Topologie 009(de)(59s)

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  • Topologiehttp://www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS05/Topologie/

    Vorlesungsskript, ohne Garantie Ich freue mich uber Ruckmeldung, Korrekturen, Verbesserungsvorschlage, etc.

    Prof. Gunter M. ZieglerInstitut fur Mathematik, MA 6-2

    TU Berlin, 10623 BerlinTel. 030 314-25730

    [email protected]://www.math.tu-berlin.de/ziegler

    TU Berlin, Wintersemester 2005/2006

    1

  • 1 Topologische Raume 5

    2 Simplizialkomplexe 9

    3 Homotopiegruppen 13

    4 Homologie 19

    5 Euler- und Lefschetz-Zahlen 275.1 Abbildungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Euler-Charakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Hopf-Spurformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 Lefschetz-Zahl und -Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5 Der Satz von BorsukUlam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    6 Mannigfaltigkeiten 336.1 Klassifikation der 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Uberlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3 Einige 3-Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.4 Mehr Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.5 Einige Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    7 Exakte Sequenzen 39

    8 Zellkomplexe 45

    9 Kohomologie 49

    10 Mannigfaltigkeiten II: Poincare-Dualitat 53

    2

  • Topologie WS05/06 TU Berlin Gunter M. Ziegler

    Vorbemerkungen

    Die Topologie ist eine wichtige, klassische Disziplin der Mathematik, die sich mit interessanten Objek-ten beschaftigt (die Kleinsche Flasche, Bings Haus, Mannigfaltigkeiten, Linsenraume, Knoten . . . ). IhrStudium en detail ist aufwandig (ein riesiges Gebiet mit vielen subtilen Teil-Theorien und Methoden);hier soll es hingegen

    nur um eine Ubersicht und Einfuhrung

    fur Anwender gehen.

    Fur einen sehr theoretischen Teil der Mathematik wie die Topologie mag es merkwurdig klingen, wennvon Anwendungen der Rede ist. In der Tat ist aber die Topologie nicht nur eine der theoretischstenund hochentwickeltsten Gebiete der sog.

    Reinen Mathematik, mit bemerkenswerten Erfolgen und Pro-

    blemlosungen in diesem Fach. Sie hat im Laufe des zwanzigsten Jahrhunderts auch1. Begriffe und Konzepte bereitgestellt, die fur die gesamte Mathematik wichtig sind, etwa den Begriff

    derKompaktheit,

    2. eine groe Vielfalt von wichtigen Methoden und Hilfsmitteln zur Losung mathematischer Problemein anderen Gebieten beigesteuert etwa eine groe Vielfalt von

    Fixpunktsatzen, die man zum

    Beispiel zum Beweis der Existenz von periodischen Losungen fur Systeme von partiellen Differenti-algleichungen einsetzen kann, und

    3. wachst auch langsam die Einsicht, dass topologische Methoden auch direkt fur Anwendungen auer-halb der Mathematik anwendbar sein konnen ich verweise etwa auf den neuen Band

    Topology

    for Computing [Zam05].Dies ist also eine Grundlagen-Vorlesung primar fur Mathematiker die sich an alle richtet, die wohlnicht in Topologie diplomieren wollen, aber topologische Begriffe, Resultate, Methoden und Konzepteverstehen wollen und eventuell als

    Handwerkszeug brauchen werden.

    Dementsprechend werden in der Vorlesung Grundlagen der (mengentheoretischen) Topologie wie auchwesentliche Punkte der Algebraischen Topologie dargestellt. Das soll prazise und konkret genug gesche-hen, um ein sicheres Formulieren von topologischen Fakten zu ermoglichen, um solche sicher anwendenzu konnen. Ich will aber auch die Beweisideen vermitteln, aus denen man lernt, warum das alles funk-tioniert aber ohne Durchfuhrung der komplizierteren/langeren Beweise, die jeder Hauptfach-Topologenaturlich irgendwann durcharbeiten sollte.

    Einteilung (der Topologie, wie auch der Vorlesung): Die mengentheoretische Topologie liefert wichtige Definitionen, Begriffe und Grundlagen. Als Stu-

    diengebiet war sie jahrzehntelang ein wichtiges Forschungsgebiet, inzwischen sinddie Grundlagen

    geklart. Wir werden uns nur kurz damit aufhalten, aber in diesem Bereich zentrale Konzepte wieStetigkeit, Kompaktheit, Trennungsaxiome usw. kennenlernen.

    Die niedrigdimensionale Topologie befasst sich mit der Topologie von Flachen ( = 2-dimensionaleMannigfaltigkeiten) und mit den Analoga der Dimension 3 und 4, sowie damit zusammenhangendenFragen (z. B. Knotentheorie). Das ist brennend aktuell, unter anderem wegen der aktuellen Fortschrittevon G. Perelmann (St. Petersburg) in Bezug auf die Poincare-Vermutung und Thurstons Geometrisie-rungsvermutung (d = 3). Wir wollen hier nicht sehr tief eindringen, aber zumindest Ubersicht geben,die grundlegenden Begriffe (Mannigfaltigkeiten!) verstehen, die Hauptresultate fur Dimension 2 be-schreiben und fur d = 3, 4 die wesentlichen Ergebnisse und Fragen formulieren.

    Die algebraische Topologie liefert algebraische Hilfsmittel und Kriterien fur die Unterscheidung vonRaumen, die (Nicht-)Existenz von Abbildungen etc. Diese Hilfsmittel sind allemal wichtig auch furdie niedrig-dimensionale Topologie, aber auch weit uber die Topologie heraus. Man unterscheidet alsTeilgebiete dabei unter anderen Homotopietheorie (Fundamentalgruppe!), Homologietheorie (die sog.

    3

  • Homologiegruppen), Differentialtopologie (die insbesondere den Fall von glatten Mannigfaltigkeitenbehandelt).

    Dieses Skript zur Vorlesung ist absichtlich sehr knapp gehalten. Es soll eine verlassliche Grundlagebilden, die einem ggf. das Mitschreiben der gesamten Vorlesung erspart aber nicht die Vorlesungselbst. Fur detailliertere Motivation, Erklarungen, Illustrationen verweise ich erstens auf Vorlesung undUbungen, zweitens aber auch auf die angegebene Literatur: Schauen Sie doch mal auf jeden Fall in dieBucher von Janich [Jan80] und Ossa [Oss92] (auf deutsch) sowie von Stillwell [Sti93] und Munkres[Mun00, Mun84] rein!Ansonsten fragen Sie mich, sprechen Sie mit mir! Melden Sie sich zum Beispiel auch, wenn Dinge(im Skript) unklar sind, unprazise wirken, oder nicht plausibel klingen. Ich bin auch an Tipp-, Druck-und Denkfehlern interessiert und arbeite entsprechend in die Online-Version des Skipts kontinuierlichKorrekturen ein.

    4

  • Topologie WS05/06 TU Berlin Gunter M. Ziegler

    1 Topologische Raume

    In diesem Abschnitt versammeln wir grundlegende Definitionen, Begriffe und Konzepte sowie wich-tige Resultate der sog. mengentheoretischen Topologie. Meine wichtigsten Quelle sind dabei Munkres[Mun00] und Janich [Jan80]. Genauigkeit im Umgang mit solchen Grundlagen ist auch deshalb notig,weil wir es in der Topologie nicht nur mit

    schonen, anschaulichen topologischen Raumen zu tun be-

    kommen, sondern unausweichlich etwa mitunendlichdimensionalen Objekten wie Funktionenraumen;

    und wir mussen uns eben auch absichern gegen die Pathologien der mengentheoretischen Topologie (sie-he etwa [SS70]).Definition 1.1 (Topologischer Raum, offene Mengen). Ein topologischer Raum ist ein Paar (X,O),bestehend aus einer Menge X und einer Familie O 2X von Teilmengen, die die offenen Mengen destopologischen Raums heien, und deren Komplemente die abgeschlossenen Mengen des Raums heien,so dass(T1) , X O: die leere Menge und die Grundmenge sind offene Mengen(T2) jede Vereinigung von offenen Mengen ist offen,(T3) jede Schnittmenge von endlich vielen offenen Mengen ist offen.Es folgt: endliche Vereinigungen, und beliebige Schnittmengen, von abgeschlossenen Mengen sind ab-geschlossen. Ein Durchschnitt von beliebig vielen offenen Mengen, und eine Vereinigung von beliebigvielen abgeschlossenen Mengen, sind im Allgemeinen nicht offen bzw. abgeschlossen.Konvention: O wird nicht explizit genannt, der topologische Raum wird mit X bezeichnet.

    Definition 1.2 (Umgebung, Basis). Eine offene Teilmenge U X , die x enthalt, heit (offene) Umge-bung von x. Die offenen Umgebungen bestimmen die Topologie (das heit, die Familie O der offenenMengen): eine Menge ist offen, wenn sie zu jedem ihrer Punkte eine Umgebung enthalt.Eine Umgebungsbasis Ux fur x X ist eine Menge von offenen Umgebungen so dass jede offeneUmgebung von x eine Umgebung aus U enthalt. Eine Menge von offenen Mengen B heit Basis derTopologie, wenn sie zu jedem Punkt eine Umgebungsbasis enthalt.Jede Basis B bestimmt eindeutig die Topologie:O ist die Menge aller Vereinigungen von Mengen aus B.(Dabei wird als Vereinigung einer leeren Menge von offenen Teilmengen interpretiert.)Beispiele.1. Der Rn ist ein topologischer Raum, mit der Topologie

    O := {U Rn : fur jedes x U enthalt U eine -Umgebung B(x) von x}2. Ist X eine Menge, so ist (X, 2X) ein topologischer Raum. 2X heit die diskrete Topologie auf X .3. Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist

    Od :={U X : fur jedes x U gibt es ein > 0 mit {x X : d(x, y) < } U}

    eine Topologie; die -Umgebungen U(x) := {x X : d(x, y) < }, fur x X und > 0, bildeneine Basis.

    4. Eine interessante Topologie auf Z erhalt man mitP := {A Z : fur jedes x A enthalt A eine arithmetische Folge a+ Zb, fur ein b 6= 0}.

    In dieser Topologie ist jede nicht-leere offene Menge unendlich. Jede Folge a + Zb ist aber auchabgeschlossen. Folgt daraus, dass Z\{1, 1} =

    pP(0 + pZ) abgeschlossen ist?

    Beispiel (p-adische Zahlen). Fur jede Primzahl definiert die Festlegung |a|p = p fur a = bcp mit(p, bc) = 1, und |0|p = 0 eine Norm auf den rationalen Zahlen, die p-adische Norm. Dies definiert eine

    5

  • Metrik und damit eine Topologie aufQ, in der Zahlen nah beeinander liegen, wenn sie sichnur um hohe

    Potenzen von p unterscheiden. Siehe Ebbinghaus et al. [EHH+92, Kap. 6].Ubungsaufgabe. Eine Menge B 2X von Teilmengen von X ist Basis einer Topologie wenn gilt:

    (1) jedes x X liegt in einer Menge B B, und(2) wenn x im Schnitt zweier B, B B liegt, so gibt es ein B B mit x B B B.Ubungsaufgabe. Die ubliche Euklidische Metrik, die 1-Metrik, die Taximetrik , und die allgemeine-

    ren p-Metriken bestimmen alle dieselbe, die ubliche Topologie auf dem Rn.Definition 1.3 (Quadertopologie/Produkttopologie). Auf einem Produkt X := iI Xi von topologi-schen Raumen bilden die Produkte

    iI Ui von offenen Teilmengen Ui Xi die Basis der Quadertopologie auf X , und

    die Produkte

    iI Ui von offenen Teilmengen Ui Xi, wobei Ui Xi nur endlich oft gelten darf,die Basis der Produkttopologie auf X .

    Ist I endlich, so stimmen Quadertopologie und Produkttopologie uberein. Insbesondere ist die ublicheTopologie auf Rn auch die Produkttopologie auf

    i{1,...,n}R = R

    n.

    Definition 1.4 (Unterraum). Ist Y X eine Teilmenge fur einen topologischen Raum (X,O), so wirddadurch Y zu einem Unterraum, mit der induzierten Topologie, deren offene Mengen als U Y furU O gegeben sind.Beispiele. Die

    ubliche Topologie auf Rn induziert Topologien auf allen Teilmengen. Insbesondere

    sind damit Topologien definiert auf dem n-dimensionalen Ball Bn := {x Rn : x 1}, denEinheitswurfel In fur I := [0, 1], der Einheitssphare Sn1 := {x Rn : x = 1}, etc.Definition 1.5 (Stetige Abbildung, Homoomorphismus, Einbettung). Eine Abbildung f : X Y zwi-schen topologischen Raumen ist stetig wenn das Urbild f1(U) jeder offenen Menge U Y offen (inX) ist.Eine Bijektion f : X Y heit Homoomorphismus wenn f und f1 beide stetig sind. X und Y heiendann homoomorph; wir notieren dies mit X = Y .Eine Einbettung ist eine injektive stetige Abbildung f : X Y , die einen Homoomorphismus zwischenX und dem Unterraum f(X) Y ergibt.Ubungsaufgabe. Zeige, dass die Teilmenge {x Rn : x1 = 0} Rn (mit der induzierten Topologie)

    homoomorph ist zu Rn1 (mit der Produkttopologie).Zeige, dass der offene Einheitsball {x Rn : x < 1} Rn (mit der induzierten Topologie)homoomorph ist zu Rn (mit der ublichen Topologie).Ubungsaufgabe. Man zeige: Die Produkttopologie ist die

    grobste Topologie auf der Produktmenge

    iXi (also die Topologie mit der minimalen Familie offener Mengen), fur die die Projektionen j :iXi Xj stetig sind.

