Technische Mechanik I L 1 -  · Technische Mechanik I L 1 Lösungen TM I − Statik und...

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Technische Mechanik I L 1 Lösungen TM I - Statik und Festigkeitslehre 1 Modellbildung in der Mechanik Aufgabe 1 1 N m 2 + 1Pa (Pascal). Aufgabe 2 0.4536kg + 0.03108slug Aufgabe 3 [a] + m, [b] * dimensionslos, [c] + 1 m , [d] + 1 m 2 Aufgabe 4 Dichte: 1kgńm 3 + 1.940 @ 10 *3 slugńft 3 Geschwindigkeit: 1mńs + 3.281ftńs Energie: 1Nm + 0.7376ftlb Aufgabe 5 3000 1 min + 50 1 s + 18000 grd s + 314 rad s , P + 31400 Nm s Aufgabe 6 v + 29.06 m s

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Technische Mechanik I L 1

Lösungen TM I − Statik und Festigkeitslehre

1 Modellbildung in der Mechanik

Aufgabe 1

1 Nm2

� 1Pa (Pascal).

Aufgabe 2

0.4536�kg � 0.03108�slug

Aufgabe 3

[a] � m, [b]� dimensionslos, [c] � 1m, [d] � 1

m2

Aufgabe 4

Dichte: 1�kg�m3 � 1.940 � 10�3�slug�ft3

Geschwindigkeit: 1�m�s � 3.281�ft�s

Energie: 1�Nm � 0.7376�ft�lb

Aufgabe 5

3000� 1min

� 50� 1s � 18000�grds � 314� rads , P � 31400�Nm

s

Aufgabe 6

v � 29.06�ms

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Technische Mechanik I L 2

2 Vektoren in der Mechanik

Aufgabe 1

rOA ����120��m , rOB ��

��330��m , F1 ��

5�2� 5�2 3�

0

�N , F2 ��

��4 3�40

��N ,

F1 � F2 ����

9.428� 0.330

0��N , �F1 � F2

� 9.434�N , rOA � F1 � � 6.16�Nm ,

rOB � F2 � 32.78�Nm , rOA � F1 ����

00

� 9.33��Nm , rOB � F2 ��

��

00

� 8.78��Nm

Aufgabe 2

R � 51.3�N, � � 80.8°

Aufgabe 3

rAB ����

21

� 2��m, F � 500

3����

21

� 2��N

Aufgabe 4

R � 100���

1� 3�

3�

1� 2 3���

�N, R � 551.3�N

Aufgabe 5

M ����

� 2.751.00.625

��Nm, d � 0.131�m

Aufgabe 6

M ����

0� 6aF

0�

Aufgabe 7

F

F

F

F

F

F

F

F

b) c)a) R

R

R

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Technische Mechanik I L 3

Aufgabe 8

R � 1

14� ���

1� 2� 3

��S1 �

1

14� ���� 1� 2� 3

��S2 ��

��

00

� 1��G ��

��

0� 10��FW M ��

��� 200��aG

Aufgabe 9

a) S � 114���� 1246��S b) G ��

��

00

� 1��G

c) R � 17���� 623��S ��

��

00

� 1��G M ��

��0120��Ga � 12

7���

1� 34��Sa

Aufgabe 10

a) S � 14��

3�1

2 3��

�S b) G ��

��

00

� 1��G

c) R � 14��

3�1

2 3��

�S ��

��001��G M ��

��� 210��Ga � 1

4��

0

6� 4 3�

2� 3��

�Sa

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Technische Mechanik I L 4

3 Gleichgewicht freier Körper

Aufgabe 1

R ����

00

� F��, MP ��

��

aFbF0�

Aufgabe 2

a)�im Gleichgewicht

b)�nicht im Gleichgewicht

c)�im Gleichgewicht, äquivalent zu a)

