Thermische Turbomaschinen || Thermodynamische Grundlagen

1 Thermodynamische Grundlagen

1.1 Die thermodynamischen Hauptsätze

Wir stellen einen kurzen Abriß der thermodynamischen Hauptsätze voran, weil insbesondere die Art, wie der zweite Hauptsatz in die Theorie der Turbomaschinen und der Arbeitsprozesse eingeht, etwas verborgen und daher nicht sehr leicht zu überblicken ist.

Allen Gesetzen der Thermodynamik ist eine Grundtatsache voranzustellen, die als "nullter" Hauptsatz bezeichnet worden ist, eine Benennung, die erst verhältnismäßig spät im Rahmen der Axiomatisierung dieses Wissensgebietes eingeführt wurde, nachdem die Bezeichnung "erster Hauptsatz" schon für das Energieprinzip eingeführt worden war. Er lautet:

"Nullter" Hauptsatz: Sind zwei Systeme mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so sind sie miteinander im thermischen Gleichgewicht.

Es ist dieser experimentelle Befund, der die Einführung des Temperaturbegriffes erst möglich macht. Die Messung der Temperatur eines Körpers mit einem Flüssigkeitsthermometer bedeutet ja, daß man dieses mit dem Körper ins thermische Gleichgewicht bringt und das spezifische Volumen der Thermometerflüssigkeit beobachtet. Führt nun das gleiche Experiment, an einem zweiten Körper ausgeführt, auf das gleiche spezifische Volumen der Thermometerflüssigkeit, so lehrt die Erfahrung, daß bei gegenseitiger Berührung der beiden Körper keine Zustandsänderungen in ihnen entstehen, daß sie folglich im thermischen Gleichgewicht sind. Dies ist der Aussageinhalt des "nullten" Hauptsatzes, der es erlaubt, nach an sich willkürlicher Konvention eine "empirische Temperatur" 0 einzuführen, die ausgehend vom spezifischen Volumen Vp der Thermometerflüssigkeit durch

(j - avp + b l.1(1)

definiert ist mit a und b als durch Übereinkunft festgelegten Koeffizienten. Jedes Gas nimmt bei genügend kleiner Dichte die Eigenschaften eines vollkommenen

oder idealen Gases an, d.h. es gehorcht dann dem Gesetz von Boyle-Mariotte, das besagt, daß das Produkt pv aus Druck und spezifischem Volumen eine monotone Funktion von 0 allein ist, wie übrigens die Festlegung von 0 auch getroffen sein mag. Es ist also

pv =f(O), 1.1(2)

so daß man auchf(O) selbst zur Temperaturangabe benützen kann. Kommt man überein, eine Temperatur T einzuführen, die f(O) proportional ist und die Eigenschaft hat, daß die Differenz der T zwischen dem Eispunkt und dem Siedepunkt des reinen RaO bei 760 mm Hg 100 Einheiten (Grade) beträgt, so ist

pv= RT. 1.1(3)

Hier ist R eine Konstante, die sich aus der eben genannten Vorschrift ergibt, s.obald man sich einmal auf ein bestimmtes Gas festgelegt hat. Man erhält nun zwar für jedes Gas, das man auch auswählen mag, im allgemeinen ein anderes R, doch lehrt die Erfahrung, daß die Temperaturmaßstäbe T, die man auf diese Weise gewinnt, alle miteinander identisch werden. Diese Erfahrungstatsache, die nichts anderes besagt als die Gleichheit der Wärmeausdehnungseigenschaften aller idealen Gase, ist das Gesetz von Gay-Lussac. Eine weitere, als Gesetz von Avogadro bekannte Erfahrungstatsache besagt, daß die sog. Gas-

W. Traupel, Thermische Turbomaschinen© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

2 1 Thermodynamische Grundlagen

konstanten R aller Gase sich aus einer universellen Gaskonstanten R = 8315 J Ikmol K berechnen lassen gemäß

R R= M' 1.1(4)

wo M das Molekulargewicht des Gases ist. - Die Dimensionsangabe K verweist auf die oben eingeführte Temperaturskala, die als Kelvinskala (Grad Kelvin) bekannt ist.

Die so eingeführte Temperatur T hat zwar an sich zunächst den Charakter einer willkürlich eingeführten empirischen Temperatur, erweist sich aber als identisch mit der durch den zweiten Hauptsatz festgelegten thermodynamischen Temperatur (wobei natürlich die Vorschrift einer Temperaturdifferenz von 1000 zwischen Eispunkt und Siedepunkt des HzÜ so unwesentlich ist wie die Einführung des Meters als Längenmaß).

Um eine axiomatisch befriedigende Formulierung des ersten Hauptsatzes gewinnen zu können, betrachten wir ein System, dessen Grenzen so gelegt seien, daß durch sie hindurch keine Übertragung von Materie stattfinde und nehmen auch an, daß an den Systemgrenzen keine Ausgleichvorgänge stattfinden, die auf das thermische Gleichgewicht zwischen System und Umgebung hintendieren. Ein System, an dessen Grenzen diese Ausgleichvorgänge unterbunden sind, heißt adiabatisch abgeschlossen. - Unter dieser Voraussetzung lehrt die Erfahrung das folgende:

Erster Hauptsatz: Für jedes System existiert eine Funktion U, deren Wert nur von seinem Zustand abhängt und welche die Eigenschaft hat, daß für jeden unter adiabatischem Abschluß erfolgenden tJbergang des Systems von einem Zustand 1 in einen Zustand 2 gilt

Uz - U1 , A1z , 1.1(5)

wo A1Z' die während dieses Überganges von außen am System geleistete Arbeit ist.

Dieser Satz ist die strenge Formulierung des Energieprinzipes, da er nichts anderes ausspricht als die Unmöglichkeit des Perpetuum mobile. Ein solches wäre ja ein adiabatisch abgeschlossenes System, das zyklischen Zustandsänderungen unterworfen wird und mit jedem Zyklus resultierend Arbeit nach außen abgäbe, was aber durch den Satz ausgeschlossen ist. Man nennt U die innere Energie des Systems,

Ist ein System nicht adiabatisch abgeschlossen, so gilt die Gleichheit 1.1(5) im allgemeinen nicht mehr. Es ist vielmehr

1.1(G)

Die damit eingeführte Größe Q nennt man die dem System aus seiner Umgebung zugeführte Wärmemenge. Man kann diese Definition auch in Worte fassen:

Die einem System zugeführte Wärmemenge ist die Differenz zwischen der Zunahme seiner inneren Energie und der an ihm geleisteten Arbeit.

Damit ist Wärme definiert als eine Form der Energieübertmgung (wie Arbeit). Das ist vom axiomatischen Standpunkt aus unabdingbar. Sobald von in einem Körper enthaltener Wärme gesprochen wird oder etwa von Wärme, die durch Reibung in einem Körper entsteht, wird die logisch klare, einheitliche Struktur der Thermodynamik zerstört.

Soll die hier gegebene Formulierung des ersten Hauptsatzes in voller Allgemeinheit gültig sein, EO muß man den Ausdruck "Zustand" so auffassen, daß für ihn u.a. auch der Bewegungszustand des Systems kennzeichnend ist, wobei dann seine Bewegungsenergie mit in U eingeht. Das ist aber nicht die Art, wie der Zustandsbegriffin der Thermodynamik normalerweise aufgefaßt wird, denn man versteht darunter im allgemeinen nur den thermodynamischen Zustand. Geht man von dieser Auffassung aus und definiert auch die innere Energie U als eine nur vom thermodynamischen Zustand abhängige Größe, so muß man die kinetische Energie Ek , die das System etwa gemäß seinem jeweiligen Bewegungszustand hat, gesondert einsetzen, d.h. GI. 1.1(5) lautet dann

(U2 + Ed - (U1 + Ekl ) = A12 1.1(7)

1.1 Die thermodynamischen Hauptsätze 3

und GI. 1.1(6) 1.1(8)

Um den zweiten Hauptsatz in völlig allgemeiner Weise formulieren zu können, gehen wir aus von der Vorstellung eines Systems, dessen Grenzen wiederum von keiner Materie überquert werden. Hingegen wird kein adiabatischer Abschluß vorausgesetzt. Das System bestehe aus Masseteilen ml' m2' ... , mi' ... , die empirische Temperaturen 0, besitzen mögen. Die Massenteile können in beliebige Wechselwirkung miteinander treten. Es darf sogar Massenaustausch (etwa Diffusion) zwischen ihnen zugelassen werden, wobei man lediglich die Grenzflächen zwischen den einzelnen mi so zu legen hat, daß bei solchen Austauschvorgängen die einzelnen mi ihre Werte unverändert beibehalten. Die mi dürfen auch infinitesimale Massenelemente sein, wobei dann unter dem nachfolgend angegebenen Summenausdruck ein Integral zu verstehen ist. - Nun betrachten wir einen unendlich kleinen Teilschritt eines ganz beliebigen Prozesses. Bei einem solchen werden den Masseteilen mi im allgemeinen von außerhalb der gemeinsamen Systemgrenze Wärmemengen dQi zugeführt. Der zweite Hauptsatz behauptet nun:

Zweiter Hauptsatz: Es existiert eine nicht negative universelle Funktion T der Temperatur () allein [also T = cp(O)] und weiter für jedes System eine nur von seinem Zustand abhängige, extensive Funktion S, deren Zuwachs dS für jede infinitesimale Zustandsänderung der Bedingung

1.1(9)

genügt.

Die Funktion T heißt thermodynamische Temperatur, durch deren Buchstabensymbol angedeutet ist, daß sie sich als mit der aus dem vollkommenen Gase abgeleiteten Temperatur als identisch erweist, wie unter 1.5 aufgezeigt wird. Die Funktion S heißt die Entropie des Systems. Die Aussage, sie habe extensiven Charakter, bedeutet: Bildet man aus mehreren Systemen zusammen ein Hypersystem, so ist die Entropie desselben gleich der Summe der Entropien der Einzelsysteme.

Das Zeichen> in Re!. 1.1(9) impliziert die Erfahrungstatsache der nichtumkehrbaren oder irreversiblen Vorgänge, denn gilt für einen Prozeß dieses Zeichen, so müßte ja für seine genaue Umkehr das Zeichen< gelten, womit ein Widerspruch zum zweiten Hauptsatz entstünde. Damit also ein Prozeß umkehrbar oder reversibel sei, ist es notwendig und hinreichend, daß in Re!. 1.1(9) das Gleichheitszeichen gilt.

Besteht unser System nur aus einer einzigen Masse mit einheitlicher Temperatur T, so lautet Re!. 1.1(9)

dS>~. 1.1(10)

Wir führen nun eine ideelle Wärmemenge dQ' ein durch die Setzung

dS __ dQ + dQ' - T ' 1.1(11)

so daß sicher dQ' ~ o. 1.1(12)

dQ' hat eine einfache anschauliche Bedeutung: Ersetzt man einen wirklichen irreversiblen Prozeß durch einen gedachten, der auf reversible Weise vom gleichen Anfangszustand zum gleichen Endzustand führt, so muß bei diesem ideellen Ersatzprozeß außer der dem wirklichen Prozeß zugeführten Wärme dQ noch eine zusätzliche Wärmemenge dQ' zugeführt werden. Daß dQ + dQ' die dem reversiblen Ersatzprozeß insgesamt zuzuführende Wärme ist, folgt aus GI. 1.1(11), denn dort steht das Gleichheitszeichen.

Diese Zusammenhänge betrachten wir an einem Beispiel, das für die Turbomaschinentheorie grundlegend ist. Wir betrachten ein mit der Masse m eines Fluids erfülltes Raumelement, das eine Änderung seines Volumens V und seiner Gestalt erfährt und unter einem


Druck p steht, vgl. Abb. 1.1.1. Für einen unendlich kleinen Teilschritt des Prozesse!;!, bei dem aus der Umgebung die Wärmemenge dQ zugeführt wird, ist dann nach dem ersten Hauptsatz

dU = p fdddf + dA,! + dQ. f

Abb.1.1.1 Massenelement eines Fluids.

1.1(13)

Hier ist das erste Glied rechts die vom Druck an der Oberfläche des Raumelementes geleistete Arbeit, dA'I die gegen die Zähigkeitskräfte zu leistende Arbeit (vor allem bei Deformation des Elementes I), dQ die zugeführte Wärme. Der Integralausdruck ist nichts anderes als die Abnahme des Volumens, weshalb die Gleichung auch

dU = -p dV + dA'I + dQ 1.1(14)

geschrieben werden kann. Der Prozeß ist irreversibel, da Arbeit gegen Zähigkeitskräfte geleistet wird. Man kann

ihn gedanklich durch einen reversiblen ersetzen, indem man sich die Zustandsänderung unendlich langsam durchgeführt denkt, wobei die Zähigkeitskräfte verschwinden. Soll aber dieser reversible Ersatzprozeß die gleiche Zustandsänderung herbeiführen wie der wirkliche, so muß dU für beide den gleichen Wert haben, da U Zustandsgröße ist. Da die Arbeit gegen die Zähigkeitskräfte wegfällt, muß also beim Ersatzprozeß zusätzlich eine Wärmemenge dQ' zugeführt werden, deren Betrag gleich dem dA'] des wirklichen Prozesses ist, d. h. es ist

oder

Mit GI. 1.1(11) ist folglich auch

dU = -p dV + dQ' + dQ

dQ + dQ' = dU + p dV.

dS _dU + pdV - T .

1.1(15)

1.1(16)

Dies ist die für unser besonderes Problem formulierte "Hauptgleichung der Thermodynamik", auch Gleichung von Gibbs genannt. Mit ihrer Hilfe können Entropieänderungen berechnet werden, ohne daß man gedanklich auf reversible Ersatzprozesse zurückgreift, denn diese Überlegung ist bei der Herleitung der Gleichung ein für allemal gemacht. Da S, U und V extensive Größen sind, kann man aus ihnen spezifische Größen gewinnen, indem man durch die Masse dividiert. Setzt man also s = Slm, u = Ulm, v = Vlm, so schreibt sich GI. 1.1(16)

ds = du + pdv, T

in welcher Form die Gleichung häufiger gebraucht wird.

1.1(17)

Man trifft häufig die Aussage, daß GI. 1.1(16) den ersten und zweiten Hauptsatz zusammenfasse, was aber nicht streng richtig ist, da ja eine Gleichung niemals zwei Gesetze aussprechen kann. Genauer läßt sich die Situation wie folgt beschreiben. Da S nach dem zweiten Hauptsatz Zustandsgröße ist, hat dS sicher den Charakter eines vollständigen Differentials, denn nur dann wird das Integral von dS zwischen zwei gegebenen Zustandspunkten unabhängig vom Integrationsweg. Bei der Herleitung der G1. 1.1(16) wird nun aber nur der erste Hauptsatz herangezogen und die Setzung 1.1(11), die den Charakter einer Definition hat. Erst indem man zu der durch GI. 1.1(11) gegebenen Aussage noch die

1.2 Zur Thermodynamik der Wärmekraftmaschinen 5

zweite beifügt, dS sei vollständiges Differential, hat man auch den zweiten Hauptsatz ausgesprochen.

Der dritte Hauptsatz, der aussagt, daß die Entropie jedes aus lauter gleichartigen Molekülen bestehenden Körpers im absoluten Nullpunkt verschwindet, hat für den Turbomaschinenbau keine direkte Bedeutung.

1.2 Zur Thermodynamik der Wärmekraftmaschinen

Man denke sich zunächst zwei Körper mit Temperaturen Tl und T 2 in eine gemeinsame adiabatische Umhüllung eingeschlossen, so daß jeder Wärmekontakt mit der Umgebung unterbrochen ist. Wohl aber soll vom Körper 1 (Ternp. Tl) die Wärmemenge dQ an den Körper 2 (Ternp. T 2 ) übergehen. Es läßt sich leicht einsehen, daß der zweite Hauptsatz, wie er unter 1.1 formuliert wurde, nur erfüllt sein kann, wenn T 2 ;;:;: Tl> wobei das Gleichheitszeichen den reversiblen Grenzfall der unendlich langsamen Wärmeübertragung kennzeichnet. Die allbekannte Erfahrungstatsache, wonach der Prozeß der Wärmeübertragung nur in Richtung von der höheren zur tieferen Temperatur vor sich geht, ist also durch die angegebene Formulierung des zweiten Hauptsatzes impliziert. Umgekehrt ist diese Erfahrungstatsache eine der vielen experimentellen Bestätigungen dieses Naturgesetzes. -Nach dieser vorbereitenden Überlegung können wir nun eine sehr allgemeine Betrachtung: über den Prozeß einer beliebigen Wärmekraftmaschine durchführen.

Unter einer Wärmekraftmaschine sei ein System verstanden, das ausschließlich zyklischen Zustandsänderungen unterworfen wird und bei dem Wärme von außen zugeführt und Arbeit nach außen abgegeben wird. - Die Prozesse der Dampfkraftanlage oder der geschlossenen Gasturbine entsprechen dieser Definition, nicht aber jene der Maschinen mit innerer Verbrennung, worauf wir unter 1.11 zurückkommen. - Die ganze Masse der am Prozeß beteiligten Stoffe denken wir uns nun aufgeteilt in eine hinreichend große Zahl von Massenelementen mi' die augenblickliche Temperaturen Ti haben mögen. Gemäß GI. 1.1(11) gilt dann für jeden unendlich kleinen Teilschritt des Vorganges

dS = };dQi + dQi, i Ti

1. 2( 1)

wo die dQi und dQ; die dem jeweiligen Massenelement mi zugeordneten Werte sind. -Die Massenteile mi werden im allgemeinen infinitesimal sein müssen, wobei die Summe in ein Integral übergeht, doch erleichtert die hier gewählte Darstellung die Verfolgung des Gedankenganges. - Man beachte, daß die dQi in GI. 1.2(1) im allgemeinen nicht identisch sind mit den dQi in GI. 1.1(9), denn jene stellen nur die von außerhalb der alle mi gemeinsam einschließenden Systemgrenze zugeführten Wärmemengen dar. Die dQi in GI. 1.2(1) haben die gleiche Bedeutung wie dQ in GI. 1.1(10), d.h. man betrachtet das einzelne Massenelement mi als Subsystem, und dQi ist die Wärmemenge, die über seine Systemgrenzen tritt. Diese kann aber auch von anderen Massenelementen innerhalb der gemeinsamen Systemgrenze herrühren. Wir können daher allgemein setzen

dQi = dQf - dQt' + dQf, 1.2(2)

wobei die einzelnen Summanden die folgende Bedeutung haben:

dQ( = aus äußerer Wärmequelle zugeführte Wärmemenge, dQt' = an die Umgebung abgegebene Wärmemenge (abs. Betrag), dQt = innerhalb der Anlage vOn anderen Massenteilen her auf mi übertragene ~Wärme

menge (positiv, wenn mi die Wärme empfängt).

