Technische Mechanik I -...

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ii Technische Mechanik I

Impressum�

Diese Sammlung von Arbeitsbl�attern� Aufgabensammlungen und der Formelsammlung wirdheraugegeben von Prof� Dr��Ing� J� Wallaschek� Sie entstand unter Verwendung von Materialienvon�

Prof� em� Dr��Ing� D� Besdo � Institut f�ur Kontinuumsmechanik�

Prof� Dr��Ing� B� Heimann � Institut f�ur Robotik�

PD Dr��Ing� H��G� Jacob � Institut f�ur Kontinuumsmechanik�

Prof� Dr��Ing� K� Popp � Institut f�ur Dynamik und Schwingungen�

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Technische Mechanik I iii

Inhaltsverzeichnis

� Einleitung �

��� Einordnung und Gliederung der Technischen Mechanik � � � � � � � � � � � � � � �

�� Idealisierende Annahmen und Vereinfachungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Der Begri� einer Kraft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� NEWTON sche Gesetze und das Axiom vom Kraftparallelogramm � � � � � � � �

��� Dimensionen und Ma�einheiten � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� Statik des starren K�orpers �

�� �Aquivalenz von Kr�aftegruppen am starren K�orper � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� Kr�afte mit gemeinsamem Angri�spunkt � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� Ebene Kr�aftegruppe am starren K�orper � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Axiom der Linien��uchtigkeit einer Kraft � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Zusammenfassen von Kr�aften mit unterschiedlichen Angri�spunkten � � � �

��� Gleichgewichtsbedingung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Zeichnerische L�osungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� K�orper mit drei Kraftangri�spunkten � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� K�orper mit vier Kraftangri�spunkten � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Moment einer Kraft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Moment eines Kr�aftepaares � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� R�aumliche Kr�aftegruppe am starren K�orper � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Zentralachse� Kraftschraube � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� Statik von Systemen starrer K�orper ��

�� Gleichgewichtsbedingungen� das Erstarrungsprinzip � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Lager � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Lagerung in der Ebene � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Allgemeiner Fall � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Beispiele � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Dreigelenkbogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� S�agebock � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� Parallele Kr�aftgruppen Schwerpunkt ��

��� Kr�aftemittelpunkt � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Schwerpunkt des starren K�orpers � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� Fl�achenschwerpunkt � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� Linienschwerpunkt � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

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iv Technische Mechanik I

� Haftung und Reibung �

��� Kontakt starrer K�orper � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Haften � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� Gleiten � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

���� Haft� und Reibkegel � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� COULOMBsches �Gesetz� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Seilreibung und � haftung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� ��� Reibung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� �� Haftung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Literatur

��� Gross� D�� Hauger� W�� Schr�oder� J�� Wall� W�� Technische Mechanik �� Statik�Springer � Verlag� Berlin� ��Au�age ��� ����� Euro�

�� Hagedorn� L�� Technische Mechanik �� Statik�Verlag Harri Deutsch� �� Au�age� ���� ����� Euro�

�� Hibbeler� R�C�� Technische Mechanik �� Statik�Verlag Pearson Studium� ��� Au�age� ���� ����� Euro�

��� Ulbrich� H�� Weidemann� H��J�� Pfeifer� F�� TechnischeMechanik in Formeln� Aufgaben undL�osungen� B�G�Teubner Verlag�GWV Fachverlage GmbH� Wiesbaden� �Au�age� ����

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Technische Mechanik I �

� Einleitung

��� Einordnung und Gliederung der Technischen Mechanik

Mechanik ist das Teilgebiet der Physik� das sich mit Kr�aften und Bewegungen befasst� IhreLehren beruhen imwesentlichen auf Erfahrungen� die mit Hilfe von Modellen und Naturgesetzenbeschrieben werden� Wir gliedern die Mechanik in�

Statik� Gleichgewicht von Kr�aften�

Elastomechanik� Wirkung von Kr�aften auf deformierbare Festk�orper�

Kinematik� Geometrie der Bewegung�

Kinetik � Dynamik� Zusammenhang zwischen Kr�aften und Bewegungen�

��� Idealisierende Annahmen und Vereinfachungen

Modelle sind in sich schl�ussige Gedankenbilder der Wirklichkeit� die durch idealisierende An�nahmen und Vereinfachungen entstehen�

Beispiel�

� Starrer K�orper� erf�ahrt auch unter der Einwirkung von Kr�aften keine Deformation�

� Massenpunkt� endliche Masse� die in einem geometrischen Punkt konzentriert ist�

� Elastischer K�orper� Plastischer K�orper� Reibungsfreie Fl�ussigkeit� � � � �

Objekt(e)

Beobachtung(en)

Frage(n)Wirklic

hke

it

Formulierung der Aufgabe

Interpretationder Ergebnisse

Modell

Ergebnisse

Vereinfachen durchFortlassen allesUnwesentlichen

Lösen desProblems

Rückübertragungin die Wirklichkeit

Ab

str

aktio

n/

Ge

da

nke

nw

elt

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Technische Mechanik I

��� Der Begri� einer Kraft

Aus der allt�aglichen Erfahrung ist uns die auf einen K�orper wirkende Gewichtskraft vertraut�AlsKraft bezeichnet man jede physikalische Gr�o�e� die sich mit einer Gewichtskraft ins Gleich�gewicht setzen� bzw� mit ihr vergleichen l�asst�

