TEMPUS PROJEKT: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS- · Fiziki proses kimi siqnal elektron...
122
Transcript of TEMPUS PROJEKT: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS- · Fiziki proses kimi siqnal elektron...
2
TEMPUS PROJEKT: 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS-JPCRANPASSUNG DES LEHRBETRIEBS AN DEN BOLOGNA
PROZESS IM INGENIEURSTUDIUM FÜR ASERBAIDSCHAN
Vorlesungsskript: Analoge und Digitale Signalverarbeitung
Für Studiengang: Bachelor-Automatisierunmgstechnik und
El.Energiertechnik
Dr. Ing. Mansurov Gadir (SUS) Prof.Dr.-Ing Rustamob Gazanfar (AzTU) Dr.-Ing. Jafarov Senan (ASOİU)
Baku 2015
AZƏRBAYCAN ÜÇÜN MÜHƏNDIS TƏHSILINDƏ TƏDRISIN
BOLONYA PROSESINƏ UYĞUNLAŞDIRILMASI 516678 TEMPUS-1-2011-1-DE-TEMPUS-JPCR TEMPUS LAYIHƏSI
Bakalavr tədris proqramı üzrə
Proseslərin avtomatlaşdırılması mühəndisliyi və Elektroenergetika mühəndisliyi ixtisasları üçün
Analoq və rəqəmsal siqnalların emalı fənnindən mühazirələr konspekti
Dos. Mansurov Qədir (SDU) Prof. Rüstəmov Qəzənfər (AzTU) Dos. Cəfərov Sənan (ADNSU)
Bakı 2015
3
INHALTSVERZEICHNIS Seite
1. KLASSIFIKATION DER SIGNALE
1.1. Signalbegriffe: Die festgesetzten Signale und zufälligen
Signale
6
1.2. Impulse von Signalen. Analoge, diskrete und digitale
Signale
7
2. DYNAMISCHE DARSTELLUNG DER SIGNALE
2.1. Dynamische Darstellung der Signale durch Sigma-Funktion 11
2.2. Dynamische Darstellung der Signale durch Delta-Funktion 14
3. VEKTORIELLE DARSTELLUNG DER SIGNALE
3.1. Energie und Norm der Signale 17
3.2. Orthogonale Signale und Orthonorme Systems der
Basisfunktionen
19
4. HARMONISHE DARSTELLUNG FÜR
PERIODISCHE SIGNALE
4.1. Periodische Signale und Fourier Reihe 22
4.2. Komplexe Form für Harmonischen Darstellungen 25
5. HARMONISHE DARSTELLUNG
FÜR NICHT PERIODISCHE
SIGNALE
5.1. Fourier -Transformation 26
5.2. Haupteigenschaften der Fourier -Transformation 28
5.3. Fourier -Transformation für
Faltungsprodukt von zwei Signalen.
Operation die Faltung
30
6. SPEKTRALE DICHTE FÜR
EINIGE FORMEN DER
FESTGESETZTEN SIGNALE
6.1. Spektrale Dichte für Videoimpulse 32
6.2. Spektralen Dichte für die nicht integrierten Signale 36
7. LAPLACE-DARSTELLUNG DER SIGNALE
7.1. Signaldarstellung in den komplexen Frequenzen 38
7.2. Laplace-Transformation 39
7.3. Haupteigenschaften der Laplace-Transformation 40
8. WAVELET DARSTELLUNG DER SIGNALE
8.1. Wavelet-Transformation 42
8.2. Eigenschaften der Wavelet-Transformation 44
9. ENERGETISCHE SPEKTRE DER
SIGNALE. DIE
KORRELATIONSANALYSE
9.1. Gegenseitige energetische Spektrum der Signale 48
4
9.2. Energetische Spektrum des Signales 51
9.3. Autokorrelation und gegenseitige Korrelation der Signale 52
10. ÜBERTRAGUNG DES
ANALOGSIGNALS DURCH
ORTSFESTE UND LINEARE
SZSTEME
10.1. Klassifikation der physikalischen Systeme von
Signalübertragung
54
10.2. Impulscharakteristik des signalübertragenden Systems 56
10.3. Übertragscharakteristik des signalübertragenden Systems 60
10.4. Frequenz Charakteristik des
signalübertragenden Systems in
komplexer Darstellung
62
11. SPEKTRALE METHODE DER ANALYSE DES
SIGNALIMPULSE
11.1. Wesen der spektralen Analyse für Impulse 63
11.2. Spektrale Analyse des Signalimpulses 66
11.3. Berechnungsmethoden der Übertragungsfunktion des
Signalimpulses
68
12. FILTRUNG DER ANALOGSIGNALE
12.1. Syntheseproblem der Signalwandler Schaltungen 69
12.1. Arten der aktiven Filter und Charakteristiken 69
12.3. Problem der Aufbau der Übertragungsfunktion für aktiven
Filter
73
12.4. Synthese der Schaltung für aktiven Filter 75
12.5. Synthese der Digital/Analog (D/A) - Wandler 78
13. DISKRETE DARSTELLUNG DER SIGNALE
13.1. Impulsmodulator für diskrete Signalfolgen 80
13.2. Spektrale Dichte von diskreten Signalfolgen 81
13.3. Digitale Darstellung von diskreten
Signalfolgen: Analog/Digital (A/D)-
Wandler
82
13.4. Theorem von Nyquist-Shannon 85
13.5. Aliasing-Effekt. Die Überlagerung der Spektren 86
14. DIE BEARBEITUNG DER DISKRETEN SIGNALE
14.1. Impulscharakteristik der linearen diskreten Systeme 87
14.2. Operation die diskreten Faltung 90
14.3. Operation die diskrete Korrelation 92
14.4. Algorithmus die diskreten Fourier-Transformation 93
14.5. Komplex und zweidimensional diskreten Fourier-
Transformation
95
14.6. Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation 97
15. DIGITALE FILTERUNG
5
15.1. Prinzip der digitalen Filterung 102
15.2. Lineal-digitale Filterung und Z- Transformation 103
15.3. Linear-digitaler Filterungsalgorithmus 106
15.4. Komplexe Frequenzcharakteristik des
digitalen Filters
107
16. FILTERUNGSALGORITHMUS
UND SYNTHESE WEISEN DER
LINEAR-DIGITALE FILTER
16.1. Algorithmus der Transversalen Filterungen 109
16.2. Algorithmus der Rekursiven Filterungen 112
16.3. Weise der Nutzung der Impulscharakteristik des
Analogprototypes
114
16.4. Weise der Nutzung der Häufigkeitscharakteristik des
Analogprototypes
116
16.5. Weise der Nutzung der Differentialgleichung des
Analogprototypes
119
LITERATUR 120
6
MÜNDƏRİCAT
Səh.
1. SİQNALLARIN TƏSNİFATI
1.1. Siqnal anlayışı. Determin və təsadüfü siqnallar
................................ 6
1.2. Siqnal impulsları. Analoq, diskret və rəqəmsal siqnallar 7
2. SİQNALLARIN DİNAMİK TƏSVİRİ
2.1. Siqma-funksiya vasitəsi ilə siqnalların dinamik təsviri 11
2.2. Delta-funksiya vasitəsi ilə siqnalların dinamik təsviri 14
3. SİQNALLARIN VEKTORİAL TƏSVİRİ
3.1. Siqnalın enerjisi və siqnal norması 17
3.2. Ortoqonal siqnallar və ortonormal bazis funksiyalar sistemi 19
4. PERİODİK SİQNALLAR ÜÇÜN HARMONİK TƏSVİR
4.1. Periodik siqnallar və Furye sırası 22
4.2. Harmonik təsvir üçün kompleks forma 25
5. QEYRİ-PERİODİK SİQNALLARIN HARMONİK
TƏSVİRİ
5.1. Furye çevirmələri 26
5.2. Furye çevirməsinin əsas xassələri 28
5.3. İki siqnal hasili üçün Furye çevirməsi. Uyuşma əməli 30
6. DETERMİNLİ SİQNAL FORMALARI ÜÇÜN
SPEKTRAL SIXLIQLAR
6.1. Videoimpulslar üçün spektral sıxlıqlar 32
6.2. İnteqrallanmayan siqnallar üçün spektral sıxlıqlar 36
7. SİQNALLARIN LAPLAS TƏSVİRİ
7.1. Kompleks tezliklərdə siqnal təsviri 38
7.2. Laplas çevirməsi 39
7.3. Laplas çevirməsinin əsas xassələri 42
8. SİQNALLARIN VEYVLET TƏSVİRİ
8.1. Veyvlet çevirmə 42
8.2. Veyvlet təsvirin xassələri 44
9. SİQNALLARIN ENERJİ SPEKTRLƏRİ.
KORRELYASİYA ANALİZİ
9.1. Siqnalların qarşılıqlı enerjisi spektri 48
9.2. Siqnalın enerji spektri 51
9.3. Siqnalların avto və qarşılıqlı korrelyasiyası 52
10. ANALOQ SİQNALIN STASİONAR VƏ XƏTTİ
SİSTEMLƏRDƏN ÖTÜRÜLMƏSİ
10.1. Siqnal ötürücü fiziki sistemlərin təsnifatı 54
10.2. Siqnal ötürücü sistemin impuls xarakteristikası 56
10.3. Siqnal ötürücü sistemin keçid xarakteristikası 60
10.4. Siqnal ötürücü sistemin kompleks-tezlik xarakteristikası 62
7
11. SİQNAL İMPULSU ANALİZİNİN SPEKTRAL
METODU
11.1. Siqnal impulsu analizi üçün spektral metodun mahiyyəti 63
11.2. Siqnal impulsu emalı dövrəsinin spektral analiz 66
11.3. Siqnal impulsu emalı dövrəsinin ötürmə funksiyasının
hesablanması üsulları 68
12. ANALOQ SİQNALLARIN FİLTRASİYASI
12.1. Siqnal çevirici qurğuların sintezi məsələsi 69
12.1. Aktiv süzgəclərin növləri və xarakteristikaları 71
12.3. Aktiv süzgəc üçün ötürmə funksiyalarının qurulması məsələsi 73
12.4. Aktiv süzgəc üçün elektrik dövrəsinin sintezi 75
12.5. Rəqəm-analoq çeviricisinin sintezi 78
13. SİQNALLARIN DİSKRET TƏSVİRİ
13.1. Diskret siqnallar ardıcıllığı üçün impuls modulyatoru 80
13.2. Diskret siqnal impulsları ardıcıllığının spektral sıxlığı 81
13.3. Diskret siqnal ardıcıllığının rəqəmsal təsviri: Analoq-rəqəm
çeviricisi 82
13.4. Nyquist-Şennon teoremi 85
13.5. Aliasinq effekti. Spektrlərin biri-birini örtməsi 86
14. DİSKRET SİQNALLARIN EMALI
14.1. Diskret xətti sistemin impuls xarakteristikası 87
14.2. Diskret uyuşma əməli 90
14.3. Diskret korrelyasiya əməli 92
14.4. Diskret Furye çevirməsi üçün hesablama alqoritmi 93
14.5. Kompleks və ikiölçülü diskret Furye çevirməsi 95
14.6. Çevik Furye çevirməsinin tətbiqləri 97
15. RƏQƏMSAL FİLTRASİYA
15.1. Rəqəmsal filtrasiyanın prinsipi 102
15.2. Xətti rəqəmsal filtrasiya və Z-çevirmə 102
15.3. Xətti rəqəmsal filtrasiya alqoritmi 103
15.4. Rəqəmsal süzgəcin kompleks tezlik xarakteristikası 106
16. FİLTRASİYA ALQORİTMLƏRİ VƏ XƏTTİ
RƏQƏMSAL SÜZGƏCLƏRİN SİNTEZİ ÜSULLARI
16.1. Transversal (qeyri-rekursiv) filtrasiya alqoritmi 109
16.2. Rekursiv filtrasiya alqoritmi 112
16.3. Analoq prototipinin impuls xarakteristikası üsulu 114
16.4. Analoq prototipinin kompleks-tezlik xarakteristikası üsulu 116
16.5. Analoq prototipinin diferensial tənliyi üsulu 119
Ədəbiyyat 120
8
1. SİQNALLARIN TƏSNİFATI
1.1. Siqnal anlayışı. Determinli və təsadüfü siqnallar
“Siqnal” sözü latın termini olan “Siqnum” sözündəndir və “işarə”
deməkdir. Müasir təsəvvürlərə görə siqnal fiziki obyektin halının zamana görə
dəyişməsini özündə əks etdirən, qeyd edən və daşıyan vasitədir. Qeyd olunan siqnal
məlumat adlanır. Məlumatın tərkibi informasiyalardan ibarət olur. İnformasiya
məlumatın elə tərkibi hesab olunur ki, qəbuledicidə obyekt haqqında hər hansı
qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırır. Aradan qaldırılan qeyri-müəyyənlik isə “yalan”
və ya “doğru” ola bilər. Bu səbəbdən, informasiyanın qiymətləndirilməsi üçün ikilik
say sistemindən istifadə əlverişli hesab olunur və informasiya miqdarının ölçü
vahidi olaraq bit (“binary digit” sözündəndir) götürülür. Bir bit informasiyanın elə
miqdarına deyilir ki, qəbuledicidə qeyri-müəyyənliyi iki dəfə azaldır. Məlumatın
tərkibi qəbuledicidə N sayda qeyri-müəyyənliyi aradan qaldırarsa, onda olan
informasiyanın miqdarı Ni 2log bit olar. Məsələn, imtahanın nəticəsini
gözləyən tələbədə qeyri-müəyyənliyin sayı 4-dür (qeyri-kafi, kafi, yaxşı və əla ola
bilər). Nəticə elan olunduqda, qeyr-müəyyənlik 4 dəfə azaldı, yəni elanda 2 bit
informasiya var.
İnformasiya nəzəriyyəsinin ilkin mərhələsi keçən əsrin 20-ci illərində Şennon
tərəfindən işlənilmişdir.
Fiziki proses kimi siqnal elektron ossiloqrafı, voltmetr və digər qurğular
vasitəsi ilə qeyd olunur. Siqnalı nəzəri öyrənilən obyekt kimi təsvir etmək üçün onun
riyazi modelindən istifadə olunur. Siqnalın riyazi modeli olaraq qeyd etdiyi və
daşıdığı fiziki kəmiyyətin zamandan asılılığı götürülür:
)(),(),( tftuts və s.
Əksər radiotexniki siqnallar elektromaqnit rəqslərinin mühitdə yayılması
yolu ilə daşınır.
Siqnalın nəzəri tədqiqi və emalı üçün onun riyazi modelinin seçilməsi ilkin
mərhələ hesab olunur. Riyazi model kimi seçilən funksional asılılıq həqiqi və ya
kompleks funksiyalar vasitəsi ilə ifadə oluna bilər. Seçim riyazi əlverişliliklə
bağlıdır. Radiotexniki siqnallara nümunə olaraq elektrik dövrəsinin sıxaclarındakı
gərginliyi, dövrənin budaqlarından axan cərəyanı, antenalarda yaranan induksiya
e.h.q. və induksiya cərəyanını və s. göstərmək olar.
Bir funksiya vasitəsilə ifadə olunan siqnal bir ölçülü adlanır. Birölçülü
siqnallar çoxluğu çoxölçülü siqnal adlanır:
)(),...,(),()( 21 tvtvtvtV N .
9
Məsələn, şəkil 1.1.1-də göstərilən çoxqütblünün sıxaclarındakı gərginliklərin
zamandan asılılığı çoxölçülü siqnaldır.
Çoxölçülü siqnalın modeli nizamı çoxluqdur:
1221 ,, vvvv .
Kompüterlərlə siqnalın emalını aparmaq üçün
çoxölçülü siqnal modeli daha əlverişlidir.
Zamanın verilmiş anında siqnalın ani
qiymətinin təyininə görə siqnallar təsadüfü və
determinli olurlar.
Əgər siqnal üçün riyazi model zamanın ixtiyari anında onun ani qiymətinin
təyininə imkan verirsə, belə siqnal determinli adlanır. Determinli siqnalın riyazi
modeli kimi riyazi formula, hesablama alqoritmi, hətta sözlərlə ifadə olunmuş təsvir
götürülə bilər.
Məsələn:
)cos()( tvtv m
riyazi formulu determinli siqnalı ifadə edir.
Təbiətdə ciddi determinli siqnal olmur. Məlumat mənbəyinə ətrafdakı fiziki
obyektlərin təyin oluna bilinməyən təsirləri, xaotik istilik fluktuasiyası və digər
faktorların təsirləri ona gətirib çıxarırlar ki, real siqnallar zamanın determinli deyil,
təsadüfü funksiyası olurlar. Belə siqnal təsadüfü siqnal adlanır. Təsadüfü siqnallara
həm də küylər aiddirlər və onlar qəbul olunan rəqslərin içərisindən informasiyanın
çıxarılmasına əngəl olurlar. Lakin, təsadüfü siqnalların özləri də obyekt haqqında
məlumat daşıyıcılarıdırlar.
Determinli və təsadüfü siqnallar arasında kəskin sərhəd yoxdur. Təsadüfü
siqnalların emal olunması statistik üsullarla ehtimal nəzəriyyəsinin riyazi aparatını
və təsadüfi proseslər nəzəriyyəsini tətbiq etməklə aparılır.
1.2. Siqnal impulsları. Analoq, diskret və rəqəmsal siqnallar
Sonlu zaman intervalında yaranan rəqslər siqnal impulsları adlanırlar. Siqnal
impulsları videoimpulslar və radioimpulslar olurlar (şəkil 1.2 .1-a, b).
10
Şəkli 1.2.1-c -də göstərilən təsvirlərdə )(max tUA v - videosiqnalın
amplitudı; ft - siqnal cəbhəsinin qalxma müddəti; ct - siqnalın kəsilmə müddəti;
- siqnalın davam müddətidir. Periodik təkrarlanan impulslar (şəkil 1.2.1-d) üçün
əsas parametrlərdən biri məsaməlik əmsalıdır: Tq / , T - impulsun
təkrarlanma müddətidir.
)(tUv videoimpulsa uyğun radioimpuls üçün ifadə aşağıdakı kimidir:
)cos()()( 00 ttUtU vr
İfadədə )(tUv - radioimpulsun əyicisi,
)cos( 00 t - doldurucusu,
00 t - fazası adlanır.
Siqnalı yaradan fiziki proses zamandan
asılı olaraq elə baş verərsə ki, zamanın ixtiyari
anında siqnalı qeyd etmək mümkün olsun,
onda belə siqnal analoq (kontinual) siqnal
adlanır. Videoimpulslar və radioimpulslar
analoq siqnallardır.
Zamanın diskret anlarında qeyd olunan siqnal diskret siqnal adlanır (şəkil
1.2.3).
Analoq siqnala nisbətən diskret siqnalın üstünlüyü onun vasitəsi ilə
çoxkanallılığın təmin edilməsidir. Diskret siqnallar vasitəsilə eyni rabitə xəttindən
11
istifadə etməklə müxtəlif mənbələrdən alınan siqnalları müxtəlif istifadəçilərə
göndərmək mümkün olur. Çoxkanallılıq rabitə kanalının zamana görə ayrılması
prinsipinə əsaslanır. Tezdəyişən analoq siqnallar üçün çox kiçik diskret addım tələb
olunur.
Rəqəmsal siqnal – diskret siqnalın xüsusi növüdür. Belə siqnalın qiymətinin
təsviri rəqəmlə ifadə olunur. Rəqəm siqnalının təsvirinin ikilik say sistemində
ifadəsi texniki reallaşdırma üçün daha əlverişlidir. Qeyd olunmalıdır ki, fiziki
cəhətdən istənilən diskret və ya rəqəm siqnalı analoq təbiətlidir, istənilən
diskretləşmə prosesi sonlu zaman intervalında baş verir.
Analoq siqnal həm amplituda, həm də zamana görə diskretləşdirilir.
Amplituda görə diskret siqnal eyni zaman intervalında videoimpulslar olur.
Videoimpulsların hündürlüyü (səviyyəsi) hesablama anındakı )(tS nin qiyməti
ilə mütənasib olur (şəkil 1.2.4-a).
Zamana görə diskretləşdirilən siqnallar üçün impulslar eyni hündürlüyə
malik olurlar, lakin müxtəlif zaman enliyində olurlar (şəkil 1.2.4-b). Zaman enliyi
impulsun davam müddətidir. Davam müddəti elə götürülür ki, alınan videoimpulsun
sahəsi siqnalın (videoimpulsun) ani qiyməti ilə mütənasib olur.
Videoimpulsların rəqəm formasında ifadəsi də videoimpulslar ardıcıllığı ilə
aparılır. İkilik say sistemi bu proses üçün ideal hal hesab olunur. Məsələn vahidi
ifadə etmək üçün yüksək elektrik potensialı, sıfırı ifadə etmək üçün isə alçaq elektrik
potensialı götürülə bilər.
12
2. SİQNALLARIN DİNAMİK TƏSVİRİ
Sxematexnikada siqnalların təsvirlərinin müxtəlif üsullarından istifadə
olunur. Siqnalın zamana görə dəyişməsini, keçmişdə, indiki anda və gələcəkdə onun
təsvirini ifadə etmək üçün real siqnal təxmini olaraq ardıcıl zaman fasilələrində baş
verən elementar siqnalların cəmi kimi ifadə olunur.
Belə elementar siqnalların davam müddəti sıfıra yaxınlaşarsa, onda limit hal
kimi ilkin siqnalın dəqiq təsvirini almaq mümkün olur. Siqnalın zamanın verilmiş
anları üçün elementar siqnallar vasitəsilə ifadə olunması onun dinamik təsviri
adlanır.
Elementar siqnal formaları ixtiyari seçilə bilər. Praktikada dinamik təsvir
üçün iki üsuldan, pilləli və düzbucaqlı impulslar üsullarından geniş istifadə olunur
(şəkil 2.1, a və b).
Pilləli üsulda elementar siqnallar diskret addım müddətində siqnalın artımını
özündən əvvəlki pillənin siqnalına əlavə olunması yolu ilə tərtib olunurlar:
)()( 11 kkkk ttssts
Düzbucaqlı impulslar üsulunda isə elementar siqnallar )(ts - əyrisini
bürüyən və biri birinə toxunan düzbucaqlı impulslardan ibarət olur.
k
kkk
k
k
tt
ttts
tt
ts
;0
;
;0
)(
13
Siqnalların dinamik təsvirində elementar siqnal formalarını ifadə edən
funksiyalar olaraq Hevisayd (siqma funksiya) və delta funksiyalarından geniş
istifadə olunur.
2.1. Hevisayd funksiyası vasitəsi ilə siqnalların dinamik təsviri
Fiziki obyektin bir vəziyyətdən (sıfır) digər vəziyyətə (vahid) keçməsini
riyazi təsvir edən funksiyalardan biri xətti qoşulma funksiyasıdır. Şəkil 2.1.1-də bu
funksiyanın qrafiki təsviri (a) və riyazi ifadəsi (b) verilmişdir.
Xətti qoşulma funksiyası üçün keçid xətti qanunla baş verir və 2müddətində davam edir. 0 olduqda keçid 0t anında baş verər və funksiya
belə ifadə olunar:
0,1
0,5.0
0,0
)(
t
t
t
t (2.1.1).
(2.1.1) ifadəsinə uyğun olaraq, keçid hər hansı -zaman anında baş verərsə
funksiya belə ifadə olunar:
0
0
0
0
,1
,5.0
,0
)(
tt
tt
tt
tt (2.1.2)
(2.1.1) ifadəsi və ümumi halda (2.1.2) ifadəsi ilə təyin olunan funksiya
Hevisayd funksiyası adlanır (Oliver Hevisayd, 1851-1925, İngilis fiziki). Hevisayd
funksiyası həm də siqma funksiya adlanır.
Fiziki obyektin bir haldan digər hala keçməsini ifadə etmək üçün digər
funksiyalardan da istifadə oluna bilər.
14
Məsələn: nte
tnu
1
1),( - ifadəsi ilə təyin olunan funksiya da keçid
xarakterli funksiyadır, n olanda 0t nöqtəsində sıçrayışla sıfır haldan
vahid hala keçir. Bu funksiya eksponensial qoşulma funksiyası da adlanır.
Misal 2.1.1. Davam müddəti
],[ 21 tt intervalda olan və
u - amplituda malik düzbucaqlı
impuls siqnalını Hevisayd funksiyası
vasitəsi ilə analitik ifadə etməli ( 1t -
impulsun cəbhəsinə, 2t - impulsun
kəsilməsinə uyğun zaman anlarıdır,
şəkil 2.1.2).
Həlli:
)()()( 21 ttttutv
Misal 2.1.2. Elektrik hərəkət qüvvəsi mənbəyi tte )( qanunu ilə xətti
dəyişir və ideal kommutator vasitəsilə zamanın anında xarici dövrəyə qoşulur
(şəkil 2.1.3,a). Bu sistem üçün riyazi modeli tərtib etməli.
Həlli:
).()( tttu
Riyazi modeli başqa formada da ifadə etmək olar. Belə ki, onu zamanın
anı üçün qoşulma funksiyası ilə xətti artan impulsun cəmi kimi ifadə etmək olar:
)()()()( ttttu
Şəkil 2.1.3-də komparatorun sxemi (a) və zaman diaqramının (b) təsviri
verilmişdir.
15
Tutaq ki, )(ts - siqnaldır və 0)0( ts qiymətlərə malikdir.
Bu siqnalın diskret addımlarla qiymətləri isə belədir (şəkil 2.1.4):
)....3();2();();0( 3210 ssssssss
Onda bu siqnalı elementar addım funksiyalarının cəmi kimi (pilləli) ifadə
etmək olar:
.)()()(
...)2()()()()()(
1
10
12010
k
kk ktssts
tsstsststs
0 şərti ilə limit qiymətə keçək. k - dəyişənini -ilə işarə etsək və
)( 1 kk ss - fərqini diferensialla əvəz etsək, ixtiyari siqnalın dinamik təsviri üçün
aşağıdakı ifadəni alarıq:
0
0 )()()(
dtd
dststs .
16
Misal 2.1.3. 2)(;0)0( tAtsts kimidir. Siqnalın dinamik
təsvirini yazmalı.
Həlli:
0
0 )(2)(2;0 dtAtstAdt
dss alarıq.
Alınan ifadə onu göstərir ki, elementar addımlardan cəmlənən siqnalın
səviyyəsi zamandan xətti asılı olur.
