Transfinite Zahlen ||

TRANSFINITE ZAHLEN

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HERAUSGEGEBEN VON

L.V.AHLFORS· R.BAER· R.COURANT· J.L.DOOB. S.EILENBERG H. RADEMACHER· F. K. SCHMIDT . B. SEGRE . E. SPERNER

==============NEUEFOLGE.HEFT1==============

TRANSFINITE ZAHLEN

VON

HEINZ BACHMANN ZÜRICH

SPRINGER-VERLAG BERLIN . GÖTTINGEN . HEIDELBERG

1955

ISBN 978-3-642-52757-9 ISBN 978-3-642-52756-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-52756-2

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BERLIN • GÖTTINGEN • HEIDELBERG

Vorwort.

Der vorliegende Bericht soll dem Leser die Ergebnisse und Probleme der Theorie der transfiniten Zahlen (Ordnungszahlen und Mächtigkeiten) nach ihrem heutigen Stande vermitteln, wobei die arithmetischen Fragen ziemlich erschöpfend erörtert werden, während auf axiomatische Fragen weniger stark eingegangen wird. Die Grundlage bildet dabei das ZERMELO-FRAENKELsche Axiomensystem der Mengenlehre; die Anwendung des Auswahlaxioms wird stets hervorgehoben. Um die Beschränkung auf einen bestimmten Formalismus zu vermeiden und zwecks besserer Lesbarkeit ist alles in der Sprache der naiven Mengenlehre formuliert.

Nach einer allgemeinen Einleitung findet der Leser eine Darstellung der Theorie der Ordnungszahlen, wobei das Auswahlaxiom nur in Ausnahmefällen verwendet wird. Die neuen Ergebnisse über Normalfunktionen (§§7, 16) und über regressive Funktionen (§ 9) sowie die einfache Darstellung der Theorie der Hauptzahlen (§§ 15,16) dürften dabei besonders von Interesse sein. Sodann folgt die Theorie der Mächtigkeiten; zuerst wird gezeigt, welche ersten Schritte in dieser Theorie ohne Auswahlaxiom ausgeführt werden können; dann wird die Theorie unter Verwendung des Auswahlaxioms (und ausführlicher) weiter entwickelt. Den Äquivalenzen zum Auswahlaxiom (§ 31) und zur Alephhypothese (§ 35) sowie den unerreichbaren Zahlen (§§ 40-42) wird besondere Beachtung geschenkt. Auf das Problem der formalen Darstellung von Ordnungszahlen, auf Anwendungen der transfiniten Zahlen in der Theorie der Punktmengen und andere Anwendungen konnte wegen des beschränkten zur Verfügung stehenden Raumes nicht stark eingegangen werden. Am Scllluß findet sich ein Literaturverzeichnis, in dem die modernen Arbeiten fast vollständig, die älteren nur teilweise aufgeführt sind, sowie ein Sachverzeichnis.

Für wertvolle Ratschläge möchte ich den Herren Prof. Dr. P. FINSLER, P.-D. Dr. W. NEuMER, Prof. Dr. P. BERNAYs, Dr. G. MÜLLER und besonders Prof. Dr. E. SPECKER meinen herzlichsten Dank aussprechen.

Januar 1955. Heinz ßachmann. Eidg. Sternwarte, Zürich

Inhaltsverzei chnis.

I. Einleitung: Allgemeine mengentheoretische Vorbemerkungen. . . . . . . I

§ I. Mengenlehre und Grundlagenproblem .................... 1

§ 2. Die üblichen Axiome der Mengenlehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 § 3. Äquivalenz und Ähnlichkeit; Wohlordnung ................ 11

11. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

§ 4. Die Ordnungszahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .......... 16 § 5. Stetige Funktionen von Ordnungszahlen. . . . . . . . . . . . . . . . .. 22

§ 6. Die ordinalen Anfangszahlen ............................ 27 § 7. Normalfunktionen ..................................... 32

§ 8. Iterationen und kritische Zahlen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35

§ 9. Regressive Funktionen ................................. 39

111. Arithmetik der Ordnungszahlen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

§ 10. Mengentheoretische Definition der elementaren arithmeti-schen Operationen und ihre Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45

§ I!. Arithmetische Operationen und Limesoperation .. . . . . .. .... 49 § 12. Die Polynomdarstellung der Ordnungszahlen .............. 52 § 13. Funktionale Theorie der arithmetischen Operationen ....... 57 § 14. Höhere arithmetische Operationen ....................... 62

§ 15. Die Theorie der Hauptzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66 § 16. Hauptzahlen und kritische Zahlen ....................... 69 § 17. Die Umkehrungen der arithmetischen Operationen. . . . . . . .. 73 § 18. Größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame Vielfache 81 § 19. Unzerlegbare Zahlen und Primzahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83 § 20. Zerlegung einer Ordnungszahl in unzerlegbare Zahlen ...... 87 § 21. Ji'ermutation einer Folge von Ordnungszahlen ............. 92

§ 22. Vertauschbare Ordnungszahlen .......................... 96 § 23. Natürliche Operationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102

IV. Arithmetik der Mächtigkeiten und Kardinalzahlen ohne Auswahlaxiom 105

§ 24. Die Mächtigkeiten beliebiger Mengen und ihre Arithmetik ohne Auswahlaxiom ........................................ 105

§ 25. Vergleichung von Mächtigkeiten ......................... 108 § 26. Die Potenzmenge einer beliebigen Menge .................. II2

§ 27. Die Kardinalzahlen und die kardinalen Anfangszahlen ..... II5 § 28. Arithmetik der Kardinalzahlen ohne Auswahlaxiom ........ II9 § 29. Ungleichungen für unendliche Summen und Produkte von

Kardinalzahlen ........................................ 123

§ 30. Beziehungen zwischen Kardinalzahlen und Mächtigkeiten ... 126

Inhaltsverzeichnis. VII

V. Die Konsequenzen des Auswahlaxioms und der Alephhypothese in der Kardinalzahlenarithmetik ...................... . . . . . . . . . . . . .. 132

§ 31. Äquivalenzen zum Auswahlaxiom ....•................... 132 § 32. Weitere Konsequenzen des Auswahlaxioms in der Arithmetik

der Kardinalzahlen .................................... 137 § 33. Die Beths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143 § 34. Summen von Beths und höhere arithmetische Operationen .. 149 § 35. Die Alephhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ISS § 36. Folgerungen aus der Alephhypothese ..................... 162

VI. Probleme des Kontinuums und der zweiten Zahlklasse ............. 164

§ 37. Das Kontinuum und die Probleme seiner \Vohlordnung und seiner Mächtigkeit ..................................... 164

§ 38. Die zweite Zahlklasse und das Axiom der Hauptfolgen ...... 169 § 39. Alternativen zum Auswahlaxiom ........................ 174

VII. Unerreichbare Zahlen .. ......................................... 176

§ 40. Unerreichbare Ordnungszahlen .......................... 176 § 41. Unerreichbare Kardinalzahlen ........................... 180 § 42. Über die Existenz unerreichbarer Zahlen .................. 184

Literaturverzeichnis ............................................ 190 Sachverzeichnis .................................................... 201

I. Einleitung: Allgemeine mengentheoretische Vorbemerkungen.

§ 1. Mengenlehre und Grundlagenproblem1 •

1. fiber die CANToRsche Mengenlehre und die Antinomien. Die Entwicklung der abstrakten Mengenlehre, speziell also auch der Theorie der transfiniten Zahlen, hat ihren Ausgangspunkt in der Entdeckung der verschiedenen unendlichen Mächtigkeiten [3]2 und der Reihe der transfiniten Ordnungszahlen [4] durch CANTOR in den siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts. Die erste dieser grundlegenden Entdeckungen wurde beim Vergleich der Mächtigkeiten der Menge der reellen algebraischen Zahlen und der Menge aller reellen Zahlen3 , die letztere bei der Bildung der transfiniten Folge der Ableitungen einer Punktmenge4 gemacht. Nachdem CANTOR das Grundgefüge der Theorie der transfiniten Zahlen aufgestellt hatte, erfuhr sie im 20. Jahrhundert eine starke weitere Förderung (hauptsächlich durch ZERMELO, HESSENBERG, HAUSDORFF, JACOBSTHAL, SIERPINSKI und besonders TARSKI).

Der CANToRsche sog. "naive Standpunkt" der klassischen Mengenlehre ist dadurch charakterisiert, daß dem Mathematischen eine absolute, vom Menschen und von einer Sprache unabhängige Existenz zugeordnet wird, und daß nach der Evidenz der gewöhnlichen Logik geschlossen wird, deren Begriffe (wie z. B. "alle" und "es gibt") im absoluten Sinne aufgefaßt werden. Dabei kann also die Existenz eines mathematischen Objekts nach dem Satz vom Widerspruch und vom ausgeschlossenen Dritten ("tertium non datur") durch einen indirekten Beweis bewiesen werden, ohne daß man das Objekt tatsächlich bilden muß. Ferner wird eine Menge definiert als Zusammenfassung einer Vielheit (Gesamtheit, Klasse) von Dingen (den Elementen der Menge) zu einer Einheit, wobei zunächst angenommen wird, daß dies (in abstracto) immer möglich

1 In diesem Paragraphen werden einige Begriffe erwähnt, deren genaue Definitionen erst an späteren Stellen dieses Berichts gegeben werden.

S Die Ziffern in eckigen Klammern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Ende.

S Dabei bewies CANTOR die Existenz reeller transzendenter Zahlen (die effektive Konstruktion solcher Zahlen gelang schon LIOUVILLE 1844).

, Unter der Ableitung einer Punktmenge versteht man die Menge ihrer Häufungspunkte. Der Begriff der Ableitung wurde von CANTOR schon früher eingeführt [2], wobei die Folge der Ableitungen aber noch nicht ins Transfinite hinein fortgesetzt wurde.

Ergebn. d. Mathem. N. F. H. 1, Bachmann.

2 1. Einleitung: Allgemeine mengentheoretische Vorbemerkungen.

sei; auch die Existenz sog. "aktual unendlicher" Mengen (d.h. unendlicher Mengen, die man sich als etwas Ganzes, Fertiges vorstellt) wird deshalb angenommen.

Die unbeschränkte Mengenbildung führte aber bald zu Widersprüchen, den sog. Antinomien der Mengenlehre. Es gibt nämlich Eigenschaften (Prädikate) E der Art, daß man zu jeder beliebigen Menge M von Dingen mit der Eigenschaft E weitere Dinge mit der Eigenschaft E bilden kann, die in M noch nicht als Elemente enthalten sind, so daß man also die Klasse aller Dinge mit der Eigenschaft E nicht als eine Menge betrachten kann (genau so, wie z. B. für unendliche Klassen von Dingen gilt, daß jede beliebige endliche Menge von solchen Dingen nicht alle Dinge der Klasse umfaßt). Man kommt somit zu Klassen, die keine Mengen sind, z.B. die Klasse aller Ordnungszahlen (BuRALI-FoRTIsche Antinomie 1897), die Klasse aller Mengenl oder die Klasse aller Mächtigkeiten (CANToRsche Antinomie 1899) und die Klasse aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten (RussELLsche Antinomie 1902).

2. tJber das mathematische Grundlagenproblem und die verschiedenen Standpunkte in der Mathematik. Die Entdeckung dieser Antinomien löste in der Mathematik eine Grundlagenkrise aus, so daß die klassische CANToRsche Theorie und somit die auf ihr fußende ganze übrige Mathematik zu wanken schien. Zum besseren Verständnis der Probleme der Theorie der transfiniten Zahlen wollen wir etwas näher auf die Natur des mathematischen Grundlagenproblems eingehen.

Schon lange vor der Entdeckung der Mengenlehre bestand in der Mathematik ein Grundlagenproblem, da sich der Standpunkt, der seit der Zeit der griechischen Philosophie in der Geometrie und Analysis eingenommen wurde, und von dem aus die mathematische Evidenz in der Evidenz der sinnlichen (zwar idealisierten) Anschauung bestand, als unhaltbar erwies. Dieses alte Grundlagenproblem hat seine Lösung gefunden mit der Präzisierung der Analysis (CAUCHY, BOLZANO, DEDEKIND, CANTOR, WEIERSTRASS) und der Axiomatisierung der Geometrie (EuKLID, BOLYAI, LOBATSCHEWSKI, HILBERT); dabei wird die geometrisch-anschauliche Evidenz durch die logisch-kombinatorische Evidenz ersetzt, d.h. die Mathematik wird auf die Logik und die Mengenlehre zurückgeführt. Dieser neue Inhalt wird dann als das mathematisch Evidente betrachtet. Dieser zweiten Stufe entspricht der naive Standpunkt der klassischen CANToRschen Theorie.

Die moderne Grundlagenkrise, die um die Jahrhundertwende einsetzte und somit zeitlich parallel ging mit den allgemeinen Umwälzungen, die die meisten Gebiete des abendländischen Geisteslebens zu dieser Zeit erfuhren, ging tiefer als die alte. Sie zeigte nicht nur, daß eine neue

1 Wenigstens in manchen Systemen; diese Klasse ist z.B. im FINSLERschen System [7] eine Menge.

§ 1. Mengenlehre und Grundlagenproblem. 3

Grundlegung der Mathematik notwendig war, indem der CANToRsche Mengenbegriff (der auch in der Analysis bedenkenlos verwendet wurde) eingeschränkt oder präzisiert werden mußte (durch Zurückführung der Evidenz des naiven Standpunktes auf eine dritte Evidenzstufe), sondern führte in der Philosophie der Mathematik auch zu völlig neuen Auffassungen über die mathematische Wirklichkeit überhaupt, die noch umstritten sind. Wir streifen nun kurz die wichtigsten Ansätze zur Lösung des Grundlagenproblems :

1. Die logizistische Schule (ausgehend von RussELL und WHITEHEAD ab 1908) sucht die Mathematik auf eine formalisierte Logik (symbolische Logik oder Logistik: BooLE, PEIRCE, SCHRÖDER u.a.) zurückzuführen, wobei die Antinomien durch Verbot der sog. imprädikativen Definitionen vermieden werden (Stujentheorie). Das Verhältnis zwischen Mathematik und Logik ist jedoch verquickt, indem die Logik in ihrer Formulierung bereits typisch mathematische Ideen voraussetzt. Zudem müssen in der Stufentheorie einige nicht weiter begründete (und deshalb hypothetisch bleibende) Annahmen vorausgesetzt werden (z. B. das Reduzibilitätsaxiom).

2. Die schärfste Reaktion gegen die CANToRsche Theorie bilden die finiten Standpunkte (KRoNEcKER, HILBERT 1904), die eine weitgehende (im extremen Fall sogar eine vollständige) Arithmetisierung der Mathematik fordern, in dem Sinne, daß alle Gegenstände durch endliche Prozesse wirklich gebildet werden müssen; somit muß jeder Existenzbeweis die Angabe einer im strengen Sinne effektiven Konstruktion enthalten, und deshalb muß man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten fallen lassen, ferner auch die Existenz "aktual unendlicher" Mengen. Es gelingt zwar nicht, die Mathematik vollständig zu arithmetisieren, weil schon die gewöhnliche Zahlentheorie über das rein Konkrete hinausgeht. Deshalb wird bei weniger extremen finiten Standpunkten z. B. die Existenz der "potentiell unendlichen" (d.h. nie als Ganzes, sondern nur immer als Wachsendes gegebenen) Zahlenreihe angenommen und die vollständige Induktion verwendet.

3. Für den Intuitionismus (BROUWER ab 1907, WEYL 1918) gilt dasselbe wie für die finiten Standpunkte, wobei aber noch weitere Mittel zugelassen sind (die als "intuitiv" gegeben betrachtet werden). Die intuitionistische Mathematik ist viel komplizierter als die klassische [18]. GÖDEL hat 1932 gezeigt, daß im Gebiet der Zahlentheorie alle klassischen Überlegungen mittels einer neuen Interpretation in intuitionistische übersetzt werden können [15]; vom intuitionistischen Standpunkt aus ist dadurch die Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie bewiesen.

4. Die axiomatische Methode besteht darin, daß auch die (gewöhnliche) Logik und die Mengenlehre axiomatisiert werden, wobei die vorher mengentheoretisch-logisch evidenten Bildungen durch Axiome festgelegt werden (die zwar hypothetisch sind, solange sie nicht als widerspruchsfrei erwiesen sind). Für die Mengenlehre wurde ein Axiomensystem zuerst aufgestellt von ZERMELO [42J 1908; Verfeinerungen wurden später gegeben von FRAENKEL [9J, SKOLEM [33, 35], V. NEUMANN [26, 27], BERNAYS [1]. Da wir die axiomatische Methode diesem Bericht zugrunde legen, lassen wir weiter unten eine nähere Betrachtung darüber folgen.

5. Im Gegensatz zu den anderen Standpunkten vertritt FINSLER [7J 1926 den Standpunkt, daß in der Grundlegung der Mathematik nichts Hypothetisches enthalten sein soll, so daß also z. B_ schon die Existenz der unend-

1*

4 I. Einleitung: Allgemeine mengentheoretische Vorbemerkungen.

lichen Zahlenreihe bewiesen werden muß, und daß dies auf Grund einer absoluten Evidenz möglich sei, während die Antinomien nur auf Fehlschlüs·· sen beruhen.

3. Formalisierte axiomatische Mengenlehre. Bei der axiomatischen Methode tritt die Frage der Widerspruchsfreiheit der Axiomensysteme der Mengenlehre und Logik auf, die nun nicht mehr durch Modellbildung bewiesen werden kann. Dies führte zur Notwendigkeit, die Theorie selbst einer mathematischen Betrachtung zu unterwerfen: Metamathematik oder Beweistheorie, ausgehend von HILBERT 1922, weiter entwickelt von ACKERMANN, BERNAYS, V. NEUMANN, GÖDEL, CHURCH, TURING, KLEENE, ROSSER [18, 19, 20, 21]. Dazu muß die Theorie formalisiert und der Begriff des Beweises präzisiert werden (wobei also die Axiomensysteme als formale Systeme aufgestellt werden). Die metamathematische Betrachtung, die sich nur mit dem Formalismus befaßt, ohne sich um dessen Inhalt zu kümmern, soll dann in einem möglichst finiten oder intuitionistischen Rahmen verlaufen. Auf Grund eines Satzes von GÖDEL (1931) läuft dann die Widerspruchsfreiheit auf die Geltung eines zahlentheoretischen Satzes hinaus, von dem man aber zeigen kann, daß er innerhalb der formalen Theorie nicht beweisbar ist [14]. Die Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie läßt sich zwar beweisen, wenn man für die metamathematische Betrachtung aus der intuitionistischen Mathematik stärkere Mittel nimmt als die (zu engen) streng finiten. Auch bei der axiomatischen Methode bleibt somit ein hypothetisches Moment bestehen (dies ändert sich auch nicht, wenn man auch die Metatheorie einer mathematischen Betrachtung unterzieht usw.). Man kann überhaupt nicht apriori festsetzen, was als das mathematisch Evidente gelten soll, da sich dies erst im Laufe der Forschung herausstellt (ähnlich wie - auf einer andem Ebene - in der Physik).

Diese Methode bringt Erscheinungen mit sich, die zum Teil zunächst wiederum paradox anmuten, aber in der Natur der Dinge liegen. Neben den Sätzen, die aus den Axiomen (die unter sich als widerspruchsfrei angenommen werden) ableitbar sind, und den Sätzen, deren Negation aus den Axiomen ableitbar sind, gibt es bezüglich des Axiomensystems unentscheidbare (oder von den Axiomen unabhängige) Sätze, d.h. solche, die man mit den Mitteln der Theorie weder beweisen noch widerlegen kann (FINSLER 1926, GÖDEL 1931). Die Sätze, deren Negation nicht aus den Axiomen ableitbar sind, nennt man widerspruchsfrei relativ zum Axiomensystem.

An Stelle der "Absolutheit" der CANToRschen Begriffe tritt eine Relativierung der Mengenlehre, indem die logischen Begriffe, sowie die mengentheoretischen Begriffe, die sich ja auf die Existenz bestimmter Mengen gründen (z. B. Abbildung, Funktion, Äquivalenz, Ähnlichkeit, Wohlordnung, Mächtigkeit, endliche und unendliche Menge, abzählbare Menge etc:.) relativ zum zugrunde gelegten System definiert sind. Diese

§ 2. Die üblichen Axiome der Mengenlehre. 5

Begriffe sind damit so allgemein (und damit nicht als effektiv konstruierbar gemeint) und anderseits aber auch so eingeschränkt, wie der Mengenbegriff überhaupt. Bei diesem Relativismus bleiben aber die mengentheoretischen Sätze invariant. Die Relativität der Begriffe macht es verständlich, daß sich für einen Formalismus (sehr allgemeiner Art), trotzdem in ihm die Theorie der höheren Mächtigkeiten darstellbar ist, ein Modell in einem "im absoluten Sinne" abzählbaren Bereich bilden läßt (Paradoxon von LÖWENHEIM - SKOLEM 1922).

Sodann zeigen die sog. semantischen Paradoxien (Paradoxon des EPIMENIDES 6. Jh. v. Chr., RICHARDsche Antinomie 1905), daß man gewisse, von einem externen Standpunkt aus klare Begriffe im Rahmen eines Formalismus nicht definieren kann, ohne sich in einen Widerspruch zu verwickeln. Schließlich sei noch ein Satz von SKOLEM (1933) erwähnt, nach dem die Zahlenreihe durch ein Axiomensystem mit höchstens abzählbar vielen Axiomen nicht vollständig charakterisiert werden kann [36].

Es zeigt sich, daß sich nicht die gesamte mathematische Wirklichkeit in ein formales System einordnen läßt, da das mathematische Denken immer wieder über sich hinausführt. Man kann aber jedes "nicht-kategorische" Axiomensystem (d.h. ohne Vollständigkeitsaxiom) durch neue Axiome erweitern, so daß man eine Ineinanderschachtelung von Systemen erhält (vgl. § 42), d.h. man kann, um allen Bedürfnissen der Mengenlehre gerecht zu werden, immer wieder neue Bereiche von Dingen schaffen (im Gegensatz zur CANToRschen und FINSLERschen Theorie, wo der Bereich der mathematischen Objekte als fertig vorliegend betrachtet wird), wobei aber der CANToRsche Bereich nie ausgeschöpft werden kann (wenn dieses Problem überhaupt sinnvoll ist). - Wir legen diesem Bericht die axiomatische Methode mit einem nicht-kategorischen Axiomensystem mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre, aber keinen bestimmten Formalismus zugrunde, sondern formulieren alles in der Sprache der naiven Mengenlehre. Eine Übersetzung in eine bestimmte formale Sprache ist dann leicht möglich, wenn dies nötig ist.

§ 2. Die üblichen Axiome der Mengenlehre.

1. Klassen von Mengen. In einer axiomatischen Theorie wird der Begriff der Menge (von Mengen) als Grundbegriff und die Beziehung A E B (die Menge A ist Element der Menge B) als Grundrelation eingeführt! und durch Axiome näher präzisiert. Zudem muß auch der Begriff der Klasse (von Mengen), der ja nicht völlig zusammenfällt mit dem der Menge (indem es Klassen gibt, die keiner Menge entsprechen), näher

1 Ist A nicht Element von B, so schreiben wir A non € B. Ist'YJ eine beliebige Beziehung, so schreiben wir allgemein A non 'YJB für die Negation von A 'f)B.


präzisiert werden, entweder als Individuenbereich von Prädikaten bestimmter Struktur (bei Zugrundelegung eines bestimmten Logikkalküls) oder durch besondere Axiome [1]. Da wir keinen bestimmten Formalismus zugrunde legen wollen, setzen wir auch keine bestimmte Präzisierung des Klassenbegriffs voraus, verwenden aber nur solche Prädikate, die sich in einfacher Weise formalisieren lassen. Als Elemente der Mengen und Klassen lassen wir also vorderhand nur Mengen zu. Ist A Element einer Klasse B, so schreiben wir ebenfalls A € B. Führt man die Mengen als besondere Dinge neben den Klassen ein, so sagt man, die Menge M entspreche der Klasse K, wenn Mund K genau dieselben Elemente enthalten. Man kann aber auch den Begriff der Klasse als grundlegend betrachten und die Mengen als spezielle (durch die Mengenaxiome definierte) Klassen einführen, indem man die einer Klasse entsprechende Menge mit dieser Klasse identifiziert.

Wir nehmen nun an, der Begriff der Klasse von Mengen sei eingeführt. Für die Klassen ist das sog. Extensionali tä tsaxiom erfüllt: Eine Klasse ist durch ihre Elemente eindeutig bestimmt (d. h. für zwei Klassen A und B gilt A = B dann und nur dann, wenn A und B genau dieselben Elemente haben). Wir venvenden folgende Definitionen:

1. Es gibt eine und nur eine Klasse, die kein Element enthält: die sog. NuUklasse (in Zeichen: 0). Eine Gleichung A = 0 bedeutet also, daß A die Nullklasse (oder leer ist); A =!= 0 bedeutet, daß A nicht-leer ist, d.h. mindestens ein Element enthält.

2. Ist A eine Klasse und B eine Klasse mit der Eigenschaft X € B -+ X € A, so heißt Beine Teilklasse von A (in Zeichen: B cA oder A:) B). Ist Be A, so bezeichnet man die Klasse der Elemente X € A mit X non € B mit A - B. Ist eine Teilklasse einer Klasse A eine Menge, so heißt sie eine Teilmenge von A. Unter den Teilklassen einer KlasseA befinden sich immer die Nullklasse und A selbst; A wird als unechte, die übrigen Teilklassen als echte Teilklassen von A bezeichnet.

3- Zu jeder Menge A existiert die Klasse {A}, deren einziges Element A ist; zu zwei Mengen A und B existiert die Klasse {A, B} = {B, A}, die A und B als einzige Elemente enthält.

2. Die üblichen Axiome für die Mengen. Durch die üblichen Axiome der Mengenlehre, z. B. diejenigen des ZERMELO -FRAENKELschen [9] oder des BERNAysschen Systems [1], die wir (meist stillschweigend zwar) diesem Bericht zugrunde legen, werden nun unter den Klassen diejenigen ausgezeichnet, die wieder Mengen sein sollen:

(I) Axiom der Nullmenge: Die NuUklasse ist eine Menge (die sog. NuUmenge).

(11) Für iede Menge A ist {A} eine Menge.


(III) Axiom der Paarung: Sind A und B Mengen, so ist{A, B} eine Menge.

(IV) Axiom der Potenzmenge: Für jede Menge A ist die Klasse ihrer Teilmengen eine Menge (die sog. Potenzmenge von A).

Folgerung aus (III): Zu zwei MengenA ,B existiert d.as sog. geordnete Paar (A, B) = {{A}, {A, BH; dabei heißt A das erste Glied, B das zweite Glied von (A, B). Es ist (A, B) = (A I, B') dann und nur dann, wenn A = A' und B = B'. Das geordnete Paar (B, A) heißt das zu (A, B) inverse Paar. Ist K eine Klasse von geordneten Paaren, so nennt man die Klasse ihrer ersten Glieder den Argumentbereich, die Klasse ihrer zweiten Glieder den Wertbereich von K.

Zur Formulierung der weiteren Axiome braucht man die Begriffe der Abbildung und der Funktion; durch die folgenden Definitionen werden die sonst etwas dunklen Begriffe der beliebigen Abbildung oder Funktion explizite durch Klassen bzw. Mengen definiert.

1. Unter einer Abbildung einer Klasse A auf eine Klasse B versteht man eine Klasse K von geordneten Paaren mit dem Argumentbereich A und dem Wertbereich B.

2. Eine Abbildung einer Klasse A auf eine Klasse B heißt eine Funktion F, wenn verschiedene Paare von F verschiedene erste Glieder haben, d. h. wenn sie jedem Element a E A genau ein Element bEB mit (a, b) E F zuordnet (das in der funktionalen Schreibweise mit F(a), in der Indexschreibweise mit einem Symbol der Form M a bezeichnet wird; im letzteren Fall schreibt man auch F = {Ma}aeA). - Eine Funktion, bei der Argument- oder Wertbereich die Nullmenge ist, ist also die Nullmenge.

3. Eine FunktionG heißt eine zur FunktionF inverse Funktion, wenn sie eine Teilklasse der Klasse der zu den Paaren von F inversen Paaren ist, und deren Argumentbereich der Wertbereich von Fist.

4. Eine FunktionF mit ArgumentbereichA und WertbereichB heißt eine eineindeutige Abbildung von A auf B, wenn die Klasse der zu den Paaren von F inversen Paaren eine Funktion ist!.

5. Ist eine Funktion gegeben, die jedem Element x einer Klasse X eindeutig eine Menge Mg zuordnet, so heißt die Klasse aller Elemente a mit a E Mg für irgend ein x E X die Vereinigung m Mg der Mengen Mx

xeX

und die Klasse aller Elemente a mit a E M" für alle x E X der Durch-schnitt ~ Mx der Mengen M". Sind alle Funktionen F mit dem Argument

"eX bereich X und mit F (x) E Mg für alle x E X Mengen, so nennt man die Klasse aller dieser Funktionen F die Produktklasse ~ M" der Mengen Mg.

"eX

1 Die (immer existierende und eindeutig bestimmte) inverse Funktion zu einer eineindeutigen Abbildung F wird oft mit F-l bezeichnet.


Nun wollen wir die übrigen Axiome formulieren (dabei habe M" dieselbe Bedeutung wie oben) :

(V) Ersetzungsaxiom1 : Ist der Argumentbereich einer Funktion eine Menge, so ist auch ihr Wertbereich eine Menge, d.h. ist X eine Menge, so ist die Klasse aller Mengen M" mit x € X auch eine Menge.

(VI) Vereinigungsaxiom (Summenaxiom) : Ist X eine Menge, so ist auch 93 M" eine Menge.

"eX

Folgerungen: 1. Aus (V) folgt das sog. Aussonderungsaxiom: Jede Teilklasse N einer Menge M ist eine Menge. - Beweis: Enthält N kein Element, so ist N = o. Ist N * 0, so gibt es ein Element B € N. Setzen wir F(A) = A für A € N, F(A) = B für A € M - N, so haben wir eine Funktion mit dem Argumentbereich M und dem Wertbereich N.

2. Ist X eine Menge, so ist auch ::DM" eine Menge (denn der Durch-XEX

schnitt ist eine Teilklasse der Vereinigung).

3. Sind A und B Mengen, so ist die Klasse aller geordneten Paare (a, b) mit a € A und b € B eine Menge (die wir mit [A, B] bezeichnen). -

Beweis: Für festes a € A bilden die Paare (a, b) mit b € B eine Menge Pa (denn diese bilden den Wertbereich der Funktion F mit F(b) = (a, b) für b € B). Setzt man G(a) = Pa für a €A, so ist G eine Funktion, also ist nach (VI) 93 Pa eine Menge, und zwar = [A, B].

aeA

4. Ist X eine Menge, so sind alle Funktionen F mit dem Argumentbereich X und mit F (x) € M" für alle x € X Mengen, also existiert die Produktklasse ':PM",; diese ist sogar eine Menge (die sog. Produktmenge

"EX der Mengen M:), denn sie ist eine Teilklasse der Potenzmenge der Menge [X, ffiM",l

",eX

5. SindA und B zwei Mengen, so ist die Klasse, die (A, A) und (B, B) als einzige Elemente enthält, eine Funktion, deren Argument- und Wertbereich die Menge {A, B} ist. Somit existiert die Vereinigung vonA und B (die wir mit A + B bezeichnen), und somit auch ihr Durchschnitt (den wir mit AB bezeichnen), ebenso ihr Produkt (das wir mit A X B bezeichnen). Wie bei den Mengen kann auch die Vereinigung und der Durchschnitt zweier Klassen definiert werden. Sind A und B zwei Klassen mit AB = 0, so heißen A und B zueinander disjunkt2 •

6. Ist A eine Menge, so existiert die Menge A * = A + {A}.

1 Von FRAENKEL [9] 1922 zum ZERMELoschen System [42] von 1908 hinzugefügt.

2 Daraus, daß die Vereinigung zweier Mengen wieder eine Menge ist, kann das Axiom (lU) abgeleitet werden (denn (A, B) = (Al + (B)). Dieses kann aber nicht weggelassen werden, weil man es zum Beweis jenes Satzes braucht; dagegen könnte es durch jenen Satz ersetzt werden.


Bemerkungen: 1. Ist M" = ° für ein bestimmtes x E X, so ist ')) M" = 0. Die Umkehrung, d.h. die Behauptung, daß die Produktmenge "eX auch nur dann die Nullmenge ist, wenn ein Faktor die Nullmenge ist, ist jedoch nur mittels des Auswahlaxioms beweisbar (vgl. weiter unten).

2. Ist M" = M für alle x E X, so schreibt man')) M" = MX; diese xeX

Menge ist also die Menge der Funktionen mit dem Argumentbereich X und dem Wertbereich M.

(VII) Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge U mit den Eigenschalten:

OE U,

AEU--+A*EU.

Außer dem Auswahlaxiom, dem wir wegen seiner Wichtigkeit (und auch Umstrittenheit) eine besondere Betrachtung einräumen, sind damit die Axiome des ZERMELo-FRAENKELschen Systems aufgezählt. Oft werden wir auch die Konsequenzen betrachten, die sich durch Anfügen weiterer Axiome ergeben. Die wichtigsten umstrittenen Hypothesen der Mengenlehre sind neben dem Auswahlaxiom die Alephhypothese (§ 35) und die Hypothese der Existenz (oder Nichtexistenz) unerreichbarer Zahlen (§ 42).

3. Das Auswahlaxiom. Während wir die Axiome (I) bis (VII) immer voraussetzen, geben wir dem Auswahlaxiom eine Sonderstellung, indem wir seine Anwendung immer besonders hervorheben werden. Die ZERMELosche Formulierung dieses Axioms (19°4) lautet:

(121) Zu jeder Menge 5, deren Elemente nicht-leere und paarweise disfunkte Mengen M sind, existiert eine Menge A (sog. Auswahlmenge), die von jedem ME 5 genau ein Element m E M enthält [40].

Die Fassung des Auswahlaxioms von RUSSELL 1907 und ZERMELO 1908 lautet:

(1211) Ist X eine beliebige Menge, und ist jedem Element x E X eindeutig eine nicht-leere Menge M" zugeordnet, so gibt es eine Funktion F (sog. Auswahl/unktion), die jedem x E X eindeutig ein Element F(x) E M" zuordnet [3 1 , 41].

In der Fassung (121) müssen die Mengen M E 5 paarweise disjunkt vorausgesetzt werden, weil sonst nicht immer eine Auswahlmenge existiert, wie das BeispielS = {{a}, {b}, {a, b}} zeigt. (1211) bedeutet mit andern Worten, daß die Produktmenge ')) Mx dann und nur dann die

"eX Nullmenge ist, wenn ein Faktor M" die Nullmenge ist; das Auswahl-axiom wird deshalb im englischen Sprachgebiet meist "Multiplicative


Axiom" genannt. Wir sehen, daß (~) und (~1) auf Grund der Axiome (I) bis (VII) einander äquivalent sind:

(~) -+ (~1): Ist X eine Menge, und ist jedem Element x € X eine Menge Mx zugeordnet, so sei M: = [{x}, Mx] die Menge der geordneten Paare (x, a) mit a € Mx. Die Mengen M: sind paarweise disjunkt; somit existiert nach (~) eine Auswahlmenge von Paaren (x, ax) mit ax € Mx; diese ist eine Auswahlfunktion der Mengen Mx.

(~1) -+ (~): Ist 5 eine Menge von nicht-leeren, paarweise disjunkten Mengen, so existiert nach (~1) eine Funktion, die jedem M € 5 ein Element m € M zuordnet; ihr Wertbereich ist nach (V) eine Auswahlmenge von 51.

Eine etwas allgemeinere Fassung des Auswahlaxioms lautet: Zu feder Klasse 5, deren Elemente nicht-leere und paarweise disfunkte Mengen M sind, existiert eine Klasse A, die von fedem M € 5 genau ein Element m € M enthält,' oder: Ist X eine beliebige Klasse, und ist fedemElement x € X eindeutig eine nicht-leere Menge Mx zugeordnet, so gibt es eine Funktion F, die fedem x € X ein Element F (x) € Mx zuordnet. - Ist 5 eine Menge, so folgt, daß auch A eine Menge ist.

Noch allgemeiner sind die BERNAysschen Formulierungen des Auswahlaxioms (1941) [lJ:

(Q3) Jede Klasse P von geordneten Paaren enthält eine Teilklasse, die eine Funktion ist, die denselben Argumentbereich wie P hat.

(Q31) Zu jeder Funktion existiert eine inverse Funktion. Diese beiden Formulierungen sind einander äquivalent:

(Q3) -+ (Q31): Um die Existenz einer inversen Funktion zu einer gegebenen Funktion F zu beweisen, hat man (Q3) auf die Klasse der zu den Paaren von F inversen Paaren anzuwenden.

(Q31) -+ (Q3): P sei eine Klasse von geordneten Paaren, C sei die Klasse der Paare «a, b), a) mit (a, b) E P; C ist also eine Funktion. Nach (Q31) existiert eine zu C inverse Funktion; ihr Wertbereich ist eine Funktion, die Teilklasse von P ist und denselben Argumentbereich wie P hat.

Die BERNA ysschen Formulierungen sind etwas allgemeiner als (~); aus (Q3) folgt nämlich (~), aber im allgemeinen nicht umgekehrt (Q3) aus (~).

Bemerkungen: Kann man eine Auswahlmenge bzw. Auswahlfunktion durch Anwendung der übrigen Axiome (I) bis (VII) eindeutig bilden, so sagen wir, wir können eine solche "effektiv" bilden (nicht in einem strengen, finiten, sondern im weiteren Sinne gemeint). In der Formulierung des Auswahlaxioms ist nicht verlangt, daß man eine Auswahlmenge effektiv bilden könne (dies ist in vielen Fällen nach dem heutigen Stand der Mathematik gar nicht möglich, vgl. § 37); es kommt vielmehr gerade dann zur Anwendung, wenn man eine Auswahlmenge nicht effektiv zur

1 Im System von FINSLER [7] gilt (~) nicht immer, ferner gilt nur (~) -+ (~1)' nicht aber (~1) -+ (~): Ist S die Klasse aller Mengen {$), wobei $ alle Ordnungs· zahlen durchläuft, so ist S im FINSLERschen Svstem eine Menge, für die aber keine Auswahlmenge existiert.

§ 3. Äquivalenz und Ähnlichkeit; Wahlordnung. 11

Verfügung hat. Vom naiven Standpunkt aus ist (~!), wie alle Axiome der Mengenlehre, ein "notwendiges Denkgesetz" ; von einem höhern Standpunkt aus ist die Existenz einer Auswahlmenge nicht mehr so evident, wenn S bzw. X eine unendlichel Menge ist und wir keine Auswahlmenge effektiv zur Verfügung haben, denn die Existenz einer unendlichen Folge von willkürlichen Wahlakten ist doch sehr problematisch (dies hat zum erstenmal PEANO 1890 bemerkt). GÖDEL hat bewiesen [17], daß (~)

relativ zu den übrigen Axiomen (I) bis (VII) widerspruchsfrei ist, sofern diese übrigen Axiome unter sich selbst widerspruchsfrei sind (was noch nicht bewiesen ist); die Unabhängigkeit von (~) relativ zu den übrigen Axiomen ist nur im Fall ganz spezieller Systeme bewiesen [24]. Die Anwendungen von (~) sind in der ganzen Mathematik sehr zahlreich, insbesondere in der Theorie der Kardinalzahlen (die erst durch (~) ermöglicht wird), der Punktmengen, der reellen Funktionen etc. Wir werden uns auf die Anwendungen in der Theorie der Kardinalzahlen beschränken.

Ist S bzw. X eine endlichel Menge, so ist die Existenz einer Auswahlmenge aus den übrigen Axiomen beweisbar. Auch im Fall, daß man alle Mengen M € S wohlordnenl kann, ul!d wenn wir zudem eine Auswahlfunktion effektiv zur Verfügung haben, die jeder Menge M € S eine bestimmte Wohlordnung von M zuordnet, folgt die Existenz einer Auswahlmenge ohne zusätzliches Axiom (denn die Menge der erstenl Elemente der Mengen M € S ist eine solche). Weiß man aber nur, daß man die Mengen M € S wohlordnen kann, so kann man ohne Auswahlaxiom im allgemeinen nicht auf die Existenz einer Auswahlmenge schließen. Dies gilt auch im Fall, daß S wohlgeordnet ist, ja sogar im extremen Fall, daß Seine abzählbarel Menge von Paaren ist (im Fall des "engsten" Auswahlaxioms)2. Wir heben den Gebrauch von (~) nur dann hervor; wenn alle Mengen ME S mindestens zwei Elemente haben und Seine unendlichel Menge ist. Das Auswahlaxiom für abzählbarel Mengen S heißt das "eingeschränkte Auswahlaxiom".

§ 3. Äquivalenz und Ähnlichkeit; Wohlordnung.

1. Äquivalenz beliebiger Klassen. Def.1. Sind A und B zwei Klassen, so heißt A mit B äquivalent (in

Zeichen: A ......, B), wenn eine eineindeutige Abbildung von A auf B existiert.

Die Relation der Äquivalenz ist

1. reflexiv: A ......, A, 2. symmetrisch: A ......, B -+ B ......, A, 3. transitiv: A ......, B, B ......, C -+ A f"oJ C.

I Diese Begriffe werden später erklärt. 2 Vgl. die berühmte Anekdote von RUSSELL [32], ferner [11].


2. Ähnlichkeit geordneter Klassen. Die Elemente einer Klasse oder Menge sind meistens in einer gewissen Anordnung gegeben. Nach der Ausdrucksweise der naiven Mengenlehre kann eine Klasse K geordnet werden, wenn "durch irgendeine Vorschrift" eine Beziehung ~ hergestellt werden kann, so daß für zwei beliebige verschiedene Elemente a und b von K immer festgelegt ist, ob a ~ b oder b ~ a ist, wobei folgende Bedingungen erfüllt sein sollen: Die Beziehung ~ sei

1. antisymmetrisch: a ~ b --+ b non ~ a,

2. transitiv: a ~ b, b ~ c --+ a ~ c, 3. antireflexiv: nie a ~ a.

Statt a ~ b schreibt man auch b?- a. Die Beziehung a ~ b wird gelesen: a ist "vor" b, oder: b ist "nach" a; ist a ~ b ~ c, so sagt man, b sei "zwischen" a und c. a heißt das "erste" Element von K, wenn in K kein Element "vor" a existiert, b heißt das "letzte Element" von K, wenn in K kein Element "nach" b existiert. Diese Beziehungen sind natürlich nicht speziell räumlich oder zeitlich aufzufassen.

In einer axiomatischen Mengenlehre kann der Begriff der Ordnung explizite durch folgende Definition eingeführt werden [2]:

Def. 2. Eine Klasse K kann geordnet werden, wenn eine Klasse P von geordneten Paaren (a, b) mit a e K, b e K existiert, mit den Eigenschaften:

1. a e K, be K, a =1= b --+ entweder (a, b) e P oder (b, a) e P, aber nicht beides zugleich,

2. (a, b) e P, (b, c) e P --+ (a, c) e P,

3. a e K --+ (a, a) non e P.

Setzt man a ~ b, wenn (a, b) e P, so erfüllt die Beziehung -s die Bedingungen der Ordnungsbeziehung.

Bemerkung: Eine geordnete Klasse heißt oft auch ein/ach geordnet (im Gegensatz zu den zyklisch und zu den mehr/ach geordneten Klassen), oder vollständig geordnet (im Gegensatz zu den teilweise geordneten Klassen).

Def. 3. Eine Teilklasse A einer geordneten Klasse K heißt ein An/angsstück von K, wenn a e A, b ~ a --+ b eA.

Def. 4. Eine Abbildung F einer geordneten Klasse A auf eine geordnete KlasseB heißt ordnungstreu, wenna eA, b eA, a ~ b --+F(a) ~ F(b).

Def. 5. Eine Abbildung einer geordneten Klasse auf eine andere geordnete Klasse heißt ähnlich, wenn sie eineindeutig und ordnungstreu ist.

Def.6. Sind A und B zwei geordnete Klassen, so heißt A· mit B ähnlich (in Zeichen: A ~ B), wenn eine ähnliche Abbildung von A auf B existiert. - Zwei ähnliche Klassen sind auch äquivalent.

§ 3. Äquivalenz und Ähnlichkeit; Wohlordnung. 13

Die Beziehung der Ähnlichkeit ist 1. reflexiv: A ~ A, 2. symmetrisch: A ~ B -+ B ~ A, 3. transitiv: A :::::: B, B :::::: C-+ A t:!:!. C.

3. Wohlordnung und transfinite Induktion.

Def.7. Eine Klasse K kann wohlgeordnet werden, wenn sie so geordnet werden kann, daß jede nicht-leere Teilklasse ein erstes Element hat.

Jede Teilklasse einer wohlgeordneten Klasse ist wohlgeordnet. KannA wohlgeordnet werden und ist A,.." B, so kann auch B wohlgeordnet werden.

Def. 8. Ist Keine wohlgeordnete Klasse und a e K, so heißt die Klasse der Elemente xe K mit x ~ a der zu a gehörige Abschnitt K" von K; K - K" heißt der zu a gehörige Rest von K. Analog ist der zu einem Argument a einer Funktion F mit wohlgeordnetem Argumentbereich gehörige Abschnitt Fa und Rest von F definiert. - Ist A ein Anfangsstück einer wohlgeordneten Klasse K, so ist entweder A = K 'Oder A ein Abschnitt K" von Kl.

Ist Keine wohlgeordnete Klasse, so gilt das Prinzip der transfiniten Induktion: IstA eine Klasse mit der Eigenschaft a e K, K" cA -+a eA,soistK cA.-Beweis: Gäbe es ein Element a eKmitanon eA, so gäbe es ein erstes Element ao mit dieser Eigenschaft. Dann wäre Kau cA, also nach Voraussetzung ao e A, Widerspruch.

Das Prinzip der transfiniten Induktion wird angewendet, wenn eineAussage für alle Elemente einer wohlgeordneten Klasse bewiesen werden muß.

Ist Keine wohlgeordnete Klasse, so gilt das Theorem der transfiniten Rekursion: Ist N eine Klasse und f eine Funktion, die feder Funktion g", deren Argumentbereich der zu einem Element a e K gehörige Abschnitt K a von K ist und deren Wertbereich Teilklasse von N ist, ein Element f (ga) e N zuordnet, so gibt es genau eine Funktion G mit Argumentbereich K, mit der Eigenschaft: G (a) = f (Ga) für a e K, wobei Ga der zum Argument a gehörige Abschnitt von G ist.

Beweis [3]: Eindeutigkeit von G: Annahme, es gäbe eine zweite solche Funktion G' =1= G. Also gäbe es ein Element a e K mit G' (a) =1= G (a); ao sei das erste Element mit dieser Eigenschaft. Dann ist G' (x) = G(x) für alle x ~ ao, also G~. = Ga.' also G' (ao) = f(G~.) = f(Gau) = G(aoL Widerspruch. - Existenz von G: Für jedes Element a e K sei Ga die Funktion, deren Argumentbereich der zu a gehörige Abschnitt K a von K ist, und bei der Ga (x) = f (Gas) für alle x ~ a, wobei Gas der zum Argument xe K gehörige Abschnitt von Ga ist. Nach dem ersten Teil des Beweises ist Ga eindeutig. C sei die Klasse der Elemente a, für die Ga ,existiert. Es sei nun a e K, so daß b e C für alle b ~ a. Wir zeigen, daß -dann auch a e C: Wir definieren Ga als die Klasse der Paare (x, f(Gz ))

1 Ist a das erste Element von K, so wird K a = o.


mit x ~ a. Damit hat Ga die verlangten Eigenschaften; denn ist b ~ a. so ist Gb(y) =j(Gb,,) für Y ~ b; da auch G" = Gb", ist Ga(y) =j(G,,) =j(Gb,,) = Gb(y) für y~b, also Gb=Gab, also Ga(b) =j(Gb) =j(Gab)· Somit ist a E C. Daraus folgt nach dem Prinzip der transfiniten Induktion K = C. Somit existiert die Funktion G als Vereinigung der Ga mit a E K.

Die transfinite Rekursion erlaubt also die Definition einer Funktion (mit wohlgeordnetem Argumentbereich) durch transfinite Induktion. Transfinite Induktion und Rekursion sind sehr wichtige Hilfsmittel, die in der Theorie der transfiniten Zahlen sehr häufig verwendet werden.

4. Einführung der transfiniten Zahlen. Die nachfolgenden Bemerkungen sollen die Rolle der transfiniten Zahlen (Ordnungszahlen und Mächtigkeiten) innerhalb der Mengenlehre erklären. Die abstrakte Mengenlehre zerfällt in zwei Hauptzweige : In der ordinalen Theorie wird von der Natur der Elemente einer Menge, aber nicht von ihrer gegenseitigen Anordnung abstrahiert, so daß von einer Menge nur noch die Eigenschaften betrachtet werden (wobei wir annehmen, daß solche existieren), die sie mit allen mit ihr ähnlichen Mengen gemeinsam hat. In der kardinalen Theorie wird auch von der Anordnung der Elemente abstrahiert, so daß also von einer Menge nur die Eigenschaften betrachtet werden, die sie mit allen mit ihr äquivalenten Mengen gemeinsam hat. Da eine konkrete Menge meist in einer gewissen Anordnung gegeben ist, ist der kardinale Standpunkt übrigens etwas unnatürlich und führt deshalb auch zu der scheinbar paradoxen Aussage, daß eine (unendliche) Menge einer ihrer echten Teilmengen äquivalent sein kann, so daß der Satz "das Ganze ist größer als der Teil" für unendliche Mengen in einem gewissen Sinne nicht mehr gilt (z. B. scheint es vom anschaulichen Standpunkt aus besonders paradox, daß die Menge der Punkte einer noch so kleinen Strecke äquivalent ist mit der Menge· der Punkte des ganzen Euklidischen Raumes).

In der ordinalen Theorie führt die Abstraktion von der Natur der Elemente einer Menge und die Betrachtung ihrer gegenseitigen Anordnung zum Begriff des Ordnungstypus, in der kardinalen Theorie führt die Abstraktion von der Natur und der Anordnung der Elemente auf den Begriff der Mächtigkeit. Für wohlgeordnete Mengen geht der Begriff des Ordnungstypus speziell in denjenigen der Ordnungszahl, der Begriff der Mächtigkeit in denjenigen der Kardinalzahl über. Wir beschäftigen uns hier nur mit den letzteren drei dieser vier Begriffe, während wir die Theorie der Ordnungstypen nicht berücksichtigen. Die Begriffe des Ordnungstypus und der Mächtigkeit sind zwar in der Mengenlehre entbehrlieh; denn man kann alle Sätze über Ordnungstypen und Mächtigkeiten durch Sätze über Ähnlichkeit bzw. Äquivalenz von Mengen ersetzen; die Einführung des Ordnungstypus und der Mächtigkeit bringt aber eine große Vereinfachung der ordinalen bzw. kardinalen Theorie mit sich.

§ 3. Äquivalenz und Ähnlichkeit; Wohlordnung.

In der naiven Mengenlehre werden diese Begriffe genetisch eingeführt, indem man den Ordnungstypus M einer geordneten Menge M als die Klasse aller mit M ähnlicher Mengen, die Mächtigkeit M einer beliebigen Menge M als die Klasse aller mit M äquivalenter Mengen definiert. Da man aber sehr oft Klassen vonOrdnungszahlen und von Kardinalzahlen betrachtet, der Einfachheit halber aber meist Klassen von Klassen vermeidet, ist es zweckmäßiger, diese Begriffe nicht genetisch, sondern axiomatisch einzuführen. Dies kann dadurch geschehen, daß man besondere Axiomensysterne für die Ordnungstypen und für die Mächtigkeiten (als neue, von den Mengen und Klassen unabhängige Dinge) einführt, die ihre fundamentalen Eigenschaften als Axiome enthalten, und die ihre Arithmetik unabhängig von den gewöhnlichen Axiomen der Mengenlehre begründen. Wir wollen jedoch nicht diesen Weg gehen, sondern bereits das ZERMELOFRAENKELsche System voraussetzen und innerhalb dieses Systems operieren, wobei wir die Existenz der Ordnungstypen und Mächtigkeiten als neue Dinge neben den Mengen und Klassen durch Axiome fordern, die sich auf die Mengen dieses Systems stützen:

Axiom derOrdnungstypen: Zu jeder geordneten Menge M existiert ein eindeutig bestimmtes Ding M (der Ordnungstypus von M), so daß M = N dann und nur dann, wenn M ~ N.

Axiom der Mächtigkeiten: Zu jeder Menge M existiert !in eindeutig bestimmtes Ding M (die Mächtigkeit von M), so daß M = N gleichbedeutend ist mit M ,..., N.

Dabei postulieren wir, daß diese neuen Dinge Elemente von Mengen und Klassen sein können, und daß diese Mengen und Klassen von Ordnungstypen und Mächtigkeiten denselben Axiomen unterworfen sind wie die Mengen und Klassen von Mengen (§ 2).

Def. 9. Den Ordnungstypus einer wohlgeordneten Menge nennen wir eine Ordnungszahl, die Mächtigkeit einer wohlgeordneten Menge eine Kardinalzahl.

Fordert man nur die Existenz der Ordnungszahlen und der Kardinalzahlen, so hat man zwei schwächere Axiome als die beiden obigen, nämlich das Axiom der Ordnungszahlen: Zu jeder wohlgeordneten Menge M existiert ein eindeutig bestimmtes Ding M, so daß M = N +-+M ~ N; und das Axiom der Kardinalzahlen: Zu jeder wohlgeord:!!eten Menge M existiert ein eindeutig bestimmtes Ding M, so daß M = N +-+M ,..., N.

über die Erfüllbarkeit dieser Axiome im Rahmen des ZERMELOFRAENKELschen Systems wird der Leser später unterrichtet werden (§§4, 27)· Wir wenden uns nun zuerst der ordinalen Theorie zu (§§4-23), dann der kardinalen (§§ 24-26), dann der Verbindung der beiden Betrachtungsweisen (ab § 27); eine innige Verbindung der beiden Theorien wird erst durch das Auswahlaxiom hergestellt (ab § 31).

II. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

11. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

§ 4. Die Ordnungszahlen.

1. Über die Ähnlichkeit wohlgeordneter Klassen. Die beiden folgenden Sätze sind grundlegend für die Theorie der Ordnungszahlen:

Sa tz 1. Bei jeder ähnlichen Abbildung Feiner wohlgeordneten Klasse A au/ eine Teilklasse von A ist stets F(a) ?- a tür a EA.

Beweis: Gäbe es Elemente a mit F(a) -s a, so gäbe es unter diesen ein erstes; dieses sei ao. Also ist F(ao) -s ao, aber F(x) ~x für x -s ao. Wegen der Ordnungstreue von F wird F (F (ao)) -s F (ao), Widerspruch.

Folgerungen: 1. Zwei ähnliche wohlgeordneteKlassen können au/ nur eine Weise ähnlich au/einander abgebildet werden. - Beweis: Es seien A und B zwei wohlgeordnete Klassen und Fund G zwei ähnliche Abbildungen vonA auf B. Setzen wir / (a) = G-l (F (a)), so bildet / die KlasseA auf eine Teilklasse von A ab. Nach Satz 1 ist also / (a) ~ a; daraus folgt G (/ (a)) = F (a) ~ G (a). Analog zeigt man, daß F (a) 5 G (a); also ist F (a) = G (a) für jedes a E A.

2. Eine wohlgeordnete Klasse ist keinem ihrer Abschnitte ähnlich. -Beweis: Es sei Keine wohlgeordnete Klasse, K a der zu a E K gehörige Abschnitt von K. Gäbe es eine ähnliche Abbildung F von Kauf K a, so wäre F (a) E K a, also F (a) -s a, was nach Satz 1 unmöglich ist.

3. Die Klasse der Abschnitte K a 1 einer wohlgeordneten Klasse K ist eine mit K ähnliche wohlgeordnete Klasse, wenn man als Ordnungsbeziehung Ra -s K b tür a -s b festsetzt. - Beweis: Man kann K auf die Klasse der Abschnitte K a eineindeutig abbilden durch die Zuordnung a +-+ K a•

Sa tz 2 (Hau ptsa tz): Zwei wohlgeordnete Klassen sind entweder einander ähnlich, oder die eine ist einem Abschnitt der andern ähnlich.

Beweis: Es seien A und B zwei nicht-leere wohlgeordnete Klassen derart, daß A keinem Abschnitt von Bund B keinem Abschnitt von A ähnlich ist. Wir zeigen, daß daraus A ~ B folgt: Wir definieren durch transfinite Rekursion eine Funktion F mit dem Argumentbereich A und dem Wertbereich B: Ist a E A, so sei F(a) das erste Element von B, das nicht im Wertbereich von Fa liegt (wobei Fa der zu a gehörige Abschnitt von F ist). Diese Abbildung F ist ähnlich und für die ganze Klasse A

1 Von denen wir hier annehmen, daß sie Mengen sind.

definiert (denn sonst wäre B einem Abschnitt von A ähnlich). Auch der Wertbereich von F ist die ganze Klasse B (denn sonst wäre A einem Abschnitt von B ähnlich). Somit ist A ~ B.

Folgerung: Jede Teilklasse B einer wohlgeordneten Klasse A ist entweder mit A oder mit einem Abschnitt von A ähnlich. - Beweis: Bist wohlgeordnet, also nach Satz 2 entweder mit A ähnlich, oder mit einem Abschnitt von A ähnlich, oder dann ist A mit einem Abschnitt von B ähnlich. Das letztere ist wegen Satz 1 unmöglich.

2. Die fundamentalen Eigenschaften der Ordnungszahlen. Wir leiten nun Folgerungen aus dem Axiom der Ordnungszahlen ab:

1. Sind 0; und ß zwei Ordnungszahlen, so gibt es zwei wohlgeordnete - -Mengen A und B mit A = 0; und B = ß. Man setzt nun

0; < ß (0; "kleiner" als ß) oder ß> 0; (ß "größer" als 0;),

wenn A einem Abschnitt von B ähnlich ist. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl der speziellen Mengen A und B. Aus Satz 1 und Satz 2 folgt, daß die Klasse aller Ordnungszahlen, die wir von nun ab immer mit W bezeichnen wollen, durch die Relation< geordnet ist, woraus wiederum folgt, daß für die Ordnungszahlen das Gesetz der Trichotomie gilt (d.h. daß für beliebige Ordnungszahlen 0;, ß immer mindestens eine der drei Relationen 0; ~ ß gilt), und daß nur eine dieser drei Relationen gilt.

2. Ist 0; eine Ordnungszahl, so bezeichnen wir die Klasse aller Ordnungszahlen < 0; mit W(o;). Nun folgt, daß für jede Ordnungszahl 0; W (0;) eine wohlgeordnete Menge ist, und daß 0; der Ordnungstypus von W(o;) ist (W (0;) = 0;). - Beweis: Ist 0; = Ä, so sind die Ordnungszahlen < 0; gerade die Ordnungstypen der Abschnitte von A, und da diese eine mit A ähnliche Klasse bilden, ist W (0;) ~ A, also ist W (0;) eine Menge (nach dem Ersetzungsaxiom) .

Ist eine wohlgeordnete Menge A vorgelegt und ist 0; = Ä, so existiert genau eine ähnliche Abbildung zwischen A und W(o;) , so daß also die Elemente von A "numeriert" werden, indem feder Ordnungszahl ~ < 0; eineindeutig ein Element aE E A zugeordnet wird.

Ferner folgt, daß es in jeder nicht-leeren Klasse K von Ordnungszahlen eine kleinste Ordnungszahl gibt (die wir mit min K bezeichnen): Es sei nämlich 0; E Kund 0; nicht die kleinste Ordnungszahl von K (K enthalte mehr als ein Element). Nun ist die Teilklasse der Ordnungszahlen von W(o;), die in K sind, nicht-leer und hat, da die Klasse W(o;) durch die Relation< wohlgeordnet ist, als Teilklasse einer wohlgeordneten Klasse ein erstes Element. Dieses ist min K. - Die kleinere von zwei Ordnungszahlen 0;, ß wird mit min (0;, ß), die größere mit max (0;, ß) Ergebn. d. Mathem. N. F. H. 1, Bachmann.

II. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

bezeichnet; existiert in K eine größte Ordnungszahl, so wird sie mit max K bezeichnet.

Aus diesen Ausführungen folgt, daß W durch die Beziehung< wohlgeordnet ist. Somit gilt: Geht man von einer gegebenen Ordnungszahl (X zu einer kleineren, von dieser wieder zu einer kleineren usw., so gelangt man nach endlich vielen Schritten zur kleinsten Ordnungszahl überhaupt, die mit 0 (Null) bezeichnet wird (da auch die Nullmenge mit 0

bezeichnet wird, gilt 0 ~ 0 und W(o) = 0).

3. Ist X eine beliebige Menge, und ist jedem Element x E X eindeutig eine Ordnungszahl (Xx zugeordnet, so gibt es eine eindeutig bestimmte nächstgrößere Ordnungszahl, die wir mit sup (Xx bezeichnen (die sog. obere Grenze

xeX der Menge der Ordnungszahlen (Xx)l.-Beweis: Zu jedem x E X existiert die Menge Mx der Ordnungszahlen ~ (Xx (denn Mx ist eine Menge, weil eine Menge A x mit ~x = A x existiert und Ai ~ Mx ist). Nach dem Vereinigungsaxiom ist dann m M" eine Menge. Als Menge von Ordnungs-

xeX zahlen ist sie wohlgeordnet; zu ihr gehört also eine Ordnungszahl p. p ist größer als alle (Xx; denn wäre p ~ (x" für ein x E X, so wäre pE M", also p EmMx, somit wäre der zu p gehörige Abschnitt von m Mx ähnlich

XEX xeX mit m Mx, was unmöglich ist. p ist die nächstgrößere Ordnungszahl: Ist

xeX ~ < p, so ist ~ E m M", also gibt es ein x E X mit ~ E M", also ~ ~ (Xx,

xeX

also ist ~ nicht größer als alle (x".

4. Wir führen folgende Bezeichnungen ein:

Ordnungszahlen von erster und zweiter Art: Zu jeder Ordnungszahl (x,

existiert die nächstgrößere Ordnungszahl, die sog. N achtolgerzahl von (x.

Diese ist der Ordnungstypus der Menge aller Ordnungszahlen ~ (x, oder der Menge A * (wenn A = (X). - Eine Ordnungszahl heiße von erster Art, wenn sie Nachfolgerzahl ist (d. h. wenn sie einen unmittelbaren Vorgänger hat, oder wenn W((X) ein Maximum hat). Eine Ordnungszahl (X ohne unmittelbaren Vorgänger (d.h. für die W((X) kein Maximum hat) heiße von zweiter Art.

Limeszahlen und üolierte Ordnungszahlen: Eine Ordnungszahl, die obere Grenze einer nicht-leeren Menge von Ordnungszahlen ohne Maximum ist, heißt eine Limeszahl. Eine Ordnungszahl, die nicht Limeszahl ist, nennen wir isoliert.

Somit besteht die Klasse der Ordnungszahlen zweiter Art aus der Null und den Limeszahlen, die Klasse der isolierten Ordnungszahlen aus der Null und den Ordnungszahlen erster Art. Bei den Ordnungszahlen> 0

1 Ist IXx = X, so setzen wir sup IXx = sup X = sup X.Für X = 0 wird sup IX" = 0 xeX XEX xeX

sind Ordnungszahlen zweiter Art und Limeszahlen identisch, ebenso Ordnungszahlen erster Art und isolierte Ordnungszahlen.

Endliche und transfinite Ordnungszahlen. Die Existenz von Limeszahlen wird durch das Unendlichkeitsaxiom gesichert. Die kleinste Limeszahl wird mit w bezeichnetl. Man nennt die Ordnungszahlen< w endliche (oder finite)2, diejenigen ~ w transfinite Ordnungszahlen. Somit ist eine Ordnungszahl endlich, wenn sie und alle ihre Vorgänger isoliert sind. - Erst die Existenz transfiniter Ordnungszahlen erhebt die Theorie aus dem Rahmen der gewöhnlichen Theorie der natürlichen Zahlen, wobei sie eine gewaltige Bereicherung erfährt.

Ist (X eine Ordnungszahl und A = (x, so nennen wir die Ordnungszahlen, die die Ordnungstypen der Abschnitte von A sind,dieAbschnitte von (x, und diejenigen, die die Ordnungstypen der Reste vön A sind, die Reste von (X.

5. Die Klasse W ist keine Menge, denn sonst würde die BURALI -FORT!sche Antinomie folgen (es müßte nämlich eine Ordnungszahl existieren, die> als alle Ordnungszahlen von W wäre, Widerspruch).

6. Die Mengen W ((X) bilden ein Repräsentantensystem für die Ähtilichkeitsklassen der wohlgeordneten Mengen. Dieses kann aber durch ein solches ersetzt werden, das aus lauter Mengen Von Mengen besteht: Wir definieren für jede Ordnungszahl (X eine Menge 0,. durch folgende Festsetzung: Es sei 0 0 = 0 (Nullmenge) ; ist (X eine beliebige Ordnungs~ zahl, so sei 0,. die Menge der Mengen 0, rriit ; < (X.

3. Verschiedene Definitionen der Ordnungszahlen. Wir wollen nun zeigen, daß das Axiom der Ordnungszahlen im Rahmen des ZERMELO-FRAENKELschen Systems erfüllbar ist, wobei überdies die Ordnungszahlen als Mengen definiert werden können (und zwar eben als die Mengen 0,., aber ohne Voraussetzung des Begriffs des Ordnungstypus) ; dabei kann man die Ordnungszahlen sogar unabhängig vom Begriff der Wohlordnung einführen [1,8, IOJ.

Wir brauchen dazu folgende zwei Begriffe: Eine Menge M heißt transitiv, wenn A E B, BE M ~ A E M. Eine nicht-leere Klasse K von Mengen heiße fundiert, wenn sie ein Element A enthält, so daß A und K disjunkt sind. -Es gibt mehrere einander äquivalente Definitionen der Ordnungszahlen:

(1) Defini ti on von ZERMELO (1915): Eine Menge M ist eine Ordnungs-zahl, wenn gilt:

a) M = 0 oder 0 E M. b) Für jedes Element A E M gilt entweder A * = Moder A * E M. c) Für jede Teilmenge Ne M gilt entweder m A = Moder m A E M.

AEN AEN (2) Definitionvon V.NEUMANN(I923): Eine Menge Mist eineOrd

nungszahl, wenn M so wohlgeordnet werden kann, daß jedes Element von M gleich seinem zugehörigen Abschnitt von Mist.

1 Bei der Existenz höherer Limeszahlen kommt das Ersetzungsaxiom ins Spiel. ~ Die endliehen Ordnungszahlen bezeichnet man mit den gewöhnlicheri Ziffern

für die ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3, ... Die Zahlen n mit 0< n < (I) werden dabei oft "natürliche Zahlen" genannt.

2*

20 Ir. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

(3) Defini tion von GÖDEL (1937): Eine Menge M ist eine Ordnungs-zahl, wenn gilt:

a) M ist transitiv. b) jede nicht-leere Teilmenge von M ist fundiert. c) jedes Element von M ist transitiv.

(4) Definition von ROBINSON (1937): Eine Menge M ist eine Ordnungszahl, wenn gilt:

:~ } wie bei Def. (3).

c) Sind A und B zwei verschiedene Elemente von M, so ist entweder A € B oder B €A.

(5) Defini tion von BERNAYS (1941): Eine Menge Mist eine Ordnungs-zahl, wenn gilt:

a) M ist transitiv. b) jede transitive echte Teilmenge von M ist Element von lliJ.

Der Beweis der Äq ui valenz dieser Definitionen erfolgt schrittweise:

1. Zunächst sieht man, daß der Durchschnitt einer beliebigen Klasse von Mengen, die Ordnungszahlen nach Def. (4) sind, wiederum eine Ordnungszahl nach Def. (4) ist. - Ist M eine Ordnungszahl nach Def. (4), so gilt M non € M (d.h. M ist nicht "reflexiv"); denn sonst wäre die Teilmenge {M} c M nicht fundiert.

2. Ist M eine Ordnungszahl nach Def. (4), so ist M die Menge der transitiven echten Teilmengen von M.

Beweis: Ist C € M, so ist (weilM transitiv ist) CcM; C ist echte Teilmenge von M, denn sonst wäre C = M, also M € M, Widerspruch. C ist transitiv, denn aus A € B, B € C folgt zunächst B € M, also Be M, also A € M, also A cM; und wäre A = C oder C €A, so wäre {A, B} bzw. {A, B, Cl nicht fundiert, also ist A € C. - Ist anderseits C eine transitive echte Teilmenge von M, so gibt es ein Element A € M - C, so daß A (M - C) = 0; ist B € C, so ist also weder A = B noch A € B, weil C transitiv ist; da entweder A € B, B €A oder A = B sein muß, folgt somit B €A; also gilt CcA. Wegen A c M und A (M - C) = 0 gilt aber auch Ac C, also A = C, also C € M.

3. Daraus folgt unmittelbar: Ist M eine Ordnungszahl nach Def. (4), so ist jedes Element A € M eine Ordnungszahl nach Def. (4). M ist somit die Menge aller Ordnungszahlen A € M.

4. Sind A und B Ordnungszahlen nach Def. (4), so gilt: A € B +-+ A ist echte Teilmenge von B.

Beweis: Ist A €B, so ist (weil B transitiv ist) AcB, ferner A =1= B, denn sonst wäre A €A, Widerspruch. Ist A cB und A =1= B, so ist nach 2.

A €B. 5. Jede Klasse K von Mengen, die Ordnungszahlen nach Def. (4) sind, ist

durch die €-Beziehung wohlgeordnet.

Beweis: Sind A und B zwei verschiedene Elemente von K und ist D =AB, so ist nach 1. D auch eine Ordnungszahl nach Def. (4). Wäre D echter Teil von A und von B, so wäre nach 4. D € A und D € B, also D € D, Widerspruch. Also ist entweder D = A oder D = B, d. h. entweder B echter Teil von A (also B €A), oder umgekehrt. Ist ScK, so hat S ein erstes

§ 4. Die Ordnungszahlen. 21

Element: E = l) Aisteine Ordnungszahl nach Def. (4), wobeiEcA für alle AeS

A € 5; wäre E =1= A für alle A € 5, so wäre E €A für alle A € 5, also E € E, Widerspruch. Also ist E € 5; E ist das erste Element von 5, denn ist C € K und C € E, so ist nach 4. C echter Teil von E, also C non € 5. - Daraus folgt, daß jede Ordnungszahl nach Def. (4) eine wohlgeordnete Menge ist.

6. Jede transitive Menge M von Ordnungszahlen nach Def. (4) ist selbst eine Ordnungszahl nach Def. (4).

Beweis: Sind A und B zweiverschiedene Elemente von M, so ist nach 5. entweder A € B oder B € A. Ist 5 c Mund 5 =1= 0, so hat 5 ein erstes Element E; ist C € E, so ist C non € 5; also ist 5 fundiert.

7. Daraus folgt sofort: Jede transitive Menge M von Ordnungszahlen nach Def. (4) ist die nächste Ordnungszahl nach allen A € M in der Klasse aller Ordnungszahlen nach Def. (4). Speziell ist A * die nächste Ordnungszahl nach der Ordnungszahl A. - Übrigens gilt für jede Menge M von Ordnungszahlen nach Def. (4) M = m A. - Die Ordnungszahlen nach Def. (4) erfüllen

AeM das Axiom der Ordnungszahlen, denn jede beliebige wohlgeordnete Menge kann ähnlich auf eine solche Ordnungszahl abgebildet werden.

8. Def. (3) und Def. (4) sind einander äquivalent. Beweis: M sei eine Ordnungszahl nach Def. (3), 5 sei die Menge der

Elemente von M, die keine Ordnungszahlen nach Def. (4) sind. Wäre 5 =1= 0,

so wäre 5 fundiert, also gäbe es ein Element B € 5 mit B5 = o. Ist C € B, so folgt wegen Be Mund B 5 = 0, daß C € M - 5; daraus folgt, daß C eine Ordnungszahl nach Def. (4) ist. Somit ist nach 6. auch B eine Ordnungszahl nach Def. (4), Widerspruch. Also ist 5 = o. Also sind alle Elemente von M Ordnungszahlen nach Def. (4), also ist nach 6. auch M eine solche Ordnungszahl. - Ist M eine Ordnungszahl nach Def. (4), so folgt aus 2., daß jedes Element von M transitiv ist, also ist M eine Ordnungszahl nach Def. (3).

9. Def. (4) und Def. (s) sind einander äquivalent. Beweis: Ist M eine Ordnungszahl nach Def. (4), so ist nach 2. Meine

Ordnungszahl nach Def. (s). - M sei eine Ordnungszahl nach Def. (S), 5 sei die Menge der Elemente von M, die Ordnungszahlen nach Def. (4) sind. Ist A €B und B€5, so ist nach 3. A eine Ordnungszahl nach Def. (4), alsoA €5. Somit ist 5 transitiv. Nach 6. ist also 5 eine Ordnungszahl nach Def. (4). Wäre 5 =1= M, so wäre 5 eine transitive echte Teilmenge von M, also 5 € M, also 5 € 5, Widerspruch. Also ist 5 = M, also istM eine Ordnungszahl nach Def. (4).

10. Def. (1) und Def. (S) sind einander äquivalent. Beweis: M =1= 0 sei eine Ordnungszahl nach Def. (I), A sei die kleinste

Ordnungszahl nach Def. (S), für die A c Mund A non E M gilt. Dann ist wegen Ac M also entweder A = Moder A E M. Weil das letztere ausgeschlossen ist, ist A = M, also M eine Ordnungszahl nach Def. (S). - M sei eine Ordnungszahl nach Def.(s). Ist M =1= 0, so ist 0 E M, weil 0 eine transitive echte Teilmenge von M ist. Da jedes Element von M eine Ordnungszahl nach Def. (S) ist, ist mitA EM auchA*, und mit NcM auch m A eineOrd-

AeN nungszahl nach Def. (S); somit sind die Bedingungen von Def. (1) erfüllt.

11. Def. (2) und Def. (S) sind einander äquivalent. Beweis: M sei eine Ordnungszahl nach Def. (2). Ist BE Mund A E B,

so istB ein Abschnitt vonM, alsoA EU; also ist M transitiv. Ist5 eine transi-

zz 11. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

tive echte Teilmenge von M, und ist zudem B E 5 und A -s B in der Wohlordnung von M, so ist A E B (weil B gleich dem zu B gehörigen Abschnitt .von M ist), also A ES; 5 ist also auch ein Abschnitt von 1'1,1, und sein definierendes Element muß 5 sein, also ist 5 E M. M ist also eine Ordnungszahl 'nach Def. (5). - Ist M eine Ordnungszahl nach Def. (5), so folgt nach den obigen Sätzen unmittelbar, daß für 1VI die Bedingungen von Def. (2) erfüllt sind. -

Wir verlangen im folgenden nicht, daß die Ordnungszahlen diese speziellen (durch die obigen Definitionen gegebenen) Vertreter sein sollen, sondern nur, daß sie das Axiom der Ordnungszahlen erfüllen (wir unterscheiden also zwischen einer Ordnungszahl a und der Menge W (a), welche bei den speziellen Ordnungszahlen ja zusammenfallen).

§ 5. Stetige Funktionen von Ordnungszahlen.

1. Transfinite Funktionen. Funktionen mit wohlgeordnetem Argumentbereich werden oft auch Folgen genannt. Darunter fallen somit auch Funktionen, deren Argument- und Wertbereiche Klassen von Ordnungszahlen sind (die wir, sofern sie transfinite Argumente oder Werte haben, transfinite Funktionen nennen). Wir betrachten fast immer solche Funktionen, deren Argumentbereiche Anfangsstücke von W sind. Der Argumentbereich A ist also entweder die Klasse W oder dann eine Menge W (A), wobei A eine Ordnungszahl ist. Im letzteren Fall heiße die Funktion (Folge) vom Typ A. Die durch eine Funktion (Folge) F einer Ordnungszahl I; eindeutig zugeordnete Ordnungszahl wird mit F (I;) oder einem Symbol der Form (XE bezeichnet, die Funktion im letzteren Fall mit F = {(XE}EeA (im FallA = W(A) auch mit F = {(XE}.<A)'

Def. 1. Eine Funktion F heißt monoton, wenn F(I;I) ~ F(1;2) für beliebige Argumente 1;1 und 1;2 mit 1;1 < 1;2' wachsend, wenn F(I;I) < F(1;2) für solche Argumente [6].

Jede wachsende Funktion ist somit monoton. Eine wachsende Funktion ist allein schon durch ihren Wertbereich eindeutig bestimmt: sie ist die (einzige) ähnliche Abbildung des Argumentbereichs auf den Wertbereich.

Neben diesen gewöhnlichen Funktionen (auch Funktionen von einer Variablen oder einjache Folgen genannt) werden wir auch Funktionen von zwei Variablen (Doppeljolgen) betrachten. Das sind Funktionen, die jedem geordneten Paar (I;, 'f]) von Ordnungszahlen I; und 'f] (wobei I; und 'f] je die Zahlen eines Anfangsstückes A bzw. B von W durchlaufen) eindeutig eine Ordnungszahl F (I;, 'f]) oder (XE, '1 zuordnen, deren Argumentbereich also [A, B] ist. Jeder solchen Funktion entsprechen zwei Folgen von Funktionen (die man durch Festhalten der ersten bzw. der zweiten Variablen erhält); umgekehrt entspricht jeder Folge von Funktionen {iE}EeA, die alle den Argumentbereich B haben, eine Funktion F von

§ 5. Stetige Funktionen von Ordnungszahlen. 23

zwei Variablen, die jedem Paar (;,1]) E [A, B] die Ordnungszahl F(;, 1)) = IE(1)) zuordnet.

Def. 2. Eine Folge {/E}EeA (mit ArgumentbereichA) von Funktionen (mit Argumentbereich B) heißt monoton, wenn für jedes 1) E B gilt: 1<1 (1)) ~ IE• (1/) für beliebige ;1' ;2 aus A mit;l < ;2 [9]·

Diese Funktionsbegriffe lassen sich verallgemeinern: In Analogie zur Analysis nennen wir eine Funktion F, die allen Folgen {IXE}. < A von beliebigem Typ A ~ 1 eindeutig je eine Ordnungszahl C zuordnet (die wir mit einem Operatorsymbol

C = F IXE E<A

bezeichnen), ein Funktional. Werden nur den Folgen vom Typ A= 1

Ordnungszahlen ~ zugeordnet, so haben wir eine Funktion von einer Variablen (mit Argumentbereich W); dem Fall der Beschränkung auf A = 2 entspricht eine Funktion von zwei Variablen (mit Argumentbereich [W, W]) oder eine Folge (mit Argumentbereich W) von Funktionen (mit Argumentbereich W).

