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TU Bergakademie Freiberg Institut für Elektrotechnik

Modellierung und Regelung

der permanenterregten Synchronmaschine

Skriptum für Nichtelektrotechniker

Verfasser: Prof. Dr.-Ing. habil. U. Beckert Datum: Januar 2007 / Februar 2011

TU BAF, Inst. f. Elektrotechnik Prof. Beckert

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1. Einführung und Aufbau der Synchronmaschine

Der Ständer einer Synchronmaschine gleicht weitgehend dem einer Asynchronmaschine. Er trägt eine symmetrische dreisträngige Wicklung. Die drei Stränge sind bei einer Maschine mit einer Polpaarzah (p = 1) um 120° räumlich gegeneinander versetzt angeordnet. Bei Maschinen mit p Polpaaren beträgt der Versatz 120°/p.

Bild 1: Zweipoliges Modell der Synchronmaschine

Die drei Stränge werden mit den Buchstaben a, b, c oder u, v, w bezeichnet. Der Läufer trägt entweder eine mit Gleichstrom gespeiste Erregerwicklung (Bild 1) oder Permanentmagnete (Bild 2). Da die direkt am Netz betriebene Synchronmaschine ein schwach gedämpftes schwingungsfähiges System darstellt, ist auf dem Läufer der elektrisch erregten Synchronmaschine noch ein sog. Dämpferkäfig angebracht. Dieser Käfig ähnelt der Käfigwicklung einer Asynchronmaschine und dämpft die auftretenden Pendelungen. Permanenterregte Synchronmaschinen werden im Allgemeinen ohne Dämpferwicklung ausgeführt, da sie immer an einem Umrichter betrieben werden. Permanenterregte Synchronmaschinen haben als hochdynamische Servomotoren große Bedeutung erlangt und im Bereich bis 50 kW praktisch die Gleichstrommaschine verdrängt. Ihre Vorteile im Vergleich zur Asynchronmaschine bestehen vor allem

• in einem höheren Wirkungsgrad,

• in einer geringeren Läufererwärmung durch erheblich kleinere Läuferverluste,

• in einer höheren Drehmomentausnutzung bei gleichem Bauvolumen,

• in einem kleineren Läuferträgheitsmoment durch das geringe Läufervolumen,

• in kleineren Drehzahl-Anregelzeiten und geringeren Verlusten bei Beschleunigungs- und Bremsvorgängen wegen des kleineren Läuferträgheitsmomentes sowie

• in einfacheren Regelstrukturen.

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Bild 2: Zweipoliges Modell der PM-Synchronmaschine mit Oberflächenmagneten


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Permanenterregte Servomotoren werden mit sog. Hochenergiemagneten, entweder mit

• Samarium-Kobalt (SmCo)-Magneten oder in den letzten Jahren zunehmend mit

• Neodym-Eisen-Bor (NdFeB)-Magneten ausgestattet. Im Folgenden werden das mathematische Modell der PM-Synchronmaschine und ihre Regelung beschrieben. Der Modellierung liegen eine Reihe vereinfachender Annahmen zugrunde, die zu einem idealisierenden Modell der Synchronmaschine führen. Vernachlässigt werden:

• Sättigungseffekte im Eisen (Dynamoblech)

• Wirbelströme und Hystereseerscheinungen im Eisen

• Stromverdrängungseffekte in den Wicklungen sowie

• Temperatureinflüsse, d.h. die Parameter der Wicklungen und der Permanentmagnete werden als konstant angesehen.


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2. Komplexe Raumzeiger

Durch die Einführung von komplexen Raumzeigern wird die Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Drehstrommaschinen erheblich übersichtlicher. Die Methode der Raumzeiger wurde von KOVACS etwa 1960 eingeführt. Dieser Methode liegt die Überlegung zugrunde, dass durch das Zusammenwirken der einzelnen Stranggrößen letzten Endes eine resultierende Größe entsteht und dass die Beschreibung einfacher und übersichtlicher wird, wenn man nur diese resultierenden Drehstromgrößen betrachtet, zu denen sich die einzelnen Stranggrößen zusammensetzen. Die Einführung der Raumzeiger wird hier am Beispiel der Ständerströme der Synchronmaschine beschrieben. In der gleichen Weise können Raumzeiger für die von den Strömen in den Einzelwicklungen herrührenden Luftspaltfelder, für die Flussverkettungen und die Spannungen der Wicklungen definiert werden. Alle Raumzeiger liegen in einer Ebene, die senkrecht auf der Achse der Maschine steht. Es ist dshalb möglich, diese Raumzeiger als komplexe Variable darzustellen und die Vorteile der komplexen Rechnung zu nutzen.

Die Augenblickswerte der Strangströme der Ständerwicklung sind b1a1 i,i und c1i .

