Peter Hagedorn

Technische MechanikBand 3

Dynamik

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Der AutorProfessor Peter Hagedorn vertritt an der Technischen Universität Darmstadt dasFach Technische Mechanik in Lehre und Forschung. Er hält seit mehreren Jahrzehn-ten Vorlesungen über Technische Mechanik und über Technische Schwingungslehrefür Hörer unterschiedlicher Fachrichtungen.

Verlag Harri DeutschGräfstr. 4760486 Frankfurt

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978-3-8171-1835-9

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4., überarbeitete Auflage 2008c©Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2008Druck: fgb – freiburger graphische betriebe <www.fgb.de>Printed in Germany

Vorwort

Dieser Band entspricht dem dritten Teil einer dreisemestrigen Vorlesung, die ichseit mehr als 30 Jahren für Hörer verschiedener Fachrichtungen an der Techni-schen Universität Darmstadt halte; zwei weitere Bände behandeln die Statik unddie Festigkeitslehre. Niveau und Aufbau der drei Bücher orientieren sich an denLehrveranstaltungen, wie sie besonders für Ingenieur–Studenten an praktisch allenHochschulen angeboten werden.

Die unterschiedliche Vorbildung, die unsere Studenten von der Schule mitbringen,hat zur Folge, daß in den Vorlesungen für die Erstsemester Grundbegriffe und ma-thematische Hilfsmittel sehr elementar eingeführt werden müssen. Ich war in demvorliegenden Buch bemüht, das Gebäude der Mechanik auf dem soliden Fundamentdieser Grundlagen systematisch aufzubauen. Die freundliche Aufnahme des Buches,die sehr schnell Neuauflagen notwendig machte, zeigt mir, daß dies zumindest teil-weise gelungen ist.

Dank des Einsatzes der Herren Dr.–Ing. Daniel Hochlenert und Dipl.–Ing. FlorianFischer war es möglich, die gesamte Reihe von Grund auf zu überarbeiten, so daßdie drei Bände jetzt in einem neuen Layout vorliegen. Dabei wurden in allen dreiBänden zahlreiche Verbesserungen, neue Beispiele und – bei der numerischen Be-handlung von Aufgaben mittels Matlab, insbesondere in den Bänden 1 und 3 –eine Reihe von Ergänzungen vorgenommen. Viele dieser Änderungen gehen direktauf Anregungen der Herren Hochlenert und Fischer zurück, die auch die Erstel-lung der reproduktionsfähigen Vorlagen überwacht haben. Ich danke beiden fürden unermüdlichen Einsatz.

Mit der vorliegenden Auflage des Bandes 3 wurde Kapitel 5 (Dynamik der Systeme)vollkommen überarbeitet. Dies betrifft sowohl die Darstellung als auch teilweise dieNotation. Weiterhin wurden in Kapitel 3 neue Beispiele zu Stößen starrer Körpermit und ohne Reibung eingefügt, die klar die Schwierigkeiten der Behandlung vonStößen in der Starrkörpermechanik belegen. Diese Änderungen wurden im wesent-lichen durch Dr. Hochlenert angeregt, der sie dann auch eingearbeitet hat.

Manche Kollegen und viele Studenten haben mich in der Vergangenheit auf mögli-che Verbesserungen hingewiesen, die hier eingearbeitet wurden. Ihnen allen sei andieser Stelle gedankt.

Dem Verlag Harri Deutsch danke ich für die bewährt gute Zusammenarbeit.

Darmstadt, im Juli 2008

Peter Hagedornpeter.hagedorn@dyn.tu-darmstadt.de

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 1

2 Kinematik 32.1 Kinematik des Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Die geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Erste Bemerkungen zu Differentialgleichungen . . . . . . . . . 42.1.3 Die allgemeine („krummlinige“) Bewegung . . . . . . . . . . . 12

2.2 Kinematik des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1 Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung des star-

ren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Ebene Bewegung starrer Körper, der Momentanpol . . . . . . 302.2.3 Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.4 Ergänzungen zur Kinematik des starren Körpers∗ . . . . . . . 43

2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Dynamik des Massenpunktes und des Punkthaufens 573.1 Das Newtonsche Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Freie und geführte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 Der Arbeitssatz für den Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4 Der Punkthaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4.1 Der Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.2 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4.3 Impulssatz, Anwendung auf den Stoß . . . . . . . . . . . . . . 833.4.4 Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4.5 Umrechnungsformeln für Impuls, Drehimpuls und kinetische

Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.4.6 Das Zweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 Dynamik des starren Körpers 1114.1 Ebene Bewegung starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1.1 Schwerpunktsatz und Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.1.2 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.1.3 Stoß und Drehstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.2 Allgemeine räumliche Bewegung starrer Körper∗ . . . . . . . . . . . 1424.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5 Dynamik der Systeme∗ 1535.1 Eine Umformung der Bewegungsgleichungen (D’Alembertsche

Trägheitskräfte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.2 Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . 160

II Inhaltsverzeichnis

5.3 Lagrangesche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6 Einführung in die Schwingungslehre 1876.1 Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.1.2 Freie gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.1.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.2 Systeme mit zwei Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.2.2 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . 205

6.3 Der Balken: Ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden . . . . 2096.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7 Elemente der Hydromechanik 2177.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.2 Das Grundgesetz der Dynamik für ideale Flüssigkeiten . . . . . . . . 2177.3 Die Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.4 Der Sonderfall der Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.5 Der Impulssatz für stationäre Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

8 Aufgaben mit Lösungen 2338.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.1.1 Roboterarm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.1.2 Geführter Bolzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358.1.3 Geführte Dreieckscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.1.4 Ebenes Getriebe aus zwei Stangen . . . . . . . . . . . . . . . 2398.1.5 Planetengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.1.6 Durch zwei Muffen geführte Stange . . . . . . . . . . . . . . . 2448.1.7 Verriegelungsmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.1.8 Kurbeltrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2508.1.9 Sonnenschirm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528.1.10 Ebenes Getriebe mit einer Stange und zwei Rädern . . . . . . 254

8.2 Dynamik von Massenpunkten und starren Körpern . . . . . . . . . . 2568.2.1 Katapultwagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2568.2.2 Radrennfahrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2578.2.3 Bowlingbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2608.2.4 Zylindrische Walze auf glatter und rauher Bahn . . . . . . . . 2628.2.5 Schweres Seil auf Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2648.2.6 Walze auf Schlitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.2.7 Walze auf Förderband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2698.2.8 System aus zwei Rollen und Seil . . . . . . . . . . . . . . . . 2728.2.9 Kreisscheibe auf schiefer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Inhaltsverzeichnis III

8.2.10 Kippender Stab auf beschleunigtem Wagen . . . . . . . . . . 2768.2.11 Stoß von Hantel auf starre Unterlage . . . . . . . . . . . . . . 2788.2.12 Walze auf Knüppeldamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2818.2.13 Stoß von elastischer Hantel auf Stab . . . . . . . . . . . . . . 2838.2.14 Hochlauf eines Elektromotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.2.15 Stoß einer rollenden Kugel gegen eine Stufe . . . . . . . . . . 2868.2.16 Stoß einer Kreisscheibe auf ein Drehkreuz . . . . . . . . . . . 2888.2.17 Stoß einer Laufkatze auf einen Puffer . . . . . . . . . . . . . . 2918.2.18 Kippender Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2938.2.19 Stoß zwischen Stab und Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . 2958.2.20 Blockieren eines Rotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2978.2.21 Stoß auf rollenden Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2998.2.22 Stab auf Transportwalze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

8.3 Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3048.3.1 Wagen mit Federkombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3048.3.2 System mit zwei Wagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3068.3.3 System zweier Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.3.4 Walze auf einer schiefen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.3.5 Drehelastisch gelagerter Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.3.6 Schwingende Walze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3138.3.7 Kiste auf LKW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3148.3.8 Schwingende Quadratscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3158.3.9 Schwingender, lotrechter Balken . . . . . . . . . . . . . . . . 3188.3.10 Schwingende Hantel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3208.3.11 Klingel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3228.3.12 Balken mit Drehfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.3.13 Halbzylinder auf Rütteltisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

8.4 Hydromechanik idealer Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3278.4.1 Reduzierstück . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3278.4.2 Düsenmundstück . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.4.3 Flüssigkeitsmanometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3308.4.4 Zylindrische Klappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3328.4.5 Radialdiffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3348.4.6 Springbrunnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3368.4.7 Druckbehälter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388.4.8 Offener Behälter mit zwei Ausflüssen . . . . . . . . . . . . . . 3408.4.9 Fernwärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.4.10 Behälter mit Verteilerrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3448.4.11 Ausflußrohr mit veränderlichem Querschnitt . . . . . . . . . . 3468.4.12 Wasserstrahlpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

