tut07_2.pdf

Informatik I - Tutorium� Wintersemester 2007/08 �

Christian Jülg

http://infotut.blogspot.com

14. Dezember 2007

Universität Karlsruhe (TH)Forschungsuniversität · gegründet 1825

Quellennachweis & Dank an:

Susanne Dinkler, Philipp Kern, Bernhard Müller, Joachim Wilke

http://infotut.blogspot.com

Orga Blatt 6 Semi-Thue Markov Grammatiken Bool'sche Algebra Ende

Übersicht

1 OrganisatorischesWiederholung

2 Übungsblatt 6Warshall-Algorithmus

3 Semi-Thue-Termersetzungen

4 Markov-Algorithmus

5 Grammatiken

6 Bool'sche Algebra: Normalform - Beispiel

7 EndeFeedback

Informatik I - Tutorium Christian Jülg






5 Grammatiken


7 EndeFeedback



Wenn doch noch Fragen auftauchen...

Kontakt

Kontakt: [email protected]

Homepage: http://infotut.blogspot.com

bitte beachten:

Im Betre� der Emails [34] einfügen!



Organisatorisches

Rechnerübung

Nächste normale RÜ mit Anmeldung am Di, 18.12. im RZ, Pool B- aber nur wenn es Anmeldungen gibt. Anmeldung per Email oderdirekt im Tut.

Blatt 7

Semi-Thue und Markov: Alle Termersetzungssysteme müssenausreichend kommentiert werden.



Und nochmal...

Eine Halbgruppe...1 ... ist abgeschlossen.2 ... ist assoziativ.3 ... besitzt ein Neutrales Element.

Schlei�nvarianten...1 ... werden rekursiv bewiesen.2 ... gelten auch vor der Schleife.3 ... kann man für for- und while-Schleifen, aber nicht für

do-while-Schleifen formulieren.







5 Grammatiken


7 EndeFeedback



Übungsblatt 6

Kurzer Rückblick...



Übungsblatt 6

Kurzer Rückblick...

Fragen?



Re�exive Transitive Hülle nach Warshall

Gegeben sei eine re�exive Relation ρ über einer endlichenEckenmenge E = {0, . . . , n − 1}. σ(k) sei folgende Relation:

σ(k) = {(i , j) ∈ E × E |∃Weg i → e1 → · · · → el−1 → j

mit l ≤ k + 2, er ∈ {0, . . . , k} für 1 ≤ r ≤ l − 1}

0 1

23

σ(0) :

1 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 1

σ(2) :

1 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 1 1

σ(1) :

1 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 1 1

σ(3) :

1 1 1 00 1 0 00 1 1 01 1 1 1





σ(k) = {(i , j) ∈ E × E |∃Weg i → e1 → · · · → el−1 → j

mit l ≤ k + 2, er ∈ {0, . . . , k} für 1 ≤ r ≤ l − 1}

0 1

23

σ(0) :

1 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 1 1

σ(2) :

1 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 1 1

σ(1) :

1 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 1 1

σ(3) :

1 1 1 00 1 0 00 1 1 01 1 1 1





σ(k) = {(i , j) ∈ E × E |∃Weg i → e1 → · · · → el−1 → j

mit l ≤ k + 2, er ∈ {0, . . . , k} für 1 ≤ r ≤ l − 1}

0 1

23

σ(0) :

1 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 1 1

σ(2) :

1 1 1 00 1 0 00 1 1 01 1 1 1

σ(1) :

1 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 1 1

σ(3) :

1 1 1 00 1 0 00 1 1 01 1 1 1



Der Warshall-Algorithmus

Anforderungsbeschreibung

Eingabe: Adjazenzmatrix A einer Relation σ

Ausgabe: Adjanzenzmatrix S von σ∗

Der Algorithmus

1 S := A

2 // Reflexivität auf der Diagonalen ergänzen

3 for i = 0, . . . , n − 1 set sii := 14 // Transitive Hülle berechnen

5 for k = 0, . . . , n − 16 for i = 0, . . . , n − 17 for j = 0, . . . , n − 18 if (sij + sik * skj ) >= 1 set sij := 1







5 Grammatiken


7 EndeFeedback



Semi-Thue

Aufbau

Semi-Thue-Systeme bestehen aus dem Zeichenvorrat Σ und derMenge der Termersetzungsregeln T.Regeln in T werden durch ein → dargestellt.Beispiel:Σ = {|} und T = { |→|| , ||→|}

Anwendung

Semi-Thue-Systeme sind nicht an ein Startwort gebunden undterminieren nur, wenn sie für jedes Wort aus Σ terminieren.Die Regeln des Systemes haben keine Anwendungsreihenfolge→ ε - Produktionen terminieren nie.



