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Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Theorie digitaler Systeme
Vorlesung 6: Impulsantwort und Faltung
Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2
Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Beispiele führten zu linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten
• Derartige Systeme haben einige grundlegende Eigenschaften, sie entsprechen den Eigenschaften
linearer, zeitinvarianter Systeme im zeitkontinuierlichen Bereich
• Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben zeitdiskrete, lineare,
zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme)
• Definition und Nachweis grundlegende Systemeigenschaften
– Linearität
– Zeitinvarianz
– Stabilität
– Kausalität
Grundlegende Systemeigenschaften
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Für ein System sind die Systemantworten y1[k] und y2[k] bekannt, die sich aus den Anregungen
x1[k] und x2[k] ergeben
• Ein lineares System reagiert auf eine Anregung
mit der Systemantwort
• Beweis der Linearität erfolgt über Einsetzen der Anregung in die Systemgleichung
Linearität eines zeitdiskreten Systems
( )1 1y k f u k= ( )2 2y k f u k=
1 1 2 2u k u k u k= +
1 1 2 2y k y k y k= +
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Filter mit der rekursiven Differenzengleichung soll auf Linearität untersucht werden
• Systemantworten y1[k] und y2[k] berechnen sich mit der Differenzengleichung zu
• Beweis der Linearität
Beispiel: Linearität eines rekursiven Filters
( ) y k 1 GF u k GF y k 1= − + −
( ) 1 1 1y k 1 GF u k GF y k 1= − + − ( ) 2 2 2y k 1 GF u k GF y k 1= − + −
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
y k 1 GF u k GF y k 1
1 GF u k u k GF y k 1 y k 1
1 GF u k GF y k 1 1 GF u k GF y k 1
y k y k
= − + −
= − + + − + −
= − + − + − + −
= +
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
Beispiel: Linearität eines rekursiven Filters
-5 0 5 10 15 20
0
1
2
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
u1[k
]
Eingangssignal 1
-5 0 5 10 15 20
0
1
2
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
u2[k
]
Eingangssignal 2
-5 0 5 10 15 20
0
1
2
Folgenindex k
u[k
] =
u1[k
] +
u2[k
]
Superposition Eingangssignale
-5 0 5 10 15 20
0
1
2
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y1[k
]
Ausgangssignal 1
-5 0 5 10 15 20
0
1
2
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y2[k
]
Ausgangssignal 1
-5 0 5 10 15 20
0
1
2
Folgenindex k
y[k
] =
y1[k
] +
y2[k
]
Superposition Ausgangssignale
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Ein System reagiert auf ein Eingangssignal u[k]
mit einer Systemantwort y[k]
• Zeitinvariante Systeme reagieren auf das
verzögerte Eingangssignal u[k - k0] mit dem
Ausgangsignal y[k - k0].
• Beispiel rekursives Filter
• Zeitinvariante Systeme haben Differenzen-
gleichungen mit konstanten Koeffizienten
Zeitinvarianz eines zeitdiskreten Systems
( ) y k 1 GF u k GF y k 1= − + −
( ) 0 0 0y k k 1 GF u k k GF y k k 1− = − − + − −
-5 0 5 10 15 20
0
1
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y[k
]
Anregung zu k0 = 0
-5 0 5 10 15 20
0
1
Folgenindex kS
ign
alfo
lge
y[k
- 5
]
Anregung zu k0 = 5
Eingang Ausgang
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• System ist
– stabil, wenn es nach einer Anregung mit
endlicher Energie wieder seine Ruheposition
erreicht
– grenzstabil, wenn es nach Anregung mit
endlicher Energie zu einem konstanten
Ausgangswert konvergiert
– instabil, wenn es auf eine Anregung endlicher
Energie mit divergierendem Ausgangssignal
reagiert
• Stabilitätsdefinition wird für zeitdiskrete Systeme
übernommen
• Beispiel für Systeme mit unterschiedlichen
Stabilitätseigenschaften
Stabilität eines zeitdiskreten Systems
-5 0 5 10 15 20
0
10
20
Folgenindex kS
ign
alfo
lge
y3[k
]
Instabiles System
-5 0 5 10 15 20
0
10
20
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y2[k
]
Grenzstabiles System
-5 0 5 10 15 20
0
