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„Topologie“ -

Wiederholung der letzten Stunde

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Punktmengentopologie

• Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge aller Teilmengen von S (die Potenzmenge P(S) )

• Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt:T1: Jeder Punkt x S liegt in einer Nachbarschaft von S.

T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes x S enthält eine Nachbarschaft von x.

Nachbarschaft Punkt

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Beispiele

• Die offene Kreisscheibe in der euklidischen Ebene• Menge aller Punkte, die durch

einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen

• punktierte Linie: offen

• durchgezogene Linie: geschlossen

• Beachte: T2 ist erfüllt• Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften

eines x S enthält eine Nachbarschaft von x.

OffeneKreisscheibe

Punkt

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Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele

• Die diskrete Topologie von S:• S und die Menge aller Teilmengen von S• die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}

(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“)

• Die indiskrete Topologie• S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S

• die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R)

• die offenen Kugeln in S = R3

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Nähe, Offen + Geschlossen

Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, X S, x S

x ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält.

X ist offen, wenn jeder Punkt y X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist.

X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält.

C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1.

nahe

Nicht nahe

offen

geschlossen

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Der Rand oder die Grenze

Der Abschluß einer Teilmenge X S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten.Notation: X¯

Komplement: X‘

Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X°

Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind.

Notation: X

Es gilt: X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.)

Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten)

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Beispiele

Die Menge SDas Innere von S

Abschluß von S Rand von S

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Topologische Eigenschaften

Eine topologische Transfor-mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar-schaften auf Nachbarschaften ab.

Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft.

Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen.

Euklidische Topologie

äquivalent

nicht äquivalent

Zeugen

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nicht zusammenängend

zusammenhängend

Zusammenhang (I)

Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt.

wichtiger Punkt für den schwierigen Fall „A oberer Kreis, B unterer Kreis“

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Zusammenhang (II)

• Ein Pfad ist homeomorphes Bild (entsteht durch elastische Verformung aus) einer geraden Kante.

• Eine Menge X eines topologischen Raumes heißt (pfad-) zusammenhängend, wenn jedes Paar von Punkten durch einen Pfad verbunden werden kann, der ganz in X liegt.

• (Für Flächen mit „vernünfti-gen“ Grenzen äquivalent zu Definition auf voriger Folie)

elastischeVerformung

Pfadzusammenhang

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Regularisierung

• X sei eine Punktmenge der Euklidischen Ebene mit der Standardtopologie (offene Kreisscheiben).Die Regularisierung von X ist der Abschluß des Inneren von Xreg(X) = X°¯

• Ergebnis ist ein rein flächenhaftes Objekt (ohne Beimengung von Punkten und Linien, die nicht zur Flächenbildung beitragen)

Inneres Abschluß

X

reg(X)

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Tesselation

• Eine Tesselation ist eine vollständige und überlappungsfreie Zerlegung der euklidischen Ebene in flächenhafte Objekte (Maschen).

• vollständig: jeder Punkt ist Element mindestens einer Masche

• überlappungsfrei: kein Punkt liegt im Inneren zweier Maschen

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Landkarten

• Landkarten sind Tesselationen mit folgenden Eigenschaften:a) jede Masche ist der geschlossenen

Kreisscheibe topologisch äquivalent

b) die Aggregation aller inneren Maschen ist der geschlossenen Kreisscheibe topologisch äquivalent

• Beachte: zu jeder Landkarte gehört eine unbeschränkte Masche „Außen“ - die einzige Masche, die nicht der geschlossenen Kreis-scheibe äquivalent ist

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Einschränkungen

• Um die Mathematik zu vereinfachen, sind in Landkarten folgende Fälle zunächst nicht vorgesehen:

• Inseln (z.B. Berlin in Brandenburg)

• Auseinander liegende „Kontinente“: die Aggregation Grün ist nicht zusammenhängend

• Mehrere Kontinente, die sich in genau einem Punkt berühren

• Isthmen: linienhafte Verbindungen zwischen auseinander liegenden Maschen Kontinenten, z.B. Hindenburgdamm/Sylt

• Hinweis: Blau ist Außen, Grün ist Innen

• Übung: Zeigen Sie die Verstöße gegen a) und b) unter Verwendung der Definition der topologischen Äquivalenz.