Nach der Definition von KOVACS können die drei Strangströme zu einem komplexen Raumzeiger zusammengefasst werden:

( ) βα +=++= 11c12b1a11 ijiiaiai32

i

(1)

mit

3/2jea π=

(2)

Mit Gl. (1) ist ein Raumzeiger in einem stillstehenden, fest an den Ständer angelegten Koordinatensystem βα, definiert. Dabei liegt die reelle Achse ( −α Achse) in der Achse des

Wicklungsstranges a. Unter der Voraussetzung, dass kein sog. Nullsystem auftritt, d.h. unter Voraussetzung, dass

0iii c1b1a1 =++

(kein Nullleiter am Sternpunkt angeschlossen ist), enthält der Raumzeiger die vollständige Information über die Ständerstrangströme:

a11 ii =α

(3)

( )c1b11 ii3

1i −=β

(4)


5

und

α= 1a1 ii

(5)

βα +−= 11b1 i2

3i

2

1i

(6)

βα −−= 11c1 i2

3i

2

1i

(7)

Die Komponenten des komplexen Raumzeigers können aus den Stranggrößen über die Gln. (3) und (4) berechnet werden. Umgekehrt können die Stranggrößen aus den Projektionen des komplexen Raumzeigers auf die Strangachsen über die Gln. (5), (6) und (7) berechnet werden.

3. Koordinatentransformation

Bei der Beschreibung des dynamischen Verhaltens der Synchronmaschine haben sich zwei Koordinatensysteme als vorteilhaft erwiesen:

• das ruhende, ständerbezogene System βα, und

• das mit dem Polrad (Läufer) rotierende Koordinatensystem d, q Der Läufer rotiert mit der elektrischen Winkelgeschwindigkeit

mechp ω=ω , mit p = Polpaarzahl

(8)

Der Winkel ϑ (Bild 3) beschreibt die relative Lage der beiden Koordinatensysteme zueinander. Dabei gilt:

mechp ϑ=ϑ

(9)

td

dϑ=ω

(10)


6

Die Transformation eines Raumzeigers von einem System ins andere wird anhand des Ständerstromraumzeigers dargestellt. Aus Bild 3 folgt:

εβα =+

j111 eiiji

(11)

)(j1q1d1 eiiji

ϑ−ε=+

(12) Durch Division der Gln. (11) und (12) erhält man

( ) ( ) ϑβα +=+ jq1d111 eijiiji

(13)

ϑ−ϑ=α sinicosii q1d11

(14)

ϑ+ϑ=β cosisinii q1d11

(15)

und ( ) ( ) ϑ−βα +=+ j11q1d1 eijiiji

(16)

ϑ+ϑ= βα sinicosii 11d1

(17)

ϑ+ϑ−= βα cosisinii 11q1

(18)

Bild 3: Zusammenhang zwischen dem −αβ

und dem −dq Koordinatensystem


7

4. Gleichungssystem im dq-Koordinatensystem

Die Bilder 1 und 2 sowie 4, 5 und 6 zeigen die Modelle der elektrisch und der permanent-erregten Synchronmaschine. Wie die Gl. (1) zeigt, kann das von der dreisträngigen Ständerwicklung mit den Strang-strömen ,i a1 b1i und c1i erzeugte Drehfeld ebenso durch eine zweisträngige Ständerwickung

mit den Strömen α1i und β1i nach Bild 4 erzeugt werden.

Bild 4 lässt auch erkennen, dass sich die magnetische Kopplung zwischen den Ständer- und Läuferwicklungen mit dem Winkel ϑ ändert. Diese sich ändernde Kopplung verschwindet durch die Transformation der Ständergrößen in das mit dem Läufer rotierende Koordinaten-system d, q gemäß Bilder 5 und 6.

Bild 5: Zweipoliges Modell der Synchronmaschine im dq-Koordinatensystem

Bild 4: Zweipoliges Modell der Synchronmaschine im −αβ Koordinatensystem

Bild 6: Zweipoliges Modell der PM-Synchronmaschine mit Oberflächenmagneten im dq-Koordinatensystem


8

Die Flussverkettungen d1ψ und q1ψ der mit dem Läufer rotierenden fiktiven Wicklungen 1d

und 1q ist jetzt unabhängig vom Winkel ϑ . Die Darstellung im dq-System ist im Hinblick auf die Regelung der PM-Synchronmaschine besonders vorteilhaft: Die Ständerspannungsgleichung

1

1111 jtd

diRu ψω+

ψ+=

(19)

entspricht praktisch der Ständerspannungsgleichung der Asynchronmaschine im mit

ω=ω=ω 1k (20)

rotierenden Koordinatensystem:

1k1

111 jtd

diRu ψω+

ψ+=

(21)