2.2. Delta funksiya vasitəsi ilə siqnalların dinamik təsviri
Siqnalı düzbucaqlı impulslarla ifadə etmək üçün delta funksiyadan istifadə
olunur. Hevisayd funksiyası vasitəsilə ifadə olunan düzbucaqlı impuls üçün riyazi
ifadə aşağıdakı kimidir:
)]2
()2
([1
),(
tttv .
İfadəyə uyğun qrafiki təsvir şəkil 2.2.1 - də göstərilmişdir.
Belə impulsun əsas xassəsi ixtiyari seçilmiş - üçün
1),( dttv - olmasıdır. Digər xassə, 0 olduqda impulsun davam
müddətinin azalması (şəkil 2.2.1, a) və sahənin vahid qalması üçün impulsun
qiyməti qeyri-məhdud artmasıdır(şəkil 2.2.1, b). 0 şərtində qeyd olunan
funksiya Dirak funksiyası və yaxud delta-funksiya adlanır:
17
),(lim)(0
tvt
.
Delta-funksiyanın əsas xassələrindən biri onun qiymətlərinin
0t - nöqtəsindən başqa digər nöqtələrdə sıfır olmasıdır.
Digər əsas xassə
1)( dtt - olmağıdır.
Limit qiymətlərdə delta funksiya xassəsinə malik olan digər funksiyalar da
mövcuddur:
;)sin(
lim)(t
tnt
n
)2
exp(2
lim)(2tnn
tn
.
Delta funksiya vasitəsi ilə )(ts - siqnalını
dinamik təsvir etmək üçün biri-birinə toxunan
düzbucaqlı impulslar ardıcıllığı üsulunu tətbiq edək
(şəkil 2.2.2).
Düzbucaqlı impulslardan k -cı üçün Hevisayd
funksiyası belə ifadə olunur:
)]()([),( kkk ttttstk
Onda )(ts -siqnalı elementar düzbucaqlı
)(tk - funksiyaların cəmi kimi ifadə olunar:
k
k tts )()( .
Bu cəm üçün 1 kk ttt intervalında yeganə hədd sıfırdan fərqlidir:
)]()([),( kkk ttttstk .
Onda, )(ts üçün aşağıdakı ifadəni yazmaq olar:
18
)]()([1
)(k
kkk ttttsts .
Bu ifadədə 0 şərti ilə limitə keçək:
)()]()([1
lim0
ttt
olduğunu nəzərə alaraq cəmi inteqralla əvəz etsək delta-funksiya vasitəsi ilə siqnalın
dinamik təsviri üçün aşağıdakı ifadəni alarıq:
dtsts )()()( (2.2.5).
İfadədən göründüyü kimi, delta funksiya tezlik xarakterli kəmiyyətdir və ölçü
vahidi Hssan/1 dir.
Xassə: Kəsilməz )(s - siqnalını )( t - funksiyasına vurub -ya görə
inteqrallasaq delta funksiyasının yığıldığı - nöqtəsi üçün )(ts – siqnalının
qiymətini almış olarıq. Bu xassə delta funksiyasının süzgəc xassəsi adlanır.
Xassəyə uyğun əməliyyatın sxeminin təsviri şəkil 2.2.3-də göstərildiyi
kimidir. 12 tt zaman intervalı nə qədər qısa olarsa )(s - bir o qədər dəqiq
olar.
19
3. SİQNALLARIN VEKTORİAL TƏSVİRİ
3.1. Siqnalın enerjisi
Siqnalın enerjisi
dttsEs )(2 - kimi hesablanır. Siqnal kompleks
funksiya kimi ifadə olunduqda isə
dttstsEs )(ˆ)( kimi hesablanır.
sEs kəmiyyəti siqnalın norması (modulu) adlanır.
Misal 3.1.1. Siqnal impulsu üçün riyazi ifadə )0(,)( 0
0
0
ttu
ts
kimidir. İmpulsun enerjisini və normasını ifadə etməli.
Həlli:
.3
;3
)( 0
0
0
2
0
0
2
2
0
2
020
usu
dttu
dttsEs
İki siqnal cəminin enerjisi aşağıdakı kimi ifadə olunar:
uvdtEEdtvuE vu 2)( 2 (3.1.1)
Burada,
uvdtE vu 2, - ifadəsi iki siqnal üçün qarşılıqlı enerji adlanır.
İki siqnal cəminin enerjisi üçün (3.1.1) ifadəsini iki vektoru cəminin ifadəsi
ilə müqayisə edək:
cos2222 abbac .
Müqayisədən göründüyü kimi, vektorların skalyar hasilini ifadə edən
cos)( abba
həddi siqnalların qarşılıqlı enerjisinin
dttvtuvu )()(),(
həddi ilə uyğunluq təşkil edir.
20
Qeyd olunan uyğunluq əsasında siqnallar vektorlar kimi təsvir olunur və
siqnal emalında onların skalyar hasilindən istifadə olunur:
dttvtuvu )()(),(
Vektorlar kimi təsvir olunan iki siqnal arasındakı bucağın kosinusu belə
qiymətləndirilir:
vu
vu
),(cos .
Skalyar hasilin əsas xassələri siqnal vektorlarına da aid edilir. Bu xassələr
aşağıdakılardır:
).,(),(),(
);,(),(
);,(),(;0),(
wvwuwvu
vuvu
uvvuvu
Bu xassələr ödənilən fəza Hilbert fəzası adlanır.
Misal 3.1.2. İki siqnal verilmişdir (şəkil 3.1.1). 2u -siqnalı 1u -siqnalını
2mksan müddət qabaqlayır. Siqnalların enerjilərini, skalyar hasilinin qiymətini,
siqnal cəminin enerjisini və siqnallar arasındakı bucağı təyin etməli.
Həlli: Siqnalların enerjiləri bərabərdir:
0
2452
2
2
1 )(1025.1)102exp(25 sanVtuu
Skalyar hasillərin qiymətinin hesablanması:
21
).(10023.1
]102(10exp[)10exp(25),(
24
0
655
21
sanV
dtttuu
Siqnallar arasındakı bucağın hesablanması:
.35819.0),(cos 0
21 uu
3.2. Ortoqonal siqnallar və ortonormallaşdırılmış bazis funksiyalar
sistemi
Siqnalların ortoqonallıq şərti onların skalyar hasilinin sıfır olmağıdır:
0)()(),( dttvtuvu .
Tutaq ki, ],[ 21 tt - zaman intervalında təyin olunmuş, normaları vahid olan
sonsuz sayda funksiyalar çoxluğu verilmişdir:
,...,...,, 21 nuuu .
Bu funksiyaların skalyar hasili üçün aşağıdakı şərt ödənilir:
ji
jiuu ji
,0
,1),(
Belə funksiyalar sistemi ortonormallaşdırılmış bazis funksiyalar sistemi
adlanır.
Tutaq ki, )(ts siqnalı verilmişdir. Bu siqnal üçün aşağıdakı ifadə
verilmiş )(tui bazisində ümumiləşmiş Furye sırası adlanır:
1
)()(i
ii tucts
22
Bu sıranın ic əmsallarını tapmaq üçün
1
)()(i
ii tucts - ifadəsinin hər
iki tərəfi ixtiyari ku - bazis funksiyasına vurulur və nəticə siqnalın təyin olduğu
zaman intervalında inteqrallanır:
2
1
2
11
)()(
t
t i
t
t
kiik dtuucdttuts .
ki uu , - ortoqonal funksiyalar olduqlarından ifadənin sağ tərəfi yeganə hədd
olur:
2
1
),()()(
t
t
kkk usdttutsc .
Furye əmsallarının təyininin struktur sxemi şəkil 3.2.1-də göstərildiyi
kimidir.
Furye əmsalları əsasında siqnalın enerjisi
0
2
i
is cE - kimi ifadə olunur.
Bu onu göstərir ki, siqnalın enerjisi, onun təşkiledicilərinin enerjiləri cəminə
bərabərdir.
Qarşılıqlı ortoqonal olan funksiyaların sonsuz sistemlərindən bir tipini
harmonik siqnallar sistemi təşkil edir. ],0[ T - zaman intervalında harmonik
siqnallar üçün ortonormallaşdırılmış funksiyalar sistemi aşağıdakı kimidir:
23
);...2
cos(2
);2
sin(2
);.....;2
cos(2
);2
sin(2
;1
2
12210
T
mt
Tu
T
mt
T
uT
t
Tu
T
t
Tu
Tu
m
m
Diskret siqnalların emalı üçün daha çox istifadə olunan Yolşun
ortonormallaşdırılmış funksiyalar sistemidir. Yolş funksiyaları sistemi
]2
,2
[ TT - intervalda təyin olunub və yalnız 1 qiymətlər alır.
Yolş funksiyalarına uyğun siqnallar mikroelektron açar qurğuları vasitəsilə
asanlıqla reallaşdırılır.
Yolş sisteminin k -cı funksiyası belə işarə olunur:
Ttvvkwal /);,( .
Yolş funksiyaları üçün müxtəlif analitik ifadələr təklif olunmuşdur. Ən çox
istifadə olunan analitik ifadə rekuret munasibət əsasında yazılandır:
...2,1,0
,)2
12,()1()
2
12,()1(),2(
]2
[
n
vnwalvnwalvpnwal pnpn
Burada ]2
[n - ifadəsi 2
n -yə bərabər və ya ondan az olan ən böyük tam
ədədi göstərir;
p - ədədi sıfır və ya vahid qiymətlər alır;
2
1
2
1 v - intervalda constvwal ),0( olur.
Yolş funksiyaları vasitəsilə ]2
,2
[ TT - intervalda sonlu enerjili siqnal
üçün ümumiləşdirilmiş Furye sırası üçün ifadə aşağıdakı kimidir:
0
);,()(k
kT
tvvkwalcvs .
Yolş funksiyalarının bir neçəsi üçün qrafik təsvirlər şəkil 3.2.2-də
göstərilmişdir.
24
4. PERİODİK SİQNALLAR ÜÇÜN HARMONİK TƏSVİR
4.1. Periodik siqnallar və Furye sırası.
Siqnalların dinamik təsvirində bazis funksiyaları kimi ortonormal harmonik
funksiyalar sistemindən istifadə bir sıra üstün cəhətlərə malikdir.
Məsələn: Xətti sistemlər üçün harmonik siqnalların çevrilməsi invariantdır.
Xətti sistemin girişinə harmonik təsir etdikdə sistemin çıxış siqnalı da harmonik
olur. Çıxış siqnalı giriş siqnalından yalnız amplituda və faza ilə fərqlənir. Texniki
cəhətdən də harmonik siqnalların generasiyası çox sadədir.
Hər hansı siqnalın müxtəlif tezlikli harmonik funksiyaların cəmi kimi təsvir
edilməsi bu siqnalın harmonik bazisdə spektral ayrılması adlanır. Siqnalın harmonik
komponentlərinin tezliyə görə paylanması isə spektr adlanır.
Siqnal üçün periodiklik şərti ,...2,1);()( nTntsts kimidir.
T - siqnalın periodudur.
Harmonik bazis funksiyalar üçün ]2
,2
[ TT zaman intervalında
ortonormallaşdırılmış sistemin ifadələrini əsas tezliklə T
21 ifadə edək:
25
);...cos(2
);sin(2
);.....;cos(2
);sin(2
;1
12112
12110
tmT
utmT
u
tT
utT
uT
u
mm
Ümumiləşdirilmiş Furye sırasının
0
2/
2/
)()(),();()(m
T
T
mmmmm dttutsusctucts
ifadəsini ortonormallaşdırılmış harmonik bazis funksiyaları vasitəsilə ifadə
edək:
2/
2/
1
2/
2/
1
1
2/
2/
0110
;)sin()(2
;)cos()(2
;)(2
);sin()cos((2
)(
T
T
n
T
T
n
n
T
T
nn
dttntsT
bdttntsT
a
dttsT
atnbtnaa
ts
Göründüyü kimi periodik siqnal sabit tərkibdən )2
( 0a və
,...2,1,1 nnn tezlikli harmoniyalardan ibarətdir.
Hər harmoniya amplitud )( nA və faza )( n ilə xarakterizə olunur.
)(;sin;cos 22
n
n
nnnnnnnnnna
barctgbaAAbAa
olduğunu nəzərə alsaq Furye sırası belə ifadə olunar:
1
10 )cos(
2)(
n
nn tnAa
ts
Əksər hallarda tezliyin normallaşdırılmış (gətirilmiş) qiymətlərindən
)(1
istifadə olunur. )(nA asılılığı amplitud-tezlik xarakteristika,
)(n asılılığı isə faza-tezlik xarakteristika adlanır. Xarakteristikaların təsviri
26
şəkil 4.1.1-də verilmişdir. )(nA asılılığını bilmək daha faydalıdır, çünki hər
hansı harmoniyanın spektrdə rolunu qiymətləndirməyə imkan verir.
Misal: 3.1.1. Məlum parametrlərə ),,( AT malik düzbucaqlı
videoimpulslar ardıcıllığını Furye sırası vasitəsi ilə ifadə etməli.
Həlli:
Tq kəmiyyəti siqnalın məsaməlik əmsalı adlanır. 0t
nöqtəsinə nisbətən cüt olan Furye əmsalları üçün aşağıdakı ifadələri alarıq:
2/
2/
11
0 )2
sin(2
)cos(2
;2
n
n
Adttn
T
Aa
q
Aan
.
Onda düzbucaqlı videoimpulslar ardıcıllığı üçün Furye sırasının ifadəsi
)]cos(
)sin(
21[2
)( 1
1
tn
q
n
q
n
Ats
n
kimi olar.
27
4.2. Furye sırası üçün kompleks forma.
Harmonik funksiyaların kompleks ifadələrlə təsvir edilməsinin Eyler
münasibətlərindən istifadə etsək Furye sırası üçün aşağıdakı ifadəni yaza bilərik:
]2
)exp()exp(
2
)exp()exp([
2)(
11
1
110
j
tjntjnb
tjntjna
ats
n
n
n
.
)0(,...,2,1,2
nnjba
c nnn
kompleks əmsal təyin etsək, 0n
qiymətlər üçün *
2n
nn
n cjba
c
ifadəsi nc əmsalına kompleks qoşma olar.
0n qiymətlər harmonik tezliklərin mənfi qiymətləri deməkdir. Mənfi tezlikli
harmoniyalar üçün də cəmləmə təşkil etsək Furye sırasının kompleks forması üçün
aşağıdakı ifadəni yazmaq olar:
n
n tjncts )exp()( 1
Deməli, n-ə nəzərən na cüt funksiya, nb isə tək funksiyadır.
Furye sırasının kompleks forması üçün spektral əmsallar aşağıdakı kimi ifadə
olunur:
dttjntsT
c
T
T
n
2/
2/
1 )exp()(1
Furye sırası üçün kompleks təsvirdən göründüyü kimi, )(ts -siqnalının
həqiqi ədədlərlə ifadə olunmasına baxmayaraq, ifadənin sağ tərəfindəki cəmlənən
hədlər, yəni Furye sırasının hədləri kompleks ədədlərdir.
Bu onu göstərir ki, cüt-cüt götürülmüş mənfi və müsbət tezlikli harmonik
təşkiledicilərin vektorial cəmi həqiqi ədəd oxu üzərinə düşür. Aşağıdakı ifadə bu
təklifi təsdiq edir:
)cos(2 111
nn
tjn
n
tjn
n tncecec
Buradan belə nəticə alınır ki, mənfi və müsbət tezliklərə uyğun spektral
əmsalların vektorlar kimi toplanmasından alınan yekun vektor həqiqi ədəd oxu
üzərində yerləşir. Belə toplamanı həndəsi təsvir etmək daha sadədir və şəkil 4.2.1-də
göstərildiyi kimidir.
28
5. QEYRİ-PERİODİK SİQNALLARIN HARMONİK TƏSVİRİ
5.1. Furye çevirmələri
Tutaq ki, )(ts siqnalı sonlu davam müddəti olan impuls siqnalıdır (şəkil
5.1.1,a). Belə tək impulslardan ibarət periodik ardıcıllıq təsəvvür edək (şəkil 5.1.1,
b).
Təsəvvür olunan periodik ardıcıllıq üçün Furye sırası yazmaq olar:
n
T
T
pernnper dttjntsT
ctjncts
2/
2/
11 )exp()(1
);exp()( .
T olduqda bu sıra ilkin verilən )(ts videoimpulsa aid olar. Bu zaman,
iki ardıcıl 11 )1(, nn harmoniyaları o qədər yaxın olurlar ki, 1n
tezliyi əvəzinə tezliyi yazmaq olar. T olduğu üçün nc amplitud
əmsalları da sonsuz kiçik olurlar. Məqsədimiz T şərtinə uyğun Furye sırası
29
üçün ifadə almaqdır. Mərkəzi 0 tezliyi ətrafında kiçik tezlik diapazonu
qəbul etsək, bu diapazonda
1
N sayda spektral komponent olar. Bu
komponentlərinin tezlikləri çox az fərqləndiklərindən onların hamısı üçün eyni
tezlik )( 0 və eyni kompleks amplitud yazmaq olar:
dttjtsT
c )exp()(1
0
oblastda yerləşən spektral komponentlərin hamısının cəmini təyin
edən kompleks amplitud aşağıdakı kimi ifadə olunar:
).()exp()()exp()(
2000
Sdttjtsdttjts
T
NA
Bu ifadədə
dttjtsS )exp()()( (5.1.1)
inteqralı )(ts -siqnalı üçün düz Furye çevirməsi adlanır və siqnalın spektral
sıxlığını ifadə edir.
Sadəlik üçün, düz Furye çevirməsi )()( Sts işarə olunur.
)()( tsS çevirməsi də mümkündür və tərs Furye çevirməsi adlanır:
nT
nT
nntjnnsts
nnT
tjnnsT
ts
].)1()[exp()(2
1lim)(
];)1([2
1
2
1
);exp()(1
lim)(
1111
111
11
Buradan da tərs Furye çevirməsi üçün
dtjSts )exp()(2
1)( , (5.1.2)
30
ifadəsini alarıq.
Tərs Furye çevirməsi )()( tsS kimi də işarə olunur.
Duz və əks Furye çevirmələri ( )()( Sts ) siqnalların riyazi emalı üçün
əvəzolunmaz üsuldur. Siqnalları tezlik oblastında təsvir etmək onun emalını
sadələşdirir, onların müxtəlif elektron və radiotexniki sistemlərdən ötürülməsi
zamanı hansı dəyişkənliyə uğrayacağını analiz etməyə imkan verir.
Riyazi yolla isbat olunur ki, siqnalın düz Furye çevirməsinin olması üçün o
mütləq inteqrallanan olmalıdır:
dtts )(
Bu şərt spektral analiz oluna biləcək siqnalların növlərini məhdudlaşdırır.
Məsələn, )cos()( tAts harmonik siqnalı üçün klassik üsulla Furye
çevirməsi aparmaq mümkün deyil, çünki, bu siqnal təyin olduğu sonsuzluq oblastda
mütləq inteqrallanan deyil. Buna baxmayaraq, müasir riyazi metodları tətbiq
etməklə mütləq inteqrallanmayan siqnallar üçün də Furye çevirməsi aparmaq
mümkündür. Bu məqsədlə işlənilən üsullarda spektral sıxlıq üçün ifadələr klassik
üsullarla deyil ümumiləşmiş funksiyalar vasitəsilə ifadə olunur.
5.2. Furye çevirməsinin əsas xassələri
Furye çevirməsinin əsas xassələri çevirmə zamanı siqnalın zaman və tezlik
oblastlarda təsvirlərinin qarşılıqlı uyğunluğu ilə təyin olunur. Siqnal emalında geniş
istifadə olunan belə xassələr aşağıda qeyd olunduğu kimidir:
1. Xəttilik xassəsi:
i -sayda siqnalın cəmi üçün i i
iiii Srtsr )()( kimidir, burada
ir ixtiyari ədədi sabitdir.
2. Cütlük xassəsi:
Spektral sıxlığın həqiqi hissəsi cüt funksiya, xəyali hissəsi isə tək funksiyadır.
)(ts - həqiqi qiymətlərə malik siqnal olsa da, ümumi halda, onun spektral sıxlığı
kompleks kəmiyyətdir:
)()()sin()()cos()()( jBAdtttsjdtttsS .
31
)()( tsS tərs Furye çevirməsi həqiqi ədəd olmalıdır:
dtjtjBAts )]sin())][cos(()([2
1)(
İfadənin həqiqi qiymət almağı üçün aşağıdakı şərtlər ödənməlidir:
0)cos()(;0)sin()( dttBdttA
Bu şərtlərə əsasən, tezliyə görə )()( AA cüt funksiyadır,
)()( BB isə tək funksiyadır.
3. Zamana görə ləngimə xassəsi:
Tutaq ki, )()( Sts kimidir. Onda - müddət gec başlayan eyni
siqnal üçün çevirmə belə olar:
)exp()()( jSts
4. Zamana görə sıxma və genişləndirmə xassəsi:
Zaman miqyasını ktt kimi dəyişməklə siqnalı zamana görə sıxmaq (
1k ) və genişləndirmək ( 10 k 0) olar. )()( Sts olarsa, ktt
üçün çevirmə belə ifadə olunar:
)(1
)(k
Sk
kts
Xüsusi halda, 1k qəbul etsək, onda )()( Sts olar. Yəni,
zamanı tərsinə çevirdikdə spektral sıxlıq dəyişmir, ancaq müsbət və mənfi tezlikli
spektrlər qarşılıqlı əvəz olunurlar, harmonik komponentlərin başlanğıc fazaları isə
qədər sürüşürlər. Bu isə siqnalın güzgü əksi deməkdir.
5. Diferensialı hesablama xassəsi:
Tutaq ki, )()( Sts kimidir. Siqnalın diferensialı üçün:
)()(
Sjdt
tds
Həqiqətən də,
32
).(
)exp()exp()exp(
Sj
dttjsjtjsdttjdt
ds
dt
ds
Qeyd: Diferensialı funksiyaya nisbətən daha kəskin dəyişdiyi üçün, yuxarı
tezliklərdə diferensialın spektri funksiyanın spektri ilə müqayisədə daha böyük
qiymət alır.
Siqnalın n -ci tərtibdən diferensialı üçün Furye çevirməsi:
)()()(
Sjdt
tsd n
n
n
Göründüyü kimi, tezlik oblastı üçün j ifadəsi diferensialı hesablama
operatorudur.
6. İnteqralı hesablama xassəsi:
Tutaq ki, )()( Sts kimidir. Onda siqnalın inteqralı üçün çevirmə
belə ifadə olunar:
j
Sdtts
)()(
Yəni, j
1 - ifadəsi tezlik oblastda inteqralı hesablama operatorudur.
Qeyd: İnteqrallama əməli siqnalı hamarlayır.
5.3. İki siqnal hasili üçün Furye çevirməsi. Uyuşma əməli
Məlum spektral sıxlıqlar əsasında iki siqnal hasilinin spektral sıxlığını
hesablamaq tələb olunur.
Tutaq ki, )()()( tvtuts iki siqnalın hasilidir, )()( Utu və
()( Vtv bu siqnallar üçün Furye çevirmələridir.
Siqnalların hasili üçün düz Furye çevirməsi belə ifadə olunar:
dttjtvtuS )exp()()()(
33
Bu ifadədə )(tv ni bu siqnalın tərs Furye çevirməsi ilə əvəz edək:
.)exp(])exp()()[(2
1
)exp()()()(
dttjdtjVtu
dttjtvtuS
İnteqrallama ardıcıllığını dəyişsək aşağıdakı ifadəni alarıq:
.)()(2
1
}])(exp[)(){(2
1)(
dUV
ddttjtuVS
Bu ifadədə
)(*)()()( UVdUV
inteqralı )(tu və )(tv siqnalları üçün tezlik oblastda uyuşma əməli adlanır.
Uyuşma əməli simvolik olaraq )(*)( UV kimi işarə olunur.
Beləliklə, iki siqnal hasilinin spektral sıxlığı bu siqnalların spektral sıxlıqları
üçün uyuşmanın sabit 2
1 ədədinə hasilinə bərabərdir:
)(*)(2
1)()(
VUtvtu .
Uyuşma əməli kommutativdir:
)(*)()(*)( VUUV .
Siqnalların spektral sıxlıqlarının hasili əsasda zaman oblast üçün də uyuşma
əməli təyin olunur. Tutaq ki,
)()(),()( 2211 tsStsS
34
kimidir və spektral sıxlığı )()()( 21 SSS kimi qiymətləndirilən siqnal
üçün zaman oblasta ifadə tələb olunur. Bu halda, )()( Sts çevirməsi
zaman oblastında )(1 ts və )(2 ts funksiyalarının uyuşması kimi hesablanır:
dststs )()()( 21.
6. DETERMİNLİ SİQNAL FORMALARI ÜÇÜN SPEKTRAL
SIXLIQLAR
6.1. Videoimpulslar üçün spektral sıxlıqlar
Düzbucaqlı videoimpuls üçün spektral sıxlıq: Tutaq ki, u və - uyğun
olaraq, düzbucaqlı videoimpuls üçün amplituda və davam müddətidir. Hevisayd
funksiyası vasitəsi ilə bu impuls belə ifadə olunur:
)]2
()2
([)(
ttuts .
Belə siqnal üçün spektral sıxlıq aşağıdakı kimi ifadə olunar:
2/
0
2/
2/
2/
2/
.2
sin2
cos2
)sin(cos)exp()(
utdtu
dttjtudttjuS
Göründüyü kimi düzbucaqlı videoimpuls üçün spektral sıxlıq tezliyin həqiqi
funksiyasıdır. 2
işarə etsək
sin)( uS alarıq.
uS )0( - kimidir.
Şəkil 6.6.1-də )(ts asılılığının (a) və )0(/)( SS asılılığının (b)
təsvirləri verilmişdir.
35
Eksponensial qanunla dəyişən videoimpulsun spektral sıxlığı: Tutaq ki,
eksponensial qanunla dəyişən videoimpuls belə ifadə olunur:
)()exp()( ttuts
Baxmayaraq ki, bu videoimpuls ],[ intervalında təyin olunub, onu
şərti olaraq impuls kimi qəbul etmək olar.
Belə ki, 0 olduqda siqnal amplitudı üçün onun 10 dəfə azalmasına
uyğun müddəti siqnalın davam etməsi kimi qəbul etmək olar:
/3026.21.0)exp( .
