Vol. XVIII, 1967 651

Uber Hi i l lkurven von Radl in ien

Yon

~ETER~[EYER

I. Die Steinersehe dreispitzige Hypozykloide besitzt bekanntlich die Eigenschaft, da[t die in ihrem Inneren liegenden Tangentenabschnitte alle yon gleicher L'Linge sind. Man sagt auch: eine Strecke fester Lt~nge 1/~J3t sieh im Innern einer solchen Zykloide bei st~ndiger Bertihrung derselben stetig umwenden, wobei die Endpunkte der Strecke auf der ZykloJde geffihrt werden, l~ber eine Erweiterung hiervon beriehtete F. Molt- LEY [4] : er zeigte, dab eine m:spitzige Hypozykloide in einer (m + 1)-spitzigen Hypo- zykloide bei st/~ndiger Beriihrung umweildbar ist, wobei die l~fickkehrpunkte der ersten Zykloide auf der anderen gleiten. Eine weitergehende Verallgemeinerung gab M. FR~CttET [2] an, indem er d~rlegte, dab sich auch Ellipsen in einer Steiner-Zykloide bei jeweiliger Berfihrung an drei Stellen s~etig umwenden lassen (vgl. aueh [1]). Bei all diesen Beispielen handelt es sieh um spezielle Rollbewegungen mit kreisf6rmigen Polkurven. In Anlehnung an diese Sonderf//lle untersuehte W. WUNDERLIe~ [6] Troehoiden 2. Stufe und ihro Hfillkurven bei Planetenbewegungen. Diese E~ebr f s se lassen sich -- wie im folgenden ausgeffihrt wird -- auf einem anderen Weg in ein- faeher Weise gewinnen. Darfiber hinaus werden anscheinend neue Eigensehaften von Radlinien 2. Stufc und ihren Hfillkurven bei Planetenbewegungen aufgezeigt 1).

2. Die gegeneinander beweg]ichen Ebenen El , E (Gangebenen) und E' (Rastebene) werden durch rechtwinklJge Aehsenkreuze (Gangkreuze, Rastkreuz) vertreten. Den reellen Normalkoordinaten (a, b) yon Punkten dieser Ebenen ordnet man, wie in GauBschen Z~hlenebenen iiblich, die komplexe Zahl z ~ a q- ib zu. Der Bewegungs- vorgang B1 ~ E I / E der Ebene E1 gegenfiber der Ebene E sei dutch das Rollen des Polkreises Pl (Radius a > 0, Mittelpunkt ~ Koordinatenursprung yon El) am Pol- kreis p (Radius r e . a , m reelle Zahl, Mittelpunkt = Koordinatenursprung yon E) gekennzeiehnet. Ein Punkt X1 -~ b yon E1 besehreibt dann bei der Bewegung B1 in E eine Trochoide, die sich in Abh/~ngigkeit eines reollen Parameters a dureh fo]gende

Darstellung angeben l~Bt: (1) x = x ( a ) = ( m - - 1 ) a ' e ~ + b ' e ( 1 - ' 0 ~ % i 2 = - 1 .

UntcrwJrft man nun die Ebene E einer Trochoidenbewegung B -~ E /E ' , wobei der Gangpolkreis p yon E am Rastpolkreis p' (Radius n �9 a, n reelle Zahl, Mittelpunkt

1) Der vorliegende Artikel ist im wcsentlichen der Dissertation des Verfassers enLnommeT~: ~ber Hiillkurven yon Radlinien, TH ]3raunschweig, 1966.

652 P. M~YEa ARCIt. MATH.

~- Koord ina tenursprung yon E') ohne zu gleiten abrollt, so umhiillt die l~adlinie (1) in E' eine algebraische Kurve, wenn m u n d n rational sind. Decken sJch die reellen Achsen der Ebenen E und E ' in der Anfangslage, dann wird die Darstel lung der Troehoide (1) in E ' bei Verwendung eines reellen Lageparameters ~ zu

x ' = x ' (~ , ~) = ( n - - m ) a . e ~ -f- x . e ( ~ n ) /~ =

(2) = (n -- m) a. e mir -t- [(m - - 1) a . e ia -t b . e(1-m)ia] �9 e(m-n) iv.