    Unter Abbildungen verstehen wir im Folgenden immer stetige Abbildungen, wenn nicht explizit etwasGegenteiliges gesagt wird.Es ist nicht a priori klar, wie man die

    Dimension eines (gutartigen) topologischen Raums definieren

    sollte. Zu zeigen ist dann, dass Rm und Rn fur m > n nicht homoomorph sind, und es dann auch keineEinbettung Rm Rn gibt. Dies ist nicht einfach; zu diesem Zwecke ist im Rahmen der mengentheore-tischen Topologie umfangreiche

    Dimensionstheorie entwickelt worden (siehe etwa Menger [Men28]).

    DieInvarianz der Dimension (zuerst 1911 von Luitzen Brouwer1 [Bro11] bewiesen) zeigt man am

    besten mit Hilfsmitteln der Homologietheorie, insbesondere mit Hilfe lokaler Homologiegruppen.1Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 18811966, Topologe,

    Intuitionist,

    http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Brouwer.html

    6

  • Beispiel ([Mun00, 44]). Die Peano-Kurve ist eine stetige, surjektive Abbildung P : [0, 1] [0, 1]2.Definition 1.6 (Zusammenhangend/wegzusammenhangend). Ein topologischer RaumX ist zusammenhangendwenn er nicht als disjunkte VereinigungX = AA von zwei nicht-leeren abgeschlossenen Teilmengengeschrieben werden kann.Er ist wegzusammenhangend, wenn es fur jede x, x X eine stetige Abbildung f : [0, 1] X gibtmit f(0) = x und f(1) = x, einen Weg von x nach x.

    Lemma 1.7. Jeder wegzusammenhangende Raum ist zusammenhangend.

    Beispiele. Die Raume Rn, die Balle Bn := {x Rn : x 1}, die Einheitswurfel In fur I := [0, 1]sind wegzusammenhangend fur n 0.Die Einheitssphare Sn1 := {x Rn : x = 1} ist wegzusammenhangend fur n > 1. Aber: S0 istunzusammenhangend (zwei Punkte); S1 = ist zusammenhangend.Ubungsaufgabe. Jeder wegzusammenhangende Raum ist zusammenhangend.

    Beispiel. Die topologists sine curve S := {(x, sin( 1x)) : x > 0} {(0, y) : 1 y 1} R2 ist

    zusammenhangend, aber nicht wegzusammenhangend.

    Definition 1.8 (Trennungsaxiome [Mun00, Chap. 4]). Ein topologischer Raum X heit(T1) T1-Raum wenn jeder Punkt abgeschlossen ist, d. h. wenn es zu x, x X , x 6= x eine offene

    Menge U gibt mit x / U und x U ;(T2) T2-Raum, oder hausdorffsch2, wenn es zu x, x X , x 6= x disjunkte offene U , U gibt mit

    x U und x U ;(T3) T3-Raum, oder regular, wenn jeder Punkt abgeschlossen ist (T1) und es zu jedem abgeschlossenen

    A X und x / A, disjunkte offene U , U gibt mit x U und A U ;(T4) T4-Raum, oder normal, wenn jeder Punkt abgeschlossen ist (T1) und es zu disjunkten abgeschlos-

    senen Mengen A, A X disjunkte offene U , U gibt mit A U und A U .

    Offenbar gilt

    normal (T4) = regular (T3) = hausdorffsch (T2) = T1.

    Beispiel. Die reelle Gerade mit verdoppeltem Nullpunkt erfullt (T1), ist aber nicht hausdorffsch.Satz 1.9 (Urysohn-Lemma3 [Mun00, Thm. 33.1]). Wenn X normal ist und A,B X disjunkte ab-geschlossene Teilmengen sind, dann kann man zwischen A und B stetig interpolieren, d. h. es gibt einestetige Abbildung f : X [0, 1] mit f(a) = 0 und f(b) = 1 fur alle a A, b B.Satz 1.10 (Urysohns Metrisierungssatz [Mun00, Thm. 34.1]). Jeder regulare topologische Raum miteiner abzahlbaren Basis ist metrisierbar, d. h. es gibt dann eine Metrik d auf X , die die vorgegebeneTopologie erzeugt.

    Definition 1.11 (Kompaktheit). Ein topologischer Raum X heit kompakt, wenn jede Uberdeckung vonX durch offene Mengen eine endliche Teiluberdeckung hat.Eine Teilmenge C X ist kompakt, wenn jede Uberdeckung durch offene Teilmengen von X eineendliche Teiluberdeckung hat; aquivalent dazu: der topologische Raum C (mit der induzierten Topologieals Unterraum betrachtet) ist kompakt.

    2Felix Hausdorff, 18681942, Topologe und Lyriker, von den Nazis in den Selbstmord getrieben,http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Hausdorff.html

    3Pavel Samuilovich Urysohn, 18981924, russischer Topologe, mit 26 beim Schwimmen in Frankreich ertrunken,http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Urysohn.html

    7

  • Proposition 1.12 ( Uber Kompaktheit).1. Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge (d. h., jeder abgeschlossene Teilraum eines

    kompakten Raums) ist kompakt.2. Jede kompakte Teilmenge eines hausdorffschen Raums ist abgeschlossen.3. Jedes Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung ist kompakt.4. Eine stetige Funktion f : X R nimmt auf jeder nicht-leeren kompakten Teilmenge C X

    Maximum und Minimum an.5. Eine Teilmenge A Rn ist genau dann kompakt, wenn sie beschrankt und abgeschlossen ist.

    Satz 1.13 ([Mun00, Thm. 26.6]). Wenn X kompakt und Y hausdorffsch ist, dann ist jede bijektive stetigeAbbildung f : X Y ein Homoomorphismus.

    Satz 1.14 (Satz von Tychonoff4 [Mun00, Thm. 37.3]). Jedes Produkt von kompakten Raumen (mitProdukt-Topologie) ist kompakt.Beispiel. Damit ist [0, 1]N ein kompakter topologischer Raum.Ubungsaufgabe. Der Einheitsball in 2(N) ist nicht kompakt.Ubungsaufgabe. Das Produkt [0, 1] [0, 12 ] [0, 13 ] mit der Produkttopologie ist kompakt, nach

    dem Satz von Tychonoff. Dieselbe Menge ist auch ein Unterraum des Raums 2(N) = {(x1, x2, . . .) :i1 x

    2i

  • Topologie WS05/06 TU Berlin Gunter M. Ziegler

    2 Simplizialkomplexe

    Manche topologische Raume (und viele interessante) kann mantriangulieren und damit hat man

    dann ein einfaches, kombinatorisches Modell fur den Raum, einenSimplizialkomplex. Meine Skizze

    basiert auf Munkres [Mun84] und Matousek [Mat03], wobei ich in Notation und Terminologie eher[Mat03] folge.Definition 2.1. Ist F = {v0, v1, . . . , vk} Rn eine Menge von k + 1 affin unabhangige Punkten, so ist

    = conv{v0, . . . , vk} = {0v0 + + kvk Rn : i 0,

    ki=0

    i = 1}

    ein k-dimensionaler Simplex oder kurz k-Simplex. Die Simplexe = conv(G) fur G F heien dieSeitenflachen bzw. Seiten von . (Damit sind und Seiten von . Alle anderen Seiten von heiendann nicht-trivial.)Je zwei k-dimensionale Simplexe sind affin isomorph, also insbesondere homoomorph (bezuglich dervom jeweiligen Rn induzierten Unterraumtopologie). Ein k-dimensionaler Simplex ist fur k = 0 einPunkt (

    Ecke), fur k = 1 eine Strecke (

    Kante), fur k = 2 ein Dreieck (

    2-Seite), fur k = 3 ein

    Tetraeder, usw. Wir schreiben V () fur die Menge der Ecken von . Achtung: jeder k-dimensionaleSimplex hat k + 1 Ecken. Er ist homomomorph zu Bk. Man fasst oft die leere Menge als Simplex derDimension 1 auf (mit 0 Ecken).Definition 2.2. Ein (geometrischer) Simplizialkomplex ist eine Menge von Simplexen im RN (fur einN 0) die folgende Eigenschaften erfullt:(K1) (K2) Fur liegen auch alle Seiten in (K3) Fur , ist eine Seitenflache von und von .Die Eckenmenge V () von ist die Menge aller v RN so dass {v} eine Ecke von ist.Die Dimension von , notiert dim, ist die maximale Dimension eines Simplexes in .Ein Unterkomplex ist eine nicht-leere Teilmenge von die wieder ein Komplex ist, also (K2) erfullt.Das k-Skelett von ist der Unterkomplex (k), der aus allen Simplexen der Dimension hochstens kbesteht.

    Beispiele. Ist ein Simplex, so ist die Menge aller Seiten von ein Komplex (den wir ublicherweisewieder mit bezeichnen).Die Menge aller echten Seitenflachen conv(G), G F , von = conv(F ) heit der Rand von .Der Rand eines k-Simplex ist fur k = 0 leer, fur k = 1 besteht er aus zwei Punkten, fur k = 2 ist er einDreiecksrand, etc. Er ist homoomorph zu Sk1.

    Definition 2.3. Ist ein Simplizialkomplex in Rn, so ist das Polyeder von der topologische Raum, der auf der Grundmenge

    (dem Trager von ) durch die folgende Topologie gegeben ist: eine

    Teilmenge A ist abgeschlossen bzw. offen genau dann, wenn A fur jeden Simplex

    abgeschlossen bzw. offen ist.

    Wenn endlich ist, dann ist die Topologie auf die von Rn auf induzierte Unterraumtopologie.

    Beispiel. := {, {0}} {{ 1n} : n N} ist ein 0-dimensionaler Simplizialkomplex, und hat damitdie diskrete Topologie. Dagegen ist in der Unterraumtopologie auf

    R die Teilmenge (

    )\{0}

    nicht abgeschlossen.

    9

  • Bemerkung 2.4. Die Topologie auf kann als Quotiententopologie bzgl. der surjektiven Abbildung

    = von der Summe (disjunkten Vereinigung) beschrieben werden: als die

    feinste Topologie auf , bezuglich der die Abbildung stetig ist. (Siehe [Mun84, 20].)

    Wenn wir im Folgenden von topologischen Eigenschaften (wie hausdorffsch, kompakt, zusammenhan-gend) eines Komplexes reden, dann ist immer das Polyeder des Komplexes gemeint.Lemma 2.5. Jeder Simplizialkomplex ist hausdorffsch (T2).Ein Simplizialkomplex ist dann und nur dann kompakt, wenn er endlich ist (d. h., aus endlich vielenSimplexen besteht).Ein Simplizialkomplex ist genau dann zusammenhangend, wenn er wegzusammenhangend ist.

    Definition 2.6. Ein topologischer Raum X heit triangulierbar, wenn er zu einem Simplizialkomplex homoomorph ist, X = .

    Beispiele. Die Balle Bn sind triangulierbar (durch den Komplex eines n-dimensionalen Simplexes).Die Spharen Sn1 sind triangulierbar (durch den Randkomplex eines n-Simplexes).Beispiel. Die Standard-Triangulierung des Rn hat Eckenmenge Zn und die Mengen {v0, . . . , vk} Znals Simplexe, fur die alle Komponenten von vj vi (fur j > i) entweder 0 oder 1 sind.Beispiele. Die

    reelle Gerade mit verdoppeltem Nullpunkt ist nicht triangulierbar (weil sie nicht haus-

    dorffsch ist).Die MengeQ der rationalen Zahlen ist (mit der ublichen Topologie) nicht triangulierbar (weil sie abzahl-bar ist, musste der zugehorige Komplex 0-dimensional sein, hat dann aber die diskrete Topologie).Beispiele (Schonflies-Theorem/Alexanders gehornte Sphare). Wenn f : S1 R2 eine Einbettung ist,dann gibt es eine Triangulierung von R2, in der f(S1) das Bild eines Unterkomplexes ist.Wenn f : S2 R3 eine Einbettung ist, dann gibt es nicht unbedingt eine Triangulierung von R3, in derf(S2) das Bild eines Unterkomplexes ist.

    Definition 2.7 (Simpliziale Abbildungen). Eine simpliziale Abbildung f : ist eine Funktionf : V () V () mit der Eigenschaft, dass fur jeden Simplex das Bild der Eckenmenge V ()die Eckenmenge eines Simplexes in ist, der dann mit f() notiert wird.

    Fur und f : gilt automatisch immer dim f() dim.

    Lemma 2.8. Jede simpliziale Abbildung f : induziert eine stetige Abbildung f : der zugehorigen Polyeder, durch

    lineare Fortsetzung auf die Simplexe:

    f : 0v0 + + kv

    k 7 0f(v0) + + kf(v

    k).

    Definition 2.9 (Abstrakter Simplizialkomplex). Ein abstrakter Simplizialkomplex K ist ein nicht-leeresSystem K 2V von endlichen Teilmengen einer Menge V , das unter Teilmengenbildung abgeschlossenist, d. h., so dass mit jeder Menge S K auch jede Teilmenge von S in K liegt.Die Vereinigungsmenge V (K) :=

    K ist die Eckenmenge von K. Die Mengen S K heien die

    Seiten von K. Ihre Dimension ist durch dim(S) := |S| 1 gegeben.

    Definition 2.10 (Simpliziale Abbildungen; isomorph). Eine simpliziale Abbildung f : K K zwi-schen Simplizialkomplexen K und K ist eine Funktion f : V (K) V (K ), die Seiten von K aufSeiten von K abbildet, d. h., so dass f(S) K fur alle S K gilt.Eine simpliziale Abbildung f : K K ist ein Isomorphismus wenn f : V (K) V (K ) bijektiv istund eine Bijektion zwischen den Seiten von K und von K induziert, d. h., wenn K = {f(S) : S K}.

    10

  • Definition 2.11. Fur jeden geometrischen Simplizialkomplex ist die Menge K := {V () : }der Eckenmengen der Simplexe in ein abstrakter Simplizialkomplex, das Eckenschema von .Wenn ein abstrakter Simplizialkomplex K zu einem Komplex K isomorph ist, dann heit eineRealisierung von K.