Eksponensial impuls üçün spektral sıxlıq aşağıdakı kimi ifadə olunar:
j
u
j
eudteudteeuS
t
tjtjtjt
0 0
0
)()()(
.
Eksponensial videoimpuls üçün əsas xassələr bunlardır:
1. )(S spektral sıxlıq kompleks kəmiyyətdir, modulu və fazası aşağıdakı
kimi ifadə olunur:
)arctan()(;)()];(exp[)()(22
uSjSS
Tezliyin heç bir qiymətində )(S sıfır olmur;
Eksponensial impuls üçün uyğun qrafiki təsvirlər şəkil 6.1.2-də verilmişdir.
36
Qaus videoimpulsun spektral sıxlığı: Qaus videoimpulsu aşağıdakı kimi
ifadə olunur:
)exp()( 2tuts
İmpulsun davam müddəti kimi u1.0 səviyyəsinə uyğun zaman intervalını
götürsək
/035.31.0)2
exp( olar.
Videoimpulsun spektral sıxlığı isə belə ifadə olunar:
0
2
)4
exp()(2
udteeuS tjt
.
İnteqralı açmaq üçün onun
dxx )exp( 2cədvəl inteqralına
gətirilməsindən istifadə olunur.
Qaus videoimpulsun spektral sıxlığı həqiqidir və Qaus funksiyası ilə ifadə
olunur.
Videoimpulsun və spektral sıxlığının təsviri qrafiki şəkil 6.1.3-də verilmişdir.
37
Delta impuls üçün spektral sıxlıq: 0t nöqtəsinə yığılan və
A - amplituda malik delta impuls belə ifadə olunur:
)()( tAts .
İmpulsun spektral sıxlığı isə belə ifadə olunur:
.)()exp()( constAdtttjAS
Delta impuls bütün tezliklər üçün eyni spektral sıxlığa malikdir.
Spektrin eni: Siqnal impulsunun spektral sıxlığının modulunun maksimum
qiymətinin 5.0 hissəsindən az olmadığına uyğun tezlik intervalı spektrin eni
adlanır. Hesablamalar göstərir ki, siqnal impulsunun davam müddətinin onun
spektral eninə hasilinin qiyməti impulsun forması ilə təyin olunur və təqribən vahid
tərtibindədir.
Məsələn, 2/enenf xətti tezliyi təyin etsək, düzbucaqlı
videoimpuls üçün 21.1enf , eksponensial videoimpuls üçün 28.1enf
, Qaus videoimpulsu üçün isə 61.1enf qiymətlərə malikdir.
Ümumi xassə ondan ibarətdir ki, impulsun davam müddəti qısaldıqca onun
spektral eni genişlənir. Bu səbəbdən də, qısa impulslu maneələr geniş spektral
diapazonda küy yaradırlar ki, bu da radiorabitənin pisləşməsinə gətirib çıxardır.
38
6.2. İnteqrallanmayan siqnallar üçün spektral sıxlıqlar
1. Sabit constu 0 siqnalın spektral sıxlığını hesablamaq üçün belə hesab
edək ki, onun üçün tərs Furye çevirməsi yazmaq mümkündür:
dttjSu )exp()(2
10
.
Bu ifadənin doğru olması üçün isə )(2)( 0 uS olmalıdır.
Deməli, )(2 00 uu sabit siqnal üçün Furye çevirməsidir.
İfadə onu göstərir ki, zamana görə sabit siqnal yeganə spektral komponentə
malikdir və bu komponent tezliyin sıfır qiyməti üçündür.
2. Kompleks eksponensial siqnal üçün Furye çevirməsi belədir:
)(2)exp( 00 tj
İfadə onu göstərir ki, kompleks eksponensial siqnal üçün spektral sıxlıq
0 tezlikdən başqa tezliklərdə sıfırdır.
Digər tərəfdən, 0 nöqtəsinə nəzərən siqnalın spektri simmetrik deyil,
spektr ya müsbət, ya da ki, mənfi tezlik oblastındadır.
3. Harmonik siqnallar üçün Furye çevirmələri göstərildiyi kimidir:
)].()([)sin()(
)];()([)cos()(
000
000
jtts
tts
4. İxtiyari periodik siqnal üçün Furye çevirmələri.
Tutaq ki, ixtiyari periodik siqnal Furye sırası ilə ifadə olunmuşdur:
n
n tjnCts )exp()( 1 .
Bu cəmin spektral sıxlığı üçün ifadə belə olar:
n
n nCS )(2)( 1 olar.
39
Spektrin təsviri şəkil 6.2.1-də
göstərildiyi kimidir.
5. Hevisayd funksiyası üçün
Furye çevirməsi:
0,0
0,1)(
t
tt - ifadəsinə
eksponensial videoimpulsun limit halı
kimi baxmaq olar:
.0,0
,0),exp(lim)( 0
t
ttt
Buna görə də, Hevisayd funksiyasının spektral sıxlığı üçün ifadə
eksponensial funksiyanın ifadəsində 0 sərti əsasında ifadə oluna bilər:
jt
1lim)(
0.
0 tezliyindən başqa tezliklər üçün
j
t1
)( kimidir. Tezliyin
sıfır qiyməti də nəzərə alınmaqla çevirməni belə ifadə etmək olar:
jt
1)()( .
Hevisayd funksiyası üçün çevirmənin delta funksiya xarakterli olması onu
göstərir ki, bu siqnalda 1/2- qiymətə malik sabit tərkib mövcuddur.
6. Radioimpulslar üçün spektral sıxlıq.
Radioimpuls )cos()()( 00 ttutu vr kimi ifadə olunur.
Spektral sıxlıq üçün riyazi ifadə almaq üçün radioimpulsun əyicisinin harmonik
funksiya olmasından, harmonik siqnalla videoimpuls üçün uyuşmadan və delta
funksiyanın süzgəc xassəsindən istifadə olunur:
)()exp(2
1)()exp(
2
1)( 0000 vvr SjSjS .
Şəkil 6.2.2-də videoimpulsun yüksək tezlikli harmonik rəqsə hasilinin
spektrinin transformasiyasının təsviri verilmişdir.
40
Beləliklə, videoimpulsdan radioimpulsa keçid dedikdə videoimpulsun
spektrinin yüksək tezlik oblastına keçirilməsi başa düşülür.
Göründüyü kimi, belə keçid zamanı yeganə sıfır tezlikli spektral sıxlığın
maksimumu əvəzinə 0 tezlikli iki maksimum yaranır və onlar üçün
amplitud iki dəfə az qiymətə malik olur.
7. SİQNALLARIN LAPLAS TƏSVİRİ
7.1. Kompleks tezliklərdə siqnal təsviri
Siqnalların Furye metodu ilə spektral analizi tədqiq olunan s(t) siqnalının
riyazi ifadəsinin sonsuz sayda periodik və )exp( tj qanunu ilə dəyişən
elementar funksiyaların cəmi kimi təsvir olunması prinsipinə əsaslanır.
Daha ümumi prinsip ifadə etmək mümkündür. Belə ki, xəyali j tezliyi
əvəzinə kompleks jp tezliyi qəbul etsək elementar eksponensial
siqnallar belə ifadə olunarlar:
)exp()~exp(];)exp[()exp( ttptjpt
Bu iki siqnal əsasında həqiqi s(t) siqnalı belə ifadə olunur:
)cos()exp()]~exp()[exp(2
1)( tttpptts
Kompleks tezliyin həqiqi və xəyali hissələrini seçməklə müxtəlif həqiqi
siqnallar ifadə etmək olar (şəkil 7.1.1).
41
Məsələn:
)exp()(
),exp()(0);cos()(0,0
tts
ttstts
Ümumi halda )exp( t siqnalın əyicisi, )cos( t isə doldurucusu
funksiyasını yerinə yetirir.
Göründüyü kimi, kompleks tezliyin xəyali hissəsi real fiziki tezliyi ifadə edir.
Riyazi modellərdə kompleks tezlikdən istifadə bir sıra üstün cəhətlərə malikdir.
Məsələn, harmonik rəqslərin xətti sistemlərdən ötürülməsinin riyazi modellərinin
tərtibi üçün kompleks tezlik daha əlverişli hesab olunur.
7.2. Laplas çevirməsi
Siqnalların zaman və tezlik oblastlara qarşılıqlı köçürülməsi üçün də
kompleks tezlikdən istifadə daha əlverişlidir. Kompleks tezlikdən istifadə etməklə
siqnalların zaman və tezlik oblastlara qarşılıqlı çevrilmələri Laplas çevirmələri
adlanır.
Laplas çevirməsi daha ümumidir və Furye çevirməsi onun xüsusi halıdır
)0( .
Tutaq ki, )(tf -həqiqi və ya kompleks funksiyadır, zamanın 0t
qiymətlərində təyin olunub, zamanın 0t oblastında isə sıfırdır. Bu funksiya üçün
Laplas çevirməsi belə ifadə olunur:
42
0
)exp()()( dtpttfpF
Laplas çevirməsində )(tf - siqnalı orijinal, )(pF - isə onun Laplas təsviri
adlanır.
Çevirmənin mövcud olması üçün aşağıdakı şərt ödənməlidir:
0,0);exp()( ktktf
Orijinala əsasən təsvirin alınması )()( pFtf düz Laplas çevirməsi,
təsvirə əsasən orijinalın alınması isə )()( tfpF tərs Laplas çevirməsi
adlanır.
Tərs Laplas çevirməsini ifadə etmək üçün uyğun Furye çevirməsinin
dtjFtf )exp()(2
1)(
ifadəsində analitik davam aparılır:
dpj
dconstjj1
.;; .
Tərs Laplas çevirməsi üçün ifadə belədir:
c
c
dpptpFj
tf )exp()(2
1)(
İnteqralın hesablanmasında çıxıqlar nəzəriyyəsi üsulundan istifadə olunur.
7.3. Laplas çevirməsinin əsas xassələri
Laplas çevirməsi üçün əsas xassələr təsvir və orijinal arasındakı müxtəlif
münasibətləri ifadə edir və Furye çevirməsində olduğu kimidir:
1. Xətti çevirmədir: i i
iiii pFrtfr );()(
2. )()( pFtf olarsa, zamana görə ləngimə belə ifadə olunur:
43
)()exp()( 00 pFptttf ;
3. )()( pFtf olarsa, )()exp()( apFattf olur. Bu
sürüşmə teoremi adlanır.
4. Diferensialın təsviri: );0()( fppFdt
df
5. İnteqralın təsviri:
t
pFp
df0
)(1
)( ;
6. Siqnalların uyuşmasının təsviri: )()()(*)( 2121 pFpFtftf ,
burada
t
dftftftfpFtfpFtf0
21212211 )()()(*)();()();()(
kimidir.
7. Orijinalın və təsvirin limit qiymətləri arasında münasibət:
)()( pFtf - olarsa,
)(lim)]([lim0
tfppFtp
olur.
Praktikada, mühəndis hesablamalarının aparılmasında Laplas çevirmələri
üçün tərtib olunmuş cədvəllərdən geniş istifadə olunur (cədvəl 7.3.1)
44
8. SİQNALLARIN VEYVLET TƏSVİRİ
8.1. Veyvlet çevirmə
Siqnalların harmonik təsvir üsuli (Furye və Laplas çevirmələri) praktikada
istifadədə zamanı müəyyən çatışmazlıqlara malik olur. Stasionar və kəsilməz
siqnalların Furye çevirməsində yaranan əsas çatışmazlıqlara aşağıdakılar aiddir:
Verilmiş tezlikdə çevirmə üçün bütün zaman intervalında siqnalın
qiymətindən istifadə olunur;
Praktiki məqsədlər üçün istifadə olunan siqnalların hamısı stasionat deyil;
Zaman oblastda siqnalın kəskin dəyiçməsi bütün tezlik diapazonunda
təsirini göstərir.
Qeyd olunan çatışmazlıqlar pəncərəyə gətirilmiş Furye çevirməsi vasitəsi ilə
qismən aradan qaldırılır:
dttwetsS tj )()(),(
Burada )( tw -zaman oblastda -qədər sürüşdürülmüş lokal pəncərə
funksiyasıdır. Pəncərə funksiyasının daxil edilməsi çevirməni zamandan asılı edir
və nəticədə siqnal üçün fəza-zaman təsviri mümkün olur.
Pəncərə funksiyası ilə çevirmə lokal pəncərə üçündür və çevirmə prosesində
onu siqnalın lokallığına adaptasiya etmək (siqnalın sıxılması və ya
genişləndirilməsi) mümkün olmur.
Siqnal çevirməsi zamanı həm sürüşmə və həm də miqyaslama aparmaq üçün
siqnalın veyvlet təsviri (qısa dalğa təsviri) üsulundan istifadə olunur. Bu məqsədlə
veyvlet prototip (ilkin )(t -funksiya) seçilir və onun əsasında veyvlet bazis
funksiyalar sistemi tərtib olunur.
Veyvlet bazis funksiyalar sistemi prototip funksiyanın miqyaslanması və
zamana görə sürüşdürülməsi ilə yaradılın funksiyalardır:
RkRk
t
ktk
,),(
1)(,
.
İfadədə - parametri ilə zamana görə sürüşmə yaradılır, k -parametri ilə isə
miqyası dəyişdirir.
Hər bir )(2
, RLk funksiyası veyvlet adlanır.
45
)(ts - siqnalı üçün düz Veyvlet çevirmə aşağıdakı kimi ifadə olunur:
dt
k
tts
kkS )()(
1),(
.
Tərs Veyvlet çevirmənin mümkün olmağı üçün )(x - prototip funksiya
aşağıdakı şərti ödəməlidir:
dC
0
)(
Burada )( ilə )(t funksiyasının düz Furye çevirməsi ifadə olunub.
Əgər )(t funksiyası qeyd olunan şərti ödəyirsə onda onun orta qiyməti
sıfıra bərabərdir və tərs çevirmə aşağıdakı kimi ifadə olunar:
2
0
)(1
),(1
)(k
dkd
k
t
kkS
Cts
.
İfadədə istifadə olunan və k parametrləri kəsilməz dəyişdiyi üçün bazis
funksiyaların sayı məhdud deyil və bəzi veyvlet funksiyalar izafi olur. İzafiliyi
aradan qaldırmaq üçün və k parametrləri üçün elə diskret seçim edilməlidir ki,
tərs çevirməni aparmaq mümkün olsun.
Aşağıdakı kimi seçim aparıldıqda tərs çevirmə də mümkün olur:
0,1,,,; 00000 kZnmnkk mm .
0k - parametri ixtiyari seçilə bilər ( 10k seçmək olar). Seçmə qaydasından
göründüyü kimi, k - miqyas parametri verilmiş zamanda yerləşmədən asılıdır.
Miqyas parametri artdıqca sürüşmə də artır və tərsinə.
Qeyd olunan seçim əsasında veyvlet çevirmənin bazis funksiyaları aşağıdakı
kimi ifadə olunur:
)(1
)(00
, nt
tmm
nm
Furye çevirməsinə analoji olaraq, veyvlet ardıcıllıq üçün aşağıdakı ifadəni
yazmaq olar:
46
dttsnt
Smm
nm )()(1
00
,
Ardıcıllıq əsasda ilkin funksiyanın bərpası üçün müəyyən şərt gərəkdir, belə
ki, elə 0A və B ədədləri var ki, aşağıdakı şərt ödənir:
Zm Zn
nm tsBStsA22
,
2)()(
1 BA və 20 a olarsa ilkin siqnalı tam olaraq bərpa etmək olar və
)(, tk - bazis funksiyaları ortoqonal bazis olar. Bu zaman
Zm Zn
mmnm n
tSCts )
2(
2
1)( , .
8.2. Veyvlet çevirmənin xassələri
Siqnalın veyvlet təsvirini aparmaq üçün ilk öncə veyvlet xassəyə malik
prototip funksiya seçilməlidir. Veyvlet funksiya olmaq əlamətləri aşağıdakılardır:
- Veyvlet olmağı üçün funksiya həm zamana, həm də tezliyə görə lokal
olmalıdır;
- Təyin oblastda prototip veyvletin sıfırıncı momentinin qiyməti (orta
qiyməti) sıfır olmalıdır:
0)( dtt ;
- Bəzi məsələlərin həlli üçün veyvlet prototipin başlanğıc m -sayda
momentinin də sıfır olmağı tələb olunur:
0)( dttt m ;
- Veyvlet prototip məhdud enerjiyə malik olmalıdır:
dtt2
)( ;
47
- Veyvlet bazisin bütün funksiyaları eyni sayda rəqslərə malik olurlar. Bu
xassə bazisin avtomodel olmağı adlanır. Hər bir bazis funksiya prototipdən sürüşmə
və miqyas vasitəsi ilə törədiyi üçün eyni sayda rəqslərə malik olurlar.
Qeyd olunan əlamətlərə uyğun olaraq harmonik funksiyalar və -funksiya
eyni zamanda tezliyə və zamana görə lokallıq şərtlərini ödəmədikləri üçün veyvlet
deyillər. Bu funksiyalar zaman oblastda lokal olduqda, tezlik oblastda lokal olmurlar
və tərsinə, tezlik oblastda lokal olduqda zaman oblastda lokal deyillər.
Praktik məqsədlər üçün çoxlu sayda veyvlet funksiyalar təklif olunmuşdur.
Onlardan bəziləri veyvlet bazisin şərtlərini ödəmədiyi üçün siqnalların veyvlet
təsvirində istifadə olunmurlar:
Harr-funksiyası (1909-cu il). Harr funksiyalar sistemi ortonormal bazis
sistemi təşkil edir (şəkil 8.2.1):
Harr funksiya bazasında təşkil olunan sistem veyvlet bazis üçün avtomodel
olma şərtini ödəmədiyindən veyvlet təsvir üçün baza deyil.
Qabor funksiyası (1946). Bu funksiya pəncərəyə gətirilən Furye
çevirməsində istifadə olunur. Qaus funksiyasının harmonik modullaşdırılmasını
təsvir edir. Zaman və tezlik oblastlarda lokaldır (şəkil 8.2.2). Dörd parametrlə
xarakterizə olunur: 0t - sürüşmə müddəti, - pəncərənin eni (standart (orta
kvadratik) meyl), - modulyasiya tezliyi, -faz sürüşəsi:
48
Pəncərənin eni sabit olduğu üçün müxtəlif harmoniyalar üçün rəqslərin sayı
müxtəlifdir və veyvlet şərtin avtomodel şərtini ödəmir. Bu səbəbdən, veyvlet təsvir
üçün bazis kimi istifadə olunmur, yalnız Furye çevirməsində pəncərə funksiyası
kimi istifadə olunur.
Litlvud-Pelli funksiyası (1937). Tezlik oblastda tam lokaldır, zaman
oblastda isə rəqslərə malikdir və amplitudı t
1 - qanunu ilə azalır (şəkil 8.2.3):
Həqiqi veyvlet (meksika şlyapası): Bu funksiya zamana görə yüksək
ayırdetmə, spektrə görə izə yumşaq tələbat olan məsələlərdə istifadə olunur (8.2.4).
49
Kompleks veyvlet (Morle funksiyası). Yüksək spektral ayırdetmə tələb
olunan məsələlərdə istifadə olunur (şəkil 8.2.5).
Furye çevirməsindən fəqli olaraq veyvlet təsvir spektrin zamandan asılı
olaraq dəyişməsini izləməyə imkan verir və siqnalda hansı tezliklərin dominant
olduğunu aşkarlayır.
50
9. SİQNALLARIN ENERJİ SPEKTRLƏRİ. KORRELYASİYA
ANALİZİ
9.1. Siqnalların qarşılıqlı enerjisi spektri
İki )(tu - və )(tv - siqnalları üçün əsas fundamental xarakteristikalardan biri
onların qarşılıqlı enerjisini ifadə edən skalyar hasildir:
dttvtuvu )()(),( .
Əgər hər iki siqnal eyni olarsa )()( tvtu , onda skalyar hasil siqnalın
enerjisinə bərabər olur:
dttuuuEu )(),( 2.
Tutaq ki, hər iki siqnal tərs Furye çevirməsi ilə öz spektral sıxlıqları vasitəsilə
ifadə olunmuşdur:
dtjVtv
dtjUtu
)exp()(2
1)(
;)exp()(2
1)(
.
Skalyar hasilin hesablanması üçün bu ifadələrdən istifadə etsək aşağıdakı
ifadəni alarıq:
dUVdttjtuVd
dtdtjVtuvu
)()(2
1)exp()()(
2
1
)exp()()(2
1),(
*
Skalyar hasil üçün alınan ifadə ümumiləşmiş Reley formulu və ya Parselval
bərabərliyi adlanır.
İfadə onu göstərir ki, iki siqnalın skalyar hasili bu siqnalların spektral
sıxlıqlarının hasili ilə mütənasibdir.
51
Skalyar hasil həqiqi kəmiyyətdir, inteqral altındakı ifadə isə ümumi halda
kompleks kəmiyyət olduğundan onu elə çevirmək lazımdır ki, o da həqiqi kəmiyyət
olsun.
Kompleks ədəd üçün )Re(2* zzz olduğunu nəzərə alsaq
**** )]()([)()()()( VUVUVU
olar.
)](*)(Re[)( VUWuv
ifadəsi )(tu - və )(tv - siqnalları üçün qarşılıqlı enerji spektri adlanır.
Qarşılıqlı enerji spektri ilə iki siqnalın skalyar hasili aşağıdakı kimi ifadə
olunar:
dWvu uv )(2
1),(
Qarşılıqlı enerjinin formalaşmasında spektrin müxtəlif hissələri eyni miqdar
enerji ifadə etmirlər. Siqnalların kəsişdiyi tezlik oblastları daha çox təsirə
malikdirlər.
Reley formulu qarşılıqlı enerjini azaltmağın yolunu göstərir – siqnallardan
birini elə çevirməli ki, verilmiş tezlik diapazonunda o digər siqnalla ortoqonal olsun.
Belə çevrilən siqnal tezlik süzgəci adlanır. Süzgəc üçün əsas tələb qarşılıqlı
enerji maksimum olan tezlik oblastları kəsməkdən ibarətdir.
Misal 4.1.1. Eyni amplituda malik və biri digərinə nəzərən zamanca
- qədər sürüşmüş iki eksponensial siqnal üçün qarşılıqlı enerjini azaltmalı.
Həlli: Hər iki siqnal üçün spektral sıxlıqların ifadəsi alınır, alınmış ifadələr
əsasında qarşılıqlı enerji spektri hesablanır.
Uyğun ifadələr aşağıdakı kimidir:
.)cos(
)(;)exp(
)()(
;)exp(
)()()(exp[)(
;1
)()()exp()(
2222
*
uvWj
VU
j
jVtttv
jUtttu
52
Hesablamaların nəticəsi “Math Cad” proqramlar paketində tərtib edilmiş
proqramın mətnində verilmişdir (şəkil 9.1.1).
Proqramın mətnində istifadə olunan )(t - Hevisayd funksiyasıdır.
Qarşılıqlı enerjinin qiyməti aşağı tezliklərdə daha təsirlidir. Onun təsirini
azaltmaq üçün yuxarı tezlik süzgəci istifadə olunmalıdır ki, müəyyən sərhəd
tezliklərdən aşağı tezliklərdə siqnalı kəssin.
Səkil 9.1.1-də bu məqsəd tərs Furye çevirməsində inteqralın sərhədinin
məhdudlaşdırılması ilə yerinə yetirilmişdir.
İlkin siqnalın və çevirmədən sonrakı siqnalın qrafik təsvirlərindən göründüyü
kimi yuxarı tezlik süzgəcdən istifadə etdikdə, süzgəcin çıxışında siqnalın davam
müddəti azalır, onların ayırd edilməsi artır, onlar ortoqonal olmağa yaxın olurlar.
53
9.2. Siqnalın enerji spektri
Qarşılıqlı enerjinin
dWdUVvu uv
)(2
1)()(
2
1),( *
ifadəsində siqnalları eyni qəbul etsək,
2* )()()()( UUUWu
olar. Bu kəmiyyət siqnalın enerjisinin spektral sıxlığı (enerji spektri) adlanır.
Enerji spektri əsasında siqnalın tam enerjisi
dWduE uu )()(2
kimi ifadə olunur. Bu ifadə fizikada məlum Reley formuludur.
Reley formulu onu göstərir ki, siqnalın tam enerjisi tezlik oblastlara uyğun
enerjilərin cəmi kimi hesablanır.
tezlik oblastına uyğun enerjinin qiyməti isə belə ifadə olunur:
)(1
WE .
Burada tezlik diapazonun ortasına uyğun tezlikdir.
Qeyd olunmalıdır ki, enerji spektri əsasında siqnal öyrənilərkən onun
fazasının daşıdığı informasiya itir. Bu baxımdan Furye çevirməsi əsasında siqnalın
analizi daha məqsədəuyğundur.
9.3. Siqnalların avto və qarşılıqlı korrelyasiyası
Siqnalın və onun zamana görə sürüşmüş surəti arasındakı fərqin dərəcəsini
qiymətləndirmək üçün avtokorrelyasiya funksiyasından istifadə olunur:
tdtutuKu
)()()( (9.3.1)
Burada, )(tu -siqnal, )( tu - siqnalın -qədər sürüşdürülmüş surətidir.
54
Avtokorrelyasiya funksiyasının əsas xassələri aşağıdakılardır:
1) tdtuEK uu
)()0( 2- yəni, 0 olduqda avtokorrelyasiya
funksiyası siqnalın enerjisinə bərabər olur;
2) )()( uu KK - cüt funksiyadır;
3) uuu EKK )0()( - avtokorrelyasiya funksiyasının modulu siqnalın
enerjisini aşmır;
4) )(tu - funksiyasının ifadəsindən asılı olaraq )(uK - avtokorrelyasiya
funksiyası monoton və rəqs xarakterli ola bilər.
Misal 4.3.1. Düzbucaqlı impuls üçün avtokorrelyasiya funksiyasını
araşdırmalı.
“Math Cad” proqramında hesablamalar şəkil 9.3.1-də verilmişdir. Proqramın
mətnində birinci sətirdə ilkin verilənlər göstərilmişdir: ,,0 ptu - uyğun olaraq,
düzbucaqlı impulsun amplitudı, davam müddəti və impulsun surətinin sürüşmə
müddətidir.