Dann ist für den betrachteten Teilschritt des Prozesses

dS = };dQf - dQt' :. dQf + dQi. t t

1.2(3)


Nun führen wir den zweiten Hauptsatz ein durch die Aussage, daß das Integral der Entropieänderung des Systems für einen vollen Arbeitszyklus verschwinden muß, also

f d8 = O. 1.2(4)

Dies folgt für einen Kreisprozeß zwingend, wenn 8 nur vom Zustand abhängt, wie der zweite Hauptsatz behauptet. Mit GI. 1.2(3) läßt sich dies auch schreiben:

~ L;dQY - cß L;dQr + ~ L;dQt + ~ L;dQ; = o. 1.2(5) i Ti i Ti i Ti i Ti

'-..-' '-..-' '--.-' '-..-'

118~ 118-" 118* 118'

Ist Tl die höchste im Prozeß auftretende Temperatur und Q~ die gesamte Wärmemenge, die dem Prozeß je Periode zugeführt wird, dann gilt offenbar

~L;dQr ~ cßL;dQf = i-cßL;dQf = Q~ i Ti i Tl Tl i Tl

oder

118~ = (X CJ,f, (X;;:O; 1. 1.2(6) 1

Ebenso findet man, wenn man mit T 2 die Umgebungstemperatur und mit Q-" die gesamte je Periode an die Umgebung abgegebene Wärme bezeichnet

~ L;dQr ~ ~ L;dQr = ~ ~ L;dQr = Q-" i Ti i T 2 T 2 i T 2

oder

118-" = ß 0;, ß ~ l. 2

1.2(7)

Dabei ist die Tatsache verwendet, daß Wärme nur von solchen Prozeßphasen aus an die Umgebung übertragen werden kann, wo Ti ~ T 2 , was der zweite Hauptsatz impliziert, wie zu Anfang dieses Abschnittes ausgeführt.

Über 118* läßt sich wie folgt eine Aussage gewinnen. Jedem positiven dQt an einem Massenelement mi entspricht irgendwo im Prozeß ein negatives dQ,! gleichen Betrages an einem Massenelement mj' Da nun aber auch für diese Wärmeübertragung sicher T j ;;:0; Ti' ist auch

dQt dQ,! = IdQ'1 (~_~) > 0 T· + T· 'T· T· = ,

• J 'J

1.2(8)

folglich nach Durchführung der Integration

118*~0. 1.2(9)

Schließlich geht aus der Relation 1.1(12) hervor, daß die dQ; niemals negativ sein können, so daß

118' ;;:0; O.

GI. 1.2(5) läßt sich demzufolge schreiben

(X Q~ - ßQ-" + 118* + 118' = 0, Tl T 2

woraus

Q-" = ~2l(X ~ + 118* + 118'] = Q~ ~2 [;1 + 118* Q~ 118'].

Nun ist nach dem ersten Hauptsatz die pro Periode geleistete Arbeit

A = Q~ - Q-",

1.2(10)

1.2(11)

1.2(12)

da ja U am Ende des Arbeitsspiels sicher den gleichen Wert hat wie am Anfang. Der thermische Wirkungsgrad, d. h. das Verhältnis AIQ~, ist folglich

A Q~ - Q-" Q-" 17th -- Q~ = ~- = 1 - Q~ . 1.2(13)

1.3 Grundsätzliches über Prozeßuntersuchungen

Mit GI. 1.2(11) folgt daraus

= 1 - T 2 [~+ L1S* + L1S'] l 'YJth ß Tl QIf

IX ~ 1, ß ~ 1, L1S* ~ 0, L1S' ~ o. J Damit ergibt sich auch unmittelbar

1 T2 'iJth ~ - Tl'

7

1.2(14)

1.2(15)

Der hier rechts stehende Ausdruck ist der Wirkungsgrad des Carnotschen Kreisprozesses. Diesen kann also eine Wärmekraftmaschine theoretisch niemals überschreiten, praktisch auch nie erreichen, da Nichtumkehrbarkeiten niemals ganz zu unterdrU-cken sind.

GI. 1.2(14) gibt eine völlig allgemeine Anweisung dafür, was bei der Prozeßführung einer Wärmekraftmaschine anzustreben ist. Die höchste Prozeßtemperatur Tl soll möglichst hoch liegen, und es sollte die ganze Wärmezufuhr bei möglichst hoher Temperatur erfolgen, am besten alles bei Tl (dann ist IX = 1). Alle Wärmeübertragung an die Umgebung sollte bei Temperaturen vorgenommen werden, die möglichst wenig über der Umgebungstemperatur T2 liegen (im Idealfall bei T 2 selbst, dann ist ß = 1). Innere Wärmeübertragungen sollen, wenn überhaupt, so mit kleinstmöglichen Temperatursprüngen vorgenommen werden (Idealfall L1S* = 0). Energiedissipation durch Reibung irgendwelcher Art ist möglichst klein zu halten (Idealfall L1S' = 0).

Durch die Gleichungen 1.2(16)

lassen sich Mitteltemperaturen Tl und T2 der Wärmezufuhr und des Wärmeentzuges definieren. Sie betragen

QIf Tl Tl = ~ J;dQf IX

i Ti - QJf T T 2 = J;dQi' = /

~ i Ti

und kennzeichnen die Hochwertigkeit der thermodynamischen Prozeßführung.

1.3 Grundsätzliches über Prozeßuntersuchungen

1.2(17)

1.2(18)

Das thermodynamische Verhalten eines Einphasenfluids ist erschöpfend beschrieben, wenn man seine kalorische und seine thermische Zustandsgleichung angibt, also ausßagt wie seine spezifische innere Energie u und sein spezifisches Volumen v vom Druck P und der Temperatur Tabhängen:

u = f(p, T) kalorische Zustandsgleichung,

v = g(p, T) thermische Zustandsgleichung.

1.3(1)

1.3(2)

Bei Turbomaschinenanlagen, wie auch in sehr vielen anderen Anwendungsfällen, hat man es mit Prozessen zu tun, bei denen das Arbeitsmittel unter Energiezufuhr oder Energieentzug aus einem Raum, in dem ein Druck Pl hen-scht, in einen Raum gelangt, in dem der Druck P2 herrscht. Energiezufuhr oder Energieentzug sind in diesem Falle nicht nur gegeben durch die Änderung der inneren Energie des Fluids, sondern es geht noch der Unterschied der Verschiebungsarbeiten in die Energiebilanz ein, die beim Einschieben des Fluids an ihm geleistet und beim Austritt von ihm geleistet werden. Diese haben die Beträge Pl V 1 und P2 V 2' Da aus diesem Grunde in die Energiebilanzen stets die Größe U + P V eingeht, hat man für diese Gruppe eine Abkürzung und den Namen Enthalpie eingeführt,


definiert als

H==Z+PV 1 h = m = u + pv. J

1.3(3)

Kennt man die Zustandsgleichungen 1.3(1) und (2), so ist offensichtlich auch h in Funktion von P und T bekannt, d. h. man kennt dann auch

h =f*(p, T). 1.3(1')

Umgekehrt ist auch der Zusammenhang GI. 1.3(1) bekannt, wenn die GIn. 1.3(1') und (2) vorliegen. Demnach ist GI. 1.3(1') der GI. 1.3(1) äquivalent und wird daher ebenfalls oft als kalorische Zustandsgleichung bezeichnet.

Von den Zweiphasensystemeninteressiert uns der Naßdampf. Sein makrothermodynamisches Verhalten ist - von Feinheiten abgesehen - beschrieben, wenn man nicht nur die thermischen und kalorischen Zustandsgleichungen der beiden Phasen (Flüssigkeit, Dampf) kennt, sondern außerdem weiß, wie der Siededruck Ps und die Verdampfungsenthalpie

r - k"(T) - h'(T) 1.3(4)

von der Temperatur abhängen. - Wir kennzeichnen allgemein die Zustandsgrößen der flüssigen Phase mit dem Zeichen', diejenigen der Dampfphase mit dem Zeichen ".

Aus der Definitionsgleichung 1.3(3) folgt

dh = du + P dv + v dp,

du + P dv = dh - v dp,

womit die Hauptgleichung 1.1(17) übergeht in

d dh - vdp s = T . 1. 3( 5)

Für ein Einphasensystem, dessen Zustand durch p und T gegeben ist, schreibt sich dies auch

( 8h) (8h) (Bh ) (8h) - dT + - dp - v dp - - - v d = 8T p 8p I T = 8T P dT + 8p T d

s T T T p. 1.3(6)

Da aber nach dem zweiten Hauptsatz ds vollständiges Differential ist, läßt sich schreiben

ds = (:;t dT + (:~t dp. 1.3(7)

In den GIn. 1.3(6) und (7) müssen je die Faktoren vor den Differentialen dT und dp einander gleich sein, und da nach den Regeln der Differentialrechnung

8 (8S) 8 (8S) 8p 8T = 8T 8p , 1.3(8)

ist folglich auch

Das führt nach kurzer Zwischenrechnung auf

1.3(9)

Dies ist eine Form der Gleichung von Clausiu8. Der Ausdruck links hängt nur ab von der kalorischen Zustandsgleichung in ihrer Form 1.3(1'), der Ausdruck rechts nur von der thermischen Zustandsgleichung 1.3(2). Demnach sind thermische und kalorische Zustandsglei-

1.3 Grundsätzliches über Prozeßuntersuchungen 9

chung gemäß dem zweiten Hauptsatz nicht unabhängig voneinander, sondern stets so aufeinander abgestimmt, wie es GI. 1.3(9) verlangt.

Naßdampf ist eine Suspension verdampfungsbereiter Flüssigkeit in gesättigtem Dampf. Ist x der relative Anteil gesättigten Dampfes, 1 - x der Anteil Flüssigkeit und benennt man die auf die Flüssigkeit bezogenen Größen mit Zeichen', die auf den Dampf bezogenen mit Zeichen", dann ist offenbar

folglich auch

v = v'(T) (1 - x) + v"(T) x,

h = h'(T) + r(T) x,

[dh' dr] dh = dT + x dT dT + r dx.

Dies läßt sich in GI. 1. 3( 5) einsetzen:

(dk' dr) ('(1 ) + " )dp dT + x dT - v - x v x dT r

ds = T dT + T dx.

Wenn man beachtet, daß jetzt T und x die unabhängigen Variablen sind, mithin

ds = (:;t dT + (~:)T dx,

1.3(10)

1.3(11)

1.3(12)

1.3(13)

1.3(14)

wird man durch Identifikation der Faktoren von dT und dx und durch die überlegungsschritte, die den im Falle des Einphasensystems durchgeführten genau analog sind (vgl. auch [3]), auf

r = (v" - v') T dp dT

1.3(15)

geführt. Dies ist die Gleichung von Olausius-Olapeyron, die gemäß dem zweiten Hauptsatz die Verdampfungsenthalpie und die Steigung dpjdT der Siededruckkurve miteinander verknüpft.

Die Tatsache, daß die GIn. 1.3(9) und (15) durch aUe Messungen ausnahmslos bestätigt werden, ist die wichtigste experimentelle Stütze des zweiten Hauptsatzes. Außerdem zeigt sich an dieser Stelle klar, aufweIche Weise dieses fundamentale Naturgesetz in die üblichen Prozeßrechnungen eingeht. Offensichtlich gegen dieses Gesetz verstoßende Annahmen, wie negative Energiedissipation durch Reibung oder Wärmeübergang von tiefer auf hohe Temperatur vermeidet man selbstverständlich. Zur Durchführung der Prozeßrechnung verwendet man die kalorische und die thermische Zustandsgleichung und wo es sich um einen Dampfprozeß handelt auch Unterlagen über die Siededruckkurve und die Verdampfungsenthalpie (all diese Information wird ja herangezogen zur Berechnung des Entropiediagramms, dessen man sich allfällig bedient). Nun erfüllen aber die Zustandsgleichungen die Gleichung von Olausius 1.3(9), die übrigen benutzen Daten diejenige von Olausius-Olapeyron. Damit sind die Unterlagen, auf denen die Rechnung beruht, von vornherein so aufeinander abgestimmt, wie es der zweite Hauptsatz verlangt und man wird deshalb mit Sicherheit nur Ergebnisse erhalten, die ihn erfüllen [im Falle der Wärmekraftanlage insbes. GI. 1.2(14)].

Ein Massenteil eines Fluids werde einem Raum vom Druck PI entnommen, vom Zustand PI' VI auf den Zustand Ps' Vi verdichtet und hierauf in einen Raum vom Druck Pa eingeschoben, wobei ihm gleichzeitig noch die Wärmemenge QIt' zugeführt werde. Die Energiebilanz dieses Vorganges lautet

1.3(16)

Die Arbeit Alt' ist hier zerlegt in drei Anteile. Es ist PI VI die Arbeit, die bei der Entnahme aus dem Raume vom Druck PI am Fluid geleistet wird, Ps Va die Arbeit, die das Fluid beim Einschieben in den Raum vom Druck pz gegen diesen leisten muß und daher mit negativem


Vorzeichen eingesetzt. Ä'" ist die Arbeit, die mit technischen Mitteln von außen geleistet werden muß, daher als technische Arbeit bezeichnet. Mit der Definition der Enthalpie 1.3(3) erhält man die folgende Gleichung, der wir sogleich noch die analoge für den Expansions· vorgang beifügen:

1.3(17)

Die gewonnene technische Arbeit A'" ist also diejenige, die man erhält, wenn man ein Fluid einem Raume hohen Druckes entnimmt, expandiert und in einen Raum tiefen Druckes abschiebt. Es geht daraus die fundamentale Bedeutung der Enthalpie hervor.

Es läßt sich weiter zeigen, daß die maximale technische Arbeit, die nach dem zweiten Hauptsatz aus einem System mit der Enthalpie H und der Entropie S gewonnen werden kann. wenn es reversibel mit einer Umgebung von der Temperatur To ins thermodynamische Gleichgewicht gebracht wird, gegeben ist durch

Amax = (H - ToS) - (Ho - ToSo). 1.3(18)

Hier sind Ho und So die Werte der Zustandsgrößen am Ende des Vorganges. Das führt dazu, eine thermodynamische Funktion E und ihren spezifischen Wert e = E/m einzuführen durch die Definition

E = H - ToS, e = h - Tos. 1.3(19)

Sie ist von Rant [5] als Exergie bezeichnet worden, und liefert unmittelbar

Ämax = E - Eo. 1.3(20)

Exergieänderungen sind daher identisch mit der Änderung der technischen Arbeitsfähigkeit eines Systems.

1.4 Energieumsatz in stetig durchströmten Systemen

In Abb. 1.4.1 ist schematisch ein System dargestellt, über dessen Aufbau und Funktionsweise keine weitere Aussage notwendig ist. - Es könnte sich etwa um einen Verdichter handeln. - Während eines Zeit intervalls dt durchschreite ein Massenelement dm eines

dÄ

da

Abb.1.4.1 Zur Herleitung der Energiegleichung für stetig durchströmte Systeme.

Fluids den auf der geodätischen Höhe zIliegenden Eintrittsquerschnitt 1, während gleichzeitig ein gleich großes Massenelement durch den auf der geodätischen Höhe Z2 liegenden Austrittsquerschnitt 2 hindurchtrete_ überdies werde an dem betrachteten System etwa durch eine Antriebsmaschine während dt die Arbeit dA geleistet und es werde die Wärmemenge dQ zugeführt. Die Masse des im System enthaltenen Fluids ändert sich dabei nicht und wir treffen auch noch zusätzlich die einschränkende Voraussetzung, daß sich der gesamte Energieinhalt des zwischen den Kontrollflächen 1 und 2 eingeschlossenen Systems nicht verändere. Dem durch PI und VI gekennzeichneten Zustand des Fluids im Quer-

1.4 Energieumsatz in stetig durchströmten Systemen 11

schnitt 1 entspreche eine spezifische innere Energie UI und ebenso dem Zustand P2' v2 im Querschnitt 2 der Wert u2 • Schließlich sei die Eintrittsgeschwindigkeit Cl' die Austrittsgeschwindigkeit c2• Damit läßt sich die Energiebilanz des Vorganges folgendermaßen anschreiben:

dm [(1{2 + ~§) - (ul + ~i)] = dA + dQ + dm(Plvl - P2V2) - g dm(z2 - Zl)' 1. 4( 1)

Hier steht links der Unterschied der Energieinhalte (innere Energie + Bewegungsenergie) der austretenden und eintretenden Massenelemente, rechts die Summe der während des

betrachteten Zeitintervalles auf das System übertragenen Energien. Außer der Arbeit dA und der Wärme dQ empfängt das System noch die Einschiebearbeit PI dV I und gibt anderseits die Ausschiebearbeit P2 dV2 ab. Da allgemein dV = v dm erscheint als Differenz der dritte Summand rechts in GI. 1.4(1). Schließlich ist noch die Arbeit des Schwerefeldes beizufügen, die durch das letzte Glied in der Gleichung gegeben ist. Man erkennt dies am leichtesten, wenn man, wie in Abb. 1.4.1 punktiert eingetragen, die Systemgrenzen im Anfangszustand I und im Endzustand II so legt, daß das System die gleichen Fluidteile enthält. Dann wird die potentielle Energie des so abgegrenzten Systems offenbar um den Betrag

g dm(z2 - Zl)

größer, d.h. es ist Arbeit gegen das Schwerefeld geleistet worden, womit das negative Vorzeichen in GI. 1.4(1) gegeben ist.

Man beachte, daß

1.4(2)

die gesamte von äußeren Kräften a·n unserem System geleistete Arbeit ist. Die durch die Antriebsmaschine zu leistende und daher technisch einzig interessierende Arbeit ist aber dA, die daher auch "technische Arbeit" genannt wird. Während für einen Teilschritt jedes Prozesses im allgemeinen dA =1= dA, ist bei einem vollen Kreisprozeß stets wieder A = A.