A MATLAB-Aufgaben 351A.1 ARCHIMEDISCHE Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351A.2 Gelenkviereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353A.3 Schiefer Wurf mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

IV Inhaltsverzeichnis

A.4 Massenpunkt am Ende eines sich verkürzenden Fadens . . . . . . . . 358A.5 Punkt auf rauher, schiefer Ebene (räumlich) . . . . . . . . . . . . . . 362A.6 Schwingung auf rauher, schiefer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . 366A.7 Rutschende Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369A.8 Beschleunigung eines PKW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

B Massenträgheitsmomente starrer Körper 385

C Beweis der Identität (5.140) 391

Index 393

Die mit ∗ gekennzeichneten Abschnitte können bei einer ersten Lektüre weggelassenwerden.

1 Einleitung

In diesem Buch befassen wir uns mit der Bewegung von Massenpunkten und starrenKörpern unter dem Einfluß von Kräften, d.h. wir behandeln die Kinetik einfachermechanischer Systeme. Im internationalen Sprachgebrauch hat sich hierfür aller-dings statt des korrekten Ausdrucks „Kinetik“ die Bezeichnung Dynamik (englisch:dynamics) durchgesetzt. Eigentlich bedeutet Dynamik ja „Lehre von den Kräften“,während hier die Bewegung unter der Wirkung von Kräften im Mittelpunkt unse-rer Betrachtungen steht. Wir schließen uns dem modernen Sprachgebrauch an undverwenden die Bezeichnung „Dynamik“ anstelle von „Kinetik“.

Als Lehre von den Bewegungen und den Kräften verwendet die Dynamik Begriffeder Statik, d.h. der Geometrie der Kräfte, und der Kinematik, also der Geometrieder Bewegung. Mit der Statik haben wir uns schon in TM 1 (= Technische Me-chanik, Bd. 1) beschäftigt. Die Kinematik wurde bisher noch nicht behandelt. Wirmüssen uns daher zunächst der Beschreibung der Bewegungen, d.h. also der Kine-matik, widmen, bevor wir dann in der Dynamik den Zusammenhang zwischen denKräften und den Bewegungen genauer untersuchen. Zu den Grundbegriffen aus derStatik (TM 1) und der Festigkeitslehre (TM 2) tritt dabei als zusätzlicher, neu-er Begriff die Zeit auf. Damit sind Raum, Zeit, Masse und Kraft die wichtigstenGrundbegriffe der Dynamik. Der Kraftbegriff kann allerdings durch die ersten dreiGrößen erklärt werden. Wir beschränken uns in der Dynamik hier im wesentlichenauf Massenpunkte und auf starre Körper. Diese Begriffe sind aus TM 1 und TM 2bekannt.

In der klassischen Newtonschen Mechanik1, die für eine hinreichend genaue Be-handlung der meisten mechanischen Probleme der Technik ausreicht, geht man vonder Existenz einer absoluten Zeit sowie eines absolut ruhenden Bezugssystems, ei-nes sogenannten Inertialsystems, aus. Lediglich bei wenigen, speziellen Problemender Technik muß man über den Rahmen dieser klassischen Mechanik hinausgehen,um auf zufriedenstellende Lösungen zu kommen.

Wir fassen die Grundlagen der klassischen Mechanik in den Newtonschen Gesetzenzusammen, die in etwas anderer Form auch schon in TM 1 angegeben wurden.Sie sind zwar nicht in dieser Formulierung bei Newton zu finden, es ist jedochheute allgemein üblich, sie mit seinem Namen zu verbinden. Das erste Gesetz, auchTrägheitsgesetz genannt, besagt:

Es existiert ein Bezugssystem (Inertialsystem), bezüglich dessen jederMassenpunkt in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung bleibt, wenn er

1Nach dem Physiker und Astronom Sir Isaac Newton, *1643 in Woolsthorpe, †1727 in Kensing-ton (heute London).

2 1 Einleitung

nicht durch Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern.

