Teoria de Numeros Sec Und Aria

8/6/2019 Teoria de Numeros Sec Und Aria

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TEMAS DE MATEMTICAS(OPOSICIONES DE SECUNDARIA)

TEMA 4

NMEROS ENTEROS. DIVISILIBIDAD. NMEROS PRIMOS. CONGRUENCIA.

1. Introduccin.2. Los Nmeros Enteros.

2.1.Construccin de 9.2.2.El Grupo Aditivo de los Nmeros Enteros.2.3.El Semigrupo Multiplicativo de los Nmeros Enteros.2.4.El Anillo de los Nmeros Enteros.

2.5.Ideales en el Anillo de los Nmeros Enteros.3. Divisibilidad.3.1.Divisibilidad de Nmeros Enteros.3.2.Divisibilidad en el Anillo de los Nmeros Enteros.3.3.Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo.

4. Nmeros Primos.5. Congruencias.6. Criterios de Divisibilidad.Bibliografa Recomendada.


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TEMA 4

NMEROS ENTEROS. DIVISILIBIDAD. NMEROS PRIMOS. CONGRUENCIA.

1. INTRODUCCIN.

Este tema se divide en cinco partes fundamentales. La primera parte son LosNmeros Enteros. Comenzaremos definiendo el conjunto de los nmeros enteros.Definiremos en l la operacin de suma, que lo convertir en grupo abeliano. Luego laoperacin producto, constituyendo un grupo multiplicativo abeliano con elementounidad. Ambas operaciones nos crearn el anillo de los nmeros enteros. Y al finaltrataremos de los ideales en el anillo, que se caracterizan por ser subconjuntos formadospor los mltiplos de un nmero entero.

La segunda parte es la Divisibilidad. La divisibilidad en el anillo de los nmeros

enteros se define de forma precisa en trminos de ideales. Por ltimo veremos laexistencia y unicidad del Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo.

En la tercera parte definiremos los nmeros primos y veremos sus propiedades.Aqu hemos de resaltar el teorema fundamental de la aritmtica.

En la cuarta parte trataremos con congruencias y en la ltima veremos los criteriosde divisibilidad ms importantes.

2. LOS NMEROS ENTEROS.

En el tema 1 definimos el conjunto de los nmeros naturales, el cual tiene estructurade Semianillo conmutativo. Ahora tenemos que ampliar dicho conjunto. El motivo esque ecuaciones del tipo x+m=n donde se verifica que m>n no tendran solucin. Portanto, hemos de construir un nuevo conjunto en el cual esas ecuaciones siempre tengansolucin. Ese conjunto ha de estar dotado de una operacin interna (suma) que seaextensin de la operacin interna de y que verifique que todo elemento tienesimtrico.

2.1.Construccin de99 .

DEF Sea el conjunto x={(a,b) / a, b}. Sobre este conjunto definimos larelacin R

(a,b)R(c,d) a+d = b+c

PROP La relacin R es una relacin de equivalencia.

Dem.

Para que R sea una relacin de equivalencia, debe verificar las propiedadesreflexiva, simtrica y transitiva.

a) Reflexiva. a+b=b+aya que es conmutativo (a,b)R(a,b)


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b) Simtrica (a,b)R(c,d) a+d=b+c b+c=a+d

Aplicando la conmutatividad c+b=d+a (c,d)R(a,b)

c) Transitividad

(a,b)R(c,d) a+d=b+c

(c,d)R(e,f) c+f=d+e

Sumando ambas expresiones miembro a miembro

a+d+c+f=b+c+d+e a+f=b+e (a,b)R(e,f)

Por tanto R es una relacin de equivalencia.

COROLARIO La relacin R sobre x define un conjunto cociente cuyos elementosson las clases de equivalencia [(a,b)] donde

[(a,b)]={(m,n)x / (m,n)R(a,b)}

DEF Se define el conjunto de los nmeros enteros, y lo representamos por 9, como elconjunto cociente x/R. Es decir9=x/R

OBS Sabemos que toda clase de equivalencia queda determinada dando unrepresentante cualquiera de la misma. Por convenio, los representantes de las clases deequivalencia sern aquellos pares ordenados que tengan al menos una de suscomponentes nula.

Se pueden dar tres casos, dado (a,b)x

1) a>b

En este caso existe m tal que a=b+m. Entonces se verifica (a,b)R(m,0).Todos los elementos de [(m,0)] son de la forma [(m,0)]={(b+m,b) / b}.

Al representante de [(m,0)] lo denotaremos con el smbolo +m, o simplemente,m. El conjunto 9+={[(m,0)] / m} lo llamaremos conjunto de los nmerosenteros positivos.

2) a


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3) a=b

Se verifica que (a,b)R(0,0). Todos los elementos de [(0,0)] son de la forma[(0,0)]={(a,a) / a}.

Al representante de [(0,0)] lo denotaremos con el smbolo 0.

Ahora ya estamos en condiciones de afirmar que9=9+{0}9-

PROP El conjunto 9 es una extensin de .

Dem.

Basta ver que 9 lo cual es evidente ya que 0 09

n-{0} [(n,0)]9+9

2.2.El Grupo Aditivo de los Nmeros Enteros.

Vamos a definir en 9 la suma para dotarlo de estructura de grupo.

DEF Definimos la suma en 9 como

+:9x99

con (a,b)x(c,d)9x9, entonces +((a,b),(c,d))=(a+c,b+d)

Notacin: La expresin +((a,b),(c,d)) se representa por (a,b)+(c,d).

PROP La suma as definida no depende del representante elegido.

Dem.

Sean (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d)

Para ver que [(a,b)+(c,d)]=[(a,b)+(c,d)]

tendremos que probar que ((a,b)+(c,d))R((a,b)+(c,d))

(a,b)R(a,b) a+b=a+b

(c,d)R(c,d) c+d=c+d

sumando ambas expresiones miembro a miembro

a+c+b+d = a+c+b+d (a+c,b+d)R(a+c,b+d)

((a,b)+(c,d)) R ((a,b)+(c,d))


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PROP La operacin de suma definida anteriormente verifica las siguientes propiedades:1) Asociativa: [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]

2) Conmutativa: [(a,b)]+[(c,d)]=[(c,d)]+[(a,b)]

3) Elemento Neutro: [(0,0)], ya que [(a,b)]+[(0,0)]=[(a,b)]=[(0,0)]+[(a,b)]

4) Elemento Opuesto: [(a,b)] [(b,a)] tal que [(a,b)]+[(b,a)]=[(0,0)]

Dem.

