TEILCHENPHYSIK F ÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 21. April 2006

TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENEVorlesung am 21. April 2006

Robert Klanner

Universität Hamburg, IExpPhSommersemester 2006

TSS SS06: Teilchenphysik II 2

ÜBERBLICK

1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen

2. Feynman-Regeln und –Diagramme2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED2.2 Ableitung der Regeln (1)2.3 Das Matrix-Element der e–-Streuung2.4 Ableitung der Regeln (2)2.5 Fermi’s Goldene Regel und Wirkungsquerschnitte2.6 Kinematik der 22-Streuung (Mandelstam-Variablen)2.7 Wirkungsquerschnitt der 22-Streuung a+bc+d2.8 Berechnung des Matrix-Elements2.9 Crossing und wichtige QED-Prozesse2.10 PETRA und das JADE-Experiment2.11 Helizität und Chiralität2.12 d-Funktionen


2.6 KINEMATIK DER 22-STREUUNG

Wir betrachten einen 22-Prozess:

Impulserhaltung:

Erinnerung: Vierervektorprodukte sind invariant!

Es gibt 10 mögliche Kombinationen: – aber 4 Massen und– 4 erhaltene Impulskomponenten 2 unabhängige Größen beschreiben Kinematik!

Definition Mandelstam-Variablen:

Es gilt:

Charakterisierung der Größen: p1

p2

p3

p4

4321 pppp

4,3,2,1 ,2 impp iii

414124

21

232

241

313123

21

242

231

212122

21

243

221

22)()(

22)()(

22)()(

ppppppppppu

ppppppppppt

pppppppppps

4

1

2 0i

imuts

p1

p2

p3

p4

p1

p2

p3

p4

p1

p2

p3

p4

s-Kanalz.B. e+e–ff

t-Kanalz.B. ee

u-Kanalz.B. e– e–


2.6 KINEMATIK DER 22-STREUUNG

Zu den Mandelstam-Variablen: (fixed-target: )

CMS/ Labor/ Collider(*) fixed-target

Collider:

32*2

41

132*2

31

122*

12

21

2 )1(cos2

)(

)(2 )1(cos2

)(

2 )2()(

Ems

ppu

EEms

ppt

EmEpps

222 ,0 mEp

1p

2p

3p

4p

*


2.7 22-STREUUNG: WIRKUNGSQUERSCHNITT

Für Berechnung des Wirkungsquerschnitts nötig:1.|M|2 – das “Matrixelement”2.Einlaufender Teilchenfluss: 3.Zahl der Targetteilchen (pro Volumeneinheit)4.Dichte der freien Energiezustände5.-Funktion zur Energie/Impulserhaltung

Zu 2. Teilchenfluss:Mit Normierung u+u=2E istTeilchenfluss gegeben durch:

Zu 3. Zahl der Targetteilchen:Mit Normierung u+u=2E und V=1:

Zu 4. Zahl der Endzustände:Wieviele Zustände stehen für Teilchen 3 im Bereich zur Verfügung?

Zur Verfügung: Fermi: Phasenraum pro Teilchen:

Also Zahl der Zustände für Teilchen 3:

Aber: 2E3 Teilchen im betrachteten Testvolumen, also für Teilchen 3 nur erreichbar:

Ein solcher Faktor wird fürr jedes Endzustands-teilchen benötigt. Das Produkt dieser Terme ergibt zusammen mit der -Funktion zur Energie-/Impulserhaltung den invarianten Phasenraum (dLips = “lorentz-invariant phase-space”):

einj

11

1

1 2

2

Ev

EVv

jein

22E

bis 333 pdpp

3pd

333 )2()2( h

33

3

2pd

33

33

22 E

pd

34

43

33

33

214344

22222

E

pd

E

pdppppdLips


2.7 ZUM FLUSSFAKTOR

Jetzt: Kombination von Targetteilchenzahl und Teilchenfluss zum Flussfaktor F.Targetteilchenzahl*Teilchenfluss:

Behauptung:

Beweis: Rechte Seite lorentz-invariant betrachte fixed-target-Situation:

v ist Relativgeschwindigkeit von Teilchen 1 und 2.Im CMS-System folgt damit:

Also

214 EEvF

22

21

22121 )(44 mmppEEvF

212122111 ),0,( ),,( mEppmppEp

21121121

21

212

22

21

22

21

22

21

221 )(

EEvmEvmp

mEmmmmEmmpp

spEEp

EE

EEpEE

EEpEE

E

p

E

pEE

E

p

E

pEEF

ii

ii

4)(4

411

4

44

21

21

2121

2121

2

1

1

121

2

2

1

121

spF i4


In der 22-Reaktion legt beibekannten Eingangsimpulsen der Impuls von Teilchen 3 den von Teilchen 4 fest Integration über d3p4 im CMS:

Ausführen der Integration:

mit

Sei nun:

Definiere:

Also

und damit

Damit aber folgt:

Jetzt alles (Flussfaktor und Phasenraum) in die Definition des Wirkungsquerschnitts:

2.7 ZUM PHASENRAUMFAKTOR

43

43

33

21433

432

34

43

33

33

214344

42

1

22222

EE

pdpdppppEEs

E

pd

E

pdppppdLips

43

432

33

43

42EEs

EE

pddLipspd

ddpppdppp fff2

343

24

2

423

2

3 , mpEmpE ff

24

223

2

43 mpmpEEsW ff

4324

223

2

112

2

12

2

1

EEpdp

mp

p

mp

pdpWd ff

f

f

f

ff

WdEE

EE

pdp

ff

43

431

s

dp

WWEE

dp

EE

Wdddppdppd

f

f

fff

4)2(

)()(4)2(

4)2(

2

432

432

2

43

dMp

p

s

s

dp

spM

j

EMd

i

f

f

i

ein

f

2

2

2

2

2

1

64

1

4)2(4

1

)(


In der e–-Fermion-Streuung (unter Vernachlässigung der Massen) definiert man oft:

ist der Winkel zwischen Teilchen 1 und 3.

Damit folgt:

Das bedeutet für den Wirkungsquerschnitt:

2.7 WEITERE UMFORMUNG

p1 p2

p3 p4

q 22

312 Qppq

)1(cos2)(2

222

113131

3131312

ppEEpp

ppEEppQ

dpp

dpp

dppdQ

ppd

dQ

31

31

312

31

2

)cos(2

cos2

2cos

64

1 22dQM

spd

i


Wir hatten:

Die gesamte Rechnung umfasst zwei volle Seiten; hier nur die wesentlichen Schritte und Probleme.

Erste Komplikation: Spins!– Anfangszustand: Spins unbekannt Mittelung!– Endzustand: verschiedene Spins möglich mehr Phasenraum Summe über Spineinstellungen. Spingemitteltes Absolut-quadrat von M:

Das Ergebnis lautet:

Wenn man das mit dem Ergebnis für den Wirkungsquerschnitt zusammentut …

… dann folgt das endgültige Ergebnis für den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Elektron-Myon-Streuung:

Mit (im CMS):

2.7 DAS MATRIXELEMENT |M|2

2q

gi

)( 134 qppie )( 24

4 qppie

)( 1pu )( 2pu

)( 3pu )( 4pu

e–

e–

–

–

)()()()( 242132 pupu

q

gpupuieM

21 43, ,

22

4

1

ss ss

MM

2

224

, ,

222

4

1

21 43t

useMM

ss ss

2

2

1

64

1 M

p

p

sd

d

i

f

2

22

2

2 1

32

t

us

p

p

s

e

d

d

i

f

)1(cos2

* su)1(cos

2* s

t

2*

2*

2

2

2)cos1(

2)cos1(1

32

i

f

sp

pe

d

d


2.7 DAS MATRIXELEMENT |M|2: Teil 1

TEILCHENPHYSIK F ÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 21. April 2006

Documents

Transcript of TEILCHENPHYSIK F ÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 21. April 2006