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Informatik I - Tutorium

Wintersemester 2007/08

Christian Jlg

http://infotut.blogspot.com

07. Dezember 2007

Universitt Karlsruhe (TH)Forschungsuniversitt gegrndet 1825

Quellennachweis & Dank an:

Susanne Dinkler, Bernhard Mller, Joachim Wilke
Orga Blatt 5 Relationen/Graphen Graphen Algebra Semi-Thue Java Wdh. Ende

bersicht

1

Organisatorisches

2

bungsblatt 5

3

Relationen/Graphen

4

Graphen

Warshall-Algorithmus

5

Algebra

Normalformen

6

Semi-Thue-Termersetzungen

7

Java Wdh.

Ntzliches / Gefhrliches

Abschluss

Feedback

Informatik I - Tutorium Christian Jlg

1

Organisatorisches

2

bungsblatt 5

3

Relationen/Graphen

4

Graphen


5

Algebra

Normalformen

6


7

Java Wdh.


Abschluss

Feedback


Wenn doch noch Fragen auftauchen...

Kontakt

Kontakt: [email protected]

Homepage: http://infotut.blogspot.com

bitte beachten:

Im Betre der Emails [34] einfgen!


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Kontakt

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bitte beachten:

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1

Organisatorisches

2

bungsblatt 5

3

Relationen/Graphen

4

Graphen


5

Algebra

Normalformen

6


7

Java Wdh.


Abschluss

Feedback


bungsblatt 5

Kurzer Rckblick...


bungsblatt 5

Kurzer Rckblick...

Fragen?


Organisatorisches

Rechnerbung

Nchste normale R mit Anmeldung am Di, 11.12. im RZ, Pool B

- aber nur wenn es Anmeldungen gibt. Anmeldung per Email oder

direkt im Tut.


Und nochmal...

Schleifeninvarianten sind Aussagen ...

1

... die whrend des gesamten Schleifendurchlaufs gelten.

2

... die helfen, die Korrektheit von Programmen zu beweisen.

3

... die man am schnellsten durch einen Gegenbeispiel beweist.

for (;;) { Out.print("a"); } ist ...

1

... eine Endlosschleife.

2

... unntig, weil Out.print nie ausgefhrt wird.

3

... ein Sytaxfehler.

Ein ungerichteter Graph ...

1

... lsst sich leicht in einen gerichteten Graphen umformen.

2

... hat nur Knoten mit Eingangsgrad = Ausgangsgrad.

3

... hat immer mindestens eine Kante.


Und nochmal...


1


2


3



1


2


3



1


2


3



Und nochmal...


1


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1


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Und nochmal...


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1

Organisatorisches

2

bungsblatt 5

3

Relationen/Graphen

4

Graphen


5

Algebra

Normalformen

6


7

Java Wdh.


Abschluss

Feedback


Relationen berblick

Durch Relationen werden Elemente einer oder mehrerer Mengen in

Beziehung gesetzt

Praktisch jede Aussage enhlt Relationen.

Beispiel: Das Haus hat vier Auenwnde

In der Informatik werden Relationen zur Modellierung von Systemen

bentigt.

Relationen sind wesentlicher Bestandteil der verschiedenen

Diagramme der Unied Modeling Language

Aus der graphischen Darstellung von Relationen resultieren die

Graphen.


Relationen mathematisch

Eine Relation bezieht sich auf zwei Grundmengen U,V und es gilt U V .Eine Relation heit homogen, wenn U = V gilt. I.d.R. nennt mandie Grundmenge dann E , also E E .Fr uns wichtig: Homogene Relationen mit einer endlichen

Grundmenge E .

Wir benennen die Elemente aus E mit e

i

, i = 0, . . . , n 1Diese kann man anschaulich als gerichtete Graphen darstellen.


Gerichteter Graph

Ein gerichteter Graph G ist ein Tupel G = (E ,K ) mit

der Grundmenge E = {ei

} (die Menge der Ecken)der Relation K E E (die Menge der Kanten)Notationen fr Kanten:

(e, e) Ke G

e

e e

Ein Graph heit endlich, wenn E endlich ist (|E |

Zeichnerische Darstellung von gerichteten Graphen

Man malt die Ecken als Punkte und die Kanten als Pfeile.

a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

Sind die beiden Graphen gleich?

