Theoretische Teilchenphysik II...•P. Ramon, Field Theory: a modern primer •M. B¨ohm, A. Denner...

TheoretischeTeilchenphysik II

Wintersemester 2019/2020

Karlsruher Institut fur Technologie (KIT)

gehalten von

Milada Margarete Muhlleitner

Inhaltsverzeichnis

1 Bemerkungen 11.1 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Eichsymmetrien 32.1 Kopplung an ein Photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Nicht-abelsche Eichgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Die Matrizen der SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Darstellung nicht-abelscher Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Nichtabelsche Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 Die QCD Lagrangedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Chirale Eichtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Addendum: Mathematische Hintergrundinformationen . . . . . . . . . . . . . 11

2.8.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8.3 Clifford-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.4 Liealgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Spontane Symmetriebrechung 133.1 Beispiel: Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Beispiel: Feldtheorie fur ein komplexes Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Das Goldstone Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Addendum: Chirale Symmetriebrechung in der QCD . . . . . . . . . . . . . 163.5 Spontane Brechung einer O(N) Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Spontan gebrochene Eichsymmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Addendum: Goldstone Theorem - klassische Feldtheorie . . . . . . . . . . . . 20

4 Das Standardmodell der Teilchenphysik 234.1 Eine kurze Vorgeschichte des Standardmodells der Teilchenphysik . . . . . . 234.2 Unitaritat: der Pfad zu Eichtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Eichsymmetrie und Teilcheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Glashow-Salam-Weinberg theory fur Leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5 Einfuhrung der W,Z Boson- und Fermionmassen . . . . . . . . . . . . . . . 354.6 Quarks in der Glashow-Salam-Weinberg Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 384.7 Die CKM Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.7.1 Die Fermion Yang-Mills Lagrangedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.7.2 Massenmatrix und CKM Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.8 Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

i

ii INHALTSVERZEICHNIS

4.8.1 Feynman Pfadintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.8.2 Skalare Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.8.3 Grassmann Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.8.4 Eichfixierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.9 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.9.1 φ4 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.10 Fermifelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.10.1 Erzeugendes Funktional fur wechselwirkende Feldtheorien . . . . . . . 71

4.11 Nicht-abelsche Eichtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.11.1 Greenfunktion in der Storungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.12 Die Feynmanregeln der Quantenchromodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Renormierung 815.1 Klassifizierung lokaler Wechelwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2 Renormierung der GSW Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.1 Renormierungskonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.2 Renormierungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 1-Schleifen Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3.1 Hilfreiche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3.2 Berechnung der skalaren Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4 Hohere Ordnungen: Physikalische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4.1 Input Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4.2 Hohre Ordnungskorrekturen - Die Fermikonstante . . . . . . . . . . . 102

6 Quantenchromodynamik - QCD 1076.1 Einfuhrung der Farbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2 Gluon Eichfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3 Asymptotische Freiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4 QCD bei kurzen Abstanden - Strukturfunktion des Nukleons . . . . . . . . . 119

Kapitel 1

Bemerkungen

In den einzelnen Kapiteln der Vorlesung gibt es am Ende Kapitel, die mit Addendumbezeichnet sind. Diese enthalten Zusatzinformationen fur den interessierten Leser, sind abernicht verpflichtend fur die Ubungen.

Kapitel, die aus Zeitgrunden in den einzelnen Vorlesungen nicht behandelt werden, wer-den auf der Webseite explizit genannt. Auf sie kann verzichtet werden. Sie verbleiben imVorlesungsskript lediglich als zusatzliche Information.

Die Vorlesung folgt keinem bestimmten Buch. Die angegebene Literatur ist hilfreich, denSachverhalt zu vertiefen bzw. nochmals auf andere Weise dargestellt zu sehen oder aberzusatzliche Hintergrundinformationen zu erhalten, die in der Vorlesung aus Zeitgrundennicht alle behandelt werden konnen.

1.1 Literatur

• M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Addison-Wesley, 1995)

• T.-P. Cheng, L.-F. Li,Gauge Theory of Elementary Particle Physics (Oxford UniversityPress)

• C. Itzykson, J.-B. Zuber, Quantum Field Theory (McGraw-Hill)

• P. Ramon, Field Theory: a modern primer

• M. Bohm, A. Denner and H. Joos, Gauge Theories of the Strong and ElectroweakInteraction (Teubner, 2001)

• Chris Quigg Gauge Theories of the Strong, Weak and Electromagnetic Interactions(Benjamin/Cummings, 1983)

• G. Dissertori, I. Knowles, M. Schmeling, Quantum Chromodynamics (Oxford Univer-sity Press)

• O. Nachtmann, Elementary Particle Physics (Springer 1990)

• L. H. Ryder, Quantum Field Theory (2nd ed., Cambridge University Press, 1996)

1

2 Bemerkungen

• R. K. Ellis, W. J. Stirling and B. R. Webber, QCD and Collider Physics (CambridgeUniversity Press 1996)

• P. H. Frampton, Gauge Field Theories (Benjamin/Cummings)

Dabei ist Literatur (unter anderem) uber Renormierung

• C. Itzykson, J.-B. Zuber, Quantum Field Theory (McGraw-Hill)

• P. Ramon, Field Theory: a modern primer

• M. Bohm, A. Denner and H. Joos, Gauge Theories of the Strong and ElectroweakInteraction (Teubner, 2001)

• W.J.P. Beenakker, Electroweak corrections: techniques and applications

Und Literatur uber Pfadintegrale z.B.

• Gert Roepstorff, Path Integral Approach to Quantum Physics (Springer)

Weitere Literatur fur den interessierten Leser

• Martinus Veltman Facts and Mysteries in Elementary Particle Physics (World Scien-tific, 2003)

• V. D. Barger and R. J. N. Phillips, Collider Physics (Addison-Wesley, 1997)

• Eds. Roger Cashmore, Luciano Maiani, Jean-Pierre Revol Prestigious Discoveries atCERN (Springer, 2004)

Kapitel 2

Eichsymmetrien

Dirac Lagrangedichte fur ein freies Fermionfeld Ψ der Masse m lautet

L0 = Ψ(iγµ∂µ −m)Ψ . (2.1)

Diese ist symmetrisch unter U(1), d.h. invariant unter Transformationen

Ψ(x)→ exp(−iα)Ψ(x) = Ψ− iαΨ+O(α2) . (2.2)

Und fur den adjungierten Spinor Ψ = Ψ†γ0,

Ψ(x)→ exp(iα)Ψ(x) . (2.3)

Der mit der Symmetrie verbundene Noether-Strom lautet

jµ =∂L

∂(∂µΨ)

δΨ

δα+δΨ

δα

∂L∂(∂µΨ)

= iΨγµ(−iΨ) = ΨγµΨ , (2.4)

mit

∂µjµ = 0 . (2.5)

2.1 Kopplung an ein Photon

Bei Kopplung an ein Photon lautet die Lagrangedichte

L = Ψγµ(i∂µ − qAµ)Ψ−mΨΨ = L0 − qjµAµ , (2.6)

wobei jµ in Glg. (2.4) gegeben ist. Bei Eichtransformation des externen Photonfeldes Aµ,

Aµ(x)→ A′µ(x) = Aµ(x) + ∂µΛ(x) (2.7)

geht die Lagrangedichte uber in

L → L = L0 − qjµAµ − qjµ∂µΛ︸︷︷︸

qΨγµΨ∂µΛ

. (2.8)

D.h L ist nicht eichinvariant. Die Felder Ψ und Ψ mussen so geandert werden, daß die Lagran-gedichte eichinvariant wird. Dies geschieht durch Einfuhrung eines x-abhangigen Parametersα, also α = α(x). Damit

i∂µΨ→ i exp(−iα)(∂µΨ) + (∂µα) exp(−iα)Ψ , (2.9)

3

4 Eichsymmetrien

so daß

L0 → L0 + ΨγµΨ∂µα . (2.10)

Dieser Term kanzelliert den zusatzlichen Term in Glg. (2.8) falls

α(x) = qΛ(x) . (2.11)

Damit lautet die vollstandige Eichtransformation

Ψ → Ψ′(x) = U(x)Ψ(x) mit U(x) = exp(−iqΛ(x)) (U unitar) (2.12)

Ψ → Ψ′(x) = Ψ(x)U †(x) (2.13)

Aµ(x) → Aµ(x) + ∂µΛ(x) = U(x)Aµ(x)U†(x)− i

qU(x)∂µU

†(x) . (2.14)

Die Lagrangedichte transformiert sich gemaß

L → L′ = ΨγµU−1i∂µ(UΨ)− qΨU−1γµ(

UAµU−1 − i

qU∂µU

−1)

UΨ−mΨU−1UΨ

= Ψγµi∂µΨ+ Ψγµ(U−1i(∂µU))Ψ− qΨγµΨAµ + Ψγµ(i(∂µU−1)U)Ψ−mΨΨ

= L+ iΨγµ∂µ(U−1U)Ψ = L . (2.15)

Minimale Substitution pµ → pµ − qAµ fuhrt auf

i∂µ → i∂µ − qAµ ≡ iDµ . (2.16)

Dabei istDµ(x) die kovariante Ableitung. Der Begriff kovariant bedeutet, daß sie sich genausowie das Feld transformiert

Ψ(x)→ U(x)Ψ(x) und DµΨ(x)→ U(x)(DµΨ(x)) . (2.17)

Das heißt

(DµΨ)′ = D′µΨ′ = D′µUΨ

!= UDµΨ , (2.18)

so daß sich die kovariante Ableitung transformiert gemaß

D′µ = UDµU−1 = exp(−iqΛ)(∂µ + iqAµ) exp(iqΛ) = ∂µ + iq∂µΛ + iqAµ

= ∂µ + iqA′µ . (2.19)

Damit ist

L = ΨγµiDµΨ−mΨΨ (2.20)

offensichtlich eichinvariant.

Die kinetische Energie der Photonen ist gegeben durch

Lkin = −14FµνF

µν mit F µν = ∂µAν − ∂νAµ . (2.21)

Der Feldstarketensor F µν lasst sich mithilfe der kovarianten Ableitung ausdrucken. Wirwahlen folgenden Ansatz fur den Tensor 2. Stufe

[Dµ, Dν ] = [∂µ − iqAµ, ∂ν − iqAν ] = −iq[∂µ, Aν ]− iq[Aµ, ∂ν ] = −iq(∂µAν − ∂νAµ) . (2.22)Damit haben wir fur den Feldstarkentensor

F µν =i

q[Dµ, Dν ] . (2.23)

Sein Transformationsverhalten ist gegeben durch

i

q[UDµU−1, UDνU−1] =

i

qU [Dµ, Dν]U−1 = UF µνU−1 . (2.24)

Eichsymmetrien 5

2.2 Nicht-abelsche Eichgruppen

Wir verwenden die Langrangedichte fur N Diracfelder ψi der Masse m

L =∑

j=1...N

ψjiγµ∂µψj −m

∑

j=1...N

ψjψj . (2.25)

Diese ist symmetrisch unter U(N), wobei U(N) die Gruppe der unitaren N × N Matrizenist. Betrachte folgende Transformation

ψj →∑

k=1...N

Uikψk ≡ Uikψk , (2.26)

wobei die letzte Gleichung bedeutet, daß wir die Einstein’sche Summenkonvention verwen-den. Das heißt, uber gleiche Indizes wird summiert. Wir haben also

Ψ→ UΨ mit Ψ =

ψ1

ψ2...ψN

, also

ψ1

ψ2...ψN

→

U1kψkU2kψk

...UNkψk

(2.27)

und

L = Ψiγµ∂µΨ−mΨΨ→ ΨU−1iγµ∂µUΨ−mΨU−1UΨ = L . (2.28)

Beispiele:

• Ψ =

(pn

)

: SU(2)-Transformationen im Isospinraum, Proton-Neutron-Dublett.

• Ψ =

(νee

)

L

: SUL(2), schwache Wechselwirkung auf linkshandige Fermionen.

• Ψ = (q1, q2, q3)T , quarks, SU(3)C . Dabei ist jedes qi (i = 1, 2, 3) ein vierkomponentiger

Spinor. Die QCD Lagrangedichte ist invariant unter SU(3)C-Transformationen.

2.3 Die Matrizen der SU(N)

Die Elemente der SU(N) werden allgemein dargestellt durch

U = exp

(

iθaλa

2

)

mit θa ∈ R . (2.29)

Dabei sind λa/2 die Generatoren der Gruppe SU(N). Fur die SU(2) sind die λa durchdie Pauli-Matrizen σi (i = 1, 2, 3) gegeben und θa ist ein 3-komponentiger Vektor. Fur einElement der Gruppe SU(2) haben wir also

U = exp

(

i~ω~σ

2

)

. (2.30)

6 Eichsymmetrien

Fur ein allgemeines U gilt

U † = exp

(

−iθa(λa

2

)†)

!= U−1 = exp

(

−iθaλa

2

)

. (2.31)

Die Generatoren mussen also hermitesch sein, d.h.

(λa)† = λa . (2.32)

Außerdem muß fur die SU(N) gelten

det(U) = 1 . (2.33)

Mit

det(exp(A)) = exp(Sp(A)) (2.34)

ergibt sich

det

(

exp

(

iθaλa

2

))

= exp

(

iθaSp

(λa

2

))

!= 1 . (2.35)

Daraus folgt

Sp(λa) = 0 . (2.36)

Die Generatoren der SU(N) mussen spurlos sein. Die Gruppe SU(N) besitzt N2 − 1 Gene-ratoren λa mit Sp(λa) = 0. Fur die SU(3) sind dies die Gell-Mann-Matrizen

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

λ8 =1√3

1 0 00 1 00 0 −2

. (2.37)

Die Matrizen λa/2 sind normiert durch

Sp

(λa

2

λb

2

)

=1

2δab . (2.38)

Fur die Pauli-Matrizen (i = 1, 2, 3) gilt

Sp(σ2i ) = 2 und Sp(σ1σ2) = Sp(iσ3) = 0 . (2.39)

Multipliziert mit 1/2 bilden sie die Generatoren der SU(2). Die Generatormatrizen genugender Vollstandigkeitsrelation

λaij2

λakl2

=1

2

(

δilδkj −1

Nδijδkl

)

, (2.40)

denn

0!=λaii2

λakl2

=1

2δilδki −

1

2Nδiiδkl =

1

2δkl −

1

2δkl = 0 . (2.41)

Eichsymmetrien 7

2.4 Darstellung nicht-abelscher Gruppen

Sei G eine Gruppe mit den Elementen g1, g2... ∈ G. Eine n-dimensionale Darstellung vonG ist gegeben durch die Abbildung G → C(n,n), g → U(g). D.h. die Abbildung abstrakterElemente der Gruppe auf komplexe n× n Matrizen, so daß U(g1g2) = U(g1)U(g2) gilt unddamit die Gruppeneigenschaften erhalten bleiben. Ein U ∈ SU(N) lasst sich schreiben als

U = exp(iθaT a). Fur die SU(2) also U = exp(i~ω · ~J). Die Gruppe SU(N) besitzt N2 − 1Generatoren T a. Fur die SU(2) sind dies die Drehimpulsoperatoren Ji. Die N2 − 1 reellenParameter θa sind in der SU(2) geben durch ~ω. Die fundamentale Darstellung der SU(2)lautet Ji = σi/2 und im allgemeinen Fall T a = λa/2. Die Generatoren genugen der folgendenKommutatorrelation

[T a, T b] = ifabcT c . (2.42)

Die fabc sind die Strukturkonstanten der SU(N)-Lie-Algebra. Sie sind total antisymmetrischund definieren (N2 − 1)(N2 − 1)-dimensionale Matrizen T alk ≡ −ifalk ≡ −ifalk. Im Fall derSU(2) haben wir

[Ji, Jj] = ǫijkJk . (2.43)

Es gilt ferner

Sp

([λa

2,λb

2

]λc

2

)

= ifabeSp

(λe

2

λc

2

)

= ifabe1

2δec =

i

2fabc . (2.44)

Die Generatoren erfullen die Jacobi-Identitat

[T a, [T b, T c]] + [T b, [T c, T a]] + [T c, [T a, T b]] = 0 . (2.45)

Unter Benutzung von (2.42) erhalt man

0 = (−if bcl)(−ifalk) + (−ifalc)(−if blk) + ifabl(−if lck) . (2.46)

Damit

0 = (T bT a)ck − (T aT b)ck + ifabl(T l)ck . (2.47)

Damit haben wir eine N2 − 1-dimensionale Darstellung der SU(N) Lie-Algebra erhalten

[T a, T b] = ifabcT c . (2.48)

Dies ist die adjungierte Darstellung. Es gibt folgende SU(N) Darstellungen

• d = 1: triviale Darstellung (Singulett).

• d = N : fundamentale Darstellung (λa/2), antifundamentale Darstellung (−λ∗a/2).

• d = N2 − 1: adjungierte Darstellung.

8 Eichsymmetrien

2.5 Nichtabelsche Eichtransformationen

Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte

L =∑

i=1...N

ψi(iγµ∂µ −m)ψi = Ψ(iγµ∂µ −m)Ψ mit Ψ = (ψ1, ψ2, ..., ψN ) . (2.49)

Die Lagrangedichte ist invariant unter einer globalen SU(N) Eichtransformation

Ψ→ Ψ′ = exp (iθaT a)Ψ =(1 + iθaT a +O((θa)2)

)Ψ = UΨ und Ψ→ Ψ′ = ΨU−1 .(2.50)

Die Generatoren T a sind

fundamentale Darstellung: (T a)ij =(λa

2

)

ijd = N

adjungierte Darstellung (T a)bc = −ifabc d = N2 − 1triviale Darstellung T a = 0⇔ U(θ) = 1 .

(2.51)

Betrachten wir nun lokale Symmetrien, also θa = θa(x). Die Transformation von Ψ seiΨ′ = UΨ. Wir fuhren eine kovariante Ableitung ein,

Dµ = ∂µ − igAµ = ∂µ − igT aAaµ . (2.52)

Die T a konnen verschieden sein, aber Aaµ ist identisch in allen Dµ. Beispiel Supersymmetrie(SUSY)

squark, quark T a = λa

2(d = N)

gluino, gluon (T a)bc = −ifabc (d = N2 − 1)(2.53)

Die kovariante Ableitung transformiert sich genauso wie Ψ, also (DµΨ)′ = U(DµΨ). Damit

(DµΨ)′ = D′µΨ′ = D′µUΨ⇒ D′µU = UDµ (2.54)

Ist erfullt wenn

∂µ − igA′µ = D′µ = UDµU−1 = U(∂µ − igAµ)U−1 = UU−1∂µ + U(∂µU

−1)− igUAµU−1 ⇒(2.55)

A′µ =i

gU(∂µU

−1) + UAµU−1 . (2.56)

Wichtig: A′aµ ist unabhangig von der Darstellung U . Mit infinitesimalem

U = exp(iT aθa) = 1 + iT aθa +O(θa2) (2.57)

haben wir

A′µ = A′bµTb =

i

gU(−i)T a (∂µθa)U−1 + (1 + iθaT a)AcµT

c(1− iθbT b)︸︷︷︸

AcµT

c+iAcµ (T

aT c − T cT a)︸︷︷︸

ifacbTb

θa

= T b (1

g∂µθ

b + Abµ + i(−ifabc)θaAcµ)︸︷︷︸

A′bµ

. (2.58)

Eichsymmetrien 9

Der Feldstarketensor sei definiert durch F µν ∼ [Dµ, Dν ]. Betrachte den Kommutator

[Dµ, Dν ] = [∂µ − igT aAaµ, ∂ν − igT bAbν ] = −igT b∂µAbν − igT a(−∂νAaµ) + (−ig)2AaµAbν [T a, T b]︸︷︷︸

ifabcT c

= −igT a (∂µAaν − ∂νAaµ + g f bca︸︷︷︸

fabc

AbµAcν)

︸︷︷︸

=:F aµν

= −igT aF aµν = −igFµν . (2.59)

Die F aµν sind unabhangig von der Darstellung der T a. Wir haben fur das Transformations-

verhalten

F ′µν =i

g[D′µ, D′ν] =

i

g[UDµU

−1, UDνU−1] = UFµνU

−1 homogene Transformation (2.60)

Und mit Glg. (2.58)

(F aµν)′ = F a

µν + i(−if bac)θbF cµν + ... (2.61)

Ferner folgt daraus, dass

F aµνF aµν = 2Sp(FµνF

µν)

= 2Sp(F aµνT aF b

µνTb) = 2F aµνF b

µν Sp(TaT b)

︸︷︷︸12δab

= F µνaF aµν

ist eichinvariant. (2.62)

Damit haben wir fur die kinetische Lagrangedichte

Lkin,A = −14F aµνF a

µν = −1

2Sp(F µνFµν) . (2.63)

2.6 Die QCD Lagrangedichte

Beispiel: Die Quantenchromodynamik (QCD) ist invariant unter der Farb-SU(3). Die 6Quarkfelder tragen Farbladung und befinden sich in der fundamentalen Darstellung

Ψq =

ψq1ψq2ψq3

q = u, d, c, s, t, b . (2.64)

Sie bilden Tripletts. Die 8 Gluonen Gµ befinden sich in der adjungierten Darstellung. DieQCD Lagrangedichte lautet

LQCD = −14GaµνGa

µν +∑

q=1...6

ψq(iγµDµ −mq)ψq , (2.65)

mit

Gaµν = ∂µG

aν − ∂νGa

µ + gfabcGbµG

cν . (2.66)

Die Quarkmassen haben die Werte

mu ≈ 1.7...3.1 MeV md ≈ 4.1...5.7 MeV ms ≈ 100 MeV (2.67)

mc ≈ 1.29 GeV mb ≈ 4.19 GeV mt ≈ 173 GeV . (2.68)

10 Eichsymmetrien

2.7 Chirale Eichtheorien

Betrachte

Lf = Ψ(iγµDµ −m)Ψ . (2.69)

In der chiralen Darstellung sind die 4× 4 γ-Matrizen gegeben durch

γµ =

((0 11 0

)

,

(0 −~σ~σ 0

))

=

(0 σµ−σµ+ 0

)

(2.70)

γ5 =

(1 00 −1

)

, (2.71)

wobei σi (i = 1, 2, 3) die Pauli-Matrizen sind. Mit

Ψ =

(χϕ

)

und Ψ = Ψ†γ0 = (χ†, ϕ†)

(0 11 0

)

= (ϕ†, χ†) (2.72)

ergibt sich

ΨiγµDµΨ = i(ϕ†, χ†)

(0 σµ−σµ+ 0

)(DµχDµϕ

)

︸︷︷︸

σµ−Dµϕσµ+Dµχ

= ϕ†iσµ−Dµϕ+ χ†iσµ+Dµχ . (2.73)

Die Eichwechselwirkung gilt unabhangig fur

ΨL =

(0ϕ

)

=1

2(1− γ5)Ψ und ΨR =

(χ0

)

=1

2(1 + γ5)Ψ . (2.74)

Die ΨL und ΨR konnen unterschiedliche Eichdarstellungen haben. Aber

mΨΨ = m(ϕ†, χ†)

(χϕ

)

= m(ϕ†χ+ χ†ϕ) = m(ΨLΨR + ΨRΨL) . (2.75)

Der Massenterm mischt ΨL und ΨR. Daraus folgt Symmetriebrechung falls ΨL und ΨR un-terschiedliche Darstellungen haben.

Wie sieht es mit einem Massenterm fur Eichbosonen aus? Betrachte

L = −14

F aµνF aµν

︸︷︷︸

eichinvariant

+m2

2AaµAaµ︸︷︷︸

nicht eichinvariant

. (2.76)

Zum Beispiel fur die U(1)

(AµAµ)′ = (Aµ + ∂µθ)(A

µ + ∂µθ) = AµAµ + 2Aµ∂

µθ + (∂µθ)(∂µθ) . (2.77)

Der Massenterm fur Aµ bricht die Eichsymmetrie.

Eichsymmetrien 11

2.8 Addendum: Mathematische Hintergrundinforma-

tionen

2.8.1 Gruppen

Sei ein Paar (G, ∗) mit einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verkupfung/Gruppen-multiplikation. ∗ : G × G → G, (a, b) 7→ a ∗ b heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfulltsind

1. Die Gruppe ist abgeschlossen. D.h. wenn g, h ǫ G ⇒ g ∗ h ǫ G.2. Assoziativitat: (g1 ∗ g2) ∗ g3 = g1 ∗ (g2 ∗ g3).3. ∃ Einselement e mit der Eigenschaft g ∗ e = e ∗ g = g ∀ g ǫ G.

4. Zu jedem g gibt es ein Inverses g−1 mit g−1 ∗ g = g ∗ g−1 = e.

Abelsche Gruppe: Eine Gruppe heißt abelsch, wenn g ∗ h = h ∗ g.Kontinuierliche Gruppen: Sie besitzen unendlich viele Elemente und werden durch n Pa-rameter beschrieben. Bei Liegruppen ist n endlich. Alle einparametrigen Liegruppen sindabelsch. Typisches Beispiel: U(1) mit den Elementen eiφ und φ als Parameter.

2.8.2 Algebra

Ein linearer Raum (Vektorraum) wird zu einer Algebra A, wenn eine binare Operation(Multiplikation) zweier Elemente m,n existiert, so daß mn ∈ A. Es gelten die Linea-ritatsbeziehungen (k,m, n ∈ A)

k(c1m+ c2n) = c1km+ c2kn

(c1m+ c2n)k = c1mk + c2nk . (2.78)

Dabei sind c1, c2 reelle (komplexe) Zahlen. Man spricht je nach Fall von reeller (komplexer)Algebra.

Eine Algebra heißt kommutativ, wenn

mn = nm . (2.79)

Sie heißt assoziativ, wenn

k(mn) = (km)n . (2.80)

Sie heißt Algebra mit Einselement, wenn sie ein Einselement 1 besitzt mit

1m = m1 = m . (2.81)

Sei A eine assoziative Algebra mit Einselement und B ⊂ A eine Menge von Elementen b1, b2

etc. Die Algebra heißt von B erzeugt, wenn jedes mǫA durch ein Polynom endlichen Gradesin den Elementen bi geschrieben werden kann,

m = c1 +

p∑

k=1

∑

i1,i2,...,ik

ci1i2...ikbi1bi2 ...bik , (2.82)

wobei die Koeffizienten ci1i2...ik komplexe Zahlen sind. Die Elemente der Menge B heißenGeneratoren von A. Das Einselement gehort nicht zu den Generatoren.

12 Eichsymmetrien

2.8.3 Clifford-Algebren

Eine Clifford-Algebra CN wird von N Generatoren ξ1, ξ2, ..., ξN erzeugt, fur die

ξaξb + ξbξa = 2δab

mit a, b = 1, ..., N .

Die Dimension der Clifford-Algebra CN ist 2N . Es existiert ein enger Zusammenhang zwi-schen Clifford-Algebren und den Quantisierungsbedingungen fur Fermionen.

Im allgemeinen lassen sich Clifford-Algebren fur beliebige symmetrische Metriken gmn

definieren. So gilt insbesondere fur die pseudoeuklidische Metrik

gab = diag(1, 1, ..., 1︸︷︷︸

N

,−1, ...,−1︸︷︷︸

M

) , (2.83)

Clifford-Algebra CN,M : Γm,Γn = 2gmn1.

Die Anzahl der Generatoren ist d = N +M .

2.8.4 Liealgebren

Eine Algebra ist ein Vektorraum, der von den Generatoren A,B,C, ... aufgespannt wird:beliebige Linearkombinationen von Generatoren ergeben wieder Generatoren. Eine Algebraverfugt uber ein Produkt zwischen den Generatoren. Im Fall der Liealgebra ist das Produktder Kommutator

A B := [A,B] , (2.84)

mit den folgenden Eigenschaften

A B = −B A (2.85)

(A B) C + (C A) B + (B C) A = 0 . (2.86)

Liealgebren sind nicht assoziativ. Die Beziehung (2.86) heißt Jacobi-Identitat.

Kapitel 3

Spontane Symmetriebrechung

Die Symmetrie einer Lagrangedichte ist spontan gebrochen, wenn die Lagrangedichte symme-trisch ist, aber das physikalische Vakuum nicht der Symmetrie gehorcht. Wir werden sehen,daß wenn die Lagrangedichte einer Theorie invariant unter einer exakten kontinuierlichenSymmetrie ist, welche nicht die Symmetrie des physikalischen Vakuums ist, eines oder meh-rere masselose Spin-0 Teilchen auftreten. Diese werden Goldstone Bosonen genannt. Wenndie spontan gebrochene Symmetrie eine lokale Eichsymmetrie ist, fuhrt das Zusammenspiel(induziert durch den Higgsmechanismus) zwischen den Mochtegern-Goldstone Bosonen undden masselosen Eichbosonen zu den Massen der Eichbosonen und entfernt die GoldstoneBosonen aus dem Spektrum.

3.1 Beispiel: Ferromagnetismus

Es handelt sich um ein System wechselwirkender Spins,

H = −∑

i,j

Jij ~Si · ~Sj . (3.1)

Das Skalarprodukt der Spinoperatoren ist unter Rotation ein Singulett, ist also rotationsinva-riant. Im Grundzustand des Ferromagneten (bei genugend niedriger Temperatur, unterhalbder Curie-Temperatur) zeigen alle Spins in dieselbe Richtung. Dies ist der Zustand niedrig-ster Energie. Der Grundzustand ist nicht mehr rotationsinvariant. Bei Drehung des Systemsentsteht ein neuer Grundzustand derselben Energie, der sich aber vom vorigen unterscheidet.Der Grundzustand ist also entartet. Die Auszeichnung einer bestimmten Richtung bricht dieSymmetrie. Es liegt spontane Symmetriebrechung (SSB) vor.

3.2 Beispiel: Feldtheorie fur ein komplexes Feld

Wir betrachten die Lagrangedichte fur ein komplexes Skalarfeld

L = (∂µφ)∗(∂µφ)− µ2φ∗φ− λ(φ∗φ)2 mit dem Potential V = µ2φ∗φ+ λ(φ∗φ)2 . (3.2)

(Hinzufugen hoherer Potenzen in φ fuhrt zu einer nicht-renormierbaren Theorie.) Die La-grangedichte ist invariant unter einer U(1)-Symmetrie,

φ→ exp(iα)φ . (3.3)

13

14 Spontane Symmetriebrechung

V (φ)

φ0

φ+

Abbildung 3.1: Das Higgspotential.

Wir betrachten den Grundzustand. Dieser ist gegeben durch das Minimum von V ,

0 =∂V

∂φ∗= µ2φ+ 2λ(φ∗φ)φ ⇒ φ =

0 fur µ2 > 0

φ∗φ = −µ2

2λfur µ2 < 0

(3.4)

Der Parameter λ muß positiv sein, damit das System nicht instabil wird. Fur µ2 < 0 nimmtdas Potential die Form eines Mexikanerhutes an, siehe Fig. 3.1. Bei φ = 0 liegt ein lokalesMaximum, bei

|φ| = v =

√

−µ2

2λ(3.5)

ein globales Minimum. Teilchen entsprechen harmonischen Oszillatoren fur die Entwicklungum das Minimum des Potentials. Fluktuationen in Richtung der (unendlich vielen degene-rierten) Minima besitzen Steigung null und entsprechen masselosen Teilchen, den GoldstoneBosonen. Fluktuationen senkrecht zu dieser Richtung entsprechen Teilchen mit Massem > 0.Die Entwicklung um das Maximum bei φ = 0 wurde zu Teilchen negativer Masse (Tachyo-nen) fuhren, da die Krummung des Potentials hier negativ ist.

Entwicklung um das Minimum bei φ = v fuhrt zu (wir haben fur das komplexe skalareFeld zwei Fluktuationen ϕ1 und ϕ2)

φ = v +1√2(ϕ1 + iϕ2) =

(

v +1√2ϕ1

)

+ iϕ2√2⇒ (3.6)

φ∗φ = v2 +√2vϕ1 +

1

2(ϕ2

1 + ϕ22) . (3.7)

Damit erhalten wir fur das Potential

V = λ(φ∗φ− v2)2 − µ4

2λ2mit v2 = −µ

2

2λ⇒ (3.8)

V = λ

(√2vϕ1 +

1

2(ϕ2

1 + ϕ22)

)2

− µ4

2λ2. (3.9)

Vernachlassige den letzten Term in V , da es sich nur um eine konstante Nullpunktsverschie-bung handelt. Damit ergibt sich fur die Lagrangedichte

L =1

2(∂µϕ1)

2 +1

2(∂µϕ2)

2 − 2λv2ϕ21 −√2vλϕ1(ϕ

21 + ϕ2

2)−λ

4(ϕ2

1 + ϕ22)

2 . (3.10)

Spontane Symmetriebrechung 15

Die in den Feldern quadratischen Terme liefern die Massen, die in den Feldern kubischen undquartischen Terme sind die Wechselwirkungsterme. Es gibt ein massives und ein masselosesTeilchen,

mϕ1 = 2v√λ und mϕ2 = 0 . (3.11)

Bei dem masselosen Teilchen handelt es sich um das Goldstone Boson.