1) [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)]) = [(a,b)]+([(c+e,d+f)]) = [(a+(c+e),b+(d+f))] =

= [((a+c)+e,(b+d)+f)] = [(a+c,b+d)]+[(e,f)] = ([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]

2) [(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)] = [(c+a,d+b)] = [(c,d)]+[(a,b)]

3)

[(a,b)]+[(0,0)] = [(a+0,b+0)] = [(a,b)][(0,0)]+[(a,b)] = [(0+a,0+b)] = [(a,b)]

Por lo tanto [(0,0)] es el elemento neutro y se representa por 0

4) [(a,b)] [(a,b)]+[(b,a)] = [(a+b,b+a)] = [(0,0)]

Luego el opuesto de [(a,b)] es [(b,a)]

Es el llamado elemento simtrico con respecto a la operacin de suma.

PROP El simtrico de cada nmero es nico.

Dem.

Sea [(a,b)]. Supongamos que admite dos simtricos: [(b,a)] y [(c,d)]

[(a,b)]+[(b,a)] = [(0,0)] = [(a,b)]+[(c,d)] [(a+b,b+a)] = [(a+c,b+d)]

Y para que las clases sean iguales, sus elementos han de estar relacionados:

(a+b,b+a) R (a+c,b+d)

lo que significa que a+b+b+d = b+a+a+c

Aplicando la ley de simplificacin en b+d = a+c

y eso es (b,a) R (c,d)

y por tanto [(b,a)] = [(c,d)]

y ambos elementos son el mismo.


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OBS En general n9, se designa a su simtrico por nComo conclusin, la operacin suma definida junto con las operaciones que hemos

comprobado que verifica, nos indican que (9,+) es un Grupo Abeliano.

Una consecuencia de la definicin de suma, y por ser (9,+) un grupo, se verifica la

propiedad cancelativa en la suma de nmeros enteros.

PROP p,q,r9. p+q=p+r q=r

Dem.

Como p9 (-p)9 / p+(-p)=0

p+q=p+r (-p)+(p+q) = (-p)+(p+r)

Aplicando la propiedad asociativa ((-p)+p)+q = ((-p)+p)+r

Aplicando la propiedad de existencia de opuesto 0+q = 0+r

Aplicando la propiedad de existencia de neutro q=r

Ahora que ya tenemos a (9.+) como grupo podemos afirmar:

1) Existe una operacin inversa a la adicin, que llamaremos diferencia.

m,n9 m-n = m+(-n)

2) La ecuacin x+m=n con m,n9 es resoluble en 9, siendo la solucin x=n+(-m)y es nica.

DEF Se define la sustraccin o resta de nmeros enteros como la suma del primerocon el opuesto del segundo. m-n = m+(-n)

Esta operacin es interna en 9, pero no verifica las propiedades conmutativa yasociativa.

Veamos que la suma de nmeros enteros se corresponde con la construccin que

hicimos de9:

1) +m+n = [(m,0)]+[(n,0)] = [(m+n,0)] = +(m+n)

2) m+(-n) = [(0,m)]+[(0,n)] = [(0,m+n)] = -(m+n)

3) +m+(-n) = [(m,0)]+[(0,n)] = [(m,n)]

a) Si m>n [(m,n)] = +(m-n)

b) Si m


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2.3.El Semigrupo Multiplicativo de los Nmeros Enteros.

Vamos a definir en 9 una operacin producto tal que (9,) sea un semigrupoconmutativo con elemento unidad, prolongando el producto definido en .

DEF Definimos la multiplicacin de nmeros enteros como:

:9x99

con (a,b)x(c,d)9x9, entonces ((a,b),(c,d))=(ac+bd,ad+bc)

Notacin: La expresin ((a,b),(c,d)) se representa por (a,b)(c,d).

PROP El producto as definido no depende de los representantes elegidos.

Dem.

Sean (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d)

Para ver que [(a,b)(c,d)]=[(a,b)(c,d)]

tendremos que probar que ((a,b)(c,d))R((a,b)(c,d))

que es equivalente a ac+bd+ad+bc = ad+bc+ac+bd

Vamos a ver que se verifica esa igualdad en dos pasos:

Paso 1:

Comprobar: (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d) (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)

ac+bd+ad+bc = (a+b)c+(b+a)d =

Como (a,b)R(a,b) a+b=b+a

= (b+a)c+(a+b)d = ad+bc+ac+bd

Uniendo ambos extremos: ac+bd+ad+bc = ad+bc+ac+bd

Que es lo mismo que (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)

Paso 2:

Comprobar: (a,b)R(a,b) y (c,d)R(c,d) (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)

La demostracin de este paso es anloga a la anterior.

Como la relacin R es transitiva, tenemos que:

(a,b)(c,d) R (a,b)(c,d) y (a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)


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(a,b)(c,d) R (a,b)(c,d)

que era lo que queramos comprobar.

PROP La multiplicacin de nmeros enteros cumple las siguientes propiedades:

1) Asociativa: m,n,p9 (mn)p=m(np)

2) Conmutativa: m,n9 mn=nm

3) Elemento Neutro: e9 m9 me=m=em siendo e=1

Dem.

