Technische Mechanik I Statik - tuhh.de · Technische Mechanik I Statik Aufgabensammlung...

Arbeitsbereich Mechanik I

Prof. Dr.-Ing. U. Weltin

Aufgabensammlung

Technische Mechanik I

Statik

Stand WS 05/06

Technische Mechanik I Statik Aufgabensammlung


Inhalt 1 Ebene Zentrale Kräftesysteme .................................................................................4

Aufgabe 1.1: ............................................................................................................................................. 4 Aufgabe 1.2: ............................................................................................................................................. 4 Aufgabe 1.3: ............................................................................................................................................. 5 Aufgabe 1.4: ............................................................................................................................................. 5

2 Räumliche Zentrale Kräftesysteme ..........................................................................6 Aufgabe 2.1: ............................................................................................................................................. 6 Aufgabe 2.2: ............................................................................................................................................. 6 Aufgabe 2.3: ............................................................................................................................................. 7 Aufgabe 2.4: ............................................................................................................................................. 7 Aufgabe 2.5: ............................................................................................................................................. 8 Aufgabe 2.6: ............................................................................................................................................. 8

3 Gleichgewicht am starren Körper .............................................................................9 Aufgabe 3.1: ............................................................................................................................................. 9 Aufgabe 3.2: ............................................................................................................................................. 9 Aufgabe 3.3: ........................................................................................................................................... 10 Aufgabe 3.4: ........................................................................................................................................... 10 Aufgabe 3.5: ........................................................................................................................................... 11 Aufgabe 3.6: ........................................................................................................................................... 11 Aufgabe 3.7: ........................................................................................................................................... 13

4 Systeme starrer Körper ..........................................................................................14 Aufgabe 4.1: ........................................................................................................................................... 14 Aufgabe 4.2: ........................................................................................................................................... 14 Aufgabe 4.3: ........................................................................................................................................... 15 Aufgabe 4.4: ........................................................................................................................................... 15 Aufgabe 4.5: ........................................................................................................................................... 16

5 Prinzip der virtuellen Arbeit.....................................................................................17 Aufgabe 5.1: ........................................................................................................................................... 17 Aufgabe 5.2: ........................................................................................................................................... 17 Aufgabe 5.3: ........................................................................................................................................... 18 Aufgabe 5.4: ........................................................................................................................................... 19 Aufgabe 5.5: ........................................................................................................................................... 19 Aufgabe 5.6: ........................................................................................................................................... 20

6 Stabwerke ..............................................................................................................21 Aufgabe 6.1: ........................................................................................................................................... 21 Aufgabe 6.2: ........................................................................................................................................... 21 Aufgabe 6.3: ........................................................................................................................................... 22 Aufgabe 6.4: ........................................................................................................................................... 23 Aufgabe 6.5: ........................................................................................................................................... 23 Aufgabe 6.6: ........................................................................................................................................... 24 Aufgabe 6.7: ........................................................................................................................................... 24

7 Schwerpunkt...........................................................................................................25 Aufgabe 7.1: ........................................................................................................................................... 25 Aufgabe 7.2: ........................................................................................................................................... 25 Aufgabe 7.3: ........................................................................................................................................... 26 Aufgabe 7.4: ........................................................................................................................................... 26 Aufgabe 7.5: ........................................................................................................................................... 27 Aufgabe 7.6: ........................................................................................................................................... 27

8 Schnittgrößen am Balken .......................................................................................28 Aufgabe 8.1: ........................................................................................................................................... 28 Aufgabe 8.2: ........................................................................................................................................... 28 Aufgabe 8.3: ........................................................................................................................................... 29

Stand: Dez. 05 2



9 Haftung und Reibung..............................................................................................30

Aufgabe 9.1: ........................................................................................................................................... 30 Aufgabe 9.2: ........................................................................................................................................... 30 Aufgabe 9.3: ........................................................................................................................................... 31 Aufgabe 9.4: ........................................................................................................................................... 32 Aufgabe 9.5: ........................................................................................................................................... 33

10 Stabilität von Gleichgewichtslagen .....................................................................34 Aufgabe 10.1: ......................................................................................................................................... 34 Aufgabe 10.2: ......................................................................................................................................... 34 Aufgabe 10.3: ......................................................................................................................................... 35 Aufgabe 10.4: ......................................................................................................................................... 35