    Lemma 2.12. Wenn , zwei Realisierungen von isomorphen Komplexen K,K sind, dann sind und homoomorph.

    Ubungsaufgabe. Jedes endliche Mengensystem definiert einen Simplizialkomplex, wenn man es um alleTeilmengen erweitert. So ist etwa

    := {{1, 2, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {4, 5}, und alle Teilmengen davon

    ein Simplizialkomplex. Man zeichne eine Realisierung!Beispiele. In der kombinatorischen Optimierung studiert man abstrakte Simplizialkomplexe, die Gra-phen zugeordnet werden, darunter der Unabhangigkeitskomplex I(G) 2V und den MatchingkomplexM(G) 2E eines endlichen Graphen G(V,E).Den Schachbrettkomplex m,n kann man als den Matchingkomplex eines vollstandigen bipartiten Gra-phen definieren, m,n :=M(Km,n).Beispiele. Man kann topologische Raume definieren/konstruieren, indem man kombinatorisch eine Tri-angulierung angibt. So beschreiben wir Triangulierungen von Kreisband (Zylinder), Mobiusband, Torusund der Kleinschen Flasche durch

    Identifikationen am Rand eines triangulierten Rechtecks.

    Proposition 2.13. Fur jeden abstrakten Simplizialkomplex K erhalt man eine kanonische Realisierungwie folgt: Sei V = V (K) die Eckenmenge von K, und sei Fc(V,R) der R-Vektorraum aller Funktionenf : V R mit endlichem Trager. Sei Fc[K] F die Teilmenge derjenigen Funktionen f F(V,R),fur die1. der Trager {v V : f(v) 6= 0} ein Simplex aus K ist,2. alle Funktionswerte f(v) nicht-negativ sind, und3. die Summe aller Funktionswerte gleich 1 ist.

    Dann ist F [K] das Polyeder eines Simplizialkomplexes, der K realisiert.

    Ubungsaufgabe. Fur eine simpliziale Abbildung f : von geometrischen Simplizialkomplexenist f genau dann ein Homoomorphismus, wenn die zugehorige simpliziale Abbildung von abstraktenSimplizialkomplexen K K ein Isomorphismus ist.

    Jeder Simplizialkomplex auf n

  • Definition 2.15 (Mannigfaltigkeit). Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein nicht-leerer hausdorff-scher Raum M in dem jeder Punkt x M eine Umgebung hat, die zu Rn homoomorph ist.Eine kompakte Mannigfaltigkeit (ohne Rand, wie hier definiert) heit auch geschlossen.Beispiele. Genannt seien hier: 1-dimensionale Mannigfaltigkeiten; die 2-Sphare mit g 0 Henkeln; dieSpharen Sn1, die projektive Raumen RPn1; der n-dimensionale Torus Tn := (S1)n, die GruppenSO(n), SO(n), U(n), SU(n), sowie als nicht-kompakte Beispiele Rn, SL(n), GL(n), . . .

    Satz 2.16 (Rado 1924/Moise 1952 [Moi77]). Alle kompakten Mannigfaltigkeiten der Dimension n 3sind triangulierbar.

    Durch Kombination von Resultaten von Casson und von Freedman (siehe [AM90, S. xvi]) erhalt manBeispiele von 4-Mannigfaltigkeiten die nicht triangulierbar sind. Ob es auch Mannigfaltigkeiten der Di-mension n > 4 gibt, die nicht triangulierbar sind, ist aber noch nicht geklart.Minimale Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten sind ein aktuelles Forschungsthema siehe etwaBjorner & Lutz [BL00]. So ist etwa nicht geklart, vieviele Ecken eine Triangulierung von Sm Snwirklich haben muss.Beispiele. Die reelle projektive EbeneRP2 hat eine Triangulierung mit 6 Ecken (aus dem Ikosaeder kon-struiert). Allgemeiner erhalt man aus jedem zentralsymmetrischen simplizialen Polytop der Dimension n,in dem gegenuberliegende Ecken keine gemeinsamen Nachbarn haben, eine Triangulierung von RPn1,zusammen mit einer simplizialen Abbildung Sn1 RPn1.

    Definition 2.17. Semialgebraische Mengen sind die Teilmengen des Rn, die man als Losungsmengenvon polynomialen Gleichungen und (strikten oder nicht strikten) polynomialen Ungleichungen erhalt.Satz 2.18 (Referenz?). Jede semialgebraische Menge ist triangulierbar.

    12

  • Topologie WS05/06 TU Berlin Gunter M. Ziegler

    3 Homotopiegruppen

    Die Homotopiegruppen eines topologischen Raums sind algebraische Invarianten, mit denen man imPrinzip Raume unterscheiden kann, die nicht nur nicht homoomorph, sondern nicht einmal homotopie-aquivalent sind. Obwohl sie im allgemeinen (etwa fur Komplexe) notorisch schwer zu berechnen sind,sind sie dennoch fundamental . . . Wir beginnen mit dem Konzept der

    Homotopie.

    Definition 3.1. SeienX,Y topologische Raume. Zwei stetige Abbildungen f, g : X Y sind homotop,notiert f g, wenn die eine in die andere deformiert werden kann, d. h., wenn es eine stetige AbbildungH : X I Y gibt (eine Homotopie), die zwischen f und g interpoliert, mit H(x, 0) = f(x) undH(x, 1) = g(x) fur alle x X .

    Lemma 3.2. Homotopie definiert eine Aquivalenzrelation auf der Menge der (stetigen) Abbildungenvon X nach Y . Die Menge der Homotopieklassen wird mit [X,Y ] bezeichnet.

    Beispiel. Die Homotopieklassen in [{x}, Y ] entsprechen den Wegzusammenhangskomponenten von Y .

    Definition 3.3. Zwei topologische Raume X,Y sind dann homotopieaquivalent, notiert X Y , wennes stetige Abbildungen f : X Y und g : Y X gibt, so dass g f zur Identitat idX : X X aufX homotop ist, und f g zu idY homotop ist, so dass also f g idX und g f idY gilt.

    Beispiele. Rn Bn {0}; Rn\{0} Sn1.

    In dieser Definition mussen f und g weder injektiv noch surjektiv sein. Homotopieaquivalenz ist eineAquivalenzrelation (wie der Name sagt). Die Aquivalenzklassen dazu heien Homotopietypen.Definition 3.4. Ein topologischer Raum X ist kontrahierbar, wenn er den Homotopietyp eines Punkteshat, das heit, wenn es fur einen (aquivalent: jeden) Punkt y0 X eine Homotopie gibt zwischen derkonstanten Abbildung c : X X , x y0, und der Identitat idX : X X .

    Begriffe in diesem Umfeld: Retraktion, Deformationsretraktion, starke Deformationsretraktion. Es gibtaus Perspektive der mengentheoretischen Topologie ganze Bucher dazu, siehe [Bor67], [Hu65].Definition 3.5. Ein Simplizialkomplex K ist kollabierbar, wenn er durch elementare Kollapse auf eineeinzelne Ecke reduziert werden kann: dabei entfernt man jeweils eine nicht-maximale Seitenflache, diein nur einer maximalen Seitenflache enthalten ist, zusammen mit allen sie enthaltenden Seiten.

    Der Versuch, Homotopieaquivalenz durch Aquivalenz bzgl. elementaren Kollabierungs- und Antikol-labierungsschritten und Antikollabierungs-Schritten zu ersetzen, ist ausfuhrlich studiert und in Buchergegossen worden (

    simple homotopy type; vgl. [Coh73]).

    Beispiel. Ein 1-dimensionaler endlicher Simplizialkomplex (endlicher Graph) ist kollabierbar, wenn erein Baum ist, also zusammenhangend ist und keine Zykel enthalt. In jedem elementaren Kollaps wird einBlatt entfernt [Terminologie aus der Graphentheorie].Beispiel (Bings Haus).

    Bings Haus mit zwei Zimmern (siehe etwa Hatcher [Hat02, p. 4]) ist kontra-

    hierbar, aber nicht kollabierbar. Borsuks Version davon ist eine Art Kleinsche Flasche. Alternativ dazuder dunce hat (

    Narrenkappe).

    Definition 3.6. Fur k 1 heit ein topologischer Raum X k-fach zusammenhangend (kurz k-zusam-menhangend), wenn er nicht-leer ist, und jede stetige Abbildung f : S X mit 0 k zu einerkonstanten Abbildung homotop ist; aquivalent dazu: fur jedes mit 1 k kann jedes f : S Xzu einer Abbildung F : B+1 X fortgesetzt werden.

    13

  • Fur = 1 bedeutet die Bedingung, dass X nicht-leer sein muss. Fur = 0 fordert sie Wegzusammen-hang. Ein 1-zusammenhangender Raum heit auch einfach zusammenhangend. Er ist dann also nicht-leer, wegzusammenhangend, und jede Schleife in dem Raum lasst sich in dem Raum zusammenziehen.Lemma 3.7. k-Zusammenhang ist eine Invariante des Homotopietyps: Wenn X k-zusammenhangendist, dann auch jeder zu X homotopieaquivalente Raum.Satz 3.8. Sn ist (n 1)-zusammenhangend, aber nicht n-zusammenhangend n 1.

    Beweis. Jede stetige Abbildung f : Sk Sn lasst sich unter Ausnutzung von Kompaktheit in eine

    gutartige (also etwa: stuckweise spharisch-lineare) Abbildung deformieren. Diese ist fur k < n nicht

    surjektiv, und damit leicht in eine konstante Abbildung deformierbar.Fur den zweiten Teil verwendet man algebraische Hilfsmittel, etwa den Abbildungsgrad: Dieser zahlt

    mit Vorzeichen, wie oft ein

    generischer Punkt im Bild von der Abbildung uberdeckt wird. Diese

    Groe ist fur alle generischen Punkte y Sn gleich, und sie andert sich unter Deformation nicht. Furdie Identitat ist sie 1, fur jede konstante Abbildung ist sie 0.

    Dass die Identitat id : Sn Sn wesentlich ist, also nicht homotop zu einer konstanten Abbildung(nullhomotop), ist eine nichttriviale Aussage. Wir notieren sie wie folgt.Korollar 3.9. Sn ist nicht kontrahierbar.

    Es ist leicht zu sehen, dass dieses Korollar zum Brouwerschen Fixpunktsatz aquivalent ist:Satz 3.10 (Brouwers Fixpunktsatz). Jede stetige Abbildung Bn+1 Bn+1 hat einen Fixpunkt.

    Beweis. Wenn id : Sn Sn nullhomotop ist, dann auch id. Die Nullhomotopie liefert eine stetigeAbbildung Id : Bn+1 Sn Bn+1, die fixpunktfrei ist Widerspruch!Umgekehrt sei f : Bn+1 Bn+1 fixpunktfrei, und sei h(x) der Schnittpunkt von Sn mit dem Strahl,der von f(x) ausgehend durch x geht. Dann ist h : Bn+1 Bn+1 stetig, und auf dem Rand die Identitat,liefert also eine Nullhomotopie fur id.

    Ohne Beweis geben wir das folgende, tiefliegendere Resultat an:Satz 3.11 (siehe Spanier [Spa66, p. 405]). Sei X ein triangulierbarer Raum. Wenn X fur alle k 0k-zusammenhangend ist, dann ist X kontrahierbar.

    Mit dem Begriff des einfachen Zusammenhangs konnen wir eines der wichtigsten Probleme der Ma-thematik uberhaupt formulieren (ein Clay-Problem, und vielleicht gerade von Perelman [Per03] gelostworden . . . ):Vermutung 3.12 (Die Poincare-Vermutung). Jede einfach-zusammenhangende geschlossene 3-Mannig-faltigkeit ist homoomorph zu S3.Ubungsaufgabe. Die Menge (Gruppe) SU(2) C22 ist eine einfach-zusammenhangende 3-Mannig-

    faltigkeit. Zeige: sie ist homoomorph zu S3.

    Statt topologischer Raume betrachtet man in der Topologie oft besser/einfacher Raumpaare.Definition 3.13. Raumpaare sind Paare (X,A), wobei X ein topologischer Raum ist, und A X einUnterraum. Dabei kann man X mit (X, ) identifizieren. Ein Paar (X, {x0}) heit punktierter Raum;der Punkt x0 X heit dann der Basispunkt. Stetige Abbildungen f : (X,A) (Y,B) sind stetigeAbbildungen X Y , die zusatzlich f(A) B erfullen mussen. Abbildungen zwischen Raumpaarenf, g : (X,A) (Y,B) sind homotop, wenn es H : (X I, A I) (Y,B) gibt mit H(x, 0) = f(x)und H(x, 1) = g(x) fur alle x X . Homoomorphie und Homotopieaquivalenz fur Raumpaare definiertman ebenfalls analog zu den Definitionen fur topologische Raume.

    14

  • Definition 3.14. Bezeichne wieder I = [0, 1] das Einheitsintervall, und I = {0, 1} seine Endpunkte.Fur einen topologischen Raum X mit Basispunkt x0 X ist jede stetige Abbildung : (I, I) (X, {x0}) ein geschlossener Weg (eine Schleife) in X .Die Menge 1(X;x0) := [(I, I), (X, {x0})] von Homotopieklassen von geschlossenen Wegen heitdie Fundamentalgruppe (oder erste Homotopiegruppe) von X (zum Basispunkt x0). Auf ihr wird eineVerknupfung definiert durch [] [] := [ ], mit

    (t) :=

    {(2t) fur t [0, 12 ](2t 1) fur t [12 , 1].