Sea m un representante de la clase [(a,b)], n de [(c,d)], p de [(e,f)] y e de [(e1,e2)]

1) (mn)p = ([(a,b)][(c,d)])[(e,f)] = [(ac+bd , ad+bc)][(e,f)] =

= [((ac+bd)e+(ad+bc)f , (ac+bd)f+(ad+bc)e)] =

= [(ace+bde+adf+bcf , acf+bdf+ade+bce)] =

= [(a(ce+df)+b(de+cf) , a(cf+de)+b(df+ce))]

= [(a,b)][(ce+df , de+cf)] = [(a,b)]([(c,d)][(e,f)]) = m(np)

2) mn=[(a,b)]

[(c,d)]=[(ac+bd, ad+bc)]=[(ca+db, da+cb)]=[(c,d)]

[(a,b)]=n

m

3) me=m [(a,b)][(e1,e2)]=[(a,b)]

=+=+

bbeae

abeae

12

21

Para resolver el sistema de ecuaciones multiplicamos la primera por a y la segundapor b

=+=+

21

22

221

2

bebabe

aabeea

restando ambas ecuaciones: a2e1-b2e1=a2-b2 e1=1

sustituyendo en la primera ecuacin obtenemos e2=0

Luego e=[(1,0)]=19

Por conmutatividad me=em

Ya estamos en condiciones de poder afirmar que (9,) es un semigrupo conmutativocon elemento unidad.


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PROP Otras propiedades del producto de nmeros enteros son:1) Ley de Simplificacin: m,n,p9-{0}, si mn=mp n=p

2) El cero es un elemento absorbente: m9 m0=0

3) 9 no posee divisores de cero: m,n9, si mn=0 m=0 n=0

Dem:

A demostrar por el lector

OBS Teniendo en cuenta la definicin que hemos dado de nmeros enteros (tantopositivos como negativos) y la definicin de producto, podemos obtener la Regla de losSignos:

1) +m+n=[(m,0)][(n,0)]=[(mn,0)]=+(mn)

2) +m(-n)=[(m,0)][(0,n)]=[(0,mn)]= (mn)

3) -m+n=[(0,m)][(n,0)]=[(0,mn)]= (mn)

4) -m(-n)=[(0,m)][(0,n)]=[(mn,0)]=+(mn)

PROP Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

pnm ,, 9 1) m(n+p)=mn+mp (por la izq.)2) (m+n) p=mp+np (por la der.)

Dem

Como ambas demostraciones son anlogas, slo haremos una:

1) Sea m un representante de la clase [(a,b)], n de la clase [(c,d)] y p de [(e,f)]

m(n+p)=[(a,b)]([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)][(c+e,d+f)]=

=[(a(c+e)+b (d+f), a(d+f)+b(c+e)]=[(ac+ae+bd+bf, ad+af+bc+be)]=

=[(ac+bd+ae+bf, ad+bc+af+be)]=[(ac+bd, ad+bc)]+[(ae+bf, af+be)]=

=[(a,b)][(c,d)]+[(a,b)][(e,f)]= mn+mp

PROP El conjunto 9, con las operaciones de suma y producto definidas es unaextensin de , con sus dos operaciones de suma y producto.

Dem

Definamos la aplicacin f: 9 con f(n)=+n

Es fcil comprobar que: f(m+n)=f(m)+f(n)


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y f(mn)=f(m)f(n) m,n

Basta tener en cuenta la definicin de suma y producto en 9.

2.4. Anillo de los Nmeros Enteros.

Como (9,+) es un grupo abeliano, (9,) es un semigrupo conmutativo conelemento unidad y se verifica la propiedad distributiva por ambos lados, entonces(9,+,) tiene estructura de Anillo Conmutativo unitario.

Veamos algunas de las propiedades de (9,+,)

PROP El anillo de los nmeros enteros no posee divisores de cero. Es decir:

m,n9 Si mn=0 m=0 n=0

DEF (9,+,) es un dominio de integridad, ya que es un anillo conmutativo conelemento unidad y sin divisores de cero.

PROP El cero es un elemento absorbente. Es decir: a9 a0=0a=0

Dem

Sabemos que b9 se verifica que b+0=0+b=b

Teniendo en cuenta esto: ab=a(b+0)=ab+a0

Aplicando la ley simplificativa: 0=a0

De forma anloga para : 0=0a

PROP a,b9 a(-b)=-(a b)=(-a)b

Dem

Sabemos que b9 (-b)9/ b+(-b)=0

b+(-b)=0 a[b+(-b)]=a 0 ab+a(-b)=0 a(-b)=-(ab)

De forma anloga se comprueba que (-a)b=-(ab)

PROP a9 (-a)(-b)=ab

2.5Ideales en el Anillo de los Nmeros Enteros.

Sabemos que 9 es un anillo conmutativo unitario y adems es un dominio deintegridad, ya que no posee divisores de cero.

Vamos a definir ahora el concepto de ideal.


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DEF Sea I un subconjunto de 9. Se dice que I es un ideal de 9 si verifica:

a) I es un subgrupo aditivo de9.

b) a9 xI se cumple axI

OBS El subgrupo de 9 formado por todos los mltiplos de un entero cualquieram9 es un ideal de 9. La comprobacin es trivial.

El ideal lo representamos por (m).

Ya que los mltiplos de m coinciden con los de (-m), por convenio, al hablar delideal (m) tomaremos un positivo.

Comprobemos que todo ideal de 9 es de la forma (m).

PROP Dado un ideal I de 9, se verifica que I=(m) para un entero m convenientementeelegido.

Dem

Por ser I un ideal, se verifica I9.

Si I=(0), la proposicin queda demostrada.

Supongamos pues que I(0). Entonces I deber contener enteros positivos. Sea m elmenor de los enteros positivos de I. Comprobemos que I=(m), y lo haremos por dobleinclusin.

(m) I Como mI e I es un ideal (m) I

I(m) Supongamos que I(m) y llagaremos a una contradiccin.

Como I(m) a(m) / a(m)

Si dividimos a porp obtenemos: a=mq+r con r


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Los ideales (0) y (1) se llaman ideales impropios. Los restantes, si existen, sellaman ideales propios.

DEF Sea I un ideal. Diremos que I es un ideal principal si est engendrado por un soloelemento.

COROLARIO Todo ideal de9 es un ideal principal.

DEF (a) es un subideal de (b) si (a)(b)

Con los ideales de 9 podemos definir las operaciones de suma e interseccin deideales, dando como resultado un nuevo ideal.