10
20
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y1[k
]
Asymptotisch stabiles System
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Stabilitätseigenschaften lassen sich für u[k] = 0 an
der Differenzengleichung abgelesen
• Bei stabilem System ergibt sich der neuer
Ausgangswert aus einem Bruchteil des alten
Ausgangswertes
• Bei grenzstabilem System sind alter und neuer
Ausgangswert identisch
• Bei instabilem System ergibt sich der neue
Ausgangswert aus einem Vielfachen des alten
Ausgangswertes
Stabilität eines zeitdiskreten Systems
1 1
1y k 10 u k y k 1
2= + −
2 2y k 2 u k y k 1= + −
3 3
1 11y k u k y k 1
2 10= + − -5 0 5 10 15 20
0
10
20
Folgenindex kS
ign
alfo
lge
y3[k
]
Instabiles System
-5 0 5 10 15 20
0
10
20
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y2[k
]
Grenzstabiles System
-5 0 5 10 15 20
0
10
20
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y1[k
]
Asymptotisch stabiles System
Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9
Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Für die Realisierbarkeit eines Systems darf das Ausgangssignal zu einem gegebenen Zeitpunkt nur von
Werten der Eingangssignale zu diesem oder einem früheren Zeitpunkt abhängen
• Verhalten wird bei zeitkontinuierliche Systeme als die Eigenschaft der Kausalität eines Systems
bezeichnet, das System reagiert erst nach der Anregung
• Liegt eine Systembeschreibung über eine Differenzengleichung vor, kann die Kausalität direkt bewertet
werden
• Da alle Indizes m und n größer gleich null sind, ist ein System, das durch eine lineare
Differenzengleichung der obigen Form beschrieben werden kann, ein kausales System
Kausalität eines zeitdiskreten Systems
M N
m nm 0 n 1
y k d u k m c y k n= =
= − − −
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Gleitender Mittelwert hat die Differenzengleichung
• Weil das Ausgangssignal nur vom aktuellen und
vergangenen Eingangswerte abhängt, ist das
System kausal.
• Ein System mit der Differenzengleichung
ist nicht mehr kausal
Beispiel: Kausalität eines zeitdiskreten Systems
-5 0 5 10 15 20-0.5
0
0.5
1
1.5
Folgenindex k
Sig
na
l
Kausales System
Eingang Ausgang
-5 0 5 10 15 20-0.5
0
0.5
1
1.5
Folgenindex kS
ign
al
Nicht kausales System
Eingang Ausgang
( )1
1y k u k u k 1 u k 2 u k 3 u k 4
5= + − + − + − + −
( )2
1y k u k 2 u k 1 u k u k 1 u k 2
5= + + + + + − + −
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Folgende Darstellungen beschränken sich auf Systeme, die linear und zeitinvariant sind und als
LTI-Systeme bezeichnet werden
• LTI-Systeme sind besonders anschaulich und einfach im Zeit-, Bild- und Frequenzbereich zu beschreiben
und zu interpretieren
• Systeme, die mit einer
– linearen Differenzengleichung mit
– konstanten Koeffizienten
beschrieben werden können, erfüllen die Bedingungen nach Linearität und Zeitinvarianz
• Methoden entsprechen sinngemäß den Methoden zeitkontinuierlicher Systeme
Systemeigenschaften – LTI-Systeme
N M
n mn 0 m 0
c y k n d u k m= =
− = −
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Die beschriebenen Beispiele haben ein Systemverhalten, das über lineare Differenzengleichungen N-ter
Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben wird
• Zur Berechnung des Ausgangssignals stehen unterschiedliche Methoden zur Verfügung, die teilweise im
Zeitbereich und teilweise im Bildbereich ausgeführt werden
• Zunächst werden Lösungsansätze im Zeitbereich beschrieben
– Rekursive Lösung
– Vier-Schritt-Methode
– Lösung über die Faltungssumme
– Grafische Faltung
Lösung linearer Differenzengleichungen im Zeitbereich
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Differenzengleichung N-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten lautet in ihrer allgemeinsten Form
• Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die Annahme c0 = 1 getroffen werden
• Aktuelles Ausgangssignal ergibt sich allgemein aus dem aktuellen Wert des Eingangssignals sowie den