Gebt die Graphen in Tupelschreibweise an!




a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

Die Anordnung der Knoten, sowie Bahn der Kanten ist egal.

Gebt den Graph in Tupelschreibweise an!




a

b

c

d

e

a

b

c

d

e

Die Anordnung der Knoten, sowie Bahn der Kanten ist egal.

G = ({a, b, c , d , e}, {(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (d , b), (d , c)})


Ungerichteter Graph

Ein ungerichteter Graph ist ein gerichteter Graph G = (E ,K ) mit

(e, e ) K (e , e) K

oder, anders formuliert:

e, e E : e e e e

Graphisch werden die Kanten als Verbindungslinen ohne

Pfeilspitzen (oder manchmal auch mit Pfeilspitzen auf beiden

Seiten) dargestellt.

a

b

c

d


Beispiele (fr sinnvolle Graphen)

Gerichtete Graphen

Verlinkung auf Webseiten (oder Buchreferenzen)

Bahn- Flugverbindungen

Stammbume

Ungerichtete Graphen

Stromnetz

Irrgarten

Lageplne



Gerichtete Graphen



Stammbume


Stromnetz

Irrgarten

Lageplne



Gerichtete Graphen



Stammbume


Stromnetz

Irrgarten

Lageplne


Weg und Zyklus

Weg Eine Folge von e

0

nach e

n

ber e

1

, . . . , en1heit Weg der Lnge n. Wenn es so einen

Weg gibt, dann heit e

n

von e

0

aus erreichbar.

Wir schreiben: e

0

en

Zyklus (Kreis) Ein Weg e e der Lnge n 1Einfacher Zyklus Ein Zyklus, in dem alle Ecken verschieden

sind.

Hamiltonscher Kreis Ein Kreis, in dem jede Ecke des Graphen

genau einmal enthalten ist.

Eulerscher Zyklus ein Zyklus, in dem jede Kante genau einmal

enthalten ist.


1

Organisatorisches

2

bungsblatt 5

3

Relationen/Graphen

4

Graphen


5

Algebra

Normalformen

6


7

Java Wdh.


Abschluss

Feedback


Reexive Transitive Hlle nach Warshall

Gegeben sei eine reexive Relation ber einer endlichenEckenmenge E = {0, . . . , n 1}. (k) sei folgende Relation:(k) = {(i , j) E E |Weg i e1

el1 jmit l k + 2, er

{0, . . . , k} fr 1 r l 1}

0 1

23

(0) :

1 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

(2) :

1 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 1 1

(1) :

1 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 1 1

(3) :

1 1 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 1 1 1





{0, . . . , k} fr 1 r l 1}

0 1

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(0) :

1 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

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(2) :

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(3) :

1 1 1 0

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{0, . . . , k} fr 1 r l 1}

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(0) :

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(3) :

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{0, . . . , k} fr 1 r l 1}

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(0) :

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(3) :

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{0, . . . , k} fr 1 r l 1}

0 1

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(0) :

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0 1 0 0

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(2) :

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1 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

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(3) :

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0 1 0 0

0 1 1 0

1 1 1 1





{0, . . . , k} fr 1 r l 1}

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(0) :

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0 1 1 0

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(3) :

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{0, . . . , k} fr 1 r l 1}

0 1

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(0) :

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(3) :

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0 1 0 0

0 1 1 0

1 1 1 1


Der Warshall-Algorithmus

Anforderungsbeschreibung

Eingabe: Adjazenzmatrix A einer Relation

Ausgabe: Adjanzenzmatrix S von

Der Algorithmus

1 S := A

2 for i = 0, . . . , n 1 set sii

:= 1

3

4 for k = 0, . . . , n 15 for i = 0, . . . , n 16 for j = 0, . . . , n 17 if (s

ij

+ s

ik

* s

kj

) >= 1 set s

ij

:= 1


Der Warshall-Algorithmus

Anforderungsbeschreibung

Eingabe: Adjazenzmatrix A einer Relation

Ausgabe: Adjanzenzmatrix S von

Der Algorithmus

1 S := A

2 for i = 0, . . . , n 1 set sii

:= 1

3

4 for k = 0, . . . , n 15 for i = 0, . . . , n 16 for j = 0, . . . , n 17 if (s

ij

+ s

ik

* s

kj

) >= 1 set s

ij

:= 1


1

Organisatorisches

2

bungsblatt 5

3

Relationen/Graphen

4

Graphen


5

Algebra

Normalformen

6


7

Java Wdh.


