder die Laplace-Transformierte U(s) einer zu berechnenden

Spannung u(t).Ein ahnliches Vorgehen ist von der symbolischen Methode der Wechselstromtechnik her bekannt. Dort werden im Sonderfall sinusfdrrniger Erregungendie Strome und Spannungen im stationaren Zustand analog zu den Gesetzen derGleichstromlehre dadurch berechnet, dass man den Schalt-elementen komplexeWiderstande zuordnet.1m Gegensatz zur symbolischen Methode der Wechselstromlehre wird hier uberdie Erregung u (t) keine Einschrankung gemacht, auBer der, dass sie eine

Laplace-Transforrnierte U(s) haben solI. Durch inverse Laplace-Transformation

erhalt man die Originalstrome und Spannungen, die nicht nur fur die Zeit t ~ 00

den stationaren Zustand, sondem auch den Einschaltvorgang beschreiben.Auf den Fall, dass das Netzwerk fur t < 0 nicht unerregt ist, werden wir spatereingehen.

5.3 RCL - Netzwerke 139

Beispiel 5.7. An den Stromkreis von Bild 5.11 wird zur Zeit t = 0 dieSpannung u(t) = UOt:(t) angelegt. Man berechne den Strom i(t).

R R~ ~

R R

Bild 5.]] Schaltung zu Beispiel 5.7 a) Originalkreis b) Bildkreis

Aus dem Bildkreis erhalten wir den symbolischen GesamtwiderstandI 2

R- RC +2 s+-Z(s)=R+ Cs = R_s_ = R-----.B£.

R+_1_ RCs+l s+_l_Cs RC

und den BildstromI

s+-I(s) = U(s) = ~ RC Uo

Z(s) R s+~ sRC

A]=-+

sAZ

2s+

RCMit

r1 1

s+-A]= Uo RC =uo

R 2 2Rs+-RC s=O

und AZ = ruos +-1c1 = Uo

R s 2Rs =_-.L

RC

findet man schlieBlich den Bildstrom I(s) =~o~ + 1 21.2R s s+

RC

Durch inverse Laplace-Transformation folgt im Zeitbereich fUr den Strom

[

_ ZI ]i(t) = ~~ 1+ e RC

140

Uo2R

o

i(t)

,\

\\- , - - =--=-,..,-~-----

\\

\

\\

\

RC 2RC


Den zeitlichen Verlauf des Stromeszeigt Bild 5.12. Dabei gilt:

i(+O)=UoR

Man beaehte, dass der reehtsseitigeGrenzwert des Stromes hier von Nullversehieden ist. Der Strom verbaltsieh zum Sehaltzeitpunkt t = 0unstetig.

Bild 5.12 Strom i(t)

Verwendet man bei den Differentialgleiehungen des Zeitbereiehes diegewohnliehen Ableitungen, so wird ublieherweise genauso vorgegangen, d.h. eswerden bei fur t < 0 unerregten Netzwerken die Anfangswerte Null gesetzt. Beidiesem Verfahren sind dies aber die reehtsseitigen Grenzwerte. Das Ergebnis istdas gleiehe, steht aber im Widersprueh zu den angenommenen Anfangswerten.Dies ist deshalb der Fall, weil der Strom i(t) sieh fur t = 0 unstetig verbalt.

Verwendet man, wie vorgesehlagen die aueh fur bei t = 0 unstetigen Funktionendefinierten verallgemeinerten Ableitungen, so werden die linksseitigenGrenzwerte Null gesetzt. Diese linksseitigen Grenzwerte sind aber bei fur t < 0unerregte Netzwerke sieher Null. Das Ergebnis steht jetzt nicht im Widerspruehzu den Voraussetzungen.

Beispiel 5.8. Fur das in Bild 5.13 dargestellte Netzwerk mit denMasehenstromen il(t), i2(t) und i3(t) solI fur die Eingangsspannungue(t) = Uoc(t) die zugehorige Ausgangsspannung ua(t) bereehnet werden.

R R R

Bild 5.13 Netzwerk zu Beispie15.15


Cso

o

R+-.L --.L 0Cs CsI

R+~I

- --Cs Cs Cs

0 IR+~

Cs Cs

Beziiglich der schon mehrmals verwendeten und auch in diesem Beispielverwendeten elektrotechnischen Berechnungsverfahren set auf die imLiteraturverzeichnis angegeben Bucher hingewiesen.FUr die Bildstrome ergeben sich unter Verwendung der symbolischenWiderstande nach dem Maschenstrom-Verfahren die hier schon geordnetenSpannungsgleichungen des Bildbereichs.

(R+ ~Jh(S) ~S /2(s) Ue(s)

- ~S h(s) + (R+ ~s}2(S) ~S 13(s) 0

~s 12(s) + (R + ~s }3(S) 0

Die Auflosung dieses Gleichungssystems nach dem zur Berechnung von Ua(s)benotigten Bildstrom 13(s) fuhrt zu

R+-.L --.L Ue(s)Cs Cs

--.L R+~Cs Cso --.L

13 (s) = c:'- C=-=s'-----__---'-:-

UMit der Eingangsspannung u(t)=Uoc(t) 0-. U(s)=~ folgt fur die

sLaplace-Transformierte der Ausgangsspannung

I UoU (s) = - 13 (s) = ---=--=--=,---------=-~--=----a Cs s(R3C3s3+5R2C2s2+6RCs+l)

Urn nun die Ausgangsspannung ua(t) durch inverse Laplace-Transformationbestimmen zu konnen, mussen wir die echt gebrochen rationale BildfunktionUa(s) in Partialbriiche zerlegen. Dazu benotigen wir die Pole von UaCs) , d.h. dieLosungen der Gleichung


Die Polstelle sl = 0 erkennt man sofort. Setzt man RCs = x, so ergeben sich die

iibrigen Pole als Losungen der algebraischen Gleichung

x3 +5x2 +6x+1=0.

Einen ersten Uberblick iiber die Lage der gesuchten Nullstellen ergibt der

Verlauf der Funktion f(x) = x3 + 5x2 + 6x + 1 .

Die graphisch ermittelten Naherungswerte konnen mit emem numerischenNaherungsverfahren verbessert werden.Verwenden wir hier die auf 3 Dezimalstellen gerundeten Werte

Xl = - 0,198 ~0,198

s2=---RC

X2 = -1,555 ~1,555

s3=---RC

x3 = - 3,247 ~3,247

s4=---RC

Die Losungen der Gleichung x3 + 5x2 + 6x + 1= 0 kann man natiirlich aucheinfacher durch Verwendung entsprechender, selbst auf vielen Taschenrechnemvorhandener Software bekommen. Es gibt aber auch Programme, welche diegesamte Partialbruchzerlegung komplett durchfuhren.Der im Koordinatennullpunkt liegenden Polstelle sl = 0 entspricht im Zeitbereichein konstanter Anteil, den anderen Polstellen entsprechen verschieden schnellabklingende Exponentialfunktionen.Da nun die Polstellen von Ua(s), bekannt sind, kann die Partialbruchzerlegungdurchgefiihrt werden.

U (s) = Uo 1

a R3C3 [ 0,198][ 1,555][ 3,247]ss+-- s+-- s+--RC RC RC

Al A2 A3 A4= -s-+ 0,198 + 1,555 +---=3-'=,2--;-47=-

s+-- s+-- s+--RC RC RC

Fiir die Konstanten erhalt man die auf 3 Dezimalstellen gerundeten Werte

A1=UO, A2 =-1,220Uo, A3 =0,280Uo, A4 =-0,060Uo


Durch inverse Laplace-Transformation findet man schlieJ3lich die gesuchteAusgangsspannung

[

1,198 1,555 3,247-

ua(t) = Uo 1-1,220e RC +O,280e RC -O,060e RC

Wie bei der Betrachtung des gegebenen Netzwerks zu erkennen ist, gilt fur denkonstanten Anteil Al der Ausgangsspannung A I = lim ua(t) = Uo.

t~oo

Nach langer Zeit liegt am Ausgang die Spannung Do. Dieser Zusammenhang laBtsich auch mit dem Endwertsatz berechnen:

Al = limua(t)= limsUa(s)=UOt~oo s~o

Der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung ua(t) ist in Bild 5.14 dar

gestellt.Da der am langsamsten abklingendeAnteil der Ausgangsspannung diegroBte Amplitude hat, erreicht dieAusgangsspannung ua (t) erst zum

Zeitpunkt t = 15 RC den Wert

ua(t) = 0, 937Uo

Uo

o 5 10 15

RC

Bild 5.14 Ausgangsspannung ua(t)

Beispiel 5.9: Man berechne den Stromverlauf i(t), wenn an das RC-Glied in Bild5.15 a die in Bild 5.15 b dargestellte Spannung u(t) angelegt wird.

R u(t)o---------e:::: l UO

1)

i(t)

Tc t

z<t)T0 2" r

a) b)

Bild 5.15 RC-Glied (a) und Spannungsverlauf(b) von Beispiel 5.9


1m Bildraum gilt nach dem Ohm'schen Gesetz fUr den Bildstrom

l(s)= U(s) = U(s) = Cs U(s)=~_s-U(s)Z(s) R+_l RCs+l R s+_l_

Cs Cs

Nach dem im Abschnitt 4.3.10 behandelten Beispiel 4.32 gilt fUr dieBildspannung

U(s) = 2UoJJl _ e_S;]2r~

FUr den Bildstrom folgt damit

l(s)= 2UO ~1_2e-s; +e-S'Z"]R'Z"~_l_)

RC

Eine Partialbruchzerlegung ergibt

*:-kl RC[~-s+lR~]Hiermit erhalten wir den Bildstrom

2UOC [1 1][ _S{ -S'Z"]l(s)=- --- l-2e +er s s+_l-

RC

Man kann nun den Bildstrom in drei Anteile 1(s)=11(s)+12(s)+13(s)

aufspalten:

lj(s)~ wot'_-l-]'f s s+_l_

RC ~ ][ST]2UOC 1 1 -2

12(s) = ---- -2er s s+_l_

RC

1 ( ) - 2UOC[ 1 1] -S'Z"3 s - ----- er s s+_l_

RC


Der Strom i(t) besteht demnach aus drei Anteilen, von denen i1(t) zur Zeit

t = 0, i2(t) zur Zeit t = £ und i3(t) zur Zeit t = -r einsetzt. Es gilt daher2

-rfur O<t<

2

-rfur -<t<-r

2

fur t?-r[

/_L]/ 2 /-1:2U0C - RC + 2 -RC" - RC---- -e e -e

-r

Entsprechend dem Spallllungsverlauf, namlich linear ansteigende Spannungfur 0 < t < -r / 2, linear abfallende Spallllung fur -r /2 < t < -r und Spallllungu(t) = 0 fur t > 't, wird der Strom i(t) in den drei Zeitintervallen durchverschiedenen Funktionen beschrieben. Bild 5.16 zeigt den Verlauf des Stromes

i(t) = il (t) lO(t) + i2 (t - £) lO(t - £) + i3 (t - -r) lO(t - -r) .2 2

i(t)

o 2

RC

Bild 5.16 Stromverlauf i(t)


b) Netzwerke, die fUr t < 0 nicht unerregt sind

Wir wollen nun den Fall behandeln, dass das Netzwerk fur t < 0 nicht unerregtist. Dabei sind zwei Falle zu beachten.

1. Der Strom in einer Induktivitat kann einen Anfangswert h (-0) = iO haben.

2. Die Spannung an einer Kapazitat kann den Anfangswert uc(-O) = Uobesitzen.

Die linkseitigen Grenzwerte iL(-O) und uc<-O) sind Werte, die aus der

Vergangenheit des Systems resultieren. Auf we1che Art diese Anfangswerteentstanden sind, spielt dabei keine Rolle.

1. Induktivitiit mit einern Anfangsstrorn ;L(- 0) =;0

An die Schaltung von Bild 5.17 werde zur Zeit t = 0 eme Spannung u(t)angelegt. Die Induktivitat L hat einen Anfangsstrorn iO'

U(,)1R

:>1 (s)

Ls

:>L' :>

Bild 5.17 a) Originalstromkreis b) Bildstromkreis

Urn den Einfluss des Anfangstroms io zu erkennen, gehen Wir von derSpannungsgleichung des Zeitbereichs

R i (t) + L D i( t) = u(t)

aus. Diese geht durch Laplace-Transformation unter Beachtung des Anfangsstroms (bei der verallgemeinerten Ableitung ist i(-0) = io zu verwenden) tiber in

R1(s)+L [s1(s)-io]=U(s) bzw.

[R + Ls]1(s) = U(s)+ L io (5.7)


An Gl. (5.7) erkennt man, dass im Bildbereich wie bisher gerechnet werden kann,wenn der Anfangsstrom io durch eine zusatzliche Erregung L iO beriick-sichtigt

wird.1m Zeitbereich entspricht dies einem zusatzlichen SpannungsstoB L iOt5( t) .

Dadurch wir die gesamte Vergangenheit des Stromkreises von t = - 00 bist = - 0 beriicksichtigt.

Beispiel 5.10. An den Stromkreis von Bild 5.16 wird zur Zeit t = 0 dieSpannung u(t) =Uoc(t) angelegt. Der Anfangsstrom sei i(- 0) = iO.

Mit Gl. (5.6) folgt

[R+Ls]I(s) = Uo +Lio.s

Daraus erhalt man durch Auflosen nach J(s) und einer Partialbruchzerlegung

I(s) = Uo +~ = uor!--1-1+is[R+Ls] R+Ls R s s + ~ s+ ~

und im Zeitbereich den Strom

Da sich in diesem Beispiel derStrom wegen der Induktivitatnicht sprunghaft andem kann,liefert die Rechnung erwartungsgemaB auch den rechtsseitigen Grenzwert i (+0) = iO .

In Bild 5.18 ist der Strom furverschiedene Anfangsstrome iodargestellt.Unabhangig von iogilt: 3T

lim i(t)= Uo .t--?oo R R

Bild 5.18 Stromverlaufmit T= L


2. Kapazitiit mit einer Anfangsspannung ud- 0) = Vo

An den Strornkreis von Bild 5.19 wird zum Zeitpunkt t = 0 eine Spannung u(t)angelegt. Die Kapazitlit Chat eine Anfangsspannung uc(- 0) = UO'

R

l~> =t=cU(t)~

a) -E<,-----

-Uoc(t)

R

l~? l_lu:S)~c,

b) ~<---Uo

sBild 5.19 a) Origina1stromkreis b) Bildstromkreis

t

Die Spannungsgleichung des Zeitbereiches R i (t) + ~ fi ('l')d'l' = u( t)

-0

enthlilt im Integral ~ fi ('l')d'l' = uc(-0) = U0 die gesamte Vergangenheit des

Strornkreises. Man erhlilt somit die Spannungsgleichungt

u(t)=Ri(t)+ ~fi('l')d'l'+Uc(-O)o

1m Bildbereich erhalten wir durch Laplace-Transformation unter Beachtung desIntegrationssatzes die Gleichung

RI(s)+UO+_11(s)=U(s) oders Cs

(1 ) UoR+- I(s) = U(s)--

Cs s(5.8)


01. (5.8) zeigt, dass auch im FaIle einer Kapazitlit mit einer Anfangsspannung mitden gewohnten Bildstromen, Bildspannungen und Bildwiderstlinden gerechnetwerden kann, wenn die Anfangsspannung der Kapazitlituc(-O) = Uo im Bildbereich durch eine zuslitzliche Erregung -Uo / s

beriicksichtigt wird. 1m Zeitbereich hat dies eine zuslitzliche SpannungUo e(t) zur Folge.

Satz 5.3:

Der Zustand eines Netzwerks zum Zeitpunkt t = 0 ist durch die Strome in denInduktivitliten und den Spannungen an den Kapazitliten eindeutig bestimmt.Kennt man diese Anfangswerte und die vom Zeitpunkt t = 0 ab wirksamenErregungen, so ist das Verhalten des Netzwerks fUr aIle Zeitpunkte t ~ 0berechenbar.