2. Der Limes einer Folge von Ordnungszahlen. Eines der wichtigsten Beispiele eines Funktionals ist der Limes.

Def.3. Ist{IXEh < A eine Folge von Ordnungszahlen, deren Typ eine Limeszahl A ist, so heißt die Ordnungszahl IX der Limes dieser Folge, in Zeichen

IX = lim "'E, E<A

wenn es zu jeder Ordnungszahl ß < 01. eine Ordnungszahl fl < A gibt, so daß ß< IXE ~ '" für alle; mit fl < ; < A (wobei also die Folge jede Ordnungszahl ß < IX schließlich "endgültig" überschreitet) [9].

Der Limes (der übrigens keine Limeszahl zu sein braucht) existiert nicht immer; er existiert, wenn die Folge Von einer Stelle ab monoton ist (d.h. wenn ein Rest der Folge existiert, der monoton ist). Ist die Folge

von einer Stelle ab wachsend, so ist lim "'E = min ( sup "'<); ist die ganze E<A p<A p;;;;E<A

Folge wachsend, so ist lim IX, = sup IXE• «A ö<A

Def. 4. Sind Mund N zwei Klassen von Ordnungszahlen ohne Maximum, so heißen Mund N zusammengehörig, wenn es zu jeder Ordnungszahl jeder der beiden Klassen eine größere Ordnungszahl in der andern Klasse gibt [2].

Dafür, daß für zwei wachsende Folgen {"'<h < l' und {ß,J'1 < v vom Limeszahltyp fl bzw. ')I gilt lim IXE = !im ß7J , ist notwendig und hin-

E<p 7J<V reichend, daß die Wertmengen der beiden Folgen zusammengehörig sind.

24 11. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

Def. 5. Sind,u und v zwei Ordnungszahlen, so heißt,u kon/inal mit v, wenn,u die obere Grenze der Wertmenge einer wachsenden Folge vom Typ v ist [7].

Ist,u mit v konfinal, so ist,u ;;;;; v. Jede Ordnungszahl ist mit sich selbst konfinal. Sind,u und v zwei Limeszahlen, so ist ,u dann und nur dann konfinal mit v, wenn ,u der Limes einer wachsenden Folge vom Typ v ist; ist,u von 1.Art, so ist,u konfinal mit jeder Ordnungszahl v von 1.Art mit 1 ~ v ~,u. Die Relation der Konfinalität ist transitiv: Ist ~ mit fJ und ß mit y konfinal, so ist ~ mit y konfinal.

Def.6. Ist {t7J}7J < I' eine Folge vom Limeszahltyp v von Funktionen /fj mit demselben Argumentbereich A, und existiert lim /7J (;) für jedes

7J<I' ; € A, so nennen wir die Funktion F (;) = lim /7J (;) die Grenz/unktion der gegebenen Funktionenfolge. 7J< I'

Eine monotone Folge von Funktionen hat immer eine Grenzfunktion. Über die Vertauschbarkeit der Limesoperationen bei Doppelfolgen gilt folgender Satz:

Satz 1. Es sei F(;, 'f]) eine Doppel/olge mit der Argumentmenge [W (,u), W (v)], wobei,u und v Limeszahlen sind, und alle Funktionen, die man durch Festhalten einer Variablen erhält, seien monoton; dann sind also die beiden Funktionen/olgen, die man aus der Doppel/olge erhält, monotone Folgen von monotonen Funktionen, und beide haben eine Grenz/unktion A e = lim F(;, 'YJ) bzw. B7J = limF(;, 'f]). - Nun gilt: Sind beide Limes-

7J<I' «~

zahlen,u und v gemeinsam mit einer bestimmten Limeszahl A kon/inal, so ist lim Ae = lim B'1. e<~ '1<1' Beweis: Es gibt zwei wachsende Folgen {,ueh<Ä und {velo<.< mit

den Limites,u bzw. v. Für festes; < A ist

also

also

also

F (,ue ,ve) ~ F (,ul; ,v'1) ~ F (,u1J' vl'J) für ; < 1] < A ,

F (,ue, ve) ~ A P; ~ lim F (,uI'J' v'1) , '1<.<

lim F (,ue, Vt;) ~ lim A ~~ = lim A e ~ lim F (,u'1' vr) • t;<Ä e<Ä t;<~ I'J<Ä

lim At; = lim F (,ue, ve) . I;<~ «Ä

Ebenso folgt lim BI'J = lim F (,ul; ,Vt;) , '1< v t;< Ä

also lim A e= lim BI). e<~ 7J<V

§ 5. Stetige Funktionen von Ordnungszahlen. 25

3. Stetige Funktionen [6]. Es sei 1 eine beliebige transfinite Funktion, die jeder Ordnungszahl; eines Anfangsstückes A von Weine Ordnungszahl 1 (;) zuordnet.

D e f. 7. Ist A € A eine Limeszahl und existiert 1 (A) = lim 1 (;), so heißt

1 (A) der Grenzwert der Funktion 1 an der Stelle A. - -

Def. 8. Ist/(A) =1= I(A),soheißtlanderStelldunstetig;ist/(A) =/(A), so heißt 1 an der Stelle A stetig. Eine Funktion I, die an jeder LimeszahlargumentsteIle stetig ist (d.h. also, für die I(A) = lim 1(;) für jede Limes-zahl A € A), heißt eine stetige Funktion. < < A

Def. 9. Eine monotone und stetige Funktion heißt eine halbnormale Funktion, eine wachsende und stetige Funktion eine Normallunktion [6].

Satz 2. Für iede wachsende Funktion 1 gilt 1(;) ;;:;; ; (Beweis sehr einfach mittels transfiniter Induktion nach ;).

Für die halbnormalen Funktionen gilt das folgende spezielle Rekursionsprinzip (vgl. § 3) :

Satz 3. Ist g eine beliebige Funktion mit dem Argumentbereich W mit g (;) ;;;; ? und ist a: eine beliebige Ordnungszahl, so gibt es genau eine halbnormale Funktion 1 mit dem Argumentbereich W mit den Eigenschalten

t(o)=a:, 1(;+l)=g(f(;))1.

Die halbnormalen Funktionen haben ferner folgende wichtige (und leicht zu beweisende) Eigenschaft:

Sa tz 4. Ist 1 eine halbnormale Funktion, liegt ß nicht im Wertbereich von I, und hat 1 Werte, die kleiner, und solche, die größer als ß sind, so gibt es unter den Ordnungszahlen; mit 1 (;) < ß ein Maximum; 0' so daß also 1(;0) < ß < 1(;0 + 1).

1 sei nun eine monotone Funktion. Dann existiert für jedes Limes-- -

zahlargument A der Grenzwert 1 (A), und es ist 1 (A) ~ 1 (A). Die Unste-tigkeitsstellen von 1 sind also durch 1 (A) < 1 (A) charakterisiert. Jede mono

tone Funktion 1 läßt sich zu einer halbnormalen Funktion 1 ergänzen,

indem man ihr die folgende Funktion 1 (die die zu 1 gehörige halbnormale Funktion heißen soll) zuordnet: Es sei

a) 1(0)=/(0),

b) 1 (A) = lim 1 (;) für jede Limeszahl A €A , ~< Ä

c) für jedes ~ sei 1 (; + 1) der kleinste Wert 1 (1]) > 1 (;) . 1 Beim Gebrauch der Summe ~ + 1 in §§ 5-9 wird die Kenntnis der Arithmetik

der Ordnungszahlen noch nicht vorausgesetzt; für jede Ordnungszahl ~ bedeute ~ + 1 einfach die Nachjolgerzahl von ~ (vgl. § 4).

Ir. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

- -Für alle Argumente ~ gilt also f (~) ;;;; f (~) ;;;; f (~ + 1). Ist f eine wach-sende Funktion, so ist leine Normalfunktion.

Das Argument (X einer monotonen Funktion f heißt eine Wachstumsstelle vonf, wenn es kein Argumentß < (X gibt mit f(ß) = f(X).Die Wachstumsstellen einer halbnormalen Funktion bilden, der Größe nach geordnet, eine Normalfunktion a mit a(o) = 0 und a(~) von l.Art für ~ von l.Art [6].

4. Folgen stetiger Funktionenl [9J. Sa tz 5. Jede beliebige Funktion f vom Typ Cl, wobei Cl< W 1 , ist Grenzfunk

tion einer Folge {fn}n < ro vom Typ W von stetigen Funktionen vom Typ Cl.

Beweis: Der Fall endlicher Cl ist trivial; es sei also W ;;;; Cl < W 1• Dann gibt es eine Anordnung g'n}n <ro aller Ordnungszahlen< Cl im Ordnungstypus w. Für jedes n< W sei {~n,ili~n die Folge, die man erhält, wenn man die Ordnungszahlen ~i mit i ;::;:;; n der Größe nach ordnet. \Vir definieren für jedes n < weine Funktion fn:

fn(~)=/(~n,o) für ~;::;:;;~n,o,

fn(~)=/(~n,k+,) für ~n,k<~;::;:;;~n,k+l (fürk<n),

In (~) = 1 für ~n,n < ~ < Cl •

Die Funktionen fn sind stetig. Ist ~ < Cl, so gibt es ein m < W mit ~ = ~m' Ist n ~ m, so gibt es eine Zahl k n ;::;:;; n, so daß ~ = ~n,kn' also

In m = fn (~n, kn) = f(~n,kn) = f(~) ;

also ist lim In (~) = I(~). n<ro

Mit Hilfe des Auswahlaxioms läßt sich beweisen:

Sa tz 6. Die Funktion IW = ~ + 1 vom Typ W1 ist nicht Grenzfunktion einer transfiniten Folge stetiger Funktionen.

Be w eis: Annahme: {fn}n < ro sei eine Folge stetiger Funktionen vom Typ W 1 und Iimln (~) = ~ + 1 für ~ < w1. Also gibt es zu jedem ~ < w1 eine

n<ro natürliche Zahl p~ < w, so daß InW = ~ + 1 für n ~ h; also gibt es eine natürliche Zahl p < w, so daß Pö = P unendlich viele Lösungen ~ < W 1 hat. Somit existiert eine wachsende Folge {~n}n < ro, so daß Pön = P für n < w. Es sei e = lim ~n; also ist ~' < w1 (nach dem Auswahlaxiom, vgl. § 32). Nun

n<ro wird fn(~i) = ~i + 1 für n ~ p und i < w, also

Iimln (~i) = lim(~i + 1) =~' für n ~ p. i< {j) i<w

Ist m eine natürliche Zahl ~ p und ~ Pö', so ist

limfm (~i) = ~', Im (~') = e + 1, i< ro

d.h.fm ist an der Stelle ~ =~' unstetig, Widerspruch. Somit istf(~) = ~ + 1 nicht Grenzfunktion einer Folge vom Typ W (oder von mit W konfinalem Typ) von stetigen Funktionon, also nicht Limes einer Folge vom Typ< W1

von stetigen Funktionen. - Annahme: f(~) = ~ + .1 sei Grenzfunktion einer Folge vom Typ 't ~ W 1 von stetigen Funktionen, wobei 't eine nicht mit W

1 Definition von w1 und Eigenschaften der Zahlen;::;:;; w1 siehe § 27.

§ 6. Die ordinalen Anfangszahlen; 27

konfinale Limeszahl sei: lim f~ (~) = ~ + 1 für alle ~ < Wl' Also existiert zu v<.-

jedem ~ < w1 eine Zahl v. < -r, so daß fv (~) = ~ + 1 für v~ ~ v < -r; ferner 'Sei v' = sup v,; es ist wiederum ,," < W 1• Also ist fd~) = ~ + 1 für alle

• ~ al ~ ~ w, also limk(~) = W < W + 1 = fv'(w), d.h.fv' wäre an der Stelle ~ = W

,<al unstetig, Widerspruch.

Sa tz 7. Die Grenzfunktion einer monotonen Folge von halbnormalen Funktionen ist eine halbnormale Funktion.

Beweis: Es sei Ifv}v <,; eine Folge vom Limeszahltyp -r von halbnormalen Funktionen (mit demselben Argumentbereich), und es sei limfv (~)

v<'; = f(~) für jedes Argument ~. J. sei ein Limeszahlargument, und p. < f(J.). Nun existiert eine Zahl v' < -r, so daß p. <fv(J.) ~f(J.) für v' < v < -r. Es sei" eine Zahl mit v' < v < -r. Da fv stetig ist, gibt es eine Zahl C1 < J., so daß p. < fv (~) ~ fv (J.) für C1 < ~ < J.. Ferner ist fv (~) ~ f(~), also f.l < f(~) für C1 < ~ < J., und weilf monoton ist, ist f.l < f(~) ~ f(J.) für C1 < ~ < J., d.h.j ist an der Stelle ~ = J. stetig.

Bemerkung: Dieser Satz gilt nicht, wenn die Funktionenfolge nicht monoton ist; Gegenbeispiel: If .. }n< 0." wobei

für ~ ~n,

für ~>n.

Der Satz gilt auch nicht für Folgen nicht monotoner stetiger Funktionen; Gegenbeispiel: If .. )n < al' wobei

für ~ < n und

für n~~~w.

~>W,

§ 6. Die ordinalen Anfangszahlen.

1. Definition der ordinalen Anfangszahlen und Zahlklassen. Def. 1. Eine Ordnungszahl ~ heiße normal bezüglich der Ordnungs

zahl (x, wenn alle Ordnungszahlen 'YJ mit 'YJ ~ ~ mit einer Ordnungszahl ~ (X

konfinal sind [4]. - Mit ~ sind somit auch alle Vorgänger von ~ normal bezüglich (x.

Def. 2. Die Klasse N der bezüglich (X ~ 1 normalen Ordnungszahlen kann auch so definiert werden [11]:

1.~EN für ;~(X.

2. ~ E N -+ ~ + 1 E N.

3. ~ = lim ~v' ~v E N für v < Ä, Ä E N -+ ; E N. v<Ä

4. Es gibt keine echte Teilklasse von N mit den Eigenschaften 1. bis 3.

Man kann leicht beweisen, daß diese beiden Definitionen äquivalent sind.

28 H. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

Die Klasse der bezüglich (X normalen Ordnungszahlen ist ein Anfangsstück von W, also entweder die Klasse W oder eine Menge W (A ((X)), wobei A ((X) die kleinste Ordnungszahl ist, die nicht normal bezüglich (X ist. Wir definieren eine Normalfunktion Q. durch die Festsetzungen:

Qo=A(l)=W,

QH 1 = A (QE), wenn A (Q.) existiert (d. h. wenn die Klasse der bezüglich !JE normalen Zahlen =1= W ist),

Q;. = lim QE' wenn A. eine Limeszahl ist und alle Q. mit ~ < A. Ö<i.

existieren. Wir nennen die Ordnungszahlen Q" die dadurch für alle Ordnungs

zahlen ~ E A, wobei A ein nicht-leeres Anfangsstück von W ist, definiert sind, die ordinalen Antangszahlen1 . Diese sind Limeszahlen. Ohne Auswahlaxiom können wir noch nichts über A aussagen (vgl. §§ 27 und 39), außer daß im Fall A = W (A.) die Ordnungszahl A. keine Limeszahl sein kann (weil dann Qi. = limQ. existieren würde; Widerspruch).

,<i. Die endlichen Ordnungszahlen «Qo), oder dann die bezüglich einer

Anfangszahl QE normalen Ordnungszahlen ~ Q. werden zu Klassen zusammengefaßt, die wir ordinale Zahlklassen nennen wollen: Die endlichen Zahlen bilden die erste, die Zahlen rJ mit Qo ~ rJ < Ql (sofern !J1

existiert) die zweite ordinale Zahlklasse usw. Die zweite ordinale Zahlklasse ist die wichtigste Zahlklasse im Hin

blick auf die Anwendungen der Ordnungszahlen in der Theorie der Punktmengen (alle diese Anwendungen zeigen nämlich, daß man nur die Ordnungszahlen der ersten und zweiten Zahlklasse braucht). Die Vereinigung der ersten und zweiten ordinalen Zahlklasse nennen wir Z; sie ist also die folgendermaßen definierte Klasse von Ordnungszahlen: Eine Ordnungszahl (X gehört dann und nur dann zu Z, wenn alle ß mit ß ~ (X entweder isolierte Ordnungszahlen oder Limites von wachsenden Folgen vom Typ W sind. Für Z gilt das Prinzip der transfiniten Induktion in der folgenden speziellen Form: Ist A eine Klasse von Ordnungszahlen mit den Eigenschaften

1. OEA,

2. (XEA -? (X + 1 EA ,

3. (Xn EA für n < W -? sup (XnEA, n<w

so ist Z cA. Zu jeder Limeszahl A. E Z gibt es eine wachsende Folge {J.",},,<w mit dem Limes A.. - Ohne Auswahlaxiom läßt sich nur zeigen,

1 Wir unterscheiden diese ordinalen Anfangszahlen [} E von den gewöhnlichen CANToRschen (kardinalen) Anfangszahlen w. (§ 27); diese beiden Begriffe fallen nur bei Zugrundelegung des Auswahlaxioms zusammen, das wir hier noch nicht voraussetzen.

§ 6. Die ordinalen Anfangszahlen. 29

daß entweder Z = W oder Z = W (D 1) ist; erst das Auswahlaxiom sichert die Existenz höherer ordinaler Zahlklassen über der zweiten.

2. Reguläre und singuläre Ordnungszahlen. Da jede Ordnungszahl (X

mit sich selbst konfinal ist, existiert zu jeder Ordnungszahl (X die kleinste Ordnungszahl, mit der (X konfinal ist. Die Ordnungszahlen lassen sich in zwei Klassen einteilen:

Def. 3. Ist (X mit keiner kleineren Ordnungszahl als (X konfinal, so heißt (X regulär, sonst singulär.

Dafür, daß eine Limeszahl Ä regulär ist, ist somit notwendig und hinreichend, daß jeder Limes von wachsenden Folgen vom Typ< Ä von Ordnungszahlen< Ä auch< Ä ist. Ferner gilt;

Satz 1. Jede Ordnungszahl (X ist mit einer und nur einer regulären Ordnungszahl konfinal.

Beweis: Die kleinste Ordnungszahl p, mit der (X konfinal ist, ist regulär; denn wäre sie singulär, so wäre sie mit einer noch kleineren Ordnungszahl konfinal, und auch (X wäre mit dieser konfinal, Widerspruch. Wäre (X mit einer andern regulären Ordnungszahl y konfinal, so wäre y > p. Im Fall (X von 1.Art wäre ß = 1 und y von 1.Art > 1, also y singulär, Widerspruch. Ist (X eine Limeszahl, so sind ß und y Limeszahlen, und es gäbe zwei wachsende Folgen {(X.}.<B und {(XE}.<y mit lim (x. = lim (X~ = (x. Dann könnte man eine weitere Folge {(X~}'1 < A mit ~<fI .<Y einem Limeszahltyp Ä ~ ß definieren: Es sei (X; = (X~; ist (X~ = (XE'1 für rJ < f-l definiert, so sei (X~ = (XE" die kleinste Zahl (XE, die die kleinste Zahl (XE über allen (X~ mit rJ < f-l übertrifft. Nun wird (X = lim (X~ und y = lim ;'1' im Widerspruch zur Regularität von y. '1 < A

'1<.1. Bei der Untersuchung, welche Ordnungszahlen regulär und welche

singulär sind, fallen die isolierten Ordnungszahlen sogleich weg; denn -0 und 1 sind regulär, und alle Ordnungszahlen> 1 von 1.Art sind singulär (da mit 1 konfinal). Bezüglich der Limeszahlen sieht man aus -der Definition der Anfangszahlen, daß jede Limeszahl Ä mit D. < Ä < Dö+ 1 mit einer Ordnungszahl ~ D. konfinal ist, d. h. also, daß jede Limeszahl, die keine Anfangszahl ist, singulär ist. Es verbleiben somit nur noch die ordinalen Anfangszahlen für eine weitere Untersuchung. Dabei gilt:

Satz 2. Die Zahl DEH ist (sofern sie existiert) die erste reguläre .ordnungszahl nach D.; fede Anfangszahl D. mit isoliertem Index ~ ist somit regulär,

Beweis: Nach Definition ist Q'+l die kleinste Ordnungszahl, die nicht nonnal bezüglich D. ist. Wäre nun Q. + 1 singulär, so wäre QE + 1

mit einer Limeszahl1'] < D. + 1 konfinal ; ferner wäre, weil rJ bezüglich D.

30 II. Ordnungszahlen und transfinite- Funktionen.

normal ist, 'YJ mit einer Limeszahl C -;;;,QE konfinal; somit wäre Q~ + 1

mit C konfinal, d. h. QE + 1 bezüglich QE normal, Widerspruch.

Bezüglich der Regularität bleiben also nur noch die ordinalen Anfangszahlen QE mit Limeszahlindex ~ fraglich (sofern solche existieren). Dieses Problem gehört aber zu den tiefsten Grundlagenproblemen der Mengenlehre (vgl. § 42).

3. Die Funktion cf (0:). Aus den letzten Betrachtungen folgt, daß zu jeder Limeszahl A die kleinste Ordnungszahl, mit der sie konfinal ist, eine reguläre Anfangszahl Q.y ist. Wir definieren für jede Ordnungszahl a: einen Funktionswert cl(a:):

Def.4. Ist a: eine Limeszahl, so sei cl(a:) der Index y der kleinsten OrdnungszahlQ", mit der a: konfinalist; ishisoliert, so sei cl (0:) = 0: [10]1.

Diese Funktion cl (0:) hat folgende Eigenschaften:

cl (0:) -;;;, 0: ,

cl (cl (0:)) = cl (0:) ,

cl (tJtz) = cl (0:) .

Es ist cl (0:) = 0: dann und nur dann, wenn 0: isoliert oder eine reguläre Anfangszahl mit Limeszahlindex ist. Die regulären Anfangszahlen tJE sind also diejenigen mit cl(tJE) =~, die singulären diejenigen mit cl(Q~) <~.

4. Anhang: 'Ober gelichtete Klassen von Ordnungszahlen [3,8]2. Def.5. Es sei A ein Anfangsstück von Wohne Maximum. Eine Teil

klasse K cA heißt eine gelichtete Teilklasse von A, wenn die Differenzenfunktion (vgl. § 11) der zu K gehörigen wachsenden Funktion jede Zahl von A schließlich "endgültig" überschreitet.

In den beiden folgenden Sätzen sei ex eine beliebige Ordnungszahl, zu der !Jtz existiert, und die Ordnungszahl ,,(ex) sei so definiert: Ist ex von 1. Art, so sei ,,(ex) = ex - 1; ist ex von 2. Art, so sei ,,(ex) = cf(ex).

Sa tz 3. Es gibt keine Folge von kleinerem Typ als !J" (tz) von gelichteten, mit W(!Jtz) ähnlichen Teilklassen von W(!Jtz), deren Vereinigung W(!Jtz) ist.

Beweis: Annahme: W(!Jtz) = m F p , wobei C < !J,,(tz) und jedes F p mit 1'<1;

~ < C eine mit W (!Jtz ) ähnliche gelichtete Teilklasse von W (!Jtz) mit zugehöriger Folge {7J(p)} n sei. Nun existiert eine Zahl Cl <!Jtz mit C< Cl < ~ < "tz

~ !J,,(tz) und C< f1 3 (denn ist ex von 2. Art und cf(ex) < ex, so setze man Cl = !J,,(tz); ist ex von 2. Art und cf(ex) = ex, so gibt es ein Cl mit C < Cl < !Jet = !Jy(tz) mit C < Cl; ist ex von l.Art, so sei Cl = !Jl'(et»). Definiert man

6(1') - _ .,(p) + ",(;.) • - .,. ".+1' 1 Die Verwendung des Auswahlaxioms erlaubt eine einfachere Definition von

cf(ex) (vgl. § 32). 2 In diesem Anhang müssen wir einige (erst später erklärte) Begriffe aus der

Arithmetik der Ordnungszahlen verwenden. 8 Für jede Ordnungszahl ex bedeute Ci = W(a) (vgl. § 27).

§6. Die ordinalen Anfangszahlen. 3 1

so ist nach Voraussetzung lim ö<;'} = Qa; für alle fl < C. Also gibt es zu jedem ~<Qa.

fl < C eine Zahl a p < Q a;, so daß

ö<;') > Cl für alb ~ mit ap ~ ~ < Qa; •

Ist a = sup ap, so ist a < Q" wegen C < Qy(~}, ferner p<C

Cir) > Cl für alle fl< C und alle ~ mit a ~ ~ < Qa.

Nun sei I! = 1: 'YJ(p), also Cl< I! < Qa· Ferner sei zu jedem fL < C die Zahl ~l p<C u

so gewählt, daß 'YJ\f} die kleinste Zahl 'YJ\f} ~ I! sei. Wegen 'YJ<.?} ~ I! ~ 'YJ(p) \01 ~ ~l (J

wird ~l ~ a, also öt) > Cl' also

(p) (p) + r ____ + r 1 (p) + r 'YJ., + 1> 'YJ" SI':;;; I! SI, aso 'YJ., + 1> I! SI'

Die Folge {'YJ(P}} hat zwischen (! und (! + Cl also höchstens das eine • • < Da

Glied 'YJ(p), Wegen f< [1 gibt es also in diesem Intervall eine Ordnungi;., zahl, die keiner Klasse F p angehört, was der Voraussetzung widerspricht.

Satz 4. Es gibt eine Folge vom Typ Qy(,,} von gelichteten, mit W(Q,,) ähnlichen Teilklassen von W(Q,,), deren Vereinigung W(Q,,) ist.

Beweis: a) Ist IX von 2. Art, so gibt es eine wachsende Folge I~.u}p < Dy (,,)

mit lim ~.u = Q". Es sei .u < D y (,,)

'YJ<t) = ~ für ~ ~ ~ p ,

'YJ<t)=~2 für ~p<~<Q".

Die Folgen {t}(p}} sind für alle fl < Qy(,,) wachsend, und ihre \Vert-~ ; < D"

mengen F.u sind gelichtet; ferner ist W(Q,,) = m F.u . .u< Dy(a;)

b) Ist IX von 1. Art (also Y(IX) = IX - 1), so gibt es nach dem Auswahlaxiom eine Funktion, die jeder Ordnungszahl ~ < Q" eine Numerierung der Ordnungszahlen 'YJ mit Q~(,,} ~ 'YJ < Q~t)l durch eine Folge {t}~p}}p < Dy(a;)

zuordnet. Die Folgen {'YJr}}, < D" sind für alle fl < Qy (a) wachsend, und ihre \Vertmengen F p sind gelichtet, denn es ist

_ ",(p) + ",(.u) _ ",(p)

"; ", + 1 - .'. + 1 '

weil die Zahlen Qt )I-Zahlen sind. Ferner ist W (Q ,,) - {o} = m F.u. p < D y(a)

Folgerungen: 1. Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man somit beweisen, daß die regulären Anjangszahlen mit Limeszahlindex die einzigen Anjangszahlen Qa; sind, jür die W (Qa) nicht als Vereinigung einer Folge von kleinerem Typ als Q" von gelichteten, mit W (Qa) ähnlichen Teilklassen von W (Qa) dargestellt werden kann.

2. Durch eine leichte Modifikation des Beweises von Satz 4 erhält man das Resulta t: Aus dem Auswahlaxiom folgt, daß Z Vereinigung einer Folge vom Typ w von gelichteten mit Z ähnlichen Teilklassen von Z ist (vgl. § 38).

32 II. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

§ 7. Normalfunktionen.

1. Bänder [5]. Es sei A ein Anfangsstück von Wohne Maximum.

Def. 1. Eine Klasse B cA heißt in A abgeschlossen, wenn die obere Grenze jederTeilklasse von B ohne Maximum inB liegt, sofern sie inA liegt.

Def. 2. Eine in A abgeschlossene, mit A zusammengehörige (§ 5) Teilklasse von A heiße ein Band von A.

Die Bänder sind einfach die Wertbereiche der Normalfunktionen von Limeszahltyp: Jede Normalfunktion ep von Limeszahltyp hat als Wertbereich ein Band (und zwar ein Band der Klasse A, die man erhält, indem man den Wertbereich von ep so ,ergänzt, daß er mit jeder Ordnungszahl auch alle kleineren enthält); und umgekehrt definiert jedes Band B von A eindeutig eine zugehörige Normalfunktion, deren Wertbereich B ist; dabei ist im FallA = W ihr Argumentbereich W; im FallA = W(,u), wobei ,u eine Limeszahl ist, ist dieser eine Menge W (Ä), wobei Ä eine Limeszahl mit De!(p) ~ Ä ~,u ist. - Wir bezeichnen den Wertbereich einer Normalfunktion ep mit Vep.

Def. 3. Eine Normalfunktion heiße eine volle Normal/unktion, wenn ihr Wertbereich eine Teilklasse des Argumentbereichs ist (d.h. also, wenn lim ep (~) = Ä im Falle, daß der Argumentbereich W (Ä) ist, wobei Ä

s<). eine Limeszahlist).

Einer vollen Normalfunktion mit dem Argumentbereich A, der kein Maximum hat, entspricht ein mit A ähnliches Band von A und umgekehrt.

S atz 1. Die Vereinigung zweier Bänder Mund N von A ist wieder ein Band vonA.

Beweis: Die Klasse M + N ist mit A zusammengehörig. Sie ist in A abgeschlossen: Es sei Teine Teilklasse (ohne letztes Element) von M + N mit sup TE A. Es gibt zwei Fälle: a) Von einer Stelle ab enthält T nur Zahlen aus M oder nur aus N. Dann ist sup T in diesem bestimmten Band, also auch in M + N. b) Gibt es keine Zahl von T mit der Eigenschaft, daß alle größeren Zahlen von' T nur in einem bestimmten der beiden Bänder liegen, so ist sup Tin beiden Bändern, also auch in M + N.

Bemerkung: Die Vereinigung endlich vieler Bänder von A ist ein Band von A, aber die Vereinigung unendlich vieler Bänder von A braucht nicht ein Band zu sein.

Sa tz 2. Der Durchschnitt zweier Bänder Mund N von A ist ein Band von A, wenn A = W oder A = W (Ä), wobei Ä eine Limeszahl mit c/ (Ä) > 0

ist (im zweiten Fall hat der Durchschnitt einen Ordnungstypus ~ De/(A»)'

§ 7. Normalfunktionen. 33

Beweis: Wir nehmen an, von einer gewissen Stelle CXo € M ab hätten Mund N keine gemeinsamen Elemente mehr. Dann bilden wir eine wachsende Folge {cxn} n < w: Es sei

CX2 •n + 1 die erste Zahl aus N, die größer als CX2 •n ist,

CX2 • n + 2 die erste Zahl aus M, die größer als CX2 • n + 1 ist!.

Dann ist lim CXn € A und in beiden Bändern Mund N enthalten, was der n<w

Annahme widerspricht. Somit ist der Durchschnitt MN zusammen-gehörig mit A ; im Fall A = W (A) ist sein Ordnungstypus eine Limeszahl, mit der A konfinal ist, die also ;;;0; De! (A) ist. - Daß MN abgeschlossen ist, ist klar.

Satz 3. Es gibt zwei mit A ähnliche Bänder Mund N von A, deren Vereinigung A ist, und deren Durchschnitt im Fall A = W mit W ähnlich ist, im Fall A = W(A), C/(A) > 0 den Ordnungstypus De!().) hat und im FallA = W(A), C/(A) = 0 leer ist.

Beweis1 : Im Fall A = Wund A = W(A) mit regulärer Limeszahl A ist der Satz trivial, denn dann kann man M = A setzen und für Nein geeignetes anderes Band von A nehmen. - Nun sei A eine singuläre Limeszahl, also De!().) < A. Dann gibt es eine wachsende Folge {CXE}< < De!().) mit dem Limes A, die eine Normalfunktion von ~ ist. M sei die Menge der Ordnungszahlen 'YJ mit 'YJ ~ CXo oder CX2 • < + 1 < 'YJ

~ CX2 .«+1) für beliebiges ~ < De!().) und aller 'YJ = cx,. mit Limeszahlindex fl < De!(;,)· N sei die Menge der Ordnungszahlen IJ mit cx2 • < < 'i} ~ CX2 • • + 1

für beliebiges ~ < De!().) und aller 'i} = cx,. mit Limeszahlindexfl < De!().).

Der Durchschnitt MN ist dann die Menge der cx,. mit Limeszahlindex fl< De!(}.), also im Fall c/(A) > 0 ein Band vom Ordnungstypus De!(),),

im Fall C/(A) = 0 aber die Nullmenge; ferner ist M + N = A.

2. Volle Normalfunktionen mit regnlärem Ärgumentbereich [12].

D e f. 4. Ein AnfangsstückA von W heiße regulär, wenn entweder A = W oder A = W(A), wobei A eine reguläre Limeszahl > 0) ist. - Die regulären Anfangsstücke haben die folgende Eigenschaft: Ist {cxE} E < I"

eine Folge mit cx< € A für alle ~ < fl, wobei fl eine Limeszahl € A ist, so ist lim cx<€A. Jedes Band eines regulären Anfangsstückes ist mit ihm

«I" ähnlich. - Zum Beispiel ist Z ein reguläres Anfangsstück (§ 6).

Eine besonders wichtige Klasse von Normalfunktionen bilden die vollen Normal/unktionen mit regulärem Argumentbereich, wie aus dem

1 Beim Beweis von Satz 3 wird der Satz benutzt, daß jede Ordnungszahl Cl: entweder gerade (Cl: = 2 .~) oder ungerade (Cl: = 2 • ~ + 1) ist (vgI. § 12). Dadurch wird der Beweis einfacher als in [5]. - Der genannte Satz wird übrigens schon im Beweis von Satz 2 benutzt (allerdings nur für endliche Zahlen, für die er ja als bekannt vorausgesetzt werden darf).

Ergebn. d. Mathem. N. F. H. 1, Baehmann. 3

Folgenden hervorgeht: Aus Satz 1 und 2 folgt: Vereinigung und Durchschnitt der Wertbereiche zweier (oder endlich vieler) solcher N ormal/unktionen sind wieder die Wert bereiche zweier solcher Normal/unktionen mit demselben Argumentbereich. Ferner gilt:

Satz 4. Ist {IP1)} 1) <I' eine Folge vom Typ fl von vollen Normal/unktionen mit demselben regulären Argumentbereich A, wobei fl eine Limeszahl aus A ist, und ist

V IP'Il ::) V IP1). tür 'YJl < 'YJ2 < fl , so ist der Durchschnitt Xl V IPfJ der Wert bereich einer vollen Normalfunktion 1p

'1<1' mit dem Argumentbereich A. - Sind zudem alle Werte von 1p kritische Zahlen! jeder Normal/unktion IP'I mit 'YJ < fl, so gilt:

1p (0) = Iim IP'1 ((X) für (X ~ 1p (0) , '1<1'

1p(~ + 1) = lim IP'1((X) für 1p(~) < (X ~ 1p(~ + 1). '1<1'

Beweis: Für jedes ~ E A ist IP'11 (~) ~ f{J'1. (~) für 'YJl < 1]2 < fl, d.h. die Folge der Normalfunktionen ist monoton, also existiert ihre Grenzfunktion (XE = lim f{J'1 (~)2. Ihr Wertbereich ist eine mit A zusammengehörige

'1<1' Teilklasse von A. Ferner ist er eine Teilklasse von Xl V IP'1; denn für jedes

'1<1' ~ EA gilt: für beliebiges 'YJ < fl ist IPv (~) E V IP'1 für 'YJ ~ v < fl, also liegt wegen der Abgeschlossenheit von V f{J'I auch (XE in V IP'1' und daraus folgt (XE E 1) V IPr/- 1) V IP'1 ist in A abgeschlossen, weil der Durchschnitt

'1<1' '1<1' beliebig vieler in A abgeschlossener Klassen wieder in A abgeschlossen ist. Deshalb ist 1) V IP'1 der Wertbereich einer vollen Normalfunktion 1p mit

'1<1' dem Argumentbereich A. - Für 1p (~) < (X ~ 1p (~ + 1) und beliebiges 1] < fl ist nun, sofern die zusätzliche Bedingung erfüllt ist,

1p(~) ~ IP'1(1p (~)) < IP'1((X) ~IP'1(1p (~+ 1)) = 1p(~ + 1), also

1p (~) < lim IP'1 ((X) ;;;, 1p (~ + 1) • '1<1'

Da lim IP1) ((X) in V 1p liegt, folgt lim IP'1 ((X) = 1p (~ + 1). Für (X ~ 1p (0) wird '1<1' '1<1'

IPfJ((X);;;' IP1)(1p(o)) =1p(0), also limIP'1((X) ;;;''Ij!(o), und da limIPfJ((X) in V'Ij! '1<1' '1<1'

liegt, folgtlim IPfJ ((X) = 'Ij! (0). 1)<1'

Sa tz 5. Ist {IPfJ}fJ < I' eine beliebige Folge vom Typ fl von vollen Nor-mal/unktionen mit demselben regulären Argumentbereich A, wobei fl eine

1 Def. siehe § 8. 2 Nach § 5. Satz 7 ist diese eine halbnormale Funktion. S Der Wertbereich der Grenzfunktion ist sogar gleich ::l) V rp1).

'1<1'

§ 8. Iterationen und kritische Zahlen. 35

Limeszahl aus A sei, so ist :D V CF'1 der Wertbereich einer vollen N ormal'1<"

funktion mit dem Argumentbereich A.

Beweis: Wir setzen :D V CF'1 = DiJ für y ~ f-l. Dann ist D v ~ D v' '1<v

für 1 ~ y < y' ;:;;; f-l. Dv ist für jedes y mit 1 ~ y ~ f-l ein Wertbereich einer vollen Normalfunktion mit dem Argumentbereich A: Denn dies stimmt für y = 1, weil D l = VCF,; und stimmt es für alle y< 'JIo, so stimmt es auch für Yo, denn ist Yo = y~ + 1, so ist Dv• = Dv; V CFv; ein solcher Wertbereich, und istvo eine Limeszahl ~ f-l, so ist D v, = :D D v' und dies ist nach Satz 4 ein solcher vVertbereich. 1;;;; V < v.

§ 8. Iterationen und kritische Zahlen l •

1. Die Iterationen einer monotonen Funktion. Es sei f eine monotone Funktion mit dem Argumentbereich A. Wir definieren zwei Folgen von Funktionen gv und hv (von sog. Iterationen von f) : Es sei go (~) = ho (~) = ~ für alle ~ E W; für jede Zahl ~ E A, die im Argumentbereich von gv liegt, und für die gv (~) in A liegt, sei

für jede Zahl ~ E A, für die f (~) im Argumentbereich von hv liegt, sei

hv + 1 (~) = h~ (f (~»;

(1)

(2)

für jede Zahl ~ E A, für die alle Werte gv (~) und hv (n für y < A definiert sind, wobei A eine Limeszahl ist, sei

g;, (~) = lim gv (~), h;, (~) = lim hv (~) . v<;' v<Ä

Man sieht, daß diese Limites immer existieren. Alle so erhaltenen Funktionen gv und hv sind monoton. Den Übergang von einer Iteration der Ordnung y zur Iteration der Ordnung y + 1 nach Formel (1) bezeichnen wir mit Linksiteration, nach Formel (2) mit Rechtsiteration.

Mit Hilfe gewöhnlicher Induktion kann man leicht zeigen, daß für alle 'JI < 0) gilt: Wenn für ein ~ EA der Wert gv(~) existiert, so existiert auch der Wert hv (~), und umgekehrt, und es ist

Die Iterationen endlicher Ordnung fallen also bei beiden Iterationsarten gleich aus. Wir setzen deshalb gv (~) = hv (~) = r (~) für y < 0), wenn dies

1 In diesem Paragraphen wird oft von der Arithmetik der Ordnungszahlen (§ 10)

Gebrauch gemacht, und zwar bei den Formeln (5), (6), (10), (11), bei der Bemerkung nach Satz 2 und bei Satz 3 und seiner Folgerung.

11. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

existiert. Ist der Wertbereich von I eine Teilklasse von A, so existieren für alle '/I< W Werte l"(~), d.h. alle Iterationen endlicher Ordnung I" existieren als von der Nullklasse verschiedene Funktionen; ihre Argumentbereiche sind A und ihre Wertbereiche Teilklassen von A. Ist zudem entweder A = W oder A = W(A), wobei A eine Limeszahl ist, so gilt dies auch für alle Iterationen g" und h" mit beliebigem '/I bzw. mit '/I< ()e/CA)'

Für die durch Linksiteration definierten Iterationen gelten einfache Gesetze: Zunächst kann man mit transfiniter Induktion nach '/I beweisen, daß

g" (gI' (~)) = gp + ,,(~)

gilt, solern diese Werte existieren. Analog und mit Hilfe von (5) beweist man:· Bezeichnet man die aus F = gp (statt aus f) durch Linksiteration erhaltenen Funktionen mit G" (entsprechend den g,,), so gilt

(6)

sofern diese Werte existieren.

2. Die Iterationen einer Normalfunktion. Ist I zudem stetig, also eine halbnormale Funktion, so wird

(7)

solern diese Werte existieren (Beweis mit transfiniter Induktion nach v). so daß also bei Linksiteration bereits nach der Ordnung w keine neuen Iterationen mehr auftreten. Die Linksiteration ist also für Normalfunktionen nicht geeignet. Auch die Definition (3) der Iterationen von Limeszahlordnung A ist für Normalfunktionen nicht günstig, weil diese nicht immer Normalfunktionen sind.

Für eine Normalfunktion cp verwenden wir deshalb immer nur Rechtsiteration und ersetzen für die Iterationen von Limeszahlordnung die Def. (3) durch eine andere. Wir bezeichnen diese Iterationen mit cp", wobei wir setzen:

(8)

ist A eine Limeszahl und existieren alle cp" für '/I< A, so sei cpÄ definiert durch

(9)

Alle so definierten cp" sind Normalfunktionen. Ist cp eine volle Normalfunktion mit regulärem Argumentbereich A

(vgl. § 7), so existieren die cp" für alle '/I €A, und diese Funktionen sind lauter volle Normalfunktionen mit dem Argumentbereich A.

§ 8. Iterationen und kritische Zahlen. 37

Für die Iterationen cp. gelten ähnliche Sätze wie (5) und (6): Zunächst zeigen wir, daß

(10)

gilt, sofern diese Werte existieren.

Beweis mit transfiniter Induktion nach 'V: (10) gilt für 'V = 0,1. Gilt (10) für alle 'V< 'Vo, wobei 1'0 ~ 1, so gilt (10) für 'V = 1'0: Denn ist 1'0 = 1'~ + 1, so ist

Nun sei 1'0 eine Limeszahl. Ist 'IJ E V cp!' +.', so ist 'IJ E V cp!' + P für alle 'V< 'Vo, also gibt es zu jedem 'V< 'Vo ein ;. E A mit 1] = cp!'+P(;.) = cp!' (cp.(;p)), also sind für 'V>'Vo alle cpV(;.) gleich, und dieser Wert liegt somit in V cp.'; er sei cp.' (;); also ist 1] = cp!'(cp.' (;)). Ist umgekehrt 'IJ = cp!'(cp •• (;)), so ist, weil es für jedes 'V< 'Vo ein ;. EA mit cp •• (;) = cp.(;.) gibt, 1] = cp!' (cp.(;.)) = cp!'+.(;.), also 1] E V cp!'+. für alle 'V< 'Vo, also'IJ E V CP!'+·'. Somit gilt (10) für 'V = Po'

Ferner gilt: Bezeichnet man die Iterationen der Normalfunktion (jJ = cp!' mit (jJv (entsprechend den Iterationen cp. von cp), so ist

(11)

was leicht mit transfiniter Induktion nach 'V und mit Hilfe von (10) bewiesen werden kann.

3. Die A.bleitung einer Normalfunktion. Es sei cp eine beliebige Normaifunktion mit dem Argumentbereich A. Für jedes; E A gilt also cp (~) ~ ~.

Def. Die Ordnungszahlen ;, die der Gleichung cp(;) =; genügen, heißen die kritischen Zahlen der Normalfunktion cp.

Zunächst sieht man, daß die kritischen Zahlen (der Größe nach geordnet) eine Normalfunktion bilden, die man die Ableitung cp' von cp nennt. Sodann bemerken wir, daß die Ableitung cp' mit der Iteration cpOJ übereinstimmt (denn ist; kritische Zahl von cp, so ist ~ = cp. (;) für alle 'V< w, also; E V cpOJ; ist; E V cpOJ, so ist; = cpOJ (x), also nach (10) cp (;) = cpl +OJ (x) = cpOJ(x) =;, also; kritische Zahl von cp)!.

S atz 1. Ist LX eine kritische Zahl von cp, so ist ß = lim cpn (LX + 1) die n< OJ

nächste kritische Zahl von cp (sofern alle Iterationen endlicher Ordnung cp"(LX+ 1) existieren und ihr Limes ß in A liegt).-DieerstekritischeZahl von cp ist lim cpn(o) (sofern analoge Bedingungen erfüllt sind).

n<OJ

1 Dies läßt sich auch ohne Verwendung der arithmetischen Operationen leicht beweisen.

H. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

B ewe i s : Existieren alleIterationen endlicher Ordnung (}7n (a + 1) und ist ß=lim(}7n(a+ 1) inA, so ist (}7 (ß) =lim(}7((}7n(a+1)) =lim(}7n+l(a+1) =ß,

n<ro n<ru n<ro d.h. ß ist kritische Zahl von (}7. Ist y eine kritische Zahl von (}7 mit y > a, so ist (}7 (y) > (}7 (a), also (}7 (y) ~ (}7 (a + 1); daraus folgt y = (}7n (y) ~ (}7" (a + 1) für alle n < w, also y ~ ß. - Analog beweist man den zweiten Teil von Satz 1.

Folgerung: ]edevolleNormal/unktion(}7mitA = WoderA = W(A), wobei A eine Limeszahl mit c/ (A) > 0 ist, hat kritische Zahlen (d. h. V (}7' ist nicht die Nullmenge). Der Typ ihrer Ableitung ist im Fall A = W(A) eine Limeszahl ;;;; Qcj(A). - Ist A eine Limeszahl mit c/(A) = 0, und (}7 eine volle Normal/unktion vom Typ A, so hat (}7 nicht immer kritische Zahlen, (d. h. es kann V(}7' = 0 sein); vgl. §§ 16,38.

Sa tz 2. Sind / und g zwei volle Normal/unktionen mit demselben Argumentbereich A, so ist h (;) = / (g (;)) eine Normal/unktion mit dem A rgumentbereich A, deren Ableitung durch V h' = V f' V g' gegeben ist.

Beweis: Daß h eine Normalfunktion ist, ist klar. Ist; E Vh', so ist h(;) = /(g(;)) =;, also g(;) ;;;;;;, somit g(;) =;; ferner wird /(;) =;, also; E V f' V g'. Umgekehrt folgt aus dem letzteren; = / (;) = g (;), also h(;) = / (g(;)) = /(;) =;, also; E Vh'.

Bemerkung: Die folgenden Behauptungen über spezielle Normalfunktionen lassen sich leicht beweisen: Die Normalfunktion (}7 (;) = ; ist die einzige Normalfunktion, bei der alle Iterationen mit ihr selbst übereinstimmen, und die einzige, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Für die Normalfunktion (}7 (;) = a +; gilt (}7v (;) =a . y + ;, also (}7' (;) = a· w + ;; für die Normalfunktion (}7 (;) = a .; gilt (}7v (;) = aV • ; für a;;;; 1, also (}7' (;) = aW • ;. - Weitere spezielle Normalfunktionen werden in den §§ 15 und 16 behandelt.

4. Die Folge der Ableitungen [12]. Wir beschränken die Betrachtungen dieses Paragraphen nun auf volle Normalfunktionen (}7 mit regulärem Argumentbereich A (§ 7) 1. Die A blei tung (}7' einer solchen Normalfunktion ist wieder eine volle Normalfunktion mit demselben Argumentbereich, wobei gilt:

(}7' (0) = lim (}7n (a) für a;;;;; (}7' (0), n<w

(}7' (; + 1) = lim (}7n (a) für (}7' (;) < a;;;;; (}7' (; + 1) n<w

(was aus Satz 1 oder durch Anwendung von Satz 4 von § 7 auf die Folge der endlichen Iterationen (}7n beweisbar ist).

1 In [12J werden auch nur solche Normalfunktionen betrachtet, so daß die Sätze von [12] nicht allgemein gelten.

§ 9. Regressive Funktionen. 39

Nach §§ 7 und 8 kann man, ausgehend von einer solchen Normalfunktion (p, eine transfinite Folge von Ableitungen (P'l bilden, indem man definiert:

(Po = (p ,

(P'l + 1 = (p~ für 1] EA ,

V (p" = ::D V (P'l' wenn), eine Limeszahl aus A ist. '1<J.

Damit ist jedem 1') EA eine Ableitung (P'l (sog. Ableitung der Ordnung 1')) zugeordnet. Dabei gilt für 1') E A

(P'l+l(o)=lim(pn((t) für (t;;;;(P'l+1(0), n <OJ 'I

ferner folgt (aus § 7, Satz 4) für jede Limeszahl ), E A

(pJ. (0) = lim (P'l ((t) für (t ;;;; (pJ. (0) , 1J<J.

(pJ.(~ + 1)= lim (Pf/((t) für (pJ.(~) < (t;;;; (p,,(; + 1). '1<J.

Deshalb ist (P1J(0) eine volle Normalfunktion von 1') mit dem Argumentbereich A, während dies für (Pr; (~) mit festem ~ ~ 1 nicht gilt (denn dann ist (P1J ($) > (Pf/ (0) ~ 1')).

Satz 3. Für jedes $ EA und 1') EA ist (P1J($) = (pOJ1J($). - Beweis mit transfiniter Induktion nach 1') und mittels Formel (11) dieses Paragraphen.

Folgerung: Für alle (t mit wf/;;;; (t < w 1J + 1 (wobei 1') eine beliebige Zahl aus A ist) sind die Ableitungen (erster Ordnung) von (pa einander gleich, und zwar gleich (P1J+ 1 . - Beweis aus Satz 3 und (t. w = w1J + 1 .

§ 9. Regressive Funktionen.

1. Ihre Theorie. In § 7 haben wir uns auf Funktionen beschränkt, deren Argumentbereiche Anfangsstücke A von Wohne Maximum sind. Wir betrachten nun auch solche Funktionen, die auf einer beliebigen Klasse M von Ordnungszahlen ohne Maximum definiert sind (d.h. deren Argumentbereich eine solche Klasse Mist).

Def. Eine al,lf einer solchen Klasse M definierte Funktion (P heißt regressiv, wenn (P ($) < $ für alle Argumente $ E M mit $ ~ 1 (und (P (0) = 0

im Fall, daß 0 E M).

Dabei kann eine Klasse A ähnlich auf die Klasse M abgebildet werden; diese Abbildung ist die eindeutig bestimmte wachsende Funktion mit dem Argumentbereich A und dem Wertbereich M (die wir die zu M gehörige wachsende Funktion nennen wollen).

40 II. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

Ein triviales Beispiel einer regressiven Funktion auf M = W ist cP (~) = o. Interessanter sind aber die sog. "bestimmt divergenten" regressiven Funktionen, d.h. auf einer mit einer KlasseA zusammengehörigen Teilklasse M cA definierten regressiven Funktionen cP, deren Werte jede Zahl '1 e A schließlich "endgültig überschreiten" (d.h. mit lim cP ((XE) = A,

,<Ä wenn A = W (A), wobei A eine Limeszahl und {(XE}. < Ä die zu M gehörige wachsende Funktion ist).

In den folgenden Sätzen bedeute immer A ein Anfangsstück von W ohne Maximum, M eine beliebige mit A zusammengehörige Teilklasse von A und {(X.}hA' die zu M gehörige wachsende Funktion (deren Argumentbereich ein Anfangsstück A' von Wohne Maximum ist, wobei A' cA).

Satz 1. Ist A ein reguläres Anfangsstück von W (§ 7), und enthält das Komplement A-M kein Band von A, so existiert zu jeder in M definierten regressiven Funktion cP eine mit A zusammengehörige Teilmenge von A von Argumenten, tür die die Werte von cp einander gleich sind (oder: es gibt ein ß e A, so daß die Gleichung cp ((X.) = ß eine Klasse von Lösungen (Xe hat, die mit A zusammengehörig und also mit A ähnlich ist).

Beweis: Wir nehmen an, cp sei eine regressive Funktion auf M, und es gäbe keine mit A zusammengehörige Teilklasse von A, auf der die Werte von cp einander gleich sind. - Wir definieren eine volle Normalfunktion h mit dem ArgumentbereichA : Es sei h (0) die kleinste Zahl ~ mit CP((XE) > 0 (diese existiert nach Annahme); h('1 + 1) sei die kleinste Zahl ~>h('1) mit cp((X.) >h('1) (diese existiert, wenn h('1)eA; denn istAp die Klasse der Argumente (XE mit ~ > h(rJ) und CP((XE) = ß, so ist keine solche Klasse A p mit A zusammengehörig; ist Ap = supAp, so ist also Ap e A, also ist sup Aß e A; also kann nicht für alle ~ mit ~ > h (rJ) gelten

ß;;;' "('1) cp((Xß) ~ h(rJ)); ist A eine Limeszahl aus A, so sei h(A) = lim h(rJ).-

'1<.< Ferner sei g (~) = (x" m, und die zu dieser wachsenden Funktion

gehörige Normalfunktion (§ 5) sei g; ihre kritischen Limeszahlen bilden eine volle Normalfunktion mit dem Argumentbereich A, deren Wertmenge" K ein mit A ähnliches Band von A ist. Da A - M kein Band von A enthält, muß der Durchschnitt D = KM eine mit A zusammengehörige Teilklasse von A, gebildet aus Elementen aus K, enthalten; D ist also selbst eine mit A zusammengehörige Teilklasse von A. - Ist " e D, so ist ,,= g(;',) = lim (x" (E) ~ (x" (H)' und da auch "e M, ist

'<H " = (X"(")' also cP (x) = cP ((X" (,,») ~ x. Dies steht im Widerspruch dazu, daß cP regressiv ist.

Satz 1 kann nicht dadurch verallgemeinert werden, daß man weniger von M verlangt; denn es gilt:

Satz 2. EnthältA - M ein Band vonA, so läßt sich in M eine bestimmt divergente regressive Funktion rp definieren (die also a fortiorikeinen ihrer Werte auf aUen Elementen einer mit A zusammengehörigen Teilklasse von A annimmt).

Beweis: A - M enthalte ein Band B von A mit der zugehörigen Normalfunktion {ß.1EEB" Ist ßo > 0, so ersetzen wir ßo durch o. Wir nehmen also ßo = 0 an. Wir bezeichnen die Menge der Zahlen (X e M mit ßf/ < (X < ß'I + 1 mit I 'I' Da B in A abgeschlossen ist, und da B c A - M, ist M - {o} = '\l3 1'1' Es gibt eine Folge {1'1.hEc von nicht-leeren Mengen

'I EB'

1'1 mit M - {o} = '\l3 17J~, so daß die Klasse def1h mit A zusammengehörig hC

ist. Wir definieren nun

rp(o)=o,

rp ((X) = ß'1, ' wenn oeM; wenn Cl e1'1 ;

E

diese Funktion leistet das Gewünschte.

Bemerkung 1: Aus Satz 1 und 2 folgt: IstA ein reguläres Anfangsstück von W, so nimmt dann und nur dann jede auf M definierte regressive Funktion einen ihrer Werte auf allen Elementen einer mit A zusammengehörigen Teilklasse von A an, wenn A - M kein Band enthält. Diese Teilklassen M c A werden nach BLOCH [4] als "stationäre" Klassen bezeichnet. Jede Teilklasse M cA, die ein Band von A enthält, ist stationär (denn zwei disjunkte Teilklassen von A können nicht beide ein Band von A enthalten, weil sonst der Durchschnitt dieser beiden Bänder nach § 7 nicht-leer wäre); Satz 1 gilt also für den Spezialfall, wo M ein Band vonA enthält (oder wo M ein solches Band, oder gar M = A ist). Jede stationäre Teilklasse von A ist mit A zusammengehörig; ist M eine solche, und gilt M c N cA, so ist auch N eine solche. Ist (X eine beliebige Zahl von A, so sieht man ferner sofort, daß gilt:

1. Der Durchschnitt einer Folge vom Typ (X von Bändern von A ist ein Band von A (nach § 7, Satz 5).

2. Der Durchschnitt zweier nicht-stationärer Teilklassen von A ist nichtstationär (denn sein Komplement ist die Vereinigung der Komplemente der beiden Teilklassen, und nach § 7, Satz 1).

3. Die Vereinigung einer Folge vom Typ a von nicht-stationären Teilklassen von A ist nicht-stationär (Beweis ebenfalls durch Betrachtung der Komplemente und nach § 7, Satz 5).

4. Der Durchschnitt eines Bandes B von A und einer stationären Teilklasse M von A ist stationär (enthielte nämlich A - B M = (A - B) + (A- M) ein Band BI vonA, so wäre B 2 =BBI ein Band vonA mit B 2cA - M, also B 2 cA - BM, Widerspruch).

Daß die stationären Teilklassen allgemeiner als die Bänder sind, zeigt der Satz:

Satz 3: IstA = W oder A = W(.Qcz) mit a > o,so istA in zwei disjunkte, mit A zusammengehörige Teilklassen zerlegbar, die kein Band von A enthalten (d. h. A ist in zwei nicht-leere disjunkte stationäre Teilklassen zerlegbar ).

Beweis: 1. Es sei A = W (aber =1= Z; vgl. § 6), oder A = W(Da) mit IX> 1: Mo sei die Klasse aller Limeszahlen von A, die mit w konfinal sind, MI = A - Mo. Mo und MI sind mitA zusammenhängende Teilklassen vonA (denn die Zahlen w . (v + 1)1 mit v E A liegen in Mo, die Zahlen v + 1 mit v E A in MI), die kein Band von A enthalten. Enthielte nämlich Mo ein Band Bo von A, und wäre {1X~o)}< <n, eine Teilfolge vom Typ D1 von Zahlen aus B o,

so wäre lim IX~O) in MI (weil mit D1 konfinal), Widerspruch; und enthielte MI < < n,

ein Band BI von A, und wäre {1X~1)}" < weine Teilfolge vom Typ w von Zahlen aus BI' so wäre lim 1X~1) in Mo (weil mit w konfinal), Widerspruch.

E<w

2. Auch für A = Z existiert eine solche Zerlegung; der Beweis muß in mehreren Schritten und mit Hilfe des Auswahlaxioms geführt werden2 : Es sei M eine beliebige stationäre Teilklasse von Z (d.h. eine solche, deren Komplement Z - M kein Band von Zenthält).

a) Es gibt eine auf AI definierte regressive Funktion 'P, so daß für jede Zerlegung von M in zwei nicht-leere disjunkte Klassen M = B + C, bei der 'P auf B beschränkt ist (d. h. bei der für ein bestimmtes IX E Z gilt: 'P (~) < 0(

für alle ~ E B), C stationär ist: Nach dem Auswahlaxiom kann man jeder Limeszahl ~ E 1'1,I eine wachsende Folge {~n)n < w vom Typ w mit dem Limes ~ zuordnen. Wir definieren eine Folge {in) .. < w von regressiven Funktionen auf M, indem wir setzen: 1.,(0) = 0, wenn 0 E M; 1.,(~) = ~ - 11 für ~ E M von 1. Art; in (~) = ~n für Limeszahlen ~ E M. Hätte nun keine dieser Funktionen in die für 'P verlangte Eigenschaft, so könnte man jedem n < weine Zerlegung M = B n + Cn zuordnen, wobei in auf B n beschränkt ist, und C" nicht-stationär ist. Dann wäre auch ~ Cn nicht-stationär, d.h. Z - ~ CII

n<m n<w enthielte ein Band von Z. vVegen Z - ~ Cn = (Z - M) + ::D B n, und weil

n<ro n<w Z - }VI kein Band von Z enthält, müßte also:3) B n mit Z zusammengehörig

n<w sein. Auf ::D B n wären alle in beschränkt, also gäbe es auf::D B n für alle in

n<ru n<ro eine gemeinsame Schranke, was unmöglich ist. Es gibt also eine Funktion 'P mit den verlangten Eigenschaften.

b) H sei die Klasse der Funktionswerte f), für die die Gleichung 'P (~) = 7J eine mit Z zusammengehörige Klasse von Lösungen ~ E M hat (nach Satz 1

ist H =1= 0). Für jedes f) EH sei KfJ die Klasse der Lösungen ~ der Gleichung <p (~) = f), ferner sei K = ~KfJ; die KfJ sind paarweise disjunkt. - H ist sogar

fJ€H mit Z zusammengehörig: Denn sonst wäre 'P auf K beschränkt, also wäre nach a) M - K stationär, und auf M - K wäre 'P eine regressive Funktion, die keinen ihrer Werte auf einer mit Z zusammengehörigen Teilklasse von Argumenten annimmt, im Widerspruch zu Satz 1.

c) Es sei H' die Klasse der f) E H, für die KfJ nicht-stationär ist, ferner K' = ~KfJ' - K' ist nicht-stationär: Es sei H' =l= o. Nach Satz 2 existiert zu

fJ€H' jedem f) EH' eine regressive Funktion gfJ auf KYJ mit gfJ (~) > f) für ~ E K fJ,

1 Hier wird von der Arithmetik der Ordnungszahlen Gebrauch gemacht. 2 Ich verdanke W. NEUMER die genauere Ausführung dieses von BLOCH in [4)

sehr lückenhaft gegebenen Beweises.

die keinen ihrer \Verte auf einer mit Z zusammengehörigen Teilklasse von Z annimmt. Es sei g (;) = g1/ (;) für ; E K1/ und 1) EH'. g ist eine regressive Funktion auf K', die ebenfalls keinen ihrer Werte auf einer mit Z zusammengehörigen Teilklasse von Z annimmt (denn wäre g (;) = cx E Z für eine mit Z zusammengehörige Klasse von Argumenten ;, so könnten diese Argumente nur in Klassen K1J mit 1) < cx vorkommen, also gäbe es ein 1)1< cx, so daß K 1J• eine mit Z zusammengehörige Klasse von solchen Argumenten enthält, im Widerspruch zur Def. von g1J.). Nach Satz 1 ist also K' nicht-stationär.H - H' ist überabzählbar : 'Veil M stationär, aber K' nicht-stationär ist, ist M - K' =1= o. Nach a) ist cp auf M - K' nicht beschränkt (denn sonst wäre K' stationär); also muß H - H' überabzählbar sein.

d) Es sei 1)0 das kleinste 1)EH - H', ferner K" = [5 K'1 + ]{' + (M - K). 1JeH-H'

1/>1J. Dann ist M = K 1J• + K", wobei Kf/. und K" disjunkte stationäre Klassen sind. Somit haben wir das Resultat: Jede stationäre Teilklasse M vonZ ist in zwei disjunkte stationäre Klassen zerlegbar. Daraus folgt auch für Z selbst eine solche Zerlegung (man hat nur M = Z zu setzen).

Bemerkungz: IstA = WoderA = W(A), wobeiA eine Limeszahlmit cj(A) > 0 ist, und enthält M ein Band von A, so enthält zwar A - M kein Band von A; die Umkehrung gilt aber nach Satz 3 nicht: Enthält A kein Band von A, so muß A - M nicht unbedingt ein Band von A enthalten. Satz 1 kann also auch in Fällen gelten, wo ]1,1 kein Band von A enthält.

Satz 1 bleibt auch dann nicht mehr richtig, wenn A = W (A) und .11 eine singuläre Limeszahl oder A = w ist:

Satz 4. Ist A = W(A) und A singulär oder = w, so kann in Meine regressive Funktion cp definiert werden, die keinen ihrer Werte auf allen Elementen einer mit A ähnlichen Teilmenge von A annimmt.

Beweis: Für A = w ist der Satz trivial. Ist A eine singuläre Limeszahl > w, so gibt es eine Limeszahl (! < A und eine wachsende Folge {y~h<e mit lim.y~ =A und Yo = 0, die eine Normalfunktion von'; ist.

«e Wir setzen für (X E M

cp(ex) = 0 für (X =Y.,

cp(ex)=y. für y.<ex<y<+l;

damit erhalten wir eine Funktion cp mit den verlangten Eigenschaften. Über die Existenz der "bestimmt divergenten" regressiven Funktionen

gilt· ferner:

Satz 5. IstA = W (A) und cf (A) > 0 (d.h. ist A nicht mit w konfinal), und ist M ein mit A ähnliches Band von A, so existiert keine in M definierte bestimmt divergente regressive Funktion cp (d. h. mit lim cp (exE) = A).

$<A

Beweis: Für reguläre LimeszahlenA folgt der Satz aus Satz 1. Für singuläres A muß man ähnlich vorgehen wie beim Beweis von Satz 1:

Wir nehmen an, es gäbe inM eine regressive Funktioncp mit limcp(ex~) =A. ~<A

44 H. Ordnungszahlen und transfinite Funktionen.

Wir definieren eine Normalfunktion h: h(o) sei die kleinste Zahl ~ mit q; (iX.) > 0; h (1J + 1) sei die kleinste Zahl' > h (1J) mit q; (iX.) > h (1J) für alle~ mit, < ~ < A. Da A nicht mit w konfinal ist, erhält man eine Normalfunktion h von einem Limeszahltyp fl ~ QC!(A)' deren Wertmenge mit A zusammengehörig ist. - Wegen q;(iX.) > h(1J) für h(1J + 1) < ~ < A ist für jede Limeszahl v < !l also q; (iX.) ~ h (v) für h (v) ;;;; ~ < A, also q; (iXh (v») ~ h(v). - Es sei H die Menge der Werte h(v) mit Limeszahlargument v< fl; H ist ein Band von A. Die Wertmenge der Ableitung der Normalfunktion {iX.}~ < A sei N; diese ist ein Band von A. Nach § 7 ist H N nicht-leer; für jedes Element ~ EH N gibt es eine Limeszahl v < fl mit ~ = iX" = h(v), also q;(~) =q;(iX,,) = q;(iXh(v») ~ h(v) =~, was mit der Voraussetzung unverträglich ist.

Satz 6. Ist A = W(A) mit cf(A) = 0 (d.h. ist A mit w konfinal), so kann in Meine bestimmt divergente regressive Funktion q; definiert werden (die also a fortiori keinen ihrer Werte auf allen Elementen einer mit A zusammengehörigen Teilmenge von A annimmt).

Beweis wie bei Satz 4: Es gibt eine wachsende Folge {Yn}n«o mit lim Yn = A und Yo = o. Wir setzen

n<ru

q;{o) = 0, wenn oEM;

q;(iX)=Yn für iXEM und y,,<iX;;;;Yn+l'

Diese regressive Funktion q; ist bestimmt divergent, während dies für die im Beweis von Satz 3 definierte nicht der Fall ist.

2. Anwendungen. Aus der Theorie der regressiven Funktionen ergeben sich zwe'i paradox anmutende Sätze:

Satz 71 . Voraussetzung: Es sei {Ad<€z eine Folge von abzählbaren, paarweise disjunkten Mengen. Wir nehmen von A o ein Element b1 weg, fügen zum Rest Al hinzu, nehmen von der erhaltenen Menge ein Element b2 weg, fügen A 2

hinzu, usw. Das heißt, wir definieren Mengen j\.f< und Bi;. für alle $ ~ Z: Es sei Mo = 0, B o = o. Sind alle j'\.f1} und B1} für 1] < $ gebildet, wobei $ > 0,

so sei Mi;. = ~ A1} - ~ B1}' und es sei B< = {bd, wobei bi E M •. - Behaup-1}<. 1}< r;

tung: Es gibt eine Zahl $0 ~ 1 in Z, so daß Mr;, = 0, d. h. daß die M enge ~ Bq '1<1;,

der weggenommenen Elemente genau die Menge ~ A1} der hinzugefügten Ele-1}<i;.,

mente ist [9].

Beweis (mit Hilfe des Auswahlaxioms) : Wäre die Behauptung falsch, so wäre Mi;. =1= 0 für alle $ ~ Z mit $ > o. Nach dem Auswahlaxiom existiert eine Funktion, die jedem $ E Z eine eineindeutige Abbildung zwischen Ar; und den Zahlen C mit w· $ ;;;; C < w . $ + n zuordnet, wobei n ;;;; w. Somit ist jedem Element a ~ ~ A1} eine Zahl C = er (a) zugeordnet; für verschiedene a

1}€z ist C verschieden. Für jedes $ ~ Z ist b< ~ ~ A1}' also existiert ein bestimmtes

'1«

1 Hier wird von der Arithmetik der Ordnungszahlen und anderen erst später erklärten Begriffen Gebrauch gemacht.

§ 10. Mengentheoret. Dei. d. arithmet. Operationen u. ihre Gesetze. 45

'YJ <.; mit b; EA'I' also ist rp(be} < w·';. - Setzt man (X~ = w·';, ßt; = rp(bt;), so ist ße < (Xe für alle'; E Z mit.; > o. Nach Satz 1 existiert also eine mit Z zusamn';.eng~hörige Klasse von Indizes /;, für die alle ße gleich sind, was einen Widerspruch ergibt, da b~ wegen bl; E MI; von allen b'l mit 'I < !; verschieden ist.

Sa tz 8. Es gibt keine Funktion, die jeder Limeszahl 2 EZ eindeutig eine wachsende Folge vom Typ w mit dem Limes 2 zuordnet, so daß gilt: Ist {2n}n< ru eine solche Folge, und'; eine Limeszahl mit 2n < .; < 2n + 1 für ein n < w und mit zugehöriger Folge {/;n}n < w, so ist /;0 ~ 2n [2J.

Beweis: Annahme, es existiere eine solche Funktion. Wir ordnen jeder Limeszahl 2 E Z das erste Glied ).0 = f(2} ihrer Folge {2n}n< ru zu. Die Funktion f ist regressiv. Nach Satz 1 existiert also eine Zahl 1', so daß für eine Folge {(XI;)< eZ von Limeszahlenf((XI;} = I' gilt. Es sei 'YJ = lim(Xg, also 'l)EZ; {'I)n}n< ru sei

«ru die zu 'I) gehörende Folge. Es sei 120 die kleinste Zahl n mit 'l)n> 1', n1 die kleinste Zahl n mit (Xn> 'l)no und n 2 die kleinste Zahl n mit 'l)n> (Xn,. Also istf(!Xn,) = I' < 'l)no im Widerspruch zur Voraussetzungf((Xn,} ~ 'l)n,-l ~ 'l)no.

IH. Arithmetik der Ordnungszahlen.

§ 10. Mengentheoretische Definition der elementaren arithmetischen Operationen und ihre Gesetze.

1. Definition der arithmetischen Operationen. Die arithmetischen Operationen mit Ordnungszahlen können auf zwei verschiedene Arten eingeführt werden: mengentheoretisch (aus den Ordnungstypen gewisser Mengen), oder als Funktionen oder Funktionale (die durch transfinite Rekursion definiert werden). In diesem Paragraphen behandeln wir die mengentheoretische Einführung der Operationen (die zweite Einführungsart folgt in § 13).

Es sei eine Folge {(Xe} ~ < A von beliebigem Typ Je von Ordnungszahlen (XE gegeben. Zu dieser Folge kann man eine Folge {Ag}«.< von zugehörigen wohlgeordneten, paarweise disjunkten Mengen A. effektiv

bilden, so daß A E = (Xe: man setze A e gleich der Menge aller geordneten Paare (~, 1)) mit 1) < (Xe.

1. Summe von Ordnungszahlen. Man definiert die Summe L: (Xe als den ,<).

Ordnungstypus von 93 A" wobei diese Vereinigung nach folgender Vor-g<Jl

schrift geordnet sei: Sind die Elemente a und b in derselben Menge A., so wird die Ordnung dieser Elemente unverändert in der Ordnung vonA. gelassen; ist (X EA., b EA'I' wobei ~ < 1), so sei a ~ b. Man kann leicht zeigen, daß diese Ordnung eine Wohlordnung ist, so daß die Summe also eine Ordnungszahl ist. Je heißt das Argument der Summe. Ist Je = 0, so ist L: (X; = 0, da dann 93 AI; = o.

1;<). ;<J.

Definiert man die Summe mit Hilfe anderer wohlgeordneter Mengen

A~ mit A~ = "'., so erhält man dieselbe Summe; denn da nach § 4 A~ in einer und nur einer Weise ähnlich auf A. abgebildet werden kann, kann man ID A. ~ ID A~ beweisen (ohne das Auswahlaxiom zu verwenden).

«i. .<.:1 Analoges gilt auch für die anderen arithmetischen Operationen mit Ord-nunsgzahlen.

Im Falle zweier Summanden"" ß schreibt man für ihre Summe", + ß. Man nennt dann", den Augendus, ß den Addendus. Für jede Ordnungszahl '" ist", + 0 = 0 + '" = "'; ferner ist", + 1 die Nachfolgerzahl von "'.

2. Produkt von Ordnungszahlen. Da wir jetzt die Mengen A~ nicht mehr als paarweise disjunkt voraussetzen müssen, ersetzen wir sie durch die Mengen B~ = W(",~) für alle ~ < Ä. Die Produktmenge 'P B~ besteht

~<A

aus allen Folgen {ß~}~<.:I mit ß~ < "'E' Wir definieren das Produkt II "'~ .<Ä

als den Ordnungstypus derjenigen Teilmenge P dieser Produktmenge, die genau aus denjenigen Folgen besteht, die nur endlich viele von 0 verschiedene Werte haben, wobei die Folgen von P nach "letzten Differenzen" geordnet werden. Das heißt, in P wird folgende Ordnungsbeziehung eingeführt: Sind b = {ß~h<Ä und b' = {ß~h<A zwei verschiedene Folgen aus P, so unterscheiden sie siCh nur an endlich vielen Stellen ~ voneinander; es gibt also eine letzte Stelle ~ = ~o, für die ß~. =l=~. (sog. "letzte DifferenzsteIle") ; man definiert b ~ b', je nachdem ß •• ~~. ist. Man kann leicht zeigen, daß P durch diese Beziehung ~ wohlgeordnet ist.

Das Produkt ist also eine Ordnungszahl. Ä heißt das Argument des Produkts. Ist Ä = 0, so ist II "'. = 1, denn 'P B~ enthält als einzige Funk-

.<Ä .<.:1 tion die Nullmenge. Im Falle zweier Faktoren Cl, ß schreibt man für ihr Produkt",· ß; '" heißt der Multiplikandus, ß der Multiplikator. Für jede Ordnungszahl", ist",· 0 = o· '" = 0, ",. 1 = 1 . '" = "'. Ein Produkt von Ordnungszahlen ist dann und nur dann 0, wenn ein Faktor 0 ist.

3. Potenzen von Ordnungszahlen. Wir definieren die Potenz als iterierte Multiplikation, d. h. es sei

",8 = II "'. , wobei "" = Cl für alle ~ <ß . • <8

Somit ist ",B der Ordnungstypus der Menge der Folgen {y~h<8 vom Typ ß mit y~ < ",für alle ~ < ß, die nur an endliCh vielen Stellen von 0

verschiedene Werte haben, und die nach letzten Differenzen geordnet sind. '" heißt die Basis, ß der Exponent. Es ist ",0 = 1 für beliebige Ordnungszahlen", (dagegen ist in der Analysis 00 und 00° unbestimmt), OB = 0

für ß ~ 1 (in der Analysis ist 0"" unbestimmt), 18 = 1 für beliebige P (in der Analysis ist 100 unbestimmt).

§ 10. Mengentheoret. Def. d. arithmet. Operationen u. ihre Gesetze. 47

2. Die Gesetze der arithmetischen Operationen. Aus der Definition der Summe folgt unmittelbar:

(1) (X< ß ist gleichbedeutend mit der Existenz einer Ordnungszahl y > 0 mit (X + Y =ß.

Die folgenden Gleichungen können bewiesen werden, indem man zwischen den wohlge0rdneten Mengen, deren Ordnungstypen linke und rechte Seiten dieser Gleichungen sind, ähnliche Abbildungen herstellt.

(2) Jede Ordnungszahl (X läßt sich durch iterierte Addition von 1 erhalten: Ist (XE = 1 für alle ~ < (X, so ist (X = I (Xli'

«IX

(3) Die Multiplikation ist eine iterierte Addition: Ist (XE = (X für alle ~ < ß, so ist IX' ß = ~ IX".

E<ß (4) Für Addition und Multiplikation gelten folgende assoziative Gesetze:

Ist Ä = I ß'1' und sind die Partialsummen (]" = 2' ß'1 für v < ,u (also '1<p '1<"

(]o = 0, (]v+l = (]" + ß,,), so ist

Tl (XE = n ( n lX"v + <) . < < Ä v<,.. < < ßv

Daraus folgt speziell:

((X + (J) + Y = (X + ({J + y), ((X. (J) . Y = (X • ({J. y) .

(s) Zwischen Addition und Multiplikation gilt das distributive Gesetz

(X, >: {J'1 = J; 01.' {J'1 ; 7]< P '1<p

daraus folgt speziell: a; • (ß + y) = a; • ß + a; . y .

Beweis: Nach (3) ist (X. ~ PE = ~ (X<' wobei Ä = ~ ße, OI.~ = IX

E<p E<Ä E<p für ~ < Ä, also nach (4)

(X. J; {JE = ~ ( ~ (Xa" + E) = ~ (X. (J". '1 < ,.. " < pE< P" v < P

(6) Die Potenzregeln: Setzen wir wieder Ä = ~ ß'1' so ist '1<p

a) (XÄ = n OI.ß'1, speziell IXß+1' = IXß. 01.1' ,

7]< P b) IXß ',' = ((Xßp' •

Beweis: a) Nach Definition der Potenz ist

also nach (4)

(XÄ = II (XE , wobei (XE = (X für ~ < A E<Ä

UI. Arithmetik der Ordnungszahlen.

b) Nach (3) ist

ß· i' = I ßf/' wobei (J'I = ß für 1] < i' , '1<1'

also nach (6) a) (Xß'Y = II (Xß'I = ((Xß)Y.

'1<1'

Aus (1) und aus den Gesetzen ((X + ß) + Y = (X + (ß + y), (X. (ß + y) = (X. {J + (X. y, (Xß+Y = (Xß. (Xl' beweist man den Satz:

(7) (X + ß ist tür beliebiges testes (x, (x. ß tür testes (X ~ 1 und (Xß tür festes (X ~ 2 eine wachsende Funktion von ß.

Aus den Definitionen der arithmetischen Operationen folgt ferner:

(8) (X + ß, (X • ß und (Xß sind tür beliebiges testes ß monotone Funktionen von (x.

(9) I (X; und II (x, sind in allen Variablen (x, und Ä. monoton. ;<J. «Ä

In § 11 wird ferner gezeigt, daß die drei Funktionen (X + ß, (X • ß und (Xß in ß stetig sind, so daß also (X + ß für beliebiges festes (x, (X • ß für festes .(X ~ 1 und Oll für festes (X ~ 2 eine Normalfunktion in ß ist.

Schließlich ergibt sich mit transfiniter Induktion nach ß:

(10) Für (X> 1, ß> 1 gilt (X + ß ~ (x. ß ~ (Xß.