Stand: Dez. 05 3



1 Ebene Zentrale Kräftesysteme

Aufgabe 1.1: In einer Häuserschlucht hängt eine Straßenlaterne der Masse m. a) Bestimmen Sie die Seilkräfte

auf graphischem Wege. b) Berechnen Sie die Seilkräfte. Gegeben: m = 10 kg g = 9,81 m/s2 a = 0,1 m b = 0,6 m c = 8 m d = 10 m

g

d

c

a

b

Lösung: N54,282S1 = N15,271S2 =

Aufgabe 1.2:

gr

r r r

m

rm

In einem Graben liegen zwei Röhren mit dem Radius r übereinander. Welche Reaktionskräfte treten für den reibungslosen Fall an den Wänden auf? Gegeben: m = 83 kg r = 0,2 m g = 9,81 m/s2

Lösung: N470gm31S1 =⋅=

N470gm31S4 =⋅=

Stand: Dez. 05 4



Aufgabe 1.3:

g

β

α

Eine Kiste mit der Masse mK soll bei der skizzierten Anordnung von einem Arbeiter gehalten werden. a) Wie groß ist die horizontale und

vertikale Kraftkomponente, die der Arbeiter aufbringen muss?

b) Bei welchem Winkel α kann ein

Arbeiter mit dem Gewicht mA bei glattem Boden die Kiste gerade noch halten?

Gegeben: mK = 55 kg

mA = 80 kg α, β

Lösung:

a) α⋅

β⋅⋅=

sin2cosgmS K

x α⋅β⋅⋅

=sin2

singmS Ky

b) °=

⋅

=α 1,20m2

marcsinA

Kmin

Aufgabe 1.4: Eine Kugel mit der Masse m ist zwischen einer glatten schiefen Ebene und einer glatten senkrechten Wand eingeklemmt. Bestimmen Sie die Kontaktkräfte

a) mit Hilfe des Kräftegleichgewichts. b) über das Krafteck.

Gegeben: m, g, α Lösung:

α⋅

=cos

gmA (zur Schräge)

α⋅⋅= tangmB (zur Wand)

Stand: Dez. 05 5



2 Räumliche Zentrale Kräftesysteme

Aufgabe 2.1: Für eine Feuerstelle werden drei Stäbe (Länge a) an ihrem oberen Ende verbunden und am Boden mit dem Abstand a zueinander aufgestellt. An der Spitze dieser Pyramide wird mit einer Kette ein Kessel befestigt. Die Kette und der Kessel haben die Masse m. Wie groß sind die Kräfte in den Stäben? Gegeben: a m = 100 kg g = 10 m/s2 Lösung: N408S −=

a

a a

aaag

Aufgabe 2.2:

2aaa

m

g

2a3a

α

Zum Heben einer Last ist an einer Hauswand das skizzierte Dreibein angebracht. Das Zugseil läuft über eine Umlenkrolle und führt in das darunter liegende Fenster. Wie groß sind die Stabkräfte in dieser Anordnung? Gegeben: a m = 20 kg g = 9,81 m/s2 Lösung: N78,170SS 21 == N09,535S3 −=

Stand: Dez. 05 6



Aufgabe 2.3:

m1

M

m2

m3

α

β

γ

x

y

z

Ein Lautsprecher ist an 3 Seilen entsprechend der Skizze mit Gegengewichten aufgehängt. Bekannt sind die Massen m2 und m3 sowie die Winkel α, β und ϕ. Wie groß sind der Winkel γ, die Masse m1 und die Masse M des Lautsprechers? Gegeben:

m2, m3, g, α, β, ϕ = 120°

Lösung:

β⋅=γ cosmmcos

3

2 αβ

⋅=coscosmm 21

β⋅−+β+β⋅α⋅= 222

232 cosmm)sincos(tanmM

Aufgabe 2.4:

Eine Masse m ist an einem Seil angebracht, das über eine Umlenkrolle geführt wird. Diese ist an einem Druckstab angebracht, der an zwei Seilen abgehängt ist. Wie groß sind die Stab- und Seilkräfte? Gegeben: m, g Lösung:

Stabkraft: mg32S1 −=

Seilkräfte: mg6

25SS 32 ==

Stand: Dez. 05 7



Aufgabe 2.5: An einer Kiste greifen drei räumliche Kräfte an. Gegeben ist der Vektor der Resultierenden R

r sowie der Winkel α.

Berechnen Sie die Kräfte Fi. Gegeben:

°=α

−

−=

45F

0F

Rr

Lösung:

F2F1 ⋅= F2F2 ⋅=

F2F3 ⋅=

Aufgabe 2.6:

Zwei Kräfte F1 und F2 halten einen Zylinder (Radius r) und einen Keil (Winkel α) in einer Ecke in Ruhe. Dabei tritt keine Reibung auf. Wie groß ist die Haltekraft F2 am Zylinder in Abhängigkeit von F1 und α? Gegeben: F1, α Lösung: α= cotFF 12

Stand: Dez. 05 8



3 Gleichgewicht am starren Körper

Aufgabe 3.1: Eine quaderförmige Kiste ist auf 6 Stützen gelagert. Das Gewicht des Füllgutes (Dichte ρ) und eine Einzelkraft F belasten die skizzierte Konstruktion.

