Quellen:

• PETERSEN, CHRISTIAN (1992): Statik und Stabilität der Baukonstruktionen. Elasto- und plasto-statische Berechnungsverfahren druckbeanspruchter Tragwerke ; Nachweisformen

gegen Knicken, Kippen, Beulen. 2. Aufl. Braunschweig [u.a.]: Vieweg

Träger mit veränderlichem Querschnitt in der

Theorie II. Ordnung am Beispiel von Hallentragwerken

Träger mit veränderlichem Querschnitt stellen aufgrund ihrer Wirtschaftlichkeit ein häufiges Element von Baukonstruktionen dar. Vor allem im Bereich

des Hallenbaus, speziell bei der Konstruktion von Rahmentragwerken, treten wiederholt Stäbe veränderlicher Querschnittserstreckung auf, die vielfach

mit Vouten versehen oder konisch ausgeführt werden. Die Modellierung der Querschnittsänderung kann bei FE-Berechnungen durch Anpassung der

Elementsteifigkeitsmatrizen und -lastvektoren erfolgen, welche im Zuge dieser Arbeit in das Stabwerksprogramm Stiff implementiert wurden.

Bachelorarbeit SS 2012

Simone Frank

Grundlagen der Beschreibung eines

konischen Querschnitts

Die Darstellung des veränderlichen

Trägers erfolgt in Anlehnung an

Petersen durch die vereinfachte

Beschreibung eines Zweipunkt-

querschnitts.

Zur möglichen Kennzeichnung der

Konizität wird der Parameter k

eingeführt, welcher sich auf das

Anfangs- und Endträgheitsmoment

bezieht.

Aus der DGL der Th.II.O. für den

konischen Zweipunktquerschnitt

folgen die abgeänderten

Grundlösungen. Dafür werden die

Stabkennzahl α und die Strichwerte

Aa‘, Ab‘, B‘, Cb‘ neu definiert bzw.

eingeführt.

Mit Hilfe der Beschreibung über die

kubischen Formfunktionen wird

ergänzend die Th.I.O. behandelt.

werden.

Implementierung und Testen der

umgeformten Grundlösungen

Im Zuge der Anpassung des Stab-

werksprogramms Stiff wurden die

hergeleiteten Änderungen für den

konischen Stab in der Elementebene

implementiert und eine Möglichkeit

zur Modellierung eines konischen

Stabes über die Eingabe der

Elementsteifigkeit EIb gegeben.

Die Berechnungen für ein konisches

Tragwerk fügen sich nun geordnet in

den gewohnten Ablauf des

Programms ein.

Ein konischer Kragarm als Kontroll-

element ermöglicht einen Vergleich

der Ergebnisse anhand folgender

Studien:

• Konvergenzstudie durch die

Lösungen eines Stufenträgers

• Vergleich mit dem

Stabwerksprogramm RStab

• Gegenüberstellung der

Traglasfaktoren

Als praktischer Abschluss kann durch

das Berechnungsbeispiel eines

konischen Rahmentragwerks erneut

die Qualität der hergeleiteten

Grundlösungen aufgezeigt werden.

Konischer Zweipunktquerschnitt

www.st.bv.tum.de Lehrstuhl für Statik, Prof. Dr.-Ing. Kai-Uwe Bletzinger Betreuer: Dipl.-Ing. Benedikt Philipp

S

Ia

Ib

a

b

z

S

L

z

v

L-

𝜅 = 𝐼𝑎𝐼𝑏

= 𝐼𝑚𝑖𝑛𝐼𝑚𝑎𝑥

Parameter zur Beschreibung des konischen Elements

Elementsteifigkeitsmatrix des konischen Elements Th.II.O., GE 1

Elementlastvektor des konischen Elements Th.II.O., GE 1

𝐾𝑇ℎ .𝐼𝐼.𝑂.𝐼,𝑘𝑜𝑛 =

𝐸𝐴

𝑙0 0 −

𝐸𝐴

𝑙0 0

01

𝑙2(𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 + 2𝐵) ±

𝑆

𝑙−

1

𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 0 −

1

𝑙2(𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 + 2𝐵) ∓

𝑆

𝑙−

1

𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵)