Siqnalın və zamana görə sürüşmüş surətinin ifadələri ikinci sətirdə
verilmişdir. Proqramın mətninin üçüncü sətrində araşdırılan siqnalın
avtokorrelyasiya funksiyasının ifadəsi verilmişdir. İfadənin (9.3.1) əsasında tərtib
olunması üçün nəzərə alınmışdır ki, verilmiş siqnalla onun sürüşmüş surətinin hasili
yalnız siqnallar biri-birilərini örtdükləri zaman intervalında sıfırdan fərqlidir. )(t
- funksiyası “Math Cad” mühitində Hevisayd funksiyasıdır.
Qrafikdə göstərildiyi kimi, düzbucaqlı impuls üçün avtokorrelyasiya
funksiyasının təsviri üçbucaq formasındadır. Göründüyü kimi, üçbucağın
oturacağına uyğun zaman intervalı impulsun davam müddətindən iki dəfə çoxdur.
55
(9.3.1) ifadəsini iki müxtəlif siqnal üçün ümumiləşdirmək olar. İki )(tu və
)(tv - funksiyaları üçün tərtib olunmuş
tdtvtuKuv
)()()( (9.3.2)
ifadəsi bu funksiyalar üçün qarşılıqlı korrelyasiya adlanır.
Tutaq ki, ilkin halda bu funksiyalar ortoqonaldırlar:
0)()(
tdtvtu .
Onda qarşılıqlı korrelyasiya funksiyası onu göstərir ki, bu siqnallardan biri
digərini qabaqlayarsa və ya digərindən geri qalarsa onların ortoqonallıq dərəcəsinin
pozulması nə qədərdir.
Qarşılıqlı korrelyasiya funksiyasının əsas xassələri bunlardır:
1) )()( vuuv KK yəni siqnalın biri ləngiyirsə digəri onu qabaqlayır;
2) )()( uvuv KK cüt funksiya deyil;
3) )()()(),(()( tvtutvtuK .
56
Qeyd olunmalıdır ki, 0 üçün qarşılıqlı korrelyasiyanın qiyməti heç də
həmişə maksimum olmur.
10. ANALOQ SİQNALIN STASİONAR VƏ XƏTTİ
SİSTEMLƏRDƏN ÖTÜRÜLMƏSİ
10.1. Siqnal ötürücü sistemlərin təsnifatı
Siqnal emalı qurğuları təyinatlarına və xarakteristikalarına görə fərqlənirlər.
Müxtəlif qurğular üçün ümumi cəhət ondan ibarətdir ki, girişinə )(tu - təsiredici
siqnal verilir, çıxışından )(ts - reaksiya siqnalı götürülür. Qurğu m -sayda girişə
və n -sayda çıxışa malik olarsa, təsiredici və reaksiya siqnallarını, uyğun olaraq,
m - və n - ölçülü vektorlar kimi təsvir etmək olar:
)(),...,(),()( 21 tutututU m
;
)(),...,(),()( 21 tstststS n
.
Qurğu fiziki sistemdir. Təsiredici siqnal vektoru üzərində öz məntiqinə uyğun
çevirmə apararaq çıxışında reaksiya siqnalı yaradır. Reaksiya siqnalının təsiredici
siqnaldan asılılığı T -sistem operatoru ilə ifadə olunur:
)()( tUTtS
.
Məsələn, birölçülü təsiredici siqnal üzərində diferensial əməli aparan fiziki
sistem üçün sistem operatoru dt
dT kimi, reaksiya siqnalı isə
dt
tduts
)()(
kimi ifadə olunur.
Fiziki sistem üçün xarakterik cəhətlərdən biri təsiredici və reaksiya
siqnallarına qoyulan məhdudiyyət şərtləridir. Məsələn, siqnal kəsilməz və ya
diskret, determinli və ya təsadüfi ola bilər. Siqnalın qiymətinin dəyişmə oblastına
da müəyyən məhdudiyyətlər qoyulur.
Fiziki sistemlər siqnalı çevirmə xassələrinə görə də fərqləndirilir:
- stasionar (qərarlaşmış) və qeyri-stasionar sistemlər;
- xətti və qeyri-xətti sistemlər;
- paylanmış və mərkəzləşmiş parametrli sistemlər.
Stasionar sistem üçün xarakterik cəhət ondan ibarətdir ki, reaksiya siqnalı
təkcə təsiredici siqnalın qiymətindən asılıdır, onun hansı zaman anında təsir
57
göstərməyindən asılı deyil. Yəni, T -sistem operatoru stasionar sistem üçündürsə
və
)()( tUTtS
bərabərliyi varsa, onda ixtiyari zamanı üçün
)()( tUTtS
bərabərliyi də ödənir.
İfadə onu göstərir ki, stasionar sistem zamana görə invariantdır. Zamana görə
invariantlıq şərti ödənilməyən sistemlər qeyri-stasionar və yaxud parametrik
adlanırlar.
Siqnal emalı prosesində həm stasionar, həm də qeyri-stasionar sistemlərdən
istifadə olunur. Lakin qeyri-stasionar sistem məsələsi stasionar sistemə nəzərən
daha mürəkkəbdir.
Siqnal çevirici sistemin xarakteri həm də təsiredici siqnalların sayından
asılıdır. Bu baxımdan, xətti və qeyri-xətti sistemlər fərqləndirilir. Belə ki, T -sistem
operatordursa və
UTUT
UTUTUUT
;1121
şərtləri ödənirsə sistem xətti adlanır ( ixtiyari ədəddir). İfadədə birinci şərt
siqnal vektorlarının superpozisiyasını, ikinci şərt isə siqnal çevirməsinin xəttiliyini
ifadə edir.
Məsələn, tutaq ki, fiziki sistem
)()()( tudt
dts
ifadəsinə uyğun siqnal emal edir. Əgər, sistem eyni anda iki )()( 21 tutu
təsiredici siqnala reaksiya göstərərsə
)()()()()( 2121 tudt
dtu
dt
dtutu
dt
dts
ödənir və deməli sistem xəttidir.
İndi tutaq ki, sistemin reaksiya siqnalı
58
)()( 2 tuts
kimidir. Əgər, sistemə eyni anda iki )()( 21 tutu təsiredici siqnal təsir göstərərsə
)()(2)()()( 21
2
2
2
1 tututututs
olar. Bu ifadədə )()(2 21 tutu - həddinin olmağı onu göstərir ki, siqnal çevirici
sistem xətti deyil.
Praktikada istifadə olunan bütün fiziki sistemlər üçün bu və ya digər dərəcədə
qeyri-xəttilik xarakterikdir. Belə qeyri-xəttiliklərə fiziki sistemi təşkil edən
komponentlərin parametrlərinin təsadüfü dəyişmələri də səbəb ola bilər. Lakin, bir
çox praktiki məsələlərin həlli zamanı qeyri-xəttilikləri nəzərə almamaq mümkün
olur.
Digər tərəfdən, nəzərə alınmalıdır ki, əksər siqnal çevirmələri qeyri-xətti
elementlər vasitəsi ilə (məsələn, diod, tranzistor və s.) yerinə yetirilir.
Siqnal emalı sistemləri üçün xarakterik cəhətlərdən biri də, ötürücü sistemin
ölçüsü ilə bağlıdır. Təsiredici siqnalın dalğa uzunluğu ötürücü sistemin ölçüsündən
az olduqda siqnalın sistemdən ötürülmə müddəti də nəzərə alınmalıdır. Belə
sistemlər paylanmış parametrli və yaxud dalğalı sistemlər adlanır. Belə sistemlərin
hesablanmasında prinsipial elektrik sxemlərindən istifadə mümkünsüz olur.
Paylanmış parametrli sistemə alternativ olan mərkəzləşmiş və yaxud yığılmış
parametrli sistemdir. Belə sistemlər təsiredici siqnalın dalğa uzunluğu ötürücü
sistemin ölçüsündən çox olan sistemlərdir. Mərkəzləşmiş sistemlər üçün xarakterik
cəhət hesablamaların prinsipial elektrik sxemləri səviyyəsində aparılmasının
mümkünlüyüdür.
10.2. Siqnal ötürücü sistemin impuls xarakteristikası
Siqnal ötürücü sistemin impuls xarakteristikası bu sistemin Dirak
funksiyasına reaksiyasına deyilir:
)()( tTth
Siqnal ötürücü sistem stasionar olduqda ixtiyari zaman sürüşməsi üçün
impuls xarakteristika aşağıdakı şərti ödəyir:
)()( tTth
Göstərmək olar ki, stasionar və xətti sistemin impuls xarakteristikası
məlumdursa, bu sistemin ixtiyari determinli siqnala reaksiyasını təyin etmək
59
mümkündür. Bu məqsədlə, təsiredici siqnalın Dirak funksiyası vasitəsi ilə dinamik
təsvirindən istifadə edək:
dtutu )()()(
Bu siqnala sistemin reaksiyası belə ifadə olunar:
dtuTtTuts )()()()( .
Sistem stasionar və xətti olduqda, superpozisiya prinsipinə görə, T -sistem
operatorunu inteqral işarəsindən sonra da yazmaq olar:
dtTutTuts )()()()( .
T -sistem operatoru inteqrallama dəyişənindən asılı funksiyasına təsir
göstərmir. Bu operator yalnız zamandan asılı funksiyaya təsir göstərir. Onda ifadədə
)(u funksiyası operatorun təsirindən çıxarıla bilər:
dtTuts )()()( .
İnteqralda )( tT həddi sistemin impuls xarakteristikasıdır və reaksiya
siqnalı aşağıdakı kimi ifadə olunar:
dthuts )()()( .
Bu ifadə Dyuamel inteqralı adlanır. Təsiredici siqnal və sistemin impuls
xarakteristikasının uyuşması əməlini ifadə edir. Uyuşma əməlinin xətti olmağı
xassəsinə əsasən, əməldə siqnal və uyuşma nüvəsi qarşılıqlı əvəz oluna bilər. Onda,
reaksiya siqnalını həm də belə ifadə etmək olar:
dhtuts )()()( .
Stasionar və xətti sistem n -sayda girişə və m -sayda çıxışa malik olduqda
ona çoxölçülü sistem kimi baxılır və parsial impuls xarakteristika anlayışından
istifadə olunur:
60
),...2,1;,...2,1(),( mjnithij .
Parsial impuls xarakteristika cij girişə )(t təsir etdikdə, i ci çıxışda
yaranan reaksiyanı ifadə edir. Parsial impuls xarakteristikaların qiymətləri əsasında
təşkil olunan )( mn ölçülü matris sistemin impuls xarakteristika matrisi adlanır:
nmnn
m
hhh
hhh
tH
...
............
............
...
)(
21
11211
Çoxölçülü sistem üçün reaksiya siqnalı vektoru təsiredici siqnal vektorunun
sistemin impuls xarakteristika matrisi ilə uyuşma əməli kimi təsvir olunur:
dUtHtS )()()(
.
Real fiziki sistemlər üçün Dyuamel inteqralı hesablanarkən iki şərt nəzərə
alınır:
1. Sistemin girişinə təsir olana qədər impuls xarakteristika sıfırdır,
yəni 0t olduqda 0)( th .
2. İnteqralın yuxarı sərhədi kimi cari zaman anı üçün götürülür:
t
dthuts )()()( .
Misal: Stasionar və xətti sistem üçün impuls xarakteristika A -amplitudı və
T -davam müddəti olan düzbucaqlı impulsdur və belə ifadə olunur:
)()()( TttAth .
Təsiredici siqnal )()( tUtu olduqda sistemin reaksiya siqnalını tapmaq
tələb olunur.
Həlli:
0t anına qədər təsiredici siqnal yoxdur, 0)( tu :
0)( ts :
61
Tt 0 oblast üçün Ath )( və Utu )( :
t
AUtdAUTts0
)0( .
Tt oblast üçün impuls xarakteristika 0)( th :
T
AUTdAUTts0
)( .
Həllə uyğun reaksiya siqnalının yekun ifadəsini aşağıdakı kimi yazmaq olar:
)()()()( TtTtttAUts .
Verilən şərtlərə və həllə uyğun siqnal təsvirləri şəkil 10.2.1-də verilmişdir.
Şəkil 10.2.1. Verilən şərtlər üçün sistemin impuls xarakteristikasının (a),
təsiredici (b) və reaksiya siqnalının (c) təsvirləri.
10.3. Siqnal ötürücü sistemin keçid xarakteristikası
Stasionar və xətti sistemin təsiredici Hevisayd funksiyasına reaksiyası bu
sistemin keçid xarakteristikası adlanır:
)()( tTtg .
Sistemin stasionarlıq və xəttilik xassələrinə görə zamana görə ləngimə üçün:
)()( tTtg .
62
Dirak və Hevisayd funksiyaları arasında olan münasibətdən istifadə edərək
sistemin impuls və keçid xarakteristikasını əlaqələndirmək olar:
dt
tdt
)()(
.
Bu münasibəti impuls xarakteristikanın ifadəsində nəzərə alsaq:
)()(
)()( tTdt
d
dt
tdTtTth
.
İfadədə )()( tgtT keçid xarakteristika olduğuna görə impuls və keçid
xarakteristika arasında əlaqə belə ifadə olunar:
dt
tdgth
)()( və yaxud
t
dhtg )()( .
Misal: Tutaq ki, stasionar və xətti sistem üçün impuls xarakteristika
A -amplitudı və T -davam müddəti olan düzbucaqlı impulsdur:
)()()( TttAth .
Sistemin keçid xarakteristikasını tapmaq tələb olunur.
Həlli:
Keçid xarakteristika
t
dhtg )()( kimi hesablanır. Üç zaman oblastına
baxılır:
0t oblast üçün 0)( th və 0)( tg ;
Tt 0 oblast üçün
t
Atdhtg0
)()( ;
Tt oblast üçün ATtg )( .
Ümumi şəkildə )()()()( TtTtttAtg kimi olar.
Göründüyü kimi, baxılan sistem sükunət stasionar haldan AT qiymətə
malik stasionar hala keçir, keçid xətti qanunla baş verir və müddəti impuls
xarakteristikanın davam müddətinə bərabərdir.
63
Qeyd: )(ts -reaksiya siqnalını )(tg -keçid xarakteristika ilə də
əlaqələndirmək olar. Bunun üçün, )()( tTuts ifadəsində )(tu -ni Hevisayd
funksiyası vasitəsi ilə dinamik təsvir edək:
dt
d
ustuTts
t
0
)()()0()( .
Nəzərə alsaq ki, T -sistem operatoru yalnız zamandan asılı funksiyaya təsir
göstərir, inteqrallama dəyişənindən asılı funksiyasına təsir göstərmir, onda stasionar
və xətti sistem halı üçün sistemin reaksiya siqnalın belə ifadə olunar:
t
dtTd
dutTuts
0
)()()0()(
.
Burada )(tT sistemin )(tg -keçid xarakteristikasıdır, onda reaksiya
siqnalı
t
dtgd
dutguts
0
)()()0()(
kimi ifadə olunar.
Beləliklə, stasionar və xətti sistemin impuls və keçid xarakteristikasından
birini bilməklə bu sistemin istənilən təsiredici siqnala reaksiyasını qiymətləndirmək
mümkündür. Bu ona görə mümkündür ki, impuls və keçid xarakteristikalar qarşılıqlı
qiymətləndirilir, birini bilməklə digəri təyin olunur.
10.4. Siqnal ötürücü sistemin kompleks-tezlik xarakteristikası
Tutaq ki, stasionar və xətti sistemə harmonik siqnal təsir göstərir:
tjetu )( .
Sistemin reaksiya siqnalı Dyuamel inteqralı ilə ifadə olunur;
64
).()()(
)()()()( )(
jktudhee
dhedhtuts
jtj
tj
Burada
dtethjk tj )()(
ifadəsi stasionar və xətti sistemin kompleks tezlik xarakteristikası (KTX) və yaxud
ötürmə funksiyası adlanır.
Göründüyü kimi, KTX sistemin )(th - impuls xarakteristikasının düz Furye
çevirməsidir. Bu səbəbdən, KTX məlum olduqda impuls xarakteristika tərs Furye
çevirməsi əsasında hesablana bilər:
dejkth tj)(2
1)( .
Stasionar və xətti sistem n -sayda girişə və m -sayda çıxışa malik olduqda
ona çoxölçülü sistem kimi baxılır və parsial KTX anlayışından istifadə olunur:
),...2,1;,...2,1(),( mjnijkij .
Parsial KTX j ci girişə tje - siqnalı təsir etdikdə, i ci çıxış üçün
KTX-ni ifadə edir. Sətir və sütun elementləri parsial KTX əsasında təşkil olunan
)( mn ölçülü matris sistemin KTX matrisi adlanır:
nmnn
m
kkk
kkk
jK
...
............
............
...
)(
21
11211
Baxılan çoxölçülü hala uyğun kompleks-tezlik və impuls xarakteristikalar
üçün ifadə, birölçülü hala uyğun olaraq, matris əməli kimi təsvir olunur:
65
dtetHjK tj )()(
dejKtH tj)(2
1)( .
)( jK kompleks, )(tH isə həqiqi funksiyadır. Bu funksiyalar üçün
)()( tHjK Furye çevirməsi olmağı üçün )()( jKjK
olmalıdır.
Hesablamalarında KTX-nin eksponensial təsvirindən istifadə əlverişlidir:
)()()(
kjejkjk
İfadədə )( jk - asılılığı amplitud-tezlik xarakteristika (ATX),
)(k - asılılığı faza-tezlik xarakteristika (FTX) adlanır.
11. SİQNAL EMALI DÖVRƏSİNİN ANALİZİNİN SPEKTRAL
METODU
11.1. Dövrə analizi üçün spektral metodun mahiyyəti
Siqnal emalı üzrə elektrik dövrəsinin girişinə təsir göstərən siqnalı (gərginliyi
və ya cərəyanı) )(tu , çıxış siqnalını isə )(ts ilə işarə etsək aşağıdakı inteqral ifadə
bu siqnallar arasında zaman oblastında funksional asılılığı ifadə edər:
t
tdtutthts0
)()()( .
Bu ifadədə )(th dövrənin impuls
xarakteristikası (gərginliyə və ya cərəyana görə)
adlanır. Dövrənin analizi dedikdə )(tu -yə görə
)(ts -nin təyini başa düşülür. Belə analizin
funksional sxemi şəkil 11.1.1-də göstərilən kimidir.
Təsiredici )(tu - siqnalını
n
i
ii tutu1
)()( - kimi göstərmək mümkün
olarsa onda dövrə xətti xassələrə malik olur:
66
n
i
ii
n
i
t
ii tfutdttthuts11 0
)()()()( ;
t
ii tdttthtf0
)()()( - inteqralı məlum hesab olunur.
Göründüyü kimi, xətti dövrənin n - sayda giriş siqnalların cəminə göstərdiyi
)(ts - reaksiyası hər bir siqnalın ayrılıqda reaksiyaları cəmi kimi təyin olunur.
Xüsusi halda )()( tHtf iii - göstərilə bilinərsə, onda )(ti -
funksiyaları dövrənin məxsusi funksiyaları olur ( iH - sabit əmsaldır).
Əgər təsiredici )(tu - siqnalını dövrənin məxsusi funksiyalarının xətti
kombinasiyası kimi göstərmək mümkün olarsa,
n
i
m
ii tutu0
)()(
onda dövrənin reaksiyası aşağıdakı ifadə ilə təyin olunar:
n
i
n
i
m
ii
m
iii tqtHuts1 1
)()()( .
Göründüyü kimi, təsiredici )(tu - siqnalı dövrənin məxsusi funksiyalarının
xətti kombinasiyası kimi göstərilə bilinərsə, xətti dövrənin analizi məsələsi
iii Huq - hasilinin hesablanmasına gətirilir.
Daha mürəkkəb hal üçün, )(ti - məxsusi funksiya olmaya bilər, lakin
)(tf i inteqralı məxsusi funksiyaların xətti kombinasiyası kimi göstərilə bilinər:
n
j
m
jiji tHtf1
)()( .
Bu hal üçün dövrənin )(ts - reaksiyası aşağıdakı kimi ifadə olunur:
n
j
m
jj
m
j
n
j
n
i
ij
n
i
n
j
m
jiji tqtHtHuts11 1
i
1 1
)()(u)()( .
67
Burada
n
i
jiij Huq1
- kimi təyin olunub. Bu hal üçün də analiz məsələsi
iq - parametrinin hesablanmasına gətirilir.
Göründüyü kimi, təsiredici siqnal
n
i
ii tutu1
)()( - kimi xətti
kombinasiya oluna bilərsə və elə xassəyə malikdir ki, reaksiya siqnalı
n
i
ii tqts1
)()( - kimi ifadə oluna bilir, onda dövrənin analizi
n
j
ijji Huq1
- cəminin tapılmasına gətirilir.
Xüsusi halda ijH
ijijiH
,
,0 olarsa, onda iii Huq -kimi olar.
Yuxarıda göstərilən qaydada təyin olunan iu - və iq - əmsalları )(tu - və
)(ts - siqnallarının )(ti - funksiyalara uyğun spektral əmsalları adlanırlar.
Spektral əmsallar əsasında dövrənin çıxış siqnalının təyini dövrənin
analizinin spektral metodu adlanır.
Dövrələrin analizində spektral metodun tətbiqi üçün aşağıda göstərilən
əməliyyatların yerinə yetirilməsi zəruridir:
- Spektral analiz üçün hansı )(ti -funksiyalar sistemindən istifadə
oluna bilinməsi məlum olmalıdır;
- Hansı siqnalların bu funksiyaların xətti kombinasiyası kimi
göstərilə bilinməsi məlum olmalıdır;
- Seçilmiş funksiyalar sistemi üçün spektral əmsalları və spektrləri
təyin olunmalıdır.
11.2. Siqnal emalı dövrəsinin spektral təhlili
Qeyd etdiyimiz kimi, siqnalların spektral analizində, zaman və tezlik
oblastlarda təsvirlərinin ifadə olunmasında harmonik funksiyalar sistemindən və
Furye çevirmələrindən geniş istifadə olunur. Tutaq ki, )(ts siqnal emalı dövrəsi
68
üçün təsiredici və yaxud reaksiya siqnalıdır. Bu siqnalın spektral sıxlığı düz Furye
çevirməsi ilə harmonik təsvir olunur:
dtetsjS tj )()( .
Harmonik təsvir əsasda siqnalın zaman oblastda təsviri tərs Furye çevirməsi
ilə ifadə olunur:
dejSts tj)(2
1)( .
Spektral sıxlıq ümumi halda kompleks kəmiyyətdir, amplitud və faza ilə
qiymətləndirilir:
)()()( jejSjS .
22)( IR SSjS - siqnalın amplitud spektri,
)()arctan()( R
R
I SS
S - siqnalın faza spektri adlanır ( RI SS , -
spektral sıxlığın xəyali və həqiqi hissələridir).
Furye çevirmələri üsulu siqnal emalı dövrəsinin spektral analizini təmin edən
əsas üsul hesab edilir. Furye çevirmələri dövrə üçün təsiredici və reaksiya
siqnallarının zaman və tezlik oblastlarda təsvirlərinin qarşılıqlı çevrilmələrini ifadə
edir.
Siqnal emalı dövrəsinin spektral analizində Furye çevirmələrinin məlum
xassələrindən geniş istifadə olunur.
Siqnal emalı dövrəsi üçün əsas xarakteristikalardan biri siqnalı ötürmə
funksiyasıdır. Ötürmə funksiyası həm də kompleks tezlik xarakteristika (KTX)
adlanır.
Fiziki parametr kimi KTX tezliyin verilmiş qiymətində reaksiya və təsiredici
siqnalların spektral sıxlıqlarının nisbəti kimi qiymətləndirilir:
)(
)()(
jU
jSjk .
KTX həm gərginliyə, həm cərəyana və həm də qarışıq təyin oluna bilər. Bu
xarakteristika təsiredici )(tu – siqnalından asılı deyil, dövrənin elementləri və
69
strukturu əsasında təyin olunur. Dövrə üçün )(th - impuls xarakteristika
məlumdursa, onda KTX )(th - nin düz Furye çevirməsi kimi də qiymətləndirilir:
dtethjk tj )()( .
Siqnal emalı dövrəsi üçün digər əsas xarakteristikalardan biri dövrə üçün
)(tg - keçid xarakteristikadır. Dövrə üçün )(th - impuls xarakteristika
məlumdursa, onda )(tg - keçid xarakteristika )(th - nin inteqralı kimi də
qiymətləndirilir:
t
dhtg )()( .
Qeyd olunanlara əsaslanaraq, siqnal emalı dövrəsi üçün KTX məlum olduqda
tezlik metodu ilə dövrənin analizi aşağıdakı mərhələlərdən ibarət olur:
1). Təsiredici siqnal üçün spektral sıxlıq hesablanır:
dtetujU tj )()( ;
2). Reaksiya siqnalı üçün spektral sıxlıq hesablanır:
)()()( jUjkjS ;
3). Reaksiya siqnalı zaman intervalında təsvir olunur:
dejSts tj)(2
1)( .
4) Tələb olunduqda impuls və keçid xarakteristikalar qiymətləndirilir.
11.3. Siqnal emalı dövrəsinin ötürmə funksiyasının hesablanması
üsulları
Siqnal emalı dövrələri üçün ötürmə funksiyasının (KTX-nin) tapılması
müxtəlif üsullara əsaslanır. Bu üsulların əsasını KTX-nin fiziki parametr kimi təyin
olunma ifadəsi təşkil edir.
70
KTX-nin təyinində elektrik dövrələrin hesablanma üsullarından, topoloji
tənliklərin tərtibi və qraf üsulu ilə həllindən, dövrənin diferensial tənliyindən və s.
istifadə olunur.
Misal 11.3.1. Sxemi şəkil
11.3.1-də göstərilmiş elektrik
dövrəsinin kompleks tezlik
xarakteristikasının riyazi ifadəsini
tərtib etməli.
Həlli: Hər bir element üçün
kompleks müqavimət yazılır:
CjzLjzRz CLR
1;; .
Sxemə uyğun olaraq, dövrənin tam kompleks müqaviməti təyin olunur:
Cj
LjRz
1
Dövrədən axan cərəyan üçün kompleks ifadə tərtib olunur:
CjLjR
jUji
1
)()(
.
Çıxış gərginlik üçün kompleks amplitudının ifadəsi tərtib olunur:
LCCRj
jU
CjjijS
21
)(1)()(
.