3

1

5

2

6

x

y

g

Dichte �

F

4

z

a

a

2a

2aa

Berechnen Sie die Stabkräfte S1 bis S6. Gegeben: ρ, g, F, a Lösung:

2GS1 −= 0S2 =

2FS3 −= F

25S4 ⋅−=

2GFS5 −= 0S6 =

Aufgabe 3.2:

a

a

Ein fest eingespannter Winkel (Eigengewicht vernachlässigbar) der Schenkellänge a wird wie dargestellt durch ein Moment M und durch eine Einzelkraft F belastet. Berechnen Sie die Lagerreaktionen an der Einspannstelle. Gegeben: a, F, M F a= ⋅ Lösung:

0FF yx == FFZ =

aFMx ⋅= aFMy ⋅−= aFMz ⋅=

M

F

Stand: Dez. 05 9



Aufgabe 3.3:

Ein Arbeiter (Masse m) steht auf der halben Höhe einer masselosen Leiter. Da der Boden und die Wand sehr glatt sind, hat er das untere Ende der Leiter mit einem Seil an einem Wasserhahn festgebunden. Geben Sie die auf den Wasserhahn einwirkende Zugkraft an. Gegeben: L, H, h, m, g

Lösung: ( )hH2LgmS2 −⋅⋅⋅

=

Aufgabe 3.4: Eine quadratische Tischplatte (Gewicht vernachlässigbar, Seitenlänge 1 m) wird von sechs Stäben gestützt und an einer Ecke mit einer Einzelkraft F belastet. Wie groß sind die Stabkräfte in Abhängigkeit von F? Gegeben: F, Seitenlänge 1 m Lösung: Nummerierung gegen den

Uhrzeigersinn, beginnend vorne links

FS1 −= 0S2 =

0S3 = FS4 −=

0S5 = FS6 =

1m

1m

1m

F

Stand: Dez. 05 10



Aufgabe 3.5:

0,3

m

0,1 m

0,3

m

0,4 m

0,5 m

gx

y

z

Ein rechteckiges Regalbrett (Masse m) wird mit einem sphärischen Gelenk und drei Pendelstützen, wie dargestellt an der Wand befestigt. Berechnen Sie die Kräfte in den Befestigungspunkten. Gegeben: m, g,

Abmessungen nach Skizze Lösung:

Festlager

gm125Lx ⋅⋅−= gm

21Ly ⋅⋅=

gm125Lz ⋅⋅−=

Pendelstützen (Nummerierung von links unten gegen den Uhrzeigersinn)

gm485S1 ⋅⋅−= gm

4825S2 ⋅⋅−= gm

125S3 ⋅⋅−=

Aufgabe 3.6: Die Kabine eines Bewegungs-simulators ist über sechs Stellzylinder (Hydraulikzylinder) mit dem Grundgestell verbunden. Die Abmessungen des Simulators und die Anlenkpunkte der Stellzylinder können der folgenden Skizze entnommen werden. Die Stellzylinder treffen sich jeweils paarweise in einem Gelenkpunkt am Grundgestell bzw. an der Kabine. Die Stellzylinder können als einfache Pendelstützen angesehen werden.

Stand: Dez. 05 11



Wenn sich der Bewegungssimulator in seiner statischen Ruheposition befindet, liegen alle Anlenkpunkte (die der Kabine und die des Grundgestells) jeweils in der Seitenmitte eines gleichseitigen Sechsecks. a) Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem sich in der statischen Ruhelage bei

der gegebenen exzentrischen Schwerpunktslage der Kabine die Kräfte in den Pendelstützen berechnen lassen und stellen Sie dieses in Matrixform dar.

b) Bestimmen Sie die Kräfte in den Pendelstützen für den Fall, dass eine zentrische Schwerpunktslage vorliegt. In diesem Fall sind die Kräfte in allen Stützen gleich groß! (Beachte: Dieser Aufgabenteil ist auch ohne das Gleichungssystem aus Teilaufgabe a) lösbar.)

Gegeben: aza63y0x SSS =−== (Schwerpunktslage Punkt SWP)

a, m = 500kg, g = 10m/s2 Lösung: a)

−⋅⋅=

⋅

−−−

−−

−−

−−−−−−

−−−−

−−

0

0

313

21

313

21

0

0

gm

SSSSSS

111111

001111

221111

111111

112112

110110

6

5

4

3

2

1

b) N36,867gm3

13121S −=⋅⋅−=

Stand: Dez. 05 12



Aufgabe 3.7: Der dargestellte Keil aus Material der Dichte ρ wird von 6 Stäben getragen.

