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Eine kleine Einführung in die TensorrechnungTensorformalismus für Tensoren vierter Stufe

Tensorableitung nach einem zweistufigen TensorInvertierung eines vierstufigen Tensors

Tensorformalismus - KlassischeTensoranalysis

Olaf Kintzel

Lehrstuhl für Statik und DynamikRuhr-Universität Bochum

Numerische Strukturdynamik, 7. Dezember 2006

Olaf Kintzel Tensorformalismus



1 Eine kleine Einführung in die Tensorrechnung

2 Tensorformalismus für Tensoren vierter Stufe

3 Tensorableitung nach einem zweistufigen Tensor

4 Invertierung eines vierstufigen Tensors




Was ist ein Tensor ?

Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar T ∈ R

Ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor t ∈ V = R3

Ein Tensor 2. Stufe T ∈ Lin(V→ V) transformiert einen Vektor aufeinen anderen Vektor

Ein Tensor 4. Stufe TTT ∈ Lin(T→ T) transformiert einen Tensorzweiter Stufe auf einen anderen Tensor zweiter Stufe




Was ist ein Tensor zweiter Stufe ?

W i r h a b e n e i n e n T e n s o r s ( S p a n n u n g s t e n s o r ? )G e g e b e n s e i e i n b e l i e b i g e r E i n h e i t s v e k t o r n ( F l ä c h e n n o r m a l e ? )

i 2i 1

i 3

n





W i r h a b e n e i n e n T e n s o r s ( S p a n n u n g s t e n s o r ? )G e g e b e n s e i e i n b e l i e b i g e r E i n h e i t s v e k t o r n ( F l ä c h e n n o r m a l e ? )

i 2i 1

i 3

n D a n n s i n d d i e K o m p o n e n t e n

s n n = s

g l e i c h d e m A n t e i l v o n si n d i e R i c h t u n g v o n n .

n n

| n | = 1





i 2i 1

i 3

nt

s

W i r h a b e n d i e f o l g e n d e T r a n s f o r m a t i o n : t = s n !





i 2i 1

i 3

nt

s

W i r h a b e n d i e f o l g e n d e T r a n s f o r m a t i o n : t = s n ! ( s e i e i n e b e l i e b i g e l i n e a r e T r a n s f o r m a t i o n , d . h . R i c h t u n g , O r i e n t i e r u n g u n d L ä n g e v o n t s i n d b e l i e b i g ! )

s





i 2i 1

i 3

n t

s


s

A u ß e r d e m s o l l n E i n h e i t s l ä n g e b e s i t z e n !| n | = 1 ( n 1 ) ² + ( n 2 ) ² + ( n 3 ) ² = 1





i 2i 1

i 3

nt


s


n 3

n 1n 2t 3

t 2t 1





i 2i 1

i 3

nt


s


n 3

n 1n 2t 3 n 3

t 2 n 2

t 1 n 1





i 2i 1

i 3

nt


s


n 3

n 1n 2t 3 n 3

t 2 n 2

t 1 n 1

s n n = t 1 n 1 + t 2 n 2 + t 3 n 3





i 2i 1

i 3

D i e e i n f a c h s t e D a r s t e l l u n g v o n k ö n n t e l a u t e n : = t ns s





i 2i 1

i 3


= t i n j i i i js t i = t i i n i = n i i i i i j = d i j d i j = ( )1 1 10 00 00 0





i 2i 1

i 3


= t i n j i i i js t i = t i i n i = n i i i i i j = d i j

D e r A n t e i l l a u t e t : s 1 1 = t 1 n 1 i 1 i 1s 1 1





i 2i 1

i 3



D e r A n t e i l l a u t e t : s 1 1 = t 1 n 1 i 1 i 1s 1 1 u n d i s t p r a k t i s c h d e r A n t e i l v o n s i nR i c h t u n g d e s B a s i s v e k t o r s i 1





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )

D e r A n t e i l l a u t e t : s 1 1 = t 1 n 1 i 1 i 1s 1 1





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3

U n d a n a l o g f ü r u n d !s 2 2 s 3 3





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3

= t 1 n 2 i 1 i 2A b e r w a s i s t m i t d e m A n t e i l ?s 1 2





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3


n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3


n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2

t 1 n 2





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2

t 1 n 2

t 3 n 2





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2

t 1 n 2

t 3 n 2

t 2 n 1





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2

t 1 n 2

t 3 n 2

t 2 n 1t 3 n 1

t 2 n 3

t 1 n 3





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2

t 1 n 2

t 3 n 2

t 2 n 1t 3 n 1

t 2 n 3

t 1 n 3

= n k i k ( t n ) n l i l = n k t k n l n l = n k t ks n n





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2

t 1 n 2

t 3 n 2

t 2 n 1t 3 n 1

t 2 n 3

t 1 n 3

= n k i k ( t n ) n l i l = n k t k n l n l = n k t k= n 1 t 1 + n 2 t 2 + n 3 t 3

s n n

s n n





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2

t 1 n 2

t 3 n 2

t 2 n 1t 3 n 1

t 2 n 3

t 1 n 3

M a n k a n n a u c h s c h r e i b e n : = : ( n n ) = n n

s n n ss





i 2i 1

i 3



s =t 1 n 1( )t 2 n 2

t 3 n 3n 2 i 2

n 3 i 3

n 1 i 1

t 3

t 1

t 2t 1 n 2

t 3 n 2

t 2 n 1t 3 n 1

t 2 n 3

t 1 n 3

M a n k a n n a u c h s c h r e i b e n : = : ( n n ) = n n

s n n ss

V o r s i c h t ! ! D e r T e n s o r s b e s i t z tn u r e i n e u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e ! !





i 2i 1

i 3

D i e a l l g e m e i n s t e D a r s t e l l u n g v o n l a u t e t : = S t i n js s i , j3

w o b e i d a s S p a t p r o d u k t [ n 1 , n 2 , n 3 ] = 0 u n d [ t 1 , t 2 , t 3 ] = 0 ( l i n e a r u n a b h ä n g i g ) !





i 2i 1

i 3



D i e ( n 1 , n 2 , n 3 ) u n d ( t 1 , t 2 , t 3 ) b i l d e n j e e i n e B a s i s i m R 3





i 2i 1

i 3



D e r T e n s o r t n h ä t t e b e i t = t 1 u n d n = n 1 d i e K o m p o n e n t e n z e r l e g u n g :

s = ( ) b z g l . t i n j

1 0 00 0 00 0 0





i 2i 1

i 3



s h a t 9 v o n e i n a n d e r u n a b h ä n g i g e E i n t r ä g e ! !





i 2i 1

i 3



D a n n w ä r e d i e S p u r v o n : t r ( ) = : ( n 1 n 1 + n 2 n 2 + n 3 n 3 ) = : ( t 1 t 1 + t 2 t 2 + t 3 t 3 ) = : Is ss

ss





i 2i 1

i 3



D a n n w ä r e d i e S p u r v o n : t r ( ) = : ( n 1 n 1 + n 2 n 2 + n 3 n 3 ) = : ( t 1 t 1 + t 2 t 2 + t 3 t 3 ) = : Is ss

s

D i e S p u r e i n e s T e n s o r s ( S u m m e d e r H a u p t d i a g o n a l e n ) i s t e i n e I n v a r i a n t e , d . h .u n a b h ä n g i g v o n d e r W a h l e i n e s K o o r d i n a t e n s y s t e m s .

s




Was ist eine Koordinatentransformation ?

W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?

Q

i 2i 1

i 3

e 1 e 2

e 3

e i = Q i i






A n g e n o m m e n , e 1 = i 2 , e 2 = i 3 u n d e 3 = i 1 :W i e s e h e d a n n Q a u s ?






A n g e n o m m e n , e 1 = i 2 , e 2 = i 3 u n d e 3 = i 1 :W i e s e h e d a n n Q a u s ?A n t w o r t : Q = e i i i = e 1 i 1 + e 2 i 2 + e 3 i 3 = i 2 i 1 + i 3 i 2 + i 1 i 3

Q = ( ) b z g l . i i i j0 00 000 11 1

Q = ( ) b z g l . e i i j00

0 0 00 1 1 1





W a s i s t e i n e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n ?A n g e n o m m e n , d i e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n s e i : e i = G i j i j i i = ( G j i ) e j = ( G ) i j e j- 1 - 1






W i e s e h e d a n n Q a u s ?






W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = ( G j i ) e i e j- 1







W e l c h e E i g e n s c h a f t h a t G i j ?