Dividiert man GI. 1.4(1) durch dm, setzt

_ dA a = dm'

dQ q = dm 1.4(3)

und beachtet die Definition der Enthalpie h = U + pv, so kann man die Gleichung in folgende Form überführen:

_ ( c§) ( ci) a + q = h2 + 2 - h1 + 2 + g(Z2 - Zl)' 1.4( 4)

Bei den Problemen des thermischen Turbomaschinenbaues ist das von der Schwerkraft herrührende Glied stets vernachlässigbar, was man leicht erkennt, wenn man beachtet, daß z. B. einer Strömungsgeschwindigkeit von nur 50 m/sec eine Bewegungsenergie entspricht, die einer Höhendifferenz von 127 m äquivalent ist. Beim gas- oder dampfförmigen Medium bedeutet die Vernachlässigung des Schweregliedes lediglich eine belanglos geringfügige Abweichung der wirklichen Drucke von den Rechnungswerten. Wo etwa in einem Dampfprozeß die flüssige Phase auftritt, ist der Übergang von schwerelos gerechneten Drucken auf wirkliche die Sache einer elementaren Rechnung. Wir dürfen also für unsere Belange in GI. 1.4(4) das Schwereglied weglassen.

Zweckmäßig ist es, den Begriff der Totalenthalpie hO einzuführen, die definiert ist durch

c2 hO_h +2' 1.4(5)

Dann schreibt sich unter Vernachlässigung des Schweregliedes die Energiegleichung 1.4(4)

ä + q = h~ - h~. 1.4(6)


Wie im Entropiediagramm, Abb. 1.4.2, dargestellt, entspricht der Totalenthalpie eine Totaltemperatur TO und ein Totaldruck pO. Dieser Totalzustand ist derjenige, der sich im reversiblen Idealfall im Staupunkt eines Körpers einstellt, der vom Fluid mit dem statischen Zustand p, T mit der Geschwindigkeit c angeströmt wird.

h

s

Abb. 1.4.2 Statischer Zustand und Totalzustand, im hs-Diagramm dargestellt.

In den weitaus meisten Fällen arbeiten die Turbomaschinen adiabatisch, d. h. es ist q = O. Die Energiegleichung wird dann

ä = h~ - h~. 1.4(7)

Hier ist ä die am System zu leistende spezifische Arbeit. Diese Darstellungsweise ist zweckmäßig im Falle des Verdichters. Bei der Expansionsmaschine (Turbine) ist es naheliegend, die abgegebene Arbeit positiv zu rechnen, womit die Energiegleichung die Form

1.4(8)

annimmt. - Wir können also den für thermische Turbomaschinen fundamentalen Satz festhalten :

Die von einem adiabatischen System konstanten Energieinhaltes pro Masseneinheit durchströmenden Arbeitsmittels aufgenommene oder abgegebene Arbeit ist gleich dem Unterschied der spezifischen Totalenthalpien am Eintritt und Austritt.

Im Anschluß an GI. 1.4(1) sei noch ergänzend bemerkt, daß bei der hydraulischen Strömungsmaschine nicht nur dQ verschwindet, sondern im reversiblen Idealfall auch U 1 = U 2 wird. Abgesehen von allfälligen Unterschieden der Bewegungsenergien ist dort also die Arbeitsleistung nicht durch eine Änderung des Energieinhaltes des Fluids gegeben, sondern lediglich durch Verschiebungsarbeiten, einschließlich derjenigen im Schwerefeld. Eine Änderung der inneren Energie ergibt sich nur durch die Verluste, und zwar nimmt die innere Energie stets um die Verluste zu.

1.5 Ideales Gas

Wie in Abschnitt 1.1 ausgeführt, versteht man unter einem vollkommenen oder idealen Gas ein solches, das dem Gesetz von Boyle-Mariotte gehorcht. Die thermische Zustandsgleichung läßt sich dann in der Form

pv = RT 1.5(1)

schreiben, womit die vom idealen Gase abgeleitete empirische Temperatur T definiert ist. Wie die Erfahrung lehrt, ist immer dann, wenn ein Gas das Gesetz von Boyle-Mariotte erfüllt, seine innere Energie nur von der Temperatur abhängig, also

u =f(T). 1.5(2)

1.5 Ideales Gas

Gemäß der Definition der Enthalpie ist dann

h = u + pv =f(T) + RT =f*(T), somit

h =f*(T)

13

1.5(3)

1.5( 4)

eine Darstellungsform der kalorischen Zustandsgleichung. Ziehen wir nun die Gleichung von Olausius 1.3(9) heran, so fordert diese unter Beachtung von GI. 1.5(4)

(8V) v - T 8T p = 0,

also wegen GI. 1.5(1)

~T _ T(:)= 0,

was identisch erfüllt ist. Hier ist stillschweigend vorausgesetzt worden, daß die vom idealen Gase abgeleitete Temperatur mit der thermodynamischen Temperatur zusammenfalle, die ja in der Gleichung von Olausius auftritt. Daß wir unter dieser Voraussetzung auf eine Identität gekommen sind, beweist, daß sie richtig war.

Die übliche Darstellungsform der GI. 1.5(4) lautet T

h = f cp(T) dT, 1.5(5) T.

wobei die bei konstantem Druck gemessene spezifische Wärmekapazität cp _ dhjdT eine aus Experimenten bekannte, nur schwach temperaturabhängige Funktion ist. To ist die Temperatur, für welche willkürlich die Enthalpie Null gesetzt ist. - Aus der Hauptgleichung in ihrer Form 1.3(5) folgt durch Einsetzen von GI. 1.5(1) und (5)

8 = f cp(T) dT - R In (:L), 1.5(6) T. T Po

wobei für den Zustand Po' To die Entropie Null gesetzt ist. Betrachten wir eine unendlich kleine isentrope Zustandsänderung, so wird einer relativen

Druckänderung dpjp eine bestimmte relative Volumenänderung dvjv entsprechen. Zwischen beiden besteht eine Beziehung der Art

dp+xdv=O, 1.5(7) p v

wodurch der Isentropenexponent x definiert ist. Im Sonderfall des idealen Gases - und nur in diesem - nimmt er den Wert

1.5(8)

an, wie sich herleiten läßt, wenn man GI. 1.5(6) als Differentialbeziehung schreibt und die für ideale Gase gültige Beziehung

cp - Cv = R 1.5(9)

beachtet. Diese Gleichung ihrerseits folgt aus der Setzung du = cv(T) dT und den GIn. 1.5(1), (3) und (5). Die Gln. 1.5(8) und (9) führen auch auf

x cp = --l R . x-

Beachtet man dies, so schreibt sich GI. 1.5(5) auch in differentieller Form

was wegen GI. 1.5(1) auch in

übergeht.

x dh = cp dT = --1 R dT,

x-

x dh = x _ 1 d(pv)

1.5(10)

1.5(11)

1.5(12)


Meist läßt sich mit genügender Näherung über größere Temperaturbereiche cp = const setzen. Dann werden GI. 1.5(5} und (6) in der Form

h = cp(T - T o}, 1.5(13}

1.5(14)

darstellbar. Weiter ist dann die Integration von GI. 1.5(7) möglich und liefert

pv" = K, bzw. pv" = PIV~, 1.5(15)

mit dem Ausgangszustand PI' VI' Läuft eine isentrope Zustandsänderng von diesem zu einem Endzuetand Pa' Ta, Va, so gilt nach GI. 1.5(1} und (15)

P2 = (!i.)", Tz = (!i.)"-I, Tz = (Pa)":l . 1.5(16) PI V2 Tl v2 Tl PI

Für den Turbomaschinenbau hat die isentrope Enthalpieänderung Llh8 eine grundlegende Bedeutung. Man kann sie aus der Hauptgleichung in der Form 1.3(5} gewinnen, indem man dort ds = 0 setzt, womit

dh - v dp = 0 .'. dh = v dp,

somit für eine isentrope Verdichtung von PI auf P2

Llh8 = rvdp. p,

Hier hat man v(p} gemäß dem Isentropengesetz GI. 1.5(15} einzusetzen

p, (PI )1/" Llhs = VI J - dp, p, P

woraus

1.5(17)

1.5(18)

Will man für die isentrope Entspannung ebenfalls ein positives 4h8 erhalten, so hat man an Stelle von GI. 1.5(17) zu setzen

p,

Llhs = J V dp 1.5(17') p,

und erhält entsprechend

1.5(18')

Man beachte, daß zur Herleitung der GIn. 1.5(18) und (18') die Gesetze des idealen Gases nicht verwendet werden mußten. Sofern ein Stoff nur so geartet ist, daß es gelingt, seine isentrope Zustandsänderung bereichweise genügend genau durch ein Potenzgesetz der Form GI. 1.5(15) darzUlStellen, gelten für solche Zustandsbereiche a.uch die Gin. 1.5(18) untl (18'), da sie ja unmittelbar aus der thermodynamischen Hauptgleichung hervorgehen. - In dem Potenzgesetz hat" im allgemeinen Falle nicht mehr den Wert cplcv. - Die hergeleiteten Ausdrücke für Llhs gelten also nicht nur für das ideale Gas, sondern sehr viel allgemeiner.

Wenn beim idealen Gase im betrachteten Zustandsbereich hinreichend gellau cp = const und damit auch" = const gesetzt werden kann, geht GI. 1.5(12) über in

" h = --1 (pv - POVo) , 1.5(19) u-

was der GI. 1.5(13) äquivalent ist, wie aus der Gasgleichung und GI. 1.5(10) zu erkennen ist. Da der Nullpunkt der Enthalpie an sich willkürlich gewählt werden kann, ist es zulässig, eine Normierung der Enthalpie durch die Se1zung T o = 0 einzuführen, d.h. in der Darstellung GI. 1.5(19} Povo = O. Die in dieser besonderen Weise normierte Enthalpie werde

l.G Idealer Dampf

Normalenthalpie genannt und durch den Buchstaben j bezeichnet. Es ist also

. x T J - x _ 1 pv = cp •

Der Vergleich mit den GIn. 1.5(18) und (18') liefert dann auch

Llhs = cpT I [(~:r-:I -1] für Verdichtung,

Ll hs = cpT 1 [1 - (~:r-:I] für Entspannung.

Zur Abkürzung sollen Druckverhältnisse mit II abgekürzt werden, und zwar sei

II ;= P2 für Verdichtung, PI

II _ PI für Entspannung, P2

so daß stets II > 1. Alsdann definieren wir folgende Funktionen: ,,-1

Pk(II, x) II----;( - 1 für Verdichtung, ,,-1

Pe(IJ, x) = 1 - IJ-----;( für Entspannung.

Dann lassen sich die allgemeingültigen GIn. 1.5(18) und (18') in der Form

schreiben, während für das ideale Gas geschrieben werden kann

Llhs = cpTIP = jIP.

15

1.5(20)

1.5(21)

1.5(22)

1.5(23)

1.5(24)

1.5(25 )

1.5(26)

1.5(27)

In diesen Gleichungen ist jeweils Pe oder 'Pk einzusetzen, je nach dem ob Entspannung oder Verdichtung vorliegt. Die vereinfachte Darstellung nach GI. 1.5(26) und (27) erweist sich in manchen Gleichungen als zweckmäßig.

Es sei noch ausdrücklich darauf hingewiesen, daß bei diesen Rechnungen unbedingt cp - und x-Werte verwendet werden müssen, die gemäß GI. 1.5(10) genau aufeinander abgestimmt sind, weil sonst der erste Hauptsatz verletzt wird und große Fehler entstehen können. Der Fehler, den man macht, wenn man ·Werte einsetzt, die zwar den wirklichen nicht genau entsprechen, aber die GI. 1.5(10) erfüllen, bleibt stets klein. Würde man aber z. B. ein genaues cp aber einen nur ungefähren Wert von x einsetzen, der dem cp nicht genau entspricht, dann würde der Fehler groß.

1.6 Idealer Dampf

Das thermodynamische Verhalten eines gasförmigen Mediums, das nicht die Eigenschaften eines idealen Gases hat, ist vollständig beschrieben, wenn man seine thermische und kalorische Zustandsgleichung angibt, was in folgender Form geschehen kann:

pv = z(p, T) RT,

h =j*(p, T).

1.6(1 )

1.6(2)

Die GI. 1.6(1) gestattet es, ein völlig beliebiges thermisches Verhalten wiederzugeben, obwohl sie sich an die Gasgleichung anlehnt, denn man hat ja zur Anpassung an die Versuchsergebnisse den Faktor z(p, T) in der Hand, der als Realgasfaktor bezeichnet wird. In der Tat kennzeichnet er die Abweichung des thermischen Verhaltens eines realen Gases von dem idealen. Für dieses Letztere hat z den Festwert 1.


Die Definition des Exponenten der Isentrope kann allgemein in der Form

x = - ; (~~)s 1.6(3)

geschrieben werden. Sobald die GIn. 1.6(1) und (2) vorliegen, kann x für jeden Zustand berechnet werden, vgI. darüber [1], [2], [3]. Er hat beim Realgas nicht den Wert cpjcv'

ist aber in der Regel über weite Zustands be reiche in so engen Grenzen variabel, daß kein großer Fehler entsteht, wenn man bereichweise mit einem konstanten Mittelwert rechnet. Für die Isentrope kann dann GI. 1.5(15) gesetzt werden, womit die isentrope Enthalpiedifferenz durch die GIn. 1.5(18), (18') berechenbar wird. Der dort vor der eckigen Klammer als Faktor erscheinende Ausdruck konnte im Sonderfalle des idealen Gases mit der Enthalpie identifiziert werden. Dabei war lediglich eine besondere Normierung des Enthalpienullpunktes erforderlich, weshalb die so festgelegte Enthalpie als Normalenthalpie bezeichnet wurde. Beim Realgas hingegen ist diese Identifikation im allgemeinen nicht mehr möglich.

Wir behaupten nun, es existiere eine besondere Struktur des Gesetzes z(p, T), derart, daß die Enthalpie des betreffenden Realgases wiedergegeben werden kann durch die Gleichung

x h =---pv + ho x-1

1.6( 4)

mit beliebigen ho, das den Nullpunkt festlegt. Dann ist es offenbar möglich, ho = 0 zu setzen und so wiederum wie beim idealen Gas die Normalenthalpie durch

. x J = x _ 1 pv 1. 6( 5)

zu definieren. - x sei im betrachteten Zustandsbereich hinreichend genau konstant. Um die aufgestellte Behauptung zu beweisen, gehen wir aus von der thermodynamischen

Hauptgleichung in der Form T ds = dj - v dp, 1.6(6)

aus der auch sogleich folgt Tds dj v dp T=T-T' 1.6(7)

Mit den GIn. 1.6(1) und (5) geht hieraus

K - 1 ds = dj _ ~--=.2. dp K zR j K P

1.6(8)

hervor. Die rechte Seite dieser Gleichung ist integrierbar, also offensichtlich ein vollständiges Differential. Das gleiche gilt daher auch für die linke Seite. Da x und R konstant sind, muß folglich dsjz ein vollständiges Differential sein. Anderseits verlangt aber der zweite Hauptsatz, daß ds vollständiges Differential sei. Damit also die gemachte Behauptung richtig sei, ist es notwendig und hinreichend, daß zugleich ds und dy - dsfz den Oharakter eines vollständigen Differentiales haben.

Was dies bedeutet, lehrt am klarsten die geometrische Veranschaulichung. In Abb.1.6.1 sind sowohl s als auch y in Funktion von p und v aufgetragen (da p und v den Zustand eindeutig festlegen, kann jede Zustandsgröße in Funktion dieser beiden Variablen dargestellt werden). Die Funktionen werden also durch Flächen über der pvEbene wiedergegeben. Ändert man den Zustand von A nach B über C, so ändert sich 8

von 8..4 nach 8B' Zum selben Punkt B' auf der s-Fläche gelangt man, wenn man irgendeinen anderen Weg einschlägt, z.B. über D. Dividiert man beim Fortschreiten längs ACB jedes ds durch das z des betreffenden Zustandes, das man aus dem Diagramm rechts entnimmt, so erhält man dy und damit den Kurvenzug A" C' I B". Wenn man aber dasselbe längs AD B macht, so erhält man bei beliebig gearteter Funktion z(p, v) einen anderen Endpunkt B*. Soll jedoch dy ein vollständiges Differential sein, so müssen B" und B* zusammenfallen.

1.6 Idealer Dampf 17

Dann kann offenbar z(p, v) keine völlig beliebige Funktion mehr sein. Die Bedingung des Zusammenfallens von BU und B* ist - außer im trivialen Fall z = const, der zum idealen Gas zurückführt - dann und nur dann erfüllt, wenn z nur von s abhängt, d.h. also

z

Abb.l.6.1 Diagramme zur Theorie des idealen Dampfes.

z = f(8). Dies ist eine besondere Art der Abhängigkeit von p und v (oder p und T), da ja 8

selbst auch von p und v abhängt. Dann findet man nämlich zu jedem dy, das man auf dem Wege ACB findet, ein ihm gleiches auf dem Wege ADB, denn jedes dy ist gegeben durch d8jZ(S) , und s durchläuft auf jedem Weg den gleichen Wertebereich. Da man aber zu jedem dy auf dem einen Weg ein ihm gleiches auf dem anderen findet, wird schließlich die Summe der dy vom Wege unabhängig, und man kommt tatsächlich zum gleichen Punkt BU.

Unsere Behauptung ist damit bewiesen. Wenn z in solcher Weise von p und Tabhängt, daß

Z =f(8), 1.6(9)

dann kann h durch GI. 1.6(4) wiedergegeben werden, womit insbesondere die Einführung der Normalenthalpie gemäß GI. 1.6(5) möglich wird. Wir nennen einen Stoff, der diese Bedingung erfüllt, einen idealen Dampf. - Dieser Ausdruck wird in der Literatur nicht

1,00 Ober

0.90

t 0.80

'" WO

aGO

asoo 700 ZOO #00 SOO eoo 700 oe 800 t-

Abb.1.6.2 Realgasfaktor z des Wasserdampfes in Funktion von p und t mit eingetragenen Isentropen.