4a

D

E

x

y

z

ge

B

A

C

a32

a 3a

a) Bestimmen Sie die Schwerpunktlage des Keils. b) Welchen Wert nimmt die Gewichtskraft des Keils an? c) Bestimmen Sie die Lagerreaktionen in A, B, C, D und E.

Gegeben: a, ρ, g Lösung:

a) a34xs = a

31ys = a

23zs −=

b) Ga6G 3 ⋅ρ⋅=

c)

⋅ρ⋅−===

0Ga2

0CBA 3rrr

==

000

EDrr

Stand: Dez. 05 13



4 Systeme starrer Körper

Aufgabe 4.1:

Berechnen Sie die Lagerreaktionen für das skizzierte System aus starren Körpern. Gegeben:

a, q, F = 2qa

Lösung: Loslager (Fy) Loslager (Fx) Einspannung (Fx) Einspannung (Fy) Einspannmoment

½ qa 2 qa 0 -1/2 qa qa2

Aufgabe 4.2:

Berechnen Sie die Lagerreaktionen für das skizzierte System. Gegeben: l, F

Lösung: Festlager: Av = 0 F4

23AH −=

Gelenk: G1 0= F4

23G2 −=

Loslager: B =2

2F (vertikal) F

42C −= (horizontal)

Stand: Dez. 05 14



Aufgabe 4.3:

4a

2a

3a

2a3a3a

q

G

Berechnen Sie die Lagerreaktionen für den skizzierten Verladekran. Der Ausleger wird durch zwei Seile, die an einer Stütze befestigt sind, gehalten und ist durch eine Streckenlast q belastet. Geben Sie weiterhin die Seilkräfte, die Kraft in der Stütze und die Gelenkkräfte im Ausleger an Gegeben:

a, G, q=0.04 G/a Lösung:

Loslager Festlager Festlager Stütze Ausleger (y) Ausleger (x) Seilkräfte

GA 1411

v −= 0BH = GB 70139

v = GF 311

1 = GF 3019

3 = GF 611

4 −= GS23

11=

Aufgabe 4.4: Die gezeigte Korbaufhängung besteht aus einem Korb der Masse m1, einem Brett der Masse m1, einem Pfosten der Masse m2 und einem Zusatzgewicht der Masse m3. Die Stäbe a, b und c sowie das hintere Spannseil und der untere Balken können als masselos angenommen werden.

Stand: Dez. 05 15



a) Berechnen Sie die Lagerreaktionen in den Punkten D und E (ohne den Spieler),

wenn die Zusatzmasse m3 = 4m schwer ist. Kippt die Korbaufhängung um, wenn das Lager E keine Zugkräfte übertragen kann?

b) Berechnen Sie die Stabkräfte in den Stäben a, b und c (ohne den Spieler).

Schneiden Sie dazu die Stäbe zwischen dem Brett und dem Pfosten frei. c) Ein Spieler mit der Masse mS = 3m hängt am linken Rand des Korbes. Wie groß

muss m3 in diesem Fall mindestens sein, damit die Korbaufhängung nicht umkippt? Gegeben: m1 = m, m2 = 2m, g, l Lösung:

a) mg43E = mg

429Dv = 0DH =

b) mg21a = mg52b = mg

29c −=

c) m9m3 =

Aufgabe 4.5:

Zum Schneiden starker Äste werden Astscheren mit einer Kraftverstärkung eingesetzt. Eine solche Schere ist nebenstehend abgebildet. Wie groß ist die Schneidkraft an den Schneidenspitzen, wenn an dem Seil mit der Kraft F gezogen wird? Gegeben: a, b, F

Lösung: baF2S ⋅=

Stand: Dez. 05 16



5 Prinzip der virtuellen Arbeit

Aufgabe 5.1: Es soll der Ausleger eines Radladers untersucht werden. Bei der Auslegung wird eine Losbrechkraft FL (die Kraft, die an der Schaufelvorderkante maximal erreicht werden kann) von 100 kN gefordert.

Welche Kraft muss der Kippzylinder (Zylinder 1) aufbringen, um die geforderte Losbrechkraft zu erreichen? Skizzieren Sie dazu die Verrückungsfigur. Welche Kraft muss dann der Hubzylinder (Zylinder 2) aufbringen, um die Schaufel in der gezeichneten Lage zu halten? Gegeben: L1 = 1,5 m L2 = 2,0 m

L3 = 0,9 m L4 = 0,4 m L5 = 0,5 m L6 = 1,0 m FL = 100 kN

Lösung: kN133F 1Z = kN350F 2Z =

Aufgabe 5.2: In dem Bild ist ein Teil eines Rohrleitungssystems abgebildet. An der linken Seite ist das Rohr fest in der Decke verankert. An den Stellen A und B befinden sich elastische Rohrverbinder. Das mittlere und das rechte Rohrsegment werden mit an Schellen befestigten dünnen Stäbe U und W an der Decke befestigt. Das Eigengewicht mR der Rohre und der elastischen Elemente kann als konstante Messenbelegung ν angesehen werden. Zudem wurde am freien Ende des rechten Rohrsegmentes eine Jacke (Masse mJ) angehängt.