A n g e n o m m e n , w i r h ä t t e n f o l g e n d e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n :

i 1

e 1i 2e 2

i 3 = e 3

RR - 1








i 1

e 1i 2e 2

i 3 = e 3

RR - 1

w

e i = R ( w ) i ii i = R - 1 ( w ) e i








i 1

e 1i 2e 2

i 3 = e 3

RR - 1

w

e i = R ( w ) i ii i = R - 1 ( w ) e i = R ( - w ) e i






W i e s e h e d a n n Q a u s ? A n t w o r t : Q = G i j i j i i = G j i i i i j = ( G j i ) e i e j- 1

A n g e n o m m e n , w i r h ä t t e n f o l g e n d e K o o r d i n a t e n t r a n s f o r m a t i o n :e i = R ( w ) i ii i = R - 1 ( w ) e i = R ( - w ) e i

D a w = | w | e 3 = | w | i 3 j e w e i l s d i e a l l e i n i g e B e s t i m m u n g s g r ö ß ef ü r R u n d R - 1 i s t , m ü s s e n d i e M a t r i z e n G j i u n d ( G j i )i n d e n j e w e i l i g e n K o o r d i n a t e n s y s t e m e n ü b e r e i n s t i m m e n ! !

- 1









- 1

- 1A l s o G j i = ( G ) i j o d e r ( G ) i j = ( G ) i j - 1TOlaf Kintzel Tensorformalismus








- 1

- 1A l s o G j i = ( G ) i j o d e r ( G ) i j = ( G ) i j o d e r Q T = Q - 1- 1TOlaf Kintzel Tensorformalismus





W i e f i n d e t m a n d i e M a t r i x G i j ?






W i e f i n d e t m a n d i e M a t r i x G i j ?A n t w o r t : e i = G i j i j | i k






W i e f i n d e t m a n d i e M a t r i x G i j ?A n t w o r t : e i = G i j i j | i k

e i i k = G i j i j i k = G i j d j k = G i k





Z u s a m m e n f a s s u n g :I s t Q e i n e r e i n e S t a r r k ö r p e r r o t a t i o n , s o g i l t : e i = Q i iQ O r t h m i t Q T = Q - 1 u n d d e t ( Q ) = 1 d a Q ( w ) m i t w R 3 h a t Q 3 u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e n

F ü r e i n e b e l i e b i g e T r a n s f o r m a t i o n g i l t z . B . :g i = F G i m i t F I s o , F h a t 9 u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e n





Z u s a m m e n f a s s u n g :I s t Q e i n e r e i n e S t a r r k ö r p e r r o t a t i o n , s o g i l t : e i = Q i iQ O r t h m i t Q T = Q - 1 u n d d e t ( Q ) = 1 d a Q ( w ) m i t w R 3 h a t Q 3 u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e n

F ü r e i n e b e l i e b i g e T r a n s f o r m a t i o n g i l t z . B . :g i = F G i m i t F I s o , F h a t 9 u n a b h ä n g i g e K o m p o n e n t e nW a s b e d e u t e t I s o ? I s o = I s o m o r p h i s m u s = E i n s - z u - E i n s - A b b i l d u n g = b i j e k t i v e A b b i l d u n g




Wir führen drei Tensorprodukte ein :

Eijkl = (A⊗B)ijkl

Eijkl = (A �× B)ijkl

Eijkl = (A×B)ijkl





Eijkl = (A⊗B)ijkl


Eijkl = (A×B)ijkl

Wir führen drei verschiedene Regeln zur doppelten Kontraktion ein :

(E : F)ijkl = EijmnFmnkl

(E q aF)ijkl = EimnlFmjkn

(E a qF)ijkl = EmjknFimnl





Eijkl = (A⊗B)ijkl


Eijkl = (A×B)ijkl

Wir führen drei verschiedene Regeln zur doppelten Kontraktion ein :

(E : F)ijkl = EijmnFmnkl

(E q aF)ijkl = EimnlFmjkn

(E a qF)ijkl = EmjknFimnl

(E q aF)R = ER : FR (E : F)L = EL q aFLOlaf Kintzel Tensorformalismus



Symmetrie-Operationen :

(Eijkl)T = Ejilk (Eijkl)D = Eklij

(Eijkl)ti = Eikjl (Eijkl)dl = Ejikl

(Eijkl)to = Eljki (Eijkl)dr = Eijlk




Symmetrie-Operationen :

(Eijkl)T = Ejilk (Eijkl)D = Eklij

(Eijkl)ti = Eikjl (Eijkl)dl = Ejikl

(Eijkl)to = Eljki (Eijkl)dr = Eijlk

Ein Tensor 4. Stufe erfüllt kleine Symmetrie, wenn :E = Eti = Eto oder E = Edl = Edr

Ein Tensor 4. Stufe erfüllt große Symmetrie, wenn :E = ET oder E = ED

Ein Tensor 4. Stufe ist supersymmetrisch, wenn :E = Eti = Eto = ET oder E = Edl = Edr = ED