3.3 Das Goldstone Theorem

Seien

N = Dimension der Algebra der Symmetriegruppe der vollstandigen Lagrangedichte.M = Dimension der Algebra der Gruppe, unter welcher das Vakuum nach der

spontanen Symmetriebrechung invariant ist.

⇒ Es gibt N-M Goldstone Bosonen ohne Masse in der Theorie.

Das Goldstone Theorem besagt, daß es fur jeden spontan gebrochenen Freiheitsgrad derSymmetrie ein masseloses Goldstone Boson gibt.

Sei φi(x) ein Satz von Operatoren mit nichttrivialem Transformationsverhalten unter einerSymmetriegruppe G. Das Transformationsverhalten ist gegeben durch

[Qa, φi(x)] = T aijφj(x) mit Qa =

∫

d3yj0a(y) und ∂µjµa = 0 . (3.12)

Die T a sind die Darstellungsmatrizen der Generatoren. Ist der Vakuumerwartungswert (VEV)< 0|φj(x)|0 > eines dieser nichttrivial transformierenden Felder ungleich null, dann existie-ren masselose Anregungen.

Beweis:Falls < 0|φj|0 > 6= 0 gibt es ein T a mit 0 6=< 0|T aijφj |0 >, da der Satz von Generatoren T a

linear unabhangig ist. Damit gilt

0 6=< 0|T aijφj|0 >=< 0|[Qa, φi]|0 > . (3.13)

Es existiert also ein Ladungsoperator Q und ein Feld φ(x), fur die < 0|[Q, φ(x)]|0 > 6= 0.Daraus ergibt sich Q|0 > 6= 0. Das Vakuum hat also eine Ladung 6= 0. Es transformiertsich nichttrivial unter Symmetrietransformationen. Da es auf x nicht ankommt, wahle denNullpunkt. Damit

dQ

dt= 0 ⇒ d

dt[Q(t), φ(0)] = 0 . (3.14)

Und damit also

< 0|[Q(t), φ(0)]|0 >= C 6= 0 . (3.15)

Es ist

j0(y) = exp(−iP · y)j0(0) exp(iP · y) , (3.16)


wobei P µ der Impulsoperator ist. Sei die Translationssymmetrie spontan gebrochen,

C =∑

n

∫

d3y< 0| exp(−iP · y)j0(0) exp(iP · y)|n >< n|φ(0)|0 >

− < 0|φ(0)|n >< n| exp(−iP · y)j0(0) exp(iP · y)|0 >

=∑

n

∫

d3y[< 0|j0(0) exp(iPn · y)|n >< n|φ(0)|0 >

− < 0|φ(0)|n >< n| exp(−iPn · y)j0(0)|0 >]

= (2π)3∑

n

[< 0|j0(0)|n >< n|φ(0)|0 > exp(iEnt)

− < 0|φ(0)|n >< n|j0(0)|0 > exp(−iEnt)]δ(3)(~Pn)

. (3.17)

Hier wurde∫

d3y exp(±i ~Pn~y) = (2π)3δ(3)(~Pn) (3.18)

verwendet. Da

exp(−iEnt) = exp(−iMnt) (3.19)

kann der Beitrag zu C = const. nur von Mn = 0 kommen. Der Vakuumzustand |n >= |0 >tragt nicht bei, da sich beide Terme wegheben. Das heisst

Es gibt einen Zustand |n > 6= |0 > mit Mn = 0 und < n|φ(0)|0 > 6= 0 6=< n|j0(0)|0 > .(3.20)

Der Beweis verlangt

• Manifeste Lorentz-Kovarianz

• Vollstandigkeit der physikalischen Zustande.

Diese Bedingung kann von Eichtheorien nicht erfullt werden. Um beispielsweise die Elektro-dynamik zu quantisieren, muß zwischen dem Lorentz-kovarianten Gupta-Bleuler Formalis-mus mit unphysikalischen indefiniten metrischen Zustanden oder der Quantisierung in einerphysikalischen Eichung, wo manifeste Lorentz-Kovarianz verloren geht, gewahlt werden.

Fur Eichtheorien gilt das Goldstone Theorem nicht: Masselose skalare Freiheitsgrade wer-den von den Eichbosonen absorbiert, um ihnen Masse zu geben. Das Goldstone Phanomenfuhrt zum Higgs Phanomen.

3.4 Addendum: Chirale Symmetriebrechung in der QCD

Die Masse der Pionen ist sehr klein, 0 ≈ mπ ≈ 10−1mP . Es stellt sich die Frage, warum. DaPionen nur u und d-Quarks enthalten, betrachten wir nur diese beiden Quark-Flavours. Furdie Masse der u, d-Quarks haben wir mu,d ≈ O(5 MeV) ≪ ΛQCD. Betrachten wir nun dieLagrangedichte fur verschwindende u und d-Quarkmassen,

L = uiD/u+ diD/d . (3.21)


Mit ψ = (u, d)T konnen wir die Lagrangedichte ich einen links- und rechtshandigen Anteilaufspalten,

ψL =1

2(1− γ5)ψ und ψR =

1

2(1 + γ5)ψ . (3.22)

Also

L =∑

s=L,R

usiD/us + dD/ids . (3.23)

Sie ist invariant unter einer SU(2)-Symmetrie(uLdL

)

→ exp

(

iθL ·~σ

2

)(uLdL

) (uRdR

)

→ exp

(

iθR ·~σ

2

)(uRdR

)

. (3.24)

Die Lagrangedichte ist separat symmetrisch fur die links- und rechtschiralen Terme. Sie istalso symmetrisch unter einer SU(2)L × SU(2)R. Es gibt die erhaltenen Strome

(u, d)γµ~σ

2

1

2(1 + γ5)

(ud

)

und (u, d)γµ~σ

2

1

2(1− γ5)

(ud

)

(3.25)

Addition und Subtraktion der Strome fuhrt auf Vektor- (Vµ) und Axialvektorstrom (Aµ)

V iµ = (u, d)γµ

σi

2

(ud

)

und Aiµ = (u, d)γµγ5σi

2

(ud

)

i = 1, 2, 3 . (3.26)

Damit verbunden sind 6 erhaltene Ladungen. Die Felder selbst konnen keinen von null ver-schiedenen VEV haben. (Farbneutralitat des QCD-Vakuums). Allerdings kann das Konden-sat aus Quark und Antiquark einen nichtverschwindenden VEV besitzen,

< 0|u(x)u(x)|0 >=< 0|d(x)d(x)|0 > 6= 0 . (3.27)

Dieser erhalt zwar die SU(2)-Symmetrie, bricht aber die axiale Symmetrie spontan. DieseSSB fuhrt auf drei masselose Goldstonebosonen, die Pionen π+, π− und π0. Es handelt sichum pseudoskalare (← spontane Brechung der axialen Symetrie) Mesonen. Dabei

π+ =1√2(π1 + iπ2) und π− =

1√2(π1 − iπ2) . (3.28)

Ferner (i, j = 1, 2, 3)

< 0|Aiµ(y)|πj(k) > 6= 0 = < 0| exp(iP · y)Aiµ(0) exp(−iP · y)|πj(k) >= < 0|Aiµ(0) exp(−ik · y)|πj(k) >= exp(−ik · y) < 0|Aiµ(0)|πj(k) >= ifπδ

ij exp(−iky)kµ . (3.29)

Dies ist die Grundlage, um die Lebensdauer fur Pionen auszurechnen. Dabei ist fπ dieZerfallskonstante des Pions.

Die Dimension von SU(2)L × SU(2)R ist di = 6. Diese wurde heruntergebrochen auf dieSU(2) mit Dimension df = 3. Die Anzahl der Goldstone Bosonen entspricht der Anzahl derspontan gebrochenen Generatoren di − df = 3. Wir haben also drei masselose Pionen.

In Wirklichkeit sind die u- und d-Quarks nicht masselos. Die chirale Symmetrie ist alsonicht nur spontan, sondern auch explizit gebrochen. Da die betroffenen Quarkmassen jedochsehr klein sind, ist auch die Masse der Pionen recht klein.


3.5 Spontane Brechung einer O(N) Symmetrie

Wir betrachten die Lagrangedichte fur N reelle skalare Felder

L =∑

i=1...N

1

2(∂µφ)(∂

µφ)− V(∑

i=1...N

φ2i

)

mit V

(∑

i=1...N

φ2i

)

= V (~φ · ~φ) . (3.30)

Die Lagrangedichte ist symmetrisch bezuglich einer O(N) Transformation φi → Oijφj (i, j =1...N). Bei O handelt es sich um orthogonale N ×N Matrizen. Das Minimum von V sei bei

|~φ| = v 6= 0, z.B. V = λ(φ2 − v2)2. Wir entwickeln φ um das Minimum. O.B.d.A.,

φ =

00...0v

+

ϕ1

ϕ2...

ϕN−1ϕN

=

ϕ1

ϕ2...

ϕN−1v + ϕN

(3.31)

Und

φ2 = v2 + 2vϕN +∑

i=1...N

ϕ2i . (3.32)

Die Richtung N bzw. ϕN ist damit ausgezeichnet. Die restlichen N − 1 Felder sind nach wievor invariant unter einer N − 1-dimensionalen Rotation. Fur das Potential erhalten wir

V = λ

(

2vϕN +∑

i=1...N

ϕ2i

)2

= 4λv2ϕ2N + 4λvϕN

∑

i=1...N

ϕ2i + λ

(∑

i=1...N

ϕ2i

)2

. (3.33)

Die in den Feldern kubischen und quartischen Terme beschreiben die Wechselwirkungen. Derin ϕN quadratische Term ist der mit ϕN assoziierte Massenterm. Die Masse zum Quadrat ist

m2ϕN

= 8λv2 . (3.34)

Es handelt sich hier um ein massives Higgs Boson, welches einen nichtverschwindenden VEVv besitzt. Die ubrigen N − 1 Felder sind masselos, mi = 0 fur i = 1...N − 1. Es handelt sichum die Goldstone Bosonen. Die ursprungliche Symmetrie O(N) mit N(N−1)/2 Generatorenwurde heruntergebrochen auf die Symmetrie O(N − 1) mit (N − 1)(N − 2)/2 Generatoren.Die Anzahl der Goldstone Bosonen dG entspricht der Anzahl der gebrochenen Generatoren,also

1

2[N(N − 1)− (N − 1)(N − 2)] = N − 1 . (3.35)

Wir haben also N − 1 Goldstone Bosonen.

3.6 Spontan gebrochene Eichsymmetrien

Wir betrachten als Beispiel die Lagrangedichte eines komplexen skalaren Feldes Φ, welchesan ein Photonfeld Aµ koppelt, die invariant ist unter U(1). Die lokalen Transvormationensind gegeben durch

Φ→ exp(−ieΛ(x))Φ(x) und Aµ → Aµ + ∂µΛ . (3.36)


Die Lagrangedichte lautet

L = [(∂µ − ieAµ)Φ∗][(∂µ + ieAµ)Φ]−µ2Φ∗Φ− λ(Φ∗Φ)2︸︷︷︸

−V (Φ)

−14FµνF

µν . (3.37)

(Bemerkung: Um die Lagrangedichte zu quantisieren muß noch ein Eichfixierungsterm ein-gefuhrt werden.) Fur µ2 < 0 kommt es zu spontaner Symmetriebrechung der U(1). Dannhat das Feld einen nichtverschwindenden VEV,

< 0|Φ|0 >= v =

√

−µ2

2λ. (3.38)

Die Fluktuationen um das Minimum (Entwicklung um das Minimum) sind gegeben durch

Φ = v +1√2(ϕ1 + iϕ2) =

(

v +H(x)√

2

)

exp

(i√2

χ(x)

v

)(

≈ v +1√2(H(x) + iχ(x))

)

.(3.39)

Damit

DµΦ = (∂µ + ieAµ)Φ(x) =1√2(∂µϕ1 + i∂µϕ2) + ieAµv +

e√2Aµ(−ϕ2 + iϕ1)

= exp

(

iχ√2v

)[

∂µ + ie

(

Aµ +∂µχ√2ev

)](

v +H√2

)

. (3.40)

Um bilineare Mischterme in den Feldern zu vermeiden, fuhren wir folgende Eichtransforma-tion durch,

A′µ = Aµ + ∂µ

(χ√2ev

)

. (3.41)

Damit ergibt sich fur die kinetische Energie (nenne A′ ab jetzt A)

(DµΦ)∗(DµΦ) =

1

2(∂µH)(∂µH) + e2AµA

µ

(

v +H√2

)2

=1

2(∂µH)(∂µH) + (e2v2)

︸︷︷︸12m2

A

AµAµ

+ e2AµAµ

(√2vH +

H2

2

)

︸︷︷︸

Wechselwirkungsterme

. (3.42)

Und die gesamte Lagrangedichte lautet

L =1

2(∂µH)(∂µH) +

1

2m2AAµA

µ + e2AµAµ

(√2vH +

H2

2

)

−14FµνF

µν − 2λv2︸︷︷︸12m2

H

H2 −√2vλH3 − λ

4H4 . (3.43)

Hierbei wurde der konstante Term λv4, welcher lediglich den Nullpunkt des Vakuums ver-schiebt, weggelassen. Die Massen des Higgsteilchens H und des Photons ergeben sich zu

m2A = 2e2v2 (3.44)

m2H = 4λv2 . (3.45)


Es tritt also ein massives Photon (Eichboson) und ein massives skalares Feld, das Higgsteil-chen, auf. Das Goldstone Boson tritt als Freiheitsgrad nicht in Erscheinung. Die Anzahl derFreiheitsgrade ist aber erhalten geblieben. Denn bei ungebrochener U(1)-Symmetrie ist dasPhoton masselos und besitzt 2 physikalische Freiheitsgrade, die zwei transversalen Polarisa-tionen. Die unphysikalische skalare und longitudinale Polarisation tragen im Gupta-Bleuler-Formalismus nicht bei. Das komplexe skalare Feld (entspricht einem geladenen Teilchen) Φbesitzt 2 Freiheitsgrade. Bei gebrochener U(1)-Symmetrie haben wir ein massives Photonmit 3 Freiheitsgraden (mit longitudinaler Polarisation) und ein massives reelles Higgs Bosonmit einem Freiheitsgrad. Das Goldstone Boson wurde aufgegessen, um dem Photon Massezu geben, um den longitudinalen Freiheitsgrad des massiven Eichteilchens zu liefern.

Nochmal: In Eichtheorien treten die Goldstone Bosonen nicht in Erscheinung. Sie sindMochtegern (im Englischen would-be) Goldstone Bosonen. Bei SSB werden sie direkt in dielongitudinalen Freiheitsgrade der massiven Eichbosonen absorbiert. Es gilt bei Eichtheorien:Seien

N = Dimension der Algebra der Symmetriegruppe der vollstandigen Lagrangedichte.M = Dimension der Algebra der Gruppe, unter welcher das Vakuum nach der

spontanen Symmetriebrechung invariant ist.n = Die Anzahl der skalaren Felder

⇒Es gibt M masselose Vektorfelder. (M ist die Dimension der Symmetrie des Vakuums.)Es gibt N −M massive Vektorfelder. (N −M ist die Anzahl der gebrochenen Generatoren.)Es gibt n− (N −M) skalare Higgsfelder.

3.7 Addendum: Goldstone Theorem - klassische Feld-

theorie

Proof of the Goldstone theorem in classical field theory:

The Lagrangian

L =1

2(∂ϕ)2 − V (ϕ) (3.46)

is invariant under the rotation

ϕ→ e−iαaRaϕ a = 1, ..., N , (3.47)

which can infinitesimally be written as

ϕ→ ϕ− iαRϕ (3.48)

From the invariance it follows that

δV =∂V

∂ϕδϕ = −iα∂V

∂ϕRϕ = 0 ∀α, ϕ (3.49)

so that

∂2V

∂ϕ∂ϕRϕ+

∂V

∂ϕR = 0 (3.50)


After spontaneous symmetry breaking we have the ground state

∂V

∂ϕ= 0 for ϕ = v 6= 0 (3.51)

from which follows the Goldstone equation:∂2V

∂ϕ∂ϕ= 0 for ϕ = v (3.52)

and

∂2V

∂ϕ∂ϕ≡M2 (3.53)

is the mass matrix of the system. Expanding ϕ about the ground state

ϕ = v + ϕ′ (3.54)

we have0

L =1

2(∂ϕ)2 − [V (v) +

︷︸︸︷

∂V

∂ϕϕ′ +

1

2ϕ′

∂2V

∂ϕ∂ϕϕ′ + ...]

=1

2(∂ϕ′)2 − 1

2ϕ′

∂2V

∂ϕ∂ϕϕ′ + ... (3.55)

The Goldstone equation is thus the condition equation for the masses

M2Rv = 0 (3.56)

• The equation is fulfilled if the generators Ra, a = 1, 2, ...,M leave the vacuum invariant:Rav = 0.

• The remaining generators Ra, a = M + 1, ..., N form a set of linearly independentvectors Rav. These are eigen-vectors of the zero-eigenvalues of the mass matrix M2.The zero-eigenvalue is hence N −M times degenerated. Q.e.d.

Kapitel 4

Das Standardmodell derTeilchenphysik

Das Standardmodell (SM) der Teilchenphysik beschreibt die uns heute bekannten grund-legenden Bausteine der Materie und (bis auf die Gravitation) ihre Wechselwirkungen un-tereinander. Diese umfassen die elektromagnetische und die schwache (zusammenfassend dieelektroschwache) und die starke Wechselwirkung. Zunachst soll ein kurzer historischer Abrissder Schritte gegeben werden bis zur Entwicklung der elektroschwachen Theorie von SheldonGlashow, Abdus Salam und Steven Weinberg (1967).

4.1 Eine kurze Vorgeschichte des Standardmodells der

Teilchenphysik

- Schwache Wechselwirkung: β Zerfall [A. Becquerel 1896, Nobelpreis 19031]

Antoine Henri Becquerel (15.12.1852 - 25.8.1908) war ein franzosischer Physiker, No-belpreistrager und einer der Entdecker der Radioaktivitat.

1896 entdeckte Becquerel eher zufallig Radioaktivitat, als er die Phosphoreszenz vonUran Salzen untersuchte.

Im Jahr 1903 teilte er sich den Nobelpreis mit Marie and Pierre Curie “in recognitionof the extraordinary services he has rendered by his discovery of spontaneous radioac-tivity”.

N → N ′ + e− verletzt Energie- und Drehimpulserhaltung

Lise Meitner and Otto Hahn zeigten 1911, daß die Energie der emittierten Elektro-nen kontinuierlich ist. Da aber die freiwerdende Energie konstant ist, hatte man eindiskretes Spektrum erwartet. Um diesen offensichtlichen Energieverlust (und auch dieVerletzung der Drehimpluserhaltung) zu erklaren, schlug Wolfgang Pauli 1930 die Teil-nahme eines neutralen extrem leichten Teilchens vor, das er “Neutron” nannte. EnricoFermi anderte diesen Namen 1931 in “Neutrino”, die verkleinerte Form des nahezuzeitgleich entdeckten Neutrons.

1geteilt mt Marie und Pierre Curie

23

24 Das Standardmodell der Teilchenphysik

Lise Meitner (7. 11.1878 - 27.10.1968) war eine osterreichische Physikerin, die Ra-dioaktivitat und Kernphysik untersuchte. Otto Hahn (8.3.1879 - 28.7.1968) war eindeutscher Chemiker und erhielt 1944 den Nobelpreis in Chemie. Wolfgang Ernst Pauli(25.4.1900 - 15.12.1958) war ein osterreichischer Physiker.

- Die Neutrino Hypothese: [W. Pauli 1930, Nobelpreis 1945]

N → P + e− + νeSpin = 1/2, Masse ≈ 0

Der erste experimentelle Nachweis des Neutrinos gelang Clyde Cowan und FrederickReines 1956 in einem der ersten großen Kernreaktoren.

Clyde Lorrain Cowan Jr (6.121919 - 24.5.1974) war der Mitentdecker des Neutrinos,zusammen mit Frederick Reines. Frederick Reines (6.3.1918 - 26.8.1998) war ein ame-rikanischer Physiker und erhielt 1995 den Nobelpreis fur Physik in beider Namen.

- Die Fermi-Theorie: [E. Fermi, Nobelpreis 1938]

Enrico Fermi entwickelte eine Theorie der schwachen Wechselwirkungen analog zur Quante-nelektrodynamik (QED), in der vier Fermionen direkt miteinander wechselwirken:

Leff = GF√2JµJ

µ

[Fur kleine Impulsubertrage konnen die Reaktionen durch eine punktartige Wechselwirkunggenahert werden.]

Enrico Fermi (29.9.1901 - 28.11.1954) war ein italienscher Physiker. Er bekam 1938den Nobelpreis fur Physik fur seine Arbeit uber ’induced radioactivity’.

Bei der Fermi-Wechselwirkung wechselwirken 4 Fermionen direkt miteinander. DieseWechselwirkung kann beispielsweise ein Neutron (oder ein down-Quark) in ein Elek-tron, ein Antineutrino und ein Proton (oder up-Quark) splitten. Baumgraphen Feyn-mandiagramme beschreiben die Wechselwirkung bemerkenswert gut. Allerdings konnenkeine Schleifendiagramme berechnet werden, da die Fermi-Wechselwirkung nicht re-normierbar ist. Die Losung besteht darin, die 4-Fermion-Kontaktwechselwirkungdurch eine vollstandigere Theorie zu ersetzen - mit einem Austausch einesW oder einesZ Bosons wie in der elektroschwachen (EW) Theorie. Diese ist renormierbar. Bevor dieEW Theorie konstruiert wurde, konnten George Sudarshan und Robert Marshak, undunabhangig auch Richard Feynman und Murray Gell-Mann die korrekte Tensorstruk-tur (Vektor- minus Axialvektor V − A) der 4-FermionWechselwirkung bestimmen.

- Die Yukawa Hypothese: [H. Yukawa, Nobelpreis 1949 fur ’his prediction of mesons basedon the theory of nuclear forces’]

Die punktartige Fermikopplung ist der Grenzfall des Austausches eines “schweren Photons”→W boson.

4GF√2

punktartige Kopplung ≈ −g22(m2

W−Q2)≈ −g2

2m2W

mit Austausch eines W−Bosons

Hideki Yukawa (23.1.1907 - 8.9.1981) war ein japanischer theoretischer Physiker undder erste Japaner, der den Nobelpreis gewann.

Hideki Yukawa establierte die Hypothese, daß Kernkrafte durch den Austausch neuer

Das Standardmodell der Teilchenphysik 25

hypothetischer Teilchen zwischen den Nukleonen erklart werden konnen, in der gleichenArt und Weise, in der die elektromagnetische Kraft zwischen Elektronen durch denAustausch von Photonen beschrieben werden kann. Dieses Teilchen, das die Kernkraftubermittelt, sollte aber im Gegensatz zu den Photonen nicht masselos sein, sonderneine Masse von 100 GeV haben. Dieser Wert kann aus der Reichweite der Kernkrafteabgeschatzt werden. Je großer die Masse des Teilchens, desto kleiner ist die Reichweiteder Wechselwirkung, die von dem Teilchen vermittelt wird.

- Paritatsverletzung in der schwachen Wechselwirkung [T.D. Lee, C.N. Yang, Nobelpreis 1957,und C.-S. Wu]

Das τ − θ Ratsel: Ursprunglich waren zwei verschiedene positive geladene Mesonen mit stran-geness (S 6= 0) bekannt. Diese konnten aufgrund ihrer Zerfallsprozesse unterschieden werden:

Θ+ → π+π0 P2π = +1

τ+ → π+π+π− P3π = −1

Die Endzustande dieser beiden Zerfalle haben unterschiedliche Paritat. Da zu dieser Zeitangenommen wurde, daß die Paritat in allen Reaktionen erhalten ist, hatten τ und θ zweiverschiedene Teilchen sein mussen. Prazisionsmessungen ihrer Masse und Lebensdauer wie-sen jedoch keinen Unterschied zwischen den beiden Teilchen auf. Die Losung dieses θ − τRatsels war, die Paritatsverletzung der schwachen Wechselwirkung. Da beide Mesonen uberdie schwache Wechselwirkung zerfallen, erhalt diese Reaktion nicht die Paritat im Gegensatzzur ursprunglichen Annahme. Damit konnten beide Zerfalle vom selben Teilchen kommen,welches dann K+ genannt wurde.

Θ+ = τ+ = K+ ⇒ P verletzt. (π hat negative Paritat.)

Tsung-Dao Lee (geboren 24.11.1926) ist ein chinesisch-amerikanischer Physiker. 1957erhielt Lee mit C. N. Yang den Nobelpreis fur Physik fur ihre Arbeiten uber Pa-ritatsverletzung in der schwachen Wechselwirkung, die Chien-Shiung Wu experimen-tell nachwies. Lee and Yang waren die ersten chinesischen Nobelpreisgewinner. Chien-Shiung Wu (* 31. Mai 1912 in Liuho, Province Jiangsu, China ; - 16. Februar 1997in New York, USA) war eine chinesisch-amerikanische Physikerin.

V − A Theorie: Die Paritat ist maximal verletzt. Dies bedeutet, daß die Axialkopplung diegleiche Starke hat wie die Vektorkopplung |cV | = |cA|. Tatsachlich ist cV = −cA. Deshalbnennt man die Theorie “V −A Theorie”.

- Nachweis des Neutrinos:

N → P + e− + νe νe + P → N + e+

Das Neutrino konnte 1956 experimentell von Clyde L. Cowan und Frederick Reines im in-versen β-Zerfall (νe+P → e++N) in einem Kernreaktor nachgewiesen werden. (Nobelpreis1995 nur an Reines, da Cowan 1974 gestorben war.)Das muon Neutrino wurde 1962 von Jack Steinberger, Melvin Schwartz und Leon Max Le-derman entdeckt. Alle drei Physiker erhielten 1988 den Nobelpreis fur ihre grundlegendenExperimente uber Neutrinos.Das tau-Neutrino wurde 2000 im DONUT-Experiment entdeckt.


- CP-Verletzung [Cronin, Fitch, Nobelpreis1980]

K0L → 3π CP = −

K0S → 2π CP = +

Details: Nach der Entdeckung der Paritatsverletzung wurde weitgehend angenommen, daßCP erhalten ist. Bei CP Symmetrie waren die physikalischen Kaon-Zustande durch CP Ei-genzustande gegeben. Dies ware der Fall in Bezug auf die starke (und elektromagnetische)Wechselwirkung allein. Durch die schwache Wechselwirkung kommt es aber zu einer Kopp-lung zwischen diesen beiden Zustanden, so dass die physikalischen Kaonzustande Mischungensind. CP Eigenzustande sind also Linearkombinationen dieser beiden Zustande.

|K01 >=

1√2(|K0 > −|K0 >) mit CP|K0

1 >= |K01 > (4.1)

|K02 >=

1√2(|K0 > +|K0 >) mit CP|K0

2 >= −|K02 > (4.2)

Nimmt man CP Symmetrie an, so konnen diese Zustande nur unter CP Erhaltung zerfallen.Fur die neutralen Kaonen fuhrt dies auf zwei verschiedene Zerfallskanale fur K1 und K2, mitsehr unterschiedlichen Phasenraumen und also sehr unterschiedlichen Lebensdauern:

K01 → 2π (schnell, da großer Phasenraum) (4.3)

K02 → 3π (langsam, da kleiner Phasenraum) (4.4)

Es wurden tatsachlich zwei verschiedene Arten neutraler Kaonen gefunden, die sehr ver-schiedene Lebensdauern haben. Diese heißen K0

L (long-lived, durchschnittliche Lebensdauer(5.16±0.04)·10−8 s) undK0

S (short-lived, durchschnittliche Lebensdauer (8.953±0.006)·10−11s). Die durchschnittliche Lebensdauer des long-lived Kaon ist etwa einen Faktor 600 großerals die des short-lived Kaon.CP Verletzung: Aufgrund der angenommenen CP-Erhaltung war es naturlich, K0

1 , K02 mit

K0S, K

0L zu identifizieren. Damit wurde K0

L immer in drei und nie in zwei Pionen zerfallen.Aber James Cronin and Val Fitch fanden 1964 heraus, daß das K0

L mit einer kleinen Wahr-scheinlichkeit (etwa 10−3) auch in zwei Pionen zerfallt. Die physikalischen Zustande sindalso keine reinen CP Eigenzustande, sondern erhalten jeweils eine kleine Menge ǫ von demanderen CP Eigenzustand. Man hat (ohne Normierung):

|K0S >= (|K0

1 > +ǫ|K02 >) (4.5)

|K0L >= (|K0

2 > +ǫ|K01 >) (4.6)

Dieses Phanomen wurde sorgfaltig in den Experimenten uberpruft und CP Verletzung durchMischung genannt, da es durch die Mischung der CP Eigenzustande zu den physikalischenZustanden gegeben ist. Cronin and Fitch erhielten 1980 den Nobelpreis fur die Entdeckung.Da auf diese CP Verletzung nur indirekt durch die Beobachtung der Zerfalle geschlossenwerden kann, nennt man diese auch indirekte CP Verletzung. Auch die direkte CPVerletzung, also eine Verletzung direkt in dem beobachteten Zerfall, ist auch beobachtetworden. Die direkte CP Verletzung ist fur Kaonen einen weiteren Faktor 2000 kleiner als dieindirekte und wurde experimentell erst 3 Jahrzehnte spater nachgewiesen.

Val Logsdon Fitch (* 10.3.1923 in Merriman, Nebraska), amerikanischer Physiker.Fitch erhielt 1980 zusammen mit James Cronin den Physik Nobelpreis. James WatsonCronin (* 29.9.1931 in Chicago), US-amerikanischer Physiker.


- Glashow-Salam-Weinberg Theorie (GSW): [S.L. Glashow, A. Salam, S. Weinberg,Nobelpreis 1979]

Sheldon Lee Glashow (* 5.12.1932 in New York) ist ein US-amerikanischer Physikerund Nobelpreisgewinner. Er erhielt 1979 zusammen mit Abdus Salam und Steven Wein-berg den Physik Nobelpreis fur ihre Arbeit an der ’theory of the unification of the weakand electromagnetic interaction between elementary particles’, die unter anderem dasZ Boson und die neutralen schwachen Strome vorhersagt. Abdus Salam (* 29.1.1926in Jhang, Pakistan; - 21. November 1996 in Oxford, England) war ein pakistanischerPhysiker und Nobelpreisgewinner. Steven Weinberg (* 3.5.1933 in New York City) istein US-amerikanischer Physiker und Nobelpreisgewinner.

Die elektroschwache Wechselwirkung ist die vereinigte Theorie der Quantenelektrody-namik und der schwachen Wechselwirkung. Zusammen mit der Quantenchromodyna-mik bildet sie die Saulen des Standardmodells der Teilchenphysik. Die Vereinigungwurde ursprunglich theoretisch von S.L. Glashow, A. Salam and S. Weinberg 1967beschrieben. Experimentell wurde die Theorie 1973 indirekt durch die Entdeckungder neutralen Strome bestatigt und 1983 durch den experimentellen Nachweis der Wund Z Bosonen. Eine Besonderheit der elektroschwachen Wechselwirkung ist die Pa-ritatsverletzung.

4.2 Unitaritat: der Pfad zu Eichtheorien

Die Fermi-Theorie beschreibt die µ, β Zerfalle, geladene Strom (charged current CC) Reak-tionen by kleinen Energien.

Leff = 4GF√2j∗λj

λ jλ = eγλ(1− γ5)νe + (µ) + (q)

GF = 1.16 · 10−5/GeV2

Abbildung 4.1: Der Prozess e−νe → µ−νµ in der Fermi-Theorie.

CC Streuung bei hohen Energien:σLL(νee

− → µ−νµ) =G2

F s

π

s-Wellen Unitaritat σLL <4πs

Gultigkeitsbereich/Unitaritatsbeschrankung:√s <∼ 700 GeV

⇒ 4 Schritte sind notig, um aus der Fermi-Theorie eine konsistente Feldtheorie zu konstru-ieren, welche die 4-Punktkopplung dampft.

Man nimmt an, daß die schwache Wechselwirkung wie die QED durch Vektorboson-Austausch


vermittelt wird. Das intermediare schwache Boson muß die folgenden 3 Eigenschaften haben:

(i) Es tragt Ladung ±1, da die Manifestationen der schwachen Wechselwirkung (wie z.B.β-Zerfall) Ladungs-andernd sind.

(ii) Es muß recht massiv sein, um die kurze Reichweite der schwachen Kraft zu reprodu-zieren.

(iii) Seine Paritat muß indefinit sein.

1.) Einfuhrung der geladenen W± Bosonen [Yukawa]: Es werden geladene W±-Bosonen ein-gefuhrt, die die Wechselwirkung vermitteln (siehe Fig. 4.2).

Abbildung 4.2: Einfuhrung von geladenen W±-Bosonen im Prozess e−νe → µ−νµ.

Wechselwirkungsreichweite ∼ m−1W ⇒E →∞ : σ ∼ G2

Fm2W

π→ Partialwellenunitaritat ist erfullt; GF = g2W/(4

√2m2

W ).