überall im gleichen Sinne gebraucht. Hier hat er die gleiche Bedeutung wie bei Dzung [7], wohingegen bei Leib [8] der Ausdruck eine andere Bedeutung hat.

Es bleibt natürlich noch die Frage übrig, ob Stoffe mit dieser Eigenart in der Natur verwirklicht sind. Die meisten Stoffe zeigen in der Tat ein völlig anderes Verhalten. Interessanterweise ist es aber gerade der Wasserdampf, der mit recht guter Näherung diese Bedingung erfüllt; er dürfte von allen Stoffen dem idealen Dampf am nächsten kommen. In Abb. 1.6.2, die z(p, T) des Wasserdampfes darstellt, sind gestrichelt die Kurven s = const eingetragen. Würden sie genau waagrecht verlaufen, so wäre GI. 1.6(9) streng erfüllt. Das ist zwar nicht der Fall, doch laufen sie immerhin derart flach, daß man sie ohne weiteres über Temperaturbereiche von der Größenordnung 100 oe und teilweise auch mehr durch waagrechte Geraden ersetzen darf. Man hat sich dann das ganze z-Diagramm entsprechend verzerrt zu denken und macht dabei offensichtlich einen sehr geringen Fehler.

Abb. 1.6.3 zeigt den Exponenten der Isenthalpe und Abb. 1.6.4 denjenigen der Isentrope des überhitzten Wasserdampfes, beides nach Endres undSomm [2]. Etwas abweichende Werte gibt Bach [12], doch sind die Unterschiede ohne wesentliche praktische Auswirkung. Der Exponent der Isenthalpe ist definiert durch

1.16

1)1,

1,12

1.10

t 7,08

~ W6

W4

W2

wo

-- \

\ \ \JOO ~OO 500 bor

\

~ I \, '" -----10 I '-.. p. 0 bor x-1' J 50 250>-'

I I 100 200/

700 200 JOD 400 500 600 700'e 800 t-

Abb.1.6.3 Exponent m der Isenthalpe des Wasserdampfes, nach Endres und Bomm [2].

1.6(10)

Ist er konstant gleich 1, so ist offenbar bei konstanter Enthalpie pv1 = const, d.h. einem Festwert von pv entspricht ein Festwert von h, womit das Verhalten des idealen Dampfes gegeben ist. Man erkennt, daß dies im Falle des Wasserdampfes in weitem Zustandsbereich mit guter Näherung zutrifft. - Andere überhitzte Dämpfe können nur in beschränkten Zustandsbereichen oder gar nicht als ideale Dämpfe betrachtet werden, am ehesten noch NH3·

1.6 Idealer Dampf 19

Das Rechnen mit idealem Dampf ist ebenso einfach wie dasjenige mit idealem Gas. Man hat nur p und j als unabhängige Zustandsvariablen zu verwenden statt p und T. An die Stelle der Gasgleichung tritt dann die Beziehung

1.3J5 1,33

1,32

1,3/

t /,30

1,29 l(

Ilr,...

.:\

1,28

1,27

1,26

1,250

x -1. pv = -x -J, 1.6(11)

I \

............ I. ........ p=Obar \ \

\o.sj ...... ~ \ ~Obar

1

~ 2/ If ~ ~ \ \.1,00 h \ I I, 11 ( --.......:

~ '" 'f'... '\ 10/ ~

~I 20( I,O( r-::: ~ ~ ~ ~O '",,-~ 6r8o. '/ 200 r--

I I ~ --§~ X=1 ..J....I. J!J ~ ~ 1,0;60

I 0.5;2; 10;20

100 20.0. 300. 1,0.0. 50.0 60.0 'e 70.0. t_

Abb, 1,G,± Exponent" der Isentrope des überhitzten Wasserdampfes, nach Endres und Somm [2].

die unmittelbar aus G1. 1.6(5) hervorgeht und den gleichen mathematischen Aufbau hat wie die Gasgleichung, wenn j die Rolle von T übernimmt, Das Gesetz pv = const gilt jetzt für die Isenthalpe statt für die Isotherme, In Analogie zu ds = (dq + dq')/T = dqrev/T definieren wir eine Funktion y* durch

d * - x dqrev Y = X--=-r T' 1.6(12)

Die linke Seite der GI. 1.6(8) läßt sich schreiben

x - 1 ds = x - 1 dqrev = x - 1 dqrev = dqrev = x - 1 dy* x zR x zRT x pv j x '

1.6(13)

Da dies, wie schon aufgezeigt, ein vollständiges Differential ist, läßt sich GI. 1.6(8) auch schreiben

* x dj dp dy =--~---, x-1 J P

1.6(14)

was durch Integration übergeht in

y* = ~ 1 In (L) - In (L) . x Jo Po

1.6(15)

Dies ist das mathematische Analogon zu GI. 1.5(14). Da mit ds = 0 stets auch dy* = 0, ist die Isentrope nach GI. 1.6(14) gegeben durch

x dj dp _ 0 1 6(16 x-1)-])- , ' )

woraus

1 · x-lI 1 k l1J---np=l1', x

,,-1

jp-" = k 1.6(17)


oder schließlich, wenn man vermöge dieser Gleichung zwei Zustände 1 und 2 auf der gleichen Isentrope miteinander in Beziehung bringt

• ()" 1 ~: = ~: -; . 1.6(18)

Die Gleichung

P2 = (.!1.)". 1.6(19) PI v2

bleibt nach der Definition des Isentropenexponenten erhalten. Damit folgt auch

~: = (~~ r- I. 1.6(20)

Für viele thermodynamische Untersuchungen, besonders aber für diejenigen der Gasdynamik ist es bedeutsam, wie für das betreffende Arbeitsmedium Druck, Enthalpie und Dichte miteinander zusammenhängen. Gerade dieser Zusammenhang ist aber beim idealen Dampf gleich wie beim idealen Gas. Daher gilt für beide die gleiche Gasdynamik. Ein Unterschied - der für die Struktur der gasdynamischen Zusammenhänge unwesentlich ist - besteht nur insofern, als beim Gas mit der Enthalpie allein stets die Temperatur gegeben ist, was beim Dampf nicht zutrifft. Man kann daher folgende zusammenfassende Feststellung machen:

Jede gasdynamische Untersuchung, die unter Voraussetzung eines idealen Gases durchgeführt wurde, gilt ohne weiteres auch für den idealen Dampf, sofern man die Gleichungen in folgender Weise umschreibt:

'" -1 j T ist zu ersetzen durch -",- R '

cp ist zu ersetzen durch ~1 R, "'-

Cv ist zu ersetzen durch ~1 R, "'-

s ist zu ersetzen durch Ry*.

Für das ideale Gas - und für nur dieses - sind diese Entsprechungen Identitäten. Beim idealen Dampf ist außer j noch eine weitere Zustandsgröße nötig, wenn man auf T rückschließen will, also etwa p. Dann kann aus GI. 1.6(11) v berechnet werden. Mit p und v liefert z.B. ein Entropiediagramm T. Allgemein ist der Übergang vom heines hs-Diagrammes zur Norma.lenthalpiej in folgenderWeise möglich: Für irgendeinen Zustand inmitten des Bereiches, in dem sich der zu untersuchende Vorgang abspielt, entnimmt man dem Entropiediagramm h, p und v. Damit hat man aus GI. 1. 6( 5) das zugehörige j und aus GI. 1.6(4), die sich in der Form

h =j +!to

schreiben läßt, den Wert ho, der der Nullpunkt der durch j gegebenen Enthalpieskala ist. Der Isentropenexponent, den man hierbei verwendet, wird man kohärent mit der benutzten Entropietafel wählen. Er muß konstant gehalten werden, solange man einunddasselbe ho als Nullpunkt beibehält.

Man wird bemerken, daß ho etwas verschiedene Werte annimmt, je nach dem Zustand, den man zu seiner Bestimmung gewählt hat. Der dadurch entstehende Fehler ist von gleicher Art und Größenordnung wie derjenige, den man beim idealen Gase begeht, wenn man cp über endliche Zustandsbereiche konstant setzt.

Die Einführung des Begriffes des idealen Dampfes ermöglicht eine Erweiterung des Gültigkeitsbereiches vieler Untersuchungen, ohne daß eine mathematische Komplikation entstände. Deshalb ist an vielen Stellen dieses Buches bei den Herleitungen der ideale Dampf vorausgesetzt worden, womit dann jeweils das ideale Gas apriori mit eingeschlossen ist, ohne daß sich die Untersuchung auf dieses beschränken müßte.

1. 7 Polytroper Wirkungsgrad, Polytropenexponent 21

1.7 Polytroper Wirkungsgrad, Polytropenexponent

Unter einer polytropen Zustandsänderung eines Mediums verstehen wir eine solche, die - bei variierender Entropie - durch die Gleichung

pvn = const 1. 7(1)

darstellbar ist, wobei n der Polytropenexponent ist. Diese Zustandsänderung, die vielen Berechnungen zugrunde gelegt werden kann, sei nachfolgend genauer analysiert.

Die Arbeit, die aufzuwenden ist, um ein Medium aus einem Raume vom Drucke p in einen Raum vom Druck p + dp zu bringen, ist bei reversibler Führung pro Masseneinheit v dp. Ist der Vorgang mit Energiedissipation verbunden, also irreversibel, so wird mehr Arbeit benötigt. Man kann für den Arbeitsaufwand dann setzen v dpl'YJp, womit der polytrope Wirkungsgrad 'YJp der Verdichtung definiert ist ('YJp < 1). Offenbar jst dann

die zusätzlich aufzuwendende dissipierte Arbeit. Weiter werde dem Prozeß noch pro Masseneinheit eine Wärmemenge dq von außen zugeführt. Wir setzen

dq = C'lv dp 1. 7(2)

und definieren dadurch den Koeffjzienten Cq• Die Wärmemenge dqrev, die dem gleichlaufenden reversiblen Ersatzprozeß zugeführt werden müßte, ist dann

1.7(3)

denn dq' hat ja den Betrag der dissipierten Energie. Um die Untersuchung möglichst allgemein durchzuführen, setzen wir den idealen Dampf voraus, der das ideale Gas mit einschließt. Dann ist nach GI. 1.6(14)

dp =_x_d? _ dy*. p x-I J

Wir führen nun eine Größe n ein, die implizite definiert jst durch

dp n dj p=n -1 T'

1. 7( 4)

1.7(5)

Das so definierte n wird sich als identisch erweisen mit dem durch GI. 1. 7(1) eingeführten Polytropenexponenten. - Die Gleichsetzung der Ausdrücke nach GI. 1.7(4) und (5) führt unmittelbar auf

n x j dy* n -1 =x -1 ----a;r'

Mit der Definition von dy*, GI. 1.6(12), wird dies auch

_n _ = _x_ [1 _ dqrev] n-l x-I dj'

Da aber dqrev = Tds = dj - vdp, dj = dqrev + vdp,

ist mit GI. 1. 7(3) auch

1.7(6)

1. 7(7)

1.7(8)

1. 7(9)

Ersetzt man schließlich in GI. 1. 7(7) dqrev aus GI. 1. 7(3) und dj aus GI. 1. 7(9), so ist man auf

1. 7(10)


geführt, was nach n aufgelöst

1.7(11)

ergibt. Es bleibt noch zu verifizieren, daß dieses n tatsächlich der Exponent der Polytrope ist.

Wir greifen auf GI. 1.7(5) zurück und beachten, daß

d! = d(pv) =pdv + vdp = dv + dP. J pv pv v p

Dann erhalten wir durch Einsetzen dieses Ausdruckes in GI. 1. 7 (5)

dp =_n_[dV + dp ], p n-1 v p

woraus

1. 7(12)

Das führt auf GI. 1.7(1) dann und nur dann, wenn n konstant ist, was zutrifft, wenn ", np und Cq konstant sind. Daraus erkennt man, unter welchen Bedingungen überhaupt eine bei variabler Entropie verlaufende Zustandsänderung durch das Gesetz 1. 7(1) wiedergegeben werden kann. Nicht nur der Isentropenexponent " muß hinreichend genau konstant sein, sondern für die einzelnen infinitesimalen Teilschritte müssen auch Energiedissipation und Wärmeübertragung in einem festen Verhältnis zu v dp stehen. In technischen Anwendungen ist die Bedingung eines festen Verhältnisses der Energiedissipation zu v dp (also konstantes 1]p) oft mit hinreichender Näherung erfüllt, die Bedingung der Proportionalität von dq und v dp höchstens über kleine Zustands bereiche, abgesehen vom adiabatischen Grenzfall dq = 0, der in den weitaus meisten Turbomaschinen vorliegt.

Bei dieser Herleitung wurde von der Vorstellung der Druckerhöhung ausgegangen, doch gilt sie selbstverständlich allgemein. Allerdings wäre im Falle einer Expansion die vorausgesetzte Definition des polytropen Wirkungsgrades nicht mehr sinnvoll, denn behielte man sie bei, so wäre bei Expansion 1]p > 1. Gegebenermaßen setzt man für die tat~ sächliche Expansionsarbeit 1]p v dp, so daß (1 - 1]p) v dp die Energiedissipation ist (dabei ist 'f/p < 1). Auf diese Weise erhält man anstelle der Gin. 1.7(10) und (11)

n ~ 1 = " : 1 [1]p ~ cJ 1. 7(13)

" n = " _ (1]p + Cq) (" _ 1)· 1. 7(14)

Mit den getroffenen Festlegungen über 1]p gelten die Gin. 1.7(10) und (11) für die Verdichtung, die Gin. 1. 7(13) und (14) für die Entspannung. Im praktisch weitaus wichtigsten Fall des adiabatischen Vorganges ist

n " n _ 1 = 1]P X-::-l bei Verdichtung, 1.7(15)

n 1" -- - -- bei Entspannung. 1.7(16) n - 1 1]p" - 1

Damit sind wir in der Lage, den Exponenten der Polytrope aus dem polytropen Wirkungsgrad zu berechnen im Falle des idealen Dampfes und damit auch des idealen Gases. Im Hinblick auf den Dampfturbinenbau interessiert aber außerdem noch der Fall des Naßdampfes, der damit noch nicht erfaßt ist. Beim Naß dampf läßt sich der Polytropenexponent wie folgt bestimmen.

Wir setzen adiabatische Expansion voraus, wie sie in der Naß dampf turbine vorliegt. Gemäß der Definition von 'f/p ist dabei die spezifische Energiedissipation gegeben durch

Tds = -(1 - 1]p) vdp. 1.7(17)

1. 7 Polytroper Wirkungsgrad, Polytropenexponent 23

Für ein unendlich kleines Teilstück der Expansion läßt sich setzen:

dv = (~~) clp + (~V) cls; öp 8 ds l'

1. 7(18)

Aus der Definitionsgleichung 1.6(3) des Isentropenexponenten folgt

(:;)8 = - ~ ;. 1. 7(19)

Weiter ist

1. 7(20)

mit x als Dampfgehalt. Setzt man v/ und v" für die spezifischen Volumina der Flüssigkeit und der Dampfphase, so ist für einen festen Druck

v = v"x + v/(1 - x), 1.7(21) mithin

(8V) = v" _ v/ . 8x p

Da die thermodynamische Hauptgleichung bei p = const in

T ds = dh

übergeht und unter der gleichen Voraussetzung beim Naßdampf

clh = r dx

1. 7(22)

1.7(23)

1.7(24)

mit r als Verdampfungsenthalpie, folgt aus der Gleichsetzung dieser beiden Ausdrücke für dh

(8X) =~. 8Slp r

1.7(25)

Somit wird aus GI. 1. 7(20), (22) und (25)

(8V) = (v" - v') T . 1.7(26) os p r

Nun können die Ausdrücke nach GI. 1.7(19) und (26) in GI. 1.7(18) eingeführt werden:

dv = - ~ ~dp + (v" - v') T ds. 1.7(27) K P r

Hier kann T ds noch aus GI. 1. 7(17) entnommen werden, womit GI. 1. 7(27) übergeht in

lr 1 V v" - v/ ] clv = - - - + --- (1 - 1) ) v clp,

K P r' l'

woraus auch dp 1 clv _ 0 p + 1 p(v" - v') (1 ) v - .

- --L ---- - 1) K' r p

1.7(28)

Da nun aber das Poly tropen gesetz GI. 1.7(1) differentiell auch in der Form GI. 1.7(12) geschrieben werden kann, erkennt man durch Vergleich mit GI. 1. 7(28), daß der Faktor vor dvjv mit dem Polytropenexponenten identisch ist, d.h. man findet

n = 1 + Kp(V" - v') (1 _ ). r 1)1'

1. 7(29)

Der Isentropenexponent K des feuchten Wasserdampfes ist in Abb. 1. 7.1 dargestellt, vgl. darüber [3]. Weiter zeigt Abb. 1.7.2 die Größe p(v" - v/)jr, die eine Funktion von p allein ist. Man erkennt daraus, daß diese maßgebenden Größen über beträchtliche Zustandsbereiche ohne wesentlichen Fehler konstant gesetzt werden können.


Wir waren davon ausgegangen, daß die spezifische Arbeit, die an einem Teilchen zu leisten ist bei seinem Übertritt in einen Raum, in dem der Druck vom ursprünglichen Wcrt um dlJ verschieden ist, im reversiblen Grenzfttll v dp beträgt. Die Definition des polytropen

x-w 1,0

;::::: r-- ~ - c--- r- ß r-- r--l- r--.. ~ ....... i' c---

~ ._---

----. -- - ---- -- - - - -- r--~-- -~ I

- r---- r---\ \

DA

! 1 / :

I t± I--' x=o r - I---'"

0,2

o 0,07 0,02 0,05 0,7 0,2 0,5 2 5 70 20 bar 700

p-

Abb. 1. 7.1 Exponent" der Isentrope des Xaßdampfes.

0,11,

0,72 --- --t-- L

0,70 V

~ I .... 0,08 -2 R -- t,.....--:

l--

LV ........ 1--'

V

i 0,06 f-

i 0,01, 0,07 0,02 0,05 Q1 0,2 0,5 2 5 70 20 bar 700

p-

Abb. 1. 7.2 Größe p(v" - v')/r für Wasserdampf.