Semi-Thue

Aufgabe

Gib ein Semi-Thue-System an, mit dem man die Anzahl der Strichehalbieren kann.Dazu sei die Anzahl immer gerade und die Striche von zwei aumschlossen: Bsp: a||||aGib die Ableitung von a||||a an.



Semi-Thue

Aufgabe

Gib ein Semi-Thue-System an, mit dem man die Anzahl der Strichehalbieren kann.Dazu sei die Anzahl immer gerade und die Striche von zwei aumschlossen: Bsp: a||||aGib die Ableitung von a||||a an.

Lösung

Σ = { a, | }T = { a||→|a , aa → ε }a||||a ⇒| a || a ⇒|| aa ⇒||



Semi-Thue

Lösung

Σ = { a, | }T = { a||→|a , aa → ε }a||||a ⇒| a || a ⇒|| aa ⇒||

was tun bei ungerader Anzahl?



Semi-Thue

Lösung

Σ = { a, | }T = { a||→|a , aa → ε }a||||a ⇒| a || a ⇒|| aa ⇒||

was tun bei ungerader Anzahl?

zusätzliche Regel: a|a ⇒ ε



Semi-Thue: Hinweis

Hinweis zu den Pfeilen

�→� ist nicht das gleiche wie �⇒�:→ bei der Regelde�nition,⇒ bei der Regelanwendung.

Hinweis zum Entwurf von Regelsystemen

Wenn eigene Regelsysteme entwickelt werden, dann muss jedeRegel kommentiert werden, damit es nachvollziehbar ist.Gilt insbesondere für Markov-Systeme.



Rückblicken und Wiederholung Semi-Thue

Aufbau

Semi-Thue-Systeme bestehen aus dem Zeichenvorrat Σ und derMenge der Termersetzungsregeln T.Regeln in T werden durch ein → dargestellt.Beispiel:Σ = {|} und T = { |→|| , ||→|}

Aufgabe

Erstellt in eurer Gruppe eine Semi-Thue-Termersetzung mitΣ = {a, b, c}, sodass aus jedem Startwort nur die WorteL = {a, b, c , ab, ac , bc, abc} abgeleitet werden.



Semi-Thue Lösung

Aufgabe

Erstellt in eurer Gruppe eine Semi-Thue-Termersetzung mitΣ = {a, b, c}, sodass aus jedem Startwort nur die WorteL = {a, b, c , ab, ac , bc, abc} abgeleitet werden.

Lösung

1 ba→ ab

2 ca→ ac

3 cb → bc

4 aa→ a

5 bb → b

6 cc → c

Die ersten 3 Regeln ordnen das Wort, während die letzten 3 Regelnmehrfach vorkommende Zeichen entfernen.







5 Grammatiken


7 EndeFeedback



Auf hoher See

Wir haben gesehen, dass Semi-Thue-Syteme schlecht sind, wennwir die Regeln �kontrollierter� anwenden wollen. Daher werden fürdie Markov-Algorithmen folgende Meta-Regeln de�niert:

1 Wende stets die erste mögliche Regel an.2 Wende sie so weit links wie möglich an.3 Nach einer Halteregel (→•) beende den Algorithmus4 (Wenn keine Regel anwendbar ist, beende den Algorithmus)

Schi�chen

Oft muss man bei Markov-Algorithmen wissen, wo man gerade ist.Dazu führt man Zeichen ein, die am Anfang noch nicht in derEingabe waren und hinterher wieder gelöscht wurden.Diese heiÿen Schi�chen, und sind üblicherweise griechischeBuchstaben (α, β, γ,. . . ).