    Ubungsaufgabe. Beweise, dass 1(X;x0) mit dieser Verknupfung in der Tat eine Gruppe ist.Bemerkung 3.15. Die Fundamentalgruppe 1(X;x0)

    sieht nur die Wegzusammenhangskomponente

    des Basispunktes.Ubungsaufgabe. Wenn X wegzusammenhangend ist, dann hangt die Gruppenstruktur von 1(X;x0)

    nicht vom Basispunkt ab (d. h. fur verschiedene Basispunkte erhalt man isomorphe Gruppen).Daher schreibt man oft 1(X) fur die Fundamentalgruppe eines (wegzusammenhangenden) Raums X .Beispiele. 1(Rn) = {c0}; genauso fur jeden kontrahierbaren Raum. 1(Sn) = {c0} fur n > 1.Lemma 3.16. Fur Polyeder X = hangt die Fundamentalgruppe 1(X;x0) nur vom 2-Skelett ab.

    Beweis. Regularisierung, wie im Beweis zu Satz 3.8 skizziert: jede Schleife kann in das 1-Skelett ge-druckt werden, jede Homotopie in das 2-Skelett.Satz 3.17 (Stillwell [Sti93, Sect. 4.1]). Die Fundamentalgruppe eines (o.B.d.A. zusammenhangenden)von Simplizialkomplexes kann man wie folgt durch Erzeuger und Relationen darstellen: Sei T (1)ein aufspannender Baum im 1-Skelett. Fur jeden Knoten xi sei wi der eindeutige direkte Weg in T vonder Basisecke x0 zu xi.Dann bestimmt jede Kante in eij = xixj (1)\T eine Schleife wieijw1j , und jedes Dreieck =xixjxk

    (2) ergibt eine Relation R. Damit istgij : xixj

    (1)\T R : (2)

    eine Darstellung von 1() durch Erzeuger und Relationen.

    Beweis. Jede Schleife mit Ausgangspunkt x0 lasst sich in einen geschlossenen Kantenweg mit Ecken-folge x0, x1, . . . , xN1, xN = x0 deformieren. Dieser ist homotop zu einer Verkettung von der Form(w0e01w

    11 )(w1e12w

    12 ) . . . (wN1eN1,Nw

    1N ), die ein Produkt von entweder trivialen Schleifen (fur

    ei,i+1 T ) oder Erzeugern der angegebenen Art ist (mit gij = g1ji ).Genauso lasst sich jede Homotopie zwischen Wegen in Einzelschritte zerlegen, die einzelne Dreieckeuberstreichen. Jeder Dreiecksumlauf x0x1x2x0 lasst sich in (wieijw1j )(wjejkw

    1k )(wkekiw

    1i ) defor-

    mieren, und dies ergibt (je nachdem, ob ein, zwei oder drei der involvierten Kanten auerhalb T liegen)eine Relation vom Typ gij , gijgjk oder gijgjkgki.

    Beispiel. Die Fundamentalgruppen von Graphen (1-dimensionalen Komplexen) sind freie Gruppen.Insbesondere gilt 1(S1) = Z.

    Proposition 3.18 (Jede endlich-erzeugte Gruppe ist Fundamentalgruppe). Zu jeder endlichen Gruppen-prasentation G = g1, . . . , gs | R1, . . . , Rt gibt es einen endlichen zweidimensionalen Simplizialkom-plex G mit Fundamentalgruppe G = 1(G).

    15

  • Satz 3.19 (Seifertvan Kampen [Sti93, p. 125]). Wenn sich ein Raum X als Vereinigung X = X1 X2zweier offener Mengen mit wegzusammenhangendem Schnitt darstellen lasst, der gemeinsame Basis-punkt x0 im Schnitt X1 X2 gewahlt wird, und die Fundamentalgruppen durch

    1(X1) = a1, . . . , am | R1, . . . , Rn, 1(X2) = b1, . . . , bp | S1, . . . , Sq

    und1(X1 X2) = c1, . . . , cx | T1, . . . , Ty

    gegeben sind, dann erhalt man die Fundamentalgruppe von X = X1 X2 als

    1(X1 X2) =a1, . . . , am, b1, . . . , bp

    R1, . . . , Rn, S1, . . . , Sq, U1V 11 , . . . , UxV 1x ,wobei Ui bzw. Vi jeweils eine Prasentation von ci durch die Erzeuger aj von 1(X1) bzw. durch dieErzeuger bk von 1(X2) sind.

    Man beachte, dass in der Beschreibung von 1(X1 X2) die Relationen T1, . . . , Ty von 1(X1 X2)keine Rolle spielen.

    Korollar 3.20. 1(Sn) ist fur n > 1 trivial.

    Beweis. Uberdecke Sn durch zwei kontrahierbare offene Teilmengen, etwa durch offene -Umgebungender oberen bzw. unteren Hemisphare. Die Schnittmenge ist dann homotopieaquivalent zu Sn1, alsowegzusammenhangend fur n > 1.

    Weitere Anwendung: Analyse von Knotengruppen durch Dehn (1914) und Schreier (1924); siehe Still-well [Sti93, Chap. 7]. Insbesondere kann man damit die Torusknoten Tm,n (m,n 2 teilerfremd) klas-sifizieren, deren Knotengruppen (Fundamentalgruppen der Komplemente) durch

    1(R3\Tm,n) = a, b | a

    mbn

    gegeben sind: bis auf Reflektion des Raums, und Tm,n = Tn,m sind die Knotengruppen nicht isomorph,also auch die Knoten nicht aquivalent. Siehe Stillwell [Sti93, Sects. 4.2.1, 7.1].Bemerkung 3.21 (Siehe [Sti82, Sti93]). Das Wortproblem fur Gruppen (also fur ein gegebenes Wortbezuglich einer gegebenen Gruppenprasentation zu entscheiden, ob das Wort das neutrale Element derGruppe darstellt) ist nach Novikov (1955) nicht entscheidbar. Daraus folgen weitere Nichtentscheidbar-keitsresultate in der Topologie.Das Homoomorphie-Problem fur 2-dimensionale Komplexe ist effektiv losbar (d. h., man kennt einenAlgorithmus dafur), aber das Homotopietyp-Problem ist nicht entscheidbar: weil man das Wortproblemin Gruppen nicht losen kann, gibt es keinen endlichen Algorithmus, der zu jedem 2-dimensionalen end-lichen Simplizialkomplex entscheiden kann, ob er kontrahierbar ist.Das Homoomorphieproblem fur die 3-dimensionale Sphare ist effektiv losbar (Rubinstein und Thomp-son [Rub97]; vgl. King [Kin04]), das Homoomorphieproblem fur die 5-dimensionale Sphare ist aberunlosbar. Genauso ist das Homoomorphieproblem fur 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten unlosbar (Mar-kov 1958).Schon in der Fruhzeit der Topologie wurde bemerkt (von Reidemeister5), dass man bei Arbeit mit derFundamentalgruppe Gefahr lauft, lediglich schwierige topologische Probleme in schwierige algebraischeProbleme zu ubersetzen.

    5Kurt Reidemeister, 1893-1971, Pionier der Gruppen- und Knotentheorie, und Dichter;http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Reidemeister.html

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  • Die hoheren Homotopiegruppen der Spharen werden oft als n(X, {x0}) := [(Sn, {e1}), (X, {{x0}})]definiert da ist aber nicht so leicht zu sehen, wie/warum man da Elemente addieren kann. Mankann die Homotopiegruppen auch als Aquivalenzklassen von Abbildungen (In, In) (X, {{x0}})auffassen. Dass das dasselbe ergibt, folgt zum Beispiel aus folgendem Satz:

    Lemma 3.22. Fur jeden Raum mit Basispunkt (X, {x0}) gibt es eine kanonische Bijektion zwischen denMengen von Homotopieklassen von Abbildungen

    [(Sn, {e1}), (X, {x0})] [(In, In), (X, {x0})].

    Beweis. Jede Abbildung g : (In, In) (X, {x0}) bildet In auf {x0} ab, sie ist also automatisch aufIn konstant.Betrachten wir nun den Quotientenraum (In/In, ), in dem der gesamte Rand des n-Wurfel zu einemeinzigen Punkt identifiziert wird. Nach Definition der Quotiententopologie induziert jede Abbildungg : (In/In, ) (X,A) auch eine Abbildung g : (In, In) (X,A), die auf In konstant ist.Umgekehrt induziert aber auch jede Abbildung g : (In, In) (X,A), die auf In konstant ist einestetige Abbildung g : (In/In, ) (X,A), durch g(x) := g() fur x In, und g(x) := g(x) sonst.Damit erhalten wir eine Bijektion [(In, In), (X, {x0})] (In/In, ), (X, {x0})].Schlielich ist (In/In, ) homomorph zu (Sn, {e1}).

    Definition 3.23. Sei (X, {x0}) ein Raum mit Basispunkt. Die hoheren Homotopiegruppen von X sinddefiniert als

    n(X;x0) := [(In, In), (X, {x0})].

    Die Verknupfung kann dann aus dem Nebeneinandersetzen von n-Wurfeln abgeleitet werden: [][] :=[ ], mit

    (t1, t2, . . . , tn) :=

    {(2t1, t2, . . . , tn) fur t1 [0, 12 ](2t1 1, t2, . . . , tn) fur t1 [12 , 1].

    Satz 3.24 (Funktor!). Die Homotopiegruppen sind Invarianten des Homotopietyps: homotopieaquiva-lente Raume haben isomorphe Homotopiegruppen.Jede stetige Abbildung zwischen topologischen Raumen mit Basispunkt f : (X, {x0}) (Y, {y0})induziert Gruppenhomomorphismen zwischen den entsprechenden Homotopiegruppen:

    f# : k(X;x0) k(Y ; y0)

    wobei id : X X die Identitat auf k(X;x0) induziert, und fur Abbildungen f : X Y undg : Y Z gilt dass (g f)# = g# f#. Dabei induzieren homotope Abbildungen denselben Gruppen-homomorphismus. Homotopieaquivalenzen induzieren Gruppenisomorphismen.

    Bemerkung 3.25. 0(X;x0) ist nur eine Menge mitBasispunkt, wahrend 1(X;x0) eine Gruppe ist.

    Die hoheren Homotopiegruppen n(X;x0), n 2, sind sogar kommutative (abelsche) Gruppen.Wenn X wegzusammenhangend ist, dann hangt die Gruppe n(X;x0) bis auf Isomorphie nicht vomBasispunkt ab, und man schreibt dafur n(X).Der Isomorphismus ist aber nur dann kanonisch, wenn X einfach-zusammenhangend ist anderenfallsriskiert man

    Monodromieeffekte (Bewegung des Basispunkts entlang geschlossener Wege liefert nicht-

    triviale Automorphismen der Fundamentalgruppe).Ist X = ein Polyeder, dann hangt die k-te Homotopiegruppe k(X;x0) jeweils nur vom (k + 1)-Skelett ab.Homotopiegruppen

    vertragen sich mit einigen Grundkonstruktionen von topologischen Raumen sehr

    gut; dazu gehoren Produkte, aber auch sog.Einhangungen.

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  • Proposition 3.26 (Homotopiegruppen von Produkten). Homotopiegruppen von Produkten:n(X Y ; (x0, y0)) = n(X;x0) n(Y ; y0).

    Definition 3.27 (Kegel/Einhangung). Der Kegel cone(X) uber einem Raum X ist das Bild des Pro-dukts X [0, 1] (des Zylinders uber X) unter der Aquivalenzrelation , die alle Punkte (x, 1), x Xidentifiziert.Die Einhangung susp(X) eines Raums X ist das Bild von X [1, 1] unter der Aquivalenzrelation ,die alle Punkte (x, 1), x X miteinander identifiziert, und genauso alle Punkte (y,1), y X .In beiden Fallen wahlt man die feinste Topologie, unter der die Identifikationsabbildung p : X [0, 1](X [0, 1])/ = cone(X) bzw. p : X [1, 1] (X [1, 1])/ = susp(X) stetig ist, also dieQuotiententopologie.Der Kegel cone(X) uber einem Raum ist immer kontrahierbar. Eine Abbildung f : X Y ist genaudann nullhomotop (also homotop zu einer konstanten Abbildung), wenn sie sich zu einer AbbildungF : cone(X) Y erweitern lasst.Offenbar ist die Einhangung einer Sphare wieder (homoomorph zu) eine Sphare: susp(Sn) = Sn+1.Auch ganz elementar uberlegt man sich, dass es fur jedes k einen Homomorphismus

    k : k(X;x0) k+1(susp(X);x0)

    gibt. (Der naheliegende Homomorphismus i# : k(X;x0) k(susp(X);x0) ist aber trivial.)Satz 3.28 (Freudenthals Einhangungslemma [Hat02, Cor. 4.23]). SeiX ein (n1)-zusammenhangender,triangulierbarer Raum mit Basispunkt x0 (zum Beispiel X = Sn).Dann ist k : k(X;x0) k+1(susp(X);x0) ein Isomorphismus fur k < 2n 1, und surjektiv furk = 2n 1.

    Das Einhangungslemma von Freudenthal ist Grundlage der Betrachtung von sog.stabilen Homotopie-

    gruppen, d. h., statt n(X;x0) betrachtet man das Verhalten von n+m(suspmX;x0) fur groe m, alsodie entsprechend hohere Homotopiegruppe nach oftmaligem Einhangen.Satz 3.29 (Homotopiegruppen von Spharen I).k(S

    n) = {e} fur 0 k < n;n(S

    n) = Z, mit idSn Erzeuger;n(S

    1) = {e} fur n > 1;3(S

    2) = Z, mit der Hopf-Abbildung S3 S2, (z1, z2) 7 (2z1z2, z1z1 z2z2) als Erzeuger.