(A⊗B) : (C⊗D) = (B : C)A⊗D

(A⊗B) r b(C⊗D) = (AC)⊗ (DB)

(A⊗B) b r(C⊗D) = (CA)⊗ (BD)

(A⊗B) : (C×D) = A⊗ (DT BT C) (A×B) : (C⊗D) = (ACT BT )⊗D

(A⊗B) r b(C×D) = (ACB)×D (A×B) r b(C⊗D) = A× (CT BDT )

(A⊗B) b r(C×D) = C× (AT DBT ) (A×B) b r(C⊗D) = (CAD)×B

(A×B) : (C×D) = (AD) 2× (BC)

(A×B) r b(C×D) = (B : C)A×D

(A×B) b r(C×D) = (A : D)C×B

(A⊗B) : (C 2× D) = A⊗ (CT BD) (A 2× B) : (C⊗D) = (ACBT )⊗D

(A⊗B) r b(C 2× D) = (AC) 2× (DB) (A 2× B) r b(C⊗D) = (ADT ) 2× (CT B)

(A⊗B) b r(C 2× D) = (CBT ) 2× (AT D) (A 2× B) b r(C⊗D) = (CA) 2× (BD)

(A 2× B) : (C 2× D) = (AC) 2× (BD)

(A 2× B) r b(C 2× D) = (ADT )⊗ (CT B)

(A 2× B) b r(C 2× D) = (CBT )⊗ (AT D)

(A×B) : (C 2× D) = (AD)× (BC) (A 2× B) : (C×D) = (AC)× (BD)

(A×B) r b(C 2× D) = A× (DBT C) (A 2× B) r b(C×D) = (ACT B)×D

(A×B) b r(C 2× D) = (CAT D)×B (A 2× B) b r(C×D) = C× (BDT A)

Tabelle 1: Doppelte Uberschiebungen von Tensoren vierter Stufe.

1




(A⊗B)T = AT ⊗BT (A⊗B)D = B⊗A

(A×B)T = B×A (A×B)D = BT ×AT

(A 2× B)T = B 2× A (A 2× B)D = AT 2× BT

(A⊗B)ti = A 2× B (A⊗B)dl = AT ⊗B

(A×B)ti = A×BT (A×B)dl = B 2× A

(A 2× B)ti = A⊗B (A 2× B)dl = B×A

(A⊗B)to = BT 2× AT (A⊗B)dr = A⊗BT

(A×B)to = AT ×B (A×B)dr = A 2× B

(A 2× B)to = BT ⊗AT (A 2× B)dr = A×B

(A⊗B)t = BT ⊗AT (A⊗B)d = AT ⊗BT

(A×B)t = AT ×BT (A×B)d = B×A

(A 2× B)t = BT 2× AT (A 2× B)d = B 2× A

Tabelle 1: Transpositionsoperationen angewendet auf Tensoren vierter Stufe.

1




E i n h e i t s t e n s o r e n 4 . S t u f e( I I ) ( I I ) ( I I )




E i n h e i t s t e n s o r e n 4 . S t u f e

( I I ) : A = A

( I I ) A = A( I I ) A = A

( I I ) ( I I ) ( I I )





( I I ) : A = A

( I I ) A = A( I I ) A = A

( I I ) : A = A T

( I I ) A = A T

( I I ) A = A T

( I I ) ( I I ) ( I I )





( I I ) : A = A

( I I ) A = A( I I ) A = A

( I I ) : A = A T

( I I ) A = A T

( I I ) A = A T

( I I ) : A = t r ( A )

( I I ) A = t r ( A )

( I I ) A = t r ( A )

( I I ) ( I I ) ( I I )




Vergleich mit der Notation von Itskov (2000, 2002)

Itskov 2000, CMAME 189, S. 419-438"On the theory of fourth-order tensors and their application incomputational mechanics"

Itskov 2002, ZAMM 82, S. 535-544"The derivative with respect to a tensor: Some theoretical aspectsand applications"

(A⊗B) : (C⊗D) = (AC)⊗ (DB)(A×B) : (C×D) = (B : C)A×D(A⊗B) : (C×D) = (ACB)×D(A×B) : (C⊗D) = A× (CTBDT )