Wirkungsgrades ergab sich anschließend aus der Aussage, daß bei Energiedissipation durch Reibung die wirkliche Arbeit v dpl'fJp bei Verdichtung und 'fJpv dp bei Entspannung wird. Dabei war stillschweigend angenommen worden, daß die Vorgänge in einem Koordinatensystem betrachtet werden, gegenüber dem das Teilchen ruht. Kommen noch Bewegungsenergien ins Spiel, indem man zu anderen Koordinatensystemen übergeht, so ist die Aussage entsprechend zu verallgemeinern, d. h. es ist zu setzen

dä= vdp + d(~) bei Verdichtung, 1.7(30) 'fJp 2

dä = - 'fJpv dp - d ( ~ ) bei Entspannung. 1. 7(31)

Die Festlegung ist hier so getroffen, daß dä auch für den Entspannungsvorgang positiv gerechnet wird. Dann entspricht einer Abnahme der Bewegungsenergie eine Vergrößerung der nach außen verfügbaren Arbeit. Daß die elementare Energiedissipation zu v dp ins Verhältnis gesetzt wird, womit 'fJp nur im Zusammenhang mit diesem Glied auftritt in den Gin. 1.7(30) und (31), ist eine Sache der Konvention. Sie ist so getroffen, daß die vorausgehenden Aussagen über den Zusammenhang zwischen 'fJp und n unabhängig vom Bewegungszustand des Fluids Gültigkeit haben.

1.8 Isentroper Wirkungsgrad, Rückgewinn, Erhitzungsverlust 25

Aus Gl. 1.7(30) und (31) folgt für eine endliche Druckänderung von PI auf P2 p, d 2 2 - J V}) C2 - Cl 1 a - -- + --- hei Verdie ltung,

- 1} 2 p. p

1. 7(32)

_ P. ci - c~ a = J 'f}pV dp + --2- bei Entspannung.

p, 1. 7(33)

Wenn 'f}p hinreichend genau konstant ist und somit für v(p) das Polytropengesetz GI. 1. 7(1) verwendet wird, läßt sich die Integration geschlossen ausführen, und man erhält

_ 1 n [(P2)n-l] c~ - ci a= 'f}p n _ 1 PI VI PI n -1 + --2- =

= ~ ~lPIVllJfk([J, n) + c~ -2 ci bei Verdichtung, 1.7(34) 'f}p n-

_ n [(P2)n-l] ci - c~ a = 'f}p n----=-IPIVI 1 - PI n + --2- =

n ci - c~ = 'f}P n _lPlvllJfiJI,n) +-2- bei Entspannung. 1.7(35)

Bei adiabatischer Zustandsänderung ist in allen diesen Gleichungen das erste Glied rechts die statische Enthalpieänderung, denn nach der thermodynamischen Hauptgleichung ist

T ds = dh - v dp .'. dh = v dp + T ds. 1. 7(36)

Wenn man hier T ds durch den polytropen Wirkungsgrad ausdrückt, wird

dh = v dp + (~ -1) v dp = v dp bei Verdichtung, 'f}p 'f}p

1.7(37)

dh = v dp - (1 - 'f}p) vdp = 'f}pv dp bei Entspannung. 1. 7(38)

Es folgt daraus

h2 - hl = J' v dp bei Verdichtung, P. 'f}p

1. 7(39)

P. hl - h2 = J 'f}pv dp bei Entspannung, 1. 7(40)

p,

wie behauptet. Die Ergebnisse sind damit in Übereinstimmung mit denen des Abschnittes 1.4.

Beim idealen Dampf lassen sich die Gln. 1.7(34) und (35) unter Beachtung der GIn. 1. 7(15) und (16) auch in der Form

_. c~ - ci a = Jl lJfk(II, n) + --2- bei Verdichtung, 1.7(41)

_. ci - c~ a = J1lJfe(II, n) + --2- bei Entspannung 1. 7(42)

schreiben. Das könnte man aber z.B. beim Naßdampfnicht schreiben. - Alle Gleichungen dieses Abschnittes sind so angesetzt, daß bei Verdichtung die von außen zu leistende Arbeit, bei Entspannung die nach außen abgegebene Arbeit positiv gerechnet werden.

1.8 Isentroper Wirkungsgrad, Rückgewinn, Erhitzungsverlust

Wir führen die nachfolgenden Überlegungen zuerst vollständig unter Voraussetzung eines Entspannungsvorganges (Turbine) durch, worauf der Fall der Verdichtung in Analogie dazu etwas knapper behandelt werden kann.

In Abb. 1.8.1 stelle die Linie 1-2 einen Entspannungsvorgang von PI auf P2 im TsDiagramm dar, während die Linie 1-2' die isentrope Entspannung vom gleichen Anfangs-


zustand zum gleichen Enddruck wiedergibt. \Vir betrachten nun einen reversibel durchgeführten infinitesimalen Kreü;prozeß ABCDA zwischen den Drucken p und p - Idp I. Da die umfahrene Fläche im Ts-Diagramm die Arbeit des Kreisprozesse;; darstellt, ist offenbar

T

a'

Fläche ABCDA = v 'Iclp[ - vsldPI.

P1

s

Abb. 1.8.1 Ts.Diagramm eines adiabatisehen, dissipativen Entspannungsvorganges.

1. 8( 1 )

Hier ist v das spezifische Volumen auf der gegebenen Entspannungslinie, also im Punkt A und V8 dasjenige auf der Isentrope, also im Punkt D. Wenn wir setzen

e = Fläche 122/ , 1.8(2) so ist also

Pl Pt

e = f v clp - f 1'8 d P . 1.8(3) pz pz

Abkürzend setzen wir p,

V = f v dp. 1.8(4) p,

Das entsprechende Integral, mit der isentropen Zustandsänderung gebildet, ist gemäß GI. 1.5(17') nichts anderes als die isentrope Enthalpiedifferenz, also

p,

V8 = Llh8 = f VB dp. p.

1. 8( 5)

Außer im Falle der Isentrope sind die y nicht Enthalpiedifferenzen. - Mit diesen Abkürzungen erhalten wir

e=v-Llh •. 1.8(6)

Nach GI. 1.7(40) läßt sich nun für jeden adiabatischen Entspannungsvorgang setzen Pt Pt

Llh - h1 - h2 = J 1)pV dp = 1)pm J V dp = 1)pmY' 1.8(7) Pa P2

womit ein mittlerer polytroper Wirkungsgrad 1)pm definiert ist. Er ist also

Llh 1)pm = y 1.8(8)

und kann erst berechnet werden, wenn die Zustandslinie 1-2 vollständig vorliegt. Diese kann bei einer mehrstufigen Turbine etwa den in Abb. 1.8.2 als ausgezogene Linie dargestellten Charakter haben und ist im allgemeinen weit davon entfernt, eine Polytrope zu sein. - Als isentropen Wirkungsgrad definieren wir das Verhältnis

Llh 1). = Llh '

s 1.8(9)


das unmittelhar als Streckenverhältnis im hs-Diagramm erscheint, vgL Abb. 1.8.2, und durch Anfangs- und Endzustand allein gegeben ist. Aus den GIn. 1.8(8) und (9) folgt unter Beachtung von GI. 1.8(6)

1/8 = I/pm L1~8 = 1]pm (1 + L1~J = (1 +! 00) 1]pm' 1.8(10)

wobei

Abb. 1.8.2 Zustandsänderung in einer adiabatisch arbeitenden Turbine, im

ha-Diagramm dargestellt.

h

wiederum erst berechenbar ist, wenn die Zustandslinie 1-2 bekannt ist.

s

1.8(11)

Man kann nun aber stets die Zustandspunkte 1 und 2 durch eine ideelle Polytrope verbunden denken, deren Exponent n bei gegebenen Zustandspunkten festliegt. Diesem n entspricht nach den Ausführungen in Abschnitt 1. 7 ein polytroper Wirkungsgrad, der mit ijp bezeichnet sei. Das spezifische Volumen längs dieser in Abb. 1.8.2 gestrichelt eingetragenen gedachten Polytrope sei vp- Wir setzen dann

p,

Y - J vpdp, p,

und es gilt L1h = ijpY.

Der GI. 1.8(10) entspricht jetzt _

1]8 = ijp L1~ = (1 + 100) ijp 8

mit

1.8(12)

1.8(13)

1.8(14)

1.8(15)

1.8(16)

llO ist im Gegensatz zu! 00 a,us den Endpunkten der Zustandsänderung allein zu bestimmen. Wir betrachten nun die Entspannung in einer mehrstufigen Turbine, die in Abb. 1.8.3

im Ts-Diagramm veranschaulicht sei. Dabei treffen wir zunächst die besondere Annahme, daß jeweils der Endzustand einer Stufe und damit der Anfangszustand der nächsten auf der (gestrichelt angegebenen) ideellen Polytrope liegen. Die zwischen dieser letzteren und den Isentropen a, b, C, ••• , der einzelnen Stufen erscheinenden Dreiecksflächen seien ev e2, ••• ,

ei' ... genannt, während die Fläche 122' mit der gestrichelten Polytrope als Berandung nichts anderes ist als das oben eingeführte e. Nun ergibt sich aus der geometrischen Situation, daß


es sich dabei näherungsweise um ähnliche Dreiecke handelt. Ist z die Stufenzahl, somit auch das Ähnlichkeitsverhältnis, so gilt für die Flächen ei 1'::1 e!z2, somit

T

2'

z -~_ _ e ~ e'i ~ ze'i ~ -. i=l Z

s

Abb. 1.8.3 Entspannungsvorgang in mehrstufiger Turbine, im T8.Diagramm

dargestellt.

1.8(17)

Die Summe der isentropen Enthalpiedifferenzen der Stufen L1h~t hängt mit dem gesamten (der Isentrope 1-2' entsprechenden) L1 h8 in folgender Weise zusammen:

i~ L1h~t = L1hB + [e - i~ ei]' 1.8(18)

Die in eckiger Klammer geschriebene Größe ist in der Tat nichts anderes als die in Abb.1.8.3 schraffierte Fläche. Diese ihrerseits ist der Unterschied zwischen den Integralen von v dp, einmal längs der sägezahnförmigen Berandung und einmal längs der Isentrope 1-2' gebildet, womit GI. 1.8(18) bestätigt ist. Mit GI. 1.8(17) erhält man

i~L1h~t=L1h8+e(1- !)=L1h8[1 + L1~.(1 - ~)]. 1.8(19)

Beachtet man GI. 1..8(16), so folgt hieraus z

1: L1h~t = (1 + f) L1hs i=l

mit

Die Definition GI. 1..8(9) läßt sich auch auf die einzelne Stufe anwenden, also

L1hSt 'I'lSt -·,8 = L1hSt '

8

1.8(20\

1.8(21)

1.8(22)

Wenn wir annehmen, daß diese isentropen Stufenwirkungsgrade für alle Stufen ungefähr gleich seien und beachten, daß die Summe der effektiven Enthalpiedifferenzen der Stufen


sicher gleich der gesamten Enthalpiedifferenz ist, folgt

z z Llh = 1: LlhSt = rl~t 1: Llh~t = l]~t(l + f) Llhs 1.8(23)

;=1 i=1 oder mit GI. 1.8(9)

1.8(24)

GI. 1.8(18) und alle Relationen, die sich auf sie stützen, sind Näherungen infolge der einschränkenden und vereinfachenden Annahmen. Die Endzustände der einzelnen Stufen liegen nicht notwendig auf der ideellen (gestrichelten) Polytrope, weshalb die in Abb. 1.8.3 schraffierte Fläche nicht genau durch den AUßdruck in eckiger Klammer in GI. 1.8(18) wiedergegeben wird. Auch die Annahme geometrisch ähnlicher Dreiecke ist nicht streng richtig. Anderseits ist aber schon f 00 klein gegen 1, und die daran anzubringende Korrektur - in der Näherungsgleichung 1.8(21) durch 1/z gegeben - ist ihrerseits auch wieder geringfügig, sobald die Stufenzahl einigermaßen groß wird. Daher ist diese Näherungsbetrachtung in der Regel genügend. Wo dies nicht der Fall ist, kann keine allgemeine Theorie gegeben werden, sondern es müssen die jeweils gegebenen besonderen Verhältnisse nachgerechnet werden.

Aus den GIn. 1.8(10), (15) und (24) geht hervor, daß der isentrope Wirkungsgrad 1J. stets höher liegt als der mittlere polytrope Wirkungsgrad 1JPIn' der ideelle polytrope Wirkungsgrad ~P oder der (mittlere) isentrope Stufenwirkungsgrad '7~t. Die Faktoren (1 + f 00),

(1 + 100) und (1 + f) werden Rückgewinnfaktoren genannt. Vergleicht man die mit Gl.l. 7(38) gegebene Beziehung

dh 1Jp = v dp 1.8(25)

mit der Definitionsgleichung 1.8(9) des isentropen Wirkungsgrades und beachtet, daß v dp nichts anderes ist als die isentrope Enthalpiedifferenz der unendlich kleinen Druckänderung, so erkennt man, daß l1p und fl. genau analog definiert sind, nur kennzeichnet 1Jp die unendlich kleine, 1J8 die endliche Entspannung. Daß die beiden einander nicht gleich, sondern durch den Rückgewinnfaktor miteinander verknüpft sind, hat folgenden Grund:

Die Energiedissipation durch Reibung bewirkt im Laufe der Entspannung eine größere Volumenzunahme, als sie ohne Reibung auftreten würde, was sich darin zu erkennen gibt, daß y > Llh8 • Die im Bereich höheren Druckes auftretende Dissipation vergrößert auf diese Weise die im Bereich tieferen Druckes geleistete Arbeit, womit ein gewisser Rückgewinn der Verluste zustande kommt. Das gleiche gilt vom \Virkungsgrad der einzelnen Stufe und der mehrstufigen Einheit.

Die Größe],)O kann in allgemeiner Weise ausgehend von GI. 1.8(13) und (16) noch genauer angegeben werden, womit vermöge GI. 1.8(21) auch f berechenbar ist. Es ist

Pt (P1)1/n . - 11 - J - dp

1 j- - 1 Y - LJf~8 - L - !:.!P.:--...:;.p....:....,..,--_ + 00 - + Llh - Llh - Pt (P )1/" ' 8 • J --1. dp

P. P

1.8(26)

worin die Gesetze der Isentrope und der Polytrope verwendet sind. Kennt man x und aus den Untersuchungen des Abschnittes 1. 7 das zu einem gegebenen 1Jp gehörende n, so liefert GI. 1.8(26) den Rückgewinnfaktor in Funktion des Druckverhältnisses. Wenn weder" noch n den Wert 1 haben, erlaubt GI. 1.8(26) die Darstellung

1.8(27)


Gleichgültig, ob idealer Dampf vorliegt oder nicht, läßt sich das Ergebnis der Berechnung von n aus x stets wiedergeben in der Form

n-1 x-1 x n-1 --= e--.·. e =----. 1.8(28)

n x x-1 n

Das damit definierte e wird nach GI. 1. 7(16) im Falle des idealen Dampfes identisch mit 'YJp (wobei hier natürlich 1]p einzusetzen ist). GI. 1.8(27) kann also in die Form

( \ x-I

1 P2."

1 + f 00 = ~ - Pt)" 1

e 1 _ (::)"

gebracht werden oder vermöge GI. 1.5(25) auch in die Form

1 f __ 1 1 - (1 - "Pe)" + 00 - , e Pe

ein Zusammenhang, der in Abb. 1.8.4 graphisch dargestellt ist.

0,1a

0,10

0,08

1 0,06

1 .... 8

o,o~

0,03

Expansion

/ / /

0-~ / ~ ~ /' ""

r--- A~V't: ... ~-

"~ "'I

/ / / / / / ,/ /" /" .".

.,/

-~

V /

~ V r---

~'/) V V eJ) VI

~ V

äf5 -

0,12

0,10

0.08

0,06 .... 8

0,09

aoa !J. ~

I '/

/, V/

~ V/

~ V ~ I--

1.8(29)

1.8(30)

Komp"ession

8 ~ 0,'1-j 0.'15/

V V / / aB V

/ L / V

/ J / , / / o,BY v-

:/ / V / /'" 0,9 V /' ,,/

'" /" ,,/

v _I----Q95 ..-~~~..-_~--

o 0,1 o,a 0,3 &::1 o,~ 0,5 0,6 o 0,2 0,9 =0,6 0.8 1,0

"-';,-(Pa/P1) ,. -1~ vr.+(~/P1)" -

Abb. 1.8.4 Größe I;" zur Berechnung des Rückgewinn- und Erhitzungsverlustfaktors für Expansion und Kompression. e wird beim idealen Dampf und Gas identisch mit 1jp.

Die verlustbehaftete adiabatische Verdichtung läßt sich in genau analoger Weise behandeln. Der Vorgang ist in Abb. 1.8.5 im Ts-Diagramm veranschaulicht. Wir definieren

p,

y=fvdp, p,

p,

y = f vpdp, p,

p,

L1hB = f VB dp. p,

1.8(31)

1.8(32)

1.8(33)

wobei V das spezifische Volumen entsprechend der wirklichen Zustandslinie, vp dasjenige entsprechend der ideellen Polytrope (die die Endzustände verbindet) und VB dasjenige entsprechend der Isentrope ist. Die Größen

e - y - L1hs •

e = y - L1h8

1.8(34)

1.8(35)


stellen sich im Ts-Diagramm dar als Flächen zwischen der Zustandslinie mit der y bzw. y gebildet ist und der Isentrope. Mit der Definition

vdp 'YJp = dh '

die den adiabatischen Vorgang voraussetzt, wird die effektive Enthalpieel'höhung p, d J v p y Y

,1h = h2 - h1 = -- = - .'. t}pm = Lf[' PI 'YJp 'YJpm t

T 2

Abb.1.8.5 Verdichtungsvorgang in mehrstufigem Verdichter, im T8-Dia- PI 1

gramm dargestellt.