Stand: Dez. 05 17



Die Rohrsegmente können als starr angenommen werden. Die elastischen Elemente A und B sollen alle Verdrehungen um ihre Mittelpunkte aber keine Verschiebungen zulassen. Die Deckenhalterungen der Stäbe und die Schellen können keine Momente übertragen. Ermitteln Sie mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit die Kraft im linken Stab U.

Gegeben: a, mJ, a

mR=ν

Lösung:

−⋅= J

Ru m

2mg3F

Aufgabe 5.3:

a

a

a a2 2

F

AB

q

a) Berechnen Sie das Einspannmoment im Punkt A mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit.

b) Berechnen Sie mit

derselben Methode die Lagerkraft im Punkt B.

Gegeben: a, F, q

Lösung: a) 2aqM ⋅= b) 2

FaqB −⋅=

Stand: Dez. 05 18



Aufgabe 5.4:

Bestimmen Sie die Lagerkraft C mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit. Gegeben: a, F, M Fa ⋅= Lösung: FC −=

Aufgabe 5.5: Bestimmen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit die erforderliche Masse m des Gegengewichts für die skizzierte Klappbrücke, so dass sie im Gleichgewicht ist.

m

bc

b

a

ϕ

G

Gegeben: a, b, c, G, g

Lösung: a

cbgGm +⋅=

Stand: Dez. 05 19



Aufgabe 5.6: In einer Wiederverwertungsanlage werden übrig gebliebene Osterhasen zu Schokoladenweihnachtsmännern umgeschmolzen. Die Hasen werden aus der Anlage über ein höhenverstellbares Transportband mit Hilfe eines Flaschenzuges in bereitstehende Kisten befördert. Der rechte Teil des Förderbandes (Länge a) ist fest in der Wand der Anlage eingespannt und gelenkig mit dem linken Teilband (Länge 2a) verbunden (zwischen den beiden Teilbändern können Normal- und Querkräfte, jedoch keine Momente übertragen werden). Das Seil des Flaschenzuges ist über eine Öse mit dem Transportband verbunden.

Einem Praktikanten ist nun ein Missgeschick passiert: Er hat vergessen, eine leere Kiste nachzuschieben. Im letzten Moment hängt er sich an den Flaschenzug und zieht somit das Förderband hoch. Erst als das Band voll ist, wird die Anlage abgeschaltet. a) Ermitteln Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verrückungen, wie schwer der

Praktikant sein muss, damit das volle Förderband in einer waagerechten Position gehalten wird.

b) Berechnen Sie mit derselben Methode und für die gleiche Situation das Einspannmoment an der Anlagenwand.

Die Gewichtskraft des Förderbandes kann als Linienlast (qG), die Rollen, die Öse und das Seil können als masselos angenommen werden. Auf einen Meter Länge des Förderbandes passen 10 große Osterhasen mit einem Gewicht von je 10N. Gegeben: a = 1m, qG = 1,4kN/m, qOsterhasen = 100N/m, g = 9,81m/s2 Lösung: a) m kg45,76P = b) 2M kNm25,=

Stand: Dez. 05 20



6 Stabwerke

Aufgabe 6.1: Bestimmen Sie für das folgende Tragwerk die Nullstäbe, die Lagerreaktionen sowie die Kräfte in den Stäben mit dem Knotenpunktverfahren. Die Stäbe sind als masselos anzusehen.

Gegeben: m, g, a Lösung: Lagerreaktionen:

2gmBBAA VHVH⋅

====

Stabkräfte: 0SSSSS 75431 ===== 22gmSS 62 ⋅⋅−==

Aufgabe 6.2: Bestimmen Sie für die aus einem leichten Fachwerk (Masse vernachlässigbar) und einer massiven Platte (Masse m) zusammengesetzte Bogenkonstruktion die Nullstäbe, die Lagerreaktionen sowie die Kräfte in den Stäben mit dem Knotenpunktverfahren.