Aufgabe 3

R � F����

11

� 2��, MO � 2aF��

��

1� 10�, äquivalent zu zentralem Kräftesystem mit rOP � � 2a

3����111��

Aufgabe 4

F ���

FF� sin�

0FF� cos�

��

, MO ���

aFF� cos�

FF�(c� sin�� b� cos�)

� aFF� sin����

,

Mn � FF� cos��(c� sin�� b� cos�)� aFF� sin�� sin�

Aufgabe 5

S1 � S2 � 265.2�N, S3 � 515.4�N

Aufgabe 6

S1 � ( 3� � 1)G S2 �12�3 2� � 6� �G

Aufgabe 7

R ����

F20

� F � G

���

MO ��

��100���bG ���

� 11

� 12

���

�2aF F � b

2aG

Aufgabe 8

F1 � 4F2

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Technische Mechanik I L 5

4 Gleichgewicht gebundener Körper

Aufgabe 1

Bindung eben räumlich

Reaktionen Wertig-keit Reaktionen Wertig-

keit

Seil, Kette

1 1

starre Koppel

1 4

Gelenklager

2 5

Kugelstütze

1 1

Rollenstütze

1 2

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Technische Mechanik I L 6

Aufgabe 4

GT � 180�N, G1 � 120�N, x1 � 0.4�m, y1 � 0.2�m, G2 � G1�2, x2 � � 0.2�m, y2 � 0

Aufgabe 5

s �mg sin�

4c

Aufgabe 6

Abschnitt links F1 � p0�l xC1 �l2

Abschnitt Mitte F2 � 9�p0�l xC2 �8l3

Abschnitt rechts F3 � p0�l xC3 �11l2

Aufgabe 7

a)� A � � 35

F, B � 35

F b) A � F, B � 2F

c)� A � F, B � 0 d) A � 65

F, B � 145

F

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Technische Mechanik I L 7

5 Gleichgewicht gebundener Systeme

Aufgabe 1

i)� fu � 6,�nc � 6,� r � 0,�n � 6,� f � 0, kinematisch und statisch bestimmt.

ii)� fu � 9,�nc � 8,� r � 0,�n � 8,� f � 1, kin. unbestimmt, statisch bestimmt.

iii)� fu � 6,�nc � 5,� r � 0,�n � 5,� f � 1, kin. unbestimmt, statisch bestimmt.

iv)� fu � 9,�nc � 10,� r � 1,�n � 9,� f � 0, kin. bestimmt, statisch unbestimmt.

v)� fu � 9,�nc � 9,� r � 0,�n � 9,� f � 0, kinematisch und statisch bestimmt.

Aufgabe 3

� � 10.9°

Aufgabe 4

b) MA � �mA

2� mG

��gR c) mG �mA

2

Aufgabe 5

FH � G3

, � � GFH

� 3 , Neigungswinkel � hat keinen Einfluss

Aufgabe 6

FC � 12�000�N , � � 30

Aufgabe 7

NA � ND � 25

5� mg, NC � 35

5� mg, NB � 3mg

Aufgabe 8

G � 2�4

mg

Aufgabe 9

G �mg

2 sin ��cos �� 1

cos ��

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Technische Mechanik I L 8

6 Schwerpunkt und andere Mittelpunkte

Aufgabe 1

tangentiale Lage: rMOC � r

GOC

� 0

radiale Lage: rMOC � 0, rG

OC� �0��� a2(3R2 � a2)

R(R2 � 3a2)�� 0�T

� rMOC

Aufgabe 2

Linienmittelpunkt: rOC � 2R�����110�� ; Flächenmittelpunkt: rOC � 4R

3�����110��

Aufgabe 3

rOC � 3R8 ����111��

Aufgabe 4

a)�rOC � a6���531� b)�rOC � a

2���111�

c)�rOC � a4� ��

31�25�2�

d)�rOC � a

8��

45

3 3��

Aufgabe 5

x0 � 0, y0 �85

a

Aufgabe 6

a)