Das zweite Gesetz (= Bewegungsgesetz, Grundgesetz der Dynamik) lautet:

In diesem Inertialsystem gilt für einen Massenpunkt der Zusammenhang

F#„

= m a#„, (1.1)

d.h. der Kraftvektor ist proportional zum Beschleunigungsvektor; die Pro-portionalitätskonstante ist die Masse (träge Masse).

Das dritte Gesetz (= Gegenwirkungsgesetz, Gesetz von actio & reactio) be-sagt:

Die wechselseitigen Beeinflussungen zweier Körper sind immer gleich undentgegengerichtet: Übt ein Körper 1 eine Kraft auf einen Körper 2 aus,so ist diese gleich groß und entgegengerichtet zu der Kraft, die der Körper2 auf den Körper 1 ausübt.

Dieses dritte Newtonsche Gesetz wird auch oft prägnant durch die Gleichung

actio = reactio (1.2)

formuliert. Wir nehmen im folgenden an, daß die drei Gesetze für Massenpunktegelten und werden daraus dann Aussagen für andere Körper herleiten. Als vonden Newtonschen Gesetzen unabhängiges Axiom führen wir in Kapitel 3 und 4noch den Drehimpulssatz oder Drallsatz ein, den man nur für Spezialfälle aus diesen„Gesetzen“ ableiten kann.

2 Kinematik

2.1 Kinematik des Punktes

2.1.1 Die geradlinige Bewegung

In der Kinematik beschränken wir uns darauf, die Lage von Körpern in Abhän-gigkeit von der Zeit, d.h. die Bewegung zu beschreiben. Zunächst behandeln wirdie Kinematik eines Punktes und führen die Grundbegriffe Geschwindigkeit undBeschleunigung anhand der geradlinigen Bewegung ein.

Gemäß Abb. 2.1 betrachten wir einen sich auf einer gegebenen Geraden bewe-genden Punkt P . Seine Lage wird auf der Geraden durch die einzige Koordinate xbeschrieben. Als Bewegung bezeichnen wir die Funktion x(t), also die Abhängigkeitder Variablen x von der Zeit t. Graphisch kann sie z.B. wie in Abb. 2.2 dargestelltwerden.

O P

x(t)

2.1: Zur geradlinigen Bewegung einesPunktes

x

tt t+ Δt

α Δx

2.2: Zum Begriff der mittleren Geschwin-digkeit

Die mittlere Geschwindigkeit in dem Zeitintervall von t bis t + Δt ist durch denQuotienten

vm =x( t+ Δt) − x( t )

Δt=

Δx

Δt(2.1)

definiert (Δ = „Delta“). Gemäß Abb. 2.2 ist die mittlere Geschwindigkeit in dem ge-gebenen Zeitintervall proportional zur Steigung der Sekante an die gegebene Kurvex(t):

vm ∼ tanα (2.2)

(α = „alpha“). Als momentane Geschwindigkeit oder auch einfach Geschwindigkeit

4 2 Kinematik

zum Zeitpunkt t = t bezeichnen wir den Grenzwert

v( t ) := limΔt→0

Δx

Δt= x( t ) (2.3)

der mittleren Geschwindigkeit für Δt → 0. Wie man sieht, ist dies die Ableitungvon x(t) nach t. Die Geschwindigkeit v(t) ist demnach proportional zur Steigungder Tangente an der Stelle t = t in Abb. 2.2.

Die mittlere Beschleunigung in dem Zeitintervall (t, t+ Δt) ist als

am =Δv

Δt(2.4)

definiert und die (momentane) Beschleunigung zum Zeitpunkt t als

a( t ) := limΔt→0

Δv

Δt= x( t ) . (2.5)

Kennt man die Bewegung x(t), so kann man Geschwindigkeit x(t) und Beschleu-nigung x(t) durch Differentiation bestimmen. Die Formelzeichen v und a für Ge-schwindigkeit und Beschleunigung sind international gebräuchlich, sie entsprechenden englischen Bezeichnungen „velocity“ bzw. „acceleration“, die ihrerseits aus demLateinischen kommen. Definitionsgemäß werden Geschwindigkeit und Beschleuni-gung im SI–System in m/s bzw. m/s2 gemessen.