(A×B)R = A⊗B







(A⊗B) : (C⊗D) = (AC)⊗ (DB) → (A⊗B) q a(C⊗D)(A×B) : (C×D) = (B : C)A×D → (A×B) q a(C×D)(A⊗B) : (C×D) = (ACB)×D → (A⊗B) q a(C×D)(A×B) : (C⊗D) = A× (CTBDT ) → (A×B) q a(C⊗D)

(A×B)R = A⊗B → (A×B)R = A⊗B, (A⊗B)L = A×B







nur zwei Tensorprodukte (⊗,×)keine Unterscheidung von doppelten Kontraktionsregeln (dieRegel (:) bekommt praktisch eine neue Bedeutung, was verwirrt)neben (· · · )R fehlt die inverse Operation (· · · )L




Vergleich mit der Notation von Rosati (2000)

Rosati 2000, IJSS 37, S. 3457-3477"A novel approach to the solution of the tensor equationAX + XA = H"

(A⊗B)C = (B ·C)A(A �× B)C = ACBT

(A �× B)(C �× D) = (AC) �× (BD)(A �× B)(C⊗D) = (ACBT )⊗D(A⊗B)(C �× D) = A⊗ (CTBD)




Vergleich mit der Notation von Rosati (2000)

Rosati 2000, IJSS 37, S. 3457-3477"A novel approach to the solution of the tensor equationAX + XA = H"

(A⊗B)C = (B ·C)A → (A⊗B) : C(A �× B)C = ACBT → (A �× B) : C(A �× B)(C �× D) = (AC) �× (BD) → (A �× B) : (C �× D)(A �× B)(C⊗D) = (ACBT )⊗D → (A �× B) : (C⊗D)(A⊗B)(C �× D) = A⊗ (CTBD) → (A⊗B) : (C �× D)




Ableitungsregeln

Die Ableitung nach einem zweistufigen Tensor nach demDifferentiationskalkül lautet in Komponentenschreibweise :

∂Aij

∂Akl= δikδjl

Überführt in die Absolutschreibweise gilt :

∂Aij

∂Akl= Iiklj

oder

∂A∂A = ∂AT

∂AT = I⊗ I ∂AT

∂A = ∂A∂AT = I �× I




Ableitungsregeln

In Verbindung mit dem neuen Tensorprodukt ( q a) gilt die Produktregel:

Bsp.: F(D) = AB(D)

∆F = (A,D B + AB,D ) q a∆D

Früher galt üblicherweise :

∂Aij

∂Akl= Iijkl

Dann ist die Produktregel nicht erfüllt :

∆F = (A,D B + AB,D ) : ∆D ist falsch !




Ableitungsregeln

In Verbindung mit dem neuen Tensorprodukt ( q a) gilt die Produktregel:

Bsp.: F(D) = AB(D)

∆F = (A,D B + AB,D ) q a∆D

Bei Spuren gilt :

tr(F) = tr(AB) = AB : I = AB q aI = AB a qI = I q aAB

∂tr(F)∂D

= (A,D B + AB,D ) a qI




Sonderfälle der Tensorableitung

Ableitung nach der Inversen

A−1A = I⇒ A−1,AA + A−1A,A = 0

⇔ A−1,A = −A−1(I⊗ I)A−1 = −A−1 ⊗A−1





Ableitung nach der Inversen

A−1A = I⇒ A−1,AA + A−1A,A = 0

⇔ A−1,A = −A−1(I⊗ I)A−1 = −A−1 ⊗A−1

analog für A,A−1 :

A,A−1 = −A⊗A





Ableitung nach einem symmetrischen Tensor (A = AT ) :

∂F(A)∂A = F(A),A q a1

2 (A,A +A,AT )

∂F(A)∂A = F(A),A q a1

2 (I⊗ I + I �× I) = F(A),A q aSS : Symmetrietransformationstensor 4. Stufe !!





Ableitung nach einem symmetrischen Tensor (A = AT ) :

∂F(A)∂A = F(A),A q a1

2 (A,A +A,AT )

∂F(A)∂A = F(A),A q a1

2 (I⊗ I + I �× I) = F(A),A q aSS : Symmetrietransformationstensor 4. Stufe !!

analog für einen schiefsymmetrischen Tensor (A = −AT ) :

∂F(A)∂A = F(A),A q a1

2 (I⊗ I− I �× I) = F(A),A q aAA : Antimetrietransformationstensor 4. Stufe !!





F(A) = ψ(A) F(A)

F(A),A = ψ(A) F,A + F(A)× ψ(A),A





F(A) = ψ(A) F(A)

F(A),A = ψ(A) F,A + F(A)× ψ(A),A

F (A) = A : B

F (A),A = A,A a qB + A q aB,A





F(A) = ψ(A) F(A)

F(A),A = ψ(A) F,A + F(A)× ψ(A),A

F (A) = A : B

F (A),A = A,A a qB + A q aB,ABei der doppelten Kontraktion gilt die Produktregel nicht !