Beispiel 5.11. An den Stromkreis von Bild 5.19 wird zur Zeit t = 0 eineGleichspannung u(t) = Ule(t) angelegt. Die Anfangsspannung sei UO. Man

berechne den Strom i(t).

UG1. (5.8) ergibt mit U(s) = _I nach dem Bildstrom aufgelOst

s

I(s) = VI -Vo 1s R+~

Cs

_UI-UO Cs

s RCs+l

_ UI -UO 1- R s+_I-

RC

1m Zeitbereich erhlilt man damit denStrom

__I_ ti(t)= UI -Uo e RC

R

i(t)

. IBild 5.20 Stromverlaufmlt T= -

RC



Bei den folgenden Aufgaben sei angenommen, dass vor dem Schaltmoment alleEnergiespeicher leer sind.

R R

Bild 5.21 Stromkreis

Aufgabe 5.8. Man berechne den Stromi(t), wenn an die Schaltung von Bild5.20 die Spannung

U (t)=Uoc(t)

angelegt wird.

Bild 5.21 Stromkreis

Aufgabe 5.9. Man berechne den SpannungsverlaufuR(t) am Wirkwiderstand Rder Schaltung von Bild 5.22 a fur die Eingansspannung U (t) = k t .

a)

Uo

ob)

Bild 5.22 Schaltung (a) und Spannungsverlauf(b) von Beispiel 5.9

Aufgabe 5.10. Man berechne fur das Netzwerk von Bild 5.23 a denMaschenstrom i2(t) , wenn die Spannung u(t) ein Rechteckimpuls der Hohe Uound der Dauer r nach Bild 5.23 b ist.

zi..t)

Rt

oa) b)

Bild 5.23 Schaltung (a) und Spannungsverlauf(b) von Beispiel 5.10


Aufgabe 5.11. Gegeben ist der Serienschwingkreis von Bild 5.24. Manberechne fur die Spannung u (I) = UOE( I) den Strom i(t), wobei die folgenden

drei Falle unterschieden werden sollen.

a) ( R r 1 aperiodischer Fall R L2L > LC

~b) ( R r 1 aperiodischer2L - LC i(1) I C

Grenzfallu(/)

0

c) ( R r 1 periodischer Fall2L < LC Bild 5.24 Serienschwingkreis

Aufgabe 5.12.

a) Man berechne den Strom i(/) fur die Schaltung nach Bild 5.25 a bei einemSpannungsverlaufnach Bild 5.25 b.

1-(/)

Uo

oBild 5.25 a Schaltung

b) Man berechne den Strom i(/), wenneine Spannung u(/) angelegt wird,deren Verlauf in Bild 5.24 cdargestellt ist.

Bild 5.25 b Spannungsverlauf u(t)

1-(/)

Uo

o

Bild 5.25 c Spannung u(t)


Aufgabe 5.13.

a) An das Ubertragungsglied nach Bild 5.26 a wird eine Eingangsspannung

ue(t) = Uoc(t)

angelegt. Man berechne den Strom i(t) und die Ausgangsspannung ua(t).

~ICc I 0

I (t) Iue(t) ua(t)

Bild 5.26 a Scha1tung

b) Fur das Ubertragungsglied nach Bild 5.26 b sollen der Maschenstrom h(s)und die Ausgangsspannungen ua(t) am Wirkwiderstand R berechnet werden,wenn die Eingansspannung gegeben ist durch

1) ue(t)=t5(t)

2) ue(t) = Uoc(t)

R

12R

1 R

ij(t) L i2(t)ue(t) ua(t)

Bild 5.26 b Scha1tung

5.4 Ubertragungsverhalten von Netzwerken


5.4.1 Grundbegriffe

153

In diesem Abschnitt soIl der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal x(t) und dem Ausgangssignaly(t) eines Ubertragungsglieds betrachtet werden.Vor dem Schalten werden aIleEnergiespeicher als leer vorausgesetzt.

Eingangssignal, Erregungx(t)

x(t)Ubertragungs-

system y(t)

Bild 5.27 Ubertragungsglied

Ausgangssignal,Systemantwort

y(t)

Mit der symbolischen Schreibweise y(t) = S{x(t)} soIl ausgedriickt werden, dassy(t) die Systemantwort auf das Eingangssignal x(t) ist.Wir wollen uns im Folgenden auflineare, zeitinvariante Systeme beschriinken.

Definition 5.3:

Ein Ubertragungssystem heiBt linear, wenn

S{ klXj (t) + k2 X2 (t)}= kl S{XI (t)}+ k2 S{X2 (t) }

gilt.

(5.9)

Die Systemantwort einer Linearkombination von Eingangssignalen ist dieanaloge Linearkombination der Systemantworten der einzelnen Eingangs-signale.

Definition 5.4:

Ein System heiBt zeitinvariant, wenn aus

S{x(t)}= y(t) folgt S{x(t-to)}= y(t-to) (5.10)

Die Art der Reaktion eines zeitinvarianten Systems ist unabhiingig vom Zeitpunktdes Eintreffens des Eingangssignals.


Lineare und zettmvariante Systeme werden in der Literatur haufig als LTISysteme (linear time invariant systems) bezeichnet.Bine Moglichkeit, Auskunft tiber das zeitliche Verhalten eines Ubertragungssystems zu bekommen, besteht darin, die Antworten des Systems auf standardisierte Eingangssignale zu beobachten.Die Sprungfunktion t:(t) und die Impulsfunktion ~t) sind die wichtigsten

Testfunktionen dieser Art. Sprungfunktion und Impulsfunktion stellen idealisierteErregungen dar. Dabei kann insbesondere die Impulsfunktion ~t) technisch nurnaherungsweise realisiert werden.Die Antworten eines Ubertragungssystems auf diese Eingangssignale werden wirim Folgenden naher betrachten. Dabei gelten folgende Festlegungen.

5.4.2 Impolsantwort ond Sprungantwort

Definition 5.5:

Vnter der Impulsantwort get) eines0--

Obertragungs----0 Ubertragungssystems versteht man das

~t) ~ ~g(t) Ausgangsignal bei emem impuls-0--

system---0 fOrmigen Eingangssignal x(t) = oCt) .

Bild 5.28 Impulsantwort get)Die Impulsantwort get) wird auch alsGewichtsfunktion bezeichnet.

Die Impulsantwort hat eine groGe praktische Bedeutung. Wir werden spaterzeigen, dass fur jedes Eingangssignal x(t) das zugebOrige Ausgangssignal y(t)berechnet werden kann, wenn die Impulsantwort get) des Ubertragungsgliedsbekannt ist.

Definition 5.6:

Vnter der Sprungantwort h(t)0--

Obertragungs----0

(Ubergangsfunktion) emes Uber-e(t) ~ ~ h(t)system tragungssystems versteht man das

0-- ---0Ausgangssignal bei emem sprung-

Bild 5.29 Sprungantwort h(t)fOrmigen Eingangssignal x(t) = t:(t) .


5.4.3 Ubertragungsfunktion

155

Das Ausgangssignal y(t) eines linearen zeitinvarianten Ubertragungssystems istbei dem vorgegebenen Eingangssignal x(t) durch das Ubertragungsglied(Netzwerk) eindeutig bestimmt. Es ist daher auch die Laplace-TransformierteYes) des Ausgangssignals durch die Laplace-Transformierte Xes) desEingangssignals und das Ubertragungsglied eindeutig festgelegt.

Definition 5.7:

Unter der Ubertragungsfunktion G(s) eines Ubertragungssystems versteht mandas Verhiiltnis der Laplace-Transformierten Yes) des Ausgangssignals zu Xes)der Laplace-Transformierten des Eingangssignals.

G(s) = Yes)Xes)

Satz 5.4:

Die Ubertragungsfunktion G(s) ist die Laplace-Transformierte derImpulsantwort g(t).

G(s) = 2'{ g(t)}

(5.11)

(5.12)

Beweis: Mit x(t) = ~t), d.h. Xes) = 1 folgt aus Gl. (5.11) G(s) = Yes).Die Ubertragungsfunktion G(s) ist demnach die Laplace-Transformierte derImpu1santwort (Gewichtsfunktion) get).

Satz 5.5:

Die Sprungantwort h(t) erhiilt man durch eine Integration von 0 bis t tiber dieGewichtsfunktion get).

t

h(t)= fg(r)dr (5.13)

oBeweis: Die Sprungantwort ist das Ausgangssignal yet) bei einem Eingangssignal

x(t) = £(t)

Mit Gl. (5.11) folgt

10-. X(s)=-

s


t

Y(s)=X(s)G(s) = ~G(S) .-0 fg('r)dr

oMit dem Integrationssatz fUr die Originalfunktion erhalt man damit die Aussagevon Gl. (5.13).

Bemerkung:Die Folgerung aus Gl. (5.13), die Impulsantwort g(t) als Ableitung derSprungantwort h(t) zu berechnen, ist nur dann allgemein richtig, wenn dieverallgemeinerte Ableitung verwendet wird.

get) =D h(t)

Satz 5.6:

Das Ausgangssignal yet) eines linearen zeitinvarianten Ubertragungssystems(LTI-System) erhalt man durch Faltung des Eingangssignals x(t) mit derGewichtsfunktion get).

t

yet) = x(t) *get) = fg('r)x(t -r)dr

o(5.14)

Beweis: Aus der Definitionsgleichung der Ubertragungsfunktion

G(s) = Yes) folgt Yes) =G(s)X(s)Xes)

Mit dem Faltungssatz ( Abschn. 4.3.8 ) erhlilt man sofort die Behauptung desSatzes 5.6.

Das Faltungsintegral von Gl. (5.14) ist auch unter dem Namen Duhamel'schesIntegral bekannt. Es beschreibt den Zusammenhang zwischen der Ursache x(t)und der Wirkungy(t) eines Ubertragungssystems.Dabei ergibt sich die Wirkung y(t) als Faltung der Ursache x(t) mit derGewichtsfunktion get).Gl. (5.14) zeigt auch, dass zu einem vorgegebenen Eingangssignal x(t) stets dasAusgangssignal yet) berechnet werden kann, wenn nur die Gewichtsfunktion g(t)des Ubertragungssystems bekannt ist. Die Auswertung des Faltungs-integralskann notfalls mit numerischen Nliherungsmethoden erfolgen.

5.4 Ubertragungsverhalten von Netzwerken 157

Bei den Anwendungen ist das Eingangssignal x(t) haufig eine Eingangsspannungue(t) und das Ausgangssignal y(t) die zugehOrige Ausgangsspannung ua(t). FUr

die Ubertragungsfunktion gilt dann

G(s) = Ua(s)Ue(s)

(5.15)

FUr die Laplace-Transfonnierte des Ausgangssignals folgt

Ua (s) = G(s) Ue(s) (5.16)

Eingangs- und Ausgangssignal miissen nicht immer GraBen der gleichen Art (z.B. Spannungen) sein. In der Regelungstechnik kannen hier die verschiedenartigsten Dimensionen auftreten.

Beispiel 5.12. Man berechne dieUbertragungsfunktion G(s), die Ubergangsfunktion h(t) und die Impulsantwort get) des RC-Glieds in Bild5.30.

R

1~1Ue(t) 0 I 0 ua(t)

Bild 5.30 RC-Glied

a) Ubertragungsfunktion G(s):

Als Eingangssignal x(t) haben wir hier eine Eingangsspannung

ue(t) 0-. Ue(s) = (R+ ~sY(S)

und als Ausgangssignal yet) die Ausgangsspannung ua(t)

1 1RC 1s+-

RCRCs +1

G(s) = Yes) = Ua(s) erhalten wir fur die UbertragungsfunktionXes) Ue(s)

1-I(s)

G(s) = Va (s) = ----;--=Cs~:____

Ue(s) (R + ~J/(S)

Mit


b) Ubergangsfunktion h(t):

Als Eingangssignal x(t) haben wir die Eingangsspannung

ue(t)=Uoc(t) 0-. Ue(S) = UoS

Das zugehorige Ausgangssignal yet), hier die Ausgangsspannung ua(t) ist dieSprungantwort oder Ubergangsfunktion h(t).

1 1 Uo Uo 1Ua(s) = G(s)Ue(s) = C 1 = RC ( 1)

R s + RC s s s + RC

DurchPartialbruchzerlegungerhliltman Ua(s) = uol~- 11 js+

RC

und durch inverse Laplace-Transformation schlieJ3lich

u,(I) ~ h(l) ~ u+-e- R~t]

c) Impulsantwort, Gewichtsfunktion get)Nach Satz 5.4 ist die Ubertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte derImpulsantwort get).

1 1 1 - Rle tG(s) = ------:-- .-0 get) =-e

RC 1 RCs+-RC

Bild 5.31 zeigt den Verlauf der Sprungantwort h(t) und der Impulsantwort get)des RC-Glieds von Beispiel 5.12.

o

1RC

a)

Bild 5.31 a) Impulsantwort get)

b)o

h(t)

b) Sprungantwort h(t)


Beispiel 5.13.Es sollen die UbertragungsfunktionG(s) und die Impulsantwort g(t) desin Bild 5.32 dargestellten Schwingkreises berechnet werden.

R L

l~ K~lOue(t) 0 ~ u.a(t)

Bild 5.32 Schwingkreis

LCs 2 +RCs+l

a) Ubertragungsfunktion G(s)1

U ( ) -1(s)G(s) =~ = --;-_C""'s"-----------c;-__

Ue(s) (R+LS+ ~s}(S)

b) Impulsantwort get)

Die Impulsantwort get) erhalt man durch inverse Laplace-Transformation aus derUbertragungsfunktion G(s). Fur die Partialbruchzerlegung der echt gebrochenrationalen Bildfunktion G(s) wollen wir diese zuerst noch umformen.

Mit der Kennkreisfrequenz mo = b und der Abklingkonstanten 0 =!!...-vLC 2L

folgt

m2

G(s) = 0s2 +20s+m2

o

m2o

Wir unterscheiden die folgenden drei Falle:

1. Periodischer Fall: m~ - 02 > 0, Dampfungsgrad 13 < 1

Mit m = ~m~ - 02 erhalten wir fur die Ubertragungsfunktion

m2

G(s) = 0(s+0)2 +m2

und durch inverse Laplace-Transformation die Impulsantwort

2mO -ot

get) = -e sin(mt)m


2. Aperiodischer Grenzfall: co5 - g2 = 0, Dampfungsgrad i}= 1

co2

2 -0 fG(s) = 0 .-0 get) = coote

(s+J)2

3. Aperiodischer Fall: co5 - g2 < 0, Dampfungsgrad i)> 1

Nun sei co = ~g2 - co5 Damit erhalten wir fur die Ubertragungsfunktion

co2

G(s) = 0(s +g)2 _co2

und durch inverse Laplace-Transformation die Impulsantwort

2COo -Ofget) = -e sinh(cot)co

Bild 5.32 zeigt den Verlauf der Gewichtsfunktionen fur verschiedeneDampfungsgrade 1J.

o

I) =0,5

Bild 5.33Gewichtsfunktionen

Beispiel 5.14.

Fur die im Bild 5.34 a, b dargestellten Ubertragungsglieder sollen dieUbertragungsfunktionen bestimmt werden.


R

~ ------7iR

u,(/)1 R

1".(1) u,J ~ R 1..(1)------7

Ie iC iC+ iR

0 0

a) b)

Bild 5.34 Ubertragungsglieder zu Beispiel 5.27

a) Fiir das in Bild 5.34 a dargestellte Ubertragungsglied gelten im Bildbereichdie Gleichungen

Ua(s) = [R+ ~s]I(S) und Ue(s) = [R+ ~JI(S)Fili die Ubertragungsfunktion folgt hieraus

[R+_I

]I(S)G(s) = Ua(s) = Cs RCs+I

Ue(s) [R+ ~s ]I(S) RCs+2

b) Das Ubertragungsglied in Bild 5.34 b hat die Ubertragungsfunktion

U (s) R[IR(s) + Ids)]G(s)=-a-=-----::-----___=_

Ue(s) R[2IR(S) + Ids)]

Mit der Nebenbedingung

IRIR(S) = -Ids) ~ Ices) = RCs IR(S)

Cs

erhalten wir fur die Ubertragungsfunktion

IR(S)[l + RCs] RCs+lG(s) = =---

I R(s)[2+RCs] RCs + 2

Die beiden hier betrachteten Ubertragungsglieder haben also die gleicheUbertragungsfunktion G(s). Sie stimmen daher in ihrem Ubertragungsverhalteniiberein.