5

Mit der Setzung - -

,1h = !! .'. ijp = Xh 'YJp

ist weiter das ijp der ideellen Polytrope definiert. Der isentrope Wirkungsgrad der gesamten Verdichtung ist definiert durch

,111.8

'YJs -- ,1h '

derjenige der einzelnen Stufe durch St _ Llh~t

'YJ. = ,1h8t '

Dann bestehen folgende Zusammenhänge

'YJpm e 'YJs = 1 + 1 co' 1 co =,111,

_ 'YJp - e 'YJs - 1 + J co' 1 co = ,1h;

'YJ~t (1 ) 'YJ. = 1 + l' 1 = 100 1 - Z

mit z als Stufenzahl. Es ist

_ j' (Pl)t!n dp - y P 1 +1 =_=!:!.Pl-;::--__ _

00 ,111.8 t (Pi)1!" dp ,

p'; P

1.8(36)

1.8(37)

1.8(38)

1.8(39)

1.8(40)

1.8(41)

1.8( 42)

1.8( 43)

1.8(44)


woraus f 00 berechenbar ist, sobald n gemäß Abschnitt 1.7 aus x und ijp bestimmt wurde. Mit der Setzung

n-l 1 x-I x-I n -1-~ -=-;--~'" S =-x-n - l' 1.8(45)

die beim idealen Dampf auf s = ijp führt, wird unter der Voraussetzung, daß weder n noch x den Wert 1 haben

1.8( 46)

wo lJ'k die durch GI. 1.5(24) definierte Funktion ist. [co ist auch für die Verdichtung in Abb. 1.S.4 in Funktion von lJ'k dargestellt.

Die Größen (1 + f 00)' (1 + 1(0) und (1 + f) heißen hier Erhitzunlj8verlu8tfaktoren, denn die Tatsache, daß die im Bereich niedrigen Druckes auftretende Energiedissipation zu einer zusätzlichen Erhitzung des Mediums führt, die sich in einer Volumenvergrößerung äußert, bedeutet hier eine Vergrößerung des Arbeitsaufwandes, d.h. der resultierende Gesamtverlust ist größer als die lokale Energiedissipation.

Aus diesen Ausführungen über den Verlustrückgewinn bei der Turbine und der Ver· lustvergrößerung beim Verdichter ergibt sich die folgende Frage: Wie verhält sich bei Entspannung oder Verdichtung der gesamte Verlust, der aus einer lokalen Energiedissipation im Laufe der Zustandsänderung hervorgeht zu dieser primären Energiedissipation ? - Wir betrachten das Problem zuerst am Beispiel der Entspannung (Turbine). Der Vorgang sei in Abb. 1.S.Ga) im T8-Diagramm dargestellt. Die Expansion verläuft vom Zustand PI> Tl zum Zustand P2' T 2; die entsprechenden Werte der spezifischen Enthalpie sind

T

o

Tz,(1,2

T2 -M,hr öh

5 o 5 b

Abb. 1.8.6 Ts.Diagramm zur Darstellung des resultierenden Arbeitsverlustes, der sich aus einer lokalen Energiedissipation ergibt.

a) Entspannung, b) Verdichtung.

h1 und h2• Bei der Teilentspannung von P auf P - I dp I werde die Energiemenge T d8 dissipiert. Träte dieser Verlust nicht ein, so verliefe die weitere Entspannung gemäß der gestrichelten Linie auf die Temperatur Tz - oT, und der entsprechende Enthalpiewert wäre h2 - oh. Dieses oh ist aber gerade der gesuchte resultierende Verlust, und es ist nach der Hauptgleichung der Thermodynamik

oh = Tz ds. 1.8(47)

1.9 Innere Wirkungsgrade und Gesamtwirkungsgrade von Turbinen 33

Vergleicht man dies mit der bei P und der zugehörigen Temperatur T dissipierten Energie, so erkennt man, daß der resultierende Arbeitsverlust um den Faktor T 2fT kleiner ist.

Analog liegen die Verhältnisse beim Verdichter. Abb. 1.8.6b stellt den Prozeß einer Verdichtung von PI> Tl auf Pa' Ta dar. Es tritt bei der Druckerhöhung von P auf P + dp bei der Temperatur Teine Energiedissipation Tds auf. Würde sie unterbleiben, so ginge die Zustandsänderung gemäß der gestrichelten Linie weiter und erreichte eine Endtemperatur T 2 - bT, und der entsprechende Enthalpiewert wäre h2 - bh. Die Enthalpiedifferenz bh, die gerade der gesuchte Unterschied der aufzuwendenden Arbeiten ist, ist wiederum durch GI. 1.8(47) gegeben, und wir kommen zum entsprechenden Ergebnis: Eine bei T auftretende Energiedissipation bedingt einen resultierenden Mehraufwand an Arbeit, der das TafT-fache der primär dissipierten Energie ist.

Diese Überlegungen zeigen, daß Verluste am Anfang einer Expansion sich oft nur sehr wenig auswirken, während solche am Anfang einer Verdichtung besonders schwer ins Gewicht fallen. Wie aus dieser abschließenden Betrachtung hervorgeht, können diese Effekte sehr groß sein, was überraschen mag, da doch die vorangegangenen Untersuchungen zeigten, daß die einzelnen Wirkungsgrade durch Faktoren ineinander übergehen, die von 1 nicht sehr stark verschieden sind. Man muß aber beachten, daß eine Veränderung eines Wirkungsgrades von z. B. 0,85 um den Betrag 0,05 eine sehr bedeutende Verschiebung des Verlustes darstellt und daß die Rückgewinn- bzw. Erhitzungsverlustfaktoren Integralwerte darstellen, während wir hier Faktoren betrachtet haben, die stets von einem Extremwert am Maschineneintritt auf den Wert 1 am Austritt variieren.

1.9 Innere Wirkungsgrade und Gesamtwirkungsgrade von Turbinen

In Abschnitt 8 wurde ausgehend von der Betrachtung eines unendlich kleinen Abschnittes der Zustandsänderung der polytrope Wirkungsgrad, für die endliche Zustandsänderung sodann der isentrope Wirkungsgrad definiert und der Zusammenhang zwischen beiden aufgezeigt. Dabei wurde offengelassen, inwiefern es sinnvoll ist, gerade die so definierten Größen als Wirkungsgrade zu bezeichnen und ob noch andere Definitionen sinnvoll oder notwendig sein könnten.

Das Wort Wirkungsgrad wird in der Technik allgemein und im Turbomaschinenbau insbesondere in sehr verschiedenen Bedeutungen gebraucht. Im letzteren Falle hängt dies einerseits damit zusammen, daß nicht ohne weiteres die gleichen Angaben sinnvoll sind, ob es sich um eine ganze Maschine oder um einen Teil einer solchen (Stufengruppe, Stufe, Schaufelkranz) handelt. Anderseits kommt es aber auch darauf an, zu welchem Zweck eine solche Angabe überhaupt benutzt werden soll. Sie kann z. B. als maßgebender Parameter innerhalb einer Prozeßrechnung benötigt werden (wobei es sogar wesentlich sein kann, mit welchen Hilfsmitteln diese Prozeßrechnung durchgeführt wird). Oder sie kann dazu gebraucht werden, eine Maschine als Ganzes zu charakterisieren und sie z. B. mit anderen, ähnlichen Maschinen zu vergleichen.

In Abschnitt 1.8 ist der polytrope Wirkungsgrad der Entspannung damit definiert worden, daß ein Teilchen beim Übertritt von einem Raumpunkt, wo der Druck P herrscht, zu einem solchen, wo der Druck P - I dp I herrscht, reibungsfrei die spezifische Arbeit v I dp I abgeben würde, mit Reibung also 'l)pv I dp I abgibt. Damit ist implizite vorausgesetzt, daß überhaupt arbeitleistende Entspannung vorliegt, was gar nicht ohne weiteres der Fall ist. Bei Expansion in einem stillstehenden Kanal wird z.B. keine Arbeit nach außen geleistet, sondern es ist dort die spezifische Bewegungsenergie c2f2, die reibungsfrei um v I dp I, mit Reibung um 'l)pv I dp I zunimmt. Sobald wir uns auf den Standpunkt stellen, eine Zunahme der Bewegungsenergie als ideelle, nach außen geleistete Arbeit zu betrachten (was sie potentiell ist), bleiben die ganzen überlegungen des Abschnittes 1.8 unverändert richtig. Die Größe 'l)p v I dp I ist daher auch schon als "Eigenarbeit " bezeichnet worden, vgl. Dzung [9]. In diesem Sinne läßt sich der polytrope Wirkungsgrad allgemein verwenden.


Er ist bei Entspannung definiert als die - in diesem verallgemeinerten Sinne aufgefaßte - abgegebene Arbeit, dividiert durch die Größe v I dp I bzw. ihr Integral y. Der polytrope Wirkungsgrad ist letzten Endes nichts anderes als eine Größe, die bei thermodynamischen Untersuchungen zweckmäßig zur Charakterisierung der Energiedissipation durch Reibung benutzt wird. - Das gleiohe gilt auch vom isentropen Wirkungsgrad.

Wir betrachten nun eine Turbinenschaufelung, Abb. 1.9.1, in der eine Entspannung von Pe< auf PU) vorgenommen wird. Ein- und Austrittsgeschwindigkeit seien Ce< und CU). Abb. 1. 9. 2 stellt den Vorgang im Entropiediagramm dar. Dabei entspricht Linie a der wirklichen

c,.

Abb. 1.9.1 Schema einer Turbinenschaufelung mit Ein- und Austrittsstutzen_

s

Abb. 1.9.2 Darstellung der Entspannung in mehrstufiger Turbine im hs-

Diagramm: a wirklicher Verlauf des statischen Zustandes; bIsentrope; c ideelle Polytrope, die den statischen Anfangszustand mit dem statischen Endzustand verbindet; d wirklicher Verlauf des Totalzustandes; e ideelle Polytrope, die den Totalzustand am Eintritt mit dem am

Austritt verbindet.

Zustandsänderung, Linie b der isentropen Zustandsänderung, Linie c einer ideellen mittleren Polytrope, die mit der wirklichen Zustandsänderung Anfangs- und Endpunkt gemein hat, Linie d dem wirklichen Verlauf des Totalzustandes, Linie e einer ideellen Tota.lzustandsPolytrope, die mit der wirklichen Tota.lzustandslinie Anfangs- und Endpunkt gemein hat. - Der stufenartige Verlauf der Totalzustandslinie ist dadurch gegeben, daß die Totalenthalpie in den Leiträdern jeweils konstant bleibt.


An Hand dieser Darstellung lassen sich vor alI"m 6 Wirkungsgraddefinitionen als sinnvolle Bildungen erkennen. Die naheliegendsten sind die folgenden:

.dh 'Y}B - .dh '

s

Jho .dho ",0 -- ~ ___ --.,,-_--;;-'I. = Aho ""' 2 2 '

LJ" .dh, + Ce< - Cw

2

(18) _ .dho '7, = .dh(18)

B

1.9(1)

1. 9(2)

1.9(3)

'Y}. ist der in Abschnitt 1.8 eingeführte isentrope Wirkungsgrad. 'Y}~ ist gleich definiert, benutzt aber die Totalzustände an Stelle der statischen; es ist .dho die effektive Totalenthalpiedifferenz, .dh~ die isentrope Totalenthalpiedifferenz bei Entspannung vom totalen Anfa,ngsdruck p~ auf den totalen Enddruck p~. Bei 'Y}~18) schließlich steht wiederum .dho im Zähler, im Nenner hingegen steht die isentrope Enthalpiedifferenz, die einer Entspannung vom Totaldruck p~ auf den statischen Druck Pw entspricht; dies ist durch die Bezeichnung (ts) angedeutet. 'Y}~ und 'YJ~18) sind Arbeitswirkungsgrade, denn sie vergleichen die wirkliche spezifische Arbeit .dho mit der spezifischen Arbeit einer Idealmaschine. Der Unterschied zwischen beiden Definitionen besteht eben darin, daß auf verschiedene Idealmaschinen Bezug genommen wird. Die Definition 'YJ~ ist sinnvoll, wenn die Geschwindigkeitsenergie am Austritt aus der Schaufelung nicht dissipiert wird, also nicht als Verlust zu werten ist (oder wenn diese Dissipation zwar auftritt, aber anderswo in Rechnung gesetzt wird). Das ist der Fall, wenn unmittelbar hinter der betrachteten Schaufelung eine weitere folgt oder wenn etwa die Treibdüse eines Strahltriebwerkes an die Schaufelung anschließt oder wenn ein teilweiser Rückgewinn in einem Diffusor möglich ist. - 'Y}~ts) ist dann eine sinnvolle Bildung,wenn die Bewegungsenergie am Austritt sicher dissipiert wird. Dann ist die Idealmaschine offenbar eine solche, die auf den gegebenen statischen Enddruck expandiert, aber mit verschwindend kleiner Bewegungsenergie am Austritt arbeitet. Eine solche Maschine würde die spezifische Arbeit .dh~8t) leisten, was im Nenner steht.

Die drei weiteren Definitionen verwenden die folgenden Eigenarbeiten :

Po< p~

y - J vdp, yO __ J v~dpo. 1. 9( 4) Pw P'iu

Hier sind v, vp und v~ die spezifischen Volumen, die man längs der wirklichen Zustandslinie a, der ideellen statischen Polytrope c und der ideellen Totalzustandspolytrope e antrifft. Damit definieren wir

.dh 'Y}pm y' 1.9(5)

_ .dh 'Y}p = --=-,

y 1.9(6)

-0 .dhO .dhO 'Y}p - -=0 R:! 2 .2 •

Y Y + Ce< - Cw

2

1.9(7)

'YJp,n und ijp sind identisch mit den in Abschnitt 1.8 eingeführten mittleren polytropen Wirkungsgraden. rj~ ist gleich definiert wie ~P' doch unter Verwendung der Totalzustände; somit ist ij~ ein Arbeitswirkungsgrad, denn im Zähler steht die effektive spezifische Arbeit. Zwischen rj~ und 'YJ~ besteht genau der gleiche Zusammenhang wie zwischen ijp und 'YJB' d. h es ist

'Y}~ = (1 + 100) rj~; 1.9(8)

wobei] 00 jetzt natürlich aus dem Totaldruckverhältnis p~/p~ zu bestimmen ist.


Im einzelnen ist über den sinnvollen Gebrauch dieser verschieden definierten Wirkungsgrade folgendes zu sagen: 'fJ8 ist ein thermodynamisches Kennzeichen der Zustandsänderung, wogegen 'fJ~ und 'fJ~ts) als Arbeitswirkungsgrade die Hochwertigkeit der Maschinen unmittelbar charakterisieren, und zwar in sinnvollster Weise, denn die Zustandsänderung in der adiabatisch und reibungsfrei arbeitenden Maschine ist isentrop, und darauf wird Bezug genommen. Außerdem haben diese drei Wirkungsgrade den Vorteil, ausschließlich mit Größen gebildet zu sein, die als Strecken im Entropiediagramm abgelesen werden können. Man kann also mit dem Entropiediagramm arbeiten, was nicht möglich ist bei Verwendung von 'fJpm' ijp und ij~. Diese haben indessen den Vorteil, daß ihr Wert nicht vom Druckverhältnis abhängt, was bei den isentropen Wirkungsgraden der Fall ist. Betrachtet man etwa zwei Maschinen gleichen Schaufelungstypes, von denen eine mit großem, die andere mit kleinem Druckverhältnis Pa/Pro arbeitet, so haben beide gleiches ijp, wogegen die Maschine mit größerem Druckverhältnis ein höheres 'fJ. erreicht als die andere infolge des Rückgewinnfaktors. Die polytropen Wirkungsgrade sind deshalb bessere Charakteristika der strömungstechnischen Qualität der Schaufelungen. Verändert man bei systematischen Prozeßrechnungen die Druckverhältnisse, so ist es richtig, mit Festwerten der polytropen Wirkungsgrade in solche Untersuchungen einzugehen, wogegen die Werte isentroper Wirkungsgrade korrekterweise mit dem Druckverhältnis mitzuvariieren sind. Speziell ist ~ ein sehr zweckmäßiges Hilfsmittel für Prozeßrechnungen, da man sich bei diesen ja stets für den Arbeitsumsatz interessieren wird.

Man muß bei der Verwendung von ij~ für Prozeßrechnungen allerdings stets noch die Bedingungen am Maschineneintritt und Austritt besonders beachten, was an Hand von Abb. 1.9.3 aufgezeigt sei. Dort sind die Zustandsänderungen in einem Einlaufgehäuse und

h o PE

P~ ~~L-----------.-,h~

a

Pw

s

Abb.1.9.3 Entspannungsvorgang in Turbine, einschließlich der Vorgänge im Eintritts- und Austrittsstutzen (Diffusor)

im h8-Diagramm dargestellt. astatische Zustandslinie ; c statische Ersatzpolytrope ; e ideelle Polytrope der

Totalzustände.

in einem als Diffusor gestalteten Austrittsstutzen mit eingetragen. Im Einlauf fällt der Totaldruck von P~ auf P~' Im Austrittsdiffusor erhöht sich der statische Druck von Pro auf PA' der aber selbstverständlich immer noch unter dem Totaldruck P~ bleibt. Es sei angenummen, daß die Bewegungsenergie der Stutzenaustrittsgeschwindigkeit CA nicht


weiter verwertbar sei, also dissipiert werde, und dieser Verlust soll der Turbine zur Last gelegt werden. Dann ist der für die Prozeßrechnung maßgebende Endpunkt der Punkt A * nach vollzogener Dissipation.

Für einen Einlaufstutzen gegebenen Typus können wir den Verlust an Totaldruck durch

rl c2 t5po = pO _ pO - J" ~ c2 _ J" _"_ - E " - <, 2 IX - <, 2v~ 1.9(9)

darstellen. Daß wir hier die Dichte e~ einführen, ist Konvention; es ist damit implizite der Verlustbeiwert C definiert. Ebenso setzen wir für den Austritt

° _ 0 _ [JA 2 _ c~ t5pw = PO) - PA - (1 - A)2"cw - (1 - ,1.) 2VA. 1.9(10)

Hier ist Ader Umsetzungsgrad des Diffusors, der in dieser Formel wiederum so definiert ist, daß sie mit eA den korrekten Wert t5p~ liefert. Wir können setzen

v: ~ (p~)l/n , VE PA

was in der Tat nur näherungsweise zutrifft, wenn für n der gleiche Wert eingesetzt wird wie für die übrige Expansion; die Näherung ist in diesem Zusammenhang absolut hinreichend. Damit läßt sich setzen

1.9(11)

1.9(12)

Nun ist n - 1 __ o~ - 1

n - 'fJp ~ beim idealen Gas oder Dampf, 1.9(13')

n = 1 + ~p(v" - v') (1 _ :::0) r 'fJp

beim Naß dampf 1.9(13")

und weiter

1.9(14)

Damit wird

Llho = ;;0 __ povo 1 n [_ (pp~~)n-nl] ·/P n - 1 "" 1.9(15)

die spezifische Turbinenarbeit. Läßt man bei systematischen Prozeßrechnungen ?j~ fest und berechnet LlhO aus den

GIn. 1.9(11) -(15), so hat man von vorn herein in korrekter Weise berücksichtigt, wie der Rückgewinneffekt und die relative Größe der Stutzenverluste vom Druckverhältnis abhängen. - Das Verfahren ist je nach den Gegebenheiten in sinngemäßer Weise abzuwandeln, z.B. indem man A ~ 0 setzt, wenn der Diffusor fehlt. Niemals ist es begrifflich richtig, Stutzenverluste am Austritt in den polytropen Wirkungsgrad einzuschließen. Polytrope Wirkungsgrade sind zu einer Gesamtcharakterisierung einer Maschine, die Stutzenverluste mit einschließt, völlig ungeeignet. Der für die Prozeßrechnung in unserem Beispiel maßgebende Endzustand A * ist gegeben durch p~ = PA' h~ = h~, d. h. der Vorgang wird als ein Drosselvorgang von p~ auf PA betrachtet.