Buradan da KTX-nin ifadəsini almış olarıq:
LCCRjjU
jSjk
21
1
)(
)()(
.
Misal 11.3.2. Dövrənin diferensial tənliyindən istifadə edərək onun kompleks
tezlik xarakteristikasını riyazi ifadə etməli.
Həlli: Tutaq ki, dövrənin diferensial tənliyi aşağıdakı kimidir (
)(te -təsiredici, )(tu -çıxış gərginlikdir):
71
)()()(
)()()(
1
1
101
1
1 tebdt
tedb
dt
tedbtua
dt
tuda
dt
tudmm
m
m
m
nn
n
n
n
KTX xarici təsir siqnalından asılı deyil, ona görə də )exp()( tjEte
kimi götürmək olar və tənliyin həllini )exp()( tjUtu - kimi axtaraq:
)exp()exp()()exp()(
)exp()exp()()exp()(
1
10
1
1
tjEbtjEjbtjEjb
tjUatjUjatjUj
m
mm
n
nn
0)exp( tj və KTX üçün aşağıdakı ifadəni alarıq:
.)()(
)()(
)(
)()(
1
1
1
10
n
nn
m
mm
ajaj
bjbjb
jE
jUjk
Məsələn, RC – dövrənin diferensial tənliyindən istifadə etməklə aşağıdakı
nəticələri alarıq:
.1
1)(ˆ
1)
1(
)exp()();exp()()(1
)(1)(
jE
UjkEUj
tjUtutjEtetetudt
tdu
12. SİQNALLARIN ANALOQ ÇEVİRİCİ QURĞULARININ
SİNTEZİ
12.1. Siqnal çevirici qurğuların sintezi məsələsi
Siqnal çevirici qurğu filtr (süzgəc), siqnalı çevirmə əməli isə filtrasiya
adlanır. Siqnal emalı prosesində tələb olunan filtrasiya əməlini yerinə yetirən analoq
və rəqəmsal süzgəclərdən geniş istifadə olunur.
Analoq süzgəclər analoq elektrik dövrələri əsasında sintez olunurlar,
rəqəmsal süzgəclərin sintezi üçün isə rəqəmsal siqnal prosessorundan istifadə
olunur.
Analoq süzgəcin sintezi məsələsi dedikdə tələb olunan tezlik və zaman
xarakteristikalarına malik qurğunun elektrik sxeminin işlənilməsi nəzərdə tutulur.
Belə qurğuların sintezi iki mərhələdə aparılır:
1. Aproksimasiya mərhələsi. Bu mərhələdə, analoq süzgəc üçün verilmiş
tələblərə cavab verən ötürmə funksiyası işlənilir;
72
2. Reallaşdırma mərhələsi. Bu mərhələdə verilmiş tələblərə cavab verən və
ötürmə funksiyasını reallaşdıran süzgəc üçün elektrik sxemi işlənilir.
Siqnal çevirici qurğular üçün verilmiş tələblərə cavab verən ötürmə
funksiyasının işlənməsi qaydaları müxtəlifdir və çoxlu sayda məlumatlar
kitablarında öz əksini tapmışdır.
Reallaşdırma mərhələsinin yerinə yetirilməsi isə çox variantlıdır. Bu onunla
əlaqədardır ki, verilmiş ötürmə funksiyasını reallaşdıran çoxlu sayda prinsipial
elektrik sxemləri mümkündür.
Analoq süzgəclərin elektrik sxemlərinin işlənməsində, əksər hallarda, xətti
rejimdə işlədilən əməliyyat gücləndiricisindən, rezistiv, tutum və induktiv
komponentlərdən istifadə olunur. Belə komponentlər əsasında işlənilən siqnal
çevirici qurğu aktiv süzgəc adlanır. Aktiv süzgəclər, həm tezlik seçici, həm də siqnal
gücləndirdici xassələrə malik qurğulardır.
Tezlik diapazonunun alçaq və infraalçaq diapazonu üçün aktiv süzgəc
qurğusunda induktiv sarğacdan istifadə olunmağı ölçüsünün böyüklüyünə görə
məqsədəuyğun sayılmır. Digər tərəfdən, indukktiv sarğac maqnit sahəsində
süzgəcin işlədilməsinə maneçilik yaradır.
İnduktiv sarğacsız aktiv süzgəc qurğusunun sintezində iki üsuldan istifadə
olunur.
Birinci üsul LC - süzgəclərin yaradılmasının klassik metodlarına əsaslanır,
lakin real induktiv sarğaclar əvəzinə onların sxem ekvivalentləri (giratorlar) istifadə
olunur.
Bu üsul mürəkkəbdir və süzgəc sxeminin işlənməsində çoxlu sayda
elementlərdən istifadə olunmasını tələb edir.
İkinci üsul induktiv sarğacdan istifadə etmədən RC - süzgəclərin
yaradılmasına əsaslanır və daha kompakt qurğu yaratmağa imkan verdiyindən geniş
tətbiq olunur.
Bu üsul imkan verir ki, aktiv RC - süzgəclər kaskadlarla işlənsin və belə
kaskadları reallaşdıran süzgəc manqalarından istifadə etməklə tələb olunan tezlik və
zaman xarakteristikalara malik süzgəc sintez olunsun.
12.2. Aktiv süzgəclərin növləri və xarakteristikaları
Tutaq ki, süzgəc üçün )(tu - təsiredici gərginlik, )(ts - reaksiya
gərginliyidir. Tezlik oblastda bu gərginliklərin nisbəti süzgəcin kompleks-tezlik
xarakteristikası (KTX) və yaxud siqnalı ötürmə funksiyası adlanır:
73
)(
)()(
jU
jSjk .
Ötürmə funksiyası kompleks kəmiyyətdir:
)( jejkjk .
burada )()( jkA - süzgəcin amplitud-tezlik xarakteristikası (ATX)
)( )- süzgəcin faza-tezlik xarakteristikası (FTX) adlanır.
ATX- nin qiymətləndirilməsi üçün loqarifmik vahidlərdən də istifadə olunur:
dBA ,lg20 ,
)( - verilmiş tezlikdə siqnalın zəifləmə əmsalı adlanır.
İstifadə olunan süzgəclər ATX- nın formasına görə ATX və FTX-nin
formalarına görə ATX- nin formasına və zaman xarakteristikasına görə fərqlənirlər.
ATX- nin formasına görə işlənilən süzgəclərdə siqnalın səviyyələri tezlikdən
asılı olaraq )A və ya )( - nın qiymətləri ilə müəyyənləşdirilir (şəkil 12.2.1).
)( - nın süzgəc üçün tələb olunan )(min c - qiymətdən yuxarı
olmadığına uyğun tezlik diapazonu süzgəcin buraxma zolağı (I), c - kəsilmə
tezliyi adlanır;
)( - nın tələb olunan )()( min1max c - qiymətindən aşağı
olmadığına uyğun tezlik diapazonu süzgəcin siqnalı saxlama (udma ) zolağı (III),
)( 1max -in qiymətinə uyğun 1 - siqnalı saxlama tezliyi adlanır.
İdeal süzgəc üçün 1 c olmalıdır. Lakin, praktikada ideal hala nail
olmaq mümkün olmur ( 1 c və ya 1 c ). Kəsilmə tezliyi c və
saxlama tezliyi 1 arasındakı oblast keçid oblastı (II) adlanır.
Tezlik diapazonunda siqnalı buraxma və saxlama zolaqlarının qarşılıqlı
vəziyyətlərinə görə tezlik seçici süzgəclər aşağı tezlik, yuxarı tezlik, buraxma
zolaqlı və udma zolaqlı (rejektor) olurlar (şəkil 12.2.1).
74
Buraxma zolaqlı və rejektor süzgəclər üçün digər xarakteristikalara 0 -
mərkəzi tezlik, 12 ccb zolağın eni,
b
Q 0 - keyfiyyətlilik əmsalı,
),( 11 c - aşağı və ),( 22 c - yuxarı keçid oblastları aiddirlər.
Əksər süzgəc işləmələrində c – kəsilmə tezliyi )(A -nın maksimal
qiymətdən 2 dəfə azalmasına uyğun götürülür. Belə təyin olunan c - tezliyində
siqnal dB3 zəifləyir və ya öz maksimal qiymətinin %7.70 -nə bərabər olur.
Həm ATX, həm də FTX üçün qoyulan tələbələrə uyğun işlənilən süzgəclərə
nümunə kimi faza sürüşdürücü və Bessel süzgəcləri göstərmək olar.
Bunlar aşağı tezlikli süzgəc sxemləri əsasında işlənilirlər və işlənmə elə
aparılır ki, buraxma zolağında ATX-nın sabitliyi və FTX-nın xəttiliyi təmin olunur.
Faza sürüşdürücü süzgəc üçün əsas xarakteristika siqnalın ləngimə
müddətidir:
d
dT
Süzgəc sxemi vasitəsilə )( - xətti funksiya təmin olunursa,
.)( constT alarıq. Lakin nəzərə alınmalıdır ki, )( - xəttiliyə
yaxınlaşdıqda, ATX təhrif olunur.
75
ATX-nin buraxma və saxlama zolaqlarında dəyişmə formasına görə də
süzgəclər fərqlənirlər:
-Battervort süzgəc – ATX həm buraxma, həm də saxlama zolaqlarda
monotondur;
-Çebişev süzgəc – ATX buraxma zolağında bərabər döyünən, saxlama
zolağında isə monotonudur;
-İnvers Çebişev süzgəc – ATX buraxma zolağında monoton, saxlama
zolağında isə bərabər döyünəndir;
-Elliktrik (Zolotaryov-Kauer) süzgəc – ATX həm buraxma, həm də saxlama
zolağında bərabər döyünəndir.
12.3. Aktiv süzgəc üçün ötürmə funksiyalarının qurulması məsələsi
Süzgəclərin işlənməsində məqsəd siqnalların emalı üçün qoyulan tələblərə
cavab verən xassələrə malik qurğunun işlənməsidir. Bu tələblər içərisində ən
mühümü qurğunun tezlik və ya zaman xarakteristikasına uyğun siqnalların
səviyyəsinin tələb olunan hüduddan kənara çıxmamağını təmin etməkdir.
Süzgəc üçün tələb olunan hüdudlar şəkil 12.2.1-ə uyğun olaraq min - və
max - ın qiymətləri ilə təyin olunurlar. Bundan başqa, digər tələblər də, məsələn,
süzgəcin xarakteristikalarının stabilliyi, küyü və qeyri-xətti təhrifləri,
köklənməsinin mümkün olması, sürətliliyi və s. nəzərə alınmalıdır.
Süzgəclərin işlənməsinin ilkin mərhələsini tələb olunan xarakteristikalara
malik ötürmə funksiyasının ifadəsinin alınması təşkil edir. Süzgəclər üçün ötürmə
funksiyası kompleks kəmiyyətdir və iki polinomun nisbəti şəklində göstərilir:
n
j
j
j
m
i
i
i
sb
sa
sk
1
0 ,
Burada ia və jb –həqiqi sabit ədədlər; js ; m,n=1,2,3,… polinomların
tərtibi; mn - süzgəcin tərtibidir.
Yüksək tərtibli süzgəclərdə ATX -nin ideal hala yaxın olmasına baxmayaraq,
tərtibin artırılması işlənilən sxemi mürəkkəbləşdirir və onun dəyərini artırır.
76
Ötürmə funksiyasının ifadəsinə uyğun m -sayda sıfırlar ( 0)( sk ) və
n -sayda qütblər ( )(sk ) mövcuddur.
İfadədə 0a –dan başqa bütün ia - əmsallar sıfır olarsa uyğun süzgəc
polinomial adlanır.
Süzgəclərin işlənməsinin ikinci mərhələsinə seçilmiş ötürmə funksiyasına
uyğun süzgəcin quruluş sxeminin təşkili aiddir.
Süzgəcin quruluş sxeminin işlənilməsi üsulları çoxdur və bu üsulların geniş
istifadə olunanlarından biri ötürmə funksiyasını i -sayda bir tərtibli və j -sayda
ikitərtibli polinomlar nisbətinin hasili kimi göstərilməsinə əsaslanır:
jj
jjj
ji
ii
i bsbs
asasa
bs
asask
01
2
01
2
2
0
01
Ötürmə funksiyasının ifadəsi əsasında çox kaskadlı quruluş sxemi yaradılır.
Bu halda, süzgəc ardıcıl birləşdirilmiş manqalardan təşkil olunur. Bu manqallar bir-
birinə təsir göstərərək məxsusi ötürmə funksiyalarını dəyişdirmirsə, ümumi sxem n
tərtibli süzgəc funksiyasını yerinə yetirir.
Süzgəclərin manqalarla işlənməsində 2n və cüt tərtibli süzgəc tələb
olunursa, 2
n sayda ikinci tərtib süzgəc manqasından istifadə olunur və süzgəcin
ötürmə funksiyasının ifadəsi belə ifadə olunur:
jj
jjj
n
j bsbs
asasask
01
2
01
2
22
1)(
2n və tək tərtib süzgəc tələb olunarsa, süzgəc bir ədəd birinci tərtib və
2)1( n
-sayda II tərtib süzgəc manqaları əsasında işlənilir və onun ötürmə
funksiyası belə ifadə olunur:
jj
jjj
n
j bsbs
asasa
bs
asask
01
2
01
2
22
)1(
10
01
Qeyd edək ki, ötürmə funksiyasının göstərilən ifadələrində vuruqlardan hər
biri sabit ədədə vurula bilər və bu sabit ədədlərin hasili vahid olmalıdır.
77
Beləliklə, birinci tərtib süzgəc manqasına uyğun prinsipial elektrik sxemi
aşağıdakı ötürmə funksiyasını reallaşdıran sxem olmalıdır:
0cs
sPsk
Burada, )(sP - birinci və ya sıfırıncı tərtib polinom, 0c - sabit ədədidir.
İkinci tərtib süzgəc manqasına uyğun prinsipial elektrik sxemi isə aşağıdakı
ötürmə funksiyasını reallaşdıran sxem olmalıdır:
0
2 cbss
sPsk
Burada, )(sP – ikinci və ya ondan aşağı tərtib polinom; b və 0c - sabit
ədədlərdir.
İşlənilən süzgəc sxemləri üçün 0
c – məxsusi tezliyə, b
c0 -
keyfiyyətlilik əmsalına uyğundur.
12.4. Aktiv süzgəc üçün elektrik dövrəsinin sintezi
Süzgəclər kaskadlarla işləndikdə bir və iki tərtibli süzgəc manqalarından
istifadə olunur. Belə süzgəc manqalarını reallaşdıran çoxlu sayda elektrik sxemləri
mümkündür. Praktikada belə sxemlərdən daha dayanıqlı və yüksək göstəricisi
olanlar istifadə olunurlar. İstifadə olunan sxemlər həm reallaşdırdıqları süzgəc
növünə, həm də prinsipial elektrik sxemlərinin quruluşlarına görə fərqləndirilirlər.
Şəkil 12.4.1-də aşağı tezlik (a) və yuxarı tezlik (b) birinci tərtib süzgəc və
manqasını reallaşdıran prinsipial elektrik sxemləri göstərilmişdir.
78
Aşağı tezlik birinci tərtib süzgəc sxeminə (şəkil 12.4.1-a) uyğun ötürmə
funksiyasının ifadəsi aşağıdakı kimidir:
0
0)(cj
Kcjk
Sxem elementlərinin qiymətləndirilməsi aşağıdakı kimidir:
1. Öncə siqnalın kəsilmə tezliyinə görə kondensatorun tutumu sərbəst seçilir:
)(10
1 mkFf
Cc
,
2
c
cf - xətti kəsilmə tezliyidir;
2.
01
1
1
cCR
c - qiymətləndirilir;
3. Sxem üçün gücləndirmə əmsalı 112
3 R
RK - kimidir, 13 KRR və
1
12
K
KRR - kimi qiymətləndirilir.
Yuxarı tezlik birinci tərtib süzgəc sxeminə (şəkil 12.4.1-b) uyğun ötürmə
funksiyasının ifadəsi aşağıdakı kimidir:
79
0
)(
cj
Kjjk
c
Sxem elementlərinin qiymətləndirilməsi aşağıdakı kimidir:
1. Öncə siqnalın kəsilmə tezliyinə görə kondensatorun tutumu sərbəst
seçilir:
)(10
1 mkFf
Cc
,
2
c
cf - xətti kəsilmə tezliyidir;
2.
1
0
1c
cR - qiymətləndirilir, 1 - siqnalı saxlama tezliyidir;
3. Sxem üçün gücləndirmə əmsalı 112
3 R
RK - kimidir,
13 KRR və 1
12
K
KRR - kimi qiymətləndirilir.
Şəkil 12.4.2-də ikinci tərtib aşağı tezlik süzgəc və manqası üçün prinsipial
elektrik sxemi variantlarından biri verilmişdir. Sxem çox ilgəklə əks rabitəli adlanır.
Sxemə uyğun ötürmə funksiyasının ifadəsi aşağıdakı kimidir:
80
CBjj
CKjk
2)()( .
Sxem elementlərinin qiymətləri və ötürmə funksiyasının parametrləri
arasında münasibətlər aşağıdakı kimidir.
2132
2 1
CCRRC c ;
3212
1111
RRRCB c ;
1
2
R
RK .
Elementlərin nominallarının sxem texnikası tələblərini ödəməsi üçün, 1C və
2C tutumları sərbəst seçilir, müqavimətlər isə qiymətləndirilir. Nominallar real
olmadıqda, müqavimətləri eyni ədədə vurub, tutumları həmin ədədə bölmək olar.
Bu zaman sxemə uyğun elektrik və göstərici parametrlər olduğu kimi qalırlar.
12.5. Rəqəm-analoq çeviricisinin sintezi
Kompüter ikilik kodla təsvir olunan ədədlər üzərində kod çevirməsini
yerinə yetirir. Praktik məqsədlər üçün ikilik kodla təsvir olunan ədədlə mütənasib
olan analoq elektrik siqnalına ehtiyac olur. Məsələn, səs faylını səsləndirmək,
elektrik mühərrikinin işini idarə etmək və s. üçün ikilik koda uyğun analoq siqnal
səviyyəsi tələb olunur. Bu məqsədlə istifadə olunan və ikilik kodla təsvir olunan
ədədi bu ədədlə mütənasib olan elektrik siqnalına çevirən qurğu rəqəm-analoq
çeviricisi adlanır.
Təyinatından göründüyü kimi, rəqəm-analoq çeviricisi analoq-rəqəm
çeviricisinə tərs olan qurğudur. Belə ki, analoq-rəqəm çevirici qurğu analoq siqnalın
səviyyəsini ikilik koda (ardıcıl və ya paralel) çevirən qurğudur.
Hər iki çeviricinin sintez olunmasında diskret siqnalın təsiri ilə
kommutasiya olunan analoq açarlardan istifadə olunur.
Rəqəm-analoq çeviricisinin sintezi məsələsinə baxaq. Tam ədədin ikilik
kodla onluq təsviri
1
0
2n
s
s
saN kimi ifadə olunur. Burada, n - ikilik dərəcələrin
sayı, sa -ikilik təsvirdə s ci dərəcənin çəkisidir ( 0sa və ya 1sa qiymətlər
alır). Göründüyü kimi, verilmiş dərəcədə ədədin maksimal qiyməti 12max nN
kimidir. Onda,
maxN
Nk - nisbəti verilmiş ikilik kodun vahidə gətirilmiş
81
hissəsinin qiymətini ifadə edər. İstənilən sabit dayaq siqnalının (cərəyan və ya
gərginlik) səviyyəsinə uyğun qiymət isə belə ifadə olunar:
NN
skss
dayaq
dayaq
max
.
Bu ifadə rəqəm-analoq çevirməsinin riyazi modelini ifadə edir. Riyazi
modeldə
maxN
sdayaq - nisbəti ikilik kodun ən kiçik dərəcəsinə uyğun səviyyəndir
və diskret addım adlanır. Onda, ikilik koda mütənasib analoq siqnal səviyyəsi
Ns kimi ifadə olunar.
Məsələn, tutaq ki, dörd dərəcəli ikilik kodda 2)1100( ədədi verilmişdir (
15,12 max NN ). Bu ədədin vahidə gətirilmiş çəkisi 8.015
12k kimidir.
Dayaq siqnalı kimi Vsdayaq 5 gərginliyə malik mənbə götürülərsə, verilən ikilik
koda uyğun siqnal səviyyəsi Vs 4 təşkil edər. Digər tərəfdən, kodun dərəcəsinə
və dayaq gərginliyinə uyğun diskret addım V3
1
15
5 kimidir və ədədə uyğun
siqnalın səviyyəsi VNs 43
112 kimidir.
Göründüyü kimi, ikilik kodu ifadə edən analoq siqnal bu kodun qiyməti
qədər diskret addımları cəmləmə nəticəsində yaranır.
Rəqəm-analoq çevirməsini ifadə edən riyazi formulu reallaşdıran
prinsipial elektrik sxeminin bir variantı şəkil 12.5.1-də təsvir edilmişdir.
82
Sxem əməliyyat gücləndiricisi əsasında inversləyici cəmləyici funksiyasını
yerinə yetirir. Elektron açarlar ikilik koda uyğun kommutasiya olunurlar. Sxemdə D
və C açarları qapalı, A və B açarları isə açıqdır. Sxemdə 0RRN götürüldüyü
üçün ən kiçik dərəcəyə uyğun diskret addım VUdayaq 1 qiymətə malikdir.
Sxemə uyğun ötürmə funksiyası aşağıdakı kimidir:
150;842;0
NDCBANNR
RUU N
dayaqanaloq
13. SİQNALLARIN DİSKRET TƏSVİRİ
13.1. Diskret siqnallar ardıcıllığı üçün impuls modulyatoru
Diskret siqnalları kəsilməz siqnallardan fərqləndirən əsas cəhət onların
zamanın yalnız diskret anlarında təyin olunmalarıdır. Məsələn, radiostansiyalar
sutkanın müxtəlif anlarında havanın temperaturu haqqında məlumat verirlər. Belə
məlumatlar arasındakı müddətdə temperaturun qiymətləri təyin olunmayıb.
Kəsilməz )(tx - siqnalını diskret siqnala çevirən qurğulardan biri impuls
modulyatorudur (şəkil 13.1.1).
İmpuls modulyatoru iki girişə və bir çıxışa malik elektron qurğusudur.
Girişlərdən birinə )(tx - analoq siqnalı, digərinə isə - zaman intervalında
təkrarlanan sinxronlaşdırıcı impulslar təsir göstərir. - zaman intervalı diskret
addım adlanır.
83
Modulyatorun quruluşu elə seçilir ki, yalnız sinxronlaşdırıcı impuls təsir
etdikdə, qurğunun çıxışında )(tx - siqnalının ani qiyməti ilə mütənasib olan
)(txd - diskret siqnal impulsu yaranır. Bu zaman yaranan )(txd - siqnal
impulsunun sahəsi təsiredici )(tx - siqnalının ani qiyməti ilə mütənasib olur.
Qeyd olunanlara əsaslanaraq, impuls modulyatorun çıxışında yaranan siqnal
impulsları üçün riyazi modeli belə yazmaq olar:
k
d ktkxtx )()()( .
Diskret çevirmə zamanı siqnalın ani qiyməti siqnal impulsunun sahəsi ilə
mütənasib olduğundan ya davam müddəti sabit qalan və hündürlüyü dəyişən (şəkil
13.1.1,c), ya da ki, hündürlüyü sabit qalan və davam müddəti dəyişən (şəkil
13.1.1,d) impuls modulyasiyalarından istifadə etmək olar.
İmpulsun səviyyəsinə görə modulyasiya amplitud-impuls modulyasiyası
(AİM), impulsun davam müddətə görə modulyasiya isə eninə impuls modulyasiyası
(EİM) adlanır.
Praktikada hər iki modulyasiyadan istifadə olunur. Baxmayaraq ki, AİM
qurğusu quruluşca sadədir, modulyasiya zamanı siqnal səviyyəsinə görə xəttilik
tələb olunduğundan onun tətbiqi məhduddur. EİM üçün modulyasiya qurğusu
mürəkkəb olsa da, maneə dayanıqlığı yüksəkdir.
13.2. Diskret siqnal impulsları ardıcıllığının spektral sıxlığı
Zamanın verilmiş anı üçün analoq siqnalın -funksiya vasitəsi ilə dinamik
təsviri aşağıdakı kimidir:
dtxtx )()()(
Bu ifadədə, k - diskret zaman ardıcıllığı qəbul etsək və inteqralı cəmlə
əvəz etsək, zamanın verilmiş anında diskret siqnal üçün ifadə almış olarıq:
k
d ktkxtx )()()( .
İfadədən göründüyü kimi, diskret )(txd - siqnalı ilkin )(tx - siqnalının
aşağıdakı cəmə hasili nəticəsində yaranır:
84
k
ktt )()( .
Bu ifadə diskretləşdirici cəm adlanır.
Tutaq ki, )()();()( StStx xuyğun Furye
çevirmələridir. Onda )()()( ttxtxd - hasili üçün spektral sıxlıq belə ifadə
olunar:
dSSS xxd )()(2
1)( (13.2.1)
Hesablamalar göstərir ki, )(t diskretləşdirici cəm üçün spektral sıxlıq
tezlik oblastında
2 - addımı ilə təkrarlanan sonsuz impulslar ardıcıllığıdır:
n
nS )
2()(
.
Bu ifadəni diskret impulsun spektral sıxlığının (13.2.1) ifadəsində yerinə
yazıb, cəmin və inteqralın hesablama ardıcıllığını dəyişsək , diskret siqnalın spektral
sıxlığı üçün aşağıdakı ifadəni alarıq:
n
xxd
nSS )
2(
1)(
.
Beləliklə, diskret siqnalın spektri bu spektrin
2 - addımı ilə təkrarlanan
sonsuz sayda surətinin cəminin
1 - kəmiyyətinə hasili kimi hesablanır.