Beispiel 5.15.

Fur das Ubertragungsglied von Bild 5.35 solI die Ubertragungsfunktion

G(s) = Ua (s) berechnet werden.Ue(s)

0..------..--------.,--0


FUr die Bildstrome h (s) und 12(s) erhalt man die folgenden Gleichungen:

(1) (2R+ ~sJh(S)-(R+~sJh(S) = Ue(s)

(2) -(R+ ~Jh(S)+(2R+~sY2(S) =0

Zur Berechnung von Ua (s) = R 12 (s) benotigen wir den Bildstrom 12 (s) .

Wir erhalten mit der Cramer'schen Regel:

IUe(s)2R+-

Cs

-(R+ ~sJ 0

12(S) = Cs U ( )I

-(R+ ~J3RCs+l e s

2R+-Cs

-(R+ ~sJ2

2R+-Cs

Die Laplace-Transforrnierte der Ausgangsspannung lautet damitRCs

Ua(s) = RI2(s) = Ue(s)3RCs +1

5.4 Dbertragungsverhalten von Netzwerken

FUr die gesuchte Obertragungsfunktion foIgt daraus

G(s) = Ua(s) = RCs sUe(s) 3RCs+I 3(s+ 3~C)

163

Beispiel 5.16.

FUr das in Bild 5.36 skizziertelineare ObertragungsgIied sollen dieObertragungsfunktion G(s), dieSprungantwort h(t) und die ImpuIsantwort g(t) bestimmt werden.

Bild 5.36 Dbertragungsglied

a) Ubertragungsfunktion G(s):

G(s) = Ua(s) = RI(s)

Ue(s) (2R+ RIC }(S)RCs

2RCs+I

I s2 1s+--

2RC

In einfachen Hillen, in denen mit einem gemeinsamen Strom i(t) 0 -. I(s)gearbeitet werden kann, ist die Obertragungsfunktion durch das Widerstands-

verhaltnis G(s) = Za (s) gegeben.Z(s)

b) Sprungantwort h(t):

1 1 1H(s) = G(s)-:; = 2 1 0,5

s+-2RC

1 t~ h(t) = ~e-2RC

2 °Bild 5.37 Sprungantwort h(t)

t

c) Impulsantwort g(t):

Die Impulsantwort g(t) erhalt man durch inverse Laplace-Transformation aus derObertragungsfunktion G(s).


Polynomdivision der unecht gebrochen rationalen Ubertragungsfunktion G(s)ergibt

r 1

11 s 1 1 1 1 1 --t

G(s) =- - 1- e-og(t)=-c5(t)---e 2RC2 s+_I_ 2 2RC s+_I_ 2 4RC

2RC 2RC

Will man aber mit Gl. 5.13 die Impulsantwort get) als Ableitung derSprungantwort h(t) bestimmen, so fuhrt die "iibliche" Ableitung

1dh(t) _ 1 - 2RC t------e

dt 4RC

hier zu einem falsehen Ergebnis. Das riehtige Ergebnis fur die Impulsantwortget) liefert die verallgemeinerte Ableitung

11 1 - 2RC t

Dh(t) = -c5(t)--e2 4RC

Wegen der Unstetigkeit der Sprungantwort h(t) an der Stelle t = a mit derSprunghOhe 0,5 liefert die verallgemeinerte Ableitung der Sprungantwort zurImpulsantwort get) den zusatzlichen Anteil 0,5 c5(t) .

An den Eingang des Ubertragungsgliedes liegt ein kurzer Spannungsimpuls. Manerkennt, dass am Ausgang ein ebenso kurzer Spannungsimpuls halber GroBeliegt. Der durch den Spannungsimpuls verursachte Stromimpuls hat denKondensator geladen, der anschlieBend wieder entladen wird.

R

Bild 5.38 Ubertragungsg1ied

BeispielS.17.Gegeben ist das lineare Ubertragungsglied von Bild 5.38.Bestimmt werden sollen dieUbertragungsfunktion G(s), dieImpulsantwort get) und dieSprungantwort h(t).

5.4 Dbertragungsverha1ten von Netzwerken

a) Ubertragungsfunktion

1. Bestimmung von G(s) durch Berechnung des Maschenbi1dstromes 12(s)

Aus den Maschengleichungen

165

(1) (2R+ ~s)h(S)

(2) -(R+ ~s}I(S)

(R+ ~J12(S)

+ (2R + ~J12(S) o

folgt fur den gesuchten Maschenstrom

(2R+ ~J Ue(s)

-(R+ ~s) 0

12(s) =- RCs+l U s

(2R+ ~J -(R+ ~J- R(3RCs+2) e()

-(R+ ~s) (2R+ ~J

~Ua(s) = R12(S) = RCs+l Ue(s)~G(s) = Ua(s) = RCs+I3RCs+2 Ue(s) 3RCs+2

Da die Obertragungsfunktion G(s) die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) ist, kann in den Maschengleichungen direkt Ue(s) = L{ o(t)}= 1

eingesetzt werden. Man erhlilt dann (in diesem Beispiel)

G(s) =Ua (s) =R12(S).

2. Bestimmung von G(s) durch das Bildwiderstandsverhliltnis G(s) = Za (s)Z(s)

Am Ausgang des Obertragungsgliedes liegt die Parallelschaltung der

(1 ) ..Bildwiderstlinde R und R + Cs . Damit folgt fur die Ubertragungsfunktion


RCs+1

3RCs+2

R(R+~)2R+_1

G(s) = Cs

R+R(R+~)2R+_1

Cs

Man spart sich so die Berechnung des Bi1dstromes f2(s), muss aber statt desseneinen verschachte1ten Bruch vereinfachen.

b) Impu1santwort

Die Obertragungsfunktion G(s) ist eine unecht gebrochen rationale Funktion.Durch Po1ynomdivision ergibt sich:

1s+-

G(s) = 1 RC3 2s+--

3RC

c) Sprungantwort

r1 j 21 -- 1 1 --t

_ 1+ 3RC .-0 g(t) =-[t5(t)+--e 3RC-3 s+_2_ 3 3RC

3RC

1 21 1 s+- 1 1 1 1 1 1 --t

H(s)=G(s)-= RC =--- .-oh(t)=---e 3RCs 3 ( _2_) 2 s 6 s + _2_ 2 6

s s+ 3RC 3RC

Man erkennt (auch am Schaltbi1d) h(O) =~ und h(00) =~.3 2

Die Sprungantwort h(t) ist an der Stelle t = 0 unstetig mit der SprunghOhe

h(O)=~.3

Die Impu1santwort g(t) ergibt sich hier also a1s verallgemeinerte Ab1eitung derSprungantwort h(t).

21 1 - 3RC t

g(t) = Dh(t) = -t5(t)+-e3 9RC

5.4 Ubertragungsverha1ten von Netzwerken 167

5.4.4 Pol-Nullstellenplan einer Ubertragungsfunktion

Satz 5.7:

Die Poistellen Sj (i = 1, 2, ... , m) der Ubertragungsfunktion G(s) emes

RCL-Netzwerks liegen im Inneren der linken Halbebene, d.h., es gilt fUr aIle i

Re Sj <0.

{j}

*

*

*

Beweis:

Ein RCL-Netzwerk ist ein passives Netzwerk, es antwortet auf ein impulsf6rmiges Eingangssignal mit einem zeitlich abklingenden Ausgangssignal. Dielmpulsantwort get) ist daher ebenfalls eine abklingende Zeitfunktion. IhreLaplace-Transformierte, die Ubertragungsfunktion G(S) , hat daher, wie wir imAbschnitt 4.3.7 gesehen haben, nur Pole, deren Realteile negativ sind.Die Lage der Pole eines passiven Netzwerks spielt fUr weitere Uberlegungen einewichtige Rolle.

Wir wissen, dass aus der Lage der Poleeiner Bildfunktion wichtige Riickschliisse auf den Verlauf der zuge-hOrigen Zeitfunktion gezogen werdenk6nnen.

o

**

*

-*--*-----+--~

Bi1d 5.39 Po1stellenp1aneiner Ubertragungsfunktion

Erganzend dazu sei gezeigt, dass aus der Lage konjugiert komplexer Pole mitnegativen Realteilen auch eine Aussage iiber den Dampfungsgrad gemachtwerden kann.Betrachten wir das Ubertragungsglied von Bild 5.40, welches folgendeUbertragungsfunktion hat:

Der durch ein impulsfOrmiges Eingangssignal (z. B. StOrimpulse) verursachte Ausgleichsvorgang klingt dabeischneller ab, wenn die Pole weiter linksim Poistellenplan liegen.

Einem Paar konjugiert komplexer Polemit einem negativen Realteil entsprichtdabei im Zeitbereich eine gedampfteSchwingung.


R L

l~lue(t) 0 i(t) C D u.a(t)

1G(s) = ---::----

LCs 2 +RCs+l2

Wo


1m Falle schwacher Dampfung, bei einem Dampfungsgrad [) < 1, hat dieUbertragungsfunktion G(s) ein Paar von konjugiert komplexen Polen.

1m Polstellenplan liegen diese Polesymmetrisch zur reellen Achse undhaben vom Koordinatennullpunktdie Entfernung

--~2 22OP1 =OP2 = tJ -CwO -tJ )

=moBild 5.41 PolsteHenplan

Mit dem in Bild 5.4leingefiihrten Winkel a erhalt man

tJcos a = - = tJ (5.17)

moEinem in der linken Halbebene gelegenen Paar von konjugiert komplexenPolstellen entspricht im Zeitbereich eine gedampfte Schwingung mit einemDampfungsgrad tJ, der gleich dem Kosinus des Winkels ist, den dieVerbindungslinie einer Polstelle mit dem Ursprung einerseits und der negativenreellen Achse andererseits miteinander einschlieBen.Das durch einen impulsfdrmigen StOrimpuls verursachte Ausgangssignal klingtumso schneller ab je weiter links die Polstellen der Dbertragungsfunktion G(s)liegen. 1m Falle einer gedampften Schwingung ist der Dampfungsgrad umsogroBer, je kleiner der Winkel a ist, den die Verbindungslinien derentsprechenden konjugiert komplexen Pole mit dem Ursprung bilden.Dadurch sind "giinstige Bereiche" bestimmt, in denen die Polstellen einerDbertragungsfunktion liegen sollten.


5.4.5 Stabilitit von LTI-Systemen

1. Stabilitatskriterium im Zeitbereich:

Reagiert ein System auf ein beschranktes Eingangssignall x(t) I:S; N <00 mit

einem beschrankten Ausgangssignal Iyet) I:S; M < 00 so bezeichnet man es alsstabil. Diese Stabilitatsdefinition wird auch als BIBO-Stabilitat bezeichnet.Die Abkiirzung BIBO bedeutet: bounded input - bounded output.

Kriterium: Ein LTI-System ist dann stabil, wenn seine Impulsantwort get) absolutintegrierbar ist.

+=

flg(t)ldt:s; K < 00

Beweis:

Wir betrachten ein beschranktes Eingangssignal Ix(t) I:S; N <00

Die Beschrankung des Ausgangssignals ist dann gegeben, wenn gilt:

+= +=

Iy(t) I = Ig(t)*x(t) I:s; f Ig('r)x(t - r) Idr :s; Nfl g(r) Idr :s; M < 00

wobei M = NK gesetzt ist.

2. Stabilitatskriterium im Bildbereich:

Zur Uberpriifung der Stabilitat wird der PN-Plan herangezogen.

Ein LTI-System ist stabil, wenn aile Pole der Ubertragungsfunktion G(s) in deroffenen, linken Halbebene des PN-Plans liegen.

Es ist grenzstabil, wenn auf der imaginaren Achse nur einfache Pole auftreten,aile weiteren Pole aber in der linken Halbebene des PN-Plans liegen.

Es ist instabil, sobald nur ein Pol der Ubertragungsfunktion G(s) in der offenen,rechten Halbebene des PN-Plans auftritt, oder wenn ein mehrfacher Pol auf derimaginaren Achse liegt.


5.4.6 Ubertragungsfunktion und Frequenzgang

Die Systemantworten,Impulsantwort get) = S{8(t)} und

Sprungantwort h(t) = S{c(t)},

sind wichtige KenngroJ3en eines Ubertragungssystems.Wir wollen nun untersuchen, wie ein RCL-Netzwerk auf ein periodischesEingangssignal antwortet. Dabei interessiert insbesondere die Antwort desSystems auf ein sinusfOrmiges Eingangssignal.

Satz 5.8:

Ein RCL-Netzwerk antwortet auf ein periodisches Eingangssignal x(t) nachAbklingen des Einschwingvorganges mit einem stationaren periodischenAusgangssignal Yst (t) der gleichen Periodendauer.

1st das Eingangssignal x(t) im Sonderfall sinusformig, so ist das stationareAusgangssignal Yst (t) ebenfalls sinusformig mit der gleichen Frequenz wie das

Eingangssignal.

Beweis:Ein T-periodisches Eingangssignal x(t) hat, wie im Satz 4.12 gezeigt wurde, eineLaplace-Transformierte

X(s)= XO(s) .l_e-sT

Hierbei istXo(s) die Laplace-Transformierte einer nur im Zeitintervall von 0 bis Tvon Null verschiedenen Zeitfunktion, deren periodische Fortsetzung x(t) ergibt.FUr die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals erhalten wir mit derUbertragungsfunktion G(s)

yes) = G(s) Xo(s) .l_e-sT

Wir wollen uns nun die Lage der Pole von yes), der Laplace-Transformierten desAusgangssignals yes), betrachten.Der erste Faktor G(s) hat nach Satz 5.7 nur Pole mit negativen Realteil, die links

XO(s) hvon der imaginaren Achse liegen. Der zweite Faktor, namlich T' atl-e-s

abgesehen von den Polen von XO(s), die nicht in der rechten Halbebene liegen,

5.4 Dbertragungsverhalten von Netzwerken 171

falls XO(t) beschrankt ist, was angenommen werden kann, noch die Pole, diedurch die Gleichung

l_e- sT =0

*

*

-sT 1 ± k2nj . de = =e sm

*

*

t m

*I*I*I* (Y

-*--*-----i~o *I*I*I*,

bestimmt sind. Die Losungen dieser Gleichung

. k2n 'ks=±J--=±J moT

(k = 0,1,2,3, ... ).

Hierbei ist % die Kreisfrequenz des

periodischen Eingangssignals x(t).Neben den Polen der Ubertragungsfunktion G(s) und der Laplace-Transformierten XO(s), die im Inneren derlinken Halbebene liegen, gibt es nochdie Polstellenpaare

s=± jkwo

auf der imaginaren Achse.Bild 5.42 Lage der Polstellen von yes)

Den Polen in der linken Halbebene entsprechen im Zeitbereich abklingende(fhichtige) Anteile. Da nunjedem Polstellenpaar s=±jkmo im Zeitbereich eine

stationare harmonische Schwingung der Kreisfrequenz k mo entspricht, stellt die

Summe dieser harmonischen Schwingungen, ihre Konvergenz vorausgesetzt, dieFourierreihe eines periodischen stationaren Ausgangssignals Yst(t) der

Grundkreisfrequenz mo dar.

1st im Sonderfall das Eingangssignal x(t) sinusfOrmig, d.h.

x(t)=Esin(mt)o-ex(s)= 2Ew

2 's +w

so ist die Laplace-Transformierte des AusgangssignalsEw

Y(s) = G(s) 2 2s +w

Da wir jetzt nur ein Poistellenpaar s = ±j m auf der imaginaren Achse haben, ist

das Ausgangssignal nach dem Abklingen der fluchtigen Anteile ebenfallssinusfdrmig, eine Tatsache, von der Wechselstromlehre standig Gebrauchgemacht wird.