2a

a

2a

b)

a

a

a

a

c)

C

C1

C2

C

C1

C2

C

2

1

Aufgabe 7

A � 2��(4� 5� )�R2, V � 8�3�R3

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Technische Mechanik I L 9

Aufgabe 8

V � 42�a3

Aufgabe 9

A � 162�a2

Aufgabe 10

x4 �38

3(10� �)a y4 �

12� �10� �

a

Aufgabe 11

xC � 4938

a yC � 3319

a

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Technische Mechanik I L 10

7 Reibung

Aufgabe 1

a � �0�L� tan�

Aufgabe 2

obere bzw. untere Kiste rutscht bei � � arctan�0

obere Kiste kippt bei � � arctan 0.5 � 27°

untere Kiste kippt bei � � arctan 1 � 45°

bei �0 � 0.6 kippt zuerst die obere Kiste

Aufgabe 3

R � 12�G � 3� P�, N � 1

2� 3� G � P�, 0.51�G � P � 0.64�G

Aufgabe 4

alle Kisten bewegen sich gleichzeitig

Aufgabe 5

tan � 12�tan�� 1

�k� , Abheben bei �k �

1tan�

Aufgabe 6

F2

F1� e

��S

sin��2��

Aufgabe 7

1.Fall M � 0: P � 227

�Ma� 2� e��s��

e��s��� 1 , Selbsthemmung bei �s � ln 2

2.Fall M � 0: P � � 227

�Ma� 2�e

��s��� 1e��s��� 1

, keine Selbsthemmung möglich

Aufgabe 8

M � G�r�2�(e��s�� � 1)

1� 2�e��s��

Aufgabe 9

F �mg

2� 3��0

� 1�Aufgabe 10

kein Rutschen : �0 �3�3

G1

G1 � 4G2kein Kippen: h

b� 3�

2�1� 4

G2

G1

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Technische Mechanik I L 11

Aufgabe 11

S � la cos�� G R � �1� l

a��G 1� �0 tan� � a

l� 1� �0 tan�

Aufgabe 12

N1 � 2� mg N2 � ( 2� � 1)mg R1 � R2 � mg �1 �2�2

Aufgabe 13

N1 �3�4

la�F R1 � �3l

4a� 1��F N2 �

3�2

la�F

4a

3� 3� �0

� l � 4a

3� 3� �0

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Technische Mechanik I L 12

8 Fachwerke

Aufgabe 1

a) einfach, statisch unbestimmt, kinematisch bestimmt

b) nichteinfach, statisch bestimmt, kinematisch unbestimmt

c) nichteinfach, statisch unbestimmt, kinematisch bestimmt

Aufgabe 2

Nullstäbe: a) 2, b) 3, 4, 9 c) 1, 2, 4, 7

Aufgabe 3

a) nichteinfach, stat. und kinem. bestimmt, Nullstäbe 1, 4, 7

b) nichteinfach, stat. best., kinem. unbestimmt, keine Nullstäbe

c) einfach, stat. und kinem. bestimmt, Nullstäbe 2, 9

Aufgabe 4

a) 1 zu entfernender Stab: 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10 oder 11