U m die Einhiillcnde der vnrsehiedenen Lagen der Kurve (1) bei B 5n E ' zu ermit- teln, mul~ man fordern, (tab die Tangnntenvektoren an die a-Lininn (T ---- konstant) bzw. an die z-Linien (a = konstant) , x," und ~'x~ in jedem P u n k t der t tS] lkurve linear a bh'~ngig sind. Diese Bedingung fiihrt zu der Parameterre la t ion zwischen a und T fiir die Hiillbahn, die stets in mindestens zwei Anteile zerf/~llt :

(3) ( e i a - - e n i t ) [ a " e ( m - l ) i a (1 -[- e i ( a - n r ) ) __ b" (e(2m-l) ia _~_ e - i n r ) ] = 0 .

Der erste Bestandteil a : n r ~- k �9 2~ (k ~ 0, • 1, :~2 . . . . ) ffihrt wieder zu Tro- choiden 2. Stufn. Mit geringffigiger ~nde rung der Bezeichnung (m~ ~ ~]) wird ihre Parameterdars te l lung

(4) x ' = x ~ = (n - - 1)a 'e tn ~-b'e~[(1-n)n~m~'2~t] ( k=O, 4-1, 4-2 . . . . ) .

Bei nieht ganzem, ra t ionalem m t re ten in (4) endlieh viele kongruente K u r v e n in Erschninung, die nanh dem klassischen Prinzip yon Camus durch Abrollen yon Pl auf p ' auch als Punk t ba hne n gerade von jenen Punktnn dnr Ebene E1 erzeugt wnrden, die bei dnr Bewegung B1 alle au f derselben Ausgangsradlinie (1) wandern [5]. Ffir n ---- 1 degenerinrt diesnr Hiillkurvenantnil in din Eekpunkte nines regelm'~l~igen Vielecks, dureh die die Radlinie (1) st/indig geffihrt wird (Stfi tzpunkte der Ausgangsradfinie).

Das Verschwinden des zweiten Faktors in eckigen K l a m m e r n yon (3):

(5) a . e (m- l ) i a _~_ a " e i ( m a - n v ) _ _ b �9 e - n i t - - b �9 e(2m- l ) 4a ~ 0

ftihrt zu der weiteren Parameterbedingung

a , e m i ~ - - b (6) en~ =

b �9 e mi~r - - ct

mit der Abkfirzung

�9 e ( 1 - m ) i a ~ (b .e-'~ll6 - - a )2 . . . . . . . . el (~t+a) = e i ( ~ + ~ - 2 r a 2 -1- b 2 - - 2 a b �9 cos(m~)

b" sin (m a) cf I--- arct.g b. cos(mbi z a"

Aus (6) folgt der Zusammenhang zwisehen (r und T:

1 (7) T = [ ~ + ( 2 k 4 - 1 ) ~ - - 2 q ~ ] (k--=-0, 4-1 , • . . . . )

und die Parameterdars te l lung dcr allgemeinen Rcsthfil lkurve (vgl. [6]) wird naeh kurzer Umformung :

x ' = x ~ = e ~k '2~ . ( n - - m ) a . e x p i m n _ [ ~ + 7 ~ _ 2 ~ +

(8) + ( m - - 1 ) a . e x p i ~A- - )~ [ o + ~ - - 2 ~ ] +

[ { m - - ~[(r + ~ - 2 q ~ ] } } } . + b e x p i ( 1 - - m ) a t- n

Vol. XVIII, 1967 Hiillkurven von Radlinien 653

Die einzelnen Zweige der Resthfillkurve, die im allgemeinen anscheinend keiner be- kannten Kurvenfamilie angehSren, sind drehsymmetrisch und achsensymmetrisch. In Fig. 1 (a > b > 0, m = 1/2, n = 3 / 2 ) ist die ,Ausgangsradlinie x eine verschlungene Pascal-Schnecke, der eine Hfillkurvenanteil x c eine verschlungene Hypotrochoide,

t t

jedoeh ist die Resthiillkurve x R k e i n e Radlillie. x und .% sind auch Ir

f f

f / f / /

/ / S

[

\ \

\

\ \ "<?