Beispiele

F (A) = tr(A3) :

F (A),A = I q a((I⊗ I)A2 + A(I⊗ I)A + A2(I⊗ I))

= I q a(I⊗A2 + A⊗A + A2 ⊗ I)

= 3 A2T




Beispiele

F (A) = tr(A3) :


= I q a(I⊗A2 + A⊗A + A2 ⊗ I)

= 3 A2T Regel : tr(An),A = n (An−1)T




Beispiele

F (A) = tr(A3) :


= I q a(I⊗A2 + A⊗A + A2 ⊗ I)

= 3 A2T Regel : tr(An),A = n (An−1)T

F (A) = tr(A3)tr(A2)

F (A),A = 3 A2T tr(A2) + tr(A3) 2 AT

F (A),(A×A) = 6 (A2T ×AT + AT ×A2T )

+3 tr(A2) (AT �× I + I �× AT ) + 2 tr(A3) I �× I

Es gilt : F (A),(A×A) = (F (A),(A×A) )T (große Symmetrie !!)




Beispiele

F(A) = A tr(A2) + AT tr(A3) :

F(A),A = tr(A2) I⊗ I + tr(A3) I �× I + 2 A×AT + 3 AT ×A2T




Beispiele

F(A) = A tr(A2) + AT tr(A3) :


F(A) = dev(A)

F(A) = A− 13 tr(A) I

F(A),A = I⊗ I− 13 I× I




Beispiele

F(A) = A tr(A2) + AT tr(A3) :


F(A) = dev(A)

F(A) = A− 13 tr(A) I

F(A),A = I⊗ I− 13 I× I

A = AT : F(A),A = S− 13 I× I




Beispiele

F(A) = (dev(A))3 :

F(A),A =((dev(A))2 ⊗ I + dev(A)⊗ dev(A) + I⊗ (dev(A))2) q adev(A),A




Beispiele

F(A) = (dev(A))3 :


F(A),A =((dev(A))2⊗I+dev(A)⊗dev(A)+I⊗(dev(A))2) q a(I⊗I− 1

3 I×I)




Beispiele

F(A) = (dev(A))3 :


F(A),A =((dev(A))2⊗I+dev(A)⊗dev(A)+I⊗(dev(A))2) q a(I⊗I− 1

3 I×I)

F(A),A =(dev(A))2⊗ I+ dev(A)⊗dev(A) + I⊗ (dev(A))2− (dev(A))2× I







A,A = IAT,A = A,AT = I t = T

sym(A),A = 12 (I + T) = I s







A,A = I → A,A = I⊗ IAT,A = A,AT = I t = T → AT

,A = A,AT = I �× Isym(A),A = 1

2 (I + T) = I s → sym(A),A = 12 (I⊗ I + I �× I) = S







durch Beschränkung auf zwei Tensorprodukte kann T nichtexplizit dargestellt werdenkeine Behandlung der Ableitung nach einemschiefsymmetrischen zweistufigen Tensor, obwohl eigentlichvollkommen analog




Oftmals muss ein Tensor vierter Stufe invertiert werden !

Wie geht das ?





Wie geht das ?

Ein sehr einfaches Beispiel ist : (A⊗B)

Hier muss die Inverse lauten : (A⊗B)−1 = A−1 ⊗B−1





Wie geht das ?

Ein sehr einfaches Beispiel ist : (A⊗B)

Hier muss die Inverse lauten : (A⊗B)−1 = A−1 ⊗B−1

denn (A−1 ⊗B−1) q a(A⊗B) = A−1A⊗BB−1 = I⊗ I

bzw. (A⊗B) q a(A−1 ⊗B−1) = AA−1 ⊗B−1B = I⊗ I




Nicht immer ist das so offensichtlich !

Kann man auf Anhieb (durch Nachdenken !!) keine Inverse finden, sohilft oftmals nur die Holzhammer-Methode !!