    In diesen Koordinaten ist die Hopf-Abbildung als Abbildung C2 S3 S2 C R gegeben. Mankann sie aber auch, zum Beispiel, als Abbildung (z1, z2) 7 z1/z2, S3 C {} = CP1 auffassen.Satz 3.30 (Homotopiegruppen von Spharen II: Satz von Serre [Spa66, pp. 515/516]).2n1(S

    n) ist fur alle geraden n 2 die direkte Summe von Z mit einer endlichen Gruppe. Alle anderenHomotopiegruppen von Spharen k(Sn), k > n, sind endlich,

    (Beweis:Spektralsequenzen von

    Faserungen)

    Die Berechnung der Homotopiegruppen der Spharen ist ein zentrales Problem der Topologie, insbeson-dere der Homotopietheorie, aber auch schwierig, und es gibt auch keine einfache Antwort. Siehe dieletzte Ubungsaufgabe auf der letzten Seite der klassischen Monographie von Spanier aus dem Jahr 1966:Ubungsaufgabe (Spanier [Spa66, p. 520]). Beweise, dass

    (a): 5(S2) = Z2(b): 6(S3) ist eine Gruppe mit 12 Elementen(c): 7(S4) = 6(S3) Z(d): n+3(Sn) ist fur n 5 eine Gruppe mit 24 Elementen.

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  • Topologie WS05/06 TU Berlin Gunter M. Ziegler

    4 Homologie

    Die Homologiegruppen eines topologischen Raums haben ahnlichefunktorielle Eigenschaften wie

    die Homotopiegruppen, sind aber effektiv berechenbar (siehe das topaz-Modul von polymake [GJb][GJa]!), und in verschiedener Hinsicht einfacher handhabbar auch wenn die

    geometrischen Topolo-

    gen das nicht so wahrhaben wollen (vgl. etwa Stillwell [Sti93, p. 171]). Meine Hauptquelle fur Homo-logietheorie ist Munkres [Mun84, 5ff].Wir entwerfen hier zunachst ganz konkret die Konstruktion von simplizialer Homologie von (endli-chen) Simplizialkomplexen. Es handelt sich hierbei um eine durchaus elementare und explizite Kon-struktion. Im Gegensatz zu vielen anderen Dingen, die man

    gegeben ein Simplizialkomplex der Reihe

    nachhinkonstruieren kann, ist das bemerkenswerte hier, dass das Ergebnis topologisch invariant ist:

    verschiedene Triangulierungen desselben Raumes haben evtl. unterschiedlich viele Ecken, Kanten, etc. aber, wie wir sehen werden, dieselbe Homologie!Zielvorstellung: Hk(X) = Zr, wenn X

    r k-dimensionale Locher hat.

    Definition 4.1 (Orientierung). Sei {v0, . . . , vk} die Eckenmenge eines k-Simplex . Zwei lineare Anord-nungen der Eckenmenge heien aquivalent, wenn sie sich durch eine gerade Permutation unterscheiden.Die Aquivalenzklassen heien die Orientierungen von . (Also hat fur k > 0 jeder k-Simplex genauzwei Orientierungen.) Wir schreiben [v0, . . . , vk] fur die durch v0 < < vk gegebene Orientierung,und [v0, . . . , vk] fur die umgekehrte Orientierung.

    Wenn wir die Eckenmenge von linear anordnen, dann ergibt dies automatisch fur jeden Simplex eineOrientierung.Fur das Folgende fixieren wir eine abelsche Gruppe G als Koeffizientenbereich: wir konstruieren dieHomologie eines Simplizialkomplexes mit Koeffizienten in G. Dabei ist primar an G = Z gedacht;

    wichtig sind aber auch G = R,C,Q,Z2, jeweils als additiv-geschriebene Gruppe interpretiert. In demFall, dass G die additive Gruppe eines Korpers ist, werden die Kettengruppen etc., die wir jetzt definie-ren, alle zu Vektorraumen, und die Gruppenhomomorphismen zu linearen (Vektorraums-)Abbildungen,was beim Rechnen hilft. Wenn nichts anderes gesagt, nehmen wir immer an, dass G = Z gewahlt ist.Insbesondere sind in der Notation immer dann, wenn keine Koeffizientengruppe genannt ist, ganzzahligeKoeffizienten gemeint.

    Definition 4.2 (Ketten). Sei ein Simplizialkomplex. Eine k-Kette in mit Koeffizienten in G ist eineformale Linearkombination

    (k)

    c

    von orientierten k-Simplexen aus , mit c G, wobei nur endlich viele Koeffizienten nicht-null seindurfen und jeder Simplex nur mit einer der beiden moglichen Orientierungen auftritt.Die Menge aller k-Ketten in mit Koeffizienten in G ist die k-te Kettengruppe Ck(;G) von .Zwei k-Ketten werden addiert, indem wir die Koeffizienten vor denselben orientierten Simplexen (mitderselben Orientierung!) addieren und c = (c) setzen, wenn die andere Orientierung von ist.Fur k < 0 und fur k > dim setzen wir Ck(;G) := 0, wobei wir hier und im Folgenden 0 alsKurznotation fur die

    triviale Gruppe ({0},+) mit genau einem Element verwenden.

    Ck(;Z) ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang fk, wobei fk = fk() die Anzahl der k-Seiten von bezeichnet: Wenn wir von jedem k-Simplex eine Orientierung auswahlen, so bestimmt dies eine Basis.

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  • Definition 4.3 (Randabbildung). Die k-te Randabbildung ist der Gruppenhomomorphismus k : Ck(;G)Ck1(;G), der durch Werte auf der Basis wie folgt definiert ist:

    k : [v0, . . . , vk] 7ki=0

    (1)i[v0, . . . , vi, . . . , vk]

    Der Rand einer Ecke ist Null, 0[v0] = 0. Der Rand einer Kante istEnd- minus Anfangsecke,

    1[v0, v1] = [v1] [v0]. Der Rand eines Dreiecks ist die Summe (Folge) seiner drei gerichteten Rand-kanten 2[v0, v1, v2] = [v1, v2] [v0, v2] + [v0, v1], usw.Ubungsaufgabe. Man uberprufe, dass die Randabbildung wohldefiniert ist (man also nach gerader Per-

    mutation der Ecken ein aquivalentes Ergebnis bekommt), und dass k = k gilt, wenn , diebeiden Orientierungen eines k-Simplex sind.

    Definition 4.4 (Zykel). Die k-te Zykelgruppe von (mit Koeffizienten in G) ist die GruppeZk(;G) := ker(k) = {c Ck(;G) : kc = 0}.

    Die Zykelgruppe Zk(;Z) ist eine Untergruppe einer freien abelschen Gruppe, also selbst frei [Mun84,Lemma 11.2]. Im endlich-erzeugten Fall ist der Rang der Zykelgruppe hochstens der Rang der Ketten-gruppe. Achtung: dies bezieht sich nur auf den Fall G = Z von ganzzahligen Koeffizienten. Analoglasst sich das handhaben, wenn G die additive Gruppe eines Korpers ist dann haben wir es mit Vek-torraumen zu tun, und die dort betrachteten Untergruppen sind in der Tat Untervektorraume. Fur nochallgemeineres G, etwa G = Z4, darf man C(;G) = Gfk zwar immer noch frei nennen, und eine Basis(der Kardinalitat fk) davon verwenden, aber eine Untergruppe von Gfk ist dann nicht mehr unbedingtvon der Form Gr.Beispiele: wie sehen Zykel aus.Intuition: man stelle sich das Bild einer Spharenabbildung vor, und abstrahiere . . . (vgl. Kreck [Kre])Definition 4.5 (Rander). Die k-te Randergruppe von (mit Koeffizienten in G) ist die Gruppe

    Bk(;G) := im(k+1) = {k+1d : d Ck+1(;G)}.

    Die RandergruppeBk(;G) ist eine Untergruppe vonCk(;G), also wieder eine freie abelsche Gruppe.

    Lemma 4.6 (2 = 0). Es gilt:Rander von Randern sind Null;d. h., alle Rander sind Zykel;d. h., Bk(;G) Zk(;G);d. h., k k+1 = 0 fur alle k.

    Beweis. Es genugt, dies auf Basiselementen von Ck(;G) nachzurechnen:

    k1 k[v0, . . . , vk] = k1

    ki=0

    (1)i[v0, . . . , vi, . . . , vk] =ki=0

    (1)ik1[v0, . . . , vi, . . . , vk]

    =ki=0

    (1)ii1j=0

    (1)j [v0, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk] +ki=0

    (1)ik

    j=i+1

    (1)j1[v0, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk]

    =k

    0j

  • Definition 4.7 (Homologie). Sei ein Simplizialkomplex. Die k-te Homologiegruppe von mit Koef-fizienten in G ist

    Hk(;G) := Zk(;G) /Bk(;G).

    Die ganzzahligen Homologiegruppen Hk(;Z) sind Quotientengruppen der Zykelgruppen sie sindim allgemeinen nicht frei: Wir erhalten ein Ergebnis von der Form

    H = Z Zt1 Zt2 Ztr

    mit ti 2 und t1 | t2 | | tk. Dabei ist rankH := der Rang der Gruppe H: dies ist die maxima-le Anzahl von Elementen, fur die alle Linearkombinationen mit Z-Koeffizienten verschieden sind. DieGruppe T (H) := Zt1 Zt2 Ztr ist die Torsionsuntergruppe aller Elemente endlicher Ordnungin H . Es gilt H/T (H) = Z (Struktursatz fur endlich-erzeugte abelsche Gruppen [Mun84, Thm. 4.3]).Wenn wir mit G die additive Gruppe eines Koeffizientenkorpers haben, dann arbeiten wir hier mit Vek-torraumen, und bekommen Quotientenvektorraume.Lemma 4.8. Hk(;G) = {0} fur k > dim und fur k < 0.Hk(;Z) ist eine freie abelsche Gruppe, fur k = dim.Proposition 4.9. Die nullte Homologiegruppe ist frei, H0(;G) = G0 .Die nullte Bettizahl 0 ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von .

    Beweis. Z0(;G) = C0(;G) ist frei, mit Basis {[v] : v (0)}.B0(;G) identifiziert man mit der Untergruppe aller Ketten, fur die auf jeder Zusammenhangskompo-nente die Koeffizientensumme gleich 0 ist.Wahlt man also aus jeder Zusammenhangskomponente von eine Ecke v0 aus, dann bilden die entspre-chenden ( Aquivalenzklassen von) [v0] eine Basis fur Z0(;G)/B0(;G) = H0(;G).Bemerkung 4.10. Homologie von endlichen Simplizialkomplexen ist effektiv berechenbar: mit Hilfe vonganzzahlig-elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen kann man jede ganzzahlige Matrix auf SmithNormalform (SNF) bringen. Dies ist theoretisch schnell (in Polynomzeit) zu erledigen, und auch prak-tisch effektiv (etwa in topaz implementiert).Im Falle von Korperkoeffizienten reichen Rangberechnungen:

    dimHk(k;F ) = dimZk(k;F )/Bk(k;F )

    = dimZk(k;F ) dimBk(k;F )

    = dimker k dim im k+1

    = fk rank k rank k+1.

    Korollar 4.11. Fur G = Z,Q oder R hat die k-dimensionale Homologie denselben Rang k:

    rankHk(k;Z) = dimQ Hk(k;Q) = dimR Hk(k;R) = fk rank k rank k+1.

    Allgemeiner: Dieuniversellen Koeffiziententheoreme der Homologietheorie geben Rezepte dafur, wie

    man Hk(k;G) aus den Gruppen Hk(;Z) und Hk1(;Z) berechnen kann [Mun84, Thm. 55.1].In einer Zerlegung

    Hk(;Z) = Zk Zt1 Zt2 Ztr

    heit k = rankHk(;Z) die k-te Betti-Zahl von . Die ti, mit t1|t2| . . . |tr (wie oben) heien dieTorsionskoeffizienten der k-ten Homologiegruppe von .

    21

  • Definition 4.12 (Reduzierte Homologie). Zur Konstruktion der reduzierten Homologiegruppen definiertman den Rand einer Ecke nicht als Null, sondern als [v0] := [], entsprechend der leeren Menge.Es ergibt sich daraus C1(;G) = G. Der Augmentierungshomomorphismus = 0 : C0(;G) C1(;G) ist surjektiv.Somit gilt immer H0(;G) = H 0(;G)G, und H k(;G) = Hk(;G) fur k 6= 0.

    Lemma 4.13 (Homologie eines Kegels). Jeder Kegel hat verschwindende reduzierte Homologie:H k(cone();Z) = 0 fur alle k.

    Lemma 4.14 (Homologie eines Simplexrandes). Der Rand des n-Simplex hat folgende reduzierte Ho-mologie:

    H k(n;G) =

    {G fur k = n 1,0 sonst.

    Damit hat man auch die Homologie von kontrahierbaren Raumen bzw. der (n 1)-Sphare berechnet,modulo topologischer Invarianz (siehe unten!).Es ist ublich, H(;G) fur die Folge der Homologiegruppen von zu schreiben, also

    H(;G) := (H0(;G), H1(;G), . . . , Hd(;G))

    fur d = dim.Beispiele (Homologie von einigen Flachen; vgl. [Mun84, 6]).2-Sphare: H(S2;Z) = (Z, 0,Z).Torus: H(T ;Z) = (Z,Z2,Z).Sphare mit g Henkeln: H(Mg;Z) = (Z,Z2g,Z).projektive Ebene: H(RP2;Z) = (Z,Z2, 0).zwei verklebte projektive Ebenen: H(RP2#RP2;Z) = (Z,Z Z2, 0).Kleinsche Flasche: H(K;Z) = (Z,Z Z2, 0).projektive Ebene mit Henkel: H(RP2#T ;Z) = (Z,Z2 Z2, 0).Lemma 4.15 (Orientierbarkeit von Mannigfaltigkeiten). Sei M eine zusammenhangende, geschlossene,triangulierte d-dimensionale Mannigfaltigkeit.Dann gilt entweder Hd(M ;Z) = Z, dann heit M orientierbar; oder es gilt Hd(M ;Z) = 0, dann heitM nicht orientierbar. In beiden Fallen gilt Hd(M ;Z2) = Z2.(Die Orientierbarkeit hangt nicht von der Triangulierung ab.)Beispiel. Die Schachbrett-Komplexe m,n sind in letzter Zeit intensiv studiert worden. Ihre Homologieenthalt 3-Torsion: Erst vor kurzem gelang Shareshian und Wachs [SW] der Nachweis, dass sie auch nur3-Torsion (und evtl. 9-Torsion) enthalten. Siehe [Wac03].Satz 4.16 (topologische Invarianz; Funktor). Die Homologiegruppen sind Invarianten des Homotopie-typs: Sind , homotopieaquivalent, so gilt Hk(;G) = Hk(;G) fur alle k.Weiter induziert jede stetige Abbildung h : Gruppenhomomorphismen h : Hk() Hk(), so dass gilt (k h) = k h. Die Identitat id : induziert die Identitat id :Hk() Hk() fur alle k.