Beispiel 1: Verdoppeln

Aufgabe

Schreibe einen Markov-Algorithmus der die Anzahl dervorgegebenen Striche | verdoppelt.

Lösung1 α| → ‖α2 α→• ε

3 ε→ α



Beispiel 2: Sortieren

Aufgabe

Sortiere mit einem Markov-Algorithmus die Zeichen in einem Wortüber Σ = {a, b, c , d}.Ist dies auch mit einem Semi-Thue-System möglich?

Lösung

1 ba→ ab

2 ca→ ac

3 cb → bc

4 da→ ad

5 db → bd

6 dc → cd

7 ε→• ε

Ja, das ist ohne weiteresmit den Regeln 1-6 auchals Semi-Thue-System zulösen.







5 Grammatiken


7 EndeFeedback



Was sind Grammatiken?

Markov-Algorithmen waren eine Variante der Semi-Thue-Systememit sinnvollen Einschränkungen. Für Grammatiken kann man dasähnlich machen:

Trennung des Alphabets in Terminalsymbole Σ undNicht-Terminale N.

Die Regeln heiÿen Produktionen und stecken in der Menge P .

Man hat keine Eingabe, sondern beginnt immer mit demgleichen Symbol A, genannt Axiom (sinnvollerweise einNicht-Terminal).

Das ganze packt man in ein 4er-Tupel (oder Quadrupel)G = (Σ,N,P,A) und nennt es Grammatik.

Statt für eindeutige Ableitungsergebnisse interessieren wir unsfür alle möglichen Ableitungen des Axioms A aus Σ∗, genanntdie Sprache der Grammatik und geschrieben L(G )



Chomsky-Hierarchie

Wir können die Grammatiken in vier Klassen einteilen, Chomsky-0bis Chomsky-3. Dabei gilt:

Chomsky-n ) Chomsky-(n + 1)

Je kleiner die Nummer, desto mächtiger kann die Grammatiksein

Chomsky-0 ist so gut wie Semi-Thue und Markov

Chomsky-2-Grammatiken sind äquivalent zur(Erweiterten-)Backus-Naur-Form

Auch die Sprachen werden in diese Klassen gepackt: JedeSprache hat die Chomsky-Klasse der einfachsten Grammatik,die sie erzeugt. (Einfach =̂ groÿe Chomsky-Nummer)



Chomsky-Hierarchie - De�nition



Beispiel 1: Chomskygrammatiken und -Sprachen

Aufgabe

Gegeben ist die GrammatikG = ({a, b, c}, {S ,A,B,C},P, {S})mit den folgenden Produktionen:

1 S → AB

2 A→ a

3 Ab → aab

4 B → b

5 B → C

6 C → cCc

7 C → c

Gib die Chomsky-Klasse von G ,L(G ) sowie die Klasse von L(G ) an.

Lösung

Die Grammatik ist inCH-1: Regel 3 istkontext-sensitiv, aber alleRegeln sindlängenbeschränkt.

L(G ) = {ab, aab} ∪{ac2n+1|n ∈ N0}L(G ) ist CH-3 (�regulär�)




Aufgabe


1 S → AB

2 A→ a

3 Ab → aab

4 B → b

5 B → C

6 C → cCc

7 C → c


Lösung


L(G ) = {ab, aab} ∪{ac2n+1|n ∈ N0}

L(G ) ist CH-3 (�regulär�)




Aufgabe


1 S → AB

2 A→ a

3 Ab → aab

4 B → b

5 B → C

6 C → cCc

7 C → c


Lösung


L(G ) = {ab, aab} ∪{ac2n+1|n ∈ N0}L(G ) ist CH-3 (�regulär�)




Aufgabe

Gegeben ist die GrammatikG = ({a, b, c}, {S ,B,C},P, {S})P = {

1 S → aSBC

2 S → aBC

3 CB → BC

4 aB → ab

5 bB → bb

6 bC → bc

7 cC → cc

} Gib L(G ) und die Chomsky-Klassevon G an.

Lösung

Die Grammatik ist inCH-1: Regeln 3-7 istkontext-sensitiv und alleRegeln sindlängenbeschränkt.