\I / . / )/j,

Fig. 1

3. Um unter der Kurvenmenge (8) bekannte Kurvenklassen aufzufindcn, kann man zweekm/tBig folgenden Weg einschlagen: Multipliziert man Gleiehung (5) zu- n'~chst mit dem Faktor ( m - n) . exp i [ ( 1 - m)~ + mr] und addiert dann diese Parameterbeziehung zu der allgemeinen Darstellung (2) hinzu, so w h ' d

(9) x ' = ( 2 m - - n - - 1)a "eq~t (m-n) r ] _ ( m - - n - - 1 ) b . e i [ O - m ) ( ~ + ( m - n ) r ] _

- - ( m - - n ) b . e m i (a r r) .

a) Setzt man in (9) die y o n W. WUNDEnLICH geflmdene Radienbedingung

654 P. MEYER ARCH. ~dATH.

n ~- 2 m - - 1 ein, d a n n ist die Resthiille eine Zylcloide:

t

(10) xl~ : b. Ira. e(1-~)~(~+~) -~ (m - - 1) �9 emi(~ ~)] :

= b . [m " e(1-m) ~n -~ (m - - 1 ) . e mini ( ~ - T : ~ ) .

t t i e r in liegt die Veral lgemeinerung yon W. WV~D]~XLICH: IS~ die Ra d i e nbe d i ngung n ~ 2m - - 1 erfiillt, so hfillt die Ausgangsradl inie (1) bei der Trochoidenbewegung B neben einer Anz~hl un te re inander kongruen te r Radl inien, die sich nach dem Pr inzip yon Camus als P u n k t b a h n e n einer P lane tenbewegung beschreiben lassen, als Rest- hfil lkurvc einc Zykloide ein. Es ist bemcrkenswert , d~I3 in (10) die GrSi~e a n icht e ingeht ; daher geht dieselbe Resthfillc (10) aus einer Schar yon Ausgangsr~dl inien m i t a als Scharparameter hervor.

b) Setzt m ~ n die R~dicnbedingung n -~ m - - I in Gleichung (9) ein, d a n n wird die Resthiille zu

t

(11) x l r (~d- z ~ ~?).

X

p' p'

p,

;Fig. 2

Vol. XVIII, 1967 Hiillkurven yon Radlinien 655

Gleiehung (11) stellt eine Trochoide dar, die nur ffir b ---- a zur Zykloide wird. I n dem Sonderfi~ll b = a sind die Hfillkurvenpa,~re, deren Polkreisradien der Bedingung n = m -- 1 gehorchen, insofern ausgeartct , als die Beriihrung zwischen beiden K u r v e n verlorengeht. Die g i i ckkehrpunk te der einen Zykloiden gleiten sts auf der anderen (Fig. 2: b = a , n = m - - 1 , m ~ - - 2 , n ~ - - 3 , xNephro ide , x~Epizykloide, x~ Steiner-Zykloide). Aus diesem Grunde ist die Bezeichnung Gleitlcurvenpaar sinn-

gem/~ger. c) Ein weiterer elementarer Sondel ~fall erfiiel3t aus (6) fiir b = a: die Ausgangs-

radlinie (1) ist eine Zykloide, und die Parameterre la t ion wird zu

n r = ( 1 - - m ) a ~ - k ' 2 7 r ( k = 0 , ~ 1 , • . . . . ) .

Die l~esthfil]kurve ent, ar tet zu einer Zykloide, die naeh Ab/inderung des Km 'ven - parameters (m a : n~/) fo]gendc Form ann immt :

t (12) x~ : a . e' ~,' k.2,. {(n - - m ~- 1). e (x-m)~" + (m -- 1) �9 e(n-m+l)',~).