2.1.2 Erste Bemerkungen zu DifferentialgleichungenIm Newtonschen Grundgesetz (1.1) sind die Kräfte in der Regel nicht konstant;auch nur in wenigen Fällen sind sie vorgegebene Funktionen der Zeit. Meist hängendie Kräfte vom Ort und auch von der Geschwindigkeit ab. Die Luftwiderstandskraftist ein typisches Beispiel einer solchen geschwindigkeitsabhängigen Kraft. Nehmenwir an, daß die Kraft als Funktion des Ortes, der Geschwindigkeit und der Zeit gege-ben ist, so nimmt das Newtonsche Grundgesetz (1.1) für die geradlinige Bewegungdie Form

mx(t) = F (x(t), x(t), t) (2.6)

an, wobei die Funktion F (x, x, t ) bekannt und gleich der Summe aller auf denMassenpunkt in x–Richtung wirkenden Kräfte ist.

Das Grundgesetz der Dynamik führt also auf eine Gleichung der Art

x(t) = a(x(t), x(t), t) , (2.7)

wobei die rechte Seite eine Funktion von x, x und t ist. Wir nehmen jetzt an, daßdie Funktion a(x, x, t ) bekannt und die Bewegung x(t) zu bestimmen ist. Glei-chungen der Art (2.7), die einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen einer

2.1 Kinematik des Punktes 5

(unbekannten) Zeitfunktion, der Funktion selbst und der Zeit herstellen, bezeichnetman als Differentialgleichungen. Eine Lösung der Differentialgleichung (2.7) ist eineFunktion x(t), die – in (2.7) eingesetzt – diese für alle Zeiten erfüllt.

In der Mechanik, aber auch in vielen anderen Bereichen der Physik und der Technik,spielen Differentialgleichungen eine zentrale Rolle, und entsprechend viel Aufmerk-samkeit wird ihnen in den Mathematik–Vorlesungen gewidmet. Da dies aber ofterst zu einem späteren Zeitpunkt geschieht, werden wir (2.7) an dieser Stelle etwasnäher beleuchten. Zunächst stellen wir fest, daß die Differentialgleichung (2.7) vonzweiter Ordnung ist (Die Ordnung einer Differentialgleichung ist die Ordnung derhöchsten in ihr auftretenden Ableitung). Der Grund dafür ist, daß im Grundgesetzder Dynamik zwar Beschleunigungen, aber keine höheren Zeitableitungen von x(t)auftreten.

Beschleunigung als Funktion der Zeit

Im folgenden besprechen wir die wichtigsten Spezialfälle von (2.7). Zunächst be-trachten wir den Fall, in dem die Beschleunigung lediglich Funktion der Zeit ist.Dann reduziert sich (2.7) zu

x(t) = a(t) , (2.8)

wobei die rechte Seite eine gegebene Funktion der Zeit t ist. Die Integration dieserGleichung bezüglich t liefert

v(t) = x(t) =

∫a(t) dt+ C1 . (2.9)

Die Geschwindigkeit kann also durch Integration aus der Beschleunigung ohne wei-teres bestimmt werden, wenn a(t) vorgegeben ist. Die Integrationskonstante C1 istdabei noch festzulegen. Anstelle des unbestimmten Integrals kann man auch dasbestimmte Integral

v(t) − v(0) =

∫ t

0

a(t) dt (2.10)

schreiben, bzw.

v(t) =

∫ t

0

a(t) dt+ v(0) , (2.11)

wobei

v(0) = x(0) = v0 (2.12)

6 2 Kinematik

jetzt die Bedeutung der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0, d.h. der Anfangsge-schwindigkeit hat. Ganz analog liefert eine zweite Integration nunmehr

x(t) =

∫ t

0

v(t) dt+ x0 (2.13)

mit x0 als Anfangslage.