2.) Einfuhrung eines neutralen Vektorbosons W 3 [Glashow]:

Die Einfuhrung des intermediaren geladenen Bosons schwacht die Divergenz der s-WellenAmplitude des obigen Prozesses. Sie ruft jedoch eine neue Divergenz in anderen Prozessenhervor:

Produktion von longitudinal polarisierten W ’s in νν Kollisionen, Fig. 4.3.ǫLλ = ( kλ

mW, 0, 0, E

mW)⇒ kλ

mWim Limes hoher Energien

σ(νν → WLWL) ∼ g4Ws(√s

mW)4 ∼ g4W s

m4W

← verletzt die Unitaritat fur√s >∼ 1 TeV.

Losung: Einfuhrung eines neutralen W 3, das an Fermionen und W± koppelt, siehe Fig. 4.4:Bedingung fur das Verschwinden der linearen s Singularitat:

IaikIbkj − IbikIakj − ifabcIcij = 0

[Ia, Ib] = ifabcIc Die Fermion-Boson Kopplungen bilden eine Lie-Algebra

[assoziiert mit einer nicht-Abelschen Gruppe].

Fermion-Boson Kopplung ∼ gW × DarstellungsmatrixBoson-Boson Kopplung ∼ gW × Strukturkonstanten

gW universell.

3.) 4-Punkt-Kopplung:


Abbildung 4.3: Die Produktion von longitudinal polarisierten WL-Bosonen.

Abbildung 4.4: Die Einfuhrung eines neutralen W 3-Bosons.

WLWL →WLWL

Amplitude ∼ g2Wf2 s2

m4W

+ ... kompensiert durch: −g2Wf 2 s2

m4W:

4-Boson Vertex: ∼ g2Wf ⋆ f (siehe Fig. 4.5).

4.) Higgsteilchen: [Weinberg, Salam]

Die verbleibende lineare s Divergenz wird durch den Austausch eines skalaren Teilchens mitKopplung ∼ Masse der Quelle kanzelliert. (Fig. 4.6).

Amplitude ∼ −(gWmW )2 1s

( √s

mW

)4

∼ −g2W sm2

W

Der gleiche Mechanismus kanzelliert die verbleibende Singularitat in f f → WLWL (f mas-siv!) , siehe Fig. 4.7.

Nach Summation der Eichdiagramme verbleibt ∼ g2Wmf√s

m2W

skalares Diagramm ∼ √s(

gWmf

mW

)1s(gWmW )

( √s

mW

)2

∼ g2W

√smf

m2W

Zusammenfassung:

Eine Theorie massiver Eichbosonen und Fermionen, die bis zu sehr hohen Energien schwachkoppeln, verlangt, aus Unitaritatsgrunden, die Existenz eines Higgsteilchens. Das Higgsteil-chen ist ein skalares 0+ Teilchen, das an andere Teilchen proportional zu der Masse der


Abbildung 4.5: Die Einfuhrung eines 4-Bosonen-Vertex.

Abbildung 4.6: Die Einfuhrung eines Higgsaustauschdiagramms.

Teilchen koppelt.

⇒ Nicht-abelsche Eichtheorien mit spontanerSymmetriebrechung.

4.3 Eichsymmetrie und Teilcheninhalt

Die dem SM zugrundeliegende Eichsymmetrie ist die SU(3)C×SU(2)L×U(1)Y . Die SU(3)Cbeschreibt die QCD, und die SU(2)L × U(1)Y den elektroschwachen Sektor. Die mit derQCD verbundene erhaltene Ladung ist die Farbladung. Die mit dem elektroschwachen Sek-tor verbundenen Ladungen sind der schwache Isospin und die schwache Hyperladung. Dieentsprechenden Eichbosonen sind in der QCD die 8 Gluonen und im elektroschwachen SektordieW+,W−, Z Bosonen und das Photon γ. Die Massen der Teilchen werden durch SpontaneSymmetrie Brechung generiert. Dazu wird ein komplexes Higgsdublett (dD = 4 Freihheits-grade) mit Higgspotential V hinzugefugt. Die SSB bricht die SU(2)L × U(1)Y (dEW = 4)herunter auf die elektromagnetische U(1)em (dem = 1). Die elektromagnetische Ladung istalso nach wie vor erhalten. Mit der SSB sind dEW − dem = 4 − 1 = 3 would-be GoldstoneBosonen verbunden, die aborbiert werden, um den W und Z Bosonen Masse zu geben. DasPhoton bleibt masselos. Ferner verbleibt nach SSB dD−(dEW−dem) = 4−(4−1) = 4−3 = 1Higgsteilchen im Spektrum. Die Materiefelder sind durch 6 Quarks und 6 Leptonen gegeben.Es gibt 6 verschiedene Quark-Flavours: up (u), down (d), charm (c), strange (s), top (t) undbottom (b). Diese sind in 3 Familien (Generationen) angeordnet, u, d sowie c, s und t, b. DieLeptonen sind gegeben durch das Elektron (e), das Myon (µ), das Tauon (τ) und die assozi-


Abbildung 4.7: Der Prozess f f → WLWL.

ierten Neutrinos νe, νµ, ντ . Je ein Lepton und sein zugehoriges Neutrino bilden eine der dreiLeptonfamilien. Die 3 Lepton- und 3 Quarkfamilien haben jeweils identische Quantenzahlenund werden durch ihre Massen unterschieden. Bei der Betrachtung der Eichwechselwirkungist es deshalb ausreichend, nur eine Familie zu betrachten. Noch eine Bemerkung: Inzwischenwissen wir, daß die Neutrinos Masse haben. Bei der Formulierung des SM hier werden wiraber ihre Masse vernachlassigen und als masselos annehmen. Fur die Behandlung massiverNeutrinos wird auf die entsprechende Literatur verwiesen.

4.4 Glashow-Salam-Weinberg theory fur Leptonen

Ohne Beschrankung der Allgemeinheit betrachten wir die erste Leptongeneration, d.h. e, νe.Wir haben die

elektromagnetische Wechselwirkung:

Lint = −e0jelmµ Aµ mit (4.7)

jelmµ = −eγµe , (4.8)

wobei e0 die Elementarladung bezeichnet, mit α = e20/4π. Und wir haben die

schwache Wechselwirkung:

LW = −4GF√2j−µ j

µ+ (4.9)

in der Fermiform fur geladene Strome, mit

j+µ = νeγµ1− γ5

2e = νeLγµeL (left-chiral) (4.10)

j−µ = (j+µ )∗ (4.11)

GF bezeichnet die Fermi-Kopplungskonstante, GF = 10−5/m2P .

Die nachsten Schritte sind

• Auflosen der 4-Fermionkopplung durch Austausch eines sehr schweren Vektorbosons.Abgesehen von der Vektorbosonmasse ist die Struktur der Theorie der schwachen Wech-selwirkung ahnlich zu der der Elektrodynamik.

• Formulierung der Theorie als Eichfeldtheorie mit spontaner Symmetriebrechung, umRenormierbarkeit zu gewahrleisten.


• Analyse der physikalischen Konsequenzen aus der Symmetrie und ihrer Brechung.

Die freie Lagrangedichte fur Elektronen und linkshandige Neutrinos2 ist durch folgendenAusdruck gegeben, der berucksichtigt, daß die Teilchen bei chiraler Invarianz masselos sind,

L0 = ei∂/e+ νeLi∂/νeL

= eLi∂/eL + eRi∂/eR + νeLi∂/νeL , (4.12)

wobei

fR,L =1

2(1± γ5)f (4.13)

Die freie Lagrangedichte L0 ist SU(2)L symmetrisch. Die damit verbundene erhaltene Ladungist der schwache Isospin:(νee

)

L

: Isodublett mit I(νeL) = I(eL) =1

2and I3(νeL) = +

1

2

I3(eL) = −1

2(4.14)

eR : Isosingulett mit I(eR) = I3(eR) = 0

Die Lagrangedichte

L0 =

(νee

)

L

i∂/

(νee

)

L

+ eRi∂/eR (4.15)

ist invariant unter der globalen Isospin Transformation(νee

)

L

→ e−i2g~α~τ

(νee

)

L

eR → eR (4.16)

Die Theorie wird lokal SU(2)L invariant durch die Einfuhrung eines Isovektors ~Wµ von Vek-torfeldern mit minimaler Kopplung:

Dublett : i∂/→ i∂/− g2~τ ~W/

Singulett : i∂/→ i∂/

aus: i∂/→ i∂/− g~I ~W/ (4.17)

Die sich ergebende Wechselwirkungslagrangedichte fur die Lepton-W -Kopplung lautet:

Lint = −g2

(νee

)

L

γµ~τ

(νee

)

L

~W µ

= − g

2√2νeγµ(1− γ5)eW+µ + h.c.− g

4νeγµ(1− γ5)νe − eγµ(1− γ5)eW 3µ (4.18)

wo

W± =1√2(W 1 ∓ iW 2) (4.19)

eingefuhrt wurde. Aus Glg. (4.18) sehen wir

2Das Goldhaber Experiment (1957) hat gezeigt, daß Neutrinos in der Natur nur linkshandig vorkommen.Es ist damit eine Bestatigung der V −A Theorie welche die Paritatsverletzng der schwachen Wechselwirkungvorhersagt.


• Der geladene Leptonstrom hat per Konstruktion die richtige Form.

• W 3µ , das neutrale Isovektorfeld kann nicht mit dem Photonfeld Aµ identifiziert wer-

den, da der elektromagnetische Strom keine ν’s enthalt und außerdem einen reinenVektorcharakter hat (also kein γ5).

Dies fuhrt auf die Formulierung der Minimalen SU(2)L × U(1) Eichtheorie:

Die Lagrangedichte L0, Eq. (4.18), hat eine zusatzliche U(1) Eichsymmetrie (nach der Kopp-

lung von ~W ) und damit verbunden die schwache Hyperladung. Die Quantenzahlen sind sodefiniert, daß sich der richtige elektromagnetische Strom ergibt:(Um den Elektromagnetismus mit einzuschließen, definiert man die “schwache Hyperla-dung”.)

jelmµ = −eγµe = −eLγµeL − eRγµeR

=1

2

(νee

)

L

γµτ3

(νee

)

L︸︷︷︸

Isovektor Strom,koppelt an W 3

µ

− 1

2

(νee

)

L

γµ1

(νee

)

L

− eRγµeR︸︷︷︸

Isosinguletts, fur die Konstruktiondes Hyperladungsstroms

(4.20)

Die Hyperladungsquantenzahlen sind

Y (νeL) = Y (eL) = −1 (4.21)

Y (eR) = −2 (4.22)

aus der Forderung, daß die Gell-Mann Nishijima Beziehung3 erfullt ist:

Q = I3 +1

2Y (4.23)

Lokale Eichinvarianz wird durch die minimale Kopplung eines Vektorfeldes erreicht,

i∂/→ i ∂/− g′

2Y B/ . (4.24)

Dies fuhrt auf die Lagrangedichte

Lint = −g√2νeLγµeLW

+µ + h.c. − g

2νeLγµνeL − eLγµeLW 3µ

+ g′12νeLγµνeL +

1

2eLγµeL + eRγµeRBµ (4.25)

Aus der Lagrangedichte Glg. (4.25) kann man ablesen:

• Die geladenen Strome bleiben unverandert.

• Es kann eine Mischung zwischen W 3 und B so eingefuhrt werden, daß eine reine Pa-ritats-invariante Elektron-Photon-Wechselwirkung erzeugt wird. Es bleibt eineneutrale Stromwechselwirkung mit der orthogonalen Feldkombination ubrig:

Aµ = cos θWBµ + sin θWW3µ

Zµ = − sin θWBµ + cos θWW3µ

Bµ = cos θWAµ − sin θWZµW 3µ = sin θWAµ + cos θWZµ

(4.26)

3Ursprunglich ging diese Gleichung aus empirischen Beobachtungen hervor. Sie wird jetzt als Resultatdes Quarkmodells verstanden.


Hier bezeichnet θW den Weinbergwinkel. Umschreiben der Lagrangedichte mithilfe von Aµund Zµ fuhrt auf die Aµ Kopplung

AµνeLγµνeL−g

2sin θW +

g′

2cos θW+ eLγµeL

g

2sin θW +

g′

2cos θW+ eRγµeRg

′ cos θW(4.27)

Das Neutrino ν kann durch

tan θW =g′

g(4.28)

eliminiert werden. (Das Photon koppelt nur an geladene Teilchen!) Die korrekte e-Kopplungergibt sich durch

g′ cos θW = e0g sin θW = e0

1

e20=

1

g2+

1

g′2(4.29)

Die Lepton-Boson-Wechselwirkung lautet also

Lint = − g

2√2νeγµ(1− γ5)eW+µ + h.c.

− g

4 cos θWνeγµ(1− γ5)νe − eγµ(1− γ5)e+ 4 sin2 θW eγµeZµ (4.30)

+ e0eγµeAµ

Die erste Zeile beschreibt die geladenen Stromwechselwirkungen, die zweite die neutra-len Stromreaktionen und die dritte Zeile die elektromagnetischen Wechselwirkungen. DieKopplungskonstanten der Theorie sind: [g, g′] or [e0, sin θW ].

• Die elektromagnetische Kopplung e0 =√4πα ∼ 1

3wird innerhalb des Elektromagne-

tismus festgelegt.

• Der zweite Parameter ist nicht durch die schwachen Wechselwirkungen festgelegt, dader geladene Strom nur die Beziehung GF√

2= g2

8m2W

festlegt.

Mit der Notation

j+µ = νeγµ1− γ5

2e

j3µ =

(νee

)

L

γµτ 3

2

(νee

)

L

(4.31)

jemµ = −eγµelaßt sich die Wechselwirkungslagrangedichte schreiben als

Lint = − g√2j−µW

+µ + h.c.

− g

cos θWj3µ − sin2 θW j

emµ Zµ (4.32)

−e0jemµ Aµ


wobei g = e0sin θW

.

Diese Lagrangedichte enthalt aber noch keine Massenterme fur die Fermionen und die Eich-bosonen. Die Theorie muß so modifiziert werden, daß die Teilchen ihre Masse erhalten ohnein Konflikt mit der der Theorie zugrundeliegenden Eichsymmetrie geraten.

4.5 Einfuhrung der W,Z Boson- und Fermionmassen

Wiederholen wir. Mit den Stromen

j±µ = lLγµτ±lL where lL = (νe, e)L

j3µ = lLγµ1

2τ 3lL (4.33)

jemµ = −eγµe (4.34)

kann die Wechselwirkungslagrangedichte geschrieben werden als

Lint = − g√2j+µW

+µ + h.c.

− g

cos θWj3µ − sin2 θW j

emµ Zµ (4.35)

−e0jemµ Aµ (4.36)

und die Kopplungen erfullen die Relationen

g′

g= tan θW

GF√2

=g2

8m2W

(4.37)

e0 = g sin θW .

Die Erzeugung der Massen fur die 3 Vektorfelder, also die Absorption der 3 Goldstoneboso-nen, ist nicht moglich mit 3 skalaren Feldern. Die minimale Losung ist die Einfuhrung eineskomplexen Dubletts mit 4 Freiheitsgraden,

φ =

(φ+

φ0

)

mitφ+ = 1√

2(φ1 + iφ2)

φ0 = 1√2(φ3 + iφ4)

(4.38)

Die Lagrangedichte des Dublettfeldes φ lautet

Lφ = ∂µφ∗∂µφ− µ2φ∗φ− λ(φ∗φ)2 (4.39)

Sie ist SU(2)× U(1) invariant. Das Feld φ transformiert sich gemaß

φ→ e−i2g~α~τe−

i2g′β .φ (4.40)

Nach spontaner Symmetriebrechung ist der Vakuumerwartungswert des skalaren Feldes

< φ >=1√2

(0v

)

v∗ = v (4.41)


Dieser bricht die SU(2)L × U(1)Y Symmetrie, aber ist invariant unter der U(1)em Sym-metrie, welche durch den elektrischen Ladungsoperator erzeugt wird. Da jedes (would-be)Goldstoneboson mit einem Generator assoziiert ist, der das Vakuum bricht, gibt es 4−1 = 3Goldstonebosonen. Die Quantenzahlen des Feldes φ sind

I3(φ+) = +12

Y (φ+) = +1I3(φ0) = −1

2Y (φ0) = +1

Q(φ+) = 1Q(φ0) = 0

(4.42)

(Das Feld Φ transformiert sich wie ein SU(2)L Dubett und muß daher die HyperladungYφ = 1 haben.) Die Eichfelder werden durch die minimale Kopplung eingefuhrt,

i∂µ → i∂µ −g

2~τ ~Wµ −

g′

2Bµ . (4.43)

Entwickelt man um das Minimum des Higgspotentials

φ+(x)→ 0

φ0(x)→1√2[v + χ(x)] χ∗ = χ (4.44)

so erhalt man aus dem kinetischen Teil der Lagrangedichte des skalaren Feldes

Lm =

∣∣∣∣

[

(ig

2~τ ~W + i

g′

2B)

(0v√2

)]∣∣∣∣

2

=1

2

v2

4

W1

W2

W3

B

T

g2

g2

g2 −gg′−gg′ g′2

W1

W2

W3

B

(4.45)

mit den Eigenwerten der Massenmatrix

m21 = m2

2 =g2v2

4

m23 =

(g2 + g′2)v2

4(4.46)

m24 = 0

Also sind die Massen der Eichbosonen

m2γ = 0 (4.47)

m2W =

1

4g2v2 (4.48)

m2Z =

1

4(g2 + g′2)v2 (4.49)

Sie erfullen die folgenden Massenbeziehungen:

(i) W Boson Masse: Wir haben e20 = g2 sin2 θW = 4√2GF sin2 θWm

2W , woraus folgt

m2W =

πα√2GF

1

sin2 θW(4.50)


mit α ≈ α(m2Z) (effektive Strahlungskorrektur). Mit sin2 θW ≈ 1/4 ist die W Boson Masse

mW ≈ 80 GeV.

(ii) Z Boson Masse: Mit

m2W

m2Z

= cos2 θW (4.51)

erhalten wir

sin2 θW = 1− m2W

m2Z

(4.52)

Schließlich erhalt man mit Eq. (4.48) fur den Higgs Vakuumerwartungswert

1

v2=

g2

4m2W

=√2GF (4.53)

und also

v =1

√√2GF

≈ 246 GeV (4.54)

Der Vakuumerwartungswert v ist die charakteristische Skala der elektroschwachen Symme-triebrechung.

Der Higgsmechanismus fur geladene Leptonmassen: Die Fermionen koppeln uber die eichin-variante Yukawakopplung an das Higgsfeld φ, siehe Fig. 4.8.

Abbildung 4.8: Die Yukawakopplung Φf f .

Die Wechselwirkungslagrangedichte lautet

L(eeΦ) = −fe(νee

)

L

φeR + h.c. (4.55)

Sie ist invariant unter SU(2)L × U(1)Y . Nach Entwicklung des Higgsfeldes um den VEVerhalt man

L(eeΦ) = −fev√2[eLeR + eReL] + ...

= −fev√2ee+ ...

= −meee + ... (4.56)


Die Elektronmasse ist gegeben durch

me =fev√2

(4.57)

4.6 Quarks in der Glashow-Salam-Weinberg Theorie

In diesem Kapitel wird der hadronische Sektor in das Standardmodell der schwachen undelektromagnetischen Wechselwirkungen implementiert. Dies wird im Kontext des Quarkmo-dells getan. Da Quarks und Leptonen sich ahneln, ist die Konstruktion auf Quarkniveauzwar klar, aber nicht trivial.

Aus den vorigen Kapiteln wissen wir, daß die Leptonstrome aus Multipletts aufgebaut sind.

(νee−

)

L

e−R

(νµµ−

)

L

µ−R

(νττ−

)

L

τ−R (4.58)

Dies kann auf die Quarkstrome verallgemeinert werden.

Fur die Quarkstrome fur u, d, s haben wir:

1) Der elektromagnetische Strom, nach Summation uber alle moglichen Ladungen, istgegeben durch

jelmµ =∑

Qq

Qq qγµq =2

3uγµu−

1

3dγµd−

1

3sγµs (4.59)

2) Aus Niederenergieexperimenten (Pion-, Kaonzerfallen) weiß man, daß der linkshandigeschwache Strom, d.h. der Cabibbo-Strom, gegeben ist durch

j−µ = cos θcuγµ1

2(1− γ5)d+ sin θcuγµ

1

2(1− γ5)s

= uγµ1

2(1− γ5)[cos θcd+ sin θcs] (4.60)

mit sin2 θc ≈ 0.05. Wir definieren die Cabibbo-gedrehten Quarks

dc = cos θcd+ sin θcs

sc = − sin θcd+ cos θcs (4.61)

Hier,

d, s sind verschiedene Richtungen im (u, d, s) Raum der Quarks, charakterisiert durchunterschiedliche Massen, d.h. sie sind in der Massenbasis.

dc, sc sind Richtungen im Quarkraum, die charakterisiert sind durch die schwacheWechselwirkung; sie stellen die Strombasis dar.


Der Strom j±µ kann ausgedruckt werden in der Form j∓µ = QLγµτ±QL mit den Multi-

plett Definitionen

(udc

)

LscL

uRdcR scR

(4.62)

3) Der entsprechende neutrale Isovektor-Strom ist dann gegeben durch

j3µ =∑

Dubletts

QLγµ1

2τ 3QL

∼ uLγµuL − dcLγµdcL= uLγµuL − cos2 θcdLγµdL − sin2 θcsLγµsL

− sin θc cos θc[dLγµsL + sLγµdL] (4.63)

Die erste Zeile ist ein diagonaler neutraler Strom. Die zweite Zeile ist ein Strangenessandernder neutraler Strom mit der Starke ∼ sin θc, wie der Strangeness anderndegeladene Strom.

Dies ist im eklatanten Widerspruch zu dem experimentellen Nicht-Vorhandensein von Stran-geness andernden neutralen Stromreaktionen. Es existieren strikte experimentelle Grenzenan die Zerfallsraten, die durch Strangeness andernde neutrale Strome vermittelt werden, wieetwa

Γ(K → µ+µ−)

Γ(K → µνµ)∼[GF sin θcGF sin θc

]2

= 1 exp ∼ 4 · 10−9

Γ(K → πe+e−)

Γ(K → πeνe)∼[GF sin θcGF sin θc

]2

= 1 exp < 10−4 (4.64)

|m(KL)−m(KS)|m(K)

∼ GF sin2 θcm2K ∼ 10−8 exp ∼ 10−14

Der Prozess KL → µ+µ− kann im Rahmen der QED und der bekannten UbergangsrateKL → γγ verstanden werden und laßt wenig Raum fur einen elementaren sd → µ+µ−

Ubergang. Ein ahnlicher Schluß kann aus der Kleinheit der Observablen gezogen werden, dieeiner ∆S = 2 Ubergangsamplitude entsprechen, wie etwa die KL −KS Massendifferenz.

Deshalb ist es wichtig, in dem Weinberg-Salam Modell, oder allgemeiner in Modellen, dieneutrale Stromreaktionen zulassen, die proportional sind zu der dritten Komponente desschwachen Isostroms, das Auftreten von Strangeness andernden neutralen Stromen zu un-terbinden. Eine elegante Losung des Problems von flavour-andernden neutralen Stromenwurde von Glashow, Iliopoulos und Maiani vorgeschlagen.

Wir benotigen also einen “naturlichen Mechanismus”, d.h. hervorgerufen durch eine Symme-trie, stabil gegen Storungen, der 8 Großenordnungen unterdruckt. Dies kann erreicht werdendurch die Einfuhrung eines vierten Quarks, das Charm Quark c. [Glashow, Iliopoulos, Maia-ni, PRD2(70)1985]

Die neue Multiplett-Struktur ist dann


(udc

)

L

(csc

)

L

uRdcR

cRscR

(4.65)

(a) Der Isovektorstrom lautet nun:

j3µ =∑

doublets

QLγµ1

2τ 3QL =

1

2[uLγµuL − dLγµdL + cLγµcL − sLγµsL] (4.66)

Das Hinzufugen des Charm Quarks c diagonalisiert den neutralen Strom (GIM Mechanismus)und eliminiert (∆S 6= 0,NC) Reaktionen.

(b) Der elektromagnetische Strom ist gegeben durch:

jemµ =2

3[uγµu+ cγµc]−

1

3[dγµd+ sγµs] (4.67)

(c) Der geladene Strom lautet:

j−µ = uγµ1

2(1− γ5)[cos θcd+ sin θcs] + cγµ

1

2(1− γ5)[− sin θcd+ cos θcs] (4.68)

Der erste Term ist der Cabibbo Strom, der zweite der Charm-Strom mit starker (c, s) Kopp-lung.

4.7 Die CKM Matrix

4.7.1 Die Fermion Yang-Mills Lagrangedichte

Wenn man die Down-artigen Quarks in der Strombasis nimmt, so ist die Matrix fur dieschwache Wechselwirkung der Fermionen diagonal (siehe auch Glgen. 4.61 und 4.68). Mitden Definitionen

U =

uct

D′ =

d′

s′

b′

E =

eµτ

NL =

νeLνµLντL

, (4.69)

wo ′ die Felder in der Strombasis bezeichnen, bekommen wir fur die Yang-Mills FermionLagrangedichte

LYM−F = (UL, D′L)iγµ(∂µ + igW a

µ

τa

2+ ig′YLBµ)

(ULD′L

)

+ (NL, EL)iγµ(∂µ + igW a

µ

τa

2+ ig′YLBµ)

(NL

EL

)

+∑

ΨR=UR,D′R,ER

ΨRiγµ(∂µ + ig′YRBµ)ΨR

= U i∂/U + D′i∂/D′ + Ei∂/E + NLi∂/NL + Lint . (4.70)


Die Wechselwirkungslagrangedichte lautet

Lint = −eJµemAµ −e

sin θW cos θWJµNCZµ −

e√2 sin θW

(J−µW+µ + h.c.) . (4.71)

Der elektromagnetische Strom ist gegeben durch

Jµem = QuUγµU +QdD′γ

µD′ +QeEγµE , (4.72)

der neutrale schwache Strom durch

JµNC = (UL, D′L)γµ τ32

(ULD′L

)

+ (NL, EL)γµ τ32

(NL

EL

)

− sin2 θWJµem

=1

2ULγ

µUL −1

2D′Lγ

µD′L +1

2NLγ

µNL −1

2ELγ

µEL − sin2 θWJµem (4.73)

und der geladene schwache Strom durch

J−µ = (UL, D′L)γµ τ1 + iτ2

2

(ULD′L

)

+ (NL, EL)γµ τ1 + iτ2

2

(NL

EL

)

= ULγµD′L + NLγ

µEL . (4.74)

(Letzterer ist rein linkshandig und diagonal im Generationenraum.)

4.7.2 Massenmatrix und CKM Matrix

Vorbemerkung: Seien χ1, χ2 SU(2) Dubletts. Dann gibt es zwei Moglichkeiten, ein SU(2)Singulett zu bilden:1) χ†1χ2 und χ†2χ1

2) χT1 ǫχ2 und χT2 ǫχ1, wobei

ǫ =

(0 1−1 0

)

.

Beweis: Fuhre eine SU(2) Transformation durch

χ1(x) → U(x)χ1(x) χ†1 → χ†1U−1

χ2(x) → U(x)χ2(x) χ†2 → χ†2U−1 , (4.75)

wobei

U(x) = eiωa(x)τa/2 . (4.76)

1) ist invariant unter dieser Transformation.2) Hier haben wir

(Uχ1)T ǫUχ2 = χT1U

T ǫUχ2 = χT1 ǫχ2 (4.77)

denn mit

U = eiA =∞∑

0

(iA)n

n!⇒ UT =

∑

n

(iAT )n

n!, A = ωa(x)

τa

2. (4.78)


Und da (τa)T ǫ = −ǫτa, erhalten wir

UT ǫU = ǫU−1U = ǫ , (4.79)

so daß 2) auch invariant ist.

Die Yukawa Lagrangedichte: Wir schreiben die allgemeinste, renormierbare, SU(2)L×U(1)Yinvariante Hermitesche Fermion-Fermion-Boson Lagrangedichte auf. Mit den SU(2) Dubletts(ULD′L

)

,

(NL

EL

)

,Φ =

(φ+

φ0

)

(4.80)

und den SU(2) Singuletts

UR , D′R , ER (4.81)

konnen wir 2 SU(2) invariante Wechselwirkungen konstruieren,

Φ†(ψ1L

ψ2L

)

= (φ+)∗ψ1L + (φ0)∗ψ2L (4.82)

und

ΦT ǫ

(ψ1L

ψ2L

)

= φ+ψ2L − φ0ψ1L , (4.83)

so daß wir fur die Yukawa Lagrangedichte bei Erhaltung der Hyperladung erhalten:

LY uk = −(eR, µR, τR)CE

Φ†(νeLeL

)

Φ†(νµLµL

)

Φ†(ντLτL

)

+ (uR, cR, tR)CU

ΦT ǫ

(uLd

′

L

)

ΦT ǫ

(cLs′

L

)

ΦT ǫ

(tLb′

L

)

−(d′R, s

′R, b

′R)CD

Φ†(uLd

′

L

)

Φ†(cLs′

L

)

Φ†(tLb′

L

)

+ h.c. . (4.84)

Die CE, CU , CD sind beliebige komplexe Matrizen. Wir machen durch die folgenden unitarenTransformationen einen Ubergang in eine aquivalente Feldbasis (Felder sind keine Observa-blen!)

NL(x) → V1NL(x) UL(x)→ V2UL(x)

EL(x) → V1EL(x) D′L(x)→ V2D′L(x)

ER(x) → U1ER(x) UR(x)→ U2UR(x)

D′R(x)→ U3D′R(x) , (4.85)

wobei U1, U2, U3, V1, V2 unitare 3 × 3 Matrizen sind. Da sich Lepton und Quarkdubletts aufdieselbe Weise transformieren, andert dies nicht die Yang-Mills-, die Higgs- und die Yang-Mills Fermion Lagrangedichte. Lediglich die C Matrizen werden verandert:

CE → U †1CEV1 CU → U †2CUV2 CD → U †3CDV2 . (4.86)


Indem man die U †1 und V1 Matrizen geeignet wahlt, kann CE diagonalisiert werden,

U †1CEV1 =

hehµ

hτ

mit he, hµ, hτ ≥ 0 . (4.87)

Genauso,

U †2CUV2 =

huhc

ht

mit hu, hc, ht ≥ 0 . (4.88)

Glg. (4.88) legt die Matrix V2 fest. Indem man U3 geeignet wahlt, erhalt man

U †3CDV2 =

hdhs

hb

V † mit hu, hc, ht ≥ 0 . (4.89)

wobei V † eine unitare Matrix bezeichnet. Wir transformieren D′R durch D′R → V †D′R underhalten

CD → V

hdhs

hb

V † . (4.90)

Wir entwickeln Φ um den Vakuumerwartungswert

Φ =

(

0v+H(x)√

2

)

(4.91)

wobei H(x) ein reelles Feld ist, und erhalten

(d′R, s′R, b

′R)V

hdhs

hb

V †

Φ†(uLd′L

)

Φ†(cLs′L

)

Φ†(tLb′L

)

= (d′R, s′R, b

′R)V

hdhs

hb

V †

1√2(v +H(x))d′L

1√2(v +H(x))s′L

1√2(v +H(x))b′L

. (4.92)

Nach einer Basistransformation

dsb

= V †

d′

s′

b′

(4.93)

haben wir schließlich

(dR, sR, bR)

hdhs

hb

1√2(v +H(x))

dLsLbL

. (4.94)


Die Yang-Mills und die Higgs-Lagrangedichte andern sich nicht unter der Transformation(4.93). Aber die Yang-Mills Fermion Lagrangedichte wird

LYM−F = U i∂/U + Di∂/D + Ei∂/E + NLi∂/NL − eJµemAµ− e

sin θW cos θWJµNCZµ −

e√2 sin θW

(J−µW+µ + h.c.) . (4.95)

mit

J−µ = ULγµD′L + NLγ

µEL = ULγµV DL + NLγ

µEL . (4.96)

Die unitare 3 × 3 Matrix V wird CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa) Mischungsmatrixgenannt.