Abschluss

Feedback


Signatur und Gesetze der booleschen Algebra

Signatur der booleschen Algebra

B = B(A,,>,$,,) ist kleinstes Element und > ist grtes ElementV1 Assoziativitt (x y) z = x (y z)

(x y) z = x (y z)V2 Kommutativitt x y = y x x y = y xV3 Idempontenz x x = x x x = xV4 Verschmelzung (x y) x = x (x y) x = xV5 Distributivitt x (y z) = (x y) (x z)x (y z) = (x y) (x z)V6 Modularitt (fr z x) x (y z) = (x y) zV7 Neutrales Element x = x = xx > = x x > = >V8 Komplement x $x = x $x = >V9 Involution $($x) = xV10 DeMorgan $(x y) = $x $y $(x y) = $x $yInformatik I - Tutorium Christian Jlg

Aufgabe

Vereinfache (verkrze) den folgenden booleschen Ausdruck durch Anwendung

von Regeln der Booleschen Algebra so weit es geht.

$(b (a b))

Def. quivalenz = $((b (a b)) ($b $(a b)))Komm., Ass. und Indempotenz = $((b a) ($b $(a b)))DeMorgan = $((b a) ($b ($a $b)))DeMorgan = $(b a) $($b ($a $b))2DeMorgan und Involution = ($b $a) (b $($a $b))DeMorgan und Involution = ($b $a) (b (a b))2Komm. und Verschmelzung = ($b $a) bKommutativitt und Distributivitt = ($b b) ($a b)Komplement und neutr. Elem. = $a b


Aufgabe

Vereinfache (verkrze) den folgenden booleschen Ausdruck durch Anwendung

von Regeln der Booleschen Algebra so weit es geht.

$(b (a b))Def. quivalenz = $((b (a b)) ($b $(a b)))Komm., Ass. und Indempotenz = $((b a) ($b $(a b)))DeMorgan = $((b a) ($b ($a $b)))DeMorgan = $(b a) $($b ($a $b))2DeMorgan und Involution = ($b $a) (b $($a $b))DeMorgan und Involution = ($b $a) (b (a b))2Komm. und Verschmelzung = ($b $a) bKommutativitt und Distributivitt = ($b b) ($a b)Komplement und neutr. Elem. = $a b


Aufgabe

Sind folgende Formeln boolesche Ausdrcke? Begrnde deine

Aussage, wenn es sich um keinen booleschen Ausdruck handelt.

(Alle Variablen seien {>,})Aufgabe

((y z) z) (x y)

nein, da in der Booleschen Algebra der Operator nicht

deniert ist.

Aufgabe

((($$$$$$$$$$(($a c $b) a) b) c) a)

ja!


Aufgabe




((y z) z) (x y)


deniert ist.

Aufgabe

((($$$$$$$$$$(($a c $b) a) b) c) a)

ja!


Aufgabe




((y z) z) (x y)


deniert ist.

Aufgabe

((($$$$$$$$$$(($a c $b) a) b) c) a)ja!


Aufgabe

Aufgabe

Gegeben sei folgender Term:

((N >) ) $(P $W )Begrnde, dass der gegebene Term den in der Vorlesung

eingefhrten Bildungsgesetzen entspricht.


Lsung von ((N >) ) $(P $W )(0) = {>,}Der Terme >, sind Konstanten (liefern immer dasselbe Resultat)und erfllen somit die erste Regel fr korrekte Terme. Dies gilt auch

fr die Variablen N,P und W .

(1) = {$}$W : Der Operator $ist einstellig und wird auf den elementarenOperator W angewendet, daraus folgt, dass $W korrekt ist.$(P $W ): Mit $und (P $W ) wird ein neuer Term auf dembestehenden Term (P $W ) aufgebaut. (P $W ) ist somitUnterterm. Ist (P $W ) korrekt, so ist auch $(P $W ) korrekt.Bleibt noch zu zeigen, dass (P $W ) ein korrekter Term ist (siehe(2)).