Die wenig elegante Lösung

Y = A q aX⇒ y = Ax als Matrizen






y =(Y11 Y22 Y33 Y12 Y21 Y13 Y31 Y23 Y32

)Tx =

(X11 X22 X33 X12 X21 X13 X31 X23 X32

)T

A1111 A1221 A1331 A1121 A1211 A1131 A1311 A1231 A1321

A2112 A2222 A2332 A2122 A2212 A2132 A2312 A2232 A2322

A3113 A3223 A3333 A3123 A3213 A3133 A3313 A3233 A3323

A1112 A1222 A1332 A1122 A1212 A1132 A1312 A1232 A1322

A2111 A2221 A2331 A2121 A2211 A2131 A2311 A2231 A2321

A1113 A1223 A1333 A1123 A1213 A1133 A1313 A1233 A1323

A3111 A3221 A3331 A3121 A3211 A3131 A3311 A3231 A3321

A2113 A2223 A2333 A2123 A2213 A2133 A2313 A2233 A2323

A3112 A3222 A3332 A3122 A3212 A3132 A3312 A3232 A3322

︸︷︷︸

= A (reguläre 9× 9-Matrix)






y =(Y11 Y22 Y33 Y12 Y21 Y13 Y31 Y23 Y32

)Tx =

(X11 X22 X33 X12 X21 X13 X31 X23 X32

)T

A1111 A1221 A1331 A1121 A1211 A1131 A1311 A1231 A1321

A2112 A2222 A2332 A2122 A2212 A2132 A2312 A2232 A2322

A3113 A3223 A3333 A3123 A3213 A3133 A3313 A3233 A3323

A1112 A1222 A1332 A1122 A1212 A1132 A1312 A1232 A1322

A2111 A2221 A2331 A2121 A2211 A2131 A2311 A2231 A2321

A1113 A1223 A1333 A1123 A1213 A1133 A1313 A1233 A1323

A3111 A3221 A3331 A3121 A3211 A3131 A3311 A3231 A3321

A2113 A2223 A2333 A2123 A2213 A2133 A2313 A2233 A2323

A3112 A3222 A3332 A3122 A3212 A3132 A3312 A3232 A3322

︸︷︷︸


Aus A−1 folgt wiederum A−1 !!Olaf Kintzel Tensorformalismus




Y = A q aX⇒ y = Ax als MatrizenY = YT und X = XT sind symmetrisch, A ist supersymmetrisch !!






y =(Y11 Y22 Y33

√2Y12

√2Y13

√2Y23

)Tx =

(X11 X22 X33

√2X12

√2X13

√2X23

)T

A1111 A1221 A1331

√2 A1121

√2 A1131

√2 A1231

A2112 A2222 A2332

√2 A2122

√2 A2132

√2 A2232

A3113 A3223 A3333

√2 A3123

√2 A3133

√2 A3233√

2 A1112

√2 A1222

√2 A1332 2 A1122 2 A1132 2 A1232√

2 A1113

√2 A1223

√2 A1333 2 A1123 2 A1133 2 A1233√

2 A2113

√2 A2223

√2 A2333 2 A2123 2 A2133 2 A2233

︸︷︷︸







y =(Y11 Y22 Y33

√2Y12

√2Y13

√2Y23

)Tx =

(X11 X22 X33

√2X12

√2X13

√2X23

)T

A1111 A1221 A1331

√2 A1121

√2 A1131

√2 A1231

A2112 A2222 A2332

√2 A2122

√2 A2132

√2 A2232

A3113 A3223 A3333

√2 A3123

√2 A3133

√2 A3233√

2 A1112

√2 A1222

√2 A1332 2 A1122 2 A1132 2 A1232√

2 A1113

√2 A1223

√2 A1333 2 A1123 2 A1133 2 A1233√

2 A2113

√2 A2223

√2 A2333 2 A2123 2 A2133 2 A2233

︸︷︷︸


Aus A−1 folgt wiederum A−1 !!




Die elegante Lösung

Dass es auch anders geht, zeigt folgendes Beispiel :

Angenommen, wir haben die Gleichung :

σσσn+1 = σσσn + ∆γ(cn− b (δ σσσn+1 + (1− δ) (σσσn+1 : n) n))

Kann man hier nach σσσn+1 auflösen?

Die Gleichung sieht irgendwie kompliziert aus !!

Wie geht das ?








Kann man hier nach σσσn+1 auflösen?

Die Gleichung sieht irgendwie kompliziert aus !!

Antwort :

S q aσσσn+1 = σσσn + ∆γ cn− (b δ∆γ S + b (1− δ) ∆γ n× n) q aσσσn+1

Wir nehmen außerdem mal an, σσσ und n seien symmetrisch !!








Daraus folgt :

((1 + b δ∆γ) S + b (1− δ) ∆γ n× n) q aσσσn+1 = σσσn + ∆γ cn

Das hat schon einmal geklappt !!