3. Die Abweichungen der transfiniten Arithmetik von der finiten. Für endliche Zahlen gelten außer den obigen Gesetzen noch folgende Gesetze:

1. das kommutative Gesetz der Addition und Multiplikation: IX+ P = P + IX,

IX' P = P • IX,

2. das distributive Gesetz von der Form (IX + P) • y = IX • " + P • y, 3. die Potenzregel (IX • P)Y = IXY • py.

Diese Gesetze gelten für beliebige Ordnungszahlen IX, p nicht allgemein. Gegen beispiele:

zu 1.: 1 + 00 < 00 + 1, 2' 00 < 00 • 2,

zu 2.: (1 + 1) . 00 < 1 . 00 + 1 • 00,

zu 3.: (2' 2)m < 2 m • 2 m , aber1 (2' (00 + 1))2 > 22 • (00 + 1)2.

Es gilt aber stets (IX + P) • y ~ IX • 'Y + p. y (vgl. § 12). Man könnte also erwarten, daß stets (IX • (J)l' ~ IXY • py gilt. Die Gegenbeispiele zu 3. zeigen aber, daß dies nicht der Fall ist.

Der Unterschied zwischen der transfiniten und der finiten Arithmetik besteht zur Hauptsache darin, daß in der ersteren das kommutative Gesetz 1.

nicht gilt. Wäre dieses erfüllt, so könnte man auch die Gesetze 2. und 3. für die transfinite Arithmetik ableiten. Wir werden im folgenden die verschiedenen Konsequenzen betrachten, die sich daraus ergeben, daß 1. nicht erfüllt ist. Die wichtigsten sind:

a) Die Existenz von Hauptzahlen, d.h. die Geltung von sog. "Absorptionsgesetzen", nach denen gewisse Ordnungszahlen von andern in gewissen

1 Die Berechnung nachfolgender Ausdrücke wird in § 12 erklärt.

§ 11. Arithmetische Operationen und Limesoperation. 49

arithmetischen Verbindungen "absorbiert" werden, indem z.B. 01: + {J = {J sein kann, ohne daß 01: = 0 (§§ 15, 16).

b) Die Existenz zweier verschiedener Inversen zu jeder arithmetischen Operation (wie dies in der finiten Arithmetik nur bei der Potenzierung der Fall ist: Wurzel und Logarithmus) (§ 17).

c) Die Abhängigkeit des Wertes einer Summe oder eines Produkts von der Anordnung der Summanden bzw. Faktoren (§ 21).

Wir werden auch die Sonderfälle betrachten, in denen die Gesetze 1. und 2.

ausnahmsweise gelten (§ 12, Nr.l; § 22).

§ 11. Arithmetische Operationen und Limesoperation.

1. Summe und Limes.

Sa tz 1. (X + ß ist bei festem (X eine stetige Funktion in der Variablen ß, d. h. (X + A = lim ((X + ;) tür jede Limeszahl A.

€<A

Beweis: Es ist (X + A > (X +; für alle; < A (nach § 10, Satz (7)). Gilt für eine Zahl ß ß > a + ; für alle; < A, sO ist ß > (x, also gibt es (nach § 10, (1)) eine Zahl y > 0 mit ß = (X + y; es ist y >; für alle ; < A, also y ;;;; A. Somit ist ß ;;;; (X + A; d. h. (X + A ist die kleinste Zahl ß mit ß > (X + ; für alle; < A, also ist (X + A = lim (a + ;).

O<A Sa tz 2. Ist {(X,,}Ee weine tür alle Ordnungszahlen; definierte Folge von

Ordnungszahlen, und bezeichnet man ihre Partialsummen mit (j,. = "S (X; (so ,,<,. daß also (jo = 0, (j ,.+1 = (j,. + (X,.), so gilt tür jede Limeszahl A

(j,,-= !im 0,., ,.<).

d. h. (j,. ist eine stetige Funktion in fh.

Beweis: (j,. ist eine monotone Funktion in fh. Ferner ist (jA;;;; (j,. für alle fh < A (wobei A eine Limeszahl sei). (jA ist aber auch die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft: Denn ist ß < (jA, so ist W (ß) einem Abschnitt A von ffi A" ähnlich (wobei A" die nach § 10 zu (x" gehörige Menge ist). Es

,,<A sei a das den Abschnitt A definierende Element von ffi A" und ;0 der

zugehörige Index mit a E A"o. ß< (jEo+l ;;;; (jA·

,,<A Somit ist A ein Abschnitt von ffi A", also

E;;; Eo

Def. Ist {(XE }"eA eine monotone Funktion (Folge), die als Argumentbereich ein Anfangsstück A von Wohne Maximum hat, so heißt die Funktion (Folge) {<5.};e A die zugehörige Differenzen/unktion (Differenzen/olge), wenn Ö" durch (x" + Öo = (X;+! bestimmt ist!.

1 Also 6; = - 01:" + OI:Hl in der Schreibweise von § 17.

So III. Arithmetik der Ordnungszahlen.

Jede halbnormale Funktion ist aus ihrer Differenzenfunktion und ihrem Anfangswert eindeutig bestimmt.

Satz 3. Ist {(Xe}I;EW eine für alle Ordnungszahlen ~ definierte halbnormale Funktion und {be} < E W ihre Differenzenfunktion, so gilt für jede Ordnungszahl fl

(XI' = (Xo + "1: be· Ii<p

Beweis: Die Partialsummen (} I' = (Xo + "1: b; auf der rechten Seite der Ii<p

behaupteten Gleichung sind gleich (XI': Dies ist für fl = 0 richtig, und ist es für alle fl < flo richtig, so ist es für fl = flo richtig; denn ist flo = fl~ + 1,

so ist (}Po = (}p; + bp; = (XI'; + bI'o = (Xpo' und ist flo eine Limeszahl, so ist nach Satz 2 (}Po = lim (}p = lim (XI' = (XPo Somit ist (}p = (XI' für jedes fl·

1'<1'0 1'<1'0

Folgerung: Jeder Limes einer halbnormalen Folge vom Limeszahltyp A kann in eine Summe mit dem Argument A verwandelt werden und umgekehrt: Ist {(Xlih<,\ eine halbnormale Folge vom Limeszahltyp A, so ist nach Satz 3 lim (Xli = (Xo + 2: bli , und für jede Summe "1: (X; mit Limeszahl-

Ii<l Ii<l I;<l argument A folgt nach Satz 2 "1: (Xli = lim "1: (Xli'

Ii<). 1'<;" 1;<1'

Sa tz 4. Ist {(Xe} lie weine für alle Ordnungszahlen ~ definierte Normalfunktion mit der Eigenschaft (Xli + (XHI = (XHI für alle Ordnungszahlen~, so gilt:

a) 2' (XHI = (XI' tür jede Ordnungszahl fl> 0, d. h. :I: (Xli = IX p tür Ii<p 1;<1'

Limeszahlen fl und :I: (Xli = (XI' tür fl von 1. Art. ;;5;1'

b) Ist {ßdli<;" eine wachsende Folge vom Limeszahltyp Aundß =limßIi, so ist ~ (X = N Ii< -' .::,., ßli .... ß·

Ii<-'

Beweis: Die Differenzenfunktion von {(X;}liew ist {bli}IiEW mit bli = (XHl> also wird nach Satz 3

(XI' ~-= 1X0 + "1: (Xli + 1 ,

Ii 0

(XI' = (Xo + 1X1 + J.; (Xli + 1 = (Xl + "1: (Xli + 1 = "1: (Xe + 1 •

1;5;«1' 1;5;«1' Ii 0, d.h. (Xß ="1: (Xli für Limeszahlen ß und Ii<ß I;<ß

(Xß = "1: (XI; für ß von 1. Art. Ii;5;ß

§ 11. Arithmetische Operationen und Limesoperation.

b) IXß = ~ IXße , wenn {ß~ }~<;. eine wachsende Folge vom Limeszahle< ;.

typ A mit lim ß~ = ß ist. ;< ;.

Beweis: IX' + IXH1 = IX~ + IX~'IX = IXL(l + IX) = IX"' IX = IXH1 ; also sind die Voraussetzungen von Satz 4 erfüllt.

2. Das Verhalten des Limes im Gegensatz zum Limes in der Analysis [2].

Satz 5. Ist {(X~h<). eine wachsende Folge vom Limeszahltyp A mit lim IX, = (x, und ist die Folge {15;}, <;. durch IX, + l5e = IX definiert, so ist e<;. lim 15; gleich dem kleinsten Rest von IX (also> o). ;<,.

Beweis: Für die Differenzen oe gilt oe;;;:; 0;+1 für ~ < A; daraus folgt die Existenz eines Index ~o < A, so daß 0; = 0'0 für ~o ~ ~ < ) .. Es ist 15;. > 0, und 15,. ist der kleinste Rest von IX: Denn ist IX = Y + e, e > 0, so folgt IX > y, also y< 1X'1 für ein ~l < A, also y + e = IX

= (XE + 0< ;;;:; y + 15<. für ~2 ~ ~ < A, wobei ~2 = max (~o' ~l), also e ~ 15, •. Somit ist 0 •• der kleinste Rest von IXI .

Sa tz 6. Ist A eine Limeszahl und ß > 0, und sind beide Folgen {lXo}<d tmd {IX; + ß},<;. wachsend, so haben sie denselben Limes.

Beweis: Der kleinste Rest von lim IX; sei e; also ist ß < e, denn wäre .<;.

ß;;;:; e, so wäre ß = e + i, i ;;;:; 0, also IX, + ß = (IX, + e) + i von einer Stelle an konstant (nach Satz 5). Wegen ß < e ist nun IX, + ß < IX. + e, also lim (IX, + ß) ~ lim (IX, + e); weil IX, + e von einer Stelle an kon-

«;. $<). stant gleich lim IX, ist, folgt daraus lim (IX. + ß) ~ lim IX •. Da auch

,<}. «;. .;<;. lim (x" ~ lim (x. + ß), ist Satz 6 bewiesen. $<;' ;<;.

3. Produkt und Limes.

Sa tz 7. Ist {IX.;}; € weine für alle Ordnungszahlen ~ definierte Folge, und bezeichnet man die Partialprodukte mit 'JT:f.' = n IX; (so daß also 'JT:o = 1,

Ii < I' 'JT:f.'+1 = 'JT:f.' • IXf.')' so ist für jede Limeszahl A

'JT:;. = lim 'JT:f.' , 1'<;'

d. h. 'JT:f.' ist eine stetige Funktion in fl.

Beweis: Es sei (x, ;;;:; 1 für ~ < A, A eine Limeszahl. {'JT:f.'L€ w ist eine monotone Folge; ferner ist 'JT:;. ;;;:; 'JT:f.' für alle fl < A. Nun ist aber 'JT:;. auch

1 Oe. ist also eine ,,;'-Zahl", und da 0( eine Limeszahl ist, ist 0,. eine "eigentliche y-Zahl" (vgl. § 15).

52 III. Arithmetik der Ordnungszahlen.

die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft: nA ist der Ordnungstypus der Menge P aller nach letzten Differenzen geordneten Folgen {PE}< < A mit PE < "'E mit nur endlich vielen PE > o. Ist e < nA, so ist W(e) einem Abschnitt von P ähnlich. Das diesen Abschnitt A definierende Element von P sei die Folge {~h<A; ihr letztes Argument ~ mit P; > 0 sei ~o (so daß also P; = 0 für ~o < ~ < Ä, ~. > 0). Für jede Folge aus A liegt also das letzte Argument mit Wert> 0 nicht hinter der Stelle ~ = ~o. Bricht man alle Folgen hinter ~ = ~o ab, so erhält man aus den Folgen von A lauter Folgen {YE }';:;;'o mit YE < "'. für ~ ~~o mit nur endlich vielen YE > O.

Also ist e ~ n'oH· Gibt es ein ~1 mit ~o + 1 < ~1 < Ä und nEI > nEoH' so ist e < nEI' also ist nA die kleinste Zahl ~ n,.. für alle f-t < Ä. Gibt es kein solches ~1' so ist n. = nA für ~o < ~ < Ä. In beiden Fällen ist also nA = limn,...

,..<A Sa tz 8. '" . P ist bei festem", eine stetige Funktion von p. Beweis: Nach Satz 2 wird für jede Limeszahl Ä und für "''1 = '"

(für 1] < Ä) Iim ('" .~) = Iim I "''I = Y "''I = '" . A. • E<Ä '<A'I<' '1<Ä

Sa tz 9. ",fJ ist bei festem", eine stetige Funktion von p. B ewe i s: Nach Satz 7 wird für jede Limeszahl l und für "''I = '"

(für 1] < l) Iim",'= Iim n "''1= n "'7J=",Ä. E<Ä '<Ä 'I<" '1<Ä

Satz 10. Die Ordnungszahlen von z.Art sind genau die Zahlen w .~. Beweis: Die kleinste Limeszahl ist w, und die Limeszahlen wie auch

die Zahlen w . ~ bilden eine Normalfunktion. Ist W· ~ eine Limeszahl, so ist die nächste Limeszahl w . ~ + w = w . (~ + 1). Daraus und aus § 5, Satz 3, folgt Satz 10.

Bemerkungen: 1. Die drei Operationen", + p, '" . p, ",fJ sind unstetig in der Variablen", (z.B. '" + 1, ",. 2 und ",2 je an der Stelle", = w).

2. Diese drei Operationen sind in '" nicht wachsend (z. B. 1 + w = 2 + w, 2' W = 3' W, 2al = 3al).

§ 12. Die Polynomdarstellung der Ordnungszahlen.

1. Allgemeine Reehenregeln [4]. Definiert man La. = 0 für", von 2. Art, La. = 1 für", von 1.Art, so gilt

Sa tz 1. ('" + P) • Y = '" . Y + P . ty' wenn P + '" = "'. Beweis mit transfiniter Induktion nach y: Satz 1 gilt für Y = o.

Gilt er für alle Y < Yo, so gilt er für Y = Yo; denn ist Yo = y~ + 1, so ist

('" +P)'Yo= ('" +P)'Y~ + ('" +P) = "'·Y~ + P'l)'; + IX + P = '" . Y~ + '" + P = '" . Yo + P ,

§ 12. Die Polynomdarstellung der Ordnungszahlen. 53

und ist Yo eine Limeszahl, so ist

(cx,+P)'Yo= lim (cx,+P)'y= lim (cx,.y+p.ty )

y < Y. . Y < Yo

= cx,. Yo wegen cx,. y + p. ty ~ cx,. (y + 1).

Sa tz 2. (cx,. ß)Y = cx,y • p'Y, wenn ß • cx, = cx, •

Beweis für cx, > ° analog wie bei Satz 1 (denn es ist cx,Y • ß'Y ~ cx,Y + 1) ; für cx, = ° ist Satz 2 trivial.

Bemerkung: In den Sätzen 1 und 2 kommt zum Ausdruck, daß das distributive Gesetz der Form (cx, + ß) . y = cx, • y + ß . y nicht gilt. In Verallgemeinerung dieser Sätze gilt: Zu beliebigen von ° verschiedenen Zahlen cx" ß, y gibt es eine eindeutig bestimmte endliche Zahl c mit (cx, t ß) • y = cx, • y + ß . c [9]. - Für beliebige Zahlen cx" ß, y gilt (cx, + ß) . y ~ cx,. y + ß· y, wobei für (cx, + ß) . y = cx,. y + ß· y notwendig und hinreichend ist, daß entweder

1. eine der Zahlen cx" ß, y Null ist,

2. Y = 1,

3.1< Y < wund g(cx,) ~ g(ß)l, oder

4. y ~ wund g(cx,) + g(y) < g(ß) + g(y).

Dies ist leicht zu beweisen, indem man für cx" ß, y ihre Normalformen1

ansetzt [6].

Sa tz 3 (Binomischer Sa tz für Ordn ungszahlen). Ist ß + cx, = cx,

und y = a + n, wobei a von 2.Art und n < w, so ist

(cx, + ß)Y = cx,Y + cx,C1. {} (n), wobei

{}(n) = \( :n-;~~+nt~~2::~ncx,n_v'ß ß für n= 1

für n ~2,

und {} ( n) + cx," = cx,n;

ist y < w (also a = 0, y = n), so erhält man also speziell

ist y eine Limeszahl (also n = 0, y = a), so wird speziell

(cx, + ß)Y= cx,Y.

1 Def. der Normalform und von g(ex) folgt in diesem Paragraphen.

54 IH. Arithmetik der Ordnungszahlen.

Beweis: a) Die Formel ß (n) + "n = ,," stimmt für n = 0 und n = 1.

Stimmt sie für ein n ~ 1, so ist wegen ß (n + 1) = ,," . ß + lß . ß (n)

ß (n + 1) + "n+l = "n.ß + {p.ß (n) + "n+ 1

= "n. ß + "n + 1 = "n. (ß + ,,) = "n + '.

Somit ist ß (n) + "n = ,," für alle n < w.

b) (" + ß)n = "n + ß (n) ist für alle n < w richtig, denn dies ist für n = 0 und n = 1 richtig, und stimmt es für ein n ~ 1, so ist nach a) und Satz 1

(" + p)n + 1 = (" + p)n. (" + ß) = (,," + -0 (n)) . (IX + ß)

= IXn+ 1 + ß(n).l" + "n·ß + ß (n).lß

= IXn + 1 + ,,". ß + ß (n) ·lß = "n + 1 + ß (n + 1) .

c) Für y = w wird (wegen ß(n) ~ IX", also ,," + ß(n) ~ "n. 2 ~ "n +1

f ·· ....,.) ur" "'= 2

n<w 11.<0) n<w

(" + ß)w = "OJ folgt aber auch für IX ~ 1.

Ist Y = a + n, wobei a = w . 'f), so ist

(" + P)Y = (" + ß)a. (" + P)" = (" + ß)w.'l. ((X" + ß (n))

= ((" + ß)ro)'1. (,," + ß (n)) = ((Xro)'l. (IX" + ß (n)) = "l' + IXu • ß (n) .

2. Allgemeine Polynomdarstellung der Ordnungszahlen.

S atz 4. Zu zwei beliebigen Ordnungszahlen" und ß mit ß ~ 1 existieren zwei eindeutig definierte Zahlen ~ und ßI' so daß

" = ß . ; + PI , wobei 0 ~ ; ~ " , 0 ~ ßI < ß . Beweis: Es sei; die größte Ordnungszahl 'f) mit ß· 1) ~ ". Nun

gibt es eine Zahl ßI mit" = ß . ; + ßI' wobei ßI < ß. Die Darstellung " = ß . ; + ßI ist eindeutig, denn wäre auch

IX = ß .;' + ß't mit 0 ~ e ~ " , 0 ~ ß't < ß, so wäre ß·;' ~,,< ß· W + 1), d.h. e wäre die größte Zahl 'f} mit ß . 'f} ~ ", also e = ;. Aus" = ß . ; + ßI = ß . ; + ß~ folgt nun ß~ = ßI·

Gerade und ungerade Ordnungszahlen. Setzt man in Satz 4 ß = 2, so wird" = 2 .; + ßI' wobei ßI = 0 oder ßI = 1. Man nennt die Ordnungszahlen" der Form" = 2 .; gerade, die Zahlen der Form" = 2 .; + 1

ungerade Ordnungszahlen. Jede Ordnungszahl ist somit gerade oder ungerade; die Ordnungszahlen von 2.Art sind gerade (denn ist" =w· C, so ist" = 2 • w . C = 2 • ,,).

§ 12. Die Polynomdarstellung der Ordnungszahlen. 55

Sa tz 5. Sind (X und y zwei gegebene Ordnungszahlen mit (X ~ 1 und y ~ 2, so läßt sich (X eindeutig in der Form

(X = yIX •• 'Yjo +, mit 0 ;;;; (xo ;;;; (x, 0 ;;;; 'Yjo < y, 0;;;;' < y"" darstellen.

Beweis: (xo sei die größte Ordnungszahl ~ mit y~ ;;;; (x. Nach Satz 4 existiert dann eine eindeutige Darstellung (X = yIX •• 'Yjo +' mit 0 ;;;; (xo ;;;; (x,

0;;;; 'Yjo < y, 0 ;;;; , < yIX ••

S atz 6. Jede Ordnungszahl (X ~ 1 läßt sich tür gegebenes y ~ 2 eindeutig in der Form

(X = 2; y"'i. 'Yji mit (X ~ (Xo > (Xl > ••• > (Xm ~ 0 , 1;;;; 'Yji < y, 0;;;; m < w '~m

darstellen.

Beweis: Ist in der Darstellung (X = y'" . 1}0 + 'von Satz 5 , > 0,

so wende man Satz 5 wiederum auf' an, so daß' = y'" • 'Yjl + '1 usw. Weil (X > ,. > '1 > ••• ist, wird nach endlich vielen Schritten der Divisionsrest 'm = 0; somit erhält man die Darstellung von Satz 6. - Nimmt man an, es gäbe eine zweite solche Darstellung

(X=2;y"i.'Yji, mit (X~(X~>(X~> ••• >(X:"'~0, 1;;;;'Yji,<y, o;;;;m'<w, '~m'

so wäre y"; ;;;; (X < y";' 'Yj~ + Y"~ + 1 ;;;; y"~' ('Yj~ + 1) ;;;; y"'; + 1,

d. h. (X~ wäre die größte Zahl ~ mit y<;;;; (X; also folgt (X~ = (Xo' Analog beweist man (X~ = (Xi und 'Yj~ = 'Yji für alle i ;;;; m, ferner m' = m.

Bemerkungen: 1. Die durch Satz 6 gegebene Polynomdarstellung ist eine Verallgemeinerung der Darstellung einer endlichen Zahl in einem Ziffernsystem (z. B. Dezimalsystem).

2. Setzt man y = 2, so erhält man das Ergebnis, daß jede Ordnungszahl (X > 0 eindeutig in der Form

(X = 2; 2"1 mit (X ~ (Xo > (Xl > ••• > (Xm ~ 0, 0;;;; m < w i~ 1»

darstellbar ist.

3. Die CANToRsche Normallorm [1]. Der weitaus wichtigste Fall von Satz 6 ist y = w; man erhält dann die CANToRsche Normaltorm: Jede Ordnungszahl (X > 0 ist eindeutig in der Form

(X = 2; w"l. ai mit (X ~ (Xo > (Xl > ••• > (Xm ~ 0 , 1 ;;;; ai < w, 0 ;;;; m < w '~m

darstellbar. Dabei heißen die Zahlen (Xi die Exponenten (erster Stute) von (x. Speziell heißt (Xo der Grad von (x, den wir auch mit (Xo = g((X) be-

III. Arithmetik der Ordnungszahlen.

zeichnen; er ist die größte Zahl; mit w" ~ (X. Die kritischen Zahlen der Normalfunktion WO sind dadurch charakterisiert, daß sie ihrem Grad gleich sind; ihre Normalform besteht aus nur einem Glied (m=o)l. Die endlichen Ordnungszahlen (X sind durch g((X) = 0, die transfiniten durch g((X) > 0 charakterisiert. - Der letzte Exponent (Xm hat folgende Bedeutung: Die isolierten Ordnungszahlen (X sind dadurch gekennzeichnet, daß (Xm = 0 ist, die Limeszahlen durch (Xm> o. - Definiert man die Exponenten (n + 1)-ter Stufe als die Exponenten erster Stufe von den Exponenten n-ter Stufe, so gilt: Zu jeder Ordnungszahl (X > 0 existiert eine endliche Zahl p, so daß die Exponenten von Pcter und höherer Stufe von (X lauter kritische Zahlen der Normalfunktion w' oder 0 sind [5].

Für den Grad g((X) von (X kann man folgende Sätze beweisen:

1. g ((X) ~ (X.

2. g((X) < g(ß) --+ (X < ß (dagegen gilt die Umkehrung nicht; g((X) ist nur eine monotone' Funktion von (X).

3· g ((X + ß) = max (g(a:) , g(ß)) = g (max(a:, ß))·

4- g «(X . ß) = g ( a:) + g (ß) .

5.g(a:B)=g«(X)·ß für a:;;;;w.

4. Das Rechnen mit CANTORschen Normalformen [1].

Hilfssa tz: Für jede Potenz w" von w gilt: ß < w" --+ ß + w" = w".

Beweis: Wenn ß > 0, ist nach Satz 5 ß = w6 • n + 'Yj, wobei n < w, b < y, 'Yj < w" ; also gibt es ein' > 0 mit b + , = y; also wird

w"~ß + w"~ w"· (n + 1) + w"= w". (n + 1 + w') =w"· wC = w". Nun seien zwei Ordnungszahlen (x, ß mit (X> 0, ß > 0 gegeben, und

a: = :l: wai • ai , i;;;;m

ß= ~ wß/·bi i;;;; n

seien ihre Normalformen. Wir gehen daran, die Normalformen der Summe (X + ß, des Produkts (X·ß und der Potenz (Xß aus diesen Normalformen zu berechnen. Berücksichtigt man den obigen Hilfssatz und die Rechenregeln von Nr.1 dieses Paragraphen, so erhält man folgende Gesetze:

1. Addition:

a) Ist g ((X) < g (ß), so ist a: + ß = ß. b) Ist g (a:);;;; g (ß), so ist (X + ß = ~ wai • aj + ß,

i;;;; e

wobei (} die größte Zahl i mit (Xi ~ ßo ist.

1 Diese Zahlen sind die e-Zahlen > w (vgl. § 15).

(1)

(z)

§ 13. Funktionale Theorie der arithmetischen Operationen. 57,

2. Multiplikation: Es ist IX = wer. , a O + (}. wobei

(! = 2; wer" ai und (! + w"'" a o = wer" a o; 1:;;;':;;;'"

also ist für x :;?; 1

a) Ist ß eine Limeszahl, so wird somit

(X • ß = 1; IX' wßI • bi = 1; w"'o + ßI, bi = W"" ß ' .:;;; 16 .:;;; 16

b) Ist ß von 1. Art, so setzen wir 0' = 1; wß1 • b" so daß also ß = 0' + b,. • • <16

wobei 0' von 2, Art und bn endlich, Dann wird nach Satz 1

also IX' ß = IX' (0' + bn) = IX' (J + IX' bn

= 2; W"'o+ßI, bi + ro"".ao,bn + 2; ro"'I,ai' (4) .<16 1:;;;,:;; ...

3. Potenzierung: Aus Satz 3 und IX = w"" , ao + (! folgt:

a) Ist ß eine Limeszahl und IX ~ W, so wird

IXß = (w«' , ao)ß = w«,'P,

b) Ist ß von l.Art und IX von l.Art > w, so wird1

IXß = ro«" p, ao + ro"'" (ß-l) , ao' (! + .. , + W"'o' (a + 1) , ao ' (! + ro«" a, (! • (6)

c) Ist ß von l.Art und IX eine Limeszahl, so wird

IXß = ro«o'ß, ao + w"'o' (ß-l) , ao '(! = w«.'ß, ao + 1; W"'o' (ß-l) + «I, ai' (7} 1:;;; i:;;; m

d) Im Falll ~ IX < w wird für ß von 2. Art ß = w' x, also

(8)

für ß von l.Art ß = w' x+ bn , also

§ 13. Funktionale Theorie der arithmetischen Operationen.

1. Definition arithmetischer Operationen mittels Stammfnnktionen. Die Gesetze der arithmetischen Operationen können nach ]ACOBSTHAL

[4, 5] in einer allgemeinen funktionalen Theorie für alle Operationen gemeinsam abgeleitet werden, wobei man nicht jede Operation einzeln

1 Def. der Differenzen ß - 1, P - 2 usw. siehe § 17:

betrachten muß; dabei hat man zudem die Möglichkeit, die logischen Beziehungen zwischen ihren Gesetzen zu analysieren. Wir geben hier eine vereinfachte Fassung dieser ]ACOBSTHALschen Theorie wieder, die aber dennoch alle ihre wichtigen Züge aufweist. Diese wird dann weiterhin angewendet bis § 17.

Eine arithmetische Operation ist eine Funktion I von zwei Variablen, die jedem geordneten Paar (!X, ß) von Ordnungszahlen eindeutig eine Ordnungszahl I (!X, ß) zuordnet. Wir werden außer den elementaren Operationen (§ 11) auch andere betrachten, wobei für !X> 1 und zugleich ß > 1 immer mindestens die folgenden Bedingungen erfüllt sein sollen:

(I') I (!X, ß) istfür festes !X eine monotone Funktion vonß mit I (!X, ß) ;;;;'ß· (II') I (!X, ß) ist für festes ß eine monotone Funktion von !X mit

f(!X, ß) ;;;;'!X.

Kann man einer Funktion von zwei Variablen noch viel stärkere Einschränkungen auferlegen? Zunächst scheint es doch besonders günstig zu sein, wenn I (!X, ß) in beiden Variablen eine Normalfunktion ist. Dies ist aber unmöglich; denn ist I (!X, ß) in ß eine Normallunktion, so ist I (!X, ß) in !X keine wachsende Funktion: Sind !Xl und !X2 zwei bestimmte Zahlen mit !Xl < !X2 , so haben die Normalfunktionen I (!Xl' ß) und I (!X2, ß) von ß eine gemeinsame kritische Zahl ~ (nach § 7), so daß also ~ = I (!Xl' ~)

= I (!X2, ~). Man kann jedoch verlangen, daß für !X > 1 und zugleich ß > 1

die folgenden Bedingungen, die wir die arithmetischen Grundgesetze nennen wollen (und die auch für die Operationen der Addition, Multiplikation und Potenzierung gelten), erfüllt sind:

(I) I (!X, ß) ist für festes !X eine Normalfunktion von ß, (II) I (!X, ß) ist für festes ß eine monotone Funktion von !X mit

I (!X, ß) >!X.

Def. 1. Gibt es eine Funktion 11 (!X, ß) von zwei Variabeln, so daß

(1)

so heißt 11 eine Stammlunktion von I. Aus I (!X, 0) und einer Stammfunktion 11 ist I durch (1) eindeutig be

stimmt, wenn I als stetige Funktion von ß vorausgesetzt wird.

Satz 1. Hat die Stammlunktion 11 lür !X> 1 und ß > 1 die Eigenschalt (II) und ist sie lür !X > 1 und ß > 1 monoton in ß, definiert man f(!X, ß) mit Hille von 11 nach (1) als stetige Funktion von ß, und ist lerner f (!X, 1) in !X wachsend, so gehorcht I den arithmetischen Grundgesetzen (I) und (II).

Beweis: Für !X> 1 ist I (!X, 1) > 1, also I (!X, 2) = 11(f(!X, 1), !X) > I (!X, 1) > 1, und I(!X, 1) ist monoton in !X. Ist für !X> 1 und für ein

1 Dabei ist {J + 1 die Nachfolgerzahl von {J, zu dessen Definition man die Addition noch nicht voraussetzen muß.

§ 13. Funktionale Theorie der arithmetischen Operationen. 59

ß ~ 1 f(iX, ß) monoton in 01. und f(iX, ß) > 1, so ist wegen (1) auch J(iX, ß + 1) monoton in 01. und f(iX, ß + 1) = f1(1(iX, ß), 01.) > f(iX, ß). Ist Ä eine Limeszahl, und ist für 01. > 1 und 1 < ß < Ä f (01., ß) monoton in 01., so ist auch f (01., Ä) monoton in 01.. Somit ist für 01. > 1 und ß > 1 f (01., ß) monoton in 01. und eine Normalfunktion in ß. - Für 01. > 1 ist wegen J(iX, 1) ~ 01. zudem f(iX, ß) > 01. für ß > 1.

Satz 2. Geht man aus von der Operation des Ubergangs zur NachJolgerzahl

rpO(iX, ß) = 01. + 1,

'Und definiert man die Funktionen rpl' rp2' rps von zwei Variabeln 01., ß als stetige Funktionen von ß mit Hilfe der Funktionen rpo, rp1' rp2 (resp.) als Stammfunktionen, so erhält man bei geeigneter Definition ihrer Anfangswerte (nämlichrpl (01., 0) = iX,rp2 (01., 0) = 0, rps (01.,0) = 1) die mengentheoretisch definierten elementaren arithmetischen Operationen von § II:

rpl (01., ß) = 01. + ß, rp2 (01., ß) = '" . ß ' rps ("', ß) = ",{J •

Dies ergibt sich auf Grund von Satz 1 aus den folgenden (in § 11

bewiesenen) Eigenschaften der Operationen von § 11: 1. Diese Operationen haben die oben angegebenen Anfangswerte. 2. Sie sind stetig in ß. 3. Sie erfüllen die assoziativen bzw. distributiven Gesetze (4), (5), (7) dieses Paragraphen (s. weiter unten).

Folgerungen: 1. Die mengentheoretisch definierten Operationen lassen sich also auch durch transfinite Rekursion definieren. Dabei können wir diese Definitionen auch auf folgende Form bringen (wobei auch die Anfangswerte einbezogen sind) :

'" + ß ist stetig in ß, wobei", + 0 = "', '" + (ß + 1) = ('" + ß) + 11,

'" • ß ist stetig in ß, wobei", . ° = 0, '" . (ß + 1) = '" . ß + "', ",{J ist stetig in ß, wobei ",0 = 1, ",{J+l = ",{J. "'.

2. Analog ist die unendliche Summe (J I' = 1: "'~ als stetige Funktion ~<I'

in f" definiert mit (Jo = 0, (J1'+1 = (JI' + "'I" das unendliche Produkt "'I' = II "'; als stetige Funktion in f" mit "'0 = 1, "'I' + 1 = "'I' • "'I'"

e<1'

3. Die wichtigste Folgerung aus Satz 1 ist, daß die arithmetischen Grundgesetze nun mit einem Schlage für alle drei elementaren Operationen rpl' rp2' rps bewiesen sind, und zwar bereits daraus, daß rpo ("" ß) > '" und daß alle rp, ("', 1) in", wachsend sind (für i = 0, 1,2,3).

1 Dabei ist ß + 1 die Nachfolgerzahl von ß. zu dessen Definition man die Addi-tion noch nicht voraussetzen muß. .


2. Beziehungen zwischen den Gesetzen der transfiniten Arithmetik. 1(01., P) erfülle nun (I) und (11), und sei zudem für 01. > 1 und beliebiges P in P wachsend (das letztere folgt für die drei elementaren Operationen unmittelbar aus ihren Definitionen durch Stammfunktionen) .

Def.2. Eine arithmetische Operation 1 mit der Stammfunktion 11 erfüllt ein verallgemeinertes distributives Gesetz, wenn eine Funktion 12 von zwei Variablen existiert, so daß

Id/(OI.,P)' I(OI.,yH =/(0I.,/2(P,y))·

Ist 12 = 11' so erfüllt 1 das spezielle distributive Gesetz.

Def. 3. Eine arithmetische Operation I erfüllt ein verallgemeinertes assoziatives Gesetz, wenn eine Funktion 13 von zwei Variablen existiert, so daß

I (I (01., P), y) = 1 (01.,13 (P, y») .

Ist 13 = I, so erfüllt I das spezielle assoziative Gesetz.

Sa tz 3. Erlüllt I das verallgemeinerte assoziative Gesetz (3), so erlüllt 13 das spezielle assoziative Gesetz.

Beweis: Setzt man in (3) 01. = 1(;,01.'), P = P', y = y', wobei; > 1,

so wird aus (3)

I (f (I (;, 01.'), P') , y') = I (I (;, 01.'), 13 (ß', y'»);

wendet man auf diese Ausdrücke (3) zweimal an, so wird

l(f(;, 13(01.', P')), y') = 1(;,/3(13«(1.', ß')' y')) =/(;, 13«(1.', 13(ß" y'»)), also (weil 1(;, P) in P wachsend ist)

/3 (13 (01.', P'), y') = 13 (01.',13 (P', y'» , und dies ist das spezielle assoziative Gesetz für 13'

Satz 4. Erlüllt I beide Gesetze (2) und (3), so ist 12 Stammlunktion von 13' und 13 erlüllt das spezielle distributive Gesetz.

Beweis: Für 01. > 1 ist, da (1), (2), (3) für I gilt:

1(/(01., P), y+ 1) =/1 (f(l(OI., P), y), 1(01., P» = 11 (f (01., /3 (P, y)), 1 (01., P» = I (01., /2 (/3 (P, y), P)

und

also 1(1(01., P), y + 1) = 1(01., Is (p, y + 1)),

13 (P, y + 1) = 12 (f3 (P, y), P) ,

d.h. 12 ist Stammfunktion von 13' Ferner gilt für; > 1 nach (2)

1(;' 12 (f3 (01., P), 13(01., y))) =/1 (f(;, 13(01., P», 1(;, 13(01., y)));

§ 13. Funktionale Theorie der arithmetischen Operationen. 61

nach (3) wird dies = Idl (f ($, ex), ß), 1 (/ ($, a), y)); nach (2) wird dies = 1 (/ ($, a), 12 (P, y)),

nach (3) wird dies = 1 ($, la (ex, 12 (ß, y))) .

Vergleicht man das erste und letzte Glied dieser Gleichung, so folgt

12 (/a (ex, P), la (0:, y)) = la (ex, 12 (ß, y)) ,

d.h. für 13 gilt das spezielle distributIve Gesetz.

Satz 5. Ist 1 mittels der Stammlunktion 11 definiert, wobei 1(0:,0) = 0

oder 1(0:,0) = 1, erlüllt 1 das verallgemeinerte distributive Gesetz, und definiert man 13 als stetige Funktion in ß mittels 12 als Stammlunktion durch

la(ex, o) = 0

la(ex,ß+ 1) =/2(fS(ex,ß),0:),

so gilt lür 1 das assoziative Gesetz (3).

Beweis: Die zu beweisende Formel (3) gilt für I' = 0, weil nach Voraussetzung l(f(ex, ß), 0) = 0 oder = 1 und I(ex, Is(ß, 0)) = I(ex, 0) = 0 oder = 1. Gilt (3) für y, so gilt (3) für I' + 1, denn es wird

1 (/ (ex, ß), y + 1) = 1 dl (/ (0:, ß), y), 1 (a, ß)) = 11 (f (a, 13 (ß, y)), 1 (Ci. , ß))

= 1 (Ci., 12 (/3 (ß ,y), ß)) = 1 (a, 13 (ß, y + 1)) .

Gilt (3) für alle I' < 1'0' wobei 1'0 eine Limeszahl ist, so gilt (3) auch für 1'0' denn es wird

1 (f (Ci., ß), Yo) = lim I (f (Ci., ß), y) = lim 1 (a, /3 (ß, y)) = 1 (a, 13 (ß, Yo)) . i<Yo '<)'0

S atz 6. Ist / mittels der Stamm/unktion /1 definiert, wobei entweder 1(Ci., 0) = 0 und /1 (Ci., 0) = Ci., oder 1 (Ci., 0) = 1 und /1 (Ci., 1) = Ci., gilt lür 11 das spezielle assoziative Gesetz und ist 11 (Ci., ß) stetig in ß, so erfüllt 1 das distributive Gesetz (2), wobei 12 (Ci., ß) = Ci. + ß.

Beweis: Die zu beweisende Formel 11 (f(Ci., ß), 1 (Ci., 1')) = 1 (Ci., ß + 1') gilt für I' = 0, weil /1 (f(Ci., ß), 1(Ci., 0)) = 1 (Ci., ß). Gilt sie für 1', so gilt sie für I' + 1; denn es wird

11 (f (ex, ß), 1 (Ci., I' + 1)) = 11 (f (Ci.. ß), 11 (f (Ci., 1'), Ci.)) ;

weil für 11 das spezielle assoziative Gesetz gilt, wird dies

= 1 le (f 1 (f (ex, ß), 1 (ex, y)), ex) = 11 (f ( ex , ß + y) , ex) = f (ex , ß + y + 1) .

Gilt die zu beweisende Formel für alle I' < 1'0' wobei 10 eine Limeszahl ist, so gilt sie für 10' denn es wird

fd/(ex,P),f(ex,yo)) = lim 11 (f(ex,p),f(ex,y)) Y <)'0

= Iim I(IX,P + y) = 1 (Ci.,p + 10) . y<y,

62 II!. Arithmetik der Ordnungszahlen.

Folgerungen: Wenden wir die Sätze 3 bis 6 auf die drei elementaren arithmetischen Operationen an, so sehen wir, daß sich alle distributiven und assoziativen Gesetze dieser Operationen aus dem speziellen assoziativen Gesetz für die Addition

(ex + ß) + Y = ex + (ß + y)

beweisen lassen (dieses ist seinerseits aus der Definition der Addition mit Hilfe transfiniter Induktion nach y leicht zu beweisen) :

Setzen wir nämlich 1 = f{!2' 11 = f{!1' so gilt nach Satz 6 für 1 das distributive Gesetz

ex • ß + ex· y = ex· (ß + y) . (S)

Setzen wir 1 = f{!2' 13 = f{!2 (also 11 = f{!1' 12 = f{!1), so gilt nach Satz 5 für 1 das assoziative Gesetz

(ex· ß) . y = ex· (ß· y) . (6)

Setzen wir 1 = f{!3 (also 11 = f{!2)' so gilt nach Satz 6 für 1 das distributive Gesetz

Setzen wir 1 = f{!3' 13 = f{!2 (also 11 = f{!2' 12 = f{!1), so gilt nach Satz S für f das assoziative Gesetz

(8)

§ 14. Höhere arithmetische Operationen.

1. Iterationen arithmetischer Operationen. Die elementaren arithmetischen Operationen 'P'1 ('Y} ~ 3) sind so definiert, daß 'P'1 die Stammfunktion von 'P'1+ 1 ist für 'I ~ 2 (§ 13). Die Methode der Stammfunktion besteht in einer Iteration. Es liegt auf der Hand, mit dieser Methode, oder auch durch all· gemeinere Iterationen dieser Operationen höhere arithmetische Operationen zu definieren, so daß jeder Ordnungszahl 'Y} eine Operation 'P'1 (oc, ß) zugeordnet werden kann. Dabei hat man allgemein für die Definition der Iteration einer beliebigen arithmetischen Operation f(l%, ß) folgende verschiedene Möglichkeiten: Die Iteration der Ordnung 11 + 1 kann aus der Iteration der Ordnung 11 in Form von Links- oder Rechtsiteration (§ 8), ferner durch Iteration in der ersten oder zweiten, oder in bei den Variablen definiert werden:

(1) Linksiteration in der 1. Variablen: fV + 1 (oc, ß) = f (fv (oc, ß), ß), (2) Rechtsiteration in der 1. Variablen: fV + 1 (oc, ß) = fV (f(oc, ß), ß), (3) Linksiteration in der 2.Variablen: fV+l (oc, ß) =f(oc, fV(oc, ß)), (4) Rechtsiteration in der 2.Variablen: p+l(oc, ß) =fv(oc,f(oc, ß)), (s) Linksiteration in beiden Variablen: fV+l(oc, ß) =f (fv(oc, ß),fv (oc,ß)), (6) Rechtsiteration in beiden Variablen: fH 1 (oc, ß) = P (f(oc, ß), f(oc, ß)).

Die Iteration von Limeszahlordnung ). werde in allen Fällen durch

p (oc, ß) = limfv (oc, ß) v<Ä

definiert, sofern dieser Limes existiert. Ferner definieren wir fO (oc, ß) = oc bei Iteration in der 1. Variablen, fO (oc, P) = P bei Iteration in der 2. Variablen.

Genügtffür oc > 1 und p > 1 den Gesetzen (1') und (II ') (§ 13), so kann man mittels transfiniter Induktion nach v leicht zeigen, daß die Limites lim fV (oc, P) immer existieren, so daß man also 6 verschiedene Folgen von v<A Iterationen fV definieren kann, wobei für jede Ordnungszahl v und für oc> 1

und p> 1 fV den Gesetzen (1') und (II ') genügt, wozu noch das Gesetz fV (oc, p) ~ fV+1 (oc, P) kommt.

Genügt f den arithmetischen Grundgesetzen (I) und (II) (die stärker als (1') und (II/) sind), so ist in den Fällen (1) und (5) zudemfv(oc,p) < f"+1 (oc, P), ferner in allen 6 Fällen fV (oc, P) > oc.

2. Definition von Funktionalen aus arithmetischen Operationen. In Verallgemeinerung der Linksiteration kann man jeder arithmetischen Operationf, die den Gesetzen (1') und (II ') gehorcht, ein Funktional zuordnen, das jeder Folge {OCE JE < A mit A 6 1 eine Ordnungszahl F OCE eindeutig zuordnet,

E<A die wir auch mitF(A) bezeichnen: F(A) sei eine stetige Funktion von A mit F(1) = (%0; für die Definition von F(A + 1) aus F(A) haben wir folgende zwei Möglichkeiten:

F(Ä + 1) =f(F(Ä), OCA),

F (k+ 1) =f(OCA,F(Ä».

(8)

(9)

Man sieht sofort, daß für beliebige Ordnungszahlen OCE > 1, l> 0 in beiden Fällen F (A) = F OCE existiert, und zwar ist dieses Funktional monoton in A

E<A und in allen Variablen OCE, ferner ist F(A) 6 OCE für alle ~ < l. Speziell wird, wenn f den arithmetischen Grundgesetzen (I) und (II) genügt, im Fall (8) F(A) eine Normalfunktion von A. Im Fall (8) haben wir eine nach rechts fortschreitende Anwendung der OperationJ, im Fall (9) eine nach links fortschreitende.

Bildet man f" nach (1) und F(v) nach (8), oder fV nach (3) und F(v) nach (9), so wird f" (oc, oc) = F(1 + v), wenn alle OCE = oc. Ist f = 'Pt> so wird im Fall (8) F (l) = 2: OCE; ist f = 'P2' so wird im Fall (8) F (l) = I1 OCE.

«A «A

3. Exponentenketten [6]. Ist f= 'Pa, so heißen die Funktionale F(A) im Fall (8) und (9) Exponentenketten. Diese bilden die nächsthöhere Operation nach der Potenzierung. Schreibt man für diese im Fall (8) F(A) = (P oce, im Fall (9) F(A) = 'P oc", so ist ,,<A

«A (P oce = oct wobei P = I1 ocE;

E<A 1~E<A

die nach (8) definierten Exponentenketten lassen sich also auf die gewöhnliche Potenz zurückführen.

Für die nach (9) definierten Exponentenketten schreiben wir für endliches n

Somit ist

'1' OCE = [OCn, OCn -1, ••. , ocl> oco]. «n

[ ] _ [ ]_ [«, ... ·.« .. 1 OCo - oco, rxo, ocl ' ••• , OCn - OCo .

Sind alle oe~ = oe, so schreiben wir

<~t<= [~]. Somit ist

[oe] = oe, [ oe ] = J:l [()(] = lim [()(]. 1 n+l ,W »<al n

Zum Beispiel wird für ()(I; = W

rp oe" = {(I)W)al = wW' = [w, w2J, < < 3 •

wal [W] 'l'()(,=w = [w,w,w] = . .<3 3

Über die Werte der Exponentenketten kann man folgende Sätze beweisen:

1. Ist {lXe J< < al eine beliebige Folge vom Typ w von Ordnungszahlen ()(I; ~ 2, und ist ()( die kleinste Zahl ~ ()(I; für alle; < w, so ist rp ()« dann und

«al

nur dann keine e-ZahI1, wenn folgende Bedingungen zugleich erfüllt sind:

a) Nicht alle ()« sind endlich. b) Entweder hat {oe< Je < al ein Maximum, oder dann ist ()( keine e-Zahl.

2. Ist {()(e}1; < Ä eine beliebige Folge vom Limeszahltyp ;. von Ordnungs-zahlen ()(e ~ 2, so ist 'P ()(. stets eine e-Zahl (z.B. ist lim [()(n, ()(n-l, ... , ()(l' 1Xo] eine e-Zahl). e< Ä n < al

3. Ist {()(d" < w eine beliebige Folge vom Typ w von Ordnungszahlen ()(I; ~ 2, ist für ()« < w He = 2 und für ()(. ~ W H< die größte e-Zahl ~ ()(I;, so ist lim [oeo, ()(], •.. , oenJ dann und nur dann keine e-Zahl, wenn {H< Je< w

n<al ein Maximum hat, das nur endlich oft vorkommt.

4. Die F!NSLERSchen höheren Operationen. Zu einer arithmetischen Operation/, die den arithmetischen Grundgesetzen (I) und (II) gehorcht, läßt sich eine höhere Operation I' definieren durch

!' (oe, ß) = IfJ «)(, ()(), (10)

wobei zunächst irgend eine der 6 Iterationsmöglichkeiten verwendet werde. Nicht alle Möglichkeiten (1) bis (6) sind aber gleich gut dafür geeignet. Im Fall (3) z.B. wird nämlich nach § 8, Satz (7)

f'{oe, P) = I(oe, w) für p ~ w,

d. h. /' ist von einer Stelle ab in p konstant. Wir verwenden nun die Iterationsdefinition (1); also ist

!,(IX.,p+ 1) =lfJ+1(oe,lX.) =1(ffJ(IX.,IX.),IX.) =1(f'(IX., P),()() ,

d. h. 1 ist Stammfunktion von /'. Dann gehorcht auch I' den arithmetischen Grundgesetzen (I) und (II) (nach § 13, Satz 1). Wenn IPo (oe, P) = oe + 1 gesetzt wird, wird

IPdoe, P) = IP~ (oe, oe),

IP2 (oe, 1 + P) = IP~ (oe, ()(),

IP3(oe,1 + ß) = IP~(IX.,IX.).

1 Def. der e-Zahlen siehe § 15.

Setzt man nun weiterhin

lf''I'} + 1 (rx., ß) = lf'~ (rx., ß) für 1} ~ 3,

lf';.(rx.,ß) = !im lf''I'}(rx.,ß) für Limeszahlen Ä, 'I'} < 1.

so erhält man zu jeder Ordnungszahl 1} eine Operation lf''I'}' Diese sind1 die FIN5LERSchen Operationen [3] (z. B. wird lf', (rx., ß) = rx."'p); ist 1} von 1. Art, 50 gehorcht lf'q den arithmetischen Grundgesetzen (I) und (II)2; ist 1} eine Limeszahl, so gelten für lf''I'} die Gesetze (I') und (Il); ferner ist lf''I'} (rx., ß) ~ lf''1+1 (rx., ß) für jedes 1} (und immer für rx. > 1 und ß > 1). - Diese Behauptungen werden mit transfiniter Induktion nach 1} bewiesen:

Für 1} = 3 existiert lf''1 (rx., ß) für alle Zahlen rx., ß und hat die behaupteten Eigenschaften. Gilt dies für alle 1} mit 3 ~ 1} < 1}0' wobei 1}0 > 3, so gilt dies auch für 1} = Tio:

a) Ist 1}0 = 17~ + 1, so gehorcht lf'7J. den Gesetzen (I) und (Il). Somit

existiert auch lf'7J.+ 1 (rx., ß) = lf'~.(rx., rx.). Dann ist für 1 < ß ~ rx.

lf''1.+ 1(rx., ß) ~ lf''1. (rx., rx.) ~ lf''I'}. (rx., ß);

'1''1'}. + 1 (rx., ß) ~ lf''I'}. (rx., ß) gilt aber auch für alle ß> rx.; denn gilt dies für rx. > 1, ß> 1, so folgt (\vegen der Induktionsvoraussetzung lf''I'}+1 (rx., ß) ~ lf'7J (rx., ß) für 1} < 1}o)

lf'7Jo+ 1 (rx., ß + 1) = lf'7Jo (lf''I').+ 1 (rx., ß), rx.) ~ lf'7J: (lf''1Q + 1(rx., ß), rx.)

~ lf'7J; (lf'7J. (rx., ß), rx.) = lf''1o (rx., ß + 1).

b) Ist 1}0 eine Limeszahl, so existiert der Limes lf''1o (rx., ß) = lim lf'7J (rx., ß)· 7J <7Jo

Für rx. > 1, ß > 1 ist lf'7Jo (rx., ß) monoton in rx. und ,8, ferner gilt lf'7J. (rx., ß) > rx., 'P'1o(rx., ß) ~ ß. Also gelten die Gesetze (I') und (Il) für lf'7JO" Also existiert auch lf''1o+1 (rx., ß) = lf'~o (rx., rx.). Für ß ~ rx. ist also

'P'1o + 1 (rx., ß) ~ 'P'1. (rx., rx.) ~ 'P'1. (rx., ß);

'P'1o+1(rx., ß) ~ lf''1o(rx., ß) gilt aber auch für ß> rx., denn aus lf''1o+1(rx., ß) ~ lf''1' (rx., ß) für rx. > 1, ß > 1 folgt für alle 1} mit 3 ~ 1} < 1}0 (wegen der Induktionsvoraussetzung lf''1+ 1 (rx., ß) ~ lf'7J (rx., ß) für 3 ~ TJ < 1)0)

lf'7Jo + 1(rx., ß + 1) = lf''1o (lf'7J. + 1{rx., ß), rx.) ~ lf'fJo (lf''1' (rx., ß). rx.) ~ lf''1 (lf'fJo (rx., ß), rx.)

~lf'7J(lf'7J+1(rx.,ß),rx.) = lf'fJ+ 1 (rx.,ß + 1), also

Bemerkung: Definiert man die Operationen lf''1 (rx., ß) nur für rx. E Z, ß E Z, 1) EZ (vgI. § 6), so ist lf''1 auch für Limeszahlen 11 stetig in ß: Ist rx. > 1 und ß eine Limeszahl, so wird nämlich

'P'1(rx., ß) = !im lf'7J' + ,(rx., ß) = lim (lim lf''1' + 1(rx., ß'» = lim (lim lf''1' + 1 (rx., ß'» fJ'<7J 1}'<1} P'<P P'<P fJ'<fJ

= lim lf'1} (rx., ß'), P'<P

1 Abgesehen von einer Vertauschung der Variablen. 2 Auf alle diese Operationen läßt sich somit die Theorie der Hauptzahlen an

wenden (§ 15).

66 111. Arithmetik der Ordnungszahlen.

denn die Vertauschung der Limesoperationen ist gestattet, weil beide Limeszahlen 'YJ und {J mit w konfinal sind (vgl. § 5, Satz 1). -

Jeder FINSLERschen arithmetischen Operation 'PYJ kann man nach Def. (8) oder (9) ein Funktional zuordnen, das jeder Folge {cx< h < A eine OrdnungszahllPYJ (A) zuordnet.

Die höheren arithmetischen Operationen können zur formalen Darstel· lung von Ordnungszahlen verwendet werden (vgl. § 38).

§ 15. Die Theorie der Hauptzahlen.

1. Allgemeine Theorie. Die Theorie der Hauptzahlen läßt sich für beliebige arithmetische Operationen, die den arithmetischen Grundgesetzen (§ 13) gehorchen, gemeinsam durchführen. / (iX, ß) sei im folgenden immer eine solche Operation.

Def. 1. Eine Ordnungszahl; heißt Hauptzahl bezüglich der Operation /, wenn es eine Ordnungszahl A < ; gibt, so daß / (iX , ;) = ; für alle iX mitA ;;;;'iX<; [4,7].

Def. 2. Eine Hauptzahl heißt eigentliche Hauptzahl, wenn sie eine Limeszahl ist, sonst uneigentliche Hauptzahl [4, 7].

Sa tz 1. Damit; eine eigentliche Hauptzahl bezüglich / ist, ist notwendig und hinreichend, daß eine wachsende Folge {iXp } I' < A von Limeszahltyp A existiert mit lim iXp =; und /(iXp ';) =; tür aUe # < A.

p<J. Beweis: Ist / (iX, ;) = ; für eine bestimmte Zahl; > 1 und für ein iX

mit 1 < iX<;, so ist /(ix', ~) = ~ für alle ix' mit 1 < ix' < ix; denn dann ist

;;;;;'/(ix',;) ;;;;'/(ix,;) =;, also /(ix',;) =;. Satz 2. AUe transfiniten Hauptzahlen sind eigentliche Hauptzahlen. Beweis: Annahme, ~:;;;;; w sei eine Hauptzahl bezüglich /. Dann

kann; nicht von 1. Art sein; denn sonst wäre; =;' + 1,;' :;;;;; W, also

d. h. ; wäre nicht Hauptzahl.

Sa tz 3. Ist ix > 1, so ist die kleinste Hauptzahl > ix die Zahl; = lim 1;1" wobei I' < ro

;0 = IX,

;1' + 1 = / (;1" ;1') .

Beweis: a); ist eine Hauptzahl: Es ist;:;;;;; w, weil die Folge {;p}l'<ro wachsend ist. Ist 1< ix' <;, so gibt es einen Index #0 < w, so daß ix' < ;1'0' also

; ;;;;, / (ix', ;) = lim / (IX', ;1') ;;;;, lim / (;1'0' ;1') ;;;;, lim / (;1' , ;1') = lim ;1' + 1 = ; , p<ro I'<ro p<ro p<ro

also/(iX',;) =~.

§ 15. Die Theorie der Hauptzahlen.

b) Es gibt keine Hauptzahl zwischen cx und ~: Ist 1] > cx und rJ eine Hauptzahl, so ist /(cx', rJ) = f) für 1 < cx' < f), also

'YJ = /(cx, rJ) > /(cx, cx) = ~1'

also rJ = /(~1' rJ) > /(~1' ~l) = ~2 usw.,

also f)~lim~.u=~' .u<ru

Bemerkung: Nach Satz 2 und 3 kommen für die uneigentlichen Hauptzahlen also nur die Zahlen 1 und 2 in Betracht.

Sa tz 4. Die Hauptzahlen bilden den Wertbereich einer Normal/unktion mit Argumentbereich W.

Beweis: Nach Satz 3 existiert zu jeder Hauptzahl eine größere. Ist ferner {~.u};' <,\ eine wachsende Folge vom Limeszahltyp A, wobei alle ~.u Hauptzahlen bezüglich / sind, so ist auch lim~.u eine Hauptzahl be-

1'<'\ züglich /: Denn es ist /(cx, ~.u) =~.u für 1< cx <~.u (für alle # < A); ist nun cx' eine beliebige Zahl mit 1 < cx' < lim ~P' so gibt es einen Index

1'<" #0< A mit cx' < 1;1'0' also ist cx' <~.u für #0 ~ # < A, also

/(cx', ~.u) =~.u für #0 ~ # < A, also

lim ~.u = lim / (cx', ~.u) = / (cl, lim ~.u) . .u<Ä 1'<'\ 1'<'\

Sa tz 5. Hat / eine Stamm/unktion /1' die auch den arithmetischen Grundgesetzen gehorcht, so ist jede eigentliche Hauptzahl von / auch Hauptzahl von /1'

Beweis: 1; sei.eine eigentliche Hauptzahl von /, also nach Satz 2 eine Limeszahl mit /(cx, 1;) = 1; für alle cx mit 1< cx < 1;. Wäre nun 1; keine Hauptzahl von /1' so würde ein cx mit 1 < cx < ~ existieren mit /1 (cx, 1;) > ~; also wäre /1 (cx, rJ) > 1; für ein rJ mit 1 < rJ < 1;. Also wäre (wegen /(rJ, cx) ~ cx)

/(rJ, 1;) > /(rJ, cx + 1) = /1 (f(rJ, cx), rJ) ~ /1 (cx, rJ) > ~, also

/ (rJ', ~) > 1; für alle rJ' mit rJ ~ rJ' < 1; ,

d.h. ~ wäre nicht Hauptzahl von /.

2. Die Y-, 0- und li-Zahlen.

Def. 3. Wir nennen die Hauptzahlen der Addition die y-Zahlen. Somit sind die y-Zahlen diejenigen Zahlen, die allen ihren Resten

gleich sind. Die einzige uneigeritlichey-Zahl ist 1.

Satz 6. Ist cx > 0, so ist die kleinste y-Zahl über cx die Zahl cx· w.

5·

Beweis: Nach Satz 3 ist die kleinste y-Zahl über (X dieZahllim ~P' P<OJ

wobei ~o = (X, ~1'+1 = ~p' 2; also wird ~p = (X. 2 P, also lim ~P = (X. w. p<w

Folgerungen: 1. Die y-Zahlen sind genau die Zahlen w/;.

2. Ist (X eine y-Zahl, so ist auch (X< eine y-Zahl (für beliebiges ~).

3. Ist ß eine Limeszahl, so ist (Xß für beliebiges (X eine y-Zahl.

4. Ist ß eine y-Zahl und 1 ;:;;; (X ;:;;; ß, so gibt es eine y-Zahl ~ mit ß = (X.~.

S. Ist (X • ß eine y-Zahl, so ist auch ß eine y-Zahl; ist ß eine eigentliche y-Zahl, so ist (X • ß eine y-Zahl für (X > o.

Def.4. Die Hauptzahlen der Multiplikation heißen die {j-Zahlen.

Die einzige uneigentliehe {j-Zahl ist 2. Nach Satz 5 sind alle eigentlichen {j-Zahlen auch y-Zahlen.

Satz 7. Ist (X > 1, so ist die kleinste {j-Zahl über (X die Zahl (XW.

Beweis: Nach Satz 3 ist die kleinste {j-Zahl üb~r (X die Zahllim ~P' p<w

wobei ~o = (X, ~1'+1 = ~~, also wird ~I' = (X2P, also lim ~I' = (XW. P< w

Folgerungen: 1. Die {j-Zahlen sind die Zahl 2 und die Zahlen wm<. 2. Ist (X eine d-Zahl und ß eine y-Zahl, so ist (Xß eine {j-Zahl.

D e f. S. Die Hauptzahlen der Potenzierung (oder exponentiellen Hauptzahlen) heißen die s-Zahlen.

Es gibt keine uneigentliehe s-Zahl. Nach Satz 5 sind alle s-Zahlen auch {j-Zahlen und y-Zahlen.

Satz 8. Ist 2< =~, so ist ~ eine s-Zahl. Beweis: Es sei 2< =~. ~ ist eine Limeszahl; denn wäre ~ = e + 1,

so wäre 2< = 21;'+1 = 21;' • 2 = 2<' + 2<' > e + 1 =~, im Widerspruch zur Vorauss~tzung. Somit ist ~ = w . x, also

2< = 2"" x = (2"')"" = W X = ~ ,

d. h. ~ ist eine y-Zahl. Es ist lim 21;' = 2< = ~. Für e < ~ wird also .'<1;

2<' • 2< = 2<' + < = 2< = ~ ,

also ist nach Satz 1 ~ eine {j-Zahl. Deshalb ist für ~' < ~ (2<")<= 2<'·< = 2<= ~,

also ist nach Satz 1 ~ eine s-Zahl.

Folgerung: Bezeichnen wir die kritischen Zahlen der Normalfunktion q; (~) = w< mit 8<, so sind die Zahlen 8< die s-Zahlen > w. Die Ablei-

tung von q; (~) = (X< (mit (X ;;;;; w) ist q;' (~) = sßH' wobei ß durch sß = [:]

§ 16. Hauptzahlen und kritische Zahlen. 69

bestimmt ist (vgl. Satz 9); die kritischen Zahlen von 'P (;) = (Xe (mit z ~ (X < w) sind genau die 8-Zahlen, also 'P' (0) = w, 'P' (1 + ;) =8~.

Bemerkung: Im Gegensatz zur Potenzierung werden bei der Addition durch die Gleichung z + ; = ; nicht die y-Zahlen, sondern die transfiniten Ordnungszahlen charakterisiert, bei der Multiplikation durch z . ; =; nicht die b-Zahlen, sondern einfach die Ordnungszahlen von z.Art.

Satz 9. Ist (X ~ z, so ist die kleinste 8-Zahl > (X die Zahl [:].

Beweis: Nach Satz 3 gilt für die kleinste 8-Zahl H > (X

H= lim ;n, wobei ;0= (XIX, ;n+l=;;n; n<ro

daraus folgt H ~ [:]. Ferner ist

(X[~] = lim (X[~] = lim n<w n<w

d.h. [:] ist eine 8-Zahl; somit folgt H = [:].

Sa tz 10. Jede reguläre Limeszahl ist eine 8-Zahl.

Beweis: Ist A eine reguläre Limeszahl, und wäre A keine 8-Zahl, so wäre

A = z), + J-l, wobei w ~ A < A, J-l von z.Art und 0 ~ J-l < z'.

Ist J-l eine Limeszahl, so ist A mit J-l konfinal, Widerspruch. Ist J-l = 0

l.md A eine Limeszahl, so ist A mit A konfinal, Widerspruch. Ist J-l = 0

und A = l + n, wobei leine Limeszahl und 1 ~ n < w, so ist A = Zl • zn mit der Limeszahl Zl < A konfinal, Widerspruch.

Folgerungen: 1. Jede ordinale Anfangszahl ist eine 8-Zahl.

z. Daraus folgt nach § 11, Satz 4: a) Qß = 2: Qi;+l für beliebiges ß > 0 (d.h. Qß = 2: Q~ für Limeszahlen

E<ß «ß ß, Qß = 2: QIi für ß von l.Art),

Ii:;;,ß b) Qß = 2: Qß ' wenn {ßIi}1i <.1 eine wachsende Folge vom Limeszahl

Ii < iI < typ A mit dem Limes ß ist.

§ 16. Hauptzahlen und kritische Zahlen.

Sa tz 1. Die mit w konfonalen y-Zahlen sind genau die Ordnungszahlen, die man als Limes einer wachsenden Folge {(Xn}n< w vom Typ w darstellen kann, wobei folgende Bedingungen erfüllt sind:

(1) (Xo = 0,

(2) die Differenzen/olge {ön}n< w von {(Xn}n< w ist monoton (vgl. § 11).

Beweis: a) Ist Ll eine mit w konfinale y-Zahl, so gibt es eine solche Folge {(Xn}n<w: Im Fall Ll=wX +1 setze man (Xn=wx·n; also wird ön = wX für alle n < w. Im Fall wX , wobei x eine Limeszahl ist, existiert eine wachsende Folge {xn}n < w mit lim xn = x. Man setze dann (xo = 0,

Xn . . d .I: Xn n<w (Xn+l = W ,es WIr un = W •

b) Ist Ll = lim (Xn' wobei {(Xn}n< weine Folge mit den Bedingungen n<w

(1) und (2) ist, und ist Ll keine mit w konfinale y-Zahl, so ist Ll überhaupt keine y-Zahl; Ll1 sei nun die größte y-Zahl < Ll und (Xn. das erste Glied der Folge {(Xn}n< w mit (Xn.;;;; Ll 1 ; es ist no;;;; 1, (Xn. -1< Ll 1 und ön._ 1 ;;;; Ll1 ,

also Ll ;;;; Ll1 • w. Dies ist aber unmöglich, weil Ll 1 • w die nächstgrößere y-Zahl über Ll 1 ist.

Satz 2. Damit zu einer Limeszahl Ll eine volle Normal/unktion vom Typ Ll existiert, die keine kritischen Zahlen hat, ist notwendig und hinreichend, daß Ll eine mit w konfinale y-Zahl ist.

Beweis: a) Ist Ll eine mit w konfinale y-Zahl, so existiert nach Satz 1

eine wachsende Folge {(Xn}n < w mit dem Limes Ll, die den Bedingungen (1) und (2) genügt. Wir setzen1

'(0)=1,

C(a:n +rj)=a:n+1 +'Y) für o~n<w und o<rj~-a:n+a:n+l'

[;; ist eine volle Normalfunktion vom Typ Ll, die keine kritischen Zahlen hat.

b) Ist [;; eine solche Normalfunktion, so sei (Xn = [;;n (0); {(Xn}n< w ist dann eine wachsende Folge mit lim (Xn = Ll, die die Bedingungen (1) und

n<w (2) erfüllt, denn ihre Differenzen sind

150 =[;;(0),

Öl = - [;;(0) + [;;2(0);;;; [;;{o) = 150 ,

15 2 = - [;;2(0) + [;;3(0);;;; - [;;{O) + '2(0) = Öl'

usw.


Satz 3. Damit zu einer vollen Normal/unktion cp mit regulärem Argumentbereich eine ebensolche Normal/unktion <P existiert mit <P' = cp, ist notwendig und hinreichend, daß folgende Bedingungen erfüllt sind:

(3) cp (0) ist entweder 0 oder eine mit w konfinale y-Zahl, (4) die Differenzen/unktion von cp hat als Werte nur entweder 1 oder mit

w konfinale y-Zahlen.

1 Def. der Differenz von Ordnungszahlen siehe § 17.

§ 16. Hauptzahlen und kritische Zahlen. 71

Beweis: a) Die Bedingungen sind notwendig: Ist (/) eine volle Normalfunktion mit regulärem Argumentbereich, so ist

(/)' (0) = lim (/)n (0). n<w

Ist (/) (0) = 0, so ist auch (/)' (0) = o. Ist (/) (0) > 0, so ist die Folge {(/)n (o)}n< w

wachsend, und sie erfüllt die Bedingungen (1) und (2). Also ist (/)' (0) eine mit w konfinale y-Zahl. - Für ein beliebiges Argument ~ sei nun LI< = - (/)' (~) + (/)' (~ + 1). Es ist

(/)' (~ + 1) = lim (/)n ((/)' (~) + 1) . n<w

Ist LI< > 1, so ist (/)' (~) + 1< (/)' (~+ 1), also die Folge {(/)n ((/)1 (~) + 1)}n< w

wachsend, also LI< eine Limeszahl. Setzen wir

so ist C eine volle Normalfunktion vom Typ LI<, die keine kritischen Zahlen hat, also ist nach Satz 2 LI; eine mit w konfinale y-Zahl. - (/)' erfüllt also die Bedingungen (3) und (4).

b) Die Bedingungen sind hinreichend: Es sei rp eine gegebene Normalfunktion mit den Bedingungen (3) und (4). Wir setzen LI~ = - rp (~) + rp (~ + 1). Nach demAuswahlaxiom gibt es eine Funktion, die jedem LI< > 1 eine wachsende Folge mit dem Limes LI; zuordnet, und daraus folgt nach dem Beweis von Satz 1 und 2 die Existenz einer Funktion, die jedem LI" > 1 eine volle Normalfunktion C< ('f}) vom Typ LI< ohne kritische Zahlen zuordnet. Wir setzen

(/)(rp ($)) = rp ($) ,

(/)(rp (~) + 'f}) = rp (~) + Ce ('f}) für 1 ~ 'f} < LI;.

Ist rp(o) > 0, so existiert nach Satz 2 eine volle Normalfunktion C vom Typ rp (0) ohne kritische Zahlen, und wir setzen (/) ('f}) = C ('f}) für'f} < rp (0).Für die dadurch definierte Normalfunktion (/) gilt (/)' (~) = rp (~).

S atz 4. Alle eigentlichen Hauptzahlen einer beliebigen arithmetischen Operation, die den arithmetischen Grundgesetzen gehorcht (vgl. § 13), sind y-Zahlen.

Beweis: Ist ~ eine eigentliche Hauptzahl einer solchen Operation /, so ist ~ eine Limeszahl, und für 1 < a: < ~ ist / (a:, ~) = ~, ferner / (a:, 2)

~ a: + 1, also /(a:, 2 +~) ~ a: + 1 +~, also ~ = /(a:, ~) ~ a:+~. Daraus folgt ~ = a: + ~ für a: < ~, also ist ~ eine y-Zahl.

Sa tz 5. Zu feder arithmetischen Operation /, die den arithmetischen Grundgesetzen gehorcht, läßt sich eine Normal/unktion effektiv bilden, deren kritische Zahlen genau die eigentlichen Hauptzahlen von / sind.

Beweis: Es sei 'IJ' (~) = /(~, ~). Für ~ > 1 ist diese Funktion wachsend. Es sei Vi die zu 'IJ' gehörige Normalfunktion (vgl. § 5); für ~ > 1 sei lJI(~) = Vi (~), für ~ ~ 1 sei lJI(~) = 1 +~. Somit ist lJI eine Normalfunktion, die keine endlichen kritischen Zahlen hat. Ist ~ eine eigentliche Hauptzahl von /, so ist ~ eine Limeszahl mit / (cx, ~) = ~ für 1 < cx < ~, also /(cx,cx) ='IJ'(cx) <~, also ~ ~ lJI(~) =lim'lJ'(cx) ~~, also lJI(~) =~,

O!« d. h. ~ ist eine kritische Zahl von lJI. - Ist umgekehrt ~ ~ weine kritische Zahl von lJI, so ist ~ eine Limeszahl; denn wäre ~ =~' + 1, so wäre lJI (~) ~ 'IJ' W) = / W, n > ~ (denn es ist / W, n ~ ~; ist ~' eine Limeszahl, so ist auch / W, n eine Limeszahl, also / W, n > ~ ; ist e = ~" + 1,

und wäre /W, n =~, so wäre /W, ~") ~ ~', Widerspruch). Also ist ~ = lJI(~) = lim /(cx, cx). Für 1 < CX' < ~ ist also

O! «

~ ~ /(cx',$) = lim /(cx', cx) ~ lim /(cx, cx) = $, O!« O!«

also / (cx', ~) = ~; d. h. ~ ist eine eigentliche Hauptzahl von f. Bemerkungen: Für die Addition wird !p (';) = .; . 2, für die Multipli

kation !p(';) = ';2, für die Potenzierung 11' (.;) = .;< = [;]. Als Verallgemeine

rungen und Ergänzungen lassen sich mit Hilfe der Theorie der Hauptzahlen folgende Sätze beweisen [6]:

1. Die wachsende Funktion rp (';) = $ . n (mit 2 ~ n < w) hat die Unstetigkeitsstellen $ = wT • m (mit r: ~ 1, 1 ~ m < w); die kritischen Zahlen der zugehörigen Normalfunktion ij; sind $ = 0 und die eigentlichen y-Zahlen.

2. Die wachsende Funktion rp ($) = $n (mit 2 ~ n < w) hat die Unstetigkeitsstellen f5p mit f5 = w",v und 1 ~ P < w; die kritischen Zahlen der zugehörigen Normalfunktion ;p sind $ = 0,1 und die eigentlichen f5-Zahlen.

3. Die wachsende Funktion rp ($) = [~] {mit 2 ~ n < w} hat als Unstetig

keitsstellen genau die e-Zahlen; die kritischen Zahlen der zugehörigen Normalfunktion ;p sind $ = 1 und die e-Zahlen (für ungerades # zudem $ = o).

Ferner ergeben sich folgende Sätze über weitere spezielle Normalfunktionen [5]:

4. Die kritischen Zahlen der Normalfunktion (} ($) = E txn (mit 1 ~ n< w) sind 0, 1 und die eigentlichen f5-Zahlen. '" < 1 + <

5. Die kritischen Zahlen der Normalfunktion n mit n (';) = II txn für 1~O!<1+'

$ > ° (mit 1 ~ n < w) und n (0) = 0 sind'; = 0, 1 und die e-Zahlen (im Fall n = 1 zudem $ = 2).


Satz 6. Damit die Werte einer Normal/unktion 'IJ' mit dem Argumentbereich W genau die eigentlichen Hauptzahlen einer arithmetischen Operation, die den arithmetischen Grundgesetzen gehorcht, sein können, ist notwendig und hinreichend, daß tür jede isolierte Zahl ~ 'IJ' (~) eine mit w konfinale y-Zahl ist.

§ 17. Die Umkehrungen der arithmetischen Operationen. 73

Beweis: a) Die Bedingung ist notwendig: Ist f eine Operation, die den arithmetischen Grundgesetzen gehorcht, so gibt es nach Satz 5 eine Normalfunktion P, deren kritische Zahlen genau die eigentlichen Hauptzahlen von f sind. Da ferner jede eigentliche Hauptzahl von feine y-Zahl ist, gilt für P' die Bedingung von Satz 6.

b) Die Bedingung ist hinreichend: Aus der Bedingung von Satz 6 folgt, daß für'IjJ die Bedingungen (3) und (4) erfüllt sind, woraus unter Anwendung des Auswahlaxioms nach Satz 3 folgt, daß eine Normalfunktion P mit P' = 'IjJ existiert. - Wir setzen nun f (a, ß) = a + P(ß). Diese Funktion gehorcht den arithmetischen Grundgesetzen. Ihre Hauptzahlen sind genau die Werte von 'IjJ; denn für beliebiges ~ ist für a< 'IjJ (~)

weil alle Werte von 'IjJ y-Zahlen sind; dagegen ist für ß non E V'IjJ wegen P(ß) > ß

§ 17. Die Umkehrungen der arithmetischen Operationen.

1. Allgemeine Theorie [5, 6, 7]. Es sei f eine arithmetische Operation, für die die arithmetischen Grundgesetze (§ 13) gelten.

Def. Gilt f(a, ß) = y,

so nennen wir a einen Linksteil und ß einen Rechtsteil von y bezüglich der Operation f.

Da für f das kommqtative Gesetz nicht erfüllt ist, hat f zwei verschiedene inverse Operationen (Umkehrungen): Man kann nach der Auflösung der Gleichung (1) bei gegebenem y und a nach ß, oder bei gegebenem y und ß nach a fragen. Wir betrachten nun die Möglichkeit und Eindeutigkeit dieser Umkehrungen.

1. Gegeben y und a, gesucht ß. - Gleichung (1) ist nicht immer nach ß auflösbar, wie die Beispiele 1 + ß = 0, Z • ß = 3, zß = 3 zeigen; sie ist dann und nur dann nach ß auflösbar, wenn a ein Linksteil von y ist; ist sie nach ß auflösbar, und ist a > 1, ß > 1 vorausgesetzt, so ist die Lösung eindeutig (weil f(a, ß) eine Normalfunktion von ß ist). Variiert man das gegebene a, so sieht man, daß im allgemeinen unendlich viele a existieren, für die Gleichung (1) nach ß auflösbar ist; man erhält aber trotzdem nur endlich viele verschiedene Lösungen ß, denn es gilt:

Satz 1. Die Menge derjenigen Rechtsteile ß einer Ordnungszahl y, für die aus (1) a > 1 folgt, ist endlich.

Beweis: Sind ß und ßl zwei solche Rechtsteile von y mit ß < ßI' und sind a und a l die kleinsten Ordnungszahlen mit y = f(a, ß) = f(a I , ßI)'

so folgt IX> IX1 > 1. Ordnet man jedem solchen Rechtsteil ß von y die kleinste Zahl IX zu, für die (1) gilt, so werden die zugehörigen Zahlen IX

nach abnehmender Größe geordnet; somit gibt es nur endlich viele solche Rechtsteile ß.

Satz 2. Erlüllt I das assoziative Gesetz

1(1 (IX, ß), y) = I(IX, 13 (ß, y)),

so gilt: Ist 13(IX, 0) ~IX, so ist l der kleinste Rechtsteil >0 jeder beliebigen Zahl eine bezüglich la unzerlegbare Zahl (§ 19); ist 13 (IX, ß) ~ IX lür ß ~ 1,

so ist l auch der kleinste Rechtsteil > 1 jeder beliebigen Zahl eine bezüglich 13 unzerlegbare Zahl 2•

Beweis: Annahme: 13(IX, 0) ~ IX; Y sei eine beliebige Zahl, ~ sei der kleinste Rechtsteil > 0 von y; also gibt es eine Zahl p mit y = I (p, ~). Wäre ~ zerlegbar bezüglich 13' so gäbe es zwei Zahlen IX < ~ und ß < ~ mit ~ = la (IX, ß). Also würde

y = I(p,~) = I (p, 13 (IX, ß)) = I (/(p, IX), ß),

d. h. ß wäre ein Rechtsteil von y mit 0 < ß < ~ (denn ß = 0 ergäbe ~ = 13 (IX, 0) ~ IX). - Das Analoge im Fall 13 (IX, ß) ~ IX für ß ~ 1 läßt sich ebenso zeigen.