Gegeben: m, g, a Lösung: Lagerreaktionen:

G121BA HH == G

41AV = G

43Bv =

Stabkräfte (Nummerierung von unten nach oben, ohne Nullstäbe)

G12

2SS 41 −== G62S2 −=

G61S3 ⋅= G

61S5 ⋅−=

Stand: Dez. 05 21



Aufgabe 6.3: Bestimmen Sie für das folgende Tragwerk die Nullstäbe, die Lagerreaktionen sowie die Kräfte in den Stäben mit dem Knotenpunktverfahren.

2FF

2FF

B

Ay

Ax

Gegeben: F, a Lösung: Lagerreaktionen A Fx = Ay F= 2 B = 0

Index i 1 2 3 4 5

Si -F - 2 F F 0 0

Index i 6 7 8 9 10

Si 0 0 0 0 -F

Index i 11 12 13 14 15

Si - 2 F 0 0 -F -F

Stand: Dez. 05 22



Aufgabe 6.4:

Ein Schild der Masse m ist in einem Fachwerk befestigt. Zusätzlich belastet eine resultierende Windkraft W das Schild. Berechnen Sie die Stabkräfte nach dem Knotenpunktverfahren. Welche Stäbe sind für diesen Belastungsfall direkt als Nullstäbe erkennbar? Gegeben: m = 100kg, g = 10m/s2, W = 0,5kN

Lösung: Stäbe durchnummeriert von oben links nach unten rechts. Stab 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kraft [N] 1000 -250 327 827 0 -250 250 0 -250

Aufgabe 6.5: An der dargestellten Fachwerkkonstruktion hängt eine Lampe mit der Masse m. Sie wird außerdem durch eine Einzellast mg2

1S = belastet. Berechnen Sie die Stabkräfte S1, S2 und S3 mit Hilfe des Ritter-Schnittverfahrens.

Gegeben: m, g, S, a

Lösung: gm25S1 ⋅−=

S m g2 2=

⋅

S m g3 3= ⋅ ⋅

Stand: Dez. 05 23



Aufgabe 6.6: Das gegebene Fachwerk wird durch die Kräfte F1 = F2 = F und F3 = F4 = 3F belastet.

Wie groß sind bei der angegebenen Belastung die Stabkräfte S6, S9 und S10? Gegeben: F, L

Lösung: F32S6 −= F

32S9 −= FS10 =

Aufgabe 6.7: Am Förderseil eines Kranauslegers hängt eine Masse m. Der Kranausleger ist am linken Ende gelagert und mit einem Seil nach oben abgespannt. Das Seil wird über eine Seilrolle umgelenkt und verläuft im Kranausleger parallel zu den Stäben 1, 4 und 6.

Berechnen Sie die Stabkräfte in den Stäben 1 bis 6. Das Eigengewicht der Stäbe, der Seile und der Rolle sind zu vernachlässigen. Gegeben: a, m, g

Lösung: gm35s1 ⋅= gm

43ss 32 ⋅== gm

611ss 64 ⋅−== 0s5 =

Stand: Dez. 05 24



7 Schwerpunkt

Aufgabe 7.1:

r

L

yx

Eine parabelförmige Platte ( Lyx 2= , Dicke d) mit einer Aussparung in Form eines Halbkreises ist wie gezeichnet gelagert. Wie groß ist die Lagerkraft im rechten Lager? Gegeben: r, L, d, ρ, g Lösung:

⋅ρ⋅⋅

⋅+

π⋅⋅−⋅= g

Ld

3r2

2rLL

54F

323

Aufgabe 7.2:

1 12

2

3

3

1

1

Bestimmen Sie den Flächenschwerpunkt der in der Zeichnung dargestellten Zahl 2. Die Dicke ist konstant und die innere Zusammensetzung ist homogen. Gegeben: Abmessungen nach Skizze Lösung:

2 xs = π+

+π=

237

6856

ys

Stand: Dez. 05 25



Aufgabe 7.3: Eine frisch lackierte Stütze der Gesamtmasse m, bestehend aus zwei quaderförmigen Teilkörpern gleicher Dichte, wird an zwei (masselosen) Seilen zum Trocknen aufgehängt. Wie groß ist das Maß h, wenn sich ein Gleichgewicht unter dem Winkel α einstellt?

5a

9a

h a

8a

a

A B

C

a3aA B

Draufsicht

x

z y

C

AB

α

Körper 1

Körper 2

g

x

z

y x

z

y

Gegeben: 4

1tan =α , a, m, g Lösung: a3h =

Aufgabe 7.4:

Bestimmen Sie mittels Integration die y-Koordinate des Schwerpunktes des dargestellten Dreiecks. Lösung:

313ys =

Stand: Dez. 05 26



Aufgabe 7.5: Bei der dargestellten Figur handelt es sich um eine so genannte Nick-Ente. Die beiden Halb-Scheiben aus denen die Nick-Ente gefertigt wird, bestehen aus dem gleichen Material (Dichte ρ).