172

Definition 5.8:


Unter dem Frequenzgang E eines Ubertragungsglieds versteht man

A .F=-eJ{P- E (5.18)

Dabei ist A die Ausgangsamplitude des stationaren sinusfdrmigen Ausgangssignals bei einem sinusf6rmigen Eingangssignal der Eingangsamplitude E und rp

die Phasenverschiebung des stationaren Ausgangssignals ys(t) gegen dasEingangssignal x(t).

x(t) = Esin(OJt) Ubertragungssystem

yet) = Asin(OJt+ tp)

Der Frequenzgang ist im Allgemeinen ein komplexer Zeiger, der dieAmplitudenvergroJ3erung und die Phasenverschiebung des sinusf6rmigenAusgangssignals im eingeschwungenen Zustand gegeniiber dem sinusfdrmigenEingangssignal angibt.Neben der 1mpulsantwort get) und der Sprungantwort h(t) ist der FrequenzgangE eine wichtige KenngroJ3e eines Ubertragungsgliedes.

Satz 5.9:

1st G(s) die Ubertragungsfunktion eines Ubertragungsgliedes, so gilt fur denFrequenzgang

E=G(jw) (5.19)

x(t)=Ee jOJt o-ex(s)=

Beweis: Zur Vereinfachung sei als Eingangssignal die komplexe SchwingungE

s- JOJ

verwendet.

ejOJt _e-jOJtMit der reellen Schwingung x(t)=Esin(wt) = E 2j

Beweis analog.

verlauft der


Mit dem Eingangssignal x(t) = E ejOJ t erhalt man als stationares Ausgangs

signal

·COJ t+ ) AejqJ

Yst(t) = A eJ qJ 0 -. Yst(s) = --.-s- JW

Da sich das Ausgangssignal yet) aus einem stationaren und einem fliichtigen(zeitlich abklingenden) Anteil zusammensetzt, gilt

AejqJ

yes) = Yst(S)+ Yfl(s) = --.-+Yfl(s)s- JW

Andererseits folgt mit der Definition der Ubertragungsfunktion

Eyes) = G(s)X(s) = G(s)-.-

s- JW

Daraus ergibt sich

E Ae jqJ A· s-jwG(s)--.- = --.-+Yfl(s) ~ G(s) = -eJqJ +--Yfl(s)

s-Jw s-Jw E E

Setzt man in die letzte Gleichung fur s den Wert s = j W ein, so folgt schlieJ31ich

A .G(j w) = E eJ rp = f....

Wir wissen, dass die Ubertragungsfunktion G(s) = G(O"+ jw) die Laplace

Transformierte der Impulsantwort (Gewichtsfunkion) get) ist.Der Frequenzgang G(jw) ist die Fourier-Transformierte (Spektralfunktion) der

Gewichtsfunktion get).

f... = G(jw) = Y{ g(t)}

Wir haben im Abschnitt 2.2 festgestellt, dass der Realteil der Spektralfunktioneiner reellwertigen Zeitfunktion eine gerade, der Imaginarteil eine ungeradeFunktion ist.Auf den Frequenzgang G(j w) als Spektralfunktion der Gewichtsfunktion g(t)

ubertragen, bedeutet dies

Re G(jw) = Re G(-jw) und 1m G(-jw) = - ImG(jw) ~

G(-jw) = Re G(-jw) + jIm G(-jw) = Re G(jw)- jIm G(jw) = G*(jw)


G(- j OJ) ist also die konjugiert komplexe Zahl zu G(j OJ) Da das Produkt von

konjugiert komplexen Zahlen das Quadrat ihres Betrages ergibt, folgt daraus dieAussage

(5.20)

R

L,(I)

Beispiel 5.18.

Man bestimme fUr das Ubertragungsglied in Bild 5.43

a) die Ubertragungsfunktion G(s)b) die Impulsantwort g(t) undc) die Ortskurve des

Frequenzgangs ~.


1. Bestimmung von G(s) durch Berechnung des Maschenbildstromes 12(s)

Aus den Maschengleichungen

(1) (R+~sJII(S)1

(2) --lIes)Cs

o

folgt flir den gesuchten Maschenstrom

R +--.L Ue(s)Cs---.L 0

12(S) =Cs 1

- U (s)

R +--.L --.L - R(RCs+2) eCs Cs

--.L R +--.LCs Cs

1 U ~) 1=> Ua(s) = R12(S) = Ue(s) => G(s) =_a_ = ---RCs + 2 Ue(s) RCs + 2


2. Bestimmung von G(s) durch das Bildwiderstandsverhaltnis G(s) = Za (s)Z(s)

RCs+2

175

Impulsantwort:1

G(s)=-RCs+2

21 1 1 --I

-------o--e-o get) =-e RCRCs+~ RC

RC

Frequenzgang: F =G(jm) = 1- RCjm+2

Die Ortskurve von _1_ = 2 + J"RCm ist fUr w;;:: 0 eine Halbgerade mit demG(jm)

konstantem Realteil Re(_1_) = 2.G(jm)

Durch Inversion dieser Halbgeraden (Bild 5.44 a) erhlilt man den durch denUrsprung verlaufenden Halbkreis (Bild 5.44 b).

1lm--

G(j~://

//

/

//cp=45°

2m=-

RC

1Re--

m=O G(jm) o

ImF

0,5

° 2

2m=-

RC

Bild 5.44 Ortskurve des Frequenzgangs E

m =0


5.4.7 Berechnung des stationaren Anteils des Ausgangssignalsbei nichtsinusfOrmigen periodischen Erregungen

Wie im Abschnitt 4.3.3, Satz 4.12 gezeigt wird, hat ein T-periodischesEingangssignal x(t) die Laplace-Transformierte

Xes) = Xo(s)l_e-sT

Xo(s) ist hierbei die Laplace-Transformierte einer nur im Zeitintervall von 0 bis

T von Null verschiedenen Zeitfunktion xo(t), deren periodische Fortsetzung x(t)

ergibt. Nach Satz 5.8 antwortet das System nach Abklingen des fliichtigen

Anteils Yr (t) des Ausgangssignals mit einem stationaren Anteil Ystat (t) der

ebenfalls T-periodisch ist.Eine Zerlegung der Laplace-Transformierten yes) des Ausgangssignals in einen

tluchtigen Anteil Yf (s) und einen stationaren Anteil Ystat (s) ergibt

yes) = G(s)X(s)= Yj(s)+Y.tat(s)

Fur die Laplace-Transformierte des stationaren Anteils folgt daraus

~tat(s) = G(s)X(s) -Yf(s)

Die Laplace-Transformierte Yr(s) des tluchtigen Anteils des Ausgangssignals

ist durch die im Inneren der linken Halbebene gelegenen Pole derObertragungsfunktion G(s) bestimmt.Da das stationare Ausgangssignal Ystat(t) eine T-periodische Funktion ist, genugtes

o { definiert fUr 0 ~ t ~ TYstat (t) = 0 fUr aile ubrigen Zeitpunkte

zu berechnen. Das gesuchte stationare Ausgangssignal Yst(t) entsteht dann durch

periodisches Fortsetzen von Y~at (t).

Beispiel 5.19. Auf das RC-Glied von Bild 5.45a wirke eine doppelweggleichgerichtete Sinusspannung ue(t) nach Bild 5.45b als Eingangssignal x(t). Es soilder stationare Anteil Uast(t) der Ausgangsspannung berechnet werden.


R

Ue(t)a)

r c j= (u,(t)b) 0 T

2T 3T

2

Bild 5.45 RC - Glied und Eingangsspannung ue(t)

Die periodische Eingangsspannung ue(t) entsteht durch periodisches Fortsetzender Spannung

(){

Uosin(w t) fur 0::; t ::; TUo t = 2

o fur aBe iibrigen Zeitpunkte

Diese Spannung uo(t) setzt sich nach Bild 5.46 zusammen aus

uo(t) = Uo[sin(wt) + sin{~t - ~)}e(t - ~)]

T

2

a)

u(t)

Bild 5.46 Spannung uo(t) (a) und ihre Zerlegung in Teilspannungen (b)

Wir erhalten daher mit dem Verschiebungssatz die Korrespondenz

0-.uo(t) Uow [1 -SI]2 __2 +e

s+w

und daraus die Laplace-Transforrnierte der T -periodischen Eingangsspannung2


UoOJ [1 _s;_2 __2 +e

S +w-

1-e 2 1-eMit der Ubertragungsfunktion des RC-Glieds

sT

2

1 1G(s)=---

RC s+_l_RC

folgt fur die Lap1ace-Transformierte der Ausgangsspannung

1 sT

RC Uow l+e 2

S +_1_ S2 +w2 _ sT

RC 1-e 2

Polstellen von Ua(s):1

1. s=--RC

2. S =±jOJ

sT

3. 1-e 2 =0 => s=±j2kOJ

An den Stellen S = ±j OJ uberlagern sich jewei1s eine einfache Po1stelle und eine

einfache Nullstelle, die sich gegenseitig aufheben.An der Lage der Po1stellen erkennt man, dass die Ausgangsspannung ua(t) den

durch die bei s = - _1_ liegende Po1stelle bestimmten fluchtigen Antei1RC

Uafl (t)

hat.

Die auf der imaginaren Achse liegenden Pole bei s = j2kOJ bestimmen die

Fourierreihe des stationaren Anteils der Ausgangsspannung, auf die wir hierjedoch nicht naher eingehen wollen. da ein geschlossener Ausdruck gesucht ist.FUr die Lap1ace-Transforrnierte der Ausgangsspannung erhalt man

AUa(s)=Uafl(s) + Uast(s)= 11 + Uast(s)

s+-RC

Der Zahler Al ist nach 01. (4.46) gegeben durch

T

UowRC 1+e 2RC

1+w2R2C2 ~1-e2RC

5.4 Dbertragungsverha1ten von Netzwerken

A = [_1 Uow l+e s; jI RC s2 +w2 _ sT

1-e 2s=- RiC

FUr die Lap1ace-Transformierte des stationliren Antei1s fo1gt damitsT

_ _ 1 1 Uow 1+ e 2Uast(s)-Ua(s)-Uafl(s)-- 122 sT

RC s+_s +w 2RC 1-e

1s+-

RC

179

.J -

Al hat hierbei den bereits bestimmten Wert. Mit der Summenfonnel emerunendlichen geometrischen Reihe folgt

1 1 U 0) [ _ sT _ [ _ sT _ 3sTUast (s) = 0 1+ e 2 1+e 2 + e-sT + e 2 +

RC s+_l_ S2 +0)2RC

-~I

s+ RCAusmultiplizieren der beiden Klammem ergibt

1 1 U 0) [ _ sT _ 3sTUast(s) = 0 1+2e 2 +2e-sT +2e 2 +

RC s+_l_ S2 +0)2RC

bzw._ 1 1 UoO) Al

Uast (s) - 1 2 2 1 +RC s+- S +0) s+-

RC RC

1 1 2U 0) [ _ sT _ 3sT+ 0 1+2e 2 + 2e-sT + 2e 2 +

RC s+_1_ S2 +0)2RC

Dieser verhliltnismliBig komplizierte Ausdruck vereinfacht sich ganz wesentlich,wenn wir uns bei der Betrachtung des stationliren Anteils der Ausgangsspannungauf das Zeitintervall 0 ~ t ~ T / 2 beschrlinken.Da die periodische Eingangsspannung uc(t) in diesem Beispiel die Perioden

Tdauer - hat, ist die stationlire Ausgangsspannung uaslt) periodisch mit der

2


gleichen Periodendauer. Es geniigt daher die Berechnung des stationarenT

Ausgangssignals fii.r das Zeitintervall 0 ~ t ~2

Die Glieder der Laplace-Transforrnierten des stationaren Anteils der Ausgangs-sT 3sT

spannung Uast(s) von mit den Faktoren e-2 e- sT e-2 ... liefem aber im, , ,Zeitbereich Anteile, die nach dem Verschiebungssatz in dem betrachteten

Zeitintervall 0 ~ t ~ T identisch Null sind.2

Durch eine Beschrankung auf dieses Zeitintervall erhalten wir im Zeitbereich

eine Spannung U~st(t), deren periodische Fortsetzung Uast(t) ergibt und deren

Laplace-Transforrnierte durch den wesentlich einfacheren Ausdruck

UO (s) = 1 1 UoOJast RC 1 2 2

s+- s +OJRC

1s+

RCgegeben ist.Da Al einen bereits berechneten Wert hat, geniigt die Partialbruchzerlegung des

ersten Terms

1 1 UoOJ A2

RC s+_l_ S2 +~ s+_l_RC RC

Die Zahler dieser Partialbruchzerlegung berechnenPartialbruchzerlegungen geiibten Methoden zu

sich nach den bei den

A = UoOJRC B =_ UoOJRC2 1+OJ2R2C2' I 1+~R2C2'

Zusammenfassend erhalten wir


Dieser Bildfunktion entspricht im Zeitbereich die Spannung

~o 2 2 [sin(aJt) - mRCcos(aJt)]I+m R C

Wir haben somit mit den Mitteln der Laplace-Transformation einengeschlossenen Ausdruck rur den stationaren Anteil der Ausgangsspannung im

TZeitintervall 0 ~ t ~ - gefundeno

2

Durch periodisches Fortsetzen dieser Spannung U~st(t) erhalt man die stationare

periodische Ausgangsspannung Uast(t), deren Verlauf in Bild 4.78 fiir «RC = Idargestellt ist.Mit wachsender Kapazitat C wird die Spannung mehr geglattet und im Grenzfall

C hool () 2U0 d hood I I A~ 00 er a t man Uast t = -- , . 0 eme 1 ea geg attete usgangs-1t

spannung mit einer Spannung, die sonst als Mittelwert auftritt.

Uast (t)

2Uo

t

To T

2

Bild 5.47 Verlauf der stationiiren Ausgangsspannung Uast(t)

In Bild 5.47 ist nur der stationare Anteil der Ausgangsspannung dargestellt.Diesem uberlagert sich ein zur Zeit t = 0 einsetzender fluchtiger Anteil

-~tuatl (t) = Aj e RC ,der jedoch sehr schnell abklingt.


Ubungsaufgaben zu Abschnitt 5.4 (Losungen im Anhang):

Aufgabe 5.14. Es sollen a) die Sprungantwort h(t) und b) die Impulsantwort get)des in Bild 5.48 dargestellten Ubertragungsgliedes berechnet werden.

Bild 5.48 Ubertragungsglied Bild 5.49 Ubertragungsglied

Aufgabe 5.15. Man berechne fUr das Ubertragungsglied in Bild 5.49a) die Ubergangsfunktion h(t)b) die Gewichtsfunktion get).

0..-----

a)

o

Aufgabe 5.16.Man bestimme fUr die in Bild 5.50 a, bund c dargestellten Ubertragungsglieder die Ubertragungsfunktionen

G(s) = Ua(s) .Ue(s)

b)

rll------+-l

L(t) L(t~ u.<tJo--------il..-----+---o 0-----+----........----0

c)

Bild 5.50 a, b, c Ubertragungsglieder zu Aufgabe 5.16


Aufgabe 5.17.FUr das Ubertragungsglied in Bild5.51 mit den Maschenstromeni1(t) und i2(t) berechne man

a) die Ubertragungsfunktion G(s)b) die Gewichtsfunktion g(t).c) die Ubergangsfunktion h(t)

R R


a)

Aufgabe 5.18. Gegeben ist ein Netzwerk mit der Ubertragungsfunktion

G(s) - 1RCs+3

Man berechne die Impulsantwortget) und die Ubergangsfunktion h(t).

b) Fur die in Bild 5.52 dargesteUte

Eingangsspannung ue(t) soU die

Ausgangsspannung ua(t) berechnetwerden

o

t

Bild 5.52 Eingangsspannung ue(t)

Aufgabe 5.19. Gegeben ist ein Serienschwingkreis nach Bild 5.53 a imaperiodischen Grenzfall.

R 11m aperiodischen Grenzfall gilt - - -

2L JLC'a) Man bestimme die Ubertragungs

funktion

GJ(s)= J(s)U(s)

!.i..t)

~1

)i(t)

c

des Serienschwingkreises von Bild5.53 a.

Bild 5.53 a Serienschwingkreis

b) FUr die Spannungen u(t) nach Bild 5.53 b und Bild 5.53 c soUen die Stromei(t) berechnet werden.