PROP 1) (a)+(b)={p9/p=m+n, m(a), n(b)} es un ideal

2) (a)(b)={p9/z(a) y z(b)} es un ideal

Dem

1) Sean m,n(a)+(b) m=a1+b1 y n=a2+b2 con

a1,a2(a) y b1,b2(b)

m-n=(a1+b1)-(a2+b2)=(a1-a2)+(b1-b2)

Como: a1-a2(a) y b1-b2(b) por ser (a) y (b) ideales se verifica que:

m-n(a)+(b) (1)

Sea n(a)+(b) n=a1+b1 con a1(a) y b1(b)

c9 c.n=c(a1+b1) c.n=ca1+cb1

Se verifica que ca1(a) y cb1(b)

entonces: c.n(a)+(b) (2)

De (1) y (2) se deduce que (a)+(b) es un ideal.

2) Sean m,n(a)(b) m,n(a) y m,n(b) m-n(a) y m-n(b)

m-n(a)(b) (1)

Sea n(a)(b) y c9 Como n(a) y n(b) se verifica que:

n.c(a) y n.c(b) n.c(a)(b) (2)

De (1) y (2) se deduce que (a)(b) es un ideal.


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Veamos ahora algunos ideales especiales

DEF Diremos que un ideal I es primo si verifica:

1) I9

2) nnI mI nI.

PROP I=(m) es un ideal primo de 9 si y slo si m es un nmero primo.

Dem

OBS Como 9 es un dominio de integridad, los ideales impropios son primos y portanto los excluiremos de la demostracin.

Demostrar: (m) es ideal primo (m) es nmero primo.

Es equivalente a: m no es nmero primo (m) no es ideal primo.

Si m no es un nmero primo a,b9/ m=a+b con a1 y b1.

Podemos considerar a y b positivos, luego: m(m) y m=ab

Pero a(m) y b(m) ya que m es el entero positivo ms pequeo. Por tanto (m) no

es primo al no verificar la segunda condicin de la definicin.

Sea m un nmero primo y ab(m) ab=r m

Como m es primo, debera dividir a a o b a(m) b(m)

DEF Diremos que un ideal M es maximal si verifica:

1) M9

2) I9 ideal y MI I=9 I=M

DEF Llamaremos nmeros primarios a los nmeros de la forma pn con p primo yn* (*=-{0})

DEF Los ideales primarios de 9 son los generados por el 0 y las potencias positivasde los nmeros primos.


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3. DIVISIBILIDAD.

3.1. Divisibilidad de Nmeros Enteros.

DEF Sean a,b9, diremos que a divide a b o a es un divisor de b b es un

mltiplo de a y lo denotaremos por ser a/b b= a& si:

c9/ b=ac

OBS A partir de la definicin es fcil comprobar que:

1) 1/a a9 1/a ya que a9/ a=1a

2) a/0 a9 a/0 ya que 09 y se verifica 0=a0

PROP a,b,c9 se verifica:

1) a9 a/a

2) Si a/b y b/c a/c

3) Si a/b y b/a a=b

Dem

1) a9 19/ a=1a

2) Si a/b n1/ b=an1 c=(an1)n2 ; c=a(n1 n2)

Si b/c n2/ c=bn2

Como: n1n29 a/c

3) Si a/b n1/ b=an1 a=bn2 ; a=(an1)n2

Si b/a n2/ a=bn2

a=a(n1 n2) a=a(n1n2)=0 a(1n1n2)=0

Si a=0 como b=an1 tenemos b=0

Si a0 1n1n2=0 por ser9 un dominio de integridad

n1n2=1 n1=n2=1 n1=n2=1

Se deduce pues que a=b a=b

Si consideramos el par (9,/), vemos que verifica la propiedad reflexiva (apartado 1de la proposicin anterior) y la propiedad transitiva (apartado 2 de la proposicin


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anterior). En cambio no verifica la propiedad antisimtrica. Por tanto, (9,/) es unconjunto preordenado. Si un nmero entero y su opuesto fuesen el mismo se verificarala propiedad antisimtrica y (9,/) sera un conjunto ordenado. Eso no es posible, perovamos a evitar esa dificultad considerando equivalentes un nmero y su opuesto.

DEF Diremos que dos nmeros enteros, a y b, son asociados si verifican a/b y b/a.

OBS Los nmeros asociados se obtienen multiplicando por 1 y por 1.

Al conjunto formado por el 1 y 1 lo vamos a denotar por U={1,-1} y forman ungrupo multiplicativo.

DEF Definimos la relacin ser asociados y la denotaremos por a :

ab a/b y b/a

PROP La relacin es una relacin de equivalencia.

Dem

Reflexiva: Dado a9 se verifica a/a aa

Simtrica: ab a/b y b/a b/a y a/b ba

Transitiva: ab a/b y b/a

b

c

b/c y c/b

Como a/b y b/c a/c y como c/b y b/a c/a

Entonces: ac

La relacin de equivalencia ser asociados define clases de equivalencia dondea9 subclase de equivalencia la denotaremos a y9/ es el conjunto cociente.

A los elementos del conjunto cociente (las clases de equivalencia) se les llamanmeros asociados.

a ={b9/ au=b con u U}

Si: a=0 0={0}

Si: a0 a ={a,-a}

Ya estamos en condiciones de generalizar la relacin de divisibilidad definida en 9al conjunto9/

DEF Dados b,a 9/, diremos que a divide a b si c9 tal que b=a c


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Con esta nueva relacin de divisibilidad podemos afirmar:

PROP La relacin de divisibilidad definida es una relacin de orden y el conjunto(9/, /) es un conjunto ordenado.