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Topologische Beziehungen in Landkarten

• Adjazenz von Knoten und Kanten

• Adjazenz von Kanten und Maschen

• Adjazenz von Kanten und Kanten

• Adjazenz von Maschen und Maschen

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Geometreisch-Topologische Datenstrukturen für Landkarten

• Problem: Die Topologie kann im Prinzip aus der Geometrie hergeleitet werden

• Option: „Wieviel“ Topologie wird explizit repräsentiert?

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Repräsentationen von Landkarten

1. Spaghetti-Struktur

- nur Geometrie

- keine Topologie

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Flächen:

A: 2.0 0.0 5.0 1.0 7.0 3.0 5.0 4.0 1.0 1.0

B: 5.0 4.0 7.0 3.0 7.0 6.0 5.0 6.0

C: 5.0 4.05.0 6.0 5.0 7.00.0 3.0 1.0 1.0

Spaghetti

(5.0 4.0)

(5.0 1.0)

(2.0 0.0)

(7.0 3.0)

(1.0 1.0)

(7.0 6.0)

(5.0 6.0)

(5.0 7.0)

(0.0 3.0)

A

BC

x y

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UML-Diagramm für die Spaghetti-Struktur

M asche

Koordinate

2n

1..1

{geordnet}

Paare von Koordinaten

geordnete Folgevon Koordinaten

[0,0,1,0,1,1,0,1] [0,0,1,1,0,1,1,0]

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P2

P1

P3bP4a

P5a

P6

P7b

P8

P9

A

BC

Flächen:

A: P1 P2 P3aP4a P5a

B: P4b P3b P6 P7b

C: P4c P7b P8 P9 P5c

P5c

P4b

P7c

P3a

P4cPunkte:

P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3a 7.0 3.0P3b 7.0 3.0P4a 5.0 4.0P4b 5.0 4.0P4c 5.0 4.0...........

Spaghetti (Komposition von Punktobjekten)

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UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten

Masche

Punkt

n

1..1

{geordnet}

Komposition

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2.0, 5.0

3.0, 6.0

7.0, 2.0

Vor- und Nachteile

• Vorteile:• bequem für

Flächenberechnung

• gut für Graphikprogramme• Zeichnen von Polygonen

• Nachteile:• Topologie nur implizit

• fehleranfällig

• wenig änderungsfreundlich

• Beispiel: Korrektur von Punktkoordinaten

P1

P1P2

P3P5

P4

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Typischer Fehlerfall für Spaghetti: Änderung der Koordinaten eines

gemeinsamen Punktes

vorher

nachher

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P2

P1

P3

P6

P7

P8

P9

A

BC

Flächen:

A: P1 P2 P3 P4 P5

B: P4 P3 P6 P7

C: P4 P7 P8 P9 P5

P5

P4 Punkte:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0P3 7.0 3.0P4 5.0 4.0P5 1.0 1.0P6 7.0 6.0.............................

Punktobjekte ohne Redundanz

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UML-Diagramm für Spaghetti-Struktur mit Punkt-Objekten ohne Redundanz

Masche

Punkt

n

1..n

{geordnet}

AggregationBeachte: Redundanzfreiheitkann durch dies UML-Diagrammnicht erzwungen werden.

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P1

E6

E11

P2

P3

P6P7

P8

P9

A

BC

P5

P4

E1

E2

E3E4

E5

E7

E8

E9

E10

Außen

Knoten:P1 2.0 0.0P2 5.0 1.0..............................................

Kante

Anfangs-knoten

End-knoten

linkeMasche

rechteMasche

E1 P1 P2 A Außen

E2 P2 P3 A Außen

E3 P3 P4 A B

E4 P4 P5 A C

E5 P5 P1 A Außen

E6 P3 P6 B Außen

..............................................

Kanten:

Knoten-Maschen-Struktur

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UML-Diagramm für die Knoten- und Kantenstruktur

Masche

Kante

Knoten

Punkt

2

3..*

begrenzt

2

2..*

begrenzt

1

1Geometrie

neu

Topologie explizit

Redundanzfreiheit wirderzwungen

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Vor- und Nachteile der Knoten- und Kanten-Struktur

• Vorteile:• Geometrie ist

redundanzfrei

• Topologie ist explizit

• bei Änderungen können Fehler leichter vermieden werden

• Nachteil• der Kantenumring ist nicht

direkt gegeben, sondern muß berechnet werden

• Lösung: Kanten mit Flügeln