Für die Ständerflussverkettung gilt:

p111iL ψ+=ψ (22)

pψ bezeichnet den von den Permanentmagneten erzeugten Fluss, der mit der

Ständerwicklung konstant verkettet ist. PM-Synchronmaschinen besitzen meist keine Dämpferwicklungen. Die d- und q-Achsen stehen senkrecht aufeinander und sind somit magnetisch vollständig entkoppelt. Bei der Zerlegung der komplexen Raumzeiger in ihre d- und q-Komponenten ist zu beachten, dass wegen des unterschiedlichen Luftspaltes in der d- und q-Achse

q1d1 LL ≠

(23)

sind: Aus Gl. (19) folgt:

q1d1

d11d1 td

diRu ψω−

ψ+=

(24)

d1q1

q11q1 td

diRu ψω+

ψ+=

(25)


9

Aus Gl. (22) folgt

pd1d1d1 iL ψ+=ψ

(26)

q1q1q1 iL=ψ

(27)

Durch Einsetzen der Gln. (26) und (27) führen die Spannungsgleichungen schließlich auf

d,rotd1

d1d11q1q1d1

d1d11d1 utd

idLiRiL

td

idLiRu ++=ω−+=

(28)

( ) q,rotq1q1q11pd1d1q1q1q11q1 utdid

LiRiLtd

idLiRu ++=ψ+ω++=

(29)

Für das von der PM-Synchronmaschine elektromagnetisch entwickelte Drehmoment gilt wie bei der Asynchronmaschine:

11ip

2

3m ×ψ=

(30)

[ ]1*1 iImp23

m ⋅ψ=

(31)

( )d1q1q1d1 iip23

m ψ−ψ=

(32)

Unter Berücksichtigung der Gln. (26) und (27) erhält man schließlich für das Drehmoment:

( )[ ]q1d1q1d1q1p iiLLip23

m −+ψ=

(33)

Gl. (33) lässt erkennen: Betreibt man die PM-Synchronmaschine mit

0i d1 = , (34)

so kann das Drehmoment, analog zur fremderregten Gleichstrommaschine, über die q-Komponente des Ständerstromes gesteuert werden:

q1p ip2

3m ψ=

(35)


10

Zu diesen Gleichungen tritt noch die Bewegungsgleichung der Mechanik. Für einen Einmassendrehschwinger gilt:

td

dJmm mechw

ω+= ,

(36)

wobei

mechp ω=ω

zu beachten ist. Bild 7 zeigt das Signalflussbild der PM-Synchronmaschine im dq-Koordinatensystem.

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Bild 7: Signalflussbild der PM-Synchronmaschinen im dq-Koordinatensystem

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5. Polradorientierte = feldorientierte Regelung der PM-Synchronmaschine

Bild 8 zeigt das Strukturbild der polradorientierten Regelung der PM-Synchronmaschine. Dieses Regelverfahren ist Anfang der siebziger Jahre entwickelt worden. Der Grundgedanke dieses Regelverfahrens ist der gleiche wie bei der feldorientierten Regelung der Asynchronmaschine. Durch Transformation in das rotierende d,q-Koordinatensystem versucht man ähnliche Verhältnisse wie bei der fremderregten Gleichstrommaschine zu erhalten, bei der das Drehmoment und der Magnetisierungszustand der Maschine unabhängig voneinander gesteuert werden können.

Bild 8: Strukturbild der polradorientierten Regelung der PM-Synchronmaschine Die Speisung der PM-Synchronmaschine erfolgt heute üblicherweise aus einem spannungseinprägenden Wechselrichter. Gemessen werden die Ständerstrangströme, aus denen die −α und die −β Komponente des Ständerstromraumzeigers über die Gln. (3) und

(4) berechnet werden. Außerdem wird mittels eines inkrementalen Gebers der Läufer-positionswinkel ϑ gemessen. Mit Hilfe der Gln. (17) und (18) wird der Ständerstromraumzeiger in das läuferfeste d,q-Koordinatensystem transformiert. Die Ständerstromkomponenten d1i und q1i werden mit ihren Sollwerten verglichen und mit PI-

Reglern geregelt. Die Differentialgleichungen des elektrischen Teilsystems der PM-Synchronmaschine Gln. (28) und (29) sind, wie bei der Asynchronmaschine, über eine rotatorische Spannung mit der jeweils orthogonalen Achse gekoppelt. Die dynamische Entkopplung erfolgt durch Aufschaltung dieser Störgrößen mit umgekehrten Vorzeichen an den Reglerausgängen. Die Gln. (28) und (29) führen dann auf

td

idLiRu d1d1d11Rd +=

(37)


13

td

idLiRu

q1

q1q11Rq +=

(38)

Schließlich werden die Stellgrößen d1u und q1u mit Hilfe der Gln. (14) und (15) in das

ständerbezogene Koordinatensystem βα, transformiert. Die Optimierung der

Stromregelkreise erfolgt nach dem Betragsoptimum, die Optimierung des Drehzahl-regelkreises nach dem symmetrischen Optimum. 6. Optimierung der Regelkreise der FOR

6.1 Optimierung der Stromregelkreise Unter Berücksichtigung der Verzögerungszeit uT des Umrichters erhält man aus den Gln.