    Beweis/ Ubersicht: (1) simpliziale Abbildungen induzieren Homomorphismen f# von Kettenkomple-xen, und damit Abbildungen f in Homologie

    (2) kettenhomotope Abbildungen ergeben denselben Homomorphismus in Homologie: f#g# = D+D, und damit f = g

    22

  • (3) Unterteilungen, simpliziale Approximation(4) Unterteilungsoperator(5) homotope Abbildungen sind nach geeigneter Unterteilung kettenhomotop.

    Definition 4.17 (Kettenkomplex, Kettenabbildung). Ein Kettenkomplex C ist eine Folge (Ck)kZ vonabelschen Gruppen, mit Homomorphismen k : Ck Ck1, die k1k = 0 erfullen.Eine Kettenabbildung f# : C C ist eine Familie von Gruppenhomomorphismen f#,k : Ck C k,die kf#,k = f#,k1k : Ck(K) Ck1(L) erfullt.

    Lemma 4.18 (Simpliziale Abbildungen induzieren Kettenabbildungen).Sei f : K L simplizial, dann definiert

    f# : [v0, . . . , vk] 7

    {[f(v0), . . . , f(vk)] wenn die f(vi) alle verschieden sind,0 sonst

    eine Kettenabbildung f# : C(K) C(L).

    Beweis. Fallunterscheidung: f# = f# angewandt auf [v0, . . . , vk] ergibt

    ki=0

    (1)i[f(v0), . . . , f(vi), . . . , f(vk)]

    wenn alle f(vi) verschieden sind, und ergibt 0 sonst.

    Lemma 4.19 (Kettenabbildungen induzieren Homomorphismen in Homologie [Mun84, Thm. 12.2]).Jede Kettenabbildung f# : C(K) C(L) induziert vermoge f[c] := [f#c] Homomorphismenfk : Hk(K) Hk(L).

    Dabei induziert die Identitat id : K K die Identitat id : H(K) H(K), und es gilt immer(f g) = f g.

    Beweis. Der wesentliche Teil ist, dass f wohldefiniert ist, also das Ergebnis nicht vom Reprasentantender Homologieklasse [c] abhangt. Dazu sei c + c ein anderer Reprasentant von [c] = [c + c]; dafurerhalten wir f[c+ c] = [f#c+ f#c] = [f#c+ f#c] = [f#c].

    Definition 4.20 (Kettenhomotopien). Eine Kettenhomotopie zwischen simplizialen Abbildungen f, g :K L ist eine Familie von indexerhohenden Homomorphismen Dk : Ck(K) Ck+1(L), die f#,k g#,k = k+1Dk+Dk1k : Ck(K) Ck(L) erfullt wofur wir kurz f#g# = D+D schreiben.

    Lemma 4.21 ([Mun84, Thm. 14.2]). Kettenhomotope Abbildungen f, g : K L induzieren dieselbeAbbildung f = g : Hk(K) Hk(L) in Homologie.

    Beweis. Rechnung: Sei [c] eine Homologieklasse (also c ein Zykel, c = 0), so istf[c] = [f#c] = [(g# +D + D)c)] = [g#c+ Dc+Dc] = [g#c+ Dc] = [g#c] = g[c].

    Hier gelten die erste und letzte Gleichheit nach Definition des Homomorphismus in Homologie, diezweite wegen Kettenhomotopie, die dritte wegen Homomorphismus, die vierte weil c Zykel ist, dievorletzte weil die Homologieklasse

    modulo Rander definiert ist.

    Definition 4.22 (Unterteilung). Eine Unterteilung eines (geometrischen) Simplizialkomplexes ist einKomplex , fur den jeder Simplex in einem Simplex enthalten ist, und so dass umge-kehrt jeder Simplex eine Vereinigung von endlich vielen Simplexen ist.

    23

  • Wenn eine Unterteilung von ist, so gilt =

    (gleicher Trager), und = .

    Definition 4.23 (Link, offener Stern, geschlossener Stern). Sei F eine nichtleere Seitenflache in einem(abstrakten) Simplizialkomplex K. Der Stern von F ist der Unterkomplex StarK F aller Seiten G K,fur die F G K gilt. Die Deletion von F ist der Unterkomplex delK F aller Seiten G K, fur dieG 6 F gilt. Der Link von F ist der Unterkomplex linkK F aller Seiten G K, fur die G F = und F G K gilt. Es ist also StarK F delK F = linkK F F . Insbesondere gilt fur EckenlinkK v = StarK v delK v.

    In einem geometrischen Simplizialkomplex sind Link link und Stern Star Unterkomplexe, alsoabgeschlossene Teilmengen. Man betrachtet dort auch den offenen Stern star := \ del .Dieser ist eine offene Teilmenge von . Er lasst sich auch als die Menge aller Punkte beschreiben, dieim relativ Inneren eines Simplexes liegen, der enthalt.

    Die offenen Sterne der Ecken bilden eine offene Uberdeckung des Polyeders .Beispiele. Die stellare Unterteilung des Komplexes K bzgl. einer nicht-leeren Seitenflache F erhaltman, indem man F und alle F enthaltenden Seitenflachen entfernt, und einen neuen Simplex G {vF }fur jede Seite einfugt, die mit F in einer Seite enthalten ist (so dass G 6 F aber G F K gilt).Topologische Beschreibung: der offene Stern von F wird entfernt, und ein Kegel uber StarK F delK F = linkK F F wird eingefugt.)Die baryzentrische Unterteilung sdK hat die Baryzentren der nichtleeren Seiten vonK als Eckenmenge,wobei die Simplizes von sdK den Ketten von Seitenflachen von K entsprechen.

    Fur endliche Simplizialkomplexe K kann die baryzentrische Unterteilung sdK als Folge von stellarenUnterteilungen konstruiert werden: man unterteilt alle Seitenflachen in einer geeigneten Reihenfolge, sodass fur Seiten F G die Seite G vor der Seite F unterteilt wird.

    Definition 4.24 (Sternbedingung). Eine stetige Abbildung von Polyedern h : erfullt dieSternbedingung, wenn jeder offene Stern einer Ecke in den offenen Stern einer Ecke abgebildet wird,das heit, dass es fur jede Ecke v eine Ecke w gibt mit

    h(star v) starw.

    Lemma 4.25. Erfulle h : die Sternbedingung. Wahle fur jede Ecke v (0) eine beliebigeEcke f(v) mit h(star v) star f(v). Dies definiert eine simpliziale Abbildung f : , sodass f und h homotop sind.Verschiedene solche Abbildungen f sind immer kettenhomotop.

    Definition 4.26 (Simpliziale Approximation). Eine simpliziale Approximation von h : isteine simpliziale Abbildung f : , bei der fur alle Ecken v die Bedingung h(star v) star f(v) erfullt ist.

    Satz 4.27 (Simpliziale Approximation [Mun84, 16]). Wenn h : stetig ist, dann gibt es einesimpliziale Approximation f : , fur eine Unterteilung von .Wenn endlich ist, dann gibt es sogar eine simpliziale Approximation f : sdN , fur ein N 0.

    Beweis. Im zweiten Fall unterteilt man so oft baryzentrisch, bis die Sternbedingung erfullt ist. Dies lasstsich deshalb erreichen, weil in jeder baryzentrischen Unterteilung der Durchmesser des groten Simplexum einen konstanten Faktor schrumpft, und man daher nach endlich vielen Schritten die Lebesgue-Zahlder Uberdeckung von durch die Urbilder h1(star v) der offenen Sterne im Bild unterschreitet:Die Lebesgue-Zahl einer offenen Uberdeckung ist die grote Zahl , so dass jede -Umgebung einesPunktes in einer offenen Menge der Uberdeckung enthalten ist. Sie ist fur jede Uberdeckung eines kom-pakten (!) metrisierbaren Raumes positiv.

    24

  • Korollar 4.28. Jede stetige Abbildung h : mit dim < dim ist homotop zu einerAbbildung, die nicht surjektiv ist.Korollar 4.29. Fur m < n sind alle stetigen Abbildungen h : Sm Sn nullhomotop.

    Lemma 4.30 (Unterteilungsoperator [Mun84, Thm. 17.2]). Ist eine Unterteilung von , so gibt eseine eindeutige Kettenabbildung : C() C() mit |()| || fur alle , die Ecken aufEcken abbildet, : [v] [v].Weiter existiert eine simpliziale Approximation g : der Identitat. g# und sind bis auf Ketten-homotopie inverse Kettenabbildungen. Insbesondere sind g : H() H() und : H() H(

    ) inverse Isomorphismen der Homologie von und .

    Definition 4.31 (Konstruktion von h). Sei h : stetig, sei f : eine simplizialeApproximation, und sei : C() C() der zugehorige Unterteilungsoperator.Dann ist h := f : Hk() Hk() der von h induzierte Homomorphismus in simplizialerHomologie, fur k 0.

    Lemma 4.32 ([Mun84, Thm. 18.1]). Die Abbildungen h : Hk() Hk() sind wohldefiniert, dasheit, bei anderer Wahl der Unterteilung und der simplizialen Approximation f erhalt man dennochdieselben Gruppenhomomorphismen h.

    Damit folgt jetzt auch die Homotopie-Invarianz der Homologie, die wir schon als Satz 4.16 behauptethatten:

    Satz 4.33 (Homotopie-Invarianz der Homologie [Mun84, Thms. 19.2, 19.5]). Homotope Abbildungenh, : induzieren kettenhomotope Abbildungen h#, # : Ck() Ck() und damitdenselben Homomorphismus h = : Hk() Hk() in der Homologie.Jede Homotopie- Aquivalenz h : induziert Isomorphismen h : Hk() Hk() inHomologie.

    Korollar 4.34 (Invarianz der Dimension). Die n-Spharen sind fur verschiedene n nicht homoomorph,und auch nicht homotopieaquivalent.Die reellen Raume Rn sind fur verschiedene n nicht homoomorph.

    25

  • 26

  • Topologie WS05/06 TU Berlin Gunter M. Ziegler

    5 Euler- und Lefschetz-Zahlen

    5.1 Abbildungsgrad

    Als Anwendung der Homologietheorie erhalten wir jede Menge Invarianten: die elementarsten sinddie Euler-Charakteristik eines Raumes und der Grad einer Spharenabbildung, die starkste vielleicht dieLefschetz-Zahl.Dahinter steckt eine starke Verbindung von dem, was sich auf den Simplexen (also auf den Ketten) tut,und den zugehorigen Abbildungen in der Homologie, die

    Spurformel von Hopf.

    Die Darstellung hier basiert auf Munkres [Mun84, 21,22].Definition 5.1 (Abbildungsgrad). Jede stetige Abbildung h : Sn Sn induziert einen Gruppenhomo-morphismus h : Hn(Sn;Z) Hn(Sn;Z), der jedes Element von Hn(Sn;Z) = Z auf sein d-fachesabbildet. Das dadurch definierte deg h := d Z heit der Grad (oder der Abbildungsgrad) von h.Beachte hier: die GruppeHn(Sn;Z) ist isomorph zu Z, aber der Isomorphismus ist nicht eindeutig: dafurmussen wir einen Fundamentalzyklus cn Zn(Sn;Z) auswahlen, also eine Summe aller n-Simplexein der alle Simplexe konsistent orientiert sind also eine Orientierung der Sphare. Wenn cn so einFundamentalzyklus ist, dann ist cn der andere. Der Erzeuger fur Hn(Sn;Z) ist dann [cn], und dieserwird beim Isomorphismus Hn(Sn;Z) = Z mit der 1 Z identifiziert.

    Lemma 5.2. Fur stetige g, h : Sn Sn gilt:(1) Homotope Abbildungen g h haben denselben Grad deg g = deg h.(2) Die Identitat hat Grad 1, also deg id = 1.(3) Bei Verkettung multiplizieren sich die Abbildungsgrade, deg(g h) = deg g deg h.(4) Wenn sich h zu h : Bn+1 Sn fortsetzen lasst, so ist deg h = 0.(5) Die Reflektion r in einer Hyperebene, (x0, x1, . . . , xn) 7 (x0, x1, . . . , xn), hat Grad deg = 1.(6) Die Antipodenabbildung a : x 7 x hat Grad deg a = (1)n+1.Hier wird nicht bewiesen, dass auch die Umkehrung von Teil (1) gilt: zwei Abbildungen g, h haben den-selben Grad deg g = deg h genau dann wenn sie homotop sind. Dies liegt am Zusammenhang zwischender n-ten Homotopiegruppe n(X;x0) und der n-ten Homologiegruppe Hn(X;Z) der Hurewicz-Homomorphismus ist fur die n-Sphare ein Isomorphismus.