184

b)

o

zi...t)


t

o

c)

Bild 5.53 b,c Eingangsspannungen

Bi1d 5.54 Ubertragungsglied


R

1ua(t)


Aufgabe 5.20:

Fiir das Ubertragungsglied in Bild 5.54bestirmne mana) die Ubertragungsfunktion G(s)b) die Ausgangsspannung bei

ue(t)=Uo[e(t) - e(t -1)]

c) die Impulsantwort g(t)

Aufgabe 5.21.

Fiir das Ubertragungsglied in Bild 5.55bestirmne mana) die Ubertragungsfunktion G(s),b) die Impulsantwort g(t) undc) die Sprungantwort h(t).

Aufgabe 5.22.

Fiir das Ubertragungsglied in Bild 5.56sollen die Ubertragungsfunktion

G(s) = Ua(s)Ue(s)

und die Ortskurve des Frequenzgangs E..bestirmnt werden

5.5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen


185

LTI-Systeme sind lineare und zeitinvariante Systeme (siehe Abschnitt 4.5).Grafisch wird ein System, bzw. ein Ubertragungsglied durch einen Block dargestellt, in dem die Systemfunktion angegeben ist.Durch Kombination von einzelnen Systemen lassen sich weitere, komplexereSysteme autbauen. Die Teilsysteme konnen dabei auf mehrere Arten, z. B. inReihe, parallel oder durch Ruckkopplung zu einem Gesamtsystem verbundenwerden.In den folgenden Abschnitten werden samtliche Berechnungen zum Ubertragungsverhalten zusammengeschalteter Systeme mit den Ztransformierten

Signalen, der Form 2tx(t)} = Xes), durchgefuhrt.

5.5.1 Reihen-Schaltung:

Bild 5.57 Reihenschaltung von 2 Teilsystemen

Durch die Kopplung der beiden Systeme wird das Ausgangssignal von GI(S) zum

Eingangssignal von G2(S). Dafur gilt:

G S_ J1(s) yes)

I() - Xes) und G2 (s) = J](s)

Nach dem Zusammenschalten beider Teilsysteme erhalt man:

yes) = G2 (s)'J](s) = G2 (s)·GI (s)·X(s)

Aus dem Verhaltnis von Ausgangs- zu Eingangssignal ergibt sich die Gesamtsystemfunktion:

G(s) = yes)Xes)

(5.21 )

Die Beziehung 5.21 ist kommutativ, d. h. die Reihenfolge der Teilsysteme darfbei der Kopplung vertauscht werden.

186 5 Anwendungen der Laplace-Traansformation

Voraussetzung fUr die Giiltigkeit der Beziehung (5.21) ist die rUckwirkungsfteieKopplung der Teilsysteme.

Riickwirkungsfteie Kopplung erreicht man mit einemTrennverstarker. Dieser wird zwischen O,(s) und02(S) geschaltet und bewirkt die Entkopplung derTeilsysteme. Trennverstarker sind sog. Impedanzwandler. Diese haben

• einen hohen Eingangswiderstand

• einen niedrigen Ausgangswiderstand

• die Verstarkung v = I

[)'Bild 5.58 Symbol

eines Trennverstarkers

Damit wird gewahrleistet, dass Teilsystem I bei der Kopplung vom nachfolgenden Teilsystem 2 nicht belastet wird. Die Verstarkung v = I gewahrleistet,dass keine Verstarkung oder Abschwachung des Signals erfolgt.

Da in der Theorie zusammengeschalteter Systeme rUckwirkungsfteie KopplungVoraussetzung ist, werden in den Schaltbildem die Trennverstarker nicht miteingezeichnet.

Allgemein gilt fur n in Reihe geschaltete Teilsysteme:

xC!)

-I O)(s) ~~---------1 Ones)

1

y(t)

•

Bild 5.59 Reihenschaltung von n Teilsystemen

1G('1 0\(s)·02(s) ... ·On(s) &, GkC'll (5.22)

Bei mehreren rUckwirkungsftei in Serie geschalteten Teilsystemen ist dieGesamtsystemfunktion gleich dem Produkt der Dbertragungsfunktionen derTeilsysteme.

Die Beziehung 5.22 ist kommutativ. Die Reihenfolge der Teilsysteme darf beider Kopplung beliebig vertauscht werden.

5.5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen 187

Beispiel 5.20 Zwei Teilsysteme I.Ordnung, ein HochpaB und ein TiefPaBwerden riickwirkungsfrei hintereinander geschaltet.

x(t) .1 G (s) = _s_ H G (s) = _1_ Iyet) •I s+l. 2 s+1

o 1Bild 5.61a

1 1------,

yet)

Bild 5.60a) Welche Ubertragungsfunktion ergibt sich fUr das Gesamtsystem?

b) Welches Zeitsignaly(t) erscheint am System- x(tausgang, wenn am Eingang das Signal x(t) nacbBild 5.61a anliegt?

a) Nacb Gl. 5.21 erbalt man fur

G(s) - _s_._I s_- s+l s+l - (s+I)2

Die Reihenschaltung aus Hoch- und TiefPaB ergibt einen BandpaB. Es handeltsich dabei urn System 2. Ordnung, da der Nenner von G(s) ein Polynom 2.Grades ist.b) Das Eingangssignal nach Bild 5.61a kann dargestellt werden als Dberlagerung zweier Sprungfunktionen x(t) = £(t) - £(t - 1) . DafUr gilt die

Korrespondenz x(t)=£(t)-£(t-l) o----e Xes) = l-e-s

sAls Ausgangssignal im Bildraurn erhlilt man: yes) = G(s) Xes)

yes) = _s_.I- e-s= _1__~

(s+I)2 S (s+I)2 (s+I)2

Das gesuchte Zeitsignaly(t) gewinnt man durch Rucktransformation. Unter

Beachtung des Verschiebungsatzes y(t) = sri{_1_2} - sri { e-s 2}

(s+l) (s+l)

ergibt sich

y(t) = t e-tE(t) - (t -1)e-Ct-l)E(t -1)

Den Funktionsverlaufzeigt Bild 5.61b

1

Bild 5.61b


5.5.2 Parallel-Schaltung:Beide Teilsysteme erhalten das gleiche Eingangssignal. Die AusgangssignaleYl(t) undY2(t) werden tiber ein Summierglied zum Gesamtsignaly(t) addiert.

x(t)

Bild 5.62 Parallelschaltung zweier Systeme

yet)

Aufgrund der Linearitat der Systeme gelten folgende Beziehungen:

yes) = Y1(s) + Y2(s) = Gj(s)X(s) + G2(s)X(s)

yes) = [G1(s) + G2(s)]X(s)

Aus dem Verhaltnis von Ausgangs- zu Eingangssignal ergibt sich wieder dieGesamtsystemfunktion:

(5.23)

Allgemein gilt fUr n parallel geschaltete Teilsysteme:

(5.24)

Die Gesamtsystemfunktion ist gleich der Summe der Ubertragungsfunktionen derTeilsysteme.


5.5.3 Riickgekoppelte Systeme

Allgemein spricht man von Ruckkopplung (feedback), wenn das Ausgangs-signaleines Systems G](s), auf den Eingang eines zweiten Systems G2(s), zuriickgefuhrtwird.

u(t y(t)L G](s) /

I-

G2(s) ./

x(t) >0+

Bild 5.63 Rtickgekoppeltes System

An der Summationsstelle kann das rUckgefiihrte Signal zum Eingangssignaladdiert oder subtrahiert werden.Das + Zeichen an der Additionsstelle bedeutet Mitkopplung, das - ZeichenGegenkopplung.

G1(s)· Xes)

Nach Bild 5.63 wird das rUckgefiihrte Signal G2(S)Y(S) an der Additionsstelleentweder zu Xes) addiert, oder subtrahiert, je nach gewahlter Ruckkopplungsart.Nach dem Summierglied erhalt man

U(s) = Xes) (±) G2 (s)Y(s)

U(s) ist das Eingangssignal von Gl(S). Es erscheint am Ausgang als

yes) = G1(s)U(s) = G1(s)X(s) (±) G(s)Y(s)

Nach Separation der Variablen [1 (+) Gj (s)-G2. (s)] yes)

erhlilt man fur das Gesamtsystem

(5.25)

Vorzeichen: - bei Mitkopplung, + bei Gegenkopplung


Riickgekoppe1te Systeme sind weit verbreitet. Man fmdet sie nicht nur intechnischen Anwendungen, wie der Rege1ungstechnik, der E1ektronik oder derAutomatisierungstechnik, sondem auch in bio1ogischen Systemen, in derOkonomie (Wirtschaftskreis1auf), oder der Oko1ogie (Umwe1tverha1ten), ja sogarin der Psycho1ogie (Verha1tensforschung).

Beispiel 5.20 FUr das riickgekoppe1te System nach Bi1d 5.61 ist die Ubertragungsfunktion zu bestimmen. Welches Signal erscheint am Ausgang, wenn amEingang die Sprungfunktion x(t) = e(t) an1iegt?

x(t)) L ..... 1 y(t) .....

/' s(s+2) /'

-/1\

Bild 5.64

(s +1)2

ergibt sich

An der Additionsstelle wird das Einganssigna1 X(s) vom Ausgangssingna1 Y(s)

subtrahiert und mit dem Ubertragungsglied s(s~ 2) dem Signa1ausgang

zugeflihrt. Y(s) = S(S~2)[X(s)-Y(s)]

NachUmformung [1+ S(S~2)]Y(S)=s(s~2)X(s).. Y(s)

erhlHt man die Ubertragungsfunktion G(s) = -X(s)

Mit der Korrespondenz x(t) = e(t) c----. 1 = X(s)s

Y(s) = 1 X(s) = 1 1(s + 1)2 (s +1)2 s

Nach Riicktransformation (Tabelle) in den Zeitbereich erhlHt man:

y(t)=~l{ 12

}=1-(l+t)e-t

s(s +1)


5.5.4 Elementare Ubertragungsglieder

Bei zusammengeschalteten und riickgekoppelten Systemen werden haufigBasiselemente eingesetzt, die bestimmte Standardaufgaben erful1en, wie lineareVerstarkung oder Abschwachung eines Signals, oder Integrieren undDifferenzieren eines Signalveriaufs.

1m folgenden werden einige elementare Ubertragungsglieder naher betrachtet undderen Eigenschaften zusammengestellt.

I) P-Glied: Proportional-Glied, z. B. elektrischer Spannungsteiler, linearerVerstarker, etc.

Beziehung im Zeitbereich

yet) = kpX(t)

Ubertragungsfunktion Gp(s) = kp ,

S(I) ) I G,(s) I hel) )

Bildbereich

o---e yes) = kpX(s)

kp = Proportionalitatskonstante

h(t)

kpl-----

Bild 5.65

2) I-Glied: Integrier-Glied, auch als Integrator bezeichnet.Typische Realisierung: Operationsverstarker-Schaltung als Integrator.

Beziehung im Zeitbereicht

yet) = kIfx(t)dto

Bildbereich

kyes) = ...l.X(s)

s

kIUbertragungsfunktion GI (s) =s

I ..tk- = IntegratlOnszel onstantekI

S(I) ) I Gis) I hel) )

Bild 5.66

h(t)


3) D-Glied: Differenzier-Glied, auch als Differenzierer bezeichnet.

Typische Realisierung: Operationsverstarker-Schaltung als Differenzierer.

Beziehung im Zeitbereich

dyet) = kD - x(t)

dt

Bildbereich

yes) = kD sX(s)

Ubertragungsfunktion GD(s) = kDs, kD = Differenzierzeitkonstante

L t

Bild 5.67

4) PI-Glied: Parallelschaltung eines P- und eines I-Gliedes.

Typische Realisierung: Operationsverstarker-Schaltung als PI-Glied

Beziehung im Zeitbereich Bildbereich

t

yet) = kpx(t) + k I fx(t)dt e------.o

kIUbertragungsfunktion GpI (s) = k p + -s

kyes) = kpX(s) + -lX(s)

s

I::(t) ) Gpr(s) h(t) "...-

Bild 5.68t


5) PID-Glied: Parallelschaltung eines P-, 1- und D-Gliedes.


193

t dx(t) ky(t) =kpx(t) +k[ Jx(t)dt+ kD-d e-------. yes) =kpX(s) +---L Xes) +kDsX(s)

o t s

Ubertragungsfunktion

E(t) > GpID(s) h(t) ",/

Bild 5.69

h(t)

~t

6) PTt-Glied: Verzogerungsglied 1. Ordnung, wird beschrieben durch eineDifferentialg1eichung 1. Ordnung mit T als Zeitkonstante.

Ein typisches PT I-Glied ist ein RC-TiefpaB, mit der Zeitkonstante T = RC


Ty(t) + y(t) = kpx(t) TsY(s) + yes) = kpX(s)

UbertragungsfunktionkG (s) - P

PTI - 1 + sT

h(t) ""

Bild 5.70

t


5.6 Arbeiten mit Block-Diagrammen

Unter einem Block-Diagramm versteht man die Zusammenschaltung voneinzelnen Teilblocken zu einem Gesamtsystem. Die TeilblOcke konnen durchReihenschaltung, Parallelschaltung oder Rtickkopplung miteinander verbundensein. Durch die Kombination entstehen Systeme mit oft ganzlich neuenEigenschaften.

Schon vor tiber 2000 Jahren formulierte der griech. Philosoph Aristoteles denSatz, der hier besonders zutreffend ist:

"Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile"

5.6.1 Von der Netzwerkgleichung zurn Block-Diagrarnrn

Von einem LTI-System sei die Netzwerkgleichung in Form einer Differentialgleichung im Zeitbereich bekannt.

aoy(t) + aly(t) +azy(t) + ... = box(t) + qx(t) + ... (5.26)

Durch gTransformation erhalt man die Netzwerkgleichung als algebraischeGleichung im Bildraum.

ZaoY(s)+ alsY(s) +azs yes) + ... = boX(s)+ qsX(s)+ ... (5.27)

Durch geeignete Umformung der Funktionsterme und unter Einbeziehungelementarer Ubertragungsglieder (Abschnitt 5.5.4), kann aus der transformier-tenNetzwerkgleichung eine Blockstruktur entworfen werden.

Anwendung: Die Netzwerkgleichung fur ein System 2. Ordnung lautet:

yet) + 2kJy(t) + kJ y(t) = kJx(t), mit k1 als reziproker Zeitkonstante

und den Anfangsbedingungen yeO) = yeO) = x(O) = 0

Durch gTransformation erhalt man die Bildraumgleichung:

S2 y (S) + 2kJsY(s) + k}Y(s) = kJsX(s)

Nach Urnformung yes) = ( Xes) -(2 + k: )Y(S»)-;

(5.28)


und unter Verwendung des Basiselements GJ(s) = kJ ergibt sich die Forms

(5.29)

In G1. 5.29 reprasentiert der Term 2 + Gr(s) = K(s) die Parallelschaltung eines

Proportionalgliedes mit der Verstarkung kp = 2 und eines Integierglieds Gr(s).

Uber die Parallelschaltung 2 + Gr(s) wird das Ausgangssignal yes) in Gegenkopplung auf den Eingang zuriickgefiihrt. Nach der Additionsstelle wird das

SignalX(s) -(2+Gj (s))Y(s) dem Integrierglied Gr(s) zugefiihrt und als

Ausgangssignal yes) ausgegeben. Man erhalt folgendes Blockdiagramm:

x(t)----1.~{ L }--------.I k[

G,(s) =s

y(t)

k[G,(s)=

s

Bild 5.71a

(5.30)sG(s)

Alternativ kann das Block-Diagramm auch aus der Ubertragungsfunktion, dieman aus G1. 5.28 erhalt, entworfen werden. Danach gilt:

k[

Ein Vergleich von Gl 5.30 und Gl 5.25 identifiziert G(s) als riickgekoppeltesSystem, mit der Riickfiihrung K(s).


Bild 5.71b zeigt das zugeharige Block-Diagramm, das zu Bild 5.71a aquivalentist.