0 −1

𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 𝐴𝑎 0

1

𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 𝐵

−𝐸𝐴

𝑙0 0

𝐸𝐴

𝑙0 0

0 −1

𝑙2(𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 + 2𝐵) ∓

𝑆

𝑙

1

𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 0 +

1

𝑙2(𝐴𝑎 + 𝐴𝑏 + 2𝐵) ±

𝑆

𝑙

1

𝑙(𝐴𝑏 + 𝐵)

0 −1

𝑙(𝐴𝑎 + 𝐵) 𝐵 0

1

𝑙(𝐴𝑏 + 𝐵) 𝐴𝑏

𝐾0,𝑇ℎ .𝐼𝐼.𝑂𝐼,𝑘𝑜𝑛 =

0𝑝0 ∙ 𝑙

2−𝐴𝑎𝛾𝑎 − 𝐵𝛾𝑏

𝑙−−𝐴𝑏𝛾𝑏 + 𝐵𝛾𝑎

𝑙

𝐴𝑎𝛾𝑎 −𝐵𝛾𝑏 0

𝑝0 ∙ 𝑙

2+𝐴𝑎𝛾𝑎 − 𝐵𝛾𝑏

𝑙+−𝐴𝑏𝛾𝑏 + 𝐵𝛾𝑎

𝑙−𝐴𝑏𝛾𝑏 + 𝐵𝛾𝑎

∝= 𝑙 ∙ 𝑆

𝐸𝐼𝑏

Numerische Grenzbetrachtung der konischen Strichwerte – Vergleich mit geraden Stäben

<1

5 10 15 20 25 30 35

0

1

4

5

6

Achsenbruch

Vz(x=0m)

Vz(x=5m)

My(x=5m)

Vz(x=2,5m)

My(x=2,5m)

Ab

wei

chu

ng

der

Sch

nit

tgrö

ßen

[%

]

Elementanzahl

5 10 15 20 25 30 350123456789

10111213

uz(x=0m)

y(x=0m)

Ab

wei

chu

ng

der

Ver

sch

ieb

un

gsgr

öß

en [

%]

Elementanzahl

Konischer Kragarm Stufenträger aus 5/10/15/20/25/35 Elementen

Konvergenzstudie Th.II.O.

Kragarm - Vergleich mit Ergebnissen aus RStab Th.II.O.

Kragarm - Vergleich des Traglastfaktors

10 20 30 40 50

-0,0122

-0,0120

-0,0118

-0,0116

-0,0114

-0,0112

-0,0110

-0,0108

-0,0106

-0,0104

y(x=0m)

Konvergenz,35

y(x=0m)

RStab

y(x=0m)

konisch

Ver

dre

hu

ng

y(x=0

m)

[rad

]

Voutenteilungen10 20 30 40 50

0,0360

0,0365

0,0370

0,0375

0,0380

0,0385

0,0390

0,0395

0,0400

0,0405

0,0410

uz(x=0m)

RStab

uz(x=0m)

konisch

uz(x=0m)

Konvergenz,35

Ver

sch

ieb

un

g u

z(x=0

m)

[m]

Voutenteilungen

0123456789

1011121314151617

0,2140,396

15,635

1,0830,106

Ab

wei

chu

ng

RSt

ab/k

on

isch

es E

lem

ent

[%]

My(x=5m)

My(x=2,5m)

Vy(x=0m)

Vy(x=5m)

Vy(x=2,5m)

Beispiel aus dem Holzbau – konisches Rahmentragwerk

GStiel

wd,Luv

sd

GStiel

wd,Lee

GKranbahnGKranbahn

GKranbahn

2000

500

25

50

50

466

Lasten und Querschnitte; Maße in cm

Verschiebungsgrößen – kombiniert mit den Ergebnissen der Konvergenzstudie Schnittgrößen

x, ux

z, uza

b

S=25kN

qz=

2,5

kN/m

l =5m

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Beträge der

konischen

Strichwerte

A'a

A'b

B'

C'b

Faktor (Ia=·I

b)

A1

A2

f

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

16,6

17,1

18,9

kritischer Lastfaktor krit,1

Stiff, Stufenträger (35 Elemente)

Stiff, konisches Element

RStab, konisches Element (50 Vouten)

Knickfigur des

konischen Elements