    Beweis. (1), (2) und (3) folgen aus den allgemeinen Eigenschaften der durch stetige Abbildungen in-duzierten Homomorphismen in Homologie. Fur (4) betrachte h = h i : Sn Bn+1 Sn unddie zugehorigen Homomorphismen h = h i : Hn(Sn) Hn(Bn+1) = {0} Hn(Sn). Fur(5) durfen wir annehmen, dass Sn die

    oktaedrische Triangulierung tragt, die durch die n + 1 Koordi-

    natenhyperebenen in Rn+1 induziert wird. Der Fundamentalzyklus c Cn(Sn;Z) wird dann offenbarauf r#c = c abgebildet. Daraus folgt auch (6), weil a durch Hintereinanderausfuhrung von n + 1Spiegelungen entsteht.

    Korollar 5.3. Es gibt keine Retraktion Bn+1 Sn, d. h. keine stetige Abbildung Bn+1 Sn, die allePunkte x Sn auf sich selbst abbildet (festhalt).Dieses Korrollar ist aquivalent zu der Aussage, dass die Sn nicht kontrahierbar ist (Korollar 3.9).

    Beweis. Die Retraktion ware eine Fortsetzung der Identitat id : Sn Sn, musste also nach Teil (4) desLemmas Grad 0 haben, aber nach Teil (2) den Grad 1.

    27

  • Daraus folgt, wie damals besprochen, der Brouwersche Fixpunktsatz 3.10. Aber wir konnen aus demAbbildungsgrad noch mehr Fixpunktsatze ableiten.

    Korollar 5.4. Jede Abbildung h : Sn Sn mit deg h 6= (1)n+1 hat einen Fixpunkt.

    Beweis. Wenn h keinen Fixpunkt hat, dann konnen wir eine Homotopie h a konstruieren.

    Korollar 5.5. Jede Abbildung h : Sn Sn mit deg h 6= 1 hat bildet einen Punkt x Sn auf seinenAntipodenpunkt x ab.

    Beweis. Betrachte a h.

    Korollar 5.6 (Satz vom Igel;hairy ball theorem). Auf der Sn gibt es dann und nur dann ein Tangenti-

    alvektorfeld ohne Nullstelle, wenn n ungerade ist.Aquivalent: eine stetige Abbildung v : Sn Sn mit x, v(x) = 0 fur alle x Sn gibt es genau dann,wenn n ungerade ist.

    Beweis. Fur gerades n + 1 kann man mit v(x0, x1, . . . , xn1, xn) := (x1,x0, . . . , xn,xn1) so einVektorfeld definieren.Ein nullstellenfreies Vektorfeld kann so normiert werden, dass v(x) = 1 gilt. Damit definiert es eineAbbildung v : Sn Sn, die weder Fixpunkte und noch Antipodenpunkte hat, also nach den letztenbeiden Korollaren Grad deg v = 1 und deg v = (1)n+1 hat.

    Sehr viel tiefliegender ist die Frage, fur welche n die n-Sphare parallelisierbar ist, also n linear un-abhangige nullstellenfreie Vektorfelder zulasst. Die Antwort (genau fur n {0, 1, 3, 7}!) hangt engmit der Existenz von Divisionsalgebren zusammen; die Vektorfelder bekommt man fur n = 1 aus denkomplexen Zahlen (v(z) := iz fur z S1 R2 = C), fur n = 3 aus durch Multiplikation mit denEinheiten i, j, k der nicht-kommutativen Hamiltonschen QuaternionenalgebraH, und fur n = 7 aus dernicht-kommutativen und nicht-assoziativen acht-dimensionalen Cayleyschen OktonionenalgebraO, mitS7 R8 = O. Die Nicht-Existenz von reellen Divisionsalgebren einer anderen Dimension als 1, 2, 4, 8wird in der Tat mit Methoden der algebraischen Topologie bewiesen einen anderen Beweis kennt mannicht!Noch sehr viel tiefliegender ist die Frage, wie viele linear unabhangige Vektorfelder es denn auf dern-Sphare geben kann diese wurde 1962 von Adams mit Hilfe der (inzwischen so benannten) Adams-Spektralsequenzen und sehr viel

    K-Theorie (einer verallgemeinerten Homotopietheorie) bewiesen.

    Ich verweise fur eine spannende Diskussion dieser Fragen auf denZahlen-Band von Ebbinghaus et

    al. [EHH+92, Kap. 11].

    5.2 Euler-Charakteristik

    SeiK ein endlicher Simplizialkomplex. Wir hatten aus der Definition vonHk(K;G) := ker k/ im k+1ja schon hergeleitet, dass

    rankHk(K;G) =(rankCk(K;G) rank k

    ) rank k+1, (1)

    und zwar gilt dies sowohl im Fall G = Z, worank den Rang der abelschen Gruppe bezeichnet, als

    auch wenn G die additive Gruppe eines Korpers ist: in dem Fall istrank die Dimension eines endlich-

    dimensionalen Vektorraums.Die Gleichung (1) ist ziemlich aufschlussreich:

    28

  • rankCk(K;G) = fk ist die Anzahl der k-dimensionalen Seiten von K. Diese hangt auch nicht vonder Koeffizientengruppe von G ab.Die Parameter fk eines hochstens n-dimensionalen Komplexes K fasst man zum f -Vektor

    f(K) := (f0, f1, f2, . . . , fn)

    zusammen.

    k = rankHk(K;G) ist die k-te Bettizahl von K. Diese hangt im allgemeinen durchaus von dergewahlten Koeffizientengruppe ab; genauer/deutlicher ware also k(K;G) zu schreiben.Der Betti-Vektor des Komplexes K ist damit

    (K;G) := (0, 1, 2, . . . , n).

    Es liegt nahe, von der Formel (1) alternierende Summen zu bilden, so dass sich die Range der Rand-operatoren wegheben. Dies fuhrt zur Euler-Poincare-Gleichung, die wir als nachstes angeben.

    Beispiel. Bezeichnet RP26 die minimale Triangulierung der projektiven Ebene auf 6 Ecken (die mandurch Indetifikation gegenuberliegender Ecken des Ikosaeders erhalt), so ist f(RP26) = (6, 15, 10),(RP26,Z) = (1, 0, 0), und (RP26,Z2) = (1, 1, 1).

    Satz 5.7 (EulerPoincare-Formel). Fur jeden endlichen Simplizialkomplex der Dimension n giltf0 f1 + f2 f3 + (1)

    nfn = 0 1 + 2 3 + (1)nn (2)

    Beachte: Die Summanden der linken Seite der Formel sind unabhangig von G; das ist fur die rechte Seitenicht wahr. Die Summanden der rechten Seite hangen nicht von der gewahlten Triangulierung von Kab, sie sind topologisch invariant, was wiederum fur die Komponenten der linken Seite nicht stimmt.

    Definition 5.8 (Euler-Charakteristik). Die Euler-Charakteristik eines triangulierbaren topologischen Raumsmit Homologiegruppen endlichen Ranges ist die alternierende Summe

    (X) := 0 1 + 2 3 . . . =i0

    (1)i rankHi(X;Z).

    Die reduzierte Euler-Charakteristik (X) wird entsprechend durch die reduzierten Homologiegruppengegeben. Es ist also (X) = 1 + (X).

    Beispiele. Jeder kontrahierbare Raum hat dieselbe Euler-Charakteristik wie der Rn,

    (X) = (Rn) = 1,

    also die reduzierte Euler-Charakteristik (X) = (Rn) = 0.Die Spharen haben Euler-Charakteristik

    (Sn) = 1 + (1)n

    also reduzierte Euler-Charakteristik (Sn) = (1)n.Die reellen projektiven Raume RPn haben Eulercharakteristik

    (RPn) =1 + (1)n

    2=

    {1 n ungerade0 n gerade,

    weil sich bei der zweiblattrigen Uberlagerungsabbildung Sn RPn (vgl. Abschnitt 6.2) die Euler-Charakteristik halbiert: Jede Triangulierung von RPn liefert eine zentralsymmetrische Triangulierungvon Sn, in der jeder k-Simplex in RPn genau zwei k-Simplexen von Sn entspricht.

    29

  • Korollar 5.9. Fur jede triangulierte n-Sphare (etwa den Randkomplex eines (n + 1)-dimensionalensimplizialen Polytops) mit fi Simplexen der Dimension i gilt

    f0 f1 + f2 . . . (1)nfn = 1 + (1)

    n.

    Beispiel. Wir betrachten (k)n , das k-dimensionale Skelett des n-dimensionalen Simplex (1 k n).Es gilt

    fi =

    {(n+1k+1

    )fur 0 i k

    0 sonst.

    Damit ist ((k)n ) =k

    i=0(1)i(n+1i+1

    ). Vergleich mit dem Simplex ergibt, dass 0 = 1 und ansonsten

    i = 0, auer (moglicherweise) k. Aus der EulerPoincare-Formel erhalt man

    k =

    ki=1

    (1)ki(n+ 1

    i+ 1

    ),

    und die k-te Homologiegruppe eines k-dimensionalen Komplexes ist immer frei, also

    Hi((k)n ;Z)

    =

    Z fur i = 0,Zk fur i = k,0 sonst.

    5.3 Hopf-Spurformel

    Verallgemeinerung von (1): die hier auftretenden Range kann man auch als Spur der Identitat auffassen und dann auf Spuren von Kettenabbildungen von simplizialen Selbstabbildungen zu verallgemeinern.Das fuhrt direkt zur Hopfschen Spurformel.Spur einer quadratischen Matrix ist durch traceA =

    i aii gegeben. Wenn wir A als eine Ubergangs-

    matrix betrachten, die Wahrscheinlichkeiten oder Haufigkeiten aij angibt, mit denen man von i nach jgeht, dann misst die Spur, wie oft man

    am Ort bleibt. In einer solchen Interpretation (oder algebra-

    isch) ist leicht zu sehen, dass trace(AB) = trace(BA) gilt: dies isti,j aijbji. (Dto. etwa fur passendenicht-quadratische Matrizen, A Zmn und B Znm.) Wenn B invertierbar ist, so folgt daraustrace(B1AB) = traceA; so ist die Spur eines Endomorphismus wohldefiniert (basisunabhangig).Dies gilt auch, wenn wir etwa mit ganzzahligen Matrizen A Znn hantieren, die HomomorphismenfA : Z

    n Zn darstellen.

    Satz 5.10 (Hopf-Spurformel). Sei K ein endlicher Simplizialkomplex, und sei f : K K eine simpli-ziale Abbildung, so induziert dies Endomorphismen f# : Ck(K;Z) Ck(K;Z). Fur diese gilt

    k0

    (1)k trace(f#, Ck(K;Z)) =k0

    (1)k trace(f, Hk(K;Z)/T (Hk(K;Z)))

    im Fall von ganzzahligen Koeffizienten, wobei T (H) := {x H : kx = 0 fur ein k > 0} die Torsions-untergruppe von H bezeichnet, und

    k0

    (1)k trace(f#, Ck(K;G)) =k0

    (1)k trace(f, Hk(K;G))

    im Fall eines Koeffizientenkorpers G.

    30

  • Beweis. Selbst uberlegen sollte man sich, dass f : Hk(X;Z) Hk(X;Z) eine Abbildung f :Hk(X;Z)/T (Hk(X;Z)) Hk(X;Z)/T (Hk(X;Z)) induziert weil jeder Gruppenhomomorphis-mus, wie f, Torsionselemente auf Torsionselemente abbildet.Als weiteres Element braucht man ein Analogon der Rangformel wie am Beginn von Abschnitt5.2 diskutiert, aber eben mit

    Spur statt Rang. Der Rest des Beweises findet sich dann bei [Mun84,

    Thm. 22.1] fur den ganzzahligen Fall; der Korper-Fall ist einfacher, vgl. [Oss92, Satz 5.9.3].

    Der Spezialfall f = id ist die EulerPoincare-Formel 5.7.

    5.4 Lefschetz-Zahl und -Fixpunktsatz

    Analog zur rechten Seite der EulerPoincare-Formel, der Euler-Charakteristik, ist die rechte Seite derHopf-Spurformel eine wichtige numerische Invariante von topologischen Selbstabbildungen:

    Definition 5.11 (Lefschetz-Zahl). Sei K ein endlicher Komplex, und sei h : K K eine stetigeAbbildung. Dann heit

    (h) :=k0

    (1)k trace(h, Hk(K;Z)/T (Hk(K;Z)))

    die Lefschetz-Zahl von h.

    Die Lefschetz-Zahl ist eine Invariante der Homotopieklasse: homotope Abbildungen induzieren diesel-ben Homomorphismen in Homologie, und haben deshalb dieselbe Lefschetz-Zahl.Intuition: die Lefschetz-Zahl ist ein Ma fur die Euler-Charakteristik der Fixpunktmenge.

    Satz 5.12 (Lefschetz-Fixpunktsatz [Mun84, Thm. 22.3]). Sei K ein endlicher Komplex, und sei h :K K eine stetige Abbildung. Wenn (h) 6= 0 ist, dann hat h einen Fixpunkt.

    Beweis-Skizze. Sei h fixpunktfrei. Die Lefschetz-Zahl ist unabhangig von der gewahlten Triangulierung,also auch invariant unter Unterteilungen von K. Daher durfen wir zunachst K so fein unterteilen, dassfur alle Ecken v die Bedingung h(StarK v) StarK v = gilt (Kompaktheit!).Im zweiten Schritt wird K weiter unterteilt, so dass h eine simpliziale Approximation f : K K hat.Diese ist homotop zu h, hat also dieselbe Lefschetzzahl (f) = (h) hat.Nun sei : C(K) C(K ) der Unterteilungsoperator. Dann ist f# : C(K ) C(K ) eineKettenabbildung, die h induziert. Und fur diese Kettenabbildung sind alle Spuren 0: Jeder Simplex K ergibt unter eine Summe von Simplexen von K , deren Bilder unter f# wegen der Feinheit derUnterteilung und wegen der Sternbedingung in der simplizialen Approximation alle disjunkt zu sind.Die Spurformel liefert damit (h) = 0.