Die bisherigen überlegungen berücksichtigen nicht die Undichtheitsverluste in den Labyrinthdichtungen der Wellenenden. Wie das geschehen kann, sei am Beispiel Abb. 1.9.4 dargelegt. Von dem mit der Geschwindigkeit CE zuströmenden Arbeitsmittel wird ein kleiner Teil durch die Leitung 1 abgezweigt und über das Drosselventil 2 in das Leitungssystem 3 gegeben, das mit den Ringkanälen 4 und 5 in Verbindung steht. Das Drosselven-


til 2 wird vom Druck im Leitungssystem 3 aus beeinflußt - angedeutet durch die Impulsleitung 8 - derart, daß dieser Druck stets wenig über dem atmosphärischen liegt. Es ist angenommen, daß der Druck im Austrittsstutzen unter der Atmosphäre liege. Durch diese Sperrmittelregelung wird bei geringstem Sperrmittelverbrauch das Eindringen von Luft in die Maschine vermieden. Die Leck menge , die durch die Hochdruckstopfbüchse ab-

Abb. 1.9.4 Schema einer Turbine mit Sperrmittelsystem.

strömt, wird zum Teil vom Ringkanal 6 aus an der Stelle 7 zwischen zwei Stufen in die Schaufelung zurückgeführt. Nur der Rest strömt weiter zum Ringkanal 4, um von dort teilweise nach außen, teilweise durch das Leitungssystem 3 zum Kanal 5 geführt zu werden. Das Drosselventil 2 sorgt dafür, daß dort unter allen Umständen ein über der Atmosphäre liegender Druck aufrechterhalten wird und die Menge, die zur Sperrung gebraucht wird, sicher zur Verfügung steht. Bei einer solchen Anordnung werden die Stopfbüchsenverluste geringer als wenn man z. B. einfach die durch die HD-Stopfbüchse strömende Menge nach außen entweichen ließe. - In der Eintrittsleitung sei noch ein Regelorgan angeordnet, das in Abb. 1.9.4 als Klappe dargestellt ist.

Abb.1.9.5 stellt die Zustandsänderungen im Entropiediagramm dar. Vom Totalzustand h~, p~, der unmittelbar vor der Schaufelung herrscht und den Totaldruckabfall durch Drosselorgan und Einlauf schon berücksichtigt, führt eine erste Teilentspannung zum Totalzustand p~, h~. Dieser Entspannungsvorgang kann gekennzeichnet werden durch seinen isentropen Wirkungsgrad 'Y/~"w oder den polytropen Wirkungsgrad ~""" also

° Llh~w 1]."w = Llho '

."w 1.9(16)

Am Ende dieses ersten Entspannungsabschnittes wird die Stopfbüchsenmenge m~t (Abb. 1.9.4) beigemischt, und da sie die Totalenthalpie h~ besitzt, ist die Totalenthalpie h~' nach Beimischung dieser Leckmenge gegeben durch

1.9(17)

Hier ist m der gesamte Massenstrom, mStl und mSl2 sind die aus Abb. 1.9.4 zu entnehmenden Leckmassenströme, so daß

mSt nistl + mSt2' 1. 9(18) womit leicht zu erkennen ist, daß der Faktor von h~' in GI. 1.9(17) der durch den zweiten Schaufelungsteil tretende Massenstrom ist. Aus GI. 1.9(17) folgt

( . ') hO + ., hO • , ho' = m - mSt w mSt E ~ 110 +mSt7o '" .. +. I ~ -'(I) • tE·

m - mSt mSt rn 1.9(19)


Wenn}; ma die Summe der an beiden Wellenenden nach außen verlorengehenden Leckmengen ist, führt die analoge Überlegung unter Beachtung der Mengenbilanzen auf

10 _ (m - mSt + mild h?: + (mSt - m~t - };ma) h~ '-'" h' + mSt - m~t - }; ma hO rt A - . 'I;"' . "" ·Ow . E'

m-~~ m

Abb. 1.9.5 hs-Diagramm der Entspannung in der Turbine nach Abb. 1.9.4.

h

PE

pf

PA ..J....L,:W7'----;7L.....>----:--h~

1. 9(20)

s

Hierbei ist h?; gegeben aus h~', dem Druckverhältnis des zweiten Entspannungsabschnittes und seinem isentropen oder polytropen Wirkungsgrad

0' _ .dh~~ 'YJSIXW - .dho' ,

SIXW 1.9(21)

Wird die verbleibende Geschwindigkeitsenergie c~/2 dissipiert, so wird schließlich der gesamte isentrope Wirkungsgrad der Maschine

(ts) _ .dho 'YJs ~ .dh(ts) , 1. 9(22)

S

wobei die im Zähler und Nenner erscheinenden Enthalpiedifferenzen in Abb. 1.9.5 dargestellt sind. Er ist ein innerer Wirkungsgrad, wie alle bisher behandelten Wirkungsgrade, denn er umfaßt nicht die Verluste durch Lagerreibung und Hilfsantriebe, aber auch nicht die nach außen abströmenden Leckmengen. Diese letzteren werden im Rahmen von Prozeßuntersuchungen richtigerweise nicht in Maschinenwirkungsgrade einbezogen, sondern gesondert in Rechnung gesetzt. Der für die thermodynamische Prozeßführung maßgebende innere isentrope Wirkungsgrad ist also durch GI. 1.9(22) gegeben, der entsprechende effektive, die mechanischen Verluste mitumfassende Wirkungsgrad ist

'YJe = 'YJm'YJ~ts), 1.9(23)

wo 'YJm den mechanischen Wirkungsgrad bezeichnet. Will man hingegen außerhalb einer Prozeßuntersuchung ein alle Verluste mitumfassen

des Qualitätskriterium für die Maschine angeben, so ist als effektiver Wirkungsgrad die

40 1 Thermodynamisehe Grundlagen

Größe

1/. = 17m (1 _ J; ::la ) '11~IS) 1.9(24)

zu definieren, die auch die Leistungsverminderung durch die Leckmengen berücksichtigt. - Man erkennt aus diesem Beispiel, daß die sinnvolle Definition eines Wirkungsgrades stets von den besonderen Fragestellungen abhängt. Genaue Berechnungen setzen insbesondere auch die Kenntnis der Leckströme durch Labyrinthdichtungen voraus, d. h. die Auslegung der Maschine muß in allen Einzelheiten bekannt sein.

Dampfturbinen großer Kraftanlagen werden stets so ausgebildet, daß an verschiedenen Stellen der Entspannung Teilmengen des Dampfstromes abgezapft und zur Speisewasservorwärmung herangezogen werden. Dann nimmt also der die Turbine durchsetzende Massenstrom nach dem Austritt hin immer mehr ab, womit sich die Frage stellt, wie in diesem Falle der Wirkungsgrad der Turbine sinnvollerweise definiert werden kann. Die Frage ist allerdings praktisch nur für den Berechnungsingenieur von Belang, denn der Benützer interessiert sich nur für den thermischen Wirkungsgrad der Gesamtanlage, für den er Garantien verlangt.

"Vas der Berechnungsingenieur bei der Prozeßrechnung benötigt, ist die Kenntnis des Verlaufes des Totalzustandes beim Entspannungsvorgang (hiervon ausgehend sind auch die anzuzapfenden Teilmengen berechenbar). Hierzu genügt es, für jeden Entspannungsabschnitt. (also je von Anzapfungspunkt zu Anzapfungspunkt) den mit Totalzuständen gebildeten isentropen Wirkungsgrad 1/~ anzugeben, wobei Stutzenverluste (insbesondere Austrittsverlust nach letzter Stufe) als Totaldruckabfälle einzuführen sind. Bei einer ersten Durchrechnung kann man sich auch damit begnügen, für die gesamte Entspannung den Wert von 1/~ zu schätzen und die Zustandslinie im Entropiediagramm durch gradlinige Verbindung von Anfangs- und Endpunkt zu gewinnen. Abb. 1.9.6 stellt die Turbine schematisch dar und Abb. 1.9.7 gibt den Zustandsverlauf im Entropiediagramm wieder. Es ist dort der wirkliche Verlauf des Totalzustandes eingetragen und derjenige, der sich durch gradlinige Verbindung der Endpunkte ergibt und eine sehr gute, für eine erste Prozeßrechnung genügende Näherung darstellt. - Das 1/~ der Gesamtentspannung ist kein echter Arbeitswirkungsgrad, da die Massenströme der Teilabschnitte verschieden sind.

E1=1=ll. ma.1 mal maJ A

Abb. 1.9.6 Schema einer Dampfturbine mit Anzapfungen.

An sich kann man ebensogut für die einzelnen EntspannungsabschniUe den jeweiligen polytropen Wirkungsgrad ti2 geben oder bei einer ersten Prozeßrechnung einen konstanten Mittelwert für die gesamte Entspannung, nur läßt sich dann das Entropiediagramm nicht mehr benutzen. Hingegen ist es so möglich, einen sinnvoll definierten Arbeitswirkungsgrad der ganzen Maschine zu gewinnen. Es seien mo, mI' ... , mi' ... die Massenströme der einzelnen Entspannungsabschnitte, m; die entsprechenden Massenströme, wenn keine inneren Leckverluste durch Labyrinthdichtungen, Ausgleichkolben usw. auftreten, :;;? die y-Integrale der Entspannungsabschnitte, ti~i die zugehörigen polytropen Wirkungsgrade und


LJh? die Totalenthalpiedifferenzen. Dann ist bei k + 1 Entspannungsabschnitten (k Anzapfungen) der polytrope Arbeitswirkungsgrad der ganzen Maschine

k

1: ini;jh~ -0 _i __ =...:.:0,;:-__ 'Y}pges = - k

1: iniTJ? i=O

Abb. 1.9.7 Totalzustandsverlauf in einer Anzapfdampfturbine im h8·Diagramm.

a "wirkliche" Totalzustandslinie, d.h. stetige Verbindungskurve der sämtlichen Totalzustände am Ein. und Austritt der Turbinenstufen ; b gradlinige Verbindung der Totalzustände am Ein· und Austritt.

h

k ~ . -0:::0

..:.. miYi'Y}pi i=O

~~---------.-h~

1.9(25)

s

Im Beispiel Abb. 1.9.6 ist dargestellt, daß eine durch den Ausgleichkolben strömende Leckmenge unter Umgehung der Maschine direkt in den Austrittsstutzen gelangt, ein Verlust, der in ~~ges eingeschlossen ist. Hingegen kann man Austrittsverluste in einen polytropen Wirkungsgrad nicht gut einführen, sondern muß sie getrennt als Verluste an Totaldruck in Rechnung setzen (oder entsprechende Teilabschnitte mit ~~ = 0 einführen).

Ein so definierter Wirkungsgrad kann, im Gegensatz zu allen vorher aufgeführten auch angegeben werden für Maschinen mit Zwischenüberhitzung, bei denen man sonst nur die einzelnen Teilmaschinen oder -maschinengruppen (vor und nach Zwischenüberhitzung) durch ihre individuellen Wirkungsgrade kennzeichnen kann. Der durch GI. 1.9(25) gegebene polytrope Gesamtwirkungsgrad ist stets ein gutes Cha.rakteristikum der strömungstechnischen Hochwertigkeit der Maschine.

Vom rein thermodynamischen Standpunkt aus kann eine exergetische Definition eines Wirkungsgrades einer Maschine mit Anzapfungen und Zwischenüberhitzung Interesse besitzen. Die spezifische Exergie eines Totalzustandes ist

1.9(26)

wobei willkürlich die Kondensationstemperatur Tc als Umgebungstemperatur gesetzt ist, was in der Regel eine zweckmäßige Festlegung darstellt. Es seien in" die sämtlichen in die Maschinengruppe eintretenden Massenströme (vom Dampferzeuger bzw. den Zwischenüberhitzern her), m. die sämtlichen austretenden Massenströme (zu den Zwischenüberhitzern, zu den Anzapvorwärmern, zum Kondensator). Die spezifischen Totalexergien der eintretenden Massenströme seien e~, diejenigen der austretenden Massenströme e~. Dann


kann der innere exgertische Wirkungsgrad der Maschine durch

2: r'niiJh~ , 'Y/ex = "'. ·"-0 --:::,,~-~-:·--:co

..::., rnpß 1t - ..;;;., mve, v

1.9(27)

definiert werden. Hier steht im Zähler die gesamte (innere) Maschinenleistung, im Nenner die Differenz zwischen den ein- und austretenden Exergieströmen. Wenn man die Nullpunktswahl von Enthalpie und Entropie so trifft, daß beide Größen Null werden im Zustand des verdampfungsbereiten Wassers bei Tc> also

h'(Tc) = 0, s'(Tc) = 0, 1.9(28) ist, wie Abb. 1.9.8, lehrt,

1.9(29)

wo 1.9(30)

die isentrope Enthalpiedifferenz ist, die man erhielte bei einer Expansion vom Zustand pJ, hJ auf den Kondensationsdruck Pe' Damit wird

1.9(31) somit also schließlich

1. 9(32)

Damit ist dieser Wirkungsgrad auf einfachste Weise berechenbar.

o

Abb. 1.9.8 Ts.Diagramm zur Herleitung der Formel für den exergetischen Wirkungsgrad einer Anzapfdampfturbine.

1.10 Innere Wirkungsgrade und Gesamtwirkungsgrade von Verdichtern

Die Überlegungen des vorangehenden Abschnittes lassen sich in sinngemäßer Weise auf den Verdichter übertragen. Demgemäß lassen sich, ausgehend von der Darstellung in Abb. 1.10.1 die folgenden drei isentropen Wirkungsgrade definieren:

LJh. 'Y/. -- iJh ' 1.10(1)

1.10(2)

1.10(3)

1.10 Innere Wirkungsgrade und Gesamtwirkungsgrade von Verdichtern 43

Die Definition GI. 1.10(1) ist identisch mit GI. 1.8(39). Die Definition nach GI. 1.10(2) ist der erstgenannten völlig analog, nur stützt sie sich auf die Totalzustände statt auf statische Zustände. Der so definierte Wirkungsgrad ist also ein isentroper ArbeitswirkunrJsgrad, und zwar vergleicht er den wirklichen Arbeitsaufwand mit dem einer adiabatisch arbeitenden Idealmaschine, die auf den gleichen Totaldruck verdichtet wie die wirkliche, was sinnvoll

Abb. 1.10.1 Darstellung eines Verdich-tungsvorganges im hs-Diagramm:

a wirklicher Verlauf des statischen Zustandes; bIsentrope; c ideelle Polytrope, die den statischen Anfangszustand mit dem statischen Endzustand verbindet; e ideelle Polytrope, die den Totalzustand

am Eintritt mit dem am Austritt verbindet.

h

s

ist, wenn man die Bewegungsenergie am Austritt nicht als Verlust in Rechnung setzen will (sei es, daß sie nicht dissipiert wird oder daß ihre Dissipation nicht dem Verdichter zur Last gelegt werden soll). - Die Definition 1.10(3) schließlich vergleicht den wirklichen Arbeitsaufwand mit dem einer adiabatischen Idealmaschine, die auf den gleichen statischen Druck verdichtet wie die wirkliche. Es wird angenommen, daß die Bewegungsenergie am Austritt dissipiert wird, und dieser Verlust wird in den Wirkungsgrad eingeschlossen. Die drei Definitionen gestatten die Verwendung des Entropiediagrammes, da sie nur Größen enthalten, die dort als Strecken darstellbar sind.

mit

Die drei Definitionen polytroper Wirkungsgrade lauten:

Pro

y J v dp, Pa

- y f}pm = Llh '

Pr;" !l- J VO dpO,

P~

1.10(4)

1.10(5)

1.10(6)

1.10(7)

wo v, vp ' VO die spezifischen Volumen längs der wirklichen statischen Zustandslinie, der statischen Ersatzpolytrope und derjenigen Polytrope sind, die den Totalzustand am Eintritt mit dem Totalzustand am Austritt verbindet. Die GIn. 1.10(4) und (5) sind identisch mit den früheren Definitionsgleichungen 1.8(37) und (38). GI. 1.10(6) ist analog GI. 1.10(9) nur daß mit den Totalzuständen gearbeitet wird; 172 ist daher der polytrope Arbeitswirkungsgrad, der bei sysliematischen Prozeßrechnungen mit Vorteil herangezogen wird.


Stutzenverluste in diesen Wirkungsgrad einzuschließen, ist nicht sinnvoll. Man setzt, sie richtigerweise als Totaldruckabfälle ()p~ und fJp~ in Rechnung, vg1. Abb. 1.10.2. Für diese kann man analog zu den Ausführungen des Abschnittes 1.9 setzen

h

5

Abb.1.10.2 Vorgang im Verdichter, ein· schließlich der Vorgänge in Eintritts- und Austrittsstutzen (Diffusor), im h8-Diagramm dargestellt. Ausgezogen: Statischer

Zustand. Gestrichelt: Totalzustand.