Die Matrix V ist unitar, d.h. V †V = V V † = 1. Schauen wir die Anzahl der freien Parameteran. Fur eine n×n komplexe Matrix haben wir 2n2 freie Parameter. Da die Matrix unitar ist,ist die Anzahl freier Parameter um n2 Bestimmungsgleichungen reduziert. Außerdem konnendie Phasen durch eine Redefinition der Fermionfelder absorbiert werden, so daß die Anzahlder freien Parameter um weitere (2n− 1) Bedingungen reduziert ist:

Parameter: n× n komplexe Matrix: 2n2

Unitaritat: n2

freie Phasenwahl: 2n− 1(n− 1)2 freie Parameter

In der Euler Parametrisierung bekommen wir

Drehwinkel: 12n(n− 1)

Phasen: 12(n− 1)(n− 2)

So finden wir fur n = 2, 3

n Winkel Phasen2 1 03 3 1

So finden wir, daß in einer

2− Familien Theorie ∼ Cabibbo: keine CP Verletzung mit L Stromen3− Familien Theorie ∼ KM: komplexe Matrix → CP Verletzung

“Vorhersage einer 3-Familien Struktur“

Als nachstes schauen wir uns an, wie wir die Matrix parametrisieren konnen:

(i) Asthetische Parametrisierung:

VCKM = Rsb(θ2)U(δ)Rsd(θ1)Rsb(θ3) (4.97)

mit

0 ≤ θi ≤ π/2

−π ≤ δ ≤ +π (4.98)


und

Rsb(θ2) =

1 00 cos θ2 sin θ20 − sin θ2 cos θ2

etc. U =

1 0 00 1 00 0 eiδ

(4.99)

(ii) Gunstige Parametrisierung (Wolfenstein):

V =

1− 12λ2 λ Aλ3(ρ− iη)

−λ 1− 12λ2 Aλ2

Aλ3(1− ρ− iη) −Aλ2 1

(4.100)

Die Bestimmung der Parameter erfolgt durch

(a) Cabibbo theory: λ = 0.221± 0.002(b) b→ c decays: Vcb = Aλ2 → A = 0.78± 0.06(c) b→ u decays: |Vub/Vcb| = 0.08± 0.02 → (ρ2 + η2)1/2 = 0.36± 0.09(d) t Matrixelemente durch Unitaritat

(e) CP Verletzung:

Die Unitaritat der CKM Matrix fuhrt uns zu dem Unitaritats-Dreieck

V ∗udVtd + V ∗usVts + V ∗ubVtb = 0

Aλ3(1− ρ− iη)− Aλ3 + Aλ3(ρ+ iη) = 0

⇒ (ρ+ iη) + (1− ρ− iη) = 1 (4.101)

Wir haben also das Unitaritats-Dreieck in Fig. 4.9 (siehe auch Fig. 4.11)

Abbildung 4.9: Das Unitaritatsdreieck.

mit den Ecken (0, 0), (1, 0), (ρ, η) (in der komplexen Ebene) und den Winkeln α, β, γ. DieBestimmung erfolgt durch

(i) ρ2 + η2, Kreis um 0, aus b→ u/b→ c Zerfallen.

(ii) η > 0 aus der CP Verletzung im K System.

(iii) Bd − Bd Oszillationen:


Abbildung 4.10: Bd − Bd Oszillationen.

4.8 Eichung

In Eichtheorien haben wir das Problem, daß die eichinvariante Lagrangedichte die Eichfeldernicht eindeutig festlegt. Aufgrund der Eichsymmetrie haben viele Feldkonfigurationen die-selbe Wirkung. Dies wird gelost, indem die die Eichung festgelegt wird. Im folgenden werdenwir im Detail untersuchen, wie die Eichfixierungsbedingung in die Lagrangedichte eingebautwerden kann.

Abbildung 4.11: Einschrankungen in der ρ, η Ebene. Die schattierten Flachen haben 95% CL(aus PDG).

4.8.1 Feynman Pfadintegrale

Die Lagrangefunktion L ist das fundamentale Objekt in der klassischen Mechanik. Davonausgehend wird die klassische Wirkung konstruiert,

S ≡∫ t2

t1

dtL(q, q) , (4.102)


wobei q(t) die verallgemeinerte Koordinate und q(t) ≡ dq/dt die verallgemeinerte Geschwin-digkeit ist. Die Bewegungsgleichungen folgen aus dem Hamilton-Prinzip der kleinsten Wir-kung, nach der die Variation

δS = δ

∫ t2

t1

dtL(q, q) = 0 (4.103)

unter der Nebenbedingung, daß die Variationen der verallgemeinerten Koordinaten an denEndpunkten t1 und t2 verschwinden. Der physikalische Pfad ist also die spezielle Trajekorie,die q1 ≡ q(t1) und q2 ≡ q(t2) verbindet und entlang derer die Wirkung stationar ist. Einewichtige Verallgemeinerung auf die Quantenmechanik als eine gewichtete Summe uber diePfade ist von Feynman entwickelt worden. Wir haben in der Quantenmechanik

Abbildung 4.12: Trajektorie.

< t2|t1 >∼∫

Dq exp iS (4.104)

In der Quantenfeldtheorie ist die Theorie bestimmt durch das Pfadintegral

W ∼∫

DφeiS (4.105)

S =

∫

d4xL (4.106)

Abbildung 4.13: Feldwerte am Punkt x.

Das Integral wird uber alle φ Feldwerte an jedem Punkt x ausgefuhrt,

W ∼ limǫ→0

∫

Παdφα exp

i∑

β

ǫ4L(φβ)

(4.107)

Quantenmechanik: Ohne Beschrankung der Allgemeinheit diskutieren wir Quantenmecha-

nik in 1 Dimension. Sei q die Raumkoordinate. Ein Zustand im Heisenberg-Bild und imSchroedinger-Bild sind verbunden durch

|ψ, t >S= exp

(

− i~Ht

)

|ψ >H . (4.108)


Der Raumoperator im Heisenberg-Bild ist durch den im Schroedinger-Bild gegeben durch

QH(t) = eiHtQSe−iHt . (4.109)

Wir definieren:

|q, t >= exp

(i

~Ht

)

|q > . (4.110)

Damit

ψ(q, t) =< q|ψ, t >S=< q| exp(−i/~Ht)|ψ >H=< q, t|ψ >H . (4.111)

Wir interessieren uns fur den Zustand am Ort qf zur Zeit tf ,

ψ(qf , tf) = < qf , tf |ψ >H=

∫

dqi < qf , tf |qi, ti >< qi, ti|ψ >H

=

∫

dqiK(qf , tf ; qi, ti)ψ(qi, ti) . (4.112)

Die gesamte Information uber die Dynamik des Systems steckt im IntegrandenK(qf , tf ; qi, ti).Man nennt diesen Propagator. Wir betrachten nun das Ubergangsmatrixelement (im folgen-den ist ~ = 1 gesetzt)

S < q′, t′|q, t >S=H< q′|e−iH(t′−t)|q >H . (4.113)

Wir teilen es in (n+ 1) Teilintervalle τ = (t′ − t)/(n+ 1).

Abbildung 4.14: Teilintervalle.

Wir benutzen die Vollstandigkeitsrelation 1 =∫dq|q >< q| und erhalten fur Glg. (4.113)

(im Folgenden werden die Indizes H,S vernachlassigt):∫

dqn...dq1 < q′, t′|qn, tn >< qn, tn|qn−1, tn−1 > ... < q1, t1|q, t > . (4.114)

Wir betrachten ein Matrixelement genauer

< qj+1, tj+1|qj , tj > = < qj+1|e−iHτ |qj >=< qj+1|1− iHτ +O(τ 2)|qj >= δ(qj+1 − qj)− iτ < qj+1|H|qj > +O(τ 2) . (4.115)

Mit dem Hamilton-Operator H = P 2/(2m) + V (Q) erhalten wir

< qj+1|P 2

2m|qj > =

∫

dpdp′ < qj+1|p′ >< p′| P2

2m|p >< p|qj >

=

∫

dpdp′1√2π

2 ei(p′qj+1−pqj) p

2

2mδ(p− p′) =

∫dp

2πeip(qj+1−qj) p

2

2m.(4.116)


Und

< qj+1|V (Q)|qj >= V (qj) < qj+1|qj >= V (qj)δ(qj+1 − qj) =∫

dp

2πeip(qj+1−qj)V (qj) .(4.117)

Damit bekommen wir fur das Matrixelement

< qj+1|H|qj >=∫

dp

2πeip(qj+1−qj)H(p, qj) . (4.118)

Und schließlich

< qj+1, tj+1|qj, tj >=∫dpj2π

eipj(qj+1−qj)e−iτH(pj ,qj) . (4.119)

Damit haben wir fur das Ubergangmatrixelement (4.113)

< q′, t′|q, t >= limn→∞

∫

Πnj=0

dpj2π

(Πnj=1dqj

)ei

∑nj=0[pj(qj+1−qj)−τH(pj ,qj)] . (4.120)

Mit der symbolischen Notation

limn→∞

∫

Πna=1dqaΠ

nb=0

dpb2π

=

∫

Dq(t)Dp(t) , (4.121)

welches die Defintion des Funktionalintegrals (=”Integration uber Funktionen”) ist, habenwir

< q′, tb|q, ta >=∫

Dq(t)Dp(t) ei∫ tbtadt[pq−H(p,q)] , (4.122)

wobei q(ta) = q und q(tb) = q′. Das quantenmechanische Ubergangsmatrixelement ist durch

das ∞-dimensionale Integral uber die klassischen “Pfade” gegeben. Falls H = p2

2m+ V (q)

kann die Integration uber p ausgefuhrt werden. Mit der Formel∫ ∞

−∞dx e−ax

2+bx+c = eb2

4a+c

√π

a(4.123)

erhalten wir

< q′, tb|q, ta >= limn→∞

(1

2π

)n+1(2πm

iτ

)n+12∫

Πnj=1dqj e

i∑

j [τm2

(

qj+1−qjτ

)2−V τ ]

. (4.124)

Im Kontinuumlimes erhalten wir

< q′, tb|q, ta >= N∫

Dq ei∫ tbtadt L(q,q) , (4.125)

wobei N ein Normierungsfaktor ist. In einer analogen Rechnung erhalten wir fur

< q′, t′|Q(t0)|q, t >=∫

DqDp q(t0)ei∫ t′

t dτ [pq−H] . (4.126)

Denn

< qj , tj |qj|qj−1, tj−1 > = < qj |qj exp(−iH(tj − tj−1))|qj−1 >= < qj |Q exp(−iH(tj − tj−1))|qj−1 >= < qj | exp(−iHtj) exp(iHtj)Q exp(−iH(tj − tj−1))|qj−1 >= < qj , tj |Q(tj)|qj−1, tj−1 > . (4.127)


Betrachen wir A =< q′, t′|Q(t1)Q(t2)|q, t >. Wenn t1 > t2:

A =

∫

(Πdqj) < q′, t′|qn, tn >< qn, tn|qn−1, tn−1 > ... < qj1, tj1 |Q(t1)|qj1−1, tj1−1 >

... < qj2, tj2 |Q(t2)|qj2−1, tj2−1 > ... < q1, t1|q, t > . (4.128)

Und wir erhalten (Rechnung wie oben)

A =

∫

DqDp q(t1)q(t2) ei∫ t′

t dτ [pq−H]

︸︷︷︸

P

. (4.129)

Wenn t2 > t1 entspricht P

P =< q′, t′|Q(t2)Q(t1)|q, t > . (4.130)

Die Pfadintegralformel entspricht also demMatrixelement des zeitgeordneten Produkts T [Q(t1)Q(t2)].Wir haben dann im allgemeinen

< q′, t′|T [Q(t1)...Q(tN)]|q, t >=∫

DqDp q(t1) q(t2)...q(tN) ei∫ t′

t dτ [pq−H] . (4.131)

Wir wollen nun die Vakuum-nach-Vakuum-Amplitude bei Anwesenheit einer “Quelle” Jhaben, welche die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen beschreibt. Wir ersetzen dieLagrangedichte durch

L→ L+ ~J(t) q(t) (~ = 1) , (4.132)

wobei J die Quelle bezeichnet. Unser Ziel ist, < 0, t =∞|0, t = −∞ >J zu erhalten.

Abbildung 4.15: Außere Quelle J .

Wir haben die Pfadintegralformel

< Q′, T ′|Q, T >J = N∫

Dq ei∫ T ′

T dt[L+Jq]

=

∫

dq dq′ < Q′, T ′|q′, t′ >J=0< q′, t′|q, t >J 6=0< q, t|Q, T >J=0 .(4.133)

N ist ein Normierungsfaktor, der von der p Integration kommt. Wir haben

< Q′, T ′|q′, t′ >J=0=< Q′|e−iHT ′e+iHt

′ |q′ >=∑

m

φm(Q′)φ∗m(q

′)e−iEm(T ′−t′) , (4.134)


wo wir 1 =∑

E |Energie >< Energie| eingefugt haben. Und analog

< q, t|Q, T >J=0=∑

n

φn(q)φ∗n(Q)e

iEn(T−t) . (4.135)

Wir benutzen einen Trick und rotieren die Zeitachse ein wenig, t → teiδ, und bilden dieLimites T ′ →∞eiδ und T → −∞eiδ. Dies bedeutet, daß in der Summe nur die Beitrage desGrundzustandes E0 < Ei ubrig bleiben, so daß wir

limT ′ → +∞e−iδT → −∞e−iδ

< Q′, T ′|Q, T >J = φ∗0(Q)φ0(Q′)e−iE0(T ′−T )

∫

dq dq′φ∗0(q′, t′)φ0(q, t) < q′, t′|q, t >J (4.136)

erhalten. Dieses Integral ist aquivalent zu < 0, t′|0, t >J . Wir bilden nun auch t′ → ∞,t→ −∞ und erhalten

< 0,∞|0,−∞ >J = limT ′ → +∞e−iδT → −∞e−iδ

< Q′, T ′|Q, T >J

φ∗0(Q)φ0(Q′)e−iE0(T ′−T )

mit < Q′, T ′|Q, T >J= N∫

Dq ei∫ T ′

T dt [L(q,q)+J(t)q(t)] (4.137)

Bemerkung: Anstatt die t-Achse zu rotieren, kann der Grundzustands-Beitrag auch durchH → H − i ǫ

2q2, ǫ > 0, ǫ→ 0, i.e. L→ L+ i

2ǫq2 isoliert werden. Damit haben wir schließlich

< 0,∞|0,−∞ >J ∼ Z[J ] erzeugendes Funktional

wobei Z[J ] ≡∫

Dq ei∫∞−∞ dt [L+J ·q+ i

2ǫq2] (4.138)

Wir definieren die Funktionalableitung fur ein Funktional F [f ] das Cn(M) → C abbildet,wobei der Funktionenraum durch M = R,C gegeben ist:

δF [f(x)]

δf(y)≡ lim

ǫ→0

F [f(x) + ǫδ(x− y)]− F [f(x)]ǫ

. (4.139)

Wir haben dann z.B.,

δf(x)

δf(y)= δ(x− y) . (4.140)

Fur die n-fache Ableitung von Z[J ] nach J bekommen wir

δnZ[J ]δJ(t1)...δJ(tn)

∣∣∣∣J=0

= (i)n∫

Dq q(t1)...q(tn)ei∫∞−∞ dt [L+ i

2ǫq2]

∼ (i)n < 0|T [Q(t1)...Q(tn)|0 > (4.141)


4.8.2 Skalare Felder

Ein 1-dimensionales quantenmechanisches System entspricht einer Feldtheorie in 0 Raumdi-mensionen. (In der Quantenmechanik haben wir die Operatoren Q(t), P (t), H(t).)

In der skalaren Feldtheorie haben wir die skalaren Felder φ(~x, t) und den Impuls Π(~x, t)und die Hamilton- und Lagrangedichte H(φ, Π), L(φ, ∂µφ). Wir betrachten als Beispiel dieklassische Lagrangedichte der φ4 Theorie

L =1

2∂µφ∂

µφ− m2

2φ2 − λ

4!φ4 . (4.142)

Die Vakuum-nach-Vakuum Amplitude der Quantenfeldtheorie bei Anwesenheit einer “Quel-le” J(x) ist gegeben durch

< 0,∞|0,−∞ >J∼ Z[J ] (4.143)

mit

Z[J ] =∫

Dφ ei∫∞−∞ d4x [L(x)+ 1

2iǫφ2(x)+J(x)φ(x)] . (4.144)

Die Felder φ sind klassische Felder. Und

Dφ = Π~x,tdφ(~x, t) . (4.145)

Um die Funktionalintegrale genau zu definieren, diskretisieren wir Raum und Zeit.Wir haben die partielle Ableitung

∂φ

∂x

∣∣∣∣(~xn,tn)

= lima→0

φ(xn + a, yn, zn, tn)− φ(xn, yn, zn, tn)a

. (4.146)

Fur das Integral uber die Lagrangedichte erhalten wir∫

d4xL(φ) ≈∑

Gitterpunkte

a4 L(φ(~xn, tn)) . (4.147)

Das Maß ΠxdΦ(x) wird

Dφ = ΠN4

j=1dφ(xj) . (4.148)

Das Funktionalintegral Z[J ] wird dann ein N4 dimensionales, also gewohnliches endlichdimensionales Integral (das z.B. auf einem Computer bestimmt werden kann → numerischeSimulationen der Gitterfeldtheorie). Schließlich bilden wir die Limites

a) L→∞, i.e. N =L

a→∞ unendlicher Volumen-Limes

b) a→ 0 Kontinuum-Limes . (4.149)

Wir erhalten die Green’s Funktion der skalaren Quantenfeldtheorie durch die Funktionalab-leitung:

1

inδnZ[J ]

δJ(x1)...δJ(xn)

∣∣∣∣J=0

=1

N

∫

Dφ φ(x1)...φ(xn)ei∫

d4x [L+ iǫ2φ2]

= < 0,∞|T [φ(x1)...φ(xn)]|0,−∞ >J=0(4.150)


mit

N =

∫

Dφ ei∫

d4x [L+ iǫ2φ2] . (4.151)

Um (4.150) zu zeigen, benotigen wir zunachst einige Formeln fur die Funktionalintegrationuber c-Zahl Funktionen. Wir betrachten zuerst Integrale uber endliche Dimensionen:1) 1-dimensionale Gauß Formel, xǫR:

∫ ∞

−∞e−

12ax2 dx =

(2π

a

)1/2

. (4.152)

2) Reelles Integral uber n Dimensionen:∫

Πnj=1dxj e

− 12

∑nk=1 ak x

2k =

(2π)n/2√Πkak

. (4.153)

Sei

A =

a1a2

..an

, (4.154)

und wir benutzen fur das Skalarprodukt die Notation

∑

k

akx2k = (~x, A~x) ~x =

x1...xn

. (4.155)

Wir definieren das Maß

(dx) ≡ dnx

(2π)n/2. (4.156)

Dann haben wir

∫

e−12(~x,A~x)(dx) =

1√detA

. (4.157)

Die Formel gilt fur jede reelle, symmetrische positive Matrix A.

3) Verallgemeinerung auf beliebige quadratische Formen der Art

Q(~x) =1

2(~x, A~x) + (~b, ~x) + c , (4.158)

wobei A eine positive Matrix ist. Q kann geschrieben werden als

Q = Q(~x0) +1

2(~x− ~x0, A(~x− ~x0)) (4.159)

mit ~x0 = −A−1~b. Damit haben wir


∫ ∞

−∞e−[

12(~x,A~x)+(~b,~x)+c](dx) =

e12(~b,A−1~b)−c√detA

. (4.160)

4) Komplexe Variablen. Sei z = x+ iy ǫC und z∗ = x− iy. Damit dx dy = −12i dz dz∗. Unter

Verwendung von∫

e−a(x2+y2)dx dy =

2π

2a(4.161)

erhalten wir∫

e−az∗z dz∗√

2π i

dz√2π i

︸︷︷︸

≡(dz∗)(dz)

=1

a. (4.162)

Mit n komplexen Variablen ~z, A als einer positiv definiten Hermiteschen Matrix und derDefinition des Maßes (dz) ≡ dnz

(2π i)n/2 , analog (dz∗), haben wir

∫

(dz∗) (dz) e−(~z∗,A~z) =

1

detA. (4.163)

Wir verallgemeinern die Gleichungen (4.157),(4.160),(4.163) auf unendlich-dimensionale Funk-tionalintegrale

~x = (xi) ǫRn → φ(x) ǫF(M4) , (4.164)

x ist ein kontinuierlicher Index, φ eine reelle Funktion. Das Skalarprodukt ist definiert als

(φ1, φ2) =

∫

d4xφ1(x)φ2(x). (4.165)

Die Verallgemeinerung von Glg. (4.157) ist

∫

Πx

(dφ(x)√

2π

)

e−12

∫

d4y φ(y)Aφ(y) =1√detA

, (4.166)

wobei A ein positiver Operator ist und φ eine reelle Funktion. Falls φ(x) eine komplexeFunktion ist, dann

∫ (

Πxdφ∗(x)√

2πi

dφ(x)√2πi

)

e−∫

d4y φ∗(y)Aφ(y) =1

detA, (4.167)

Die Verallgemeinerung der Glgen. (4.157),(4.160),(4.163) ist, genauer aufgeschrieben, im Fallvon komplexen Feldern (analog fur reelle Felder)

∫ (

Πxdφ∗(x)√

2πi

dφ(x)√2πi

)

e−∫

d4x1 d4x2 φ∗(x1)A(x1,x2)φ(x2) =1

detA, (4.168)


wobei A(x1, x2) ein positiver Operator ist, der unabhangig von φ ist.

Wir wenden dies nun auf die reelle skalare Feldtheorie an. Sei die klassische Lagrangedichte

L0 =1

2(∂µφ ∂

µφ−m2φ2) . (4.169)

Das normierte erzeugende Funktional ist

Z0[J ] =1

N

∫

Dφ ei∫

d4x [L0+iǫ2φ2+Jφ] . (4.170)

Der Exponent ist∫

d4x [− i2φ(+m2 − iǫ)φ + iJφ] +

i

2

∫

Rand von M4

dnµφ ∂µφ

︸︷︷︸

=0 fallsφ(x) schnell genug abfallt.

. (4.171)

Wir benutzen Eq. (4.160), verallgemeinert auf Funktionalintegrale: Setze A = i(+m2−iǫ),b = −iJ , c = 0 ⇒

Z0[J ] =1

N ei2

∫

J(x)(+m2−iǫ)−1J(y)d4x d4y ·[det i(+m2 − iǫ)]−1/2︸︷︷︸∫

Πxdφ(x)√

2πe−

i2

∫d4xφ(+m2−iǫ)φ

(4.172)

Bemerkungen:1) Die Faktoren 1/

√2π im Zahler und N eliminieren sich.

2) Da Z0[0] = 1, haben wir N = [det i(+m2 − iǫ)]−1/2.3) Das Inverse des Differentialoperators (+m2 − iǫ) ist

(+m2 − iǫ)−1 = −∆F (x− y) , (4.173)

wo ∆F der Feynman-Propagator (=kausale 2-Punkt Green’s Funktion) ist, der definiert istals

(x +m2 − iǫ)∆F (x− y) = −δ4(x− y) . (4.174)

Also

∆F (x− y) = limǫ→0

∫d4k

(2π)41

k2 −m2 + iǫe−ik·(x−y) . (4.175)

Damit haben wir schließlich

Z0[J ] = e−i2

∫

J(x)∆F (x−y) J(y)d4xd4y . (4.176)

So ist z.B. die 2-Punkt Green’s Funktion

< 0|T [φ(x) φ(y)]|0 > =1

i2δ2Z0[J ]

δJ(x) δJ(y)

∣∣∣∣J=0

=1

i2δ

δJ(x)

[(−i2

∫

d4x2∆F (y − x2) J(x2)−i

2

∫

d4x1 J(x1)∆F (x1 − y))

e−i2

∫

...

]

J=0

=−1i∆F (x− y) = i∆F (x− y) , (4.177)

wo wir ∆F (x− y) = ∆F (y − x) benutzt haben.


4.8.3 Grassmann Variablen

Im folgenden werden wir antikommutierende Felder im Pfadintegralformalismus behandeln.Dafur benotigen wir “antikommutierende Zahlen”. Diese werden Grassmann-Variablen ge-nannt. Wir betrachten zunachst ihre Eigenschaften, bevor wir sie benutzen.

Gewohnliche Zahlen: xi mit [xi, xj ] = 0 kommutierend

Grassmann Zahlen: ηi mit ηi, ηj = 0 antikommutierend

Die Grassmann-Zahlen sind also uber die Algebra ηi, ηj = ηiηj + ηjηi = 0 fur alle i, j,definiert. Dies fuhrt direkt zur Nilpotenz der Grassmann-Variablen,

η2i = 0

Eigenschaften:

1) Funktionen f(ηi) der Grassmann-Variablen.

Sei f eine analytische Funktion, dann enthalt die Taylor-Entwicklung von f(ηi) nur eineendliche Anzahl von Termen. Zum Beispiel

f(η) = f0 + f1η da η2 = 0. f(η1, η2) = f0 + f1η1 + f2η2 + f12η1η2 (4.178)

2) Ableitungen

Die Ableitung (=Links-Ableitung) einer Grassmann-Variablen ist definiert durch

∂

∂ηiηj = δij ,

∂

∂ηia = 0 wobei a eine c Zahl ist. (4.179)

Zu beachten: Die Ableitungsoperatoren sind antikommutierend untereinander und mit Grassmann-Variablen (∂/∂ηj , ηj). Zum Beispiel

∂

∂ηi(η1η2) = δi1η2 − δi2η1 . (4.180)

Bemerkung: Manchmal ist es geeignet, auch eine Rechts-Ableitung zu definieren.

∂R

∂ηi(η1η2) = (η1η2)

←∂

∂ηi= η1δi2 − η2δi1 . (4.181)

Da der Ableitungsoperator selbst antikommutierend ist, haben wir∂

∂ηi,∂

∂ηj

= 0⇒ ∂2

∂η2i=

(∂

∂ηi

)2

= 0 , (4.182)

was bedeutet, daß die Ableitungen nilpotent sind genau wie ηi. Dies impliziert, daß dasIntegral uber Grassmann-Variablen nicht definiert werden kann als Inverses der Ableitung,da die Ableitung kein Inverses hat.

3) Integration

Das Integral ist so definiert, daß es dasselbe liefert wie die Ableitung.

a) 1 Grassmann-Variable η

Sei f eine analytische Funktion von η, f(η) = a0 + a1η. Dann haben wir ddηf = a1 und

d2

dη2f(η) = 0. Die Integrationsregeln sind also definiert durch


∫

dη a = 0, fur eine c-Zahl a∫

dη aη = a (4.183)

⇒∫

dηf(η) =

∫

dη(a0 + a1η) = a1

b) n Variable ηi

∫

dηj = 0 ,

∫

dηj ηi = δij (4.184)

c) Seien η, η unabhangige Grassmann-Variablen, d.h.∫

dη =

∫

dη = 0∫

dηη =

∫

dηη = 1 . (4.185)

Wir haben

e−ηη = 1− ηη + (ηη)2

2+ ...

︸︷︷︸

0, da η2=η2=0

= 1− ηη

⇒∫

dη dη e−ηη =

∫

dη dη −∫

dη dη ηη = 0 +

∫

dη η

∫

dη η = +1 . (4.186)

d) Verallgemeinerung auf mehrere Variablen

Sei

η =

(η1η2

)

η =

(η1η2

)

and ηη = η1η1 + η2η2 (4.187)

dann

(ηη)2 = 2η1η1η2η2 (4.188)

und hohere Potenzen

(ηη)P = 0 fur p ≥ 3 (4.189)

Also

e−ηη = 1− (η1η1 + η2η2) + η1η1η2η2 . (4.190)

Mit der Definition

dηdη ≡ dη1dη1dη2dη2 (4.191)

finden wir∫

dη dη e−ηη = 0 +

∫

dη1 dη1 dη2 dη2 η1η1η2η2 = +1 . (4.192)


Variablenanderung

Sei

η = Bc und η = cH (4.193)

wobei B,H 2 × 2 c-Zahl Matrizen sind, mit detH 6= 0, detB 6= 0. (η, c sind Grassmann-Zahlen.) Wir haben

η1η2 = (B11c1 +B12c2)(B21c1 +B22c2) = (B11B22 −B21B12)c1c2 = detB c1c2 (4.194)

Wir mussen fordern, daß

dη1dη2 = (detB)−1dc1dc2 (4.195)

so daß die Integrationsregel∫

dη1dη2 η1η2 =

∫

dc1dc2 c1c2 (4.196)

erhalten bleibt. Damit finden wir

(det(BH))−1∫

dcdc e−cHBc = 1 (4.197)

Sei A = HB. Dann detA = detHB = detBH und damit

∫

dc dc e−cAc = detA (4.198)

Dies kann sofort auf 2n Variable cj, cj verallgemeinert werden.

∫

dc dc e−∑

ij ciAijcj = detA

dc dc ≡ dc1 dc1 ... dcn dcn (4.199)

Bemerkung: Fur komplexe Zahlen x, y haben wir∫

dx dy e−xQy = (detQ)−1∫

dx dz e−xz ∼ (detQ)−1 . (4.200)

4.8.4 Eichfixierung

Im folgenden betrachten wir die Eichgruppe SU(N) mit den Eichfeldern Aaµ(x), a = 1, ..., N2−1. In Bezug auf die Eichinvarianz gibt es in der Pfadintegralformulierung ein Problem: Wirbetrachten das Eichfeld Aµ(x) = Aaµ(x)T

a. Der so genannte Orbit Aµ ist definiert als derSatz von Funktonen AUµ mit

AUµ = UAµU−1 − i

gU∂µU

−1 , (4.201)

wobei

U(x) = expiωa(x)T a ǫ SU(N) . (4.202)


Das bedeutet, daß der gesamte Eichfeldraum in Aquivalenzklassen AUµ zerlegt werden kann,mit Aµ als Reprasentant. Wir betrachten das Pfadintegral∫

DAµeiS (4.203)

mit

DA = ΠN2−1a=1 Π3

µ=0ΠxdAaµ(x) . (4.204)

Die Wirkung S ist unter lokalen Eichtransformationen invariant, d.h.

S[AUµ ] = S[Aµ] (4.205)

Und fur das Integrationsmaß haben wir (schematisch)∫

DA =

∫

DA∫

DU , (4.206)

so daß wir fur das Pfadintegral∫

DA eiS[A] =

∫

DA eiS[A]∫

DU (4.207)

erhalten. Letzteres ergibt ∞. Und den unendlichen Faktor zu vermeiden, schranken wir dieEichfreiheit ein. D.h. wir fuhren die Eichfixierungsbedingung F (A) = 0 ein.

Eichfixierung, Fadeev-Popov Trick

Wir wollen die Eichfixierungsbedingung F a(Abµ) = 0 in das Funktionalintegral einbauen, unddies auf eichinvariante Weise.Bemerkung: In nicht-Abelschen Eichtheorien sind die Coulomb-Eichung ~∇ ~Aaµ = 0 oder die

Euklidische Lorentz-Bedingung ∂Eµ AaµE = 0 nicht eindeutig fur “große” Eichfelder (d.h. Eich-

feldkonfigurationen jenseits der Storungstheorie). Dies bedeutet, daß ~∇ ~AU = 0 mehrere

Losungen U(x) fur ein gegebenes ~Aa jenseits der Storungstheorie hat. Dieses Phanomenheißt Gribov Ambiguitat.Mathematische Bemerkungen:

a) Das Funktionalintegral-Integrationsmaß DA ≡ Πx,a,µdAaµ(x) ist eichinvariant.

Beweis:

Wie betrachten die Eichtransformation Aµ → A′µ = UAµU−1 − i

gU∂µU

−1. Die Eichfelder

sind Aaµ = Tr(2T aAµ) und damit Aaµ → A′bµ = Tr(2T bA′µ). Das Integrationsmaß wird

DA′ = DA detx, x′

µ, νa, b

(

∂A′bµ

∂Aaν

)

(4.208)

und (Aµ = AaµTa)

∂A′bµ (x)

∂Aaν(x′)= Tr[2T bU(x)T aU−1(x)]δ(4)(x− x′)g ν

µ (4.209)


wobei U(x) = eiωs(x)T s. Wir verwenden die Formel

eiBT ae−iB = T a + i[B, T a] +i2

2[B, [B, T a]] + ... (4.210)

Mit eiB = U(x) haben wir

[B, T a] =∑

s

ωs[Ts, T a] = i

∑

s

fsacTcωs (4.211)

Und damit erhalten wir fur Glg. (4.209) mit Glg. (4.210)

δ(4)(x− x′)g νµ (δab + i2

∑

s

fsabωs + ...)

︸︷︷︸

Matrix δab+Cab

(4.212)

Wir verwenden die Formel

det(I + C) = expTr ln(I + C) = exp

( ∞∑

n=1

(−1)n+1

nTr(Cn)

)

(4.213)

Wir wenden dies auf Glg. (4.212) an und erhalten

det

(

∂A′bµ

∂Aaν

)

= 1 (4.214)

in der Gitter-Regularisierung. (Die Gitter-Regularisierung macht aus δ(4)(x−x′) das Kroneckerδx,x′.) Dies bedeutet, daß det(...) unabhangig von ωa(x) ist und damit auf die Invarianz vonDA fuhrt.

(Bemerkung: Es wurde auch ausreichen, die Invarianz von DA unter der infinitesimalenEichtransformation U(x) = I + iωs(x)T

s +O(ω2) zu zeigen.)

b) Invariante Gruppenintegration uber kompakte Gruppen G (= Haar Maß)

Sei gǫG eine kompakte Lie-Gruppe und f(g) eine Funktion von g. Fur kompakte Liegruppenexistiert ein invariantes Gruppenmaß (= Haar Maß) dg, fur das gilt∫

G

dg f( gg0︸︷︷︸

g′

) =

∫

G

dg′ f(g′) Rechtsinvarianz

∫

G

dg f( g0g︸︷︷︸

g′′

) =

∫

G

dg′′ f(g′′) Linksinvarianz (4.215)

fur beliebige g0 ǫG.