(t)(t)X kj y• L • Gj(s)=-

S

-

kK(s)=2+---.L

S

Bild 5.71b

5.6.2 Yom Block-Diagramm zur Ubertragungsfunktion undNetzwerkgleichung

Um von einem gegebenen Strukturbild zur Netzwerkgleichung zu kommen,sollen zwei Methoden erlautert werden, nach denen man vorgehen kann.

Bei der Signalanalyse verfolgt man schrittweise den Weg des Signals vomEingang bis zum Ausgang des Systems. Dabei sind samtliche Signalumwandlungen durch die Teilsysteme zu beachten. Hat man den funktionalenZusammenhang von Ausgangs- und Einganssignal ermittelt, kann in gewohnterWeise die Dbertragungsfunktion berechnet, bzw. die Netzwerkgleichungangegeben werden.

Bei der Systemanalyse werden einzelne Teilb16cke zu iibergeordneten Blackenzusammengefasst. Dabei werden die Methoden der Reihen-, Parallelschaltungund Riickkopplung angewandt. Das ursprungliche System wird so auf einreduziertes System zurUckgefiihrt, das man leichter iiberschauen kann. Durchsukzessives Einsetzen der vorher zusammengefassten Terme ergibt sich dieSystemfunktion G(s) und daraus dann wieder die Netzwerkgleichung.

Nach beiden Methoden erhalt man letztlich eine Gleichung der Form 5.27. NachRiicktransformation in den Zeitbereich wird eine Netzwerkgleichung der Form5.26 erhalten.


Anwendung: FUr das in Bild 5.72 angegebene Blockdiagramm soll die Ubertragungsfunktion bestimmt werden.

Bild 5.72

SignaIanalyse: Wir betrachten die in den Bildraum transformierten Signale. Amersten ~-glied wird das Eingangssignal Xes) vom riickgekoppelten SignalG5(s)Y(s) subtrahiert. Das Differenzsignal U(s) = Xes) - G5(s)Y(s) durchlauftG](s) und erscheint als G](s)U(s) am Eingang des 2. ~-gliedes.

Dort wird es vom riickgekoppelten Signal G4(s)Q(s) subtrahiert und gelangt alsV(s) = G](s)U(s) - G4(s)Q(s) an den Eingang von Gis).SchlieBlich wird Q(s)=G2(s) V(s) tiber G3(s) als Ausgangssignal yes) = G3(s)Q(s)ausgegeben.

Es gelten die Gleichungen:V(s) = G](s)U(s) - G4(s)Q(s) = G](s)U(s) - G4(S)G2(s)V(s)

daraus folgt V(s) = G](s) U(s)I+G2 (s)G4 (s)

yes) = G3(s)Q(s) = G

3(s)G

3(s)V(s) = G[ (s)G2 (s)G3(s) [X(s) - G

5(s)Y(s)]

I+G2 (s)G4 (s)

Nach Separation der Variablen

[1 + G2(S)G4(s) + G](s)G2(S)G3(S)G5(s)]Y(s) = G](s)G2(S)G3(s)X(s)

erhalten wir die Ubertragungsfunktion

G(s)yes)

Xes) (5.31a)


Systemanalyse: In Bild 5.72 kann G2(S) und G4(S) als riickgekoppeltes System

nach G1.5.25 zu G24 (S) G2(s) zusammengefasst werden, so dass sichI+G2(s)G4(s)

als Ersatzsystem ergibt.

Bild 5.72a

1m Ersatzsystem Bild 5.72a sind Gi(s), G24(S) und G3(s) in Serie geschaltet, wasnach Gl. 5.22 dem Produkt der 3 Teilsysteme Gi4(S) = Gi(S)G24(S)G3(s)entspricht, womit das System weiter reduziert werden kann.

yet)

Bild 5.72b

Fur das verbleibende Ersatzsystem, Bild 5.72b, erhlilt man wieder mit Gl. 5.25:

(5.31b)

Gl. 5.31 a und Gl. 5.31b stimmen beide uberein und zeigen die Gleichwertigkeitbeider Methoden


Beispiel 5.21Das in Bild 5.73 gezeigte Block-Diagramm ist ein LTI-Systems mit den

Systemparametern k[ = k und d = 2~ Jta) Durch we1che Netzwerkgleichung im Zeitbereich wird das Systembeschrieben?b) We1che Stabilitat besitzt das System?

x(t)-------l~L~--------l

y(t)

k[

s

Bild 5.73

a) Eine Input/Output-Analyse ergibt:

X(s) - !5.L(2d + k[ )Y(s) Y(s)s s

[S2 + _l_s + _l_J. Y(s) = S2X(s)

RC LC(5.32)

Rucktransformation der Gl. 5.32 in den Zeitbereich unter der Bedingungy(O) = y(O) = 0 und X(O) = x(O) = 0 ergibt:

Netzwerkgleichung ji(t) + RiC y(t) + L~ y(t) = x(t)


S2b) Stabilitat: Aus Gl. 5.32 erhalt man G(s) = 1 _1_

S2 + RC s + LC

Das Nennerpolynom S2 +ics + L~ = ° hat die Poistellen

sl/2 = _1_[-1 + 11 _4R2C]2RC - \j L

Sind samtliche Bauteilwerte R, C, L i- 0, wovon man in der Praxis fur einreales RCL- Netzwerk ausgehen kann, so liegen. aIle Pole in der linkenHalbebene des PN-Plans. Das System ist stabil.

5.6.3 Stabilisierung durch Riickkopplung

Wir betrachten ein System mit der DbertragungsfunktionI

G1(s) = --, aE JR, a>Os-a

G)(s) hat einen Pol s = a in der rechten Halbebene des PN-Plans und ist daherinstabil.

Durch Gegenkopplung mit einem P-Glied (Abschnitt 5.5.4), kp E JR, kp:e:: 0,

solI das System stabilisiert werden.

x(t) G (s) = _1_ L-_---.--__y_(t).1 s-ar-

L.-----l GAS)= kp 1+---'

Bild 5.74

Nach GI 5.25 gilt fur das riickgekoppelte System


G(s)

_I_s-a

1 + _1_· kps-a

s-a + kp

G(s) besitztjetzt einen Pol bei s = a - kp

FUr kp = 0 ist die Ruckkopplungnicht wirksam und der Pol liegtweiterhin bei s = a in der rechtenHalbebene (RHE) des PN-Plans.Mit zunehmenden Werten von kp

wandert der Pol aus der rechtenHalbebene nach links und befindetsich fur kp > a in der linkenHalbebene (LHE) des PN-Plans.

Im(s)

LHE I RHE I

kp >a kp =0

o a

Bild 5.75

Re(s)

Fur das ursprunglich instabile System konnte durch eine geeignete, proportionale Signalriickfiihrung Stabilitat erreicht werden.

Instabile Systeme hiiherer Ordnung erfordem einen groJ3eren Aufwand urnStabilitat zu erreichen.

a,bE~, a,b > 0

Wir betrachten dazu ein System 2. Ordnung, das beschrieben wird durch dieb

Obertragungsfunktion G[ (s) = 2 2S - a

G[(s) besitzt zwei Pole Sl/2 = ± a, wovon einer in der rechten Halbebene des PNPlans liegt. Das System ist daher instabil.

a) Versuch einer Stabilisierung durch Ruckkopplung mit einem P-Glied.Bild 5.76 zeigt das System GI(s) bei proportionaler Signalruckfuhrung.

x(t) y(t)

Bild 5.76


b2 2s -a + bkp

Ais Ubertragungsfunktion nach Bild 5.76 erhalt man_b_

2 2G(s) = s -a

1+ -b-. kps2_a 2

Die Poistellen2 2

s -a + bkp = 0 liegen bei s1/2 = ±~a2- bkP

2Fur 0 ~ kp < a

bliegt stets eine Poistelle in der RHE des PN-Plans, das System

bleibt instabil.2

Fur kp :2: ab

liegt eine Poistelle bei s = 0, aile weiteren liegen auf der imagi-

naren Achse des PN-Plans. Es kann nur Grenzstabilitat (s. Abschnitt 5.4.5)erreicht werden.

b) Stabilisierung durch Ruckkopplung mit einem PD-Glied:Ein Proportional-Differential (PD)- Glied hat die UbertragungsfunktionGpD(s) = kp +kDs. Damit soil das System emeut auf Stabilitat untersucht

werden.

x(t) b y(t)G) (s) = 2 2 f--.----+

S - a

G(s)

'--------l kp+ knS

Bild 5.77

Ais Ubertragungsfunktion nach Bild 5.77 erhalt man

_b_2 2s -a b


Die Polstellen des Nennerpolynoms l + bknS + bkp - i = 0

203

Damit aile Polstellen in der linken Halbebene des PN-Plans liegen, miissen zweiBedingungen erfiillt sein:

(1) bkD > 0, (fUr kD = 0 wilrde aus dem PD-Glied ein P-Glied werden)

(2) [-bkD ± ~(bkD)2 -4(bkp _a2)] < O.

Aus Gleichung (2) erhalt man -4(bkp - a2) < 0 => kp > a:

Eine Stabilisierung des ursprunglich instabilen Systems gelingt unter der

a2Bedingung kD > 0 und kp > b .

5.6.4 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern

In Blockschaltbildem k6nnen Strukturelemente nach bestimmten Regeln versetztwerden, ohne dass dabei die Systemfunktion geandert wird.

1. G(s) fiber eine Additionsstelle vorwarts schieben.

Der G(s)-Block in Bild 5.78a soli iiber das ~-Glied nach rechts verschobenwerden. Bild 5.78b zeigt die gleichwertige Struktur nach der Verschiebung.

G(s)

X2(t)l/G(s)

G(s)yet)------.

Bild 5.78a

Nach Bild 5.78a gilt yes) = G(s)X](s) + X 2(s)

Bild 5.78b

(5.33)


Nach Bild 5.78b gilt:

yes) = G(S)[X](S) + _1_X2 (S)] = G(s)X](s) + X 2 (s) (5.34)G(s)

Die Gleichungen 5.33 und 5.34 zeigen die Gleichwertigkeit beider Strukturen.

2. G(s) fiber eine Additionsstelle rfickwiirts schieben.

Der G(s)-Block in Bild 5.79a soll tiber das ~-Glied nach links verschobenwerden. Bild 5.79b zeigt die gleichwertige Struktur nach der Verschiebung.

+

G(s)yet) G(S)~

+

G(s)

Bild 5.79a Bild 5.79b

Nach Bild 5.79a gilt: yes) = G(s)"[X](s) + X 2(s)]

Nach Bild 5.79b gilt: yes) = G(s)Xj(s) + G(s)X2(s)

(5.35)

(5.36)

Die Gleichungen 5.35 und 5.36 zeigen die Gleichwertigkeit beider Strukturen.

3. G(s) fiber eine Verzweigungsstelle vorwiirts schieben

X(t)~Y(t)

y(t)

Die Identitat wird wie oben gezeigt.

x(t) --..----1

yet)

yet)


4. G(s) fiber eine VerzweigungssteUe rfickwarts schieben

205

X(I)~Y(I)

x(t)

5. ParaUele Blocke zusammenfassen

x(t)-~ ~.....--y(t)

x(t)

x(t) y(~ X(I)_I G, +Gz r--Y(I)

6. Blocke in Serie zusammenfassen

x(t) -----G-----8-- y(t)

7. Rfickkopplungskreis zusammenfassen

x(l) 1 'u--r y(l) X(I) ·1,~G I · y(l)


Aufgaben zurn Abschnitt 5.5 (Losungen im Anhang)

Aufgabe 5.23 Ein Integrier-Glied erha1t am Eingang eine Sinus-Spannung.Welches Signal wird am Ausgang erha1ten?

_X(..:..ct)__)71 GJ (s)= ~I 11--y-(-t)7

Bild 5.80

Aufgabe 5.24 Das Blockscha1tbi1d 5.81 zeigt ein riickgekoppeltes System zweierIntegrier-Glieder, mit den Zeitkonstanten T 1 und T2. An den Ausgangen dieserScha1tung konnen 3 verschiedene Fi1terarten abgegriffen werden.Es ist zu zeigen:1. Ausgang (a) ist ein TiefpaB-Filter 2. Ordnung2. Ausgang (b) ist ein BandpaB-Fi1ter 2. Ordnung3. Ausgang (c) ist ein HochpaB-Fi1ter 2. Ordnung

-x(t) 1 _1_ aL s1] sT2

-b

c

Bild 5.81

Aufgabe 5.25 FUr das in Bi1d 5.82 gezeigte B1ock-Diagramm bestimme man:a) Die Ubertragungsfunktion des Gesamtsystems.

b) FUr G1 = ---.L1

und G2 = _1_ bestimme man, fUr we1che a E JR das Systems+ s+a

stabi1, bzw. instabi1 ist?


+'--------( L Wr------'

yet)

207

Bild 5.82

Aufgabe 5.26 Das System G1(s) = s 2 hat zwei Polstellen S1/2 = 2 ± j(s-2) + 1

in der rechten Halbebene des PN-Plans und ist daher instabil. Es erMit zur

Stabilisierung eine Proportionalriickftihrung Gp(s) = kp, mit dem Verstar

kungsfaktor kp ~ O.a) Bestimmen Sie das zugehOrige Block-Diagramm.

b) Fili we1che Werte kp gelingt eine Stabilisierung?

Aufgabe 5.27 Das in Bild 5.83 angegebene Blockschaltbild zeigt den Entwurfeines LTI-Systems, mit zwei P-Gliedern a, b ~ 0 und der Zeitkonstante T > O.Es ist zu bestimmen:a) Die Obertragungsfunktion des Systemsb) Fili we1che Werte von a, b wird Stabilitat erreicht?c) Die Systemantwort auf die Eingangsfunktion x(t) = E(t)

x(t)

+

sTl+sT

+y(t)

6 Anhang

6.1 Losungen der Ubungsaufgaben

Aufgabe 1.1:bk =0 (gerade Funktion), aO = 0 (Mittelwert),

ak = :k [Sin(k~)+ Sin(k 3:)l FUr k=2n => ak= 0I(x) = 2J2 [COS(X) + cos(3x) cos(Sx) cos(7x) + cos(9x) + cos(llx) _ .,.J

n 3 S 7 9 11

Aufgabe 1.2: aO = O,S; ak = 0; bk = - :k; I(x) = O,S - f Sin~~X)k=1

Aufgabe 1.3: bk = 0 (gerade Zeitfunktion),

A A { 0 Sin[o + k)~JaO = n; al ="2 ; ak = 2A 2

1t l-k2

k= 2n+l

k= 2nnEN

Aufgabe 1.4:3

aO=-=037S'8 ' ,2

al = -- = -0 20264'2 ' ,1t

2 1bl = 2 +- = 0,S2095;

1t 1t

1a2 =--=-0101322 '

1t

b2 =0

Aufgabe 1.5:1 l_e-2rc

ck =21t 1 + j k

Aufgabe 2.1: F(w) = ~[COs( w:) -1]

Aufgabe 2.2: F(w) = 2a .2 2 'a +w

1m F (w) = 0 gerade Zeitfunktion

6 Anhang

Aufgabe 2.3:

209

(COT)

00 I-cos -

f(t) = 4U f 2 2 eos(cot)dco1tT CO

o

Aufgabe 2.4:

Aufgabe 4.1:

Aufgabe 4.2:

f(t)=! sint-teost1t t2

) f dz .a --=21tJ

z-2W

1Res {fez) }=--

z=-1 8

b) Res{_1_} = 1z=2 z-2

1Res{f(z) }=-z=1 8

Aufgabe 4.3:

a) f(t)=-e t +e2t b) f(t)=te-t +2e-t

c) f(t)=!(e t _e-t ) =sinh(t) d) f(t) = (-4,5t3 +13,5t2 -9t+l)e-3t

2

e) f(t) = t - 2 + te-t - 2e-t t) f(t) = 2e-t - 2eos(t) + 3sin( t)

Aufgabe 4.4:

Aufgabe 4.5:

Aufgabe 4.6:

1 tn- 1-.-0--

sn (n-l)!