OBS En la prctica, no hablamos de divisibilidad de nmeros asociados, pero al tratarla propiedad antisimtrica, se considerarn las clases (o nmeros asociados), no losnmeros entre s

PROP La divisibilidad entre nmeros enteros verifica:

1) Si a/b y a/c a/b+c y a/b-c

2) Si a/b c9 a/b c

Dem

1) a/b n19/ b=an1

a/c n29/ c=an2

b+c=an1+an2 = a(n1+n2) ; Como n1+n29 a/b+c

b-c=an1-an2 = a(n1-n2) ; Como n1-n29 a/b-c

2) a/b n19/ b=an1

Al multiplicar ambos miembros por c9

bc=(an1)c ; bc=a(n1 c) y como n1c9 a/bc

3.2. Divisibilidad en el Anillo de los Nmeros Enteros.

DEF Sean a,b9. Diremos que a divide a b y se escribe a/b cuando (b)(a).

Ejemplo: 5/10 ya que (10)(5)

PROP Sean a,b9. Las definiciones vistas:

1) a/b si c9/ b=ac

2) a/b si (b)(a) son equivalentes

Dem

1) 2)

Si a/b c9/ b=ac b(a) (b)(a) por ser9 un anillo principal.


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2) 1)

Si a/b (b)(a) b(a) c9/ b=ac por ser9 un anillo principal.

PROP Dados a,b9, son asociados (a)=(b)

Dem

Como a y b son asociados ab

(b)(a)b/a

(a)(b)a/b (b)=(a)

(a)=(b)

a/b(a)(b)

b/a(b)(a) ab a y b son asociados.

OBS Un ideal en 9 est engendrado por un elemento o por su opuesto (son los quepertenecen a la misma clase segn la relacin de equivalencia ser asociado).

DEF Se dice que a divide a b , y se escribe ba cuando (b)(a)

PROP a,b con a/b se verifica:

1) a/bn con n

2) a/|b|

3) |a|/|b|

4) b0 |a||b|

Dem

1) Como a/b n1

/ b=an1

n=1 trivial

n=k-1 supongamos cierto que a/bk-1

n=k como a/bk-1 nk-1/ bk-1 =ank-1

bk=b.bk-1=an1ank-1

Sea: nk= an1nk-19 bk=ank a/nk

2) Si b0 a/b por hiptesis


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18/35

Si b


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19/35

Como d=m.c.d(a,b) d/a y d/b a(d) y b(d) (a)(d) y (b)(d)

(a)+(b)(d)

Para ver la inclusin al contrario:

como la suma de ideales es un nuevo ideal y en 9 los ideales son todos principales

s9/ (a)+(b)=(s)

pero entonces s/a y s/b

Por ser d=mcd(a,b) s/d (d)(s)=(a)+(b) por tanto (d)=(a)+(b)

OBS La proposicin anterior demuestra la existencia de mcd de un nmero finito de

elementos de9.

PROP Sean a,b9. Se verifica que el mcd(a,b) es nico, salvo factores unidad de 9.

Dem

Supongamos d,d9/ d=mcd(a,b) y d=mcd(a,b)

De la proposicin anterior (a)+(b)=(d)=(d)

Como (d)=(d)

=

=

ddd'(d)d'

d'dd)(d'd

2

1

d=d1d2d

Por ser9 un dominio de integridad d1d2=1 d1=d2=1 d1=d2=-1

Por tanto dy d o son iguales o difieren en un factor unidad.

Por convenio, se toma como mcd el nmero positivo.

Teorema de BEZOUT.

Si d=mcd(a,b) entonces existen dos nmeros ,9

tales que d=a+bDem

d=mcd(a,b) (d)=(a)+(b) m,n9 tal que d=m+n con n(a) y n(b)

m=a para algn 9 y n=b para algn 9 d=a+b

Algoritmo de la Divisin

Sean a,b9 con b>0. Entonces existen q,r9 nicos tales que:

a=bq+r con 0r


20/35

20/35

Dem

Existencia Sean a,b9 con b>0

Construimos el conjunto S={a-bn / n9 y a-bn es un nmero Natural}

Es fcil comprobar que S no es vaco:

Si a=0 tomando n=-1 a-b(-1)0

Si a0 tomando n=-a2 a-b(-a2)=a+b.a20

Aplicando el principio de buena ordenacin de , que dice que todosubconjunto de no vaco, tiene un mnimo, existe r=mn S

Luego r=a-bq para un determinado q9 y r0

Por tanto: a=bq+r con r0.

Comprobemos ahora que r


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Por el Teorema de Bezout: ,9/ d=a+b

+=

+

+=

)1(dbda(1)comoy

db

da

)1(db

da

1

)1(

d

b

d

a =

+

mcd 1db

,da

=

Teorema de EUCLIDES. Si a/bc y mcd(a,b)=1 a/c

Dem

Como mcd(a,b)=1. Por el teorema de Bezout ,9

/ 1=a+bAl multiplicar la expresin por c c=ac+bc

bcabcahiptesisPor

acaaa

bcaca + a/c

DEF Sean a,b9. Llamaremos Mnimo Comn Mltiplo de a y b a m9 si severifican las siguientes condiciones:

1) a/m y b/m

2) n9 tal que a(n y b/n m/n

OBS m es el menor de los mltiplos comunes de a y b.

Es inmediato extender la definicin a un nmero kde elementos de9.

DEF Sean a1, a2, a3,.., ak9. Llamaremos mnimo comn mltiplo de a1 ak a m9verificando las siguientes condiciones:

1) ai/m i:1,,k

2) n9 tal que ai/n i:1,,k m/n

Diremos que m=mcm(a,b)

Al igual que hemos hecho con el mcd, las proposiciones que siguen vamos ademostrarlas para dos elementos, siendo inmediato la extensin a n elementos.

PROP Sean a,b9. (a)(b)=(m) si y slo si m=mcm(a,b)

Dem

Hemos de probar que se verifican las dos condiciones de la definicin:


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22/35

1) Como (a)(b)=(m)

b/m(b)m(b)(m)

a/m(a)m(a)(m)

2) Supongamos que n9/ a/n y b/n

(b)(n)(b)nb/nComo

(a)(n)(a)na/nComo (n)(a)(b)=(m)

(n)(m) n(m) m/n

Como m=mcm(a,b) a/m y b/m m(a) y m(b)

(m)(a)(b)

Veamos la inclusin al revs.

Como la interseccin de ideales es un nuevo ideal y en 9 todos los ideales sonprincipales, supongamos que t9.