Lsung von ((N >) ) $(P $W )(2) = {,}(N >): Der Operator ist zweistellig und wird hier aufelementare Operanden angewendet, daraus folgt, dass der Term

(N >) korrekt ist.((N >) ): Der Operator ist zweistellig und wird hier auf denUnterterm (N >) und den elementaren Operator angewendet,daraus folgt, dass der Term ((N >) ) korrekt ist.(P $W ): Der Operator wird hier auf elementaren Operanden Pund den Unterterm $W (siehe (1)) angewendet, daraus folgt dieKorrektheit.

((N >) ) $(P $W ): Der Operator wird hier auf korrekteUnterreme ((N >) ) und (P $W ) angewendet, daraus folgtdie Korrektheit des Terms.


Kantorowic-Bume bei Boolscher Algebra

Aufgabe


((N >) ) $(P $W )Gib den Kantorowic-Baum an.

N >

$

P

$

W


Kantorowic-Bume bei Boolscher Algebra

Aufgabe


((N >) ) $(P $W )Gib den Kantorowic-Baum an.

N >

$

P

$

W


Normalformen

Gegeben ist folgende Formel:

(a b) c

1

Bringe diese Formel durch Umformung mit den Regeln der

Booleschen Algebra in disjunktive Normalform. Gib bei den

Umformungen jeweils die verwendeten Regeln an.

2

Zeige durch eine Wertetabelle, dass dein Ergebnis aus

Teilaufgabe 1 korrekt ist.


Lsung zu Normalformen: (a b) cDef. quivalenz

a b) ($a $b)) cDef. quivalenz

(((a b) ($a $b)) c) ($((a b) ($a $b)) $c)DeMorgan, Assoz.

(((a b) ($a $b)) c) ($(a b) $($a $b) $c)DeMorgan, Inv.

(((a b) ($a $b)) c) (($a $b) (a b) $c)Distributivitt, Assoz.

(a b c) ($a $b c) (($a $b) (a b) $c)2 Distributivitt

(a b c) ($a $b c) ((($a a) ($a b) ($b a) ($b b)) $c)Komplement

(a b c) ($a $b c) ( ($a b) ($b a) ) $c)Neutr. Element, Komm.

(a b c) ($a $b c) ((($a b) (a $b)) $c)Distributivitt, Assoz.

(a b c) ($a $b c) ($a b $c) (a $b $c)Informatik I - Tutorium Christian Jlg

Normalformen

Lsung Teilaufgabe 2)

a b c ab (ab)c abc $a$bc $ab$c a$b$c Erg.0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 0 0 0 1


1

Organisatorisches

2

bungsblatt 5

3

Relationen/Graphen

4

Graphen


5

Algebra

Normalformen

6


7

Java Wdh.


Abschluss

Feedback


Semi-Thue

Aufbau

Semi-Thue-Systeme bestehen aus dem Zeichenvorrat und derMenge der Termersetzungsregeln T.

Regeln in T werden durch ein dargestellt.Beispiel:

= {|} und T = { ||| , |||}

Anwendung

Semi-Thue-Systeme sind nicht an ein Startwort gebunden und

terminieren nur, wenn sie fr jedes Wort aus terminieren.Die Regeln des Systemes haben keine Anwendungsreihenfolge

- Produktionen terminieren nie.


Terminieren folgende Semi-Thue-Systeme?

Gibt fr folgende Semi-Thue-Systeme , T und Eingaben vonWrtern aus der Sprache L jeweils an, ob das Semi-Thue-System

immer, nie oder nur in bestimmten Fllen Terminiert

1 = {a, b} und T = ab b, b

Terminiert immer, da die Wortlnge durch beide Regeln kleiner

wird.

2 = {a} und T = aaa aa, a aaa

Terminiert nie, da die Wortlnge durch keine Regel kleiner als

2 werden kann

3 = {a, b} und T = aaa aa, aa b, a aaa

Terminiert nicht immer. Bei Anwendung der 1. und 3. Regel

terminiert das Semi-Thue System entsprechend der

Begrndung aus Aufgabe 1 nie. Durch die Anwendung der 2.

Regel kann man zu einer Situation kommen, in der das System

terminiert





1 = {a, b} und T = ab b, b Terminiert immer, da die Wortlnge durch beide Regeln kleiner

wird.

2 = {a} und T = aaa aa, a aaa

Terminiert nie, da die Wortlnge durch keine Regel kleiner als

2 werden kann






terminiert






wird.