1 .-0 ![sin(t)-teos(t)](s2 +1)2 2

_s_ • _ 0 ! [eosh(2t) - eos(2t)]s4- 16 8

Aufgabe 4.7:

2 4a) F(s) = 24 _~+~= 24-6s +5s

s5 s3 s s5

b) F(s) = _3_+_5_ = 8s+19s + 2 s + 3 (s + 2)(s +3)

210

Aufgabe 4.7: (Fortsetzung)

e) F(s) = 2-3ss2 +1

ae) F(s) = 2 2

s -a

Aufgabe 4.8:

a) f(t)=1-3t+.it3_~t46 24

e) f(t)=O,5e 2,5f +3t

e) f(t) = 0,5 eos(1,5 t) + 2,5sin( 1,5t)

Aufgabe 4.9:

2e-sa) F(s)=-

s3

1+e-1tS

e) F (s) = -----:2,-----s +1

) () 1 ( -s) 1 (-s - 2se F s =- 1- 2e +- e - e )s s2


4 1d) F(s)=---

s3 s+O,5

sf) F(s)= 2 2

s -a

b) f(t) = 6e-5f _8e2f

d) f( t) = 5eos( f) + 3sin( t)

-3sb) F(s) = 1-e

s2

Aufgabe 4.10:

Aufgabe 4.11:

A (-Sfl -SfZ )F(s)=- e -es

f(t) = A t- A (t-2)e(f-2)-Ae(f-2)+Ae-(t-2)e(t-2)2 2

A A -2s A -2s-2s e eF(s) =-(l-e ) ---+--2s2 s s +1

Aufgabe 4.12:

m(l-e-sT )F(s) = Z Z .-0 f(t) = sin(mt)-sin[m(t-T)]e(t-T)

s +m

6 Anhang

Aufgabe 4.13:

211

a)

c)

f- 2 t?2 r(, S~ t ? 5j(t) = 0 b) jet) = 6 0

t<2 t <5

{cos [5(' -~)] t > Kd) J(t) ~ { 0,5 ,2 t ~ 2

jet) = - 2

0 t< K 2( t -I) t > 22

e) j(t) = (l-e-2t )-(l-e-2(t-l))c(t-I) = {1_e-2t

O~t~1e-2(t-l)_e-2t t>1

r O~t~1 {, O~t<1

g) j(t)= _e-2(t-l) h) j(t)= 1 1< t ~ 2t > 1 e-2(t-2) t > 2

Aufgabe 4.14:

a) F(s) =2

b) F(s) =24

(s +5)3 (s - 3)5

c) F(s) =s+8

d) F(s)=s+2 s+2

(s+8)2 +0)2 (s+2)2 -1 s2 +4s +3

1 2 2 f)e-s

e) F(s)=-+ + F(s) =s (s +1)2 (s +2)3 s2 +4s+5

Aufgabe 4.15:

a) j(t) = te-t b) jet) = ..!.e-2tsin(2t)2

c) j( t) = e-tcosh(2t) d) jet) = ..!.t2e-at2

212 6.1 Losungen der Ubungsaufgaben

h) j(t)=2.j(e-3t


{

(t-2)2 e-(t-2) t?2e) j(t) = 2

° t <2

{2.e-(t-3)sin[2(t - 3)] t ? 3

f) j(t) = 2

° t<3

{

te-2t t:=:;3g) j(t) =

te-2t _(t_3)e-2(t-3) t >3

Aufgabe 4.16: a) Jet) = 2e-2t _e-3t

b) j( t) = 0,05 e2t - 0,25e-2t + 0,2 e-3t

c) f(t) = (-4,5t 3 +13,5t2 -9t+l)e-3t

d) Jet) = -7te-t +Se-t +3et _e-2t

e) Jet) = t-2+te-t +2e-t

f) Jet) = (t-O,6)e-t + [0,6cos(t) + O,Ssin(t)]e-4t

g) Jet) = 2e-t -2cos(t)+3sin(t)

h) Jet) =5e-t +2cos(.j3t)-.J3sin(.J3 t)

i) Jet) = t 2e-2t

Zahler konstant, keine Partialbruchzerlegung

k) F(s)=l+_l- .-0 j(t)=o(t)+e-ts +1

F(s) unecht gebrochen rational

{

-t t:=:;l

1) j(t)= 1_2e-(t-l) t>l

m) j(t)=[~t2+2t+3Je-t

6 Anhang

Aufgabe 4.17: f(t) = cos(t)*cos(t) = ..!.[sin(t)+tcos(t)]2

213

Aufgabe 4.18:

A1 A eSjf _eSzfa) F(s) =__+_2_ .-0 f(t) = ----

s-sl s-s2 sl -s2

eSj f _ eszfb) f(t) = eSlf *eSzf =---

sl -s2

0) f(t)~ ,~d (,_Sl~;: -S2)}+,~~ {(s -Sl~;:-S2)}~ os:: =~:'tAufgabe 4.19: f( t) = ..!.t sin( t) *sin (t) = ..!.. [sin( t) - tcos (t)]

2 8Aufgabe 4.20:

t5 t9 t13 t17 t21a) f(t) = t--+---+---+-···

5! 9! 13! 17! 21!

Aufgabe 4.22:

a) F(s) = ~arctanGJ b) F(s) = 2s +8s (s +3)3


Aufgabe 4.23:

a) F(s) = Uo (l-e-sr)r s2

b) F(s)=_I_(1_e-sr _e-s2r +e-s3r)s2

Aufgabe 4.24:

a) lim jet) = 0t--70

b) lim jet) = 0t--70

c) lim jet) = 2t--70

d) lim jet) = 0t--70

e) lim jet) = 0t--70

1) lim j(t) = 00

t--70

lim jet) = 0t--7OO

Endwertsatz nicht anwendbar

lim jet) = 1t--7OO

lim jet) = .Rt--7OO 2

lim j(t)= 1t--700

lim jet) = 0t--7OO

Aufgabe 4.25:

2b) F(s) = 6s -2

(s2 +1)3

2d) F(s)=s +12s-4

(s2 + 4)2

2sa) F(s) = 2 2

(s -1)

4 2c) F(s) = 6s -36s +6

(s2 +1)4

1 .e) F(s) = (slehe Aufgabe 4.5)

(s2 +1)2

e-tAufgabe 4.26: jet) = -

tAufgabe 4.27:

g+1a) F(s) = In

s-1 (S+IJb) F(s) = In -s-c) F(s) = In

2 2s +a22 2s +a1

Aufgabe 4.28: a) In 0,25 = - 1,38629... b) In 3 = 1,09861...

6 Anhang

Aufgabe 5.1:

Aufgabe 5.2:

Aufgabe 5.3:

a) jet) = ..!.t-i+e-t _..!.e-2t2 4 4

b) jet) = 15te-t +4e-t -4cos(2t)-3sin(2t)

c) jet) = te-3t +3e-3t _2e-2t +e3t

d) J(I) ~ 2e-1+eo't

1j3 ,m[~}eo{ ~I)]

e) j(t)={~-(~+~)e-2t O~t~2-(~+~)e-2t-e~2+~)e-2(t-2) t>2

jet) = 2e-5t + e-t [Acos (.J3t) + Bsin (.J3t)]

215

[

__1 t __1 (t-r)]Uo -e RC +e RC

b) Ua(t)=kl-kRC[I-e-;C]

t > r

Aufgabe 5.4: x(t) = 8t + 2 - 2cos(t) - 3sin(t); y(t) = - 4t + 1 + 2sin(t)

Aufgabe 5.5:

Aufgabe 5.6:

x(t) = ..!.+~cosh(3t)=..!.(1+e3t +e-3t )333

yet) = 6cosh(3t) = 3(e3t +e-3t )

x(t) = 5e-t +3e4t , y(t) = 5e-t _2e4t

216

Aufgabe 5.7:

Aufgabe 5.8

Aufgabe 5.9:


c) periodischer Fall:

a) aperiodischer Fall:

Aufgabe 5.10:

0447U [_0,382 t _2,618 t ], 0 e RC -e RC

Ri2 (t) =

0447 U [- 0,382 t - 2,618 t _ 0,382 (t-r) _ 2,618(t_r)], 0 e RC _ e RC _ e RC _ e RC

R

A ., b 5 11 E . 2 1 d s: Ruiga e .: s sel Wo =- un u =-.LC 2L

i(t)~ Uo ~ e-8' 'inh(~02 -W5 t)

L 02_ W5i(t)=Uote-cSt

b) aperiodischer Grenzfall: L

U -cSt ( Ji(t)= 0 ~ e sin ~W5 _02 t

L 0/ _02o

Aufgabe 5.12:

t>r

a)

UOC[~+l_e - ;~]4r RC

i( t) =Uoc[ 2r - ;~ _2~~T)]-- ---e +e

4r RC

lim i(t)=Uot~oo 2R

t>r

b)

6 Anhang


UOC[~+1_e-;~] O~t~1"41" RC

i(t» = [ 2t _2(t-1") ] _ 2(t-1")U C -- U_0_ -e RC +e RC -~e RC t>1"

41" 2R

lim i(t) = °t----';oo

217

Aufgabe 5.13:

a)

2U --t

i(t)=---.Q.e RCR [ 2]U --t

Ua(t)=-f 1+e RC

b)Ls+2R

h(s) = 2 Ue(s) =>2RLs+5R

2Rs+-

Ua (s) = Rh(s) = Ueis) 5~s+

2L

1) Ue(s)=1 =>ua(s)=~r1-2:~1 (Po1ynomdivision)s+

2L5R

1 R --t=> ua (t) = "2 t5( t) - 4L e 2L

2) Ue(s)= Uo =>ua(s)=uor°,4 + O'~R1 (Partialbruchzerlegung)s s s+-

2L

=> ".(1) ~UO[0,4+0'1' -~~ I]

Z18 6.1 Losungen der Ubungsaufgaben

Aufgabe 5.14:[

_ Zt ]a) h(t)=~ l+e RC

Zt1 -

b) get) = 8(t)--e RCRC

LC(SZ +_l- s +_l_JRC LC

[

_ Zt :1 RCa) h(t)="21-e

a) G(s) = RZCs +1(Rl+ RZ)Cs+l

1b) G(s) = R

LCs Z +-s+lL

Hinweis zu b): Polynomdivision von G(s) oder verallgemeinerte Ableitung von h(t)_ Zt

e RCb) g(t) = Ii(;

Aufgabe 5.16:

Aufgabe 5.15:

Aufgabe 5.17:

c) G(s) = RCsRZCZsZ +3RCs +1

1a) G(s) = -----::-----::---::-----

RZCZsZ +3RCs+l

[

O,382t 2,618 t ]0447 -- --b) g(t) = -'- e RC -e RC

RC

_O,382t

_2,618 tc) h(t) = 1-1,171e RC +0,171e RC

Aufgabe 5.18: 3t1 --

a) g(t) = RC e RC;[

3t ]1 - RCh(t)="3 1-e

b) U a (t) =

~O[I-C-~~]

~o [-c- ~~ +/~;)] t> "C

6 Anhang 219

Aufgabe 5.19:

a) G:r(s) = 1 s mit 5=~L (s+f5)2 2L

{

VO (te-l5t) fUr t~Tb) i(t) = L

~O [te-l5t - (t - T)e-l5(t-r) ] fUr t> T

~;[;2 -e:~I-~"-81] fik ",

V[

-l5t 1 -l5(t-T) ]c) i(t) = ~ __e te- l5t + e + t-T e-l5(t-T) _

LT 52 5 52 5

- V 0 (t _ T)e-l5(t-T) fUr t > TL

s

c)

b)

2[S+_1]2RC

[

11 ]V --I --(1-1)U a (t) = ---f e 2RC - e 2RC E(t -1)

11 1 --I

get) = -5(t)---e 2RC2 4RC

Aufgabe 5.21:

Aufgabe 5.20:

a) G(s)=Va(s)= RCsVe(s) 2RCs+1

a)

b)

RLs+R s+-

G(s) L2Ls +3R ( RJ2 s +1,5 L

RR -1,5-t

g(t)=O,55(t)-O,25-e LL

220



c)

Aufgabe 5.22:

3R1 1 --I

h(t)=-+-e 2L3 6

b) F = jOJRC+ljOJRC+2

ImF

a) G(s) =

1s+-----.Bi2

2s+

RC

o

(j)=O

0,5

2(j)=-

RC

{j)=OO

ReF

Aufgabe 5.23

Bild 4.84 Ortskurve des Frequenzgangs

OJKorrespondenz: x(t) = Uosinat a-------. Xes) = U o 2 _2

X +wkr OJ

Ausgangssignal yes) = Gr(s)X(s) = - Uo 2 __2S S +w

Riicktransformation in den Zeitbereich

y(t) =?I{y(S)} = krUo?l{ 2OJoJ}s(s + )

kUyet) = _1_0 (1- cos 0Jt)

(j)

Das Ausgangssignal y(t) beschreibt den Verlauf der Integration einer sinFunktion von t = 0 an, bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t.

6 Anhang

Aufgabe 5.24Aus Bild 5.81 liest man folgende Systemgleichungen ab:

Yc(s) = X(s) - Ya(s) - Yb(S)

Yb(S) = Yc(s)~T. = [X(s) - Ya(s) - Yb(S)] ~T.sIsI

Ya(s) = Yb(S) ,;,s12

Einsetzen von Gl. (3) in Gl. (2) ergibt:

Yb(S) = [X(s) - Yb(S) _1_ - Yb(S)] _1_sT2 s1J

Yb (S)[I+ -t+ -2-1_] = X(s)-t

siS 1JT2 S I

_1_

G (s) = Yz,(s) s1Jb X(s) [ ]

1+ sh + s2~T2Die Dbertragungsfunktion Gb(s) zeigt einen BP 2. Ordnung.

Aus Gl (3) ergibt sich mit Yb(S):

Ya(s) = Yb(s)+ 2 1 X(s)s2 s1JT2 +sT2 +1

G (s) = Ya(s) = 1a X(S) 2S 1JT2 +sT2 +1

Die Ubertragungsfunktion Ga(s) zeigt einen TP 2. Ordnung.SchlieBlich ergibt sich aus Gl. (1)

1:,(s) = X(s) - 2 1 X(s) - 2 sT2 X(s)s 1JT2 +sT2 +1 s 1JT2 +sT2 +1

2G (s) = Yc(s) = S 1JT2

c X(s) s21JT2 +sT2 +1

Die Ubertragungsfunktion Gc(s) zeigt einen HP 2. Ordnung.

FUr T] = T2 = T erhalt man im Bode-Diagramm symmetrische Filtercharakteristiken.

221

(1)

(2)

(3)


Aufgabe 5.25

a) Das 2. Summierglied fiihrt das Signal GI(S)U(S) + yes) in Gegenkopplung aufdas 1. Summierglied zuriick.Darnit ergeben sich folgende Systemgleichungen:

(1) U(s) =X(s) - [GI(S)U(S) + yes)]

(2) yes) = GI(S) GlCs)U(s)Nach Umformung erhalt man

[1 + GI(S) + GI(S) GlCs)]U(s) =X(s)Einsetzen in (2) ergibt die Ubertragungsfunktion:

G(s) = yes) = G1(s) Gz(s)Xes) 1 + G1(s) + G1(s) Gz(s)

b) Fill die angegebenen Ubertragungsglieder GI(S) und G2(S) erhalt man fUr1

G(s) = -zO--------s + (a+2)s+2a+l

G(s) hat die Polstellen sllZ = t[-(a+2)±~(a+2)z -4(2a+l) ]

Fill a> -t ist das System stabil. Samtliche Polstellen liegen in der linken,

offenen Halbebene des PN-Plans.

Fill a =-t ergibt sich eine Polstelle bei s = 0, das System ist grenzstabil.

Fill a <-t ist das System instabil, da fUr jedes a eine Polstelle in der rechten

Halbebene des PN-Plans liegt.

.... yet)L G1(s)

...../ /

11\

k p./.....

x(t) (;:\----..07)\V

Aufgabe 5.26

a) Block-Diagramm

6 Anhang

b) Fiir das rUckgekoppelte System giltS

G(S) = G1(s) (s-2)2+ 11 + G1(s)·Gp(s) 1+ s .k

p(s-2)2+ 1

mit den Poistellen Sl/2 = ±[(4-kp)±~(kp _4)2 -20]Eine Stabilisierung gelingt fur 4 < kp < 00.