Folgerung: Bei der Addition ist der kleinste Rechtsteil > 0 von y eine additiv unzerlegbare Zahl; bei der Multiplikation und Potenzierung ist der kleinste Rechtsteil > 1 von y eine multiplikativ unzerlegbare Zahl.

2. Gegeben y und ß, gesucht IX. - Gleichung (1) ist nicht immer nach ~ auflösbar, wie die Beispiele IX + 1 = 0, IX· W = W + 1, IX'" = W + 1 zeigen; sie ist dann und nur dann nach IX auflösbar, wenn ß ein Rechtsteil von y ist. Hat Gleichung (1) eine Lösung IX, so braucht diese nicht eindeutig zu sein; sie kann unendlich-vieldeutig sein, wie wir im folgenden sehen werden. Es gibt aber nur endlich viele Zahlen p, für die (1) nach IX auflösbar ist (nach Satz 1).

Satz 3. Für die Multiplikation und Potenz gilt: Ist ß von 1.Art, und ist (1) nach IX aullösbar, so ist die Lösung eindeutig.

Beweis: IX· (ß + 1) = IX· ß + IX und IXfl + 1 = IXfl • IX sind wachsende Funktionen von IX.

Sa tz 4. Gilt lür I das assoziative Gesetz (vgl. Satz 2), hat I eine Stammfunktion 11' die auch den arithmetischen Grundgesetzen gehorcht, ist lerner I(IX, 1) = IX und gilt 13(2, ß) = ß lür die Zahl ß, so hat Gleichung (1), wenn sie überhaupt eine Lösung IX > 1 hat, eine transfinite Folge von Limeszahltyp -von Lösungen IX, deren Limes eine Hauptzahl von 11 ist.

1 Sofern er existiert. 2 In beiden Fällen sind 0 und 1 unzerIegbar bezüglich 13 •

Beweis: Ist (X> 1 eine Lösung von (1), so ist

somit existiert zu jeder Lösung (X> 1 von (1) eine größere Lösung I(X, 2) von (1). Man kann somit eine Folge {(Xv}v< I' von einem Limeszahltyp fl von Lösungen (Xv konstruieren, die eine Normalfunktion von v ist, wobei (xo die kleinste Lösung (X > 1 ist, ferner (Xv + 1 = 1 (xv, 2) für alle v < fl, und <X = lim (Xv keine solche Lösung ist. Dann sind alle Zahlen (X mit

"<1' .ao ~ (X < a. solche Lösungen.

IX ist eine Hauptzahl von /1: Es sei fl = W . x, ferner x' eine Zahl< x. Wir setzen

Dann folgt $ n = (X"'. x' + n für n < W ; denn gilt dies für n, so ist

~n+l=/l($n, $n)=/l(X~.x'+n, (X""x'+n)=/d/(X",.x'+n, 1), (X",.x'+n) = 1 (X"'. x' + n, 2) = (X",. x' + n + 1 •

Somit wird lim (Xv = lim $n' und dies ist die kleinste Hauptzahl von 11 " < ",. (x' + 1) n < '"

über (X",. x" Daraus folgt, daß alle (Xv mit Limeszahlindex v und auch" Hauptzahlen von 11 sind.

Folgerung: Für alle drei elementaren Operationen gilt: Ist ß eine Limeszahl und hat (1) eine Lösung (X> 1, so hat (1) unendlich viele Lösungen (x. Ist <X die kleinste Zahl> 1, die nicht Lösung (X von (1) ist, so ist bei der Addition <i eine Limeszahl, bei der Multiplikation eine y-Zahl, bei der Potenzierung eine (j-Zahl. - Beweis: Im Fall der Multiplikation und Potenzierung ist Satz 4 anwendbar. Bei der Multiplikation wird (Xv = (XO • 21',

und a. = (Xo • 21' eine y-Zahl; bei der Potenzierung wird (Xv = (X~v, und ä = (X21' eine (j-Zahl. Im Fall der Addition ist mit (X auch (X + 1 eine Lösung von (1); ist (xo die kleinste Lösung (x, so sind alle Lösungen von der Form (xo + v und ihr Limes ist eine Limeszahl.

Satz 5. Für alle drei elementaren arithmetischen Operationen gilt: Ist ß eine Limeszahl, so ist, wenn eine Lösung (X> 1 von (1) existiert, die kleinste Zahl ii > 1, die nicht Lösung von (1) ist, ein Linksteil von y.

Beweis: a) Im Fall der Addition ist die Behauptung offensichtlich erfüllt.

b) Im Fall der Multiplikation ist <X nach Satz 4 eine y-Zahl. Ist (X > 1

eine Lösung von (1), so ist (X < <X, also gibt es nach § 15 eine Zahl (x' mit ä = (X • (X'. Wegen y . ß > Y ist y keine Lösung (x, also y ;;;; <X; also ist

y = <X • ßl + (], wobei 0 ~ (] < a, ßl ;;;; 1.

Wäre nun (X nicht Linksteil von e, d.h. wäre für jede Zahl (x" e =1= (X • (X",

so wäre für jede Zahl (x"

y =1= (X • (X' • ßl + (X • (X" = (X • (x' • ßl + (X"),

also wäre (wegen y = a: . ß) ß< a:' . ß1' also y< a: . a:' . ß1 = 0: • ßv Widerspruch. Somit ist jede Lösung a: > 1 von (1) ein Linksteil von e. - Da e < ti, gibt es eine Lösung a:"' von (1) mit a:"' > e, also ist nach dem Obigen a:'" ein Linksteil von e, also e = 0, also y = ti . ß l'

c) Satz 5 folgt allgemein für eine mittels einer Stammfunktion 11 definierte arithmetische Operation I, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

I(a:,o) = 1, I(a:, 1) =a:, 11(a:, 1) = a:;

11 erfüllt das spezielle assoziative Gesetz 11(11 (a:, ß), y) = 11 (a:, 11 (ß, y)) und gehorcht den arithmetischen Grundgesetzen.

Dann folgt nämlich nach § 13

11(1(a:, ß), I(a:, y)) = I(a:, ß + y),

1 (I (a:, ß), y) = 1 (a:, ß • y),

also 13(a:, ß) = a:. ß, also 13(2, ß) = ß, somit ist Satz 4 anwendbar. - Es ist noch zu zeigen, daß es eine Zahl ßl mit I(ti, ß1) = y gibt: Nach b) haben alle Zahlen e;;;; 1 mit e' ß = ß einen Limes (), der eine y-Zahl ist, und es ist ß = (). ß1' ßl < ß· Ist a: > 1 eine Lösung von (1), so ist auch I(a:, e) für jedes e mit e . ß = ß eine Lösung, denn dann wird

1(I(a:, e),ß) = I(a:, e' ß) = 1(a:,ß) = y.

Somit gilt für solche Zahlen e stets! (a:, e) < ci, also

ii;;;; lim I(a:, e) = I(a:, (». e<"

Wäre a: > I(a:, (», so wäre auch !(a:, (» eine Lösung von (1), also

y = 1 (I(a:, b), ß) = !(a:, b· ß) > !(a:, b· ß1) = !(a:, ß) = y, Widerspruch.

Also ist (X = 1 (a:, b), also

y = ! (a:, ß) = ! (a:, b . ßl) = 1 (I (a:, (»), ßl) = ! (;., ß1) .

Satz 5 gilt also speziell auch für die Potenzierung.

Folgerung: Für alle drei elementaren arithmetischen Operationen gilt: Die Menge der Linksteile feder beliebigen Ordnungszahl y ist in W abgeschlossen (vgl. § 7).

Beweis: Für die Addition ist diese Behauptung evident. Im Fall der Multiplikation und Potenzierung sei {a:e}e <.t eine wachsende Folge von Linksteilen von y, wobei A eine Limeszahl ist. Somit gibt es eine Folge {ß~h d' so daß

Für; < rJ ist a:e < a:'1' also ß;; ;;;; ß'1; also ist von einer Stelle;o ab ße = ßI;. für ;0 ~; < A. Also sind die Zahlen a:1; mit ~o ~ ~ < A Lösungen a: von

j ((X.' ß<.) = y. - ß<. kann nicht von 1. Art sein, weil sonst nur eine Lösung (X< mit ;0 ~ ; < A. existieren würde (nach Satz 3). Der Fall ß<. = 0

ist trivial. Ist ßo. eine Limeszahl, so ist nach Satz 4 und 5 lim (X. entweder «.:!

.auch eine Lösung (also Linksteil von y), oder dann sonst ein Linksteil von y.-

Wir gehen nun daran, die Umkehrungen der einzelnen elementaren .arithmetischen Operationen zu betrachten, wobei die Frage der Ausführbarkeit der inversen Operationen ihre völlige Beantwortung findet. Wie wir gesehen haben, ist diese Frage gelöst, wenn wir Kriterien haben, die .zu zwei beliebigen Ordnungszahlen die Frage entscheiden, ob die eine Links- oder Rechtsteil der andern ist.

2. Die Subtraktionen. Die Umkehrungen der Addition, die Subtrak.lianen, bestehen in der Auflösung der Gleichung

(X+ß=y (2)

nach (X oder ß. Gilt (2), so ist (X ein Abschnitt von y, wenn (X< y, und ß ein Rest von y, wenn ß > 0 (vgl. § 4). Die Abschnitte von y sind somit die Linksteile < y von y, die Reste von y die Rechtsteile > 0 von y. Nach Satz 1 hat A. nur endlich viele Reste; der kleinste Rest ist eine y-Zahl. Die y-Zahlen sind charakterisiert als die Zahlen, die allen ihren Resten gleich sind.

Sind y und (X gegeben, so ist Gleichung (2) immer nach ß auflösbar, wenn (X ~ y (nach § 10, Satz (1)), und die Lösung ß ist eindeutig. Mit andern Worten: Ist (X ~ y, so kann man (X "von links" von y subtrahieren. Man schreibt dann für die Lösung

ß=-(X+y;

dabei heißt y der Minuendus, (X der Subtrahendus. Die additiven Linksteile von y sind also genau die Zahlen (X ~ y.

Ist y und ß gegeben, so hat Gleichung (2) nicht immer eine Lösung (x,

d.h. man kann ß nicht immer "von rechts" von y subtrahieren; dies ist jedoch dann und nur dann möglich, wenn ß ein Rest von y odery selbst isP. Ist ß ~ W, so hat Gleichung (2), wenn sie überhaupt eine Lösung (X hat, unendlich viele Lösungen (X (Satz 4); ist ß < w, so hat man (wenn überhaupt eine) eine eindeutige Lösung (Satz 3). In allen Fällen, wo eine Lösung (X existiert, bezeichnet man die kleinste Lösung mit

(X=y-ß· Somit bedeutet y - 1 den unmittelbaren Vorgänger von y (welcher existiert, wenn y von 1. Art).

1 Notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß eine Zahl ß ein Rest einer anderen Zahl j' ist, werden erst in § 20 gegeben (dagegen findet sich das Entsprechende für Links- und Rechtsteile bei Multiplikation und Potenzierung noch in diesem Paragraphen).

3. Die Umkehrungen der Multiplikation. Im Fall der Multiplikation wird Gleichung (1) zu

(X·ß=y;

man nennt die Linksteile und Rechtsteile von y Linksteiler bzw. Rechtsteiler von y. Es sei nun y > o. Wir stellen y in seiner Normalform dar: y = 2' W"li • Ci'

.;:;;; n

Satz 6. Damit (X ein Linksteiler von y > 0 ist, ist notwendig und hinreichend, daß entweder

(1) 1;;:;; (X ;;:;; W"ln, oder

(2) (X = wYi • Pi + I W"ll. Ci' wobei 0;;:;; j ;;:;; n und hein Teiler von Ci ist. j<i;:;;;n

Beweis mit Hilfe von Zerlegung von (x, ß und y in ihre Normalformen [8].

Folgerungen: 1. Die Menge der Linksteiler von y > 0 besteht aus allen Zahlen (X mit 1 ;;:;; (X ;;:;; w"l .. und aus höchstens endlich vielen Zahlen > w"l". - Beweis: In der Normalform von y gibt es nur endlich viele Glieder, also gibt es nur endlich viele Faktoren der Zahlen Ci' also sind die Linksteiler der Form (2) nur in endlicher Anzahl vorhanden.

2. Die Menge der Linksteiler von y ist somit in Wabgeschlossen. 3. Die endlichen Linksteiler von y sind im Falle y von 1. Art die Teiler

von c .. , im Falle y von 2. Art alle endlichen Zahlen. 4. Die Summe zweier Ordnungszahlen, die einen gemeinsamen Links

teiler haben, hat diesen auch als Linksteiler.

S atz 7. Damit ß ein Rechtsteiler von y > 0 ist, ist notwendig und hinreichend, daß entweder

(1') ß = I w-r+"II. Ci' wobei 't' < "In' oder .;;:;; ..

(2') ß = 1: W-Yf+"II. Ci + rj' wobei 0;;:;; j;;:;; n undriein Teiler von cjist. i<j

Der Beweis verläuft genau analog wie bei Satz 6.

Folgerungen: 1. Die endlichen Rechtsteiler von y sind die Teiler von co'

2. Die Summe zweier Ordnungszahlen, die einen gemeinsamen endlichen Rechtsteiler haben, hat diesen auch als Rechtsteiler.

Bemerkung: Ein gemeinsamer Rechtsteiler von (X und ß muß aber im allgemeinen nicht Rechtsteiler von (X + ß, oder von (X - ß, oder von - (X + ß sein. - Beweis: a) Ist (X = w 2 , ß = w, so haben (X und ß den gemeinsamen Rechtsteiler w. Hätte auch (X + ß diesen Rechtsteiler, so wäre (X + ß = ; . w, also w_ < ; < w 2, also c = w • k + 1 mit 1 ;;:;; k < w.

l< w, also ~ . w = w 2 , Widerspruch zu ~. w = (X + ß > w 2• b) Ist (X = 1,

ß = w, so haben ß und (X + ß den gemeinsamen Rechtsteiler w; (X hat aber nicht den Rechtsteiler w. c) Ist (X = w . 2, ß = 1, so haben (X und (X + ß = (w + 1) • 2 den gemeinsamen Rechtsteiler 2, aber ß hat nicht den Rechtsteiler 2.

3. Jede Ordnungszahl y > 0 hat höchstens einen transfiniten multiplikativ unzerlegbaren (§ ]9) Rechtsteiler; hat y einen solchen, so hat y keine endlichen Rechtsteiler > 1.

4· Es seien ß und ßl zwei Rechtsteiler von y > 0 mit ß > ßl' Ist ß eine Limeszahl, so ist ßl ein Rechtsteiler von ß. Ist ß von l.Art, so ist auch ßl von 1. Art; sind dann e und e1 die größten endlichen Linksteiler von ß bzw. ßl' so daß ß = e· ß', ßl = e1 . tJ',., so ist ß' ~ ß~; ist ß' > ß~, so ist ßl ein Rechtsteiler von ß', also auch von ß. - Beweis aus der Form der Links- und Rechstteiler von y nach Satz 6 und 7.-

Die Gleichung (3) ist nach ß auflösbar dann und nur dann, wenn Cl. ein Linksteiler von I' ist. Andernfalls kann man eine Division mit Rest ausführen: Nach § 12, Satz 4, existieren zu zwei Zahlen I' und Ct. mit Cl. > 0

zwei eindeutig bestimmte Zahlen ~ und Ct.v so daß

I' = Ct.. ~ + Ct.l , wobei 0;;:;; $ ;;:;; 1', 0;;:;; Ct.l < Ct..

~ ist der Quotient und Ct.1 der Rest bei der Division von )1 durch Ct..

Euklidischer Algorithmus: Für jedes geordnete Paar (I', Ct.) mit Ct. > 0

kann man somit setzen: I' = Ct. ';0 + Ct.l'

Ct. = Ct.l • ;1 + Ct. 2 ,

Ct.l = Ct.2 • ;2 + Ct.a,

usw. Da Ct. > Ct.l > Ct.2 > ... , geht die Division nach endlich vielen solchen Schritten auf, so daß man für eine natürliche Zahl m

Ct.m-l = Ct.m·;m

hat. Damit ist jedem Paar (I', Ct.) mit Ct. > 0 eindeutig ein "Quotientenkomplex" (~o, ;1' ••• , ~m) zugeordnet. Ct.", ist der größte gemeinsame Linksteiler von I' und Ct. (vgl. § 18).

Rationale Ordnungszahlen: Weil der Euklidische Algorithmus auch im Gebiete der transfiniten Ordnungszahlen ausführbar ist, kann man "rationale Ordnungszahlen" definieren: Unter einer solchen versteht man ein geordnetes Paar ylCt. mit Ct. > 0, wobei wir ylCt. = y'joc' setzen, wenn (I', oc) und (1", Ct.') denselben Quotientenkomplex haben. Für beliebige Ordnungszahlen t-t> 0 gilt t-t • rll-' • oc = Y/oc. Ist I' = Ct.m • e, Cl. = OC m • eo, wobei Ct.m der größte gemeinsame Linksteiler von I' und oc ist, so ist Y/oc = e!eo, und es gibt kein Paar (1", Cl.') mit Y/oc = y'/oc' und 1" < I' oder oc' < oc; (e, eo) heißt das "reduzierte Paar" zu (I', oc).

4. Die Umkehfll.llgen der Potenzierung. Ist

(Xß= y,

so heißt (X eine Wurzel von y; in Analogie zur finiten Arithmetik müßte man ß einen Logarithmus von y nennen.

80 UI. Arithmetik der Ordnungszahlen.

Wir definieren drei Typen von Ordnungszahlen [4]: Eine Ordnungs

zahl y > 1 mit der Normalform y = I w"l,· Ci' deren Grad Yo die Normali;;;; n

form Yo = I w"lt • c~ hat, sei vom Typ I, wenn gilt: .;:;; n'

1. n = 0, und 2. entweder ist Co eine Potenz Co = ab mit a > 1, b > 1, oder dann ist

Yo >0. y sei vom Typ 11, wenn n > 0 und eine endliche Zahl j mit 0;;:;;; j ;;:;;; n' und ein Faktor Pi von cj existiert, so daß cj = Pi' qj und

1. j > 0 oder Pi< ci, und

'Y sei vom Typ 111, wenn n > 0 und endliche Zahlen j, P, q mit p. q = n und 0;;:;;; j ;;:;;; n' existieren, so daß gilt:

1. j > 0 oder P < n. " ,

2. Yk.p = I w"lS. ci + w"lj, (q- k). Pi + I w"lS. ci für 0;;:;;; k < q, ;'<1 i<i;;g;;n'

wobei Pi eine natürliche Zahl ist. ,

3· y,. = I w"lö • ci. ;,<;

4. Ist P> 1, so ist -Yk.p +Y(k-l)'P +;, = -Yh.p + Y(h-l).p +i

für l;;:;;;k~q, 1;;:;;;h;;:;;;q, 1;;:;;;i<p.

5. Ist q>1, so ist co·C,.=Ck.p für 1;;:;;;k<q.

6. Ist P > 1, so ist Ck. P + i = Ch. P + ;, für k < q, h < q, 1;;:;;; i der j = 1); (X = ww' + al' 2. 2 + wal' + al + 2. 3 + wal' + al • 10 + w"" + 2 • 3 + W",I • 5 ist vom Typ III (mit j = 1, P = 2, q = 2); (X = W' + wa + w 2 + W + 1 ist vom Typ III (wobei j = 0, P = 2 oder 1, q = 2 bzw. 4);

.(l = w"" + al + 1 + wal' + '" ist vom Typ II und III; (X = wUJ + 1 + WO; ist vom Typ III, aber nicht vom Typ II; (X = w4 + wS ist vom Typ II, aber nicht vom Typ III.

Nun gilt:

S atz 8. y > 1 hat eine Wurzel< y dann und nur dann, wenn y mindestens von einem der Typen I, 11 oder 111 ist. - Der Beweis wird mit Hilfe von Zerlegung von (x, ß und y in ihre Normalformen und den Rechenregeln von § 12 geführt [4].

Folgerungen: 1. Für die Menge 5 der Wurzeln von y gilt: Ist y vom Typ I und Yo = 0, so besteht 5 aus endlich vielen endlichen Zahlen. Ist y

§ 18. Größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame Vielfache. 81

vom Typ I, Yo > 0 und Co > 1, so besteht 5 aus endlich vielen endlichen Zahlen und einer endlichen Menge von Zahlen;?; w. Ist y vom Typ I,

Yo > 0 und Co = 1, so besteht 5 aus allen Zahlen Cl mit 1 < Cl ;:;;; wWl'~' und höchstens endlich vielen größeren Zahlen. Ist y vom Typ II oder III, so besteht 5 aus einer endlichen Zahl von Zahlen >w [4].

2. Somit ist 5 in W abgeschlossen. 3. y hat unendlich viele Wurzeln dann und nur dann, wenn y eine

y-Zahl ist.

§ 18. Größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame Vielfache.

Die Begriffe des größten gemeinsamen Teilers und kleinsten gemeinsamen Vielfachen lassen sich auch auf Ordnungszahlen ausdehnen und zudem für alle drei elementaren arithmetischen Operationen f definieren [5, 7].

Satz 1. Zu zwei beliebigen Ordnungszahlen Cl, ß mit Cl> 1, ß> 1

existiert der größte gemeinsame Linksteil 't" (Cl, ß) und der größte gemeinsame Rechtsteil 't"' (Cl, ß) von Cl und ß (außer im Fall der Potenzierung, wo ein gemeinsamer Linksteil nicht immer existiert).

Beweis: Satz 1 folgt aus der Abgeschlossenheit der Menge der Linksteile, aus der Endlichkeit der Menge der Rechtsteile und daraus, daß bei der Addition immer 0 gemeinsamer Linksteil sowie gemeinsamer Rechtsteil, bei der Multiplikation immer 1 gemeinsamer Linksteil sowie gemeinsamer Rechtsteil und bei der Potenzierung immer 1 gemeinsamer Rechtsteil von Cl und ß ist.

Bemerkung: Für die Addition ist 't"(cx, ß) = min (cx, ß).

Def. Wir bezeichnen eine Ordnungszahl, die Cl und ß als Linksteile hat, als ein gemeinsames linksseitiges Vielfaches von Cl und ß, eine solche, die Cl und ß als Rechtsteile hat, als gemeinsames rechtsseitiges Vielfaches von Cl und ß.

ZU zwei beliebigen Ordnungszahlen Cl, ß ist im Fall der Addition max (Cl, ß) ein gemeinsames linksseitiges Vielfaches; im Fall der Multiplikation ist 0 und im Fall der Potenzierung 1 gemeinsames linksseitiges sowie rechtsseitiges Vielfaches. - Neben diesen trivialen Fällen gemeinsamer Vielfache gibt es auch andere Fälle:

Sa tz 2. Zu zwei beliebigen Ordnungszahlen Cl, ß mit Cl > 1, ß > 1 existieren gemeinsame linksseitige Vielfache> 1, aber nicht immer gemeinsame rechtsseitige Vielfache> 1 von Cl und ß.

Beweis: Ist ~ die kleinste Hauptzahl > max (Cl, ß), so ist f(Cl, ~) = f(ß, ~) = ~ ein gemeinsames linksseitiges Vielfaches von Cl und ß. -

Ergebn. d. Mathem. N. F. H. 1; Bachmann. 6

Für a: = w, ß = w + 1 existiert kein gemeinsames rechtsseitiges Vielfaches> 1: Im Fall der Addition ist dies evident; im Fall der Multiplikation würde aus 1 < ~ . w = 11 . (w + 1) folgen, daß (weil ~ . weine y-Zahl ist) auch'fJ . (w + 1) eine y-Zahl wäre, was unmöglich ist, weil die Normalform von 11 . (w + 1) = 11 . w + 11 mehr als ein Glied hat; im Fall der Potenz würde aus 1 < ~w = 11w + 1 folgen, daß 11w + 1 eine {l-Zahl ist, währe~d 11w < 11w + 1 und 11w • 11w + 1 = 11W ' 2 + 1 > 11 w + 1, Widerspruch.

Wir bezeichnen das kleinste gemeinsame linksseitige Vielfache > 0

vona: und ß mit fl (a:, ß). Nach Satz 2 existiert fl (a:, ß) für a: > 0, ß > 0.

Ferner gilt:

Sa tz 3. Für die Addition und Multiplikation gelten für a: > 0, ß> 0,

r > ° die Gesetze -c(f(y,a:), f(y,ß)) =!(y, -c(a:,ß)) , fl(f(y,a:), !(y,ß)) =!(y,fl(a:,ß))·

Beweis: Das erste Gesetz ist für die Addition evident; für die Multiplikation kann man es so beweisen: Die Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die Paare (a:, ß) und (y. a:, y . ß) zeigt, daß der letzte Divisionsrest > ° -c (a:, ß) bzw. -c (y . a:, y . ß) wird, und daß -c (y . a:, y • ß) = y . -c(a:, ß). Das zweite Gesetz fließt aus dem speziellen assoziativen Gesetz.

Sa tz 4. Für die Addition und Multiplikation gilt: Ist IX> 0, ß> 0,

IX =1= ß, und setzen wir a: =! (-c(a:, ß), a:'), ß =! (-c(a:, ß), ß'),

so ist fl (a:, ß) = f (-c (a:, ß), fl (a:', ß'),

und bei der Addition -c (a:', ß') = 0, bei der Multiplikation -c (a:', ß') = 1.

Beweis: Setzen wir fl(a:, ß) = !(a:, a:") = !(ß, ß"), so folgt aus dem speziellen assoziativen Gesetz

fl (a:, ß) = f (-c (a:, ß), ! (a:, a:")) = f (-c (a:, ß), ! (ß', ß") ,

also ist f (a:', a:") =! (ß', ß") ein gemeinsames linksseitiges Vielfaches> 0

von IX' und ß'. Wäre! (a:' , a:"/) = f (ß', ßIII) ein weiteres solches Vielfaches < ! (a:, a:"), so wäre

fl(a:, ß) >! (-c(a:,ß), f(a:/, a:"/») = !(-c(a:,ß), f(ß', ß"/») = !(f(-c(a:,ß), a:/), a:"/) = ! (f (-c (a:, ß), ß/), ß"/) ,

also fl(lX, ß) > !(a:, a:1II ) = !(P, Pli'),

d. h. fl (a:, ß) wäre nicht das kleinste gemeinsame Vielfache> 0. Somit ist

! (a:/, a:") =! (ß', ß") = fl (a: /, ß/), also fl (a:, ß) = ! (-c (a:, ß), fl (a: /, ß/)·

Satz 5. Für die Addition und Multiplikation gilt: Der größte gemeinsame Linksteil zweier Zahlen a:, ß mit a: > 0, ß > ° enthält jeden gemein-

§ 19. Unzerlegbare Zahlen und Primzahlen.

samen Linksteil von <X und ß als Linksteil; der größte gemeinsame Rechtsteil von <X und ß mit <X > 0, ß > 0 enthält jeden gemeinsamen Rechtsteil von <X und ß als Rechtsteil.

B ew ei s: a) Addition: Ist 't 1 ein gemeinsamer Linksteil von <X undß, so ist 't1 ~ 't(<X, ß), somit ist 't1 Linksteil von 't(<X, ß). - Ist -r~ ein gemeinsamer Rechtsteil von <X und ß, so ish = <x' + '1:' (<x, ß) = <X~ + 'I:~; wegen ~ ~ -r' (<x, ß) wird <X~ ~ <x', also <X~ = <x' + y, also <x = <x' + '1:' (<x, ß) = <x' + Y + -r~, also -r'(<x, ß) = y + -r;, d.h. -r; ist Rechtsteil von -r'(<x, ß).

b) M ultiplika tion : -r 1 sei ein gemeinsamer Linksteiler von <x und ß, und es sei <x = '1:1 ' <Xl' ß = '1:1 ' ßl' also wird nach Satz 3 'I: (<X, ß) = 't1 • 'I: (<Xl' ßl)' d. h. '1:1 ist Linksteiler von -r (<x, ß). - Es sei nun -r~ ein gemeinsamer Rechtsteiler von <X und ß. Wir zeigen, daß 't~ ein Rechtsteiler von 't' (<X, ß) ist: Es ist -r~ ~ '1:' (<X, ß); im Fall -r~ = -r' (<x, ß) ist nichts Weiteres zu beweisen. Es sei nun 't~ < 't' (<x, ß).

Ist 't'(<X, ß) eine Limeszahl, so ist nach § 17, Folgerung 4 von Satz 7 -r~ ein Rechtsteiler von -r' (<x, ß).

Ist -r' (<x, ß) von l.Art, und ist 't'(a, ß) = e· y', 't~ = e1 • y~, wobei e und el die größten endlichen Linksteiler von 't' (<x, ß) bzw. -r~ sind, so ist nach derselben Folgerung 4 y~ ~ y'; ist y~ < y', so ist -r~ ein Rechtsteiler von y', also auch von 't'(<X, ß). - Es sei nun y~ = y', d.h. 't' (<x, ß) = e· y', 't~ = el • y', somit e > el . Da -r'(<x, ß) der größte gemeinsame Rechtsteiler von <X und ß ist, muß jede in e1 enthaltene Primzahlpotenz auch in e enthalten sein, d.h. e = e2 • e1, also 't'(<x, ß) = e2 • -r~.

Satz 6. Für die Addition und Multiplikation gilt: Jedes gemeinsame linksseitige Vielfache> 0 zweier Zahlen <X und ß ist linksseitiges Vielfaches des kleinsten gemeinsamen linksseitigen Vielfachen> 0 von <X und ß.

Beweis: a) Addition: Ist PI ein gemeinsames linksseitiges Vielfaches > 0 von <X und ß, so ist /11 ;;;;; /1 (<x, ß); somit ist /11 ein linksseitiges Vielfaches von P (<X, ß)·

b) Multiplikation: Es sei PI ein gemeinsames linksseitiges Vielfaches > 0 von <X und ß. Dann ist PI ;;;;; P (<X, ß), also

Pl=,U(<x,ß)'~+(!' wobei O~(!<p(<x,ß).

Da P (<x, ß) und PI die Zahlen <X und ß als Linksteiler haben, so muß auch (! diese beiden Zahlen als Linksteiler haben; also ist (! = 0, d.h. PI = P (<x, ß) • ~ ist ein linksseitiges Vielfaches von P (<x, ß)·


1. Vorbemerkung über die gewöhnlichen endlichen Primzahlen. Die gewöhnlichen endlichen Primzahlen lassen sich auf folgende zwei Arten definieren:

6*

UI. Arithmetik der Ordnungszahlen.

1. P > 1 ist eine Primzahl, wenn aus p = a . b entweder a = p oder b = P folgt (d.h. P ist eine Primzahl, wenn p genau zwei verschiedene Teiler hat).

2. p > 1 ist eine Primzahl, wenn gilt: Ist p Teiler von a· b, so ist p Teiler von a oder von b.

Die Verallgemeinerung der Definition 1. auf alle drei elementaren arithmetischen Operationen und auf transfinite Ordnungszahlen ergibt uns den Begriff der unzerlegbaren Ordnungszahl; die Verallgemeinerung der Definition 2. führt auf eine Klasse von Ordnungszahlen, die wir auch Primzahlen nennen wollen. Wir zeigen in diesem Paragraphen, daß ein dem Begriff der endlichen Primzahl analoger Begriff für transfinite Ordnungszahlen nicht durch Verallgemeinerung von 2., sondern zweckmäßiger durch Verallgemeinerung von 1. erhalten wird.

2. Unzerlegbare Zahlen. Es sei 1 eine beliebige der drei elementaren arithmetischen Operationen.

Def.1. Eine Ordnungszahl; heißt zerlegbar (oder reduzibel) bezüglich der Operation I, wenn zwei Zahlen lX<; und ß <; mit; = 1 (lX , ß) existieren, sonst unzerlegbar (oder irreduzibel).

Satz 1. AUe Hauptzahlen sind unzerlegbar.

Beweis: Ist; eine Hauptzahl von I, und wäre; = l(lX, ß) mit lX <; undß <;, so könnte nicht ex ~ 1 sein, also wäre, weil/(ex, ß) inß wachsend ist,; = 1 (lX, ß) < 1 (Cl, ~) =;, Widerspruch.

Nun erhebt sich die Frage, ob es außer den Hauptzahlen weitere unzerlegbare Zahlen gibt.

Satz 2. Die y-Zahlen sind aUe additiv unzerlegbaren Zahlen >0.

Beweis: ; > 0 sei additiv unzerlegbar. Ist lX <;, so ist; = Cl + ß, also ß =;, also; = Cl +;, d.h. ; ist eine y-Zahl.

Satz 3. Außer den ö-Zahlen sind die endlichen Primzahlen und die Zahlen w' + 1 die einzigen multipUkativ unzerlegbaren Zahlen> 1.

Beweis: lX > w sei multiplikativ unzerlegbar. Es ist

lX = w' . '1 + C mit

also 1 ~ ; ~ Cl, 1 ~ '1 < w, ° ~ C < w', lX = (w· + C) • '1.

Wegen '1 <lX muß also w' + C = Cl sein, also '1 = 1. Ist C = 0, d.h. lX = w', so muß; additiv unzerlegbar sein (also

; =w'l); denn sonst wäre; =;1 +;2 mit ;1<;';2<;' also lX = w.' . w.·, d.h. lX wäre multiplikativ zerlegbar. Somit ist lX eine ö-Zahl.

Ist C > 0, so ist C = 1; denn wäre C > 1, so wäre

lX=C·(ro-·'+<+1), wobei ;'=g(C),

und beide Faktoren C und w- <' +. + 1 wären< .x, d. h. IX wäre zerlegbar. Also muß IX = w. + 1 sein.

Alle Zahlen IX = w. + 1 sind multiplikativ unzerlegbar; denn wäre IX = IXI • IX 2 mit IXI < IX, IX2 < IX, so müßten IXI und IX2 von 1.Art sein, also IXI = IX~ + 1, IX2 = IX~ + 1 mit IX~ > 0, IX~ > 0, also

IX = (IX~ + 1) . IX~ + IX~ + 1, also w< = (IX~ + 1) . IX~ + IX~, wobei (IX~ + 1) . IX~ < w< und IX~ < w., d. h. w. wäre additiv zerlegbar, Widerspruch.

Sa tz 4. Außer den e-Zahlen sind die Ordnungszahlen> 1, die keinem der drei Typen I, II oder I II von § I7 angehören, die einzigen exponentiell unzerlegbaren Zahlen> 1.

Beweis: Ist $ > 1 eine Zahl, die keinem dieser drei Typen angehört, so hat sie keine Wurzel< $, somit ist $ exponentiell unzerlegbar. - Ist $ > 1 exponentiell unzerlegbar und keine e-Zahl, so gehört $ keinem der drei Typen an, denn sonst hätte $ eine Wurzel< $, also wäre $ = IXfJ,

IX < $; damit wäre auch ß < $ (weil sonst IX< = $, also $ eine e-Zahl wäre), also wäre $ zerlegbar gegen die Annahme.

3. Primzahlen.

Def. 2. Eine Ordnungszahl :n: > 1 heißt eine Primzahl bezüglich t, wenn folgende Bedingungen zugleich erfüllt sind:

( 1) Ist :n: Linksteil von t (IX, ß), so ist :n: Linksteil von IX oder von ß. (2) Ist:n: Rechtsteil von t(IX, ß), so ist:n: Rechtsteil von IX oder von ß.

Satz 5. Jede Primzahl ist eine unzerlegbare Zahl.

Beweis::n: sei eine Primzahl und:n: = t(IX, ß) mit IX<:n:, ß <:n:. Da:n: Linksteil von sich selbst ist, ist :n: nach Voraussetzung (1) Linksteil von IX oder ß. Nun ist aber jeder Linksteil einer Zahl y immer ~ y, außer bei der Multiplikation im Fall y = 0 und bei der Potenzierung im Fall y = 1. IX = ° oder ß = 0 ist im Fall der Multiplikation, IX = 1 oder ß = 1 im Fall der Potenzierung unmöglich, da sonst :n: = t (IX, ß) = 0 bzw. :n: = IX wäre. Somit ist :n: ~ IX oder:n: ~ ß, Widerspruch.

Nun erhebt sich wieder die Frage, ob auch umgekehrt alle unzerlegbaren Zahlen Primzahlen sind.

Sa tz 6. Die additiven Primzahlen sind genau die eigentlichen y-Zahlen.

Beweis: y sei eine eigentliche y-Zahl. Ist IX + ß = y + fl" so ist entweder y ~ IX (also y Linksteil von IX) oder dann y > IX; im letzten Fall ist y = IX + y, also IX + ß = IX + Y + fl, ~ IX + y, also ß ~ y, d.h. Y ist Linksteil von ß. - Ist IX + ß = fl, + y, so ist entweder IX ~ fl, (also ß = (- IX + fl,) + y, d.h. y Rechtsteil von ß), oder dann IX > fl" also

y = (- fl + (X) + ß, also entweder ß = y (also y Rechtsteil von ß), oder ß = 0 (also (X = fl + y, also y Rechtsteil von (X). - Somit sind die Bedingungen (1) und (2) von Def. 2 erfüllt; jede eigentliche y-Zahl ist additive Primzahl. Da nach Satz 5 auch die Umkehrung gilt, ist Satz 6 bewiesen.

S atz 7. Die multiplikativen Primzahlen sind genau die endlichen Primzahlen und w.

Beweis: Wir nehmen (X> 1, ß > 1 an, weil sonst alles trivial ist.

a) Bedingung (2) von Def.2 wird von allen multiplikativ unzerlegbaren Zahlen; erfüllt: Es sei (X. ß = fl';' Ist; = p (endliche Primzahl), so folgt (2) für; aus der Gestalt der Normalform von (X. ß (vgl. § 12) und aus § 17, Folgerung 1 von Satz 7. - Nun sei; transfinit und multiplikativ unzerlegbar ; rJ sei der kleinste Rechtsteiler > 1 von ß; also ist rJ multiplikativunzerlegbar (§ 17, Satz 2); es seiß = y . rJ. Also ish· ß = (X. y. rJ = fl .;. (X. ß hat (nach § 17, Folgerung 3 von Satz 7) ; als einzigen multiplikativ unzerlegbaren Rechtsteiler, also ist rJ =;, ß = }' .;, also ; Rechtsteiler von ß.

b) Die endlichen Primzahlen p und werfüllen die Bedingung (l): Ist (X. ß = w . fl, so ist entweder (X oder ß eine Limeszahl, also ist w Linksteiler von (X oder ß. - Es sei nun (X . ß = P . fl· Im Fall fl < w ist (X • ß endlich, die Behauptung also trivial. Es sei fl ;:;;;; w. Ist fl eine Limeszahl, so ist entweder (X oder ß eine Limeszahl ; ist (X eine Limeszahl, so ist p . (X

= (x, also p Linksteiler von (X; analog für ß. Ist fl von l.Art, so sind (X

undß von 1. Art , und die Zerlegung von (X und ß in multiplikativ unzerIegbare Faktoren liefert die nach § 20 einzige solche Zerlegung von (X • ß; die Zerlegung von fl liefert ebenfalls eine Zerlegung von (X • ß; P muß also als Linksteiler von (X auftreten.

c) Die multiplikativ unzerlegbaren Zahlen> w erfüllen Bedingung (1) nicht: Diese Zahlen sind von der Form 1) = WO + 1 (; ~ 1) oder rJ = w roli (; ~ 1). Im ersten Fall ist

rJ • wo' 2 = (wt; + 1) . wt; . 2 = wt; . 3 = (WO' 2 + 1) . we ,

d.h. rJ ist Linksteiler von (W;'2 + 1)' wo, ohne aber Linksteiler von WO' 2 + 1 oder von WO zu sein; denn wäre 1

WO . 2 + 1 = 1] • fl = (wt; + 1) • fl = Wo • fl + ll' ' so wäre wegen der Eindeutigkeit der Normalform fl = wt;, ll' = 1 (Widerspruch) ; und wäre

1 Def. von '" siehe § 12.

§ 20. Zerlegung einer Ordnungszahl in unzerlegbare Zahlen. 87

so wär'e,u = 1 (Widerspruch).-Im zweiten Fall ist "I) ·W = (w"," + 1) ·w, d.h. "I) Linksteiler von (w"'" + 1) . w, ohne Linksteiler von w"'~ + 1 oder von w zu sein (wie man wie oben zeigen kann).

4. Anhang: Probleme der gewöhnlichen Zahlentheorie im Transfiniten. 1. Der "große FERMATsche Satz" in der gewöhnlichen (finiten) Zahlentheorie,

nach dem die Gleichung ry.f1 + ßI' = yl' (wobei f.t eine gegebene natürliche Zahl ist) für Il;;:; 3 keine Lösung in natürlichen Zahlen CI., ß, y hat, und der weder bewiesen noch widerlegt ist, ist im Gebiete der Ordnungszahlen falsch [12]: Ist f.t eine beliebige OrdnungszahL;;:; 1, so gibt es drei (beliebig große) Ordnungszahlen CI., ,8, Y mit Cl.I' + ßI' = yl'. Denn ist!l von 1. Art, so ist für ~ ;;:; 1

(w~)I' + (w;. 2)1' = (w". 3)1';

ist !t eine Limeszahl, so ist für I; ;;:; 1

(w")1' + (w~·I')I'=(w"·I'+ 1)1'.

2. Ein weiteres ungelöstes Problem der gewöhnlichen Zahlentheorie ist die GOLDBAcHsche Vermutung, nach der jede gerade natürliche Zahl> 2 die Summe zweier Primzahlen ist. Für die Ordnungszahlen ist sie falsch: So ist z. B. w + 10 die kleinste gerade Ordnungszahl, die keine Summe von zwei multiplikativ unzerlegbaren Zahlen ist [12].

3. Ist p eine natürliche Zahl, so ist nach einem Satz von POMPEIU v dann und nur dann keine Primzahl, wenn v = CI. + ß + y + (j mit CI. > 0, ß > 0,

y> 0, (j> ° und CI. • (j = ß • ,'. Ist v eine Ordnungszahl, so gilt nach SIERPINSKI [13J: Ist v = CI. + ß + y + (j mit CI. > 0, ß> 0, y> 0, (j > ° und CI.' (j = ß· y, so ist v multiplikativ zerlegbar; aber die Umkehrung gilt nicht (Gegen beispiel v = w + 2); v ist dann und nur dann multiplikativ zerlegbar, wenn v = CI. + ß + y + (j und entweder CI.' (j = ß . y oder 1< CI. < v, I < ß < v, 1 < y< P, 1 < (j < v.

§ 20. Zerlegung einer Ordnungszahl in unzerlegbare Zahlen.

1. Additive Zerlegung.

S atz 1. Jede Ordnungszahl <X > 0 kann eindeutig als Summe einer nicht-wachsendenl endlichen Folge von y-Zahlen dargestellt werden [10].

Beweis: a) Existenz der Zerlegung: Es sei <X = <x' + (f', wobei r/ der kleinste Rest von <x ist, und <x' der kleinste Abschnitt von <x, der zu diesem Rest gehört (d.h. die kleinste Zahl ~ mit ~ + (f' = <x). Ebenso zerlegen wir <x' in eine Summe <x' = <x" + (/', dann <x" usw. Es ist <x > <x' > <x" > ... Nach endlich vielen Schritten erhält man Zahlen <Xi und (]i' so daß für ein k < w

<x = ~ (fi' i< k

wobei <x = <Xk > <Xk-l > ... > <Xl > <Xo = 0 und alle (fi y-Zahlen sind; für jedes

f< k ist <Xi+1 = <Xi + (fi' wobei (fi der kleinste Rest von <Xi+1 ist, und <Xi

1 Eine Folge {CI.~)~ < A heiße nicht-wachsend, wenn CI.<,;;:; 0($, für 1;1 < $" < Ä.

der kleinste Abschnitt von (Xj+l' der zu diesem Rest gehört. Für jedes j< k - 1 ist (!j ;;;; (!j+l' denn wäre (!j< (!j+1' so wäre

(Xj + z = (Xj + 1 + (!j + 1 = (Xj + (!j + (!j + 1 = (Xj + (!j + 1 ,

also wäre (wegen (Xj< (Xj+l) (Xj+l nicht der kleinste Abschnitt von (Xj+2' der zum Rest (!j+) gehört.

b) Eindeutigkeit der Zerlegung: Ist (X = ~ (!i eine Darstellung von (X

i< k

als Summe einer nicht-wachsenden Folge {(!i}. < k von y-Zahlen, so ist (!o

als die größte y-Zahl ~ (X eindeutig bestimmt, also}; (!i eindeutig; (!l ist l:;;;;i<k

als größte y-Zahl ~ ~ (!i ebenfalls eindeutig usw. l:;;;;i<k

Bemerkungen: 1. Die Summenreste rn = ~ (!i (für n< k) sind ge-n:;;;;i<k

rade die Reste von (X (während die Abschnitte von (X genau alle Zahlen ~ (X

sind): Ist (! ein Rest von (x, so ist (! ;;;; (!k-l = rk_1. Wäre (! =!= rn für alle n < k, so wäre also für ein bestimmtes n < k - 1

rn + 1 < (! < rn = (!n + rn + 1 ,

d.h. (! wäre ein Rest> r1O +1 von (!1o + r1O +1' also (! = ~ + r1O +1> wobei ~ ein Rest von (!1o' also ~ = (!" ist, also (! = (!1o + r 10+1 = r", Widerspruch.

2. Die additive Zerlegung von (X in unzerlegbare Zahlen liefert uns die CANToRsche Normalform; denn kommt in der Zerlegung die y-Zahl w ßt

genau a;-mal vor (für i :;:;; m), und faßt man die gleichgroßen Glieder zusammen, so wird

(X = ~ (!i = }; w ßi • ai , wobei k = ~ ai. i<k i-;;;;m i:;;;;m

2. Multiplikative Zerlegung. Die multiplikative Zerlegung einer Ordnungszahl in ein Produkt einer nicht-wachsenden endlichen Folge von multiplikativ unzerlegbaren Faktoren ist nicht immer eindeutig. Ist (X

von 1. Art, so ist sie eindeutig (siehe Satz 3); ist (X eine Limeszahl, so ist sie (wegen (X = 2 • (X) nicht eindeutig (auch nicht, wenn die Zahl der Faktoren vorgeschrieben wird, wie das Beispiel w 2 = w· w = (w + 1) . w zeigt). Man kann Eindeutigkeit erlangen, indem man der Zerlegung zusätzliche Bedingungen auferlegt; so gelten die folgenden Sätze [4, 9]:

S atz 2. Jede Ordnungszahl (X > 1 kann eindeutig als Produkt endlich vieler multiplikativ unzerlegbarer Faktoren dargestellt werden, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: Von beliebigen zwei aufeinanderfolgenden Faktoren gilt:

(1) ist der erste von 1.Art, so ist der zweite von 1.Art, (2) sind sie endlich, so ist der zweite nicht größer als der erste, (3) sind sie von 2.Art, so ist der zweite nicht größer als der erste.

Beweis: a) Existenz der Zerlegung: Es sei (X = (X', CI', wobei CI' der kleinste Rechtsteiler > 1 von (X ist, und (x' der kleinste zu diesem Rechtsteiler gehörige Quotient von (X (die kleinste Zahl ~ mit ~ . CI' = (X). Ebenso zerlegen wir cl.' in ein Produkt (x' = (X" • a" usw. Es ist (X > ",' > (X" > ... Nach endlich vielen Schritten erhält man Zahlen (Xi und Cli, so daß für eink<w

(X = n CI;, i<k

wobei (X = (Xk > (Xk-l > ... > (Xl > (Xo = 1 und alle CI, multiplikativ unzerlegbar sind (nach § 17, Satz 2); für jedes i< k ist (Xj+1 = (Xi • Cli'

wobei Cli 'der kleinste Rechtsteiler > 1 von (Xi+1 ist, und (Xi der kleinste zu diesem Rechtsteiler gehörige Faktor von (Xi+1' Wir zeigen, daß die Bedingungen (1) bis (3) erfüllt sind: Es seien Cli' Cli+1 zwei aufeinanderfolgende Faktoren (f< k - 1).

Bed. (1): Cli sei von 1. Art, Clf = "I + 1. Wäre Cli+1 von 2. Art, so wäre

(Xf+ 2 = (Xf+ l' Clf+ 1 = (Xj'Clj' Clf+ 1 = (XI' ("I + 1)' Clf + 1 = (XI' Y'Clj+ 1,

also wäre wegen (XI' "I < (XI' ("I + 1) = "'I' Clf = (Xj+ 1

(Xf+l nicht der kleinste zum Rechtsteiler Cli+1 gehörige Faktor von (Xj+2'

Bed. (2): Cli und Cli+1 seien endlich. Wäre Cli < Cli+1' so wäre

also wäre Cli+1 nicht der kleinste Rechtsteiler > 1 von (Xi+2'

Bed. (3): Cli und Cli+1 seien Limeszahlen, also Cli = w"!;, Cli+1 = w.,7J. Wäre Cli < Cli+l> so wäre ~ < 'Yj, also Cli • Cli+l = Cli + 1, also

wegen "'i < (Xi+1 wäre also (Xi+1 nicht der kleinste Quotient von (Xi+2.

der zum Rechtsteiler Cli + 1 gehört.

b) Eindeutigkeit der Zerlegung: Es sei (X = IICI; eine Zerlegung von (X i< k

in ein endliches Produkt multiplikativ unzerlegbarer Zahlen, wobei die Bedingungen von Satz 2 erfüllt sind. Das Produkt der endlichen Faktoren am Ende sei r, der erste transfinite Faktor (von rechts gezählt) sei CI •• (wir nehmen an, ein solcher existiere, denn sonst ist der Beweis einfach). Ferner sei", = ß . r. Wir haben nun § 17, Folgerung 3 von Satz 7 öfters anzuwenden: Ist r > 1, so hat", keinen multiplikativ unzerlegbaren Rechtsteiler ~ w; r ist eindeutig (denn ist", = 1: w p, a j die Normal-

i;ii; m form von "', so ist r = ao), also ist auch ß eindeutig. Die Zerlegung von r in endliche Faktoren ist eindeutig wegen Bed. (2). Weil CI •• ein multiplikativ unzerlegbarer Rechtsteiler von ß ist, ist CI •• eindeutig. Ist CI •• von

1.Art, so ist 1l0", eindeutig (§ 17, Satz 3) usw. Ist 0" •• von 2.Art, so ist i< .0

auch 0" •• -1 von 2.Art nach Bed. (1) usw., also sind alle O"i mit i ~ i o

von 2.Art, d.h. es gilt für i ~ io O"i = wal1'! mit Yo ~ Y1 ~ ... ~ Y" nach ( E ro1'i)

Bed.(3),alsoß=w.;;;a.. ; durch ß ist also ~ w1'_, und dadurch sind die Yi eindeutig bestimmt, somit die O"i. .;;;a "

Bemerkungen: 1. Eine andere Zerlegung von (X in endlich viele multiplikativ unzerlegbare Faktoren kann nach CANTOR [3] aus der Normalform (X = ~ W"i. ai gewonnen werden: Es ist (wenn m ~ 1)

.;;;a m

(X=( L: w"l.ai)·(w-".+" •. ao+1); l;;;a.;;;am

durch mehrmalige Anwendung dieser Formel erhält man

(X = w"m. am · l1 (W-""'-I+1+"",_I. am_. + 1) 1;;;a.;;;am

= W"".· am• n (w-«m-/+1 + "".-1 + 1). am_i. l:i i;;;a m

Ist (Xm > 0 und (Xm = ~ ei die Zerlegung von am in y-Zahlen, und i<1'

setzen wir w-"m-l+1 + "m_1 = Yi' so wird

(X= ITwei.am • l1 (Yi+ 1).am_. i <, l;;;a.;;;am

=JIl5i ·am • JI (Yi+ 1 ).am -i, i<, l;;;ai;;;am

wobei die <5, <5-Zahlen mit <5, ~ <5i +1, die Y. y-Zahlen (also die y, + 1

multiplikativ unzerlegbar) und die a. endlich sind (zerlegt man die a, noch in ihre Primfaktoren, so sind alle Faktoren von (X multiplikativ unzerlegbar). Man kann ferner leicht zeigen, daß jede solche Zerlegung eindeutig ist.

2. Jede Ordnungszahl ist Summe endlich vieler additiv unzerlegbarer und Produkt endlich vieler multiplikativ unzerlegbarer Zahlen, aber nicht jede Ordnungszahl ist Summe endlich vieler multiplikativ unzerIegbarer Zahlen (Gegenbeispiel: ( 2).

Def. Wir bezeichnen für jede Ordnungszahl (X> 1 die Zahl ihrer multiplikativ unzerlegbaren Faktoren in einer bestimmten Zerlegung mit 'l"«(X). Für endliches (X ist also 'l"«(x) die eindeutige Zahl der Primfaktoren > 1 von IX. Ferner sei 'l"(l) = o.

Die Normalform von IX sei IX = ~ w"'· ai , ferner T =m + L: 'l"(a,) . • ;;;am ;;;;am

Satz 3. Jede Ordnungszahl IX> 1 von 1.Art ist eindeutiges Produkt endlich vieler multiplikativ unzerlegbarer Faktoren (bis auf die endlichen Faktoren, die permutiert werden können), und es ist 'l"«(x) = T.

Beweis: Es sei a: = n Gi eine Zerlegung von a: in ein endliches Pro-i<T(~)

dukt multiplikativ unzerlegbarer Faktoren; da a: von 1. Art, sind alle Gi

von 1. Art. Nach dem Beweis von Satz 2 folgt die Eindeutigkeit dieser Zerlegung. Der behauptete Wert von -r(a:) folgt aus der CANToRschen Produktdarstellung von a:.

Hilfssatz. Ist a: eine multiplikativ zerlegbare y-Zahl > 1, so gibt es genau eine Darstellung von a: als Produkt a: = Go· GI von zwei multiplikativ unzerlegbaren Faktoren mit der Bedingung

(4) G • GI< a: für fede multiplikativ unzerlegbare Zahl G < Go .

Beweis: Es sei a:=w"'O, a:o> 1, a:o= 2: WYI'Ci, i;;i;r

0=)7 W~i'Ci+WY"(Cr-l). i<r

a) Existenz der Zerlegung: Ist 0 eine y-Zahl, so hat die Zerlegung

a = wlJ • ww1" , ist 0 keine y-Zahl, so hat die Zerlegung a: = (wlJ + 1) . wwy, die verlangten Eigenschaften.

b) Eindeutigkeit der Zerlegung: Ist a: = Go' GI eine Zerlegung von a:

mit der Bed. (4), so muß GI = wwYr sein. Ferner ist Go = w" oder = w" + 1,

also a: = w" + ",1", also {h + wYr = a:o, also {h = 0 + 1], wobei 0 ~ 1] < wY,.

Wäre 1] > 0, so wäre 0< {h, also wlJ + 1< Go, also nach Bed. (4). (w lJ + 1) . GI

< a:, im Widerspruch zu (w lJ + 1) . GI = w lJ + wY, = wO:o = a:. Also ist 1] = 0, also {h = 0, also Go = w lJ oder = w lJ + 1. Ist 0 eine y-Zahl, so ist mlJ multiplikativ unzerlegbar; wäre dann Go = w lJ + 1, so wäre nach Bed. (4) a: = WO • GI < a:; also muß Go = w lJ sein. Ist (j keine y-Zahl, so muß Go = w lJ + 1 sein (denn dann ist w6 multiplikativ zerlegbar).

Sa tz 4. Jede Ordnungszahl a: > 1 läßt sich (abgesehen von der Reihenfolge der endlichen Faktoren) eindeutig als Produkt a: = n Gi endlich

i < T (0:)

vieler multiplikativ unzerlegbarer Faktoren darstellen mit den Bedingungen:

(5) -r (a:) ist minimal.

(6) Ist GI von 2.Art, so gilt G' GI < Go' GI für fede multiplikativ unzerlegbare Zahl G < Go.

Ferner ist -r(a:) = T im Fall a: von 1.Art (a:m = 0); -r(a:) = T+ 1 im Fall a:m > 0 und wenn a:m eine y-Zahl ist; -r(a:) = T + 2 im Fall a:m > 0

und wenn a:m keine y-Zahl ist.

Beweis: Für a: von 1. Art ist der Satz bereits bewiesen (vgl. Satz 3). Es sei nun am > o. Ist Go ein multiplikativ unzerlegbarer Linksteiler von a und a: = Go . ß, so ist ß = 2: wßI • ai . Jede Zerlegung von a: muß also die Form i;;i;m

a:=(TlGi)'Y ~<J1,

mit Y= 2: w'l'i·ai' i~m

f/Jm=o, n > 0 , n Gi = wO:rn

i<n

haben. Damit T(IX) minimal ist, muß n minimal sein. Da y von l.Art, ist die Zerlegung von y in TFaktoren eindeutig (Satz 3).

Ist IXm eine y-Zahl, so ist n = 1 gleichbedeutend mit ao = roDe ... IX = roDe", • y, und da roDe", multiplikativ unzerlegbar ist, ist die Zerlegung von IX eindeutig und T(IX) = T + 1.

Ist (Xm keine y-Zahl, so ist ro,zm multiplikativ zerlegbar, also n> 1.

Nach dem Hilfssatz kann ro,zm eindeutig in ein Produkt ro,zm = ao • a 1 zerlegt werden (also n = 2), wobei a 1 eine Limeszahl ist. Also kann IX eindeutig in T(IX) = T + 2 Faktoren zerlegt werden.

Satz 5. Ist entweder IXm = ° (also IX von 1.Art), oder IXm eine y-Zahl > 0, oder IXm = e + 1, wobei e keine y-Zahl ist, so laßt sich (X (abgesehen von der Reihenfolge der endlichen Faktoren) eindeutig als Produkt IX = II a. endlich vieler multiplikativ unzerlegbarer Faktoren mit der Be-

i < ~ (,z) dingung (5) zerlegen; sonst ist die Zerlegung mit dieser einzigen Bedingung nicht eindeutig.

Beweis: Ist IXm = ° oder IXm eine y-Zahl, so folgt Satz 5 aus Satz 3 und 4. Ist IX';' > 0 keine y-Zahl, so kann nach dem Beweis des Hilfssatzes roDe", dann und nur dann ohne weitere Bedingung eindeutig in zwei multiplikativ unzerlegbare Faktoren zerlegt werden, wenn roDe", = (roe -t 1) . ro = we + 1 (also IXm = e + 1), wobei e keine y-Zahl ist.

§ 21. Permutation einer Folge von Ordnungszahlen.

1. Die Anzahl der Summen und Produkte bei Permutationen einer gegebenen Folge. Es sei F = {IX<}.<ß eine Folge vom Typ ß von Ordnungszahlen. Ist y eine Ordnungszahl und l/J eine eineindeutige Abbildung von W(y) auf W(ß)l, so daß also jedem ~ < y eine Zahll/J(~) «)}< <r eine Folge vom Typ y, die aus den gleichen Werten gebildet ist, wie die ursprüngliche Folge F. Wir nennen die neue Folge eine Anordnung von F im Typ y. Eine Anordnung einer Folge vom Typ ß im Typ ß heiße eine Permutation dieser Folge.

Da für die Addition und die Multiplikation das kommutative Gesetz nicht gilt, sind Summe 2: IX4>(E) und Produkt II (X4>(') einer Permutation

«ß «ß vonF im allgemeinen verschieden von der Summe 2: (x. bzw. dem Produkt

. E<ß II (x. vonF. Wir bezeichnen die Mächtigkeit der Menge der verschiedenen

E<ß Summen- bzw. Produktwerte, die man aus allen Permutationen einer gegebenen Folge F erhält, mit s (F) bzw. P (F); ist der Typ ß von F endlich, so ist 1 ~ s(F) ~ ßI und 1 ~ P(F) ~ ßI Ferner gilt:

1 Die Existenz einer solchen Abbildung besteht dann und nur dann, wenn P = Y (vgl. § 27).

§ 21. Permutation einer Folge von Ordnungszahlen. 93

Sa tz 1. Ist ß = w, so ist s(F) endlich (d. h. aus einer Folge vom Typ w erhält man durch Permutationen nur endlich viele verschiedene Summen).

Beweis: a) Wir nehmen an, daß für alle Terme der gegebenen Folge F = {(X"h<w gilt (XE =1= o. Wir sagen, der Term (X; habe die Eigenschaft E, wenn es in F höchstens endlich viele Indizes 1] < w mit (X'I ~ (x. gibt. Die Zahl der Terme mit der Eigenschaft E ist endlich: Denn gäbe es eine Folge {(X<i}i<w von solchen Termen, so wäre (XE. < (Xe. für ein genügend großes i, (X,,/ < (Xe; für ein genügend großes i usw., wodurch man eine fallende Folge vom Typ werhalten würde, was unmöglich ist.

b) Die Summe a = ~ (x" ist eine Limeszahl ; (2 sei ihr kleinster Rest «w

(also eine y-Zahl). Nun sei {(X(/l(de<w eine Permutation von F, a' = ~ (X(/l(E) ihre Summe und (2' der kleinste Rest von a'. Es gibt eine Zahl ~<w

n < w, so daß unter den (X; mit n ;;;; ~ < w und auch unter den (X(/l(E)

mit n ;;;; ~ < w keine Terme mit der Eigenschaft E vorkornmen, und daß zugleich

Wir zeigen, daß (2 = (2': Weil die Terme (Xi; und (X(/l(;) mit n ;;;; ~ < w die Eigenschaft E nicht haben, gibt es ein no > n mit (Xno ~ (X(/l(n), ferner ein n 1 > no mit (Xn, ~ (X(/l (n + 1)' ein n 2 > n l mit an, ~ (X(/l (n + 2) usw:; also ist

(2' ;;;; ~ (Xni;;;; (2 . .j < OJ

Analog folgt, daß es ein m o > n mit (X(/l(m.) ~ (Xn, em m l > mo mit (X(/l(m,) ~ (Xn+1 gibt usw., so daß also

(2 ;;;; ~ (X(/l(mi);;;; (2'. i < co

Somit folgt (2' = (2, also a' = ~ (X(/l(;) + (2. Ii<n

c) Wir brauchen die folgende Hilfsformel: Ist e eine y-Zahl, so ist 1] + (X + (2 = (X + (2 für 1) < (2: Im Falle (X < e wird nämlich (X + (2 = (2,

also 1) + (X + (! = 1) + e = e = (X + e, im Falle (X ~ e ist (X = e + 'l', also LX + e ;;;; 1] + (X + e = 1] + e + 'l' + e = (! + 'l' + (2 = (X + (2.

d) Ist (X(/l«) ein Term mit ~ < n, der nicht die Eigenschaft E hat, so ist (X(/l«) < (2 (denn wäre (X(/l«) ~ (2, so gäbe es nur endlich viele Indizes1] mit (X(/l('l) ~ (X(/l(i;»). Solche Terme lassen sich also durch fortgesetzte Anwendung der Hilfsformel c) wegschaffen, so daß bleibt:

a' = L: (Xi;i + (2 , i < s

wobei die Folge {(XE;lks die durch die Abbildung ifJ induzierte Permutation der Folge der Terme von F, die die Eigenschaft E haben, ist. Da

94 IH. Arithmetik der Ordnungszahlen

die letztere Folge endlich ist und nur endlich viele Permutationen zuläßt, folgt, daß es aus F auch nur endlich viele Summen a' gibt.

Bemerkungen: 1. Ist {(X<}«ru eine Folge mit der Eigenschaft, daß zu jedem Term (X< unendlich viele Indizes 1) mit (X'I ;;;;; (X< existieren (z. B. eine wachsende Folge), so hängt die Summe nicht von der Ordnung der Terme ab (d.h. s(F) = 1). Diese Bedingung ist aber nicht notwendig dafür, wie das Beispiel der Folge {(X<}. < ru mit (xo = W, (X< = ~ für 1 ;;:;; ~ < W

zeigt.

2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es Folgen F vom Typ w mit s(F) = n (z.B. (X< =w für ~ < n - 1, (Xn-l =w2, (X< = 1 fürn ~.; < w; man erhält die n Werte w 2 + w . k mit 1;;:;; k < n).

3.1 Für eine Folge F vom Typ ß >w kann s (F) bereits unendlich sein: Zum Beispiel ergibt ~ .; = W· 2 bei Vertauschen der Summanden wund n

«ru+l den Wert w . 2 + n, ferner ergibt 2: w 2 • ~ + ~ ~ bei Vertauschen der Sum-

«ru «ru manden w 2 • n und 1 den Wert w3 + w 2 • n + W; aus beiden Folgen (von den Typen W + 1 bzw. W· 2) lassen sich also unendlich viele Summen gewinnen. - Für eine Folge F von einem Typ< W 1 ist aber s (F) höchstens abzählbar [4J.

4. Zu jeder Ordnungszahl (X gibt es Folgen F vom Typ W a + 1 mit s(F) = ~"'+1: Man setze (X< = 1 für'; < W"', (X< =0 für wa ;;:;;;<wa + 1 ;

ist T eine beliebige Zahl mit W a ~ T < W"'+I' so gibt es eine eineindeutige Abbildung zwischen W(w a) und W(-r), so daß jedem I; < -r eine Zahl cp(l;) < W a entspricht; wir setzen cp(-r +;) = Wo< + I; für c < wH1 •

Dann wird "J.' acp(O = -r. «rua+l

S. Ist F eine Folge von Typ ß = we' wobei we regulär und (! > 0 ist, ~

so ist s (F) ~ ~;; ist F monoton, so ist s (F) = 1.

Sa tz 2. Ist ß = w, so ist auch p (F) endlich. Ist F eine monotone Folge, so ist ihr Produkt vOn der Ordnung ihrer Terme unabhängig (P(F) = 1). -Beweis siehe [5].

2. Endliche Folgen mit maximaler Zahl von Summen nnd Produkten. Ist n eine endliche Zahl, so sei 5 (n) bzw. P (n) das Maximum von s (F) bzw. P (F), wobei F alle Folgen vom Typ n von Ordnungszahlen durchläuft. Über diese zahlentheoretische Funktionen gelten folgende Sätze:.

Satz 3. 5(n) ist gegeben durch 5(1)=1, 5(n)= max ((k·2 k -'+1).5(n-k)) tür n>1.

l;;;;k<n

1 Bei den Bem. 3 bis 5 werden einige erst später (§§ 27, 30, 34) definierte Begriffe verwendet.

§ 21. Permutation einer Folge von Ordnungszahlen. 95

Beweis: Es sei F = {(Xi}i<n eine Folge vom Typ n (wobei n eine feste Zahl mit 1 < n < (J) sei), ferner y = min ßi' wobei ßj das erste Glied in

i<n der Zerlegung von (Xi in y-Zahlen ist; k sei die Anzahl der Terme (Xi mit ßi = y (also ist 1 ~ k ~ n). Alle Permutationen {(Xc[>(i)}i<n von F, bei denen kein Term (Xi mit ßi = y am Ende steht, geben maximal 5 (n - k) verschiedene Summen, da alle Terme (Xi mit ßi = y von den folgenden absorbiert werden. Wählen wir eine Folge F mit transfiniten (Xi' mit ßi = y für i < k und <Xi = Y . 2 i + Cl. für i < k (wobei Cl j < y und Cli =!= Cl; für i < kund i < k), so wird für jede Permutation von F, bei der genau r Terme (Xi mit ß. = y am Ende stehen (wobei also 1 ~ r ~ k),

::E (X<1>(i) = ?: (X<1>(i) + y· 2: 2<1>(;) + Cl<1>(n-1)' i<n i<n-r n-r~i<n

wobei im ersten Glied 2: (xc[> (t) ~ Y . walle k - r Terme <x, mit ß. = y i<r-n

absorbiert werden; diese Permutationen liefern also für das erste Glied

maximal 5 (n - k), für das zweite Glied (:) und für das dritte Glied

r Werte, total also maximal r· (:) ·5 (n - k) verschiedene Summen

(denn die gewählten (Xi geben die größte Zahl verschiedener Summen). Alle Permutationen von F liefern also

5(n-k)+ 2: 5(n-k).r.(k)= (1+k·2k - 1 ).5(n-k) 1;;;; r;;;; k r

verschiedene Summen. Also ist

5 (n) = max ({ 1 + k • 2 k - ') • 5 (n - k)) . l;;;;k;;;;n

Bemerkungen: 1. Die ersten Werte der Funktion 5 sind 5(1) = 1, 5(2) = 2, 5(3) = s, 5(4) = 13, 5(S) = 33, 5(6) = 81, 5(7) = 193, 5 (8) = 449, 5 (9) = 1089, 5 (10) = 2673.

2. Aus Satz 3 kann man eine Formel zur expliziten Berechnung von 5 (n) aufstellen: Es ist

5 (S·k + l) = 81k - l + 1.1931- 1

5(S·k)=33· 81k - 1

3. Daraus folgt

für k ~3, 1~l~4,

für k~4.

5{n)=81.5(n-s) für n~21, ferner

lim S(~)=o, aber n~co n.

lim 5 (n) = 00 •

n ...... 00

4. Für die Existenz von 4 Ordnungszahlen, deren Summe genau k verschiedene Werte annimmt, ist die Bedingung k ~ 13 notwendig und hinreichend [7].

Der zu Satz 3 analoge Satz über Produkte lautet:

Satz 4. Es ist P(n) = n!

Beweis: Setzen wir (Xi = 0) + i, so wird für eine Permutation {(X(/.i(i)k:;;;i;;;n von F = {(XiI 1;;;; i;;; n

II (X(/.i(i) = 0)" + }; O)"-i.4>(n+ 1-i), l;;;i;;;" 1;;;.;;;"

somit ist P (F) = n!

3. Maximalsummen. Ist {(X'l'mIE<1I eine solche Permutation der Folge F = {(XEh< 11' so daß

}; (X'l' (E) ~ }; (X(/.i (E) E<II E<{J

für jede Permutation {(X(/.iwh<1I von F gilt, so heißt }; (X'l'(n eine I;<{J

Maximalsumme von F. Über die Existenz einer Maximalsumme gelten folgende Sätze [1]1:

Satz 5. Ist ß von .I.Art und w < ß < 0)1> oder ß beliebig ~ 0)1' so existiert eine Folge vom Typ ß, die keine Maximalsumme hat.

Sa tz 6. Ist ß endlich oder eine beliebige Limeszahl < 0)1' so hat jede Folge vom Typ ß eine Maximalsumme.

Bemerkung: Als offenes Problem besteht die Aufgabe, zu jeder gegebenen Ordnungszahl ß (von l.Art mit 0) < ß < 0)1' oder beliebig ~ 0)1) die Folgen vom Typ ß zu charakterisieren, die Maximalsummen haben.

§ 22. Vertauschbare Ordnungszahlen.

1. Allgemeine Vorbemerkungen. Fast alle Erscheinungen der trans-finiten Arithmetik haben ihren Grund darin, daß das kommutative Gesetz für die arithmetischen Operationen nicht allgemein gilt. Wir betrachten in diesem Paragraphen die Ausnahmefälle, in denen das kommutative Gesetz doch gilt, d. h. wir behandeln die Frage, für welche Paare (x, ß von Ordnungszahlen die Gleichung

1 ((X, ß) = I(ß, (X) ( 1)

erfüllt ist, wobei 1 eine beliebige der drei elementaren arithmetischen Operationen ist. Ist (1) erfüllt, so heißen (X und ß miteinander vertauschbar bezüglich I, und zwar im Fall der Addition additiv vertauschbar, im Fall .(ler Multiplikation multiplikativ vertauschbar und im Fall der Potenzierung exponentiell vertauschbar .

1 Def. von w1 siehe § 27.

§ 22. Vertauschbare Ordnungszahlen. 97

Sa tz 1. Für die Addition und Multiplikation gilt: Sind zwei Zahlen ß, "I mit einer gegebenen Zahl IX vertauschbar, so ist auch I(ß, "I) mit IX vertauschbar.

Beweis: Aus der Voraussetzung 1 (IX, ß) = I(ß, IX), I(IX, "I) = 1("1, IX)

und aus dem speziellen assoziativen Gesetz folgt

I(IX, t ({l, "I)) = 1 (f (IX, ß), "I) = 1 (f ({l, IX), "I) = I({l, I(IX, "I))

= 1 (ß, t ("I, IX)) = l(f (ß, "I), IX) •

Für die folgenden Betrachtungen wählen wir im Fall IX > 0, ß > 0

die eindeutigen Darstellungen

IX= w"· a+e

{l= w"· b + (J

(mit o<a<w, o~e<w", fl;;;;' 0),

(mit o<b<w, o~(J<wv, v;;;;' 0).

2. Additiv vertauschbare Ordnungszahlen [3]. Eine Ordnungszahl IX

sei gegeben. Wir suchen alle Zahlen ß, die mit IX additiv vertauschbar sind, d.h. für die

IX+ß=ß+IX

gilt. Der Fall IX = 0 ist trivial, weil jede Zahl mit 0 additiv vertauschbar ist. Es sei also IX > o.

Wir bezeichnen die kleinste mit IX additiv vertauschbare Zahl> 0

mit ii. Da unter den gesuchten Zahlen ß die Zahlen 0 und IX auftreten, ist 0< Ci' ~ IX.

Sa tz 2. Die mit IX > 0 additiv vertauschbaren Zahlen sind genau die Zahlen oc' n (wobei n < w).

Beweis: a) Zunächst beweist man mit Hilfe gewöhnlicher Induktion nach n, daß alle Zahlen (i' • n mit IX vertauschbar sind.

b) Sodann zeigt man, daß diese Zahlen die einzigen mit IX vertauschbaren Zahlen sind: Ist ß > 0 mit IX vertauschbar, so gilt fl = v; denn sonst wäre IX + ß = ß oder ß + IX = IX, was der Voraussetzung (2) widerspricht. Aus (2) folgt

w" . a + e + w" . b + (J = W" • b + (J + W" • a + e ' also

w". (a + b) + (J = wp • (b + a) + e, also

(J=e, ß=w".b+e·

Somit ist IX = w" + e, also ß = Ci • b .

Folgerungen: 1. Für die additive Vertauschbarkeit von IX und ß ist die Existenz einer Zahl "I notwendig und hinreichend, so daß IX = y. m, ß = y. n tür zwei endliche Zahlen m, n.

Ergebn. d. Mathem. N.F.H. I, Bachmann. 7

2. Alle mit (X > 0 additiv vertauschbaren Zahlen fJ > 0 haben denselben Grad wie (X; d. h. sind (X und fJ additiv vertauschbar, so ist für eine bestimmte Zahl'; WO ~ (X < wH 1 und WO ;;;;, fJ < wH \ d. h. (X und fJ liegen zwischen zwei aufeinanderfolgenden y-Zahlen.

3. Die additive Vertauschbarkeit ist reflexiv, symmetrisch und transItiv.

4. Für die additive Vertauschbarkeit von (X und fJ ist die Existenz zweier endlicher Zahlen m, n mit 1 ~ m < w, 1 ~ n < w und (X • n = ß . m notwendig und hinreichend1 •

3. Multiplikativ vertauschbare Ordnungszahlen [1, 3]. Wir suchen zu einer gegebenen Ordnungszahl (X alle Zahlen fJ, die der Gleichung

(X·fJ=fJ·OI. genügen. Der Fall (X ;;;;, 1 ist trivial, weil dann alle Zahlen mit (X vertauschbar sind. Es sei also (X > 1.

Die kleinste mit (X multiplikativ vertauschbare Zahl > 1 sei (i'. Es ist also 1 < (i' ~ (x. Man sieht, daß auch alle Zahlen (i' • n für n < w mit (X

vert~uschbar sind. Im Fall der Multiplikation sind aber diese Zahlen im allgemeinen nicht die einzigen mit (X vertauschbaren Zahlen. Zunächst. gilt:

Satz 3. Ist 1< (X< w, so sind die mit (X multiplikativ vertausch baren Zahlen genau die endlichen Zahlen.

Beweis: Ist 1 < (X < wund fJ ;;;;; w, so ist

(X.{J= (x. (wv.b +a) = wV·b + (X·a< wV • (b + 1) ~ WV ·b·(X +a={J'(X'

d. h. (X und {J sind nicht vertauschbar. Da somit endliches (X keine Schwierigkeiten bietet, nehmen wir 01. ;;;;; w

an. Nach Satz 3 muß dann auch fJ ;;;;; w sein (außer wenn fJ ~ 1).

1. Es sei (X von 1.Art. Dann ist auch jedes mit (X vertauschbare {J von 1. Art, denn für Limeszahlen fJ hat die Normalform von (x. fJ weniger Glieder als diejenige von fJ . (X (nach § 12).

Es sei (X < fJ; ~ sei der größte gemeinsame Linksteiler von (X und fJ (§ 18), und es sei (X = ~ . (Xl' fJ = ~ . fJI' Die Zahlen (Xl' fJI' ~ sind ebenfalls

1 Dagegen umfaßt die Klasse der Paare {IX, P) von Ordnungszahlen IX, p, zu denen es zwei beliebige Ordnungszahlen (J,7: mit (J > 0, 7: > 0 gibt, so daß IX' (J = p. 7:, bereits alle Paare von Ordnungszahlen> 0 (wegen der Existenz gemeinsamer linksseitiger Vielfache, vgl. § 18). Die Klasse K der Paare {IX, P) von Ordnungszahlen.lX, p, zu denen es zwei Ordnungszahlen (J, 7: mit (J > 0, 7: > 0 gibt, so daß (J·IX = 7:' p, enthält die Paare multiplikativ vertauschbarer Ordnungszahlen > 0 und die Paare von Ordnungszahlen > 0, von denen die eine Rechtsteiler der andem ist, wobei aber die durch K definierte Beziehung zwischen zwei Ordnungszahlen (d. h. die zwischen zwei Ordnungszahlen IX, p dann und nur dann bestehen soll, wenn (IX, P)EK) nicht transitiv ist [7].

von 1. Art, und es ist (Xl > ßl. Setzt man (3) voraus, so folgt (Xl' () • ßl

= ßl • () • (Xl' (Xl und ßl können nicht beide transfinit sein; denn sonst hätten sie einen gemeinsamen Linksteiler > 1 (dies ist durch Zerlegung jeder Zahl der letzten Gleichung in multiplikativ unzerlegbare Zahlen und aus der Eindeutigkeit der Zerlegung von (Xl' () • ßl zu beweisen). Auch können sie nicht beide endlich sein; denn sonst wäre () transfinit, und wenn 1 der endliche linksseitige Endfaktor bei der Zerlegung von () ist, müßte (Xl' 1 = ßl • 1 sein (was ebenso einzusehen ist wie oben), also "I = ßl' Widerspruch. Somit muß (Xl > wund ßl< w sein. Ferner ist ßI = 1, weil sonst ßl Linksteiler > 1 von (Xl wäre. Also ist ß = () und

(X = ß . (Xl = Cl l • ß mit (Xl < (x.