R

1/2 R

1/20 R1/10 R

Bestimmen Sie den Schwerpunkt der dargestellten Figur. Gegeben: R, ρ

Lösung: 9RxSP =

π−=

9R10ySP

ySP

S1

S2xSP

y

xSP

Aufgabe 7.6:

k.r

2.r

6.r

3.r 2.r

2.r

d

Für eine angenehme Handhabung soll ein Stahl-Ringschlüssel seinen Schwerpunkt in der Mitte der Gesamtlänge haben. Welche drei Bedingungen erfüllen diese Forderung? Verwenden Sie hierfür ein sinnvolles geometrisches Modell. Gegeben: r, d

Lösung: k = 0 bzw. k = oder k beliebig für ∞ r d = −⋅⋅

⋅

32

4 33π

Stand: Dez. 05 27



8 Schnittgrößen am Balken

Aufgabe 8.1:

Berechnen Sie für den horizontalen Balken im gegebenen System den Querkraft- und Momentenverlauf und zeichnen Sie diese auf. Gegeben: a, q

Lösung:

( ) 147 axqqxqaxQ −+−=

( ) 221022

21

47 axqaxqa2qxqaxxM −+−−−=

Aufgabe 8.2:

y

xz

a

a

2a

2a

Berechnen Sie die Schnittgrößenverläufe des dargestellten Trägers für den Balken von (0,0,0) bis (4a,0,0). Gegeben: a, q, F = qa

2F

6q

F

Lösung:

202 a2xa2q3a2xqax

a2q3xq6qa5)x(Q −⋅−−⋅−⋅+⋅−=

3102322 a2xa2qa2xqaa2xqax

a2qxq3xqa5qa)x(M −⋅−−⋅−−+⋅+⋅−⋅+=

Stand: Dez. 05 28



Aufgabe 8.3: Eine Brücke soll von einem Laster befahrbar sein, der wie angegeben eine Fracht mit 1000 kg und den Motor mit 500 kg mit sich trägt.

a) An welcher Stelle auf der Brücke ist das Biegemoment unter der Vorder- und

Hinterachse gleich? b) Hält die Brücke mit einem maximal zulässigen Biegemoment von 30kNm bei der

Belastung stand?

Gegeben: Lasten, g ≈ , a = 1m ms

10 2

Lösung:

a) a323s =

b) Die Brücke hält nicht.

( ) kNm375,30M =

Stand: Dez. 05 29



9 Haftung und Reibung

Aufgabe 9.1: Eine Holzkiste (Gewichtskraft G = 2,5 kN) soll über einen Stahlpoller einen Hang der Neigung α hinauf gezogen werden. Das Seil umschlingt den Poller genau zur Hälfte und gilt als masselos.

α

F

G

a) Wie groß darf α höchstens sein, damit die Kiste ohne Haltekraft F nicht wieder

herunter rutscht? b) Es sei α = 30°. Mit welcher Kraft F muss das Seil gehalten werden, damit die

Kiste nicht abrutscht? c) Welche Kraft benötigt man mindestens, um die Kiste hangaufwärts ins Gleiten zu

bringen? d) Welche Kraft reicht anschließend aus, um die Kiste im Gleiten zu halten?

Gegeben: G, α, Reibungskoeffizienten Haftung Gleitung Kiste - Boden µ01 = 0,5 µ1 = 0,3 Seil - Stahl µ02 = 0,3 µ2 = 0,2

Lösung:

a) °=α 57,26max

b) N65S2 = c) kN99,5S2 = d) kN56,3S G2 =

Aufgabe 9.2: Ein Arbeiter holt mit gleichmäßiger Geschwindigkeit ein Seil ein, an dessen Ende mit einer selbst sperrenden Klemmvorrichtung Platten hochgehoben werden. Das Seil wird über zwei feste Zylinder und eine Umlenkrolle geführt. Klemme und Platten sind aus dem gleichen Material.

Stand: Dez. 05 30



Wie groß muss µ0 sein, damit die Klemmvorrichtung für F G10= nicht versagt? Gegeben: F, G, α

Lösung: α⋅+

α≥µ

sin561

cos0

Aufgabe 9.3: Bei der dargestellten Bandbremse hält eine Bremskraft F ein Antriebsmoment MA im Gleichgewicht.