b) 1 zu entfernender Stab: 15

c) 1 zu ergänzender Stab

d) 1 zu ergänzender Stab

Aufgabe 5

S1 � S4 � S5 � S12 � 0, S2 � S6 � � 23

G, S3 �23

2� G, S7 � S11 �2�3

G, S8 �13

G,

S9 � S10 � � 13

G, S13 � G

Aufgabe 6

S1 � S4 � S5 � � 29

3� � F, S2 � S3 �29

3� �F, S6 � S7 �19

3� �F

Aufgabe 7

S1 � 0, S2 � � 2G, S3 � 0, S4 � 5� G

Aufgabe 8

S1 � � F2, S2 � 3

2�2

F, S3 � � F

Aufgabe 9

S1 � � 2F , S2 � 0 S3 � � (3� 2 3� )�F

1 23 4

5

6 7

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Technische Mechanik I L 13

Aufgabe 10

Nullstab: 5, S3 � 2F, S8 � � 2� �F, S11 � 2 5� F, S12 � � 6F

Aufgabe 11

Nullstab: 9, S1 � S5 � � 2�2

G, S2 �12

G, S3 �2�2

G, S4 � � G, S6 �32

G

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Technische Mechanik I L 14

9 Innere Balkenbelastung

Aufgabe 1

Einzelkraft: Q(x) � � G��x � L2�0 M(x) � � G��x � L

2�1

Verteilte Last: Q(x) � � GL� x, M(x) � � G

2� x

2

L

Aufgabe 2

a) p(x) � p0 � p0��x � l �0 � p0��x � 4l

�0

b) p(x) � 2p0 � p0��x � l �0 � p0��x � 2l

�0 � p0��x � 4l �0

c) p(x) �p0

3l� �x � l

�1 �p0

3l� �x � 4l

�1 � p0��x � 4l

�0

d) p(x) � p0 �p0

l� �x � l

�1 �p0

l� �x � 2l

�1 � 2p0��x � 2l

�0

Aufgabe 3

Q(x) � 43

p0l � p0x � p0��x � 2l �1, M(x) � 4

3p0lx �

p0

2x2 �

p0

2� �x � 2l

�2,

Mmax � M�43

l� � 89

p0l2

Aufgabe 4

Q(x) � F � F��x � l �0 � F

3l2� �x � l

�2 � 2Fl� �x � 4l

�1 � F3l2

� �x � 4l �2

M(x) � Fx � F��x � l �1 � F

9l2� �x � l

�3 � Fl� �x � 4l

�2 � F9l2

� �x � 4l �3 � 5Fl��x � 4l

�0

Aufgabe 5

a) Q(x) � F � F��x � l �0 � 2F

l� �x � 4l

�1, M(x) � Fx � F��x � l �1 � F

l� �x � 4l

�2

b) Q(x) � F � 3F��x � l �0 � 3F��x � 2l

�0 � F��x � 4l �0

M(x) � Fx � 3F��x � l �1 � 3F��x � 2l

�1 � F��x � 4l �1

Aufgabe 6

FA

MAp

q

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Technische Mechanik I L 15

Aufgabe 7

M(x) � � 12

p0x2 � 1

2p0lx � 3p0�l��x � l

�1

Aufgabe 8

Q(x) � � p0��x � l �1 � 1

2p0l��x � l

�0, M(x) � p0l2 � 1

2p0l��x � l

�1 � 12

p0��x � l �2

Aufgabe 9

Ax � �5 3�3� 1�G, Az � 4G

Aufgabe 10

N(x) � F��x � 34

L�0, Q(x) � 34

F � F��x � 34

L�0,M(x) � 3

4Fx � F��x � 3

4L�1 � FL

2� �x � 3

4L�0

Aufgabe 11

N(x) � � 5 2�14

�F � 4 2�14

�F��x � a �0, Q(x) � 5 2�

14�F � 10 2�

14�F��x � a

�0,

M(x) � 5 2�14

�Fx � 10 2�14

�F��x � a �1

Aufgabe 12

N(x) � � 5F��x � 2l �0, Q(x) � � 2F

lx � 2F

l�x � l

�1 � 5F��x � 2l �0,

M(x) � � Fl

x2 � Fl�x � l

�2 � 5F��x � 2l �1

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Technische Mechanik I L 16