Als erstes Beispiel zu (2.8) betrachten wir den Sonderfall der Bewegung mitkonstanter Beschleunigung

a(t) ≡ a0 = const . (2.14)

Dies führt mit (2.11) auf

v(t) = a0 t+ v0 (2.15)

und daraus folgt mit (2.13)

x(t) = a0t2

2+ v0 t+ x0 , (2.16)

d.h. die Koordinate x(t) ist eine quadratische Funktion der Zeit, während die Ge-schwindigkeit v(t) = x(t) linear in t ist (s. Abb. 2.3).

x0

x

v0

x

a0

x

t

t

t

2.3: Zur Bewegung (2.16)

a/ω2

x

a/ω

v = x

a = x

a

π/ω

(für x0 = 0)

(für v0 = −a/ω)

2π/ω

t

t

t

2.4: Zur Bewegung (2.20)

Als zweites Beispiel behandeln wir die Bewegung mit harmonischer Beschleu-nigung

a(t) = a sinωt , (2.17)

2.1 Kinematik des Punktes 7

wobei ω (ω = „omega“) und a gegebene Konstanten sind. Hier ergibt die Integrationder Beschleunigung

v(t) = a

∫ t

0

sinωt dt+ v0 = − a1

ωcosωt

∣∣∣t

0+ v0 , (2.18)

so daß

v(t) = − a

ω(cosωt− 1) + v0 (2.19)

ist. Eine weitere Integration liefert schließlich

x(t) = − a

ω

∫ t

0

(cosωt− 1) dt+ v0 t+ x0

= − a

ω2sinωt+

(v0 +

a

ω

)t+ x0

(2.20)

Der Verlauf der Beschleunigung a(t), der Geschwindigkeit v(t) und der Bewegungx(t) ist für x0 = 0, v0 = −a/ω in Abb. 2.4 dargestellt. Man bezeichnet eine sol-che durch trigonometrische Zeitfunktionen beschriebene Bewegung als harmonischeSchwingung. Offensichtlich gehören zu einer harmonischen Schwingung x(t) eineGeschwindigkeit und eine Beschleunigung, die ebenfalls harmonisch sind.

Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit

Als zweiten Sonderfall von (2.7) betrachten wir

x(t) = a(x(t)); (2.21)

hier ist die Kraft bzw. die Beschleunigung als Funktion der Geschwindigkeit vorge-geben, wie es z.B. beim Luftwiderstand der Fall ist. Mit

v = x (2.22)

schreibt sich (2.21) als

dv

dt= a(v) (2.23)

und dies kann auch alsdv

a(v)= dt (2.24)

geschrieben werden („Trennung der Veränderlichen“). Auf der linken Seite steht in(2.24) jetzt ein Ausdruck, der lediglich von v abhängt, während die rechte Seite nurt enthält. Beide Seiten können daher gemäß

∫ v

v0

dv

a(v)=

∫ t

0

dt (2.25)

8 2 Kinematik

integriert werden. Bezeichnet man die Stammfunktion (d.h. das Integral) von 1/a(v)mit G(v), so folgt

G(v) −G(v0) = t (2.26)

aus (2.25). Damit ist t als Funktion von v bekannt. Gelingt es, (2.26) nach v auf-zulösen, so ergibt sich daraus

v(t) = f(v0, t) . (2.27)

Eine weitere Integration liefert dann

x(t) = x0 +

∫ t

0

f(v0, t) dt . (2.28)

Im Gegensatz zu dem ersten Sonderfall (2.8) der Differentialgleichung (2.7) war eshier nicht möglich, beide Seiten von (2.21) ohne weiteres zu integrieren, da in (2.21)die rechte Seite nicht als Funktion von t vorliegt. Es war daher notwendig, zunächstdie Trennung der Veränderlichen durchzuführen.

Als Beispiel zu (2.21) behandeln wir die Differentialgleichung

x(t) = g − k x2(t) , (2.29)

wobei g und k konstant sind. Diese Differentialgleichung beschreibt einen Körperim freien Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes, der in guterNäherung quadratisch in der Geschwindigkeit ist. Trennung der Veränderlichen in(2.29) liefert zunächst mit x = v

dv

g − k v2= dt , (2.30)

und die Integration mit v0 = 0 ergibt∫ v

0

dv

g − k v2 =

∫ t

0

dt , (2.31)

woraus

1√gk

artanh

(v

√k

g

)= t (2.32)

folgt. Auflösung nach v liefert

v(t) =

√g

ktanh

(t√g k), (2.33)

und der Verlauf dieser Funktion ist in Abb. 2.5 wiedergegeben. Man erkennt an(2.29) (durch Nullsetzen von x) und auch an (2.32), daß für große Zeiten die Ge-

2.1 Kinematik des Punktes 9

v

vend

α

t 2.5: Verlauf der Geschwindigkeit gemäß (2.33)

schwindigkeit gegen den endlichen Grenzwert

vend := limt→∞

v(t) =

√g

k(2.34)

strebt. Die Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 0 entspricht der Steigung im Koor-dinatenursprung in Abb. 2.5, und es gilt tanα ∼ g. Eine weitere Integration von(2.33) ergibt x(t).