2a3a a2a

2a

a

2a2a3

FMA

Stand: Dez. 05 31



Wie groß muss F bei der dargestellten Geometrie sein, damit das Antriebsmoment das Rad nicht in Bewegung setzen kann? Spielt die Richtung von MA eine Rolle? Gegeben: MA, a, µ0

Lösung: ( )( )1e

1e2a

M152F

0

0A

−−

⋅⋅= π⋅µ

π⋅µ

Aufgabe 9.4: Mit einem Greifer soll ein Klotz der Masse m angehoben werden. Im Greifer wird das aufgeteilte Seil S über eine Umlenkrolle geleitet und an zwei Gelenkstangen befestigt. Die Umlenkrolle ist am oberen Träger des Greifers befestigt. Insgesamt vier Gelenkstangen verbinden die beiden untenliegenden Greiferarme mit dem oberen Träger. Zwischen den Greiferarmen und dem Klotz wirkt der Haftreibungskoeffizient µ. An dem Greifer befinden sich zwei gleiche Federn, die die Greiferarme im entlasteten Zustand auseinander ziehen. Alle Bestandteile des Greifers und das Seil können als masselos angenommen werden.

Wie groß darf die in den Federn wirkende Kraft sein, damit die Masse m gerade noch gehalten wird? Lösen Sie die Aufgabe mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit. Gegeben: g, m, a, µ

Lösung:

µ−=

21

231GFF

Stand: Dez. 05 32



Aufgabe 9.5: In der dargestellten Bremse wird ein Moment M an einer Walze über einen Hebel mit einem Gewicht abgebremst.

h

r

a a

M

F = m g a) Wie groß muss F in Abhängigkeit von der Drehrichtung der Walze sein, um die

Walze zu halten? b) Gibt es ein Verhältnis (h/a), bei dem sich die Walze unabhängig vom Gewicht nicht

drehen kann (Selbsthemmung)? Gegeben: M, m, g, a, h, r, µ0 Lösung:

a)

+

µ=

ah1

r2MF

0

(Drehung im Uhrzeigersinn)

−

µ=

ah1

r2MF

0

(Drehung gegen Uhrzeigersinn)

b) ha

0 ≥µ

Stand: Dez. 05 33



10 Stabilität von Gleichgewichtslagen

Aufgabe 10.1:

Die dargestellte Figur ist an einem Stab im Punkt M drehbar aufgehängt. An welcher durch Drehung um M erzeugten Position hat das System eine stabile, instabile oder indifferente Lage? Gegeben: D, ρ, g

Lösung:

π⋅+−=ϕ n304,0 Stabile Lagen: π⋅+−=ϕ 2n304,0 Die dazu um π verschobenen Lagen (n ungerade) sind instabil.

Aufgabe 10.2:

Zwei gelenkig miteinander verbundene Stangen (Länge L, Gewicht G1) tragen einen vertikal geführten Kolben (Gewicht G2), der zusätzlich an einer Feder (Federkonstante c) aufgehängt ist. Die in den Gelenken A und B angebrachten Drehfedern (Federkonstante cϕ) sind in der vertikalen Lage entspannt. Man bestimme die Gleichgewichtslagen und untersuche ihre Stabilität. Gegeben: G1, G2, L, c, cϕ

Es gilt: c L G G⋅ = +1 2 und )13(3Lc2

c52 −

π=

⋅⋅

⋅ ϕ

Lösung:

01 =ϕ (instabile Lage)

62π

±=ϕ (stabile Lage)

Stand: Dez. 05 34



Aufgabe 10.3: Das gezeigte System stellt einen Ausschnitt aus einem Uhrwerk dar. Es besteht aus zwei über eine Verzahnung gekoppelte Räder. Das linke Rad ist an eine Drehfeder gebunden, die in der gezeichneten Ruhelage entspannt ist. Das rechte Rad besteht aus einem dünnen Zahnring (Masse vernachlässigbar) und einer halbkreisförmig verteilten Schwungmasse. Ermitteln Sie die Gleichgewichtslagen (in Abhängigkeit vom Winkel α) und untersuchen Sie deren Stabilität.

Gegeben: r1, r , 12 r2=

m, 22

2rgmc

π⋅⋅⋅

=ϕ

Lösung: α = 60°

stabile Gleichgewichtslage

Aufgabe 10.4:

Die skizzierte Hebevorrichtung wird durch eine Kurbel (G1) bedient. Die drei Rollen sind über Zahnradkränze miteinander verbunden. Auf Rolle 3 wird das Seil (masselos), an dessen Ende sich ein Haken (G3) befindet, auf- bzw. abgewickelt. Rolle 2 besitzt ein zusätzliches Gewicht (G2) auf ihrem Radius. Bestimmen Sie die Gleichgewichtslage für dieses System durch Angabe der Drehwinkel. Welche Gleichgewichtsarten liegen vor?

Gegeben: G1 = 3G, G2 = G3 = G Lösung: °=α 24,211 (instabil) °=α 76,1583 (stabil)

°=α 35,772 (stabil) °=α 65,1024 (instabil)

Stand: Dez. 05 35

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