vergangenen Werten des Ein- und Ausgangssignals
• Ausgangssignale der oben dargestellten Systeme wurden mit Hilfe dieser rekursiven Darstellung
berechnet
Lösung linearer Differenzengleichungen – Rekursive Darstellung
N M
n mn 0 m 0
c y k n d u k m= =
− = −
M N
m nm 0 n 1
y k d u k m c y k n= =
= − − −
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Für die Diskussion von Systemeigenschaften ist es notwendig, eine geschlossene Darstellung des
Ausgangssignals zu erhalten
• Für die Lösung von linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten gibt es wie im
kontinuierlichen Bereich für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten die Vier-Schritt-
Methode
– Berechnung der homogenen Lösung
– Berechnung einer partikulären Lösung
– Kombination von homogener und partikulärer Lösung
– Bestimmung der Konstanten über Anfangsbedingungen
• Verfahren wird praktisch nicht angewendet, stattdessen wird die z-Transformation angewendet, das
Pendant zur Laplace-Transformation
Lösung linearer Differenzengleichungen – Vier-Schritt-Methode
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Ausgangssignal eines zeitdiskreten Systems ist von
dem Anfangszustand abhängig, sind die
Anfangsbedingungen null, ist das System energiefrei
• Wie im zeitkontinuierlichen Bereich wird die Reaktion
eines energiefreien Systems auf eine sprungförmige
Erregung [k] als Sprungantwort h[k] bezeichnet
• Da sich der Impuls als Differenz zweier Sprünge
darstellen lässt
ergibt sich die Impulsantwort bei linearen,
zeitinvarianten Systemen zu
Lösung linearer Differenzengleichungen – Impuls- und Sprungantwort
energiefreies LTI
System
k h k
k g k
k k k 1 = − −
g k h k h k 1= − −
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Ist ein System linear und zeitinvariant, kann ein Ausgangssignal dadurch berechnet werden, dass die
Eingangssignale zerlegt, ihre jeweiligen Systemantworten berechnet und anschließend addiert werden
• Als erste Anwendung dieses Prinzips wurde die Impulsantwort als Differenz zweier Sprungantworten
berechnet
• Beispiel rekursive Filter mit der Differenzengleichung
Anregung mit einer Rechteckfolge der Länge 10 und der Höhe 5, Eingangssignal kann als Summe zweier
Sprungfolgen dargestellt werden
Ausgangssignal ergibt sich als Summe der beiden Sprungantworten
Lösung linearer Differenzengleichungen – Superpositionsprinzip
( ) y k 1 GF u k GF y k 1= − + −
( ) u k 5 k k 10 5 k 5 k 10= − − = − −
( ) ( )k 1 k 9y k 5 h k 5 h k 10 5 1 GF k 5 1 GF k 10+ −= − − = − − − −
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
Lösung linearer Differenzengleichungen – Superpositionsprinzip
0 5 10 15 20 25-6
-3
0
3
6
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
u 1
[k]
Eingangssignal 1
0 5 10 15 20 25-6
-3
0
3
6
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y 1
[k]
Ausgangssignal 1
0 5 10 15 20 25-6
-3
0
3
6
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
u 2
[k]
Eingangssignal 2
0 5 10 15 20 25-6
-3
0
3
6
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y 2
[k]
Ausgangssignal 2
0 5 10 15 20 25-6
-3
0
3
6
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
u[k
]
Superposition Eingangssignale
0 5 10 15 20 25-6
-3
0
3
6
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y[k
]
Superposition Ausgangssignale
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Mit Ausblendeigenschaft der Impulsfolge kann ein beliebiges Eingangssignal u[k] beschreiben werden als
Linearkombination um verschobener Impulse mit dem Gewicht u[]
• Systemantwort y[k] auf ein Eingangssignal u[k] kann nach dem Superpositionsprinzip aus derselben
Linearkombination verschobener Impulsantworten dargestellt werden
• Operation wird als Faltungsoperation bezeichnet, zeitdiskrete Faltung entspricht weitgehend
zeitkontinuierlicher Faltung
Lösung linearer Differenzengleichungen – Faltungssumme
u k u k
=−
= −
y k u g k u k g k
=−
= − =