Eine Integration uber G entspricht einer Integration uber Gruppenparameter. Mit

G = g(ω)|ω = (ω1, ..., ωd(G)) ǫDcRd(G) (4.216)

und dem metrischen Tensor auf der Gruppe

Mij = Tr[g−1(∂ig)g−1(∂jg)] , (4.217)

wobei

∂ig =∂

∂ωig(ω) (4.218)

haben wir die explizite Formel


∫

G

dg f(g) = K

∫

D

Πd(G)j=1 dωj | detM |1/2f(g(ω)) (4.219)

in welcher die Normierungskonstante K durch die Forderung

1!=

∫

G

dg = K

∫

D

dω | detM |1/2 (4.220)

festgelegt wird. Beispiel:

U(1) = eiθ| − π ≤ θ ≤ π| detM |1/2 = |i2|1/2 = 1

∫

dgf(g) =1

2π

∫ π

−πdθ f(eiθ) (4.221)

Fadeev-Popov-Trick

Wir betrachten das Funktional

∆−1[A] ≡∫

DU δ(F [AU ]) (4.222)

wo DU = ΠxdU(x) das Gruppenmaß (links- und rechts-invariant, da U eine kompakte Grup-pe ist) ist. Das δ Funktional ist explizit Πx,aδ(F

a[AbUµ (x)]) und AUµ = UAµU−1 − i

gU∂µU

−1.

∆−1 ist eichinvariant

∆−1[AU ] =

∫

DU ′ δ(F [AUU′]) =

∫

D(UU ′)δ(F [AUU′])

=

∫

DU ′′δ(F [AU′′]) = ∆−1[A] (4.223)

Trick: Baue dies in das Pfadintegral ein. Wir haben

1 = ∆[A]

∫

DU δ(F [AU ]) (4.224)

und damit∫

DA eiS =

∫

DA ∆[A]

∫

DU δ(F [AU ])eiS . (4.225)

Wir fuhren eine Eichtransformation AUµ → Aµ durch und benutzen, daß DA, S[A],∆[A]eichinvariant sind, so daß wir∫

DA eiS =

∫

DA ∆[A]

∫

DU δ(F [A])eiS =

∫

DA ∆[A] δ(F [A]) eiS∫

DU (4.226)

erhalten und damit jetzt das Funktional Z =∫DAeiS definieren als (A→ A)

Z → Z =1

N

∫

DA ∆[A] δ(F [A])eiS (4.227)


Wir berechnen nun ∆−1[A]. Mit der Reskalierung des minimalen Eichtransformations-Parametersmit der Eichkopplung g, ωa → gωa, und U(x) = 1 + igωaT

a + O(ω2) und U−1 = 1 −igωa(x)T

a +O(ω2) erhalten wir

Aaµ(x)→ A′aµ (x) = Tr(2T aA′µ) = Aaµ + gfabcA

bµω

c − ∂µωa +O(ω2)(4.228)

Wir haben

DU = ΠxdU(x) = ΠxΠd(G)a=1 dωa(x)

√

| detM |K ≡ Dω (4.229)

und damit

∆−1[A] =

∫

Dω Πa,xδ(Fa[AU(ω)(x)]) (4.230)

was nach der Variablentransformation ωa(x)→ F a[AU(ω)] auf

=

∫

DFδ(F [AU ])

| det δF a

δωb |=∑

A

1

| det δF a[AU ]δωb |AU=A

(4.231)

fuhrt, wo A die Losung von F [AU ] = 0 ist fur gegebenes A. (Im allgemeinen gibt es mehrereLosungen fur F [AU ] = 0, Gribov Ambiguitat. Aber wir machen hier Storungstheorie.) Wirwollen Storungstheorie machen und schauen nur Fluktuationen um (die Feldkonfiguration)Aaµ = 0 an. Damit hat F a[AU ] = 0 eine eindeutige Losung und wir erhalten

=1

| det δFδω|~ω=0

(4.232)

so daß

∆[A] = | det δFa

δωb[AU ]|~ω=0 (4.233)

Dies wird genannt:

Fadeev-Popov-Determinante

∆[A] = | detx,y

Mab(x, y)| (4.234)

wobei

Mab(x, y) =δF a[Aω(x)]

δωb(y)|~ω=0 (4.235)

Es reicht aus, F a[AU ] fur infinitesimale Eichtransformationen auszuarbeiten. Fur die Berech-nung von Mab(x, y) benutzen wir, daß

δAaωµ(x)

δωb(y)= − (∂µδab + gfeabA

eµ(x))

︸︷︷︸

≡∆abµ

δ(4)(x− y) (4.236)

∆µ ist die kovariante Ableitung in der adjungierten Darstellung. Fur die kovariante Eichfi-xierungsbedingung F a[A] = ∂µAaµ = 0 finden wir

F a[Aω] = ∂µAaµω(x) = ∂µAaµ(x)− ∂µ(∆acµ ω

c(x)) (4.237)

Der erste Summand ist 0 aufgrund der Eichfixierungsbedingung. Und damit


Mab(x, y) =δF a[Aω(x)]

δωb(y)|~ω=0 = −∂µ∆ac

µ δcbδ(4)(x− y)

= −∂µ(∂µδab + gfcabAcµ(x))δ

(4)(x− y) (4.238)

Fur die Eichfixierungsbedingung F a[A] = 0 → F a[A] = Ba(x) (Ba sind Funktionen un-abhangig von A) haben wir die gleiche Fadeev-Popov Determinante wie fur den kovariantenEichfixierungsfall und damit das Funktional Z

Z ∼∫

DA ∆[A] δ(F [A]−B)eiS (4.239)

Eichinvariante Großen sind unabhangig von einem Wechsel der Eichfixierungsbedingung.Deshalb mitteln wir uber Ba(x) mit dem Gewichtungsfaktor

ρ =

∫

DB exp

(

− i

2ξ

∫

d4x∑

a

B2a(x)

)

ξǫR (4.240)

Dies andert lediglich den Normierungsfaktor. Wir benutzen, daß

det(Aij) =

∫

dc dc e−∑

ij ciAijcj (4.241)

wobei ci, cj = 0, ci Grassmann Variablen sind. Fur die Fadeev-Popov Determinante

∆[A] = | detx, ya, b

(−iM)| (4.242)

(der Faktor (−i) ist Konvention) haben wir dann

| det(−iM)| = const.

∫

DcDc exp

(

i

∫

d4x1 d4x2 ca(x1)Mab(x1, x2)cb(x2)

)

(4.243)

wobei

DcDc = Πx,adca(x) dca(x) (4.244)

und ca(x), ca(x) Grassmann-Felder sind. D.h.

ca(x), cb(y) = 0 ca(x), cb(y) = 0 ca(x), cb(y) = 0 . (4.245)

Die Felder ca, ca transformieren sich als skalare Felder unter Lorentz-Transformationen,d.h. sie sind antikommutierende Spin-0 Felder. Sie haben die falsche Statistik. Sie werdenFadeev-Popov Geistfelder genannt und sind pure Hilfsfelder. In der kovarianten Eichung∂µA

aµ = 0 haben wir Glg. (4.238) und nach partieller Integration

i

∫

d4x d4y ca(x)Mabcb(y) = i

∫

d4x ∂µca(x)(∂µδab + gfcabAcµ(x))cb(x) (4.246)

so daß das Funktional

Z ∼∫

DADcDc ei∫

d4x Leff (x) (4.247)


mit

Leff = Lclass(x) + Lgauge fix(x) + Lghost(x) (4.248)

= Lclass −1

2ξ(∂µA

aµ)2 + ∂µca(x)(∂µδab + gfcabAcµ)cb(x) (4.249)

Fassen wir zusammen: Wir haben fur das gesamte Wirkungsfunktional mit Fermionen

Z ∼∫

Dψ DψDADcDc exp i

∫

d4x [L+ LGF + LFP ] (4.250)

L = ubliche Lagrangedichte

LGF = Eichfixierung, LGF = − 1

2ξ(∂A)2 etc.

LFP = ∂c∆c fur Eichtheorien, nicht-Abelsche und nicht-lineare Eichfixierung

Propagatoren: Die Matrizen zwischen den Bilinearformen der Felder in der gesamten La-grangedichte hangen von der Eichung ab.

Beispiel:

LGF =−12ξ∂A · ∂A

Z ∼∫

DA exp i

∫

d4x d4y1

2Aaµ[∆

−1F (x− y)]abµνAbν

(∆−1F )abµν ≡ [∂2gµν − ∂µ∂ν +1

ξ∂µ∂ν ]δ4(x− y)δab

(∆F )abµν(q) =

dµνδabq2 + iǫ

dµν = −gµν + (1− ξ)qµqνq2

(4.251)

’t Hooft-Feynman Eichung:

Higgs Phanomen in SO(2):

L = −14F 2µν + (Dµφ)

†(Dµφ)− V (φ)

V (φ) =λ

4

(

φ2 − µ2

λ

)2

iDµ = i∂µ − gAµ . (4.252)

Mit φ = 1/√2(φ1 + v + iφ2) haben wir

L = −14F 2µν +

g2v2

2A2µ +

1

2(∂µφ2)

2 − 1

2(2λv2)φ2

1 +1

2(∂µφ1)

2

+gvAµ(∂µφ2) + 3er und 4er Kopplungen (4.253)

Eichfixierung: Die Eichfixierung ist so gewahlt, daß Ltot diagonal in den bilinearen Aus-

drucken ist (Eichfelder, Goldstonefelder). Es gibt also keine Ubergange zwischen Eich- undGoldstonefeld.

Lfix = −1

2ξ[∂µA

µ − ξmAφ2]2 mA = gv (4.254)


Die diagonalen Propagatoren sind:

Goldstone Feld:i

q2 − ξm2A

(4.255)

Eichfeld: i−gµν + (1− ξ) qµqν

q2−ξm2A

q2 −m2A

(4.256)

und

ξ →∞ : unitare Theorie (kein Goldstone-Beitrag)

ξ → 1 : Feynman Eichung (Goldstone Propagator ∼ mA Masse)

Renormierung maximal vereinfacht (4.257)

Geister: Kanzellieren die unphysikalischen longitudinalen Betrage in den Propagatoren derEichfelder

∆µνF =

i

q2 −m2A

[−gµν +qµqνq2

]− iξ

q2 − ξm2A

qµqνq2

=i

q2 −m2A

[−gµν +qµqνm2A

]− i

q2 − ξm2A

qµqνm2A

(4.258)

Die Eichfixierungslagrangedichte fur die GSW Theorie in der Rξ Eichung lautet:

LGF = −12[F 2γ + F 2

Z + 2F+F−] (4.259)

Fγ =1

ξ1/2γ

∂µAµ (4.260)

FZ =1

ξ1/2Z

[∂µZµ − ξZmZχ] (4.261)

F± =1

ξ1/2W

[∂µW±µ ∓ iξWmWφ

±] (4.262)

Die Propagatoren fur die Eichbosonen in der Rξ Eichung sind

i

k2 −m2V + iǫ

[−gµν + (1− ξV )kµkν

k2 − ξVm2V + iǫ

] fur V = W±, Z

−igµνk2 + iǫ

fur V = A . (4.263)

Die Goldstonepropagatoren sind

i

k2 − ξVm2V + iǫ

fur V =W,Z

i

k2 + iǫfur V = A . (4.264)


4.9 Wechselwirkungen

Wir gehen von der folgenden Lagrangedichte aus

L =1

2(∂µφ)(∂

µφ)− 1

2(m2 − iǫ)φ2 − g

n!φn(x) = L0 + LWW mit LWW = − g

n!φn(x) (4.265)

Das Vakuumfunktional kann geschrieben werden als

Z[J ] = N∫

Dφ exp

(i

~

∫

d4zLWW (φ(z))

)

exp

(i

~

∫

d4x[L0 + Jφ]

)

. (4.266)

Mit

~

i

δ

δJ(x1)...~

i

δ

δJ(xn)Z0[J ] = N

∫

Dφ φ(x1)...φ(xn) exp

(i

~

∫

d4x[L0 + Jφ]

)

(4.267)

erhalten wir:

Z[J ] = N∫

Dφ exp

(i

~

∫

d4zLWW

(~

i

δ

δJ(z)

))

exp

(i

~

∫

d4x[L0 + Jφ]

)

= N ′ exp(i

~

∫

d4xLWW

(~

i

δ

δJ(z)

))

Z0[J ] . (4.268)

N ′ ist gegeben durch Z[0] = 1. Damit ist die Meister(innen)formel der Storungsrechnung

Z[J ] =exp

(i~

∫d4z LWW

(~

iδ

δJ(z)

))

Z0[J ]

exp(i~

∫d4z LWW

(~

iδ

δJ(z)

))

Z0[J ]∣∣∣J=0

(4.269)

Fur wechselwirkende n-Punkt-Funktionen haben wir dann

〈0|T [φ(x1)...φ(xn)]|0〉WW =

~

iδ

δJ(x1)...~

iδ

δJ(xn)exp

(i~

∫d4z LWW

(~

iδ

δJ(z)

))

Z0[J ]∣∣∣J=0

exp(i~

∫d4z LWW

(~

iδ

δJ(z)

))

Z0[J ]∣∣∣J=0

(4.270)

Der Nenner beschreibt die Vakuumgraphen, die herausdividiert werden.

4.9.1 φ4 Theory

Wir werten Glg. (4.269) bis zur Ordnung λ aus fur (ab jetzt wieder ~ ≡ 1)

LWW = − λ4!φ4 . (4.271)

Fur den Zahler Z haben wir

Z =

[

1− iλ

4!

∫

d4z

(1

i

δ

δJ(z)

)4

+O(λ2)]

exp

(

− i2

∫

d4xd4yJ(x)∆F (x− y)J(y))

︸︷︷︸

Z0[J ]

.(4.272)


Nebenrechnung:

(1) 1i

δδJ(z)Z0[J ] = −

∫d4xJ(x)∆F (z − x)Z0[J ]

(2) 1i2

δ2

δJ(z)δJ(z)Z0[J ] =

i∆F (0) +[∫d4x∆F (z − x)J(x)

]2

Z0[J ]

(3)(

1i

δδJ(z)

)3

Z0[J ] =

−3i∆F (0)∫d4x∆F (z − x)J(x)−

[∫d4xJ(x)∆F (z − x)

]3

Z0[J ]

(4)(

1i

δδJ(z)

)4

Z0[J ] =

−3[∆F (0)]2 + 6i∆F (0)

[∫d4x∆F (z − x)J(x)

]2

+[∫d4x∆F (z − x)J(x)

]4

Z0[J ] .

Darstellung im Diagramm:

(1

i

δ

δJ(z)

)4

Z0[J ] =

−3 Vakuumdiagramm-Bild1 ) + 6i

∫

d4x1d4x2 Bild2 +

∫

Π4j=1d

4xj Bild3

+Oλ2

Z0[J ] . (4.273)

Der Nenner N :

N = Z|J=0 = 1− iλ

4!

∫

d4z(−3 Vakuumdiagramm +O(λ2) . (4.274)

Damit ist

Z[J ] =Zahler

Nenner= Zahler

(

1 +iλ

4!

∫

d4z(−3 Vakuumdiagramm ) +O(λ2))

=

1− iλ

4!

∫

d4z

(

6i

∫

d4x1d4x2 Bild +

∫

Π4j=1d

4xj Bild

)

+O(λ2)

Z0[J ] .

(4.275)

Das heißt, Vakuumdiagramme treten in normierten Z[J ] nicht auf. Dies gilt in allen Ord-nungen der Storungstheorie. Fur die 4-Punkt-Funktion

〈0|T [φ(x1)φ(x2)φ(x3)φ(x4)]|0〉|WW (4.276)

bekommen wir mit Glg. (4.270) und (4.138) dann

= τ(x1x2)τ(x3x4) + τ(x1x3)τ(x2x4) + τ(x1x4)τ(x2x3) + τc(x1, x2, x3, x4) . (4.277)


Dabei bezeichnet τc zusammenhangende Greenfunktionen. Gesucht ist ein Erzeugenden-Funktional W [J ] fur zusammenhangende Greenfunktionen τc(x1, ..., xn). Dieses ist gegebendurch

Z[J ] = exp(iW [J ]) . (4.278)

Dies sieht man folgendermaßen. Wegen Z[0] = 1 ist W [0] = 0. Und fur die Ableitungenhaben wir

1

i

δ

δJ(x1)Z =

δW

δJ(x1)exp(iW )⇒ δW

δJ(x)

∣∣∣∣J=0

= 0 (4.279)

1

i2δ

δJ(x1)

δ

δJ(x2)Z =

δW

δJ(x1)

δW

δJ(x2)exp(iW )− i δ2W

δJ(x1)δJ(x2)exp(iW ) . (4.280)

Fur J = 0 gilt:

δ2W

δJ(x1)δJ(x2)

∣∣∣∣J=0

= iτ(x1, x2) (4.281)

1

i4δ4

δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3)δJ(x4)Z∣∣∣∣J=0

= τ(x1, x3)τ(x2, x4) + τ(x1, x4)τ(x2, x3)

+τ(x1, x2)τ(x3, x4)

+(−i) 1i2

δ4W

δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3)δJ(x4)(4.282)

Und damit

iδ4W

δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3)δJ(x4)

∣∣∣∣J=0

= τc(x1, x2, x3, x4) . (4.283)

Somit erzeugt W [J ] = −i lnZ[J ] die zusammenhangenden Greenfunktionen.

4.10 Fermifelder

Mit der kanonischen Feldquantisierung der Diracfeldoperatoren

ψ(x) , ˆψ(x) = ψ†γ0 , (4.284)


muß man, damit sich die Fermistatistik ergibt, die Antivertauschungsregeln postulieren,

ψr(x), ψs(y) = ˆψr(x), ˆψs(y) = 0

ψr(x), ˆψs(y)x0=y0 = δrsδ(3)(~x− ~y) . (4.285)

In der Funktionalintegralquantisierung benotigen wir, da es kein c-Zahl-Aquivalent zu ψ, ˆψgibt, Grassmann-Variablen.

Wir hatten fur die Grassmann-Variablen ci, ci (i = 1, ..., n) gesehen∫

dc dc e−∑

ij ciAijcj = detA

dc dc ≡ dc1 dc1 ... dcn dcn . (4.286)

Um Fermifelder zu beschreiben, machen wir nun den Ubergang zur unendlich-dimensionalenGrassmann-Algebra

ci → ψ(x) = ψr(x) , r = Spinor-Index . (4.287)

Hier ist ψ(x) ein Grassmann-”Feld”, d.h. eine Grassmann-Variable mit kontinuierlichemIndex x ∈M4. Es gilt die Grassmann-Algebra

ψr(x), ψs(y) = 0 (4.288)

und

δ

δψs(y)ψr(x) = δrsδ

(4)(x− y) ,∫

dψr(x) = 0 ,

∫

dψr(x)ψs(x) = δrs . (4.289)

Wir benotigen noch das unabhangige Grassmann-Feld ψ(x) = ψr(x). Es gilt die Algebra

ψr(x), ψs(y) = ψr(x), ψs(y) = 0 . (4.290)

Die Differentiation und Integration sind analog zum Fall ψ(x).

Die Lagrangedichte fur die freie Diractheorie lautet

L0 = iψ(x)γµ∂µψ(x)−mψ(x)ψ(x)= ψ[iγµ∂µ −m]ψ . (4.291)

Wir schreiben ein normiertes erzeugendes Funktional analog zum skalaren Feld. Dazu fuhrenwir die Grassmann-Felder η = ηr(x) und η = ηs(x) ein, welche als Quellen fur die Felderψr(x) bzw. ψs(x) dienen. Damit haben wir fur das normierte erzeugende Funktional

Z0[η, η] =1

N

∫

DψDψ exp

(

i

∫

d4x[L0 + η(x)ψ(x) + ψ(x)η(x)]

)

, (4.292)

wobei

N =

∫

DψDψ exp

(

i

∫

d4xL0(x)

)

(4.293)

und

DψDψ = ΠxΠ4r=1dψr(x)dψr(x) . (4.294)


Die Greenfunktionen sind gegeben durch

〈0|T [ψr1(x1)...ψrn(x)ˆψs1(y1)... ˆψsn(yn)]|0〉 =∣∣∣∣

1

in

(1

−i

)nδ2nZ0[η, η]

δηr1(x1)...δηsn(yn)

∣∣∣∣η=η=0

. (4.295)

Die Faktoren 1/(−i) treten deswegen auf, weil

δ

δηsi(yi)ψr(x)ηr(x) = −ψr(x)

δ

δηsi(yi)ηr(x) = −ψsi(yi) . (4.296)

Beachte weiter, daß

δ2

δη(x)δη(y)= − δ2

δη(y)δη(x). (4.297)

Wir suchen nach einer Formel Z0 analog zum skalaren Fall. Wir fuhren die folgende Notationein

S−1F ≡ iγµ∂µ −m . (4.298)

Dann

(iγµ∂µx −m)rr1SF r1s(x− y) = δrsδ

(4)(x− y) , (4.299)

wobei Sf(x− y) der Feynman-Propagator fur ein freies Diracfermion ist. Wir haben

SF (x− y) =∫

d4k

(2π)4k/+m

k2 −m2 + iǫe−ik(x−y) . (4.300)

Außerdem gilt die Darstellung

SF (x− y) = (iγ · ∂x +m)∆F (x− y) . (4.301)

Wir schreiben deshalb Glg. (4.292) als

Z0[η, η] =1

N

∫

DψDψei∫

d4xQ , (4.302)

wobei

Q = ψS−1F ψ︸︷︷︸

L0

+ηψ + ψη . (4.303)

Es ist

Q = Q0 + (ψ − ψ0)S−1F (ψ − ψ0) , (4.304)

wobei

Q0 = −ηSFη = −η(x)∫

d4zSF (x− z)η(z) (4.305)

ψ0 = −SFη = −∫

d4zSF (x− z)η(z) (4.306)

ψ0 = −ηSF = −∫

d4zη(z)SF (z − x) . (4.307)


Damit also

Z0[η, η] =1

N exp

(

−i∫

d4x d4z η(x)SF (x− z)η(z))

∫

DψDψ exp

(

i

∫

d4x d4z (ψ − ψ0)S−1F (ψ − ψ0)

)

. (4.308)

Wir fuhren eine Feldtransformation durch:

ψ′(x) = ψ(x)− ψ0(x) und ψ′(x) = ψ(x)− ψ0(x) . (4.309)

Es ist

Dψ′Dψ′ = DψDψ . (4.310)

Wir wenden Glg. (4.286) auf das 2. Integral an und erhalten

det(−iS−1F ) = det[−i(iγ · ∂ −m)] . (4.311)

Damit haben wir

N = det(−iS−1F ) (4.312)

und also fur das normierte erzeugende Funktional

Z0[η, η] = e−i∫

d4xd4yη(x)SF (x−y)η(y) . (4.313)

Check:

〈0|T [ψ(x)ˆψ(y)]|0〉 =−1i2

δ2Z0

δη(x)δη(y)

∣∣∣∣η=η=0

=δ2

δη(x)δη(y)

1− i∫

d4z1 d4z2 η(z1)SF (z1 − z2)η(z2) + ...

∣∣∣∣η=η=0

= iSF (x− y) . (4.314)

4.10.1 Erzeugendes Funktional fur wechselwirkende Feldtheorien

Wir betrachten eine wechselwirkende Feldtheorie fur ein hermitesches skalares Feld und einDiracfeld. Die klassische Lagrangedichte sei von der Form

L = L0(Φ) + L0(ψ, ψ) + LI(ψ, ψ,Φ) , (4.315)

wobei der Index 0 die freien Lagrangedichten bezeichnet und der Index I fur interaction, d.h.Wechselwirkung steht. Ein Beispiel fur eine Wechselwirkung ist die Yukawa-Wechselwirkung

LI = −hψψΦ , (4.316)

wobei h die Yukawa-Kopplung bezeichnet. Bemerkung: Bei Diracfermionen enthalt LI diegleiche Zahl von ψ und ψ, da sonst die wechselwirkende Lagrangedichte die Ladungserhaltungverletzen wurde. Wir konnen eine Formel fur das erzeugende Funktional der obigen Theorieherleiten, indem wir in LI die folgenden Ersetzungen machen:

ψ(z)→ −1i

δ

δη(z), ψ(z)→ 1

i

δ

δη(z), Φ(z)→ 1

i

δ

δJ(z). (4.317)

Damit erhalten wir die Meister(innen)formel der funktionalen Storungsrechnung

Z[J, η, η] =exp

(

i∫d4z LI

(

−1i

δδη(z)

, 1i

δδη(z)

, 1i

δδJ(z)

))

Z0[J ]Z0[η, η]

exp(

i∫d4z LI

(1i

δδη(z)

, 1i

δδη(z)

, 1i

δδJ(z)

))

Z0[J ]Z0[η, η]∣∣∣J=η=η=0

. (4.318)


4.11 Nicht-abelsche Eichtheorien

Im folgenden betrachten wir die Eichgruppe SU(N), d.h. wir haben die Eichfelder Aaµ(x)(a = 1, ..., N2 − 1) und ein Diracfeld ψj(x) (j = 1, ..., N) in der Fundamentaldarstellung Fbzw. ψj(x) in der Darstellung F . Die Felder transformieren sich gemaß

Aµ → A′µ = UAµU−1 − i

gU∂µU

−1 (4.319)

ψ → ψ′(x) = U(x)ψ(x) (4.320)

ψ → ψ′(x) = ψ(x)U †(x) , (4.321)

wobei

U(x) = exp iωa(x)Ta ∈ SU(N) . (4.322)

Die Generatoren der Gruppe SU(N) sind durch T a bezeichnet. Die klassische Lagrangedichteist gegeben durch

L(x) = −14F aµν(x)F

µνa(x) + ψ(x)(iγµDµ −m)ψ(x) . (4.323)

Dabei ist F µν der Feldstarkentensor, Dµ die kovariante Ableitung und m die Masse desFermions. Wir haben den Fadeev-Popov-Trick kennengelernt, mit dem wir das Problem derEichinvarianz bei der Pfadintegralquantisierung in den Griff bekommen konnen. Damit wirddie Eichfixierungsbedingung in die Lagrangedichte implementiert. Ferner treten die Fadeev-Popov-Geister auf, die reine Hilfsfelder sind. Es handelt sich hier um skalare Felder, die aberder Fermistatistik unterliegen. Ferner haben wir gesehen, wie der Pfadintegralformalismusfur Fermifelder aussieht. Damit konnen wir schlußendlich das erzeugende Funktional furnicht-abelsche Eichtheorien aufschreiben. Dieses ist proportional zu

Z ∼∫

DADψDψDcDc ei∫

d4xLeff (x) . (4.324)

Dabei ist Leff in der kovarianten Eichung gegeben durch

Leff = Lklass(x) + LEichfix(x) + LGeist(x)= −1

4F aµνF

aµν + ψl(iγµDµlj −mδlj)ψj −

1

2ξ(∂µA

aµ)2

+∂µca(x)(∂µδab + gfcabAcµ)cb(x) . (4.325)

Fur die Berechnung von Greenfunktionen fuhren wir Quellen ein:

Aaµ(x) ↔ Jaµ(x) reelle Funktion (4.326)

ψsj (x) ↔ ηsj(x) Grassmann-Variable (4.327)

ψsj (x) ↔ ηsj(x) Grassmann-Variable . (4.328)

Aus mathematischen Grunden fuhren wir auch Quellen fur die Geistfelder ein:

ca(x) ↔ ζa(x) Grassmann-Variable (4.329)

ca(x) ↔ ζa(x) Grassmann-Variable . (4.330)


Damit erhalten wir fur das normierte erzeugende Funktional

Z0[J, η, η, ζ, ζ] =1

N

∫

DADψDψDcDc ei∫

d4xLeff+AµJµ+ψη+ηψ+cζ+ζc , (4.331)

wobei

N = ZahlerJ=η=η=ζ=ζ=0 . (4.332)

Die Greenfunktionen sind gegeben durch

〈0|T [Aaµ(x)...ψsj (y)... ˆψrl(z)...cb(u)...ˆcd(v)]|0〉 (4.333)

=1

i

δ

δJaµ(x)...1

i

δ

ηsj (y)...

1

−iδ

ηrl(z)...1

i

δ

δζb(u)...

1

−iδ

δζd(v)Z|Quellen=0

. (4.334)

Das erzeugende Funktional fur zusammenhangende Greenfunktionen ist gegeben durch

W [J, η, η, ζ, ζ] =1

ilnZ[J, η, η, ζ, ζ] . (4.335)

Beispiel: Wir betrachten die abelsche U(1)-Eichtheorie mit kovarianter Eichung,

∂µAµ = 0 . (4.336)

Damit haben wir, da fabc = 0,

Mab(x, y) = −∂µ∂µδ(4)(x− y) . (4.337)

Das erzeugende Funktional fur physikalische Greenfunktionen ist dann

Z[J, η, η] =

∫

DADψDψ ei∫

d4x Lklass− 12ξ

(∂µAµ)2+JA+ψη+ηψ

⋆

∫

DcDc ei∫

d4x∂µ c∂µc (4.338)

⋆

∫

DADψDψ ei∫

d4x Lklass− 12ξ

(∂µAµ)2∫

DcDc ei∫

d4x∂µ c∂µc

−1.

Da es keine Geist-Photon-Wechselwirkung gibt, faktorisiert der Geistanteil und kurzt sichgegen den Nenner raus. Wahlt man allerdings eine nichtlineare Eichfixierungsbedingung,dann gibt es auch im abelschen Fall Geister.

Nicht-abelsche Eichtheorie: Axiale Eichungen:

F [Aaµ] = nµAaµ = 0 , (4.339)

wobei

nµ = konst. 4− er Vektor oft nµ = (0, 0, 0, 1) . (4.340)

Damit ist die Fadeev-Popov-Determinante ∆ unabhangig von Aaµ und der Geistanteil imZahler von Z kurzt sich gegen den im Nenner raus. Allerdings liefert diese Eichung einenkomplizierten Eichfeldpropagator.


4.11.1 Greenfunktion in der Storungstheorie

Wir benutzen im folgenden die kovariante Eichfixierung. Wir zerlegen die Wirkung, d.h.

S =

∫

d4xLeff =∫

d4xL0 +

∫

d4xLI . (4.341)

Dabei ist mit

F aµν = ∂µA

aν − ∂νAaµ − gfabcAbµAcν (4.342)

und nach partieller Integration

L0 =1

2Aaµ

(

gµν∂2 −(

1− 1

ξ

)

∂µ∂ν)

Aaν + ψl(i∂/−m)ψl − ca∂2ca (4.343)

und

LI = LI(A, ψ, ψ, c, c)

=g

2fabc(∂

µAνa − ∂νAµa)AbµAcν −g2

4fabefcdeA

aµAbνAcµAdν + gfabc(∂µca)cbA

cµ

−gψjT ajlγµψlAaµ , j, l Farbindizes . (4.344)

Unter der Annahme, daß die Kopplung g klein ist, konnen wir eiS entwickeln. und erhalten

ei∫

d4x (Leff+ Quellterme ) =

1 + i

∫

d4xLI(x) +i2

2

(∫

d4z LI(z))2

+ ...

ei∫

d4x (L0+ Quellterme ) . (4.345)

Und somit haben wir die Meister(innen)formel der funktionalen Storungstheorie

Z[J, η, η, ζ, ζ] = ei∫

d4z LI(1i

δδJ,− 1

iδδη, 1i

δδη, 1−i

δδζ, 1i

δδζ

)Z0[J, η, η, ζ, ζ]

Zahler|Quellen=0

. (4.346)

Dabei ist das normierte erzeugende Funktional der freien Theorie gegeben durch

Z0 =

∫DADψDψDcDc ei

∫

d4x L0(x)+JA+ψη+ηψ+ζc+cζ

Zahler|Quellen=0

= e−i∫

d4xd4y 12Jµa (x)D

abFµν(x,y)J

νb (y)+ηrl(x)S

ljFrs(x−y)ηsj (y)+ζa(x)∆ab

F (x−y,m=0)ζb(y) , (4.347)

mit der kausalen Greenfunktion DFµν , fur die gilt(

∂2gµα −(

1− 1

ξ

)

∂µ∂α

)

x

δacDcbανF (x− y) = δabδ

(4)(x− y)gµν

DabF µν(x− y) = lim

ǫ→0+

∫d4k

(2π)4e−ik(x−y)

[

− gµνk2 + iǫ

+ (1− ξ) kµkν(k2 + iǫ)2

]

δab . (4.348)

Wir haben folgende Eichparameter:

ξ = 1 : Feynman-Eichungξ = 0 : Landau-Eichung .