Jedem Paar ((X, ß) von multiplikativ vertauschbaren transfiniten Ordnungszahlen von 1.Art entspricht also ein ebensolches Paar ((Xl' ß), in welchem die größere der beiden Zahlen kleiner ist als im ersten, und wenn das zweite Paar eine Darstellung (Xl = ym, ß = yn mit natürlichen Zahlen m, n gestattet, so gestattet das erste Paar eine ebensolche Darstellung. Gäbe es nun solche Paare ((X, ß) mit den obigen Eigenschaften, die nicht so darstellbar wären, so gäbe es unter diesen eines, dessen größeres Glied minimal ist. Wird dieses als erstes Paar genommen, so gestattet das zugehörige zweite Paar aber eine solche Darstellung, also auch das erste Paar, Widerspruch .. Somit gilt:

Satz 4. Ist (X von J.Art und >w, so ist tür die multiplikative Vertauschbarkeit von (X und ß die Existenz einer Zahl y notwendig und hinreichend, so daß (X = ym, ß = yn tür natürliche Zahlen mund n.

Folgerung: Ist (X von J.Art und >w, so sind die mit (X multiplikativ vertauschbaren Zahlen> 0 genau die Zahlen (a)n mit 11, < w. - Beweis: Es ist 5: = ym, (X = yn für bestimmte Zahlen y, m, n mit 1 ~ m < w, 1 ~ n < w. Da a die kleinste mit (X vertauschbare Zahl ist, ist m = 1,

also (X = (a )n.

2. Nun sei (X eine Limeszahl. Gilt (3) so ist auch ß eine Limeszahl, und es folgt w,. + v. b + w,. . a = W V + ,. . a + W V • (! ,

also aus der Eindeutigkeit der Normalform

ft + v = v + ft ' a = b , w,.· a = W V • (! .

Ist T die kleinste mit ft additiv vertauschbare Zahl > 0, so gibt es zwei natürliche Zahlen m, n mit ft = T • m, v = T • n (weil ft und v additiv vertauschbar sind). Die mit (X = w~·m . a + (! multiplikativ vertauschbaren Zahlen sind also genau die Zahlen ß = w~·n. a + a, wobei n eine natürliche Zahl und w~·m. a = w~·n. (! ist. Ferner gibt es eine natürliche Zahl n l mit

ii'=w~·n'.a+al' wobei w~·m·al=w1"·",·(X.

7"

Setzt man für eine beliebige natürliche Zahl p ß = wT·P. iX = wT.(n,+p). a + wT·P. 0'"

so wird

d. h. ß ist mit (X vertauschbar. Daraus folgt:

Satz 5. Ist (X = w .. ·m • a + (! eine Limeszahl (wobei 7: die kleinste mit g ((X) additiv vertauschbare Zahl> 0 ist), so sind die mit (X multiplikativ vertauschbaren Zahlen> 1 genau die Zahlen w"· P • a mit p < w. - Ferner gilt dann: Diese Zahlen sind dann und nur dann genau die Zahlen (Ci)" mit 1;:;;;n<w, wenn n,=1(d.h.a=w"·a+0'" wobei 0',<w"von2.Artist).

Das letztere ist so zu beweisen: Ist n, = 1, so sind die mit (X vertauschbaren Zahlen> 1 genau die Zahlenßn =w .. ·n. a + an mit 1;:;;; n <w, wobei w .. ·m • an = w .. ·n . (!. Es ist ßn = (at für 1 ;:;;; n < w; denn dies gilt für n = 1, und gilt es für n, so ist

also

((i')n+1 = ((i')n. (i' = ßn' (i' = (wT.n. a + O'n)' (wT. a + 0'1)

= w .. ·(n+1)·a + W .. ·nO'l'

wT·m. (iX)n+ 1 = w .. ·(m+ n+ l).a + w .. ·(m+n)'O'l

also

= w,·(m +n+ l).a + W .. ·(n+ 1). (! =W .. ·(m+n+ l).a + W .. ·m·an + 1

= W" ·m. (WT.(n + 1). a + O'n+ 1) = W .. ·m.p,,+ "

((i')n + 1 = ßn + 1 .

Folgerungen: 1. Die multiplikative Vertauschbarkeit ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. - Beweis aus Satz 4 und 5.

2. Für die multiplikative Vertauschbarkeit zweier beliebiger Zahlen (x, ß ist die Existenz zweier natürlicher Zahlen m, n mit (x" = pm notwendig und hinreichend. - Beweis aus Satz 4 und 5.

3. Alle mit (X > 1 multiplikativ vertauschbaren Zahlen ß liegen zwischen zwei aufeinanderfolgenden <5-Zahlen, d. h. im Fall (X ;;;;; w existiert . . ~ <+1 < <+1 em ~ mIt w(JJ ;:;;; (X < w(JJ und WW ;:;;; ß < w'" .

4. Exponentiell vertauschbare Ordnungszahlen [3]. Die Gleichung

(Xß = P" (4) sei vorgelegt. Sehen wir vom trivialen Fall (X = P ab, so ist für endliches (X

und p die Gleichung (4) nur für das Paar {z, 4} möglich. Außerdem ist der Fall, daß die eine Zahl endlich, die andere transfinit ist, ausgeschlossen: Ist nämlich 1 < (X < wund p;;;;; w, so hat die Normalform von (Xß nur ein Glied, also würde aus (4) p = w"· b folgen, also (wegen (x",ö = W",-1 H

für 1< (X < w und ~ ;;;;; 1)

(Xß = w",- 1 + " . b, p" = wV '''. b , also b = 1 , w- 1 + V = V • (X •

Die letzte Gleichung ist aber unmöglich. Wir machen nun die Annahme " ~ w, ß ~ w. Aus (4) folgt dann,

wenn wir (} = (}' + r, a = a' + s setzen, wobei (}' und a' von 2. Art und l' und s endlich sind,

wfJ ·(ß-s). "s = wv' ('" -,). pr. 1. Sind" und ß von 1. Art, also l' > 0, s > 0, so ist

"s = wfJ' s • a + ... + l' , pr = W V ' , • b + ... + s , also

Aus der Eindeutigkeit der Normalform wird

fl·ß=v·", fl·(ß-s)=v.(,,-r), 1'=s, also

fl . (ß - 1') = V • (" - 1') .

Aus fl . ß = fl . (ß - 1') + fl . l' = V • (" - 1') + V • l' folgt wegen fl • (ß - 1') = V • (" - 1') die Gleichung fl . r = v . 1'. Daraus folgt fl = v, also wegen fl . ß = v . " die Gleichung" = ß. Abgesehen von diesem trivialen Fall können also nicht beide Zahlen" und ß von 1. Art sein.

2. " sei eine Limeszahl (1' = 0), und ß sei von 1.Art (s > 0). Dann folgt aus (4)

"ß = wfJ·(ß-s). "s = WV' "',

d. h. "ß = ß'" ist eine y-Zahl; also ist wegen "ß = wfJ'(ß-s) . ,,8-1. "nach § lS auch" eine y-Zahl, also" = w fJ . Somit ist

"ß = wfJ' ß = p" = wv • "', also fl . {J = v . (X •

Dies ist aber unmöglich, weil v . " eine y-Zahl ist, aber fl' ß eine Normalform mit mehr als einem Glied hat.

3. Das Bestehen der Gleichung (4) ist im Fall" =1= ß, " ~ w also nur dann möglich, wenn" und ß Limeszahlen sind. Dann wird aus (4)

wfJ·ß=wv ."" also fl·ß=v·", also wg(fJ)·P=wg(v).(X.

Wäre g(fl) = g(v), so wäre also" = ß, was wir ausschließen. Es sei ß >" und g(v) = g(fl) + 8 mit 8> o. Somit ist

p = w' . " = w' + fJ. a + ... = W V • b + ... , also v = 8 + fl. Wegen g(v) > g(fl) ist g(8) = g(v), also 8 ~ wg(fJl+., also 8 = w', d.h. 8 ist eine 8-Zahl. Da ferner g(fl) < g(8) = 8, ist fl< 8, also 8 = w' > ,,; ferner wird ß = w' . " = 8 ~ ".

Umgekehrt erfüllen auch alle Zahlen ß = 8 ." die Gleichung (4), wenn 8 eine 8-Zahl >" ist (denn dann ist "ß = "E' '" = 8"', ß" = (8 . ,,) '" = 8").

Im Fall ß < Cl ist (4) äquivalent mit Cl = 8 . ß, wobei 8 eine 8-Zahl > ß ist. - Somit gilt:

S atz 6. Gleichung (4) ist für Cl ~ wund ß * Cl nur möglich, wenn Cl eine Limeszahl ist. Die Zahlen ß > Cl, die die Gleichung erfüllen, sind dann genau die Zahlen ß = 8 • Cl, wobei 8 die 8-Zahlen > Cl durchläuft. Ist Cl

von der Form Cl = 8 • Y (wobei 8 eine 8-Z ahl > y ist), so existiert noch ein einziges ß < Cl, das Gleichung (4) erfüllt (nämlich ß = y).

§ 23. N atürIiche Operationen.

1. Definition und wichtigste Gesetze verschiedener "natürlicher" Operationen. Da die Gesetze der transfiniten Arithmetik von denen der finiten Arithmetik verschieden sind, taucht die Frage auf, ob man andere arithmetische Operationen definieren kann, die wie die gewöhnlichen auch die finite Arithmetik als Spezialfall enthalten, die aber den wichtigsten Gesetzen der finiten Arithmetik gehorchen. Solche Operationen sind die sog. "natürlichen" Operationen.

1. Die natürliche Summe nach HESSENBERG [2]. Sind endlich viele Ordnungszahlen CI: , p, ... in ihren Normalformen

cx = L; W{Xi • ai , i~m

p = }; Wßi • bi , ... i~n

gegeben, so gibt es eine sog. gemeinsame Darstellung derart, daß alle Zahlen dieselben Exponenten haben, so daß

p = }; W"k. nk, ... , k~q

wobei ao > al > ... > aq ~ 0, 0 ;;;::; mk < w, 0;;;::; nk < w, ... , und für jedes k ;;;::; q nicht alle Zahlen mko nko .•• gleichzeitig = 0 sind.

Dann definiert man als natürliche Summe von CI: und p

CI: * p = .E w"k. (mk + m); k~q

man erhält sie also, indem man mit den Normalformen wie mit gewöhnlichen Polynomen rechnet. Offensichtlich ist CI: * P der Ordnungstypus einer bestimmten Wohlordnung von A + B (wobei A und B zwei wohlgeordnete Mengen mit den Ordnungstypen CI: bzw. p sind), wie auch CI: + P der Ordnungstypus einer bestimmten (aber andern) Wohlordnung von A + Bist. Die natürliche Summe braucht weder mit CI: + P noch mit p + CI: übereinzustimmen (z.B. im Fall CI: = w, p = (02 + 1, wobei CI: * P = w2 + W + 1,

CI: + {J = (02 + 1, P + CI: = (02 + w). Die folgenden Gesetze der natürlichen Addition lassen sich sehr leicht beweisen:

a) Allgemein ist CI: * P ~ CI: + p; es ist CI: * P = CI: + p, wenn der Exponent von CI: nicht kleiner als der Grad von p ist.

b) Die natürliche Addition ist kommutativ und assoziativ.

c) CI: * P ist bei festem CI: eine wachsende Funktion von p und bei festem p eine wachsende Funktion von CI:; diese Funktionen sind aber keine Normalfunktionen.

§ 23. Natürliche Operationen. 103

d) Die Gleichung a. '* p = y hat bei gegebenem y nur endlich viele Lösungspaare (a., p); denn ist y = l: wak • Pk die Normalform von y, so daß

k-:;i,q a., p, y gemeinsam dargestellt sind, so muß Pk = mk + nk sein (für k ~ q) ; es gibt nur endlich viele Paare (mk, nk) mit dieser Bedingung. Die Anzahl der Lösungspaare (a., P) ist n)' = II (Pk + 1).

k-:;i,q

e) Die Hauptzahlen der natürlichen Addition sind die y-Zahlen.

2. Das natürliche Produkt nach HESSENBERG [2]. Ein natürliches Produkt von zwei Ordnungszahlen a., p erhält man, indem man ihre Normalformen wie gewöhnliche Polynome miteinander multipliziert und dabei die Exponenten natürlich addiert, also

a. * p = l:wlZl#ßt. ai • bj

bildet, wobei über alle Paare (i, .1) mit i ~ m, j ~ n summiert wird und dabei die Summanden nach abnehmender Größe geordnet werden. Diese Multiplikation ist kommutativ und assoziativ; zwischen ihr und der natürlichen Addition besteht das Distributivgesetz in beiden Formen (wie in der finiten Arithmetik) :

a. * (P '* y) = (Cl. * ß) '* (Cl. * y), (Cl. '* P) * y = (a. * y) '* (ß * y).

Speziell ist also Cl. * (P + 1) = (a. * P) '* a.; wegen Cl. '* fJ ~ a. + p folgt daraus a. * p ~ Cl. . p.

3. Das natürliche~ Produkt nach ]ACOBSTHAL [4]. Ausgehend von der natürlichen Summe als Stammfunktion kann man ein natürliches Produkt Cl. X P als stetige Funktion von p definieren durch den Ansatz

Cl.Xo=o

Cl. X (P + 1) = (a. X P) '* Cl..

Allgemein gilt dann Cl. X P ~ Cl.' p; ist p eine Limeszahl, so ist Cl. X P = Cl.' P ; ist ß von 1. Art, so ist Cl. X ß = Cl. . ß, wenn a. endlich oder eine y-Zahl ist. Die Hauptzahlen des Produkts Cl. X P sind die c5-Zahlen. Weiterhin gilt das distributive Gesetz

(Cl. X P) '* (oe X y) = a. X (P * y);

daraus folgt nach § 13 das assoziative Gesetz

(Cl. X P) X y = a. X (P X y).

4. Die natürliche Potenz nach ]ACOBSTHAL [4J. Definiert man mit a. X p ß

als Stammfunktion die Funktion ;- als stetige Funktion von p mit

o Cl. = 1,

so erhält man die ]AcoBsTHALsche natürliche Potenz. Nach § 13 folgt, daß das distributive und assoziative Gesetz gilt:

ß l' ß+1' Cl. X Cl. =Cl.

Diese Gesetze wären denjenigen der gewöhnlichen transfiniten Arithmetik ganz analog, wenn auf den rechten Seiten statt ß + y und ß· y stehen würde

ß ß ß =11= y bzw. ß X y. Wegen a X ß;;;; a' ß ist;r:;;;; aß; es ist;r: = aß, wenn entweder a oder ß eine Limeszahl ist, oder wenn a und p endlich sind. Die Haupt

ß zahlen der Potenz ;r: sind die e-Zahlen.

2. Funktionen von zwei Variablen mit eindeutigen Inversen. Die gewöhnlichen, aber auch die natürlichen Operationen 1 haben keine eindeutigen Umkehrungen, d. h. die Gleichung

I(a, ß) = y

hat bei gegebenem y im allgemeinen viele Lösungspaare (a, ß). Deshalb taucht hier das Problem auf, eine solche Funktion 1 von zwei Variablen zu finden, bei der die obige Gleichung genau ein Lösungspaar (a, ß) hat, d. h. die [W, W] eineindeutig auf W abbildet. Zunächst sieht man, daß 1 nicht kommutativ sein kann. Ferner kann 1 nicht von der Form

l(a,ß)=ul7.+ vß

sein, wobei die vß beliebig groß werden: denn sonst gibt es nämlich eine Zahl f.' mit wf.'> u o, wf.' >ur> und eine Zahlßmit vß> wf.'; also wird 1(0, ß) = l(l,ß) = vß·

Im folgenden zeigen wir nicht nur, daß das obige Problem lösbar ist, sondern auch, daß man jeder Ordnungszahl ..1 ;;;; w effektiv eine eineindeutige Abbildung zwischen W(A) und [W(A), W(A)] zuordnen kann.

Satz. Man kann eine Funktion effektiv definieren, die jeder Ordnungszahl ..1;;;; weine eineindeutige Abbildung zwischen W(..1) und [W(..1), W(..1)] zuordnet, d. h. also eine Funktion 1 von zwei Variablen mit den Eigenschaften:

1. Zu jedem geordneten Paar (a, ß) mit a < ..1, ß < ..1 existiert genau eine Ordnungszahll(a, ß) < ..1.

2. Die Gleichung I(a, ß) = y hat lür jede Ordnungszahl y < ..1 genau ein Lösungspaar (a, ß) mit a < ..1, P < ..1.

Beweis: a) Die Funktion 10 (a, ß) = 2"'· (2 . ß + 1) - 1 (definiert für endliche a und ß) stellt eine eineindeutige Abbildung zwischen W (w) und [W(w), W(w)] her, wobei 10 (0, 0) = o.

b) Ist die gemeinsame Darstellung zweier Zahlen a, ß mit a·ß > 0

und ordnen wir diesem Paar den Wert 11 (a, ß) = L W"k • 10 (mb nk) zu, und k::;;;,q

setzen wir ferner 11 (0, 0) = 0, so stellt 11 eine eineindeutige Abbildung zwischen Wund [W, WJ her, ferner für jede beliebige eigentliche y-Zahl wJ. eine solche zwischen W(wÄ) und [W(wÄ), W(wJ.)].

c) Es sei ..1 ;;;; w, und die Normalform von ..1 sei ..1 =}; wJ.ö .11 = wJ.o .10 + I'. Definieren wir für I < 10 und v < wJ. o i::;;;' n

{Q/o.lo+(WÄO.I+V) für wÄo.I+v<l'

(j)(lo·v+l)= _l'+(wÄo.l+v) für wÄo.I+v;;;;l',

§ 24. Die Mächtigkeiten beliebiger Mengen und ihre Arithmetik. 105

so stellt (p eine eineindeutige Abbildung zwischen W(A) und W(lOÄ.) her. Durch die Funktion

f(rt., ß) = (P (fl «P-l (rt.) , (P-l(ß»)

wird eine eineindeutige Abbildung zwischen W(A) und [W(A), W(A)] hergestellt.

IV. Arithmetik der Mächtigkeiten und Kardinalzahlen ohne Auswahlaxiom.

§ 24. Die Mächtigkeiten beliebiger Mengen und ihre Arithmetik ohne Auswahlaxiom.

1. Gesetze über die Äquivalenz von Mengen. Wir verlassen nun die ordinale Theorie und gehen zur kardinalen über. Auf Grund des Axioms der Mächtigkeiten (§ 3) kann man eine Arithmetik der Mächtigkeiten aufstellen; für die Definitionen und die Gesetze ihrer Operationen sind die folgenden Gesetze über die Äquivalenz von Mengen grundlegend:

Eine Menge X sei vorgelegt, und jedem Element x E X seien zwei Mengen Mx und N x zugeordnet mit der Eigenschaft Mx - N x für alle XE X. Die Voraussetzung besagt also, daß zu jedem x E X die Klasse K x der eineindeutigen Abbildungen $x zwischen Mx und N x nicht-leer ist. Existiert eine Auswahlfunktion, die jedem x E X eindeutig eine solche Abbildung$x zwischen Mx undNx zuordnet, so kann man leicht beweisen, daß gilt:

m Mx - ffi N x, wenn die Mx und die Nxje paarweise disjunkt sind, (1) x.X xeX

~ Mx,....,~ N x in jedem Fall. (2) x.X x.X

Bemerkung: Die Existenz einer solchen Auswahlfunktion folgt aus dem Auswahlaxiom (§ 2). Setzt man dieses nicht voraus, so kann man (1) und (2) nur für endlichel Mengen X beweisen, oder wenn man eine Auswahlfunktion effektiv bilden kann.

Für die Vereinigungs-, Durchschnitts- und Produktbildung von Mengen gilt das kommutative und assoziative Gesetz, ferner gelten zwischen diesen Operationen verschiedene distributive Gesetze, so daß eine Algebra der Mengen aufgestellt werden kann [12]. Wir erwähnen hier nur diejenigen Gesetze der Mengenalgebra, die wir in der Theorie der Mächtigkeiten verwenden müssen:

Die Menge X sei selbst Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen X a (jedem Element a einer gegebenen Menge A sei eine Menge X a

zugeordnet, wobei die X a paarweise disjunkt sind und X = ffi X a ist). aeA

1 Definition der endlichen und unendlichen Menge siehe § 30.

106 IV. Arithmetik der Mächtigkeiten und Kardinalzahlen ohne Auswahlaxiom.

Dann gelten die assoziativen Gesetze:

~Mx= ~ (~Mx), xeX aeA XEXa

'J) Mx"'" 'J) ( 'J) Mx). xeX aEA xeXa

Sodann gilt das distributive Gesetz: Sind die Mx paarweise disjunkt, so gilt

'J) ( ~ Mx) = Q5 ( 'J) Mj<a») , wobei F = 'J) X a . (5) aeA xeXa je F a eA aEA

Spezialfälle davon sind

M x ~ Mx = ~ (M x Mx) , (6) XEX XEX

~ M~ = M x X, wobei M~ = M x {x} . XEX

Ferner gelten die Potenzgesetze:

( \l3 Mx) N XE x ,..., 'J) (NMx),

XEX

(MA)B,..., MA xB,

( 'J) Mx)N,..., 'J) (Mg) . xeX XEX

(8)

(9) (10)

Zum Beispiel sei der Beweis von (5) angeführt: Ist IJ? ein Element der linken Seite von (5), so ist IJ? eine Funktion, die jedem a E A ein Element lJ?(a) E ~Mx zuordnet; somit gibt es gen au ein Element f(a) E X a, so daß

xeXa IJ? (a) E Mf(a); IJ? ist also eine Funktion, die jedem a E A ein Element <p(a) E Mf(a) zuordnet, d.h.1J? ist ein Element der rechten Seite von (5). Ist umgekehrt IJ? ein Element der rechten Seite, so ist IJ? eine Funktion, die jedem a E A ein Element IJ? (a) E Mf(a) zuordnet, wobei fE F, also j (a) E X a für a E A, also IJ? (a) E ~ Mx, d. h. IJ? ist ein Element der linken Seite. XEXa

2. Arithmetische Operationen mit endlich vielen Mächtigkeiten. Es sei eine Funktion mit der Argumentmenge X gegeben, die jedem Element x E X eindeutig eine Mächtigkeit mx zuordnet. Um eine Summe oder ein Produkt aller mx (mit x E X) zu definieren, benötigt man eine

Auswahlfunktion, die jedem x E X eine Menge Mx mit Mx = mx zuordnet. Da durch die Mächtigkeiten rnx aber nur die Klassen K x , wobei K x

aus den Mengen mit der Mächtigkeit rnx besteht, gegeben sind, braucht man also im allgemeinen Fall das Auswahlaxiom. Da wir dieses für unendliche l Mengen noch nicht voraussetzen wollen, können wir vorderhand die arithmetischen Operationen nur für endlich viele Mächtigkeiten definieren. X sei also eine endliche l Menge.

1 Definition der endlichen und unendlichen Menge siehe § 30.

§ 24. Die Mächtigkeiten beliebiger Mengen und ihre Arithmetik. 107

Wir ordnen nun jedem x € X eine Menge M" mit M" = m" zu. Man kann diese M" als paarweise disjunkte Mengen voraussetzen; denn sind sie es nicht, so ersetze man für jedes x € X die Menge M" durch die Menge M~ der geordneten Paare (x, a.Lmit a € Mx. Die neuen Mengen M~ sind paarweise disjunkt, und es ist M~ = mx .

Man definiert nun die Summe ~ mx als die Mächtigkeit von mM ", das xeX "eX

Produkt II m" als diejenige von ~M". Die so definierten Mächtigkeiten xeX xeX

sind wirklich nur von den Mächtigkeiten m", und nicht von der speziellen Wahl der Mengen Mx abhängig: denn sind N x weitere Mengen mit

N x = mx' so ist N x '"""' Mx für x € X, also ist nach (1) und (2)

US M,,= US N x und ~Mx=~Nx. xeX xeX xeX xeX

Wir betrachten nun nur noch Operationen mit zwei Mächtigkeiten; die Verallgemeinerung auf endlich viele liegt ja auf der Hand. Es seien m, n, !:....-drei Mä.-:.htigkei.!.en und M, N, P drei paarweise disjunkte Mengen mit M = m, IV = n, P = p. Die Summe von mund n, die man mit m + n bezeichnet, ist somit m + n = M + N; das Produkt von mund n wird mit m· n bezeichnet, und es ist m· n = M x N = [M, N]. Nach den Gesetzen der Mengenalgebra gelten folgende Gesetze:

m + n = n + m (kommutatives Gesetz der Addition), m . n = n· m (kommutatives Gesetz der Multiplikation), (m + n) + p = m + (n + p) (assoziatives Gesetz der Addition), (m. n) . p = m· (n. p) (assoziatives Gesetz der Multiplikation).

Die Arithmetik der Mächtigkeiten ist also grundverschieden von derjenigen der Ordnungszahlen. - Wir brauchen nun solche spezielle Mächtigkeiten, die wir erst in § 27 systematisch betrachten: Wir führen die Bezeichnung W (n) = n für n < wein und nennen diese Mächtigkeiten die endlichen Mächtigkeiten; dabei kann keine Verwechslung der Mächtigkeit n mit der Ordnungszahl n eintreten. Es wird m + 0 = m, m . 0 = 0

und m· 1 = m für jede Mächtigkeit m. Eine Mächtigkeit, die nicht endlich is( heißt unendlich.

Satz. Ist Q eine Menge mit Q = m· n, so gibt es eine Menge der Mächtigkeit n von paarweise disjunkten Mengen je von der Mächtigkeit m, deren Vereinigung Q ist.

Beweis: Es seien M,N Mengen mit den Mächtigkeiten m bzw. n; für x €N sei M" ~e Menge aller geordneten Paare (x, m) mit m €M. Nun

folgt nach (7) Q = US Mx. Da also eine eineindeutige Abbildung zwischen xeN

Q und m Mx existiert, wird Q in paarweise disjunkte Mengen der MächtigxeN

keit m zerlegt.

Bemerkung: Die Umkehrung des Satzes, nämlich, daß die Mächtigkeit der Vereinigung einer Menge von der Mächtigkeit n von paarweise disj unkten Mengen von jeder Mächtigkeit m gleich m· n ist. kann nur mittels des Auswahlaxioms bewiesen werden; ohne Auswahlaxiom kann diese Umkehrung nur für den Fall der Vereinigung endlich vieler Mengen bewiesen werden: Denn ist jedem Element x e N eine

Menge M" mit M" = M = m zugeordnet, wobei die M" paarweise disjunkt sind, so kann man m M" ,..., Mx N nur dann beweisen, wenn man

"aN eine Auswahlfunktion hat, die jedem x e N eine Abbildung zwischen M" und M ~ordnet. Im Falle einer endlichen Folge {Mo h < n von Mengen M~ mit Mo = m~ = m (wobei n<w) existiert eine solche Auswahlfunktion, und es wird 1: m~ = m • n.

«11 Unter der Potenz mn versteht man die Mächtigkeit von MN. Diese

ist ebenfalls nicht von der speziellen Wahl der Mengen Mund N abhängig. Auf Grund der Potenzgesetze (8), (9). (10) für Mengen gelten für die Mächtigkeiten ebenfalls die Potenzgesetze:

mn • mP = mn + P , mP • nP = (m· n)P,

Somit wird om = 0 für m '* 0, mO = 1, m1 = m, 1m = 1. Ist X eine Menge mit endlicher Mächtigkeit X = n, und ist m" = m für x e X, so ist llmz = mn•

ZEX

§ 25. Vergleichung von Mächtigkeiten.

1. Der Ä.quivalenzsatz. Für die Weiterentwicklung der kardinalen Theorie ist der folgende Satz über die Äquivalenz von Mengen von grundlegender Wichtigkeit:

Satz 1 (CANTOR-BERNSTEINscher Äquivalenzsatz) : Sind Mund N zwei Mengen mit der Eigenschaft, daß jede einer Teilmenge der andern äquivalent ist, so sind sie einander äquivalent [3, 4, 7].

Beweis: Nach Voraussetzung gibt es TeilmengenM' cM und N' cN mit M,..., N', N,..., M'. Also existiert eine eineindeutige Abbildnung (ji zwischen M und einer Teilmenge M" c M', die jedem Element a e Mein Element (ji(a) e M" zuordnet. Es sei R = M - M'. Nun sei S der Durchschnitt aller Mengen K mit den Eigenschaften:

l.aeR~(ji(a)eK.

2. a eK ~ (ji(a) e K.

§ 25. Vergleichung von Mächtigkeiten. 1°9

Also ist offensichtlich 5 c M", und es sei T = M' - 5, also M = R + 5 + T, wobei R, 5, T paarweise disjunkt sind. Vermöge (/J

ist R + 5 ,..., 5, also R + 5 + T ,..., 5 + T, also M ,..., M' ,..., NI.

Def.1. Sind m uEd n zwei Mächtigkeiten, und Mund N zwei Mengen mit M = m, IV = n, so setzt man

m< n (m "kleiner" als n) oder n > m (n "größer" als m),

wenn Meiner Teilmenge von N, aber nicht mit N selbst äquivalent ist. Diese Definition ist nicht von der speziellen Wahl der Mengen Mund

N abhängig; denn sind MI und NI zwei weitere Mengen mit MI ,..., M, NI"'" N, so gilt die obige Bedingung dann und nur dann, wenn auch MI ·einer Teilmenge von NI> aber nicht mit NI selbst äquivalent ist.

Es gibt nun folgende vier einahder ausschließende Möglichkeiten:

1. Es gibt eine Teilmenge von M, die mit N, und eine Teilmenge von N, die mit M äquivalent ist (also ist nach Satz 1 m = n).

2. Es gibt eine Teilmenge von M, die mit N, aber keine Teilmenge von N, die mit M äquivalent ist (also m > n).

3. Es gibt eine Teilmenge von N, die mit M, aber keine Teilmenge von M, die mit N äquivalent ist (also m< n).

4. Es gibt keine Teilmenge von M, die mit N, und keine Teilmenge von N, die mit M äquivalent ist.

Tritt eine der drei Relationen m ~ n auf, so nennt man die Mächtigkeiten mund n vergleichl;ar, im Fall 4 nennt man sie unvergleichbar (m 11 n). Aus dem Auswahlaxiom folgt, daß der Fa114 gar nicht auftritt, d.h. daß zwei beliebige Mächtigkeiten vergleichbar sind (das sog. Gesetz .der Trichotomie tür die Mächtigkeiten, vgl. § 31). Da wir das Auswahlaxiom noch nicht zugrunde legen, müssen wir die Möglichkeit der Existenz unvergleichbarer Mächtigkeiten offenlassen, so daß die Klasse aller Mächtigkeiten durch die Relation < vorderhand nur teilweise geordnet ist.

Nach den obigen Ausführungen bedeutet M ~ IV (oder N;;;;; M), daß M mit einer Teilmenge von N äquivalent ist; für m ~ n ist notwendig und hinreichend, daß eine Mächtigkeit ;r existiert mit m + ;r = n; ferner bedeutet M non ~ N (oder N non;;;;; M)2, daß M mit keiner Teilmenge von N äquivalent ist.

Def.2. Sind Mund N zwei Mengen mit M = m und IV = n, so setzt man m ~ * n, wenn entweder m = 0, oder wenn eine Funktion mit

1 Es gibt auch einen Beweis von Satz 1, der eine effektive Konstruktion einer .Abbildung zwischen Mund N (aus den Abbildungen M,..., N' und N,..., M') gibt [9].

B Vgl. die Fußnote auf S. 5.

der Argumentmenge N und der Wertmenge M existiert (d.h. also, wenn MN =1= 0).

Bemerkungen: 1. Aus m;;:;;; * n folgt zm;;:;;; zn; denn die Existenz einer Funktion aus MN induziert eine eineindeutige Abbildung der Potenzmenge von M auf eine Teilmenge der Potenzmenge von N (vgl. zudem § z6, Satz 1).

z. Aus m ~ n folgt m;;:;;; * n; zum Beweis der Umkehrung bedarf man des Auswahlaxioms.

2. Vergleichbare Mächtigkeiten. In gewissen Fällen lassen sich Mächtigkeiten vergleichen, ohne daß man dazu das Auswahlaxiom heranziehen muß. Dabei ergeben sich folgende Ungleichungen zwischen Mächtigkeiten:

Zunächst folgt aus mj ;;:;;; mund nl ;;:;;; nimmer ml + n1 ;;:;;; m + n, m1 • n1 ;;:;;; m . n und m1"' ;;:;;; m"; ferner ist m ~ 0 für jede Mächtigkeit m.

Satz z. Gilt tür zwei Mächtigkeiten mund n m + n = m· n, so sind sie vergleichbar.

Beweis [z]: Es gibt zwei disjunkte Mengen M, N mit M = mund

N = n. Nach Voraussetzung gibt es eine eineindeutige Abbildung ifJ zwischen M + N und [M, N]. Es sei A die Teilmenge von [M, N], die vermöge</J auf M abgebildet wird, B die Teilmenge, die auf N abgebildet wird; somit ist [M, N] = A + B, A,...., M, B ,...., N. Gibt es ein Element m' E M, so daß alle Paare (m', n) mit nE N zu A gehören, so bilden diese Paare eine mit N äquivalente Teilmenge von A, also ist m ~ n. Gibt es kein solches m' E M, so gibt es zu jedem m' E M ein Paar (m', n) E B; B enthält also eine mit M äquivalente Teilmenge, also ist m ;;:;;; n.

Satz 3. Für beliebige Mächtigkeiten m, n mit m ~ z, n ~ z (d.h. solche, die Mächtigkeiten von Mengen sind, die mindestens zwei Elemente enthalten) gilt m + n;;:;;; m . n.

Beweis: Es seien Mund N zwei disjunkte Mengen mit M = m,

N = n. Nach Voraussetzung existieren zwei verschiedene Elemente m o, m 1 in M und zwei verschiedene no, n 1 in N. P sei die Menge der geordneten Paare (mo, n) mit n E N; also ist P ,...., N. Q sei die Menge, die die Paare (m, no) mit m E Mund m =1= mo, ferner das Paar (mI' n1) enthält; also ist Q ,...., M. P und Q sind disjunkt, ferner ist P + Q eine Teilmenge von [M, N], die mit M + N äquivalent ist.

Sa tz 4. Ist 0< m;;:;;; n, so kann jede Menge der Mächtigkeit n in eine Menge der Mächtigkeit m von nicht-leeren, paarweise disjunkten Mengen zerlegt werden.

Beweis: EsseiM cN und M = m,.LV = n, fernerm E 111. Wir ordnen jedem Element x E M eine Menge N x zu: Ist x E M und x =1= m, so sei

§ 25. Vergleichung von Mächtigkeiten. 111

N" = {x}; ferner sei N m = (N - M) + {m}. Die Mengen N" sind paarweise disjunkt, und es ist 93 N" = N.

x€M Bemerkung: Die Umkehrung (nämlich der Satz: Wenn jedem Ele-

ment x einer Menge M eine nicht-leere Menge N" zugeordnet ist, wobei

die N" paarweise disjunkt sind, so gilt 93 N x ~ M; oder: wenn man eine x€M

Menge N in nicht-leere, paarweise disjunkte Teilmengen N" zerlegt, so

gilt für die Mächtigkeit m der Menge dieser Teilmengen m ~ N) kann ohne Auswahlaxiom nur im Fall endlich vieler Teilmengen N" oder bei wohlgeordneter Menge N bewiesen werden, nicht aber allgemein (dies wurde schon 190Z von LEVI [5] bemerkt); um eine mit M äquivalente Teilmenge von N zu finden, müßte man nämlich aus jeder Teilmenge N" ein Element auswählen). - Dagegen kann ohne Auswahlaxiom bewiesen werden, daß m< zN: Es ist N = 93 N x . Da Meiner Teilmenge der

"EM _

Potenzmenge von N äquivalent ist, ist m ~ zN (vgl. § z6, Satz 1). Wir ordnen jeder Teilmenge X c M die Teilmenge 93 N" c N zu; für verschie-

"EX _

dene X sind diese_zugeordneten Mengen verschieden; also ist zm ~ ZN.

Wäre nun m = zN, so wäre zm ~ m, was unmöglich ist (§ z6). Also

ist m< zN.

3. Anhang: Weitere Sätze der Arithmetik der Mächtigkeiten ohne Auswahlaxiom. Ohne Auswahlaxiom lassen sich zahlreiche weitere Sätze über Gleichungen und Ungleichungen zwischen Mächtigkeiten beweisen; ihre Beweise sind aber meist sehr kompliziert [6, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 19J· Wir zitieren einige davon ohne Beweise:

1. Ist k eine endliche Mächtigkeit =!= 0, so gilt m = n ~ k . m = k . n und m < n~k· m < k· n1 .

2. Ist k eine endliche Mächtigkeit =!= 0, so gilt m + P = m + q ~ k . m + P = k . m + q und m + P < m + q ~ k . m + P < k . m + q.

3· m + P ~ m + q, m~ P, m ~ q -+ P = q. 4. m + P ~ m + q, m·~ q -+ P ~ q. 5.m+p~m+q, q~m-+p~m.

6. Sind kund 1 zwei teilerfremde endliche Mächtigkeiten, so folgt aus k . m = 1 . n die Existenz einer Mächtigkeit p mit m = 1 . P und n = k • p.

7. Ist m + p = m + q, so gibt es Mächtigkeiten n, Pv q1 mit p = n + PI. q = n + ql' m + Pl = m + ql = m (Lemma von LINDENBAUM-TARSKI). -

Ist m + P ~ m + q, so gibt es Mächtigkeiten Pl' P2 mit P = Pl + P2' Pl ~ q m + P2 = m.

8. Ist m + P = m + q, so gibt es eine Mächtigkeit m' mit m' + P = m' + q und m = m' + m. - Ist m + P ~ m + q, so gibt es eine Mächtigkeit m' mit m' + P ~ m' + q und m = m' + m. -

Mit Hilfe des eingeschränkten Auswahlaxioms (§ 2) können Summen von Folgen {m$I,;<lO vom Typ ()) von Mächtigkeiten definiert und die folgen-

1 Aus dem Auswahlaxiom folgt k • m = m für unendliche Mächtigkeiten m.

den, für den Aufbau einer Algebra der Mächtigkeiten wichtigen Gesetze bewiesen werden:

Satz über unendliche Summen von Mächtigkeiten: .E m~ ~ n für jedes n < (J) -+ .E m. ~ n. < < n

.<w Absorptionstheorem : .E m. + n = n +-+ m. + n = n für alle ~ < (J) •

• <w

§ 26. Die Potenzmenge einer beliebigen Menge.

1. Über Teilmengen der Potenzmenge und den Satz von CANTOR. Das wichtigste Beispiel vergleichbarer Mächtigkeiten ist dasjenige der Mächtigkeiten einer Menge und ihrer Potenzmenge. Zunächst haben wir:

S atz 1. Die Potenzmenge einer Menge M mit M = m hat die M ächtigkeit 2m.

Beweis: Ordnet man jeder Teilmenge X cM diejenige Funktion! FE W(2)M zu, für die F(x) = 1 für x E X und F(x) = 0 für XE M - X, so erhält man eine eineindeutige Abbildung zwischen W(2)M und der Potenzmenge von M.

Die nächsten beiden (wichtigen) Sätze beziehen sich nur auf gewisse Teilmengen der Potenzmenge. Dabei bedeute M eine beliebige Menge und 5 eine Menge von Teilmengen X c M mit der Eigenschaft: X E 5, Y cX -+ Y E 5. Dann gilt [18]:

Satz 2. Für die Existenz einer Teilmenge Ne M mit N non E 5, die wohlgeordnet werden kann, ist notwendig und hinreichend, daß eine Funktion g existiert, die jedem X E 5 eindeutig ein Element g (X) E M - X zuordnet.

Beweis: a) Es existiere eine solche Funktion g. Nun seiD der Durchschnitt aller Mengen K mit den Eigenschaften

1. XEK5--+X + {g(X)} EK,

2. K} c K --+ ffi Y EK; Y€K,

ferner sei N = ffiX. Setzt man für zwei Elemente x und y von N x -eS Y X€D

dann und nur dann, wenn eine Menge X E D existiert, so daß x E X, aber y non E X, so kann leicht gezeigt werden, daß N durch die Beziehung -eS wohlgeordnet wird, und daß N non E 5.

b) Existiert eine Teilmenge Ne M mit N non E 5, die wohlgeordnet werden kann, so erhält man eine Funktion g mit den Bedingungen von Satz 2, wenn man für g (X) das erste Element von N - X in dieser Wohlordnung von N setzt (für X E 5).

10ft die "charakteristische Funktion von X" genannt.

§ 26. Die Potenzmenge einer beliebigen Menge. 113

Satz 3. Ist S ~ M, so existiert eine Teilmenge N cM mitN non e S, die wohlgeordnet werden kann.

Beweis: Nach Voraussetzung existiert eine Funktion I, die S eineindeutig auf eine Teilmenge M' c M abbildet, so daß jedem Xe Sein Bildelement I (X) e M' zugeordnet wird. Für jedes X e S sei nun X' die Menge der Elemente xe XM', für die x non e 1-1 (x), und es sei g(X) = I (X'). Die Funktion g hat die Eigenschaften von Satz 2; also läßt sich Satz 2

anwenden.

Als einfache Folgerungen ergeben sich nun die beiden Sätze:

Satz 4. Ist M eine beliebige Menge und P die Menge aller Teilmengen X cM, die wohlgeordnet werden können, so ist M < P.

Beweis: Es ist M ~ P, denn die mit M äquivalente Menge aller TeilmengenXcMmitX = 1 ist eine Teilmenge von P. WäreP=M, so gäbe es nach Satz 3 eine Teilmenge Ne M mit N non e P, die wohlgeordnet werden kann; Widerspruch.

Satz 5. Jede Menge hat eine kleinere Mächtigkeit als ihre Potenzmenge; d.h. lür jede Mächtigkeit m gilt m< 2m.

Beweis aus Satz 1 und 4.

Folgerung: Zu jeder Menge gibt es also eine Menge von größerer Mächtigkeit ("Satz von CANTOR"). Die Klasse aller Mengen und die Klasse aller Mächtigkeiten sind somit keine Mengen, da sonst die CANToRsche Antinomie folgen würde (vgl. § 1)1.

2. Eine transfinite Folge von Mächtigkeiten.

Satz 6. Ist {M'}'<A eine Folge von Limeszahltyp Ä von Mengen derart, daß lür ihre Mächtigkeiten m. = M. die Ungleichungen m. < mHI lür alle ~ < Ä erlüllt sind, so hat m M. eine größere Mächtigkeit als jedes beliebige M. mit~ < Ä. .d

Beweis: Setzen wir m M. = M, so ist m. ~ M für jedes ~ < Ä, weil .<.1.

M. c M. Annahme: Es existiere eine Ordnungszahl ~ < Ä, so daß M einer Teilmenge von M. äquivalent ist. Also wäre M. +1 als Teilmenge von M auch einer Teilmenge von M. äquivalent, was aber der Voraussetzung m. < m" +1 widerspricht.

Folgerung: Man kann eine transfinite Skala von Mächtigkeiten m. aufstellen: Es sei Mo = 0, M'+1 die Potenzmenge von M.; ist Ä eine Limeszahl, so sei M A = m Mt;. Durch transfinite Rekursion wird somit

'<A jeder Ordnungszahl ~ eine Menge MI; und eine Mächtigkeit ml; = Mt;

1 Im FINSLERschen System gilt der Satz von CANTOR nicht für alle Mengen.

Ergebn. d. Mathem. N. F. H. I, Baehmann. 8

zugeordnet. Es ist t1t« < t1tß für LX< ß, ferner t1t«+l = 2 m« für jede Ordnungszahl LX. Jede Menge MI; ist transitiv (wie man mit transfiniter Induktion nach g zeigen kann).

Bemerkung: Setzen wir II = m MI;, so gilt: I;€W

a) Jede nicht-leere Klasse von Mengen aus II ist fundiert (vgl. § 4); damit ist auch jede nicht-leere Menge aus II fundiert: Ist K =1= 0 eine Teilklasse von II, so sei f1, die kleinste Ordnungszahl mit A E: MI' für ein A E: K. f1, ist von 1. Art. Es sei BE: K mit BE: MI" 'Väre C gemeinsames Element von B und K, so wäre CE: M,._l wegen Be M,._l, Widerspruch.

b) Setzt man voraus, daß das sog. "Fundierungsaxiom" (Restrictive Axiom), nach dem Jede nicht-leere Klasse von 1\/[engen fundiert sein soll [lJ, gilt, so sind die Mengen, die in II enthalten sind, alle Mengen (von Mengen): Es sei K die Klasse der Mengen, die nicht in II liegen. Annahme: K =1= o. Da jede Menge von Mengen aus II eine Menge aus II ist, hat jedes Element ME: K ein Element A E: M mit A non E: II, also ist A E: K. Das ist ein Widerspruch zum Fundierungsaxiom. Also ist K = 0, d. h. es gibt keine Mengen von Mengen außer den Mengen der Klasse II. - Aus dem Fundierungsaxiom folgt ferner: Jede Klasse, die keine Menge ist (z.B. auch IV) ist mit der Klasse aller Mengen äquivalent [1 J.

3. Potenz menge und Paarmenge [13].

Satz 7. Für jede Mächtigkeit t1t ~ 5 gilt 2m non ~ m2•

Beweis: M sei eine Menge von mindestens 5 Elementen. Annahme: Es gibt eine eineindeutige Abbildung F der Potenzmenge von M auf eine Teilmenge der Paarmenge [M, M]. Wir definieren eine Abbildung G, die jeder Folge N vom Typ A ~ 5 von verschiedenen Elementen aus 111 (deren Wertmenge mit N' bezeichnet werde) eindeutig ein Element G (N) E M - N' zuordnet: P sei die Potenzmenge von N'.

a) 5 ~ A < w: P läßt sich eindeutig wohlordnen. Wegen P > [N', N'] existiert das erste Element x E P mit F (x) non E [N', N']; es sei F (x) das Paar (a, b) E [M, M]. Ist a non E N', so sei G (N) = a, sonst G (N) = b.

b) A ~ w: DieAbbildungFinduziert eine eineindeutige AbbildungFp

von P auf eine Teilmenge von [M, M]. Wir definieren eine Abbildung H von [N', N'] auf eine Teilmenge von P: Es sei x E [N', N']; gibt es ein Y E P mit F p (y) = x, so sei H (x) = y; sonst sei H (x) = 0 (Nullmenge) . Nach § 23 läßt sich eine eineindeutige Abbildung K von N' auf [N', N'] effektiv konstruieren. Die Zusammensetzung der Abbildungen Hund K liefert eine Abbildung L von N' auf einen Teil von P. - Nun sei T die Menge der Elemente a E N' mit a non E L (a). Es ist T =l= L (b) für bE N' (denn sonst führt bE T sowie b non E T auf einen Widerspruch); also ist T =l= H(x) für x E [N', N']; setzen wir Fp(T) = (a, b), so ist also (a, b) non E [N', N'], weil sonst H (Fp(T)) = T wäre. Ist a non E N', so setzen wir G(N) = a, sonst G(N) = b.

Wir definieren nun für jede Ordnungszahl g ~ 5 eine Folge NI; (mit Wertmenge N~) vom Typ g von Elementen aus M: Es sei N 5 eine

§ 27. Die Kardinalzahlen und die kardinalen Anfangszahlen. 115

durch Herausheben von 5 Elementen aus M gebildete Folge; N~ +1 sei die aus N~ durch Anhängen von G (N~) erhaltene Folge; ist ~ eine Limes-

zahl, so sei N~ = ffi N~. Also ist [;;:;: M für jede Ordnungzahl ;, im ~<~

Widerspruch zum Satz von HARTOGS (§ 30).

Folgerungen: 1. m -l- 1< 2m für m;;:;; 2. - Beweis: Es ist m + 1;;:;: m2

und m + 1 ;;:;: 2m; wäre 111 + 1 = 2 m, so wäre 2m ;;:;: m2, Widerspruch (für 111 ;;:;; 5).

2. Ist k eine endliche Mächtigkeit und m eine beliebige unendliche M ächtigkeit, so ist k· m< 2m. - Beweis: Es ist k < m (§ 30), also k . m;;:;: m2,

k . m ;;:;: 2m; aus k . m = 2m würde 2 m ;;:;: m2 folgen, Widerspruch.

§ 27. Die Kardinalzahlen und die kardinalen Anfangszahlen.

1. Die Kardinalzahlen und die Alephs. Ist c.: eine Ordnungszahl, so

haben alle wohlgeordneten Mengen M mit M = c.: dieselbe Mächtigkeit,

die wir mit (X bezeichnen; es ist somit (i = W (c.:). Durchläuft c.: alle Ordnungszahlen, so durchläuft (i genau die Mächtigkeiten aller wohl-

geordneten Mengen, d. h. alle Kardinalzahlen. Es gilt: c.: < ß -+ (i ;;:;: ß, (i < ß -+ c.: < ß.

Für beliebige endliche Folgen {(X~}~ < n von Ordnungszahlen (wobei also n < w) gelten die Gesetze:

IlIX~ = n IX~ . «n ~<n

Diese können ohne Auswahlaxiom bewiesen werden; das zweite gilt deshalb, weil II c.:$ für n < w der Ordnungstypus der gesamten in einer

~<n , bestimmten Weise wohlgeordneten Produktmenge ')) W (IX~) ist!.

~<n

Die Kardinalzahlen bilden deshalb eine so wichtige Klasse von Mäch-tigkeiten, weil für sie das Gesetz der Trichotomie gilt und die Klasse der Kardinalzahlen der Größe nach wohlgeordnet ist (beides folgt unmittelbar daraus, daß es für die Ordnungszahlen gilt).

Die Kardinalzahlen ~ mit c.: < w nennt man endliche Kardinalzahlen; die Kardinalzahlen ~ mit IX ;;:;; w heißen transfinite Kardinalzahlen oder Alephs2• Die Klasse der Alephs läßt sich eineindeutig auf Wabbilden, so

1 Aus dem zweiten Gesetz folgt oe'" = {alm für m< w (aber nur oe ß ;;:;: (ä)ß für

beliebige Ordnungszahlen oe, ß); nach § 28 ist also oe m = ä für oe ;;:;; wund m< w. Es gilt aber auch oe W = iX für oe ~; w; denn ist e die kleinste e-Zahl > oe, so ist e > oe w, d.h. die Ordnungszahlen; mit oe< !;;;:;: oe W sind keine kardinalen Anfangszahlen (vgl. weiter unten in diesem Paragraphen).

2 Weil sie (wie wir sogleich sehen) mit dem ersten Buchstaben i)t (Aleph) des hebräischen Alphabeths bezeichnet werden.

daß jeder Ordnungszahl~ ein Aleph ~< zugeordnet ist: Man setzt ~o = co; ist ~ > 0 und {~'1}'1<' eine wachsende F~ge von Alephs, so sei ~. = ß, wobei ß die kleinste Ordnungszahl mit ß > ~'1 für alle '1 <; ist (diese Zahl ß existiert für jedes ~ > 0 1). Es ist ~'" < ~p für (1 < ß.

Die Kardinalzahl ~'" folgt unmittelbar auf alle ~p mit ß < (1, speziell folgt ~"'H unmittelbar auf ~"" d.h. zwischen ~'" und ~"'+1 liegt keine weitere Mächtigkeit (d. h. es gibt keine Mächtigkeih mit ~IZ <.r < ~'" H). Ohne Auswahlaxiom folgt aber nicht, daß ~"'+1 die einzige auf ~'" unmittelbar folgende Mächtigkeit ist; denn es besteht ja die Möglichkeit, daß eine weitere (mit ~"'H unvergleichbare) Mächtigkeit m > ~",existieren könnte mit der Eigenschaft, daß es keine MächtigkeIt.r mit ~'" < .r < m gibt. Dies wird erst durch das Auswahlaxiom ausgeschlossen.

Die wichtigste Eigenschaft der Alephs ist, daß für jedes Aleph m gilt m = m . 2 = m2 (siehe § 28, Satz 1), woraus für jede endliche Kardinalzahl k =1= 0 folgt m = m . k = m".

2. Die kardinalen Anfangszahlen und Zahlklassen. Die endlichen Ordnungszahlen, die die erste ordinale Zahlklasse bilden, werden auch zur ersten kardinalen Zahlklasse zusammengefaßt. Bezüglich ihrer Mächtigkeit haben sie folgende fundamentale Eigenschaft:

Satz 1. Sind mund n zwei verschiedene endliche Ordnungszahlen, so ist auch m =1= n.

Beweis [19]: Wir zeigen, daß für 1 ~ n < w W(n) auf kein W(m) mit m < neineindeutig abbildbar ist: Für n = 1 ist die Absurdität der Annahme der Existenz einer solchen Abbildung klar. Wir nehmen an, die Behauptung sei bewiesen für n ~ 1; sie soll daraus für n + 1 bewiesen werden: Würde eine eineindeutige Abbildung von W(n + 1) auf W(m) mit m ;;;;; n existieren, so wäre m ~ 1; die der Zahl m - 1 aus W(m) zugeordnete Zahl von W (n + 1) sei (/) (m - 1) = n; denn ist etwa (/) (m - 1) = n' =1= n, so hat n ein Urbild m' =1= m - 1 mit(/) (m') = n, und man kann eine andere Abbildung zwischen W (n + 1) und W (m) konstruieren, indem man (/) (m') = n' und (/) (m - 1) = n setzt und alle andern Zuordnungen unverändert läßt. Dadurch ist aber W (n) eineindeutig auf W (m - 1) abgebildet, was nach der Induktionsvoraussetzung unmöglich ist.

Wir machen deshalb keinen Unterschied in der Bezeichnungsweise der endlichen Ordnungs- und Kardinalzahlen, schreiben alsoW(n) = n = n für n < co (oder n < ~o).

Die transfiniten Ordnungszahlen teilt man dagegen so in Klassen (die wir kardinale Zahlklassen nennen) ein, indem man zwei Ordnungszahlen (1

1 Denn ist ~ von 1. Art, so folgt die Existenz von paus dem Satz von HARTOGS (§ 30); ist ~ eine Limeszahl, so ist p = lim (J)'1 (vgl. weiter unten in diesem Para-graphen). '1 <,

§ 27. Die Kardinalzahlen und die kardinalen Anfangszahlen. 117

und ß dann und nur dann in dieselbe Klasse legt, wenn (X = ß. Man bezeichnet die kleinste Ordnungszahl in der zum Aleph ~o gehörigen Klasse mit w$; jedem g E W ist somit ein w; zugeordnet. Wir nennen die Wo die kardinalenAn/angszahlen. Es ist Wo =w. Im Gegensatz zu den endlichen

Ordnungszahlen gilt für die transfiniten Ordnungszahlen CI stets (i = CI + 1

(wegen CI = 1 + CI); mit CI ~ W ist also auch CI + 1 in derselben kardinalen Zahlklasse wie CI. Jede kardinale Anfangszahl ist also eine Limeszahl. Es gilt 'YJ < w< -+ ~ < Wo = ~;, aber nur 'YJ > Wo -+~ ~ ~<. Die kardinale Zahlklasse der Zahlen 'YJ mit ~ = ~e ist die Klasse der 'YJ mit Wo ~ 'YJ < w< +1; die zu ~o gehörige Zahlklasse heißt die zweite, die zu ~1 gehörige die dritte kardinale Zahlklasse usw.

Satz 2. Die kardinalen An/angszahlen bilden eine Normal/unktion.

Be w eis: Ist A eine Limeszahl und CI < w)., so ist CI in einer kardinalen Zahlklasse, die einer Anfangszahl wTJ mit 'YJ < A entspricht; also ist CI< wTJ +1 • Somit ist WÄ = limwo•

o<Ä

Sa tz 3. Jede kardinale An/angszahl ist eine e-Zahl.

Beweis [5]: Annahme: w" sei die kleinste Anfangszahl, die keine e-Zahl ist. Da weine e-Zahl ist, folgt CI ~ 1. Ist a die größte Ordnungszahl

mit 2<1 ~ W", so ist 2" = w", und es gibt eine Anfangszahl wfJ mit ä = wfJ'

wobei ß < CI (weil W ~ a < w" wegen w" < 2"'~); also 2"'fJ = wfJ. Aus a = wfJ kann man leicht beweisen, daß 2<1 = 2wfJ ist; also folgt w" = wfJ, Widerspruch.

Folgerungen: 1. Die Menge der Zahlen CI mit (X = ~o hat den Ordnungstypus WH1' also die Mächtigkeit ~H1. - Beweis: Da die Zahlen w; nach Satz 3 auch y-Zahlen sind, ist - w; + we +1 = W; +1·

2. Nach § 11, Satz 4, folgt: Es gilt w" = ~ Wo +1 für jede Ordnungs;<"

zahl CI> 0 (d.h. also w" = ~ Wo für jede Limeszahl CI und w" = ~ w; für 0<" <:;;;"

jede Zahl CI von 1. Art) ; ferner w" = ~ w" , wenn {CI<h <). eine wachsende «Ä <

Folge vom Limeszahltyp A mit dem Limes CI ist.

Bemerkung: Die endlichen Ordnungszahlen und die kardinalen Anfangszahlen lassen sich auch unabhängig vom Begriff der Mächtigkeit einführen (indem man sie als die Ordnungszahlen f1 mit der Bedingung W (CI) non,...., W (f1) für CI< f1 definiert) und können deshalb als die durch das AxioN't der Kardinalzahlen (§ 3) postulierten Dinge verwendet werden (womit also dieses Axiom im Rahmen des ZERMELo-FRAENKELschen Systems er/üllbar ist).

3. Die Beziehungen zwischen den ordinalen und kardinalen Anfangszahlen.

S atz 4. Die bezüglich ~ normalen Ordnungszahlen (§ 6) sind genau die Zahlen;, für die es eine Menge X mit X ~ (i von Mengen M mit M < ~ gibt, deren Vereinigung W (;) ist.

Beweis: a) Annahme, es gäbe eine Ordnungszahl;, die bezüglich~ > 0

normal ist, wobei es aber keine Menge X mit X ~ (i von Mengen M mit M < ~ gibt, deren Vereinigung W (;) ist; ;0 sei die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft. Hat eine Zahl; diese Eigenschaft, so hat auch jede Zahln mit ij = ~ diese Eigenschaft; also ist;o eine kardinale Anfangszahl, also eine Limeszahl. Es gibt also eine wachsende Folge {n"},, < Ä vom LimeszahltypÄ. ~ ~ mit demLimes;o; also ist W (;0) = ~W (n,,) , Widerspruch.

v<Ä b) Existiert die kleinste ZahlA, die nicht bezüglich ~ normal ist, und

wäre W (A) = ~ Mx, wobei X ~ ;X und Mx < A für alle x e X, so sei xeX

~x = slip Mx, also (Xx < A. Dann wäre W (A) = ru W ((Xx), Da A regulär xeX

ist, wäre (im Fall ~ > 0) A = IXx für ein x EX, Widerspruch.

Folgerungen: 1. Jede ordinale Anfangszahl Q. (§ 6) ist eine kardinale Anfangszahl; denn ist; von 1.Art, so folgt au.s Satz 4, daß Qt; die

kleinste Zahl ist, für die W(Q,,) = ru Mx mit X ~ Q"-l und Mx < QE xeX

für alle x e X nicht gilt, woraus folgt, daß Q" eine kardinale Anfangszahl ist; also sind alle Q, mit; von 1.Art, und somit überhaupt alle Q" kardinale Anfangszahlen.

2. Wir setzen deshalb Q" = W!Ii(O' wobei dann ifJ (;) eine ganz bestimmte Normalfunktion ist, mit den Eigenschaften: ifJ(o) = 0, ~ ~ ifJ(~) ~ Qa. für jede Ordnungszahl~; ist ifJ (~+ 1) eine Limeszahl, so ist(/) (~+ 1) = Q(%+l (das letztere folgt daraus, daß dann Q", +1 = W!Ii('" + 1) regulär ist).

Bemerkung: Ohne Verwendung des Auswahlaxioms kann man über die Normalfunktion ifJ (;) keine weiteren Angaben machen (denn man kann die Existenz höherer als der zweiten ordinalen Zahlklasse nicht beweisen, wohl aber diejenige aller höheren kardinalen Zahlklassen). Aus dem Auswahlaxiom folgt, daß ifJ (;) = ; für jede Ordnungszahl ;. Daß man zum Beweis dieser Beziehung das Auswahlaxiom braucht, leuchtet ein; denn man müßte die Beziehung ifJ (; + 1) = ifJ (;) + 1 beweisen, d. h.

daß für alle bezüglich Q" normalen Zahlen ~ gilt ~ ~ ~<Ilm' Dazu würde man annehmen, dies gelte für alle Zahlen ß mit Q: ~ ß < ~, wobei ~ eine bestimmte bezüglich QE normale Zahl ist, und man müßte zeigen, daß die Behauptung auch für a: gilt. Nach Satz 4 ist W ((X) = ~ Mx, wobei

xeX X ~ ~!Ii<n und Mx< (i (also Mx ~ ~!Ii«») für alle xe X. Nun müßte

§ 28. Arithmetik der Kardinalzahlen ohne Auswahlaxiom. 119

man eine Auswahlfunktion haben, die jedem x E X eine Abbildung zwischen Mx und W ((Xx) zuordnet, wobei (Xx die kleinste Zahl (X mit (i = Mx

ist. Dann wäre nach § 28 (i = 1: Mx ~ ~~m = ~cpm' xeX

§ 28. Arithmetik der Kardinalzahlen ohne Auswahlaxiom.

1. Definition unendlicher Summen und Produkte von Kardinalzahlen. Ist eine Funktion mit der Argumentmenge X gegeben, die jedem Element x E X eine Kardinalzahl mx eindeutig zuordnet, so kann man

jedem x E X effektiv eine wohlgeordnete Menge A x mit A x = mx zuordnen, wobei die A x paarweise disjunkt sind, indem man nämlich A x als die Menge der geordneten Paare (x,~) mit ~ < (Xx definiert, wobei (Xx die kleinste Ordnungszahl (X mit (i = mx ist. Dadurch ist es möglich, auch unendliche Summen und Produkte von Kardinalzahlen zu definieren, ohne das Auswahlaxiom zu verwenden, indem man setzt

1: mx = 9J A x , n mx = 'J) A x • xeX xeX xeX xeX

Bemerkungen: 1. Es treten aber folgende Schwierigkeiten auf: Hat man eine weitere Funktion mit derselben Argumentmenge X, die jedem x E X eine Menge A~ mit A~ = A x zuordnet, so kann man ohne Auswahlaxiom nicht beweisen, ob [5 A~ = }; mx und i}5 A~ = II mx, es sei denn, daß

xeX xeX xeX xeX wir eine Auswahlfunktion, die jedem x E X eine eineindeutige Abbildung f1)x

zwischen A x und A~ zuordnet, effektiv bilden können. Unsere Definitionen der unendlichen Summen und Produkte von Kardinalzahlen sind also von den speziellen Mengen A x abhängig.

2. Abgesehen von speziellen Fällen kann man ohne Auswahlaxiom nicht entscheiden, ob eine solche unendliche Summe oder ein unendliches Produkt wieder eine Kardinalzahl ist.

3. Jedoch kann man ohne Auswahlaxiom beweisen, daß ein solches Produkt dann und nur dann = 0 ist, wenn ein Faktor = 0 ist (denn man hat ja zu jedem x E X eine effektive Wohlordnung von A x ).

4. Ist eine weitere Funktion mit Argumentmenge A gegeben, die jedem Element a E A eine Menge X a zuordnet, so daß die X a paarweise disjunkt sind und X = [5 X a gilt, so 'kann man Summen von Summen, Produkte von

aeA Summen, usw., definieren, von der Form

1: ( n mx) aeA xeX. '

obschon die Glieder unter dem äußeren 1:- oder II-Symbol nicht notwendigerweise Kardinalzahlen sind: Im ersten Fall würde man z. B. so vorgehen: Ist }; mx eine Kardinalzahl m, so verwenden wir natürlicherweise wieder die

xeX. Menge Sa aller Paare (a, ~) mit ~ < a., wobei a. die kleinste Ordnungszahl mit ;X = m ist. Ist L mx keine Kardinalzahl, so setzen wir Sa = [5 A x.

xeX. xeX.

Sodann sei

~ (Imz) = IDSa aeA zeX,. lIeA

Analog müßte man in den andern drei Fällen verfahren. Trotzdem ist es aber nicht möglich, ohne Auswahlaxiom die allgemeinen

assoziativen und distributiven Gesetze (entsprechend den Formeln (1) bis (10) der Mengenalgebra von § 24) zu beweisen; denn will man z. B. die Gleichung

~mz=~( ~ mz) zeX aeA zeX,.

beweisen, so geht man so vor: Nach (3) ist ID A z = ID ( mAz). Umzu zeigen, zeX aeA zeX.

daßdieBehauptungrichtigist,mußmanzeigen,daß~(~ mz) = ID( ID A z). lIeA zeX,. lIeA zeX.

Dazu müßte man jedem a €A in effektiver Weise eine eineindeutige ~bbil-dung zwischen Sa und mAz zuordnen; in den Fällen, wo ~ mz = s;, eine

zeX,. zeX,. Kardinalzahl ist, kann man aber im allgemeinen keine solche Zuordnung definieren, obschon Sa'" mAz. . zeX.

5. Es ist jedoch leicht möglich, die beiden folgenden speziellen Gesetze zu beweisen: Ist mz = m für alle x € X, so ist

I mz = m . X und Ii mz = mX . z eX zeX

Ferner geIten die kommutativen Gesetze: Ist (m~}'<Ä eine Folge von Kardinalzahlen, und tf) eine eineindeutige Abbildung von W (,i) auf sich selbst, die jeder Ordnungszahl, < ,i eine Ordnungszahl qJ (,) < ,i zuordnet, so ist

~ m, = I m<p«j und ~<Ä '<Ä

2. Grundlegende .A.lephformeln. Ohne Auswahlaxiom lassen sich folgende grundlegenden Alephformeln beweisen:

Satz 1 (Hauptformel). Für iede Ordnungszahl (X ist ~! = ~".

Erster Beweis: Weil lO"+l eine e-Zahl ist, ist lO~ < lO"+l> also

Zweiter Beweis: Nach § 23 gibt es eine Funktion t(~, 'f}), die die Paarmenge [W (lO,,), W (ro,,) ] eineindeutig auf die Menge W (ro,,) abbildet, woraus Satz 1 folgt.

Als Folgerung ergibt sich ein Satz von HESSENBERG:

~" + ~il = ~" . ~il = ~max ("'P) •

der mit Hilfe von Satz 1 und des Äquivalenzsatzes (§ 25) bewiesen werden kann.

Satz 2 (BERNSTEINsche Formel).

tür

§ 28. Arithmetik der Kardinalzahlen ohne Auswahlaxiom. 121

Beweis (vgl. § 29): Für (X;;;; ß ist 2~ß > ~ß ~ ~~, also (2~ß)~ß = 2~{J

~ ~=ß ~ 2~{J, woraus Satz 2 folgt.

S atz 3. Für jede Ordnungszahl (X ist ~'" = 2: fi·

Beweis: Für 1;;;; fl < W", ist 1 ;;;; fi < ~"" also (vgl. § 29)

~,,= 2: 1;;;; 2: p,;;;; 2: ~,,= ~~ = ~" . p<m" p<m" p<m",

S atz 4. Ist {(X<} < < Ä eine wachsende Folge vom Limeszahltyp A mit dem Limes (x, so ist ~'" = 2: ~"<; für jede Ordnungszahl ß > 0 ist ~ß = 2: ~< + 1-

«Ä e<ß

Beweis aus W",= 2: w"'e und wß= 2) W e+l. «Ä «{J

Bemerkung: Wie für die Ordnungszahlen kann man auch für die Kardinalzahlen einen LimesbegritJ einführen: Ist {m< h < Ä eine Folge von Kardinalzahlen, wobei A eine Limeszahl ist, so schreiben wir m = lim m ..

«J. wenn es zu jeder Kardinalzahl n< m eine Ordnungszahl fl < A gibt, so daß n < me ;;;; m für alle ~ mit fl < ~ < A.

Ist (Xe die kleinste Ordnungszahl (X mit ;X = m<, so ist lim m< = lim (X<. «Ä «Ä

Ist die Folge {me}< < Ä von einer Stelle ab monoton, so existiert ihr Limes. Ist die Folge wachsend, so ist lim m< = 2: m<.

«,l «Ä

3. Vorläufige Bemerkung über die Beths. Die Potenzen m" (vgl. § 24), wobei mund n Kardinalzahlen sind, sind für endliche Kardinalzahlen n nicht interessant, weil dann für endliches m auch m" endlich ist, während für transfinites m = ~'" nach Satz 1 m" = m für 1 ~ n < ~o wird; ferner ist 1" = 1 für jede beliebige Mächtigkeit n.

Wir betrachten deshalb besonders die Potenzen m" mit m > 1 und transfiniten Exponenten n = ~ß. Wir nennen diese Mächtigkeiten die Beths1 ; diese sind auf Grund von Satz 2 einfach die Alephpotenzen ~=fJ. Ohne Auswahlaxiom kann man nicht beweisen, ob alle Beths auch wieder Alephs sind, oder ob man bei der Bildung der Beths den Bereich der Kardinalzahlen überschreitet. Dagegen ist umgekehrt sofort einzusehen, daß nicht jedes Aleph ein Beth ist. Die Beths ~=fJ zerfallen in zwei Klassen:

a) Einerseits haben wir die Potenzen ~=fJ mit (X > ß. Mit Hilfe des Auswahlaxioms läßt sich zeigen, daß dann ~~fJ die Mächtigkeit der Menge

- '" der Teilmengen M c W (w",) mit M = ~fJ ist (vgl. § 31). Über die Größe dieser Potenzen kann man ohne weitere Hilfsmittel nicht viel aussagen (vgl. § 36). Da ~: = ~'" für 1 ;;;; n < ~o, so taucht die Frage auf, ob für (X > 0 auch noch ~:o = ~'" ist, oder ob ~=o > ~'" ist. Ohne Auswahlaxiom

1 Diese Bezeichnung stammt von CHURCH [2]. Beth ist der zweite Buchstabe des hebräischen Alphabeths.

12Z IV. Arithmetik der Mächtigkeiten und Kardinalzahlen ohne Auswahlaxiom.

kann man nur beweisen, daß ~Ä < ~~o, wenn Ä eine mit w konfinale Limeszahl ist: Dann gibt es nämlich eine wachsende Folge {Ä .. } .. <w mit dem Limes Ä, so daß also nach Satz 4 ~Ä = :E ~Än; also ist nach § 29, Formel (5) ~Ä < ~~o. n<ru

b) Anderseits spielen auch die Potenzen ~=p mit (X ~ ß eine wichtige Rolle. Nach Satz 2 sind dies einfach die Potenzen der Form z/!.p. z/!.P ist die .Mächtigkeit der Potenzmenge von W(wp). Auch über die Größen dieser Beths können wir vorderhand nicht viel aussagen ohne weitere

Hypothesen (vgl. § 36). Wir wissen nur, daß z/!.P > ~P; aber z/!.P ~ ~P+l kann ohne Auswahlaxiom nicht abgeleitet werden, denn dazu müßte man eine Teilmenge der Mächtigkeit ~P + 1 effektiv aus der Potenzmenge von W (wp) herausgreifen können (dieses Problem ist bisher nicht einmal im Fall ß = 0 ohne Auswahlaxiom gelöst worden, vgl. § 37). Ohne Auswahlaxiom kann man aber beweisen, daß Z2/!.P > ~P+l (vgl. 30).

3. Vber die Definition von Summen von Beths. Nun seien jedem x E X zwei Kardinalzahlen mx und nx zugeordnet, und A x bzw. B x seien die zuge-hörigen Mengen mit A x = mx, B" = n". Nun lassen sich sogar unendliche Summen und Produkte von Beths, von der Form }; m~x und II m~", defi-

"eX ",eX nieren: Wir definieren für jedes x E X Mengen C" so: Ist m~'" eine Kardinalzahl p, so sei C" die Menge der Paare (x, f)) mit f) < y"" wobei y", die kleinste Ordnungszahl y mit;:; = p ist; ist m!x keine Kardinalzahl, so sei C", = A~x. Sodann sei

2: m~"'= ~ C"" n m~x= ~ C x . xeX "'eX ",eX xeX

Will man aber die allgemeinen Potenzregeln ableiten (gemäß den Formeln (8), (9) und (10) von § 24), so kommt man auf Schwierigkeiten: Will man z. B. die Gleichung

( }; "",) m ",eX = n m"x xeX

für Kardinalzahlen m beweisen, so müßte man so vorgehen: Nach Formel (8) von § 24 ist, wenn A = W (IX), wobei IX die kleinste Ordnungszahl mit ii = m

( m B x) ( z: nx ) ( m Bx) _ ist,A ",eX """'PABx,alsom xeX =A xeX = 'P AB",. Um zu be-

",eX xeX

weisen, daß ':P A E", = ,p C", = II m"x, müßte man ':P AB", eineindeutig auf ",eX ",eX xeX xeX

'P C", abbilden; das gelingt nur, wenn man eine Auswahlfunktion hat, die ...,eX

jedem x E X eine Abbildung zwischen A B", und C x zuordnet. Gibt es unendlich viele x E X, für die mn", eine Kardinalzahl ist, so steht uns eine solche Funktion aber nicht zur Verfügung.

Wir sehen somit, daß die Kardinalzahlenarithmetik ohne Auswahlaxiom nur ein Stückwerk ist.

§ 29. Ungleichungen für unendliche Summen u. Produkte v. Kardinalzahlen. 123

§ 29. Ungleichungen für unendliche Summen und Produkte von Kardinalzahlen.

1. Die einfachsten Ungleichungen. Es sei eine Menge X vorgelegt. und jedem Element x E X seien zwei Kardinalzahlen 111., und n., mit 111., ~ n., zugeordnet. Es sei im folgenden immer (x., die kleinste Ordnungszahl (X

mit iX = 111.,. ß., die kleinste Ordnungszahl ß mit ß = n." ferner A., die Menge der Paare (x.;) mit; < (x., und E., die Menge der Paare (x. '1) mit '1 < ß.,· - Dann lassen sich ohne Auswahlaxiom folgende Ungleichungen beweisen:

denn es gilt A., cE." also m A., c m E" und')) A" c ')) E". Ferner gelten "eX "eX "eX "eX

folgende Ungleichungen: Ist Y c X, so ist

E 111,,~ E 111,,; 1I 111,,~ II 111" (wenn alle 111,,>0). "eY "eX "eY "eX

Beweis: Die erste dieserbeiden UngleichungenfolgtausmA" c mA".-"eY "eX

Sind alle 111" > O. so läßt sich jede auf Y definierte Funktion I. die jedem Element XE Y ein Element 1 (x) EA" zuordnet. erweitern zu einer Funktion g. die jedem Element x E X ein Element g(x) EA., zuordnet: Man hat nur zu setzen: g(x) =/(x) für xEY, g(x) = (x, 0) für XEX - Y. Somit ist')) A" eineindeutig auf eine Teilmenge von')) A" abgebildet,

. XeY "eX woraus die zweite Ungleichung folgt.

2. Die Ungleichungen von ZERMELO. Ferner läßt sich auf Grund der Definition der unendlichen Summen und Produkte von Kardinalzahlen folgender Satz ohne Auswahlaxiom beweisen:

Satz von ZERMELO [22]: Ist 111" < n" lür alle x E X, so gilt

E 111.,< lln". "eX "eX

Beweis: a) Ist X =1= 0, so ist für jedes x E X A" ein Abschnitt von Ex. Setzen wir R., = E" - A x , so sind alle R., =1= 0 und wohlgeordnet. Es sei rx das erste Element von R", ferner T., die Menge der Funktionen 1 mit

1 (x') = r.,' für x' =1= x, I(x) EA.,. Dann ist Ti = 111", und man hat eine effektive Zuordnung zwischen T., undA x• wenn man dem Element a EA~ die Funktion 1 E T., mit 1 (x) = a zuordnet. Also ist m A" '" m T.,. also

.,eX "eX m T., = 2; 111.,. Offensichtlich ist m T., eine Teilmenge von')) E", also ist

"EX "eX "eX "eX 2;111., ~lln.,.

"eX "eX

b) Annahme, es gäbe eine eineindeutige Abbildung f[J von m A", auf ",eX

~B",. Dann würde ~B", in Teilmengen P", zerfallen, so daß ~ B",= mp", ",eX ",eX ",eX ",eX

und die P '" durch f[J eineindeutig auf die A", abgebildet wären. P '" C ~ B x "'eX

besteht aus Funktionen f, die jedem x E X ein Element f (x) zuordnen; es sei W", die Menge der Elemente a E B", mit f(x) = a für ein f E P",. Da A.c wohlgeordnet ist, ist vermöge f[J auch P.c eindeutig wohlgeordnet. Wir teilen P.c in Klassen ein, indem wir zur selben Klasse zwei solche Funktionen f E P.c nehmen, die denselben Wert f (x) für das Argument x haben. Die Menge dieser Klassen hat die Mächtigkeit von W.c; ferner bilden auch die ersten Elemente dieser Klassen eine Menge ~er Mächtigkeit W.c, die eine Teilmenge von P.c ist; also ist W.c ~ P.c = A-: < B.c. Da W", c B x'

kann man U.c = B x - W", bilden, und die U.c sind nicht-leere, paarweise disjunkte, effektiv wohlgeordnete Mengen. Ihre ersten Elemente seien u.c; diese gehören nicht zu W.c; also gehört die Funktion f E ~ B", mit f(x) = U.c nicht zu P.c, Widerspruch. xeX

Bemerkung: Die Form~ nt < 2m ist ein Spezialfall dieses Satzes:

Setzt man nt", = 1, n.c = 2, X = nt, so wird E nt.c = nt < n n", = 2m • .ceX xeX

Zusa tz: Ist ntx ~ nx und n", transfinit für aUe x E X, so gilt

I mx~ IJnx . xeX "'eX

Beweis: Wie vorher zeigt man, daß E ntx ~ n nx ; der obige Beweis xeX "'eX .

bedarf folgender Modifikationen: A x ist entweder ein Abschnitt von B x

oder A x = B x • Im letzteren Fall ist R", = B", - A x = 0; um dies auszuschalten, ersetzen wir B" durch die Menge B~ der Paare (x, fJ) mit fJ ~ßx (statt fJ < ßx). Dann sei R~ = ~ - A". Dann sind alle R~ =1= 0 und paarweise disjunkt; r: sei das erste Element von~, ~ die Menge der Funktionen f mit j(x') = r~ für x' =1= x und f(x) EA". Man zeigt wie vorher, daß mAx "" m T~c ~ B~. Da man für jedes XEX eine bestimmte Abbil-

xeX xeX xeX

dung von B~ auf B x hat, ist ~ B: "" ~ B"" also E ntx ~ n nx' xeX xeX xeX xeX

Bemerkung: Ist X eine wohlgeordnete Menge, so gilt der obige Zusatz schon unter der Bedingung, daß aUe nx ~ 2 sind: Es sei U die Menge der x e X, für die nx transfinit ist, V die Menge der x, für die n", endlich ist.