MuskelkraftStrömungskraft

Gewichtskraft Magnetkraft

Federkraft

Auftriebskraft

Kr�afte sind erkennbar an ihren Wirkungen�

� Form�anderungen�

� �Anderungen des Bewegungszustandes�

Sie sind gekennzeichnet durch�

� Gr�o�e �Betrag��

� Richtung und Richtungssinn�

� Angri�spunkt�

Die durch Angri�spunkt und Richtung be�stimmte Gerade hei�t Wirkungslinie�Die Kraft kann als gebundener Vektor dar�gestellt werden� Wir schreiben die Kraft als�

F und ihren Betrag als j�

F j oder F � In Zeich�nungen stellen wir Kr�afte durch Pfeile dar�In kartesischen Koordinaten gilt�

F ��

F x ��

F y ��

F z � Fx�

ex � Fy�

e y � Fz�

e z

Fx � F cos�

Fy � F cos �

Fz � F cos �

��

z

x

yFy

Fz

Fx

eyex

ez F

�Abbildung nach ����

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Technische Mechanik I

��� NEWTON�sche Gesetze und das Axiom vom Kraftparallelo�

gramm

�� Tr�agheitsgesetz�Jeder K�orper bleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichf�ormigen linearen Bewegung�sofern keine �au�eren Kr�afte auf ihn wirken�

� Grundgesetz der Dynamik�Die auf einen K�orper wirkende Kraft ist gleich dem Produkt aus Masse und Beschleuni�gung des K�orpers�

F � m ��

a

� Gegenwirkungsgesetz�

Die von einem K�orper � auf einen K�orper wirkende Kraft�

F ��� ist gleich gro� und

entgegengesetzt zur Kraft�

F ��� � die der K�orper auf K�orper � aus�ubt�

F ��� � ��

F ���m�

F ���

m�

F ���

�� Axiom vom Kr�afteparallelogramm�Stevin��

Zwei Kr�afte�

F ���

F � mit gleichem An�gri�spunkt k�onnen nach der Parallelo�

grammregel zur Resultierenden�

R

addiert werden��

R ��

F � ��

F �

F2

R

F1

Anmerkung�Gleichgewicht und gleichf�ormige lineare Bewegung sind Sonderf�alle der allgemeinen Bewegung

mit�

a ��

� �

Kr�afte� Positionen im Raum� Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind Gr�o�en� die mitHilfe der Vektorrechnung beschrieben werden�

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� Technische Mechanik I

�� Dimensionen und Maeinheiten

Physikalische Gr�o�en werden quantitativ als Produkt aus Ma�zahl und Ma�einheit ausgedr�uckt�Die folgende Basiseinheiten sind international festgelegt�

Basisgr�o�e Zeichen Basiseinheit Zeichen De�nition mit Hilfe von

L�ange� � Meter m Lichtgeschwindigkeit und Zeit

Zeit� t Sekunde s Periodendauer einer Strahlung

Masse� m Kilogramm kg Ma�verk�orperung �in Paris�

Stromst�arke� I Ampere� A Kraftwirkung zwischen parallelen elek�trischen Leitern

Temperatur� T Kelvin K Tripelpunkt des Wassers

Lichtst�arke� Iv Candela cd Strahlung des schwarzen K�orpers

Sto menge� n Mol mol Atomzahl���C in � g�

Von diesen Basiseinheiten k�onnen Einheiten f�ur jede physikalische Gr�o�e abgeleitet werden� F�ur

die Kraft gilt�

F � m ��

a � Dementsprechend ist die Einheit der Kraft das Newton �N � � kgm

s��

� Statik des starren K�orpers

��� �Aquivalenz von Kr�aftegruppen am starren K�orper

Kr�aftegruppen nennen wir �aquivalent� wenn sie am starren K�orper die gleichen Wirkungenhervorrufen� Ein Gleichgewichtssystem ist eine Kr�aftegruppe� die �aquivalent zur Kraft Nullist�

��� Kr�afte mit gemeinsamem Angri�spunkt

R � ��

F � ��

F � � � � ���

F n �nPi��

F i

Rx � F�x � F�x � � � � �nPi��

Fix

Ry � � � � �nPi��

Fiy

Rz � � � � �nPi��

Fiz

F2

R

F1

Fn

Jede Gruppe von Kr�aften mit gemeinsamem Angri�spunkt kann auf eine Einzelkraft reduziert

werden� die gleich der Vektorsumme�

R �Resultierende� ist�

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Technische Mechanik I �

Gleichgewichtsbedingung�

Wenn die auf einen K�orper wirkenden Kr�afte durch einen Punkt gehen und der K�orper imGleichgewicht ist� ist die Resultierende gleich Null�

Anmerkung��Ahnlich wie man Kr�afte zusammenfassen kann� kann man sie unter Anwendung des Axiomsvom Kr�afteparallelogramm auch in Komponeten zerlegen�

F2

R

F1

Fy

R

Fx

��� Ebene Kr�aftegruppe am starren K�orper

Bei einer ebenen Kr�aftegruppe liegen die Wirkungslinien aller Kr�afte in der gleichen Ebene�

F2

F1

F3

Wirkungslinie der

Kraft F1

Fn

An

A1A2

A3

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� Technische Mechanik I

Beispiel� Br�ucke �uber den Stichkanal Hannover � Linden

Loslager Festlager

F2

A

F1

BVBH

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Technische Mechanik I �

����� Axiom der Linien��uchtigkeit einer Kraft

Die von einer Kraft am starren K�orper her�vorgerufene Wirkung ist f�ur alle Kraftan�gri�spunkte� die auf der Wirkungslinie lie�gen� gleich� D�h� Kr�afte am starren K�orperk�onnen entlang ihrer Wirkungslinie verscho�ben werden� ohne dass sich ihre Wirkung

�andert�F

A

A

FA

A

����� Zusammenfassen von Kr�aften mit unterschiedlichen Angri spunkten

F1

A1

F2A2

F1

A1

F2

A2

AR

� Verschiebe die Kr�afte l�angs der Wirkungslinie� so dass sie am Schnittpunkt der Wirkungs�linien angreifen�

� Fasse die beiden Kr�afte nach der Parallelogrammregel zur Resultierenden zusammen�

Beachte�

Der Schnittpunkt der Wirkungslinien kann auch ausserhalb des K�orpers liegen�

Eine Gruppe von �beliebig vielen� Kr�aften kann durch sukzessives zusammenfassen von jeweilszwei Kr�aften reduziert werden�

Sonderfall� Kr�afte mit parallelen Wirkungslinien�

F1

R1

F2

a2

R2

R2

R1

R

B

a1

B

� F�uge eine Gleichgewichtsgruppe hinzu � gleich gro�e entgegengesetzt gerichtete Kr�afte

B� deren Wirkungslinien durch die Kraftangri�spunkte von�

F � und�

F � verlaufen��

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� Technische Mechanik I

� Fasse zuerst die Kr�afte in den Kraftangri�spunkten von�

F � und�

F � zu �Zwischen�� Re�

sultierenden�

R���

R� zusammen�

� Fasse danach die �Zwischen�� Resultierenden�

R���

R� zur �Gesamt�� Resultierenden�

R zu�sammen�

Beachte��

R ist parallel zu�

F ���

F � und es gilt F� a� � F� a��

Sonderfall� Kr�aftepaarZwei gleich gro�e� entgegengesetzt gerichtete Kr�afte mit unterschiedlichenWirkungslinien k�onnennicht durch eine einzelne Kraft ersetzt werden�

F F

a

=̂ M

Man kann ein Kr�aftepaar ��

F ���

F � durch ein anderes� �aquivalentes ersetzen� Die Kr�afte ��

F�

���

F�

�k�onnen dabei eine beliebige Richtung haben� jedoch bleiben der Drehsinn und das Produkt Maus Kraft und Hebelarm erhalten�

M � Fa � F �a�

FF'

a

F F'

a'

B

B

Fazit�Jede Gruppe von �beliebig vielen� Kr�aften in der Ebene kann durch schrittweise Reduktion sozusammengefasst werden� dass am Ende entweder

a� eine Resultierende mit eindeutig bestimmten Kraftangri�spunkt� oder

b� ein Kr�aftepaar

verbleibt�

����� Gleichgewichtsbedingung

Eine Gruppe von Kr�aften an einem starren K�orper ist genau dann im Gleichgewicht� wennsie �aquivalent zur Kraft Null ist� Das bedeutet� dass eine ebene Kr�aftegruppe genau dann imGleichgewicht ist� wenn nach der Durchf�uhrung der Reduktion weder eine Resultierende� nochein Kr�aftepaar �ubrig bleibt�

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Technische Mechanik I �

����� Zeichnerische L�osungen

������� K�orper mit drei Kraftangri spunkten

F

B

(a) System

C

F

B

CP

F

B

C

(b) Lage- und Kraftplan

Lageplan Kraftplan

Drei Kr�afte in der Ebene sind an einem starren K�orper genau dann im Gleichgewicht� wennsich ihre Wirkungslinien in einem Punkt schneiden und das Krafteck geschlossen ist�

�������� K�orper mit vier Kraftangri spunkten

F

B

(a) System

D

F

B

D

P1

F

B

C

(b) Lage- und Kraftplan

Lageplan Kraftplan

EA

P2 ED

E

Vier Kr�afte in der Ebene sind an einem starren K�orper genau dann im Gleichtgewicht� wenndie bei jeweils paarweise Zusammenfassung entstehenden Zwischen�Resultierenden gleich gro�sind und ihre Wirkungslinie durch die beiden Schnittpunkte verl�auft� Die Wirkungslinie derZwischen�Resultiereden nennt man auch CULMANN sche Gerade�

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�� Technische Mechanik I

��� Moment einer Kraft

M�P �

��

r ��

F

r ����

PA

A ist ein beliebiger Punkt auf der Wirkungs�

linie der Kraft�

F �

M�P �

ist unabh�angig von A�

j�

M�P �

j � j�

r jj�

F jj sin�j

� aj�

F j

F

M(P)

r

a

P

A

a nennt man den Hebelarm der Kraft�

F bez�uglich P �

Sonderfall� Kraft und Bezugspunkt in x� y�Ebene

F

exbxA

ey

yA

A

0

Fy

Fx

F � Fx�

e x � Fy�

e y

r ���

�A � xA�

ex � yA�

e y

M���

��

r ��

F � �xAFy � yAFx��

e z

Das Moment der Resultierenden zweierKr�afte ist gleich der Summe der Momenteder Einzelkr�afte�

A1

f2

P

A

F2

F + F1 2

A2

F1

f1

����

PA� ��

F �

������

PA� ��

F �

��

����

PA��

F �

������

PA��

F �

����

PA���

F � ��

F �

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Technische Mechanik I ��

�� Moment eines Kr�aftepaares

F � � ��

F �

M�P �

����

PA� ��

F ����

PA� ��

F � �

�����

PA� ����

PA�

��

F �

�������

A�A� ��

F �

A1

f2

P

h

F2

A2

F1

f1

Das Moment eines Kr�aftepaares h�angt nicht vom Bezugspunkt P ab� d�h� am starren K�orperk�onnen Kr�aftepaare beliebig verschoben werden� Das Moment eines Kr�aftepaares kann daherals freier Vektor angesehen werden�

Durch Hinzuf�ugen einer Gleichgewichtsgruppe� die aus einem Kr�aftepaar und einem dazu pas�senden gleich gro�en� aber entgegengesetzten Moment besteht� kann eine Kraft mit beliebigemKraftangri�spunkt in eine gleich gro�e Kraft mit vorgegebenem Kraftangri�spunkt und eindazu geh�orendes Versetzungsmoment �uberf�uhrt werden�

+

F

M(P)

P

F

P

h

A F

P

h

FM

(P)

A

M�P �

����

PA��

F

��� R�aumliche Kr�aftegruppe am starren K�orper

Jede beliebige Kr�aftegruppe �Ai��

F i� i � �� � � � � n� am starren K�orper kann auf eine Resultie�rende

R �nXi��

F i

mit Angri�spunkt P und ein dazu geh�orendes Kr�aftpaar mit Moment

M�P �

�nXi��

M�P �

i �nXi��

���

PAi ��

F i

reduziert werden�

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� Technische Mechanik I

Beispiel� Kr�afte auf Quader �nach ����

F6

a y

x

z

F5

F4F2

F1

F3

B

Ac

b

a� Reduktion auf Resultierende�

R und Moment�

M�A�

bez�uglich des Punktes A

R ��P

i��

F i ��

M�A�

��P

i��

r i ��

F i

F i � Fi�x

e x � Fi�y

e y � Fi�z

e z ��

F i �

�����Fi�x

Fi�y

Fi�z

���� � i � �� � � � � �

Ai� Angri�spunkt der Kraft�

F i

r i �����

AA i � ri�x�

ex � ri�y�

e y � ri�z�

e z � i � �� � � � � �

r i �

�����ri�x

ri�y

ri�z

���� � i � �� � � � � �

F � �

�����F�

���� �

F � �

�����

�F�

���� �

F � �

�����F�

���� �

F �

�����

F

���� �

F �

�����

F

���� �

F � �

�����

F�

����

r � �

�����a

���� �

r � �

�����a

c

���� �

r � �

�����

b

���� �

r �

�����

b

c

���� �

r �

�����a

b

c

���� �

r � �

�����a

b

����

r � ��

F � �

�����

���� �

r � ��

F � �

�����

F�a

���� �

r � ��

F � �

�����

�F�b

����

r ��

F �

�����Fb

���� �

r ��

F �

������Fc

Fa

���� �

r � ��

F � �

�����

F�a

����

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Technische Mechanik I �

R �

�����

F� � F�

F � F�

�F� � F

���� � d�h�

R � �F� � F���

ex � �F � F���

e y � ��F� � F��

e z

M�A�

�����

Fb� Fc

F�a

�F�b� Fa� F�a

����

b� Reduktion auf Resultierende�

R und Moment�

M�B�

bez�uglich des Punktes B

R �

�����

F� � F�

F � F�

�F� � F

���� �

M�B�

�����

F�b� F�c

�F�c� F�c� Fa

F�b

����

Gleichgewichtsbedingung�Eine Kr�aftegruppe am starren K�orper ist genau dann imGleichgewicht� wenn ihre Resultierendeund das dazu geh�orende Moment f�ur einen beliebigen Bezugspunkt P verschwinden�

nPi��

F i ��

� �

nPi��

M�P �

i ��

� �

Im ebenen Fall ergeben sich daraus skalare Gleichungen

nPi��

Fi�x � ��

nPi��

Fi�y � ��

nPi��

M�P �i�z � ��

und im r�aumlichen Fall erh�alt man � skalare Gleichungen�

�� Zentralachse� Kraftschraube

Ein beliebiges Kraftsystem Pi��

F i� i � �� � � � � � n kann immer auf eine Resultierende�

R �P�

F i�

die im Punkt P angreift� und ein dazu geh�orendes Moment�

M reduziert werden� das von der

Wahl des Punktes P abh�angt� Die Wirkungslinie der Resultierenden�

R ist eindeutig bestimmtund wird Zentralachse genannt�

Als Kraftschraube bezeichnet man ein durch eine Kraft und ein Moment gebildetes Paar� beidem die Kraft parallel zu dem Moment ist� Durch geeignete Wahl des Bezugspunktes P kannjedes Kraftsystem auf eine Kraftschraube reduziert werden�

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�� Technische Mechanik I

Gegeben� Resultierende�

R

Moment�

M���

bez�uglich Punkt �

Gesucht� Lage des Punktes P ��

h ����

�P

h ��

R�

R��

M���

M�P �

��

R�

R ��

M�����

R

R� ��

R ��

R

R

ex

ez

P

h

M(P)

0

ey

Zentralachse

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Technische Mechanik I ��

� Statik von Systemen starrer K�orper

��� Gleichgewichtsbedingungen� das Erstarrungsprinzip

Eine Kr�aftegruppe steht an einem System starrer K�orper genau dann im Gleichgewicht� wennsich jeder einzelne K�orper im Gleichgewicht be�ndet�

Beispiel� Die Fahrradbremse besteht aus Teilen� Teil nII mit der Gabel durch einen Bolzen

verschraubt� Die dort wirkende Lagerkraft ist nA � Teil nI ist mit Teil nII �uber ein Drehgelenk

verbunden� Die dort zwischen nI und nII wirkende Lagerkraft ist nB �

Gesucht sind die Kr�afte nA und nB �

Gegeben ist die Bet�atigungskraft F��

x

y F2

F1

Ay

Ax

a

b

F1

B

F2

I

Die zeichnerische L�osung f�ur Teilsystem nI ergibt�

F1 B

F2

F� � F� tan�

B �F�

cos�

Da F�� F� und B auch am Teilsystem nII eine Gleichge�wichtsgruppe sind� verschwindet die Lagerkraft A� d�h�Ax � �� Ay � ��

F2

F1

Ay

Ax

B

II

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�� Technische Mechanik I

Nicht immer ist es notwendig� ein System vollst�andig in seine Bestandteile zu zerlegen� um dieGleichgewichtsbedingungen zu formulieren� Nach den sogenannten Erstarrungsprinzip ist einSystem starrer K�orper unter der Wirkung gegebener Kr�afte genau dann imGleichgewicht� wennjedes Teilsystem sich im Gleichgewicht be�ndet� Das heisst� man kann die Gleichgewichtsbedin�gungen nicht nur an den einzelnen K�orpern� sondern auch am Gesamtsystem oder beliebigenTeilen davon formulieren�

Im Beispiel der Fahrradbremse gilt f�ur�

� Teilsystem nI

XFix � � � F� �Bx � � ���

XFiy � � � F� �By � � ��

XM

�A�i � � � F�a� F�b � � ��

� Teilsystem nII

XFix � � � �F� �Ax �Bx � � ���

XFiy � � � �F� �Ay �By � � ���

XM

�A�i � � � �F�a� F�b � � ���

und man erh�alt aus �� F� � F�a

b� F� tan�� so dass aus ��� Bx � F� � F� tan� und aus

�� By � F� folgt� in �Ubereinstimmungmit der zeichnerischen L�osung� Ax � � und Ay � �folgt dann aus ��� und ��� nach Einsetzen� Man kann dies nach dem Erstarrungsprinzipaber auch direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen f�ur das Gesamtsystem ablesen�

� Gesamtsystem�

PFix � � � �F� � F� �Ax � �

PFiy � � � F� � F� �Ay � �

PM

�A�i � � � F�a� F�a� F�b� F�b � �

��� Lager

Starre K�orper werden untereinander und mit der Umgebung durch Lager verbunden� um ihreBewegungsm�oglichkeit einzuschr�anken� Mit jeder Einschr�ankung der Beweglichkeit tritt eineentsprechende Reaktionskraft im Lager auf�

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Technische Mechanik I ��

����� Lagerung in der Ebene

Ein starrer K�orper hat in der Ebene drei unabh�angige Bewegungsm�oglichkeiten� zwei Transla�tionen in der Ebene und eine Drehung um eine zur Ebene senkrechte Achse�

Einwertige Lager schr�anken eine einzige Bewegungsm�oglichkeit ein� Beispiele sind Rollenlager�Gleitlager und Pendelst�utze� Sie werden in Systemskizzen� unabh�angig von ihrer konstruktivenAusf�uhrung� durch ein Lagersymbol dargestellt� In ihnen wirkt nur eine Reaktionskraft� bzw�ein Reaktionsmoment�

AAA

A

�Abbildung nach ����

Zweiwertige Lager schr�anken zwei Bewegungsm�oglichkeiten ein� Beispiele sind Drehgelenk undDoppelst�utze� In ihnen wirken zwei Reaktionkr�afte�

AV

Rillenkugellager Zylinderrollenlager

Pendelkugellager Pendelrollenlager

AH

AH

Tabelle I hierzu auf Seite ���

����� Allgemeiner Fall

Ein starrer K�orper hat im dreidimensionalen Raum sechs unabh�angige Bewegungsm�oglichkei�ten� die durch Lager eingeschr�ankt werden k�onnen� Entsprechend der Anzahl n der einge�schr�ankten Bewegungsm�oglichkeiten treten in einem n�wertigen Lager n Reaktionskr�afte� bzw��momente auf� Tabelle II hierzu auf Seite ���

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�� Technische Mechanik I

Auf� und Zwischenlager in der Ebene

~

~

~

~

~

~

An

zah

l

Krä

fte

Rea

k-

tio

nen

Mo

-m

en-

te

Bei

spie

lte

chn

isch

erA

usf

üh

run

gS

ym

bol

Au

flager

Rea

kti

on

en

Zw

isch

enla

ger

Sym

bol

Rea

kti

on

en

nic

ht

sin

nvoll

01

1

00

0

02

2 01

1 12

1

13

2

~

~

~

~

~

~~

~

oder ~

~

Nam

e

frei

esE

nd

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Losl

ager

Pen

del

stü

tze

(ver

sch

ieb

bar

esG

elen

kla

ger

)

Sch

ieb

ehü

lse

fest

eE

insp

an

nu

ng

Fes

tlager

(fes

tes

Gel

enk

lag

er)

Mom

ente

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stü

tze

~

~

~

~

~

~

räu

m-

lich

ver

setz

t

~

~

~

~

~

~

~

~~

~

~

~

~

~

~

~

Sei

lod

erS

tab

~

~~

~

~ ~

~

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Technische Mechanik I ��

Auf� und Zwischenlager im Raum

AnzahlSymbol

als LagerAuflager

ReaktionenSymbol als

Zwischenlager

~

Fi

1

2

3

1

2

2

3

3

Mi

0

0

0

2

2

3

2

3

1

2

3

3

4

5

5

6

~

glatt

~

~ ~

~

~

~

Kugel

~~

Kugel

~

~ ~~

~

~

~

~ ~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

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� Technische Mechanik I

��� Beispiele

����� Dreigelenkbogen

A

F1P1

I

B

F2

P2

IIG

Dreigelenkbogen� zwei starre K�orper nI � nII die in A und B jeweils gelenkig gelagert sind undin G durch ein Gelenk miteinander verbunden sind�

Ay

F1,x

P1

I

F2,xP2

II

F1,y

Ax g1x

p1x

p1y

g1y

Gy

Gx

Gy

Gx

By

Bx

F2,y

g2x

p2x

g2y p2y

Gegeben� Geometrie� �a� b� � � � � g� Kr�afte��

F ���

F �

Gesucht� Lagerkr�afte�

A��

B��

G�

Gleichgewichtsbedingungen f�ur K�orper nIPFi�x � � � Ax � F��x �Gx � �

PFi�y � � � Ay � F��y �Gy � �

PM

�A�i � � � F��x p�y � F��y p�x �Gx g�y �Gy g�x � �

Gleichgewichtsbedingungen f�ur K�orper nIIPFi�x � � � Bx � F��x �Gx � �

PFi�y � � � By � F��y �Gy � �

PM

�B�i � � � F��x p�y � F��y p�x �Gx g�y �Gy g�x � �

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Technische Mechanik I �

Lineares Gleichgewichtssystem f�ur die Unbekannten Ax� Ay� Bx� By� Gx� Gy�

�������������������

� � � � � �

� � � � � �

� � � � g�y g�x

� � � � �� �

� � � � � ��

� � � � �g�y �g�x

������������������

�������������������

Ax

Ay

Bx

By

Gx

Gy

������������������

��������������������

�F��x

�F��y

�F��xp�y � F��yp�x

�F��x

�F��y

�F��xp�y � F��yp�x

�������������������

A�

R ��

F

���I

Vektor der eingepr�agten Kr�afte

��

���I

Vektor der gesuchten Reaktionskr�afteAAAAAAK

Systemmatrix

L�osbarkeitsbedingung� det�A�� �� �

Wenn alle Reaktionskr�afte mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden k�onnen�nennt man ein System statisch bestimmt� Notwendige Bedingung f�ur statisch Bestimmtheit�Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen mindestens gleich Anzahl der Reaktionskr�afte�

����� S�agebock

ba

glattG

glatt Seil

� �

`

yS

G

Freikörperbild

�x

BA

D

HC

S

D

C

N1N2

I

II III

~ ~

S S

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Technische Mechanik I

Gesamtsystem�

PM

�E�i � � � B� sin� �A� sin� � � � A � B

PFiy � � � A�B �G � � � A � B �

G

K�orper nI �

PFi�x � � � N� cos��N� cos� � N� � N�

PFi�y � � � N� sin��N� sin� �G � � � N� � N� �

G

sin�

K�orper nII �

PM

�H�i � � � N�a� Sb cos� �B� sin� � � � S � G

a

b sin��

btan�

PFi�x � � � �S � C �N� cos� � � � C � G

a

b sin��

btan��

tan�

PFi�y � � � B �D �N� sin� � � � D � �

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Technische Mechanik I

� Parallele Kr�aftegruppen� Schwerpunkt

��� Kr�aftemittelpunkt

Eine Gruppe von Kr�aften� deren Richtung identisch ist� heisst paralleleKr�aftegruppe� Mit�

e als

Richtungsvektor von Betrag � ist eine parallele Kr�aftegruppe durch P���

F i � Fi

e � i � �� � � � � � ngegeben�

Eine beliebige parallele Kr�aftegruppekann durch geeignete Wahl des Bezugs�punktes S so reduziert werden� dassgilt�

R �P�

F i

M�S�

��

Man bezeichnet S als Kr�aftemittel�punkt� rn

Pn

Fn

r1P1

F1

r2 P2

F2

0S

eG

Gegeben� P���

F i � Fi

e i� i � �� � � � � � n�

Gesucht��

s ����

�S � so dass�

M�S�

� �

M�S�

�nXi��

���

SP i � Fi�

e i ����

SP i ��

r i � s � i � �� � � � � � n

s �

nXi��

Fi

r i

nXi��

Fi

Wenn es sich bei den Kr�aften�

F i um die Gewichtskr�afte einzelner Massenpunkte in einemgleichf�ormigen Schwerefeld handelt� gilt

Fi � mig

s �

nXi��

miFi

r i

nXi��

mi

und man nennt S den Massenmittelpunkt� da seine Lage nur von der Massengeometrie� d�h�der Anordnung der Massen mi� abh�angt�

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� Technische Mechanik I

��� Schwerpunkt des starren K�orpers

Wir betrachten den starren K�orper alsMenge der in�nitesimalen Volumenele�mente dV �

Es gilt� V �ZV

dV r

dV

0

V

Die Masse eines Volumenelements ist dm � �dV � mit der Dichte �� die ortsabh�angig sein kann�Es gilt�

m �ZV

���

r �dV �

s �

ZV

r���

r �dV

m�

F�ur homogene K�orper gilt� ���

r � � � ��

s �

ZV

r�dV

m�

ZV

r dV

V

��� Fl�achenschwerpunkt

Ebene K�orper� deren Dicke gegen�uber ihren anderen Abmessungen vernachl�assigt werden kann�k�onnen als Fl�ache modelliert werden� die durch die Massendichte �Masse pro Fl�acheneinheit�beschrieben wird�

Es gilt�

A �ZA

dA

m �ZA

��

r �dA

Man nennt

s �

ZA

r��

r �dA

m

rdA

0

A

den Fl�achenmittelpunkt oder Fl�achenschwerpunkt

F�ur homogene K�orper gilt� ��

r � � ��

s �

ZA

rdA

m�

ZA

rdA

A

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Technische Mechanik I �

Beispiel� Rechtwinkliges Dreieck� � const�

A �ZA

dA

A �

bZ�

��������

hx

bZ�

dy

�������dx �

bZ�

hx

bdx

�h

b

x�

�����b

�bh

hdA

y

b x

h

b

y = xhb

s �

ZA

r dA

A�

ZA

rdA �

bZ�

��������

hx

bZ�

x�

e x � y�

e y�dy

�������dx

ZA

rdA �

bZ�

�����xhxb

e x �y�

�����hx

b

e y

���� dx �

bZ�

hx�

b

ex �h�x�

b��

e y

�dx

�hx�

b

�����b

ex �h�x�

�b�

�����b

e y �b�h

ex �h�b

e y

s �

b�

ex ��

h�

e y

Schwerpunkt zusammengesetzter Fl�achen

ZA

r dA �nXi��

ZAi

r dA

Schwerpunkt der i�ten Teil��ache

s i ��

Ai

ZAi

r dA

A1

A2

s ��

A

ZA

rdA ��

A

nXi��

ZAi

rdA ��

A

nXi��

s iAi

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� Technische Mechanik I

����� Linienschwerpunkt

Bogenl�ange uMassendichte �Masse pro L�angeneinheit�

dm � du � m �Z�

�u�du

s �

Z�

r �u��u�du

Z�

�u�du

du

r(u)

u

u = `

0

P

u = 0

F�ur � const� gilt��

s ��

Z�

r �u�dA

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Technische Mechanik I �

� Haftung und Reibung

�� Kontakt starrer K�orper

Kontaktpunkt K

Tangentialebene steht senkrecht aufBer�uhrnormale

Normalkraft�

N

Tangentialkraft�

T

K

Tangentialebene

Berührnormale

N

NF

F

T

T

����� Haften

Normalkraft�

N verhindert gegenseitiges Durchdringen der K�orper� Tangentialkraft�

T verhindert

Relativbewegung �Gleiten� der K�orper� Kontakt wirkt wie ein Lager� Normalkraft�

N und Haft�

kraft�

T ��

H sind Zwangskr�afte� die aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden k�onnen�falls das System statisch bestimmt ist�

Die Erfahrung zeigt� dass Haften nur m�oglich ist� wenn

j�

H j � �j�

N j

gilt� Man nennt � Haftkoe�zient�

����� Gleiten

Wenn die K�orper aufeinander gleiten ist die Tangentialkraft n�ahrungsweise proportional zur

Normalkraft und der Relativbewegung im Ber�uhrpunkt entgegen gerichtet� Man nennt�

T ��

R

Reibkraft und setzt

R � �j�

N j

v rel

j�

v relj�

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� Technische Mechanik I

Das hei�t� es gilt

j�

Rj � j�

N j

so dass die Reibkraft keine Zwangskraft� sondern eine eingepr�agte Kraft ist� Man nennt