13.3. Diskret siqnal ardıcıllığının rəqəmsal təsviri: Analoq-rəqəm
çeviricisi
Kvant effektlər nəzərə alınmadıqda əksər real siqnallar (məsələn səs
siqnalları) analoq təbiətli olurlar. Belə siqnalların kompüter vasitəsi ilə emal
edilməsi üçün onlar rəqəm formasında təsvir olunmalıdırlar. Qeyd etdiyimiz kimi,
üsullardan biri siqnalın bərabər zaman intervallarında ölçülməsini təmin etməyə və
nəticələrin kompüterə daxil edilməsinə əsaslanır. Belə ölçmələrin tezliyi yüksək
olarsa, onda alınan diskret siqnala görə ilkin kəsilməz siqnalın formasını bərpa
85
etmək olar. Siqnalın bərabər zaman ardıcıllığı ilə qeyd olunması onun
diskretləşdirilməsi adlanır.
Çoxlu sayda qurğular verilənlərin kompüterə ötürülməsi zamanı diskretləşmə
yerinə yetirirlər.
Məsələn, səs kartı mikrofonun siqnalını diskretləşdirir, skaner
fotoelementdən gələn siqnalı diskretləşdirir və s.
Diskretləşmə nəticəsində analoq siqnal rəqəm ardıcıllığına çevrilir. Bu
əməliyyatı yerinə yetirən qurğu analoq-rəqəm çeviricisi (ADC- analogue to digital
convertor) adlanır. Analoq siqnalı qeyd edib onu çıxışa ötürən tezlik diskretləşdirici
tezlik adlanır.
Analoq-rəqəm çeviricisində üç funksiya yerinə yetirilir: diskretləmə,
kvantlama və kodlama. Bu üç proses birlikdə impuls-kod modulyasiyası adlanır
(şəkil 13.3.1).
İmpuls-kod modulyasiya sxeminə uyğun qrafiklər şəkil 13.3.2-də verilmişdir.
86
Diskretləşmə prosesində fasiləsiz siqnal zamana görə elektron hissələrə
bölünür, yəni tərkib hissələrinə ayrılır.
Kvantlama prosesində siqnal səviyyələrə görə əlavə diskretləndirilir, yəni
kvantlanır. Kvantlama prosesi riyaziyyatda olan yuvarlaqlaşdırma əməliyyatına
oxşayır. İki qonşu kvant səviyyələri arasındakı fərq kvant küyü adlanır.
Kvantlanmış siqnaldan müəyyən sayda kod kombinasiyaları təşkil olunur. Bu
proses kodlama adlanır.
Kodlama prosesində ədədin ikilik say sistemində maşın təsvirindən istifadə
olunur:
N
N
N
n
n
nax
221
0
Burada, na -in qiyməti sıfır və ya vahid olur, ədədin 1N ci dərəcəsində
sıfır olduqda NN a götürülür, vahid olduqda isə 1NN a götürülür.
Ən aşağı ikilik dərəcə kvantlama addımı adlanır. İkilik dərəcələri sayı nə
qədər çox olarsa, kvant küyü bir o qədər az olur. Lakin, bu zaman rəqəm süzgəc
üçün əməliyyat müddəti artır və süzgəcin sürətliliyi azalır. Praktikada dərəcələrinin
sayı 4-16 intervalda olan kod kombinasiyasından istifadə olunur.
Bərabər addımla kvantlama özünü praktikada doğrultmur. Belə ki, zəif
siqnalın emalı prosesində gərəli informasiya itir. Bu səbəbdən praktikada qeyri-
bərabər addımla kvantlamadan istifadə olunur. Güclü siqnallar üçün böyük
kvantlama addımı, zəif siqnallar üçün isə kiçik kvantlama addımı götürülür.
Qeyri-bərabər
addımla kvantlama
aparmaq üçün komnader
qurğusundan (sıxıcıdan) və
eksponder qurğusundan
(genişləndiricidən) istifadə
olunur.
Analoq-rəqəm
çevirməsini yerinə yetirmək
üçün çoxlu sayda elektrik
sxemləri mövcuddur. Ən
sadə sxemlərdən biri
əməliyyat gücləndiricisinin
komparator rejimindən
istifadə etməkdir. Sxem
87
variantlarından biri şəkil 13.3.1-də verilmişdir. Sxemdə dayaq gərginliyi bölücü
rezistorlar vasitəsi ilə beş bərabər hissəyə bölünür və hər bir hissə giriş gərginliyi ilə
müqayisə olunur. Müqayisənin nəticəsində əməliyyat gücləndiricilərin çıxışında
unitar kod yaranır. Unitar kodun rəqəm koda çevirdilməsi üçün isə prioritet
şifratordan (encoder) istifadə olunur.
13.4. Kotelnikov-Naykvist-Şennon teoremi
Sual belə qoyulur: İlkin siqnal və diskretləşdirici tezlik hansı şərti ödəməlidir
ki, rəqəm siqnal əsasında kəsilməz siqnal tələb olunan dəqiqliklə bərpa oluna bilsin?
Bu sualın cavabını Kotelnikov-Naykvist-Şennon teoremi verir. Teoremin
mahiyyətini izah edək.
Bildiyimiz kimi, ixtiyari kəsilməz funksiyanı sonlu oblastda Furye sırasına
ayırmaq olur. Funksiya müxtəlif amplituda, fazaya və əsas harmonikanın tezliyinin
tam ədədlər dəfə fərqlənən tezliklərə malik sinusoidal funksiyaların sırası kimi ifadə
olunur. Sinusoidalların əmsalları funksiyanın spektri adlanır. Hamar funksiyalar
üçün sinusoidal əmsallar sıranın artması ilə çox tez sıfıra yaxınlaşırlar. Hamar
olmayan funksiyalar üçün spektral əmsalların azalması ləng gedir. Çünki, kəsilən və
sərt dönən funksiyalar üçün daha yüksək tezlikli sinusoidallar tələb olunur.
Əgər müəyyən harmonikadan sonra bütün spektral əmsallar sıfıra bərabər
olarsa belə siqnal məhdud spektrə malikdir deyilir. Başqa sözlə, verilmiş zaman
intervalında siqnal sonlu Furye sırasının cəmi kimi ifadə olunur. Belə ifadə olunur
ki, siqnalın spektri F - tezliyindən aşağıda yerləşir. F -tezliyi Furye sırasında
əmsalı sıfır olmayan sonuncu sinusoidalın tezliyidir.
Kotelnikov-Naykvist-Şennon teoremi: Əgər siqnalın tezliyi F -tezliyi ilə
məhdudlaşarsa, onda siqnal F2 -tezliyiindən az olmayan tezliklə
diskretləşdirildikdə alınan diskret siqnal əsasında onun kəsilməz siqnalını mütləq
dəqiqliklə bərpa etmək olar.
Bunun üçün diskret siqnal xüsusi növ funksiyalar vasitəsi ilə diskret
qiymətlərə uyğun inteqrallanmalıdır. Diskretləşdirmə prosesində diskretləşdirici
tezliyin yarısına bərabər olan tezlik Naykvist tezliyi adlanır. Naykvist tezliyi diskret
qiymətlər əsasında bərpası mümkün olan sonuncu harmonikanın tezliyidir.
Praktikada bu teorem çox böyük əhəmiyyətə malikdir.
Məsələn, məlumdur ki, səs siqnalı məhdud spektrə malikdir. Onun spektri
kHs20 -dən aşağı tezliklərdə yerləşir. Bu o deməkdir ki, diskretləşməni
kHs40 -dən az olmayan tezlikdə aparmaqla rəqəm siqnalı əsasında onun kəsilməz
siqnalını bərpa etmək olar. Bu zaman mütləq dəqiqlik olmur, çünki təbiətdə ideal
məhdud spektrli siqnal olmur.
88
Diskret siqnalı kəsilməz siqnala interpolyasiya edən qurğu rəqəm-analoq
çeviricisi (DAC- digital toanalogie convertor) adlanır. Rəqəm-analoq çevirici
qurğudan kompakt-disk səsləndirici qurğularda rəqəmsal səs siqnalının kəsilməz
bərpası üçün istifadə olunur. Kompakt diskə səs siqnalını yazmaq üçün kHs1.44diskretləşdirici tezlikdən istifadə olunur. Beləliklə, Kotelnikov teoreminə əsasən
CD-pleyer üçün DAC kHs1.44 tezlikdə işləyir.
13.5. Aliasinq effekti. Spektrlərin biri-birini örtməsi
Diskretləşdirmə tezliyi Kotelnikov-Naykvist-Şennon teoreminin şərtini
ödəmədikdə və yaxud siqnalın spektri məhdud olmadıqda alınan diskret siqnal
əsasında onun kəsilməz formasını düzgün bərpa etmək mümkün olmur. Bu zaman,
tezliyi diskretləşdirmə tezliyinin yarısından yüksək olan siqnalların spektri bərpa
olunan spektrdə aşağı tezliklərə təsirini göstərir və onun üstünü örtür. Bu effekt
aliasinq adlanır.
Məsələn, tutaq ki, spektri kHs20 tezliklə məhdudlaşan səs siqnalını diskret
siqnala çevirmək istəyirik. Səsin yazılması zamanı hər hansı elektrik qurğusu
(məsələn, displey) kHs39 ultrasəs tezlikli küy siqnalı yaradır. Diskretləşmə
kHs1.44 tezlikdə aparılır və belə hesab edirik ki, kHskHs
5.222
1.44dən
aşağı tezliklər düzgün yazılır (Kotelnikov teoreminə görə).
Lakin, küy kHs5.22 tezlikdən yuxarıda yerləşdiyindən aliasinq yaranır və
bu da öz təsirini tezliyin aşağı oblastında, kHs5 ətrafında, göstərir. Belə
yazılmış siqnalı rəqəm-analoq çeviricisindən buraxıb qulaq assaq musiqinin
fonunda kHs5 tezlikli küy eşidəcəyik. Göründüyü kimi küy eşidilməyən ultrasəs
oblastdan eşidilən oblasta sürüşür.
Aliasinq diskretləşmə prosesində arzu olunmaz maneədir. Məsələn,
təsvirlərin rəqəmsal edilməsində təsvirdə müəyyən defektlərin yaranmasına səbəb
olur.
Aliasing effekti aradan götürmək üçün ya disretləşdirmə tezliyini elə artırmaq
lazımdır ki, yazılan siqnalın spektri yarım disretləşmə tezliyindən aşağıda yerləşsin,
ya da ki, diskretləşdirmədən əvvəl siqnalın spektrini məhdudlaşdırmaq gərəkdir.
Bu məqsədlə, aşağı tezlik süzgəcindən (low-pass filters) istifadə olunur. Belə
süzgəc kəsilmə tezliyindən (cuttoff frequency) aşağı tezlikləri buraxır, yuxarı
tezlikləri isə kəsir.
89
Diskretləşdirmədən əvvəl istifadə olunan belə süzgəc anti-aliasinq süzgəc
adlanır. Anti-aliasing süzgəc üçün kəsilmə tezliyi diskretləşmə tezliyinin yarısına
bərabər götürülür.
Məsələn, kHs22 kəsilmə tezlikli anti-aliasinq süzgəcdən istifadə etsək və
diskretləşməni kHs1.44 tezlikdə aparsaq aliasinq baş verməyəcək və bərpa
zamanı siqnal təhrif olunmayacaq.
Real analoq-rəqəm çeviricilərin hamısında antialiasinq süzgəcdən istifadə
olunur. Antialiasinq süzgəc düzgün seçilmədikdə səsin və ya təsvirin keyfiyyəti
azalır.
Məsələn, kHs11 tezlikdə səsin diskretləşməsi aparılarsa, onda kHs5.5 -
dən yuxarı tezlikli siqnallar filtrlənməlidir. Bunun nəticəsində musiqi keyfiyyətini
itirir. Əlbət ki, aliasianglə müqayisədə belə itki daha münasibdir.
14. DİSKRET SİQNALLARIN EMALI
14.1. Diskret xətti sistemin impuls xarakteristikası
Sistem – siqnal çevirici vasitədir. Diskret sistem - diskret siqnal çevirici
vasitədir. Proses )()( tytx dd kimi işarə olunur.
Adətən, əksər sistemlər zaman sürüşməsinə görə invariant olurlar:
)()( tytx olduqda )()( tytx olarsa belə sistem zaman
sürüşməsinə görə invariant sistem adlanır.
Bu o deməkdir ki, çıxış siqnalı yalnız giriş siqnalından asılıdır, girişə siqnalın
hansı zaman anında verilməsindən asılı deyil.
Real sistemlərin əksəriyyəti zamana görə invariantdırlar.
Məsələn, səsi (havanın sıxlığını) elektrik gərginliyi siqnalına çevirən
mikrofon invariantlıq şərtini ödəyir. Əlbəttə ki, mikrofonun keyfiyyətinin zamana
görə dəyişməsini nəzərə almasaq.
)()();()( 2211 tytxtytx olduqda
)()()()( 2121 tytytxtx olarsa belə siqnal çevirici
sistem xətti adlanır.
Əksər sistemlər üçün siqnal çevirməsini xətti hesab etmək olur. Məsələn,
mikrofon xətti sistemdir, əgər eyni zamanda onunla iki nəfər danışarsa, yaranan
90
elektrik siqnalı hər ikisinin ayrılıqda səsinin cəmini əks etdirəcək, əmsallar isə
onların səslərinin gurluğunu əks etdirəcək.
Xətti sistem sabit siqnalı sabit siqnala, harmonik siqnalı isə harmonik siqnala
çevirir.
Diskret xətti sistemin girişinə ][nx diskret siqnallar ardıcıllığı verildikdə,
çıxışında xəttilik xassəni ödəyən ][ny - diskret siqnallar ardıcıllığı yaranır: Proses
şərti olaraq ][][ nynx kimi işarə olunur.
Diskret siqnalların qrafiki təsvirində absis oxunda zamanın diskret anları,
ordinat oxunda isə bu anlara uyğun amplitudlar qeyd olunur (şəkil 14.1.1).
Xətti sistemin diskret siqnalı necə çevirməsini aydınlaşdırmaq üçün, ilk
növbədə onun rəqəm delta funksiyaya reaksiyasına baxaq.
Rəqəm delta funksiya
0,0
0,1][
n
nn - kimi ifadə olunur. Bu funksiya
süzgəc xassəsinə malikdir və ondan istifadə etməklə ][ix - diskret ardıcıllıqdan
ixtiyari n -ci həddin seçilməsi aşağıdakı kimi ifadə olunur:
i
inixnx ][][][ .
İfadə onu göstərir ki, ixtiyari diskret siqnal zamana görə sürüşdürülmüş delta
funksiyaların xətti kombinasiyaları kimi ifadə olunur. İfadədə delta funksiya bazis
funksiyadır, ][ix xətti kombinasiyada onun əmsallarıdır, n -in verilmiş ixtiyari
qiyməti üçün isə 1][][ nxnx - olur.
91
Diskret siqnalın rəqəm delta funksiya ilə dinamik təsviri şəkil 14.1.2-də
göstərildiyi kimidir.
Tutaq ki, xətti sistemin rəqəm delta funksiyaya reaksiyası ][][ nhn
kimidir. Onda ixtiyari giriş siqnalının zamana görə sürüşdürülmüş delta
funksiyaların xətti kombinasiyası kimi ifadə olunmasından və ][][ nhn
çevirməsindən belə nəticə alınır ki, sistemin çıxış siqnalı (sistem xətti və zamana
görə invariant olduğundan) zamana görə sürüşdürülmüş ][nh funksiyasının xətti
kombinasiyası kimi ifadə olunar:
k
knhkxny ][][][
][nh funksiyası təsiredici siqnaldan asılı deyil və xətti sistemin məxsusi
xarakteristikasıdır. Bu funksiyanı bilməklə, xətti sistemin istənilən diskret siqnala
reaksiyasını hesablamaq mümkündür.
][nh funksiyası diskret və xətti sistemin impuls xarakteristikası (impulse
response) adlanır.
Xətti sistemin ixtiyari siqnala reaksiyasının hesablanması alqoritminə baxaq.
Nümunə kimi təsviri emal edən xətti sistemi götürək.
Tutaq ki, ],[ jix - iki ölçülü təsiredici siqnal müstəvi üzərindəki
),( ji - nöqtələrdə təsvirin parlaqlığını ifadə edir.
Delta funksiya müstəvinin )0,0( - nöqtəsində qara fonda parlaq nöqtədir.
Sistemin ],[ jih impuls xarakteristikası isə (delta funksiyaya reaksiyası) mərkəzi
)0,0( - nöqtəsi ətrafında üç nisbi ölçülü radiusa malik dairə daxilində sabit ədədlə
ifadə olunan təsvirdir ( .],[ constjih ), bu dairədən kənarda isə sıfıra bərabərdir.
Sabiti elə seçmək olar ki, müstəvidə ],[ jih nin inteqralı vahidə bərabər
olsun.
92
Tutaq ki, təsvir siqnalı (təsiredici giriş siqnalı) qara fonda ixtiyari
),( nm - nöqtəsidir.
Sistem xəttidir və sürüşməyə invariant olduğundan, ),[ njmi ilə
ifadə olunan nöqtəvi təsvirə ],[ njmih təsviri ilə reaksiya verir.
Deməli, baxılan sistemin təsiredici təsvir siqnalına reaksiyası
),( nm - nöqtəsi ətrafında üç nisbi ölçülü radiusa malik dairə olacaqdır, yəni ixtiyari
nöqtə dairə formasına yayılır.
Baxdığımız impuls xarakteristika kompüter qrafikasında nöqtəni yayma
funksiyası (PSV-point spread function) adlanır.
İxtiyari birölçülü siqnal delta funksiyalar vasitəsi ilə xətti kombinasiyada
göstərilə bilindiyi kimi, təsvir siqnalı da nöqtələrdən ibarət təsvirlərin xətti
kombinasiyası kimi göstərilə bilər. Sistem xətti olduğundan, belə təsvirlərin cəminin
emalından sonra alınan təsvir hər nöqtədən alınan dairəvi təsvirlərin cəmi kimi
olacaqdır. Başqa sözlə ifadə etsək, hər bir nöqtə dairəyə yayılır və sonra bütün
dairələr toplanır. Beləliklə baxılan xətti sistem təsviri genişləndirir (yayır).
Digər xətti sistemlər öz impuls xarakteristikalarına uyğun digər məsələləri
həll edirlər. Məsələn, təsvirdə kəskinlik, kənarın götürülməsi, basma naxış
vurulması və s. tələblər olduqda uyğun impuls xarakteristikaya malik xətti
sistemlərdən istifadə olunur. Belə xətti sistemlər süzgəclər (filtrlər) adlanırlar.
14.2. Diskret uyuşma əməli
İxtiyari təsirə sistemin reaksiyası bir neçə üsulla hesablana bilər. Bundan
əvvəl baxdığımız üsul xətti sistemin impuls xarakteristikasının təsiredici siqnallar
üçün invariant olmağına əsaslanır. Bu üsulda təsvirin hər nöqtəsi h-funksiyasına
çevirdilir, sonra bu funksiyalar cəmlənir. Digər üsul siqnalların uyuşması
(convolution) metoduna əsaslanır.
Uyuşma zaman və ya tezlik diapazonunda verilmiş iki siqnalın hasilindən
yaranan effektdir. Məlum spektral sıxlıqlara malik iki siqnal hasilinin spektral
sıxlığı uyuşma inteqralı vasitəsi ilə ifadə olunur:
dSSS )()(2
1)( 21 .
Eyni qayda ilə, iki siqnal hasilinin zaman oblastda uyuşması belə ifadə
olunur:
93
dtssts )()()( 21.
Bu ifadəyə uyğun olaraq, İki diskret siqnal ardıcıllığının zaman oblastda
uyuşma əməli belə ifadə olar:
k
knsksns ][][][ 21.
Bu ifadə diskret xətti sistem üçün belə ifadə olunar:
k
knhkxny ][][][
İfadədən göründüyü kimi, ixtiyari diskret xətti sistem diskret giriş siqnalını
öz diskret impuls xarakteristikası ilə uyuşdurur. Diskret uyuşma əməli
][*][][ nhnxny kimi yazılır. Sistemin impuls xarakteristikası ][nh
funksiyası həm də uyuşmanın nüvəsi (kernel) adlanır.
Uyuşmanın ifadəsindən göründüyü kimi cəmlənən hədlər sonsuzdur. Lakin
kompüterdə emal olunan siqnallar sonlu həddə cəmlənirlər. Bu halda nə baş
verəcəyini aydınlaşdıraq.
Tutaq ki, ][nx diskret siqnalı yalnız ]1,0[ N parçasında sıfırdan
fərqlidir və N - sayda həddən ibarətdir. Uyuşma nüvəsi ][mh diskret ],[ 21 mm
parçasında sıfırdan fərqlidir və 121 mmM sayda nöqtədən ibarətdir.
Bu siqnalları uyuşma tənliyində nəzərə alsaq, alınan ][ny siqnalı
]1,[ 21 mNm parçasında sıfırdan fərqli olar.
Göründüyü kimi, reaksiya siqnalındakı diskret hədlərin sayı 1MN
olur, yəni uyuşma əməli diskret siqnalı öz ölçüsündən bir vahid az qədər, ( 1M )
sayda genişləndirir.
Diskret uyuşmanın xassələri bunlardır:
1) ][*][][*][ nxnynynx ilkin siqnalın və nüvənin yerini dəyişmək
olar;
2) ])[*][(*][][*])[*][( nznynxnznynx kimi qruplaşdırmaq olar;
3) ])[][(*][][*][][*][ nznynxnznxnynx .
94
14.3. Diskret korrelyasiya əməli
Çox vaxt bir siqnalın daxilində digərini aşkarlamaq tələb olunur. Məsələn,
ola bilər ki, xarici təsirlər vericidə eyni zamanda müxtəlif formalı siqnallar
generasiya edirlər və bu siqnallar biri-birini örtürlər. Bundan başqa, vericinin
çıxışında küy ola bilər və bu küy lazımı siqnalı aşkarlamağa əngəl yarada bilər.
Siqnal qarışığından tələb olunan siqnalı aşkarlamaq üçün korrelyasiya
(correlation) metodundan istifadə olunur.
Tutaq ki, verici diskret ][nx siqnalını generasiya edir və onun daxilində
sonlu həddə malik ][ng ardıcıllığını aşkarlamaq tələb olunur.
Bunun üçün, axtarılan ][ng ardıcıllığı vericinin ][nx siqnalı ilə
müqayisə olunur və onun içərisində axtarılan siqnala oxşar hallar qiymətləndirilir.
Qiymətləndirmə üçün, k -nın müxtəlif qiymətlərində ][nx və ][ kng diskret
siqnalların skalyar hasili hesablanır. Nəticədə, çıxışda alınan ][ky siqnalı onu
göstərir ki, k -cı mövqedə verilən ][nx siqnalı nə dərəcədə axtarılan ][ng
siqnalına oxşardır.
Korrelyasiyanın hesablanması üçün riyazi ifadə belədir:
i
kixigky ][][][ .
Cəmləməni ][ng siqnalı sıfırdan fərqli olan sonlu hədd parçasında
aparmaq olar. Əgər giriş siqnalı təkcə küydən ibarətdirsə, onda korrelyasiya da kiçik
qiymətə malik küy olacaqdır. Küyün içərisində axtarılan siqnala oxşar siqnal
forması yaranan kimi, korrelyasiyanın qiyməti yüksək olur.
Əksər hallarda, korrelyasiya funksiyası belə ifadə olunur:
k
kgknxny ][][][
Göründüyü kimi, korrelyasiyanın hesablanması üçün ifadə uyuşma
ifadəsinə oxşardır.
Həqiqətən də, kk əvəz etsək, korrelyasiya üçün ekvivalent formula
alarıq:
95
k
kgknxny ][][][ .
Uyuşma ifadəsində nüvəni ][][ kgkh kimi işarə etsək korrelyasiya
və uyuşma ifadələri eyni olarlar.
Beləliklə korrelyasiya uyuşma kimi hesablana bilər.
Korrelyasiyanı həm də kross-korrelyasiya adlandırırlar. Siqnalın özünün
özündə axtarılması, yəni formasının təkrarlanmasının axtarılması avtokorrelyasiya
adlanır. Avtokorrelyasiyadan radiolokasiyada istifadə olunur.
14.4. Diskret Furye çevirməsi üçün hesablama alqoritmi
Siqnalların harmonik sıralar (sinusoidallar) əsasında analizi bir sıra cəhətdən
üstünlüyə malikdir. Məsələn, səsi insan qulağı müxtəlif tezlikli sinusoidal rəqslər
kimi qəbul edir. Sinusoidallar xətti sistemlərin məxsusi funksiyalardır. Spektral
analiz əsasında siqnalın bərpası üçün Kotelnikov teoremi də siqnalın spektri
(sinusoidalların tezliyi) əsasında ifadə olunur.
Furye çevirməsi (Fourier transform) – funksiyanı (siqnalı) sinusoidallara
ayırmaq deməkdir. Furye çevirməsinin bir neçə növü mövcuddur.
1. Qeyri periodik kəsilməz siqnalın Furye inteqralı formasında ifadəsi.
2. Periodik kəsilməz siqnalın sonsuz Furye sırasının cəmi şəklində ifadəsi.
3. Qeyri periodik diskret siqnalın Furye inteqralı formasında ifadəsi.
4. Periodik diskret siqnalın sonlu Furye sırasının cəmi formasında ifadəsi.
Kompüter yalnız məhdud həcmdə verilənləri emal edə bildiyindən, onun
vasitəsilə sonuncu iki növ çevirmə aparıla bilər.
Tutaq ki, diskret ][nx siqnalı N-nöqtədə perioda malikdir. Bu halda onu
diskret sinusoidalların sonlu cəmi kimi göstərmək olar:
2
0
2
0
2
0
)(2cos
2sin
2cos][
N
k
kk
N
k
k
N
k
kN
nkC
N
knB
N
knAnx
96
Sinusoidalların tezlikləri diskretdir. Sıranın birinci həddi sabit ədəddir və
siqnalın sabit tərkibi (DC-offset) adlanır. Birinci sinusoidal ən aşağı N
2tezliyə,
sonuncu sinusoidal isə ən yüksək N
n2tezliyə malikdir.
kk BA , əmsalları siqnalın spektridir (spectrum) və sinusoidallar üçün
amplitudadırlar. Qonşu sinusoidallar arasında tezlik intervalı spektrin ayırd edilməsi
tezliyi adlanır.
Hər bir diskret siqnal üçün kk BA , əmsalları birqiymətli təyin olunur. Bu
əmsallar əsasında isə ilkin siqnal birqiymətli bərpa olunur. Diskret spektral
əmsalların təyini düz diskret Furye çevirməsi, buna əks olan proses – siqnalın sintezi
isə tərs diskret Furye çevirməsi (invers Fourier transform) adlanır.