Aufgabe 5.27a) Eine Signalanalyse von Bild 5.83 ergibt die Systemgleichung

[X(s)+bY(s)]'-lsT +aX(s) = Y(s)+sT

[l-b~]Y(S)= [a+~]x(s)l+sT l+sT

G(s)=sT(1+a)+asT(1-b) +1

1b) Polstellen von G(s): sT(1-b) + 1 =0 => sl =

T(1-b)

S

223

Das System ist stabil fur b < I, a beliebig.c) Sprungantwort

Ot>-1{ I} I+a Ot>-I{ 1 } a Ot>-1{ 1 }h(t)=.L G(s).-; = I_b.L s+_l- +T(l-b).L [ 1 ]T(1-b) s s+T(l-b)

t

h(t)=a+(l+ab)e-T(l-b) furt ~O.I-b

224

6.2 Eigenschaften der Deltafunktion

6.2 Eigenschaften der Deltafunktion

{~ fur t = to1. t5(t-to) = Definitiono fur t = to

00

2. f t5(t - to)dt = 1 Normierung

0

3. L{t5(t-to)} =e-sto , to ~ 0 Laplace-Transformierte

00

}4.fl(l)t5(t - to)dt = l(to)

Ausblendeigenschaft0

l(t)t5(t-to) = l(to)t5(t-to)

t

5. e(t-to) = f t5(t - to )dt Sprungfunktion-00

6. De(t) = t5(t) verallgemeinerte Ableitungder Sprungfunktion

7. t5(t - to) = t5(tO - t) Symmetrie

8.1 Skalierungt5(at) =~t5(t)

9. l(t) * t5(t) =l(t) Neutralelement der Faltung

10. 1(I) * t5(t - to) =1(t - to) Faltungsprodukt

6 Anhang

6.3 Satze der Laplace-Transformation

Bei den folgenden Satzen ist die Giiltigkeit der Korrespondenzen

f(t) 0-. F(s) bzw. Ii(t) 0-. Fi(s)

vorausgesetzt.

225

n nAdditionssatz: Lad;(t) 0-. LajF](s)

i=1 i=1

Verschiebungssatz: -stf(t - to)£(t - to) 0-. F(s)e 0

Dampfungssatz: f(t)e-at 0-. F(s+a)

tFaltungssatz: fl(t) *h(t) = f!I(r)h(t--r)dr 0-. Fl(s)F2(s)

0

lntegrationssatzt

ff(r)dr 0-. ;F(S)fur dieOriginalfunktion: 0

Differentiations- f'(t) 0-. sF(s)-f(+O)satz fur die

f"(t) 0-. s2F(s)-sf(+0)- /,(+0)Originalfunktion:

jCn)(t) 0-. snF(s)_sn-l f (+0)_sn-2/,(+0)- ...

- f(n-l) (+0)

Differentiationssatz dnF(s)(-l)nL {tnf(t)}

fur die Bildfunktion ds n

lntegrationsssatz 00

Fiir die Bild - fF(S)dS =L{ f;t)}funktion s

226 6.4 Korrespondenzen der Laplace-Transformation

6.4 Korrespondenzen der Laplace-Transformation

A) Einige Bildfunktionen F(s) und ihre zugehorigen Zeitfunktionen I( t)

Nr. F(s) I(t)

1 1 oCt)

1e(t)2 -

s

1 tn- 13 - (n = 1 2 3 4··-)sn ' , } } --

(n-I)!

1 tn- 14 - (n > -I,reell) --

sn r(n)

1 15

-

fit.j;

1

2ff6 s.j;

1 n-l4n , -7 -- n. t 2

sn.j;(2n)!.Jn

18

-- e-ats+a

0;sin (wt)9 s2 + 0;2

s10 s2 +w2 cos (wt)

as+ba cos (wt) +~sin(wt)

11 s2 +w2 w

0;12 2 _w2 sinh (wt)s

6 Anhang 227

Nr. F(s) f(t)

S13 s2 -(ji cosh (mt)

1 ~(I-e-at)14 s(s+a) a

15 1 81 t 82 te -e

(s-sl)(s-S2) sl -s2

16 s 81 t 82 t

(s-sl)(S-S2)sl e - s2e

s\ -s2

1_1_e-§ tsinemet)

17 s2 + 25s +m~ me

m; - 52 > 0 me = ~m~ - 52

1_1_ e-§ t sinh(met)

18 s2 + 25s + m~ me

m~ _52 < 0 me = ~52 - m~

1

19 (s+a)2-at

te

s

20 (s+a)2( ) -atI-at e

1 M-Jt ]21 s(s2 + 25s + m~)

2 1- _e-{5 sin(mt) + m cos(mt) }mo m

m2 _ 52 > 0 m = ~m~ - 520


Nr. F(s) J(t)

1I [ -§t ]

s(s2 +25s + liJ5) 2 1- _e_{5sinh (liJt) + liJcosh(liJt)}22 liJO liJ

0/ _52 <0liJ=~52 - liJ50

eat ebt1 + +

23 (s - a)(s - b)(s - c)(a - b)(a - c) (b - a)(b-c)

ect+

(c-a)(c-b)

aeat bebts + +

24 (s - a)(s - b)(s - c) (a - b)(a - c) (b - a)(b -c)

cect+

(c -a)(c -b)

s2a2eat b2ebt

+ +25

(s - a)(s - b)(s - c)(a - b)(a - c) (b-a)(b-c)

c2ect+

(c - a)(c - b)

1~ [1- cos(liJt)]26 s (s2 + liJ2) liJ

1 127 s(s2 _liJ2) 2 [cosh (liJt) -1]

liJ

2liJ2sin2(liJ t)28

s(s2 +4liJ2)

s2 +2liJ2cos2 (liJ t)29

s(s2 +4liJ2)

liJ3.!..[sin (liJt) -liJtcos(liJt)]30

(s2 + liJ2)2 2

6 Anhang 229

Nr. F(s) I(t)

31OJ3

1[ .(s2 _ OJ2)2

- OJ tcos(OJt)-sinh(OJt)]2

OJS 2. tsin (OJt)32 (s2+OJ2)2 2

OJS2. t sinh (OJt)33 (s2 _ OJ2)2 2

OJs 22.[ sin (OJt) + OJ tcos(OJt)]34 (s2+OJ2)2 2

OJs 2~ [sinh (OJt) + OJt cosh(OJt)]35 (s2 _OJ2)2

s3cos(OJt)-~ sin(OJt)36 (s2+OJ2)2 2

s3cosh (OJt)-~ sinh (OJt)37 (s2 _ OJ2)2 2

s2 + OJ238 (s2 _OJ2)2

tcosh(OJt)

39 arctan ( ~) sin(OJt)

t

40 In[§)sinh (OJ t)

t

In(~J-a2 t -alt

e -e41 s+a2 t

42 ~ hmi ]

cos(OJ 1t) - cos(OJ2 t)

,V s2 + OJ? t


B) Einige Einzelimpulse, bzw. periodische Zeitfunktionen und ihreLaplace-Transformierten

A 1-----...,:I

Nr.

2

3

f(t)

f(t)

o

1[\ f(t)

A

o

I f(t)A~

I

o-A

to

t....

F(s)

A [ -st ]---; l-e 0

[

st _2: l-e-i

4

I f(t)

A r----jI I t2

I IL-..J

[_~ _!!l]2

..i e 2 -e 2s

5

o

f(t)

to

t.... [

:

2stO

2A 1 ---- l-e 2to s2

6 Anhang 231

Nr. f(/) F(s)

II'f( t) [ r6s t) s t2

A

A2A 1 -- ----- e 2 -e 2

I t2 -tl s2

0 II 12,..

f(t)

7 A

/l A 1 [ -st ] A-SI

O

tt:7i l-e 0 -~e

,

0 to,..

f(t)

8 A

/l_A_ -3{e-stl - e-st2 ] _

12 -II s2t

, A -st2

0 II t2,.. --e

s

f(t)

9 A i r---l A 1I I

t s sTI I I --

.... l+e 20 T

,

Periodische Funktion

II'f( t)sTAIi II --

10 Al-e 2! I I I,

sT0,.. sI TI I --

!-J l- l+e 2-A

Periodische Funktion

232

Nr. f(t)

6.4 Korrespondenzen der Laplace-Transformation

F(s)

11

12

13

f(t)

A

o T"2

Einmali e Sinushalbwelle

f(l)

A

o

f(t)

A

[ST]Am 2

2 2 l+es +m

Am

sT

Am l+e 2

s2 +m2 sTl-e 2

J(t)sT

14 A 2A 1 1- e 2

T s2 sT

0 l+e 2

15A

o"Sii ezahnkurve"

t

A 1-[I+sT]e-sT

Ts 2 l_e-sT

6 Anhang 233

Nr. Jet) F(s)

I,!(t)

[ 'Tr16 A

V\ /\t

1-e H

2A.-t0 T T Ts 2 1 -sT-e

.-t

I'/( t)

17 A

111 ;1JsT

--A .-t-[.-t+sT]e 2

Ts 2 1 -sT0 T T -e

A

234 6.5 Liste der verwendeten Forrnelzeichen bzw. Symbole

6.5 Liste der verwendeten Formelzeichen bzw. Symbole

Aj,Bj Residuen

C Kapazitat

D Symbol fUr verall-gemeinerte Ableitung

F Frequenzgang

g- Symbol fUrFouriertransformation

g--l Symbol fUr inverseFouriertransformation

J(t) Zeitfunktion,Originalfunktion

F(s) Bildfunktion, Laplace-Transformierte

F(w) Spektralfunktion

get) Gewichtsfunktion,Impulsantwort

G(s) Ubertragungsfunktion

h(t) Ubergangsfunktion,Sprungantwort

i(t) Strom

j imaginare Einheit

k Kopplungsgrad

L Induktivitat

Z Symbol fUr Laplace-Transformation

Z-l Symbol fUr inverseLaplace-Transformation

M Gegeninduktivitat

R Wirkwiderstand

s Bildvariable

t Zeitvariable

T PeriodendauerUa konstante Spannung

u(t) Spannung

ua(t) Ausgangsspannung

ue(t) Eingangsspannung

x(t) Eingangssignal

y(t) Ausgangssignal

y Leitwert

Z Scheinwiderstand

fJ Konvergenzabszisse

8 Abklingkonstante

8(t) Deltafunktion

e(t) Sprungfunktion

13 Dampfungsgrad

(jJ Phasenwinkel

T Zeitvariable,Impulsdauer

(J' Realteil der Bildvariablen

OJ Kreisfrequenz

OJe Eigenkreisfrequenz

0J0 Kennkreisfrequenz

6.6 Literatur

6.6 Literatur

235

[ 1 ] Ameling, W.: Laplace-Transformation, 3. Aufl. Dusseldorf 1984

[ 2 ] Brauch, W. / Dreyer, H.-J. / Haacke, W.: Mathematik fUr Ingenieuredes Maschinenbaus und der Elektrotechnik, 10. Aufl. Wiesbaden 2003

[ 3 ] Braum, A.: Grundlagen der Regelungstechnik, Leipzig 2005

[ 4 ] Doetsch, G.: Einfiihrung in die Theorie und Anwendung der LaplaceTransformation, 3. Aufl. Basel 1976

[ 5 ] Doetsch, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der LaplaceTransformation und der Z-Transformation, 5. Aufl. Miinchen 1985

[6] Follinger, 0/ Kluwe, M.: Laplace-, Fourier- und z-Transformation,8. Aufl. Heidelberg 2003

[ 7 ] Frey, Th. / Bossert, M.: Signal und Systemtheorie, Wiesbaden 2004

[ 8 ] Girod, B. / Rabenstein, R. /Stenger, A.: Einfiihrung in dieSystemtheorie, 3. Aufl. Wiesbaden 2005

[9] Mildenberger, 0.: Ubertragungstechnik, Braunschweig 1997

[ 10] Papula, L.: Mathematik fUr Ingenieure und Naturwissenschaftler,Bd. 2, 10. Aufl. Braunschweig 2001

[ 11] PreuB, W.: Funktionaltransformationen, Leipzig 2002

[ 12] Scheithauer, R.: Signale und Systeme, 2. Aufl. Wiesbaden 2004

[ 13 ] Schumny, H.: Signalubertragung, 2. Aufl. Braunschweig 1987

[ 14] Unger, J.: Einruhrung in die Regelungstechnik, 3. Aufl. Wiesbaden2004

[ 15 ] WeiBgerber, W.: Elektrotechnik fUr Ingenieure, Bd. 3, 4. Aufl.Braunschweig 1997

[ 16] Werner, M.: Signa1e und Systeme, Braunschweig 2000

236

6.7 Sachverzeichnis

Ab1eitung, verallgemeinerte 105Additionssatz 53Additionsstelle 189, 195,203Amp1itudenspektrum 8Anfangswertsatz 108

B1ock-Diagramm 194

Carson-Transformation 32Cauchy'sche Integra1formeln 37Cauchy'scher Integra1satz 37

Dampfungsgrad 130Dampfungssatz 69Deltafunktion 64, 224Differentia1g1eichungen

- gewohn1iche mit konst.Koeffizienten 118Systeme von 126

Differentiationssatz

- fur die Bi1dfunktion 111

rur die Origina1funktion 101

- fur die verallgemeinerte Ab1eitungeiner Zeitfunktion 104

Dimension der Lap1ace-Trans-formierten 31

Dirac'sche Deltafunktion 64

Dirich1et'sche Bedingungen 2

Duhamel'sches Integral 156

Eindeutigkeitssatz 35E1ementare Ubertragungsglieder 191Endwertsatz 109

6 Anhang

Fa1tungssatz 88Fa1tung von Zeitfunktionen 86Fourierintegra1- in der komp1exen Form 19- in der reellen Form 21_ Ubersicht 22

Fourierreihe 1- reelle Fourierreihe 2- komp1exe Fourierreihe 12Fouriertransformation 26

- diskrete (DFT) 29- schnelle (FFT) 29Frequenzgang 171Funktion, regu1are 36

Gammafunktion 51Gegenkopp1ung 189Gewichtsfunktion 154

Hauptsatz der Funktionentheorie 36Heaviside'scher Entwick1ungssatz 73ho1omorphe Funktion 36

Impu1santwort 154Integra1sinus 94Integrationssatz- fur die Bi1dfunktion 114- fur die Origina1funktion 96

inverse Laplace-Transformation 34

Kausa1e Zeitfunktion 30komp1exe Fourierreihe 12komp1exe Urnkehrforme1 34Konvergenzabszisse 33Konvergenzha1bebene 33Korrespondenz 48

6.7 Sachverzeichnis

Laurent-Reihe 38lineares Obertragungsglied 153lineare Transformation 53LTI-Systeme 154

Mitkopplung 189

Netzwerkg1eichung 194

Paralle1kopplung 188Partia1bruchzedegung 72Pol n-ter Ordnung 39Po1-Nullstellenplan- einer echt gebrochen rationalen

Bildfunktion 84_ einer Obertragungsfunktion 167

periodische Zeitfunktion 58

RCL - Netzwerke 135Reihenentwicklung, Bi1dfunktion 91Reihenkopplung 185Residuum 40Residuensatz 41,43Riickgekoppelte Systeme 189

Signa1analyse 196, 197Spektralfunktion 18Sprungantwort 154Stabi1isierung d. Riickkopplung 200Stabi1itat von LTI-Systemen 169symbolischer Widerstand 137Systemanalyse 196, 198Systeme von gewohnlichenDifferentia1g1eichungen 126

Trennverstarker 186

237

Ubergangsfunktion 154Obertragungsfunktion 155Obertragungsglieder, e1ementare 191

Verallgemeinerte Ab1eitung 105Versetzen von Struckture1ementen 203Verschiebungssatz 56Verzweigungsstelle 204

Wesentlich singu1are Stelle 39

Zeitinv. Obertragungsglied 153

Laplace-Transformation: Grundlagen â€” Fourierreihen und Fourierintegral â€” Anwendungen

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