Reibkoe�zient� Meist gilt

� �

����� Haft� und Reibkegel

j�

Hj � �j�

N j bedeutet� dass die Kontaktkraft

F ��

N � n�

H

im Innern eines Kegels mit �O�nungswinkel

tan�� � �

liegt

N

H

F

j�

Rj � j�

N j bedeutet� dass�

F ��

N ��

R auf dem Mantel eines Kegels mit dem�O�nungswinkel

tan� �

liegt�

H

N

F

�0

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Technische Mechanik I �

Beispiel� Haften oder Gleiten

m

M

� �0 ,

reibungsfreie Rolle g

�� Freik�orperbild� Annahme Haften

mg

Mg

N

H

N � mg

H � Mg

Haftbedingung� H � �N

� Haften f�ur M � �m

Falls � �M

mist Haften nicht m�oglich� Gleiten

� Freik�orperbild� Annahme Gleiten

mg

Mg

N

R

N � mg

R � N � mg

Gleichgewichtsbedingung �f�ur v � const��� R � Mg

� Gleiten mit v � const� f�ur M � m

Falls ��M

mist Gleiten und v � const� nicht m�oglich�

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� Technische Mechanik I

����� COULOMBsches �Gesetz�

�Haftgesetz� j�

Hj � �j�

N j ��

v rel ��

�Reibgesetz� j�

Rj � j�

N j � Richtung�

R entgegengesetzt zu Gleitgeschwindigkeit�

v rel

sind empirisch gefundene Zusammenh�ange� die die Wirklichkeit nur n�ahrungsweise beschreiben�Man sollte deshalb besser vom COULOMBschen Modell sprechen�

Die Koe�zienten und � h�angen bei genauer Betrachtung von der Materialpaarung� derOber��achenrauhigkeit� dem Schmierzustand� der Fl�achenpressung� der Temperatur und derGleitgeschwindigkeit ab� Die in Tabellen manchmal angegebenen Werte f�ur und � sindlediglich als Anhaltswerte zu verstehen�

Beispiel� Kippen und Rutschen

Gh

b

F

� �0 ,

�� Freik�orperbild� Annahme Rutschen

G

a

F

A

R

N

h

XFix � � � F � R � N ���

XFiy � � � N � G ��

XM

�A�i � � � Fh � Na ��

��� ist die Gleichgewichtsbedingung �f�ur Gleiten mit v � const��

� Gleiten mit v � const� f�ur F � G und a �b

� d�h� �

b

h�

�� � Angri�spunkt der resultierenden Normalkraft a �F

Nh � h

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Technische Mechanik I �

� Freik�orperbild� Annahme Anheben

G

F

B

H

N

~h

~a

XFix � � � F � H ���

XFiy � � � N � G ��

XM

�B�i � � � Fh � G

b

��

Haftbedingung jHj � �jN j

Haften f�ur F � �G

mit G � Fh

b� Haften f�ur F � �

h

bF

Das hei�t� unabh�angig von der Gr�o�e der Kraft F wird der Klotz kippen� wenn h b

��

bzw� � b

h�

����� Seilreibung und � haftung

Seil� �ubertr�agt nur Zugkr�afte

S2

S1~

~

�� �0,

���

��

��2

��2

S( )�S( )���

�R

�N

y

x

PFix � � � S��� cos

!�

� S���!�� cos

!�

� !R � �

!R � �S���!��� S���� cos!�

���

PFiy � � � �S��� sin

!�

� S���!�� sin

!�

� !N � �

!N � �S���!�� � S���� sin!�

��

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Technische Mechanik I

����� ��� Reibung

Wir nehmen an� das Seil gleite nach links� Dann ist S� S��

Reibung� !R � !N ��

Einsetzen von ���� �� und �� teilen durch !� ergibt

S���!��� S���

!�cos

!�

� �S���!�� � S����

sin!�

!�

Grenz�ubergang !�� � f�uhrt auf die Di�erentialgleichung

d

d�S��� � S���

S���� � S���

f�ur die Seilkraft�

Allgemeine L�osung�

S��� � Ce��

Integrationskonstante C ergibt sich aus Anfangsbedingung S��� � S� zu C � S�� und damit ist

S��� � S�e�� �

F�ur den Umschlingungswinkel � ergibt sich

S� � S��� � S�e��

wobei vorausgestzt wurde� dass das Seil nach links gleitet�

����� ��� Haftung

Wir nehmen an� das Seil hafte� und es sei S� S�

Haftung�

!R � �!N ���

Das System ist statisch unbestimmt� Im Fall der Grenzhaftung� bei dem Rutschen geradenoch verhindert wird� gilt

!R � �!N

und man erh�alt� analog zum Fall der Reibung�

S��� � S�e���

S� � S�e���

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Technische Mechanik I

Unter der Voraussetzung� dass S� S� gilt� ist deshalb Haftung m�oglich f�ur

S� � S� � S�e���

Anmerkung� Bei der Herleitung wurde derFall betrachtet� in dem das Seil um einenKreiszylinder geschlungen ist� Die Form desumschlungenen Querschnitts spielt jedochkeine Rolle� Es kommt nur auf den Umschlin�gungswinkel an�

S2

S1

�� �0

Beispiel�

S2S1

Bei Umschlingungen ist

� � � � � ��� �

und f�ur � � �� ist die maximale KraftS� f�ur die Rutschen gerade noch nicht ein�tritt

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Anmerkung�

Die Gleichungen der Seilreibung und �haftung gelten auch� wenn das Seil um eine angetriebeneRolle geschlungen ist