Von dem W e f t des VerhSltnisses m : n h~ngt es ~b, ob eine Kurve , endlich viele odor abz~blbar unendlich viele kongruente Kurven auftreten. Die Zykloide (12) degene- riert zu Eckpunk ten eines regelm~il~igen Vielecks, wenn die Radienbedingung n ~ m - - 1 gilt. Durch diese Eekpunkte (Stfitzpunkte) gleitet die Zykloide (1)

st~ndig hindurch~).

4. Die Ergebnisse des Abschnit ts 3 erg/~nzen die bekannten klassisehen Ss fiber die doppelte Erzeugung der Radlinie ~ls P u n k t b a h n und der Zykloide als Geraden-

hiillb~hn in folgcnder Weise:

Satz 1. Gilt/iir den Bewegungsablau] (2) die Radienbedingung n ~ m -- 1, so ent. after die ItiiUkurve (8) in eine Trochoide (11), die in zwei]acher Weise als Resthiillkurve der Ausgangsradlinie (1), einmal dureh die Bewegung B[a, b; m, n - - m - ] ] , dann

dureh . __ ~qg]

l n ' = m ' - - i~ I. B' a ' ~ - - m ' b , b ' ~ - - - m ' a ; m ' ~ n~' m

erzeugbar ist.

Satz 2. Jede Zykloide gestattet als Resthiillkurve einer ]~adlinie (1) bei Planeten- bewegungen vom Typ (2) gemiifl den Abschnitten 3~), b) und c) im allgemeinen sogar

eine seehs]ache Erzeugung.

Die Beweise basieren ~uf der Kommuta t iv i t~ t der Addit ion yon komplexen Zahlen und verlaufen genau wie in den bekannten Fiillen.

5. Bisher wurde angenommen, dal3 die drei bei den Bewegungsvorg/~ngen beteilJg- ten ]?olbahnen Pl, P u n d p ' Kreise sind. I n Erg'~nzung dieses allgemeinen F~lles werde je tz t ein Kreis durch eine Polgerade ersetzt.

2) Die verschiedenen analytischen Ergebnisse yon b) und c) sind dadurch bedingt., dab in b) zuniichst n = m -- 1 und dann b = a eingef/ihrt, in c) abet umgekehrt vorgcgangen wurde.

656 P. MEYEa AaCm ~Azn.

~) pl sei geradlinige Gangpolbahn, p (mit m = 1 ) und p ' Kreise (Fig. 3). Die Ausgangskurve ist d~nn eine Kreisevolvente mit der P~ramcterdarstel lung

(13) x---- x(a) = [a(1 - - i a ) q- c ] - e ia.

Diese Kreisevolvente wird einer Planetenbewegung unterworfen und ha t in Analogie

\ i+i--:i ~-�84

\ \

\ \

\

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' "j , , ~ 7 4 ::~

�9 ] : . ,

Fig. 3

Vol. XVIII, 1967 Hiillkurven von Radlinien 657

zu (2) hi der Ras tebene die Gleichung:

x' = x ' (z , T) = (n - - 1) a . e~r + x . e a - ~ =

= (~ - - 1) a - eir -1- [a(1 - - i a) ~- c]- e~[G+(1-,) r].

Die Pa rame te rbed ingung ffir die Einhi i l lende ergibt sich zu:

(14) (n - - 1) a(e i6 - - e fnr) [c(e -i~ @ e -lnr) + i a a ( e - ~ Z - - e-~nr)] _= 0 .

Die erste ]3eziehung a = n v ~- k �9 2xe entspr icht .ienem Hfi l lkurvenantei] , der nach dem Prhlzip yon Camus durch Abrollen der Polgeraden Pl an dem Kreis p ' en t s t eh t :

x e = [ (na ~- c) - - i a n t l ] " exp i ~ - - ;~ ( nv = n ~ - - k �9 2 ~) .