(4.349)


Fur den Geistpropagator haben wir

δac∂2∆cb

F (x− y,m = 0) = −δabδ(4)(x− y) ⇒

∆abF (x− y) = lim

ǫ→0

∫d4k

(2π)4δab

k2 + iǫe−ik(x−y) . (4.350)

Und fur den Fermionpropagator

(iγµ∂µ −m)rs′δjl′Sl′lF s′s(x− y) = δjlδrsδ

(4)(x− y) ⇒

SljF rs(x− y) = limǫ→0

∫d4k

(2π)4(k/+m)rsδljk2 −m2 + iǫ

e−ik(x−y) . (4.351)

Check: Die 2-Punkt-Funktion der freien Theorie ist gegeben durch

〈0|T [Aaµ(x)Abν(y)]|0〉frei =1

i2δ2Z0

δJaµ(x)δJ bν(y)

∣∣∣∣Quellen=0

= iDabF µν(x− y) (4.352)

〈0|T [ψrj(x)ˆψsl(y)]|0〉frei = iSljF rs(x− y) (4.353)

〈0|T [ca(x)ˆcb(y)]|0〉frei = i∆abF (x− y,m = 0) . (4.354)

Im folgenden wird beschrieben, wie ein T-Matrixelement Tfi berechnet wird. Wir betrachtenhierfur den Prozess i→ f bis zur Ordnung gn. Wir haben

〈f |(S − I)|i〉 = iTfi(2π)4δ(4)(pf − pi) . (4.355)

Die Vorgehensweise ist

1. Bestimme das Funktional Z bzw. W bis zur Ordnung gn.

2. Bestimme die dem Prozess entsprechende Greenfunktion

Ga...l...jzush.µ...r...s(x1, ..., xn) = 〈0|T [Aaµ(x), ..., ψrl, ..., ψsj]|0〉zus.hangend (4.356)

durch funktionale Differentiation von W .

3. Amputieren, d.h. mit inversen freien Propagatoren multiplizieren. BILDLiefert

Gzus.hangend,amputiert(x1, ..., xn) . (4.357)

4. Fouriertransformation

G(p1, ..., pn)(2π)4δ(pf − pi) =

∫

Πnj=1d

4xje−i∑ pjx

j

G(xj) . (4.358)

5. Mit externen Wellenfunktionen multiplizieren und on-shell gehen.

⇒ iTfi = limp2j→m2

j

Gtrunc . (4.359)


4.12 Die Feynmanregeln der Quantenchromodynamik

Wir haben Quarks q mit Spinorindex r = 1, ..., 4 und Farbindex l = 1, ..., 3, qrl(x). Quarkssind Tripletts bezuglich der SU(3). Wir haben Gluonen G mit Lorentzindex µ = 1, ..., 4 undFarbindex a = 1, ..., 8, Gµ(x). Es handelt sich um masselose Spin-1-Felder. Die Fourierzerle-gung ist gegeben durch

Gaµ(x) =

∫d3k

2k0(2π)4

∑

λ

eikxǫ∗aµ (λ)αa†(k, λ) + e−ikxǫaµ(λ)αa(k, λ) , (4.360)

wobei ǫµ der Polarisationsvektor ist und λ = 1, ..., 4 den Polarisationsindex bezeichnet. Beiα(†) handelt es sich um den Vernichter (Erzeuger). Die Polarisationsindizes λ = 1, 2 bezeich-nen physikalische, die Indizes 3,4 unphysikalische Polarisationszustande. Fur die Erzeugerund Vernichter gilt

[αa(k, λ), α†b(k′, λ′)] = −(2π)3 2k0 gλλ′δabδ(3)(~k − ~k′) . (4.361)

Die Polarisationssumme ist gegeben durch

∑

physikal. Pol. λ=1,2

ǫ∗aµ (k, λ)ǫbν(k, λ) = δab

(

−gµν +kµkν + kµkν

kk

)

, (4.362)

wobei k = (k0, ~k) und k = (k0,−~k). Aufgrund der Erhaltung des Fermionstromes hatten wirin der Quantenelektrodynamik (QED)

∑

physikal. Pol. λ=1,2

ǫ∗µ(k, λ)ǫν(k, λ) = −gµν fur QED . (4.363)

In der QCD gilt diese Regel aber nicht mehr. Fur die Geistfelder haben wir die Fourierzer-legung

ca(x) =

∫d3k

2k0(2π)3[fa(k)e−ikx + d†a(k)eikx

], (4.364)

wobei fa(k) (d†a) einen Geist vernichtet (erzeugt) und a = 1, ..., 8. Fur die Quark- undAntiquark-Spinoren gilt (s, s′ Spinorindizes, l Farbindex)

(p/−m)ss′uls′(p, r) = 0 (4.365)

(p/+m)ss′vls′(p, r) = 0 wobei r = ±12. (4.366)

Sie sind normiert auf (r, r′ Spinindizes, l, j Farbindizes)

ul(p, r) · uj(p, r′) = 2mδrr′δlj (4.367)

vl(p, r) · vj(p, r′) = −2mδrr′δlj , l, j = 1, 2, 3 r, r′ = ±12. (4.368)

Ferner gilt∑

r=±1/2uls(p, r)ujs′(p, r) = δlj(p/+m)ss′ (4.369)

∑

r=±1/2vls(p, r)vjs′(p, r) = δlj(p/−m)ss′ . (4.370)


3-Gluon-Vertex: Als Beispiel leiten wir den 3-Gluon-Vertex her. Die Vorgehensweise wurde imvorigen Abschnitt 4.11.1 beschrieben. Wir betrachten in der WechselwirkungslagrangedichteLI (siehe Glg. (4.344)) nur den 3-Gluon-Anteil L3G und bestimmen den relevanten Anteilvon Z bis zur Ordnung g. Also

ei∫

d4xL3G = 1 + i

∫

d4xL3G +O(g2) . (4.371)

Und damit

Zrelevant =[

1 + i

∫

d4xL3G

(1

i

δ

δJaµ(x)

)

+ ...

]

Z0G[J ] . (4.372)

Mit

Z0G[J ] = e−i2

∫

d4x1 d4x2 Jaµ(x1)DabFµν(x1−x2)Jνb(x2) (4.373)

haben wir fur

i

∫

d4xL3G

(1

i

δ

δJaµ(x)

)

Z0G[J ]

= ig

2fabc

∫

d4x

(

∂µ1

i

δ

δJaν(x)− ∂ν

1

i

δ

δJaµ(x)

)1

i

δ

δJ bµ(x)

1

i

δ

δJcν(x)Z0G[J ]

= −ig2fabc

∫

d4x d4y1 d4y2 d

4y3∂xµD

aa1νρ1

(x− y1)− ∂xνDaa1µρ1

(x− y1)

Dba2 µρ2

(x− y2)Dca3 νρ3

(x− y3) Ja1ρ1(y1)Ja2ρ2(y2)Ja3ρ3(y3)Z0G[J ]

+ Terme mit 6= 3J ′s . (4.374)

Wir betrachtenW = 1/i lnZ. Durch Differentiation vonW erhalten wir die zusammenhangende3-Punkt-Greenfunktion. Also

Gconn. a1a2a33Gµ1µ2µ3

=1

i

1

i3δ3

δJ3lnZ|J=0

=1

i

1

i3δ3

δJa1µ1(x1)Ja2µ2(x2)Ja3µ3(x3)Zrelevant|J=0 . (4.375)

Die Differentiation ergibt 6 Terme,


(x1, x2, x3)

= −igfabc∫

d4x∂xµD

aa1νµ1

(x− x1)− ∂xνDaa1µµ1

(x− x1)Dba2 µµ2

(x− x2)Dca3 νµ3

(x− x3)

+ (123)↔ (231)+ (123)↔ (312) . (4.376)

Mit der Fouriertransformierten

Dabµν(x) = δab

∫d4k

(2π)4e−ikx

k2 + iǫ

[

−gµν + (1− ξ) kµkνk2 + iǫ

]

︸︷︷︸

dµν (k)

(4.377)


erhalten wir


(xi) = i

∫d4k1(2π)4

d4k2(2π)4

d4k3(2π)4

δ(4)(k1 + k2 + k3)ei(k1x1+k2x2+k3x3)

dµ1ν1(k1)dµ2ν2(k2)dµ3ν3(k3)

k21k22k

23

gfa1a2a3(k1 − k2)ν3gν1ν2︸︷︷︸

+(k2 − k3)ν1gν2ν3 + (k3 − k1)ν2gν1ν3︸︷︷︸

G(ki)

. (4.378)

Die trunkierte 3-Punkt-Funktion erhalt man, indem man 3-mal den Gluonpropagator

iDµν(k) =idµν(k)

k2 + iǫ(4.379)

abspaltet. Damit erhalt man

Gtrunc a1a2a33Gµ1µ2µ3

(ki) = −gfa1a2a3(k1 − k2)µ3gµ1µ2 + (k2 − k3)µ1gµ2µ3 + (k3 − k1)µ2gµ1µ3 ,(4.380)

wobei alle Impulse einlaufend sind und am Vertex 4-er Impulserhaltung∑

ki= 0 gilt. Der

Vertex ist bosesymmetrisch unter Vertauschung von (µi, ai, ki) ↔ (µj , aj, kj). Analog leitetman die Feynmanregel fur den 4-Gluon-Vertex ab. Zusammenfassend sind die Feynmanregeln


der QCD

u(p) Quark im Anfangszustand

u(p) Quark im Endzstand

v(p) Antiquark im Anfangszustand

v(p) Antiquark im Endzustand

1 Geist im Anfangs- oder Antigeist im Endzustand

1 Geist im End- oder Antigeist im Anfangszustand

ǫµ,a Gluon im Anfangszustand

ǫ∗µ,a Gluon im Endzustand

δab[−gµν + (1− ξ) pµpνp2+iǫ

] ip2+iǫ

δab i(p2+iǫ)

δlj i(p/−m+iǫ)sr

−gsfabc[(p− q)ρgµν + (q − r)µgνρ + (r − p)νgρµ]3-Gluon-Vertex [alle Impulse einlaufend, p+ q + r = 0]

−ig2sfxacfxbd[gµνgρσ − gµσgνρ]−ig2sfxadfxbc[gµνgρσ − gµρgνσ]−ig2sfxabfxcd[gµρgνσ − gµσgνρ]4-Gluon-Vertex [alle Impulse einlaufend,Summe aller vier Impulse = 0]

(4.381)

gsfabcqµ

Geist-Geist-Gluon-Vertex, Impulse p, k von Gluon und Geisteinlaufend, Impuls q von Geist auslaufend

−igs(ta)jlγµQuark-Quark-Gluon-Vertex, Impulse p, k von Quark undGluon einkommend, Impuls q von Quark auslaufendl, j Farbindex des einlaufenden Quarks, des auslaufenden Quarks

(4.382)


Bemerkungen: Fur jede geschlossene Fermion- und jede Geistschleife muß ein Faktor (-1) hin-zugefugt werden. Bei geschlossenen Gluon-Schleifen muß ein Statistikfaktor hinzugefugt wer-den. Diesen erhalt man, indem man alle moglichen Konktraktionen von Feldoperatoren inder Storungsentwicklung zahlt. (BILD)

Kapitel 5

Renormierung

Bisher haben wir nur Diagramme auf Baumgraphenniveau (Born Approximation) betrachtet.Es stellt sich die Frage, ob die Quantisierung nicht-abelscher Eichtheorien und die Entwick-lung der Feynmanregeln noch konsistent ist, wenn wir dies auf Diagramme anwenden, diegeschlossene Schleifen enthalten, d.h. wenn wir die Theorie jenseits der Bornapproximationbetrachten.

Es zeigt sich, daß in manchen Schleifenintegralen (BILD) ultraviolette (UV) Divergenzenauftreten. D.h., diese Diagramme haben Divergenzen fur den Schleifenimpuls |l| → ∞, i.e.|l0| → ∞ (Energie). Dieses Problem wird durch die Renormierung gelost, was nichts ande-res ist als eine Subtraktionsvorschrift fur divergente Amplituden. Wir veranschaulichen diesmehr, indem wir die folgenden Diagramme betrachten.

(i) Die Selbstenergie fuhrt zu einer Anderung der Masse.(ii) Die vorubergehende Spaltung fuhrt zu einer Anderung der Wellenfunktions-Normierungund der Kopplung des Teilchens.Die Masse eines Teilchens wird aber durch die Experimente festgelegt, die an einer Skala µdefiniert sind [physikalische Ergebnisse sind unabhangig von der Skala µ ← Renormierungs-gruppengleichungen].Renormierung bedeutet also anzugeben, mit welcher Vorschrift die Parameter gemessen wer-den. Dies ist eine Konsequenz der Quantenfluktuationen.Renormierung bedeutet anschaulich folgendes: Betrachten wir die Photon-Elektron-Positron-Wechselwirkung. In Wirklichkeit mißt man den vollen Vertex, d.h. den Baumgraphenvertexplus alle Diagramme hoherer Ordnung. Eine mogliche Renormierungsvorschrift ist, daß dieelektrische Ladung definiert ist als die volle Elektron-Positron-Photon-Kopplung fur on-shellTeilchen (also Teilchen auf der Massenschale) im Thomson Limes. BILD

Wir bezeichnen die klassischen Parameter in der Lagrangedichte mit m0, g0, φ0, so daß wirL(φ0;m0, g0) haben. Diese werden nackte Parameter genannt.Die renormierten Parameter φR, mR, gR stehen zu den nackten Parametern in Beziehung

81

82 Renormierung

uber

m0 = mR + δm

g0 = ZggR = [1 + δZg]gR

φ0 = Z1/2φ φR = [1 + δZφ]

1/2φR , (5.1)

wobei Zi dimensionslose Renormierungskonstanten sind. Die quantenmechanische Lagrange-dichte kann geschrieben werden als

L(φ0;m0, g0) = L(Z1/2φ φR;mR + δm, ZggR)

= LR(φR;mR, gR) + Lcounter . (5.2)

Letztere ist die sogenannte Gegenterm (counterterm) Lagrangedichte. Die Feynmandiagram-me werden mit den Feynmanregeln berechnet, die sich aus der renormierten und der coun-terterm Lagrangedichte ergeben. Der kinetische Teil fur das Feld φ sieht beispielsweise fol-gendermaßen aus:

1

2∂µφ0∂

µφ0 =1

2Zφ∂µφR∂

µφR

=1

2∂µφR∂

µφR +1

2(Zφ − 1)∂µφR∂

µφR ≡ LkinR + Lkincounter . (5.3)

Weitere Bemerkungen: Bevor wir ins Detail gehen, sind weitere Bemerkungen angebracht:Eine Theorie wird renormierbar genannt, wenn die auftretenden UV Divergenzen, Unendlich-keiten oder anscheinend nicht Sinn ergebenden Ergebnisse durch den Prozess der Renormie-rung behoben werden konnen. Das bedeutet, daß die Anzahl der “unabhangigen Typen” vonUV Unendlichkeiten endlich sein muß. Und indem sie gleich den gemessenen Werten gesetztwerden, konnen die Ergebnisse aller anderen Experimente vorhergesagt werden. Der Beweisder Renormierbarkeit einer Theorie ist hochst nicht-trivial. Es waren ’t Hooft und Veltman,die dieses Problem fur spontan gebrochene Eichtheorien gelost haben. Sie zeigten in denfruhen 70ern, wie die GSW Theorie renormiert werden kann (oder wie die Unendlichkeitenentfernt werden konnen) und wie diese Theorie zu benutzen ist, um genaue Rechnungen zuden Teilcheneigenschaften auszufuhren. Sie erhielten 1999 den Nobelpreis “for elucidatingthe quantum structure of electroweak interactions in physics”.

GSW Parameter: Es gibt mehrere Schemata, die benutzt werden, um die GSW Parameterauszudrucken. Im

(i) On-shell Schema sind die gemessenen Parameter α,MW ,MZ , mf , mH . Alle anderen Pa-rameter werden von diesen abgeleitet.

(ii) GF Schema: Die input Parameter sind α,GF ,MZ , mf , mH .

MS Schema: Ein weiteres Renormierungsschema, das oft in den Rechnungen verwendet wird.

Regularisierung: Wie schon oben erwahnt, wenn Rechnungen jenseits der fuhrenden Ord-nung (jenseits der Bornapproximation) durchgefuhrt werden, konnen Divergenzen auftreten,die durch die Renormierung behoben werden mussen, d.h. indem die Parameter der Theoriegeeignet definiert werden. Bevor dies getan werden kann, mussen die auftretenden Divergen-zen isoliert werden. Regularisierung bedeutet nichts anderes als eine Vorschrift anzugeben,

Renormierung 83

wie die Divergenzen eindeutig isoliert werden. Folgendes Diagramm fuhrt beispielsweise zueiner logarithmischen Divergenz.

Denn

1

iΠ(p) = (−iλ)2

∫d4l

(2π)4i2

[(p+ l)2 −m2 + iǫ][l2 −m2 + iǫ]. (5.4)

Wir fuhren die analytische Fortsetzung in den Euklidischen Raum durch,

l0 = il4 ⇒ l2 = l20 −~l2 = −l2E∫

d4l = i

∫

d4lE = i

∫ ∞

0

|lE |3d|lE|dΩ4 , (5.5)

wobei dΩ4 das 4-dimensionale Raumwinkelelement bezeichnet. Und

|lE| =√

l24 +~l2 . (5.6)

Damit ist das

Integral ∼∫ ∞

0

|lE|3d|lE||lE|4

∼∫ ∞

0

d|lE||lE |

. (5.7)

Dies ist logarithmisch divergent. Die Divergenz tritt fur große |lE | auf UV-Divergenz.

Impuls cut-off Λ (fur Eichtheorien nicht geeignet):

∫ ∞→∫ Λ d|lE|

|lE|∼ ln Λ . (5.8)

Physikalische Meßgroßen durfen naturlich nicht vom cut-off abhangen. Das naive Einfuhrenbricht die Eichinvarianz. Besser:

Dimensionale Regularisierung: In der dimensionalen Regularisierung werden die Divergenzenisoliert, indem die Theorie in D = 4− 2ǫ Dimensionen 6= 4 Dimensionen definiert wird. DieDivergenzen treten dann als Pole in ǫ auf: ∼ 1/ǫ(n), ǫ→ 0.

Regeln: Die Regeln fur die Durchfuhrung einer Rechnung in D 6= 4 Dimensionen sind:

• Das Integral uber den Schleifenimpuls q wird in der folgenden Weise ersetzt

∫d4q

(2π)4→ µ4−D

∫dDq

(2π)D(5.9)

µ hat die Dimension einer Masse. Die Einfuhrung der Masse µ in D Dimensionen haltdie Dimension des Integrals auf derselben wie in D = 4 Dimensionen.Damit im obigen Beispiel

∫

d4lE →∫

dDlE =

∫

|lE|D−1d|lE|∫

dΩD . (5.10)

84 Renormierung

Damit ist fur D < 4

∫

d|lE||lE|D−1|lE |4

UV-konvergent . (5.11)

Bemerkung: Mathematisch ist der Ursprung der UV-Divergenz das Produkt von Dis-tributionen mit gleichem Argument. BILD

Man muß eine Vorschrift definieren

[∆F (x− y)]2 → (∆F (x− y))2 −B(x− y) . (5.12)

• Die Kopplungskonstante g2 wird ersetzt durch

g2 → g2µ4−D (5.13)

Dies wird wiederum getan, um die Dimension der Greens Funktionen unverandert zuhalten.

• Fur die Metrik haben wir

gµν ist D-dimensional, d.h. gµµ = D . (5.14)

• Die Dirac-Matrizen werden so verallgemeinert, daß

γµ, γν = 2gµν1 γµγµ = D1

γργµγρ = 2gµργρ − γµγργρ = (2−D)γµ etc.

γ5 ist nicht-trivial in D Dimensionen. (5.15)

1-Punkt Funktion:Zur Veranschaulichung berechnen wir die 1-Punkt Funktion (d.h. ein Integral, das nur einPropagatorintegral uber den Schleifenimpuls enthalt) in D Dimensionen. Wir haben also

i

16π2A = µ4−D

∫dDq

(2π)D1

q2 −m2 + iǫ(5.16)

Wir berechnen das Integral in Euklidischen Raumzeit-Dimensionen und fuhren dazu eineWick-Rotation durch:

q0 = iq0E ~q = ~qE dDq = idDqE . (5.17)

Renormierung 85

Das Integral wird

iA

16π2= −i µ

4−D

(2π)D

∫dDqE

q2E +m2. (5.18)

Erklarung: Wir haben Pole in der q0 Ebene:

0 = q2 −m2 + iǫ = q20 − ~q2 −m2 + iǫ

q0 = ±√

~q2 +m2 − iǫ = ±√

~q2 +m2 ∓ iǫ′ . (5.19)

Wir betrachten das Integral uber die Kurve C

∮

Cdq0(q

2 −m2 + iǫ)−1 = 0 (5.20)

Die Beitrage uber die Kreissegmente verschwinden, so daß wir haben∫ ∞

−∞dq0... =

∫ i∞

−i∞dq0... . (5.21)

Und damit in Euklidischen Koordinaten (q0 = iq0E , qk = qkE),

∫ i∞

−i∞dq0... = i

∫ ∞

−∞dq0E... . (5.22)

Fur die weitere Berechnung des Integrals fuhren wir eine Transformation auf Kugelkoordi-naten durch∫

dDqE =

∫

ΩD

dΩD

∫ ∞

0

dqEqD−1E =

∫

ΩD

dΩD

∫ ∞

0

dq2E1

2(q2E)

D/2−1 , (5.23)

wobei

ΩD =2πD/2

Γ(D/2)(5.24)

der D-dimensionale Raumwinkel ist. Und damit erhalten wir fur das Integral

i

16π2An−1 = i

µ4−D

(2π)D1

2

∫

dΩD

∫ ∞

0

dρ ρD2−1 (−1)n

(ρ+ L− iǫ)n

= i(−1)n µ4−D

(2π)D1

2

2πD/2

Γ(D/2)

∫ ∞

0

dρ ρD2−1 1

(ρ+ L− iǫ)nρ=Ly= i(−1)n µ

4−D

(4π)D2

1

Γ(D/2)(L− iǫ)D/2−n

∫ ∞

0

dy yD/2−1(1 + y)−n

︸︷︷︸

=B(D2,n−D

2)

(5.25)

86 Renormierung

Der Faktor (−1)n stammt aus (q2 − m2 + iǫ)−n = (−1)n(q2E + m2 − iǫ)−n. Mit der BetaFunktion

B(x, y) =Γ(x)Γ(y)

Γ(x+ y)(5.26)

erhalten wir schließlich

i

16π2An−1 = i(−1)n µ

4−D

(4π)D2

(L− iǫ)D/2−nΓ(n−D2)

Γ(n). (5.27)

Die Γ(x)-Funktion hat Pole in x = 0,−1,−2, .... Eine Entwicklung fur kleine ǫ ergibt

Γ(ǫ) =1

ǫ− γ +O(ǫ) mit dem Euler γ , γ = 0.577... . (5.28)

Außerdem verwenden wir die Entwicklung

aǫ = eǫ ln a = 1 + ǫ ln a + ... . (5.29)

Wir bekommen fur An=1 mit 4−D = 2ǫ und L ≡ m2

A = − µ2ǫ

(4π)−ǫΓ(−1 + ǫ)

Γ(1)(m2)1−ǫ . (5.30)

Mit Γ(1) = 1 und

Γ(1 + x) = xΓ(x) (5.31)

und der obigen Entwicklung bekommen wir

A(m2)

m2= −(1 + ǫ ln(4π) + ...)(1− ǫ ln(m

2

µ2) + ...)(−1)(1 + ǫ)(

1

ǫ− γ + ...)

A(m2)

m2=

1

ǫ− γ + ln 4π − ln

m2

µ2+ 1 +O(ǫ) (5.32)

Damit finden wir

A(m2)

m2= ∆− ln

m2

µ2+ 1

∆ =1

ǫ− γ + ln 4π (5.33)

Massen-Renormierung: Wir schauen nun als Beispiel die Massenrenormierung fur ein skalaresTeilchen an. Der volle Propagator ist gegeben durch

1

k2 −m2→ 1

k2 −m2+

1

k2 −m2[δm2 + Σ]

1

k2 −m2+

1

k2 −m2[δm2 + Σ]

1

k2 −m22 + ...

=1

k2 −m21 + [

δm2 + Σ

k2 −m2] + [...]2 + ...

=1

k2 −m2

1

1− δm2+Σk2−m2

=1

k2 −m2 − [δm2 + Σ](5.34)

Renormierung 87

Wir haben hier die Formel fur die geometrische Reihe verwendet.

∞∑

n=0

qn =1

1− q . (5.35)

Mit der on-shell Renormierungsbedingung

Propagator→ 1

k2 −m2fur k2 → m2 (5.36)

bekommen wir (hier ist m die physikalische Masse!)

δm2 + Σ(k2 = m2) = 0 . (5.37)

5.1 Klassifizierung lokaler Wechelwirkungen

(Inhalte: oberflachlicher Divergenzgrad; superrenormierbare, renormierbare und nicht renor-mierbare Wechselwirkungen)Fur nichtabelsche Eichtheorien ist die einzige Regularisierung von praktischer Relevanz diedimensionelle Regularisierung:

D = 4→ D 6= 4 (< 4) mit D − 1 Raumdimensionen und 1 Zeitdimension . (5.38)

Naive Dimensionsanalyse: ~ = c = 1. Damit

S =

∫

dDxL(x)⇒ [S] = [~] = dimensionslos . (5.39)

Sei M eine beliebige Massenskala. Dann haben wir (~ ∼ xp)

[xµ] =M−1 [∂µ] =M . (5.40)

Die Massendimension der Felder ist

(a) Skalare Felder

[φ, φ]t=t′ = i δ(D−1)(~x− ~x′)︸︷︷︸

[.]=MD−1

(5.41)

und also

[φ] =MD−22 . (5.42)

Analog

[Aµ] =MD−22 . (5.43)

(b) Spinorfelder

ψl, ψ†st=t′ = δlsδ(D−1)(~x− ~x′) . (5.44)

Damit

[ψ] =MD−1

2 . (5.45)

88 Renormierung

(c) Geistfelder

LGeist0 = ∂µc∂µc (5.46)

MD M2[c]2 . (5.47)

Damit

[c] =MD−2

2 (5.48)

Nun zur Kopplungskonstante. Wir betrachten z.B. die QED. Der Kopplungsterm ist

−eqγµAµq . (5.49)

Damit ist

[eQED] = [gQCD] =M4−D

2 . (5.50)

D.h. in 4 Dimensionen ist die Kopplung dimensionslos. In D < 4 hat die Kopplung einepositive Massendimension. Ferner ist der Eichparameter dimensionslos,

[ξ] =M0 . (5.51)

Die γ-Algebra in D Dimensionen hatten wir bereits oben betrachtet. Bemerkung: γ5 inD Dimensionen ist problematisch, da der Levi-Civita-Tensor nur in D = 4 Dimensionendefiniert ist.

Divergenzgrad eines Diagramms Betrachte folgendes Diagramms (BILD)

Das Feynman-Integral IG ist fur große Schleifenimpulse l

IG ∼∫

dDl1 dDl2

1

(l21)3

1

l2

1

l2l1 l1 . (5.52)

Der “oberflachliche Divergenzgrad” ist damit

d = 2D + 2− 6− 2 = 2D − 6 . (5.53)

Allgemein ist der oberflachliche Divergenzgrad eines 1-Teilchen irreduziblen Diagramms G

dG = Dl +∑

v

δv − 2nB − nF , (5.54)

wobei l die Anzahl der Schleifen, δv die Anzahl der Impulsfaktoren am Vertex, nB die Anzahlder inneren Bosonlinien und nF die Anzahl der inneren Fermionlinien bezeichnet. Obiges giltallerdings nicht fur massive Vektor-Bosonen. Diese haben den Feynmanpropagator

Dµν =i

k2 −m2V

(

−gµν +kµkνm2V

)

. (5.55)

Renormierung 89

Das Konvergenztheorem (von Weinberg) lautet:IG ist absolut konvergent, falls der Divergenzgrad dH < 0 fur alle Subdiagramme H ⊂ G.Wir betrachten nun die Klassifizierung von renormierbaren Wechselwirkungen. Sei

L = L0 + LI , (5.56)

mit

b = Anzahl der Bosefelder in LI (5.57)

f = Anzahl der Fermifelder in LI (5.58)

δ = Anzahl der Ableitungen in LI . (5.59)

Wir betrachten das Feynmandiagramm (mit Namen) G. Sei

n = Anzahl der Vertizes (generiert durch eine spezielles LI) (5.60)

NB = Anzahl der externen Boselinien (5.61)

NF = Anzahl der externen Fermilinien (5.62)

l = Anzahl der Schleifen (nach der Verwendung der Energie-Impulserhaltung(5.63)

an jedem Vertex) . (5.64)

Letztere l ist gegeben durch

l = nB + nF − n+ 1 . (5.65)

Denn jeder Vertex erzeugt eine δ-Funktion fur die Energie-Impulserhaltung und sorgt so fureine Reduktion in l um n− 1 Impulsintegrale. Ferner haben wir

nδ =∑

v

δv (5.66)

und

nb = 2nB +NB . (5.67)

Denn z.B. (BILD)

2 · 3 = 2 · 1 + 4 . (5.68)

Der erste Term auf der rechten Seite kommt dadurch zustande, daß eine innere Linie an 2Vertizes beteiligt ist. Ferner haben wir

nf = 2nF +NF . (5.69)

Einsetzen der Gleichungen (5.67), (5.69) in (5.65) liefert

l =b+ f

2n− n− NB +NF

2+ 1 . (5.70)

90 Renormierung

Einsetzen von (5.66), (5.70) in (5.54) liefert

dG = rn− D − 2

2NB −

D − 1

2NF +D . (5.71)

Man nennt r den Divergenzgrad von LI . Er ist gegeben durch

r =D − 2

2b+

D − 1

2f + δ −D . (5.72)

Der Divergenzgrad charakterisiert LI . Es gilt fur die Dimension der Kopplung gI ,

[gI ] = −r . (5.73)

Denn sei schematisch

LI ∼ gI(∂)δ(φ)b(ψ)f . (5.74)

Dann ist die Dimension von LI

D = [LI ] = [gI ] + δ + bD − 2

2+ f

D − 1

2. (5.75)

Mit der Verallgemeinerung auf mehrere Vertizes haben wir fur

LI =k∑

i=1

L(i)I (5.76)

somit

dG =

k∑

i=1

rini −D − 2

2NB −

D − 1

2NF +D , (5.77)

mit den Divergenzindizes

ri =D − 2

2bi +

D − 1

2fi + δi −D . (5.78)

Das Integral IG ist UV-divergent, falls dH > 0 fur mindestens ein Subdiagramm H ⊂ G.

Klassifizierung1) Falls ri > 0 (i = 1, ..., k) fur irgendein i, dann wachst mit genugend großem ni der Diver-genzgrad dG uber alle Schranken, so daß die Theorie “nicht renormierbar” ist.

2) ri = 0 fur alle i. Dann gibt es eine endliche Anzahl von Feynman-Diagrammtypen (d.h.n-Punkt-Funktionen), die dG ≥ 0 haben. Damit ist nur eine endlichen Anzahl von counter-termen notwendig, so daß die Theorie “renormierbar” ist.

3) ri < 0 fur alle i. Dann ist die Theorie “superrenormierbar”.

Wir betrachten Beispiele.

A) LI = λφ3 . (5.79)

In D Dimensionen ist

[λ] = −r = D − 3D − 2

2= −D − 6

2. (5.80)

Renormierung 91

Die Theorie ist

renormierbar fur D = 6

nicht renormierbar fur D > 6

superrenormierbar fur D < 6 .

B) LI = h(ψψ)2 4-Fermi-Wechselwirkung . (5.81)

Damit ist

[h] = −r = D − 4D − 1

2= 2−D . (5.82)

Die Theorie ist also in D = 2 Dimensionen renormierbar (Thirring-Modell) und nicht renor-mierbar fur D > 2 (insbesondere fur D = 4).

Wir haben folgende Merkregel

Koppl.konstanten haben pos. Massendim. ↔ Theorie superrenormierbarKoppl.konstanten haben 0 Massendim. ↔ Theorie renormierbarKoppl.konstanten haben neg. Massendim. ↔ Theorie nicht renormierbar

Diese Regel gilt nicht fur massive Vektorfelder. Deren Feynmanpropagator (s.o.) geht gegenO(1) im limes k →∞. Wir betrachten als weiteres Beispiel die QCD. Die Wechselwirkungs-lagrangedichte lautet

L = L0 + LI , (5.83)

wobei

LI = gfabc∂µcaGµbcc − gqT aγµqGa

µ

+g

2fabc(∂µG

aν − ∂νGa

µ)GbµGcν

−g2

4fabefcdeG

aµG

bνG

cµGdν . (5.84)

Wir bestimmen die Divergenzindizes

ri =D − 2

2bi +

D − 1

2fi + δi −D (5.85)

der 4 Wechselwirkungsterme:

rGeist = 3D − 2

2+ 1−D =

D − 4

2(5.86)

rQuark =D − 2

2+D − 1

22−D =

D − 4

2(5.87)

r3G = 3D − 2

2+ 1−D =

D − 4

2(5.88)

r4G = 4D − 2

2−D = D − 4 . (5.89)

92 Renormierung

Die Kopplungskonstante hat die Dimension

[g] =4−D

2(5.90)

und ist dimensionslos in D = 4 Dimensionen. Fur D = 4 ist ri = 0. Damit ist die QCDgemaß Potenzabzahlen renormierbar. (Wenn man die Gegenterme dazuaddiert andert sichstrukturell an L nichts.)