(a)(b)=(t)

tb(b)t(b)(t)

ta(a)t(a)(t)

Pero como m=mcm(a,b) se verifica m/t (t)(m)

y como (t)=(a)(b) tenemos (a)(b)(m)

COROLARIO Dados a,b9, a/b si y slo si mcm(a,b)=b

Dem

a/b (b)(a) (a)(b)=(b) mcm(a,b)=b

PROP Si mcm(a,b)=m mcm(ac, bc)=mc con c0

Dem

Como mcm(a,b)=m (a)(b)=(m) (a.c)(b.c)=(m.c)

mcm(ac,bc)=mc

PROP Si mcm(a,b)=m y c / c/a y c/b mcmcm

cb

,ca =

Dem Anloga a la anterior.

Veamos ahora la relacin que existe entre el mcd y el mcm de dos nmeros enteros.


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23/35

Teorema

Dados a,b9 mcd(a,b)mcm(a,b)=a b

Dem

Sea mcd(a,b)=d y mcm(a,b)=m

Si mcd(a,b)=d

==

b'.dbd/b

a'.dad/averificando mcd 1

db

,da =

que es lo mismo que mcd(a,b)=1

Si

====

d.b'a'bd.a'b'b.a'db'b

d.b'a'ad.b'a'a.b'da'a

Sea k un mltiplo cualquiera de a y b. Entonces:

r,s9 tales que

====

d.sb'kb.sk

d.ra'ka.rk ad.r=bd.s ar=bs

a/bs y como mcd(a,b)=1, por el teorema de Euclides tenemos que:

a/s t9 tal que s=at

Por tanto k=b.s=b.at=bd.at k/bd.a

Podemos decir que mcm(a,b)=d.ab

Ya estamos en condiciones de comprobar la igualdad, que es d.m=a.b

d.m=d.d.ab=d.a.d.b=a.b cqd

COROLARIO a,b9 son coprimos mcm(a,b)=a.b

Dema,b son coprimos mcd(a,b)=1 mcm(a,b)=a.b

Vamos a ver ahora un teorema que nos va ha dar un mtodo prctico para calcularel mcd de dos nmeros y, aplicando el teorema anterior, podremos calcular a su vez, elmcm. Consiste en las divisiones sucesivas.

Teorema del Algoritmo de EUCLIDES.

Si r es el resto de la divisin entera de a por b, entonces mcd(a,b)=mcd(b,r)

Dem Dados a,b9 q,r9/ a=b.q+r 0r


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24/35

r=a-b.q=a.1+b.(-q) luego todo divisor de a y b es tambin divisor de r.

r(a)+(b) r(d) siendo d=mcd(a,b) (r)(d) d/r

mcd(b,r)=d=mcd(a,b)Llamaremos Algoritmo de Euclides al proceso de divisiones sucesivas que nos va a

permitir calcular el mcd de dos nmeros.

Algoritmo de Euclides: Dados a,b9

q1,r1 a=bq1+r1 0r1


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25/35

Como d es el mayor de todos, entonces d=p. Por tanto mcd(a,p)=p

PROP Sea p9 un nmero primo. Si p/a.b p/a p/b

Dem

Si p/a entonces la proposicin ya est demostrada.

Supongamos quep no divide a a, entonces mcd(p,a)=1.

Aplicando el Teorema de Euclides: p/a.b y mcd(p,a) p/b

PROP El conjunto de los nmeros primos es infinito.

Dem

Supongamos que el conjunto de los nmeros primo es finito

Sea P={p1,p2,,pn} todos los nmeros primos.

Sea q=p1p2pn+1. Vamos a comprobar que q es primo, lo que supondruna contradiccin, ya que qP

Si q no es primo i{1,n} / pi/q c9/ q=pic

Entonces: pic=p1 p2pn+1

c=ii

n21

p1

pp...pp + = p1pi-1pi+1 pn+

ip1

ip

1=c-p1pi-1pi+1 pn9

pi /1 con pi primo, lo que es una contradiccin q es primo

El conjunto de los nmeros primos es infinito

Para poder obtener todos los nmeros primos inferiores a uno dado existe unmtodo prctico que recibe el nombre de Criba de Erasttenes.

Criba de Erasttenes.

Se escribe la sucesin de los nmeros naturales hasta el nmero dado. Acontinuacin tachamos todos los mltiplos de 2 comenzando en su cuadrado 22=4. Acontinuacin del 2, el primer nmero sin tachar es el 3, entonces eliminamos losmltiplos de 3 comenzando en su cuadrado 32=9. Repetimos el proceso hasta llegar a unnmero cuyo cuadrado no est en la lista. Aquellos nmeros que permanezcan sin tacharson nmeros primos.


26/35

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Dado un nmero entero, para comprobar si es nmero primo sin tener que realizarla criba de Erasttenes, basta con comprobar si es divisible por los primeros nmerosprimos (2,3,5,7,) hasta que se llegue a un nmero cuadrado sea superior al propionmero dado.

Teorema En 9 se verifica: p es primo (p) es ideal maximal

Dem

Como p es primo (p)9 ya que p1

Sea (q) un ideal tal que (p)(q)9.

Como (p)(q) q/p pero al ser p primo q{1,-1,p,-p}

Sea u{-1,1}

=====

(q)(p)puq

(u)(q)uq

Entonces (p) es ideal maximal al verificar las dos condiciones de la definicin.

Sea q un divisor de p q/p (p)(q)

Como (p) es maximal Si (p)(q) se verifica que (q)=(p) (q)=9

Si (q)=(p) p/q y q/p p y q son asociados p es slo divisiblepor sus asociados.

Si (q)=9 q=u (p)(u) u/p entonces p es slo divisible porlas unidades o por sus asociados p es primo

DEF Se llaman nmeros primarios a las potencias de la forma pn siendo p un nmeroprimo y n-{0}

OBS Todo nmero primo es nmero primario, sin ms que tomar n=1.