10 Spannungen

Aufgabe 1

a)�d � 12.9�mm b)�SB � 2.7, nicht ausreichend c)�m � 1801�kg mit SB � 3

Aufgabe 2

d � 49�mm

Aufgabe 3

� 255�MPa, � � 204�MPa

Aufgabe 4

max � 47.7�MPa

Aufgabe 5

a) �1 � 0.111�MPa , �2 � 0 , max � 0.055�MPa

b) �1 � max � 47.7�MPa , �2 � � max

Aufgabe 6

�x � 150�MPa, �30° � 112.5�MPa, 30° � 64.96�MPa

Aufgabe 7

�1 � 117.6�MPa, �2 � � 7.6�MPa , max � 62.2�MPa, � � � 14.2°,

�60° � 1.5�MPa, 60° � 32.6�MPa

Aufgabe 8

�1 � 67.5�MPa, �2 � � 61�MPa, � � 69.44�°

Aufgabe 9

�x � 10�MPa, �y � � 30�MPa, xy � 34.6�MPa

Aufgabe 10

�1 � 51�MPa

Aufgabe 11

�� � 66�MPa, � � � 23�MPa

Aufgabe 12

�1 � 51�MPa, �2 � � 29�MPa, � � 75�°

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Technische Mechanik I L 17

11 Verzerrungen

Aufgabe 1

� � 5.29�·�10�4 , L � 1.057�mm , �l � � 1.59�·�10�4 , d � � 0.0024�mm

Aufgabe 2

a)�F � 595.5�kN

b)��links � 205.6�MPa, Llinks � 1.18�mm, �rechts � 165.4�MPa, Lrechts � 1.02�mm

Aufgabe 3

NPfosten � � 6972�N , SSeil � 4930�N , �Pfosten � � 1.39�MPa

Aufgabe 4

�1 �4Fa2

�r2(3a � x)2 , L1 �

23

FaE�r2

, �2 �F�r2

, L2 �Fa

E�r2, L � 5

3Fa

E�r2

Aufgabe 5

IP � �2� �r4a � r4i �

Aufgabe 6

G � 27�070�MPa

Aufgabe 7

a) � � 0.01699�rad � 0.97°, max � 16.6�MPa

b) � � 0.01720�rad � 0.985°, max � 15.1�MPa, �� � 1.2%

Aufgabe 8

� � 0.017�rad � 0.95°

Aufgabe 9

a) � � 2315

M�Gr3

b) G � 40000�MPa Messing

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Technische Mechanik I L 18

12 Technische Biegelehre

Aufgabe 1

Iy � ab3

3 , Iz � a3b

3 , Iyz � � a2b2

4

Aufgabe 2

Iy � a3b12

, Iz � ab3

12 , Iyz � � a2b2

24

Aufgabe 3

Iy � 3.32·106�mm4 , Iz � 1.33·106�mm4 , Iyz � 0

Aufgabe 4

a) I � 1276

a4 b) I � 2603

a4 c) I � 2803

a4

Aufgabe 5

a) Iy � 22a4 , Iz � 10a4 , Iyz � � 6a4

b) zC � 32

a, yC � a, Iy � 172

a4 , Iz � 4a4 , Iyz � 3a4

c) � � 26.6° , I1 � 10a4 , I2 �52

a4

Aufgabe 6

�(0, z) � � 12FLa4

z, ��L4, z� � � 9FL

a4z, ��L

2, z� � � 6FL

a4z,

��34

L, z� � � 3FLa4

z, ��L, z) � 0

Aufgabe 7

��0, 23

h� � � 133�MPa

Aufgabe 8

kritischer Querschnitt l � x � 4l , �max � ��l,� h2� � Fl

Iy� h2

Aufgabe 9

kritische Position bei � � L2

: �max � ��L2, h2� � 7.53�MPa

Aufgabe 10

F � 2.7�kN

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Technische Mechanik I L 19

13 Biegelinie

Aufgabe 1

a) w(0) � 0 , w(4l) � 0 b) w(0) � 0 , w�(0) � 0 , w(4l) � 0

c) w(0) � 0 , w(l) � 0 , w(4l) � 0 d) w(0) � 0 , w�(0) � 0 , w(5l) � 0 , w�(5l) � 0