Dann gilt ~ nt" ~ n n",; im Fall V ~ ~o ist xe U xe U

E lllx ~ ~o· V = V < 2 V ~ n n" , xe V xe V

§ 29. Ungleichungen für unendliche Summen u. Produkte v. Kardinalzahlen. 125

im Fall V < ~o ist ebenso 2 ll1x ;;;; II nx ; also wird xe V xe V

2 ll1x = I ll1x + I llIx ;;;; II nx + II nx . xeX xeU xeV xeU xeV

Im Fall U =!= 0 und V =!= 0 wird dies ~ II nx • II nx = II nx' xeU xeV xeX

3. Anwendungen: Die Sätze von KÖNIG und damit verwandten Sätze. Es sei nun eine Folge {1lI"},, <). von beliebigem Typ A von Kardinalzahlen ll1" vorgelegt. Dann gilt:

(1) 2 ll1" < II n", wenn ll1" < n" für alle!; < A. ,,<.t ,,<Ä

(2) 2 ll1" ~ II n", wenn ll1" ~ n" und n" ;;;; 2 für alle!; < A. «Ä ,,<Ä

Aus (1) folgt für A = 2: ll10 + 1lI1 < no . n1 für llIo < no und 1lI1 < n1.

Aus (1) und (2) folgen die nach ]OURDAIN benannten Sätze [10]: Aus (1) folgt

(3) Ist {ll1< h <Ä eine wachsende Folge vom Limeszahltyp A von Kardinalzahlen ll1$' so ist 2 ll1" < II ll1<.

«Ä «.t

Beweis: Setzt man n. = ll1" +1, so folgt ll1" < n", also nach (1)

I ll1. < II n. ;;;; II 1lI; . E<.t ;<Ä ,,<Ä

Aus (2) folgt unmittelbar:

(4) Ist {ll1d" <A eine beliebige Folge von beliebigem Typ A von Kardinalzahlen 1lI" ~ 2, so ist 2 ll1" ~ II 1lI".

«Ä «.t

Ist speziell A = 2, so folgt Satz 3 von § 25.

Aus (3) folgt: (5) Ist {1lI< h < Ä eine wachsende Folge vom Limeszahltyp A von Kardi

nalzahlen, so ist 2 ll1< < ( 2 ll1,,)'i. «.t $<.t

B ewe i 5: Wegen 1lI" ~ I ll1. für !; < A ist II ll1. ~ ( I ll1.)Ä. also .<Ä «Ä E<Ä

2: ll1. < II 1lI<;;;; ( I ll1ö):i:. E<Ä «Ä ,,<.t

Aus (4) folgt:

(6) Ist {1lI,,}< < Ä eine beliebige Folge von beliebigem Typ A von Kardi

nalzahlen 1l1" ;;;; 2, so ist ( I llI,,)Ä = ( II ll1,,)1. ,,<Ä "<Ä

Be w eis: Wie oben zeigt man, daß L; 1lI" ~ TI Il1E ;;;; ( I Il1E)A, also E<Ä E<Ä '<Ä

.( 2: llI,,)i ~ ( II ll1,,)J: ~ ( I Il1Ä)i. i = ( I Il1E):i:, woraus (6) folgt.-.<Ä «Ä ,,<Ä E<Ä

Setzt man in (1) bis (6) A =w, so erhält man die nach KÖNIG benannten Sätze [8].

§ 30. Beziehungen zwischen Kardinalzahlen und Mächtigkeiten 1.

1. Allgemeine Beziehungen.

Sa tz 1. Ist m eine beliebige Mächtigkeit, und gibt es eine Kardinalzahl n mit m ;;;;; n, so ist auch m eine Kardinalzahl.

Beweis: Nach Voraussetzung ist m die Mächtigkeit einer Teilmenge

von W (IX), wobei (X = n; also ist (nach § 4) m die Mächtigkeit eines Ab

schnitts von W (IX) oder von ganz W (IX), also m = ß für ein ß ;;;;; IX.

Zusatz (vgl. §25, Def.2): Ist m eine beliebige Mächtigkeit, undgibt es eine Kardinalzahl n mit 11l ;;;;; * n, so ist 11l ;;;;; n, also 11l eine Kardinalzahl. - Beweis: Nac~ Voraussetzung gibt es eine wohlgeordnete Menge

N mit N = n; es sei M = 11l. Also gibt es eine Funktion mit Argumentmenge N und Wertmenge M. Wir ordnen jedem Element von M sein Urbild zu, das in der Wohlordnung von N als erstes auftritt. Somit ist Meiner Teilmenge von N äquivalent.

Sa tz 2: Ist mein Aleph und n eine beliebige Mächtigkeit mit 11l ;;;;; n, so ist m + n = n.

Beweis: Da eine Mächtigkeit ~ mit m + ~ = n existiert, ist

l1=m+~=m+m+~=m+l1.

Sa tz 3: Ist a ein Aleph, ~tnd sind mund 11 beliebige Mächtigkeiten, sogilt: a;;;;; t1t • 11--7 entweder a ;;;;; moder a ;;;;; 11.

B~weis: Es gibt eine Ordnungszahl x mit a = iX •• M sei eine Menge

mit M = m, N eine Menge mit N = 11. Nach der Voraussetzung a;;;;; m· 11

gibt es eine Teilmenge Ac [M, N] mit A = iX"; wir können deshalb die Paare von A mit (me, nö) bezeichnen (wobei ~ < IX). Es sei M' die Menge der Elemente me mit ~ < IX, N~ die Menge der Elemente ne mit ~ < IX;

also sind lll' = M' und 11' = N' Kardinalzahlen mit m' ~ 11l, 11';;;;; n. Wegen A c [M', N'] ist iX" ;;;;;lll'· 11', also ist entweder l1l' oder 11' ein Aleph, also entweder m'· 11' = lll' oder m'· 11' = 11', somit entweder a ~ III oder a ;;;;; 11.

Folgerung: 1st a ein Aleph, und sind 11l und 11 beliebige Mächtigkeiten, so gilt: a;;;;; m + 11--7 entweder a ;;;;; 11l oder a;;;;; 11. - Beweis aus Satz 3 von § 25 und dem obigen Satz 3.

2. Die HARTOGSsche Funktion ~ (m).

Sa tz 4 (von HARTOGS). Zu jeder Mächtigkeit m gibt es eine Kardinalzahl ~ mit r non;;;;; m (oder: zu jeder Menge M gibt es eine wohlgeordnete Menge E, die mit keiner Teilmenge von M äquivalent ist).

1 Vgl. auch Satz 1 von § 35.

§ 30. Beziehungen zwischen Kardinalzahlen und Mächtigkeiten. 127

Beweis: Es sei M eine unendliche Menge mit M = m, E die Klasse aller Ordnungszahlen (X mit (X ;;::;; m. Wir verstehen unter der Abschnittsmenge einer wohlgeordneten Menge die Menge aller ihrer Abschnitte. Es sei Q die Menge derjenigen Teilmengen der Potenzmenge vonM, die Abschnittsmengen von bestimmten Wohlordnungen solcher Teilmengen von

M sind, die wohlgeordnet werden können; also ist Q ;;::;; 2 2m• Jedem Element von Q ist eindeutig eine Ordnungszahl (X E E zugeordnet, wobei alle (X E E Bilder sind. Somit ist E eine Menge. Also existier~die kleinste Ordnungs-

zahl A mit A non E E, und es ist E ~ W (A). Wä~ E ;;::;; m, so wäre ~ ;;::;; m,

alsoA E E, Widerspruch. Also giltE non;;::;; m. Eist die kleinste Kardinalzahl mit dieser Eigenschaft. Feruer gilt:

= = = m = = 2m E ;;::;; * Q, also E;;::;; * 22 , und E < 2 E ;;::;; 2 2 •

Def. 1. Ist m eine beliebige Mächtigkeit, so bezeichnet man die kleinste Kardinalzahl, die nicht;;::;; m ist, mit ~ (m).Die Funktion ~ (m) heißt die HARTOGSsche Funktion [4J. Nach dem Obigen ist ~ (m) die Mächtigkeit der Menge aller Ordnungszahlen (X mit (X ;;::;; m.

Sa tz 5. Zu jeder Mächtigkeit m gibt es eine eindeutig bestimmte Kardinalzahl, die weder größer noch kleiner als m ist (sie ist ;;::;; ~ (m)).

Beweis: Nach Satz 4 gibt es Kardinalzahlen); mit); non;;::;; m, also gibt es Kardinalzahlen); mit); non< m. Unter diesen ist die kleinste nicht> m, denn sonst wäre m eine Kardinalzahl, die noch kleiner wäre und nicht > m wäre.

Eigenschaften der HARToGsschen Funktion 1:

1. Für m;;::;; n ist ~ (m) ;;::;; ~ (n). Für endliche .Mächtigkeiten mist ~ (m) = m + 1; für unendliche Mächtigkeiten m ist ~ (m) ein Aleph, speziell ist ~ (~,,) = ~a+l'

2. Für beliebige unendliche Mächtigkeiten mund n gilt

~ (m + n) = ~ (m . n) = ~ (m) + ~ (n) = ~ (m) . ~ (n) .

Beweis: Es sei ~ (m) ~ ~ (n). Nach Satz 3 gilt für jede Ordnungszahl (X

(X ;;::;; m . n ---)- entweder (X;;::;; m oder (X;;::;; n;

also folgt ;X ;;::;; m . n ---)- ;X ;;::;; m; deshalb ist die Menge der Ordnungszahlen (X mit (X = m· n gleich der Menge der Ordnungszahlen (X mit (X ;;::;; m, also ist ~ (m . n) = ~ (m); also wird wegen m;;::;; m + n ;;::;; m· n (§ 25, Satz 3)

~ (m) ;;::;; ~ (m + n) ;;::;; ~ (m . n) = ~ (m),

und zusammen mit Satz 1 von § 28 ergibt sich auch der Rest der Behauptung.

1 Vgl. auch [9].

Folgerung: Für iede unendliche Mächtigkeit m ist ~ (m 2) = ~ (m).

3. Für iede Mächtigkeit mist m< m + ~ (m); ist m transfinit (siehe weiter unten), so gibt es keine Mächtigkeit .r mit m< .r< m + ~ (m).

Beweis: Es ist m;:;;; m + ~ (m); wäre m:-; m + ~ (m), so wäre ~ (m) ;:;;; m, Widerspruch; also ist m < m + ~ (m). - Ist m traw,finit, und gäbe es eine Mächtigkeit .r mit m < .r < m + ~ (m), so gäbe es Mächtigkeiten n, p, q mit m + n =.r, p + q =.r, p;:;;; m, q;:;;; ~ (m). Im Fall q = ~ (m) wäre ~ (m) ~ m + n. Nach der Folgerung von Satz 3 wäre also entweder ~ (m) ;:;;; m oder ~ (m) :;;; n, wovon das erstere unmöglich ist, also wäre ~ (m) ;:;;; n, also m + ~ (m) ;:;;; m + n =.r, im Widerspruch zur Voraussetzung .r< m + ~ (m). Also könnte nur q < ~ (m) sein, also wäre q eine Kardinalzahl mit q :;;; m, also m + q = m (Satz 2 und 9), also

.r=p+q:;;;m+q=m,

im Widerspruch zur Voraussetzung .r> m.

4. 2~ (m) :;;; 222m, ~ (m) < 222m•

Dies folgt aus dem Beweis von Satz 4 und wegen E = ~ ( m).

5. 2~(m) :;;; 2 2m', ~ (m) < 2 2m'.

Beweis: Vgl. den Beweis von Satz 4. Q' sei die Teilmenge derjenigen Elemente der Potenzmenge der Paarmenge [M, M], die Teilmengen von M wohlordnen; also Q' :;;; 2 m'. Jedem Element von Q' ist eindeutig eine Ordnungszahl < Ä. zugeordnet, wobei alle Ordnungszahlen < Ä. Bilder sind. Also ist ~ (m) :;;; * 2 m', also ~ (m) < 2~(m) :;;; 2 2m'.

6. Folgerung: Setzt man m = ~'" so folgt: ~"+1 :;;; * 2~" tür iede Ordnungszahl LX~

7. Für jede Ordnungszahl LX ist ~"+1 < 22~".

Beweis: Es ist ~ (~,,) = ~"+1 < 22~~ = 22~<% nach 5.

3. Endliche, unendliche und transfinite Mächtigkeiten.

Def. 2. Eine Menge heißt eine endliche Menge, und ihre Mächtigkeit eine endliche Mächtigkeit l , wenn sie einer Menge W (n) mit n < w äquivalent ist. - Eine Menge (Mächtigkeit), die nicht endlich ist, heißt unendlich 2.

1 Oder "induktive" Mächtigkeit nach WHITEHEAD-RuSSELL [21]. 2 Für den Begriff der endlichen Menge sind viele andere Definitionen gegeben

worden [18], z. B. die Def. von ZERMELO: "Eine Menge ist endlich, wenn sie geordnet werden kann, so"daß jede nicht-leere Teilmenge ein erstes und ein letztes Element hat", oder die Def. von TARSKI: "Die Menge M ist endlich, wenn jede Menge 5 von Teilmengen Xc M ein Element B enthält, von dem keine echte Teilmenge Element von 5 ist."

Die endlichen Mächtigkeiten sind also genau die endlichen Kardinalzahlen. Die Mächtigkeit einer endlichen Menge wird auch die "Anzahl ihrer Elemente" genannt; der Begriff der Mächtigkeit ist also eine Verallgemeinerung des Anzahlbegriffs. Aus § 27, Satz 1, folgt:

Satz 6 ("Fundamentalsatz der finiten Arithmetik"). Eine endliche Menge ist nie einer ihrer echten Teilmengen äquivalent.

Dieser Satz ist die einfachste Formulierung des sog. "Schubfachprinzips" ; als Folgerung ergibt sich, daß eine endliche Menge nur in einem bestimmten Ordnungstypus wohlgeordnet werden kann (mit andern Worten: daß die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge unabhängig von der Reihenfolge des "Zählens" ist).

Satz 7. Jede unendliche Mächtigkeit ist größer als fede endliche Mächtigkeit.

Beweis: M sei eine unendliche Menge mit M = tU, ao E M. Dann ist M .- tao} =l= 0, weil sonst M endlich wäre; also existiert ein Element a 1 E M - tao} usw. Ohne Verwendung des Auswahlaxioms folgt somit für jede beliebige endliche Zahl k die Existenz einer mit W (k) äquivalenten Teilmenge von M, also k ~ tU. Wäre k = tU, so wäre tU endlich; also ist k < tU.

De.!:. 3. Eine Menge M (und ihre Mächtigkeit M) heißt abzählbar,

wenn M = ~o' Eine_Menge heißt höchstens abzählbar, wenn sie endlich

oder abzählbar ist (M ~ ~o)' Somit kann jede höchstens abzählbare Menge wohlgeordnet werden.

Gilt für eine Mächtigkeit tU tU < ~o, so ist tU endlich; ~o ist also eine "kleinste unendliche Mächtigkeit".

Def. 4. Eine Menge M heißt eine transfinite Menge, und ihre Mächtigkeit Meine transfinite Mächtigkeitl, wenn M ~ ~o (d.h. also, wenn eine

abzählbare Teilmenge von M existiert). Mund M heißen überabzählbar,

wenn M > ~o' Jede abzählbare oder überabzählbare Mächtigkeit ist somit trans

finit, jede transfinite Mächtigkeit ist unendlich.

Satz 8. Eine Menge ist dann und nur dann transfinit, wenn sie einer echten Teilmenge äquivalent ist.

Beweis: a) Ist M eine transfinite Menge, so enthält sie eine abzählbare TeilmengeA cM, die also die Wertmenge einer Folge {an}n<a> ist. Es sei M' = M - tao}. M' ist eine echte Teilmenge von M mit M' '" M (um letzteres zu zeigen, setzen wir (jJ (an) = an+1 für n < co und

<P (m) = m für mE M - A ; die Funktion (jJ bildet M und M' eineindeutig aufeinander ab).

1 Oder "reflexive" Mächtigkeit nach WHITEHEAD-RusSELL [21J.

Ergebn. d. Mathem. N. F. H. 1, Bachmann. 9

b) M sei einer echten Teilmenge MI c M äquivalent. Also kann nach Satz 4 M keine endliche Menge sein. Wegen MI ,...., M existiert eine eineindeutige AbbildungifJ, die jedem Element a e Mein Element ifJ (a) eMI

zuordnet.· Es sei ao e M - MI. Wir definieren eine Folge {a"},,<,,, von Elementen aus M, indem wir a,,+ I = ifJ (a,,) für n < w setzen. Alle a., sind verschieden; denn wäre aq das erste Element mit ap = aq für ein p < q (wobei q> 0), so wäre aq = ifJ (aq _ l ), also aq e MI, also aq =l= ao, also ap=l=ao, also p>o, also ap=ifJ(ap_I)=ifJ(aq_I)' alsoap _ 1

= aq_ 1> was der Annahme widerspricht. Somit existiert eine abzählbare Teilmenge von M.

Als Folgerung ergibt sich:

Satz 9. Eine Mächtigkeit m ist dann und nur dann transfinit, wenn m + 1 = m (oder m + k = m tür irgend eine endliche Mächtigkeit k).

Über die Beziehung zwischen "unendlich" und "transfinit" kann ohne Auswahlaxiom bewiesen werden:

Sa tz 10. Folgende drei Bedingungen sind äquivalent: (1) m ist eine unendliche Mächtigkeit. (2) 22m ist transfinit. (3) Jede Menge der Mächtigkeit 2 m ist in eine abzählbare Menge von

nicht-leeren, paarweise disfunkten Teilmengen zerlegbar.

Beweis: Aus (2) oder aus (3) folgt, daß m unendlich ist. Ist Meine

unendlicheMengemitM = m, so gibt es nach Satz 7 für jedes n < weine

Teilmenge ~ c M mit X = n. Es sei S" die Menge alle~ Teilmengen XcMmitX =n. IstSdie Menge allerS"mitn < w,soistS = ~o ~ 2 2m,

also 2 2m transfinit. Setzt man S~ = P - 93 S", wobei P die Potenzmenge "<'"

von M ist, so ist P = S~ + 93 Sn eine Zerlegung von P in abzählbar viele n<",

nicht-leere, paarweise disjunkte Teilmengen.

Bemerkung: DEDEKIND [3] definierte die unendlichen Mengen als solche, die einer ihrer echten Teilmengen äquivalent sind. Ohne Auswahlaxiom kann man aber nicht auf Äquivalenz der Begriffe "unendliche Menge" (in unserem Sinne) und "transfinite Menge" (oder unendliche Menge im DEDEKINDschen Sinne) schließen; ist m eine unendliche Mächtigkeit, so folgt nicht, daß m transfinit ist, ja nicht einmal, daß 2m transfinit ist (wohl aber, daß 2 2m transfinit ist, vgl. Satz 10).

3. Die Differenz zweier Mächtigkeiten [12,13].

Def. 5. Sind mund n zwei Mächtigkeiten, und existiert genau eine Mächtigkeit 'I, so daß n + 'I = m, so nennt man 'I die Differenz

'1= m- n

der heiden Mächtigkeiten mund n.

Ist m ~ n, so folgt die Existenz einer Mächtigkeit ~ mit n + ~ = m; um die Existenz der Differenz m - n (also auch die Eindeutigkeit von ~) zu beweisen, braucht man aber im allgemeinen das Auswahlaxiom. Ist mein Aleph und m > n, so ist m - n = m. Für beliebige Mächtigkeiten mund n kann man ohne Auswahlaxiom nur folgendes sagen:

Sa tz 11. Ist m> n und ist n nicht transfinit, so existiert die Differenz m- n.

Beweis: Es gibt eine Mächtigkeit ~ mit n + ~ = m. Diese ist eindeutig; denn wäre m = n + ~1 mit ~1 =I=~, so wäre n + ~ = n + ~1' Nach dem Lemma von LINDENBAUM-TARSKI (§ 25) gäbe es also Mächtigkeiten p, ~', ,r~ mit ~ = p + ~', ~1 = P + ~~, n + ~'= n + ,r~ = n; es ist ~'= ~~ = 0, weil sonst n transfinit wäre; also ist ~ = ~l> Widerspruch.

Satz 12. Ist n ein Aleph, so existiert die Differenz m - nfür alle Mächtigkeiten m > n dann und nur dann, wenn jede Mächtigkeit mit n vergleichbar ist.

Beweis: a) Jede Mächtigkeit sei mit n vergleichbar. Ist m> n, so gibt es ein J: mit n + ~ = m. Wäre J: ;;;;; n, so wäre m = n, Widerspruch. Also ist J: > n, also gibt es ein I) mit J: = n + 1), also ist m = n + J: = n + n + 1) = n + I) = J:, also m = J:. Also ist): eindeutig, und es ist m - n = m.

b) Annahme: Die Differenz m - n existiere für alle Mächtigkeiten m > n; p sei eine beliebige Mächtigkeit. Ist p non;;;;; n, so ist also p + n> n (denn es ist p + n ~ n, aber aus p + n = n folgt p;;;;; n). Also existiert die Differenz (p + n) - n, d. h. es gibt genau eine Mächtigkeit J: mit n + J: = P + n; also ist J:=p; wegen n+(n+p)=n+p ist ferner n+p=J:=p,also n ;;;;; p.Somit ist P mit n vergleichbar.

Si!. tz 13. Die folgenden Bedingungen für Mächtigkeiten m sind äquivalent:

(1) m ist nicht transfinit. (2) m< m + 1.

(3) m - m = 0 (oder: die Differenz m - m existiert). (4) Für beliebige Mächtigkeiten p, q gilt: m + p = m + q""""* p = q. (5) Für beliebige Mächtigkeiten p, q gilt: m + p;;;;; m + q""""* p ;;;;; q.

Beweis: (1) +-+ (2) folgt aus Satz 9. (2) +-+ (3): Annahme: m< m + 1. Es ist m + 0 = m; wäre m + r = m

für ein:r > 0, so wäre m + 1;;;;; m + ): = m, also m + 1 = m, Widerspruch. Also ist m - m = o. - Existiert m - m, so ist m< m + 1 (denn sonst wäre m = m + 1 und m = m + 0, im Widerspruch zur Existenz von m - m).

(1) +-+ (4): m sei nicht transfinit und m + p = m + q = n. Es ist n ~ m. Ist n = m, so ist wegen (3) p = q = 0;, ist n > m, so existiert nach Satz 11

n - m, also ist p = q. Also gilt (4). - Gilt (4), so ist m nicht transfinit, denn sonst wäre m + 0 = m + 1, also 0 = 1, Widerspruch.

(1) +-+ (5): m sei nicht transfinit und m + p;;;;; m + q. Nach § 25, Anhang, Satz 7 schließt man p;;;;; q. - Gilt (5), so ist m nicht transfinit, denn sonst wäre m + 1 ;;;;; m + 0, also 1 ;;;;; 0, Widerspruch.

Def. 6. Die Mächtigkeit m heißt unzerlegbar, wenn m nicht in der Form m = p + q mit p< m, q< m darstellbar ist (d.h. wenn m = p + q""""* entweder p = m oder Cl = m).

Jedes Aleph ist unzerlegbar (nach § 28, Satz 1).

Satz 14. Ist m eine beliebige Mächtigkeit, so ist m - n = m für n< m dann und nur dann, wenn m unzerlegbar ist.

132 V. Die Konsequenzen des Auswahlaxioms und der Alephhypothese.

Beweis: Ist m unzerlegbar und n < m, so gibt es eine Mächtigkeit ;r mit n +;r = m; es ist ;r ~ m. Wäre;r < m, so wäre m nicht unzerlegbar, Widerspruch; also ist m - n = m. - Umgekehrt folgt aus m - n = m für n < m, daß m unzerlegbar ist; denn wäre m = p + q mit p < mund q< m, so wäre m - p = m, also q = m, Widerspruch.

Weitere Sätze über Differenzen können ohne Auswahlaxiom bewiesen werden. Da ihre Beweise meist langwierig, die Sätze selbst aber nicht sehr interessant sind, führen wir nur einige Beispiele ohne Beweise an:

1. Existiert n -,r, so existiert (m + n) -;r und ist = m + (n - ;r). 2. Existiert m - (n + ;r), so existiert m - n und ist= (m - (n + ;r)) + r. 3. Existiert eine der Mächtigkeiten m - (n +;r) und (m - n) +;r, so

existiert auch die andere, und beide sind einander gleich. 4. Existiert m - n und n -;r, so existiert m - (n - ~.) und ist

= (m - n) +,r. 5. Existiert für eine endliche Mächtigkeit k > 0 eine der Mächtigkeiten

m - n oder k . m - k • n, so existiert auch die andere, und es ist k • (m - n) =k· m - k· n.

6. Für jede Mächtigkeit m existiert 2 m - m; ist m transfinit, so ist 2 m - m = 2 m = 2 m + m.

V. Die Konsequenzen des Auswahlaxioms und der Alephhypothese in der Kardinalzahlenarithmetik.

§ 31. Äquivalenzen zum Auswahlaxiom.

1. Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz und Trichotomie. Wir betrachten zuerst solche Konsequenzen des Auswahlaxioms (2f) (vgl. § 2), die ihm äquivalent sind. Besonders wichtig ist die Äquivalenz von (2f) mit den beiden folgenden Sätzen:

(2f 2) Wohlordnungssatz: Jede ]vfenge kann wohlgeordnet werden, d.h. jede Mächtigkeit ist eine Kardinalzahl [11, 14, 15].

Bemerkung: (2f 2) besagt nicht, daß man jeder Menge effektiv eine Wohlordnung zuordnen kann, sondern nur, daß eine solche existiert.

(2f3 ) Gesetz der Trichotomie für die Mächtigkeiten: Zwei beliebige Mächtigkeiten sind immer vergleichbar [2].

Äquivalenzbeweise (auf Grund der Axiome (I) bis (VII) von § 2): (2f) ->- (2f2): Es sei M eine beliebige Menge und S die Menge ihrer

echten Teilmengen. Nach (2f) existiert eine Funktion g, die jedem X E S ein Element g (X) E M - X zuordnet. Nach § 26, Satz 2, existiert also eine Teilmenge N c M mit N non E S, die wohlgeordnet werden kann. Also folgt N = M; M kann also wohlgeordnet werden.

(2f2) ->- (2f): Es sei X eine Menge, deren Elemente M nicht-leere und paarweise disjunkte Mengen sind. Nach (2f2) existiert eine Wohlordnung

§ 31. Aquivalenzen zum Auswahlaxiom. 133

von '\l3 M. Somit hat jede Menge ME X ein erstes Element (/)(M). Die MeX

Wertmenge von (/) ist eine Auswahlmenge von X. (~2) ~ (~3): Nach (~2) ist jede Mächtigkeit eine Kardinalzahl; für

die Kardinalzahlen gilt das Gesetz der Trichotomie (§ 27).

(~(3) ~ (~2): Ist M eine beliebige Menge mitM = m, so existiert eine Kardinalzahl ~ (m), die nicht ~ mist (§ 30). Nach (~3) ist also ~ (m) > m, also ist m eine Kardinalzahl (§ 30, Satz 1).

2. Weitere mit dem Auswahlaxiom äquivalente Sätze über Mächtig-keiten [8J:

(~4) Für beliebige unendliche Mächtigkeitenm und n gilt m + n = m· 11. (~i5) Jede unendliche Mächtigkeit ist unzerlegbar (§ 30). (~6) Für jede unendliche Mächtigkeit m gilt: Ist n< m, so existiert die

Differenz m - n (§ 30). (~(~) Für jede unendliche Mächtigkeit m gilt m - n = m für n< m. (~7) Für jede unendliche Mächtigkeit m gilt m2 = m. (~8) Für beliebige Mächtigkeiten mund n gilt: m2 = n2 ~ m = n. (~9) Für beliebige Mächtigkeiten m, n, p, q gilt: m< n, p < q ~ m + p

< n+ q. (~10) Für beliebige Mächtigkeiten m, n, p, q gilt: m< n, p< q ~ m· p

< n· q. (~11) Für beliebige M ächtigkeiten m, n, p gilt: m + p < n + p ~ m< n. (~12) Für beliebige Mächtigkeiten m, n, p gilt: m· p < n . p ~ m< n. (~13) Z1t jeder Mächtigkeit m gilt es eine Mächtigkeit n (ein ,,1mmittel-

barer Nachfolger" von m) mit m< n und m< ,r-i- n ~ ,r für jede Mächtigkeit .r 1.

Alle diese Sätze gelten offensichtlich für die Kardinalzahlen. Wir haben also noch zu zeigen, daß aus jedem dieser Sätze das Auswahlaxiom folgt:

(~4) -> (~i3): Nach § 25, Satz 2. (~5) -> (~3): Es seien mund n zwei beliebige unendliche Mächtig

keiten. Es ist m + n;;;: mund m + n;;;: n. Da nach (~5) m + n unzerlegbar ist, ist entweder m + n = moder m + n = n. Im ersten Fall wird n ~ m, im zweiten Fall m ~ n, d.h. mund n sind vergleichbar.

(~6) ~ (~2): Es sei m eine beliebige unendliche Mächtigkeit. Es ist m+ ~(m);;;: ~(m). Wäre m+ ~(m) > ~(m), so würde nach (~6) die Differenz

1 Ähnliche Sätze über die Existenz eines unmittelbaren Nachfolgers zu jeder Mächtigkeit sind: "Zu jeder Mächtigkeit m gibt es eine Mächtigkeit n mit m <n, so daß es keine Mächtigkeit,r mit m< ,r <n gibt", und: "Zu jeder Mächtigkeit m gibt es eine Mächtigkeit n mit m < n und ,r < n -+ r ~ m." Der erste dieser beiden Sätze kann aber ohne Auswahlaxiom bewiesen werden (nach § 30 erfüllt nämlich für nicht-transfinites m die Mächtigkeit n = m + 1, für transfinites m die Mächtigkeit n = m + ~ (m) die geforderten Bedingungen), während die Beziehung zwischen dem zweiten der bei den Sätze und (~) noch unbekannt ist [13J.

(m + ~ (m)) - ~ (m) existieren, d. h. es gäbe genau eine Mächtigkeit .r mit m + ~ (m) = .r + ~ (m). Da diese Gleichung für.r = m und für .r = m + ~ (m) erfüllt ist, folgt m + ~ (m) = m, also ~ (m) ~ m, Widerspruch. Also ist m + ~(m) = ~(m), also m ~ ~(m), d.h. m ist eine Kardinalzahl.

(~~) --+ (~) ist offensichtlich, wegen (~~) --+ (~6).

(~7) --+ (~!4): Sind mund n zwei beliebige unendliche Mächtigkeiten, so folgt aus (~{7) m2 = m, n2 = n, (m + n)2 = m + n, also ist

m + n = (m + n)2 = m2 + 2 . m· n + n2 = m + 2· m· n + n, also

m· n ~ 2' m· n ~ m + n;

weil nach § 25, Satz 3, auch m· n ~ m + n ist, folgt (~4)1.

(~R) --+ (~2): Es sei m eine beliebige unendliche Mächtigkeit, ferner n = m~o, p = n + ~ (n), q = n . ~ (n). Dann folgt

n2 = m~o·2 = m~o = n, p2 = n2 + 2. n· ~ (n) + (~(m))2 = n + n· ~ (n) + ~ (n) = n + ~ (n)

+ n·~(n). Nach § 25, Satz 3, ist n + ~ (n) ~ n . ~ (n), also

n . ~ (n) ~ p2 = (n + ~ (n)) + n . ~ (n) ~ 2 • n . ~ (n) = n· ~ (n),

also p2 = n. ~(n), q2 = n2 . (~(n))2 = n. ~(n) = p2. Nach (~8) folgt p = q, d. h. n + ~(n) = n· ~ (n). Nach § 25, Satz Z, sind also n und ~ (n) vergleichbar, also ist ~ (n) > n, also nein Aleph. Wegen m ~ n ist auch mein Aleph. Somit gilt (~2).

(~9) --+ (~{2) : Es sei m eine unendliche Mächtigkeit, ferner n = m . ~o. Dann wird

z • n = z . m • ~o = m • ~o = n .

Es ist n< n + ~ (n) (§ 30), ferner ~ (n) ~ n + ~ (n), aber nicht ~ (n) < n + ~(n), denn sonst wäre nach (~9)

n + ~ (n) < (n + ~(n)) + (n + ~ (n)) = 2 . n + 2 . ~ (n) = n + ~ (n),

also n + ~ (n) < n + ~ (n), Widerspruch. Somit folgt ~ (n) = n + ~ (n), also n ~ ~ (n), d. h. n ist ein Aleph; wegen m ~ n ist auch mein Aleph. Also gilt (~2).

1 Mit (~) äquivalent ist sogar schon der Satz: "Für jede transfinite Mächtigkeit m gilt m2 = m." Denn genau wie im obigen Beweis folgert man aus ihm, daß m· n = m + n für zwei beliebige transfinite Mächtigkeiten m, n gilt; also gilt m . ~ (m) = m + ~ (m), also sind m und ~ (m) vergleichbar (§ 25, Satz 3), also m = ~ (m), d.h. m ist ein Aleph. Daraus, daß also jede transfinite Mächtigkeit m ein Aleph ist, folgt sogleich, daß jede unendliche Mächtigkeit nein Aleph ist, denn n + ~o ist transfinit, also ein Aleph; wegen n ~ n + ~o ist also auch nein Aleph.

§ 31. Äquivalenzen zum Auswahlaxiom. 135

(~10) -.. (~2): Beweis wie bei (~9) -.. (~2)' nur hat man n = mNo zu setzen (statt n = m . ~o) und n = n2 zu verwenden (statt n = 2 • n).

(I}{ll) -.. (1}{2): Es sei m eine unendliche Mächtigkeit. Dann ist ~ (m) ~ m + ~ (m). Wäre ~ (m) < m + ~ (m), so wäre ~ (m) + ~ (m) = ~ (m) < m + ~ (m), also nach (~1l) ~ (m) < m, Widerspruch. Also ist ~ (m) = m + ~ (m), also m ~ ~ (m), also mein Aleph. Somit gilt (1}{2)'

(~12) -.. (1}{2): Beweis wie bei (~11) -.. (~2)' nur sind Produkte statt Summen zu verwenden.

(~13) ~ (~7): Ist m eine transfinite Mächtigkeit, so gilt nach (~13) für den Nachfolger n von m, weil nach § 30 m < m + ~(m) ist, m < n ~ m + ~(m), also n = m + ~(m). Wäre m < m2, so wäre nach (~13) n ~ m2, also ~(m) = ~(m2) ~ n ~ m2, also ~(m2) ~ m2, was unmöglich ist. Also folgt m = m2•

3. Weitere Äquivalenzen zum Auswahlaxiom. Besonders interessant sind die Äquivalenzen von (~) mit den folgenden (scheinbar fernliegenden) Sätzen (~14)' (~16) und (~16):

(~14) Ist {A"}"<al eine Folge vom Typ ()) von n~ht-leeren, paarweise disfunkten Mengen A", und ist B eine Menge mit 13 < m A", so gibt es

"<cu eine natürliche Zahl p, so daß B ~ m A" [12].

,,<p (1}1) -.. (~14): Nach (~) gibt es zu jedem n < ()) eine Wohlordnung

von A" in einem bestimmten Typus (X". Setzt man die Mengen A" hintereinander, so ist m A" im Ordnungstypus 't" = I (x" wohlgeordnet. Da

n<w n<w B< m A", ist B einem Abschnitt von m A" ähnlich, also in einem Ord-

,,<al "<ru

nungstypus a < -r wohlg~rdnet. Wegen -r = lim (I IXn ) gibt es ein p < w - -- p<cu ,,<p

mit I (Xn ~ a; also ist B ~ mAll,. n 0). Ferner sei B" die Menge der Ordnungszahlen (X mit

,,<p ii ~ An und B = m B". Es existiert die kleinste Ordnungszahl ß mit ß non eB. ,,<cu

Es ist B ~ m A,,: Denn zu jeder Ordnungszahl (X mit ii ~ A" gibt es ,,<ru

Wohlordnungen von Teilmengen von A" im Ordnungstypus (X. Jeder solchen Wohlordnung entspricht eine Menge geordneter Paare (x, y) = {{x}, {x, y}} mit x eA", y eAn (nämlich die Paarmenge, die diese Wohlordnung definiert); diese ist also Teilmenge von An+2 • Jedem (X

mit Ci ~ An entspricht also ein Element von An+3' also jedem Bn ein Element von An+4; also ist 13 ~ mAn.

"<ru

Wäre nun B< ~ An, so wäre nach (~!14) B ~ Q\ An für ein p < W, n<oo n<p

also jJ < ~, also ß € B p' Widerspruch. Also ist B ~ ~ An, und somit ist A wohlgeordnet. n < 00

(~15): Zu jeder Menge N gibt es eine Menge M, die als Elemente J·ede Teilmenge Xc M mit X non;;;; N enthält [10].

(~!~5): Zu jeder Menge N gibt es eine Menge M, die äquivalent ist mit der Menge 5 der Teilmengen X c M mit X non;;;; N[11] 1.

(~) -+ (~!15) und (lli) -+ (~~5): N sei eine beliebige Menge, N = n. Nach (~) ist n mit ~o vergleichbar. Wir definieren

nt =~o, wenn n < ~o, nt = zn, wenn n ;;;; ~o.

Es sei nt = ~~. Nun ist ntn ~ nt; anderseits ist nt~ct(a) > nt (vgl. § 34), somit n < ~cf(a). Wir definieren eine Folge {Mg} g < OOa von Mengen: Es sei Mo = 0; für ~ > 0 sei Mo die Menge der Teilmengen X c ~ M'1 mit

1) <; X< n; ferner sei M = ~ Mg.

g<oo a _

Es sei nun Xc Mund N non ~ X. Also ist X < n, also X < ~cf(a)' Es gibt eine Zahl ~ mit 0 < ~ < W a , so daß X c ~ M'1; denn wären für

'1«

eine Folge von Indizes '], deren Limes W a ist, Elemente von..!! in M'1' so wäre die Mächtigkeit der Menge dieser Indizes ~ ~c!(a), also X ~ ~ct(a)'

Widerspruch. Wegen X< n ist also X € Mi;' also X € M. Somit erfüllt At die Bedingung von (W15) und is~ogar identisch mit der Menge aller Teilmengen X c M mit X non;;;; N.

(lli15) -+ (W2) und (W~5) -+ (lli2): Nach (W15) oder (~{;5) gibt es zu jeder Menge N eine Menge M, so daß für die Menge 5 der Teilmengen X c lvI mit X non ;;;; N gilt: 5 ~ M. Nach § 26, Satz 3, existiert also eine Menge

NIe M mit NI non € 5, die wohlgeordnet werden kann, also ist N ~ N 1 ~

somit kann auch N wohlgeordnet werden.

Hilfssatz. Aus (W) folgt: Ist M eine unendliche Menge mit M = nt,

undjst 5 die Menge der Teilmengen Xc M mit X = n (wobei n ~ nt), so

ist 5 = ntn.

Beweis [9]: Wir sehen vom trivialen Fall n = 0 ab. Es seiN c Meine

bestimmte Teilmenge mit N = n. Zu jeder beliebigen Teilmenge X c M

mit X = n existieren eineindeutige Abbildungen von N auf X. Also gibt

1 (lli~5) hat gegenüber (lli15) den Vorteil, daß es ohne Ersetzungsaxiom aus (lli) abgeleitet werden kann und daß es auch in einem System, das sich auf die Stufentheorie gründet, einen Sinn hat.

§ 32. Weitere Konsequenzen des Auswahlaxioms in der Arithmetik. 137

es eine Funktion, die jeder solchen Teilmenge X eine solche Abbildung,

also ein Element von MN zuordnet. Somit ist 5 ~ m". - Anderseits ist wegen m· n = m M = m Mx, wobei die Mx paarweise disjunkt sind mit

xeN Mx = m für alle XE N. Die Menge der Teilmengen Yc M, die aus jeder Menge Mx genau ein Element enthalten, hat die Mächtigkeit m". Da

alle diese Y die Mächtigkeit n haben, ist m" ~ S. Also ist S = m".

Bemerkung: Die Anzahl der Teilmengen von n Elementen einer endlichen Menge von n Elementen (wobei n ~ m) ist gleich dem Bino-

mialkoeffizienten (:).

(~16): Ist M eine unendliche Menge mit M = m und ~ die Menge der Teilmengen X cM mit X non> n (wobei n ~ m), so ist 5 = m" [11].

(~) -+ (~16): Aus (~) und dem obigen Hilfssa~ folgt: Die Menge 5

aller Teilmengen Xc M mit X non> n (also mit X ~ n) hat die Mächtigkeit

5= I m~~m"·n=m". ~::;;;"

(~16) -+ (~~5): Es sei N eine beliebige Menge mit N = n. Ist n ~ 1, so setzen wir M = N. Ist n> 1, so sei M eine Menge mit M = 2"~o. Ist

51 die Menge der Teihnengen Xc M ~it X non ~ N, und 5 die Menge

derTeilmengen XcM mit X non> N, so ist 51 c 5; wegen der Voraussetzung S = m" ist also s: ~ m" = 2"~o." = 2"~O = m. - Anderseits gibt es Teilmengen von 5_mit der Mächtigkeit m, z.B. die Menge der Teil-

mengen Xc M mit X = 1. Also ist 51 = m. Somit gilt (~~5)'

§ 32. Weitere Konsequenzen des Auswahlaxioms in der Arithmetik der Kardinalzahlen.

1. Die wichtigsten Konsequenzen des Auswahlaxioms. Wir legen nun das Auswahlaxiom zugrunde. Dadurch tritt mit einem Schlag eine große Vereinfachung der Arithmetik der Mächtigkeiten und Kardinalzahlen ein: jede Mächtigkeit wird zu einer Kardinalzahl; ferner treten folgende Erscheinungen auf:

1. Sind jedem Element x einer gegebenen Menge X je zwei Mengen A x und B x zugeordnet (wobei die A x und auch die B x paarweise disjunkt seien), und ist A x ,..." B; für alle x E X, so ist (vgl. § 24)

mAx,..."mBx und xeX xeX

Die in § 28 definierten unendlichen Summen und Produkte von Kardinalzahlen sind somit nicht von den zu ihrer Definition verwendeten Mengen,. sondern nur von ihren Mächtigkeiten abhängig.

2. Zudem kann man nun in sehr einfacher Weise aus den Formeln (3) bis (7) von § 24 die assoziativen und distributiven Gesetze für die Kardinalzahlenarithmetik beweisen: Ist eine Funktion mit Argumentmenge X gegeben, die jedem Element x € X eine Mächtigkeit mx zuordnet, und ist ferner eine Funktion mit Argumentmenge A gegeben, die jedem a € A eine Teilmenge X a C X zuordnet, so daß die X a paarweise disjunkt sind und 'in X a = X ist, so ist

aul

n mx = n ( n mx) , xeX aeA xeXa

n ( ~ mx) = ~ (n m/(a)) , wobei F = I»Xa aeA xeXa /eF aeA aeA

(speziell wird m . ~ mx = ~ m· mx ). xeX xeX

Ferner kann man nun beliebige Summen und Produkte von Potenzen von Mächtigkeiten usw. definieren und die Potenzgesetze beweisen (aus den Formeln (8) bis (10) von § 24):

( nmx)m = n m~. xeX xeX

3. Ist {o.g}g < J. eine beliebige Folge von Ordnungszahlen, so wird (vgl. § 27)

4. Ist eine Funktion mit Argumentmenge X gegeben, die jedem Element x € X eine nicht-leere Menge Mx zuordnet, so daß die Mx paarweise disjunkt sind, so ist (vgl. § 25)

~Mx~X; xeX

sind alle Mx von derselben Mächtigkeit m, so ist (vgl. § 24)

~Mx=X.m. "eX

5. Jede unendliche Mächtigkeit ist transfinit (vgl. § 30). Somit enthält jede unendliche Menge eine abzählbare Teilmenge. Die Mächtigkeit einer unendlichen Menge ändert sich nicht, wenn man ein Element (oder eine endliche Menge) heraushebt oder hinzufügt.

Zu zwei beliebigen Mächtigkeiten mund n mit m > n existiert die Differenz m - n; im Fall, daß m unendlich ist, ist m - n = m. ~"'+1 ist die einzige unmittelbar auf ~'" folgende Mächtigkeit.

6. Für die in § 27 definierte Normalfunktion <1> gilt <1> (x) = (x, also ist !J« = co« für jede Ordnungszahl (x. Es gibt somit nur eine Sorte von Anfangszahlen (die wir mit co« bezeichnen).

Somit ist für jede Ordnungszahl (x der in § 6 definierte Funktionswert ct (x) einfach definiert als der Index y der kleinsten Zahl co')'' mit der co« konfinal ist.

Für jede Ordnungszahl (x läßt sich ~« als Summe ~«= I m. mit 0 < m~ < ~«für alle ~ < coef(<<) darstellen (vgl. § 28, Satz 4). ,< Wol(<<)

2. Alephformeln. Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man folgende Alephformeln ableiten:

Satz 1 (Hilfsformel). ~:P+1 = I Ji~P tür (X;;;;'ß. I' <aI«+l

Beweis: Zu jeder Folge {07l}71< alp von Ordnungszahlen 0'1 < co«+! gibt es eine Ordnungszahl ft < CO«+l' so daß 071 < ft für alle rJ < cop; also ist

W(CO«+l)W(alp) C ~ W(ft}W(alp), also ~:P+l ~ I Ji~p. I' < aI« + 1 P < aI« + 1

Ferner ist ~ 'ii.~p < ~~p • ~ + 1 ~-= ~~p + 1 = ~~p ~ ," = «+1« «+1 «+1'

I' < aI« +1 somit gilt Satz 1.

Satz 2 (HAusDoRFFsche Rekurrenzformel).

~~p = ~~P. ~ tür beliebige Ordnungszahlen (x, ß. «+1 « «+1

Beweis: a) (X< ß: Es ist (x + 1 ~ ß, also nach der BERNSTEINschen Formel. (§ 28)

also

b) (x;;;;, ß: Nach Satz 1 wird

~~p = ~ -~p s ~~p • ~ s ~~p • ~ = ~~p «+1 ~ ft -« «+1- «+1 «+1 «+1,

I' < aI« +1

woraus Satz 2 folgt. - Satz 2 gilt übrigens auch, wenn man an Stelle von ~p eine endliche Mächtigkeit setzt.

Satz 3 (BERNSTEIN scher Alephsatz). Für endliches (x ist

~~p = 2~fJ.~«. «

Beweis: a) (x ~ ß: Es ist

~~p = ~~P. ~ = 2~P. ~ • Cl IX tz, «

b) ß ~ LX < w: Für LX = ß gilt Satz 3. Gilt er für LX und alle Vorgänger von LX, so gilt er für LX + 1; denn für fl < w'" + 1 ist jj, ~ ~oc, also jj,~ß = 2~ß • iJ" also nach Satz 1 und nach § 28, Satz 3

~:!1= 2: ji~ß= 2: 2~ß.ji=2~ß. 2: ji=2~ß'~<Z+1' /t < aJ", + 1 /t < aJ", + 1 /t < aJ", + 1

Satz 4 (TARsKlsche Verallgemeinerung von Satz 2 und 3). Ist y ~ ~ß' so ist

Beweis [17] mit transfiniter Induktion nach y: Satz 4 gilt für y = 0,

weil ~~ = 1. Gilt er für y und ist y ~ ~ß' so wird nach Satz 2

d.h. Satz 4 gilt für y + 1. - Ist A eine Limeszahl, gilt Satz 4 für alle

y < A und ist A ~ ~ß' so wird nach Formel (3) von § 29

~'" + Ä = 2: ~'" + y < II ~'" + y , y<Ä y<Ä

also

anderseits ist

also gilt Satz 4 für y = A.

Folgerungen: 1. Ist y endlich, so ist ~=~y = ~=ß. ~",+y für beliebige LX, ß.

2. Für y = 1 ergibt sich daraus Satz 2.

3. Ist;X ~ ~ß' so ist ~:ß = 2~ß. ~:. - Beweis: Ersetzt man in Satz 4 ~ ~ - ~ -

y durch LX, LX durch 0, so wird ~/ = ~/ . ~: = 2 ß • ~:.

4. Für LX < wergibt sich daraus Satz 3.

5· Ist w ~ LX < w1 und ß beliebig, so ist (wegen (i = ~o, also ;X ~ ~ß) nach 3. ~:ß = 2~ß • ~:o.

3. Sätze über unendliche Summen und Produkte von Kardinalzahlen [2,3]·

Satz 5. Ist {mE}.<). eine monotone Folge vom Limeszahltyp Ä von Alephs, und ist y der kleinste Rest von Ä, so ist

ri m. = ( rr m.)Y . • <" ö<).

Beweis: a) Ä sei eine y-Zahl (also y = Ä). Wir setzen 7:.,1/ = ~ für ~ < Ä und rJ < Ä. Ist ~ =#= rJ die natürliche Summe von ~ und rJ (vgl. § 23). so hat die Gleichung ~ =#= rJ = C nur endlich viele Lösungspaare (~. rJ); somit hat ein Produkt IJ m" nur endlich viele Faktoren und ist gleich

'#1/=C ',1/ seinem größten Faktor m"c,o = mc; also ist

(.IJ" mEY=.IJJ.mt=.IJ"C IJ),m"., 1/) = cIJJ. C'//=Cm"E'1/) =cIJ"mc. b) Ä sei keine y-Zahl. und Ä = I wM sei die Zerlegung von Ä in additiv

i<n unzerlegbare Bestandteile (vgl. § 20); die Teilsummen seien (1k = I W"l

i<k {also (10 = 0, (1n = Ä. n> 1, WJ,n-l = y). Teilweise nach a) wird also

IJmE= rr ( IJ mUk+E) = IJ ( IJ mUk+;)"'Äk ~ IJ ( IJ mUk+<)Y E < " k < n E < ","k k < n E < ",J'k k < n Ö < ",),k

= IJ ( IJ m~ H) = IJ m~ = ( IJ mE)Y . k < n • < w"k k , • < " E < ),

Folgerung: Ist Ä eine eigentliche y-Zahl und {(XE}. <.1. eine monotone Folge vom Typ Ä von Ordnungszahlen, so folgt (nach Formel (6) von § 29)

IJ ~". = ( Z ~"E)l. E <), E<"

Daraus folgt unmittelbar:

Sa tz 6. Ist Ä eine eigentliche y-Zahl und {(X.}. <), eine wachsende Folge -vom Typ Ä von Ordnungszahlen mit dem Limes (x. so ist

J: IJ ~'" = N ... • <),

Satz 7. Ist Ä eine Limeszahl, so ist IJ ~E = ~~(entsprechenddem Satz über Summen: I~; = ~),). ö<). E<).

Beweis: Es sei Ä. die kleinste Limeszahl, für die Satz 7 nicht gilt. Nach Satz 6 ist also Ä. keine {'-Zahl. Wir zerlegen Ä. wie im Beweis von

Satz 5. Also ist Ä = (1n-l + y, wobei O'n-l eine Limeszahl mit O'n_l = i und (1n_l < Ä ist. Also ist nach Voraussetzung

IJ ~.=~~ . q<an_t n-l

ferner ist nach Satz 6

also

Nach Satz 4 und wegen y ~ i wird

~i = ~~ +y = ~3 . ~L n-l n-l

also wird

im Widerspruch zur Annahme. Satz 7 gilt also für alle Limeszahlen Ä.

Folgerung: Für a > 0 ist II ~e = ~: (entsprechend I ~< = ~,,). e~" <~"

Beweis: Für a = 1 ist die Behauptung erfüllt. Ist a eine Limeszahl. so ist

Gilt die Behauptung für a, so ist

n ~< = ( n ~<) . ~. + 1 = ~~ . ~,x+ 1> e;:;;;;,,+1 e;:;;;;/X

also nach Satz 2

Bemerkung: Ist {(Xe}«Jl eine wachsende Folge vom Limeszahltyp Ä mit dem Limes a, so würde der dem Satz über Summen I ~/X< = ~" entsprechende Satz über Produkte wahrscheinlich lauten i; < Ä

II ~"< = ~~ (?) «Jl

Diese Beziehung gilt in gewissen Spezialfällen (Satz 6 und 7); ob SIe

allgemein gilt, ist noch ein offenes Problem. Auf alle Fälle gilt

... ~ II ... ~ ... ~A ... ~~cz ~" . 1.'" < 1.'''< ~ 1.'" ~ .... " = 2 , e<Ä

nimmt man die Alephhypothese an (§ 35), so wird

d. h. die fragliche Beziehung gilt allgemein.

§ 33. Die Beths. 143

Satz 8 (über Partialsummen). Ist {m,,};<,; eine beliebige Folge vom Limeszahltyp Je von Kardinalzahlen m$ > 0, so ist

L: m$ = ~ ( ~ m'1) . $<J. «J. '1«

Beweis: Für jedes ~ < Je ist m" ~ .2) mw also wird '1<$+1

~ m$ ~ ~ ( ~ m'1) . $<J. «Ä '1«

Ferner ist 2: m'1 ~ 2: m" für alle ~ < A, also '1« ;<Ä

~ ( .1' m'1) ~ ( ~ m<) . ;: = ~ m<, weil ;: ~ .~ m<. «,; '1« «Ä «Ä «J.

Satzg (über Partialprodukte). Ist {m,,};<J. eine monotone Folge vom Limeszahltyp Je von Alephs, so ist

n m<= n( n m'1). «J. «J. '1«

Beweis: Wir zerlegen Je in y-Zahlen wie im Beweis von Satz 5. BezeichI1en wir die Partialprodukte mit 1'< = n m'1' so wird

'1«

1'''1= n ( n m"k+<)' k < l < < ruÄk

und wegen w';k = ~ w Äi für k < n und nach Satz 6 wird k::;;i<n

anderseits ist m. ~ 1'H 1 für ~ < A, also

n m< ~ n1'H1 ~ n1'<· «-' «Ä «-'

§ 33. Die Beths.

1. Allgemeine Sätze über Beths. Wie wir in § 28 sahen, kann man ohne Auswahlaxiom nicht viel über die Beths aussagen. Wir betrachten nun die aus dem Auswahlaxiom (aber ohne Alephhypothese) ableitbaren Eigenschaften der Beths (die nun spezielle Alephs sind). Zunächst haben wir zwei negative Aussagen [1]:

Sa tz 1. Ist (X > ß > y, und ist ~" keine Potenz von ~ß' so ist ~" keine Potenz von ~Y'

Beweis: Wäre~" = ~~, so wäre nein Aleph, also n2 = n, also

~~;;;; ~~;;;; ~~ = (~~)n = ~~, also

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Satz 2. Ist rp ;;;; cf ((X), so ist ~" =!= nt~ ~~" für nt ;;;; 2 .

Ist (X eine Limeszahl, so existiert eine wachsende Folge {(X;}; < Wef(") mit

dem Limes (x, also ist ~,,= 2: ~"" also nach Formel (5) von § 29 ö < Wef(") ,

~,,< ~:ef(") = ~=Cf(");;;; ~=<P.

Wäre ~" = nt~<P, so wäre aber

N ~ ~

~,, ~'" wenn rp ;;;; cf ((X). 2. Es gibt unendlich viele und beliebig große Alephs, die keine Beths

sind: Ist cf((X) = 0, so ist ~" kein Beth. Ferner gibt es folgende bemerkenswerte Zerlegungen der Beths in

Summen und Produkte von Beths [17]:

Satz 3. Ist (X eine Limeszahl und ß < cf ((X), so ist für fede wachsende Folge {(X;}; < A vom Limeszahltyp A mit dem Limes (X

~~ß = 2: ~~8 " Ö<J. ",'

Beweis: Zu jeder Folge {a~}~<wß von Ordnungszahlen a~ < w" gibt es wegen ß< cf ((X) eine Ordnungszahl; < A, so daß a~ < w"ö für alle'fJ < wß; also ist

also

W(w,,)W(wß) c m W(w".)W(wß) , « i.

~~ß :0;: J: ~~ß <' ~~ß. X :0;: ~~ß . ~ = ~~ß a -~<Ä !XE == IX - a ce «J

woraus Satz 3 folgt. Satz 4. Ist (X eine Limeszahl und ß;;;; cf ((X), so ist für fede wachsende

Folge {(X.}< <Wcf(") mit dem Limes (X

)"'''~ß = n )"'''~ß \"", ""; . "< Wcf (,,)

Beweis: OJc/(a.) ist eme y-Zahl mit OJc/(a.) = ~c/(a.); also wird nach § 32, Satz 6

~~c/ (a.) = 1I ~ ce t%E'

E <roc/(ac)

also

Zu jeder Ordnungszahl (X existiert eine Ordnungszahl ß, so daß 2~(l = ~ß' wobei wir aber über die Zahl ß ohne weitere Hypothesen nichts wissen, außer daß ß ;;S (X + 1, und daß keine ß Limeszahl mit cl(ß) ~ (X

sein kann (vgl. Satz 2). Die Frage nach der Größe von ß (bei gegebenem (X) ist das verallgemeinerte Kontinuumproblem (denn sie ist die Frage nach den Mächtigkeiten der "verallgemeinerten Kontinuen", vgl. § 37). Vorläufig kann man noch folgende Sätze beweisen [6]:

Satz 5. Für 2~(l = ~ß ist notwendig und hinreichend, daß ß die kleinste

Ordnungszahl; mit ~~(l < ~~~ 1 ist.

Beweis: a) Ist 2~a. = ~ß' so ist

~~(l = (2~(lt(l = 2~(l = ~ß < ~ß+1 ~ ~~+1;

ist Y < ß, so ist

2~(l:::;;: ~~(l:::;;: ~~(l :::;;: ~~(l = 2~(l also ~~(l = ~~(l • - l' - l' +1 - ß' l' 1'+1

b) Ist ß die kleinste Zahl; mit ~ ~(l < ~~~ 1> so ist nicht 2 ~(l < ~ß ' denn sonst wäre 2~(l = ~1" Y < ß, also

~~(l = (2~(l)~(l = 2~(l = ~ < ~~(l Widerspruch. l' l' 1'+1'

Also ist 2 < ~ß ~ 2~(l, also

( ~(l)~(l = ~'" ___ ""~(l < ""~(l 2 . 2 ~~ .... ß ~ .... ß + 1 '

also ~ß+1 > 2~(l, also 2~(l = ~ß.

Sa tz 6. Für 2~(l = ~ß ist notwendig und hinreichend, daß ß die kleinste Ordnungszahl; mit ~~(l = ~E ist.

Beweis: a) Ist 2~(l = ~ß' so ist

.. ,.~ ( ~ )~ ~ ~""ß (l = 2 (l (l = 2 (l = ~ß; ist Y < ß, so ist

Ergebn. d. Mathem. N. F. H. 1, Bachmann. 10

b) Ist ß die kleinste Zahl!; mit ~~" = ~~, so ist nicht 2""" < ~ß' denn

sonst ist 2""" = ~Y' Y < ß, also ~~" = ~y (nach a), Widerspruch. Also ist 2 < ~ß ~ 2""1X, also

""'" :::;: "'~""IX = ... ~ __ ( ""IX)""IX = ""IX 2 _ .. , ß '"'ß ~ Z 2, also "" ~ß=Z IX.

2. Die Größe spezieller Beths. Trotz Verwendung des Auswahlaxioms kann man ohne weitere Hypothesen im allgemeinen keine näheren Angaben über die Größe der Beths machen. Dagegen ist dies möglich für die besonderen Beths 111", bei denen 111 eine Mächtigkeit der in § 26 definierten transfiniten Folge {111"}.E w ist. Wir beginnen diese Folge jetzt allgemeiner mit einer beliebigen transfiniten Kardinalzahl "0 = ~q> und setzen

11<+1 = z"<, I1 A = 2.: 11.; für Limeszahlen Ä.

«A

Es wird 11< = ~n(")' wobei :rr(!;) eine Normalfunktion mit :rr(o) = cp ist. Setzt man speziell cp = 0, so wird ".; = I11w + < (wobei 111; die Mächtigkeiten der in § 26 definierten Folge sind).

Alle ~n(; +1) sind Beths, denn für jede Kardinalzahlm mit 2~111 ~ ~n«) ist ~n(.;+1) = m""n(<). Dagegen sind die ~n(A) mit Limeszahlindex Ä keine Potenzen irgend einer Kardinalzahl m < ~n(A): Wäre nämlich ~n(A) = m" mit 2 ~ 111 < ~n(A)' so gäbe es eine Zahl !; < Ä mit 111 < ~n(o' und es wäre ~n(A+1) = 111"""(A) > ~"(A)' also 11 < ~"(A)' also gäbe es eine Zahl 'YJ < Ä mit 11 < ~,,(~) und 'YJ ~ !;; also wäre

mn ~ m"""(~) ~ ~:(~i) = ~"(~+1) < ~,,().), Widerspruch.

Folgerung: Zu jeder beliebigen Kardinalzahl ~y gibt es beliebig große Alephs, die Potenzen von ~)" und beliebig große Alephs, die keine Potenzen von ~y sind.

Über die Potenzen von ~,,(O kann man genauere Aussagen machen [1, 17]:

Satz 7. (I) Ist !X von 1.Art, so ist

"" {~"(IX) für ~ ß =

n(lX) 2""ß für ß~:rr(!X-1),

ß~:rr(!X-1).

(II) Ist !X eine Limeszahl, so ist

(

~"(IX) für ß< cf (!X),

~:rlX) = ~"(IX+ 1) für cf (!X) ~ ß ~:rr (!X), z""ß für ß ~ :rr(!X).

Beweis: Für !X von l.Art folgt (I) aus ~"(IX) = 2"""(1X-1). Nun sei !X eine Limeszahl. Ist ß < cf (!X), so ist nach Satz 3

~""ß = 2.: ~""ß = 2.: ~""ß = 2.: ~""ß + 2.: ~""ß "(IX) «IX ,,(~) «IX ,,«+1) ,,«+1);;;;ß n«+1) ß<n«+1)<,.,(IX) n«+1)'

( ~ß ~ß . ß Für 7t ~ + 1) ;2, ß wird ~"(H 1) = 2 < ~n(!X), für < 7t(~ + 1) wird

~:r~ + 1) ;2, ~,,« + 2); also wird

Ist {1X.}«y eine wachsende Folge vom Typy = wCf(!X) mit dem Limes IX, so wird nach § 32, Satz 6

(I ~'*l<») ~n(!X+1) = 2~n(!X) = 2 «;' = [I z~,,(a;) = rr ~n(" +1) = ~:c~(a),

;<Y ;<y < () also wird

also nach (I)

~~ß = ~~ß r' ß f ( ) n(x+1) n(a) ur .;;;; c IX,

für cf (IX) ;2,ß ;2,7t(IX) ,

für ß;;;; 7t(IX).

Somit ist (II) bewiesen.

Folgerungen: Es gibt unendlich viele und beliebig große Alephs ~!X' für die ~~o = ~a' Es gibt aber auch unendlich viele und beliebig große Alephs ~!X mit ~~o > ~a (z. B. wenn IX = 7t (A), wobei A eine mit W konfinale Limeszahl ist).

Zu gegebenen Ordnungszahlen cp, fl gibt es Ordnungszahlen e > fl und u > 0, so daß ~:ß für alle ß fl mit cf(lX) > 0, und setzt man (! = 7t (IX) , u = cf (IX), so ist für ß< u ~~ß = ~e' also ~~ß keine Potenz einer Kardinalzahl ~ ~rp). Somit sieht man: Wenn ~tp eine Potenz von ~e ist und (J < e, so folgt noch nicht, daß ~'P eine Potenz von ~" ist.

Anwendungen: 1. Die Kardinalzahlengleichung mn = nm hat unendlich viele und beliebig große Lösungspaare {m, n} (außer für endliche Kardinalzahlen mund n, wobei die Gleichung für m =1= n nur das eine Lösungspaar {2, 4} hat): Denn ist IX eine Limeszahl und cf (IX) ~ ß ~ 7t (IX), so ist

~ß ~n(!X) ~n(!X)= ~n("+l)= ~ß "

Für unendliches m sind beispielsweise die Kardinalzahlen mund n =

2 m + 22m + 2 22m + "". exponentiell vertauschbar (additiv und multiplikativ vertauschbar sind alle Paare von Kardinalzahlen).

2. Aus m< n, l' < q folgt nicht immer mP < nq ; z. B. wird für

t1t = ~n(ru), n = ~n(ru + 1). l' = ~o, q = ~,,(ru)

sowohl mP = ~,,(ru + 1)' als auch nq = ~,,(w + 1)"

10*

3. Die BERNSTEINsche Bedingung. - Def. 1: Man sagt, die Kardinalzahl m erfülle die BERNSTEINsche Bedingung, wenn

mn= 2n • m für alle Kardinalzahlen n > o.

Diese Bedingung gilt für n ~ m immer. Der Satz von BERNSTEIN (§ 32, Satz 3) sagt aus, daß die BERNSTEINsche Bedingung für alle Alephs ~a mit (X< w erfüllt ist. Für welche größeren Kardinalzahlen die Bedingung ebenfalls erfüllt, und für welche sie nicht erfüllt ist, läßt sich nicht entscheiden ohne weitere Hypothesen (vgl. § 36). - Wir sehen nun zwar, daß es unendlich viele und beliebig große Kardinalzahlen gibt, die die BERNSTEINsche Bedingung nicht erfüllen: Ist oe eine mit w konfinale Limeszahl, so ist

d.h. ~,.(a) erfüllt die BERNSTEINsche Bedingung nicht.

3. Die Funktion p (a). Def. 2. Ist (X eine beliebige Ordnungszahl, so sei p ((X) die kleinste der

Ordnungszahlen 'fj, die der Ungleichung ~a < ~:'1 genügen [20].

Eigenschaften der Funktion p ((X):

1. p ((X) ~ cf ((X). - Beweis aus ~a < ~=c!(a). 2. cf(P(IX)) = P((X). - Beweis: Es gibt eine Folge {mf.}f.<wCf(a) von

Kardinalzahlen mf. mit 0< mf. < ~p(a) und ~p(a) = :2 mf.; also ist ~:p(a) = n ~~f.. Wegen ~~< = ~a wird f.<OJc!(p(a»

,< OJc!(p(a»

~a < ~~p(a) = ~=c!(p(a», also cf (P (IX)) ~ P (IX) .

Anderseits ist cf(P((X)) ~ P((X).

3. Die drei folgenden Bedingungen sind (offensichtlich) äquivalent:

a)ß<p(IX).

b) ~(l= ~=ß. c) Es gibt eine Mächtigkeit m mit ~a = m~ß.

4. Anhang: Vber die Theorie der Zerlegung einer Menge [14,16, 18, 19]. Die Beths spielen sodann eine Rolle in der Theorie der ~erlegung einer unendlichen Menge M (mit M = m) in eine Klasse K (mit K = n) von Teilmengen Xc M (so daß also M = m X). Wir verwenden dabei die Abkürzung J.l = min X.

X€K X€K

Def. 3. Zwei Mengen A, B heißen fast disjunkt, wenn AB< min (A, B). Def. 4. Ist K eine Klasse von Mengen, so nennt man die kleinste Kar

dinalzahl ~ mit der Eigenschaft XY < ~ für beliebige Elemente X und Y von K den Disjunktionsgrad l> (K) von K.

§ 34. Summen von Beths und höhere arithmetische Operationen. 149

Bemerkung: Ist n ~ 1, so ist b (K) = 0; ist n> 1 und K eine Klasse von paarweise disjunkten Mengen, so ist b (K) = 1; ist n > 1 und Keine Klasse von paarweise fast disjunkten Mengen, so ist b (K) ~ 1'.

Wir geben hier die wichtigsten Ergebnisse der Theorie ohne Beweise: 1. Für jede unendliche Menge M existiert eine solche Zerlegung in fast

disjunkte Mengen (so daß also b (K) ~ 1'). Dann ist immer n ~ mP. Ferner gibt es auch immer eine Zerlegung, die die Nebenbedingung n> m erfüllt. Speziell gilt:

a) Sind a > 1 und b > 1 Kardinalzahlen derart, daß entweder m = ab oder b die kleinste Kardinalzahl mit m < ab ist, so gibt es eine solche -Zer-legung mit n = ab und X = b für alle X € K.

b) Ist m = ~"(,,,), wobei cx eine Limeszahl ist, und P ~ cf(cx), so gibt es eine solche Zerlegung mit n = ~"(,,, + 1), b (K) ~ ~fJ'

c) Ist m = ~"(,,,), wobei cx von 2. Art ist!!f(cx) = cf(P) und P ~ cx, so gibt es eine solche Zerlegung mit n = ~"("'+1), X = ~fJ für alle X € K.

2. Äquivalenzen: aLm< mnst notwendig und hinreichend dafür, daß sich jede Menge M

mit M = m in fast disjunkte unendliche Mengen zerlegen läßt mit n > m und b(K) ~~.

b) 0< n ~ m~' ist notwendig und hinreichend dafür, daß für jede Menge M mit M = meine Zerlegung in eine Klasse K mit j( = n von unendlichen fast disjunkten Mengen existiert mit b (K) ~ ~o.

3. Eine Zerlegung von M in eine Klasse K ist nicht möglich: a) Wenn m = ab, n > m, b (K) ~ b verlangt wird. b) Wenn m = ~"(,,,), wobei cx eine Limeszahl, und P < cf(cx), n> m,

b(K) ~ ~fJ. c) Wenn m = ~ .. (",), wobei cx eine Limeszahl, und cf(cx) + cf(P), n < m,

V ~ ~fJ, b(K) ~ ~fJ' d) Wenn m = ~",(",), wobei cx eine Limeszahl, n> m, I' > ~fJ, b (K) ~ ~fJ' e) Wenn m = ~",(",), n > m, I' > ~o, b (K) ~ ~o.

Bemerkung: Nahe verwandt mit den Klassen fast disjunkter Mengen sind die Klassen schließlich disjunkter Folgen von Ordnungszahlen [15J. Zwei Folgen {CXdE < Ä und {P.}. < Ä von demselben Limeszahltyp A. heißen schließlich disjunkt, wenn eine Ordnungszahl p. < A. existiert, so daß CXE + P'1 für p. < ~ < A. und p. < 'f} < A.. Dabei gilt der Sa tz: Ist cx eine beliebige Ordnungszahl, so existiert eine Klasse der Mächtigkeit ~'" + 1 von wachsenden Folgen vom Typ co'" von Ordnungszahlen< co"', die paarweise schließlich disjunkt sind.

§ 34. Summen von Beths und höhere arithmetische Operationen.

1. Summen von Beths [20]. Bei Benutzung des Auswahlaxioms kann man beliebige Summen von Beths definieren. Wir betrachten hier besond~rs zwei Arten solcher Summen:

Def. 1. Sind mund n Kardinalzahlen, so definieren wir

!!!n = I .rn , ):<rn

m.!1=Im):. ):<n

Man sieht sogleich, daß diese Ausdrücke monoton in m und in n sind:

Ist m ~ m1 und 0< n ~ n1 , so ist~" ~ E!~l und m~ ~ mf. Andere Ungleichungen, wie z. B.

B" ~ n für m ~ 3, ml! ~ m für !I ~ 2, ml! ~ 11 für m ~ 2

(siehe auch Bem. b nach Satz 2) sind sehr leicht zu beweisen (die letzte ist z. B. für n ~ ~o evident; für n = ~ß mit ß > 0 wird

~ ~ m!: ~ X m ß ~ ~ 2 ,; ~ ~ ~Hl = ~ß = n) .

«ß ~<ß «ß Ferner wird für m ~ 2 und transfinites n

1. Die Potenzsummen der ersten Form .!!!" sind natürlich nur für transfinite Kardinalzahlen n = ~ß interessant. Für endliches m ~ 3 wird dann ~~ß = 2~ß. Aber auch für transfinites m lassen sich diese Potenzsummen in vielen Fällen auf einfache Potenzen zurückführen, wie die beiden folgenden Sätze zeigen:

Sa tz 1:

Beweis:

S atz 2. Ist (X eine Limeszahl, so ist

~:ß = f~=ß für ß< cf (IX),

- 12~ß für ß ~ IX.

Beweis: Für ß < cf (IX) wird nach § 33, Satz 3,

~=ß = ~~ß + 1: ~~ß = 2~ß + ~=ß = ~=ß; ~ «IX

für ß ~ (X wird

Bemerkungen: a) Der einzige Fall, in dem die Zurückführung auf gewöhnliche Potenzen nicht gelingt, ist derjenige, wobei c.: eine Limeszahl und cf ((X) ~ ß < c.: ist. Dann weiß man nur, daß gilt:

~IX ~ ~=ß ~ ~=ß ---

(denn ~IX = ~ ~; ~ X ~~ß = ~=ß ~ ~:ß . ~IX = ~=ß) . «IX «IX ~

b) Aus den Sätzen 1 und 2 folgt eine weitere Ungleichung: Es ist .!!!~ß ~ m dann und nur dann, wenn entweder 3 ~ m :;;; ~o, oder m = ~IX mit Limeszahlindex (x, oder m = ~IX + 1 mit ß ~ P ((X) ist (Def. von p (IX) siehe § 33).

2. Wir betrachten nun die Potenzsummen der zweiten Form m.!!.. Diese sind von größerer Wichtigkeit als diejenigen der ersten Form, wie aus dem folgenden Satz hervorgeht (der sich aus dem Hilfssatz 'Von § 31 ergibt) :

Satz 3. Ist M eine unendliche Menge mit M = m, und ist n;;;;; m, so hat die Menge S der Teilmengen Xc M mit X< n die Mächtigkeit 5 = m~.

Auch die Ausdrücke m.!!. kann man in gewissen Fällen auf gewöhnliche Potenzen zurückführen (für m ~ 1 gilt sogar m~ = m· ~o) :

Satz 4. Ist 2 ;;;;; n ;;;;; ~p(/x)' so ist ~~ = ~/X.

Beweis: Nach der Voraussetzung n;;;;; ~P(/X) und nach Def. von p ((X) (§ 33) ist

also

Zusammen mit ~~ ~ ~/X ergibt sich Satz 4.

Satz 5. Ist m ~ 2, so ist mlle = mllp.

Beweis: Für}:;;;;; ~p ist m~;;;;; mllp, also

n ~;; ;;;;; ~/X. n = ~/%.

mlle; ;;;;; mllp . ~P+l = mllp .

Folgerung: Ist M eine unendliche Menge mit M = m, und ist ~p;;;;; m, so ~at die Menge S der Teilmengen Xc M mit X ;;;;; ~p die Mächtigkeit 5 = mllp.

Die Potenzsummen der Form m~ mit Limeszahlen ß, die die restlichen Fälle ausmachen, lassen sich nicht ohne weitere Hypothesen auf gewöhnliche Potenzen zurückführen (außer im Fall m < 2). Wegen der großen Bedeutung dieser Potenzsummen ist es aber nützlich, gewisse Rechenregeln zur Hand zu haben. Für m ~ 2 und beliebige Ordnungszahlen ß lassen sich folgende Sätze beweisen:

. Ilß Ilcf(Pj Hllfssa tz: m~ ~ ~ß--.

Beweis: Ist ß = 0, so ist cl(ß) = ß = P(ß), also nach Satz 4

,.,. Ilcf(ßj ,.,. IIp ...... ""~ __ .. ~ 1l!f(ß] ~'ß = ""ß, also m_,,;;; ~'P "0-·

Ist ß von 1. Art, so ist nach Satz 5 und wegen cl (ß) = ß

m~= mllp - 1 ~ Zllp-l= (Zllp-1tP- 1 ~ ~;P-l = ~t = ~~.

Ist ß eine Limeszahl, so ist für ~ < cl (ß) nach § 33, Satz 3,

~;< = ~ ~~< = ~ ~~< + ~ ~~< . 1/<P 7/;:;;;< «'1<P

Wegen ..,.~; - ~; f" ~""'1 - 2 ur und für 1] > ~

wird also

also

Satz 6.

.... ~ ~cf(ß) ~ß .... ~ ~ß ~ß wO-;;;; 2~ • ~""cf(ß) = 2~ ;;;; m..:...

{ m~ lür y< cl({J) ,

(m~ty = m~ß lür cl ({J) ;;;; y;;;; (J, m~y lür y:;;;'{J.

Beweis: a) y< cl({J): Es ist {J:;;;' 1, also m~=:E m~<. Wir setzen Ii<ß

nun ~(Ii.'1) =. ~Ii für jedes geordnete Paar (~, 1]) von Ordnungszahlen. Dann wird

Es sei (/> die Klasse aller Folgen rp = {rp'1h < Wy mit rp'1 < {J; nach dem Distributivgesetz wird also

(m~ty = :E (" n m~(I"'1''1») = ~ ( n m~I"'1) = :E m('1~wy~9''1). 9' e <l> '1 < w" 9' E <l> '1 < W y 'P e <l>

Für beliebiges rp € (/> ist

also ( E ~'P)

m '1<Wy '1;;;; m~,

ferner ist (teilweise nach dem Hilfssatz)

'$ = ({J-)~" ~ ~~" ~ ~~ ~ m~ß - ß - ß -~,

also wird

( ~ß)~" < ( ~ß)2 = ~ß m~ =m~ m~.

b) cl ({J) ;;;; y ;;;; {J: Nach § 32 gibt es eine Folge {mdli < wcf(ß) von Kardinalzahlen mli mit 0 < mli < ~ß und ~ß = :E" mli • Also wird

< < <Def (ß)

m~ß = n mnJo ;;;; (m:J'l)~", 0< <Dcf (ß)

Anderseits ist (teilweise nach Satz 5)

( ~ß)~" < ( ~ß+l)~Y_ ( ~ß)~Y- ~ß'~,,- ~ß m~ = m____ - m - m - m .

c) y ~ (3: Setzt man in b) y = {3, so wird

also wird für y ~ {3

Satz 7.

{ m~ für y~cf(ß), (m~)~= m:ß für cf(ß) < y ~ß + 1,

m,.] für y >ß.

Beweis: a) y ~ cf({3): Nach Satz 6 ist

(m~)~ = m~ für .1"< ~l" also wird

b) cf ((3) < y ~ {3 + 1: Setzt man in Satz 6 zuerst y = cf ({3) und dann y = {3, so erhält man

ferner ist nach Satz 5

(m~)~CI(ß) = (m~t~.~ .. :!} ~ (m~)~ ~ (m~)~ = (m~tß,

also wird

c) y >{3: Es ist

m~=m~+ ~ m~e=m~ß+ ~ m~<= ~ m~e; ß<e<y ß«<y n;;;;e<y

analog wird also

Nach Satz 6 ist

für ~~ß, also

Satz 8.

Beweis: Für y ;;;;; ß + 1 ist

(mItß)~ = mltß für 0 < ~ < ~", also (mItß)~;;;;; mltß • ~" = mltß •

Für y > ß und y von 1. Art ist nach Satz 5

( Itß)1t (It )It Itp . It It It m .:f= m·ß l'-l=m l'-l=m l'-l=m,J.

Für LimeszahIen y > ß wird

2. Höhere arithmetische Operationen mit Kardinalzahlen. In Analogie zu den Ordnungszahlen kann man auch in der Kardinalzahlenarithmetik neben den elementaren höhere arithmetische Operationen definieren.