1.10(8)

1.10(9)

womit der Verlustbeiwert C und der Umsetzungsgrad A definiert sind; die Definition von Ä. ist sinnvoll, wenn c~/2 dissipiert wird. Gegenteiligenfalls wäre GI. 1.10(9) entsprechend abzuwandeln. Mit

wird

VA ~ (p~)l/n v~ PA

o 0 c; p" = l JE - C -2 0

VE

( PA)l/n c! p~ = PA + (1 - Ä.) 0" -20 '

PE VE Weiter ist bei idealem Gas oder Dampf

und damit

n-1 1 u-1 -n-= ij~ -u-

o vO = vO PE " Ep~

1.10(10)

1.10(11)

1.10(12)

1.10(13)

1.10(14)

1.10(15)

womit der spezifische Arbeitsaufwand gegeben ist. Bei dieser Weise der Berechnung des Arbeitsaufwandes wird der Vorteil erreicht, daß man bei festem ij~ das Druckverhältnis variieren kann, während sonst ein vom Druckverhältnis abhängiger isentroper Wirkungsgrad einzusetzen wäre. Hingegen sind y, y und yO nicht im Entropiediagramm als Strecken

1.10 Innere Wirkungsgrade und Gesamtwirkungsgrade von Verdichtern 45

darstellbar, so daß dieses nicht verwendet werden kann, wenn man mit polytropen Wirkungsgraden rechnet. Der Zusammenhang zwischen diesen und den isentropen Wirkungsgraden ist gegeben durch

11 - 'Y}p '/s - 1 + f oo(II) ,

-0 0_ 'Y}p

fJs - 1 + f ",,(IIO) • 1.10(16)

Mit dieser Schreibweise ist angedeutet, daß das Druckverhältnis, das f 00 bestimmt, einmal mit den statischen Drucken, das zweite mal mit den Totaldrucken zu bilden ist.

Um an einem Beispiel zu erkennen, wie Leckverluste in den Wirkungsgrad eines Verdichters eingeschlossen werden können, betrachten wir Abb. 1.10.3. Der dort dargestellte Axialverdichter saugt ein Gas mit dem Totalzustand p~, h~ an; der Massenstrom ist m.

h

s Abb. 1.10.3 Schema eines Verdichters mit Leckströmung durch einen Schubausgleichkolben und Darstellung

der Zustandsänderung im h8.Diagramm,

Im Einlaufstutzen erfolgt eine Expansion auf den statischen Druck p"" wobei die Geschwindigkeit c'" erreicht wird, entsprechend einem Totaldruck p~, vgl. das zugehörige Entropiediagramm. Der gleiche Totaldruck herrscht auch noch im Punkt IX', doch ist dort die Totalenthalpie von h~ auf h~' gestiegen. Ist mal die durch die eintrittsseitige Wellendichtung abströmende und inl die vom Schubausgleichkolben zurückströmende Menge, so wird

(m - mal + mz) h~' = (in - mal) h~ + mzh~, hOl = (m - mal) h~ + mzh~ -=v hO + mz hO

'" m. - mal + ml ,..., '" m fJ)'

1.10(17)

Von hier aus erfolgt die weitere Zustandsänderung wie im Diagramm dargestellt. Im Punkt w zweigt die Menge mz + ma2 als gesamte, den Ausgleichkolben durchströmende Leckmenge ab. Die Menge ma2 verläßt den Verdichter durch die austrittsseitige Wellendichtung.

Nimmt man an, daß die im Austrittsquerschnitt A noch vorhandene Geschwindigkeitsenergie dissipiert werde, so ist A * der maßgebende Endpunkt, und der gesamte innere isentrope Wirkungsgrad des Verdichters ist

Llh(ls) (18) _ s

fJs - LlhO ' 1.10(18)


vgl. die Darstellung im Entropiediagramm. Dabei müssen im Rahmen einer Prozeßbetrachtung mal und m a2 in die Mengenbilanz eingeführt werden. Will man den Verdichter für sich charakterisieren und auch noch die mechanischen Verluste einschließen, so ist

1.10(19}

mit 'YJm als mechanischen Wirkungsgrad eine sinnvolle Definition eines effektiven Wirkungsgrades.

In vielen industriellen Anwendungen werden Verdichter mit Zwischenkühlung verwendet, da durch diese Maßnahme der Arbeitsaufwand der Verdichtung vermindert werden kann. Abb. 1.10.4 stellt einen solchen Verdichter schematisch dar und Abb. 1.10.5

Abb.1.10.4 Schema eines Verdichters mit Zwischenkühlungen.

s-

Abb.1.10.5 h8.Diagramm eines Verdichters mit Zwischenkühlungen.

zeigt die Zustandsänderung im Entropiediagramm. Im idealen Grenzfall würde man eine solche Verdichtung isotherm und reversibel durchführen, weshalb man einen isothermen Wirkungsgrad einführt, der den wirklichen Arbeitsaufwand mit dem des Idealfalles vergleicht. Es seien mi die Massenströme der verschiedenen Verdichtungsabschnitte (alle Leckströmungen mitumfassend), L1h? die zugehörigen Totalenthalpiedifferenzen, m der den Verdichter verlassende Massenstrom. Dann ist der innere isotherme Wirkungsgrad

1.10(20)"

Dabei ist Vt das spezifische Volumen längs der Isotherme. Der im Nenner stehende Ausdruck ist in der Tat die wirkliche Leistungsaufnahme des Arbeitsmittels, der im Zähler stehende die Leistungsaufnahme der reversiblen Isotherme. Im Falle des idealen Gases kann dieses Integral noch ausgewertet werden, somit

1.10(21)

T o ist die Temperatur der isothermen Verdichtung, also praktisch die Umgebungstemperatur ; PE und PA sind die Drucke am Ein-und Austritt. - Will man noch die mechanischen

1.11 Energiebilanz offener Prozesse

Verluste einschließen, so ist mit '1te = 17m'lti

der effektive isotherme Wirkungsgrad gegeben.

1.11 Energiebilanz offener Prozesse

47

1.10(22)

Wir betrachten eine beliebige Kraftmaschine mit innerer Verbrennung (Verbrennungsmotor, offene Gasturbine) und setzen stationären Betrieb voraus. Während eines beliebigen Zeitintervalles ist dann die Masse des austretenden Gases gleich der Summe der eintreten-den Luft- und Brennstoffmassen mL und mB' Es sei A die an der Welle der Maschine abgegebene Arbeit, Qk die durch Wärmeübertragung an ein Kühlmittel der Maschine entzogene Wärme (Kühlwärme), hL die spezifische Enthalpie der eintretenden Luft, hB diejenige des Brennstoffes und hG diejenige des Abgases. Dann lautet die Energiebilanz für das betrachtete Zeitintervall

1.11(1)

hG entspricht dem Zustand des Abgases beim Austritt aus der Maschine .. - Es ist vorausgesetzt, daß die Enthalpien an solchen Stellen gemessen werden, wo die Bewegungsenergien verschwindend klein sind, so daß statische Enthalpien eingesetzt werden dürfen.

Wir setzen nun die Enthalpien für Luft und Verbrennungsgase Null im Umgebungszustand Po' T o· - Nach dem ersten Hauptsatz ist es zulässig, die Enthalpienullpunkte für alle Teilnehmer einer chemischen Reaktion bis auf einen willkürlich anzunehmen. Haben wir also die Enthalpienullpunkte für Luft und Verbrennungsgase gewählt, so sind wir in der Wahl des Enthalpienullpunktes des Brennstoffes nicht mehr frei. Die GI. 1.11(1) geht mit der getroffenen Festlegung über in

1.11(2)

Diese Gleichung gilt offenbar auch für das Experiment der Verbrennung des Brennstoffes in einem Kalorimeter. Dort ist Ä = 0, und da die Verbrennungsgase das Gerät mit Umgebungstemperatur verlassen (mindestens im Idealfall), ist hG = O. Damit zeigt aber GI. 1.11(2), daß hB bei der getroffenen Nullpunktskonvention identisch ist mit dem Brennstoffheizwert hp(Po, T o), der beim Zustand Po' T o gemessen wird. Unsere Gleichung läßt sich folglich in die Form

Ä = mBhp(po, T o) - (mL + mB) hG - Qk 1.11(3) bringen. Wenn durch

Ä 17th h ( T ) mB p Po, 0

ein thermischer Wirkungsgrad definiert wird, nimmt dieser den Wert

'1th = 1 _ (mL + mB) hG + Qk mBhp(pp, T o)

an.

1.11( 4)

1.11(5)

Die getroffene Nullpunktskonvention ist willkürlich, und man kann ebensogut die Enthalpien Null setzen bei einem ein für allemal normierten Zustand Poo' Too (zweckmäßig 1 bar, OCe), was den Vorteil hat, daß man die Enthalpiewerte unmittelbar aus einer Entropietafel oder einem Tabellenwerk entnehmen kann. An die Stelle der GI. 1.11(2) tritt dann

mLhL(To) + mBhB(To) - (mL + mB) hG = Ä + Qk

oder mit CpL und CpB als spezifischen Wärmekapazitäten

1.11(6)

mLcpL(To - T oo) + mB[hB(poo, T oo) + cpB(To - T oo}] - (mL + mB) hG = Ä + Qk'

1.11(7)


Nun ist aber hB(poo' T oo) aus gleichen Gründen wie oben der im Zustand Poo' T oo gemessene Heizwert hp • Deshalb geht aus GI. 1.11(7}

.1 = mBhp(poo, T oo} + [mLcpL + mBcpB] (To - T oo) - (mL + mB) hG - Qk 1.11(8)

hervor. Der thermische Wirkungsgrad wird jetzt sinnvollerweise durch

A 1.11(9}

definiert und nimmt den Wert

_ 1 (mL + mB) hG - (mLcpL + mBcpB) (Ta - Tao) + Qk 11th - - -'--=-_-=.'--=------'--::~::..,_-....:;;,;.~--'--'-----':.c:..:---'-...c.c;.

mBhp(poo, T oo} 1.11(10)

an. Damit ist implizite gesagt, ob bei der Berechnung thermischer Wirkungsgrade der

untere oder der obere Heizwert einzusetzen sei: Es muß der Heizwert sein, den das Kalorimeterexperiment beim betreffenden Zustand (also Po' To oder Poo' T oo) liefert. Das setzt aber voraus, daß die latente Enthalpie des im Verbrennungsgas enthaltenen Wasserdampfes in hG mit eingerechnet ist. Die üblichen Berechnungsunterlagen (Entropie diagramme , Tabellen) betrachten aber das Verbrennungsgas als ideales Gas und schließen daher diese latente Enthalpie nicht in hG ein (hG ist nach diesen Unterlagen ja nur temperaturabhängig). Dann entsteht eine korrekte Energiebilanz nur, wenn die latente Enthalpie auch nicht in hp eingeschlossen wird, d.h. aus diesen praktischen Gründen - um die Verbrennungsgase so betrachten zu können - ist der untere Heizwert hu einzusetzen.

Beachtlich ist nun, daß der wie immer auch berechnete thermische Wirkungsgrad nicht absolut festliegt, sondern von Konventionen abhängt, die nach Zweckmäßigkeitsgesichtspunkten getroffen werden. \Venn wir, wie angegeben, mit dem unteren Heizwert arbeiten, läßt sich GI. 1.11(10) auch in der Form

_ 1 (mL + mB) (hG - hG(To}) + Qk + [(mL + mB) cpG - mLcpL - mBcpBJ (To - Tao) 17th - - rn Bhu( T 00) -

1.11(11} darstellen, während GI. 1.11(5} lauten würde

_ 1 _ (rnL + mB) hG + Qk 17th - mBhu(To)' 1.11(12)

\\Tenn man beachtet, daß im Hinblick auf die beiden Nullpunktskonventionen hG in GI. 1.11(12) identisch ist mit hG - hG(To) in GI. 1.11(11), wird deutlich, daß der Unterschied zwischen den beiden 'l')th-Werten außerordentlich klein sein wird, denn das Glied in eckiger Klammer in GI. 1.11(11) ist so klein, daß es praktisch bedeutungslos wird. Die Gleichung

1.11(1:3)

ist also bei weitem genügend genau, schon in Anbetracht der Genauigkeitsgrenzen einer Heizwert bestimmung.

Wenn man sich vorstellt, der Verbrennungsmaschine werde ein \Värmeaustauscher nachgeschaltet, der das Abgas auf T o abkühlt, - wodurch am Prozeß der Maschine nichts verändert wird - dann ist die in den GIn. 1.11(12} oder (13) im Zähler erscheinende Größe nichts anderes als die gesamte an die Umgebung abgegebene Wärmemenge Q~. Wie bereits bemerkt wurde, ist man bei der thermodynamischen Behandlung chemischer Reaktionen in der Wahl der Enthalpienullpunkte Bicht völlig frei, denn der Nullpunkt eine8 Reaktionsteilnehmers - in unserem Falle des Brennstoffes - ist durch die übrigen Nullpunkte gegeben. Setzt man trotzdem die Enthalpiewerte aller Reaktionsteilnehmer, also auch des Brennstoffes, in einem bestimmten Zustand - etwa Poo' T oo - gleich Null, so fälscht man

1.11 Energiebilanz offener Prozesse 49

die Energiebilanz, was man dadurch berichtigen kann, daß man eine ideelle zugeführte Wärmemenge Q~ einführt. Bei der Konvention, auf der GI. 1.11(11) und (13) basieren, muß diese offenbar

betragen, wenn die Energiebilanz korrekt werden soll. Es wird dann auch

Q/f 17th = 1 - Q~ ,

in formaler Übereinstimmung mit der Gleichung, die bei einem Kreisprozeß gilt.

1.11(14)

1.11(15)

Die hier durchgeführte Überlegung ist für das tiefere Verständnis sehr wesentlich. Wärme kann im Rahmen eines axiomatisch einwandfreien Aufbaues der Thermodynamik, wie er erstmals durch Caratheodory [10] durchgeführt wurde, nur als eine Form der Energieübertragung in die Theorie eingeführt werden. Die Verbrennung des Brennstoffes in der Brennkammer einer Gasturbine ist daher ein adiabatischer Prozeß, denn es findet keine Wärmeübertragung statt, sondern lediglich eine mit Temperaturerhöhung verbundene chemische Reaktion. Die häufige Sprechweise der technischen Thermodynamik, hier werde Wärme zugeführt, trifft den tatsächlichen Vorgang streng genommen nicht und läßt sich nur in dem Sinne aufrechterhalten, daß man von einer ideellen Wärmezufuhr spricht, wie oben dargelegt. Der ideelle Charakter dieser Wärmezufuhr findet auch darin seinen Ausdruck, daß Q~ von den getroffenen Konventionen abhängt.

Einen "absoluten thermischen Wirkungsgrad", der von Konventionen unabhängig wäre, könnte man angeben, indem man A dividieren würde durch die "reversible Arbeit" der chemischen Reaktion, d. h. also durch die Arbeit, die man bei reversibler Führung (also nach dem Prinzip des galvanischen Elementes) der Reaktion aus ihr gewinnen könnte. Selbst diese Arbeit hängt aber von der Umgebungstemperatur ab, ist für technische Brennstoffe vom Heizwert nur wenig verschieden und nicht leicht genau zu ermitteln. Deshalb verzichtet man auf diese Komplikation.

Der zweite Hauptsatz, der im Falle des Kreisprozesses den thermischen Wirkungsgrad eindeutig festlegt und begrenzt - vgI. GI. 1.2(14) und (15) - leistet dies im Falle d~s offenen Durchlaufprozesses nicht in der Weise, daß die gleichen Relationen Gültigkeit hätten. Jene haben ja gerade zur Voraussetzung, daß sich der Arbeitsprozeß schließt, was nicht der Fall ist, sobald eine bleibende chemische Veränderung des Arbeitsmittels vorgenommen wird. Wenn jene Relationen trotzdem auch bei Verbrennungsmaschinen (Motoren, Gasturbinen) mit hoher Genauigkei.t gültig bleiben, so hat dies folgende Gründe. Da sowohl die Luft als auch die Verbrennungsgase zum größten Teil aus Stickstoff bestehen, haben die beiden Gase sehr ähnliche thermodynamische Eigenschaften. Ersetzt man also gedanklich den wirklichen Prozeß durch einen entsprechenden Luftprozeß, dem man von außen 'Wärme zuführen würde an Stelle einer inneren Verbrennung, so begeht man nur einen sehr geringen Fehler. Dieser Luftprozeß wäre aber wieder ein regelrechter Kreisprozeß, weshalb die aus dem zweiten Hauptsatz folgenden GIn. 1.2(14) und (15) auf ihn streng anwendbar sind. Damit gelten sie aber auch näherungsweise für die Verbrennungsmaschine. - Über den ganzen Fragenkomplex dieses Abschnittes vgI. auch die Ausführungen in [3].

Literatur zu Kap. 1 1. Eicl/'elberg, G.: Die thermischen Eigenschaften des Wasserdampfes im technisch wichtigen Gebiet. Forsch.

Arb. lng.·Wes. Berlin 1920, H. 220. 2. Endres, W.; Somm, E.: Thermodynamische Differentialquotienten für Wasserdampf. BWK 15 (1963) 439-

442. 3. Traupel, W.: Die Grundlagen der Thermodynamik. Karlsruhe: Braun 1970. 4. Baehr, H. D.: Thermodynamik, 2. Auf!. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1966. 5. Rant, Z.: Exergie, ein neues Wort für "Technische Arbeitsfähigkeit". Forsch. lng.-Wes. 22 (1956) 36-37.


6. Schmidt, E.: Properties of Water and Steam in SI-Units. Berlin, Heidelberg, New Y ork: Springer; München: Oldenbourg 1969.

7. Dzung, L. S.: Thermostatische Zustandsänderungen des trockenen und nassen Dampfes. ZAMP 6 (1955) 207. 8. Leib, E. F.: Thermodynamic Properties of Vapor. Trans. ASME 63 (1944) 157 -176. 9. Dzung, L. S.: lVIittelungsverfahren in der Theorie der Schaufelgitter. BBC-Mitt. 54 (1967) 37-44.

10. Caratheodory, C.: Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik. Math. Ann. 67 (1900) 355. 11. Traupel, W.: Zur Dynamik realer Gase. Forsch. Ing.-Wes. 18 (1952) 3-9. 12. Bach, J.: Der Isentropenexponent von Wasser und Wasserdampf. BWK 21 (1969) 422-423.

Thermische Turbomaschinen || Thermodynamische Grundlagen

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