Wieder kSnnen je nach dem ~Vert yon n endlich viele oder abzhhlbar viele Kreis- evolventen auf t re ten. Die Parameterverknf ipfung ffir die Resthfille, naeh (14)

aa-~- ic enir ~ �9 el6

a a - - ic oder

,( ~ (15) ~ : n ~ - k . 2 ~ ~- 2 . a r c t g a ~ '

f i ihrt im al lgemeinen nicht zu einer elementaren Kurvenklasse . Wie aus (15) umni t t e l - bar ersichtlich, sehmicgt sich die Resthfil lkurve ffir gr613er werdende Paramete rwer te

t yon a dem t{f i l lkurvenantei l xc an und geht in der Grenze cr -+ c~ in diesen fiber. I n dem Sonderfall e = 0 wird aus Gleiehung (14)

i a 2~r" e -i(a+nr)" (eta _ e~nr)2 : O,

p p

der Hf i l lkurvenante i l xe deekt sich mi t der Resthfi l lkurve xl~ ffir alle Werte von r

fl) Die Bewegung B1 sei n u n dureh das Rollen des Polkreises Pl an der Polgeraden p erkl/irt (Fig. 4). E in P u n k t X1 der Gangebene E1 durehl/ tuft eine gemeine Radl in ie :

(16) x : x (a ) = -- a(1 - - i a ) @ b. e - ia .

l%ollt die Gerade p am rgastpolkreis p ' , d a n n gilt ffir diese Bewegung der Radl in ie in E ' :

x' = x ' (a , ~) = [ha(1 - - iT) + x] . e~r =

: [na(1 - - i~) - - a(1 - - i(r) ~- b - e - ~ ] , e~r.

Die Hfi l lbedingung lau te t in diesem Fal l

i 2 a ( b " e o s a - - a ) . ( ( r - - n r ) = 0 .

Also exist iert gem'hg der Gleiehnng a ---= n r nu r ein einziger Hfil lkurvenantef l

x' = ( n - - 1) a . e lr + b. e(1-n) ~r,

eine Trochoide, die bei der Rollbewegung Pl/P' naeh dem Pr inzip von Camus ents teht . Die Resthfi l lkurve t r i ~ nicht in Erseheinung. W/ihrend die gemeine Radl in ie (16) sich periodisch fortsetzt u n d n~ch zwei Seiten ins Unendl iche reicht, ist die eingehfillte Radl inie ganz im Endl ichen gelegen.

Ard~iv dc r M a t h e m a t i k X V I I I 43

~ I

r �8

4 �9

I I

~ x

~ �9

C~

P

Pl

I~ �84

~II

rl ~

X

\ \

X !

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X

P

P,

J x~

.'-.1

Q

660 P. MEYER ARCH. MATIt.

7) Schliel~lich seien Pl und p a l s Polkreise, p ' aber als P o l g e r a d e in der fes ten E b e n e angenommen (Fig. 5 ) . Demnach bewegt sich die Radl in ie (1) gem~13 der Pa r~me te rda r s t c l l ung

(17) x ' ---- x ' (cr, T) ~- - - m a (1 - - i T) -~ x . e -iv ----

---- - - m a ( l - - iT) -f- [(m - - 1) a . e t a -~ b . e(1-m)/a] �9 e -iv .

Die P~rame te rbez i ehung s die Einhi i l lende ls sich in der F o r m sehreiben

r e ( m - - 1) a ( e I~ - - e Iv) [e - ta (a ~ b " e mia) ~- e- lV (a - - b . e -mi~ ) ] = O .

Der erste Ante i l a ---- T ~- b �9 27~ e rbr ing t genau jenen Antei l , der durch Rol lung von T1 auf p ' en t s t eh t :

x c : - - a(1 - - i ~ ) ~- b . e -~ (v+m~ '2~) (m~ ~- V)-

Diese Dars tc l lung kcnnze ichne t g e m e i n e R a d l i n i e n , wie ein Vergleich m i t (16) zeigt. Der rest l iche Ante i l s t i m m t m i t (6) und (7) fiberein, wenn m a n in diesen Gleiehungen n -~ 1 setzt . Die sich e rgebende Res th i i l l ku rve is t im a l lgemeinen n ich t e l ementa re r Na tu r . I n dem Sonderfa l l b--~ a bes t eh t zwischen a u n d ~ die ]ineare Beziehung T ~ ( 1 - m ) ~ ~ - k . 27~, u n d die Resthfi l le h a t nach der P a r a m e t e r s u b s t i t u t i o n r o T = ( m - - 1) V die F o r m