Diskret siqnal üçün düz Furye çevirməsinin hesablama alqoritmini təhlil
edək.
Göstərilən funksiyalar sisteminə baxaq:
2,...,0,
2cos,
2sin
Nk
N
kn
N
kn
.
Bu funksiyalar sistemi periodik diskret siqnallar fəzasında N - sayda perioda
malik və n sayda arqumentdən asılı ortoqonal bazis təşkil edir. Bu o deməkdir ki,
siqnalın istənilən elementini bazis funksiyaları vasitəsi ilə ifadə etmək üçün bu
elementlə sistemin bütün funksiyalarının skalyar hasillərini tapmaq gərəkdir və
sonra alınan əmsallar normallaşdırılmalıdır. Diskret spektral əmsalların
hesablanması üçün ifadələr göstərildiyi kimidir:
2,...,1,
2sin][
2
2,...,1,
2cos][
1
12
,...,1,2
cos][2
1
0
1
0
1
0
Nk
N
kiix
NB
Nk
N
kiix
NA
Nk
N
kiix
NA
N
i
k
N
i
k
N
i
k
Sual oluna bilər ki, nəyə görə verilmiş siqnal N-sayda həddən ibarətdir,
əmsalların sayı isə 2N dir. Qeyd edək ki, əmsallardan ikisi 2/0 , NBB
97
həmişə sıfırdır, çünki onlara uyğun bazis funksiyalar diskret nöqtələrdə sıfırdır. Bu
səbəbdən düz və tərs Furye çevirmələrində onları atmaq olar.
Beləliklə aydın olur ki, diskret siqnallar zaman və tezlik oblastlarda qarşılıqlı
və birqiymətli təsvir olunurlar. Belə təsvir üçün düz və tərs diskret Furye
çevirməsindən istifadə olunur. Hesablama alqoritmi tərtib olunan riyazi düsturlarda
ifadə olunub.
Furye çevirməsi çoxlu sayda (təqribən 2N ) vurma əməliyyatı və sinus
funksiyaların hesablanmasını tələb edir ki, bu səbəbdən də ləng yerinə yetirilir.
Çevirmələr zamanı cəld hesablamalar aparmaq üçün cəld Furye çevirməsi
(fft- fast Fourier transform) üsulu işlənilmişdir. Bu üsul çevirmə zamanı vurma
əməliyyatlarının sayını NN 2log ə qədər azaltmağa imkan verir. Metod ona
əsaslanır ki, harmonik funksiyalar üzərində hesablamalar periodik
təkrarlandığından, vurmaların içərisində çoxlu sayda təkrarlanan qiymətlər
mövcuddur. Hesablama alqoritmi elə tərtib olunur ki, təkrarlanan hesablamalar
qruplaşdırılır və bir dəfə yerinə yetirilir. Əməliyyatların sayı azaldığından cəld
Furye çevirməsi standart haldan daha dəqiq olur, çünki nəticələrin kompüterdə
yuvarlaqlaşdırılmasında daha az səhv buraxılar.
Cəld Furye çevirməsi alqoritmi dəqiq alqoritmdir və standart hesablama
üsulu kimi, riyazi hesablama üçün proqramlar paketinə daxil edilir.
Əksər cəld Furye çevirməsi alqoritmləri tələb edir ki, analiz olunan siqnalda
hədlərin sayı nN 2 olmalıdır. Bu elə problem yaratmır, çünki analiz olunan
siqnala sıfır qiymətə malik hədlər daxil etməklə onu istənilən qədər uzatmaq olar.
Belə təyin olunan N -ədədi cəld Furye çevirməsinin ölçüsü (FFT size) adlanır.
14.5. Kompleks və ikiölçülü diskret Furye çevirməsi
Diskret Furye çevirməsini kompleks siqnal halı üçün ümumiləşdirmək olar.
Tutaq ki, 1,...,0],[ Nnnx kompleks siqnaldır və N -sayda həddən
ibarətdir. Bu siqnalın kompleks spektrini 1,...,0],[ NkkX işarə edək.
Kompleks spektr də N -sayda kompleks ədədlər ardıcıllığıdır. Onda belə siqnalın
düz və tərs Furye çevirmələri üçün ifadələri aşağıdakı kimi olar:
98
1
0
1
0
2exp][][
,2exp][][
N
k
N
n
NjnkkXnx
NjnknxkX
Bu ifadələr əsasında həqiqi siqnal üçün çevirmə aparsaq, onda spektrin
kompleks əmsallarından 12
Nqədəri həqiqi diskret Furye çevirməsinə uyğun
olacaq, qalan hissə isə diskretləşmə tezliyinin yarısına nəzərən əmsalların güzgü
əksi olacaq. Güzgü əksi üçün kosinusun əmsalları cüt, sinusun əmsalları isə tək
hədlərdir.
İkiölçülü diskret Furye çevirməsi: Təsvirlərin emalında ikiölçülü siqnaldan
istifadə olunur. İkiölçülü diskret siqnal üçün diskret harmonik bazislər göstərildiyi
kimidir:
.2
cos2
cos),(
,2
sin2
sin),(
2
22
1
1121
cos
2,1
2
22
1
1121
sin
2,1
N
nk
N
nknnh
N
nk
N
nknnh
kk
kk
Burada, 21 NN siqnalın və spektrinin ölçüsü; 21, kk bazis
funksiyaların nömrələridir. Spektrin ölçüsü siqnalın ölçüsünə bərabər olduğundan
1,...,0;1,...,0 2211 NkNk - kimidir. 21,nn bazis funksiyaların
dəyişən arqumentləridir. Bazis funksiyalar üçün təyin oblast siqnalın təyin oblastı
ilə eyni olduğundan 1,...,0;1,...,0 2211 NnNn kimidir.
İkiölçülü diskret siqnal üçün diskret Furye çevirməsi aşağıdakı ifadələrlə
yazılır:
99
Burada, ],[ 21 nnx ilkin siqnal, ],[ 21 nnX isə onun spektridir. Bu
formullar vasitəsi ilə birbaşa hesablamaların aparılması çoxlu hesablama tələb edir.
Lakin hesablamanı iki ölçüdə aparmaqla onu sadələşdirmək olar. Hesablamalar sətir
və sütun elementləri üzrə birölçülü aparılır. Hər piksel kompleks ədəd şəklində
saxlanılır.
14.6. Çevik Furye çevirməsinin tətbiqləri
Spektral analiz: Çevik Furye çevirməsi (ÇFÇ) üçün ən çox istifadə olunan
sahə siqnalların spektral analizidir. Belə çevirmə zamanı ən çox harmonik
komponentlər üçün fazadan deyil amplituddan ( kC əmsallarından) istifadə
olunur. Qrafik olaraq amplitud-tezlik xarakteristika təsvir olunur. Əksər hallarda,
amplitud oxunda onun öz qiyməti deyil, desibel (loqarifm vahidi) ilə ifadə olunmuş
nisbəti göstərilir.
Məsələn, dB20 fərq amplitudın 10 dəfə, dB40 fərq isə 100 dəfə
fərqləndiyini göstərir. Amplitudın 2 dəfə fərqlənməsi təqribi olaraq dB6 qiymətə
uyğun gəlir. Bəzi hallarda tezlik oxu da loqarifmik miqyasla dərəcələnir.
İlk əməliyyat spektrin hesablanacağı parçanın seçilməsindən ibarətdir. ÇFÇ
üçün parçanın uzunluğu n2 sayda seçilir. Çatışmayan say sıfırlarla doldurulur.
Bundan sonra seçilmiş siqnal parçası üçün ÇFÇ tətbiq olunur. Amplitud əmsalları
22kkk BAC kimi hesablanır.
Spektrin hesablanması zamanı müəyyən arzu olunmayan effektlər baş verə
bilər. Məsələn, funksiyanı Furye sırasına ayırarkən onun periodik olduğunu və bu
periodların ÇFÇ-in uzunluğuna bərabər olduğunu qəbul edirik. Periodlarin
sərhədində funksiya kəsilən olur (verilmiş funksiya periodik olmadığı üçün) və bu
da spektrin təhrifinə səbəb olur.
Bu effekti aradan götürmək üçün ölçüyə gətirən pəncərədən istifadə olunur.
Belə pəncərə spektral oblastın kənarında funksiyanı hamarlayır.
Ölçüyə gətirən pəncərə funksiyası Qaus funksiyası forması kimidir. Siqnalın
analiz olunan hissəsi ölçü pəncərəsi funksiyasına vurulur, bununla da funksiyanın
kəsilən hissəsi hamarlanır və qeyri periodikliyə görə ÇFR-in təhrifi aradan
götürülür.
Müxtəlif pəncərə funksiyaları təklif olunmuşdur. Onlardan ən çox Hamminq
pəncərəsi (Hamming window) və Blackman pəncərəsi (Blackman window) istifadə
olunur:
100
,2
cos46.054.0][minN
nnw gHam
.4
cos08.02
cos5.042.0][N
n
N
nnwBlackman
Pəncərə 0 -dan N -ə kimi bütün siqnallar üçün tətbiq olunur.
Ən çox Hamminq pəncərəsindən istifadə olunur.
Təhriflərin düzəldilməsi üçün Blackman pəncərəsi daha çox təsirə malik
olmasına baxmayaraq bir sıra çatışmazlığa malikdir. Hər iki pəncərə funksiyasının
təsviri şəkil 14.6.1-də göstərilmişdir.
Spektral analizin əsas xüsusiyyətlərindən biri budur ki, hər hansı siqnal üçün
yeganə və düzgün spektr mövcud deyil. Spektri müxtəlif ölçüyə malik ÇFÇ
vasitəsilə müxtəlif pəncərə funksiyalarının istifadəsi ilə hesablamaq olar. Hər bir hal
üçün özünə məxsus üsul seçilməlidir.
Digər xüsusiyyət budur ki, spektral ayırma zamanı verilən siqnalın tərkibi
olan sinusoidal harmonikanı tapmırıq, tapırıq ki, diskret tezliklərə uyğun
amplitudları necə götürmək lazımdır ki, verilən siqnalı bərpa edə bilək.
Digər sözlə ifadə etsək, spektral ayırma mənbəyin tezliyinə görə deyil,
ÇFÇ-nin alqoritminin tezliyinə görə alınır. Buna baxmayaraq pəncərə
101
funksiyasından istifadə etdikdə bu effekt spektrin qrafikində hiss olunmur, spektr
verilən siqnalın tezliyini adekvat əks etdirir.
Çevik uyuşma və korrelyasiya alqoritmləri: Uyuşma əməliyyatı
siqnalların rəqəmli emalı üçün əsas proses sayılır. Tutaq ki, N -siqnalın uzunluğu,
M -uyuşma nüvəsinin uzunluğudur. Bu zaman uyuşmanın bir başa hesablanması
üçün MN sayda vurma əməliyyatı tələb olunur. Əksər hallarda uyuşma nüvəsi
çox uzun olur, hətta bir neçə min sayda ola bilər və bu səbəbdən də vurma
əməliyyatlarının sayı çox böyük olur.
Uyuşma əməliyyatını daha cəld hesablamaq üçün xüsusi alqoritm
işlənmişdir. Alqoritmin əsasını uyuşma haqqında məlum teorem təşkil edir və belə
ifadə olunur:
Teorem: Zaman oblastı üçün uyuşma tezlik oblastında vurma əməliyyatına
ekvivalentdir və zaman oblastında vurma əməliyyatı isə tezlik oblastında uyuşma
əməliyyatına ekvivalentdir.
Bu teorem onu göstərir ki, iki siqnalın uyuşmasını hesablamaq üçün əvvəlcə
onları tezlik oblastında təsvir edib spektrlərini hesablamaq, sonra isə alınan
spektrlərin hasilini zaman oblastına çevirmək olar. Bu zaman çevik Furye
çevirməsinin alqoritmindən istifadə edərək uyuşmanın hesablanmasına sərf olan
müddəti bir neçə tərtib azaltmaq olar. Alqoritmin təsviri aşağıdakı kimidir:
Siqnalın N - və nüvəsinin M - uzunluqları ikinin tam tərtibinə
)1,2( MNLL m qədər tamamlanır və əlavə olunmuş hədlərə sıfır
qiymətlər yazılır;
Hər iki siqnal üçün ÇFÇ- əməliyyatı yerinə yetirilir;
Çevirmənin kompleks əmsalları biri-birinə vurulur və yeni
kompleks spektral əmsallar alınır:
1,2
,...,0,2211 iL
kiBAiBAiBA old
k
old
k
old
k
old
k
new
k
new
k ;
Alınan yeni spektral əmsallar üzərində tərs Furye çevirməsi
aparmaqla L -uzunluğa malik siqnal hesablanır və bu siqnal iki siqnalın
1 MNL -sayda nöqtələrdən ibarət uyuşması olur.
Bəzi hallarda siqnal çox uzun olur və kompüterin yaddaşı kifayət etmir. Bu
halda uyuşma seksiyalarla yerinə yetirilir. Uzun siqnal bir neçə parçaya bölünür və
hər parçanın nüvə ilə uyuşması aparılır. Alınan hissələr ardıcıl elə düzülür ki,
nüvənin M -uzunluğuna uyğun 1M nöqtələr biri-birini örtürlər. Örtülmə
102
nöqtələrində cəmləmə aparılır. Adətən, hesablamanın cəld yerinə yetirilməsi üçün
giriş siqnalın seksiyalarının ölçüsü uyuşmanın uzunluğu ilə eyni tərtibdə götürülür.
Qeyd edək ki, korrelyasiyanı uyuşma vasitəsi ilə hesablamaq mümkün
olduğundan baxılan çevik uyuşma alqoritmi korrelyasiya üçün də yararlıdır.
Filtrasiya: Uyuşmanın hesablanmasında siqnalların hasilindən yaranan
effekt filtrasiya adlanır. Spektrlər kompleks ədədlər kimi vurulduqda, ilkin siqnalın
və uyuşma nüvəsinin harmonik iC amplitudları vurulur, fazaları isə toplanır.
Göründüyü kimi spektri dəyişdirmək imkanına malik oluruq. Bu çox mühüm
əməliyyatdır. Məsələn, səsin yazılması zamanı onu küydən təmizləmək, siqnal
təhriflərini aradan götürmək, alətin tembrini dəyişmək, dinləyicinin diqqətini
müəyyən ifaya yönəltmək və s. mümkün olur.
Təsvirlərin emalı prosesi zamanı da filtrasiya bir sıra effektlər yaratmağa
imkan verir: təsvirin genişləndirilməsi, sərhədin qeyd olunması, basmanaxış yapma
və s.
Filtrasiya həmçinin, qarışıq siqnalların seçilməsində, siqnalda küyün
götürülməsində və s. istifadə olunur.
Filtrasiya prosesində uyuşma nüvəsi süzgəc adlanır. Bəzən süzgəc olaraq
filtrasiya prosesini yerinə yetirən bütöv qurğu adlandırılır. Süzgəcin ölçüsü dedikdə
uyuşma nüvəsinin ölçüsü başa düşülür.
Ümumi halda, süzgəc siqnalın spektrində harmoniyaların amplitud və
fazasını dəyişən qurğuya deyilir. Ancaq elə süzgəc layihələndirmək olar ki, o
siqnalın fazasını dəyişdirməsin. Belə süzgəc xətti fazalı adlanır. Əgər faza
dəyişmirsə, bu o deməkdir ki, siqnalın bütün harmoniyaları zaman oblastında eyni
qiymət qədər sürüşürlər. Siqnalın fazasını təhrif etməyən və yalnız zaman sürüşməsi
yaradan belə süzgəcin uyuşma nüvəsi öz mərkəzi nöqtəsinə nəzərən simmetrik olur.
İxtiyari süzgəc üçün əsas xassə onun tezlik və amplitud xarakteristikasında
əks olunur. Bu xassələr onu göstərir ki, emal olunan siqnalın amplitud və fazasına
süzgəc hansı təsiri göstərir. Süzgəc xətti fazaya malik olduqda onun yalnız tezlik
xarakteristikasına baxılır. Adətən tezlik xarakteristika amplitud-tezlik asılılıq qrafiki
kimi təsvir olunur və desibellə ifadə olunur.
Məsələn, əgər süzgəc kHs)100( tezlik oblastında siqnalı dəyişməz
buraxırsa və kHs10 -dən yuxarı tezliklərdə onu iki dəfə )6( dB zəiflədirsə, bu
siqnalın tezlik xarakteristikası
kHsfdB
kHsfdBfA
10,6
10,0)( - olar.
Tezlik xarakteristikanın dB0 qiyməti onu göstərir ki, süzgəc siqnalı
dəyişdirmədən buraxır.
103
Siqnal zəiflədikdə amplituda mənfi desibellə, gücləndirildikdə isə müsbət
desibellə ifadə olunur.
Tezlik xarakteristikasının formasına görə süzgəclər aşağı tezlikli (low-pass
filters), yuxarı tezlikli (high-pass filters), buraxma zolaqlı (band-pass filters) və
udma zolaqlı (band-reject filters) olurlar.
Daha mürəkkəb tezlik xarakteristikaya malik süzgəclər də mövcuddur.
Adətən, siqnal üçün tələb olunan tezlik xarakteristikaya malik süzgəc yaratmaq tələb
olunur.
Qoyulan tələblərə uyğun dəqiq süzgəc yaratmaq mümkün olmadıqda ona
yaxın xarakteristikalı işlənilir.
Məsələn, aşağı tezlikli ideal süzgəc yaratmaq mümkün deyil. Yəni, verilmiş
tezlikdən yuxarı tezlikli siqnalı tam kəsən, aşağı tezliklərdəki siqnalı isə tam buraxan
süzgəc yaratmaq mümkün deyil.
Real aşağı tezlikli süzgəclər hamar dəyişən tezlik xarakteristikasına və keçid
oblastına malik olurlar. Bu səbəbdən, istifadə olunacaq süzgəc üçün elə tələb
qoyulmalıdır ki, onu reallaşdırmaq mümkün olsun.
Məsələn, real aşağı tezlikli süzgəc tezliyin kHs)5.90( intervalında
dB5.0 fərqlənmə ilə dB0 qiymətə malik buraxma zolağına malik,
kHs5.10 tezlikdən yuxarı tezliklərdə isə siqnalı dB50 zəiflədə bilər.
Bəzi hallarda, süzgəclər üçün daha sərt tələblər qoyulur. Məsələn, süzgəc bir-
neçə buraxma və udma zolağına malik ola bilər. Tələb olunan tezlik
xarakteristikasına malik süzgəc layihələndirmək üçün çoxlu sayda üsullar
işlənilmişdir.
Qeyd edək, süzgəc siqnalların rəqəmli emalında uyuşma nüvəsi olduğundan,
əsas tələblərdən biri onun ölçüsünün mümkün qədər az olmasıdır. Bu səbəbdən,
süzgəcin işlənilməsi onun ölçüsünün qiymətləndirilməsindən başlayır.
Çevik Furye çevirməsinin digər tətbiqlərinə aiddirlər:
Dekonvolyusiya prosesi (deconvolution)- hər hansı xətti sistem tərəfindən
təhrif olunmuş siqnalın bərpa edilməsi prosesinə deyilir.
Məsələn, keyfiyyətsiz mikrofondan istifadə ilə yazılmış sıs siqnalını
düzəltmək mümkündür. Bu zaman mikrofonun tezlik xarakteristikası məlum
olmalıdır (adətən, tezlikdən asılı olaraq siqnalın amplitudunun necə dəyişməsi
mikrofonun pasportunda olur).
Resamplinq prosesi (resampling)- siqnalın diskretləşmə tezliyinin
dəyişdirilməsi prosesinə deyilir.
104
Məsələn, təsvirlərin ölçüsünü dəyişdirmək üçün tətbiq olunur. Təsviri iki
dəfə böyütmək üçün sətir və sütun elementlərini iki dərə təkrarlamaq olar, iki dərə
azaltmaq üçün isə qonşu sətir və sütun elementlərini atmaq olar.
Bu üsul yaxın qonşu üsulu (nearest neighbor) adlanır. Aralıq qiymətlərin
tapılması üçün xətti interpolyasiya (bilinear interpolation) metodundan da istifadə
etmək olar.
Təsvirlər üçün anti-aliasianq prosesi (supersampling) - siqnalların
kəsişməsi oblastında bərpa aparmaq üçün işlədilən prosesdir.
Aliasing mətnin və qrafikanın pis oxunmasına səbəb olur. Təhrifi azaltmaq
üçün kompüter qrafikasında geniş istifadə olunan supersampling üsulundan istifadə
olunur. Üsulun mahiyyətini təsvirin daha yüksək ayırdetmə ilə generasiya olunması
və təsvir üçün rasamplinqin tələb olunan ölçüyə çatdırılması təşkil edir.
Təsvirlər üçün tam olmayan rəng çaları prosesi (half-toning) - az sayda
rəng çalarlardan istifadə etməklə tam rəng illüziyasını yaradılması prosesinə deyilir.
Digər tətbiqlər: təsvir üçün bərabər işıqlandırma prosesi; təsvirin
yaxşılaşdırılması və bədii effektlərin tərtibatı prosesi; təsvirdə fraqmentin axtarışı
prosesi; üçölçülü hal üçün emal prosesləri; təsvirin sıxılması prosesi; müxtəlif
səbəblərdən təhriflə yazılmış təsvirlərin bərpası prosesi (məsələn hərəkət edən
obyekt üçün təsvirin yayılması, iki harmonikadan ibarət interferensiya mənzərəsi və
s.).
15. RƏQƏMSAL FİLTRASİYA
15.1. Rəqəmsal filtrasiyanın prinsipi
Siqnalların rəqəmli emalı üçün müxtəlif mikroelektron hesablama
qurğularından və sistemlərindən, fərdi kompüterlərdən geniş istifadə olunur. Diskret
siqnalların emalı xətti stasionar rəqəm süzgəcləri vasitəsi ilə yerinə yetirilir. Rəqəm
süzgəci dedikdə alqoritm və proqram vasitəsi ilə rəqəm prosessorlarında siqnalın
çevrilməsi üçün yerinə yetirilən riyazi əməliyyatlar nəzərdə tutulur. Siqnalların
rəqəmli emalının prinsipinə uyğun struktur sxemi şəkil 15.1.1-də verilmişdir:
105
Analoq siqnal )(tx analoq rəqəm çeviricisinin (ARÇ) girişinə ötürülür.
Çevirici generatorun sinxronlaşdırıcı impulsları ilə idarə olunur. Sinxronlaşdırıcı
impulsların davam müddəti diskretləşdirmə tezliyini təyin edir.
Yalnız impulsların daxil olunması anında çeviricinin çıxışında siqnalın
rəqsinin ani qiymətinə uyğun ikilik kodu yaranır.
ARÇ-nin quruluşundan asılı olaraq ikilik kodlar ardıcıl və ya paralel şəkildə
rəqəm prosessorunun hesablama qurğusunun girişinə ötürülürlər.
Hesablama qurğusunda ikilik kodlar üzərində riyazi əməllər və zamana görə
diskret intervalın tam sayı qədər sürüşmə yerinə yetirilir.
Yaddaş qurğusunda emal üçün verilənlər, siqnalın əvvəlki və sonrakı
anlardakı qiymətləri saxlanılır.
Rəqəm prosessoru sinxronlaşdırıcı impulslarla idarə olunur və ikilik kodlar
üzərində verilmiş alqoritm üzrə kodları çevirdikdən sonra çevrilmiş kodu çıxışa
ötürür.
Tələb olunduqda bundan sonra rəqəm analoq çevirici (RAÇ) istifadə olunur.
Siqnalın rəqəm prosessorunda emalı prosesi rəqəm süzgəci adlanır. Rəqəm
süzgəci üçün əsas göstərici onun sürətliliyidir. Bu göstərici istifadə olunan texniki
vasitələrin (mikroelektron komponentlərin) sürətliliyi və emal alqoritminin yerinə
yetirilmə müddəti ilə qiymətləndirilir.
15.2. Xətti rəqəmsal filtrasiya və Z-çevirmə
Xətti və rəqəmsal filtrasiya qurğuların analizi və sintezi üçün Z-çevirmədən
istifadə olunur. Rəqəm siqnallar üçün Z-çevirmə Furye və Laplas çevirmələrin
kəsilməz siqnallar üçün oynadığı rolu oynayır.
106
Tutaq ki, ,...),,(}{ 210 xxxxk sonlu və ya sonsuz rəqəm siqnalı
ardıcıllığıdır. Bu siqnalın Z-çevirməsi kompleks z-dəyişənindən asılı aşağıdakı
sonlu cəmə deyilir:
0
2
210 ...)(
k
k
k zxz
x
z
xxzX
Məsələn, vahid diskret siqnal üçün ,...)0,0,1(}{ kx kimidir və
1)(zX olur.
,...)0,0,0,1,1,1(}{ kx diskret siqnalı üçün isə ifadə belədir:
2
2
2
1111)(
z
zz
zzzX
.
İxtiyar z-dəyişəni və 0k üçün )(zX cəmi o zaman sonlu olur ki,
aşağıdakı şərt ödənsin:
)0,0(, RMMRx k
k .
Məsələn, ,...)1,1,1(}{ kx kimi sonsuz diskret siqnal qiymətləri
ardıcıllığı üçün Z-çevirmə həndəsi silsilədir:
1...
111)(
2
z
z
zzzX .
Bu çevirmə analitik funksiyadır və 1z nöqtəsində yeganə qütbə
malikdir.
Əgər ,...),,(}{ 210 xxxxk ardıcıllığı kəsilməz )(tx -siqnalının kt
diskret zaman anları üçündürsə onda uyğun z-çevirməsi aşağıdakı kimi ifadə olunar:
0
)()(k
kzkxzX .
Məsələn, )exp()( ttx olarsa,
0 )exp(
)(k
kk
z
zzezX
olar.
107
Tərs z-çevirməsi də mövcuddur. Tərs z-çevirməsinin ifadəsini almaq üçün
0
2
210 ...)(
k
k
k zxz
x
z
xxzX
ifadəsinin hər iki tərəfi 1mz vuruğuna vurulur. Nəticədə
......)( 12
1
1
0
1 zxzxzxzzX m
mmm
ifadəsi alınır. İfadə qapalı kontur üzrə inteqrallanır və bu zaman
1,0
1,2
n
njdzz n
-
olduğu nəzərə alınır. Nəticədə tərs z-çevirməsi üçün ifadə alınır:
dzzXz
jx m
m )(2
1 1
.