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Der im vorangegangenen Abschnitt behandelte Algorithmus zur gleitenden Mittelung führte zu der
Differenzengleichung
• Durch Einsetzen der Impulsfolge als Eingangssignal ergibt sich die Impulsantwort zu
• Ausgangssignal zu einem beliebigen Eingangssignal kann berechnet werden durch die Faltungssumme
Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch Faltung
( )1
y k u k u k 1 u k 2 u k 3 u k 45
= + − + − + − + −
( )1
g k k k 1 k 2 k 3 k 45
= + − + − + − + −
4
0
1y k u g k u k
5
=− =
= − = −
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Beispiel zur grafischen Faltung
• Folge u[k] wird als Sprungfolge angenommen,
Folge g[k] ergibt sich aus
• Faltung ist über eine Summenformel definiert, sie
kann umgeformt werden zu
Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch grafische Faltung
g k 2 k k 2 k 4= − − − −
u k g k u g k
u g ( k)
=−
=−
= −
= − −
-10 0 10 20
0
1
2
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
u[k
]
Eingangssignal
-10 0 10 20
0
1
2
Folgenindex kS
ign
alfo
lge
g[k
]
Impulsantwort
Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 21
Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Vorgehen orientiert sich an der grafischen Faltung
für zeitkontinuierliche Funktionen
• Das Beispiel verdeutlicht folgenden Ablauf bei der
grafischen Faltung zweier Folgen:
– Spiegelung von g an der Achse = 0
– Verschiebung der Folge um k
– Multiplikation der Folgenwerte
– Addition aller Produkte
• Vorgehen wird für verschiedene k durchgeführt, es
ergibt sich y[k]
Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch grafische Faltung
-10 0 10 20
0
1
2
Zeitpunkt k = 0
Folgenindex
Sig
na
lfo
lge
n
u[] g[-]
-10 0 10 20
0
1
2
Zeitpunkt k = 1
Folgenindex
Sig
na
lfo
lge
n
u[] g[1-]
-10 0 10 20
0
1
2
Zeitpunkt k = 3
Folgenindex S
ign
alfo
lge
n
u[] g[3-]
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Für negative Folgenindizes k überschneiden sich
die beiden Folgen nicht
• Zum Zeitpunkt k = 0 überschneiden sich die
beiden Folgen an genau einer Stelle = 0,
Ausgangssignal y[0]= 2
• Für k = 1 ergibt sich eine Überschneidung der
ersten beiden Werte, nach Bildung des Produktes
werden die Ergebnisse addiert und es ergibt sich
y[1]= 2 + 2 = 4
• Für k 3 überschneidet sich die Folge g komplett
mit der Folge x, so dass sich der Wert des
Ausgangssignals nicht weiter ändert
Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch grafische Faltung
-10 0 10 20
0
2
4
6
8
Folgenindex k
Sig
na
lfo
lge
y[k
]
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Darstellung der zeitdiskreten Faltung in der
Applikation zeitdiskrete Faltung
• Link auf Applikation in Systemtheorie Online
verfügbar
• Es können unterschiedlichen Folgen u[k] und
g[k] ausgewählt werden
• Überlappungsbereich der beiden Folgen, das
Produkt der überlappenden Folgenwerte sowie
die Summe über das Produkt sind in
unterschiedlichen Fenstern dargestellt
Applikation: Zeitdiskrete Faltung
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
Zusammenfassung – Eigenschaften der Faltungssumme
Rechenregel Darstellung als Gleichung
Kommutativgesetz
Distributivgesetz
Assoziativgesetz
Faltung kausaler Folgen
Faltung mit einem Impuls
Faltung mit einem Impuls an der Stelle k0
1 2 2 1x k x k x k x k =
( ) 1 2 3 1 3 2 3x k x k x k x k x k x k x k+ = +
( ) ( )1 2 3 1 2 3x k x k x k x k x k x k =
k
1 2 1 2
n 0 n 0
x n x k n x n x k n
= =
− = −
y k k x k x k= =
0 0y k k k x k x k k= − = −
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Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
• Ein zeitdiskretes System besitzt die Impulsantwort
• Berechnen Sie die ersten 6 Werte der Impulsantwort und skizzieren Sie das Ergebnis
• Berechnen Sie die Sprungantwort des Systems über die Faltungssumme
und über die rekursive Differenzengleichung
• Vergleichen Sie die Ergebnisse
Übungsaufgabe: Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich
k
1g k k
2
=
h k h k 1 g k= − +
0
y k u k g
=
= −