Ahora vamos a ver un resultado que nos va a permitir decir que todo nmerocompuesto admite una descomposicin en factores primarios y que dosdescomposiciones del mismo nmero son iguales salvo en el signo de los factores.

Si traducimos esto a ideales, es lo mismo que decir que todo ideal propio de 9admite una descomposicin como interseccin finita de ideales primarios.

Por ejemplo: (50)=(2)(52) siendo (2) y (52) ideales primarios.


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Teorema Fundamental de la Aritmtica.

a) Existencia: Todo nmero compuesto se puede descomponer en un producto defactores primos.

b) Unicidad: La descomposicin anterior es nica, salvo el orden o signo de losfactores.

Dem

a) Existencia.

Sea m un nmero compuesto y p el divisor primo de m, ms pequeo.

Entonces m=p1.n1 con n19

Si n1 es primo, ya est demostrado. m sera el producto de dos primos

Si n1 no es primo, repetimos el proceso para n1.

Sea p2 el divisor primo de n1 ms pequeo:

Entonces n1=p2.n2 con n29 luego m=p1.p2.n2

Repetimos el proceso hasta obtener nk9 nmero primo para algn k o esuna unidad.

El proceso es finito, ya que, por ejemplo, si usramos el mtodo de la Cribade Erasttenes, obtendramos un nmero finito de nmeros primos, que son loscandidatos a ser divisores de m (los nmeros primos mayores que m no puedendividirlo)

Si nk es una unidad m=p1.p2.p3.pk

Si nk es nmero primo pk+1=nk y m= p1.p2.p3.pk..pk+1.

b) Unicidad.

Una vez comprobado que m se puede descomponer como producto denmeros primos, veamos que dicha descomposicin es nica.

Sea m= p1.p2.p3.pn=q1.q2.q3.qk. n


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j{1,,k} / p1/qj y como qj tambin es primo

p1 y qj son asociados p1=qj.u con u{-1,1}.

Reordenando los nmeros primos podemos afirmar que p1=q1.u1

Entonces: p1.(p2pn)=q1.(q2qk) se transforma en:

q1.u1.(p2pn)=q1.(q2qk) quedando: u1.p2pn=q2qk

Repitiendo todo este proceso n veces obtenemos:

u1.u2un=qn+1qk

Luego: qn+1qk=1 qn+1qk=-1

Entonces j{n+1,,k} tenemos qj /1 qj/-1

Por tanto: qj=u con u{1,-1} y j{n+1,,k}

Obtenemos que m=p1pn=q1qn y pi=qi.ui i:1n c.q.d.

COROLARIO

Si en la descomposicin de un nmero compuesto aparecen varios nmeros primosrepetidos, se pueden asociar y el nmero se escribe as:

n21 an

a2

a1 p....p.pm = siendo ai el nmero de veces que se repite pi i:1,,n

Dem

Dado m9 nmero compuesto, como la descomposicin es nica, siordenamos los nmeros primos de menor a mayor, tenemos:

n2121 an

a2

a1nn2211 p.....p.pp....p........p..p.p....pm ==

naaa

COROLARIO

Todo nmero compuesto se puede descomponer de manera nica como producto denmeros primos.

Dem

Igual que la demostracin anterior.

COROLARIO

Todo ideal propio de 9 se puede poner como interseccin finita de idealesprimarios


29/35

29/35

Dem

Dado m9 y aplicando el corolario anterior: n21 ana2

a1 p.....p.pm =

Es evidente que 1)p.....p.mcd(p n21 ana2

a1 =

ya que los pi son todos distintos: pipj ij.

Entonces, como )p.....p.mcd(p n21 ana2

a1 n21n21

an

a2

a1

an

a2

a1 p.....p.p)p.....p.mcm(p =

tenemos que: m)p.....p.mcm(p n21 ana2

a1 =

Por un teorema anterior comprobamos que mcm(a,b)=m (m)=(a)(b)

y aplicndolo obtenemos: (m)=

n21 a

n

a

2

a

1 p.....pp c.q.d.Una consecuencia prctica de todo esto es la siguiente:

Dado a,b9 sabemos que mcd(a,b)=d es el mayor de los divisores comunes de a yb; mcm(a,b)=m es el menor de los mltiplos comunes distintos de cero de a y b.

Entonces el mcd(a,b)=d se puede obtener multiplicando los factores primoscomunes con el menor exponente, de los que aparecen al descomponer a y b.

A su vez, el mcm(a,b)=m se puede obtener multiplicando los factores comunes y no

comunes con el mayor exponente de los que aparecen en las descomposiciones de a y b.

5. CONGRUENCIAS.

DEF Sean a,b,n9 con n>0. Diremos que a es congruente con b mdulo n, y seescribe ab(mod n) si n divide a a-b, n/a-b, o lo que es lo mismo a-b(n)

PROP Sean a,b,n9 con n>0.

ab(mod n) a y b dan el mismo resto al dividirlos por n.

Dem

Sea ab(mod n) n/a-b c9/ a-b=n.c

Si dividimos b por n q,r ab(mod n) / b=n.q+r con 0r


30/35

30/35

Para ver que ab(mod n) basta comprobar que a-b(n)

Por hiptesis q1,r9/ a=q1.n+r 0r0. Por el algoritmo de la divisin:

q,r9/ a=n.q+r con 0r0. Si

n)(modb'b

n)(moda'a

++

n)(modb'a'baii)

n)(modb'a'bai)

Dem

i)

n)(modb'b

n)(moda'a

b'-bn

a'-an )b'-(b)a'-(an +

)b'(a'b)(an ++ a+ba+b (mod n)


31/35

31/35

ii)

n)(modb'b

n)(moda'a

b'-bn

a'-an

)b'-a.(bn

)a'-b.(an )b'-(ba')a'-b(an +

b'a'-abn abab(mod n)

COROLARIO

Sean a,b,c,n9 con n>0. Se verifica:

1) ab(mod n) c9 a+cb+c (mod n)

2) ab(mod n) c9 acbc (mod n)

Dem

1)

c9 se verifica n/c-c ya que c-c=n.0 cc(mod n)

