Themenheft

Logistisches Wachstum

Logistisches Wachstum

Sehr viele Berechnungen werden auch mit TI Nspire CAS durchgeführt, was sich empfiehlt, weil die Rechnungen teilweise sehr anspruchsvoll sind.

Hier gibt es viel Theoretisches für Lehrer und Studenten, aber auch viele ganz ausführliche Beispiele, die dann in 45831 als Aufgaben aufgeführt werden.

Datei – Nr. 45830

Friedrich Buckel

Stand: 23. Februar 2012

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45830 Logistisches Wachstum 2

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Hier die Übersicht über die Vielfalt der Texte zum Wachstum:

Niveau Klassenstufe 10: Lineares Wachstum 18800

Aufgaben dazu 18801

Exponentielles Wachstum 1 18810

Finanzmathematik 18812

Didaktische Hinweise dazu 18813

Aufgaben Exponentielles Wachstum 1a 18815

Begrenztes Wachstum 1 18820

Aufgaben Begrenztes Wachstum 1b 18821

Niveau Oberstufe (mit Hilfsmitteln der Analysis)

Zentraltext mit Übersicht 45800

Mathematische Hintergründe 45802

Quadratisches Wachstum 45805

Exponentielles Wachstum 2 45810

Aufgaben Exponentielles Wachstum 2a 45811

Begrenztes Wachstum 2 45820

Aufgaben begrenztes Wachstum 2b 45821

Logistisches Wachstum 45830

Aufgaben logistisches Wachstum 45831

Andere Wachstumsmodelle 45840

(Logistischer Zerfall, vergiftetes, chaotisches

sowie verzögertes Wachstum)

Im Moment sind noch alle Texte verfügbar - Februar 2012

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45830 Logistisches Wachstum 3

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1 Beispielaufgabe zum Einstieg 4

(Wachstum einer Fichte) 4

Trendwende am Wendepunkt 5

Anfangsphase des Wachstums 6

Endphase des Wachstums 7

Nachweis, dass logistisches Wachstum vorliegt 8

Differenzialgleichung des logistischen Wachstums 8

2 Übungen zu den Grundaufgaben 9

Aufgabe 1: Startwert und Grenzwert berechnen

Aufgabe 2: Wendepunkt berechnen

Aufgabe 3: Termumwandlung

Aufgabe 4: Näherungsfunktionen für Anfangs- und Endphase

3 Rekursive Berechnung einer Wachstumsfolge 10

Herleitung der Differenzengleichung 11

4 Lösung der Differenzialgleichung überprüfen 13

Allgemein 13

Speziell am Beispiel 1 14

Speziell am Beispiel 2 15

5 Übersicht über die Funktionsterme des logistischen Wachstums 16

Anwendung: Eine logistische Funktion aufstellen 17

6 Lösung einer Differenzialgleichung berechnen (Hochschulmethode) 18

7 Die Wachstumsrate beim logistischen Wachstum 20

Berechnung des Wendepunkts, Punktsymmetrie zu diesem 22

8 Aus der Wachstumsrate das Wachstum berechnen 24

9 Eine Tabelle auswerten (CAS-Lösung) 25

10 Lösungen der Aufgaben 27 - 38

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45830 Logistisches Wachstum 4

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1 Beispielaufgabe zum Einstieg (1) Das Wachstum einer Fichte beginnt exponentiell, verlangsamt sich dann und geht in ein

gebremstes Wachstum über. Das ist grob gesagt, das Merkmal des sogenannten logistischen Wachstums.

Die Höhengleichung (Wachstumsgleichung) einer Fichte wird durch die Funktion h angegeben:

( ) 0,234 t

0,6h t

0,02 e− ⋅=+

. (h in m, t in Jahren)

Mit einem geeigneten Rechner oder Mathegrafix

kann man sich das Schaubild genauer ansehen:

(2) Analyse des Wachstumsverlaufs: Zum Zeitpunkt des Beginns der Beobachtung (t=0) hat

die Fichte die Höhe ( ) ( )0

0,6 0,6h 0 0,59 m1,020,02 e

= = ≈+

Nach etwa 40 Jahren (abgelesen am Schaubild) hat sie ihre Maximalgröße etwa erreicht:

( ) ( )0,234 ttt

0,6 0,6limh t 30 m0,02 00,02 lime− ⋅→∞

→∞

= = =++

.

Das Schaubild hat also die waagrechte Asymptote y 30= (für t → ∞ ).

Es gibt eine zweite waagrechte Asymptote: y = 0 für t → ∞ , denn 0,234 tt

0,6lim 00,02 e− ⋅→∞

→∞

=+

(3) Berechnung von zwei Ableitungen. Dazu verwendet man einen günstigen Funktionsterm:

( ) ( ) 10,234 t0,234 t

0,6h t 0,6 0,02 e

0,02 e

−− ⋅− ⋅= = ⋅ +

+

( ) ( ) ( ) ( )20,2324 t 0,234 th' t 1 0,6 0,02 e e 0,2324−− ⋅ − ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − :

Die Kettenregel kam zweimal zur Anwendung: ( ) 10,234 t0,02 e−− ⋅+ verlangt die innere

Ableitung, also die Ableitung von 0,234 te− ⋅ . Und für diese Ableitung benötigt man die

Kettenregel erneut: ( ) ( )0,234 t 0,234 te ' e 0,234− ⋅ − ⋅= ⋅ − .