1. Ist I eine arithmetische Operation, die jedem Paar (m, n) von Kardinalzahlen eindeutig eine Kardinalzahl/(m, n) zuordnet, so daß für m> 1

und n > 1 I( m, n) monoton in mund n ist und I( m, n) ~ m, I( m, n) ~ n gilt, so kann man wie in § 14 eine Folge von Iterationen Iv (m, n) auf 6 verschiedene Arten defj.nieren. Dabei tritt an Stelle des Limes von Ordnungszahlen der in § 28 definierte Limes von Kardinalzahlen. Man sieht sogleich, daß I"(m, n) dieselben (oben genannten) Eigenschaften hat wie I(m, n). Ferner gilt I" (m, n) ;;;;; Iv + 1 (m, n) für jede Ordnungszahl v.

2. Sodann kann man wie in § 14 jeder arithmetischen Operation I( m, n) mit den oben genannten Bedingungen auf zwei verschiedene Arten ein Funktional F zuordnen, das jeder Folge von beliebigem Typ A ~ 1 von Kardinalzahlen m. eindeutig eine Kardinalzahl F(A) = F m. zuordnet.

'<Ä Dieses Funktional ist für m. > 1 in allen Variablen m. und in A monoton; ferner gilt I"(m, m) =F(1 + v), wenn entweder I" nach Definition (1) von § 14 und F(A) nach Def. (8) von § 14, oder I" nach Def. (3) und F(A) nach Def. (9) definiert ist, und wenn alle m. = m.

3. Schließlich kann man jeder Operation I( m, n) eine höhere Operation j'(m, n) zuordnen, indem man setzt:

f' (m, n) = I" (m, m), wobei v die kleinste Ordnungszahl mit ii = n ist.

Die elementaren Operationen sind

,die nächst höhere Operation

9'1 (m, n) = m + n,

9'2 (m, n) = m . n ,

9's(m, n) = m";

9'4(m, n) = 9'~(m, n)

,ergibt dann wiederum spezielle Exponentenketten. Dabei verhalten sich die Kardinalzahlen-Exponentenketten in gewisser Hinsicht gerade umgekehrt wie die Ordnungszahlen-Exponentenketten:

Verwendet man die Iterationsdefinition (1), so ist

9',(m, n) = 9',(m, 2) für m ~ ~o und n ~ 2,

§ 35. Die Alephhypothese. 155

denn ist tp~ (m, m) = tpa (m, m) = mm, so folgt tp~ + 1 (m, m) = tpa (11'; (m, m), m) =tpa(mm, m)=(mm)m= mml = mm=tpa(m, m), während bei der Def.(l) die Ordnungszahlen-Exponentenkette 11', (<X, P) für <X> 1 in p wachsend ist.

Verwendet man die Iterationsdefinition (3), so ist für m> 1 tp,(m, n) in n wachsend, denn es ist 11'; + 1 (m, m) = tpa (m, 11': (m, m)) = m'l'~(m. m)

> tp~(m, m), während bei der Def. (3) die Ordnungszahlen-Exponentenkette 11', (<X, P) von einer Stelle ab konstant in p ist.

4. Verwendet man Def. (5), so ist die Kardinalzahlen-Exponentenkette <1'4 (m, n) und auch die Ordnungszahlen-Exponentenkette 11', (<X, P) in der zweiten Variablen eine wachsende Funktion. Man kann leicht beweisen (analog wie in § 14), daß man jeder Ordnungszahl 'I'} ~ 3 eine Operation tpfJ zuordnen kann, wobei (mit Verwendung von Def. (5»

tpa(m, n) = mn, tpfJ+1(m, n) = tp~(m, n) für 'I'} ~ 3, tpA(m, n) = lim 11' (m, n) für Limeszahlen Ä.

'1<A '1

Jeder dieser Operationen 11''1 kann man nach Def. (8) oder (9) ein Funktional tPfJ zuordnen, das jeder Folge {nl. }. < J. von Mächtigkeiten mit Ä ~ 1 eine Mächtigkeit tPTJ (Ä) zuordnet.

§ 30. Die Alephhypothese.

1. Auswahlaxiom, verallgemeinerte Kontinuumhypothese und Alephhypothese. Ohne Auswahlaxiom kann man für jede unendliche Mächtigkeit m beweisen, daß m ~ m2 gilt, aber nicht entscheiden, welche der beiden Möglichkeiten< oder = erfüllt ist. Aus dem Auswahlaxiom folgt, daß der zweite Fall realisiert ist (dieser ist ihm sogar äquivalent). Ein ganz analoger Sachverhalt tritt nun in der Theorie der Beths auf: Aus dem Auswahlaxiom folgt, daß für jede Ordnungszahl (X gilt ~"+1 ~ 2~"; aber ohne weitere Hypothesen kann man nicht entscheiden, welche der beiden Möglichkeiten erfüllt ist. Da viele Fragen der Mengenlehre von der Größe der Beths abhängen, braucht man eine Hypothese, die für eine der beiden Möglichkeiten entscheidet: eine solche ist die "verallgemeinerte Kontinuumhypothese" (die für die zweite Möglichkeit entscheidet, vgl. unten). Diese lautet in der kardinalen Form (wobei nur Begriffe rein kardinaler Natur verwendet werden):

(~) Für jede unendliche Mächtigkeit m gilt: Es gibt keine Mächtigkeit 7: mit m < 7: < 2m,

in der ordinalen Form (wobei auch ordinale Begriffe verwendet werden):

(,r.,) Für jede Ordnungszahl (X gilt 2~" = ~"+1. Die zweite Form (,r.,) heißt die Alephhypothese. Sie enthält erstens die

Aussage, daß 2~" ein Aleph ~ß ist (d.h. daß die Potenzmenge von W (co,,) wQhlgeordnet werden kann) und zweitens, daß dabei speziell ß = (X + 1

ist. (~) und (,r.,) sind nur bei Zugrundelegung des Auswahlaxioms einander äquivalent.

GÖDEL [lZ, 13, 14, 15] hat bewiesen, daß die verallgemeinerte Kontinuumhypothese relativ zum ZERMELO-FRAENKELschen System widerspruchsfrei ist (sofern dieses selbst widerspruchsfrei ist). Wenigstens vom axiomatischen Standpunkt aus scheint damit das verallgemeinerte Kontinuumproblem völlig erledigt zu sein; dies trifft aber nicht zu. Die Frage der Unabhängigkeit der Kontinuumhypothese von den andern Axiomen ist nämlich immer noch ungelöst. Zudem wird die Widerspruchsfreiheit der Hypothese bezüglich der andern Axiome zerstört, sobald ein Widerspruch unter den letzteren gefunden wird. Ist die Unabhängigkeit der Hypothese bewiesen, so hat es vom axiomatischen Standpunkt aus allerdings keinen Sinn, zu fragen, ob die Hypothese wahr sei oder falsch. Von andern Standpunkten aus gesehen bleibt dieses Problem aber bestehen.

Der Zusammenhang zwischen der verallgemeinerten Kontinuumhypothese (oS{) und dem Auswahlaxiom(~) wird durch die beiden folgenden Sätze gegeben (die ohne (~) bewiesen werden können):

Satz 1. Ist m eine unendliche Mächtigkeit und gibt es keine Mächtigkeit 1: mit m < 1: < zm und keine Mächtigkeit \ mit zm< I) < Z2m, so ist zm (und somit auch m selbst) ein Aleph.

Beweis: a) Wir zeigen, daß m= m+ 1 = m· z= m2 : Nach § z6 ist m ~ m . z < zm, also nach Voraussetzung I = m . z; wegen m <; 2m

folgt also m ~ m2 ~ (zm)2 = 2m• 2 = zm, also \\- gen m2 =1= 2m (§ 26) und nach Voraussetzung m = m2 •

b) Nach § 30 wird

also 2m ~ 2m + ~ (m) < 2 2m +It(m) = 2 2m • 2 1t (m) ~ 22m • Z2m= 2 2m . 2

= 22m+1= 22m,

also nach Voraussetzung 2m = 2m + ~ ( m), also ~ ( m) ;;;;; zm. Daraus folgt nun

m < m + ~ (m);;;;; m· ~ (m);;;;; 2m • 2m = 2m • 2 = 2m,

also nach Voraussetzung m + ~(m) = m . ~(m), also sind m und ~(m) vergleichbar, also ist m< ~(m) ;;;;; zm, also nach Voraussetzung zm= ~ (m), also ist zm ein Aleph.

Aus Satz 1 folgt unmittelbar:

Satz z. (oS{) _ (~).

Folgerung: (oS{) - (~); mit Hilfe der Axiome (I) bis (VII) von§ 2

läßt sich also die Äquivalenz von (oS{) mit dem logischen Produkt von (~) und (~() beweisen.

-------- ----------------------§ 35. Die Alephhypothese. 157

2. Zur Alephhypothese äquivalente Sätze über Alephs. Die Alephhypothese besitzt zahlreiche andere äquivalente Formulierungen. Zunächst mögen einige Hypothesen über Kardinalzahlen folgen, deren Äquivalenz mit (J?) mit Hilfe der Axiome (I) bis (VII) von § 2 und dem Auswahlaxiom (das wir jetzt wieder voraussetzen wollen) bewiesen wird [8, 26]:

(J?1) Für fede Ordnungszahl tX ist ~:~1 < ~:~2 . (J?2) Für fede Ordnungszahl tX ist ~:~1 = ~'" +1 (d. h. für fede Ord

nungszahl tX von ~. Art gilt P(tX) = tX). (J?3) Für fede Ordnungszahl tX gilt: Jede Menge M mit M = ~'" +1 ist

äquivalent der Menge aller Teilmengen Xc M mit X< M (d.h. ~~ ",+1

=~"'+1)' (J?4) Für fede Ordnungszahl tX ist 2~'" = ~",. (J?s) Für fede Ordnungszahl tX ist P(tX) = cf(tX). (J?8) Für fede Ordnungszahl tX ist ~:ef("') = ~'" +1 .

(J?7) Für fede Ordnungszahl tX ist ~'" = I ~:. p. < "'ef("')

Äq ui valenz beweise:

Die Äquivalenz von (J?1) und (J?2) mit (J?) folgt direkt aus Satz 5 und 6 von ~ 33.

~"'+1 ~" (J?2) ~ (J?~) folgt aus ~~ = ~'" +1 und Satz 3 von § 34· ",+1 (J?) -+ (J?4): Aus (J?) folgt

2~ = 2~ + J: 2~1; = ~o + J: ~I; +1 = ~"" also (J?4) .

(J?4) -+ (J?5): Aus (J?4) folgt für ~ < cf (tX) wegen (2~t< = 2~ die Gleichung ~=< = ~"" also; < P (01.), also cf(tX) -;;;;'P (tX). Wegen cf(tX) ~ P (tX) (§ 33) gilt also (J?s)'

(J?5) -+ (J?2) : Aus (J?5) folgt P (tX + 1) = tX + 1 wegen cf (tX+ 1) = tX+ 1, also

tX < P (tX + 1), also ~:~1 =~" nach Def. der Funktionp; d.h. es gilt (J?2)' (J?)-+(J?8): Aus (J?) folgt

~'" < ~:el("') -;;;;, ~:'" = 2~'" = ~a+1' also (J?6)'

(J?8) -+ (J?): Aus (J?6) folgt für isoliertes tX 2~'" = ~:'" = ~"'+1 wegen cf(tX) = tX. Ist A eine Limeszahl und {tX<}«we!(Ä) eine wachsende Folge

mit dem Limes A, so ist ~,,= I ~"I; + l' also I; < OJe!(,,)

2~"= II 2~"1;+1= II ~"<+2-;;;;,~~e!(Ä)=~"+1' I; < ro e!(,,) I; < OJc!(",)

~ also 2 ? = ~,,+ 1 .

(~5) --> (~7): Aus (~5) folgt ji < ~p(,,) für f-l < wcl(")' also ~: = ~'" also I ~~ = ~" . ~CI(") = ~".

"'<Wcl(")

(~7) --> (~5): Aus (~7) folgt ~:ß = ~" für ß < cf (IX), also P (IX) ;;;; cf (IX), also p (IX) = cf (IX).

3. Weitere Äquivalenzen zur Alepbbypotbese. Die folgendenÄquivalenzen zur Alephhypothese sind weniger naheliegend.

1. Folgender Satz aus der Theorie der Funktionale ist mit (.\;» äquivalent [Z3J:

(.\;>8): Es gibt ein Funktional F, das jeder Folge {IXl;h < ru" mit IX,; < W" +1 eine Ordnungszahl F IX~ < W" +1 zuordnet, so daß für jedes solche Funktional f

';<al"

derselben Art eine Funktion q; einer Variablen 1) < W"+1 mit q;('f}) < W,,+1 existiert, wobei / IX$ = q;( F IXI;)/ür jede Fvlge {IX!;}" < ru " mit IX" < W"+1 gilt.

"<ru,, ,;<ru" (.\;>2) --> (.\;>8): Aus (.\;>2) folgt die Existenz einer eineindeutigen Abbildung

zwischen W(W"+1)W(w,,) und W(W"+1)' Es sei F IX" die dadurch der Folge ,;<ala

{IX,;h<w", entsprechende Ordnungszahl< W"+1. Das Funktional F ge-nügt den Bedingungen von (.\;>8): Es sei/ ein beliebiges Funktional derselben Art. Nun gehört zu jeder Zahl 'f} < W"'+1 eine zugehörige Folge {IX~}e<w"" so daß 'I = F IXi;. Man setze q; ('f}) = / IX';.

!;<Ä ,;<ru" (.\;>8) --> (.\;>2): F sei ein Funktional, das den Bedingungen von (.\;>8) ge1'l.ügt.

Sind {IX!; h < co" und {P< h < co" verschiedene Folgen mit IX" < co" + 1 und p!; < W" +1, so ist F IX!; =1= F p,,; denn wäre F IX" = F Pi;, so setze man / IX" = 1

~ < W ct .; < W eL .; < W a .; < w(% .; < W a

und / YI;=O für alle Folgen {Y"}I;<W,, mit y,,< W"+1, die von {IX"h<ru,;<ru"

verschieden sind. Also existiert nach Voraussetzung eine Funktion q;, so daß 1 = / IX" = q; ( F IX,,), also 0 = / P,; = q; ( F P,,) = q; ( FIX!;) = 1, Wider-

~<wa ,;<wa ';:<wa ~<wrx ~<wlX

spruch. Das FunktionalF stellt somit eine eineindeutige Abbildung zwischen

W(W"+1) und W(Wa +l)W(rua) her, also ist ~"+1 = ~:~1'

Bemerkung: Für endliche Folgen {IX,,},,<n von festem Typ n< W mit IX" < A (wobei A;;;; w) gibt es immer ein Funktional F, das jeder solchen Folge eine Ordnungszahl F IX" < ). zuordnet, so da/J zu jedem Funktional/derselben

,,<n Art eine Funktion q; von einer Variablen vom Typ A und mit Werten< A existiert mit / IX" = q; ( FIX';).

,;<n ,;<n

Beweis: Es gibt eine eineindeutige Abbildung zwischen W(A) und der Menge der Folgen {IX!;},;<n mit IX!; < A, weil diese die Mächtigkeit (Ir = I hat.

z. Es gibt ferner eine mit (.\;» äquivalente Aussage über Doppel/olgen [zo]. Zur Vorbereitung betrachten wir eine Folge F von Funktionen, die jeder Ordnungszahl'f) < v eindeutig eine Funktion/'1 vom Typ ,u zuordnet (wobei "'. und v beliebige Ordnungszahlen seien).

Def. 1. Ist f'1 eine Funktion einer solchen Funktionenfolge F, die einen Abschnitt hat, der niemals Abschnitt einer Funktion fr( von F mit 'YJ' < 'YJ ist, so heißt f'1 eine Primfolge bezüglich F.

Def. 2. Der kleinste Abschnitt einer Primfolge f'1 von F,der niemals Abschnitt einer Funktion f'1' von F mit 'YJ' < 'YJ ist, heißt Primabschnitt von f"l'Jeder Abschnitt von f"l' der den Primabschnitt von f"l enthält, hat also die Eigenschaft, niemals Abschnitt einer Funktion f"l' von F mit rj' < 'YJ zu sein.

Wir führen eine teilweise Ordnung des Wertbereichs von F ein, indem wir f"l -s fr: setzen, wenn es eine Zahl ~ < P. gibt, so daß f"l W) < fr: W) für alle ~' mit ~ ~ ~' < p..

Dabei gilt: Ist p. eine Limeszahl mit cf(p.) > 0, so ist jede durch -s geordnete Klasse von Funktionen f"l vom Typ p. auch wohlgeordnet.

Beweis: Annahme, K sei eine Klasse von solchen Folgen, und es gebe eine Teilfolge vom Typ 00 von Folgen f'1 (n < (0) mit f'1 ?- f"l für alle

. n n n+l n< w. Ist ~n die kleinste Zahl~, so daß f"ln (~') > f"ln+l (~') für alle e mit ; ~ ~'< u, und ist x = sup ~n, so ist x< p. und f"l (x) > f"l (x) für alle -. n<w fI n+l

n < 00, was unmöglich ist. (.\;)9) In jeder durch -s wohlgeordneten Folge vom Typ 00", + 2 von wachsen

den Funktionen f"l vom Typ 00"'+1 mit Werten< 00"'+1 hat die Menge der Primfolgen die Mächtigkeit ~'" +1.

(.\;)2) -+ (.\;)9): Es sei F eine durch -s wohlgeordnete Folge vom Typ 00", + 2 von solchen Funktionen f'1' Die Wertmenge jedes Primabschnitts einer solchen Funktion ist eine Teilmenge von W(W"'+I) mit einer Mächtigkeit

~ ~",; es gibt höchstens ~~~1 = ~"'+1 solche Teilmengen (nach § 34, Folgerung von Satz 5). Da in F zu einem Primabschnitt nur eine Funktion gehört, so gibt es höchstens ~"'+1 Primfolgen.

Es gibt mindestens ~"'+1 Primfolgen, denn sonst gäbe es in F ~"'+2 Funktionen, die nicht Primfolgen wären; jede solche Funktion ist aber Vereinigung der in ihr als Abschnitte auftretenden Primabschnitte von Primfolgen; da nur ;;;;;; ~'" Primabschnitte vorhanden wären, gäbe es aber nur ;;;; ~"'+1 solche Vereinigungen.

(.\;)9) -+ (~): Es gelte (.\;)9)' Wäre (.\;)) falsch, so wäre 21t",;;;; ~"'+2, also könnte man eine Folge H vom Typ 00", + 2 von verschiedenen wachsenden

Funktionen vom Typ 00", mit Werten< 00", bilden (weil es ~~'" = 2 1t", ;;;;; ~IZ + 2

solche Funktionen gäbe). Ist F eine Folge von Funktionen f'1 mit den Bedingungen vOn (~9)' so ersetzen wir F durch eine andere Folge G von Funktionen, indem wir jede Funktion h'1 von H als Abschnitt verwenden und diesen durch denjenigen Rest der zugehörigen Funktion f'1 von F ergänzen, dessen Werte alle Werte von h'1 übertreffen. In G wären dann alle Funktionen Primfolgen, Widerspruch. Also folgt (.\;)).

3. Ein weiterer, mit (.\;)) äquivalenter Satz ist [20J: (.\;)10): Ist E eine wohlgeordnete Menge, E' eine nicht-leere Teilmenge von E

und feine eineindeutige Abbildung, die jedem x EE' eine nicht-leere Teilmenge f(x) cE zuordnet, die aus lauter Element!!..n y -s x besteht, wobei f(x) ;;;; ~'" für alle x EE' und E - E' ;;;; ~'" +1, so ist E ;;;; ~'" +1.

(.\;)10) -+ (.\;)): Es gelte (.\;)10)' Wäre nun 21t",;;;;; ~IZ+ 2, so setzen wir E = W (00", + 2); ferner sei für 1 ;;;; ~ < 00", f(~) die Menge der Zahlen 'YJ mit 1 ~ 'YJ < ~; für 00", ;;;; ; < 00", + 2 sei f(~) eine Menge der Mächtigkeit ~'" von

Zahlen 1] mit 0 ~ 7j < wlJ/. so daß f(~) =l= fW) füE. ~'=l= ~'. Diese Funktionf genügt den Bedingungen von (S';IIO). aber es ist E = ~/X+2. Also haben wir einen Widerspruch.

(S';I) -+ (S';IIO): Es sei E eine wohlgeordnete Teilmenge undfeine Funktion mit den Voraussetzungen von (S';IIO). Für jede Teilmenge McE sei nun(l) (M) die Menge aller Elemente XE E' mit f(x) c M. Es gilt:

M ~ ~/X+l -'>- (l)(M) ~ ~/X+l

(denn die Mächtigkeit der Menge der Teilmengen Xc M mit X ~ ~/X ist -I! I!IJ/ -- -

= M /X ~ ~/X+l = ~/X+1. also ist (l)(M) ~ ~/X+l). Wäre nun E ~ ~1J/+2. so

wäre E ~ W/X + 2. Dann sei EI das Anfangsstück vom Ordnungstypus wlJ/+2 von E; No sei der kleinste Abschnitt von EI' der alle Elemente von EI - E' enthält. und No sei zum Element ao E E gehörig. also istf(ao) c No. Nach der .Qben bewiesenen Beziehung ist also EI (l)(No) ~ ~/X+1.

Wir definieren nun eine Folge von wachsenden Abschnitten N" von EI: N" +1 sei der kleinste Abschnitt. der EI (l) (N,,) umfaßt; ist N" in EI durch a" bestimmt. so ist f(a,,) c N". also a" E N"+l. also ist N" ein Abschnitt von N"+l. Ist Ä. eine Limeszahl. so sei NA = [5 N.,. - Es existiert NI' für alle

,,<A 11 < W/X+2; also ist f(aw/X+1) c NW/X+1; wegen f(aW/X+l) ~ ~/X existiert ein kleinster Abschnitt N..!. :Jf(aW/X+l) mit" < W/X+l; also ist aW/X+l E N"+l. Widerspruch. Also ist E ~ ~/X+1. d.h. es gilt (S';IIO).

4. Schließlich seien solche mit (S';I) äquivalente Aussagen angeführt. die sich in der Geometrie anwenden lassen (vgl. § 37).

(S';Ill) Jede Menge~r Mächtigkeit21!/Zist VereinigungeinerFolge{MEh<~ von Mengen ME mit ME = ~/X' wobei für ~l < ~2 < 7: ME, echte Teilmenge von ME. ist.

(S';I) :...... (S';Iu): Ist M eine Menge von der Mächtigkeit 21!/X. so lassen sich die Elemente von M durch Wohlordnung von M und nach (S';I) als Folge {x,,},,<w/X+1 darstellen. Es sei ME die Menge der x" mit 11 < W/X +~. Somit ist M = [5 ME und ME, echte Teilmenge von ME. für ~l < ~2 < W/X+1.

E<w/X+l (S';Ill) --+ (S';I): Es sei M eine Menge mit M = 21!/X und M = [5 ME. wobei

E<~

die Bedingungen von (S';Ill) für die ME erfüllt seien. Wegen zl!tx: ~ ~/X +1 ist 7: ~ ~/X+l. also 't" ~ W/X+l. Es sei T = [5 ME; also ist f = ~/X • ~/X+l = ~/X+l.

E<W/X+l Wir zeigen. daß M = T ist: Es sei x E M; also gibt es ein ~ < 't" mit

x E ME. Wegen ME = ~/X gibt es ein Xl E T mit Xl non E ME. also gibt es ein ~1 < W/X+l mit Xl E ME" aber Xl non E ME· Also folgt ME c ME" ~ < W/X+l. also XE T. Somit ist MeT; da auch Tc M. ist T = M. also 21!/X = ~/X+1.

Bemer ku ng: Jedoch ist eine Menge der Mächtigkeit 21!/Z nie Vereinigung einer Menge der Mächtigkeit ~/Z von paarweise disjunkten Mengen mit wach.senden Mächtigkeiten mE; denn sonst wäre nach § Z9

zl!/z = -S mE< n mE ~ (zl!/Zt/X = 21!/X. Widerspruch. E < {J)a ,< ro cx .

(.i>12) Ist M eine Menge mit M = 2~"" so ist [M, M] Vereinigung von zwei disjunkten Mengen E Q, EI' so daß E o zu jedem beliebigen y E M höchstens ~'" Paare (~, y) enthält, und EI zu jedem beliebigen x E M höchstens ~'" Paare (x, 1]) enthält.

(.i» ---+ (.i>12): Nach (.i» existiert eine Wohlordnung von Mim Ordnungstypus W", +1; die Elemente von M seien deshalb mit m. bezeichnet (wobei ~ < W"'+1). Jedes Element von [M, M] ist also ein geordnetes Paar p = (m •• , m.,). Wir definieren:

E o = Menge der Paare p mit ~o ~ ~I ,

EI = Menge der Paare p mit ~Q > ~I • Diese Mengen haben die in (.i>12) verlangten Eigenschaften.

(.i>12) ---+ (.i»: Es sei [M, M] = E Q + EI eine ZerlegunJL mit den Eigenschaften von (.i>12); M' sei eine Teilmenge von M mit M' = ~~1, mein Element von M. Ferner sei N = [M', M], P = E 1 N; also ist ]5;;:;; ~"'+1; Q sei die Menge d~ Paare (m, 'YJ), für die ein Element XE M existiert mit (x, 1]) E P; also ist Q ;;:;; ~"'+1.

Ist Y E M, so sind von den Paaren (x, y) mit x E 1~[, nur ~ ~'" Paare in E a, also gibt es solche Paare (x, y), die in EI liegen; diese Paare liegen in P. Also ist (m, y) E Q. Daraus folgt M = 2~"';;:;;; Q;;:;; ~"'+1, also 2~" = ~"+1.

(~13) : Für jede Ordnungszahl IX gilt,' Ist M = 2~"', so gibt es eine Funktion I, die jeder nicht-leeren endlichen Teilmenge Xc M ein Element I(X) E X zuordnet, so daß die Inverse höchstens ~",-wertig ist.

(.i» -+ (.i>13): Es sei M eine Menge mit 1Vf = 2~", Nach (.i» kann man sie im Ordnungstypus w", + 1 wohlordnen, ihre Elemente also mit X. bezeichnen (wobei ~ < w'" + 1)' Es sei I die Funktion, die jeder nicht-leeren endlichen Teilmenge X c M dasjenige ihrer Elemente x. zuordnet, das den größten Index ~ in der obigen Wohlordnung hat. I genügt den Bedingungen von (.i>13), denn für ein beliebiges Element x. E Mist I(X) = x. für höchstens so viele Teilmengen X c M, als es nicht-leere endli.che Teilmengen der Menge der xfJ mit 1] ;;:;; ~ gibt.

(.i>13) -+ (~): Es sei M eine Menge mit M = 2~" und I eine Funktion mit den Bedingungen von (~13)' Für jedes XE M sei G (x) die Vereinigung der Teilmengen X c M mit I(X) = x und N (x) die Menge der ~lemente y mit x non E G (y). Somit ist Ci (x) ;;:;; ~'" für jedes x E M. Annahme: ~'" + 1 < 2~"'.

Nun zeigen wir, daß es ein Xo E M mit N (xo) > ~'" gibt: Wäre nämlich N (x) ;;:;; ~'" für jedes x E M, so hätte für eine beliebige TeiImenge S c 1'vI mit y = ~'" + 1 die Menge H = m N (x) eine Mächtigkeit H ;;:;; ~,,+ 1, also ,"väre

XES

M - H =F 0; da ferner Sc G (y) für jedes Y E M - H, wäre Ci(y) ~ ~"'+ 1

für y E M - H, Widerspruch. - Setzen wir A = N (xo) - N (x o) G (xo), so ist also A =F 0; ist Ai eine endliche Teilmenge von A und X = A' + {x o}, so ist weder I(X) = X o (denn daraus ergäbe sich A'cG(xo» noch/(X) EA' (denn daraus ergäbe sich X o EG (f(X», also I(X) non E N (x o»), Widerspruch. Also gilt (.i». -

Die Alephhypothese findet in der Punktmengenlehre und in der Theorie der geordneten Mengen weitere häufige Anwendung (z. B. ist (~) mit folgendem Satz aus der letzteren äquivalent: "Zu jeder Ordnungszahl IX existiert eine HAusDoRFFsche 1]",+ I-Menge [16] von der Mächtigkeit ~"'+ 1 [22]). \Veitere mit (~) äquivalente Aussagen finden sich in den §§ 37 und 41.

Ergebn. d. Mathem. N.F. H. 1, Bachmann. 11

§ 36. Folgerungen aus der AIephhypothese.

1. Die Größe der Beths auf Grund der Alephhypothese. Erst die Annahme der Alephhypothese (zusätzlich zum Auswahlaxiom) erlaubt uns, genaue Aussagen über die Größe der Beths zu machen: Für die in § 33 definierte Normalfunktion :Ir (a) gilt dann einfach :Ir (a + 1) = :Ir (a) + 1; wählt man speziell :Ir (0) = 0, so wird :Ir(a) = (X. Dann sind alle Alephs mit Index von l.Art Potenzen von 2, alle Alephs mit Index von 2.Art keine Potenzen von 2. Aus § 33, Satz 7, ergibt sich:

für ß < cf (a) ,

für cf(a);;;;' ß;;;;' (x,

für ß ~ (X.

Folgerungen: 1. Die Potenzmenge einer Menge der Mächtigkeit ~<Z hat die Mächtigkeit ~<Z+1. - Ist a isoliert oder eine reguläre Anfangszahl mit Limeszahlindex, so hat die Menge der Teilmengen Xc Meiner

Menge M mit M = ~<Z mit X < ~ß (wobei ß ;;;;, a) die Mächtigkeit ~<Z.

2. Damit ~:ß = ~"" ist notwendig und hinreichend, daß entweder a von J.Art und ß < a, oder a Limeszahl mit ß < cf(a) ist.

3. Damit ~:ß > ~'" , ist notwendig und hinreichend, daß entweder a = 0,

oder a von J. Art mit ß;;;; a, oder a Limeszahl mit ß;;;; cf((X) ist.

4. Damit ~:ß = ~~<Z mit ß ;;;;, a, ist notwendig und hinreichend, daß a = ß oder a Limeszahl mit cf(a) ;;;;, ß < a ist.

5. Damit ~<Z die BERNSTEINsche Bedingung (§ 33) erfüllt, ist notwendig und hinreichend, daß entweder a isoliert oder eine reguläre Anfangszahl mit Limeszahlindex ist. - Beweis: Es ist ~:ß = 2 Nß. ~'" für ß< cf(a) und ß ;;;; a, jedoch ~:ß = ~<z+1 > 2 Nß • . ~<Z für cf(a) ~ ß < a. Somit erfüllt ~<Z dann und nur dann die BERNSTEINsche Bedingung, wenn cf (a) = a.

6. Es sei {aE h < Ä eine wachsende Folge vom Limeszahltyp Ä mit dem Limes a; es wird

7. Setzen wir

so wird also

ferner

- '" ... ~Nß _ n ... ~Nß (J - .:;., ~"'''<' :Ir - ~"'<z< '

';<Ä E<A

:Ir = ( n ~,,<)Nß = ~:~1 = ~max (",ß) +1, E<Ä

{ ~<Z für fJ < a,

(J = ~ß +1 für fJ ~ a,

§ 36. Folgerungen aus der Alephhypothese.

(denn für ß < (l wird t-l:=f < t-l:", also (J = t-l:,,; für ß ~ (X wird t-l:=: = t-l:p + l'

also (J = t-l:p + 1)' Somit ist

(J < n für ß < (x, (J = n für ß ~ (l.

2. Berechnung von Summen von Beths auf Grund der Alephhypothese. Auch über die Summen von Beths lassen sich bei Annahme der Alephhypothese genaue Angaben machen:

8. Es wurde ohne (.!?) bewiesen (vgl. § 34) :

~p _ {t-l::ß, wenn (l eine Limeszahl und ß < cf((l) oder ß ~ a, t-l:" - ~ ~t-l:"~1' wenn (l von 1. Art.

Für den fehlenden Fall: a Limeszahl, cf ((l) ~ ß < (l gilt nun unter Anwendung von (.!?) nach Folgerung 7

"~~ß - .... ~ ""~ß - .. ~ "'" -.::.., "'< - "'" . ';<a

Zusammenfassung:

r für ß< cf((l), ~ß - für cf((l);;::;; ß ~ a, ~1- t-l:"+1

t-l:ß+1 für ß~ a.

~ß {t-l:" für aLimeszahl, ß< (l, t-l: = -.:.. t-l:P+1 für a Limeszahl, ß ~ (l.

9. Für die andern Potenzsummen m~ mit m ~ 2 wurde ohne (.!?) bewiesen (vgl. § 34):

m~ = m~ß-1 für ß von 1. Art;

im Fall, daß ß eine Limeszahl ist, können wir nun mit Hilfe von (.!?) den Wert von m~ bestimmen:

a) Ist m< t-l:o, so ist

m~= ~ m~· = ~ t-l:H1 = t-l:tl . • <tl /;<8

b) Für ß;;::;; cf (a) ist

~ß .. ~~< .. ~ .. ~ ß- .. ~ t-l:;- = ~ "'" = ~ "'" = "',,' = "'IX'

/;<tl «tl

c) Für cf ((X) < ß ~ a ist

11*

164 VI. Probleme des Kontinuums und der zweiten Zahlklasse.

d) Für ß > " ist

Zusammenfassend ergibt sich also

{N" für ß ~ cf("),

Ni = N"+l für cf(,,) < ß ~ ", N,~ für ß > " .

3. Anhang: Alephhypothese und Theorie der Zerlegung einer Menge [25]. Wichtige Folgerungen aus (.f)) ergeben sich in der Theorie der Zerlegung einer unendlichen Menge M in eine Klasse K von Teilmengen Xc M (vgl. die Terminologie von § 33; für die Beweise vgl. [25]):

aLIst ß < cf(rx), so läßt sich keine Menge M mit M = ~"in eine Klasse K

mit K > ~" zerlegen mit b (K) ~ ~ß.

b) Ist ß ~ cf(rx), so läßt sich jede Meng~ M mit M =~" in eine Klasse K von fast disjunkten Mengen zerlegen mit K = ~,,+ 1 und D (K) ~ ~ß .

c) Ist cf(rx) =1= cf(ß), so läßt sic,!: keine _Menge M mit M = ~" in eine Klasse K von Mengen Xc M mit X ~ ~ß, R >~" und b (K) ~ ~ß zerlegen.

d) Ist cf(rx) = cf(ß) und ß ~ rx, so läßt sich jede Men~ M mit M = ~" in ~ne Klasse K von fast disjunkten Mengen Xc M mit X = ~ß zerlegen mit

R = ~"+1' e) Keine Menge!:! mit M =~" läßt sich in eine Klasse K mit K > ~"

von Mengen X mit X > ~ß zerlegen, so daß b (K) ~ ~ß.

VI. Probleme des Kontinuums und der zweiten Zahlklasse1 •

§ 37. Das Kontinuum und die Probleme seiner Wohlordnung und seiner Mächtigkeit.

1. Der Begriff des Kontinuum~. Unter den geordneten Mengen ist das Kontinuum von überragender Bedeutung; die sich mit ihm und seinen Teilmengen befassende Theorie der Punktmengen ist das wichtigste Anwendungsgebiet der transfiniten Zahlen [6J.

Man kann den Begriff des Kontinuums als rein ordinale Angelegenheit auffassen, indem man den Ordnungstypus A des (linearen) Kontinuums definiert als den Ordnungstypus der Menge Co aller Dualfolgen (d.h. Folgen, deren Werte nur 0 und 1 sind) vom Typ w, die nicht von einer Stelle ab den konstanten Wert 1 haben, die aber nicht ausschließlich den Wert 0 haben, wobei diese Dualfolgen "lexikographisch" (d. h nach ersten DifferenzsteIlen) geordnet sind. - Andere mit Co äquivalente Mengen sind z. B.: die Menge der

1 In Kapitel VI werden einige wenige Kenntnisse aus der Theorie der Punktmengen vorausgesetzt [6J.

§ 37. Das Kontinuum, Probleme seiner Wohlordnung und Mächtigkeit. 165

reellen Zahlen; die Menge der zahlentheoretischen Funktionen (d. h. der Funktionen vom Typ W mit Werten< w); die Menge der \,,"ohlgeordneten Anordnungen der endlichen Zahlen, bei denen jede Zahl genau einmal auftritt (vgl. § 39, Hilfssatz).

Man gelangt noch auf andern Wegen zum Begriff des Ordnungstypus A: Man geht aus vom Ordnungstypus '1 einer geordneten Menge }\/[, die die folgenden Eigenschaften hat:

1. unbegrenzt (d.h. M hat weder ein erstes noch ein letztes Element),

2. dicht (d. h. zwischen zwei beliebigen Elementen von 1vlliegt ein weiteres Element von 2\1),

3. abzählbar.

Durch diese Eigenschaften ist '1 vollständig charakterisiert; denn zwei geordnete Mengen, die beide diese Eigenschaften haben, sind ähnlich [13J. Zum Beispiel ist die Menge der rationalen Zahlen, oder die Menge der Dualfolgen vom Typ w, die von einer Stelle ab den konstanten Wert 0 haben, die aber nicht ausschließlich den Wert 0 haben, eine solche Menge vom Ordnungstypus '1. - Durch die DEDEKINDsche Lückenausfüllung [13J erhält man aus einer solchen Menge eine Menge vom Ordnungstypus A (ist MI = '1, so sei M 2

die Menge der Anfangsstücke von MI' die kein letztes Element haben; ordnet man M 2 , indem man für zwei Elemente A =1= B von 2\;[2 dann und nur dann A -s B setzt, wenn A c B, so ist M 2 = A).

A ist der Ordnungstypus einer Menge lvI mit den Eigenschaften:

1. unbegrenzt, 2. stetig (d.h. bei jeder Zerlegung M =A + B, wobei A ein Anfangs

stück von M ist, hat entweder A ein letztes und B kein erstes, oder A kein letztes und B ein erstes Element),

3. separa bel (d. h. M enthält eine abzähl bare Teilmenge A, so daß zwischen zwei beliebigen Elementen von M immer ein Element von A liegt), und durch diese Eigenschaften ist A ebenfalls vollständig charakterisiert [13J, so daß diese also auch zur Definition von A verwendet werden können.

Als Verallgemeinerung von Co haben wir für jede beliebige Ordnungszahl a; die lexikographisch geordnete Menge C" der Dualfolgen vom Typ Wa,

die nicht von einer Stelle ab den konstanten Wert 1 haben, die aber nicht ausschließlich den Wert 0 haben [2J. Es ist c., = 2~a; andere mit Ca äquivalente Mengen sind z.B. die Potenz menge von W( wa ), die Menge aller volle2: Norm~lfunktionen vom Typ Wa (vgl. § 7), die Menge der Ordnungstypen JVI mit Ni = ~a. Die Folgen aus Ca, die von einer Stelle ab den konstanten

Wert 0 haben, bilden eine in Ca dichte Teilmenge der Mächtigkeit 2~ (vgl. § 34). - Die noch allgemeineren Mengen C~ = W (2) W(wa) aller Dualfolgen vom Typ Wa haben die Eigenschaft, daß jede geordnete Menge der Mächtigkeit ~a einer Teilmenge von C~ ähnlich ist [19J, so daß sich die Theorie der geordneten Mengen auf die Theorie der Teilmengen der Mengen C~ reduziert.

2. Kontinuum und Auswahlaxiom. Aus dem Auswahlaxiom folgt die Existenz einer Wohlordnung des Kontinuums Co, d.h. die Existenz einer Funktion, die eine eineindeutige Abbildung zwischen Co und W (WA) herstellt, wobei A die Ordnungszahl mit 2~o = ~A ist.

In vielen Untersuchungen über Punktmengen wird das Auswahlaxiom zugrunde gelegt, d. h. man begnügt sich mit reinen Existenzbeweisen ohne

Angabe effektiver Konstruktionen (z. B. bei der Existenz einer nicht meßbaren Menge, einer HAMELschen Basis der reellen Zahlen, einer total imperfekten Mengel von der Mächtigkeit des Kontinuums, einer unstetigen Lösung der Funktionalgleichung f(x + y) = f(x) + f(y) für reelle Funktionen etc.). Aus dem Auswahlaxiom folgt ferner der besonders paradoxe Satz, daß eine Kugelfläche S im 3-dimensionalen Euklidischen Raum in 4 disjunkte Teilmengen zerlegbarist, S =A + B + C + D, wobeiD abzählbar,A mitB+ C, A mit Bund B mit C kongruent ist (Paradoxon von HAUSDORFF).

Es stellt sich die Frage, ob es möglich sei, im Falle des Kontinuums die Existenz einer Wohlordnung ohne Verwendung des allgemeinen Auswahlaxioms (d.h. in effektiver Weise) zu beweisen. Dieses Problem ist aber noch nicht gelöst und gehört zu den schwierigsten Problemen der Mathematik. Es ist zwar gelungen, gewisse abzählbare Teilmengen von Co effektiv wohlzuordnen (nämlich die Menge der rationalen Zahlen und sogar die Menge der algebraischen Zahlen). Beim Versuch, eine überzählbare wohlgeordnete Teilmenge effektiv aus dem Kontinuum herauszugreifen (d.h. ein effektives Beispiel einer Folge vom Typ Wl von reellen Zahlen zu geben), stößt man auf unüberwindliche Schwierigkeiten. Dieses Problem wäre gelöst, wenn das Problem, jeder nicht-leeren G~-Menge2 effektiv eines ihrer Elemente zuzuordnen, gelöst wäre [17J. Ein anderes Problem einer effektiven Konstruktion, das nicht gelöst ist, ist das Problem, jeder nicht-leeren Punktmenge der Geraden eines ihrer Elemente effektiv zuzuordnen; ja nicht einmal das Problem, jeder nicht-leeren abgeschlossenen Punktmenge eines ihrer Elemente effektiv zuzuordnen, ist gelöst. Wäre das letztere Problem gelöst, so könnte man ein effektives Beispiel einer nicht meßbaren Punktmenge angeben [17]. - Andere effektive Konstruktionen sind dagegen gelungen: So ist es gelungen, jeder abzählbaren G~-Menge2 eines ihrer Elemente effektiv zuzuordnen; ferner kann man jedes Intervall auf der Geraden effektiv in eine Folge vom Typ Wl von disjunkten Punktmengen zerlegen, ferner die Menge der reellen Funktionen in eine Folge vom Typ W 2 von disjunkten Mengen.

Angesichts dieser Schwierigkeiten wird man, wenn man sich nicht auf das Konstruierbare beschränken, und doch das allgemeine Auswahlaxiom vermeiden will, folgendes Axiom (als Spezialfall des Auswahlaxioms) einführen müssen: Es gibt eine Teilmenge von Co mit der Mächtigkeit ~l (d.h. ~l ;::;;; 2~')' oder folgendes stärkeres Axiom: Das Kontinuum kann wohlgeordnet werden (d.h. 2.~' ist ein Aleph, 2~' = ~A). Aus dem zweiten Axiom folgt das erste. In den §§ 38 und 39 zeigen wir, wie man diese Axiome (oder ihre Negationen) auf andere Axiome (nämlich über die Ordnungszahlen der zweiten Zahlklasse) zurückführen kann.

Bemerkung: Es gibt aber keine Teilmenge der Mächtigkeit ~l von Co, die durch die gewöhnliche lexikographische Ordnung von Co wohlgeordnet ist. Ist ()( eine beliebige Ordnungszahl, so nennen wir eine wachsende Folge {xv}v<" vom Typ ()( von reellen Zahlen, so daß x A = lim Xv für jede Limeszahl A < ()(,

v<Ä eine "Darstellung von ()( auf der Geraden". Man kann leicht einsehen, daß keine Darstellung von W 1 auf der Geraden existiert, daß aber für jede Ordnungszahl ()( < W l eine solche existiert (vgI. § 38), ferner, daß eine unbeschränkte Punktfolge, die die Zahl w< darstellt, eine Folge vom Typ g von

1 D. h. einer Punktmenge, die keine perfekte Teilmenge enthält. 2 Unter einer G,,-Menge versteht man eine durch Durchschnittsbildung von

höchstens abzähl baren Folgen von offenen Punktmengen der Geraden erhaltene Menge.

§ 37. Das Kontinuum, Probleme seiner Wohlordnung und Mächtigkeit. 167

nicht-leeren verschiedenen Ableitungen1 hat (da bei in begriffen di e Punktfolge selbst als Ableitung nullter Ordnung). Die Punktmengen, die Ordnungszahlen auf der Geraden darstellen, geben somit Beispiele von Punktmengen mit nicht-leeren verschiedenen Ableitungen beliebig hoher Ordnung; < 001 ,

3. Kontinuum und Alephhypothese. Wir betrachten nun die An~endungen der Alephhypothese (.\;» in der Punktmengenlehre. Da Co = 2~o, brauchen wir nur den Fall ce = 0 von (.\;». Die verallgemeinerte Kontinuumhypothese lautet in diesem speziellen Fall dann in der kardinalen Form:

('~o) Es gibt keine Mächtigkeit ): mit ~o < .r < 2~o (d. h. jede überabzählbare Punktmenge der Geraden hat die Mächtigkeit des Kontinuums), und in der ordinalen Form:

(.\;>0) 2~o = ~1'

(.\;>0) heißt die Kontinuumhypothese. Aus (.\;>0) folgt (.~o); (.\;>0) ist äquivalent dem logischen Produkt von (sto) und dem Axiom 2!!o = ~A; dieses Axiom ist somit in (.\;>0) enthalten.

Unter dem Kontinuumproblem versteht man die Frage nach der Größe der Mächtigkeit 2~o des Kontinuums. Nachdem der Beweis der Widerspruchsfreiheit von (.\;>0) bezüglich der anderen Axiome der Mengenlehre erbracht worden ist, scheint es, daß diese Problemstellung in dieser Fassung sinnlos ist, und daß das eigentliche Problem darin besteht, (.\;>0) aus den übrigen Axiomen abzuleiten bzw. seine Unabhängigkeit zu beweisen (vgl. § 35). Das Problem ist bis heute ungelöst. Aus den übrigen (üblichen) Axiomen sind vorläufig nur folgende Tatsachen ableitbar:

1. 2~O =l= ~Ä' wenn Ä eine mit w konfinale Limeszahl ist (dies kann ohne Auswahlaxiom bewiesen werden, vgl. § 33).

2. In der Theorie der Punktmengen wird gezeigt [6J, daß (sto) für gewisse Klassen von Punktmengen gilt (d.h. daß für jede Punktmenge einer solchen Klasse gilt, daß sie, wenn überabzählbar, die Mächtigkeit des Kontinuums hat), wobei man bestrebt ist, dies für immer umfassendere Klassen von Punktmengen zu beweisen (Mächtigkeitssätze). Die umfassendste Klasse von Punktmengen, für die dies bisher bewiesen ist, wird von den SUsLINschen (= analytischen) Punktmengen gebildet. Trotzdem auf äußerst .komplizierte Weise konstruierte Punktmengen in diese Klasse fallen, hat diese nur die Mächtigkeit 2~o, während die Klasse ;:tUer beliebigen Punktmengen die Mächtigkeit 22~O hat, so daß also für die erdrückende Mehrheit der Punktmengen die Mächtigkeitsfrage ungeklärt bleibt.

3. Ferner weiß man über die Mächtigkeit 2~o folgendes [18J: Es gibt keine Mächtigkeit m mit ~o ;:;;; 2 m < 2~o oder mit 2~o = 2 2m.

Die Annahme der Kontinuumhypothese hat in der Theorie der Punktmengen und der reellen Funktionen weitgehende Vereinfachungen, aber (wie das Auswahlaxiom) auch einige paradoxe Theoreme zur Folge, und sie ermöglicht die Beantwortung vieler sonst ungelöster Fragen. So folgt z. B. aus (.\;>0):

1. Jede Punktmenge von kleinerer Mäch~igkeit als 2~o ist von erster Kategorie2 [12J.

1 Unter der Ableitung einer Punktmenge versteht man die Menge ihrer Häufungspunkte; man erhält eine transfinite Folge von Ableitungen, indem man die Ableitungen von Limeszahlordnung mittels Durchschnittsbildung definiert.

2 D. h. sie ist Vereinigung von abzählbar vielen "nirgendsdichten" Mengen.

2. Jede Punktmenge von kleinerer Mächtigkeit als 2:-1, ist vom Maß 0 [12].

3. Es gibt eine LusINsche Punktmenge (d. h. eine Punktmenge der Mächtigkeit 2:-1 0, die keine überabzählbare "nirgendsdichte" Teilmenge hat) [9J.

4. Es gibt eine SIERPINSKlsche Punktmenge (d.h. eine Punktmenge der ~fächtigkeit 2~0, die keine überabzählbare Teilmenge vom Maß 0 hat) [9].

5. Es gibt eine reelle Funktion, die auf einer Menge E der Mächtigkeit 2~O stetig ist, aber in jeder überabzählbaren Teilmenge von E nicht gleichmäßig stetig ist [15 J.

6. Es gibt eine konvergente Folge vom Typ w von reellen Funktionen, die in jeder überabzählbaren Menge nicht gleichmäßig konvergiert [15].

7. Die Menge aller reellen Funktionen, die der BAIREschen Bedingung genügen, hat die Mächtigkeit 22~0 [12].

Folgende Sätze sind mit (.\";)0) äquivalent [14J:

1. Die Ebene C;;(2) läßt sich in zwei disjunkte Punktmengen Ei zerlegen, so daß Ei von jeder Parallelen zur Xi-Achse in höchstens abzählbar vielen Punkten geschnitten wird (i = 0,1).

2. Die Menge der reellen Zahlen ist Vereinigung einer Folge wachsender abzählbarer Jl,I engen.

3. Die Ebene ist Vereinigung von abzählbar vielen Kurven (wobei eine Kurve durch eine reelle Funktion Xl = f(xo) oder Xo = g (Xl) definiert ist). -Dieser Satz ist besonders paradox! Beweis aus 1.

Bemerkungen: a) Beweis der Äquivalenz von (.\";)0) mit 1. und mit 2. nach § 35; die zu 1. und 2. analogen Sätze über die verallgemeinerten Kontinuen Co: sind nämlich mit (.\";») äquivalent.

b) Die Äquivalenz von (.\";)0) bzw. (.\";») mit 1. und mit weiteren Sätzen über Zerlegungen des n-dimensionalen Euklidischen Raumes (oder verallgemeinerter n-dimensionaler Kontinuen) läßt sich aus einem allgemeinen Satz von SIKORSKI ableiten: Es sei X eine nicht-leere Menge, XW(n) die Menge der Folgen vom Typ n von Elementen aus X, In, T die Menge der Teilmengen von W(n) von I' Elementen (wobei r ~ n). Ist A E In,T' so verstehen wir unter einer "A-Menge" eine Menge von Folgen {X$}$ < n aus XW(n), deren Werte für die Argumente ~ mit ~ E.1 festgelegt sind, während die übrigen Werte über ganz X variieren. Der Satz lautet nun:

Ist 7: eine beliebige Ordnungszahl und sind mund k natürliche Zahlen, so . ( + k) ist für X < ~~+m notwendig und hinreichend, daß XW(m+k) in m k

paarweise disjunkte Teilmengen EA zerlegbar ist, wobei für jedes A E Im + k, k

gilt: EAH < ~~ für jede A-Menge H. Ist k eine beliebige natürliche Zahl, und setzt man nun 7: = iZ, m = 2, so

folgt aus diesem Satz ganz allgemein, daß (.\";») äquivalent ist mit dem Satz:

Für jede Ordnungszahl iZ ist, wenn X = 2~"', XW(k + 2) zerlegbar in (k ~ 2) disjunkte Teilmengen EU,j), so daß für jedes geordnete Paar (i,j) mit i ~ k + 1,

j ~ k + 1 gilt: Für beliebige feste Elemente Xi, Xj enthält E (i,j) weniger als ~'" Folgen {X$}$;;; k +1 aus XW(k + 2). - Setzt man 7: = iZ + 1, In = 1, so f~gt, daß (.\";») äquivalent ist mit dem Satz: Für jede Ordnungszahl IX ist, wenn X = 2~"', XW(k+1) zerlegbar in k + 1 disjunkte Teilmengen Ei, so daß für jedes i ~ k gilt: Für beliebiges festes Xi enthält Ei höchstens ~'" Folgen {x$}<;;; k aus XW(k +1).

Speziell folgt also die Äquivalenz von (.\";)0) mit dem Satz: Der 3-dimensionale Euklidische Raum läßt sich in 3 disjunkte .Mengen Ei zerlegen, so daß

§ 38. Die zweite Zahlklasse und das Axiom der Hauptfolgen. 169

Ei von jeder Parallelen zur x.-Achse in nur endlich vielen Punkten getroffen wird (i = 0, 1,2). Dagegen folgt, daß der Satz, der sich durch Ersetzung des Wortes "endlich" durch "höchstens abzählbar" ergibt, nicht mit (.\;.'0), sondern mit der H ypothese 2~. ~ ~B äquivalent ist (obschon er zu 1. analog ist).

Aus dem Satz von SIKORSKI ergibt sich ferner die Möglichkeit, die Alephs ~n mit n < co zu charakterisieren, ohne den Begriff der Wohlordnung zu verwenden. Es folgt nämlich: Damit eine Menge X die Mächtigkeit ~n hat, ist notwendig und hinreichend, daß XW(n + 2) in n + 2 disjunkte Mengen Ei zerlegbar ist, wobei für jedes i ~ n + 1 die Menge E. für beliebige Elemente Xj € X mit j =f= i und j ~ n+ 1 nur endlich viele Folgen {xEh;:;;n +1 aus XW(n+2) enthält, während XW(n+I) keine analoge Zerlegung in n + 1 Teilmengen erlaubt.

c) Als Alternative zur Kontinuumhypothese ist die LusINsche "zweite Kontinuumhypothese" 2~. = 2~' betrachtet worden [12J.

§ 38. Die zweite Zahlklasse und das Axiom der Hauptfolgen.

1. Das Axiom der Hauptfolgen und seine äquivalenten Formulierungen. Ohne Auswahlaxiom ist die Existenz von Z (vgl. § 6) gesichert, aber es läßt sich nur zeigen, daß entweder

l.Z = W, oder 2.Z=W(.ol)=W(Wa), wobei entweder iX von l.Art<.ol oder

iX = .01•

Keine dieser Alternativen scheint mit den übrigen Axiomen der Mengenlehre zu einem Widerspruch zu führen. Aus dem Auswahlaxiom folgt Z = W (wl). Dies läßt sich aber schon dann beweisen, wenn man jeder Limeszahl A eZ effektiv eine wachsende Folge {An}n<ru mit A = lim An zuordnen kann. Diese Aufgabe ist bisher nicht gelöst; deshalb

n<ru liegt es auf der Hand, das folgende Axiom (als schwächeres Axiom als das Auswahlaxiom) anzusetzen:

(A) Axiom der Hauptfolgen: Es gibt eine Funktion, die feder Limeszahl A eZ eindeutig eine wachsende Folge vom Typ W (die Hauptfolgel von A) mit dem Limes A zuordnet2•

Es gibt viele mit (A) äquivalente Formulierungen dieses Axioms:

(Al) Es gibt eine Funktion, die jeder eigentlichen "I-Zahl L1 € Z etndeutig eine wachsende Folge vom Typ W mit dem Limes L1 zuordnet 3.

1 Der Ausdruck "Hauptfolge" stammt von FINSLER [8]; DENJOY verwendet den Ausdruck "kanonische Folge" [7], Verf. in [2] den Ausdruck "ausgezeichnete Folge".

2 Daß es zu jeder Limeszahl Ä € Z eine solche Folge gibt, folgt aus der Def. von Z (§ 6). Daraus folgt aber ohne Auswahlaxiom noch nicht die Existenz einer Funktion, die jeder Limeszahl Ä € Z eine bestimmte solche Folge zuordnet, wie in (A) verlangt wird. Analoges gilt für die anderen Axiome dieses Paragraphen.

3 Nach dem Beweis von Satz 1 von § 16 folgt daraus auch (Al) mit den zusätzlichen Bedingungen (1) und (2) von § 16 für diese Folgen.

(A 2) Es gibt eine Funktion, die jeder Ordnungszahl a > w von Zeine eindeutige Abzählung der Vorgänger ~ < a zuordnet (d. h., die jedem a> w

von Z eine eindeutige Wohlordnung von W (a) im Ordnungstypus w, oder von W (w) im Ordnungstypus a zuordnet).

(A 3) Es gibt eine Funktion, die jeder Limeszahl A E Z eindeutig eine bestimmt divergente regressive Funktion (§ 9) vom Typ Ä zuordnet.

(A 4) Es gibt eine Funktion, die jeder eigentlichen y-Zahl J E Z eindeutig eine volle Normal/unktion vom Typ J zuordnet, die keine kritischen Zahlen hat.

(A 5) Es gibt eine Funktion, die jeder vollen Normal/unktion cp mit dem Argumentbereich Z, die die Bedingungen (3) und (4) von § 16 er/üllfl, eindeutig eine volle Normal/unktion (j) mit dem Argumentbereich Z zuordnet mit (j)' = q.,.2

(A 6 ) Es gibt eine Folge vom Typ w von gelichteten (§ 6), mit Z zusammengehörigen Teilklassen von Z, deren Vereinigung Z ist.

(A 7) Es gibt eine Funktion, die jeder Limeszahl A E Z eindeutig eine Dar-stellung von A au/ der Geraden (§ 37) zuordnet.

Äq ui valenz beweise (mit Hilfe der Axiome (I) bis (VII) von §2): (A) --> (A 1): Klar.

(Al) --> (A): Es gelte (Al). Zum Beweis von (A) hat man also noch den Limeszahlen von Z, die keine y-Zahlen sind, Hauptfolgen zuzuordnen: Es sei Ä eine solche Zahl, und allen Limeszahlen < A seien Hauptfolgen zugeordnet. Dann ordnen wir Ä eine Hauptfolge zu, indem wir Ä

in y-Zahlen zerlegen (§ 20); diese Zerlegung hat mehr als ein Glied; das letzte Glied sei (!, und Ä = a + (!; (! ist eine Limeszahl < Ä. Ist {en}n < w

die Hauptfolge von (!, so sei {a + (!n}n<w die Hauptfolge von Ä. (A) --> (A 2): Wir bezeichnen die Zahl< a, die bei einer Vorgänger

abzählung von a der Zahl n < w zugeordnet wird, mit x",(n). Es gelte (A). Wir setzen X w (n) = n und nehmen an, für alle a' mit w ;;;:; a' < a sei eine Vorgängerabzählung X",, (n) definiert. Dann ist für a eine Vorgängerabzählung bestimmbar: Ist a = ß + 1, so sei X", (0) = ß, X",(1 + n) = xß (n). Ist a eine Limeszahl und {am}m<w ihre Hauptfolge, so bringe man die Zahlen x"m (n) in eine Folge vom Typ w, indem man x"'m(n) -s xo:m,(nl) setzt, wenn m+n<ml+nl, oder m+n=ml+nlundm<mv und streiche in dieser Folge jede Zahl, die schon an einer früheren Stelle aufgetreten ist. Dadurch erhält man eine Abzählung der Vorgänger von a. Die gesuchte Funktion ist dadurch mittels transfiniter Rekursion definiert.

(A 2) --> (A): Ist Ä eine Limeszahl von Z mit der Vorgängerabzählung X). (n), so streiche man in dieser Folge alle Zahlen, denen eine größere

1 D. h. für die Cf (0) entweder 0 oder eine eigentliche y-Zahl ist, und deren Differenzenfunktion als Werte lauter y-Zahlen hat.

2 Bei der Formulierung der Axiome (A s und A 6 ) werden allerdings Klassen von Klassen verwendet.

Zahl vorangeht; somit bleibt eine wachsende Folge vom Typ w mit dem Limes Ä, die wir als Hauptfolge von Ä definieren.

(A) ~ (Aa): Nach dem Beweis von Satz 6 von § 9.

(A 3 ) ~ (A): Es sei f($) eine regressive Funktion, deren Typ eine Limeszahl Ä E Z ist, mit lim f($) = Ä. Nun sei zu jedem $ < Ä g($) das

.<Ä erste Argument rJ > $ mit f ($') > $ für rJ ~ $' < Ä. Setzt man y = lim g" (0),

n<w so ist 0< Y ~ Ä, weil gn (0) < Ä für alle n< w. Wäre y< Ä, so wäre f($) ~ y für y ~ ~ < Ä, also f (y) ~ y, Widerspruch. Also ist y = Ä. Die Folge {g"(o)}n<w kann also als Hauptfolge von Ä definiert werden.

(Al) +-+ (A 4): Nach dem Beweis von Satz 1 und 2 von § 16.

(A,) ~ (A s): Nach dem Beweis von Satz 3 von § 16.

(A s) ~ (A 4): Ist ,1 eine eigentliche y-Zahl von Z, so setzen wir qJ ($) = ,1 + $; dies ist eine volle Normalfunktion mit den Bedingungen (3) und (4) von § 16. Nach (A s) existiert also eine volle Normalfunktion <P mit<P' =qJ, also ist <P'(o) =q;(o) = ,1. {<P($)}«.1 ist also eine volle Normalfunktion vom Typ ,1 ohne kritische Zahlen.

(A 2) ~ (A6): Nach dem Beweis von Satz 4 von § 6.

(A 6) ~ (A 2): Es sei Z = m F", wobei F" mit Z zusammengehörige n<w

gelichtete Teilklassen von Z mit den zugehörigen Folgen {rJ~n)hez seien. Es sei (X EZ, ferner sei für jedes n < w fln die kleinste Zahl fl mit 1]~n) > fl ~ 1]~"21 > 1]~n) + (x, ferner sei fl = sup fln (also fl E Z), schließ-

n<w lieh sei für jedes 1] < (X k'1 die kleinste Zahl k mit fl + rJ E F k • - Die Funktion k'1 ist eine eineindeutige Abbildung zwischen W ((X) und einer Teilmenge von W(w); denn für 1] < (x, r( < (x, fJ =F fJ' ist k'1 =F k'1': Wäre nämlich k7) = k7)' = k, so wäre fl + f) E Fk und fl + f)' E F k' also fl + f) = f)~k) und fl + f)' = 'fj~~) für bestimmte $ und $', also f)~k~ 1 > 'fj~k) + (X

und f)~~~1 > f)~~) + (x. Im Fall $ > $' wäre also

fl + (X > f)~k) ~ f)~~~1 > f)~~) + (x, also f)~~) < fl, Widerspruch;

analog im Fall $' > $. Also ist ~ = $', also fl + f) = fl + f)', also f) = f)'

im Widerspruch zur Annahme 'fj =1= f)"

(A 2) ~ (A 7): Es sei fl > w in Z. Nach (A 2) wird jeder Zahl v< fl eindeutig eine Zahl n~ < w zugeordnet. Es sei {xn}n < weine Folge positiver reeller Zahlen, deren Summe konvergiert, z.B. Xn = 2-n• Wir setzen

y~= 1: x,,~, für 'II<fl. ,,'<SI

Die reellen Zahlen y~ geben eine Darstellung von fl auf der Geraden.

(A 7) ~ (A2): Wir ordnen jeder reellen Zahl x (einschließlich 00) eindeutig eine wachsende Folge {xn}n < '" von reellen Zahlen zu mit lim xn = x,

n~oo

indem wir z.B. setzen Xn = n, wenn X= 00, und Xn = x- 2-n, wenn x< 00.

Ist A eine Limeszahl von Z, so gibt es nach (A 7) eine Folge L = {~v}v < Ä

von reellen Zahlen, die eine Darstellung von A auf der Geraden ist. Es sei x die obere Grenze von L und {xn}n <w die nach der obigen Definition zugehörige Folge reeller Zahlen. Dann sei An die kleinste Zahl v mit ~v ;;;; xn· Die Zahlen An bilden eine monotone Folge vom Typ 01 mit dem Limes A; durch Streichen gewisser Glieder erhält man eine wachsende Folge, die man als Hauptfolge von A nehmen kann.

Bemerkungen: 1. Das Axiom der Hauptfolgen ist nicht erfüllbar, wenn man die folgende scheinbar naheliegende Nebenbedingung hinzufügt: Ist lAn}n<cu eine Hauptfolge, und ist ~ eine Limeszahl mit An < ~ ~ An + 1 für ein n < 01 und mit zugehöriger Hauptfolge {~n}n < w' so soll ~o ;;;; An sein. - Beweis siehe § 9, Satz 8.

2. Eine abgeschwächte Fassung des Axioms der Hauptfolgen lautet:

(A') Zu jeder Zahl (X E Z gibt es eine Funktion, die jeder Limeszahl A < (X

eindeutig eine wachsende Folge vom Typ 01 mit dem Limes A zuordnet!.

2. Folgerungen aus dem Axiom der Hauptfolgen.

1. Z = W (011), d. h. Z besteht aus allen Ordnungszahlen (X mit (i" ~ ~o

(die erste ordinale und kardinale Zahlklasse fallen zusammen). - Dies folgt schon aus (A'): Ist (X E Z, so gibt es eine Funktion, die jeder Limeszahl Ä. ;;;;; (X eine Hauptfolge zuordnet. Nach dem Beweis von (A) -->- (A 2 )

existiert also eine Vorgängerabzählung von (x, also ist (i" ~ ~o; es folgt aber nicht (A 2)'

Bemerkung: Aus Z = W(01}) und dem eingeschränkten Auswahlaxiom (§ 2) folgt (A'). - Aus Z = W (o1}) allein folgt nämlich nur, daß zu jedem (X E Zeine Vorgängerabzählung existiert. Aus dem eingeschränkten Auswahlaxiom folgt zudem, daß zu jedem (X E Z eine Funktion existiert, die jeder Limeszahl A< (X eine Vorgängerabzählung, also nach dem Beweis von (A 2) -->- (A) auch eine ,Hauptfolge zuordnet.

2. ~1 ~ 2~o. -Beweis: Man ordne der Zahl 0 die Funktionfo(n) = n vom Typ 01 zu, der Zahl (X + 1 die Funktion flX+l (n) = flX(n) + 1, und der Limeszahl A mit der Hauptfolge {AmJm<w die Funktion fi.(n) = max f;.m (n). Dadurch sind allen Zahlen von Z zahlentheoretische

m;;:;n Funktionen eindeutig zugeordnet, und zwar lauter verschiedene. Da die Menge der zahlentheoretischen Funktionen eineindeutig auf Co abgebildet werden kann, ist somit eine überabzählbare Wohlordnung im Kontinuum definiert.

1 Dabei ist nicht die Existenz einer Funktion gemeint, die jedem cx E Zeine Funktion zuordnet, die jeder Limeszahl A < cx eine solche Folge zuordnet.

Bemerkungen: a) ~l;;;;; 2~o folgt auch aus der Existenz einer Funktion, die jeder nicht-leeren Go-Menge1 eindeutig ein Element dieser Menge zuordnet.

b) Gibt es eine Wohlordnung des Kontinuums im Ordnungstypus Wl'

so folgt (A) unter Beschränkung auf die Limeszahlen < Wl [14).

3. Bemerkung über die formale Darstellung von Ordnungszahlen. Setzt man nicht einmal das Axiom (A) voraus, d. h. beschränkt man sich auf das effektiv Konstruierbare, so entspricht dem Axiom (A) das Problem, den Limeszahlen eines möglichst großen Abschnitts von Z eindeutige Hauptfolgen effektiv zuzuordnen. Dazu (und auch zur beweistheoretischen Untersuchung von Induktionen, die über die gewöhnliche vollständige Induktion hinausgehen) braucht man Systeme konstruktiv erklärter Ordnungszahlen, worin jede einzelne Zahl eine feste Bezeichnung (eine formale Darstellung) erhält (und die deshalb nur einen gewissen Abschnitt der 2. kardinalen Zahlklasse umfassen, da ja die Bezeichnungen eine Abzählung der betreffenden Ordnungszahlen ermöglichen). Solche Bezeichnungssysteme sind eingeführt worden von VEBLEN2 [16J, CHURCH u. KLEENE [6], FINSLER [8J, ACE;ERMANN [1], NEUMER [11J, SCHÜTTE [12]. Alle diese Darstellungen haben eine "Grenzzahl" in Z, die nicht erreicht wird.

Übrigens fällt auch die gewöhnliche Darstellung der Ordnungszahlen durch die arithmetischen Operationen darunter. Durch die elementaren arithmetischen Operationen und endlich-vielfachen Gebrauch der Zeichen 1 und w lassen sich alle Zahlen< Co (vgl. § 15) darstellen. Für diese Zahlen ergeben sich aus ihren Darstellungen (die ja ihre Zerlegungen in y-Zahlen sind) unmittelbar Hauptfolgen: Wir setzen w = lim (1 + n). Es sei nun }. eine Limeszahl

n<w mit w< A < co' und jeder Limeszahl < ). sei eine Hauptfolge zugeordnet. Ist A keine y-Zahl, ist I.! das letzte Glied der Zerlegung von ). in y-Zahlen und setzen wir A = a + 12, so ist I.! eine Limeszahl < A. Ist {I.!n}n < w ihre Hauptfolge, so werde die Hauptfolge {).n}n <w von A aus den Zahlen An = a + en gebildet. Ist A. = w<+l, so werde die Hauptfolge von J. aus den Zahlen An = w li • (1 + n) gebildet. Ist A = wl' und It eine Limeszahl, so ist # < ;.; ist {#n}n < w die Hauptfolge von #' so werde diejenige von A. durch An = wl'" definiert. Es ist zu beachten, daß diese natürlich sich ergebenden Hauptfolgen die Nebenbedingung von Bem. 1., S. 172, erfüllen.

Will man die Grenzzahl co überschreiten, so muß man ein neues Zeichen (eben z. B. co) einführen und eine Hauptfolge für co definieren, usw. Durch Einführung neuer Symbole oder höherer arithmetischer Operationen läßt sich jede Grenzzahl einer formalen Methode wieder überschreiten.

Diese Ausführungen leiten über zum Begriff der bezüglich einer arithmetischen Operation "unerreichbaren" Ordnungszahlen, d. h. solcher Zahlen, die nicht mehr durch kleinere Zahlen mittels der betr. Operation darstellbar sind (vgl. § 40).

1 Unter einer Go-Menge versteht man eine durch Durchschnittsbildung von höchstens abzählbaren Folgen von offenen Punktmengen der Geraden erhaltene Menge.

2 VEBLEN wandte zwar eine nicht-konstruktive Methode an, indem er Normalfunktionen mit der Argumentklasse Z und die transfiniten Folgen ihrer Ableitungen verwendete; eine Verallgemeinerung dieser Methode wurde vom Verf. [2J gegeben.

174 VI. Probleme des Kontinuums und dei zweiten Zahlklasse.

§ 39. Alternativen zum Auswahlaxiom.

Es ist interessant, an Stelle des Auswahlaxioms (oder seiner abgeschwächtenFassungen von §§ 37 und 38) andere, mit ihm unverträgliche Axiome zu setzen, von denen man glauben kann, daß sie (einzeln) nicht zu einem Widerspruch führen werden, und ihre Folgerungen in der Theorie der zweiten Zahlklasse und des Kontinuums zu betrachten. Solche Alternativen zum Auswahlaxiom sind (vgl. § 38) :

Axiom (B): Es gilt (A'), aber nicht (A).

Axiom (C): (A') gilt nicht (d. h. es gibt eine Zahl IX € Z, so daß keine Funktion existiert, die jeder Limeszahl Ä < IX eindeutig eine Hauptfolge zuordnet).

Axiom (D): Zu jeder Zahl IX € Z gibt es eine Zahl p € Z mit folgender Eigenschaft: Es gibt keine Funktion, die jeder Limeszahl Ä < P eindeutig eine wachsende Folge von einem Limeszahltyp f.t < IX mit dem Limes Ä zuordnet.

A x i 0 m (E): Es gilt (C), aber nicht (D); d.h. es gilt (C), aber es gibt eine Zahl IX €Z, so daß zu jeder Zahl P €Z eine Funktion existiert, die jeder Limeszahl Ä < P eindeutig eine wachsende Folge von einem Limeszahltyp f.t < IX mit dem Limes Ä zuordnet.

Axiom (F): Das Kontinuum ist Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Teilmengen.

Axiom (G): Jede unendliche Menge ist Vereinigung abzählbar vieler Mengen von kleinerer Mächtigkeit.

Wir verwenden im folgenden den Hilf s s atz: Die Menge N aller wohlgeordneten Anordnungen der endlichen Zahlen (ohne Wiederholungen) läßt sich effektiv auf das Kontinuum Co abbilden l .

Wir zeigen nun, daß sich je nach Zugrundelegung eines der obigen Axiome verschiedene zweite Zahlklassen ergeben:

Folgerungen aus (B):

1. Z = W(001). - Beweis: Vgl. § 38.

2. Das Kontinuum kann nicht wohlgeordnet werden. - Beweis: Könnte man das Kontinuum wohlordnen, so könnte man nach dem Hilfssatz auch N

1 Beweis: Jeder solchen Anordnung entspricht in eineindeutiger Weise die zugehörige ordnende Paarmenge ; also ist N äquivalent mit einer Teilmenge der Potenzmenge der Menge aller geordneten Paare von endlichen Zahlen, also N ~ 2~o. Anderseits enthält N als Teilmenge die Menge NI aller Anordnungen vom Typ 00, in denen die geraden und die ungeraden Zalllen je unter sich in der natürlichen Ordnung erscheinen; NI läßt sich eineindeutig auf Co abbilden, indem man der Anordnung {an}n < co die Dualfolge {bn}n < w vom Typ 00 zuordnet, wobei bn gleich 0 oder 1 gesetzt wird, je nachdem an gerade oder ungerade ist; somit ist auch N~ 2~o. Also ist N = 2~', und man kann eine eineindeutige Abbildung zwischen N und Co sogar effektiv konstruieren (vgl. § 25). - Als Folgerung ergibt sich:

1. Das Kontinuum kann effektiv in ~1 paarweise disjunkte Teilmengen der Mächtigkeit 2~o zerlegt werden (vgl. § 37). - Denn die Elemente von N können nach ihrer zugehörigen Ordnungszahl klassifiziert werden.

2. Die Menge Na der Permutationen der Reihe der endlichen Zahlen (d.h. die Menge der wohlgeordneten Anordnungen der endlichen Zahlen im Typ (0) hat die Mächtigkeit 2 ~o. - Denn es ist NI c N 2 C N. .

§ 39. Alternativen zum Auswahlaxiom. 175

wohlordnen. Ist a; € Z und IX ;;;; w, so gibt es nach Folgerung 1. in N eine Anordnung der endlichen Zahlen im Ordnungstypus oc; wir ordnen a; die erste solche Anordnung in N zu. Man könnte somit jedem a; € Z mit IX ;;;; weine solche Anordnung und somit eine Vorgängerabzählung eindeutig zuordnen, was nach § 38 das Axiom (A) zur Folge hätte, im Widerspruch zur Annahme (B).

Folgerungen aus (C):

1. w1 €Z, d. h. W (w1) ist Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen (vgl. §27, Satz 4). - Dies ist mit (C) äquivalent (vgl. §38). w1 ist die kleinste Ordnungszahl IX mit den Bedingungen von Axiom (C).

2. Es gibt eine volle Normaljunktion vom Typ W 1, die keine kritischen Zahlen hat (vgl. § 16, Satz 2).

3. Es gibt eine abzählbare Menge von nicht-leeren Teilmengen des Kontinuums, jür die keine Auswahlmenge existiert. - Beweis: Nach Voraussetzung existiert eine Folge {Ä.n} .. < '" mit dem Limes w1 • Sn sei die Menge der Elemente aus Co, deren vermöge des Hilfssatzes in N entsprechende Anordnungen den Ordnungstypus J.n haben. Würde für die Menge der Sn eine Auswahlmenge existieren, so hätte man eine Funktion, die jedem J." eine eindeutige Vorgängerabzählung zuordnet. Daraus würde man eine Vorgängerabzählung von w1 erhalten, Widerspruch.

4. Das Kontinuum kann nicht wohlgeordnet werden. - Sonst gäbe es näm-lich zu jeder Menge von Teilmengen von Co eine Auswahlmenge.

Folgerungen aus (D):

1. Es gilt (C) mit allen seinen Folgerungen. 2. Entweder ist Z = W oder Z = W(w.Q,) = W(.Q1)' - Beweis: Andern

falls gäbe es die größte kardinale Anfangszahl w{J € Z. Es sei a; = w{J + 1. Ist J. € Z, so kann man W (J.) in einem Ordnungstypus < a; anordnen. Daraus erhält man zu jeder Limeszahl I-' < J. eine wachsende Folge von einem Typ < a; und mit dem Limes I-' (durch Abstreichen gewisser Glieder in der neuen Wohlordnung von W(J.)), im Widerspruch zu (D).

F 0 I ger u n gau s (E): Zur Gültigkeit von (C) mit allen seinen Folgerungen kommt noch hinzu: Es gibt eine größte kardinale Anfangszahl w)'€Z, wobei diese die kleinste Zahl IX mit den Bedingungen von Axiom (E) ist [5J. Es ist also Z = W (.01) = W (00)'+1). wobei l' < .01 ,

Folgerungen aus (F): 1. ~1 und 2~. sind unvergleichbar, d. h. es gibt keine Teilmenge des Konti

nuums von der Mächtigkeit ~1' - Beweis: Es ist ~1 non > 2~ •• Annahme: ~1 ~ 2~., d. h. es gebe eine wohlgeordnete Teilmenge Tc Co vom Ordnungstypus 001 , F sei die Menge der Fol[en G!n}" < w von Teilmengen An C Co mit An ~ ~o' Wegen (2~.)~. = 2~. ist F= Co' Zu jeder Folge IAn} .. <w aus F gibt es eine Folge Ixn} .. < '" von Elementen Xn € Co, so daß Xn non € A" für n < 00 (es sei etwa Xn das erste E~ment von T - An). Ist nun IBn} .. < weine Folge aus F, so entspricht wegen F = Co jedem B n eineindeutig eine Menge B~ von Folgen aus F. Gn sei die Vereinigung der Mengen, die durch die Folgen von B~ der Zahl n zugeordnet werden. Es ist Gn ~ ~o, also IGn } .. < Q)

eine Folge von F. Also existiert eine Folge Ixn} .. < w von Elementen Xn € Co, so daß Xn non € Gn für n< w. Die Folge IXn} .. < Q) mit X n = {xn} aus Fist Element ke~er Menge B~ (denn sonst wäre xn € Gn). Somit ist m B~ =l= F, und wegen F = Co auch m B n =l= Co, im Widerspruch zu (F). n < w

n<cu

VII. Unerreichbare Zahlen.

2. W(w1) ist Vereinigungabzählbar vieler abzählbarer Mengen, d.h. w1 EZ.Beweis: Nach § 30 ist ~l ~ * 2~', d.h. es gibt eine Funktion mit Argumentmenge Co und Wertmenge W(w1); und da Co Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist, gilt dies auch für W(w1).

Folgerung aus (G): Z = W (denn jede Ordnungszahl wird normal bezüglich w; vgl. § 27, Satz 4).