    Lemma 5.13. trace(f, H0(K;Z)) ist die Anzahl der Komponenten von K, die auf sich selbst abge-bildet werden. Wenn K zusammenhangend ist, dann ist f = id : H0(K;Z) H0(K;Z) und damittrace(f, H0(K;Z)) = 1.

    Beispiele.(idK) = (K).(const : K K) = 1.(f : Sn Sn) = 1 + (1)n deg(f).

    Beispiel. Sei n > 0. Fur h : Sn Sn ist (h) = 1+(1)n deg h. Damit folgt aus dem LefschetzschenFixpunktsatz, dass deg a = (1)n+1, denn die Antipodenabbildung a ist fixpunktfrei.

    31

  • Ein topologischer Raum heit azyklisch, wenn alle seine reduzierten Homologiegruppen verschwinden,das heit, wenn H0(X;Z) = Z und Hk(X;Z) = {0} fur alle k 6= 0 ist. Jeder kontrahierbare Raum istazyklisch, aber es gibt auch azyklische Raume, die nicht kontrahierbar sind.Korollar 5.14. Wenn K ein endlicher, azyklischer Komplex ist, dann hat jede stetige Abbildung h :K K einen Fixpunkt.

    Dieses Korollar ist eine starke Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes!

    5.5 Der Satz von BorsukUlam

    Ein ausgesprochen anwendungsreiches Resultat (siehe [Mat03]!!) bekommen wir mit dem Lefschetz-Fixpunktsatz

    fast umsonst.

    Satz 5.15 (Borsukscher Antipodensatz; BorsukUlam-Satz; siehe [Mat03]). Wenn eine stetige Abbil-dung f : Sn Sm antipodentreu ist (also f(x) = f(x) fur alle x Sn), dann gilt n m.

    Beweis. Sei f : Sm Sn stetig und antipodentreu mit m > n. Die ubliche Einbettung g : Sn Smist ebenfalls antipodentreu. Damit erhalten wir ein antipodentreues f g : Sn Sn.Weiter konnen wir Sn fein genug und zentralsymmetrisch so unterteilen, dass f g eine simplizialeApproximation hat. Wegen Zentralsymmetrie treten die von (f g) laut Spurformel gezahlten Simplexepaarweise auf, und daraus folgt (f g) 0 mod 2: die Lefschetz-Zahl ist gerade.Es ist aber auch g : Sn Sm null-homotop fur n < m, denn die m-Sphare ist ja (m 1)-zusam-menhangend. Damit ist aber auch f g nullhomotop, d. h. homotop zu einer konstanten Abbildung, hatalso Lefschetz-Zahl 1: Widerspruch!

    Satz 5.16 ( Aquivalente Versionen zum BorsukUlam-Satz).(BU1) (Borsuks Satz I) Eine antipodentreue Abbildung f : Sn Sn kann nicht nullhomotop sein.(BU2) (Borsuks Satz II) Jede Abbildung f : Sn Rn identifiziert Antipoden, d. h. es gibt x Sn

    mit f(x) = f(x).(BU3) Jede symmetrische Abbildung f : Sn Rn, f(x) = f(x), hat eine Nullstelle.(BU4) (Borsuks Satz III / LyusternikSchnirelman (1930) / Greene (2002)) In jeder Uberdeckung

    F0, . . . , Fn von Sn

    , in der jede Menge Fi entweder offen oder abgeschlossen ist, enthalt eine derMengen zwei antipodale Punkte.

    Beweis. Die Version (BU1) haben wir schonmitbewiesen: Wir haben ja gezeigt, dass f antipodentreu

    impliziert dass (f) gerade ist, wahrend jedes nullhomotope f die Lefschetz-Zahl (f) = 1 hat.Die nachsten Resultate leitet man leicht und direkt aus der Ausgangsversion (BU) von Satz 5.15 ab, etwain der Reihenfolge (BU)=(BU3)=(BU2).Die Implikation (BU3)=(BU4) folgt zunachst fur den Fall, dass alle Fi abgeschlossen sind, durchBetrachtung von f : Sn Rn, x 7 (dist(x, F1), . . . ,dist(x, Fn)). Nach (BU3) gibt es ein x Snmit f(x) = f(x) = y. Ist ein yi = 0, so gilt x,x Fi. Sind alle yi 6= 0, so gilt x,x F0. DerFall einer offenen Uberdeckung folgt nun, indem man zeigt, sich jede offene Uberdeckung durch eineabgeschlossene verkleinern lasst: fur jeden Punkt x Sn betrachte einen kleinen offenen Ball, dessenAbschluss in einem der Fi enthalten ist. Dann verwende Kompaktheit (endliche Teiluberdeckung). DerFall einer allgemeinen Uberdeckung folgt nun, weil man jede abgeschlossene antipodenfreie Menge zueiner offenen, antipodenfreien vergrossern kann: unter Verwendung von Kompaktheit existiert

    := 12 min{max{dist(x, Fi), dist(x, Fi)} : x Sn}} > 0

    und man kann Fi durch die offene Menge aller Punkte ersetzen, die von Fi Abstand < haben.

    32

  • Topologie WS05/06 TU Berlin Gunter M. Ziegler

    6 Mannigfaltigkeiten

    Das Studium und (soweit moglich . . . ) die Klassifikation der Mannigfaltigkeiten (vgl. Definition 2.15)sind ein Hauptthema und eine (unlosbare, vgl. Bemerkung 3.21) Hauptaufgabe der Topologie.

    6.1 Klassifikation der 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten

    Die 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten heien auch Flachen. Im Folgenden betrachten wir nur zusam-menhangende Flachen, ohne Rand, und kompakt. Sie sind triangulierbar (Satz 2.16).Beispiele sind: die Sphare S2, der Torus T 2 = S1 S1, die reelle projektive Ebene RP2, die KleinscheFlasche K2, die Sphare mit g Henkeln Mg (wobei M0 = S2, M1 = T 2 ist), die projektive Ebene mit gHenkeln, etc.Zusatzlich um

    Anfugen eines Henkels betrachtet man auch das

    Aufnahen einer Kreuzhaube: man

    schneidet aus der Flache eine kleine Kreisscheibe heraus, und identifiziert die gegenuberliegenden Rand-punkte, die daraus entstehen. Aufnahen einer Kreuzhaube auf S2 erzeugt RP2.Ubungsaufgabe. Das

    Anfugen eines Henkels reduziert die Eulercharakteristik um 2. Es erhalt Orien-

    tierbarkeit.Das

    Aufnahen einer Kreuzhaube reduziert die Eulercharakteristik um 1. Die dabei entstehende Flache

    ist nicht orientierbar.

    Definition 6.1 (Orientierbare und nichtorientierbare Flachen vom Geschlecht g).Die Flache Mg, die man durch Anfugen von g 0 Henkeln an die 2-Sphare erhalt, heit orientierbareFlache vom Geschlecht g.Die Flache M g, die man durch Aufnahen von g 1 Kreuzhauben auf die 2-Sphare erhalt, heit nicht-orientierbare Flache vom Geschlecht g.

    Orientierbarkeit einer zusammenhangenden Flache kann man an H2(M ;Z) = Z erkennen. Wegen(Mg) = 2 2g bzw. (M g) = 2 g lassen sich die Flachen aus Definition 6.1 an ihrer Homolo-gie unterscheiden.

    Satz 6.2 (Klassifikation der 2-Mannigfaltigkeiten; vgl. Ossa [Oss92, Abschnitt 3.8]).Jede zusammenhangende, geschlossene 2-Mannigfaltigkeit ist zu einer eindeutigen Flache vom Typ Mgoder vom Typ M g homoomorph.

    Zusammenhangende Flachen, die bezuglich Orientierbarkeit und Euler-Charakteristik ubereinstimmen,sind also homoomorph.Insbesondere impliziert dies Relationen von der Form

    drei Kreuzhauben = eine Kreuzhaube und ein

    Henkel.

    Beweisskizze. Verwende, dass jede 2-Mannigfaltigkeit triangulierbar ist.Zusammenfassung von Dreiecken ergibt eine Darstellung als eine einzige 2-Zelle, mit Identifikation derKanten am Rand. Damit ist jede 2-Mannigfaltigkeit gegeben durch ein Wort der Form

    a1a2a3a1a12 a4a5a3a

    14 a5 . . .

    der Lange 2m, in der jeder Buchstabe genau zweimal vorkommt, evtl. invertiert.

    33

  • Umgekehrt stellt jedes solche Wort eine Flache dar. Beispiele: aa1 entspricht einer S2, aa ergibt RP2.Die Flache ist orientierbar genau dann, wenn jeder Buchstabe genau einmal invertiert (und einmal nichtinvertiert) vorkommt.Nun fuhrt man eine

    Normalisierungsprozedur durch: in einer endlichen Folge von Schritten, die das

    Flachenwort vereinfachen, den Homoomorphietyp der Flache aber nicht verandern, wird jedes Wortentweder in die Form a1a11 (die S2) gebracht, oder in

    a1a2a11 a

    12 a3a4a

    13 a

    14 . . . a2g1a2ga

    12g1a

    12g

    mit g 1 transformiert, was Mg darstellt, oder in die Form

    a1a1 a2a2 . . . agag

    mit g 1 gebracht, die M g ergibt.Die Einzelschritte der Normalisierungsprozedur sind, kurz gefasst:1. Triviale Modifikationen: zyklische Vertauschung,

    Umorientierung einer Kante (Ersetzung von ai durch a1i ),Zusammenfassen aufeinanderfolgenden Kanten (Ersetzen von zweimal auftretendem aiaj durch ai),

    2. Beiziehen einer Kante (Auslassen von aia1i ),3. Ecken-Reduktion (ergibt Schema einer Flache mit nur einer Ecke),4. Kreuzhauben-Normierung,5. Henkel-Normierung (ergibt Schema fur Mg),6. Henkel-Elimination (ergibt Schema fur M g)Fur die Details verweise ich auf Ossa [Oss92, Abschnitt 3.8].Bemerkung 6.3. Dieser auf Brahana [Bra21] zuruckgehende Beweis ist konstruktiv: er kann zur algo-rithmischen Berechnung des Typs einer Flache (und z. B. von Homologie-Erzeugern etc.) verwendetwerden; vgl. Francis & Weeks [FW99] sowie aktuell Lazarus et al. [LPVV01].Korollar 6.4. Zusammenhangende geschlossene 2-Mannigfaltigkeiten mit derselben Homologie (mit Z-Koeffizienten) sind homoomorph.

    Beweis. Es ist H(Mg;Z) = (Z,Z2g,Z), sowie H(M g;Z) = (Z,Zg1 Z2, 0).

    Korollar 6.5. Die Fundamentalgruppe der orientierbaren Flache Mg vom Geschlecht g (g 0) hateine Prasentation der Form

    (Mg) =a1, a2, . . . , a2g : a1a2a

    11 a

    12 a3a4a

    13 a

    14 a2g1a2ga

    12g1a

    12g = 1

    .

    Die Fundamentalgruppe der nichtorientierbaren Flache M g (g 1) vom Geschlecht g ist(M g)

    =a1, a2, . . . , ag : a1a1 a2a2 agag = 1

    Proposition 6.6 (Abelianisierung der Fundamentalgruppe [Hat02, Sect. 2.A]). Sei X triangulierbar undzusammenhangend. Dann ist die erste Homologiegruppe H1(X;Z) von X kanonisch isomorph zur Abe-lianisierung (X)ab := 1(X)/[1(X), 1(X)] der Fundamentalgruppe 1(X) = 1(X;x0).

    Beweis. Jede Schleife reprasentiert eine Homologieklasse, und homotope Schleifen bestimmen die-selbe Homologieklasse. (Beweis entweder durch simpliziale Approximation, oder durch Prasentationder Fundamentalgruppe durch Kanten und Dreiecke bzgl. Spannbaum). Verknupfte Schleifen entspre-chen offenbar einer Summe von Homologieklassen. Also gibt es einen kanonischen Homomorphismusp : 1(X) H1(X;Z).

    34

  • Die Kommutatoruntergruppe [1(X), 1(X)] liegt im Kern des Homomorphismus, daH1(X;Z) abelschist. Also gibt es einen kanonischen Homomorphismus p : 1(X)/[1(X), 1(X)] H1(X;Z).Der Homomorphismus p ist surjektiv, weil man zu jedem 1-Zykel eine Schleife konstruieren kann, dieihn induziert (verwende z. B. wieder Spannbaum).Der Homomorphismus ist injektiv: Siehe Hatcher [Hat02, pp. 167,168], insbesondere die geometrischeErklarung am Ende des Beweises.

    Also kann man die zusammenhangenden Flachen auch an ihren Fundamentalgruppen erkennen/ausein-anderhalten, denn H1(Mg;Z) = Z2g und H1(M g;Z) = Zg1 Z2.Der Zusammenhang zwischen Fundamentalgruppe und Homologie hat auch ein hoherdimensionalesAnalogon: nur wird da alles einfacher, weil die hoheren Homotopiegruppen abelsch sind: In der erstenDimension, in der Homologie- bzw. Homotopiegruppe nicht-trivial sind, sind sie insbesondere isomorph wenn der Raum einfach-zusammenhangend ist. Dies ist der Satz von Hurewicz [Spa66, p. 398]; erhat weitere Erweiterungen, etwa dass jede Abbildung zwischen einfach-zusammenhangen Raumen, diein jeder Dimension Homologie-Isomorphismen erzeugt, schon eine Homotopieaquivalenz ist (Satz vonWhitehead [Hat02, Thm. 4.5]).

    6.2 Uberlagerungen

    Definition 6.7 ( Uberlagerungen). Eine surjektive Abbildung p : M M heit Uberlagerung, wenn esfur jedes