(18) x ] ~ - - ( m - - 1 ) a . - - ( 1 - - i ~ ) - [ - e x p - - i ~7+ 1 - m / l l "

Durch (18) werden wieder kongruen te g e m e i n e Z y k l o i d e n darges te l l t , die dureh Ab- rol len eines Kreises mi t R a d i u s (m - - 1) �9 a an der Po lge raden p ' hervorgehen. Se tz t m a n in (1) b ~ a n n d m = 2, d a n n e n t a r t e t (1) zu einer S t reeke der L~nge 4a , die bei dem Bewegungsab lau f B eine einzige gemeine Zyklo ide einhfillt . Ff i r dieses Bel-

l spiel deeken sich die be iden Hf i l lkurvenante i le x: und xn.

6. Es kann schlieBlich der Sonderfa l l e in t re ten , dab Pl u n d p ' beide f f e rad l i n ig

ausgebi ldc t sind, p ( m i t m ~ 1) aber Kre i s fo rm aufweis t (Fig. 6). Die Ausgangskurve i s t die K r e i s e v o l v e n t e (13). Der Bewegung B dieser K u r v e ha der Ras t ebene lhBt sieh folgende D~rs te l lung geben:

(19) x ' = x '(~, T) --~ - - a(1 - - i T ) + x . e - i v =

-~ - - a ( 1 - - iT) Jr [ a ( 1 - - i a ) ~- c]. et(~-v).

Die I-I i i l lbedingung l iefert fiir die P a r a m e t e r den Zus~mmenhang

(20) a ( e t~ - - e l~) [c(e - l a ~- e - i v ) -~ i a a ( e - l~ - - e-l~)] : 0 .

Der ers te Bes tand te i l ~ = T -4- k �9 27~ f t ihr t zu d i sk re t ve r t e i l t en S t i ~ t z p u n k t e n yon (13) auf einer Geraden :

x c = c - - i a / c . 2 ~ ,

wi~hrend die Res th i i l lku rve s te ts eine g e m e i n e Z y k l o i d e ist. Mul t ip l iz ie r t m a n n'~mlieh den A u s d r u c k in eckigen K l a m m e r n yon (20) mi t - - eta und add ie r t diese Gleichung

- - c ( 1 ~- et(a-T)) - - i a ( ~ ( 1 - - ei(~-~)) = 0

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III

662 P. MsY~R ARCm ~AT~.

zu d e r r e c h t e n Se i te y o n (19), d ~ n n r c su l t i e r t die R e s t h i i l l e n d a r s t e l l u n g

t

(21) X l ~ - - - - c - - a l l - - i((r - - ~)] -I- a . e- i (~-r) ~ - - c - - a (1 - - i~7) ~- a . e-~n

( a - v = ~). D u r c h (21) w i rd e ine g e m e i a e Z y k l o i d e durges te l l t .

Literaturverzeichnis

[]] O. ]~JOTTEMA, :Ein Problem der affinen Kinematik. Indag. Math. 26, 290--300 (1964). [2] M. FR~CIrET, Sur quclques propri6t6s de l'hypocyeloide s trois rebroussements. Nouv. Ann.

61,206--217 (1902). [3] J . HOSCHEIL Uber G]eitkurven yon Radlinien 2. Stufe. Math. Naehr. 27, 1--8 (1963). [4] F. MORLEY, On adjustable eyeloida] and troehoidal curves. Amer. J. Math. 16, 188--204 (1894). [5] H. R. MiiLLlm, Bewegungsvorgiinge raft mehrfach durchlaufenen Bahnkurven. Monatsh.

Math. 67, 326--334 (1963). [6] W. WUNDERLIC]I, Uber Gleitkurven aus Radlinien. Math. Nachr. 20, 373--380 (1959).

Eingcgangcn am 21. 11. 1966

Ansehrlft de,~ Autors :

Peter Meyer Mathematisehes ]nstitut D Tec]misehe Hochsehulc Brutmsehweig 33 Braunschwcig