§ 40. Unerreichbare Ordnungszahlen.

1. Allgemeine Vorbemerkungen über unerreichbare Zahlen. In der Reihe der Ordnungszahlen (sowie auch der Kardinalzahlen) existieren, gleichsam als Stationen, solche Zahlen, die für gewisse Operationen "unerreichbar" sind, d.h. "Grenzzahlen" sind. Dabei nennen wir, wenn F ein Funktional ist, das jeder Folge {(XE}. < Ä von beliebigem Typ A ;;;; 1

von Ordnungszahlen (X< eindeutig eine Ordnungszahl F (X< zuordnet, eine «7.

Ordnungszahl p, unerreichbar bezüglich F, wenn F(X< < p, für A < p, (oder «Ä

für ein gewisses festgelegtes A) und für (XE< P, für alle; < A, sonst erreichbar. Unter diesen allgemeinen Begriff der une~eichbaren Zahl fallen, wie im folgenden gezeigt wird, alle wichtigen Klassen von transfiniten Zahlen (Limeszahlen, kritische Zahlen, Hauptzahlen, Anfangszahlen, HAusDo~FFsche exorbitante Zahlen, ZERMELosche Grenzzahlen).

Wir nennen eine Ordnungszahl ß von (X aus erreichbar bezüglich einer Operation F, wenn entweder ß ~ (x, oder ß > (X und alle Zahlen; mit (X < ; ~ ß bezüglich F erreichbar sind. Existiert eine bezüglich F unerreichbare Ordnungszahl über (x, und ist p, die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft, so ist W (p,) die Menge aller von (X aus erreichbarer Zahlen. Existiert keine unerreichbare Zahl über (x, so ist die Klasse der von (X

aus erreichbaren Zahlen die Klasse Waller Ordnungszahlen. Existieren unerreichbare Zahlen bezüglich einer Operation F, so kann man eine Normalfunktion '1jJ definieren, indem man setzt:

'1jJ (0) = erste unerreichbare Zahl überhaupt, '1jJ (; + 1) = erste unerreichbare Zahl über '1jJ (;), sofern diese existiert.

Der Argumentbereich dieser Normalfunktion ist dann entweder J-V oder eine Menge W (A), wobei A eine gewisse Ordnungszahl;;;; 1 ist. Alle Werte '1jJ (; + 1) sind unerreichbar bezüglich F; es ist aber wiederum ein Problem, ob es auch unter den Werten '1jJ(;) mit LipIeszahlargument ; (sofern solche existieren) unerreichbare Zahlen gibt.

2. Unerreichbare Ordnungszahlen bezüglich der arithmetischen Operationen. Wir betrachten nun verschiedene Beispiele solcher unerreich-

§ 40. Unerreichbare Ordnungszahlen. 177

barer Zahlen, vorerst ohne uns mit der Frage ihrer Existenz auseinanderzusetzen. Vorläufig setzen wir das Auswahlaxiom nicht voraus.

1. Im Fall Ä. = 1 (wo wir also eine Funktion I von einer Variablen vor uns haben) lautet die Bedingung für die bezüglich I unerreichbaren Ordnungszahlen !t

I (IX) < f-t für IX< f-t. Der spezielle Fall I(IX) = IX + 1 ergibt die folgende Unerreichbarkeitsbedingung:

Bed. 1: IX + 1 < ft für IX< ft. Da man im Fall I (IX) > IX eine Normalfunktion rp aus rp(o) und durch

rp (IX + 1) = I(rp (IX)) definieren kann, liegt es nahe, noch folgende Bedingung zu formulieren:

B ed. 2: tp(1X + 1) < f-t fürrp(lX) <f-t, wobei!p eine Normalfunktion ist.

Ist I eine Normalfunktion, so kommen wir auf die folgende Unerreichbarkeitsbedingung:

Be d. 3: rp(IX) < f-t für IX< f-t, wobei rp eine Normalfunktion ist.

2. Im Fall ).= 2 istF eine Funktion von zwei Variablen. Als Beispiele nehmen wir die FINSLERschen arithmetischen Operationen rptj (vgl. § 14) und formulieren:

Bed. 4: rptj (IX, ß) < f-t für IX< f-t, ß < f-t. 3. Schließlich seiF ein allgemeines Funktional, wobei auch Ä. variiert

werde. Als Beispiele entsprechender Unerreichbarkeitsbedingungen nehmen WIr:

Bed. 5: sup IX. < f-t für Ä. < f-t und alle IX" < f-t. «).

Ferner seien (/Jtj die in einer beliebigen der zwei in § 14 angegebenen Möglichkeiten definierten, den FINSLERschen Operationen rptj zugeordneten Funktionale, und wir setzen:

Bed.6: (/Jtj(Ä.) < f-t für Ä. < f-t und alle IX< < ft· Nun lassen sich sehr leicht die folgenden Sät z e beweisen:

(1) Die Ordnungszahlen ft mit der Bed. I sind genau die Ordnungszahlen von 2.Art (schon die gewöhnlichen Limeszahlen kann man also als unerreichbare Zahlen betrachten, nämlich bezüglich der Operation des Übergangs zur Nachfolgerzahl).

(2) Die Ordnungszahlen f-t mit der Bed.2 sind die Zahlen rp (Ä.) mit Limeszahlargument Ä. und die Zahlen ~ rp (0).

(3) Die Ordnungszahlen f-t > 0 mit der Bed. 3 sind die kritischen Zahlen der Normallunktion rp und ihre Nachlolger.

(4) Die Ordnungszahlen fl > 2 mit der Bed. 4 sind genau die eigentlichen Hauptzahlen von CfJ1}' wenn'fJ von 1.Art. - Beweis: Gilt Bed.4 für fl > 2, so ist fl eine Limeszahl; denn sonst wäre ,u = fl' + 1, fl' ~ 2,

CfJ1} (fl', fl') ~ fl, Widerspruch. Also ist für 1< (X< fl

fl:;:;; CfJ1) (lX,fl) = limCfJ1} (IX,ß) :;:;;fl, also CfJ'1(IX,fl) =fl, ß<p

d. h. fl ist eigentliche Hauptzahl von CfJ'!. Ist fl eine eigentliche Hauptzahl von CfJ1}' so ist CfJ1} ((X, ft) = ft für alle (X mit 1 < (X < ft, also CfJ1) ((X, ß) < fl

für 1 < (X < fl und 1 < ß < ft, d. h. Bed.4 ist erfüllt.

Spezialfälle: Die Ordnungszahlen ft > 0 mit der Bed. (X + ß < fl für IX < ft, ß < ft sind die y-Zahlen. Die Ordnungszahlen ft > ° mit der Bed. (X • ß < ft für (X < ft, ß < ft sind die t5-Zahlen und 1. Die Ordnungszahlen ft > ° mit der Bed. (Xß < ft für (X< ft, ß < ,u sind die s-Zahlen und 2.

(5) Die Ordnungszahlen ft > 1 mit der Bei. 5 sind die regulären Limeszahlen (d.h. also die regulären ordinalen Anfangszahlen). - Die Normalfunktion 'IjJ, die man ,nach NT. 1 einer Unerreichbarkeitsbedingung zuordnen kann, wird im Fall der Bed.5 also aus den ordinalen Anfangszahlen gebildet; es ist 'IjJ(0) = 0, 'IjJ(1) = 1, 'IjJ(2 +~) = Q<.

(6) Ist ft eine reguläre Limeszahl, so gilt Bed.4 für beliebiges 'Yj mit 1 :;:;; 1] < fl (d. h. fede reguläre Limeszahl fl ist unerreichbar bezüglich aller höheren Operationen CfJ1) mit 1 :;:;; 'fJ < fl und ist somit Hauptzahl bezüglich aller Operationen CfJ1} mit 'fJ von 1.Art und 1 :;:;; 'fJ < fl}. - Satz (6) wird mit transfiniter Induktion nach 'fJ bewiesen; für 1] = 1, 2, 3 gilt er nach § 15.

(7) Ist ft eine reguläre Limeszahl, so gilt Bed.6 für beliebiges 1] mit 1 :;:;; 'fJ < fl. - Beweis aus (6).

Spezialfälle : Die Ordnungszahlen fl > 0 mit der Bed. L: (X< < fl für «).

A < ft und alle (X; < ft sind die regulären Limeszahlen und 1 und 2. Dasselbe gilt für die Zahlenft mit der Bed. [J (X< < ft für A < ft und alle (X; < ft.

«).

3. Die HAUSDoRFFschen "exorbitanten" Zahlen [6]. Wir führen (als Spezialfall von Bed. 2) eine neue Bedingung ein:

Bed·7: Q"+l < ft für Q" < ft, ferner (als Spezialfall von Bed.3)

Bed.8: Q,,<ftfür(X<ft.

D e f. 1. Unter den HAusDoRFFschen Zahlen verstehen wir die Ordnungszahlen ft > 1, die Bed.5 und Bed.7 erfüllen; sie sind also die regulären Anfangszahlen Q" mit Index (X von 2. Art.

§ 40. Unerreichbare'Ordnungszahlen. 179

Die ersteHAusDoRFFsche Zahl istw. Die HAusDoRFFschenZahlen > w heißen auch "exorbitante Zahlen". Mit DeI. 1 äquhralente Definitionen:

DeI. 2. Die HAusDoRFFschen Zahlen> w sind die Ordnungszahlen # > 0, die Bed.5 und Bed.8 erfüllen; sie sind also die regulären Anfangszahlen Qr;., die zugleich kritische Zahlen der Normalfunktion Q. sind.

Def.3. Die HAusDoRFFschen Zahlen> w sind die Ordnungszahlen # > 1, die die Bed. sup [Jr;.< < # für A < # und alle IX. < # erfüllen.

«A

4. Die Grenzzahlen von ZERMELO [23]. Bisher haben wir Operationen betrachtet, die den Ordnungszahlen (oder Folgen von Ordnungszahlen) wieder Ordnungszahlen zuordnen. Wir wollen nun auch solche Operationen heranziehen, die den Ordnungszahlen Kardinalzahlen zuordnen. Die einfachste Operation dieser Art ist die Zuordnung der Kardinalzahl ii zur Ordnungszahl IX. Die Ordnungszahlen # mit der entsprechenden Unerreichbarkeitsbedingung

;'<fi für IX<#

sind die kardinalen Anfangszahlen w< und die endlichen Zahlen. Für die weiteren Betrachtungen legen wir das Auswahlaxiom zugrunde

(so daß also Q. = wo). Dann wird Bed.7 zu

Bed.7': wr;.+l<#fürwr;.<#.

Ähnliche Bedingungen sind:

Bed. 7": Ist IX eine Ordnungszahl< #' so existiert eine Kardinalzahl}: mit ii < }: < ji.

Bed.7''': Ist", eine Ordnungszahl< ji, und ist n' die unmittelbar auf ii folgende Kardinalzahl, so ist n' < ji.

Man sieht sofort, daß die Bedingungen 7',7",7'" äquivalent sind, falls # ~ w. Die Ordnungszahlen ~ w, die einer solchen Bedingung genügen, sind die Zahlen WA mit A von 2.Art. Stärkere Bedingungen als diese Bedingungen 7', 7", 7''' sind:

Bed.9: 2ä.<ii für IX<#.

Bed. 9': w",(r;.+!)<# für w",(r;.)<# (wobei n(IX) die in § 33 definierte Normalfunktion mit n(o) = 0 und ~:>%(r;.+1) = 2~"'(r;.) ist).

Man sieht wiederum, daß diese Bedingungen 9, 9' äquivalent sind, falls # ~ w. Die Ordnungszahlen ~ w, die einer solchen Bedingung ge-

I ,

nügen, sind die Zahlen W",(A) mit' A von 2. Art. Aus den Bedingungen 9,9', folgen die Bedingungen 7',7",7'''; legt mau die Alephhypothese zugrunde, so gilt auch die Umkehrung.

Bed. 8 wird zu

Bed. 8': Wr;. < # für IX < #.

180 VII. Unerreichbare Zahlen.

Eine stärkere Bedingung als Bed.8' ist

Bed. 10: w,,(~) < fi für IX< fi. Def. 4. Die ZERMELoschen Grenzzahlen (kurz ZERMELoschen Zahlen)

sind die Ordnungszahlen fi > 0, die Bed.5 und Bed. 9 erfüllen; sie sind also die regulären Anfangszahlen w"(,,,) mit Index IX von 2. Art.

Die erste ZERMELosehe Zahl ist w. Mit Def.4 sind äquivalent:

Def. 5. Die ZERMELoschen Zahlen> w sind die Ordnungszahlen fl > 0, die Bed.5 und Bed.l0 erfüllen; sie sind also die regulären Anfangszahlen w"" die zugLich k:itische Zahlen der Normalfunktion w"(O sind.

D e f. 6. Die ZERMELoschen Zahlen> w sind die Ordnungszahlen ft > 1,

die die Bvd. sup w"("'<) < fl für Ä. < fl und alle IX< < fi erfüllen. «..1.

Beweis von Def. 4 +-). Def. 5: Gilt für fi > 0 Bed.5 und Bed.10, so ist nach (3) fi = w,,(,,) oder fi = w,,(,,) + 1, wobei w,,(,,) = u. Da Bed.5 erfüllt ist, ist fi = w,,(,,) , also gilt Bed.9. - Sind für fi > 0 Bed.5 und Bed.9 erfüllt, so ist fi = w"(..1.) mit.il von 2. Art; ist .il eine Limeszahl, so folgt, da fi regulär ist, w"(..1.) =.il (denn wäre w"(..1.) > Ä., so wäre W"(A)

= lim w"(,,,) singulär). Also gilt Bed. 10. ",<Ä

Alle ZERMELosehen Zahlen sind HAusDoRFFsche Zahlen. Nimmt man die Alephhypothese an, so sind die ZERMELosehen und die HAUSDORFFsehen Zahlen identisch.

§ 41. Unerreichbare Kardinalzahlen.

1. Unerreichbarkeitsbedingungen für Kardinalzahlen. Analog den Ordnungszahlen betrachten wir nun die bezüglich der arithmetischen Operationen unerreichbaren Kardinalzahlen. Wir setzen das Auswahlaxiom voraus. Es sei F eine Operation, die, wenn X eine Menge, und jedem Element x € X eine Kardinalzahl mx zugeordnet ist, dieser Funktion eindeutig eine Kardinalzahl F mx zuordnet. Dann heißt die Kardinal-

x€X zahl m unerreichbar bezüglich F, wenn F mx < m für X< m (oder für

x€X

eine festgelegte Mächtigkeit X) und für mx < m für alle x € X. Dabei bietet die Addition und Multiplikation zweier Kardinalzahlen nichts Interessantes:

Die Kardinalzahlen m mit der Bedingung p + q< m für p< m, q< m sind die Alephs und m ~ 1. Die Kardinalzahlen m mit der Bedingung p. q < m für p< m, q< m sind die Alephs und m ~ 2.

Wir stellen nun ähnliche Bedingungen für Kardinalzahlen m zusammen, wie in § 40 für die Ordnungszahlen fi :

Bed. 1: Ist n< m, und ist n' die auf n folgende Kardinalzahl, so ist n' < m.

Bed. 1': Ist n < m, so gibt es eine Kardinalzahl y: mit n< y: < m.

Bed. 2: nP <m für n< mund l' <mo Bed. 2': 2P < m für l' <mo

Bed·3: 91'1(1', q) <m für 1'<m, q <m (wobei 91'1 eine der in § 34 definierten höheren Operationen mit Kardinalzahlen ist).

Bed.4: sup m..,< m für X< m und alle m.~ < m (wobei sup m", die ..,eX ..,eX

kleinste Kardinalzahl größer als alle mx mit x € X ist).

Bed. 5: ~ mx <m für X <m und alle m..,<m. xeX

Bed. 6: [[ nt.., < III für X < III und alle nt.., < lll . ..,eX

Bemerkung: I nt.., undJIlll.., werden getrennt betrachtet, weil diese ..,eX ..,eX

Operationen verschiedene unerreichbare Zahlen haben im Gegensatz zu den entsprechenden Operationen mit Ordnungszahlen (vgl. § 40).

Bed. 7: lP'1(A) < m für i< III und alle m< < III (wobeilP'1 ein Funktional ist, das sich nach § 34 der Operation 91'1 zuordnen läßt).

Für die folgenden Ausführungen stellen wir noch weitere Bedingungen zusammen:

Bed.8: lllP =m für 0< 1'< III (ist nt = ~'" so lautet Bed.8 auch: P(cx) = cx vgl. §33).

Bed.9: lll=me (d.h. jede Meng~ M ~it M = m ist äquivalent der Menge aller TeilmengenX cM mit X< M).

Be d. 10: Es gibt keine Kardinalzahl 1', für die 21' = III (d.h. zu keiner

Menge M mit M = III gibt es eine Menge P, so daß M mit der Potenzmenge von P äquivalent ist).

Bed. 11: Für jede Kardinalzahl l' ; 0 gilt 1111' = III • 2P (d. h. III erfüllt die BERNSTEINsche Bedingung; vgl. §§ 33 und 36).

Bemerkung: Bed. 8 für alle m= ~"'+1' und Bed.9 für alle m = ~"'+1' sind mit der Alephhypothese äquivalent (nach § 35).

Über diese Bedingungen kann man die folgenden Sätze beweisen: (1) Bed.l und Bed.l' sind äquivalent. Die Kardinalzahlen m mit dieser

Bedingung sind m = 0 und die Alephs ~Ä' wobei A von 2. Art ist. (2) Die Kardinalzahlen m mit der Bed.2 sind III = 0,2 und die Alephs

~"(Ä)' wobei A von 2.Art ist; die Kardinalzahlen III mit der Bed.2' sind III = 0 und die Alephs ~:n.(;.) mit A von 2.Art. Somit sind Bed.2 und Bed.2' äquivalent, wenn m =l= 2.

(3) Aus Bed.2' folgt Bed.l; jedoch sind diese Bedingungen nur dann äquivalent, wenn die Ahphhypothese angenommen wird.

(4) Die Kardinalzahlen III mit der Bed. 4 sind m ~ 1 und die Alephs ~;., für die lQ;. eine HAUSDORFFsche Zahl ist.

(5) Die Kardinalzahlen m mit Bed.5 sind m ~ 2 und die Alephs ~'" tür die w" eine reguläre Anfangszahl ist.1

(6) Bed. 8 +-+ Bed. 9. - Beweis: Gilt Bed. 8, so ist

m ~ y mV ~ L m ~ m . m = m , v<m p<m

also gilt Bed. 9. Gilt Bed. 9, so ist für 0 < p < m

mV~ 2: mV=m, v<m

d.h. es gilt Bed. 8.

2. Die verschiedenen Definitionen der KURATOWsKIschen und TAR

SKIschen unerreichbaren Alephs [17]. Def. A. Das Aleph ~lZheiße eine KURATOWsKIsche unerreichbare Kar

dinalzahl oder im weiteren Sinne unerreichbare Kardinalzahl (kurz: KURA

TOWsKIsche Zahl), wenn w" eine HAusDoRFFsche Ordnungszahl ist. Def. B. Das Aleph~" heiße eine TARsKIsche unerreichbare Kardinal

zahl oder im engern Sinne unerreichbare Kardinalzahl (kurz TARsKIsche Zahl), wenn w" eine ZERMELosche Ordnungszahl ist.

Mit A äquivalente Definitionen sind:

Def. A l' Die KURATOWsKIschen Zahlen sind die Alephs, die Bed. 4 erfüllen.

Def. A 2• Die KURATOWsKIschen Zahlen sind die Alephs, die Bed. I

und Bed. 5 erfüllen. Mit B äquivalente Definitionen sind:

Def. BI' Die TARsKIschen Zahlen sind die Alephs, die Bed.2 und Bed.5 erfüllen.

Def. B 2 • Die TARsKIschenZahlen sind die Alephs, die Bed. 6 erfüllen. Def. B 3 • Die TARsKIschen Zahlen sind die Alephs, die Bed.2 und

Bed. 8 erfüllen. Def. B 4 • Die TARsKIschen Zahlen sind die Alephs, die Bed.8 und

Bed. 10 erfüllen. Def. Bö. Die TARsKIschen Zahlen sind die Alephs, die Bed.2 und

Bed. n erfüllen. Bemerkung: In diesen Definitionen darf Bed. 2 durch Bed. 2' und

Bed. 8 durch Bed. 9 ersetzt werden; denn für unendliches m gilt Bed. 2

+-+ Bed. 2', und Bed. 8 ~ Bed. 9, vgl. Sätze (2) und (6). Äquivalenzbeweise (mit Hilfe der Axiome (I) bis (VII) und (~{)

von§2):

A +-+ Al' A +-+ A 2 und B +-+ B 1 : Nach Satz (1), (2), (4) und (5).

1 Denn allgemein gilt: Ist mx <~" für alle x E X und X < ~cf("), so ist E mx< ~,,; vgl. zudem § 28, Satz 4.

xeX

BI -+ B 2 : Gilt Bed.2 und Bed. 5 für das Aleph tU, ist X = ~ < tU

und nx < m für x € X, so ist I nx < m, also xeX

d. h. m erfüllt Bed. 6.

B 2 -+ BI: m sei ein Aleph mit Bed.6. Ist X = P < mund nx = n für x € X, so ist also

nP = n nx<m, xeX

d. h. m erfüllt Bed. 2. Ist nx ~ 2 für alle x € X, so ist nach § 29

~ nx ~ [J nx ~ m; xeX xeX

auch in den Fällen, wo ein nx ~ 1 ist, läßt sich leicht I nx < m beweisen. Also gilt Bed. 5 für m. XE x

BI -+ B s : Gelten Bed. 2 und Bed. 5 für ein Aleph m, und ist 0< p< m, so ist, wenn p endlich ist, mP= m; ist p unendlich und tU = ~'''' so ist wegen Bed. 5 (X = ct((X). also nach § 33, Satz 3

mP = I ~~. '<IX

Nach Bed. 2 ist ~~ < m für ~ < (x, also mP ~ m· Li = m. Also gilt Bed. 8 für m.

B s -+ BI: m sei ein Aleph mit Bed. 2 und Bed.8. Ist 0 < X = P < m, ferner nx < mund mx = m für alle x € X, so folgt nach § 29

~ 11 ... < n mx=mP=m, ... eX xeX

d.h. m erfüllt Bed. 5.

Bs -+ B,: Gilt für ein Aleph m Bed.2, so gilt Bed. 10, denn wäre 2P = m, so wäre p< 2P = m, im Widerspruch zu Bed. 2.

B, -+ B s : Gilt für ein Aleph m Bed.8 und Bed. 10, und ist 0< p< m, so folgt 2P < mP = m, also Bed. 2.

Bs -+ Bs : Gilt für ein Aleph m Bed. 2 und Bed. 8, so ist für 0 < p< m

21' < m = mP, also mP = m . 2" ; für p ~ m folgt

m<mP =2P, also mP =m·2P.

Somit gilt Bed.11 für m.

B 5 -+ Bs: Gilt für ein Aleph m Bed. 2 und Bed. 11, so ist

mP = m . 21'1 ~ m2 = m für 0 < P < m , also gilt Bed. 8.-

~o ist die kleinste KURATOWsKlsche sowie die kleinste T ARSKlsche Zahl. Man kann ferner leicht zeigen, daß jede TARsKlsche Zahl m die Bed. 3 und die Bed. 7 für beliebige 'fJ mit 1 ~ 1] < m erfüllt.

3. Unerreichbare Alephs und Alephhypothese. Man sieht sofort, daß jede TARsKlsche Zahl auch eine KURATOWsKlsche Zahl ist; ist die Alephhypothese richtig, so gilt auch die Umkehrung. Die letztere folgt auch schon aus einer viel schwächeren Voraussetzungl : Ist (für jede unendliche Kardinalzahl m) 2 m von m aus in dem Sinne erreichbar, daß keine KURATOWsKlsche Zahl): mit m<): ~ 2m existiert, so ist jede KURATOWsKlsche Zahl eine TARsKlsche Zahl (denn ist meine KURATOWSKIsche Zahl und p < m, so ist 2" < m, weil 2" ~ m ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre; also gilt Bed. 2' für m; also ist meine T ARsKlsche Zahl).

Die Alephhypothese ist äquivalent mit dem Satz: Bed. 5 ---+ Bed. 8, dagegen gilt Bed. 8 ---+ Bed. 5 allgemein [17J.

4. Bemerkung über Anwendungen der unerreichbaren Zahlen. Die unerreichbaren Zahlen sind nicht nur als Kuriosität interessant, sondern finden da und dort in der Mengenlehre Anwendung [4, 10], wobei die wichtigste wohl diejenige in der Maßtheorie ist [2, 3, 12, 16, 18, 19, 21]. Das abstrakte Maßproblem lautet: Gibt es in jeder unendlichen Menge N eine total-additive Maßfunktion, d.h. eine Funktion m, die jeder Teilmenge XcN eindeutig eine reelle Zahl m (X) zuordnet mit 0 ~ m (X) < 00, wobei gilt:

1. m ([5 Xi) = ~ m (Xi), wenn {Xi}; < I' eine Folge vom Typ ft ;;;;; OJ von ;<1' ;<1'

paarweise disjunkten Teilmengen Xi c N ist. 2. Für jedes Element x € N ist m({x}) = o. 3. Es gibt eine Menge Xc N mit m (X) =!= _0.

Die Antwort auf diese Frage lautet: Ist N > ~o von ~~ au~n dem Sinne erreichbar, daß keine KURATOwsKls~e Zahl): mit ~o <): ~ N existiert, so gibt es keine solche Maßfunktion (ist N = ~o, so gibt es sowieso keine solche Maßfunktion). Daß keine Maßfunktion für das Kontinuum existiert, folgt auch aus der Kontinuumhypothese. - Dagegen existiert in jeder unendlichen Menge N eine endlich-additive Maßfunktion, d.h. eine solche, bei der in Bedingung 1. ft ~ OJ durch ft < OJ ersetzt ist (während Bed.2. und 3. unverändert bleiben); dies kann mit Hilfe des Auswahlaxioms bewiesen werden.

§ 42. Über die Existenz unerreichbarer Zahlen.

1. Allgemeine Bemerkungen über die Existenz unerreichbarer Zahlen. Die Frage, ob über einer gegebenen Ordnungszahl (X unerreichbare Ordnungszahlen bezüglich einer bestimmten Operation existieren (die unerreichbaren Kardinalzahlen lassen sich auf unerreichbare Ordnungszahlen zurückführen), ist gleichbedeutend mit der Frage, ob die Klasse

1 Nach einer mündlichen Mitteilung von G. MÜLLER.

§ 42. Über die Existenz unerreichbarer Zahlen. 18S

der von (X aus erreichbaren Ordnungszahlen eine Menge ist, oder ob sie nur eine Klasse (und somit W) ist; sie führt also mitten in die Problematik der Grundlagen der Mengenlehre. So ist in den folgenden Fällen die Existenz unerreichbarer Zahlen problematisch:

1. w ist die kleinste reguläre Limeszahl. Damit taucht in natürlicher Weise die Frage auf, ob es weitere reguläre Limeszahlen gibt. Setzt man das Auswahlaxiom nicht voraus, so scheint sowohl die Existenz wie auch die Nichtexistenz regulärer Limeszahlen > w (also von Ql' Q2 usw.) zu keinem Widerspruch zu führen. Gäbe es keine reguläre Limeszahl > w (d.h. wäre Z = W, vgl. § 39), so würden sich einige Vereinfachungen in der Theorie der transfiniten Zahlen ergeben (vgl. die Theorie der gelichteten Klassen § 6, der Normalfunktionen § 7, der regressiven Funktionen § 9). Solange diese Annahme Z = W zu keinem Widerspruch führt, kann sie als Axiom den andern Axiomen adjungiert werden. Setzt man das Auswahlaxiom voraus, so existieren so viele reguläre Limeszahlen, daß die zugehörige Normalfunktion 1p (vgl. § 40) den Argumentbereich What.

2. w ist die kleinste HAusDoRFFsche und die kleinste ZERMELosche Ordnungszahl; ~o ist die kleinste KURATOWsKlsche und die kleinste TARsKlsche Kardinalzahl. Die Frage, ob es weitere solche unerreichbaren Zahlen gibt, ist auch bei Annahme des Auswahlaxioms vorerst unentschieden.

Es scheint zunächst, daß alle Anfangszahlen W~ mit Limeszahlindex ; singulär sind, oder wenigstens, daß die HAusDoRFFschen Zahlen> W von solch "exorbitanter" Größe sein müssen (daher ihr Name "exorbitante Zahlen"), daß ihre Existenz zweifelhaft erscheint: Wir bilden, ausgehend von der Normalfunktion 'P (;) = Wo' die transfinite Folge der Ableitungen 'P~ (vgl. §8), wobei po=rp, 'P~+,='P~, Vrp;.= ::u V'P~ für Limeszahlen A. Die Werte

~<;.

'Pl (;) heißen die C-Zahlen, die Werte 'P2 (;) die 'f}-Zahlen. Dann sieht man, daß die exorbitanten Zahlen nur unter den Werten 'P~ (0) vorkommen können: Ist nämlich w'" eine Anfangszahl mit Limeszahlindex ex, die nicht von der Form 'P~ (0) ist, so gibt es eine Normalfunktion 'P'1' so daß w'" = 'P~ (;), ; > 0, aber w'" non E V'P~' für rj' > 'f}. Ist ; eine Limeszahl, so ist w'" >; und w'" = lim 'P~ W), also w'" singulär. Ist ; = ;' + 1, so ist 'f} > o. Im Fall

<'« 'f} = 'f}' + 1 ist dann w'" = lim 'P~'('P~(;') + 1), im Fall 'f} von 2. Art ist

n<w Wo: > 'PYJ (0) ~ 'f} und w'" = lim 'Pr( ('PYJW) + 1), also in beiden Fällen w'" singulär.

rJ' <'I Somit können die exorbitanten Zahlen nur unter den Werten der Normal-funktion 'IjJ (;) = 'Pli (0) vorkommen. Bildet man wieder die transfinite Folge der Ableitungen '/jJYJ von '/jJ, so kann man wie oben schließen, daß die exorbitanten Zahlen nur unter den Werten der Normalfunktion X (;) = W (0) vorkommen können usw. Man findet so eine Folge von Normalfunktionen 'P, '/jJ, X, ... , die sich so ausdehnen läßt, daß jeder Ordnungszahl 'f} eine solche Normalfunktion <pYJ zugeordnet ist (wobei <Po = 'P, W existieren, scheint also zu keinem \Viderspruch zu führen [sJ.

Es läßt sich sogar streng nachweisen, daß auf dem Boden des ZERMELO -FRAENKELschen Systems die Existenz solcher unerreichbarer Zahlen nicht begründet werden kann [1,8]. Ob ihre Existenz aber widerspruchsfrei bezüglich des Systems ist, ist noch nicht bekannt. Solange aber kein Widerspruch gefunden ist, kann man das ZERMELo-FRAENKELsche System um ein neues "Erzeugungsprinzip", d.h. um ein neues Axiom bereichern, das die Existenz beliebig großer unerreichbarer Zahlen gewährleistet, so daß also der Bereich der Mengen, mit denen man operiert, stark erweitert wird.

2. Das Axiom der unerreichbaren ll'Iengen [17, 20]. Das TARsKlsche Axiom der unerreich baren M engen lautet in zwei einander äquivalenten Formen!:

(U) Zu jeder Menge N gibt es eine Menge l.1[ mit den Bed1:ngungen: 1.NEM. 2. Ist XE M, so ist auch jede Teilmenge Y c X Element von l~I. 3. Ist X E M, so ist auch die Potenzmenge von X Element von M. 4. M enthält als Elemente alle Teilmengen X c M, die nicht mit 1',[

äquivalent sind. (U/) Zu jeder Menge N gibt es eine Menge M mit den Bedingungen: 1/. N ist mit einer Teilmenge von M äquivalent. 2/. Die lVIenge der TeilmengenX c M, die nicht mit M äquivalent sind,

ist mit M äquivalent. 3/. Es gibt keine Menge, deren Potenzmenge mit M äquivalent ist. Diese Axiome (deren Äquivalenz weiter unten bewiesen wird) sind so

weitreichend, daß andere Axiome des ZERMELO -FRAENKELschen Systems als Folgerungen dieser Axiome weggelassen werden können, z.B. das Unendlichkeitsaxiom und, was besonders interessant ist, auch das Auswahlaxiom. Aus jedem der beiden Axiome (U) und (U/) folgt nämlich das Auswahlaxiom (~):

In beiden Fällen sei 5 die Menge der Teilmengen Xc M mit X< M,

S/ die Menge der Teilmengen X c M mit X non ~ N. Wegen N ~ Mist also 5/ c 5, somit (we~en 5~ M i~ Fall von Axiom (U) und 5,.., M im Fall von Axiom (U/)) S/ ~ M. Ist N> 1, so ist die mit M äquivalente

Menge der Teilmengen Xc iVI mit X = 1 eine Teilmenge von 5/, also

S = M; damit erfüllt also M in beiden Fällen die Bedingung von Satz (2(;5) von § 31 . Somit gilt (U) -+ (~() und (U/) -+ (~().

1 Das Axiom (U') hat gegenüber (U) den Vorteil, daß es auch in einem System, das sich auf der Stufentheorie gründet, sinnvoll ist. - Wir formulieren diese Axiome hier noch nicht in der Sprache der Mächtigkeiten, weil die letzteren erst nach Einführung der Mengen eingeführt werden (als Mächtigkeitsbeziehun.[}autet z. B. Bed. 4 von (U): ~ enthält als Elemente alle Teilmengen X c M mit X < M; und Bed. l' von (U'): N ~ Ni).

§ 42. über die Existenz unerreichbarer Zahlen.

Mit Hilfe des Auswahlaxioms beweist man folgenden Hilfssatz :

Hilfssa tz: Ist N eine beliebige Menge, so ist die Kardinalzahl m dann 2tnd nur dann eine TARSKlsche Kardinalzahl> N, wenn es eine Menge M mit M = m mit den Bedingungen von Axiom (U) gibt.

Beweis: a) Es sei m = ~"eine TARsKIsche Kardinalzahl> N. Wir definieren eine Folge {N <} < < w", von Mengen : No sei die Potenzmenge

von N, und für ~ > 0 sei N< die Menge der Teilmengen X c ~J N'fj mit = '1« X< m. Schließlich sei M = ffi No. lVI erfüllt Bed. 1, denn es ist NE No, alsoNEM. ;<W"

b) M erfüllt Bed. z: Ist XE .111, so ist X E No für ein ~ < Wa.' also ist für YcX auch YEN<, also YEM.

c) M erfüllt Bed. 3: Da ~o: d~ Bed. z' von § 41 genügt, hat die

Potenzmenge einer Menge X mit X < ~a. auch eine Mächtigkeit < ~a.. Ist X E No, so ist also die Potenzmenge von X Element von N< + 1; somit erfüllt M die Bed. 3.

d) Es gilt M ~ ~,,: Denn gibt es kein ~ < W a mit ffi N'fj ~ ~a. (andern'I«

falls ist die Behauptung richtig), so ist für jedes ~ < Wa. N< die Potenz-menge von ffi Nr,' also N< - ffi N'fj =!= 0, also wird wegen M =

'I« -.!]«

No + ffi (Ni; - ffi N r,) offenbar M ~ ~". «Wa. '1<1;

e) Ferner ist N< ~ ~~für alle ~ < Wo:. Diese Behauptung gilt nämlich

für!; = 0, weil für p = N

= Il P N o = 2 ~ Na = ~a.

wegen p < ~a. und Bed. 8 von § 41 für ~a.. Gilt die Behauptung für alle N r,

mit'YJ < ~ (wobei 0< !; < w a), so ist für n = ffi N'l 'l<E

im Fall n < ~a. ist dann H. ~ zn ~ ~a. wegen Bed. z' von § 41 für ~a.;

im Fall n = ~a. ist, weil ~a. die Bed. 9 von § 41 erfüllt, Ni; = ~". Somit

gilt NE ~ ~a. für alle ~ < Wa.. - Daraus folgt nun M ~ ~a.. ~a.= ~c" also

zusammen mit d) M = ~a..

f) M genügt der Bed. 4: Es sei X c Mund X< M. Also existiert ein I; < Wa.' so daß Xc ffi N'l (denn gäbe es eine Menge von Indizes 'YJ mit der

'1« oberen Grenze Wa.' für di~ N'1 X =\= 0, so wäre ihre Mächtigkeit m, weil

OJa. regulär ist, also \väre X = M). Also ist XE N., also XE M.

g) Gibt es eine Menge M mit de~ Bedingungen von (U), so ist die

Menge S der Teilmengen Xc M mit X< M mit M äquivalent, also gilt

für M die Bed. 9 von § 41, und somit auch Bed. 8 von § 41. Ist P < M, so gibt es eine Teilmenge X c M mit X = p; wegen 4. ist also X € M; ist U die Potenzmenge von X und V ~e Poten~menge von U, so ist nach

3. U € M, also nach 2. V c M, also V = 2 P < V ~ M, d. h. M genügt der Bed. 2' von § 41. Da N € M, ist nach 2. die Potenzmenge von N eine

Teilmenge von M, also N < M. Somit ist ll1 eine TARsKlsche Kardinal

zahl >N.-Nun können wir die Äquivalenz der beiden Axiome (U) und (U') be

weisen: Gilt (U), so gilt auch (~), also gibt es nach dem Hilfssatz zu jeder Menge N eine Menge M, deren Mächtigkeit Meine TARSKlsche

Zahl> N ist. Da M die Bed. 9 und 10 von § 41 erfüllt, so erfüllt Malle Bedingungen von (U'). - Gilt (U'), so gilt auch (~), und zu jeder Menge N gibt es eine Menge M, deren Mächtigkeit M die Bed. 9 und 10 von § 41 erfüllt, und von der eine Teilmenge mit der Potenzmenge von N

äquivalent ist. Somit ist Meine TARsKlsche Zahl > N, also gibt es nach dem Hilfssatz eine Menge mit den Bedingungen von (U).

Schließlich sehen wir nun, daß durch das Axiom der unerreichbaren Mengen die Existenz beliebig hoher TARsKlscher (und somit auch KURATOWsKlscher und natürlich auch HAusDoRFFscher und ZERMELoseher) unerreichbarer Zahlen gewährleistet wird.

3. Höhere unerreichbare Zahlen [11]. Das Axiom der unerreichbaren Mengen ermöglicht, sofern seine Widerspruchsfreiheit garantiert ist (was wir hier annehmen wollen), die Existenz einer Normalfunktion tp, deren Argumentbereich die Klasse W* aller Ordnungszahlen im erweiterten System ist, wobei ljJ (0) = 0) und' tp (~+ 1) die erste ZERMELOsehe Zahl über tp (~) ist. Für jede Zahl ~ € W* bildet dann die Klasse der Ordnungszahlen< tp (~ + 1) die Klasse aller Ordnungszahlen eines bestimmten Modells des ZERMELO-FRAENKELschen Systems; speziell ist das zu ~ = 0

gehörige Modell ein solches ohne ZERMELOsehe Zahlen> 0). Dabei erscheinen die Klassen eines solchen Modells, die keine Mengen dieses Modells sind, als Mengen innerhalb des nächsthöheren Modells. Die Zahlen tp (~+ 1) haben also die Eigenschaft, daß sie jeweils für ein bestimmtes Modell des ZERMELo-FRAENKELschen Systems nicht mehr existieren, aber im nächsthöheren System als obere Grenze der Klasse der Ordnungszahlen des niedrigeren Modells erscheinen (daher kommt auch ihr Name "Grenzzahlen"). Die Existenz einer Grenzzahl eines Systems hat nur innerhalb eines höheren Systems einen Sinn. Alle Ordnungszahlen eines bestimmten Systems der Mengenlehre können als "erreichbar" bezüglich der durch die Axiome beschriebenen Operationen aufgefaßt werden.

§ 42. über die Existenz unerreichbarer Zahlen.

Wir haben somit eine Hierarchie von Modellen, die dann wieder ein Abbild der uferlosen Reihe der Ordnungszahlen ist. Die Grenzzahlen sind nur "relative Haltpunkte" im uferlos fortschreitenden Prozeß der Bildung transfiniter Zahlenl .

Man kann sich weiterhin fragen, ob es Werte '!jI (Ä.) mit Limeszahlargument Ä. gibt, die wieder ZERMELOsche Zahlen sind. Diese Annahme führt anscheinend zu keirtem Widerspruch. Man kann nun neben dem Axiom der unerreichbaren Mengen weitere Axiome, die die Existenz von Zahlen '!jI (Ä.) mit Limeszahlargument Ä, die ZERMELOsche Grenzzahlen sind, einführen. Da die Exist~nz solcher höherer unerreichbarer Zahlen wohl unabhängig vom Axiom der unerreichbaren Mengen ist, wird dabei der Bereich W* von Ordnungszahlen wieder gewaltig erweitert zu einem neuen Bereich W**.Wiederum kann man eine Normalfunktion X mit dem Argumentbereich W** definieren, wobei X(o) = (jJ und X(~ + 1) die erste höhere unerreichbare Zahl> X (~) ist. Sodann kann man sich fragen, ob es Zahlen X (Ä) mit Limeszahlargument Ä. gibt, die höhere unerreichbare Zahlen im obigen Sinne sind usw.

Obschon man jedes formale System wieder erweitern kann durch Einführung neuer unerreichbarer transfiniter Zahlen (wobei es jedesmal einer bestimmten neuen Festsetzung bedarf), kann man dadurch die naive CANToRsche Theorie nie vollständig axiomatisieren; dieses Problem ist wohl überhaupt nicht präzise formulierbar. Innerhalb eines formalen Systems erhält man aber einen erstaunlichen Reichtum von unerreichbaren transfiniten Zahlen (ja sogar die zweite Zahlklasse ist von sehr komplizierter Struktur: man denke an die formale Darstellung ihrer Ordnungszahlen). Die Frage der Widerspruchsfreiheit solcher Systeme, und noch vielmehr diejenige einer Theorie von "absoluten" Mächtigkeiten, ist allerdings problematisch2 ; würde eines Tages ein Widerspruch aufgedeckt werden, so müßten dieser seltsamen und schönen Theorie der transfiniten Zahlen eventuell einige Kürzungen auferlegt werden.

1 "Die beiden polar entgegengesetzten Tendenzen des denkenden Geistes, die Idee des schöpferischen Fortschritts und die des zusammenfassenden Abschlusses, die auch den KANTschen "Antinomien" zugrunde liegen, finden ihre symbolische Darstellung und ihre symbolische Versöhnung in der auf den Begriff der Wohlordnung gegründeten transfiniten Zahlenreihe, die in ihrem schrankenlosen Fortschreiten keinen wahren Abschluß, wohl aber relative Haltpunkte besitzt, eben jene "Grenzzahlen", welche die höheren von den niederen Modelltypen scheiden", wie ZERMELO treffend sagt [23].

2 Nach der Ansicht von FINSLER ist diese Frage dagegen in positivem Sinne zu beantworten.

19° Literaturverzeichnis.

Literaturverzeichnis. Zu§§1-2:

i-t] P. BERNAYS: A system ofaxiomatic set theory. Journal of symbolic logic. I: 2. 65 (1937); II: 6.1 (1941); III: 7. 65 (1942); IV: 7.133 (1942); V: 8. 89 (1943); VI: :1.3.65 (1948); VII: 19.81 (1954).

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[3] - über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen. Crelles Journal f. Math. 77. 258 (1874).

[4] - über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. Math. Ann. :1.7. 355 (1880).

[5] - Gesammelte Abhandlungen. Berlin 1932. [6] Les entretiens de Zurich sur les fondements et la methode des sciences mathe-

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Math. Ann. 86. 230 (1922). [10] - Sur l'axiome du choix. Enseignement mathematique 34. 32 (1935). [I1J - über eine abgeschwächte Fassung des Auswahlaxioms. Journal of symbolic

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Kolloquiums 4. 34 (1933)· [16] - The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum

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Literaturverzeichnis .

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[35] - Einige Bemerkungen zu der Abhandlung von E. Zermelo: "über die Definitheit in der Axiomatik". Fund. Math. ~5, 337 (1930)'

[36] - über die Nicht-Charakterisierbarkeit der Zahlenbereiche mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen. Fund. Math. 23, 150 (1934).

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L41] - Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohl ordnung. Math. Ann. 65, 107 (1908 ).

[42J - Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. Math. Ann. 65, 261 (1908).

[43J - Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. Math. Z. 22, 250

(192 5). [44J - Über den Begriff der Definitheit in der Axiomatik. Fund. Math. ~4, 339

(19 2 9). Weitere Literaturangaben besonders in [18J, [21J, [38J.

Zu §§3-4:

[1] P. BERNAYs: A system ofaxiomatic set theory II, Journal of symbolic logic 6, 1 (1941).

[2J - A system ofaxiomatic set theory IV, Journal of symbolic logic 7, 133 (1942). [3] - A system ofaxiomatic set theory V, Journal of symbolic logic 8, 89 (1943)· [4] A. FRAENKEL: Axiomatische Begründung der transfiniten Kardinalzahlen.

Math. Z. 13, 153 (1922). [sJ A. B. FR1ZELL: A set of postulates for weH-ordered types. BuH. Amer. Math.

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Literaturverzeichnis.

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[2J G. CANTOR: Gesammelte A?handlungen, Berlin 1932, S·308 und 347-351. [3J P. ERDÖS: Someremarks on set theory. Proc. Amer. Math. Soc. 1, 127 (1950). [4] W. NEt1MER: Über den Aufbau der Ordnungszahlen. Math. Z. 53, 59 (195 1).

[5J - Verallgemeinerung eines Satzes von Alexandroff und Urysohn. Math. Z. 54, 254 (195 1).

[6J - Einige Eigenschaften und Anwendungen der ö- und e-Zahlen. Math. Z. 53, 419 (1951), insbes. S.423-431.

[7J A. SCHOENFLIES: Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen, Berlin und Leipzig 1913, S.138-144.

[8] W. SIERPn~sKI: Remarque sur les ensembles de nombres ordinaux de classes I et H. Rev. Ciencias, Lima, 41, 289 (1939).

[9J - Sur les fonctions continues d'une variable ordinale. Fund. Math. 38, 204 (195 1).

[10J A. TARSKI: Surles classes d'ensembles closes par rapport a certaines operations elementaires. Fund. Math. 16, 181 (1930). insbes. S.184.

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Zu § 9:

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[9J J. NOVAK: A paradoxial theorem. Fund. Math. 37, 77 (1950).

Zu §§ 10-12:

[lJ G. CANTOR: Gesammelte Abhandlungen,Berlin 1932, S.333-336 u. 340-343. [2] . A. HOBORSKI: Une remarque sur la limite des nombres ordinaux. Fund. Math. 2,

193 (1921 ). [3] T. KALUZA: Zur Rolle der e-Zahlen bei der Polynomdarstellung von Ordnungs

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[9J E. ZAKON: Left side distributive law of the multiplication of transfinite numbers (hebräisch). Riveon Lematematika 6, 28 (1953).

Zu §§ 13-16:

[1] H. BAcHMANN: Normalfunktionen und Hauptfolgen. Comment. Math. Helv. 28,9(1954)·

[2] G. CANTOR: Gesammelte Abhandlungen, Berlin 1932, S. 347-351. [3] P. FINSLER: Eine transfinite Folge arithmetischer Operationen. Commentarii

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145 (190S). [5J - Zur Arithmetik der transfiniten Zahlen. Math. Ann. 67, 103 (1909). Berich

tignng dazu: ibo S.l44. [6J W. NEUMER: Einige Eigenschaften und Anwendungen der t5- und e-Zahlen.

Math. Z. 53, 419 (1951), insbes. S·420ff. [7J A. SCHOENFLIES: Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen.

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Zu §§ 17-20:

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[2] A. A. BENNET: Some arithmetic operations with transfinite ordinals. Amer. Math. Monthly 28, 427 (1921).

Ergebn.d. Mathem. N.F.H.l, Bachmann. 13

194 Literaturverzeichnis.

[3] G. CANTOR: Gesammelte Abhandlungen, Berlin 1932, S.336 u. 343. [4] P. \V. CARRUTH: Roots and factors of ordinals. Proc. Amer. Math. Soc. 1,

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145 (1908), insbes. S.186-188. [6] - Zur Arithmetik der transfiniten Zahlen. Math. Ann. 67, 130 (1909). [7] A. SCHOENFLIES: Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen,

Leipzig und Berlin 1913, S. 159-162 u. 167-169. [8J S. SHERMAN: Some new properties of transfinite ordinals. BuH. Amer. Math.

SOC·47, 111 (1941). (9] F. SIECZKA: Sur l'unieite de la decomposition de nombres ordinaux en facteurs

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Zu § 21:

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[2] P. ERDös: Some remarks on set theory. Proc. Amer. Math. Soc. 1, 127 (1950). [3] S. GINSBURG: On the distinct sums of l-type transfinite series. Fund. Math. 39,

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248 (1949). [5J - Sur les produits infinis de nombres ordinaux. C. R. Soc. Sei. Lett. Varsovie,

Cl. III, 43, 20 (1950). [6] A. \VAKULICZ: Sur la somme d'un nombre fini de nombres ordinaux. Fund.

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vie, Cl. IIl, 42, 23 (1952).

Zu §§ 22-23:

[1] G. CANTOR: Gesammelte Abhandlungen, Berlin 1932, S. 345 und 355, Anm. 26. [2] G. HESSENBERG: Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen 1906, § 75. [3] E. JACOBSTHAL: Vertauschbarkeit transfiniter Ordnungszahlen. Math. Ann. 64,

475 (1907). Berichtigung dazu: ibo 6S, 160 (1908). [4] - Zur Arithmetik der transfiniten Zahlen. Math. Ann. 67, 130 (1909). [5] \V. SIERPINSKI: Leyons sur les nombres transfinis, Paris 1928, S. 218. [6] A. TARSKI: Sur les classes d'ensembles closes par rapport aux operations de

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Zu§§ 24-26:

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[2] F. BERNSTEIN: Untersuchungen aus der Mengenlehre. Math. Ann. 61, 117 (190j), insbes. S.131.

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Literaturverzeichnis .

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Ges. der Wiss. Göttingen 1901, S.34.

Zu §§ 27-30:

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[2] A. CHURCH: Alternatives to Zermelo's Assumption. Trans. Amer. Math. Soc. 29, 178 (1927).

[3J R. DEDEKIND: Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig 1888, § 5. [4] F. HARTOGS: über das Problem der Wohlordnung. Math. Ann. 76, 438 (1915). [5J G. HESSENBERG: Potenzen transfiniter Ordnungszahlen. Jahresber. dtsch.

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gung dazu: ibo S.462. [9J A. LINDENBAUM et A. TARSKI: Communication sur les recherehes de la theorie

des ensembles. C. R. Soc. Sei. Lett. Varsovie, Cl. III, 19, 299 (1926), insbes. S.311.

[10] A. SCHOENFLlES: Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen, Leipzig nnd Berlin 1913, S.66.

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[12J - Demonstration de l'egalite 2m - m = 2m pour les nombres cardinaux transfinis. Fund. Math. 34, 113 (1947)·


[13] W. SIERPINSKI: Sur la difference de deux nombres cardinaux. Fund. Math. 34, 119 (1947)·

[14] - Les exemples effectifs et l'axiome du choix. Fund. Math. 2, 112 (1921). [15] E. SPECKER: Habilitationsschrift, Eidg. Techn .. Hochschule, Zürich (nicht ver-

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1912, S.201, 278 u. 288. [22J E. ZERMELO: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. Math.

Ann. 65, 261 (1908), insbes. S.277-279.

Zu §31: [lJ B. BANASCHEWSKI: über die Konstruktion wohlgeordneter Mengen. Math .

. Nachr. iO, 239 (1953). [2J F. HARTOGs: über das Problem der Wohlordnung. Math. Ann. 76,438 (1915). [3] P. E. B. JOURDAIN: On a proof that every aggregate can be well-ordered.

Math. Ann. 6o, 465 (1905). . [4] G. KUREPA: Sur la relation d'inclusion et l'axibme de choix de Zerinelo. Bull.

Soc. Math. France 80, 225 (1952). [5] - über das Auswahlaxiom. Math. Ann. u6, 381 (1953). [6] W. NEUMER: Bemerkungen zur allgemeinen Hypothese 2~o = ~,,+ 1 im An

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[7] W. SIERPINSKI: L'axiome de Zermelo et son role dans la theorie des ensembles et l'analyse. Krakauer Anzeiger 1918, S.97.

[8] A. TAJTELBAUM-TARSKI: Sur quelques theoremes qui equh·alent a l'axiome de choix. Fund. Math. 5, 147 (1924).

[9] A. TARSKI: Sur les classes d'ensembles closes par rapport a certianes operations elementaires. Fund. Math. i6, 181 (1930), insbes. 5.195, Lemme lob.

[10J - Eine äquivalente Formulierung des Auswahlaxioms. Fund. Math. 30, 197 (1938).

[l1J - On well-ordered subsets of any set. Fund. Math, 32, 176 (1939). [12J - Axiomatic and algebraic aspects of two theorems on sums of cardinaIs.Fund.

Math. 35, 79 (1948). [13J - Theorems on the existence of successors of cardinals, and the axiom of

choice. Proc. Nederl. Akad. Wetensch., Sero A, 57, 26 (1954). [14J E. ZERMELO: Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. Math. Ann.

59, 5 i 4 (190 4). [15] - Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. Math. Ann. 65, 107

(1908). Zu §§32-34:

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[2] - A theorem on infinite products of transfinite cardinal numbers. Quart. Journ. of Math. i9, 200 (1948).

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[4J F. BERNSTEIN: Zum Kontinuumproblem. Math. Ann. 60,463 (190 5).

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(5] F. BERNSTEIN: Untersuchungen aus der Mengenlehre. Math. Ann. 6:1., 117 (190 5).

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[8] S. GINSBURG: On the distinct sums of A-type transfinite series. Fund. Math. 39, 131 (1952).

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[lOJ P. E. B. ]OURDAIN: On infinite sums and products of cardinal numbers. Quart. ]ourn. of Pure and Appl. Math. 39, 383 (1908).

[11] A. LINDENBAUM et A. TARSKI: Communication sur les recherches de la theorie des ensembles. C. R. Soc. Sci. Lett., Varsovie, Cl. IH. :1.9, 299 (1926). insbes. S·30 9.

[12J L. PATAI: Über die Reihe der unendlichen Kardinalzahlen. Math. Z. 28, 321 (1928).

[13J W. SIERPINSKI: Zarys teorji mnogosci I. Warszawa 1923, insbes. S.181. [14J - Monatshefte für Math. u. Phys. 35. 239 (1928). [15J - Sur les suites transfinies finalement disjointes. Fund. Math. 28, 115 (1937). [16J E. STERNER: Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge. Math. Z. 27,

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bes. S.10. [18] - Sur la decomposition des ensembles en sous-ensembles presque disjoints.

Fund. Math. :1.2, 188 (1928). [19] - Sur la decomposition des ensembles en sous-ensembles presque disjoints.

Fund. Math. :1.4, 205 (1929). [20J - Sur les classes d'ensembles closes par rapport ä. certaine~ operations elemen

taires. Fund. Math. 16, 181 (1930), insbes. S.187-193.

Zu §§ 36-36:

[lJ N. CUESTA: Sucesiones ascendentes de numeros ordinales. Rev. mat. hisp.amer., Serie 4, 9, 83 (1949)·

[2J - Ordenacion de infinitesimos. Rev. mat. hisp.-amer., Serie 4, 9, 131 (1949)· [3] - Ein zum Kontinuumproblem äquivalentes Problem (span.). Rev. mat. hisp.

amer., Serie 4, H, 240 (1951). [4] P. ERDÖSU. R. RADO: A problem on ordered sets. ]ourn. LondonMath. Soc. 28,

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[8] K. W. FOLLEv: The generalized hypothesis of the continuum. Trans. Royal Soc. Canada, Sect. III, 3rd Ser .• 22, 149 (1928).

[9] - Simply ordered sets. Trans. Royal Soc. Canada, Sect. III. 3rd Ser., 22, 225 (1928).

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[11J - An equality between alephs. Trans. Royal Soc. Canada, Sect. III, 3rd Ser., 23, 147 (1929).


[12] K. GÖDEL: The consistencyof the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis. Froc. Nat. Acad. Sci. USA. 24,556 (1938).

[13] - Consistency-proof for the generalized continuum hypothesis. Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 25, 220 (1939).

"[14J - The consistency of the axiom of choice anel of the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory. Annals of math. studies, Nr.3, Princeton 1940.

[15] - What is the continuum problem? Amer. Math. Monthly 54, 515 (1947). Korrektur dazu: ibo 55, 151 (1948).

[16] F. HAUSDORFF: Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914, S.180. [17] J. KETSKEMlhY: Eine Behauptung, die mit der verallgemeinerten Kontinuum

hypothese äquivalent ist. Publ. Math. Debrecen 2, 235 (1952). [18] A. LINDENBAUM et A. TARSKI: Communication sur les rechetches de la theorie

desensembes. C. R. Soc. Sci. Lett. Varsovie, Cl. HI, 19, 299 (1926), insbes. S. 313. [19] W. NEUMER: Zentralblatt für Math. U. ihre Grenzgebiete 41,375 (1952). [20] - Bemerkungen zur allgemeinen 'Hypothese 211", = ~"'+1 im Anschluß an

einige Beweisversuche von H. Eyraud. Math. Nachr. 9, 321 (1953), insbes. S.330, Satz 20 und S.334, Satz 25.

[21] W. SIERPINSKI: L'hypothese generalise du continu et l'axiome du choix. Fund. Math. 34, I (1947)·

[22] - Sur unepropriete des ensembles ordonnes. Fund. Math. 36, 56 (1949). [23] - Sur les suites transfinies multiples universelles. Fund. Math. 27, 1 (1936). [24] E. SPECKER: Verallgemeinerte Kontinuumshypothese und Auswahlaxiom.

Archiv d. Math. 5, 332 (1954)' [25] A. TARSKI: Sur la decomposition des ensembles en sous-ensembles presque

disjoints. Fund. Math. 12, 188 (1928) und 14, 205 (1929). [26] - Sur les classes d'ensembles closes par rapport ä. certaines operations eIemen

taires. Fund. Math. 16, 181 (1930), insbes. S.194'

Zu§ 37:

[1] F. BERNSTEIN: The continuum problem. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 24, 101 (1938).

[2] K. W. FOLLEY: Simply ordered sets. Trans. Royal Soc. Canada, Sect.HI, 3rd Ser., 22, 225 (1928).

[3] S. GINSBURG: Some remarks on order types and decompositions of sets. Trans. Amer. Math. Soc. 74.514 (1953)·

[4] - Further results on order types and decompositions of sets. Trans. Amer. Math. Soc. 77, 122 (1954).

[5] G. H. HARDY: A theorem concerning the infinite cardinal numbers. Quarterly Joum. of pure and appl. Math. 35, 87 (1903).

[6] F. HAUSDORFF: Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914, insbes. S.469ff.

[7] J. KÖNIG: über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem. Math. Ann. 61, 156 (1905) und 63, 217 (1907).

[8] C. KURATOWSKI: Sur une caracterisation des alephs. Fund. Math. 38.14 (1951).

[9] F. ROTHBERGER: Eine Äquivalenz zwischen Kontinuumhypothese und der Existenz der Lusinschen und Sierpinskischen Mengen. Fund. Math. 30, 215 (1938).

[10] W. SIERPINSKI: Les exemples effectifs et l'axiome du choix. Fund. Math. 2, 112 (1921).

[11] - Sur une decomposition effective des fonctions en ~I classes. Fund. Math. 5, 1 (1924).

[12] - Sur l'hypothese du continu (211, = ~I)' Fund. Math. 5. 177 (1924).


[13J W. SIERPrr~SKI, Leyons sur les nombres transfinis, Paris 1928, S.145-152.

[14J - Hypothese du continu, Warszawa-Lw6w 1934.

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[15J - Sur une relation entre deux consequences de l'hypothese du continu. Fund. Math. 3t, 227 (1938).

[16] - Sur une suite transfinie d'ensembles de nombres natureIs. Fund. Math. 33, 9 (1945).

[17J - Exemple effectif d'une famille de 2~1 ensembles lineaires croissants. Fund. Math. 35, 213 (1948).

[18] - Sur quelques proprietes du nombre 2"'. Mathematica, Timisoara, 23, 60 (1948).

[19] - Sur une propriete des ensembles ordonnes. Fund. Math. 36, 56 (1949).

[20] - Sur quelques propositions concernant la puissance du continu. Fund. Math. 38, 1 (1951).

[21] - Sur une propriete des ensembles plans equivalente a l'hypothese du continu. Bull. Soc. Royale Sei., Liege, 20, 297 (1951).

[22] - Sur quelques resultats nouveaux concernant l'hypothese du continu. Rend. Mat. e Appl. (V) to, 406 (1951), ferner Atti IV. Congr. Uno mat. Ital. 2, 440 (1953)·

[23] - Sur une propriete paradoxale de l'espace a trois dimensions equivalente a l'hypothese du continu. Rend. Circ. mat. Palermo (U) t, 7 (1952).

[24J - Coup d'mil sur l'etat actuel de l'hypothese du continu. Elemente der Math. 8, 1 (1953).

[25] R. SIKORSKI: A"characterization of alephs. Fund. Math. 38, 18 (1951).

Zu §§ 38-39:

[1] W. ACKERMANN: Konstruktiver Aufbau eines Abschnitts der zweiten Cantorsehen Zahlenklasse. Math. Z. 53, 403 (1951).

[2J H. BACHMANN: Die Normalfunktionen und das Problem der ausgezeichneten Folgen von Ordnungszahlen. Vierteljahrssehr. Naturf. Ges. Zürich 95, 115 (1950).

[3J - Vergleich und Kombination zweier Methoden von Veblen und Finsler zur Lösung des Problems der ausgezeichneten Folgen von Ordnungszahlen. Commentarii Math. Helv. 26, 55 (1952).

[4] - Normalfunktionen und Hauptfolgen. Commentarii Math. Hel\'. 28, 9 (1954)' [5J A. CHURCH: Alternatives to Zermelo's assumption. Trans. Amer. Math. Soc. 29,

178 (1927). [6J A. CHURCH U. S. C. KLEENE: Formal definitions in the theory of ordinal num

bers. Fund. Math. 28, 11 (1937). [7J A. DENJoy: L'enumeration transfinie, Paris, I (1946); II (1952). - Dazu

mehrere Mitteilungen in C. R. Acad. Sei. Paris 234 (1952). [8] P. FINSLER: Eine transfinite Folge arithmetischer Operationen. Commentarii

Math. Helv. 25, 75 (1951).

[9] G. KUREPA: Deux consequences equivalentes, relatives aux nombres ordinaux, de la bonne ordination du continu lineaire. C. R. Acad. Sei. Paris 234, 175 (1952).

[10] W. MARKWALD: Zur Theorie der konstruktiven Wohlordnungen. Math. Ann. f27, 135 (1954)·

[11] W. NEuMER: Zur K6nstruktion von Ordnungszahlen I: Math. Z. 58,391 (1953); II: ibo 59, 434 (1954); UI: ib.60, 1 (1954); IV: ibo 60, 47 (1954).

[12] K. SCHÜTTE: Kennzeichnung von Ordnungszahlen dnrch reknrsiv erklärte Fnnktionen. Math. Ann. f27, 15 (1954).


[13] W. SIERPn~sKI: Remarque sur les ensembles de nombres ordinaux de classes I et H. Revista de Cienc., Lima, 4i, 289 (1939).

[14] - Sur quelques propositions concernant la puissance du continu. Fund. Math. 38, 1 (1951).

[15] E. SPECKER: Habilitationsschrift, Eidg. Techn. Hochschule, Zürich (nicht veröffen tlich t) .

[16J O. VEBLEN: Continuous increasing functions of finite and transfinite ordinals. Trans. Amer. Math. Soc. 9,280 (1908).

Zu §§40-42.

[1] R. BAER: Zur Axiomatik der Kardinalzahlen. Math. Z. 29, 380 (1929). [2] S. BANACH et C. KURATOWSKI: Sur une generalisation du probleme de la

mesure. Fund. Math. i4, 127 (1929). [3] S. BANACH : Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen. Fund.

Math. i5, 97 (1930). [4J L. GILLMAN: On intervals of ordered sets. Annals of Math. (2) s6, 440 (1952). [5] F. HAUSDORFF: Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. Math. Ann.

6S, 435 (1907), insbes. S. 443· [6J - Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914, S.131. [7] A. KOZNIEWSKI u. A. LINDENBAUM: Sur les operations d'addition et de.multi

plication dans des classes d'ensembles. Fund. Math. iS, 342 (1930). [8J C. KURATOWSKI: Sur l'etat actuel de l'axiomatique de la theorie des ensembles.

Ann. Soc. Pol. Math. 3, 146 (1924). [9] A. LINDENBAUM et A. TARSKI: Communication sur les recherches de la theorie

des ensembles. C. R. Soc. Sei. Lett. Varsovie, Cl. IH, i9, 299 (1926), insbes. S.322. [10 J P. MAHLO: Überlineare transfinite Mengen. Leipziger Ber., Math.-phys. Klasse,

63, 187ff. (1911). r11] W. NEUMER: Über den Aufbau der Ordnungszahlen. Math. Z. 53, 59 (1951). [12J W. SIERPINSKI: Sur un theoreme de recouvrement dans la theorie generale

des ensembles. Fund. Math. 20, 214 (1933). [13J - Hypothese du continu, Warszawa-Lw6w 1934, S. 107 und 152ff. [143 W. SIERPINSKI u. A. TARSKI: Sur une propriete caracteristique des nombres

inaccessibles. Fund. Math. i5, 292 (1930). [15] A. TARSKI: Sur les principes de l'arithmetique des nombres ordinaux (trans-

finis). Ann. Soc. Pol. Math. 3, 148 (1924). [16] - Une contribution a la theorie de la mesure. Fund. Math. iS, 42 (1930). [17] - Über unerreichbare Kardinalzahlen. Fund. Math. 30, 68 (1938). [18] - Drei Überdeckungssätze der allgemeinen Mengenlehre. Fund. Math. 30, 132

(1938). [19] - Über additive und multiplikative Mengenkörper und Mengenfunktionen.

C. R. Soc. Sei. Lett. Varsovie, Cl. IH, 30, 151ff. (1937). [20] - On well-ordered subsets of any set. Fund. Math. 32, 176 (1939). [2lJ S. ULAM: Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre. Fund. Math. i6, 140

(1930). [22J - Über gewisse Zerlegungen von Mengen. Fund. Math. 20, 221 (1933). [23J E. ZERMELO: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Fund. Math. i6, 29

(1930).

Sachverzeichnis. 201

Sachverzeichnis.

Verweisung auf Seiten.

Abbildung 7. abgeschlossene Menge 32. Ableitung einer Normalfunktion 37. - einer Punktmenge 1, 167. Abschnitt 13. 19, 77. Abweichungen der transfiniten Arith-

metik 48. abzählbare Menge und Mächtigkeit 129; Addendus 46. Addition von Mächtigkeiten 107. - von Ordnungszahlen 45. ähnliche Abbildung 12. Ähnlichkeit 12. Aleph 115. Alephformeln 120, 139. Alephhypothese 155, 162. Algebra der Mengen 105. Alternativen zum Auswahlaxiom 174. aktual unendlich 2. analytische Punktmenge 167. Anfangsstück 12. Anfangszahl, kardinale 116. -, ordinale 27. Anordnung einer Folge 92. Antinomien 2. Anzahl 129. Äquivalenz 11, 105. Äquivalenzsatz 108. Argument (von Summe und Produkt)

45,46. Argumentbereich 7. Arithmetik der Kardinalzahlen 119ff. - der Kardinalzahlen ohne Aus-

wahlaxiom 119. - der Mächtigkeiten 105ff. - der Mächtigkeiten ohne Auswahl-

axiom 105. - der Ordnungszahlen 45ff. arithmetische Grundgesetze 58. Arithmetisierung 3. assoziatives Gesetz 47,60,106,107,138. Augendus 46. ausgeschl. Dritten, Satz vom 1. Auswahlaxiom 9, 132. Auswahlfunktion 9. Auswahlmenge 9. Aussonderungsaxiom 8. Axiom der Hauptfolgen 169.

Axiom der Kardinalzahlen 15. - der Mächtigkeiten 15. - der Nullmenge 6. - der Ordnungstypen 15. - der Ordnungszahlen 15. - der Paarung 7. - der Potenzmenge 7. - der unerreichbaren Mengen 186. Axiomatik 3, 4· axiomatische Definition der trans

finiten Zahlen 15.

Band 32. Basis 46. BERNSTEINsche Bedingung 148, 162,

181. - Formel 120. BERNSTEINscher Alephsatz 139. bestimmt divergente Funktion 40. Beth 121, 143ff. Beweistheorie 4. Binomischer Satz 53. BURALI-FoRTIsche Antinomie 2, 19.

CANTOR. Satz von 113. CANToRsche Antinomie 2, 113. - Normalform 55. cf (IX) 30, 139·

Darstellung von Ordnungszahlen auf der Geraden 166.

DEDEKINDsche Lückenausfüllung 165. (l-Zahl68. dichter Ordnungstypus 165. Differenz von Mächtigkeiten 130. - von Ordnungszahlen .77. Differenzenfolge, -funktion 49. disjunkte Klassen 8. Disjunktionsgrad 148. distributives Gesetz 47,60, 106, 138. Division mit Rest 79. Doppelfolgen 22. Dualfolgen 164. Durchschnitt 7.

echte Teilmenge 6. effektiv 3, 10. eigentliche Hauptzahl 66.

202 Sachverzeichnis.

eineindeutige Abbildung 7. eingeschränktes Auswahlaxiom 11. Element 1. elementare Operationen 45ff. endliche Menge und Mächtigkeit

107, 115, 128. - Ordnungszahl 19. B-ZahI68. erreichbare Zahlen 176. Ersetzungsaxiom 8. 1) (Ordnungstypus) 165. 1)-Zahlen 185. Euklidischer Algorithmus 79. Euklidischer Raum 168. Evidenz 2. Existenz 1. exorbitante Zahlen 30, 31, 162, 178. Exponent bei Potenz 46. - einer Ordnungszahl 55. Exponentenketten 63, 154. Extensionalitätsaxiom 6.

fast disjunkte Mengen 148. FERMATsches Problem 87. finiter Standpunkt 3. FINsLERsche Operationen 64. Folge 22. - von Ableitungen 38. Folgen von Funktionen 22. - stetiger Funktionen 26. formale Darstellung von Ordnungs

zahlen 173. Formalismen 4. Fundamentalsatz der finiten Arith-

metik 129. fundierte Klasse 19. Fundierungsaxiom 114. Funktion 7. - von zwei Variablen 22, 104. Funktional 23. funktionale Schreibweise 7. - Theorie der Operationen 57ff.

y-Zahl 67. gelichtete Klasse 30. genetische Definition der trans-

finiten Zahlen 15. geordnete Klasse und Menge 12. geordnetes Paar 7. gerade Ordnungszahl 54. Gesamtheit I. Gesetze der transfiniten Arithmetik 47. GOLDBAcHsches Problem 87. Grad einer Ordnungszahl 55. Grenzfunktion 24. Grenzwert 25. Grenzzahl 179. Größe der Beths 162. größter gemeinsamer Teiler 8I. Grundlagenkrise und -problem 2.

halbnormale Funktion 25. HARTOGS, Satz von 126. HARToGssche Funktion 127. Hauptfolge 169. Hauptzahl 66. HAusDoRFFsche Rekurrenzformel 139. - Zahl 30, 31, 162, 178. HESSENBERG, Satz von 120. höchstens abzählbare Menge 129. höhere Operationen mit Kardinal-

zahlen 154. - - mit Ordnungszahlen 62. höhere unerreichbare Zahlen 188.

Indexschreibweise 7. Induktion 13. induktive Mächtigkeit 128. Intuitionismus 3. inverse Funktion 7. - Operation 73. inverses Paar 7. irreduzible Zahl 84, 13I. isolierte Ordnungszahl 18. Iteration von Funktionen 35. - von Operationen 62.

JACOBSTHALsche Theorie 57. JOURDAIN, Sätze von 125.

kanonische Folge 169. kardinale Anfangszahl 116. - Theorie 14. - Zahlklasse 116. Kardinalzahl 14, 115ff. Klasse 1, 5. kleinstes gemeinsames Vielfaches 8.1. kommutatives Gesetz 48, 107, 120. konfinal 24. KÖNIG, Sätze von 125. Kontinuen, verallgemeinerte 165. Kontinuum 164. Kontinuumhypothese 167. -, verallgemeinerte 155. Kontinuumproblem 167. -, verallgemeinertes 145. kritische Zahl 37, 70. KURATowsKIsche Zahl 182.

Ä (Ordnungstypus) 164. leere Menge 6. lexikographische Ordnung 164. lim 23. Limes von Kardinalzahlen 121. - von Ordnungszahlen 23, 49. Limeszahl 18. LINDENBAuM-TARsKI, Lemma von 111. Linksiteration 35. Linksteil 73. Linksteiler 78. Logistik 3.

Sachverzeichnis. 2°3

logizistische Schule 3. LUSlNsche Punktmenge 168. - zweite Kontinuumhypothese 169.

Mächtigkeit 14. 105ff. Mächtigkeitssätze 167. Maßfunktion 184. Maximalsumme 96. Menge 1. 5. mengentheoretische Definition der Ope-

rationen 45. Metamathematik 4. Minuendus 77. monotone Funktion. - Folge. - Folge

von Funktionen 22. 23. Multiplicative Axiom 9 .. Multiplikandus 46. Multiplikation von Mächtigkeiten 107. .J.. von Ordnungszahlen 46. Multiplikator 46.

Nachfolgerzahl 18. 133. naiver Standpunkt 1. natürliche Zahl 19. - Operationen 102. nicht-kategorisches Axiomensystem 5. nicht-leere Menge 6. normal 27. Normalform 55. Normalfunktion 25. 32. 36. 70.

ordinale Anfangszahl 28. - Theorie 14. - Zahlklasse 28. Ordnung 12. - nach letzten Differenzen 46. ordnungstreue Abbildung 12. Ordnungstypus 14. Ordnungszahl 14. 16ff. -. verschiedene Definitionen der 19. - von 1. Art. von 2.Art 18.

p(<X) 148. n(<x) 146. Paar 7. Paarmenge 8, 114. paradoxe Sätze 44, 166. 167. Paradoxon des EPIMENlDES 5. - von HAUSDORFF 166. - von LÖWENHEIM-SKOLEM 5. Partialprodukte von Kardinalzahlen

143· - von Ordnungszahlen 51. Partialsummen von Kardinalzahlen 143. - von Ordnungszahlen 47. 49. Permutation einer Folge 92. rp (<X) 118. Polynomdarstellung der Ordnungs

zahlen 54. potentiell unendlich 3. Potenz von Mächtigkeiten 108.

Potenz von Ordnungszahlen 46. Potenzgesetze 47. 106. 108. 138. Potenzmenge 7. 1LZ. Potenzsummen 50. 144. 149ff. Primabschnitt 159. Primfolge 159. Probleme,offene 96,142,156, 166,167,189. Produkt von Mächtigkeiten 107,119,137. - von Ordnungszahlen 46. Produktklasse und -menge 7. 8. Punktmengen 164ff.

Quotientenkomplex 79.

rationale Ordnungszahl 79. Rechenregeln mit Ordnungszahlen 52, Rechtsiteration 35. [56. Rechtsteil 73. Rechtsteiler 78 . reduzible Zahlen 84. reflexive Mächtigkeit 129. regressive Fnnktion 39. reguläre Ordnungszahl 29. - Klasse von Ordnungszahlen 33. Rekursion 13. Relativismus 4. Rest 13, 19, 77, 79· Restrictive Axiom 114. RICHARDsche Antinomie 2.

RussELLsche Antinomie 2.

schließlich disjunkte Folgen 149. Schubfachprinzip 129. semantische Paradoxien 5. separabler Ordnungstypus 165. SIERPINsKIsche Punktmenge 168. singuläre Ordnungszahl 29. spezielle Beths 146. - Normalfunktionen 38. 68, 72. spezielles assoziatives Gesetz 60. - distributives Gesetz 60. Stammfunktion 58. Standpunkte in der Mathematik 3. stationäre Klassen 41. stetige Funktion 25. stetiger Ordnungstypus 165. Stufentheorie 3. Subtrahendus 77. Subtraktion von Mächtigkeiten 130. - von Ordnungszahlen 77. Summe von Beths 149ff., 163. - von Mächtigkeiten 107. 119. 137. - von Ordnungszahlen 45. Summenaxiom 8. sup 18. SUSLINsche Punktmenge 167. symbolische Logik 3.

TARsKlsche Alephsätze 140. - Zahlen 182. Teilklasse und -menge 6.

204 Sachverzeichnis.

tertium non datur 1. transfinite Funktion 22. - Induktion 13. - Kardinalzahl 115. - Mächtigkeit und Menge 129. - Ordnungszahl 19. - Rekursion 13. - Skala von Mächtigkeiten 113. transitive Menge 19. Trichotomie 17, 109, 115, 132.

überabzählbare Menge 129. Umkehrungen der arithmetischen

Operationen 73ff. Unabhängigkeit 4. unbegrenzter Ordnungstypus 165. unechte Teilmenge 6. unendliche Menge und Mächtigkeit 128. - Summen und Produkte von Kar-

dinalzahlen 119, 123, 137. Unendlichkeitsaxiom 9-unentscheidbare Sätze 4. unerreichbare Zahlen 176 ff. - - im engeren Sinn 182. - - im weiteren Sinn 182. ungerade Ordnungszahl 54. Ungleichungen für Kardinalzahlen

110ff., 123 ff. Unstetigkeitsstelle 25. unvergleichbare Mächtigkeiten 109. unzerlegbare Zahlen 84,131.

verallgemeinertes assoziatives und distributives Gesetz 60.

Vereinigung 7. Vereinigungsaxiom 8. Vergleichung von Mächtigkeiten

108ff.

Vertauschbarkeit der Limesoperationen 24·

- von Kardinalzahlen 147. - von Ordnungszahlen 96ff. Vielheit 1. volle Normalfunktion 33. Vorgängerabzählung 170

W17· W((%) 17. wachsende Funktion 22. Wachstumsstelle 26. Wertbereich 7. Widerspruch, Satz vom 1. Widerspruchsfreiheit 4. wohl geordnete Klasse und Menge 13. Wohlordnung 13. - des Kontinuums 165. Wohlordnungssatz 132. Wurzel 79.

Z 28,42,44, 169ff., 174 ff. e-Zahlen 185. Zählen 129. zahlentheoretische Funktion 165. zerlegbare Zahlen 84. Zerlegung des n-dim. Euklidischen

Raumes 168. - von Beths 144. - von Mengen 148, 164. - von Ordnungszahlen 87 H. ZERMELo-FRAENKELsches Axiomen-

system 6. ZERMELosche Ungleichungen 123. - Zahl 179. zusammengehörige Klassen 23. zweite Zahlklasse 28, 42, 44, 169ff.,

174 ff.

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