Aplicando i) de la proposicin anterior a

++

n)c(modc

n)c(modbca a+cb+c(mod n) c9

Anlogamente podemos obtener que c9 -c-c(mod n)

Aplicando i) de la proposicin anterior a

++

n)c(modc-

n)c(modbca ab(mod n)

2) c9 cc(mod n)

Aplicando ii) de la proposicin anterior a:

n)c(modc

n)b(moda a.cb.c(mod n)

OBS El recproco de 2) no se puede obtener si no aadimos alguna condicinadicional. Vemoslo:

Sean a,b,c,n9 con n>0. Se verifica:

ac=bc(mod n) y c y n son coprimos ab(mod n)


32/35

32/35

Dem

c y n son coprimos mcd(c,n)=1

aplicando el teorema de Bezaut

,9/ 1=.c+.n 1+c=n n/1-.c 1c(mod n)

Como a,b9, se verifica

n)b(modb

n)a(moda

De 1c(mod n) y aa(mod n) obtenemos aca(mod n)

De 1c(mod n) y bb(mod n) obtenemos bcb(mod n)

n)(modcomo

n)b.c(moda.chiptesisPor

Z acbc(mod n)Aplicando la propiedad transitiva que verifica la relacin de congruencia:

n)cb(modca

n)(modcbb

n)(modcaa

ab(mod n)

PROP Sean a,b,k,n9 con n>0.

0k

(kn)modba ab(mod n)

Dem

ab(mod kn) kn/a-b c9/ a-b=ckn a-b=(c.k).n

n/a-b ab(mod n)

Anlogamente ab(mod k)

6. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

Antes de poder tratar los criterios de divisibilidad, hemos de obtener unosresultados previos,

DEF Sea p un nmero entero estrictamente positivo. Llamaremos restos potencialesde p, mdulo n a los deferentes restos que se obtienen al dividir las sucesivas potenciasde p por n.

Por ejemplo: Sea p=3 y n=10


33/35

33/35

301 (mod 10)

313 (mod 10)

329 (mod 10)

347 (mod 10)

A partir de esta definicin podemos obtener las siguientes consecuencias:

1) El primero de los restos r0 es siempre r0=1

Dados p y n, siempre se verifica que p01 (mod 10)

2) El nmero de posibles restos potenciales distintos es finito, pues tienen queser menores que n.

3) Si llamamos rk al resto potencial que se obtiene al dividir pk por n, entonces:

pkrk(mod n)

Se verifica que pk+1rk(mod n) lo que nos da un mtodo recurrente de hallarun resto a partir del anterior.

rk. prk+1(mod n)

Es evidente que si algn resto es nulo, lo sern todos los siguientes.

PROP Sea m=a0p0+ a1p1+.+akpk un nmero entero escrito en base p.

Si r0, r1,,rk son los restos potenciales de p modulo n, entonces:

ma0r0+a1r1++akrk (mod n)

Dem

piri(mod n) i:0,,k ai.piairi(mod n) i:0,,k

Al sumar las k+1 congruencias:

a0p0

+ a1p1

+.+akpk

a0r0+a1r1++akrk (mod n)lo que es lo mismo que:

ma0r0+a1r1++akrk (mod n)

COROLARIO m es divisible por n si y slo si a0r0+a1r1++akrk es divisible por n.

Dem

++

)n(modra...amcomo

n)(mod0mnpordivisibleesm

kk00r


34/35

34/35

Aplicando la propiedad transitiva:

a0r0++akrk (mod n) a0r0++akrk es divisible por n

Demostracin anloga.

Vamos a aplicar todo lo visto al sistema decimal, es decir: p=10

En la tabla siguiente aparecen los restos potenciales de 10 respecto de los mdulos2,3,4,5,8,9 y 11.

n\ri r0 r1 r2 r3 r4 r5 r62 1 0 0 0 0 0 03 1 1 1 1 1 1 1

4 1 2 0 0 0 0 05 1 0 0 0 0 0 08 1 2 4 0 0 0 09 1 1 1 1 1 1 1

11 1 10 1 10 1 10 1

Al expresar m en base 10 tenemos:

m=a0+a1.10+a2.100+.+ak.10k

siendo a0 las unidades, a1 las decenas, a2 las centenas y as sucesivamente.

a)Criterio de divisibilidad por 2.

Como ma0(mod 2), para que m sea divisible por 2 basta con que a0 seamltiplo de 2. Es decir, las unidades de m ha de ser un nmero mltiplo de 2.

b)Criterio de divisibilidad por 3.

Como ma0+a1++ak(mod 3), la suma de todas las cifras de m ha de sermltiplo de 3.

c)Criterio de divisibilidad por 4.

Como ma0+2a1(mod 4), la suma de las unidades mas el doble de las decenasha de ser mltiplo de 4

d)Criterio de divisibilidad por 5.

Como ma0(mod 5), la cifra de las unidades ha de ser mltiplo de 5, es decir hade ser 0 5.

e)Criterio de divisibilidad por 8.


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Como m=a0+2a1+4a2(mod 8), la suma de la cifra de las unidades mas el doblede las decenas mas el cudruple de las centenas ha de ser mltiplo de 8

f) Criterio de divisibilidad por 9.

Como ma0+a1++ak(mod 9), la suma de todas las cifras de m ha de ser unmltiplo de 9

g)Criterio de divisibilidad por 11.

Como m=a0+10a1+a2+10a3+.(mod 11) y teniendo en cuenta que:10-1(mod 11) quedara

m=a0-a1+a2-a3+.+(-1)kak (mod 11)

Por tanto, un nmero m es divisible por 11 si la suma de sus cifras que ocupan

lugar impar menos la suma de las cifras que ocupan lugar par, es un mltiplo de 11.

BIBLIOGRAFA RECOMENDADA.

Anlisis Matemtico I. Aut. J.A. Fernndez Via. Ed. Tecnos

Curso de lgebra y Geometra. Aut. Juan de Burgos. Ed. Alhambra.

Algebra Moderna. Aut. A. Lentn, J. Rivaud, Ed. Aguilar.

Teoria de Numeros Sec Und Aria

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