Aufgabe 2

w(x) � F6EIy

�� x3 � �x � l �3 � 1

2l�x � 4l

�4 � 12110

l2x� , wmax � 3 Fl3

EIy

Aufgabe 3

w(x) � �12mg

Ebh3�L � �

6Lx3 � 1

6�x � �

�3 � L � �

6Lx � 1

6L(L � �)

3x� ,

wmax � 25.53�mm an der Stelle x � 1.76�m

Aufgabe 4

a) EIyw�� �p0

2x2�5

2p0l�

�x � l �1 �

p0

2�x � 3l

�2, w(l) � w(4l) � 0

b) w(x) �p0

EIy�� 19

72l4 � 2

9l3x � 1

24x4 � 5

12l�x � l

�3 � 124

l�x � 3l �4� , w(0) � �

19p0l4

72EIy

Aufgabe 5

a) S � cu

b) w(x) � SEI�x36� L x2

2� � F

EI�� x2

2� x3

6� 1

6�x � �

�3� ,w(L) � 1

6EI�� 2SL3 � F(3L � �)�2�

c) u � F(3L � �)�2

6EI � 2L3c , max. Durchbiegung bei � � L

Aufgabe 6

Ax � 0, Az � � 3M2L

, MA � � M2

, Bz � 3M2L

w(x) � M4EIy

x2� xL� 1�, M(x) � M

2�1� 3x

L�

Aufgabe 7

a) w(4l) � �8p0l

4

9EIy b) w(4l) �

7p0l4

12EIy c) w(4l) � �

p0l4

3EIy d) w(4l) � 14

p0l4

EIy

Aufgabe 8

a) w1(5l) � � 58

Fl3

EI , w2(5l) � 10

3Fl3

EI , w(5l) � 65

24Fl3

EI

b) w1(5l) � � 58

Fl3

EI , w2(5l) � 4

3Fl3

EI , w(5l) � 17

24Fl3

EI

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Technische Mechanik I L 20

14 Überlagerung einfacher Belastungsfälle

Aufgabe 1

a) gesamter Balken − Biegung, Schub; linkes Lager bis Aufhängung − Zug

b) gesamter Balken − Biegung, Schub; linkes Lager bis Aufhängung − Druck

c) gesamter Balken − Biegung, Schub; linkes Lager bis Aufhängung − Zug

Aufgabe 2

in A − Biegung, Schub; in B − Biegung, Schub, Torsion

Aufgabe 3

Biegung, Schub

Aufgabe 4

Schub

Aufgabe 5

Teil 1: �V � 355.8�MPa, Teil 2: �V � 800�MPa, Teil 3: �V � 800�MPa

Aufgabe 6

Punkt A: � 15.9�MPa , � � 0 ;

Punkt B: � 15.9�MPa , � � 127.3�MPa

SF � 2.3, SB � 3.8

Aufgabe 7

Zug: �z � Nbh

, Biegung: �b �6�N5�bh3

� xz , �b�max�(x)

�z� 3

5� xh

keine Druckspannungen: 0 � x � 53� h

Aufgabe 8

max. Biegespannung: �max � 46.875�MPa,

maximale Verschiebung: w(L) � 2.04�mm

Aufgabe 9

h�3

b�3

h�4

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Technische Mechanik I L 21

15 Knickung

Aufgabe 1

Knickfall IV d � 3.4�cm

Aufgabe 2

Knickfall II d � 7.1�cm

Aufgabe 3

FKy ��2�Eab3

12�L2 , FKz �

�2�Ea3b3�L2

, ab� 1

2

Aufgabe 4

gleichseitiges Dreieck

Aufgabe 5

FQ � 264�kN, FK � 115.7�kN, FE � 66�kN

Aufgabe 6

� � w(L) � e 1� cos kLcos kL

mit k2 � FEI

,

FK � �2�EI�4L2

Knickfall I