(37) und (38) die Übertragungsfunktionen der Regelstrecken der Stromregelkreise:

( ) ( )u1d11

Rd

d1d

Tp1R/Lp1

R/1

)p(u

)p(i)p(F

++==

(39)

( ) ( )u1q11

Rq

q1q Tp1R/Lp1

R/1

)p(u

)p(i)p(F

++==

(40)

p = Laplaceoperator Beim Betragsoptimum war von folgender Übertragungsfunktion der Regelstrecke ausgegangen worden:

( ) ( )kSS

STp1Tp1

V)p(F

++=

Die Reglereinstellung nach dem BO lautete dann:

SN TT = und kS

SR

TV

T

2

1k =

Dabei war folgende Übertragungsfunktion des PI-Reglers zugrunde gelegt worden:

N

NRR

Tp

)Tp1(k)p(F

+=

Die Reglereinstellung für die beiden Stromregler der PMSM lautet also:


14

1

dNid

R

LT =

u

dRid

T

L

2

1k =

(41)

1

qNiq

R

LT =

u

q

RiqT

L

2

1k =

(42)

Das Führungsverhalten der betragsoptimal eingestellten Stromregelkreise wird dann näherungsweise durch ein VZ1-Glied beschrieben:

u*q1

q1

*d1

d1BOi

T2p1

1

)p(i

)p(i

)p(i

)p(i)p(F

+===

(43)

6.2 Optimierung des Drehzahlregelreises Für das Luftspaltmoment der exakt feldorientiert betriebenen PMSM gilt nach Gl. (35)

q1p ip2

3m ψ=

(hier p = Polpaarzahl) Speziell im Nennbetrieb (Index n) gilt:

n1pn Ip2

3M ψ=

(44)

Dividiert man beide Gln. durcheinander, so erhält man

q1

n1

n iI

Mm =

(45)

n1

n

q1 I

M

)p(i

)p(m=

Im Folgenden wird die Bewegungsgleichung (Gl.36)

td

dJmm mechw

ω+=

normiert. Als Bezugsgrößen (Index B) werden die Nenngrößen (Index n) verwendet:

p

f2

pundMM n1n1B,mechnB

π=

ω=ω=

(46)


15

p = Polpaarzahl

( )pMtd

/dJ

M

m

M

m

n

n1B,mechmech

n

w

n

ωωω+= ,

dt

dmm

/mech

m/w

/ ωτ+=

(47)

Darin sind B/ X/xx = = normierte Größe

=ω

=τn

n1m

M

p/J mechanische Zeitkonstante

(48)

Die Laplace-Transformation der normierten Bewegungsgleichung (46) ergibt

)p(p)p(m)p(m /mechm/w

/ ωτ+= (49)

(hier p = Laplace-Operator)

Speziell für 0m /w = gilt:

m/

/mech

p

1

)p(m

)p(

τ=

ω

bzw. nichtnormiert:

n

n1

m

mech

M

p/

p

1

)p(m

)p( ω

τ=

ω

(50)

Die Führungs-Übertragungsfunktion der Regelstrecke des Drehzahl-Regelkreises lässt sich folgendermaßen darstellen:

)p(i

)p(i

)p(i

)p(m

)p(m

)p(

)p(i

)p()p(F

*q1

q1

q1

mech*q1

mechSn ⋅⋅

ω=

ω=

(51)

Setzt man die Gln. (50) , (45) und (43) ein, so erhält man

mu

n1n1Sn

p)T2p1(

I/)p/()p(F

τ+

ω=

(52)


16

Beim symmetrischen Optimum war von folgender Übertragungsfunktion der Regelstrecke ausgegangen worden:

IS

SS

Tp)Tp1(

V)p(F

+=

Die Reglereinstellung des SO lautet dann:

SRN T4TT == und SS

IR

TV

T

2

1k =

Damit lautet die Reglereinstellung für den Drehzahlregler:

uRn,N T8TT == und u

m

n1

n1n,R

Tp/

I

4

1k

τ

ω=

(53)

Ersetzt man noch mτ durch Gl. (48), so erhält man

un

n1n,R

T

1

M

IJ

4

1k =

(54)

Die Übertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises sind für elmech , ωω und n

identisch:

)p(n

)p(n

)p(

)p(

)p(

)p()p(F

**el

el*mech

mechSO =

ω

ω=

ω

ω=

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