L(G ) = {anbncn}L(G ) ist auch CH-1




Aufgabe


1 S → aSBC

2 S → aBC

3 CB → BC

4 aB → ab

5 bB → bb

6 bC → bc

7 cC → cc


Lösung


L(G ) = {anbncn}

L(G ) ist auch CH-1




Aufgabe


1 S → aSBC

2 S → aBC

3 CB → BC

4 aB → ab

5 bB → bb

6 bC → bc

7 cC → cc


Lösung


L(G ) = {anbncn}L(G ) ist auch CH-1







5 Grammatiken


7 EndeFeedback



Holz hacken

Übungsaufgabe

Geben sie eine DNF für folgenden Term an:(b ∨ c) ∧ (b ∨ a) ∧$c

V1 Assoziativität (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z)

V2 Kommutativität x ∧ y = y ∧ x x ∨ y = y ∨ x

V3 Idempontenz x ∧ x = x x ∨ x = x

V4 Verschmelzung (x ∨ y) ∧ x = x (x ∧ y) ∨ x = x

V5 Distributivität x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

V6 Modularität (für z ≤ x) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ z

V7 Neutrales Element x ∧ ⊥ = ⊥ x ∨ ⊥ = x

x ∧ > = x x ∨ > = >V8 Komplement x ∧$x = ⊥ x ∨$x = >V9 Involution $($x) = x

V10 DeMorgan $(x ∧ y) = $x ∨$y $(x ∨ y) = $x ∧$y



Holz hacken - Lösung

Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität




Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität

⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität




Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität

⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität




Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität

⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität




Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität

⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität




Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement

⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität




Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element

⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität




Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element

⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität




Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität

⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität




Übungsaufgabe


⇔ (b ∨ (c ∧ a)) ∧$c Distributivität⇔ $c ∧ (b ∨ (c ∧ a)) Kommutativität⇔ ($c ∧ b) ∨ ($c ∧ (c ∧ a)) Distributivität⇔ ($c ∧ b) ∨ (($c ∧ c) ∧ a) Assoziativität⇔ ($c ∧ b) ∨ (⊥ ∧ a) Komplement⇔ ($c ∧ b) ∨ ⊥ Neutrales Element⇔ ($c ∧ b) ∨ (a ∧$a) Neutrales Element⇔ ($c ∧ b ∧ a) ∨ ($c ∧ b ∧$a) Distributivität⇔ (a ∧ b ∧$c) ∨ ($a ∧ b ∧$c) 6x Kommutativität







5 Grammatiken


7 EndeFeedback



Zum Schluss...

Was ihr nun wissen solltet!

Was ist ein Binärbaum und wie ist seine Höhe de�niert?

Welche Formen kann ein Binärbaum annehmen?

Wie unterscheiden sich Semi-Thue, Markov?

Was sind Grammatiken und woraus bestehen sie?

Wie sind die Stufen der Chomsky-Herachie de�niert?

Wie wandle ich einen bool'schen Ausdruck in seine KNF bzw.DNF um?



Zum Schluss...

Was ihr nun wissen solltet!

Was ist ein Binärbaum und wie ist seine Höhe de�niert?

Welche Formen kann ein Binärbaum annehmen?

Wie unterscheiden sich Semi-Thue, Markov?

Was sind Grammatiken und woraus bestehen sie?

Wie sind die Stufen der Chomsky-Herachie de�niert?

Wie wandle ich einen bool'schen Ausdruck in seine KNF bzw. DNF um?

Ihr wisst was nicht?

Stellt jetzt Fragen!



Feedback

Dann habe ich noch eine Frage:

Wie fandet ihr dieses Tutorium?



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War ich zu schnell? Zu langsam?



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Habe ich bestimmte Sachen zu kurz behandelt?



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Soll ich mehr Theorie/mehr Praxis (Java) behandeln?



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Soll ich mehr auf den Vorlesungssto� eingehen oder ihn alsbekannt vorraussetzen?



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Soll ich mehr auf den Vorlesungssto� eingehen oder ihn alsbekannt vorraussetzen?

Was kann ich verbessern?


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