Beschleunigung als Funktion der Lage

Als dritten Sonderfall von (2.7) untersuchen wir noch die Differentialgleichung

x(t) = a(x(t)), (2.35)

die sich ergibt, wenn die Beschleunigung als Funktion der Lage gegeben ist. Dabeischreiben wir (2.35) zunächst als

dv

dt= a(x) (2.36)

bzw.

dv = a(x) dt . (2.37)

Multiplikation beider Seiten mit v ergibt

v dv = a(x) v dt , (2.38)

wobei nun auf der rechten Seite das Produkt vdt durch dx ersetzt werden kann.Damit kann (2.38) gemäß

∫ v

v0

v dv =

∫ x

x0

a(x) dx (2.39)

integriert werden. Mit H(x) als der Stammfunktion von a(x) folgt hieraus

v2 − v20

2= H(x) −H(x0) , (2.40)

10 2 Kinematik

und Auflösung nach v bzw. x (sofern möglich) liefert

x = h(x, x0, v0) . (2.41)

Hier kann nun wieder die Trennung der Veränderlichen durchgeführt werden, unddie Integration von

∫ x

x0

dx

h(x, x0, v0)=

∫ t

t0

dt (2.42)

ergibt schließlich t(x), also die Zeit t als Funktion der Ortskoordinate x.

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung mit zum Weg proportionaler Be-schleunigung, die auf die Differentialgleichung

x(t) = −ω2 x(t) (2.43)

mit der positiven Konstanten ω2 führt. Das Minuszeichen in (2.43) zeigt an, daßdie Beschleunigung dem Weg entgegengerichtet ist. Wir schreiben (2.43) als

dv

dt= −ω2 x(t) , (2.44)

integrieren gemäß∫ v

v0

v dv = −ω2

∫ x

x0

x dx (2.45)

und erhalten so

v2 − v20

2= −ω2

(x2 − x2

0

2

), (2.46)

was wir als

x2 = v20 − ω2(x2 − x2

0) (2.47)

schreiben. Die Trennung der Veränderlichen führt schließlich auf∫ x

x0

dx√(v2

0 + ω2 x20) − ω2 x2

=

∫ t

0

dt (2.48)

mit der Lösung

x(t) = x0 cosωt+v0ω

sinωt . (2.49)

Auch hier hat sich als Lösung der Differentialgleichung eine harmonische Schwin-gung ergeben, wobei x(t) durch trigonometrische Funktionen beschrieben wird.

2.1 Kinematik des Punktes 11

Die Berechnung des Integrals (2.48) ist allerdings etwas mühevoll und hier auch garnicht notwendig. Es gibt nämlich einen viel einfacheren Weg zur Lösung von (2.43).Diese Differentialgleichung, die wir auch als

x(t) + ω2 x(t) = 0 (2.50)

schreiben, ist linear (in der unbekannten Funktion x(t) und deren Ableitungen) undbesitzt konstante Koeffizienten. Für solche Differentialgleichungen mit konstantenKoeffizienten kann man stets mit Hilfe des Exponentialansatzes

x(t) = eλt (2.51)

Lösungen finden, wobei λ (λ = „lambda“) eine noch zu bestimmende Konstante ist.Einsetzen von (2.51) in (2.50) führt auf

(λ2 + ω2) eλt = 0 . (2.52)

Soll (2.51) eine Lösung sein, so muß (2.52) für alle t gelten, so daß die Konstante λder Gleichung (charakteristische Gleichung)

λ2 + ω2 = 0 (2.53)

genügen muß. Die Konstante λ muß daher einen der Werte

λ1 = + i ω , (2.54)