Bemerkung: Bei Geistern muß folgende Ersetzung gemacht werden

NB → NGluon +3

2NGeist . (5.91)

5.2 Renormierung der GSW Theorie

5.2.1 Renormierungskonstanten

Fur die Renormierung der GSW Theorie haben wir folgende Renormierungskonstanten (zurVereinfachung nehmen wir hier die CKM-Matrix als Einheitsmatrix an):

e0 = Zee = (1 + δZe)e W±0 =

√ZWW

± = (1 + 12δZW )W±

M2W0 = M2

W + δM2W H0 =

√ZHH = (1 + 1

2δZH)H

M2Z0 = M2

Z + δM2Z fL/R0 =

√ZL/RfL/R = (1 + 1

2δZL/R)fL/R

M2H0 = M2

H + δM2H

(Z0

A0

)

=

( √ZZZ

√ZZA√

ZAZ√ZAA

)(ZA

)

mf0 = mf + δmf

Man sieht sogleich, daß aufgrund der hoheren Ordnungen Mischungen zwischen Photon unddem Z-Boson auftreten. Durch geeignete Renormierungsbedingungen werden wir diese auf0 festlegen.

5.2.2 Renormierungsbedingungen

Die Koeffizienten der Gegenterme (counterterme) sind vollstandig durch die Renormierungs-bedingungen bestimmt. Wir betrachten zunachst das Higgspotential, das durch

V =λ

2[|φ|2 − µ2

λ]2 (5.92)

gegeben ist. Mit dem Higgs-Dublett

φ =

(φ+

1√2(v +H + iχ)

)

= φ0 + φ (5.93)

haben wir

V =λ

8(v2 − 2

µ2

λ)2 + TH +O(φ2) (5.94)

mit

T =λ

2v(v2 − 2

µ2

λ) (5.95)

Renormierung 93

Aus der Minimierung des Higgspotentials bekommen wir die Bedingung v2 = 2µ2

λund damit

T!≡ 0.

T = = 0 . (5.96)

Bei Einschluß der Quantenfluktuationen haben wir fur T die Tadpole + counterterm

T = (5.97)

Wir fordern dann, daß die renormierten Tapole T = T − δT gleich ≡ 0 sind, und erhaltenalso die Bedingung δT = T . Die Tadpole-Diagramme werden durch die Renormierung desHiggspotentials vollstandig subtrahiert und tragen also nicht zu den physikalischen Obser-vablen bei.

Definitionen: Wir definieren die Selbstenergien Σ und den Photon-Fermion-Fermion VertexΓ wie folgt

= ΣV V′

µν (k) fur V =W±, Z, A

= ΣH(k2)

= Σf (p/)

= Λffγµ (q, p, p′) (5.98)

Die Vektorboson-Selbstenergien konnen in einen transversalen und einen longitudinalen Bei-trag zerlegt werden,

ΣV V′

µν (k) = −i(

gµν −kµkνk2

)

ΣV V′

T (k2)︸︷︷︸

↑ transversal

−ikµkνk2

ΣV V′

L (k2)︸︷︷︸

↑ longitudinal

. (5.99)

Die fermionische Selbstenergie kann in einen links-chiralen, einen rechts-chiralen und einenskalaren Anteil zerlegt werden,

Σf (p/) = i

p/

ω− Σf,L(p

2)︸︷︷︸

↑ left-chiral

+ω+ Σf,R(p2)

︸︷︷︸

↑ right-chiral

+mf Σf,S(p

2)︸︷︷︸

↑ scalar

(5.100)

mit

ω± =1± γ5

2. (5.101)

Renormierungsbedingungen: (kǫ(k) = 0) Mit der Forderung, daß die renormierten Massen-parameter der physikalischen Teilchen gleich den physikalischen Massen sind, d.h. gleich denreellen Anteilen der Pole der entsprechenden Propagatoren, die aquivalent zu den Nullstellender 1-Teilchen irreduziblen 2-Punktfunktionen sind, haben wir die folgenden Renormierungs-bedingungen fur die Massen,

Re ΣV Vµν (k) ǫν(k)|k2=M2V

= 0 for V = W,Z, [A]

Re ΣH(k2 =M2

H) = 0

Re Σf(p/)u(p)|p/=mf= Re u(p)Σf (p/)|p/=mf

= 0 . (5.102)

94 Renormierung

Im Fall von Massenmatrizen fordern wir, daß die nicht-diagonalen Selbstenergien null sind,wenn die externen Linien auf ihrer Massenschale sind. Fur die diagonalen Eintrage fordernwir, daß die Residuen der renormierten Propagatoren gleich 1 sind. Wir bekommen dieRenormierungsbedingungen fur die Wellenfunktionen

Re∂ΣV Vµν (k)

∂k2ǫν(k)|k2=M2

V= 0 for V = W,Z,A

Re∂ΣH(k

2)

∂k2|k2=M2

H= 0

limp2→m2

f

(

p/+mf

p2 −m2f

)

ReΣf (p)u(p) = limp2→m2

f

(

p/+mf

p2 −m2f

)

u(p)ReΣf (p) = 0

ΣAZµν (k)ǫν(k)|k2=0 = Re ΣAZµν ǫ

ν(k)|k2=M2Z= 0 . (5.103)

Und fur die Ladung haben wir die Renormierungsbedingung (e ist die physikalische Ladung,die im klassischer Thomson-Streuung gemessen wird: Eγ → 0)

u(p′)Λffγµ (q, p, p′)u(p)|p2=p′2=m2f ,q

2=0 = −ieef u(p)γµu(p) . (5.104)

Γffγ bezeichnet den renormierten Photon-Fermion-Fermion Vertex.Nach Einsetzen der expliziten Zerlegungen der Selbstenergien erhalten wir die allgemeinenAusdrucke fur die entsprechenden Renormierungsbedingungen:

Re ΣWWT (M2

W ) = 0

Re ΣZZT (M2Z) = 0 Re ΣAZT (M2

Z) = 0

ΣAZT (0) = 0 ΣAAT (0) = 0

Re∂ΣWW

T (k2)

∂k2|k2=M2

W= 0

Re∂ΣZZT (k2)

∂k2|k2=M2

Z= 0 Re

∂ΣAAT (k2)

∂k2|k2=0 = 0

Re ΣH(M2H) = 0 Re

∂ΣH(k2)

∂k2|k2=M2

H= 0

mfRe [Σf,L/R(m2f ) + Σf,S(m

2f )] = 0 (5.105)

Re [Σf,L(m2f ) + Σf,R(m

2f ) + 2m2

f

∂

∂p2[Σf,L(p

2) + Σf,R(p2) + 2Σf,S(p

2)]|p2=m2f = 0 .

Mit den entsprechenden Gegentermen haben wir die expliziten Ausdrucke fur die Renormie-rungskonstanten

δT = T

δM2W = Re ΣWW

T (M2W ) δZWW = −Re ∂Σ

WWT (k2)

∂k2|k2=M2

W

δM2Z = Re ΣZZT (M2

Z) δZZZ = −Re ∂ΣZZT (k2)

∂k2|k2=M2

Z

δZAZ = −2Re ΣAZT (M2Z)

M2Z

δZZA = 2ΣAZT (0)

M2Z

δZAA = −∂ΣAAT (k2)

∂k2|k2=0

Renormierung 95

δM2H = ReΣH(M

2H) δZH = −Re∂ΣH(k

2)

∂k2|k2=M2

H

δmf = mfRe [Σf,L(m

2f ) + Σf,R(m

2f )

2+ Σf,S(m

2f)]

δZf,L = −Re Σf,L(m2f )−m2

f

∂

∂p2Re [Σf,L(p

2) + Σf,R(p2) + 2Σf,S(p

2)]|p2=m2f

δZf,R = −Re Σf,R(m2f )−m2

f

∂

∂p2Re [Σf,L(p

2) + Σf,R(p2) + 2Σf,S(p

2)]|p2=m2f. (5.106)

Der volle elektromagnetische Vertex ist

Indem man die Diracgleichung und die Wardidentitat ausnutzt (die aus der Eichinvarianzfolgt), erhalt man den Gegenterm fur die Ladungsrenormierung

δZe = −1

2δZAA −

sW2cW

δZZA =1

2

∂ΣAAT (k2)

∂k2|k2=0 −

sWcW

ΣAZT (0)

M2Z

. (5.107)

Er ist unabhangig vom Fermion f . Wir haben also Ladungsuniversalitat.

Im on-shell Schema ist der Weinbergwinkel kein freier Parameter. Eine mogliche Definitionist [A. Sirlin, Physical Review D 22 (’80) 971]

sin2 θW = s2W = 1− M2W

M2Z

c2W =M2

W

M2Z

. (5.108)

Daraus folgt direkt die Renormierungskonstante fur den Weinbergwinkel

sW0 = sW + δsW cW0 = cW + δcWδcWcW

=1

2

(δM2

W

M2W

− δM2Z

M2Z

)

=1

2Re

[ΣWT (M2

W )

M2W

− ΣZT (M2Z)

M2Z

]

δsWsW

= −c2W

s2W

δcWcW

. (5.109)

5.3 1-Schleifen Integrale

Ein-Schleifen Integrale konnen im allgemeinen auf die folgenden skalaren Integrale reduziertwerden:

• 1-Punkt Funktion:

A0(m) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)D1

k2 −m2(5.110)

96 Renormierung


B0(p;m0, m1) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)D1

(k2 −m20)[(k + p)2 −m2

1](5.111)


C0(p1, p2;m0, m1, m2) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)D1

(k2 −m20)[(k + p1)2 −m2

1][(k + p2)2 −m22]

(5.112)


D0(p1, p2, p3 ; m0, m1, m2, m3) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)D

1

(k2 −m20)[(k + p1)2 −m2

1][(k + p2)2 −m22][(k + p3)2 −m2

3](5.113)

Alle Tensorintegrale konnen in Tensoren zerlegt werden, die aus den externen 4er-Impulsenbestehen. Die entsprechenden Koeffizienten konnen durch die obigen skalaren Integrale aus-gedruckt werden und sind symmetrisch. [Passarino+Veltman, Nuclear Physics B 160 (’79),151]

Bµ(p;m0, m1) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)Dkµ

(k2 −m20)[(k + p)2 −m2

1]= B1pµ

Bµν(p;m0, m1) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)Dkµkν

(k2 −m20)[(k + p)2 −m2

1]= B00gµν +B11pµpν

Cµ(p1, p2;m0, m1, m2) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)Dkµ

(k2 −m20)[(k + p1)2 −m2

1][(k + p2)2 −m22]

= C1p1µ + C2p2,µ

Cµν(p1, p2;m0, m1, m2) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)Dkµkν

(k2 −m20)[(k + p1)2 −m2

1][(k + p2)2 −m22]

= C00gµν + C11p1,µp1,ν + C22p2,µp2,ν + C12(p1,µp2,ν + p1,νp2,µ)

= C00gµν +2∑

i,j=1

Cijpiµpjν

Cµνρ =

2∑

i=1

(gµνpiρ + gνρpiµ + gµρpiν)C00i +

2∑

i,j,k=1

Cijkpiµpjνpkρ

Dµ =

3∑

i=1

Dipiµ

Dµν = D00gµν +

3∑

i,j=1

Dijpiµpjν

Dµνρ =3∑

i=1

D00i(gµνpiρ + gνρpiµ + gµρpiν) +3∑

i,j,k=1

Dijkpiµpjνpkρ

Renormierung 97

Dµνρσ = D0000(gµνgρσ + gµρgνσ + gµσgνρ)

+

3∑

i,j=1

D00ij(gµνpiρpjσ + gνρpiµpjσ + gµρpiνpjσ + gµσpiνpjρ

+gνσpiµpjρ + gρσpiµpjν)

+3∑

i,j,k,l=1

Dijklpiµpjνpkρplσ (5.114)

Cijk, Dij, Dijk, D00ij, Dijkl sind symmetrisch in den Indizes. Die Koeffizienten konnen durchKontraktion mit den Tensoren bestimmt werden.

Beispiele:

(i)pµBµ = p2B1 =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)Dkp

(k2 −m20)[(k + p)2 −m2

1]

kp =1

2[(k + p)2 −m2

1]− (k2 −m20)− p2 −m2

0 +m21 (5.115)

B1 =1

2p2A0(m0)−A0(m1)− (p2 +m2

0 −m21)B0(p;m0, m1) (5.116)

(ii)gµνBµν = DB00 + p2B11 =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)Dk2 −m2

0 +m20

(k2 −m20)[(k + p)2 −m2

1]

= A0(m1) +m20B0

pµpνBµν = p2(B00 + p2B11) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)D(kp)2

(k2 −m20)[(k + p)2 −m2

1]

(kp)2 =kp

2[(k + p)2 −m2

1]︸︷︷︸

→0

−kp2(k2 −m2

0)︸︷︷︸

→ p2

2(k2−m2

0)

−kp2(p2 +m2

0 −m21)

because

∫dDk

(2π)Dkµ

k2 −m2= 0

1

p2pµpνBµν = B00 + p2B11 =

1

2A0(m1)− (p2 +m2

0 −m21)B1

and DB00 + p2B11 = A0(m1) +m20B0 (5.117)

Also haben wir

B00 =1

2(D − 1)A0(m1) + 2m2

0B0 + (p2 +m20 −m2

1)B1

B11 =1

2(D − 1)p2(D − 2)A0(m1)− 2m2

0B0 −D(p2 +m20 −m2

1)B1 (5.118)

(iii) pµ1Cµ = p21C1 + p1p2C2 =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)Dkp1

(k2 −m20)[(k + p1)2 −m2

1][(k + p2)2 −m22]

98 Renormierung

p1k =1

2[(k + p1)

2 −m21]− (k2 −m2

0)− (p21 −m21 +m2

0)

p21C1 + p1p2C2 =1

2B0(p2;m0, m2)− B0(p2 − p1;m1, m2)− (p21 −m2

1 +m20)C0

p1p2C1 + p22C2 =1

2B0(p1;m0, m1)− B0(p2 − p1;m1, m2)− (p22 −m2

2 +m20)C0

(5.119)

In matrix from [fi = p2i −m2i +m2

0]:

(p21 p1p2p1p2 p22

)(C1

C2

)

=1

2

(B0(p2;m0, m2)− B0(p2 − p1;m1, m2)− f1C0

B0(p1;m0, m1)− B0(p2 − p1;m1, m2)− f2C0

)

(5.120)

Damit haben wir als Losung

(C1

C2

)

=

(p21 p1p2p1p2 p22

)−11

2

(B0(p2;m0, m2)−B0(p2 − p1;m1, m2)− f1C0

B0(p1;m0, m1)−B0(p2 − p1;m1, m2)− f2C0

)

(5.121)

5.3.1 Hilfreiche Formeln

Fur die Berechnung der skalaren Integrale benotigen wir einige Formeln und/oder Beziehun-gen, die im folgenden gegeben werden.

Feynman Parametrisierung:

1

aα11 a

α22 ...a

αnn

=Γ(α1 + ...+ αn)

Γ(α1)...Γ(αn)

∫ 1

0

dx1

∫ 1−x1

0

dx2...

∫ 1−x1...−xn−2

0

dxn−1

(1− x1 − ...− xn−1)α1−1xα2−11 ...xαn−1

n−1[a1(1− x1 − ...xn−1) + a2x1 + ...+ anxn−1]

∑

αi(5.122)

D-dimensionale Integrale

∫dDk

(2π)D1

(k2 −M2 + iǫ)N= i

(−1)N(4π)D/2

Γ(N − D2)

Γ(N)

1

(M2 − iǫ)N−D2

∫dDk

(2π)Dk2

(k2 −M2 + iǫ)N=

i

2

(−1)N−1(4π)D/2

Γ(N − 1− D2)

Γ(N)

D

(M2 − iǫ)N−1−D2

∫dDk

(2π)Dkµkν

(k2 −M2 + iǫ)N=

i

2

(−1)N−1(4π)D/2

Γ(N − 1− D2)

Γ(N)

gµν

(M2 − iǫ)N−1−D2

∫dDk

(2π)Dkµkνf(k

2) =1

Dgµν

∫dDk

(2π)Dk2f(k2) (5.123)

Entwicklung der Gamma- und der Beta-Funktion

Γ(N − ǫ

2) = Γ(N)(1− ǫ

2Ψ(N)) +O(ǫ2) for ǫ = 4−D

with Ψ(N) = SN−1 − γE

Renormierung 99

SN =

N∑

j=1

1

jand γE = 0.5772...

Γ(A) =Γ(A+ 1)

A

B(A1, A2) =Γ(A1)Γ(A2)

Γ(A1 + A2)

Γ(ǫ

2) =

2

ǫ− γE + (ǫ)

B(N − ǫ

2, 1− ǫ

2) =

1

N[1 + ǫSN −

ǫ

2SN−1] +O(ǫ2)

B(N − ǫ

2, 2− ǫ

2) =

1

N(N + 1)[1− ǫ

2SN−1 −

ǫ

2+ ǫSN+1] +O(ǫ2) (5.124)

5.3.2 Berechnung der skalaren Integrale

Wir haben bereits gefunden

A0(m) = m2∆+ lnµ2

m2+ 1 (5.125)

mit

∆ =1

ǫ− γE + ln 4π (5.126)

Als nachstes berechnen wir die B0 Funktion

B0(p;m0, m1) =16π2µ4−D

i

∫dDk

(2π)D1

(k2 −m20 + io)[(k + p)2 −m2

1 + io](5.127)

Mit der Feynman-Parametrisierung (siehe Glg. (5.122) haben wir

1

AB=

∫ 1

0

dx

[Ax+B(1− x)]2 = − 1

A− B

(

1

Ax+B(1− x)

∣∣∣∣

1

0

)

= − 1

A− B

(1

A− 1

B

)

q.e.d.(5.128)

Nach der Feynman-Parametrisierung [A = (k + p)2 −m21 und B = k2 −m2

0] haben wir furdie B0 Funktion

B0 =16π2µ4−D

i

∫ 1

0

dx

∫dDk

(2π)D1

(k2 + 2kQ−M2 + io)2with

Q = xp M2 = m20(1− x)− (p2 −m2

1)x . (5.129)

Wir redefinieren k als k = k′ −Q und schreiben dann k′ als k. Wir haben dann

B0 =16π2µ4−D

i

∫ 1

0

dx

∫dDk

(2π)D1

(k2 − R2 + io)2with

R2 = Q2 +M2 = m20(1− x) +m2

1x− p2x(1− x) . (5.130)

Fur das Integral uber k benutzen wir die Integrationsformel (siehe auch oben)

∫dDk

(2π)D1

(k2 − R2)N= (−1)N iΓ(N − D

2)

(4π)D/2Γ(N)(R2)

D2−N (5.131)

100 Renormierung

und bekommen

B0 =16π2µ2ǫ

i

iΓ(ǫ)

(4π)2−ǫΓ(2)

∫ 1

0

dx(R2 − io)−ǫ

= Γ(ǫ)

(4πµ2

m20

)ǫ ∫ 1

0

dx1− ǫ ln R2 − iom2

0

+O(ǫ2) [m2i = m2

i − io] (5.132)

Eine Entwicklung in ǫ fuhrt auf

B0 = ∆+ lnµ2

m20

−∫ 1

0

dx ln

m2

0(1− x) + m21x− p2x(1− x)m2

0

︸︷︷︸(

1− xx+

)(

1− xx−

)

(5.133)

mit

x± =1

2p2p2 +m2

0 −m21 ±

√

(p2 + m20 − m2

1)2 − 4m2

0p2 . (5.134)

Fur den komplexen Logarithmus, der in dem Integral auftritt, benotigen wir ein Theorem:

ln ab = ln a+ ln b+ η(a, b) mit

η(a, b) =

2πi falls Ima > 0, Imb > 0, Imab < 0oder Ima < 0, Imb < 0, Imab > 0

0 sonst. (5.135)

Damit haben wir fur

ln[(a+ io)(b− io′)] = ln(a + io) + ln(b− io′) . (5.136)

Und somit finden wir schließlich fur B0

B0 = ∆+ lnµ2

m20

+ 2 + (x+ − 1) ln

(x+ − 1

x+

)

+ (x− − 1) ln

(x− − 1

x−

)

(5.137)

Analoge Prozeduren fuhren auf die analytischen Ergebnisse fur die 3- und 4-Punktfunktionen.

5.4 Hohere Ordnungen: Physikalische Ergebnisse

5.4.1 Input Parameter

Das Standardmodell hangt ursprunglich von folgenden Input Parametern in der Lagrange-dichte ab

g , g′ , λ , µ2 , Cf , (5.138)

wobei Cf die Kopplungsmatrizen der Fermionkopplungen an das Higgsboson bezeichnen.Diese Input Parameter sind im wesentlichen die Kopplungen, die von der SU(2)L × U(1)YSymmetrie erlaubt werden. Diese konnen durch folgende input parameter, die eine direktephysikalische Bedeutung haben, ersetzt werden,

e , mW , mZ , mH , mf , VCKM . (5.139)

Renormierung 101

Die Lagrangedichte kann also durch physikalische Parameter und Felder ausgedruckt werden.Im On-Shell-Renormierungsschema sind die renormierten Parameter gleich diesen physika-lischen Parametern in allen Ordnungen der Storungstheorie.

Die numerischen Werte der physikalischen Parameter mussen durch den experimentellenInput festgelegt werden. Dieser Input besteht jedoch nicht notwendigerweise aus direktenMessungen der renormierten Parameter. Er kann aus jedem beliebigen Set an experimentel-len Messungen gewonnen werden. In der Praxis werden diejenigen Experimente verwendet,welche die großte experimentelle Genauigkeit und theoretische Verlasslichkeit haben. DieseKriterien werden von dem folgenden Set von Parametern erfullt1:

∗ Die Feinstrukturkonstante (im Thomson Limes bei Q2 = 0)

α = 1/137.035999139(31) , (5.140)

welche der klassischen Elektron Ladung e =√4πα entspricht.

∗ Die Massen der geladenen Leptonen2

me = 05109989461(31) MeV , mµ = 105.6583745(24) MeV ,

mτ = 1776.86± 0.12 MeV . (5.141)

∗ Die Masse des Z-Bosons

mZ = 91.1876± 0.0021 GeV . (5.142)

∗ Die Fermi-Konstante

GF = 1.1663787(6) , 10−5 GeV−2 . (5.143)

Diese kann direkt in Bezug zur Muon-Lebensdauer gesetzt werden.

Wir verwenden die W -Masse nicht als Input-Parameter, da sie experimentell nicht mit ver-gleichbarer Genauigkeit bekannt ist. Hinzu kommen

∗ Die Higgsboson-Masse

mH = 125.18± 0.16 GeV . (5.144)

∗ Die top-Quark-Masse

mt = 173.1± 0.9 GeV . (5.145)

Dies ist die Polmasse aus Wirkungsquerschnitts-Messungen. Der Wert der top-Quark-Masse hangt davon ab, aus welchen Prozessen sie extrahiert wird. Siehe dazu denReview-Artikel ’The Top Quark’ der Particle Data Group.

1Die folgenden Werte sind alle dem Partidle Data Book entnommen.2Per Definition sind die Neutrinos im SM masselos.

102 Renormierung

Die Matrixelemente der CKM Matrix werden direkt vom Experiment ubernommen. Einglobaler Fit innerhalb dies SMs mit 3 Generationen-Unitaritatseinschrankungen ergibt

VCKM =

0.97446± 0.00010 0.22452± 0.00044 0.00365± 0.000120.22438± 0.00044 0.97359+0.00010

−0.00011 0.04214± 0.000760.00896+0.00024

−0.00023 0.04133± 0.00074 0.999105± 0.000032

. (5.146)

Es verleiben noch die leichten Quarkmassen. In der elektroschwachen Lagrangedichte wer-den diese als freie Teilchen mit entsprechenden Massenwerten behandelt. Aufgrund der star-ken Wechselwirkung ist dies aber nicht korrekt, da im Rahmen der QCD die Quarks keinefreien Teilchen sind (confinement!). Die Massen konnen daher bestenfalls als eine Art effek-tive Parameter betrachtet werden. Typischerweise hangen die theoretischen Vorhersagen inHochenergie-Experimenten (s≫ m2

q) aber von den Quarkmassen nur uber universale Großenab wie die hadronische Vakuum-Polarisation oder die Quarkstrukturfunktionen, die direktaus dem Experiment bestimmt werden konnen.

Wir benotigen zusatzlich die starke Kopplungskonstante αs fur die QCD Korrekturen. IhrWerte an der Z-Bosonmasse ist

αs = 0.1181(11) . (5.147)

5.4.2 Hohre Ordnungskorrekturen - Die Fermikonstante

Die typische Grossenordnung der elektroschwachen Ein-Schleifenkorrekturen ist durch denEntwicklungsparameter α

π∼ 0.0023 gegben. Typische elektroschwache Ein-Schleifenkorrek-

turen sind also von der Großenordnung von einem Prozent. Es gibt jedoch zwei wichtige Artenvon Strahlungskorrekturen, die durch große Massenverhaltnisse verstarkt werden. Der ersteTyp hangt mit leichten Fermionen zusammen, der zweite mit der schweren Top-Quarkmasse.Diese Korrekturen konnen mehrere Prozent erreichen. Die entsprechenden hoheren Ord-nungskorrekturen konnen daher mehrere Permille groß werden und mussen in Vorhersagenfur Prazisionsexperimente berucksichtigt werden.

Die hoheren Ordnungskorrekturen andern die Baumgraphen-Relationen zwischen denParametern. Dies muss beim Ubergang vom GF Schema (hier sind die Input-ParameterGF , mZ , α) in das mW -Schema (hier sind die Input-Parameter mW , mZ , α) berucksichtigtwerden.

Die Fermikonstante ist auf Baumgraphenniveau gegeben durch

GF√2=

πα

2m2W sin2 θW

=πα

2m2W

(

1− m2W

m2Z

) . (5.148)

Die Korrekturen zu dieser Relation werden aus den Strahlungskorrekturen zum Myon-Zerfallgewonnen. Der Myon-Zerfall hat im Fermi-Modell die partielle Breite

Γµ =G2Fm

5µ

192π3

(

1− 8m2e

m2µ

)

(5.149)

Renormierung 103

Die endlichen QED Korrekturen sind gegeben durch (Summe der virtuellen und reellen Kor-rekturen)

Γµ =G2Fm

5µ

192π3

(

1− 8m2e

m2µ

)[

1 +α

2π

(25

4− π2

)]

. (5.150)

GSW Theorie: Die virtuelle Photonkorrektur zum Fermi-Vertex entspricht dem folgendenBox-Diagramm

Fur m2µ ≪ m2

W erhalten wir

MγWbox =MBorn

α

π

lnmW

me+ ln

mW

mµ− ln

m2e

λ2− ln

m2µ

λ2+

9

2

. (5.151)

Wir mussen dies zur elektroschwachen Vertexkorrektur addieren,

Mvertex =MBorn

ΛWeν + ΛWµν +α

4π

(9

2− ln

mµ

mZ

− lnme

mZ

− lnm2µ

λ2− ln

m2e

λ2

)

︸︷︷︸

aus UV endl. ν Wellenfkts.ren.faktoren

(5.152)

mit

ΛWlν =α

4π

3

2

3c2W − 1

s2W− ln

m2W

m2l

+ 2 lnm2l

λ2+

(

1− 7

2s2W+

3

s4W

)

ln c2W

l = e, µ . (5.153)

Ferner haben wir die massiven Boxdiagramme

104 Renormierung

MZWbox = −MBorn

α

4π

1− 5

s2W+

5

2s4W

ln c2W . (5.154)

Diese Betrage resultieren nach Subtraktion aller QED Betrage im Fermi-Modell in

MV =M0Born(1 + δV ) , (5.155)

wobeiM0Born die unrenormierte Bornamplitude bezeichnet und

δV =α

4πs2W

6 +7− 4s2W2s2W

ln c2W

(5.156)

(δV ist UV und Infrarot (IR) endlich.) Schließlich mussen alle Beitrage zur W -Boson Selbst-energie addiert werden:

MW =MBorn−ΣW

T (k2)

k2−m2W→MBorn

ΣWT (0)

m2W

Das Endergebnis im GSW Modell (ohne QED) ist dann

Melw =M0Born

1 +ΣWT (0)

m2W

+ δV

. (5.157)

Dies resultiert in einer Modifikation der Relation der Fermikonstanten

GF√2

=e20

8s2W0m2W0

1 +ΣWT (0)

m2W

+ δV

=e2

8s2Wm2W

1 +ΣWT (0)

m2W

+ δV + 2δZe −δm2

W

m2W

+ cot2 θW

(δm2

W

m2W

− δm2Z

m2Z

)

,(5.158)

also

GF√2=

πα

2m2W sin2 θW

[1 + ∆r] (5.159)

wobei

∆r = 2δZe +ΣWT (0)− δm2

W

m2W

+ cot2 θW

(δm2

W

m2W

− δm2Z

m2Z

)

+ δV (5.160)

Nach Verwendung von Glgen. (5.106),(5.107) erhalten wir aber

∆r =∂ΣAAT (k2)

∂k2|k2=0 − 2 tan θW

ΣAZT (0)

m2Z

+ΣWT (0)− ReΣT (m

2W )

m2W

+cot2 θW

(ReΣWT (m2

W )

m2W

− ReΣZZT (m2Z)

m2Z

)

+ δV . (5.161)

Renormierung 105

Die verschiedenen Beitrage der Selbstenergien liefern

∆r = ∆α− cot2 θW∆ρ+∆rrem (5.162)

mit

∆α =α(m2

Z)− αα

∆ρ =ΣZZ(0)

m2Z

− ΣWW (0)

m2W

− 2 tan θWΣAZ(0)

m2Z

(1

− cot2 θW

)

. (5.163)

Die fuhrenden Beitrage fur ∆α sind gegeben durch

∆α = ∆αl +∆α(5)had +∆αtop ≈ 0.061 (5.164)

mit den leptonischen, den leichten hadronischen und den Top-Quark Beitragen

∆αl =∑

l

α

3πe2l

(

lnm2Z

m2l

− 5

3

)

≈ 0.033

∆α(5)had = ∆

(5)had(E0) +

∑

q 6=tNc

α

3πe2q ln

m2Z

E20

δQCD ≈ 0.028 [E0 ∼ 40GeV]

∆αtop ≈ − α

3π

4

15

m2Z

m2t

≈ −0.000061 . (5.165)

δQCD stellen die QCD Korrekturen fur die leichten Quarks dar. Die fuhrenden Beitrage zu∆ρ kommen aus dem großen Massensplitting des Top-Bottom Isospin Dubletts der drittenGeneration.

∆ρ = 3GFm

2t

8√2π2

1− 2

3

(π2

3+ 1

)αS(m

2t )

π+GFm

2t

8√2π2

∆ρ(2)

∆ρ(2) = 19− 2π2 furM2H ≪ m2

t . (5.166)

Die relevanten nicht-fuhrenden Beitrage zu ∆rrem werden vom Top-Quark und Higgsbosonerzeugt:

∆rtrem = −GFm2W

8√2π2

2

(

cot2 θW −1

3

)

lnm2t

m2W

+4

3ln c2W + cot θ2W −

7

9

(5.167)

∆ρH = −GFm2W

8√2π2

tan2 θW3

(

lnM2

H

m2W

− 5

6

)

106 Renormierung

∆rHrem =GFm

2W

8√2π2

11

3

(

lnM2

H

m2W

− 5

6

)

furM2H ≫ m2

W . (5.168)

Screening (Abschirm) Theorem: Auf 1-Schleifenniveau gibt es fur große Higgsmassen nurlogarithmische Abhangigkeiten von der Higgsmasse. (Veltman, Acta Phys. Pol. B8 (’77)475).

Nach Summierung der fuhrenden Beitrage erhalten wir fur α(m2Z)

α(m2Z) = α[1 + ∆α + (∆α)2 + ...] =

α

1−∆α=

1

128.90± 0.09. (5.169)

Der ρ Parameter ist definiert als die Relation zwischen neutralen und geladenen Axialkopp-lungen,

e2

2s2W→ e2

2s2W(1 + ∆α− cot2 θW∆ρ) ≈

√2GFm

2W (5.170)

e2

4s2W c2W

→ e2

4s2W c2W

(

1 + ∆α− c2W − s2Ws2W

∆ρ

)

≈ GF√2

m2W

c2W(1 + ∆ρ) =

GF√2m2Zρ . (5.171)

Summation der Beitrage fuhrt auf

ρ = 1 +∆ρ+ (∆ρ)2 + ... =1

1−∆ρ. (5.172)

Die Korrekturen konnen in einen effektiven Weinbergwinkel absorbiert werden

c2W = c2W (1−∆ρ) =c2Wρ

(5.173)

und

s2W = 1− c2W = 1− c2W +∆ρc2W = s2W + c2W∆ρ . (5.174)

Schließlich erhalt man des resummierte Ergebnis fur ∆r

GF√2

=πα

2m2Ws

2W

1

1−∆α

1

1 + cot2 θW∆ρ

1 + ∆r −∆α + cot2 θW∆ρ

=πα(m2

Z)

2m2W s

2W

(1 + ∆rrem︸︷︷︸

≪1

) . (5.175)

Die fuhrenden elektroschwachen Strahlungskorrekturen konnen in effektive Parameter derBornterme absorbiert werden. Das Rezept besteht darin, folgende Ersetzungen durchzufuhren

α → α(M2Z)

s2W → s2W = s2W + c2W∆ρ [effektiver leptonischer Weinbergwinkel]

c2W → c2W = c2W (1−∆ρ)

CC:e2

2s2W=

2πα

s2W→ 2πα(M2

Z)

sW 2≈ 2√2GFM

2W

NC:e2

4s2W c2W

=πα

s2W c2W

→ πα(M2Z)

sW 2 ¯cW 2≈√2GFM

2Zρ with ρ =

1

1−∆ρ(5.176)

Kapitel 6

Quantenchromodynamik - QCD

6.1 Einfuhrung der Farbe

Die QCD ist die feldtheoretische Formulierung der starken Wechselwirkung. Historisch wardie starke Wechselwirkung definiert als

• Bindungskraft zwischen den Kernbausteinen im Kern.