Wie findet man aber jetzt die Inverse ??

Geht das überhaupt ?





Dazu schreiben wir erstmal :

E = a0 S + a1 n× n

Für die Inverse von E muss gelten :

E q aE−1 = S oder auch E−1 q aE = S

Für E−1 machen wir den Ansatz :

E−1 = c0 A⊗B + c1 C �× D + c2 E× F





Das führt auf das Gleichungssystem :

a0 c012 (A⊗B + A �× B) + a0 c1

12 (C⊗D + C �× D)

+(a0 c2 E×F+a1 c0 n×ATnBT +a1 c1 n×DnTC+a1 c2 n×F (n : E)

= 12 (I⊗ I + I �× I)






a0 c012 (A⊗B + A �× B) + a0 c1

12 (C⊗D + C �× D)


= 12 (I⊗ I + I �× I)

Wir nehmen nun an :

c0 = c1 und A = B = C = D = I sowie E = F = n !!

Das führt auf die folgenden zwei Gleichungen :

2 a0 c0 = 12 a1 c0 + c2 (a0 + a1 (n : n)) = 0






a0 c012 (A⊗B + A �× B) + a0 c1

12 (C⊗D + C �× D)


= 12 (I⊗ I + I �× I)

Folglich lautet die Lösung für E−1:

E−1 = 1a0

S− a1

a20+a1 a0 (n : n) n× n

oder :

E−1 = 11+b δ∆γ S− b (1−δ)∆γ

(1+b δ∆γ)2+(1+b δ∆γ)(b (1−δ)∆γ) (n : n) n× n





Damit lautet die Lösung :

σσσn+1 = σσσn+∆γ cn1+b δ∆γ −

b (1−δ) ∆γ ((σσσn : n) n+c∆γ (n : n) n)

(1+b δ∆γ)2+(1+b δ∆γ)(b(1−δ)∆γ) (n : n)

Für n : n = 1 gilt darüber hinaus :

σσσn+1 = σσσn+∆γ cn1+b δ∆γ −

b (1−δ) ∆γ ((σσσn : n) n+c∆γn)

(1+b δ∆γ)(1+b∆γ)

Geht doch !!




Vorteil des vorliegenden Tensorformalismus :

Durch Einführung von drei Tensorprodukten ist jeder vierstufigerTensor darstellbarEntgegen einer anderen Notation A⊗B, A ⊗B, A ⊗B (nachSteinmann & Co.) sind die Produkte A⊗B, A �× B, A×B leichtauseinanderzuhalten. Die gewählten Notationen sind konsistent(siehe z.B. ROSATI 2000, ITSKOV 2000,2002)Einführung von zwei neuen doppelten Kontraktionsregeln, wobei(:) klassisch ist, ( q a) der doppelten Kontraktionsregel nachITSKOV entspricht (dort mit (:) bezeichnet) und ( a q) tatsächlichneu ist

Dies erlaubt mehr gegenseitige Kombinationen. Z.B. :A q aB = B a qA




Vorteil der neu eingeführten Operationen für dieTensorableitung:

Behandlung aller Sonderfälle der Tensorableitung (Ableitungnach einem symmetrischen, schiefsymmetrischen oder inversenzweistufigen Tensor) klar und mit einfacher NotationDie alte (:) und neue Konvention ( q a, a q) wird simultan behandelt.Die Operationen (· · · )R und (· · · )L führen eine Darstellung in dieandere über

LiteraturO.Kintzel & Y. Basar 2006, ZAMM 86, No. 4, S. 291-311

"Fourth-order tensors - tensor differentiation with applications tocontinuum mechanics. Part I: Classical tensor analysis"




Vorteil der neu eingeführten Operationen für dieTensorableitung:

Behandlung aller Sonderfälle der Tensorableitung (Ableitungnach einem symmetrischen, schiefsymmetrischen oder inversenzweistufigen Tensor) klar und mit einfacher NotationDie alte (:) und neue Konvention ( q a, a q) wird simultan behandelt.Die Operationen (· · · )R und (· · · )L führen eine Darstellung in dieandere über

LiteraturO.Kintzel & Y. Basar 2006, ZAMM 86, No. 4, S. 291-311

"Fourth-order tensors - tensor differentiation with applications tocontinuum mechanics. Part I: Classical tensor analysis"

Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit !!


Tensorformalismus - Klassische Tensoranalysiskintzel.net/ruhruni/pdf-files/Tensorvortrag0.pdf ·...

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