Z-çevirmənin xassələri: Z-çevirmə ilə Furye və Laplas çevirmələri arasında
əlaqə yaratmaq mümkündür və belə əlaqədən istifadə edərək Furye və Laplas
çevirmələrin xassələrini z-çevirməyə şamil etmək olur.
Tutaq ki, diskret siqnal 0t üçün ideal impulslar ardıcıllığıdır:
0
)()(k
kd ktxtx .
Belə impuls ardıcıllığı üçün Laplas çevirməsinə uyğun təsvirin ifadəsi
aşağıdakı kimidir:
0
)exp()(k
k pkxpF .
Göründüyü kimi, )exp( pz qəbul etsək ifadə z-çevirmə olar.
Digər tərəfdən, )exp( jz qəbul etsək ifadə impuls ardıcıllığı üçün
Furye çevirməsi formasını alır:
0
)exp()(k
k kjxS .
Z-çevirməyə şamil olunan əsas xassələr aşağıdakılardır:
108
1. }{}{ kkk yxu olarsa
)()()( zYzXzU olur. Bu xəttilik xassəsi adlanır.
2. Tutaq ki, }{ ky diskret siqnalı }{ kx diskret siqnalının bir diskret
addım gecikməsi yolu ilə alınan diskret siqnaldır, yəni 1 kk xy - kimi alınmışdır.
Onda }{ ky diskret siqnalı üçün z-çevirmə
0 0
11
1 )()(k n
n
n
k
k zXzzxzzxzY olur.
Göründüyü kimi 1z əməliyyatı z-oblastda vahid gecikdirmə
operatorudur.
3. İki )(tx və )(ty - kəsilməz siqnal üçün uyuşma əməlinin
dtxydtyxtf )()()()()(
ifadəsinə uyğun olaraq bu siqnalların diskret ardıcıllıqları üçün də uyuşma
ifadəsini yazmaq olar:
0 0
,...2,1,0,k k
kmkkmkm mxyyxf .
4. İki siqnalın diskret uyuşmasının z-çevirməsi bu siqnalların
z-çevirmələrinin hasilinə bərabərdir:
kmnzYzXzyzxzyxzFm k k n
n
n
k
k
m
kmk
,)()()(0 0 0 0
.
15.3. Xətti rəqəmsal filtrasiya alqoritmi
Stasionar və xətti sistemlər təsiredici )(tx -kəsilməz siqnalını elə çevirir ki,
çıxışda yaranan )(ty - siqnalı təsiredici )(tx - siqnalı ilə sistemin )(th -impuls
xarakteristikasının uyuşmasına bərabər olur:
dthxty )()()( ,
109
Uyğun çevirməni diskret impulslar ardıcıllığı üçün də aparmaq olar. Belə ki,
xətti diskret sistemin impuls xarakteristikası onun vahid diskret siqnala reaksiyası
kimi təyin edilir:
}{,...),,(,...)0,0,0,1( 210 khhhh .
Sistem o zaman stasionar hesab olunur ki, girişin impuls sürüşməsi sistemin
impuls xarakteristikasının sürüşməsi ilə eyni takt təşkil edir:
,...).,,,0,0(,...)0,0,1,0,0(
,...);,,,,0(,...)0,0,0,1,0(
210
3210
hhh
hhhh
Qeyd olunanlara əsaslanaraq xətti və stasionar sistem üçün }{}{ kk yx
çevirməsini belə ifadə etmək olar:
m
k
kmkmmmm hxhxhxhxy0
0110 ... .
Bu ifadə onu göstərir ki, xətti və stasionar sistem üçün filtrasiya prosesi
nəticəsində yaranan çıxış siqnalı giriş siqnalı ilə sistemin impuls xarakteristikasının
diskret uyuşması kimi təyin olunur.
Bunun fiziki mənası odur ki, siqnalın zamanın verilmiş diskret anı üçün
qiyməti əvvəlki anlardakı qiymətlərinin sistemin impuls xarakteristikasının uyğun
qiymətlərinə hasillərinin cəmi kimi tapılır. Yəni rəqəm süzgəc keçmiş siqnal
təsirlərinə görə yaddaş xassəsinə malikdir.
Real fiziki sistemlər üçün sistemin impuls xarakteristikasının qiymətləri
təsirin başlanğıcından əvvəlki anlar üçün sıfır olduğunu nəzərə alsaq, xətti və
stasionar sistemlərdə diskret siqnallar üçün çevirməni belə ifadə etmək olar:
,...2,1,0,0
mhxyk
kmkm
15.4. Rəqəm süzgəcin kompleks tezlik xarakteristikası
Kompleks harmonik kəsilməz siqnala uyğun diskret qiymətlər ardıcıllığı belə
ifadə olunur:
)]}(exp[{}{ kjAxk .
Həqiqi hissə olaraq kosinus təşkiledici götürülür. Tutaq ki, xətti və stasionar
rəqəmli emal sistemi (rəqəm süzgəci) diskret harmonik rəqslərlə təsirlənir və
110
}{}{ kk yx çevirməsi baş verir. Diskret uyuşmadan istifadə etsək aşağıdakı
ifadəni alarıq:
.,0
)(
0
)()(
kmnheAe
heAeheAehxy
n
n
njmj
m
k
km
mkjmjm
k
km
kjjm
k
kmkm
Göründüyü kimi, çıxış siqnalın strukturu diskret harmonik ardıcıllıqdır və
harmonik tezliklər giriş siqnalda olduğu kimidir.
Çıxışda yaranan siqnal giriş siqnalının aşağıdakı ifadəyə vurulmasının
nəticəsidir:
on
n
nj hejk )( .
Bu əmsal rəqəm süzgəcin kompleks tezlik xarakteristikası adlanır.
Göründüyü kimi, kompleks tezlik xarakteristika periodikdir və onun
təkrarlanması diskretləşmə tezliyi ilə təyin olunur:
2 .
Digər tərəfdən,
on
n
nj hejk )( ifadəsi rəqəm süzgəcin impuls
xarakteristikası üçün Furye çevirməsidir. Kompleks tezlik xarakteristika, həm də
ötürmə xarakteristika adlanır.
Ötürmə xarakteristikası rəqəm süzgəc üçün əsas xarakteristika hesab olunur.
Onun təyini z-çevirmə əsasında yerinə yetirilə bilər.
Tutaq ki, )(}{),(}{),(}{ zHhzYyzXx kkk kimidir.
Onda, z-çevirmənin uyuşma xassəsi əsasında (çıxış siqnalı giriş siqnalı ilə
süzgəcin impuls xarakteristikasının uyuşmasıdır)
)()()( zXzHzY olar.
0)(
)()(
k
k
k zhzX
zYzH
ifadəsi süzgəcin sistem funksiyasıdır və impuls xarakteristika üçün z-çevirmədir.
Bu ifadənin süzgəcin tezlik oblastı üçün ötürmə xarakteristikasının
111
on
n
nj hejk )(
ifadəsi ilə müqayisəsindən alınır ki, ötürmə xarakteristikasında
)exp( jz əvəz etsək bu xarakteristika süzgəc üçün sistem funksiyası olar.
Misal 12.1. Süzgəcin ,...)0,0,0,1,1(}{ kh impuls xarakteristikası
verilmişdir. Onun ötürmə xarakteristikasını ifadə etməli.
Həlli:
).cos1
sin()(,
2sin2)(
)];(exp[)(sin)cos1(
)exp(1)(1)1(
1)( 1
arctgjK
jjKj
jjKzz
zH
16. FİLTRASİYA ALQORİTMLƏRİ VƏ XƏTTİ RƏQƏMSAL
SÜZGƏCLƏRİN SİNTEZİ ÜSULLARI
16.1. Transversal (qeyri-rekursiv) filtrasiyanın alqoritmi
Rəqəmsal süzgəclər filtrasiya alqoritmləri əsasında sintez olunurlar. Sintez
olunan belə süzgəcin təyinatından asılı olaraq müxtəlif verilənlərdən istifadə olunur.
Məsələn, zamanın i -ci anında çıxış siqnalın iy -qiymətini təyin etmək üçün üç
veriləndən istifadə oluna bilər:
a) ix - təsiredici siqnalın zamanın i -ci anında qiyməti;
b) miii xxx ,...,, 1 təsiredici siqnalın zamanın m -sayda əvvəlki
anlarındakı qiymətləri;
c) niii yyy ,...,, 21 çıxış siqnalın zamanın n-sayda əvvəlki anlarındakı
qiymətləri.
Tam m - və n -ədədləri rəqəmsal filtrasiyanın tərtibini təyin edirlər.
Filtrasiya üçün istifadə olunan veriləndən asılı olaraq transversal (qeyri-rekursiv) və
rekursiv alqoritmlər fərqləndirilir.
Transversal filtrasiya alqoritmində zamanın i -ci anında çıxış siqnalının
qiymətini hesablamaq üçün giriş siqnalının i -ci və ondan əvvəlki diskret anlardakı
112
qiymətlərindən istifadə olunur. Reaksiya siqnalının iy -qiyməti təsiredici
ix -siqnalın i -ci və ondan əvvəlki anlardakı qiymətlərinin sabit ədədlərə
hasillərinin cəmi kimi qiymətləndirilir:
mimiii xaxaxay ...110 .
Burada, maaa ,...,, 10 sabit ədədlər transversal filtrasiyanın əmsalları,
m - filtrasiyanın tərtibidir.
Transversal filtrasiya şərtinə uyğun z-çevirmə aşağıdakı kimi ifadə olunur:
)()...()( 1
10 zXzazaazY m
m
,
Bu ifadəyə əsasən transversal filtrasiyanın sistem funksiyası belə ifadə
olunar:
m
m
mmm
mz
azazazazaa
zX
zYzH
...
...)(
)()(
1
101
10 .
Göründüyü kimi sistem funksiya z-dəyişəninin kəsr-rasional funksiyasıdır,
m -sayda sıfırlara və 0z nöqtəsində m -tərtibdə qütblərə malikdir.
Filtrasiya prosesini reallaşdıran alqoritmin struktur sxemi şəkil 16.1.1-də
göstərilmişdir. Göstərilən sxem transversal (eninə) sözünün mənasını da
aydınlaşdırır.
Struktur sxemindən göründüyü kimi transversal süzgəc üç elementdən
ibarətdir: vahid ləngidici (1Z ), vurucu manqalar ( ia )və cəmləyici )( .
113
),...,,(}{ 10 mk aaah əmsallar ardıcıllığı transversal filtrasiyanın
impuls xarakteristikasını ifadə edir.
Filtrasiya üçün sistem funksiyanın ifadəsində )exp( jz əvəzləməsi
aparsaq kompleks tezlik xarakteristika üçün ifadə alarıq:
jm
m
j eaeaajK ...)( 10 .
Diskret addımın verilmiş qiymətində filtrasiya əmsallarının qiymətlərini
seçməklə müxtəlif amplitud-tezlik və faza-tezlik xarakteristikalarına malik
transversal süzgəclər sintez edilir.
Misal 16.1.1. )(3
121 iiii xxxy kimi çıxış siqnalı ifadə edən
ikinci tərtib transversal süzgəcin kompleks tezlik xarakteristikasını (KTX) ifadə
etməli.
Həlli: )1(3
1)( 21 zzzH süzgəc üçün sistem funksiyasıdır. Bu
ifadəyə əsasən kompleks tezlik xarakteristika aşağıdakı kimi ifadə olunar:
)1(3
1)( 2 jj eejk .
Misal 16.1.2. Transversal filtrasiyanı reallaşdıran alqoritm tərtib etməli.
Həlli. Operativ yaddaşda hər birinin ölçüsü
m -olan iki massiv tərtib olunur. X -massivinə giriş
siqnalı, A -massivinə isə filtrasiya əmsalları daxil
edilir. Hər yeni s -giriş siqnalı daxil edildikdə
X -massivindəki qiymətlər bir vahid sonrakı yaddaş
yuvalarına sürüşdürülür və sX )1( yazılır.
Bundan sonra, əmsallara vurma və cəmləmə
əməliyyatı yerinə yetirilir (Şəkil 16.1.2).
16.2. Rekursiv filtrasiya alqoritmi
Transversal filtrasiyadan fərqli olaraq rekursiv filtrasiya prosesi üçün çıxış
siqnalın qiymətləndirilməsində həm giriş siqnalın verilmiş andakı və ondan əvvəlki
114
diskret anlardakı qiymətlərindən, həm də çıxış siqnalın əvvəlki anlardakı
qiymətlərindən istifadə olunur.
Reaksiya siqnalının qiymətləndirməsi rekurent münasibətlə ifadə olunur:
niniimimiii ybybybxaxaxay ...... 2211110 .
Burada nbbb ,...,, 21 rekursiv hissənin əmsallarıdır və heç olmasa biri
sıfırdan fərqlidir. Rekurent münasibətə uyğun z-çevirmə aşağıdakı kimi ifadə
olunar:
)()()(00
zYzbzXzazYn
j
j
j
m
i
i
i
.
Bu ifadə əsasında rekursiv filtrasiya üçün sistem funksiyası belə ifadə olunar:
n
j
j
j
m
i
i
i
zb
za
zX
zYzH
0
0
1)(
)()( .
İfadəni aşağıdakı iki polinomun nisbəti kimi də yazmaq olar:
n
nn
mn
m
nn
n
n
m
m
bzbz
zazaza
zbzb
zazaazH
...
...
...1
...)(
1
1
1
10
1
1
1
10
Rekursiv süzgəc n-sayda qütbə malikdir.
Rekursiv filtrasiyanı reallaşdıran alqoritmin struktur sxemi şəkil 16.2.1-də
verilmişdir.
115
Struktur sxemdən (şəkil 16.2.1) göründüyü kimi m -sayda yaddaş yuvası
giriş siqnalı üçün tələb olunur, qeyri-rekursiv hissənin həm çıxışı, həm də əmsalları
üçün 1m sayda yaddaş yuvası, rekursiv hissənin həm çıxışı, həm də əmsalları
üçün isə n -sayda yaddaş yuvası tələb olunur.
Kanonik sxemlərdən istifadə etməklə yaddaş yuvalarının sayını azaltmaq
mümkündür. İkinci tərtib rekursiv süzgəc alqoritmi üçün kanonik struktur sxem
şəkil 16.2.2-də verilmişdir.
Göstərmək olar ki, şəkil 16.2.2-də göstərilən kanonik struktur sxem ikinci
tərtib rekursiv filtrasiya üçündür. Bunun üçün 1- cəmləyicisinin çıxışı üçün
aşağıdakı ifadəni tərtib edirik:
2
2
1
1
22111
)()(
zbzb
zXzWwbwbxw kkkk .
Uyğun ifadələri 2-ci cəmləyicinin çıxışı üçün də yazırıq:
)(1
)()()(
2
2
1
1
2
2
1
10
2
2
1
10
22110
zXzbzb
zazaa
zWzazaazY
wawaway kkkk
16.3. Analoq prototipinin impuls xarakteristikası üsulu
Analoq süzgəclərdə olduğu kimi, rəqəmsal süzgəclər də tələb olunan impuls
və ya tezlik xarakteristikalarına görə sintez olunurlar. Əsas tələblərdən biri son
nəticənin alınması üçün hesablamalardakı dəqiqliyin kifayət olması, digəri isə
süzgəcin dayanıqlı olmasıdır.
Praktikada analoq süzgəcin riyazi modelinə uyğun (analoq prototipə uyğun)
rəqəmsal süzgəclərin sintezinə üstünlük verilir. Bu məqsədlə, impuls
116
xarakteristikaların invariant olması, tezlik xarakteristikaların invariant olması və
analoq dövrənin diferensial tənliyinin diskretləşdirilməsi üsullarından istifadə
olunur.
İmpuls xarakteristikanın invariantlığı üsulu: Bu üsulda rəqəmsal süzgəc
üçün impuls xarakteristika analoq prototipin uyğun impuls xarakteristikasının
diskret qiymətləri əsasında tərtib olunur.
Real süzgəclər üçün zamanın 0t anlarında impuls xarakteristikanın
qiymətlərinin sıfır olduğunu nəzərə alsaq, rəqəmsal süzgəc üçün impuls
xarakteristika
),...]2(),(),0([}{ hhhhk
diskret qiymətlər ardıcıllığı kimi ifadə olunar. Ardıcıllıqda hədlərin sayı
sonlu və ya sonsuz ola bilər. Hədlərin sayı sonlu olduqda transversal filtrasiya,
sonsuz olduqda isə rekursiv filtrasiya tələb olunur.
Analoq prototipə uyğun sintez olunan rəqəmsal süzgəcin strukturunun
axtarışı bir neçə mərhələdən ibarətdir:
- Analoq prototipin impuls xarakteristikası əsasında onun diskret ardıcıllığı
tərtib olunur: ),...]2(),(),0([}{ hhhhk ;
- ),...]2(),(),0([}{ hhhhk diskret ardıcıllığı üzərində z-çevirmə
aparılır;
- Z-çevirmə əsasında süzgəcin )(zH -sistem funksiyası tərtib olunur;
- Tərtib olunan )(zH - sistem funksiyası bu filtrasiyalar üçün ümumi olan
sistem funksiyası ilə müqayisəsi əsasında rekursiv və transversal hissələrə uyğun
əmsallar tapılır:
- Sistem funksiyasında )exp( jz əvəzləməsi aparmaqla sintez
olunan rəqəmsal süzgəcin kompleks tezlik xarakteristikası ifadə olunur.
Qeyd: Sintez olunan rəqəmsal süzgəcin analoq prototipə yaxınlığı diskret addımın seçilmiş qiymətindən asılıdır.
Misal 16.3.1. Prototipi birinci tərtib analoq dinamik sistem olan (məsələn
inteqrallayıcı RC-dövrəsi) transversal və rekursiv süzgəclər tərtib etməli və
xarakteristikalarını analoq prototiplə müqayisə etməli.
117
Həlli: İnteqrallayıcı RC-dövrənin impuls xarakteristikasının ifadəsi
)exp(
0,0
)(
t
t
th - kimi, uyğun kompleks tezlik xarakteristikanın ifadəsi isə
j
jK1
1)( kimidir.
Transvesal süzgəc halı üçün 3- elementdən ibarət ardıcıllıq götürək:
)]2
exp();exp(;1[}{
kh .
Bu ardıcıllığa uyğun transversal süzgəcin alqoritmi belə ifadə olunur:
21 )2
exp()exp(
kkkk xxxy
Z-çevirmə aparmaqla sistem funksiyası yazılır, )exp( jz
əvəzləməsi aparmaqla isə kompleks tezlik xarakteristika ifadə olunur.
)2exp()2
exp()exp()exp(1)(
)2
exp()exp(1)( 21
jjjK
zzzH
Rekursiv süzgəc üçün impuls xarakteristika sonsuz sayda diskret qiymətlər
ardıcıllığıdır:
),...]2
exp(),exp(,1[}{
kh ;
1
1
121
)exp()exp(1)(
;)exp(1...)2
exp()exp(1)(
jjK
zzzzH
118
Analoq prototipin, sintez olunan transversal və rekursiv süzgəclərin
kompleks tezlik xarakteristikaları üçün hesablamaların müqayisəli nəticələri şəkil
16.3.1-də verilmişdir.
Göründüyü kimi, hər üç süzgəc aşağı tezlik xarakterlidir, lakin rekursiv hal
analoqa daha yaxındır.
16.4. Analoq prototipinin kompleks-tezlik xarakteristikası üsulu
Rəqəmsal süzgəclərin kompleks-tezlik xarakteristikaları tezliyin periodik
funksiyasıdır. Periodiklik diskret addımla təyin olunur və
2qiymətə
malikdir. Bu səbəbdən də analoq prototipin tezlik xarakteristikasını dəqiq
təkrarlayan rəqəmsal süzgəc sintez etmək mümkün deyil. İnvariantlıq tələbi kimi,
amplitud-tezlik xarakteristikanın formasını saxlamaq şərti ilə analoq süzgəcin
tezliyinin sonsuz diapazonunu )( a rəqəmsal süzgəcin bir periduna
)(
r çevirən şərti qoymaq olar (şəkil 16.4.1).
119
Tutaq ki, )(pKa analoq süzgəc üçün kəsr-rasional ifadə ilə verilən ötürmə
funksiyasıdır.
Lakin, )(pKa funksiyasında
zppz ln1
)exp(
əvəzləməsinin aparılması heç də həmişə ifadəni rəqəmsal süzgəc üçün sistem
funksiyası formasına gətirmir.
Bu səbəbdən, elə kəsr-rasional funksiya axtarılmalıdır ki, zp ln1
əvəzləməsinə uyğun olsun və z-çevirməsinin xassələrini ödəsin.
Müxtəlif üsullar mövcuddur və onlardan ən çox istifadə olunanı aşağıdakı
əvəzləməyə əsaslanır:
1
12
z
zp
Bu ifadədə )exp( rjz əvəzləməsi aparsaq aşağıdakı ifadəni alarıq:
1)exp(
1)exp(2
r
ra
j
jj
Buradan da, analoq və rəqəmsal sistemlərin tezlik dəyişənləri arasında
münasibət alarıq:
)2
tan(2
r
a
120
Göründüyü kimi, diskret addım kifayət qədər böyükdürsə )1( r , onda
ra olur.
Beləliklə, aşağı tezliklərdə analoq prototipin rəqəm süzgəcin tezlik
xarakteristikaları praktiki olaraq üst-üstə düşür.
Beləliklə, analoq dövrənin ötürmə funksiyasında
1
12
z
zp
əvəzləməsi aparmaqla kəsr-rasional funksiya alınır və bu funksiya əsasında da
rəqəmsal filtrasiyanın alqoritmi bilavasitə ifadə olunur.
Misal 16.4.1. Prototipi Battervort növ aşağı tezlikli 2-ci tərtib analoq süzgəc
olan rəqəmsal filtrasiya üçün kompleks tezlik xarakteristika tərtib etməli. Kəsilmə
tezliyi üçün Hsc 1500 , diskretləmə tezliyi üçün isə
Hsd 10000 - götürməli.
Həlli:
1. Diskret addımı təyin edirik: .102832.62 4 sand
2. Analoq prototip üçün siqnalın kəsilmə tezliyini təyin edirik:
Hsrcac 9.1621)
2tan(
2
.
3. Analoq süzgəcin normallaşdırılmış parametrli məlum ifadəsindən həqiqi
tezliyə uyğun ifadəyə keçirik )(ac
n
pp
:
222 2)(
12
1)(
acac
aca
nn
napp
pKpp
pK
4.
1
12
z
zp əvəzləməsi aparmaqla rəqəm filtrasiya üçün kompleks
tezlik xarakteristikanın ifadəsini tərtib edirik:
2222222
22
)2
(2)2
(])2
([2])2
(2)2
[(
)1()(
acacacacac
ac
zz
zzH
121
5. Parametrlərin qiymətləri yerinə yazılır:
0761.27033.56272.7
12)(
2
2
zz
zzzH .
16.5. Analoq prototipinin diferensial tənliyi üsulu
Rəqəmsal süzgəclərin sintezi üçün əlverişli üsullardan biri də uyğun analoq
dövrə üçün tərtib olunmuş diferensial tənliyin diskretləşdirilməsi əsasında istifadə
olunan alqoritmdir.
Tutaq ki, analoq prototipdə təsiredici və reaksiya siqnalları arasında
münasibət ikinci tərtib diferensial tənliklə ifadə olunur:
)(2 2
02
2
txydt
dy
dt
yd
Bu tənlik təsiredici siqnalı )(tx olan rəqs sisteminin riyazi modelini ifadə
edir. Belə ki, - kəmiyyəti rəqsin sönmə əmsalını, 0 - isə sistemin məxsusi
tezliyini ifadə edir.
Verilən diferensial tənliyi fərq tənliyi kimi ifadə edək. Bunun üçün, diskret
hala keçid ifadələrindən istifadə edək:
dt ;
1 nn yyydy ;
211
22 2)()( nnnnn yyyyyyyyd
Göstərilən diskretləmə keçidlərini diferensial tənlikdə nəzərə alsaq
aşağıdakı fərq tənliyini alarıq:
nn
nnnnn xyyyyyy
2
0
1
2
21 22
.
İfadədə qruplaşdırma və müəyyən çevirmələr apardıqdan sonra reaksiya
siqnalı üçün aşağıdakı rekurent formulu alarıq:
22
0
21
2
21
)1(2
nnnn
yyxy .
122
İfadədə
Ac
Ab
AaA
1;
)1(2;;21
222
0
- əvəz etsək
aşağıdakı ifadəni alarıq:
21 nnnn cybyaxy .
Bu rekutent formula uyğun z-çevirməni ifadə edək:
)()()()( 21 zYczbzzaXzY .
Buradan da, məxsusi funksiya və kompleks tezlik xarakteristika üçün
ifadələr alarıq:
211)(
)()(
czbz
a
zX
zYzH ;
)2exp()exp(1)(
jcjb
ajK .
Bu formul 2-ci tərtib rekursiv filtrasiyanı ifadə edir. Formul əsasında sintez
olunan süzgəc rəqs konturuna uyğun modeldir və rəqəmsal rezonator adlanır.
Uyğun parametrləri seçmək yolu ilə belə rezonatordan zolaqla tezlik seçən
süzgəc kimi istifadə oluna bilər.
ƏDƏBİYYAT
1. Li Tan: Digital Signal Processing. Fundamentals and Applications.
Elsevier Academic Press, Amsterdam u. a. 2008.
2. https://de.wikibooks.org/wiki/Digitale_Signalverarbeitung
3. Götz Hermann. Einführung in die Signalverarbeitung. - Stuttgart: Leipzig:
Teubner, 1998.
4. Herbert Bernstein. Analoge, digitale und virtuelle Messtechnik -
Technology & Engineering, 2013.
![[28163] Aspekt – Aktionsart – Aktionalität; Tempus – Temporalität Hauptseminar, 2 SWS Modul: MSW_3 (Linguistische Konzepte der russistischen/polonistischen.](https://static.fdokument.com/doc/165x107/55204d6149795902118b5507/28163-aspekt-aktionsart-aktionalitaet-tempus-temporalitaet-hauptseminar-2-sws-modul-msw3-linguistische-konzepte-der-russistischenpolonistischen.jpg)