λ2 = − i ω (2.55)

annehmen, wobei i :=√

−1 die imaginäre Einheit ist. Der Lösungsansatz (2.51)erfüllt also die Differentialgleichung, sofern λ einen der beiden Werte λ1, λ2 (Ei-genwerte) annimmt. Damit wurden zwei partikuläre Lösungen von (2.50) gefunden.Die Differentialgleichung ist aber linear, so daß auch jede Linearkombination dieserpartikulären Lösungen wieder eine Lösung von (2.50) ergibt. Da die Exponential-funktion hier komplexe Werte annimmt, lassen wir komplexe Konstanten G und Hzu und erhalten so die allgemeine Lösung

x(t) = G eiωt +H e−iωt (2.56)

(komplexe Größen werden hier durch Unterstreichung gekennzeichnet). Für beliebi-ge G und H ist (2.56) eine Lösung von (2.50). Durch geschickte Wahl der komplexenIntegrationskonstanten G und H gelingt es, die durch (2.56) dargestellte Lösungreell zu machen. Dazu wählen wir die Integrationskonstanten gemäß

H = G∗ (2.57)

komplex konjugiert zueinander. Bezeichnet man den Real– und den Imaginärteilvon G jeweils mit C, S, so ist (2.57) gleichbedeutend mit

G =1

2(C − i S) , (2.58a)

H =1

2(C + i S) . (2.58b)

12 2 Kinematik

Da G und H beliebig sind, können auch C und S beliebige Werte annehmen. Damitfolgt wegen eiα = cosα+ i sinα und e−iα = cosα− i sinα mit α = ωt aus (2.56)

x(t) = C cosωt+ S sinωt . (2.59)

Dies ist für C = x0, S = v0/ω mit (2.49) identisch.

Wir schließen diesen Abschnitt mit der Bemerkung, daß sich die Differentialglei-chungen der Mechanik, die sich aus dem Grundgesetz der Dynamik ergeben, selbstin dem einfachen Fall (2.7) (geradlinige Bewegung) im allgemeinen nicht analy-tisch lösen lassen. Die oben angegebenen Sonderfälle bilden Ausnahmen. Heutzu-tage bereitet es andererseits meist keine Schwierigkeiten, numerische Lösungen vongewöhnlichen Differentialgleichungen zu vorgegebenen Anfangsbedingungen zu be-rechnen. Selbst auf einfachen PCs ist dies eine leicht zu bewältigende Aufgabe. Fürdie numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen stehen in dem schonin der Statik besprochenen Softwarepaket Matlab verschiedene Algorithmen zurVerfügung, die z.B. über die Befehle ode23 oder ode45 (ode = ordinary differenti-al equation) aufgerufen werden können. Im Anhang A werden wir eine Reihe vonBeispielen dynamischer Probleme mittels Matlab behandeln. Trotzdem kommtden analytischen Lösungen, dort wo sie möglich sind, eine große Bedeutung zu: Siegewähren Einblick in die allgemeinen Zusammenhänge und dienen als Testfälle fürnumerische Verfahren.

2.1.3 Die allgemeine („krummlinige“) BewegungIn diesem Abschnitt befassen wir uns mit der Beschreibung der räumlichen Be-wegung eines Punktes auf einer beliebigen (krummlinigen) Bahn. Die Lage einesPunktes P im dreidimensionalen Raum wird durch den von einem Bezugspunkt Oaus definierten Ortsvektor r#„(t) = OP

# „

(t) als Funktion der Zeit beschrieben. Ge-schwindigkeit und Beschleunigung des Punktes P werden dann durch die Ableitun-gen des Ortsvektors nach der Zeit definiert. Wir müssen also jetzt Vektorfunktionenableiten, und dabei spielt das Bezugssystem eine wesentliche Rolle. Es ist unmit-telbar einsichtig, daß sich die Bewegung eines Punktes einem ruhenden Beobachteranders darstellt, als einem, der in einem sich bewegenden Fahrzeug sitzt.

Wir legen nun ein Bezugssystem dadurch fest, daß wir die Einheitsvektoren (Basis-vektoren)

#„

k1,#„

k2,#„

k3 angeben. Die Ableitung eines Vektors r#„(t) nach t bezüglich desBezugssystems K wird dann folgendermaßen definiert. Wir schreiben den Vektorr#„(t) als

r#„(t) = r1(t)#„

k1 + r2(t)#„

k2 + r3(t)#„

k3 (2.60)

und definieren die Ableitung von r(t) nach t in K als

r#„(t) = r1(t)#„

k1 + r2(t)#„

k2 + r3(t)#„

k3 . (2.61)