2 = {a} und T = aaa aa, a aaaTerminiert nie, da die Wortlnge durch keine Regel kleiner als

2 werden kann






terminiert






wird.

2 = {a} und T = aaa aa, a aaaTerminiert nie, da die Wortlnge durch keine Regel kleiner als

2 werden kann

3 = {a, b} und T = aaa aa, aa b, a aaaTerminiert nicht immer. Bei Anwendung der 1. und 3. Regel




terminiert


1

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Graphen


5

Algebra

Normalformen

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7

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Zufall

Math.random()

erzeugt double Werte im Bereich 0 d < 1fr Ganzzahlen zwischen 0 und 2: int i = Math.random()* 3

liefert nur Pseudo-Zufallszahlen

sind bei gleichem Seed deterministischfr mehr Kontrolle: java.util.Random

fr mehr Sicherheit: java.security.SecureRandom

Fr weitere Infos: site:java.sun.com Math.random in gngigen

Suchmaschinen


call-by-reference am Werk

Listing 1: eect

1 class Data{

2 String data = "";

3 }

4 class CallByRef{

5 static void m(Data in){

6 in.data += " And more text.";

7 }

8 public static void main(String cmd []){

9 Data d = new Data();

10 d.data = "A text.";

11 System.out.println( d.data );

12 m( d );

13 System.out.println( d.data );

14 }

15 }


weitere Operatoren

Bedingungs-/ternrer Operator (cond) ? x : y

besonders fr kleine bedingte Zuweisungen ntzlich:

int max = ( a > b )? a : b;

Aber auch fr bedingte Ausgaben:

System.out.println( ( a > b )? a : b );

Aber: der Operator liefert nur Werte zurck, keine Variablen

lsst sich nicht links in Zuweisungen verwendenlsst sich auch schachteln, was schnell unbersichtlich wird

int max = (a>b)? (a>c)?a:c : (b>c)?b:c ;


weitere Operatoren

|| und | bzw. && und &

1 public class LazyEager {

2 public static void main(String [] args) {

3 // lazy evaluation

4 if ( true || sideEffect ())

5 System.out.println("Lazy.");

6

7 // eager evaluation

8 if ( true | sideEffect ())

9 System.out.println("Eager.");

10 } // && and & likewise

11 private static boolean sideEffect () {

12 System.out.println("Side effect.");

13 return false;

14 }

15 }


versch. Zeichenstze

1 import java.io.OutputStreamWriter;

2 import java.io.PrintWriter;

3 import java.io.UnsupportedEncodingException;

4 public class Encoding {

5 public static void main(String [] args) {

6 try {

7 System.out.println("Ich kann und ");

8 PrintWriter out = new PrintWriter(

9 new OutputStreamWriter(System.out , "Cp850"

));

10 out.println("Ich kann und ");

11 out.flush (); // flush buffer

12 } catch (UnsupportedEncodingException e) {

13 } // here be error handling

14 }

15 }


versch. Zeichenstze

mgliche Zeichenstze

IDEs wie Eclipse oder NetBeans haben eine eigene Konsole

diese hat idR keine Probleme mit der Standardkodierung

Unicode

http://java.sun.com/javase/6/docs/technotes/guides/

intl/encoding.doc.html


Zum Schluss...

Was ihr nun wissen solltet!

Was sind Relationen? Wie kann man sie darstellen?

Welche Eigenschaften kann eine Relation haben?

Wie unterscheiden sich gerichtete und ungerichtete Graphen?

Wie bestimmt man die reexive transitive Hlle eines Graphen?

Wie funktioniert Boolesche Algebra?

Was sind Semi-Thue-Systeme? Wann terminieren diese?


Zum Schluss...









Zum Schluss...









Zum Schluss...









Zum Schluss...









Zum Schluss...









Zum Schluss...









Zum Schluss...








Ihr wisst was nicht?

Stellt jetzt Fragen!


Feedback

Dann habe ich noch eine Frage:

Wie fandet ihr dieses Tutorium?


Feedback



War ich zu schnell? Zu langsam?


Feedback



War ich zu schnell? Zu langsam?

Habe ich bestimmte Sachen zu kurz behandelt?



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GraphenWarshall-Algorithmus

AlgebraNormalformen

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