Zusammenfassen und dabei den konstanten Faktor vor den Bruch schreiben:

( )( )

0,234 t

20,234 t

eh' t 0,14040,02 e

− ⋅

− ⋅=

+ Dies ist zugleich die Wachstumsgeschwindigkeit.

Die Quotientenregel liefert nun schlimme Brüche: ( ) 2

v uh u'' tv

v '⋅ + ⋅=

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

0,234 t 0,234 t 0,234 t20,234 t 0,234 t

40,234 t

0,02 e eh'' t 0,1404

0,02 e

e 0,234 2 0,02 e e 0,234− ⋅ − ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅

− ⋅

− ⋅ +⋅ + − ⋅

+

− ⋅= ⋅

Im Zähler kann man ( )0,234 t0,02 e− ⋅+ ausklammern und dann wegkürzen:

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( )( )0,234 t0,02 e

h'' t 0,1404− ⋅

= ⋅+ ( ) ( ) ( )

( )

0,234 t 0,230,23 44 t 0,t

0,2

23 t

34

4

t 4

e 0,234 2 e 0

0,0

0 ,

2 e

, e e23402− ⋅ − ⋅−

−

⋅ − ⋅

⋅

⋅ + −

+

⋅− − ⋅ 3

( )( ) ( ) ( )

( )

0,234 t 0,234 t 0,234 t 0,234 t

0,234 t 3

e 0,234 0,02 e 2 e 0,234 eh'' t 0,1404

0,02 e

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

− ⋅

− ⋅ + − ⋅ − ⋅= ⋅

+ stehen lassen!

(4) Bestimmung des Wendepunkts: Man setzt den Zähler 0 und vereinfacht dann:

( ) ( ) ( )0,234 t 0,234 t 0,234 t 0,234 te 0,234 0,02 e 2 e 0,234 e 0− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅− ⋅ + − ⋅ − ⋅ = 0,234 t|: 0,234 e− ⋅− ⋅

( )0,234 t 0,234 t0,02 e 2 e 0− ⋅ − ⋅+ − ⋅ =

0,234 t 0,234 t0,02 e 2 e 0− ⋅ − ⋅+ − ⋅ =

0,234 t 0,234 t0,02 e 0 e 0,02 0,234 t ln0,02− ⋅ − ⋅− = ⇔ = ⇔ − ⋅ =

ln0,02t 16,70,234

= ≈−

Dazu gehört die Höhe ( ) ( )h 16,7 15 m= Dies kann man durch Einsetzen berechnen.

Die Kurve hat also den Wendepunkt ( )W 16,7 | 15 .

Der Wendepunkt hat eine ganz entscheidende Bedeutung im Wachstum des Baumes.

Vor Erreichen des Wendepunkts hat das Schaubild Linkskrümmung, dort nimmt die Steigung

zu. Das bedeutet für den Baum, dass im Zeitintervall [ ]0 ;16,7 die Wachstumsgeschwindigkeit

wächst. Mit anderen Worten in gleich großen Zeitspannen, etwa pro Jahr, wächst der Baum

immer schneller, nimmt seine Höhe um immer größere Beträge zu.

Mit Erreichen des Wendepunkts ändert sich das: Die Kurve hat nun Rechtskrümmung,

die Steigung, also die Wachstumsgeschwindigkeit, geht zurück. Jetzt nimmt die Höhe pro

Jahr um immer weniger zu. Das Wachstum verlangsamt sich und geht asymptotisch

gegen 0. Real gesehen wird der Baum irgendwann wirklich aufhören zu wachsen, was nicht

zum mathematischen Modell passt, denn eine Asymptote erreicht man ja gar nie!

Der Wendepunkt markiert also die Trendwende im Wachstum.

Damit ist auch klar, dass die größte Wachstumsgeschwindigkeit (gemäß diesem

mathematischen Modell) genau im Wendepunkt, also zum Zeitpunkt t = 16,7 (Jahre) vorliegt.

(Hier ignoriert das Modell die Tatsache, dass es Jahreszeiten gibt und somit der Baum während

des Jahres unterschiedlich stark wächst.)

( )( )

0,234 16,7

max 20,234 16,7

e mv h' 16,7 0,1404 1,75Jahr0,02 e

− ⋅⋅

− ⋅

= = ≈ +

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45830 Logistisches Wachstum 6

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(5) Wann hat der Baum z. B. 90% seiner Maximalgröße erreicht?

90% der Maximalhöhe 30 (m) sind 90% von 30 0,90 30 27= ⋅ = (m)

Bedingung: ( ) 0.234 t0,6h t 27 27

0,02 e− ⋅= ⇔ =+

0,234 t0,6 0,02 e27

− ⋅= + ⇔ 0,234 te 0,0022− ⋅ =

0,234 t ln 0,0022 ⇔90%

ln 0,0022t 26,1

0,234

(Jahre)

Ob das Ergebnis mit der Wirklichkeit übereinstimmt, müsste man statistisch überprüfen:

(6) Behauptung: Das Wachstum ist in der Anfangsphase annähernd exponentiell.

Dazu bestimmt man eine Näherungskurve für t → −∞ (nicht für x 0→ !), was mit Hilfe einer

trickreichen Überlegung geht (die man sich für diesen Fall merken sollte):

Fortsetzung auf der Mathe-CD.

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