• Die Kraft, die bei der Kollision von Kernen auftritt.

Wechselwirkungslange:

d ∼ 1 fm→ σ ∼ πd2

4∼ 10mb . (6.1)

Wechselwirkungsstarke

V (R) =g2s4πe−

Rd

g2s4π

∼ 102g2em4π∼ 1 . (6.2)

Spin-Statistik Problem des Quarkmodells

∆++(sz = 32) = u(↑)u(↑)u(↑) hat eine total symmetrische Spinwellenfunktion. Jedoch ver-

langt die Fermistatistik eine Spinwellenfunktion, die total antisymmetrisch ist.

(i) Grundzustand 6= relativistischer s-Wellenkombination entgegen der naiven Erwartung.p-Welle → Knoten → verbotenen Zonen → hohere Energie als Folge des Unscharfeprinzips.

(ii) Magnetische Momente der Kerne

~µ eQ2m

[~l + 2~s], s-Wellen l = 0: Momente der Kerne sind additiv aus den Quarkmomentenzusammengesetzt.

µN =< N|3∑

i=1

µ(i)σ3(i)|N > (6.3)

107

108 Quantenchromodynamik - QCD

Aufgrund der Spinwellenfunktion: [µu = −2µd]

µP =4

3µu −

1

3µd = −(

8

3+

1

3)µd = −3µd fur mu ≈ md

µn =4

3µd −

1

3µu = (

4

3+

2

3)µd = 2µd (6.4)

Verhaltnis

µPµn

= −32

exp. = −1.46 (6.5)

Kein l 6= 0 Strombeitrag notwendig.Effektive Quarkmasse: µP = e

2mP2.79 = −1

3e

2md(−3) = e

2md⇒

meffq =

mP

2.79≈ 330 MeV (6.6)

Losung: Quarks haben eine 3-wertige Eigenschaft fur die Unterscheidung, so daß das sym-metrische Quarkmodell moglich ist.

I. Farb-Hypothese (Greenberg ’64)Abgesehen von den Flavour-Ladungen haben die Quarks Farbladungen; jedesQuark existiert in genau 3 Farben (rot, blau, grun = 1,2,3): q = (q1, q2, q3).

Farbtransformationen: Die maximale Mischungsgruppe der 3 Farbfreiheitsgrade [6= gemein-same Farbe] ist

q → q′ = e−i∑8

k=1 αkλk2 q ← (6.7)

SU(3)C Transformationen = unimodulare, unitare 3× 3 Matrizen [nicht-Abelsche Gruppe].

Gell-Mann Matrizen: λk, k = 1, ..., 8. [3-dimensionale Erweiterung der ~σ in SU(2).]

λ†k = λk ⇒ e−iαkλk2 unitar: U †U = 1

Trλk = 0⇒ unimodular: detU = +1 . (6.8)

Explizite Darstellung:

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

λ8 =1√3

1 0 00 1 00 0 −2

(6.9)

Quantenchromodynamik - QCD 109

Eigenschaften:

[λi2,λj2

]

= ifijkλk2

[A2 algebra]

λi2,λj2

=1

3δij1+ dijk

λk2

Tr(λiλj) = 2δij Tr(λi) = 0 . (6.10)

I’. Farb-Hypothese (Gell-Mann ’72)Die SU(3)C Symmetrie ist exakt. Alle physikalischen (freien) Zustande, Ob-servablen und Wechselwirkungen sind SU(3)C Singuletts.

(a) Quarks, die Farbtripletts sind, existieren nicht als freie Teilchen.

(b) Farbwellenfunktion

Baryonen : 1√6ǫijk

Mesonen : 1√3δij

ǫijk, δijSU(3)C singlets . (6.11)

Beispiel:

∆++(sz = +3

2) =

1√6ǫijkui(↑)uj(↑)uk(↑)

Φ(sz = +1) =1√3δijsi(↑)sj(↑) .

(c) Elektromagnetische Wechselwirkung:

Lem = −ejµAµjµ =

∑

fl

qγµQqq ≡∑

fl

∑

C

qCγµQqqC , (6.12)

welches ein SU(3) Singulett ist.

Tests der Farbhypothese:

1.) π0 → γγ decay

Zerfallsbreite:

Γ(π0 → γγ) =α2

32π3

m3π

f 2π

(Q2u −Q2

d)2N2

C (6.13)


ohne Farbe : NC = 1: Γ = 0.87 eV

mit Farbe : NC = 3: Γ = 7.86 eV

experimentell : Γexp = 7.48± 0.33± 0.31 eV

2.) e+e− → Hadronen

Im Quark-Parton-Modell ist die Produktionswahrscheinlichkeit von e+e− → Hadronen durch

die aller qq Paare gegeben. Die Endzustands-Wechselwirkung kann furdprod. qqdhadron

∼ 1GeVE

(E→∞)→0 vernachlassigt werden.

R =σ(e+e− → Hadronen)

σ(e+e− → µ+µ−)=∑

F l,C

σ(e+e− → qq)

σ(e+e− → µ+µ−)= 3

∑

fl

e2q (6.14)

q equ, c, t +2

3

d, s, b −13

Energie prod. quarks R ohne Farbe R mit Farbe< 3 GeV u, d, s 4

9+ 1

9+ 1

9= 2

32

> 5 GeV +c 69+ 4

9= 10

9103

> 10 GeV +b 109+ 1

9= 11

9113

6.2 Gluon Eichfelder

In Analogie zur QED:

II.Farbhypothese (Nambu ’66, Fritzsch+Gell-Mann ’72, Leutwyler ’73)Die Farbladungen sind die Quellen der Eichfelder (⇒ Gluonen), die die starkeWechselwirkung zwischen den Quarks aufbauen.

Lagrangedichte fur ein Farbtriplett:

Lq = q(x)(i∂/ −mq)q(x) with q = (q1, q2, q3), mq1 = mq2 = mq3 SU(3)C Singulett .(6.15)

- L ist invariant unter globalen, nicht-Abelschen SU(3)C Transformationen

q(x) → Sq(x)

q(x) → q(x)S−1

S = e−iαkTk

(T k =λk2) . (6.16)

- L ist nicht invariant unter lokalen SU(3)C Transformationen: αk = αk(x),

Lq → Lq + q(x)(S−1i∂/S)q(x) . (6.17)


L kann durch die Einfuhrung von 8 minimal gekoppelten Gluonfeldern Gkµ(x) (k =

1, ..., 8) (Gluon Matrix Gµ = GkµT

k) lokal eichinvariant gemacht werden,

i∂µ → i∂µ − gSGµ = iDµ

Lq = q(x)(iD/−mq)q(x) = q(x)(i∂/ −mq − gsG/(x))q(x) (6.18)

mit

q(x) → S(x)q(x) αk = αk(x)

q(x) → q(x)S−1

Gµ(x) → SGµS−1 − i

gSS∂µS

−1 .

(6.19)

Die kovariante Ableitung transformiert sich gemaß [∂µ(SS−1) = 0]

iDq → iD′q′ = [i∂ − gSSGS−1 − i(∂S)S−1]Sq= S(i∂ − gSG)q = SiDS−1Sq . (6.20)

Damit D → D′ = SDS−1 (Rotation).

Gluon Lagrangedichte Wir fuhren die Rotation ein:

Gµν = DνGµ −DµGν = ∂νGµ − ∂µGν − igS[Gµ, Gν] (6.21)

Sie transformiert sich gemaß: (mit Gµν =igS[Dµ, Dν ])

Gµν → G′µν = SGµνS−1 reine Rotation [keine Observable] . (6.22)

Die Lagrangedichte lautet

Lg = −1

2TrG2

µν = −1

4(Gk

µν)2 . (6.23)

Sie ist eichinvariant (kein Massenterm: +12m2gTrG

2µ). Die Lagrangedichte besteht aus

(a) kinetischem Anteil = −14(∂νG

kµ − ∂µGk

ν)2

(b) trilineare Kopplung ∼ gSGGG(c) quartische Kopplung ∼ g2SGGGG.

- Die Gluonfelder wechselwirken mit sich selbst: farbgeladene Gluonen sind Quellen fur Gluo-nen ( 6= γ).- gS ist universell, sie wird im Eichsektor festgelegt: die Farbladungen sind quantisiert.

Lagrangedichte I der QCD:

L = q(iD/−mq)q − 12TrG2

µν

= q(i∂/ −mq)q − 12Tr(∂νGµ − ∂µGν)

2 kin. Anteil−gS qG/q Quark-Gluon Kopplung+igSTr(∂νGµ − ∂µGν)[Gµ, Gν ] 3-Gluon Kopplung

+g2S2Tr[Gµ, Gν ]

2 4-Gluon Kopplung


Die Feynmanregeln sind gegeben durch

δab[−gµν + (1− ξ) pµpνp2+iǫ

ip2+iǫ

δab i(p2+iǫ)

δAB i(p/−m+iǫ)ji

−gfabc[(p− q)ρgµν + (q − r)µgνρ + (r − p)βgρµ][alle Impulse einlaufend, p+ q + r = 0

−ig2fxacfxbd[gµνgρσ − gµσgνρ]−ig2fxadfxbc[gµνgρσ − gµρgνσ]−ig2fxabfxcd[gµρgνσ − gµσgνρ]

gfabcqµ

−ig(ta)CB(γµ)ji

(6.24)

Nach der Eichfixierung und Anwendung des Fadeev-Popov Tricks erhalten wir innerhalb derFeynman Pfadintegralformulierung fur die vollstandige QCD Lagrangedichte das Wirkungs-funktional

Vollstandige Lagrangedichte der QCD

W ∼∫DqDqDGDc∗Dc exp i

∫d4xLeff

Leff = LQCD + Lg.f. + LFP LQCD = Quark-Gluon-LagrangedichteLg.f. = Eichfixierungs-LagrangedichteLFP = Geist-Lagrangedichte

Lorentz Eichung Axiale Eichung:Lg.f. = −1

ξTr(∂G)2 Lg.f. = −1

ξTr(nG)2 fur ξ → 0

LFP = ∂c∗(∂ + gSfG)c LFP = 0

Ableitung von LFP in der Lorentz und der axialen Eichung:

The Fadeev-Popov Lagrangedichte ist gegeben durch (siehe Kapitel 4)

LFP = c∗aMabcb , (6.25)


wobei ca, cb die Geistfelder bezeichnet, a, b die Farbindizes und Mab die Fadeev-Popov De-terminante. Letztere ist gegeben durch

Mab(x, y) =δF a[Gα(x)]

δαb(y)

∣∣∣∣~α=0

. (6.26)

F a bezeichnet die Eichfixierungsbedingung. Gα ist das unter einer infinitesimalen Eichtrans-formation mit dem Eichparameter α transformierte Gluonfeld. Die QCD Lagrangedichteist unter nicht-Ableschen SU(3) Eichtransformationen invariant, und wir haben (Ga

µ =2TrT aGµ)

(Gα)aµ = Gaµ − fabcGb

µαc +

1

gS∂µα

a +O(α2) . (6.27)

(i) Lorentz Eichung: Wir haben die Eichfixierungsbedingung ∂G = f , im Detail

∂µ(Gα)aµ − fa = (∂µGaµ − fa)

︸︷︷︸

=0

−fabc∂µGbµα

c +1

gS∂2δabα

b

︸︷︷︸1gs

∫

d4y∂2δab+gSfabc∂µGcµδ4(x−y)αb(y)

. (6.28)

Und wir erhalten fur die Fadeev-Popov Determinante

Mab(x, y) =1

gS[∂2δab + gSfabc∂

µGcµ]δ4(x− y) . (6.29)

In nicht-abelschen Eichtheorien hangt die Fadeev-Popov Determinante manifest von demEichfeld G ab. In Abelschen Eichtheorien ist die Fadeev-Popov Determinante unabhangigvon dem Eichfeld (fabc ≡ 0) und damit ineffektiv, so daß sie in der effektiven Lagrangedichtevernachlassigt werden kann.

Axiale Eichung: Die Eichfixierungsbedingung ist durch nG = 0 gegeben, wobei nµ ein Vierer-Vektor mit n2 = ±1, 0 ist. Wir erhalten dann fur das eichtransformierte Gluonfeld

n(Gα)a = nGa︸︷︷︸

=0

−fabc nGb︸︷︷︸

=0

αc +1

gSn∂αa

=1

gS

∫

d4yδab n∂ δ4(x− y)αb(y) . (6.30)

Die Fadeev-Popov Determinante lautet

Mab(x, y) =1

gSnµ∂

µ δab δ4(x− y) . (6.31)

Sie ist unabhangig vom Eichfeld G und damit ineffektiv, so daß sie in der effektiven Lagran-gedichte vernachlassigt werden kann.

6.3 Asymptotische Freiheit

Siehe hierzu den Aufschrieb in der Vorlesung und Kapitel 8.6 und 8.8 in Pierre Ramon,“Field Theory: A Modern Primer”, Frontiers in Physics. Wir finden also


αS(Q2) =

αS(µ2)

1 + 33−2NF

12αS(µ2)π

ln Q2

µ2

(6.32)

Mit wachsendem Q2 verschwindet die effektive Farbladung. Dies ist bekannt alsasymptotische Freiheit. (Nicht-abelsche SU(3) : NF ≤ 16.) Dies ist eine Folge der nicht-

abelschen Eichbosonschleifen. Dies steht im Gegensatz zur U(1) (und allen anderen Theori-en). [Politzer ’73, Gross+Wilczek ’73]

Bei großen Abstanden konnen wir uns nicht mehr auf die Storungstheorie verlassen. Dasheißt, die Zustande, auf welche wir die Storungstheorie angewandt haben, haben nur beikleinen Abstanden eine Bedeutung, wo sie asymptotisch frei werden. Bei großen Abstandenwird die Kopplung jedoch so groß, daß diese Zustande die Wechselwirkungsregion nur inForm von zusammengesetzten Zustanden verlassen konnen, die neutral gegenuber der lang-reichweitigen Eichkraft sind. Diese neutralen oder Singulettzustande unterliegen immer nochMultipolwechselwirkungen. Diese sind jedoch kurzreichweitig und andern nicht die Natu-er der zusammengesetzten Zustande. Dies nennt man Confinement Hypothese. Sie besagt,daß in einer asymptotisch freien Theorie nur Singulettzustande der Eichkraft asymptotischeZustande bilden konnen. In der QCD bilden z.B. Protonen, Neutronen, π-Mesonen etc. dieSinguletts der Farbkraft. Skalenparameter der QCD: Die Quantentheorie fuhrt in die unska-lierte klasssiche Chromo-Dynamik (fur mq = 0) uber die Renormierung eine Skala ein: DieKopplungskonstante it bei einem gegebenen Abstand gegeben durch:

αs︸︷︷︸

experimentell bestimmt

= αs(µ2)

Wenn man also den Wert von αs an einer bestimmten Skala durch Vergleich mit dem Expe-riment kennt, dann weiß man auch, ab welcher Skala Storungstheorie nicht mehr gultig ist.Eine Reformulierung fuhrt auf

1

αS(Q2)=

1

αS(µ2)− 33− 2NF

12πlnµ2

︸︷︷︸

≡ 33−2NF12π

ln 1Λ2

+33− 2NF

12πlnQ2 (6.33)

Und damit

αS(Q2) =

12π

(33− 2NF ) lnQ2

Λ2

(6.34)

Mit dem Confinement-Radius Λ−1 ∼ fm haben wir

Λ ∼ 100− 300 MeV (6.35)

Und αS(Q2)

π≤ 10−1 fur Q2 ≥ 2 GeV2. Dies ist der Bereich, in dem Storungstheorie angewandt

werden kann.


Man kann die Strahlungskorrekturen zur effektiven Kopplungskonstante in hoheren Ordnun-gen der Storungstheorie berechnen. Das Ergebnis wird in Form des Renormierungsgruppen-Zugangs ausgedruckt. Die Renormierungsgruppengleichung

µ2∂αS(µ2)

∂µ2= β(αS(µ

2)) with β(αS) = −β0α2S

π+O(α3

S) (6.36)

hat die Losung

lnQ2

µ2=

∫ αS(Q2)

αS(µ2)

dαSβ(αS)

= − π

β0

[1

αS(µ2)− 1

αS(Q2)

]

(6.37)

und damit

αS(Q2) =

αS(µ2)

1 + β0αS(µ2)π

ln Q2

µ2

with β0 =33− 2NF

12(6.38)

Die Renormierungsgruppengleichung bestimmt das asymptotische Verhalten der laufendenKopplung. Auch die hoheren Ordnungen sind bestimmt worden:

β(αS) = −α2S

π

[

β0 + β1αSπ

+ β2

(αSπ

)2]

β1 =153− 19NF

24β2 =

1

128

[

2857− 5033

9NF +

325

27N2F

]

αS(Q2) =

π

β0 lnQ2

Λ2

1− β1β20

ln ln Q2

Λ2

ln Q2

Λ2

+ ...

. (6.39)

RenormierungsschemataWIr haben fur den inversen Fermionpropagator inklusive hoherer Ordnungskorrekturen (d.h.der Selbstenergie)

S−1 = p/[

1− Σ(p)]

, (6.40)

wobei Σ die Selbstenergie bezeichnet, die in dimensionaler Regularisierung (n = 4−2ǫ) durch

Σ(p) =4

3

g2S(4π)2−ǫ

(µf)2ǫΓ(ǫ)

(−p2)ǫ2(1− ǫ)B(2 − ǫ, 1− ǫ) (6.41)

gegeben ist. In dimensionaler Regularisierung haben wir die starke Kopplungskonstantedurch g2S → g2S(µf)

2ǫ ersetzt, wobei f eine beliebige Konstante ist, um die Wirkung inn = 4− 2ǫ Dimensionen dimensionslos zu machen. Nach Entwicklung in ǫ erhalten wir

S−1(p) = p/

1− 4

3

g2S16π2

[1

ǫ− ln

−p2(µf)2

+ 1 + ln 4π − γE]

. (6.42)

Bei Verwendung von multiplikativer Renormierung haben wir folgende Beziehung zwischendem nackten und dem renormierten Propagator

S−1(p) = Z−1Ψ S−1R (p) . (6.43)


Wir schauen uns im folgenden verschiedene Renormierungsschemata an:

(i) Dyson Renormierungsschema

Das Schema ist durch die folgenden Bedingungen charakterisiert

f = 1S−1R = p/ fur µ2 = −p2

S−1(p) = p/[

1− Σ(µ)] [

1− Σ(p) + Σ(µ)]

. (6.44)

Die Losung ist gegeben durch

Z−1Ψ = 1− 4

3

g2S16π2

[1

ǫ+ ln 4π − γE + 1

]

S−1R = p/

[

1 +4

3

g2S,MOM

16π2ln−p2µ2

]

, (6.45)

wobei MOM fur “momentum substraction” steht.

Die Kopplung/Ladung hangt vom Renormierungsschema ab.

(ii) ’t Hooft: Minimal Substraction (MS)

Hier fordern wir

f = 1

Z−1Ψ nimmt nur den1

ǫPol weg. . (6.46)

Wir fordern also f’ur S−1(p)

S−1(p) = p/

[

1− 4

3

g2S16π2

1

ǫ

]

1− 4

3

g2S16π2

[

− ln−p2µ2

+ ln 4π − γE + 1

]

. (6.47)

Die Losung ist

Z−1Ψ = 1− 4

3

g2S16π2

1

ǫ

S−1R = p/

1− 4

3

g2S,MS

16π2

[

− ln−p2µ2

+ ln 4π − γE + 1

]

. (6.48)

(iii) Modified Minimal Substraction (MS)

Wir fordern

f = exp

[

−12(ln 4π − γE)

]

. (6.49)

Das Ziel ist, alle trivialen Konstanten wegzunehmen. D.h. wir fordern weiter

S−1(p) = p/

[

1− 4

3

g2S16π2

1

ǫ

] [

1− 4

3

g2S16π2

(

1− ln−p2µ2

)]

. (6.50)


Die Losung ist gegeben durch

Z−1Ψ = 1− 4

3

g2S16π2

1

ǫ(6.51)

S−1R (p) = p/

1− 4

3

g2S,MS16π2

[

1− ln−p2µ2

]

. (6.52)

Die Beziehung zwischen MS and MS Schema ist gegeben durch:

MS↔ MS : µ2

MS ↔ µ2

MSexp [− ln 4π + γE ] . (6.53)

Und fur den Skalenparameter (siehe Nebenrechnung)

Λ2

MS = µ2 exp

− 4π2

β0g2S,MS

+β1β20

ln(4π2/(β0g2

S,MS))

(6.54)

Λ2

MS= µ2 exp

− 4π2

β0g2S,MS

+β1β20

ln(4π2/(β0g2

S,MS))

. (6.55)

ΛMS = ΛMS exp

ln 4π − γE

2

(6.56)

β0, β1 sind unabhangig vom Renormierungsschema (nicht βi≥2) und αS,MS(Q2) > α

S,MS(Q2).

Quark masses

Wir betrachten nun die Quark-Selbstenergie, die gegeben ist durch

Σ(p/ = m) = mCFαSπΓ(1 + ǫ)

(4πµ2

m2

)ǫ(3

4ǫ+ 1

)

. (6.57)

Die Polmasse ist gegeben durch

m = m0 + Σ(p/ = m) (6.58)

und die MS Masse durch

m(µ2) = m0 + δm , (6.59)

wobei

δm = mCFαSπΓ(1 + ǫ)(4π)ǫ

3

4ǫ. (6.60)

Die Beziehung zwischen der Polmasse und der MS Masse ist

m(µ2) = m− [Σ(p/ = m)− δm] = m

[

1− CFαSπ

(3

4lnµ2

m2+ 1

)]

= m[

1− CFαSπ

] [

1− 3

4CF

αSπ

lnµ2

m2

]

, (6.61)

also


m(m2) = m

[

1− CFαS(m

2)

π

]

m(µ2) = m(m2)

[

1− αSπ

lnµ2

m2

]

(6.62)

Die Renormierungsgruppengleichung lautet

µ2∂m(µ2)

∂µ2= −γm(αS(µ2))m(µ2) , (6.63)

wobei

γm(αS) =αSπ

+O(α2S) (6.64)

die anomale Dimension bezeichnet. Mit

αS(µ2) =

π

β0 lnµ2

Λ2

(6.65)

ist die Losung gegeben durch

m(µ2) = m(m2) exp

−1β0

∫ µ2

m2

dQ2

Q2 ln Q2

Λ2

= m(m2)

[αS(µ

2)

αS(m2)

] 1β0

. (6.66)

Also erhalten wir

m(µ2) = m[αS(µ

2)] 1

β0

m = m(m2)[αS(m

2)]− 1

β0 (6.67)

Mit wachsendem µ2(R → 0) verschwindet die effektiveQuarkmasse.

Beispiele:

Bottom Quark: mb = 4.8 GeV.

m(m2b) = 4.2 GeV m(M2

Z) = 2.9 GeV . (6.68)

Charm Quark: mc = 1.6 GeV.

m(m2c) = 1.2 GeV m(M2

Z) = 0.6 GeV . (6.69)


Leichte Quarks:

mu(1 GeV2) ∼ 5 MeV Gasser,Leutwyler (6.70)

md(1 GeV2) ∼ 8 MeV (6.71)

ms(1 GeV2) ∼ 200 MeV . (6.72)

Die hoheren Ordnungskorrekturen sind gegeben durch:

m(m2) =m

1 + CFαS(m2)

π+K

(αS(m2)

π

)2 Gray,Broadhurst,Grafe,Schilcher(6.73)

where

Kt ∼ 10.9 Kb ∼ 12.4 Kc ∼ 13.4 . (6.74)

Und wir haben

m(µ2) = m(m2)c[αS(µ

2)/π]

c[αS(m2)/π], (6.75)

mit

c(x) =

(9

2x

)4/9[1 + 0.895x+ 1.371x2 + 1.952x3

]ms < µ < mc

c(x) =

(25

6x

)12/25[1 + 1.014x+ 1.389x2 + 1.091x3

]mc < µ < mb

c(x) =

(23

6x

)12/23[1 + 1.175x+ 1.501x2 + 0.1725x3

]mb < µ < mt

c(x) =

(7

2x

)4/7[1 + 1.389x+ 1.793x2 − 0.6834x3

]mt < µ (6.76)

Chetyrkin; Larin,van Ritbergen,Vermaseren .

WEITERE Referenzen.

6.4 QCD bei kurzen Abstanden - Strukturfunktion des

Nukleons

Asymptotische Freiheit(i) αS klein 0te Naherung: naherungsweise freie Teilchen bei kurzen Abstanden/hohenEnergien. ⇒ Partonmodell.

(ii) lnQ2 Abhangigkeit durch hohere Ordnungen [o.B.d.A.: elektromagnetische Strukturfunk-tion]

M(x) = ie2u′γµu1

q2< X|jµ|Np > (6.77)


Der Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch (E bezeichnet die e Laborenergie)

dσ(e′) =1

4ME

d3k′

(2π)32E ′1

4

∑

X

(2π)4δ4(p+ q − pX)|MX|2 (6.78)

Und wir haben

1

4

∑

X (2π)4δ4(p+ q − pX)|MX |2 (6.79)

=

(e2

Q2

)21

4

∑

Spins

[u′γνu] [uγµu′]

︸︷︷︸

=Lµν Leptontensor

∑

X

< N|γµ|X >< X|γν|N > (2π)4δ4(p+ q − pX)︸︷︷︸

=8πWµν Hadrontensor

Der Leptontensor ist gegeben durch

Lµν = kµk′ν + kνk

′µ − (kk′)gµν . (6.80)

Er ist symmetrisch in µ, ν; k, k′. Der Hadrontensor ist gegeben durch

Wµν =1

8π

∑

Spins

∑

X

(2π)4δ4(p+ q − pX) < Np|jelmµ |X >< X|jelmν |Np >

=1

8π

∑

Spins

∫

d4x e−iqx < NP |[jelmµ (0), jelmν (x)]|Np > . (6.81)

Die Eigenschaften von Wµν sind:

(i) Er ist ein symmetrischer Tensor in pµ, qµ, µ, ν.

(ii) Aufgrund der Stromerhaltung haben wir

qµWµν = qνWµν = 0 [∂µjelmµ = 0] . (6.82)

(iii) Der Tensor ist reell. (Aufgrund des Hermiteschen elektromagnetischen Stroms.)

Wir konnen ihn also in Invarianten zerlegen, indem wir von folgender Basis ausgehen

gµν , qµqν pµpν , pµqν + pνqµ, qµqν . (6.83)

Wir haben dann die Invarianten

−gµν +qµqνq2

und

[

pµ − qµpq

q2

] [

pν − qνpq

q2

]

(6.84)

In diesen Invarianten ist der Hadrontensor dann gegeben durch

Wµν = W1

[

−gµν +qµqνq2

]

+W2

[

pµ − qµpq

q2

] [

pν − qνpq

q2

]

. (6.85)

Die Wi sind Lorentz-invariante skalare Strukturfunktionen.


Die Variablen, von denen der Streuprozess abhangt werden gewahlt als

(i) Der Elektronzustand ist charakterisiert durch seine Energie und den Streuwinkel.

(ii) Wir haben die Lorentz-Invarianten:

Q2 = −q2 = +4EE ′ sin2 θ

2wobei θ den Streuwinkel bezeichnet (6.86)

ν = pq =M(E − E ′) was den Energieverlust im Elektronsektor darstellt .

Diese Werte liegen in den Intervallen

Q2 ≥ 0

ν ≥ 0

(p+ q)2 = W 2 ≥ M2 (da wir wenigstens ein N im Endzustand haben

M2 + 2pq + q2 ≥ M2 ⇒ 2ν ≥ Q2 = elastisch(6.87)

(iii) Die Skalenvariablen sind definiert alsBjorken Variable x = Q2

2ν0 ≤ x ≤ 1

relativer Energieverlust y = pqpk

0 ≤ y ≤ 1 .

Und wir haben die StrukturfunktionenStrukturfunktionen: F1(x,Q

2) = W1(ν,Q2)

F2(x,Q2) = νW2(ν,Q

2) .

Berechnung des Wirkungsquerschnitts im Hochenergielimes liefert

d2σ

dx dy=

4πα2

Q4seN

[(1− y)F2(x,Q

2) + y2xF1(x,Q2)]. (6.88)

Interpretation der Strukturfunktion:Die Essenz von eN → e′+ alles ist γ∗ +N → alles, d.h. der gesamte Absorptionswirkungs-

querschnitt von virtuellen Photonen. Die Wellenfunktion von virtuellen raumartigen Photo-nen im Laborsystem ist gegeben durch

qµ =

(

ν

M, 0, 0,

√

Q2 +ν2

M2

)

. (6.89)

Fur die verschiedenen Polarisationen haben wir die Polarisationvektoren

transversale Polarisation : ǫµ(±) = 1√2(0, 1,±i, 0)

longitudinale Polarisation ; ǫµ(L) = 1√Q2

(√

Q2 + ν2

M2 , 0, 0,νM

)

.(6.90)

Sie sind normiert durch

ǫiǫ∗j = ±δij ǫiq = 0 ǫ∗±ǫ± = −1 ǫ2L = 1 . (6.91)

Der Wirkungsquerschnittγ∗ +N → alles ist gegeben durch

σ(γ∗N ) ∼∑

X

ǫ∗µ < N|jµ|X >< X|jν |N > ǫν(2π)4δ4(p+ q − pX)

∼ ǫ∗µWµνǫν . (6.92)


Der transversale und der longitudinale Wirkungsquerschnitt sind gegeben durch

transversaler Wirkungsquerschnitt : σ± = ǫ∗µ± Wµνeν± = W1 = F1 ≥ 0 [Pelm : σ+ = σ−

longitudinaler Wirkungsquerschnitt : σL = ǫ∗µL WµνǫνL = −W1 +

(ν2

Q2 +M2)

W2 ≥ 0

(Q2,ν2≫M2)→ −F1 +12xF2 .

Das R Verhaltnis ist gegeben durch

R = σLσT

R =(ν2

Q2 +M2)W2

W1− 1

→ F2−2xF1

2xF1.

(6.94)

Experimentelle Ergebnisse:

1.) Bjorken scaling:

Im Bjorken LimesQ2 bigx fixed

haben wir

νW2(ν,Q2) = F2(x,Q

2) F2(x)W1(ν,Q

2) = F1(x,Q2) F1(x)

(6.95)

Das Skalieren ist nicht offensichtlich fur x ∼ 0.25:

x <∼ 0.25 : F2(x,Q2) wachst kaum an mit Q2

x >∼ 0.25 : F2(x,Q2) fallt kaum mit Q2 .

(6.96)

Die geringe “ln” Brechung der Skaleninvarianz wird von der QCD vorausgesagt.

2.) R Verhaltnis: Das R Verhaltnis ist im Bjorken Limes gegeben durch

R(x,Q2)Bj=F2(x)− 2xF1(x)

2xF1(x). (6.97)

Fur große Q2 geht das R Verhaltnis gegen 0, R → 0, d.h. die longitudinale γ∗ Absorptionverschwindet:

Callan-Gross Beziehung : F2 = 2xF1 (6.98)

3.) Neutron/Proton Verhaltnis

FN2 (x)/F P

2 (x) fallt vom Wert 1 bei x = 0 auf den Wert >∼ 14bei x = 1.

Klassisches Quark-Parton Modell Basis:

e+ punktartig → e+ punktartig eN → eN eN → e+ allesdσpt

dQ2 ∼ 1Q4

dσel

dQ2 ∼ 1Q4 |F (Q2)|2 dσ

dQ2 ∼ 1Q4F2(x)

∼ dσpt

dQ2

(M4

Q4

)2

∼ dσpt

dQ2

Aufgrund der Skalierung F2(x,Q2) ≈ F2(x) verhalt sich der inklusive Wirkungsquerschnitt

fur Q2 → ∞ analog wie ein punktartiger Wirkungsquerschnitt. Der Q2 Abfall ist um 8Großenordnungen langsamer als der eines elastischen Nukleon Wirkungsquerschnitts.

Theoretische Teilchenphysik II...•P. Ramon, Field Theory: a modern primer •M. B¨ohm, A. Denner...

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